автореферат диссертации по разработке полезных ископаемых, 05.15.08, диссертация на тему:Исследование кинетико-энергетических характеристик измельчения руд с учетом механики движения измельчающих тел



^ ~ На правах рукописи

о

\

ТУМАНОВА КАРИНА ВЛАДИМИРОВНА

/ЧАдж

ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕТИКО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ РУД С УЧЕТОМ МЕХАНИКИ ДВИЖЕНИЯ ИЗМЕЛЬЧАЮЩИХ ТЕЛ

Специальность 05.15.08 - «Обогащение полезных ископаемых»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт- Петербург 1998

Работа выполнена в Санкт- Петербургском Государственный горном институте им. Г.В. Плеханова (техническом университете).

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Тихонов О.Н.

Официальные оппоненты: доктор технических наук

Биленко Л.Ф.

кандидат технических наук Бортников A.B.

Ведущая организация: АО « Апатит».

Защита состоится "/S " 1999 г. в часов

<3 О мин. на заседании диссертационного совета Д 139.02.01 при АО «Механобр Инжиниринг по адресу: 199026, Санкт-Петербург, В.О. 21 линия, д. 8а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке АО «Механобр Инжиниринг».

Автореферат разослан " /J г.

Ученый секретарь / -у

диссертационного совета, к.т.н. J& <у> Отрожденнова JI.A.

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Поскольку затраты на процессы рудоподготовки составляют до 70 % всех затрат на обогащение, то применение наиболее эффективных и экономичных способов измельчения, упрощения схем имеет важное промышленное значение. Поэтому оптимизация грансостава продуктов измельчения и мтшмизанш энерг озатрат играет важную роль при проектировании, выборе наиболее подходящих схем измельчения. Используемые в настоящее время теории и уравнения, определяющие грансостав продуктов измельчения и потребляемую при этом мощность, содержат недостатки, которые вызывают расхождение теоретических и практических данных. Нами были устранены некоторые недостатки существующих теорий, что позволяет получить в дальнейшем более точные результаты при описании кинетики измельчения и определении энергозатрат.

Цель работы: определите гранхарактеристпк продуктов измельчения с учетом степеш! заполнения ср измельчающими телами и количества материала М в мельшгце; определение характеристик энергопотребления при измельчении руд и разработка элементов теории однослойных одноразмерных шаровых цепочек.

Основные задачи. Для достижения поставленной! работе цели требовалось решить следующие задачи:

- получить уточненное интегро-дифференциальное уравнение кинетики измельчения с учетом таких основных характеристик процесса измельчения ,как степень заполнения <р коли/честно материала М,

- разработать модель измельчения гетерогенного сырья,

- разработать подход по определению мощности й энергии с учетом дифференциальных распределении материала по крупности п прочности,

- разработать элементы теории однослойных шаровых цепочек с позшрш теории сыпу чих сред.

- разработать компьютерные программы по определению дифференциальных и суммарных энергий измельчения; статики и динамики шаровых цепочек.

Научная новизна. 1. В уравнение кинетики «змелленпя, »ч отличие от существующих, введен функциональный параметр 0, учитывающий влияш!е степени заполнения ср барабану мельницы

измельчающей средой и количества твердого материала М, находящегося в мельнице.

2. Разработана методики количественной оценки кинетических функций отбора и разрушения для различных типов руд, а также определения полезной мощности и энергии измельчения с учетом степени заполнения ср и количества материала М.

3. Разработаны на базе теории сыпучих сред элементы теории одноразмерных однослойных шаровых цепочек, являющихся основными составляющими шаровой нагрузки.

4. Разработан (в соавторстве) компьютерный пакет программ для расчета энергетических характеристик , а также статики и динамики однослойных шаровых цепочек.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались следующие методы: математический анализ продуктов 1-й и 2-й стадий измельчения Гайского ГОКа, математические методы планирования и м од ел ир о в а ни я эксперимента, лабораторные исследования процесса измельчения, обработка данных на ЭВМ, программировать на языке Turbo Pascal 7.0, QBasic 4.0, использование пакета программ UniCruGr.

Основные положения, вынесенные на защиту:

- в уравнение кинетики измельчения введен, в отличие от существующих, функциональный параметр ©, учитывающий влияние степени заполнения <р измельчающими телами и количества материала M в мельнице; построена графическая зависимость параметра 0 от двух переменных -ср и М;

- получено уточненное интетро- дифференциальное уравнение Загустина А.И.; выведены уравнения для прогноза полезной мощности и энергии с учетом гранхарактернстик материала и прочности сырья;

- разработаны элементы теории однослойных шаровых цепочек; были подучены: условие наличия свойств плоского тела у шаровых цепочек; формулы для расчета сил , реакций и движущих сил; закон изменения скорости и времени скольжения цепочки вниз до угла останова.

Практическая значимость работы. Полученные теоретические закономерности служат основой для уточненного прогноза гранхарактернстик продуктов измельчения с учетом степени заполнения (р мельницы измельчающей средой и количества материала M в мельнице, определения расхода электроэнергии при

измельчении; для разработки основ теории двухслойных и многослойных шаровых цепочек, из которых последняя будет наилучшим приближением - моделью шаровой нагрузки. Полученные результаты используются в качестве методического материала при чтении лекций по темам «Основы обогащения полезных ископаемых», «Дробление, грохочение и измельчение полезных ископаемых», при проведении спецкурса.

Степень обоснованности научных положений и выводов. Теоретические положения и результаты, полученные на основе предложенных в работе теоретических разработок, показывают хорошее совпадение с промышленными данными. Относительная погрешность при расчетах кумулятивных характеристик «по минусу» для двухстадиальной схемы измельчения Ганского ГОКа состав1иа: для 1-й- стадии 1-2 %, для 2-й стадии 1-7,02 %. Максимальная погрешность эксперимента по определению числа шаров, нарушающих равновесие цепочки составляет 1 шар. При определении утлов останова расхождение между теорией и экспериментом составило 2-3,5 %.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научно- технических конференциях молодых ученых в Горном институте, Санкт- Петербург (1997, 1998 г.г.), II Международном кошрессе «Проблемы комплексного использования руд», Санкт- Петербург, 1996 г., IV Международном форуме «Горное оборудование, переработка минерального сырья, новые технолопш , экология», Санкт- Петербург, 1996 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 тезисов докладов на научных конференциях, 2 статьи.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, библиографического списка, включающего 123 наименований. Диссертация изложена на 129 страшщах машинописного текста и содержит 36 рисунок, 32 таблиц и 10 приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

1. Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи исследования, защищаемые научные положения, указана научная новизна и значимость работы.

2. Вторая глава посвящена аналитическому обзору и анализу состояния проблемы определения гранулометрического состава

продуктов измельчения; формул, используемых для расчета энергии, расходуемой на дробление; вопросам механики барабанных мельниц. 2.1. Впервые А.И. Загуспшым была предложена теория, дающая возможность вычисления характеристик прод)тстов измельчения. Однако он не учел ряд важных факторов, что вызвало значительные отклонения от опытных данных при исследовашш процесса мокрого измельчения в шаровой мельнице. Большой вклад в исследование этих проблем также внесли С.Е. Андреев, Л.Ф. Биленко, Е.Ф. Морозов, В.А. Олевский, О.Н. Тихонов, С.Ф. Шшпсоренко. Нами уточняется уравнение кинетики А.И. Загуспша путем учета влияния не только таких основных технологических характеристик процесса измельчения, как степень заполнения ср барабана мельницы измельчающей средой и количество материала М в мельшще, но и прочности перерабатываемого сырья

2.2. Анализ законов дробления позволил остановиться на рассмотрен™ закона Бонда, как наиболее подходящего для исследуемой нами схемы измельчения. Кроме того, при энергетических расчетах исходный и конечный материал оценивается нами не одним «крупносшым» числом 1=сош>1, а дифференциальными распределениями у(1).

2.3. Используемая формула Дэвнса базируется на рассмотрении шаров как материальных точек, что ,в конечном счете, ведет к рассмотрению закономерностей движения шара как плоского тела. Кроме того, им не учитываются силы трения шаров о футеровку мельницы, что не позволяет объяснить , в результате действия каких сил тело любой формы может попасть в точку отрыва. Далее он принимал, что скорость и угол отрыва одинаковы для тел разных размеров и форм, что противоречит физике процесса. Далее в теорш! Дэвиса отождествлены линейная скорость вращения барабана мельницы, необходимая для подъема в любую из точек отрыва с начальной скоростью, которую имеет тело в момент отрыва. В результате этого, Дэвисом была создана приближенная модель закономерностей движения одшючного тела по внутренней вращающейся поверхности барабана мельницы, и распространенная им на всю шаровую нагрузку. В работе Левенсона Л.Б. были введены в формулу Дэвиса силы трения одиночного тела о поверхность цилиндра. Им получена формула для определения максимальной скорости движения одиночного тела, которая в 1.^¡п<р, больше, чем

это следует из формулы Дэвиса при у Однако в дальнейшем

при определении полезной мощности он использовал за основу классическую теорию Дэвиса.

В результате этого нами предпринята попытка создания элементов теории однослойных шаровых цепочек, являющихся основными составляющими шаровой нагрузки, с учетом сил трения, размеров барабана мельницы и шаров, находящихся в цепочках. Полученные нами результаты уже позволили ответить на ряд принципиальных вопросов теории механики барабанных мелыпщ.

3. Основная цель третьей главы- уточнение и развитие уравнения кинетики измельчения Загуспша А.И. с учетом технологических характеристик процесса измельчения- степени заполнения <р и количества материала М в медьшще.

При проведении экспериментов по исследованию процесса измельчения медно-шшковой руды Гайского ГОКа на мельницах МСЦ -3,2 • 4,5 и МШЦ- 3,6 • 4,0 было отмечено влияние на полученные результаты степени заполнения барабана мельницы измельчающей средой ф и количества твердого материала М, находящегося в мельшще.

Это обусловило введешге в теоретическое уравнение кинетики параметра ©, являющегося функцией двух переменных ф и М, и построение графической зависимости этого функционального параметра 0 от степени заполнения ф шарами и количества материала М на основе полученных результатов, изображенной на рис. 1, что не учитывалось в известных уравнениях кинетики.

Эта зависимость была описана уравнением поверхности второго порядка для эллиптического параболоида следующего вида:

©"©тах =-к1(М~М0)2 ~к2((р-<р0)\ (1)

где М0 и <рй - значения количества материала и степени заполнения соответственно, при которых функциональный параметр 0 достигает своего наибольшего значения 0тат, к1 = 0,0011 и

к2 = 3,11 - коэффициенты крутизны, характеризующие зависимость количества материала и степени заполнения, соответственно, от функционального параметра 0, т.е. 0 = /(М) и 0 = Сказанное выше позволит уточнить теоретические

закономерности, необходимые для создания модели процесса измельчения.

1п

0.9 0.8 0.7

Коэффициент 0.6 ©, доли ед. °-5

Количество материала М.т

Степень заполнения

Ф,%

Рис. I. Зависимость коэффициента © от степени заполнения мельницы измельчающими телами н количества материала в мельнице.

При этом функция скорости разрушения Г (Я ) приняло вид уравнения (2):

Л(Л)=/(Л).в ,Ч> (2).

Для функции относительного цотн, 1 /(ч- мкм) и абсолютного Я(Н,гД) распределешм потоков, 1/ (ч- мкм2 ) получены уравнения (3):

дк(Яг;)=/к(Куг^(Кг)-г(т (3)

где у (Я ,0- дифференциальное распределите частиц по

крупности Я в момент времени I, мм есть

дифференциальная характеристика мелочи, полученной в результате

дробления частиц крупностью Я, мм .

С учетом уравнений (2) и (3) нами было получено уточненное интегро- дифференциальное уравнение Загустила (4) для дифференциальной характеристики крупности:

где у(/ ,1)- дифференциальная характеристика крупности материала в момент времени г, причем 0 < I < I тах , мм ; ^(Я) или Гк( / )- относительная скорость разрушения кусков крупностью И или / ,ч; у (КО- дифференциальное распределеш1е частиц по крупности / в

момент времени I, мм 1.

Физический смысл уравнения (3) : скорость изменения доли узкого класса равна разиосш притока в него из более крупных

классов Л>1, что оцешюается интегралом в правой части уравнения, и оттока из него в более мелкие г<1 классы (второй член правой части уравнения), т.е. Г( / )у( / Д),что не учтено в модели Загусхтша.

Уточненное уравнение кицетшш А.И. Загуспша(4) может принять более простую форму в впде уравнения (5):

^ = ]Чк(Щ,т-\Як(Шу}г =

а I О I о

Для прогноза кумулятивной характеристики «по минусу» Гм{1) для замкнутого щпша измельчения уравнение для стационарного режима имеет точное математическое решение, доли ед.:

р = _(6)

где М- масса материала в мелыпще, т; Оис* ,0м - производительность по твердому в питашш и в разгрузке мельницы, т/ч; /хх(1) -кумулятивная характеристика «по ттусу» в питашш мелышцы, доли ед. ; ес{1) - сепарашюнная характеристика эффективности классификащш, доли ед.; относительная скорость

образования мелких классов нз крупных, 1/(ч- мм).

В частном случае для мельницы, работающей в разомкнутом цикле, для готового продукта получено :

1 1

\<и

.0 . \ .

г АО = 1 - [1 - Глит (/)] / [1 + м е.-'б-ж.* (О]. (7)

где Гпшп (/) - гранхарактеристика питашш мельницы.

При оценке мощности и энергии, затрачиваемой на измельчение, повышения точности оценки можно достичь путем учета изменения гранулометрической характеристики у( I) измельчаемого материала. Суммируя элементарные мощности по всем парам классов сШ. и с!г в полном диапазоне крупности частиц [0, / получили полную мощность N (Вт), затрачиваемую в момент I на измельчение всей массы частиц:

N(1) = М ■ пк{1{,г)с1г= М • =

0 0 0 0 ,

(8)

о

я

где дг /р\_Г (т> г\г1 - мощность раскалывания 1 кг

** стик\К } - | Потпк (Л,1)иГ

о

частиц крупности И. (в результате получается 1 кг частиц с характеристикой увтоР(Я, г)), Дж/с-кг; пк (/2, г,г) есть плотность распределения мощности по парам классов [Я ,К+ <Ж] и [г,г+ Л], Дж/с-мм2-кг.

Ниже предлагается и в определенной мере развивается новый подход, в котором исходный материал и конечный материал оцениваются не одним « крупносгным» числом / =сош1 ( ! кон и / исх), а гранулометрическими характеристиками - дифференциальными распределениями уГОт( 1 юн) и уИох( / исх). Затраты энерпш на разрушеш!е куска размфа I исх до размера / кон учитываются в виде той или иной функции Е (/

ИСХ, / кон ) аргументов / ИСХ , * КОН. Заметим, что две переменные крупности (I Исх и / он) вводятся здесь вместо одной (/) только для удобства различения частиц исходного и готового материала.

Одним го вариантов такого учета может быть следующая интегральная формула:

= I ГшнОхон)'

ГисЛ1исХ)Е(1исх,1КОН )<*/„

(9)

где / „ex- переменная крупность исходного материала 0< / Исх< / пс.х шах, мм, днем; / кон- переменная крупность конечного материала 0<

/ кон П1М , мм, мкм; y„cx( / ии) и 7кон( / кон) - дифференциальные распределения массы частиц исходного и конечного материала по крупности, 1/мм, 1/мкм; Е( / исх, / кон)- энергия, затрачиваемая на превращение единицы массы (1 т) узкого класса исходного (/ исх, / исх +d/ исх] в единицу массы (1 т) узкого класса конечного продукта [ / кон, /кон + d/кон]; Ev- есть суммарная полезная энергия превращения единицы массы (1 т) исходного материала, имеющего гранулометрическую характеристику уИсх(/ исх) в единицу массы (1 т) конечного продукта, имеющего 1ранхарактеристику уКон( I Кон), кВтч/т.

Заменяя в формуле (9) шггегралы на суммы, получим

где ¡=1,2,..„и- номер класса крупности в исходном питании; j=l,2,....,m- номер класса крупности в готовом продукте; у,Исх =уНсх( / ¡исх) А / ¡исх -выход ¿-го класса исходного питания; у^он= укон( / ^оН) -Д / ^он-выход j-гo класса в готовом продукте; Ец =Е( / ¡ИСх , / ^он )- значение для энергофункции в серединах 1-го класса исходного питания ( / ¡исх) или ^го класса готового продукта (I ^т).

Введение функционального параметра ©, учитывающего степень заполнения мельницы измельчающей средой и количество материала в мельнице , в уравнение кинетики и построенная зависимость 0 = /(<р,М), а также оценка исходного и конечного

материала не одним «крупностньш» числом / =сопб1, _ а гранулометрическими характеристиками - дифференциальными распределешIям11 уКОн( / ) и уисх( /), позволит более точно прогноз1гровать не только изменение гранулометрического состава материала с течением времени, но и расход полезной энерпш на измельчение руд при их обогащетш.

4. Четвертая глава посвящена кинетике разрушения нолиминеральиого сырья. Для этого при описании смеси частиц учитывается не только крупность / (мм), но и их прочность с,. Мерой % может быть взята любая физическая вешгпша, прямо или косвенно

Е,

'2

(10)

оценивающая прочность. Например, удельное сопротивление сжатию (МПа); удельное сопротивление разрыву (МПа); удельная энергия, потребляемая для такого превращения (Дж/кт) и т.д. Уравнешгя кинетики измельчения, составляемые с учетом идеи А.И. Загустина, являются математически строгими для любой выбранной мерьг прочности

Для характеристики смеси частиц измельчаемого материала вводится дифференциальное распределение часпщ по крупности и по прочности - грануло- прочностная характеристика у г „(1,4,0 < такая,

что число угл(1,4)ёЫ4 равно массовой доле часпщ с крупностью

(/,/+ й.1) и прочностью в измельчаемой смеси. В ходе

измельчения отдельные частицы смеси разрушаются и «порождают» частицы другой крупности (и другой прочности), в результате функция уг„(1,4) Деформируется с течением времени (см. рис. 2). На рис. 2 на осях X отложена крупность часпщ в мм, на осях У-прочностъ частиц Рассматривали поток массы часпщ (рис. 2а) из узкого крупного класса (НД+Ж) и из той его часта , прочность которой лежит в узком диапазоне (К,К+с1К), в ту часть более мелкого узкого класса (г ,г+ с1г), прочность которой лежит в диапазоне (к,к+<1к).

Рис. 2. Поток питающей фракции Жс1К к питаемой с!гс1к (а) и области интегрирования в грануло-прочностных уравнениях кинетики (б).

Лг

Ж

ая

Г+ 1,мм

,мм

На рис. 26 показано секундное изменение количества материала в квадратике сНё^. Приток в него идет из подобласти 01; отток из него идет в область 02. Такое расположите областей притока О] и оттока соответствует условию, при котором любая частица при раскалывании « порождает» более мелкие частицы и более прочные.

С уче-гом этого уравнение кинетики обобщается к граиуло-прочностному уравнению вида:

Функция у (R, А", , к) характеризует дифференциальное

распределение по крупности г и прочности к совокупности чаепщ, получаемых в результате дроблатя чаепщы исходного размера R прочностью К. Функция fk(R, К) равна относительной скорости измельчешш узкого класса - элемента dR.dK. (с"1).

Решение уравнения (11) предсказывает функцию угп(1,^,1) для t>0 по известной характеристике исходного сырья у г „(1,^,0) при

t=0. Если все частицы имеют одинаковую прочность £ = const, то полученное уравнение приводится к виду (4).

Рассмотрим подход, позволяющий предсказать мощность и энергию при дроблении и измельчешш смеси частиц, различающихся не только крупностью 1, но и прочностью q. Введем характеристики Yr.n(l .с,) взамен обычной гранулометрической характеристики у(1). Для расчета мощности н энергии измельчения введем понятие E(R,r,c), Дж/кг - энергия для превращения 1 кг частиц прочностью с, и размером R в 1 кг часлщ меньшего размера г той же прочности с,.

Суммирование элементарных мощностей дает полную мощность в виде тройного интеграла, Вт:

I R *

N {t) = М • f dR\dr'\Y{R,Z,t)q.mHk{R,r,4)E{R,r,£)dZ>(n)

о о i„i.

Для вычислашя надо знать три функции у, qomH ь Е. Первые две (у и qomn) получают из закономерностей кинетики измельчения, т.е. из уравнения (4).

5; Пятая глава посвящена изучению статики и динамики однослойных одноразмерных шаровых цепочек. Изучение статики и динамики шаровых цепочек требует прежде всего построения их модели, которая позволила бы математически описать задачу и определить в первом случае - силы и реакции, действующие в

неподвижных шаровых цепочках; а во втором - законы их движения, т.е. параметры движения в любой момент времени.

Было получено условие (13), при выиолнешш которого применительно к каждому шару непочки, последняя будет вести себя как плоское гело, т.е. шаровая цепочка в случае движения вниз по поверхности цилиндра будет только скользить:

Нп < = <>„ + Р, )-соз2 а 0 ,(13)

Для проверки выполнимости этого условия необходимы формулы доя расчета ве.шчин реакции Я и сил давления Р. Доказательство этого условия позволило рассматривать движение шаровых цепочек как плоских тел, что значительно упрощает дальнейшие расчеты сил, реакций, движущий сил, дшшмики шаровых цепочек.

Рис. 3. Равновесие шара в цепочке ( к выводу общих формул для расчета сил и реакций, действующих в однослойных шаровых цепочках).

Выведены общие формулы для расчет а сил Р(П-1,П), реакций Ил и движущих сил Бд, действующих в несимметричных шаровых цепочках .вращающихся вместе с поверхностью цилиндра и покоящихся по отношению к ней, вида :

общая формула для расчета реакции Яп на любой, кроме первого, шар цепочки

cosip-sm[2(jV - л + l)a0 + a"]+ /l-sm2al, -cos<p " '•£

,(14)

+ F, С.

2М"

(1+£>)„„.;

общая формула для расчета реакции на первый шар цепочки яп[(2Л' - 1Н+а"] + ип <% ■ /¿[В]"2 ■ Е 1-7---^ ¿[«Г2 >(15)

¡=2 ] + Ч (=2

общая формула для расчета аш давления Р(„.1,П) между любой

парой шаров цепочки

(л-1

„, = 2 - А I [ВГ'-Е + F4. sin - А -I [В ]'-* , (16)

общая формула для расчета движущей силы Бд, приведешюй к первому шару цепочки

где

А = -

с о s гр I

i = I

cos(a0 + q>).

/ -F,¿ [в ]'-' '<17>

В =

С =

1

D = cigctfigy,

cos(cc0-<p) ~ eos (aa-q>) 1 + tga0tg<p

E = cos[(2(iV-/) +1)05, +«" +<?]

где oto -угол между радиусами цилиндра, проведенными через точку касашм шобых рядом расположенных шаров цепочки и центр тяжести одного из них; ос,"- угол, отсчитываемый от горизонтального диаметра АС до радиуса цилиндра, проведенного как касательная к крайнему правому шару цепочки первого слоя, определяюнпш положение любой шаровой цепочки; <р- угол трещи скольжения между любым из шаров цепочки н поверхностью футеровки; Fu-центробежная сила, действующая на любой шар цепочки .

Расчетные формулы искомых вешгпш для покоящихся несимметричных шаровых цепочек могут быть получены из более

общих формул как их частный случай, когда F% = 0. Формулы для

расчета сил и реакций, действующих в симметричных неподвижных цепочках, можно получить как частный случай формул (14)-(17). В этом случае расчет сил и реактцш следует вести только для одной половины шаров цепочки, находящихся слева или справа от ВД, и полагая в них Уц = 0 и n=N/2. В этом случае, очевидно, силы давления

между шарами, находящимися слева и справа, будут равны и

противоположно направлены, движущая сила равна нулю, а силы реакщш шаров слева и справа равны.

Из анализа формулы (17) также следует, что первое слагаемое характеризует действие в цепочке сил сопротивления и движущей силы, с преобладанием последней, и имеет знак минус. Второе слагаемое характеризует только дополнительные силы сопротивления, возникающие за счет действия центробежной силы Гц, и имеет знак плюс. Т.о., только за счет действия центробежной силы возможна взаимная компенсация этих сил, когда движущая сила рд цепочки

станет равной 0, а выполнение условия р9> 0 будет условием равновесия шаровых цепочек.

Установлен закон изменения скорости скольжения цепочки вниз по неподвижной поверхности цилиндра из положения, определяемого утлом ац.м, имеющая прикладное значаще при определении потребляемой мощности при различных режимах движения шаровой нагрузки, например, позволяет определить угол и время останова шаровой нагрузки и потребляемую при этом мощность:

•2/ШШЧ^ФШМк^-

(18)

где д _ С0; К = соз(а0 - <р)

Дан сравшггельный анализ формул : формулы Дэвнса для центрифугирования одиночного плоского тела, используемая им, как, впрочем, и другими авторами для центрифугирования шаровой нагрузки:

» = , (19)

и Нашей формулы для центрифугирования однослойных шаровых цепочек:

30- g

£ s"-" cos[(2(.V - /) + !))«„ + «;'„ + p]

(20)

cos

где Rum - радиус, на котором расположен центр масс цепочек с четным или с нечетным числом шаров.

Полученная нами формула (20) отличается от формулы Дэвиса (19) наличием добавочного множителя. Физический смысл его заключается в том, что он учитывает параметры, от которых зависит критическое число оборотов: числа шаров N в цепочке, коэффициента трения скольжения f, утла а"тах и размеров барабана мелышцы и шара, характеризуемых углом а0.

6. Глава шестая посвящена расчетно- экспериментальной проверке основных теоретических положений диссертационной работы. Были сделаны следующие заключения:

• На основе полученных уравнений прогноза гранулометрических характеристик продуктов измельчения в открытом и замкнутом циклах были определены технологические характеристики Qo-mkO) на примере работы 2-х стадиального измельчения Ганского ГОКа с замкнутым циклом во второй стадии. Для расчетов использовались данные .полученные на мельницах МСЦ-3,2х4,5 и МШЦ- 3,6 x4,0 при измельчении медно-цинковой руды. Формулы дают высокую точность для кумулятивной характеристики «по минусу» LKi(l) для тонких классов. Относительная погрешность при расчетах - для 1 -й стадии 1 -2 %, для 2-й ст адии - 1-7,02 % для тонких классов.

•Разработанная на основе выведенных уравнений для прогноза полезной энергии измельчения программа ENERGY (на языке QBASIC 4.0) позволила получить следующие результаты для случая расчета 2-х стадиальной схемы измельчения медно- щшковой руды Ганского ГОКа :

для 1 -й стадии - Esigma = 1,96 кВт ч/т для 2-й стадии - Esigma = 12,38 кВт-ч/т.

Использованный компьютерный пакет UniCruGr позволил получить следующие результаты при нахождении общих энергий измельчеиия с использовашюм pacirmpemia общепршитого подхода и

кр

с приданием законам измельчения двойной интегральной формы, позволившее получить следующие данные:

Удельное потребление энергии 1 -й стадии Estage = 2,24 кВтч/т.

Удельное потребление энергии 2-й стадии Estage = 14,57 кВт-ч/т.

Результаты, полученные программой UniCruGr являются более близкими к промышленным данным, равными для 1-й стадии 2,07 кВт-ч/т, для 2-й стадии 13,67 кВт-ч/т. Поэтому, был сделан вывод, что программу ENERGY следует применять для предварительных расчетов суммарной энергии, затраченной на измельчение руд. Программа UniCruGr служит не только для более точного определения механики процесса измельчения с учетом технологических характеристик оборудовать, конфигуращш схемы, но и для уточненных расчетов удельного и суммарного потребления энергии всеми стадиями .

•Показано, что значения величин реакщш Rn и сил давления ,Рп-1.щ действующих на конкретный шар цепочки, проходят через максимум, который зависит от числа шаров в цепочках, радиусов этих шаров, а также от расположения цепочек относительно диаметра ВД. Доказано, что условие наличия свойств плоского тела для шаровых цепочек (13) выполняется для всех цепочек с числом шаровг больше 15. Поскольку в реальных условиях число шаров в цепочках значительно больше, а для шаровой нагрузки оно составляет десятки тысяч, то везде далее для шаровых цепочек в качестве определяющих будут свойства плоского тела.

•Решена также задача , имеющая теоретическое значение, об определении числа шаров, нарушающих равновесие цепочек с радиусами шаров Ri=8,75 мм, Ri=7,5 мм и Rj=6 мм . Важность этого обусловлена возможностью проверки теоретических выводов с помощью эксперимента. Из анализа следует, что наибольший запас устойчивости оказался у симметричной цепочки с максимальным радиусом шаров Ri =8,75 мм, tjk. чтобы вывести шаровую цепочку из состояния равновесия следует приложить большие силы, чем для двух других цепочек. Погрешность между теоретическими и экспериментальными данными при определении максимального числа шаров составляет 1 шар, что вполне удовлетворительно для данных условий эксперимента.

•Сделан важный вывод о том, что подъем шаровых цепочек в верхнюю точку В вертикального диаметра ВД возможен только при условии центрифугирования последних, т.е. при скоростях V>Vmax. И, следовательно, несостоятельным оказывается положение теорш!

Дэвиса, как и уточняющих её теорий, о возможности отрыва шаров в точке В вертикального диаметра ВД. Косвенным подтверждением нашей Teopini, а также опровержс1Н1ем теории Дэвиса, являются данные, приведенные в работе Ю.А. Муйземнека, в которой исследования проводились на лабораторной мельнице при степени заполнения 0,5; с шарами радиусов 5 мм. Было рассчитано критическое число оборотов по теорш! Дэвиса, равное 77 об/Mini; в то время как фактически центрифугирование шаровой нагрузки начиналось при числе оборотов, равном 250 об/шш, что превышает критическое число оборотов почти в 3 раза. В то же время по нашим расчетам для условий этого эксперимента центрифугнровшше одноразмерной шаровой цепочки происходит при числе оборотов Птах™ 174,39 об/Mini. Не трудно заметить, что при центрифугировании шаровой цатрузки эта разница будет ещё меньше, что подтверждает полученные нами теоретические выводы. Также нами было рассчитано число оборотов для однослойных шаровых цепочек для мельниц промьпплешпмх типоразмеров. Полученные нами результаты превышают критическое число оборотов по теории Дэвиса почти в 2,25 раза и являются более близкими к практическим значениям чисел оборотов.

•Расчетом и экспериментом получены значения для углов и времени останова движущихся однослойных шаровых цепочек по неподвижной поверхности цилиндра . Определено, что при увеличении числа шаров и их радиусов в одноразмерной шаровой цепочке утол и время останова последней уменьшаются. Получено, что для одшючного плоского тела время скольжения ti, равное 0,331 е., примерно в 3 раза больше, чем время скольжяшя для однослойных шаровых цепочек из N шаров радиуса Ri, что соответствует физической сути эксперимента.

Выводы:

Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, заключается в следующем:

1.В уравнение кинетики измельчения, в отличие от существующих, введен функциональный параметр ©, учитывающий влияние степени заполнения <р измельчающей средой и количества материала М, находящегося в мельшще. Построена графическая

зависимость параметра © от степеш! заполнешхя ср и количества материала М.

2. Получены уравнения прогноза 1ранхарактеристик продуктов измельчения в открытом и замкнутом циклах.

3. Выведены уравнения для прогноза полезной мощности и энергии измельчещш с учетом гранулометрических характеристик материала.

4. Получены формулы для грануло- прочностного уравнения кинетики измельчешы и формулы для расчета полезной мощности при измельчении полиминерального сырья.

5. Разработаны на базе теории сыпучих сред элементы теории однослойных шаровых цепочек , являющихся основными структурными составляющими шаровой нагрузки. Получено условие наличия свойств плоского тела у шаровых цепочек. Выведены формулы для расчета сил , реакций и движущих сил, действующих в шаровых цепочках. Определены закон изменения скорости скольжешм шаровой цепочки вниз по неподвижной поверхности цилиндра и время скольжения цепочки вниз до утла останова.

6. Разработан (в соавторстве) компьютерньш пакет программ для расчета энергетических характеристик, а также статики и динамики однослойных шаровых цепочек.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Туманова К.В. Исследование кинетпко- энергетических характеристик измельчешы руд с учетом механики движения измельчающих тел// Тезисы докладов 2-го международного конгресса «Проблемы комплексного использования руд», СПб, 1996.

2. Туманова К.В. Исследование и расчет движения однослойных шаровых цепочек по внутренней вращающейся поверхности барабана мельницы// Тезисы докладов IV Международного форума «Горное оборудование, переработка минерального сырья, новые технологии , экология», СПб, 1996 .

3. Туманова К.В., Романов А.Л. Разработка алгоритма управления качеством продукта измельчения на АО «Печенгашпсель»// Тезисы докладов науч. конф. молодых ученых СПбГГИ «Полезные ископаемые России и их освоение», СПб, 1997.

4. Туманова К.В. Исследование кинетических характеристик процесса измельчения руд с учетом механики движения измельчающих тел// Тезисы докладов науч. конф. молодых ученых СПбГГИ «Полезные ископаемые Росаш и их освоите», СПб, 1997.

5. Туманова К.В. Прогноз энергии дроблегтя и измельчения с учетом гранулометрических характеристик материалов, Обогащение руд, - 1998,- № 5.

6. Туманова К.В. Компыотеризащш расчетов энергии дроблегшя и измельчения с учетом гранулометрических характеристик. Межвуз сб, 1998.

7. Туманова К.В. Компьютерный расчет сил и реакций, действующих в несимметричных однослойных шаровых непочках. Обогащешюруд, - 1998,-№6.

с/

Г

60

V.

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГОРНЫЙ ИНСТИТУТ ( ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

ТУМАНОВА Карина Владимировна

Исследование кйнетико- энергетических характеристик измельчения руд с учетом механики движения измельчающих тел.

Специальность 05.15.08 -« Обогащение полезных ископаемых»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель, проф. О.Н. Тихонов

Санкт - Петербург 1998

ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕТИКО- ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ РУД С УЧЕТОМ МЕХАНИКИ ДВИЖЕНИЯ ИЗМЕЛЬЧАЮЩИХ ТЕЛ.

ОГЛАВЛЕНИЕ:

стр.

1. Введение. 4

2. Критический анализ состояния проблем определения кинетико-энергетических характеристик продуктов измельчения и механики барабанных мельниц.

2.1. Обзор и анализ работ , посвященных определению гранулометрического состава продуктов дробления (измельчения ) . 8

2.2. Обзор и анализ формул, используемых для расчета энергии, расходуемой на дробление (измельчение). 24 2.2. Анализ теоретических формул для расчета полезной мощности барабанных мельниц. 31

3. Уточнение и развитие уравнения кинетики измельчения А.И. Загустина.

3.1. Уравнение кинетики измельчения руд и экспериментальные

методы изучения кинетики дробления и измельчения руд. 40

3.2. Расчет гранулометрических характеристик продуктов дробления в открытом цикле(уточнение методики

Разумова - Перова). 48

3.3. Уравнения прогноза гранулометрических характеристик продуктов дробления в замкнутом цикле. 51

3.4. Расчет характеристик крупности продуктов измельчения

(в замкнутом и открытом цикле). 54

3.5. Прогноз полезной мощности с учетом гранулометрических характеристик материала. 56

3.6. Прогноз энергии измельчения с учетом гранулометрических характеристик материалов. 60

4. Кинетика измельчения полиминерального сырья.

4.1. Грануло- прочностное уравнение кинетики измельчения. 67

4.2. Решение уравнения в простом случае. 71

4.3. Случаи упрощения грануло - прочностных уравнений. 72

4.4. Прогноз полезной мощности и энергии разрушения полиминерального сырья. 74

5. Изучение статики и динамики однослойных шаровых цепочек.

5.1. Статика однослойных шаровых цепочек.

5.1.1. Построение математических моделей шаровых цепочек. 77

5.1.2. Определение сил и реакций, действующих в несимметричных шаровых цепочках .Равновесие шаровых цепочек на внутренней вращающейся поверхности цилиндра. 80 5.1.3.О равновесии покоящихся шаровых цепочек. 82

5.2. Динамика однослойных шаровых цепочек.

5.2.1. Вычисление центра масс однослойных шаровых цепочек. 84

5.2.2. Определение движущей силы, приведенной к центру

масс однослойных шаровых цепочек.

5.2.3. Движение однослойных шаровых цепочек по внутренней поверхности неподвижного цилиндра.

5.2.4. Центрифугирование однослойных шаровых цепочек.

87 89

6. Расчетно-экспериментальная проверка основных теоретических положений, полученных в данной работе.

6.1. Экспериментальное определение технологических характеристик операции 2-х стадиального измельчения. 92

6.2. Расчеты функций отбора и разрушения (пакет 1ЫСгиСгг,

программа 8ВБ). 98

6.3. Компьютеризация расчетов энергии дробления и

измельчения с учетом гранулометрических характеристик. 99

6.4. Идентификация законов дробления и измельчения

(пакет ишСгиОг, программа СЬ8). 100

6.5. Расчёт технологических схем измельчения((пакет итСга(Зг, программа СОР). 102

6.6. Проверка условий свойства плоского тела шаровых цепочек и определение числа шаров, нарушающих равновесие цепочек. 104

6.7. Расчетно-экспериментальное подтверждение центрифугирования однослойных шаровых цепочек. 109

6.8. Расчетно-экспериментальное определение угла и времени останова движущихся шаровых цепочек по неподвижной поверхности цилиндра. 114

7. Заключение. 120

8. Библиографический список. 124

Приложение № 1. Приложение № 2. Приложение № 3. Приложение № 4. Приложение № 5. Приложение № 6. Приложение № 7. Приложение № 8. Приложение № 9. Приложение № 10.

1. Введение.

Поскольку затраты на процессы рудоподготовки составляют до 70 % всех затрат на обогащение, то применение наиболее эффективных и экономичных способов измельчения, упрощения схем имеет важное промышленное значение. Поэтому оптимизация грансостава продуктов измельчения и минимизация энергозатрат играет важную роль при проектировании, выборе наиболее подходящих схем измельчения. Используемые в настоящее время теории и уравнения, определяющие гранулометрический состав продуктов измельчения и потребляемую при этом мощность, содержат недостатки, которые вызывают расхождение теоретических и практических данных.

Широко применяемые за рубежом интегро-дифференциальные уравнения кинетики измельчения содержат функции отбора и разрушения, определение которые вызывает затруднения. Это вызвало необходимость не только получить теоретические формулы для расчета этих функций, но учесть влияние таких основных характеристик процесса измельчения, как степень заполнения ф количество материала М, и прочность перерабатываемого сырья. Это позволит не только создать более усовершенствованную теоретическую модель процесса измельчения, но и обеспечит возможность комбинации различных вариантов технологических процессов и выбор оптимальных проектно-компоновочных решений обогатительных фабрик.

Известно, что при разработке своей кинематической гипотезы Дэвис опирался на следующие допущения: рассматривал шары как материальные точки; не учитывал силы трения шаров о футеровку мельницы; не учитывал влияния находящейся в мельнице пульпы; принимал одинаковые скорость и угол отрыва для тел разных размеров и форм. На основании этих допущений Дэвисом была создана приближенная модель закономерностей движения одиночного тела по внутренней вращающейся поверхности барабана мельницы, распространенная им на всю шаровую нагрузку, что вызвало несоответствие результатов расчета полезной мощности для водопадного режима по выведенной им формуле с практическими данными [5,27,47,60-62,68,83-90,101]. В связи с этим нами предпринята попытка создания элементов теории однослойных шаровых цепочек, являющихся основными элементами шаровой нагрузки, учитывающей силы трения шаров о футеровку барабана мельницы, размеры барабана мельницы и шаров, находящихся в цепочках [41-44]. Данная теория, в дальнейшем, позволит получить более точную модель для шаровой нагрузки в целом, а также учесть влияние находящейся в мельнице пульпы и кинетики измельчения.

Цель данной диссертации - определение гранулометрических характеристик продуктов измельчения с учетом степени заполнения <р шарами и количества материала М в мельнице; определение характеристик энергопотребления при измельчении руд и разработка элементов теории однослойных одноразмерных шаровых цепочек.

Научная новизна- разработка методик количественной оценки гранулометрических характеристик продуктов измельчения для различных типов руд и методик определения полезной мощности и энергии измельчения с учетом основных технологических характеристик процесса измельчения; разработка на базе теории сыпучих сред элементов теории одноразмерных однослойных шаровых цепочек, являющихся основными структурными элементами шаровой нагрузки, и рассматривающих последнюю с позиции теории сыпучих сред.

В данной диссертации помимо детального рассмотрения и анализа полученных ранее формул для расчета гранулометрического состава продуктов измельчения на основе уравнения А.И. Загустина [5,27,68,102,47,84-91], учета недостатков, допущенных при их выводе (глава 2), предложено учитывать влияние двух факторов- степени заполнения мельницы мелющими телами ср и количества материала М, находящегося в мельнице в данный момент времени. Был введен функциональный параметр ©, представляющий собой функцию, зависящую от этих двух переменных. Была построена графическая зависимость параметра 0 от степени заполнения ф шарами и количества материала в мельнице М. Это позволит уточнить теоретические закономерности, необходимые для создания модели процесса измельчения. Этот вопрос отражен в главе 3.

Влияние функционального параметра 0 учтено также при выводе уточненного уравнения кинетики измельчения для пород и минералов, отличающихся по прочностным характеристикам, что особенно важно при переработке комплексного сырья. Этот вопрос подробно рассмотрен в главе 4. При этом для описании смеси частиц должна учитываться не только крупность, но и их прочность. Мерой прочности может быть взята любая физическая величина прямо или косвенно оценивающая прочность. При определении полезной мощности, затраченной на получение готового продукта определенного грансостава, учитывается только мощность, затраченная на истирание, и мощность, затраченная на ударное измельчение.

В диссертации уточняется подход, при котором исходный материал и конечный продукт оцениваются не одним «крупностным» числом 1 = const (1Исх и 1кон), а гранулометрическими характеристиками - дифференциальными распределениями уКон(1) и уИСх(1). Данный подход позволяет более точно прогнозировать расход полезной энергии на измельчение руд при их обогащении (главы 3 и 6). Прикладная новизна- максимизация производительности измельчения в условиях повышенной точности стабилизации грансостава готовых продуктов и экономии электроэнергии. Разработана программа ENERGY на языке QBASIC 4.0, позволяющая рассчитывать суммарную энергию для различных типов материалов (с различными W), различных типов гранулометрических характеристик уИсх,укоН. Расчеты выполнены для двухстадиальной схемы измельчения медно-цинковой руды Гайского ГОКа с замкнутым циклом во второй стадии .

Рассмотренные в данной работе уравнения кинетики измельчения моно- и полиминерального сырья, а также формулы для расчета полезной мощности, затраченной на измельчение различных видов сырья, не позволяют объяснить некоторые важные вопросы теории механики барабанных мельниц, а именно: скольжение шаровой нагрузки, соотношение между ударной и истирающей составляющей при измельчении, образование и роль неподвижного ядра в шаровой нагрузке и ряд других факторов.

Используемая формула Дэвиса [25], базируется на рассмотрении шаров как материальных точек, что ,в конечном счете, ведет к рассмотрению закономерностей движения шара как плоского тела. Кроме того, им не учитываются силы трения шаров о футеровку мельницы, что не позволяет объяснить , в результате действия каких сил тело любой формы может попасть в точку отрыва. Далее он принимал, что скорость и угол отрыва одинаковы для тел разных размеров и форм, что противоречит физике процесса. Далее в теории Дэвиса отождествлены линейная скорость вращения барабана мельницы,

необходимая для подъема в любую из точек отрыва с начальной скоростью, которую имеет тело в момент отрыва. В результате этого, Дэвисом была создана приближенная модель закономерностей движения одиночного тела по внутренней вращающейся поверхности барабана мельницы, и распространенная им на всю шаровую нагрузку. В работе Левенсона Л.Б. были введены в формулу Дэвиса силы трения одиночного тела о поверхность цилиндра. Им получена формула для определения максимальной скорости движения одиночного тела, которая в 1/ / sTn (р раз больше, чем это следует из формулы Дэвиса при

V = ¡Rg. Однако в дальнейшем при определении полезной мощности он

использовал за основу классическую теорию Дэвиса. В результате,® главе 5 этого нами предпринята попытка создания элементов теории однослойных шаровых цепочек, являющихся основными элементами шаровой нагрузки, с учетом сил трения, размеров барабана мельницы и шаров, находящихся в цепочках. Полученные нами результаты уже позволили ответить на ряд принципиальных вопросов теории механики барабанных мельниц.

Глава 6 посвящена расчетно- экспериментальной проверке основных теоретических положений диссертационной работы. На примере работы 2-х стадиального измельчения Гайского ГОКа с замкнутым циклом во второй стадии определяются кумулятивные характеристики «по минусу» LM(l). Измельчение

проводилось в мельницах МСЦ -3,2 • 4,5 и МШЦ- 3,6 • 4,0, руда медно-цинковая. Полученные технологические результаты дают близкие значения во всем диапазоне изменения 1.

Использован компьютерный пакет UniCruGr для прогноза, анализа, оптимизации многостадиальных схем измельчения. Полученные в диссертации энергетические данные, рассчитанные программой ENERGY, сравниваются с результатами компьютерных расчетов, проведенных пакетом UniCruGr. Этот пакет программ позволил:

• Вычислить функции отбора F(l) и разрушения G(l) для исследуемой схемы измельчения, используя измеренные гранулометрические характеристики питания Garni (L) и готового продукта Gam2(L). Эти функции рассчитаны по модели А.И. Загустина с минимизацией отклонений от измерений.

• Найти наиболее подходящий для исследуемых условий закон измельчения (Бонда, Риттингера, Кирпичева- Кика), оценивающий способность к разрушению различных руд для конкретных условий дробления и измельчения с измерением потребления энергии, получить параметры W; для каждого комплекса опробований для исследуемого закона измельчения руды .

• Рассчитать двухстадиальную схему измельчения включая производительности и гранулометрические характеристики всех продуктов схемы, а также энергетические расчеты. В энергетических расчетах применен новый подход: дополнительно к законам дробления введено детальное распределение энергии по классам крупности питания и дробленой руды. Энергетические расчеты включают общую энергию. При нахождении дифференциальных и общих энергий измельчения было использовано расширение общепринятого подхода с приданием законам измельчения двойной интегральной формы. Если закон измельчения заранее неизвестен, предварительно используется программа для идентификации закона дробления (Бонда и др.) (находит наиболее подходящий для данных условий закон дробления на базе серии опробований с измерением гранулометрических характеристик).

Разработанный пакет программ zep-l.pas, fd-n-v.pas ,skoljen.bas, t-skol-1 .bas, t-skol-z.bas для расчета однослойных шаровых цепочек, а также экспериментальные наблюдения, проводимые на лабораторной модели барабанной мельницы, позволили:

• Определить число N шаров, которое необходимо добавить к шаровой цепочке слева (справа) от вертикального диаметра цилиндра, чтобы было нарушено равновесие последних. При этом критерием оценки этого является изменение знака у движущей силы Рд с плюса на минус.

• Получить и проверить условие, при выполнении которого применительно к каждому шару цепочки, последняя будет вести себя как плоское тело, т.е. шаровая цепочка в случае движения по поверхности цилиндра будет только скользить.

• Рассчитать линейные скорости V и числа оборотов п барабана мельницы, а также определение Vmax и nmax, при которых начинается центрифугирование однослойных шаровых цепочек . Была установлена несостоятельность положений теории Дэвиса, как и уточняющих её теорий, заключающихся в неверной трактовке закономерностей движения одиночного тела, равно как и распространение этих закономерностей на всю шаровую нагрузку. Экспериментальное подтверждение этого приведено в работе [59].

• Определить закон изменения скорости скольжения шаровой цепочки вниз в зависимости от угла а, характеризующего положение тела относительно неподвижной системы координат и время t движения цепочки по поверхности цилиндра до её полной остановки.

В заключительной главе 7 приведены окончательные выводы по основным разделам диссертации.

В главе 8 приводится библиографический список литературы, используемой при написании диссертационной работы.

2. Критический анализ состояния проблем определения ки нети ко- энергетических характеристик продуктов измельчения и механики барабанных мельниц.

2.1. Обзор и анализ работ, посвященных определению гранулометрического состава продуктов дробления ( измельчения ).

В 1935 г. А.И. Загустиным [27] была предпринята первая попытка построения теории , дающей возможность вычисления характеристики продукта дробления ( измельчения ). Работа относились к исследованию измельчения минералов однородного строения в шаровых мельницах . Здесь автор устанавливает аналитическую зависимость между суммарными характеристиками на « плюс » исходного материала и готового продукта при непрерывном измельчении материала в мельнице периодического цикла . При этом А.И. Загустин принимает следующие гипотезы :

1.При элементарном измельчении зёрен определенного класса крупности идеально однородного минерального сырья образуется продукт , состоящий из смеси зёрен данного класса и более мелких ; при этом функция плотности распре