автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование (М,3)- методов решения жестких систем

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

РГ6 од

- 7 ;; • На правах рукописи

УДК 519.622

Голушко Марина Ивановка

СОЩОВАНИЕ (М,3)-МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ

05.13.18-теоретические основы матек ического делирования,численные методы и комплексы программ

А в т о р е ф е р с. диссертации на соискание ученоI- степени кандидата физико - математически/, наук

Красноярск 1993

Fa^uie выполнен« в Вычислительном Центре ('.О РА)! б ¡'.Красно ярск»' и Новосибирском государственном университете.

Научный рлковсуштиль доктор фигико-математических наук, Е.Л.Новиков

Плучный консультант кендидат физико-математиччоких наук, ['.В,Демидов

(•"Withirnisift оппоненты: доктор физико-мчтймотическпх наук,

B.li.llOJiOtUlHKIUI,

кпндидат физико-матямнтичьоких наук, Ь.С.ДоГфонИ!

В°ду«шя «фиштшшя Ви'шсяитвлмшй цошр СО {'АН,

г.И"рлпй<;и рек

л'-лчить i-ii(,c.(ipvu;»H! состоится " " u-t&tCtJl. (у->з года ь /M.4COÎJ на C!UCV)jp.H»m 0ll"iranj:iïl"HIJ'.fn'O;'HOro СОКМ'ГП Д «>'>1,54.0! ь Кр.'этнояр.чк.:.' иочитехнпч-чпком инсип'у'и по адроеу: 6ОДР4,

!i|.,K..L'iipOK, y.Ii. КИрспо.СПГо P.lj.

о днос;.ргп;ц!У11 тм:> о:.ш;.тол;и)'ьсн в о;:СЬ!иОт;чсал ¡.'ичи-'УШ-lûjij.h.ij о цшпра Со ГЛП <г,Красноярск) И Красноярского ■ агит^хнп-M^'.'i-.oi'-'i института.

liToUbu ii'.i .-liJiOj». J'îp:, l i; /:l.-y,i MlO'i'i-ill ililj'ÎW , пи; Vjr : iiiir I[i.'-4;ii'LJO rr pOKi'/'hiiH, просп.: î-,îno o;U»;oy: f>'of)Jo, r. Красно -яре:: y.11. /м.чшна, '.M,. ,v4..h,>\*y секрчтпрк ('а-'чн'ок.-та.

AbTopo<JopfiT разоел.чц " " _____ f'-C

Учонш! с>ч;р::т;.рь Си».-щгал;гл)ivu'mHciro глшта чшдадог Г'-:<начо'йскх наук „-f/i„ , [..П.Коч^лсов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность теш. Проблема численного решения задачи Коши для жесток систем обыкновенных дифференциальных уравнений возникает во многих приложениях таких как химическая кинетика, радиоэлектроника и других. Учет большого числа факторов при построении математических моделей физических процессов приводит к росту класса задач, описываемых жесткими системами. При построении численных методов основное внимание уделяется расширению их возможностей для решения жестких систем все более высокой размерности. Несмотря на рост быстродействия ЭВМ, сложность задач, возникающих на практике, оперекает развитие вычислительной техники, что, в свои очередь, приводит it возрастающим требованиям к вычислительным алгоритмам. Поэтому проблема создания эффективных численных методов решения задачи Коши для жестких систем является-актуальной задачей.

Цель работы заключается в исследовании (ш,3) - методов численного решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы. Исследованы <ш,3) - метода решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Показано, что в классе (га,3)-матодов нельзя построить численную схему виио пятого порядка точности без заморазатания матрицы Якоби и схему выше четвертого порядка точности с замсра-киваштем. Построены А- и L- устойчивые (га.З) - методы оптимального порядка точности. Разработаны алгоритш интегрирования с замораживанием матриц» Якоби, которая может вычисляться как аналитически, так и численно. Создан алгоритм интегрирования на неоднородных схемах, в котором переход с одной численной формул! «а другую осуществляется из условия устойчивости.

Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании физических процессов, приводящих к необходимости численного решения задачи Коши для жестких систем обшеновешшх дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались _ и обсундались на:

- рабочем совещании "Методы решения жестких систем и их приложения", Красноярск, 1988 г.;

- IV Всесоюзной школо молодых учешх по численным методам механики сплошной среды, Абрау-Дюрсо, 1992;

- семинаре отдела математических зпдач химии и физики Вычислительного центра СО РАН, Новосибирск;

- семинаре "Проблемы математического и численного моделирования" Вычислительного центра СО РАН, Красноярск.

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит ив введения, двух глав, заключения, списка литературы и двух приложений, со-дери - 120 страшц текста, 10 рисунков и 10 таблиц. Список использованной литературы включает 61 наименование. В приложении I приведены тестовые примера, в приложении 2 - результаты расчетов тжэх практических задач из химической кинетики.

СОДЕКШШЕ ДК.СЕРТАШИ

Во введении дано обоснование актуальности теш диссертации, определена цель работы. Приведены основные определения. Дан краткий обзор работ по численным методам решения задачи Коши-для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида

у' = г (у). y0 = y(to)' tö<utk, (1)

где i,y - гладкие вещественные N-мерные вектор-функции, t - независимая переменная. Кратко излагается содержание всех разделов.

В первой главе исследуются (ш,к) - метода с тремя вычислениями правой части численного решения задачи Ковш для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Основное отличие (m.k) - методов от существующих заключается в том, что. в этих методах стадия не связывается с обязательным вычислениям правой части дифференциальной задачи. За счет этого достаточно просто решается проблема замораживания матрици Якоби.

В первач па; г^афе дана общая форма записи (m.k) - методов, приведенная в работах Е.Д.Новикова, O.A.Истова (1987г.).

Пусть ¿.-есть множество целых чисел, и заданы m,\:eZ, ksjm,

обозначим через Мт множество целых чисел UZ таких, что Kisn, a n 1 "

чернп Rjjj М^д и J^ подмножества из Mm вида

rfa.k = * ini е Mm 1 m1 = 1' mi<mi-. 1- m^.},

Jj - tm^-1 ç i i>1. m^ s mj<il>, Klsn.

Тогда под (m,к) - методами понимаются численные схемы сладумцего вида

yn+t + J,PAi' Dn c 1 " тп <'•<->

1-1 1-1 Q

DrAuahr<*n + j^ijV + & auVi+ ¿V^V

»гАЛ 1-1 aljVl + мп Д°13*ПУ liMm.k'

где a, р^, pjj, o^ и - постоянные коэффициенты, 1» - шаг интегрирования, I - единичная матрица, f^ = 0f(yn)/dy - матрица Якоби, к - количество вычислений функции I, m - количество обратных ходов в катоде Гаусса. На каждом шага осуществляются одно вычисление матрицы Якоби и одна декомпозиция матрицы D . Так как m и к полностью определяют затраты на шаг, а набор чисел

ш1, rrig.....m^ только распределяет нх внутри шага, то метода

типа (1.1)-(1.2) названы (ш.к) - методами.

Во втором параграфе исследуются (т,3> - методы с тремя стадиями (ш=3)

fn+t = уп + Pl^l + Рг*п2 + Рз^пз- Dn - 1 " allin' ЧАп = W(yn), Wnz". W(yn ♦ p21knl, * Og,^, (1.3)

ЗДд = hf(yn + P31V+ + "зАн +

Рассмотрен случай то есть когда (1.3) совпадает с методом

типа РозеиОрока:

Построена L - устойчивая схема третьего порядка точности. ¡Показано, что нельзя построить метод вышэ третьего порядка точности в классе методов типа РозеиОрока с тремя вычислениями правой части дифференциальной задачи.

' " В третьем параграфе исследуются (га,3) - метода вида (1.3), а ташхэ четцрзхстадиШше (гл.З) - методы.

При a-jj и О построена А - устойчивая схема вида (1.3)

четвертого порядка точности. Показано, что в семействе трех-стадийных (т,3) - методов (1.3) нельзя построить схему четвертого порядка точности с лучшими свойствами устойчивости.

Для (т,3)- метода с четырьмя стадиями вида упи = уп + Р1*ш + РгКг + Рз^з + РДи- вп = 1 ' ^п-

»Аи^Ун*- Е,пкп2=м(уп+Р21кп1МгЛ' <1-4>

= + + + 043^

построена Ь- устойчтая схема четвертого порядка точности. Показано, что при т=4 и любом выборе множеств М® 3, М^ 3, «Г^ нельзя построить (ш,3)- метод выше четвертого порядка точности.

В четвертом параграфе устанавливается максимальный порядок точности (т,3) - методов.

ДЛЯ М^з = {1,4,5}, ^з - 2,3), Л4 = (3), % = (4} при

ш---5 построена А- устойчивая схема пятого порядка точности. Показано, что при т=Г> и любом выборе множеств М® 3, М^ 3, J1' нельзя построить метод пятого порядка точности с лучшими свойствами устойчивости.

Для М^ з = (1,4,6), з = {2,3,5),. ¿А = {3} при т=6 построена Ь~ устойчивая схема пятого порядка точности.

Доказано утверждение о том, что в классе (га,3) - методов при любом числе стадий т и любом выборе множеств М® М^ нельзя построить метод выше пятого порядка точности.

В пятом параграфе устанавливается максимальный порядок точности (т,3)- методов "при условии замораживания матрицы Якоби. Замораживание означает, что матрица Якоби Г^ аппроксюлируется матрицей Ап, которая представима в виде

Ад = Гп + №п + от2), (1.5)

где Вп- не^оторг" матрица, не зависящая от величины шага интегрирования. В случае, использования (га,к) - методов с одной матрицей на неск' льких шагах интегрирования имеет место

где вп = = -к 1|а2куп)/(ауоу1к1(уп).

. - в -

для з « (1,3,4)',. И^з* J3 * * {'¿) При Ш--4

построена Ь-'устойчивая схема четвертого порядка омчносш о

' замораживанием матрицы Якоби.'Еоли ограничиться требованием

уотойчивости, то мохда построить твтод с меныа«чи затратами, '.-ак

при Лд - 0 достроена А- устойчивая схема четвертого иорядка

точности с заворакнванивм.

Доказано у-Х'вэрддэшю о том, что в класко (ш,3) ~ юз ¡одев

при ВЩГОДН9Щ5М условия (1.5), любом ЧИСЛО стадия Я1 И Л»)бОМ П 1

выбора множеств М^ г^', 3, ^ нельз,. построить м^тоХ тягав четвертого порядка'точности.

Вторая" глава посвящена ностроетш алгоритмам переменного иага, в том числе с заморакивашюм матрицы Якоба, которая моеот ' вычисляться как аналитически, так и численно. При не троении используется контроль точности, чгрвдлокенчый ь работе Г.Ь.Дё: ь дова, Е,А,Новикова; ЦЗЗБг,), который не требует дополнительных вычислительных затрат н закяЬчавтся в следующем. Прошенные решения уп . . уд р„, задачи Копш (1)*в каждой трчка щчио.'.дотся методами р и (р-1) порядков точности, соотвотетниндр, и параметры этих на годов еибитаютоя так, чтоби их лок:-: 1ышч

ошибки аппроксимация были'согдаоват; следувдзм образом ( * "

6п,р «р ьРиГу(у»п))Фр(гп)Ч ои>г}-

ГД9 ср_1, Ср - Вачнсля^ие параметры, Г^(у(гп))- матраца Якосл сиоте1..и (1), фр^)- некоторая функция, по зависящая от размера иага интегрц.овшшя, Тогда контроль точности вцчи&юьий осуществляется пронорк'ой неравенств;,

. - 1еп>1.» е, (2.2)

•где еп^р = Ср о~11 (уп<р - уп> ^ ), а - задеваемая ючнпоть

вычислений, || - у — некотор'ч норма в Л

С использованием.такого контроля построены четыре алгоритма третьего порядка и один алгоритм четвертого порядка точности.

В перво,ц параграф построен алгоритм ГЮЗЗ с аналитическим вычислением матрицы Якоби на с .;ове т - устойчивого метода тип;. Роаенброка третьего порядка точности (см. 1,3 -ори Оц = 0). При построении данно! J алгоритма не удалось точно согласовать

локальные ошибки аппроксимации как в (2.1). Параметры метода имеют вид

а ® Q.43586652150902, . .-■ Р = 0.56413347132017, р2, 4а(1 - За)/(12а2 - 6а + 1), р3 ь (2-3(1-2а)Э2,1/16р(р-р21)1,

р2 - (Зр-6ар-2)/С6р21(р-р21)1, (2.3)

р, - 1 - р2 - Р3.

р32 * р<1 - 68 ♦ 6а2)<р - р21)/ср21(2 - Зр21 + бар21) 1, ?31 * Р ~ Рз2*

где параметр (32, выбран из условия частичного согласования скальных ошибок, а параметр р-на основе численных экспериментов. Для контроля точности вычислений используется неравенство

~ y¿+il < (2.4а)

где с = |(!/6 - а ч а2)/{1/24 - а/2 + Заг/2 - а3)|. (2.4Ь) Здесь уп+1 - решение, полученное методом типа Розейброка третьего порядка точности с параметрами (2.3), a y¿+1 - решение, полученное.методом второго порядка вида

yn+1 " уп 4 ^Pl'^i- Dn * 1 " ahíñ» (2>Б)

»Ли - '■'ínkn2 - + 021^1 >

■с параметрами

р2'= (1 - 2а)/(2р21.), р,'= (2р21 + 2а -1)/(2р21). (2.6)

Во втором параграфе построен алгоритм ИКЗ ■ на основе L-устойчивого (ш,3)- метода вида (1.3) третьего порядка точности с аналитическим вычислением матрицы Якоби. Параметры метода имеют вид

а = 0.43586652150902,

7 = 2а(6а2 - 6а + 1)/(1 - 4а),

ci21 = (12а3 - 12а2 + 6а - 1)/(1 - 4а), (2.7а)

Р21 = а, р31 = а, р32 = 3а/(37 - 8ат),

Р3 = (3 - 8а)/(24а7|332(а + 7^32^ • Оз2 => С(1 - 4а)/(12а2р3)'- 032]/а, р2 = {1/3 - [(а + 7?з2^2 + а2Оз25Рз>/а2'

,2

(2.7Ь)

а = 10.5 - а - а7р2 - (а + 7Р32 +237032 "*ааз^)Рз1/(ар^). а31 аа" °32'

р, = 1 - тр2 - (1 + а + а21а32)р3,

причем два свободных параметра р21 и р31 вобраны из' условия внутренней Ь-устойчивости.

Для контроля точности вычислений используется неравенство

Значение целочисленного параметра выбирается наименьшим, при котором выполняется неравенство (2.8а).

••-Заметим,что при любом выборе 3 оценки ошибки, стоящие иод знаком нора, совпадаю? в смысле главного члена. В то ко время введение матрица в неравенство для контроля точности вычислений -позволяет поправить зсшгптотическсе поведение ошибки. В данном случав точно выполнено условно согласования локальных ошибок аппрогссимащз« (2.1).

В третьем параграфе на основе Т,- устойчивого (и,3) - метода вида (1.3) построен алгоритм МК23 третьего порядка точности с замораишашгем матрицы Якоби, которая вычисляется аналитически. Заметим, что Евличшш шага интегрирования при заморагзшашш матрицу Якоби остается постоянной, что упрощает исследование алгоритма. Параметры метода жеат вид

а = О.43586652150Э02,

где

р2, »г (1 - 4a)/f2(t 3a)i,

a21 * ( 15 - 6а) (2а - 1}/(1 - За)2,

032 * <3 - 8а)/П6(1 - за) (2 - 3021 + 8^)1, '

0^2 * ЗРз2(2а - 1)/(1 «За),

р « (3- "8а)/{4(1 - За)Г-p^Og,,

Р31 т Р " Рз2- <2.9)

р3 = (а - 0.5)/la.,o(p: Vac^)], Р<> « Ю.5 - (р + р.,,032 Рз2аг()р3J/p21, . . а = (-1 - а^р,, - £02^3)/^, :

«31 s а - °32"

р, - (1 +.а2))р2 - (I •, а + а для контроля'точности вычислений используется неравенство1

1ДЧ f °2" (^ri2~kri4> ^ jc1/o|e» 4Jn«2, С2лЬа1г где -kjj^ и параметр с определены' в (2.8Ь),

Ь1 » р1 - Ь. - q0(i)(Pi г ъ:)/с3(1), . 1<Ю.

1 1 1 'Л:... 1 1 J (2.10b)

b^" s b2 - с2(1^/с3а). . г

Здесь параметры b^, b^. ЦЮ, c1, с£< 1 )•; с3(1) имею! вид b3 а {(0.5 - а)р21 - 1 /3(р21 -,a)J/t<p > аа + ас^ + .'i:^,^ + Р32«21 >Р§1 " <Р21 - Ч)(р ^з^)2], Ь2 * {1/3 - t(P +*Рз2а21>2 pll^^s^pfl '

bt ¿1 - (1 ~ П + а + ^Язг^з'

а, -a +а2 -аф^ - ад)2 - (Р21 + aog, )(р32 дао^Л^,,

с2(1) « altl - Ь2 + '1 + 2а21а32>Ь3],

bg = (1 - 3a)/l6(ap'+ а2а + За2^^ + (2.10с)

- + 2aP21C»32 + 2аРз2а21 + Р21?32)]» '

- [0 5 - a - (р + аа ■* гас^с^ + Р2'1а32- +

+ ^32а21)Ь3]/(Р21 " а)' Ь} = 1 - (,1 + ct21 )b£ - (1 + а + ^a^Jbg,

,с3<1) в 1/6 - '+ -{(() 4 Р32а21)2 н

где 1 - число иагов с замороженной матрицей.Якоби. Смысл параметра ;Ц тот.»9, что я в неравенстве (й.'За). Попытка замораживаний матрицы Якоби" осуществляется'после каждого шага,. Четыре причины приводят:к ее разморакквани "[Новиков Е.А. Однопгговде безитерационные метода ре' ->ная жестких систем. Автореферат дг-с.докт.физ.-мат, наук.-Новосибьрсн.-ВЦ СО РАН, 1991.1: • 1) в случае повторного вычисления решения при нег.тюлнешгл .точности;

2У: если прогнозируешй тэг бг-пше произведения некоторой постоянной Нг,' , на величину предыдущего шага, то есть ь-.ли иаг достаточно быстро возрастает;

3) >есля . кож .ество шагов с ' замороженной 'матрицей достигает своей»'максимального значения' аг;

4) если Ип(1)В>»еп(2)||. ^(Зц) = О^п еп,

Поггзшм .эследнюи '-ричинутлзмогщзниватя более подробно. Из •результатов численных расчетов следует, что оогпно' еп(2) игшс-ляется либо при резком.увеличении'величины шага интегрирования, либо при невыполнешщ точности при' быстром изменении решения. Если матрица Якоби'вычв^бяется каждом шаге, то ^(2) оолее ^очно отрагаэт асимптотическое поведение ошябкг. й ее использование 1юзв6лявт избекать неоправданных возвратов при резком увеличении величины шага интегрирования. Однако, если используется матрица, вычисленная неск чько шагов назад, то оценка ошибки еп(2) может оказаться хуяв еп(1) за .счет применения "испорченной" Цатрицы.. Поэтов, если 8^,1)1 > 1^(2)8. 'неравенств (2.2) выполняется прч Дп 2,. то далученное .¡риблюхениё к решению принимается, но. следующий иаг выполняется с ГОрЗЕЫЧИСЛЭННОЙ матрицей .Якоби. • ■

Четвертый' параграф посвящен построе-чда алгоритма с примздэ-нием явнот"? и Ъ - устойчивого методов, с автоматическим выбором чиспенной схемы. ■

. .Методы на ослове явных формул по вычислительным затра~чм на шаг обладают преимуществом по сравт^нию с алгоритмами на оспог.и неявных или толуявных схем. -Поэтому там,, где устойчивость нч ■влияет на размер шага, боле<> е,:.тественно применять алгоритмы на

Л|.чцл схемах.-Там же, где условие устойчивости накладывает ограничения но шаг, целесообразно использовать Ь-устойчивые формулы, ч'аклм образом эффективность алгоритма интегрирования может быть достигнуть за счет расчетов переходных участков по явным методам, которые не предполагают вычисления н обращения матрицы Якоби. В качество критерия перехода с одной формулы на другую' естест-панно исгккпковать неравенство для контроля устойчивости.

Вдесь построен алгоритм ИШК23 третьего порядка точности на основе - устойчивой схемы (1.3) с замораживанием матрицы и яг,-.!Х'о метода типа Рунге-Кутта

VI с уп + ¿РАг

ШГ(УП>.

М(уп +

*п1

" М(уп +

к^ = ПГ(Уп + Р2Аи>'

+ Рэг^й**

РлЛи + Р425{п2 + ^43к113)

(2.11)

с; 1 шраме трами

р21

а 1/2,

Р31 * 1/2 ~ 12с44- Нг = Р43 = 1, Р4 = 1/6. р2 = 2/3 - р3, р, = 1/6 и цораБбно'пюм для контроля точности вычислений т1! < !144с,А/{1 - 24с.

12с

44-

= ^42 = р3 , 1/(72са),

(2.12)

(2.13)

ад.)сь с44 - вычисляемый параметр, выбором которого мокно влпятъ ни фо(му и размер области устойчивости. . В конкретных расчетах полагали 0.04, так как в атом случае схема (2.11) шзег цочти максимальный интервал устойчивости. Неравенство для контроля устойчивости имеет вид

п; .<2.14)

ГА° ^кшг (к»3 " !5п2 Н^ъг - Ы'мго.

44'

Здесь Ои,

оценка максимального собственного числа матрицы Яко-а иолоштельная постоянная Б связана с размером области

"44

Переход явной схемы на схему (1.3) осуществляется в елучаэ нарушения (2.14), то есть когда шаг по- точности схемы (2.11) больше шага по устойчивости. Обратный переход происходит в

случае, выполнения аналогичного неравенстьа, построгндого с использованием стадий метода (1.3).

В пятом параграфе на основе Ь - устойчивого (т,3) - метоца (т»7) вида

7

Уп+1 ° Уп + ¿РЛй' ■

аМ,

п'

^4 " + 041*111 + Р42*п2 + ^431<п3> «Аз' (2'15) я М+Р52кп2+Р53кпЗ+%4кп4 »«¿»Ли •

»П^б " *п5 + аб4*п4'. " ^б'

где матрица Ад прдставима в виде (1.5), построен алгорит,;. ШШ четвертого порядка точности с замораживанием матрицы Якоби, которая может вычисляться как аналитически, так и численно. Тая^е количество стадий дает минимальное число слагаемых в главном члене локальной ошибки аппроксимации (ш.З) - метода при условии заморашвания матрицы Якоби. Параметры метода имеют вид

а я 1.7443643426808,

Ь1 = 0.6 + У5/10, С1 = 0.5(3 - 4Ь1)/(2 - ЗЪ, ). Ир, = (2,-ЗЬ1)/Г6с1(с1 - Ь^], 1Ц = (1/2 - с^,,)/!),.

Н1 > 1 " % " Н11 - Р54 * '/(бЬ^,,).

с2 = (3 - 4С, )/[24аИ11 (01 - Ь,)), Ъ2 -с^^/Н^,

И12 = (1 - 2Ь, )/[12ас1 (с, - Ь1) 3, = -с^^/Ь,,

£¡2 = - V"" н12* ' Н13 а (2 - 5Ь1)Ч20а2е1(с1 - Ь^)],

Ь3 = (с,/24 - 1/30)/1а2(с) - Ь^йб1«

с3 = 11/24 - а2^!^ - ар54(Ь, + Ь2)Я,, 1/(а2П,,),

Нд = С1/24 - а2с1И|3 - ар^ЬЛЙ^ 1- П12)1/(а2Ь|), Ид = -'Нд - Й13,

й14 ~ Н11 " зк12 + ЗК13'

Р43 - ь3 - 2Ь2 + ь,, р42 = -2ЬЛ - 6Ъ, - . ^41 = ^3 ~ 3^2 4 ' ~ ^13 ~ ^ ' Гц •

Т>6 = -2К13 + 5й12 " ЗНТ1' Р» = Н13 - ЗИ!2 ЗРЧ I<

- 13 - -

П.16ч)

ег

«64 = '«13% " ~ «12% " Щ^У'Яг - и» № . .

*54 = 1ЕТ ~ % - а64<Н12 ~

Р4 = Г!6 аЬ4н11 - - Н13 - гпи У'

IV, ' зп,. + н6 -п а54р.г,

й4 ? [а/6 -1/24 + 02^2)3/3'-- ^ - Яи,

»43 (Г14; " % " Н1 )"'/Н9» ' (2'16Ъ)

рэ.= Б3 - ^ о.4з(Нб + н/ + %).

<р2 = - П, - а>3(?Нб4Ег) -2р3, р, -"Н, -а43Й6 ^р? ~Р3.

я аз'~2гг * -ЗРб4«43' %2 = с2.;.°1 ' .%4«43. ~''Р531

• к С1 " 1%4а43 ^54 ~ ?53 ^52'

и для контроля точности используется нераг-'шствс

. ( 1[' (^пз-г1<п2+кп1 >~(1спЗ"*г1сп2+1<п1 >1 а3/сIе' , (2Л?)

* ' 1 ■ I .

где с = 14.462565174111, Смысл параметра , тот кэ.

что и в неравенстве (2.8а). ••;• '

• В шестом параграфе приведены 'р зультаты расчетов десяти тестовых примеров. из химической кинетики. Сравнение построенных алгоридачв проводилось с-, алгоритмом переменного порядка и шага AJ.ii на основе методов типа Розенброка о первого по трети!! поря-до, шоио лтолыю; с методом Гира ОЕАД.ШЛЗ; с более поздней версией метода Гира '1£0Ж и алгоритмом -1£СЩ. В последнем реализованы методы типа Адамса с первого по двенадцатый- порядок и метод;: Гира с первого по пятый, порядок включительно, причем выбор подходящей численной схемы, осуществлялся .автоматически. Расчеты проводились.с требуемой точностью 10~2, 10~4 для алгоритмов третьего порядка, а также с точностью Ю~6 для алгоритма четвертого порядка, Результаты расчетов приведены'^ таблице I, где через 11(13) обозначены суммарной число вычислений правой час. 1'и матрицы Якоби, соответственно. Нрочер1ш в таблице означают, что в соответствующе?, работе данные не приведены.

Из анализа результатов тестовых расчетов сделан вывод о том, что на трех тестах из десяти (Ш 2,8,у) алгоритмы аЕАй.ида. Ц)ОЦ7' и ЬЗОРА эффективнее построенных алгоритмов. Это связано как с нолоютедышми собственными числами матрицы Якоби в одно,,!

нз них, так и с быстрыми переходными процессами в коти ¡шторьа ла интегрирования в двух других.' Причем именно на эти '^стн приходятся основные вычислительны» затраты при просчете их люб) ¡ми алгоритмами. В связи о этим в последних пяти строка тайпЛ приведены суммарные затраты бел учета примеров 2, 8 и v..

'П плица I

Суммарные затраты

3 а т р 9 т ы

АЛГОРИТМ _ 10 ^ I ю-4 10" -6

и 1Г и и 1.1

11033 МКЗ шйз ккмкгз

А1Я

нюжгз*.

ЬЗОБА* ШИ4*

вш.шз*

188

241 163 366 60 68 92 87

84

759 864 1072 799 782 198 555 366 470

239

687 791 485 402 960 72 83 99 113

116

2703 2817 2087 2162 2500 398 831 1355 930

5-0

2238

153 147

9544

4660 1515

Из анализа табл.1 мокно сделать следующие вывода. Алгоритм ШБЗ при выполнении требуемой точности вычислений не хуже алгоритма 1ЖЗ, хотя для него не удалось согласовать локальные описки . аппроксимации как в (2.1.). Алгоритм ИКйЗ с замораживанием матрицы Якоби при точности вычислений Ю-4 эффективнее алгоритма ;ЖЗ без замораяивапия матрицы Якоби в 1.5 раза, хотя при точности Ю-2 несколько ему уступает. Это объясняется быстрым ростом шага интегрирования, в результате чего матрица Ягобн н? замораживается. Алгоритм НКМКЗ на неоднородных схемах эффективнее алгоритма ИК23 по числу вычислений матрица'ЯкоСи.

Все построенные алгоритм третьего порядка точности эффективнее алгоритма переменного порядка и шага АЬа по числу вычислений матрицы Якоби. Так, лучший из них, алгоритм ПКЖг,5 эффективнее АК по числу вычислений матрицы Якоби в 2 рагэ, е. то время как число вычислений правой части у обоих алгсритчщ. примерно одинаковое.

алгоритм' HKMKZ3 на тестах 1, 3-7, 10 эффективнее алгоритма 1Д';ЩА по чЛолу вычислений правой части в 2.6 раза, в то время как число ¡«числений матрицы Якоби у этих алгоритмов примерно одинаковое.

Алгоритм MKZ4 на тестах 1,3-7, 10 по числу вычислений правой час ii« уступает алгоритмам GEAR.REV3 и LS0DE в 1.5-2 раза при точное.:! вычислений Ю-4 и алгоритму GEAR.REV3 в 3 роза при точности .•кГе, хотя число вычислений матрицы Якоби у всех трех ялгоритмог ¡фимерно сдиноковое.

Тецсим стразом, построенные алгоритмы являются конкурентно-слособными у известными методами.

В закаочениг сформулированы основные результаты, которые сводятся к следующему.

1. Исследованы (га,3) - методы решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравненией. Показано, что в классе (т,3) - методов нельзя построить численную схему выше пятого порядка точности без замораживания матрицы Якоби и схему выше четвертого порядка точности с замораживанием.

2. Построены А- и L- устойчивые (ш,3) - методы оптимального порядка точности.

3. Разработаны алгоритмы интегрирования с замораживанием матрицы Якоби, которая может вычисляться как аналитически, так и численно. Создан алгоритм интегрирования на неоднородных схемах, в котором пэреход с одной численной формулы на другую осуществляется из условия устойчивости.

4. Привел .чы результаты расчетов, показывавдие эффективность построенных алгоритмов.

Ь приложении 1 пркведеш тестовые примера, на которых численно исслодокались построенные алгоритмы.

b прилокешш 2 приведены результаты расчетов трех ' практических задач из химической кинетики.

Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность научным руководителям д.ф.-м.н. Е.А. Новикову и к.ф.-м.н. Г.В. Демидову за постоянное внимание и помощь в работе.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах.

1. Голуапсо М.И., Демидов Г'.В. Оптимизация алгоритма выбора величины шага интегрирования в методах типа. Розенброка третьего порядка точности // Числ. мтоды мех. сплошной срвгак; Новосибирск, 1985. - T.I6. 3. - C.I0-2I.

2. Новиков Е.А., Голушко М.И., Шитов Ю.А. Агироксляшгал матргды ЯкоСи в (m,k)~ методах третьего порядка точности. Красноярск, 1991. - 36 с. - (Препрхтт/ВЦ СО РАН; N II)

3. Новиков Е.А., Голушко М.И. Исследование (п,,3) - методов решения eoctkiu систем // Численные методы механики.сплошной среда-/ Тез. докл. IV Всесоюзной школы молодых ученых (п.Дюрсо 26.05-31.05.92 г.) / Красноярск, 1992. - С. 2?,-34.

4. Новжов Е.А., Голушко М.И. Построение (т.З) - методов .решения кестклх систем ютвертого порядка точности. Красноярск, I9S2. - 27 с. - (Препринт/ВЦ ПО РАН; N 4).

5. Новиков Е.А., Голушко М.И. Исследование (m,k) - методов решения кестких систем с тремя вычисления?®! правой части. Красноярск, 1992. - 46 с. - (Препринт/ВЦ СО РАН; N 5).

^¿Ñ.i-'íu.rtO <1

Голушко М.И. Исследование

(М.З)

- методов решения жестких систем.

Подоясйгдо » печать 28.04.93г. Усл. печ. л. I. Тираж 100 вкз. Заказ ю5,

отпечатано на ротапринте КрПИ. 6""'0074, Красноярск, ул. Киренского, 26.