автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование и сравнение методов Рунге-Кутта высокого порядка

1. Введение

1.1. Уравнения Бутчера.

1.2. Общая формулировка методов Рунге-Кутта

1.3. Обозначения.

2. Каркас

2.1. Каркас метода.

2.2. Каркас методов порядка 6.

2.3. Решение каркасной системы.

2.4. Решение в случае £>2 = 0.

2.5. Решение в случае Ьз ф 0.

2.6. Выражение сг и через свободные переменные.

2.7. Решение в полном виде.

3. Методы численного нахождения методов Рунге-Кутта

3.1. Введение.

3.2. Используемые переменные и матрицы

3.3. Применение упрощающих предположений для сокращения системы уравнений.

3.4. Описание программы.

3.4.1. Вектора и матрицы, unit Linear3.

3.4.2. Нахождение уравнений Вутчера, unit FUNCTJtK

3.4.3. Реализация метода Ньютона, unit Newton.

3.4.4. Основная программа, program rk.

4. Методика проверки точности и сравнения методов

4.1. Тестовая задача.

4.2. Алгоритм проверки.

4.3. Описание программы RK.USE.

5. Сравнение различных методов Рунге-Кутта

5.1. Методы порядка 4.

5.2. Методы 5-го порядка.

5.3. Методы 6-го порядка.

5.4. Методы 7-го порядка.

5.5. Методы 8-го порядка.

1.1. уравнения Бутчера 1.1.1.Метод Эйлера. Простейший метод решения начальной задачи у' = / ( ^ , у), УЫ) = 2/0 был описан Эйлером (1768) в его "Интегральном исчислении" и является, фактически, методом Рунге-Кутта порядка 1. Глобальная погрешность метода имеет вид с • h, где с - постоянная, зависящая от задачи, и Д длина шага. Если желательно, скажем, получить 6 точных десятичных знаков, то требуется, следовательно, порядка миллиона шагов.Если в исходном дифференциальном уравнении функция /(х,у) не зависит от 2/, то решение дифференциального уравнения сводится к нахождению определенного интеграла и метод Эйлера переходит в простейший метод нахождения определенных интегралов - метод прямоугольников. Для нахождения определенных интегралов уже давно были известны гораздо более точные методы. Естественно, возникало желание найти аналогичные методы и для решения дифференциальных уравнений.1.1.2.Такую попытку произвел Рунге (1895). Для перехода от метода прямоугольников к первой квадратурной формуле Гаусса он рассуждал следующим образом. Первый шаг длины h должен иметь вид у(хо + h)tvyo + hf{xo -Ь h/2, у{хо + h/2)).Но какое значение взять для у{хо + /i/2)? За неимением лучшего естественно использовать один малый шаг метод Эйлера длины Л/2. Расчетные формулы выглядят так: ki = f{xo,yo), fc2 = f{xo + h/2,yo + h/2ki), . (*) yi = Уо + hk2 Может показаться странным, что для вычисления к^ мы предлагаем сделать шаг методам Эйлера, о неэффективности которого говорилось выше.Чтобы получить приближенное значение решения задачи Коши в конечной точке X, будем применять формулы (*) последовательно к интервалам {xo,Xi),{xi,X2),...,(хп-1,Х), подобно тому как применялся метод Эйлера. Погрешность численного решения ограничена величиной вида ch^ (h максимальная длина шага). Таким образом, (*) является усовершенствованием метода Эйлера. Рунге показал, что для вычислений с высокой точностью можно найти еще лучшие методы.

6.1. Заключение.

6.1.1. Нахождение методов Рунге-Кутта высокой точности остается проблемой, не поддающейся до конца усилиям математиков. Поэтому большой интерес представляют как отдельные найденные решения, их семейства, так и разработка новых подходов к системе уравнений Бутчера, служащей для нахождения методов Рунге-Кутта.

В диссертационной работе получены результаты по обоим этим направлениям.

• Исследованы общие подходы к решению уравнений Бутчера, предложен практический метод использования "каркаса" системы уравнений.

• Аналитически найдено новое семейство семистадийных методов Рунге-Кутта порядка 6.

• Численно найдено большое количество методов порядков 6, 7, и 8.

• Проведено сравнение эффективности уже известных и вновть найденных методов. Для проведения вычислений создан программный комплекс, позволяющий проводить сравнение методов с разным количеством этапов.

6.1.2. Некоторые нерешенные проблемы, для которых есть шанс получить решение в ближайшее время.

1. Найти методы Рунге-Кутта порядка 9. На сегодняшний день известно лишь, что минимальное количество шагов п для таких методов не меньше 12 и не больше 17. Сами методы не известны.

2. Оптимизировать алгоритм численного решения уравнений Бутчера. Версия, имеющаяся сегодня не позволяет находить методы порядка выше 8.

1. А.А.Самарский,Введение в численные методы, стр. 177-187 Москва., "Физматгиз", 1987.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., Численные методы. М.,"Наука", 1963.

3. Березин И.С., Жидков Н.П., Методы вычислений, том 2. 640 с. Москва., "Физматгиз", 1962.

4. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г., Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. 512 е., Москва., "Мир", 1990. Но11апс1, 1989.

5. Ассюй Куасси Ришар, Новый метод Рунге-Кутта порядка 8, "Молодая наука XXI веку", Тезисы докладов, Иваново, 2001 г., Часть. VI, с.51.

6. Ассюй Куасси Ришар, Новый метод Рунге-Кутта порядка 6, "Молодая наука в классическом университете",Тезисы докпадов, Иваново, 2002 г, с.75

7. Ассюй Куасси Ришар, Нахождение каркаса метода Рунге-Кутта типа (6,7), "Молодая наука в классическом университете",Тезисы докпадов, Иваново, 2003 г, с.83

8. Ассюй Куасси Ришар, Семистадийные методы Рунге-Кутта порядка шесть, ВЕСТНИК РУДН, Москва 2003 г, Т.2, №2, с.61-76.

9. Хаммуд Г.М., Хашин С.И., Упрощающие предположения высшего порядка для методов Рунге-Кутта, Научные труды ИвГУ. Иваново, 2000 г. Вып.З. с.107-118.

10. Хаммуд Г.М., Хашин С.И., Шестимерное семейство 6-шаговых методов Рунге-Кутта порядка 5, "Молодая наука XXI веку", Тезисы докладов, Иваново, 2001 г., Часть. VI, с.70.

11. Хашин С.И., Численное решение уравнений Бутчера, Вестник ИвГУ, Иваново, 2000, вып. 3. с. 155-164.

12. Alexander, Roger К.; Coyle, James J. Runge-Kutta methods and differential-algebraic systems, J] SIAM J. Numer. Anal. 27, No.3, 736752 (1990).

13. Bartoszewski, Z.; Jackiewicz, Z., Construction of two-step Runge-Kutta methods of high order of ordinary differential equations, J] Numer. Algorithms 18, No.l, 51-70 (1998). [ISSN 1017-1398].

14. Butcher J.C., Numerical analysis of ordinary differential equations, John Wiley and Sons, Toronto, 1987.

15. Butcher J.C., Coefficients for the sttudy of Runge-Kutta Iteration Processes, J. of the Australian Math.Soc. 3, 185-201.

16. Butcher J.C., On Runge-Kutta processes of high order, J. Austral. Math. Soc. vol. IV, Part 2, p. 179-194. J. of the Australian Math.Soc. 3,185-201.

17. Butcher J.C., Implicit Runge-Kutta Processes, Math.Comp. 18 (1964), 50-64.

18. Butcher J.C., The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations. Runge-Kutta and General Linear Methods, NY, 1987.

19. Johnson L., Riess R.D., Numerical analysis, 1972.

20. Stoer J., Bilirsch R., Introduction to numerical analysis, 1980.

21. Bretan K.E., Campbell S.L., Petzold L.R., Numerical Solution of Initial Problems in Differntial-algebraic Equations Noth Holland, NY,1989.

22. Konen, H.P.; Luther, H.A., Some singular explicit fifth order Runge-Kutta solutions, J] SIAM J. Numer. Anal. 4, 607-619 (1967).

23. Lawson, J.D., An order six Runge-Kutta process with extended region of stability, J] SIAM J. Numer. Anal. 4, 620-625 (1967).

24. Fehlberg, E., New high-order Runge-Kutta formulas with an arbitrarily small truncation error, J] Z. Angew. Math. Mech. 46, 1-16 (1966).

25. Fritsche, Michael, Runge-Kutta methods of differential equations. I: Ordinary differential equations, J] Wiss. Beitr. Friedrich-Schiller-Univ. Jena 1983, 87-111 (1983).

26. Hairer, E.; Wanner, G., Algebraically stable and implementable Runge-Kutta methods of high order, J] SIAM J. Numer. Anal. 18, 1098-1108 (1981).

27. Papageorgiou, G.S., Comparison of Runge-Kutta type methods of order five, J] Bull. Greek Math. Soc. 28, 71-79 (1987).

28. Sofroniou, M., Symbolic derivation of Runge-Kutta methods, J] J. Symb. Comput. 18, No.3, 265-296 (1994).

29. Hairer, E.; Wanner, G., Symplectic Runge-Kutta methods with real eigenvalues, J] BIT 34, No.2, 310-312 (1994).