автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Исследование и разработка методов оценивания параметров дробно-рациональных моделей в технических системах и процессах при наличии аномальных выбросов

л п

V •'

2 V ШР Ш97

На правах рукописи УДК 519.237.5:51-73.537

Шмагш Владишф Валентинович

ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДРОБНО - РАЦИОНАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ И ПРОЦЕССАХ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ВЫБРОСОВ

Специальность: 05.13.01 - управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата техшгческих наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ -1997

Работа выполнена иа кафедре вычислительных систем Санкт-Петербургской государственной академии нэрокосмического приборостроения

Научный руководителыдоктор технических наук,

профессор Л.А. Мироновский Официальные оппоненты: доктор техшиесюк паук,

профессор И.Б. Челпаноз кандидат технических наук,

Н.В. Еелоусоиа

Ведущая организация:

государственный научный центр ВНИИМ им. Д.И. Менделеева, Санкт-Петербург

Защита состоится "О?" апреля 1997 г. в •(£" часов на заседании специализированного совета К-063.21.03 по присуждению ученой степени кандидата технических наук в Санкт-Петербургской государственной академии аэрокосмического прнборостросшш по адресу: г. Санкт-Петербург, Б.Морская, 67.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СПбГААП

Автореферат разослан "О^ " 1997 г.

Ученый секоетапь доктор технических паук,

профессор . В.В. Фильчакон

. 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи идентификации состояния различных физических, медико-биологических и технических систем часто приходится решать при отсутствии информации об их теоретической модели. В таких ситуациях сначала криио/ргг исследование характеристик систем от регулируемых входных ко ¡действии, а затем методами регрессионного анализа строят математическую модель. При этом ¡1 качестве анпроксимациониых моделей часто используют дробно-рациональные функции (п частости, полиноьгы, ортогональные полиномы, сплайны, Паде-мпогочлецы и др.).

При проведении регрессионного анализа экспериментальных результатов исследователь, как правило, сталкивается с необходимостью решения следующих грех задач: выбрать 1) модель анализа данных, 2) алгорт'м, с помощью которого будет осуществляться решение регрессионной задачи, 3) критерий, с помощью которого будет оцениваться качество полученного решения. В настоящее время нахождение решения перечисленных задач усложнено тем, что а) за последние 20-.М) лет в теории анализа данных создано большое число новых алгоритмов и критериев; б) эксперимент;шигые масагвы данных, как правило, па 5 - 10 % состоят из аномальных выбросов (П.Хыобер); в) и общем случае задачи регрессионного ■пили ¡а экспериментальных данных являются некорректными или плохо обусловленными.

Особенно большое значение правильный выбор алгоритмов регрессионного анализа данных имеет в естествознании (Ю.И.Алнмов,- Е.З.Демцденко, Ф.Мостедлер, Ю.1 [.Пытьев, В.Н.Тутубалнн, Дж.Тыоки, Р.Хемминг, и др.) и в ряде задач технической диагност/аси (Е.П.Пиьбо, В.А.Граповсюш, Л А Мироновский, А.А.Лервозвапский, Г.Реклейтис, Т.Н.Снрая, И.ЛЧелпанов, и др.), где по результатам количественной обработки экспериментальных массивов су/^ят о механизме исследуемого явления шш характеристиках техничесюгх спечем.

Из изложенного вытекает актуальность работы, в которой рассмотрены и исследованы раз.ипные постановки задач оценивания параметров дробно-рациональных моделей и установлено, что вид решения задач оценивания зависит ог типа реализованной экспериментальной ситуации.

Цель работы. Разработка и исследование таких схем проведения количественного анализа данных и алгоритмов оценивания параметров дробно-рацнпп'гп.шлх функций, которые в совокупности позволят находить наиболее

точные и достоверные решения задач оценивания параметров чтих функции по заданной таблице экспериментальных данных, которая мо-жог содержа п. аномальные выбросы.

Основ] те задачи, решаемое в диссертации:

а) исследование различных постановок задач оценивании параметров линейных и нелинейных моделей и методов их решения;

б) разработка таких новых схем проведепл:-, регрессионного анализа, которые в совокупности с алгоритмами оценивания позволят находить наиболее точные п достоверные решения задач оценивания параметров дробно-рацнопальпых моделей в различных экспериментальных ситуациях;

в) исследование и разработка методов оценивания параметров дроСчнерациональных функций по зависимостям, полеченным в различных экспериментальных ситуациях;

г) проектирование н разработка программно!! системы ;ил оценивания параметров дробно-рациональных функций по задали), 1,м зависимостям, полученным в различных экспериментальных сигуациях, и исследование ее эффективности на примерах решения задач количественного анализа мапшпюго поведения ряда слабомагшггпых систем.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы регрессионного анализа и математической статистики, комбинаторные и алгебраические методы, метод,I математического ап;иппа, теория мазриц, методы имитационного моделирования.

Научная новизна. В ходе выполнения работы получены следующие новые научные результаты:

1. Модификация традиционной модели анализа данных, позволяющая при проведешт количественной обработки данных производить учет методов измерения зависимой переменной.

2. Общая схема проведения регрессионного анализа массивов дачных, позволяющая в совокупности с алгоритмами оценивания получать наиболее точные и достоверные решения задач оценивания парамегров анпроксимаци-онных моделей при возможном наличии в .массивах данных аномальных выбросов.

3. Общая процедура аттестации алгори тмов оценивания.

■4. Совокупность методов, позволяющих идентифицирован, аномальные выбросы в -экспериментальных массивах данных.

5. Результаты анализа магнитного поведения ряда слабомагнитаых систем от температуры, полученные при помощи разработашплх методов решения задач оценивания параметров дробно-линейной функции (модифицирован- ного закона Кюри - Вейсса).

Пракпгческая нешгость работы. • .

1. Разработаны и исследопаны прикладные алгоритмы оценивания дробно-рациональных моделей и методы выявления аномальных выбросов в экспериментальных массивах данных.

2. Разработан практический метод идентификации возможных экспериментальных ситуации и методы решения задач оценивания для каждой из этих

.ситуаций.

3. Проведена детальная разработка общей процедуры аттестации алгоритмов оценивания для случая дробно-линейной функции.

4. Разработана схема получеши наиболее точного и достоверного решения задач оценивания параметров дробно-липешгой функции по заданной двухфакториой таблице данных.

5. Создана програм&а!ая система, предназначенная для оценивания параметров дробно-рациональных моделей по массивам да1шых, получаемых в различных экспериментальных ситуациях, и исследована се эффекппшостъ на примерах решения задач количественной обработки экспериментальных результатов по исследованию магнитного поведения ряда слабомагшггных систем от температуры.

Внедрение полученных результатов. Результаты работы использованы в НПО БП для обработки экспериментальных данных ряда медико-технических, фармакологических, биохимических и других прецизионных исследований. Работоспособность разработанной программной системы и проверка программных документов на соответствие требованиям ЕСПД проведено комиссией ФАП РосИТО.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались па конференциях "Диагностика, информатика и метрология", Санкт-Петербург 1994, 1996; па Школе молодых ученых при X Междунар. конф. "Матемапгческие методы в химии и химической технологии", Тула 1996; па Междунар. конференции по аппроксимации и оптимизации, Юпоч-Напока (Румйння) 1996; на 3-й Европейской конференции по современным математическим методам в метрологии, Берлин (Германия) 1996.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в сс,\ш печатных работах, перечень которых приведен в конце автореферата.

Структура и обч.ек диссертации. Работа состоит из введения, 4 глав, приложения, заключения и указателя литературы, содержащего 9 О библиографические ссылки. Содержит /73 страниц, рисунков, таблиц.

2. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введеш-т обосновывается актуальность темы, определяется цель диссертационной работы, формулируются задачи, решаемые в работе, перечисляются основные научные и пршсшческие результаты диссертации.

Первая глава посвящена гаучешпо традиционных и нетрадиционных формулировок задач оцешшания параметров линейных и нелинейных аппроксимациошшх моделей и исследованию эффективности разработанных в теории анализа дшшых методов их решешш.

В первом разделе главы дано общее определеш1е линейных аплроксима-ЩЮШШ1Х моделей, прдаедена классическая формулировка задачи линейного регрессиошюго анализа, описан стандартный алгоригм ее решения (метод наименьших 1шадратов) и указаны условия, при которых это решение является наилучшим в классе всех лилейных несмещенных оценок (теорема Гаусса -Маркова).

В соглаиш с работами С.А.Айвазяна с соавт., И.Вучкова с соавт., Е.З.Демиденко, Н.Дрейпера и Г.Смига нетрадиционными методами .лшюйного регрессиошюго анализа будем называть алгоритмы, ' позволяющие решать линейную аппроксимационную задачу в рамках схемы засорения П.Хыобера -распределение погрешностей результатов наблюдений Ф(х) нредставимо в виде смеси двух распределит!"*! случайных величин, каждая из которых ¡шляется нормальным Гауссовым распределешюм - и/или при наличии плохой обусловленности матрицы регрессоров. В работе приведено краткое описание наиболее распространенных на практике нетрадиционных методов оиешшашш. Отмечается, что при использовании нетрадиционных алгоритмов оцешшания' необходимо проявлять осторожность в интерпретации полученных результатов, так как на практике эффекты, связанные с мультиколлинеарностыо независимых переменных или наличием аномальных выбросов в массиве данных, могут проявляться одинаковым образом.-

Исследованием робастных алгоритмов оценивания в разное время занимались за рубежом П.Рауссеу, В.Стахель, Ф.Хампель, П.Хыобер, Д.Эндрюс, и др.; в России С.Л.Айвазян с соавт., Е.П.Гильбо, Е.З.Демиденко, В.Л.Кушко, В.И.Мудров, С.А.Смоляк, Б.П.Титаренхо, И.Б.Челпанов, и др. В общем случае робастпые М-оценкн векторного параметра /1 линейной модели получаются из решения мишшизационной задачи

•V Ь N • ,

2 <?(у„- 1/1,/¡„) = Еф(л-уп)=>тт, (1)

и=] /=1 п=1

где функция 'р(г) симметрична относительно оси ординат, имеет непрерывную производную и достигает минимума при г = О, или из решения задачи

ауалу = IV,/(>■„-)/у„=о, . (2)

п-1 ( = 1

которая при некоторых условиях эквивалента задаче (1), где *Кг)— производная .ог <р(г) по с. Сравнивая между собой известные к настоящему времени функции Ч'(;), в работе установлено, что псе они имеют одну струкгурную форму: >С](г) если <Д];

I....................................(3)

где, как правило, т > 1. В диссертант! для генерирования робастпого М— онешшатсля предложено использовать функцию Ч|/(;) = ч>(г, с/), которая имеет простую структурную формулу:

«1=1, /¡(:)= 1-2/(1+ехр№))• (4)

Дчя функции (4)

Ф(:,^) = (2/^{1п(2)-1п(1 + ехр№))}+г. ' (5)

Данная ф-фупкция удовлетворяет всем указанным выше условиям. Кроме этого она выпукла. Таким образом, для (|>-функцш1 (5) выражения (1) и (2) •жливалеитны и имеют единственное решение (это не так, например, для \)/~ функции Д.Эпдрюса: т = 2, 4/1(2) = ят^/а), <|'2(г) = 0, а| = а к).

Во втором разделе первой главы дано общее определегвк нелинейных нипроксимационных моделей, нр1шедена общая формулировка задач нелинейного регрессионного анализа, описаны универсальные и специальные алгоритмы ее решения.

В конце первого и второго разделов первой главы приведены результаты исследования эффскптности традиционных и нетрадиционных алгоритмов .

оценивания линейных и нелинейных моделей. На основании этих результатов в главе 1 делаются выводы:

1) в линейном регрессионном анализе традиционный гшгоритм оценивания (метод наименьших квадратов) дает наилучшее значение оценок векторного параметра А для линейной модели только для тех экспериментальных данных, для которых выполняются следующие условия: остатки распределены по нормальному закону и матрица регрессоров хорошо обусловлена. При нарушении этих уел опий для нахождения оценок векторного параметра Л необходимо использовать, разработанные в теории анализа данных нетрадициошпле алгоритмы оценившем. При этом для линейной модели значения оценок векторного параметра А в общем случае будуг зависеть как ог вида использованного нетрадиционного алгоритма оценивания, так и от выбранных значений внутренних параметров нетрадиционных алгоритмов;

2) в нелинейном регрессионном анализе при использовании для решения задач оценивания универсальных алгоритмов возникают дополнительные сложности, связанные с поиском хороших начальных приближений и выбором процедуры для варьирования значений итерационного параметра ).,„. В некоторых случаях эти сложности удастся преодолеть за счет разработок и использовашш специальных алгоритмов оцешташш и/шш процедур подсчета начальных приближений для значений параметров, и т.п. ;

3) как установлено в работах Ю.И.Алимова, 10.И.Алимова и Ю.А.Кравцова, В.Н.Тутубалина, П.Е.Эльясберга, и др. в настоящее время не существует методов," позволяющих осуществить на практике проверку выполнимое™ условии пи. 1, и, следовательно, на практике невозможно математически строго обоснован., какое' из решений задач оценивания, разработанных в теории анализа данных, является наилучшим, т.е. на практике задача оценивания принадлежит семейству некорректных задач.

Вторая глава посвящена разработке методов, с помощью которых становится возможным на практике проверить выполнимость условий теорем!,1 Гаусса -Маркова (идентифицировать экспериментальную ситуацию данного эксперимента) и найти наиболее точное и дос товерное решение задач оценивания.

В первом разделе главы предложена модификация традиционной модели анализа данных, позволяющгш при проведении количественной обработки данных производить учет точности измерения зависимой неременной. Пусть задан план эксперимента {.г,,} и известно, что

У« = *№») + 1'Д (6)

где у„ — зависимая переменная, Г(х) — некоторая функция, е„ — случайные ошибки, £— функция измереш(я массива \у„}, п =1, 2, . . ., ¿V, т.е. (6) отличаегся от хорошо известной традиционной модели анализа данных заданием метода измерения зависимой переменной. С точки зрения экспериментатора ввод функции измерения в модель анализа данных необходимо пргшетствоиать, та'" как тем самым задача оценивания приближается к экспериментальным ситуациям, имеющим место на практике. Однако, с точки зрения математики ввод функции измерения приводит к значительному усложнению задач оценивания.

Но втором разделе второй главы разработаны методы решения задач оценивания дзя модифицированной модели анализа данных (б).

В работе предлагается различать следующие три экспериментальные ситуации:

1. Если в (б) при любом п е„ < ел, то будем говорить, что при решении задачи оценивания исследователь имеет дело с ситуацией 1, где г.„ - точность измерения аппрокснмащюпноп функции Р\х„).

2. Предположим, что в (6) неравенство е,,< е„ выполняется не для всех п. Однако, удалением некоторого числа и* элементов из исходного массива {у„, х„) эту ситуацию можно привести к ситуации 1, т.е. .имеет место устратшая или локальная неадекватность аппроксимационной функции.

3. Предположим, что имеет место ситуация 2, однако, для заданных экспе-рнмогпшмюго массива и аппроксимационной функции либо разшща N -ненамного отличается от числа параметров аппроксимационной функции, л»бо (по мнешао экспериментатора) на имеет слишком большое значение, либо ситуация 1 дня данного экспериментального массива никогда из достигается, т.е. имеет место неусграшша.ч или глобальная неадекватность аппроксимационной функции.

Для решения задачи идентификации указанных экспериментальных ситуаций введем в рассмотрение виртуальный прибор, с помощью которого, если это требуется, можно легко "перемерить" любые значения у„. Для обозначения величины наименьшего делешм шкалы этого прибора будем использовать символ а. С помощью виртуалыю.'о прибора при фиксированном но, определим такое наименьшее значение а = аПт, при котором на семействе планов { Хи }, содержащих все возможные комбинации из Л', N - 1, . . . , N - щ наблюдении, выполняется неравенство

1*<У«)''- £(ДЛ',л-„))| < аП11П, (7)

где g(y) - функции измерения виртуального прибора; А'- Ml НС-оценки векторного параметра функции F(x). Очевидно, что для аппрокснмациоиной функции F(x), используя для анализа исходного пассива данных метод виртуального прибора (см. формулу (7)) в совокупности с комбинаторными процедурами, позволяющими генерировать семейство аланов { Хц }, чин экспериментальной си-туацин можно определить по величине а„ш, : для этой функции имеет место экспериментальная ситуация 1, если выполнено неравенство ишш < с,,,.«, где Егоах = maxl g(i'„) - g(F(A', х„)) I.

I. Разработка методов решения задач оценивания в экспериментальной ситуации 1. С'помощью .истодов имитационного моделирования можно найти такое значение Бтах. для которого, если при любом п е„ < сшш, классический вариант решеши задачи оценивания всегда дает требуемую точность определения значений параметров, где е„ - точность измерения н-го значения зависимой переменной. Назовем процедуру нахождения г.,11М дтя заданной функции F(x„) и заданного плана { х„ } процедурой аттестации традиционного метода решения задачи оценивания. Таким образом, если выполнена процедура аттестации и при малом уровне шума точность измерения зависимой переменной не менее cmw, то для модифицированной модели анализа данных (б) наиболее точное и достоверное решешю задачи оценивания можно отыскать с помощью МНК-метода.

IT. Разработка методов решения задач оценивания в экспериментальной ситуации 2. Из описания ситуации 2 можно заключить, что этот случай можно воспринимать как присутствие ь исходном массиве {у,,, .г,,} некоторого количества аномальных выбросов. Таким образом, с точки зрения теории анализа данных для решешш задачи оценивания в обсуждаемом случае можно использовать следующий метод; предварительно выявить и удалить все iij аномальных выбросов из исходного массива {_>'„, .v„}, т.е. восстановить на усеченном плане {.v„}*, пе содержащем аномальных наблюдении, адекватность фпи.-цни g(F'(x)) и, следовательно, привести задачу к уже рассмотренному в и. 1 случаю. Очевидно, что успех или неуспех этого метода решения задачи оценивания целиком завис!!г от вида используемой процедуры выявления аномальных выбросов, т.е. зависит от правильности решения задачи идентификации аномальных выбросов, Описание процедур, с помощью которых в экспериментальной ситуации 2 всегда возможно осуществить правильное выявление аномальных вмброаз в исходном массиве данных, приведено в третьем разделе второй главы настоящей работы. Таким образом, если предложенный метод решения задачи оценивания

реализуется посредством использования указанных процедур, то получение наиболее точного и достоверного решения задач оценивания гарантируется.

III. Разработка методов решения задач оценивания в экспериментальной ситуации 3. Как известно, при наличии неадекватности аппроксимационной модели значение оценок параметров А зависит не только от вида постулируемой F(A, х) и испитой 0(11, х) моделей, но также и от плана эксперимента, который определяется заданием значений независимых переменных х. В теориях планирования эксперимента (см., например, работа С.М.Ермакова с соавт.) н регрессионного анализа данных (см., например, работы С.А.Айвазяна с соавт., ■Н.Дреипера и Г.Смита, Д.Себера) традиционно считается, что такая зависимость значений оценок А от операциональных условий эксперимента значительно затрудняет решение задачи идентификации параметров по заданному массиву {_у„,' хп}. D данной работе доказано, что с помощью указанной зависимости можно а) выявить факт неадекватности модели F(A,x\, б) восстановить значения параметров А несмотря на неадекватность аппроксимационной модели. Действительно, пусть впд функщл! F(A,x) и G(B,x) известен и для любого плана эксперимента наименьшим и наибольшим значениями независимой переменной .V являются одни и те же значения tl¡ и ch■ Тогда для любого плана эксперимента с помощью метода наименьших квадратов можно определить (с необходимой степенью точности) три различиях пом отношений. существующих между пара-меграми функций F(A, je) и G(ß, х):

- днекрешые теоретические, определешпле из аналитического вида функций для заданного дискретного-алана эксперимента {*„};

- непрерывные теоретические, рассчитанные для того предельного случая, когда обе функции заданы па континууме отрезка [c/i, í/j];

- экспериментальные, подсчитанные с использованием оценок векторных параметров А и И.

Сравнивая значения дискретных теоретических и экспериментальных отношении между параметрами А и В, легко установить адекватность функции G{¡!, -v) и неадекватность функции F(A, х). Точное решение задачи идентификации параметров функции F(A, х) получим из дискретных теоретических отношений с помощью интегральных или численных методов. Очевидно, что на практике вид ф\лкцин (ЦП, х) может быть неизвестен. В этом случае в качестве, функции G(ß. х) выберем многочлен, который аппроксимирует массив (у„, х„) с большей точностью, -чем функция F(A, х).

Прим?п,

Пусть F(A,x) является линейной моделью, а G(li, .г) генерируются из полинома четвертой степени

)\(W, х) =* 60 + X, Ь, х + Ъг h хг + h Ь) J + U Ы х\ (8)

где Х„= 1 если член Ьтх"' присутствует в (8) и Х,„= 0 в противном случае. Тогда по доказанному дли линейной модели «0 + «¡.i вместо МНК-оцеиок ее параметров необходимо использовать эначешш, вычисляемые по формулам

09 = 1>о - h bi' (f/c2 + 2i/u)/6 - Xt b,' d^d,1 + rfu) - /.., (i/c4 - </„J)/5, (9)

ei = Xi ¿Г + \ji>2'</e'+ X0j/>3'(9i/cJ-6(/u) + XW (4f/c3 - б i/c f/„), ЙВЫЬ Ач^-М^й-Хэ/Ю

где + c/j, c/u = rfj d2 Ii - МНК-оценкч генерирошщногопз (8)

многочлена G(0, .v). Эффективность формулы (9) продемонстрируем' па примере аппроксимации линейной моделью зависимое!и ll'(.v) = 2.г1,5, заданной равномерно в 9-н точках ип плане [2; 10]. График этой функции вместе с ее дискретными значениями (кружочки) приведен на рис. 1 (я). Используя для аппроксимации линейную модель, с помощью метода МНК, найдем, что <;, = 7,239 н dp =-11,954. Выбрав И качестве функции С(В, л) многочлен 4-он степени, по формуле (9) получим следующие исправленные значения: «1=7,2607 и аа~- 12,507, что практически совпадает с точным результатом: 0,=7,2б12 и а0=-12,510. Из приведенных на рис. 2.1 (С), (в) зависимостей значении МИК оценок для параметров линейной модели от Iу А/, приходим к выводу, что с помощью МНК метода только при N = 1000 можно достичь такой же точности оценок для параметров линейной модели, которая получена

45 15 -15

0

н-1-

8 ж

«О

00

-12,2

-12,6

Ч-Ь

0В 1.8 2,8 lg N б)

а.

7,255 .

7,2.15

н-н

0.S 1,8 2,8 |gW

Рис.1. Демонстрация эффскпшпости формулы (9) но сравнению с МНК оценками параметров линейной неадекватной модели.

при N = 9 с помощью формулы (9). Таким образом, формула (9) позволяет получать точные решения задачи оценивания параметров неадекватной аппроксимационной модели даже в условиях малой выборки.

В третьем разделе второй главы изучаются различдае методы выявления аномальных выбросов, присутствующих в экспериментальном массиве данных и на конкреттлх примерах исследуется их эффективность. На основании полученных результатов делается вывод о том, что наиболее эффективным методом выявления аномальных выбросов в экспериментальных массивах данных является метод виртуального прибора в совокупности с разработанными в работе комбинаторными параметрическими процедурами 1-го и 2-го типа.

В выводах к главе 2 констатируется, что для модифицированной модели анализа данных (б) существуют наиболее точные и достоверные методы решения задач оценивания и их вид зависит от типа реализованной экспериментальной ситуации.

Третья глава посвящена разработке и исследованию алгоритмов оценивания дробно-рациональных моделей. 0 ^

Так как поведение многих физических характеристик вещества от температуры (электропроводность, коэффициент линейного расширения, магнитная восприимчивость, модуль Юнга и др.) подчиняется дробно-линейной зависимости (модифицированному закону Юори-Вейсса), то для осуществления количественного анализа указанных температурных зависимостей актуальным ■ является разработка и создание такого математического и алгоритмического обеспечения, которое позволяло бы проводить оценивание параметров дробно-линейной функции на основании анализа реальных экспериментальных массивов • данных, т.е. с учетом их возможных несоответствий принятым в настоящее время (см. выводы к главе 1) требованиям теории анализа данных. Решение указанной задачи является основной целью первого раздела третьей главы. В этом разделе, в частности, для дробно-линейной модели приведено описание шести различных типов алгоритмов оценивания и для всех алгоритмов проведена подробная аттестация на примерах, имитирующих магнетохимические эксперименты по исследованию магнитного поведения твердых систем ^ А11.х015 . В результате проведенных исследований в диссертации установлено, что для дробно-линейной модели существуют простые итерационные методы, позволяоише уточшпъ а) МПК-оненки параметров этой модели и их погрешность, б) для- зависимой переменной положение интервалов "округления по дополнешпо".

Во втором разделе третьей главы произведена такая модификация некоторых алгоритмов оценивания, разработанных в первом разделе этой главы, чтобы их можно было использовать для оценивания параметров дробно рациональной функции Pp(x)!Qq{x), где Рр(х) и Qq(x) - многочлены степени р и q соответственно и p^q. Аттестация разработанных алгоритмов оценивания проведена на модельных примерах Fi(x) =» ((З1+71 x)/(x + at) .+ р2/(х + а2) и F2 (х) = Pi/{(x -, последний из которых представляет собой сумму двух резонансных слагаемых брейт-вигнеровского типа, а задача определения его параметров имцгирует типовую заД^чу, с которой исследователю приходится сталкиваться при изучении взаимодейств™ нейтронов с ядрами.

В выводах к главе 3 констатируется, что

а) хотя в случае дробно-линейной функции алгоритм Паде-анпроксимации 11-го рода проигрывает по сравнению с универсальными и другими специальными алгоритмами оценивания, тем не менее в общем случае этот алгоритм является наиболее удобным для оценивания параметров дробно-рациональных моделей, так как он позволяет очень просто находить параметры дробно-рациональных моделей, в каком бы сложном виде они не были представлены;

б) результаты процедуры аттестации алгоритмов оценивания параметров дробно-рациоиальных моделей сильно зависят от вида дробно-рациональной модели. В связи с этим при любом изменении вида дробно-рацнопалыюй модели, используемой для аппроксимации заданного Macciroa данных, необходимо проводить процедуру а1тестации используемого алгоритма оценивания. Четвертая глара посвящена проектированию, разработке и исследованию эффективности программной системы для оценивания параметров дробно-рациональных моделей по заданным двухфакторшлм таблицам данных, которые могут содержать аномальные выбросы. В первом разделе этой главы рассмотрены основные принципы проектирования программных систем анализа данных. Во втором разделе главы приведен подробшлй перечень задач, которые должны решаться в рамках проектируемой системы. Общая схема решения основной задачи проектируемой программной системы показана на рис. 2, где г.„ - точность измерения н-го значения зависимой переменной; \у„, х„}* - массив исходных данных, из которого удалены все аномальные выбросы; и„щ, определяется методом виртуального прибора; алгоритм 2 является алгоритмом оценивания параметров дробно-линейной функции и имеет следующее описание:

Представим дробно-линейную функцию в виде >•(.<!) = А^Л\!{Аг +.v). Имеем 1/(И/1) -A3) = (Аг+х) /А] = со + с\х. Таким образом если известна оценка для

Рис. 2. Общая схема решения задачи оценивания параметров дробно-линейной . функции по заданной двухфакторной таблице, полученной в различных экспериментальных условиях.

параметра Аз, то оценивание параметров Л) иЛг можно свести к задаче линейного однофакторного регрессионного шгализа

1) При заданных М и ДЛз рассматриваем в качестве возможных для Аз следующие значения Аз(У)= А3(0) - ДА} (М-2-»/), где J= 1,2,... , 2М+1. . 2) С помощью одно факторного линейного регрессионного анализа по массиву {*>, 1/(>'у-/1з("0)) находим оценки коэффициентов квадратичной функции с0 + с\х+ с¡х2. Значения параметров иА^Т) определяем из выражешш А\(1) = 1/с|, Аг{Т) = со!с\ и для каждого значешш 3 подсчитываем значение остаточной суммы квадратов 5(/4(7)).

3) Пусть, например, 8 достигает минимума при J = Ju тогда полагаем /1з(0) = ЛзОЛ), ДЛз = ДЛз/2 и переходт1 к п.1.

В диссертации определены условия, при которых общая схема решения основной задачи теряет работоспособность, и разработаны дополнительные процедуры и алгоритмы, позволяющие компенсировать выявленные недостатки основной схемы. _ \

Как показано в работе Ф.Мостеллера и Дж.Тыоки, в любой интерактивной системе анализа данных методы визуализации результатов вычислений играют важную роль. В связи с этим в данном разделе значительное внимание уделено вопросам разработки графического способа представления вычислительной информации, получаемой в проектируемой программной системе.

В третьем разделе четвертой главы исследована эффективность разработанной программной системы на примерах решения задач количественного анализа ыагшгпюго поведения от температуры систем Ьа МсхА1|.хОз (Ме = V, Сг, Ре, Мп), Ьа 8гМехА11_х04 и У Са МсхА11_х04 (Ме = Ре, Сг). В выводах к главе 4 констатируется, что результаты количественного анализа магнитного поведения ряда слабомагшггных систем, подученные с использованием разработашой в диссертации программной системы, приводят к необходимости изменения устоявшихся интерпретаций о магнитных свойствах этих систем.

В приложении приведены эксперимещальные таблицы, полученные в работах Н.П.Бобрышевой, Б.Я.Брача, Б.Н.Дудкина, Ю.И.Рябкова, Н.В.Чежшюй, и др., на основании которых в четвертой главе диссертации проводилось исследование эффективности разработанной программной системы.

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Нсс.чедопашл различные постановки задач оцешгоашм параметров лине!»а,ч нелинейных моделей и методы их решения. Установлено, что основной причиной, приводящей к некорректности задач оцеииьаиия параметров аппроксичацпонных моделей является неучет традиционной моделью анализа данных точности задания значений зависимой переменной.

2. 1 ¡роведена модификация традиционной модели анализа данных, позволяющая при проведении количественной обработку данных производить учет методов измерения зависимой переменной.

3. Разработана общая схема проведения регрессионного анализа, которая в совокупности с алгоритмами оценивания позволяет находить наиболее точные и достоверные решения задач оценивания параметров в различных экспериментальных ситуациях: ситуация 1 - массив данных не содержит аномальных выбросов; ситуация 2 - содержит аномальные выбросы, однако путем удаления ряда наблюдений из исходного массива данных эту экспериментальную ситуацию можно привести к случаю 1; ситуация 3 - содержит аномальные выбросы, однако путем удаления ряда наблюдений из исходного массива данных •ял »кеперпчентачьную ситуацию нельзя привести к случаю 1.

4. Рлзрабе гаи эффективный метод идентификации экспериментальных ситуаций, перечисленных в п. 3. .

5. Разработана общая процедура аттсстагцш алгоритмов оценивания и проведена детальная разработка этой процедуры для случая дробно-линейной функции.

о. Исследована и разработана совокупность методов, позволяющих идентифицировать аномальные выбросы в экспериментальных массивах данных.

7. Исследованы и разработаны алгоритмы оценивания параметров дробно-рацпональпых функций по зависимостям, полученным в различных экспериментальных ситуациях.

К 1'афаботана программная система !щя решения задач оценивания параметров дробно-рациональных моделей по двухфакторным -массивам данных, полученных в различных экспериментальных ситуациях, и исследована ее ■'ффекишпоеть.

Основные результаты диссертации отражены в следующих опубликованных работах:

1. Шмагин В В. Идентификация параметров дробно-рациональных моделей в условиях их локальной неадекватности // Тез. докл. Школы молодых ученых при X Междунар. конф.: Математические методы в химии и химической технологии. Тула, 1996. С. 124.

2. Шмагин В.В. Методы оцешташш параметров дробно-рациональных моделей при наличии аномальных выбросов // Тез. докл. научи.-техн. конф.: Диагностика, информатика, метрология, экология, безопасноаъ - 96. СПб, 1996. С.134-135.

3. Чебраков Ю.В., Шмагин В.В. Дробно-лннейпал и дробно-квадратичная аппроксимация неоднородных массивов данных. Деп. в РосКЦ ИТО 14.05.93, № 073.7210.374. М., 1993.

4. Чебраков Ю.В., Шмапш В.В. Робастиые алгоритмы для идентификации параметров линейной и дробно-линейной моделей // 'Гсз. докл. конф. Диагностика, информатика и метрология-94. 28-30 нюня 1994. СПб, 1994. 4.1. С. 107-108.

5. Чебраков Ю.В., Шмагин В.В. Идентификация параметров пеадек- ватных физических моделей//Изв. вузов. Физика, 1995. № 5. С. 40-45.

6. Chcbrakov Y.V., Sclunagin V.V. Restoring parameters of inadequative models by integral and numerical methods // Abstracts of the International Conference on Approximation and Optimization, July - August, 1996. Cluj-Napoca, Romania. P.22.

7. Chebrakov Y.V., Sclunagin V.V. Identificating regression models parameters in different experimental conditions // Abstracts of the Illth Euro-Conference Advanced Mathematical Tools in Metrology, September 1996. Berlin, Germany. P.54.

e