автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы Рунге-Кутты с плавающими абциссами для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

ртб оа

г 7 № я95

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

на правах рукописи

Хантемиров Ринат Римович

МЕТОДЫ РУНГЕ-КУТТЫ С ПЛАВАЮЩИМИ АБСЦИССАМИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ

специальность 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы н комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Институте прикладной математики РАН.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук А. Ю.Захаров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Г. Г. Еленнн

кандидат физико-математических наук С. С. Филиппов

Ведущая организация: Вычислительный Центр РАН

Зашита состоится "_" _ 1995г. в _ часов на

заседании диссертационного совета К 003.91.01 в Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл. 4а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Прикладной математики РАН.

Автореферат разослан "_"_ 1995г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук Л^Г /СР.Свиршевский/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Необходимость численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с начальными данными возникает при изучении процессов химической кинетики, в теории электрических цепей я электронике, в микробиологии, задачах управления и автоматического регулирования. Кроме того, в настоящее время широкое применение для решения обширного круга сложных эволюционных задач, описываемых дифференциальными уравнениями а частных производных (ДУЧП), получили, так называемые, полудискретные методы, сводящие их путем дискретизации по пространству к системе ОДУ. Последняя как правило оказывается жесткой. Это дало дополнительный стимул для исследования подобных систем. Специализированные численные методы для нахождения решения жестких ОДУ активно разрабатывались за последние тридцать лет и в настоящее бремя являются достаточно развитой областью прикладной математики. Наиболее эффективными и надежными признаны такие методы, как формулы дифференцирования назад, методы типа Розекброка, Ш-методы, а также' ряд классов методов Рунге-Кутты. Этой теме посвяшены работы широкого круга отечественных н зарубежных математиков: Дж.Бутчера, Г.Ваннера, Дж.Вервера, К-Гнра, Г.Далквиста, КДеккера, П.Капса, СНерсетта, А.Остермана, К;Штремеля, Е.Хайрера, А.Ю.Захарова, Н.Н.Калиткина, В.И.Лебедева, Е. А. Новикова, Ю.В.Ра ките кого, С. М. Устинова, Р.П.Федоренко, С. С. Филиппова, П.Д.Ширкова и других авторов.

Среди численных схем для решения жестких'ОДУ большой интерес продолжают привлекать методы типа Рунге-Кутты, обладающие высоким

порядком сходимости и хорошими свойствами устойчивости. Однако

\

следует отметить, что трудности численной реализации этих методов зачастую нивелируют их теоретические преимущества перед альтернативными ° схемами. Диссертация является результатом исследований автора по проблемам снижения вычислительных затрат при практическом использовании методов Рунге-Кутты, при сохранении ими хороших свойств устойчивости и высокого порядка точности.

Цель работы состоит в построении и исследовании свойств нового класса методов типа Рунге-Кутты (методов с плавающими абсциссами), позволяющих избежать ряда сложностей, обычно появляющихся при численной реализации классических неявных методов Рунге-Кутты. Основное внимание уделяется изучению алгебраических систем, возникающих при применении численного метода для решения ОДУ.

Научная новизна работы заключается в самом подходе к построению методов Рунге-Кутты с точки зрения снижения затрат при решении возникающих при применении численного метода систем алгебраических уравнений. -Разработан способ преодоления некоторых проблем при решении последних - параметризация коэффициентов численной схемы. Кроме того, ряд новых результатов получен автором при исследовании свойств методов типа Рунге-Кутты.

Практическая ценность. В работе построены алгоритмы численной реализации предложенных методов, на их основе созданы программы для решения жестких ОДУ. Были посчитаны тестовые задачи: из набора ЗПРРОЕГЕЭТ, а также уравнение Бюргерса (после применения полудискретного метода Галеркина). Сравнение с известными программами для решения жестких задач Коши показало надежность и достаточную эффективность алгоритмов, реализующих методы с

плавающими абсциссами. Созданные на их основе программы были использованы для решения задачи из практики - модели, описывающей образование окислов азота при горении метана в воздухе.

Структура диссертации. Данная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитированной литературы, приложений и имеет объем 144 страницы. Библиография содержит 57 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, представлен подробный обзор литературы по изучаемому вопросу, описаны цели работы.

Первая глава посвяшена вопросам построения методов типа Рунге-Кутты с плавающими абсциссами и их свойствам, таким как: согласованность, сходимость, В-согласованность, В-сходимость и устойчивость.

В первом параграфе вводится понятие схемы с плавающими абсциссами. Ее можно описать следующим образом (представление типа "матрицы Бутчера" для э-стадийной схемы Рунге-Кутты):

X с х А 0

ся »¡¡(х) а„

Ьт(х)

х с.

Х?2

х с_

х

Х «21

* а!2 Ха22

* «1-1

Х «2.

2»-1

* Яц-ц * а,_12

ая1(х) а,2(х)

ая-18-„-,(Х>

Ь1(х)

Ь2(х)

• Ьа_,(х) Ь8(х)

I

С € 1Я(Х) 6 И--1, А С

здесь х - переменный параметр, коэффициенты ая1(х), ав2(х), ав>_1(х) и Ьа(х), Ь2(х), ..., Ьв(х) зависят от х, остальные значения a1J, с1- константы.

Вообще говоря, параметр х может, нести различные функции в зависимости от задачи (скажем, специальный выбор х обеспечивает выдачу численного решения в заданной промежуточной точке). Здесь н далее параметр х будет нести информацию об изменении шага интегрирования:

* = -ТГ1- или Ьо1«Г * ь»*

»1 - предыдущая величина шага, Ьпви - новая величина шага..

Такая параметризация удобна из следующих соображений. Пусть, например, последние две абсциссы метода связаны следующим образом:

V 1 + са-1'

тогда при вычислении численного решения по формулам Рунге-Кутты оказывается, что промежуточное значение Ув на (п-1)-ом шаге: у(Ь-1) я

здесь - значение Ув_г на п-ом шаге интегрирования.

Следовательно, появляется возможность использовать информацию с предыдущего шага интегрирования, например, в качестве стартового приближения для ньютоновских итераций при поиске решения алгебраической системы, возникающей при реализации метода Рунге-Кутты.

Другое преимущество, предоставляемое подобной параметризацией, - экономия вычислений в случае забраковки

текущего шага интегрирования механизмом контроля погрешности. Введение параметра х - Лв1),/ЬП|!И, от которого линейно зависят коэффициенты метода, позволяет не пересчитывать заново промежуточные значения У1 (1=1,5-1) при новой величине шага, поскольку ее уменьшение компенсируется пропорциональным увеличением параметра х и, как нетрудно убедиться, коэффициенты формул для расчётов V, остаются без изменений. Таким образом, достаточно лишь изменить коэффициенты а&1 (1=1,^-1) и (1=1,5), которые нелинейно зависят от I, я вычислить значение Уя на последней стадии, где абсцисса метода са является фиксированной.

Можно доказать, что 5-стаднйная схема с плавающими абсциссами имеет порядок согласованности равный з и порядок В-согласованности равный 5-1 (если численный метод является ВЭ-устойчнвым).

Во втором параграфе исследуются свойства линейной устойчивости -предлагаемых методов, вплоть до четвертого порядка, при условии, что собственные значения матрицы коэффициентов метода - действительны. Показано, каким образом должны быть связаны коэффициенты методов (для двух- трех- и четырехстаднйных методов) для достижения А-устойчивости.

Третий параграф посвящен нелинейной устойчивости схем Рунге-Кутгы. Получен результат, являющийся справедливым для методов Рунге-Кугты общего вида (не только для схем с плавающими , абсциссами).

Теорема: Если А-устойчивый метод Руиге-Кутты является ВБ!-устойчнвым на некотором классе задач Р, то он С-устойчив на этом классе задач.

Следовательно С-устойчивость схемы следует из ее А-устойчивости (устойчивости для линейных задач) и

BSI-устойчивости (устойчивой является система алгебраических уравнений к которой приводит метод Рунге-Кутты).

• Вторая глава посвящена построению конкретных методов с плавающими абсциссами н их программной реализации.

В первом параграфе изложены существующие проблемы создания эффективного алгоритма применения метода Рунге-Кутты и возможные пути их преодоления.

Во втором параграфе строится двухстаднйная А-устойчквая схема второго порядка, описан способ ее реализации в программе FARKM2. Подробно изучены такие важные моменты как контроль локальной погрешности метода, выбор стартовых значений для ньютоновских итераций при решении возникающей системы алгебраических уравнений.

В третьем параграфе построена трехстадийная А-устойчивая схема третьего порядка, приведен алгоритм ее реализации в программе FARKM3. Особое внимание уделено решению систем алгебраических уравнений.

В четвертом параграфе представлены результаты численных расчетов тестовых задач из пакета STIFFDETEST. Проведено сравнение результатов счета этих задач программами FARKM2 и FARKM3, описанными во втором и третьем параграфах, с несколькими известными программами для решения жестких ОДУ: LSODE, ROW4A, RADAU5, WM8.

В третьей главе исследованы приложения предложенного класса методов Рунге-Кутты с плавающими абсциссами к численному решению параболических уравнений в частных производных при применении полудискретного метода Галеркина.

В первом параграфе показаны преимущества использования полуднскретного метода Галеркина при решеинн задач математической физики, заключающиеся в монотонности решения возникающей системы ОДУ в некоторой норме. Поскольку метод Галеркина сводит уравнение в частных производных к неявной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, то кратко рассмотрены некоторые вопросы применения методов Рунге-Кутты для решения неявных ОДУ.

Во втором параграфе приведены результаты численного решения модельных задач (в частности, уравнения Бюргерса) при помошн программ, основанных на методах Рунге-Кутты с плавающими абсциссами. Проведено сравнение результатов с результатами, полученными при применении известного пакета RADAUS (позволяет решать неявные системы ОДУ), реализующим трехстадийную схему РадоНА из семейства неявных методов Рунге-Кутты. Последний пакет, при практически одинаковой величине погрешности численного решения в конце интервала интегрирования, существенно уступает предлагаемому в данной работе алгоритму FARKM3 по затраченному процессорному времени, хотя и превосходит по этому параметру программу FARKM2 (при TOLSlO"3). Это можно объяснить тем, что в процессе интегрирования пакет RADAU5 должен иметь дело с решением нелинейных алгебраических систем большой размерности (ша н га, где m - размерность системы ОДУ). В то время как алгоритмы, положенные в основу FARKM2 и FARKM3, приводят к алгебраическим системам размерности ш. Кроме того, конструкция методов с плавающими абсциссами позволяет уменьшить количество арифметических операций, требуемых для решения возникающих алгебраических систем.

Четвертая глава посвящена применению методов Рунге-Купы с

плавающими абсциссами для математического моделирования реальной гадгчк - неследоеания процесса образования окислов азота при гсренкн метана в воздухе при наличии диффузии. Используется математическая модель реакций, описанная в работах Л.А.Ло&ачева, Б. И. Чйтверушкнка и М. В. Бочкова (1383), (1992). Постановка задачи содержится в переем параграфе.

Во втором параграфе опнсака свстска ОДУ, возникающая в ходе дискретизации по пространственной переменной при применении продольного метода прямых. Рассмотрены проблемы выбора сетки по пространству н краевых условий.

В третьем параграфе приведены результаты решения этой системы ОДУ программами, реализующими методы Рунге-Кугты с плавающими абсциссами. Рассмотрено динамическое распределение концентраций компонент реакции в пространстве, построены соответствующие графики. Проведено сравнение результатов счета различными программами (РАШ<М2 и РАЯКМЗ), при различных значениях максимально допустимой локальной погрешности (ТОЬ = 10"8- 10"12).

В заключении формулируются основные результаты работы.

В приложениях описаны тестовые задачи из пакета 5Т1РРОЕТЕ5Т; приводится сравнение результатов счета этих задач программами РА(*КМ2 и РАИКМЗ, описанными во второй главе, и несколькими известными пакетами программам для решения ОДУ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1) Предложен новый класс методов Рунге-Кутты: схемы с плавающими абсциссами. Их главной особенностью является то, что

они позволяют уменьшить вычислительные затраты в ходе решения системы алгебраических уравнений, возникающей при реализации численной схемы Рунге-Кутты. Установлено, что для s-стадийного метода с плавающими абсциссами порядох согласованности равен s, а порядок В-согласозанности равняется s-1. Приведен критерий для определения А-устойчнвостн метода.

2) Доказано, что для схем Рунге-Кутты общего вида из Л-устойчивости и BSI-устойчивости на некотором классе задач следует С-устойчивость схемы на этом классе задач.

3) Построены методы Рунге-Кутты с плавающими абсциссами второго, третьего и четвертого порядка точности. На основе методов второго и третьего порядка точности созданы программы FARKM2 и FARKM3 для решения жестких систем ОДУ.

4) Проведены численные расчеты тестовых задач из пакета STIFFDETEST с помощью программ FARKM2 и FARKM3, реализующих предложенные методы с плавающими абсциссами. На основании сравнения полученных результатов с результатами счета тех же задач, достигнутыми с использованием известных пакетов для решения жестких ОДУ (LSODE, ROW4A, RADAU5, WM8), можно сделать вывод о надежности и достаточной эффективности программ FARKM2 и FARKM3

5) Рассмотрены вопросы применения схем Рунге-Кутты с плавающими абсциссами к решению некоторых задач, возникающих из параболических уравнений в частных производных при использовании полудискретного метода Галеркнна (в частности, рассматривается известное уравнение Бюргерса). Кроме того, с помощью предложенных схем, с применением продольного метода прямых, проведено численное исследование задачи из практики: процесса образования окислов азота при горении метана в воздухе при наличии диффузии.

Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что приложение схем Рунге-Кутты с плавающими абсциссами (в комбинации с полудискретными методами) к решению параболических уравнений в частных производных оказалось достаточно эффективным.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Бютнер М., Захаров А.Ю., Садков СВ., Хантемиров P.P., О применении В-согласованного W-метода для решения жестких задач Коши, Препринт №56 ИПМ АН СССР, М„ 1991

2. Хантемиров P.P., Модифицированный метод типа Розенброка для решения жестких задач Коши, Препринт №91 ИПМ РАН, М., 1992

3. Хантемиров P.P., О монотонности полудискретного метода Галеркина и одном алгоритме решения параболических уравнений в частных производных, Препринт №15 ИПМ РАН, М., 1993

4. Хантемиров P.P., Методы Рунге-Кутты с плавающими абсциссами для решения жестких ОДУ, Препринт №5 ИПМ РАН, М., 1994

P.P. Хантемиров ' Методы Рунгв- Кутты с плавающими абсдио-сама для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.*

/специальность 05.13.18 - теоретические основы магематичео-кого моделирования, численные методы и комплексы программ/

Подписано в печать 21,02.95 г.Заказ №36. Тираж 50 экз.

Отпечатано на ротапринты в Институте прикладной математики АН