автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование и разработка устойчивых методов полиноминальной регрессии

' " 1 ) г N 7

РОСС 1 6 К А Н" А К А Д Е М Л Я НАУК С Л В Л Р С К О Е ОТДЕЛЕНИЕ В Ц Ч 'Л С Л Л Т Е Л Ь Н Ы Й ЦЕНТР

На правах рукописи

ДЕЛШНОВ КРЛй ¿ВДОРОВЛЧ

ЛССЛЕДОЕАНЛЕ Л РАЗРА РОТКА УСТОДЧИВЫХ МЕТОДОВ 1Ш,1иО'.ШЛ1ИСЙ РЕГРЕСИИ

05.13.1С - применение вычислительно" техники, математического моделирование и математических методов ■ в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание учено? степени кандидата физико-математических наук

Ночоси.ирск 1992

Ра;ота выполнена в войсковой части ОЗОЬО Научный руководитель - кандидат физико-математисеских наук,старший научный сотрудник Савельев Л.Я.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Григорьев к;.Н. кандидат физико-математических наук Шемякин А.Е.

Ведущая организация - Новоси Юрский электротехнический

Защита состоится 29 декабря 1992 года в И часов 30 мин., на заседании специализированного совета Д 002.10.02 при "Вычислительном центре СО РАН по адресу С30090,Новоси Я1рск, пр.Академика Лаврентьева,6.

С диссертапие" мо шо ознакомиться в .иьлиоте^е Щ СО РАН шр. Ак .Лаврентьева ,6).

институт

Автореферат разослан

1992г.

Ученый секретарь специализированного совета,к.т.н.

Г.И.Заоиняко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Создание и эксплуатация средств ракетной к космической техники, использование все более совершенных ЬБМ и внедрение в практику вероятностных методов исследований сделали актуальной статистическую обработку данных о траектории движения летатель -ных аппаратов. Многие известные б статистике методы получения оптимальных оценок (например, байесовский или максимального правдоподобия) требуют знания вероятностных характеристик совокупностей. Стандартные известные метода .оценивания, пригодные при отсутствии информации относительно законов распределения (например, метод наименьших квадратов или метод стохастической аппроксимации), часто неэффекти -вны. Малый объем информации, а такте сам характер статистических критериев проверки на адекватность законов распределения и некулевгя вероятность присутствия грубых сшибок ("выбросов") не позволяют дос -таточно надежно установить вид закона ее распределения. Поэтому возникает потребность в разработке таких методов обработки измерений, которые были бы мало чувствительны (устойчивы) к виду закона распределения и, в частности, не так сильно реагировали бы на "выбросы". При автоматизации обработки измерений основной проблемой является разработка математических методов решения задачи определения траек -тории движения, устойчивых по отношению к отклонениям от заданного в модели распределения ошибок, и соответствующих алгоритмов и программ для ЭВМ. Известные численные методы решения регрессионных за -дач с неоднородными ошибками, например рсбастный алгоритм П.Хькберз и некоторые другие, основанные на неквадратичной функции потерь, требуют при своей реализации решения систем нелинейных уравнений. Кроме того, для их корректного применения требуется знание степени "засоренности" основного (модельного) распределения, а такт.е умение производить б ходе решения независимые устойчивые оценки пграметрсв масштаба и положения.

Отмеченные особенности ресения задачи определения "рьекторни движения требуют разработки и обоснования новых устойчивых регр-эс -сионных методов обработки измерений, свободных (при определенных допущениях) от указанных недостатков. с<то определяет актуальность проведенных в работе исследований и разработанного соответствующего программного обеспечения.

Цель работы состояла: е сравнительном исследовании и разработке

устойчивых алгоритмов решения задачи полиномиальной регрессии и в создании программной реализации предложенных алгоритмов применительно к обработке данных о траектории движения летательных аппаратов'.

Методы исследований: использовались методы математической статистики (непараметрические методы статистики; статистические методы оценки параметров распределений; методы линейного регрессионного анализа; методы проверки статистических гипотез), а также методы Монте-Карло (статистического моделирования), теории алгоритмов и программирования.

Научная новизна работы определяется следующими результатами: разработаны новые устойчивые алгоритмы и программы решения задачи полиномиальной регрессии.

Основными положениями, выносимыми на защиту, являются:

1. Построение и экспериментальное исследование устойчивого.алгоритма оценивания коэффициентов полиномиальной регрессии с "отбраковкой" недостоверных результатов измерений, причем порог "отбраковки" зависит от объема выборки и формы распределения ошибок (итерационный-алгоритм с переменным порогом "отбраковки").

2. Построение, теоретическое и экспериментальное исследование выделяющего алгоритма - устойчивого алгоритма оценивания коэффициен -тов полиномиальной регрессии, основанного на выделении из исходной системы регрессионных уравнений свободной от аномальностей "базовой" системы и ее последующем расширении.

3. Программное обеспечение системы исследования и разработки ус -тойчивых методов полиномиальной регрессии и программная реализация предложенных алгоритмов применительно к обработке данных о траектории движения.

Обоснованность и достоверность полученных в ходе работы теоретических результатов обеспечивается использованием математического аппарата теории статистического оценивания, регрессионного анализа, проверки статистических гипотез, устойчивых, методов оценивания и методов Монте-Карло и подтверждается многочисленным вычислительным экспериментом и обработкой результатов реальных измерений траектории движения. Разработанное программное обеспечение прошло достаточно полное тестирование.

Практическая ценность проведенных в работе исследований подтверж -дается разработкой алгоритмов и программного обеспечения устойчивого

решения задачи полиномиальной регрессии и обработки данных о траектории движения с неоднородными либо однородными ошибками задания матрицы и правой части системы регрессионных уравнений. Разработанные алгоритмы и программы нашли практическое применение при выполнении проводимых НИОКР в рамках тем "Швеллер", "Призрак-2", " Срда" и 5Н26, реализованы в методике обработки измерительной информации, а также вошли в состав систем программного обеспечения ОВМ 5Э51, Э1КБ, используются при обработке экспериментальных результатов проводимых НИОКР и показали хорошую эффективность. В дальнейшем планируется их использование в составе специального математического обеспечения автоматизированной системы обработки траекториях измерений.

Апробация работы. Основные результаты работы отражены в ? печатных работах и 2 научно-технических отчетах.

Результаты исследований докладывались и обсуждались на ХУШ, XIX и XX научно-технических конференциях войсковой части 03С30 (г. Прио-зерск, 1966, 1988 и 1991 гг.), а также на семинаре по прикладной статистике в Новосибирском государственном университете.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Работа содер -жит 88 страниц основного машинописного текста, одну иллюстрацию, одиннадцать таОлиц и список литературы из 91 наименования.

Более подробная характеристика рассматриваемых задач дана в начале каждой главы. Основные результаты приводятся после каждой главы, а также в заключении.

Аетор приносит глубокую благодарность кандидату технических наук Тарасову Е.З. и научному руководителю кандидату физико-математических наук Савельеву ¿.Н. за постоянное внимание и помощь, оказываемые в процессе выполнения работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТН

Во введении отмечаются особенности экспериментальных данных с траектории движения, проводится краткий обзор работ по устойчивому оцениванию, обосновывается актуальность темы исследований, приводятся цели работы, новизна полученных результатов и их практическое применение. Кратко излагаются основные положения, Еыносимые на за -щиту, и структура работы.

В первой гларе рассматриваются физическая и математическая модели

результатов измерений движения материальной точки в пространстве. Поскольку любая непрерывная на замкнутом отрезке функция сколь угодно точно равномерно приближается полиномом (теорема Вейерштрасса), траекторию движения можно считать полиномиальной, а в качестве стохастической математической модели выбрать линейную регрессию на по -лином.

Пусть описывающий траекторию движения полином

</Гб)=*с0 * с,6 * ■■■ + с^., 6 /0'' ,

где р~7 - степень полинома (считается известной); Ср./11С>,0$£<7'. Необходимо определить неизвестные коэффициенты , по результатам измерений в моменты , Я . Постав-

ленная задача в работе сводится к трем математическим.моделям в виде систем линейных алгебраических регрессионных уравнений, через решение которых определяются искомые коэффициенты.

I. Стохастическая модель. Для этого случая коэффициенты регрессии определяются как результат решения стохастической системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида

= < (I)

где - - матрица, - /*/> - столбец,

- столбец, элементы и системы - случайные перемен -

ные с неизвестным законом распределения. Далее всюду предполагается, что П р и гапр почти наверное.

пусть К(ьСс/1) С</=/> ~,Р; к¿(/;<

монотонный кгультииндекс. Для него можно определить /?*/£> - матрицу йк ¿О,*'К-у и "Р - столбец £ Я>-

Ьсли £ О , то решение системы уравнений

Л- ~ ** , (2)

— , есть р - мерный случайный вектор, который естественно исполь -зовать для оценки решения ,75 исходной системы (I).

'¿. Детерминированная модель. Это детерминированная СЛАУ вида

АЛ (3)

где Лягр - матрица, .Х'^Г^)- /г/? _ столбец, ) -

/*/7 - столбец, элементы и известны точно. Так как изме-

рений без ошибок нет, далее эта наиболее разработанная теоретически модель не рассматривается.

- b -

3. Промежуточная модель. Это стохастическая СЛАУ Еида

где /t-O^/j J - - матрица с элементами = Г^',-, i

¿¿ - моменты измерений, известны без ошибок), -62^) - /*/> - столбец, - /х7Z - столбец измерений со случайными элементами

с неизвестным законом распределения. Как и для системы (I), для каждого монотонного »фльтииндекса /ffl Cr/J) У системы (4) определены Р - матрица и Р - столбец . Если

< ¿г < ■••< ¿л , то Ад.* 0 и решение системы

-, есть р - мерный случайный вектор, который естественно использовать для построения оценки решения ¿С исходной системы (4). Эта модель проще стохастической (I) и реалистична.

Вторая глава работы посвящена исследованию методов решения задачи для стохастической (I) и промежуточной (4) моделей. Поскольку теоретические оценки удается сделать только при жестких дополнительных ограничениях, основным методом исследований является метод Монте-Карло. Моделирование показывает, что предлагаемые в работе методы можно использовать в классе случаев, который существенно шире описанных теоретически. Однако указать границы применимости рассматриваемых методов трудно. В работе эти границы не исследуются. Моделирование позволяет использовать вместо стандартных законов распределения их аналоги для конечных отрезков, которые более адек -ватнк реальным данным, но специальной теории для них нет.

Строятся и исследуются следующие методы оценки решения задач (I) и (или) (4):

I. Среднее решение. Это среднее арифметическое

£ = а/ ' Ед.^ Xj. . (6)

решений ССд, систем (2) или (5), где оР - произвольное множество из А/ монотонных мультииндексов dCt/J). В предположении не -прерывности распределений ¿¡¿I - ошибок элементов матрицы системы (I) справедлива

Теорема 2.1. Пусть каждый вектор ¿'/с стохастически не зависит от матрицы /Iк , /°р {cfrid^oj^o , /!*■ /< с» , вектор

распределен по нормально^ закону с параметрами S ^ )> мно -

жество Ж состоит из // мультииндоксов А4 без общих элементов, а расширенные матрицы ( , ) стохастически независимы. Тогда среднее решение-есть сумма независимых случайных векторов /V сс^ , совместная плотность компонент ^¿с^) которых раЕна

Еще более сложное выражение для плотности получается, когда векторы ¿'к зависят от матриц /}# . Некоторые сьойства решения <2? будут описаны позднее.

2. Решение средней системы. Для промежуточной модели (4) рассмотрим среднюю систеэд _

А?-/. (7)

где /1=/У ^ 2 А к > ¿> ~ N ^ и мультиивдексы Л" попарно не пересекаются. Будем предполагать, что /? * О . Тогда решение _

.Г=Л'/ ё (8)

есть р - мерный случайный вектор и его естественно использовать для оценки решения <Х детерминированной системы (3). В предположении, что моменты измерений известны точно, справедлива

Теорема 2.2. Если случайные переменные имеют нулевые средние

значения, независимы и одинаково распределены, то решение ..Г сред -ней системы (7) служит несмещенной и усиленно состоятельной оценкой для решения ¡Т детерминированной системы (3)._ (Усиленная состоятельность решения здесь означает, что Ллу =~сг с вероятностью

Точность оценки СС зависит от свойств матрицы /? и погрешно -стей /З^1 .

3. ;Лздианное решение. Пусть для промежуточной модели (4) выполнены предположения теоремы 2.2. Тогда, поскольку

Еекторы решений систем (2) или (5) независимы и одинаково расп-

ределены. Поэтому для каждой компоненты определена медиана

~Г77е& ¿СЭти компоненты определяют медианное решение ж^Гл-) системы (4). Параллельно рассматривается ее среднее решение

Теорема 2.3.1). При сделанных предположениях <2? является несмещенной и состоятельной оценкой для ¿7

2). При дополнительных предположениях, что плотность ^ распределения непрерывно дифференцируема, строго положительна в нуле и имеет цулеЕую медиану, то ¿С является несмещенной и состоятельной оценкой для Я •

Пусть распределены по Коии. Тогда состоятельность оценки

~ —

решения се не имевт места, в то время как , что поз-

воляет ожидать в условиях конечных выборок лучших оценок с помощью реиения ,7?

4. Решение медианной системы. Для модели (4) рассмотрим медианную систему „. ~

/¡¡С** , (9)

где А=-тс& Д^Стес* ¿)> и мульти-

индексы /С попарно не пересекаются. Если с&бА^О , то решение

«Г (10)

есть уС - мерный случайный вектор и его естественно использовать для оценки решения ,2? ■ Пусть г и'мультииндек-

сы ■ р}, ¿р},...,

а р /■ / • Тогда выполнены условия СГ77_):

обеспечивающие равенства ¿7= ('c/~'r■^•>PJ■

_ Теорема 2.4. При сделанных предположениях и условиях (Е) решение £ медианной системы (9) является несмещенной оценкой для речения X детерминированной систем (3).

Если число уравнений велико, то последовательным вычитанием их друг из друга через одно можно получить систему

= е, (и)

Для решения (II) также можно применять метод средних и метод медиан. Неизвестное ¿C, находится после неизвестных ¡Z^ из

дополнительного уравнения.

5. Метод наименьших квадратов (¿НЮ. Для решения систем уравне -ний (I) и (4) МНК используется стандартный алгоритм решения пере -определенной GJiAi' по минимуму евклидовой нормы остатков с приведе -нием матрицы системы к верхнему треугольно^ виду с помощью ортогональных преобразований Хаусхольдера.

6. Решение системы (4) М-оценкой П.Хьюбера. Алгоритм решения строится по численным схемам, известным из литературы. В качестве начального приближения используется оценка МНК, нелинейная система уравнений решается методом Ньютона, постоянные алгоритмы рассчитываются таким образом, чтобы были соблюдены условия оптимальности применения М-оцёнки ( в случае нормального закона "засорения").

7. Решение системы (4) итерационным алгоритмом с переменным порогом "отбраковки". Основные отличия этого разработанного в ходе исследований алгоритма от известных заключается в следующем. Процедура оценки масштаба распределения ошибок > как и Б известных методах, осуществляется по центральным членам вариационного ряда модулей остатков /у . Однако дополнительно предусмотрена возможность расчета масштаба с помощью устойчивой оценки абсолютного медианного отклонения (AikD)

<W - '¿//о. 67<ss,

*

пороговая точка которого a amo =0.5. Кроме этого, осуществлена модификация для линейной модели (4) оценки коэффициента расширения порога "отбраковки" é - используется известная из литературы и найденная экспериментально для'независимых одинаково распределенных случайных величин зависимость:

v^ - / ; _<

где - эксцесс распределения, /}¿y = 0.615 i/farf/J, - число наблюдений, приходящихся в среднем на одно наблюдение, отбрасы -Баемое как промах.

В конце параграфов, посвященных каждое из рассматриваемых методов,

в работе приводятся результаты оценки их точности методом Монте-Карло. !&тсдика оценки и конкретные параметры алгоритмов моделиро — вания приведены в параграфе 4.1, а выражение для ошибок задания матрицы (правой части) имеет еид

где Т0 £ ФСОу - нормальное,

Бернулли и симметричное унимодальное распределения, соответственно,

ЯСаб^ЯГа&'О-, ¿Га*; а^гГаЫ'

¿*с/> ее Га, о .т7.

3 ходе моделирования исследованы два варианта построения среднего и медианного решений: в первом для построения решений используются "все возможные" квадратные /7г X? - подсистемы систем (2) или (5) (для моделирования ситуации производится случайная перестанов -ка уравнений по равномерному закону с фиксированным числом перестановок =20), во втором - только не имеющие общих уравнений. Результаты моделирования подтверждают основные теоретические выводы. Наибольшей устойчивостью и точностью, как и следовало ожидать, для стохастической модели обладают решение медианной системы и медианное решение со случайной перестановкой. Для промежуточной модели наилучаие оценки получены итерационным алгоритмом с переменным порогом "отбраковки".

Третья глава работы посвящена построению и исследованию выделяющего алгоритма устойчивого решения задач (I) и (4). Дается краткий анализ недостатков исследованных во второй главе методов. Ставится задача разработки устойчивого алгоритма решения задачи, сочетающего в себе простоту реализации и практического применения, высокие устойчивость и точность оценивания при "засорении" матрицы и (или) правой части "выбросами" с неизвестным симметричным унимодальным законом распределения, с сохранением высокой точности оценивания решения при отсутствии "засорения".

В параграфе 3.1 излагается решающий поставленную задачу выделяющий алгоритм. В основу его построения положена идея конструирования медианной системы с тем отличием, что правей частью выступают те порядковые статистики ^{¿з > **С <5" ))» ДМ

которых выполнено являющееся здесь основным предположение о практической достоверности события д =7}, (см- (12)).

Выделение таких элементов производится с помощью построения

доверительного интервала для выборочной медианы правой части сис -теш (4). Матрица системы составляется не из медиан столбцов исходной матрицы А, а из тех ее элементов, которые соответствуют выделенным элементам ^У¿) . Выделенная таким образом "базовая" система расширяется вполне формализуемым способом, а итоговая оценка произ -водится по окончании процесса расширения.

В принципиальном плане алгоритм рассматривается только для модели (4), поскольку случай системы (I) сводится к поэтапноцу применению одного и того же алгоритма вначале к матрице, а затем к правой части, с последующим анализом МНК-решения системы, составленной из множества пересечения.

В параграфе 3.2 подробно исследован случай задачи оценки параметра сдвига (модель (II)).

Теорема 3.5. Пусть выполнено соотношение (II), а условия, накладываемые на ошибки задания правых частей Дв¿ системы (II) такие же, как условия (12) для ошибок задания правых частей систе-

мы (4). Тогда решение системы (II) выделяющим алгоритмом при

О < £ < //£ , является наиболее В - робастной и наиболее V- ро-бастной оценкой, причем имеют место следующие соотношения: ^--¡/(Л/Яг

= 2; £* = 1/2. Более того, предложенный алгоритм определяет оптимальную 3 - и У- робастчую оценку решения.

Если же £ ~ О , то выделяющий алгоритм определяет единственную несмещенную линейную оценку с минимальной дисперсией среди всех несмещенных оценок.

Здесь - чувствительность к большой ошибке, чу ветви -

тельность к изменению дисперсии, а - пороговая точка.

- В параграфе 3.3 работы представлены результаты исследования выделяющего алгоритма методом Монте-Карло, а также рассмотрена проблеме ого применимости. Моделирование показало, что для обеих моде^ лей (I) и (4), всех исследуемых видов "загрязнений" и интенсивности "засорения", изменяющейся от 0 до 0.5, предлагаемый алгоритм имеет значительно лучшие характеристики по сравнению с другими исследуемыми методами (кроме итерационного). Проверка алгоритма на известных из литературы численных примерах и на реальной информации о траекториях движения также подтверждает его устойчивость и высокую точность.

Основной проблемой является проблема корректного определения доверительных границ для медианы правой части (4) в случае отличия от независима одинаково распределенных величин, то есть проблема

границ корректной применимости алгоритма. Исследования на модельной и реальной информации показывают, что эти границы значительно шире, чем можно предполагать теоретически. 3 работе представлен эвристический путь решения указанной проблемы, основанный на предположе -нии о монотонности математического ожидания правой части и замене основного допущения об отсутствии "засорения" элементов правей части "базовой" системы на более слабое предположение о пренебрежимо малой вероятности совпадения рангоБ элементов правой части "базовой" системы при отсутствии "засорения" с рангами остальных элементов правой части при ее "засорении". Построен реализующий эту идею модифицированный выделяющий алгоритм.

Четвертая глава посвящена оценке точности и программной реализации исследуемых методов. Неизвестный вид закона распределения ошибок (12) в условиях конечного размера Еыборки делает невозможным теоретическое изучение результатов оценивания решения. Поэтому возникает стремле -ние к использованию численных методов сравнительного исследования точности алгоритмов решения систем (I) и (4) на основе метода Монте-Карло. В параграфе 4.1 решается задача реализации численного подхода к анализу результатов исследования и разработки устойчивых методов полиномиальной регрессии. Разработан конкретный алгоритм, который с помощью естественных мер качества в терминах величин отклонения и рассеяния ошибок оценивания траектории движения от истинного значе -ния позволяет наглядно продемонстрировать свойства исследуемых методов в условиях вариаций распределения ошибок измерений и конечного размера выборки. В ходе исследований среднего и медианного решений со случайной перестановкой был разработан новый способ формирования целочисленных псевдослучайных величин, позволяющий осуществить бесповторную выборку уравнений. Способ основан на использовании в качестве искомых величин рангов выработанных первичным датчиком ¿ВМ исходных равномерно распределенных на интервале (0,1) Ееличин.

В параграфе 4.2 обсуждаются требования, предъявляемые к программ -ноь?у обеспечению системы исследования и разработки устойчивых методов полиномиальной регрессии. Приведено описание структуры разработанного программного обеспечения, удовлетворяющего предъявленным требованиям, которое состоит из 14 методо-сриентированных программных систем, и описание структуры системы. При разработке систем использовались принципы модульного и структурного программирования. Ьзык программирования - 40РТРАН-77, точность вычислений в большинстве модулей двойная. Отдельные модули вошли в состав систем программного

обеспечения, использоеэны при обработке данных о траектории движения и показали хорошую эффективность.

В заключении кратко сфорцулированы основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Методом Монте-Карло проведено сравнительное исследование ряда оценок коэффициентов полиномиальной регрессии (модификации метода средних и метода медиан, МНК, устойчивой М-оценки П.Хьюбе-ра).

2. Построен и экспериментально исследован итерационный алгоритм оценивания коэффициентов полиномиальной реграссии с "отбраковкой" недостоверных измерений, отличающийся от известных устойчивой оценкой масштаба и оценкой порога "отбраковки", зависящей от объема выборки и формы распределения ошибок, и показавший хорошую эффективность на модельных и реальных данных.

3. Построен и исследован выделяющий алгоритм полиномиальной регрессии, сочетающий в Сб5е, в отличие от известных, простоту реализации и практического применения, высокие устойчивость и точность оценивания при "засорении" матрицы и (или) правой части системы регрессионных уравнений "выбросами" с сохранением еысокой точности оценивания при отсутствии "засорения". Испытания алгоритма на модельных и реальных данных также показали его хорошую эффективность.

4. Разработано программное обеспечение системы исследования и разработки устойчивых методоЕ полиномиальной регрессии, состоящее из 14 метэдо-ориентированных программных систем. Построенные алгоритмы решения задачи устойчивой полиномиальной регрессии вошли в состав систем программного обеспечения, используются при обработке экспериментальных результатов проводимых НИОКР и показали хорошую эффективность.

5. Практическое применение результаты работы нашли при выполнении проводимых НИОКР в рамках тем "Швеллер", "Призрак-2" , ."Орда" и 51126.

6. Основные результаты работы отражены в 7 печатных работах и 2 научно-технических отчетах.

Результаты исследований докладывались и обсуждались на ХУШ, XIX и XX научно-технических конференциях войсковой части 03080 (IS86, 1988 и 1991 гг.), а также на семинаре по прикладной статистике в Новосибирском государственном университете.

ПУЕШЙЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Демьянов Ю.<*'. Исследование возможности и целесообразности внедрения робастных алгоритмов в систему обработки информации. -

В кн.: Сборник тез.докл. ХУШ научно-технической конференции в/ч 03030. Инв. № 2081/4. - Приозерск, 1986, с. 11-13.

2. Демьянов К.Ф.', Савельев Ji.fi. Некоторые робастные методы линейной регрессии. - В кн.: Сборник тез. докл. XIX научно-технической конференции в/ч 03080. Инв. № 2286/4. - Приозерск, 1988, с. 9-И.

3. Демьянов Ю.Ф. Способ повышения качества равномерно распределенных целочисленных псевдослучайных величин, формируемых на ЭВМ БЭСМ-6. - В кн.: Сборник тез.докл. XIX научно-технической конференции в/ч 03080. Инв. № 22S6/4. - Приозерск, 1988, с. 11-13.

4. Демьянов Ю.й. ¡устройство формирования распределенных равномерно целочисленных псевдослучайных величин, лежащих в заданном диапазоне.-Заявка на изобретение ® 4S65926 от 14.09.90 г. (в августе IS22 г. принято решение о выдаче охранного документа).

5. Демьянов Ю.Ф. 0б: оценивании непараметрических доверительных интервалов для медианы выборки с ненулевым средним. - Научно-технический сборник в/ч ОЗОЗО. - Приозерск, 1991, № 1(71).

6. Демьянов Ю.Ф. Оптимальнее оценивание коэффициентов полиномиальной регрессии по выборке с неизвестной симметричной унимодальной плотностью "засорения". - В кн.: Тезисы докл. XX научно-технической конференции в/ч 03080. Инн. S 3/I5IO. - Приозерск, 1991, с. 21-24.

7. Демьянов Ю.Ф. Мзтад Монте-Карло и оценка точности робастньгх алгоритмов оценивания решения стохастической системы линейных алгебраических уравнений. - Научно-технический сборник в/ч 03080. Инв. № 3/I6S4 Приозерск, 1992, № 1(72)', с. II8-I28.

— ,