автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.12, диссертация на тему:Исследование и разработка методов моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций в системах автоматизации проектирования

На правах рукописи

Якивчук Елена Евгеньевна

Исследование и разработка методов моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций в системах автоматизации

проектирования

05.13.12-Системы автоматизации проектирования

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

г. Москва - 2006г

Работа выполнена на кафедре «Управление и информатика в технических системах» Московского государственного института

электроники и математики (технический университет).

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Алексей Федорович Каперко

Официальные оппоненты: доктор технических наук, доцент

Кожевников Анатолий Михайлович

кандидат технических наук, доцент Колесников Геннадий Васильевич

Ведущая организация: Московский государственный университет

приборостроения и информатики

Защита состоится « » 2006 года в^£часов на заседании

диссертационного совета Д 212.133.03 при Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете) по адресу: 109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер., д. 1-3/12, стр. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ.

Автореферат диссертации разослан «_»_2006г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.133.03 кандидат технических наук, доцент

Леохин Ю.Л.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Разработка математического и программного обеспечения является одной из центральных задач при создании систем автоматизации проектирования.

Создание комплекса программ при моделировании напряженно-деформированного состояния конструкций связано с проблемами технического моделирования и, прежде всего, математического моделирования и вычислительного эксперимента.

В настоящее время высокая производительность вычислений выводит численный эксперимент с уровня расчетно-теоретического на этапе сопровождения и отработки технического объекта на уровень проектирования и оптимизации характеристик технического объекта. При проведении практических расчетов необходимо, сочетая физическую интуицию с численным экспериментом, доводить математическое исследование до числового результата, что зачастую является трудной задачей.

Спектр задач при расчете на прочность строительных и машиностроительных конструкций весьма широк, и это определяет сложность разработки универсальных методик и алгоритмов. Различные представления проектировщиков о путях и целях автоматизации приводят к различным программным системам, удовлетворяющим ту или иную часть потребностей пользователей. Однако, общей и актуальной проблемой для всех разработок является повышение точности решения при расчете напряженно - деформированного состояния конструкций.

Сложность систем уравнений, описывающих задачи определения напряженно-деформированного состояния конструкций не позволяет получить точного решения большинства задач. Точные решения известны лишь для ограниченного числа задач. Для решения вводят гипотезы, понижающие порядок системы уравнений и позволяющие упростить процесс решения задачи. К разрешающим уравнениям 4-го порядка приводятся задачи изгиба стержней и тонких пластин на изгиб относительно функции прогибов. Для конкретной задачи решение должно удовлетворять также граничным условиям в перемещениях или напряжениях, или смешанным граничным условиям.

В инженерной практике в последние десятилетия наибольшее распространение среди численных методов решения получил меггод конечных элементов, используемый в подсистемах прочностных расчетов, входящих в САПР, как более простой в реализации и точный, особенно при формулировке и удовлетворении граничных условий. Однако, и метод конечных разностей (МКР), используемый долгое время как универсальный метод в численных расчетах конструкций, не утратил своей актуальности в решении проблемы повышения точности решения краевых задач.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

В работе рассматриваются пути повышения точности решения разностных схем для краевых задач, описывающих напряженно-деформированное состояние строительных и машиностроительных конструкций, на основе использования многоточечных разностных шаблонов повышенной точности.

Цель работы и задачи исследования. Целью работы является разработка автоматизированного подхода к решению краевых задач в САПР на основе автоматической генерации коэффициентов разностных шаблонов повышенной точности, обеспечивающих повышение точности решения разностных схем для краевой задачи по определению напряженно-деформированного состояния конструкций.

Для достижения указанной цели в диссертации поставлены следующие задачи:

1. Разработать аналитический способ нахождения коэффициентов разностных шаблонов и интерполяционных многочленов для таблично заданных одномерных и двумерных функций;

2. Разработать процедуру, генерирующую коэффициенты конечно-разностных шаблонов, обеспечивающую автоматическое формирование матрицы коэффициентов на этапе алгебраизации краевой задачи и заменяющую библиотеку разностных шаблонов;

3. Разработать алгоритм и программу, обеспечивающую точное решение одномерных краевых задач по расчету систем стержневых конструкций (балка, рама, ферма);

4. Разработать алгоритм и программу, обеспечивающую решение с заданной точностью двумерных краевых задач по расчету пластин на прямоугольной области;

5. Исследовать влияние порядка полинома, аппроксимирующего решение краевой задачи по расчету пластин на прямоугольной области, на точность решения задачи;

6. С помощью разработанных прикладных программ провести численное моделирование ряда задач для исследования механических напряжений и деформаций в задачах статики.

Методы исследования. В соответствии с поставленными задачами и целями в работе использовались аналитические (линейная алгебра, высшая алгебра и теория симметрических многочленов) и численные методы (метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод Галеркина) исследования задач заданного класса. Оценка эффективности программного обеспечения проводилась на расчетах известных моделей, имеющих точные решения.

Научная новизна состоит в разработке автоматизированного подхода к решению краевых задач по определению напряженно-деформированного состояния конструкций, при котором в отличие от известных подходов

автоматически находятся коэффициенты конечно-разностных шаблонов, что позволяет:

- варьировать точностью решения разностных схем,

- заменять библиотеки разностных шаблонов в МКР, тем самым, повышая уровень автоматизации проектирования.

В рамках разработанного подхода обоснованы и разработаны:

• математическое обеспечение, базирующееся на аналитическом едином подходе вывода коэффициентов разностных шаблонов и интерполяционных многочленов для таблично заданных одномерных и двумерных функций. Этот подход осуществлен на основе аналитического обращения матрицы Вандермонда;

• алгоритм для нахождения коэффициентов разностных шаблонов для аппроксимации производных любого порядка через произвольное число точек, являющийся ядром генерирующей процедуры для нахождения коэффициентов центральных и односторонних разностных шаблонов как с регулярной сеткой, так и с произвольной, включая частные и смешанные производные;

• программное обеспечение, реализующее разработанное математическое обеспечение и предложенный алгоритм, что позволяет автоматизировать расчеты и расширить область применения программного обеспечения на системы дифференциальных уравнений, требующие при решении аппроксимации производных.

Таким образом, в диссертационной работе разработаны теоретические положения и решение важной научной задачи повышения точности решения краевых задач по определению напряженно-деформированного состояния конструкций и автоматизации нахождения параметров расчетных моделей.

Научные положения, выносимые на защиту.

Предложен автоматизированный подход к решению краевых задач по определению напряженно-деформированного состояния статических систем включающий:

• способ аналитического обращения матрицы Вандермонда, являющийся основой математического обеспечения вывода коэффициентов разностных шаблонов и интерполяционных многочленов для таблично заданных одномерных и двумерных функций;

• алгоритм для нахождения коэффициентов центральных и односторонних разностных шаблонов как с регулярной сеткой, так и с произвольной, включая частные и смешанные производные;

• алгоритм нахождения коэффициентов интерполяционных многочленов на основе единого подхода при выводе коэффициентов интерполяционных многочленов для таблично заданных одномерных и двумерных функций;

• алгоритм модифицированного метода конечных разностей (МКР) для одномерных задач, позволяющий в отличие от традиционного МКР, находить точное решение при расчете стержневых систем;

• алгоритм модифицированного метода конечных разностей для двумерных задач (пластин), имеющий большую точность по сравнению с традиционным МКР, при использовании одинаковых сеток.

Практическая ценность состоит в возможности использования разработанных математических и программных средств при автоматизированном проектировании объектов машиностроения, строительства, мостостроения, атомной энергетики, нефтедобывающей промышленности и во многих других сферах, где актуальны методы строительной механики.

Разработанные алгоритмы и программы за счет автоматической генерации коэффициентов разностных шаблонов позволяют автоматизировать расчеты и дают возможность варьировать точностью решения путем изменения параметров дискретизации расчетной области.

Был проведен статический расчет полигональных железобетонных торкретированных арок для нужд строительной фирмы «Попов и архитекторы».

Разработанный программный комплекс используется в учебном процессе при изучении дисциплин «Вычислительные методы», «Строительные конструкции» и «Сейсмостойкость конструкций и сооружений».

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах:

- 1 Всесоюзная научно-техническая конференция «Современное состояние и перспективы развития устройств ввода-вывода информации в САПР, АСУ технических процессов и гибких автоматизированных производств». (26-28 сентября 1985 г. Орел);

- Всесоюзная научно-техническая конференция «Динамическое моделирование сложных систем». (22-24 сентября 1987г., г. Гродно);

- Совещание специалистов стран - членов СЭВ «Персональные ЭВМ в задачах проектирования и поддержки решений» (г. Суздаль, 30 сентября - 3 ноября 1989г.);

- Всесоюзная научно-техническая конференция «Микропроцессорные средства локальной автоматики» (14-16 июня 1989г., г. Гродно);

- Всесоюзное научно-техническое совещание - семинар «Микропроцессорные системы управления технологическими процессами в ГПС » (17-22 сентября 1990г.);

- Научно-техническая конференция с участием зарубежных специалистов «Датчик и преобразователи информации систем измерения, контроля управления». «Датчики 98», «Датчики 2000», «Датчики 2001»;

- Международная научная конференция «Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы» (Москва, 4-8 июня 2001г.);

- Международная научно-техническая конференция «Проблемы автоматизации и управления в технических системах», Пенза, 2004г. Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в

работах автора [1-7].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы. Объем работы составляет 139 страниц. Работа содержит 9 рисунков, 19 таблиц, 1 приложение и список цитированной литературы из 75 наименований.

Содержание работы. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор работ по системам автоматизированного проектирования и системам создания проектной и конструкторской документации на изготовление и эксплуатацию сложных технических объектов. Рассмотрены этапы расчета и требования к подсистемам прочностного расчета, интегрированных в САПР.

В первой главе дается обзор численных методов, используемых в подсистемах прочностных расчетов, интегрированных в САПР. Кратко излагаются вариационные методы решения краевых задач по определению напряженно-деформированного состояния систем. Более подробно рассмотрен метод конечных разностей, вопросы, возникающие при его реализации и пути повышения точности решения задач. Сделана постановка задачи и обоснована необходимость ее решения.

Во второй главе разработан математический аппарат, используемый при автоматизации задач численного анализа (численное дифференцирование и интегрирование, интерполирование), результаты которого используются при решении краевых задач по определению напряженно-деформированного состояния конструкций.

Классический численно-аналитический метод заключается в построении многочлена, аппроксимирующего заданную функцию по ее узловым значениям, и выполнении аналитической операции над этим многочленом. Обычно, окончательный результат оказывается линейной комбинацией значений функции в узлах. В работе рассматривается вывод различного рода формул численного дифференцирования, интегрирования и интерполяционных многочленов с позиции единого подхода. Этот подход осуществлен на основе обращения матрицы Вандермонда, доказательство обращения и аналитический вид элементов обратной матрицы приведены в работе.

Подробно описана процедура нахождения миноров определителя матрицы X (матрица Вандермонда). Показано, что при использовании процедуры разложения определителя на множители матрица любого значащего определителя имеет почти треугольный вид. Ее определитель раскрывается по рекуррентному соотношению:

при следующих принятых обозначениях -^(х,,^,---,^) = ^Л*,..-*«.,

В^'Сх;= Таким образом при предположении, что

произвольный минор имеет вид = (к-0,1,...,п-1), проведено

доказательство на основе проверки условия XX' = Х'Х = Е.

Для вывода общей формулы для нахождения коэффициентов разностной производной воспользуемся разложением функции в ряд Тейлора.

Пусть задана функция/(х) еСп+\[а,Ь], т.е. /(х) имеет все производные до п+1 - порядка включительно на промежутке [а,Ь], содержащим точки хй, X/, х2,..., х„. Допустим, в названных точках известны значения функции, т.е. /(хо) /(х/) -/¡, ... ,/(х„)=/„. Используя разложение Тейлора «-степени для функций /„, /},...,/„ в точке х0е[а,Ъ], получим

/(*о)=/(*о)

/(*,) = /(*„ ) + ~Х"/'(х0)+...+ У /'">(*„) + /("+1,(г,)

/(х2) = /(*„)+ (Х2 ~ГГ Г^^'^Г^г)

I! Я!

ъе[хо,хЦ, /=/,..,«.

Если допустить, что функция может быть аппроксимирована точно многочленом я- степени по заданным узловым значениям, то разложение будет точным. Обозначая у 0=/(ха), уН(х{), Уп=/(х„), у'о^/'М, у"о=/(хо). ■■■ , Л-/^(хо) значения многочлена и его производных в точках х0, Х1,...^с„, получаем систему в матричном виде Г=ЛУ, где У = (у 0, Уь у я)т,

рЧуьу'о....,^,

х=

0 0 0

-*о) (*. -х0)2

И 2! гЛ

<*2 (х2 ~*о)2 (*2 -Х0 Г

1! 2! гА

-*о) <*я

2!

гА

Представим матрицу Л'в виде произведения двух матриц:

К=

'1 0 1 1! 0 . <Г

0 0 . 1 2! 0

0 0 0

0 ь 0 0 . 1

5=

1

О

О

1 (*!-*>) {х1-х^

1 (ь-Хо) (ъ-Хь)2

1 (*л-ль) (хп -х^)2

О

- (ъ-ХоУ •• (Хп-ХоУ)

Из матричного уравнения У=ХР имеем Р=Х'У- вектор неизвестных для определения производных. Поскольку Х'=(5У)~' = У'К1, то 11,21,..., п!} и

5-1 =(-!)•

(®) _$п 0 0 0 \

пк- к=ОМЛ (8) &-1 (Г) &-1 (2) Л-1 С) Л-1

П(*,- ХК) 4=0^*1 ПК-*=0>*2 ПК" к=0Л*п

лГ (I) Л Л

ПК- »=0^*0 1 **> Ы,Ы 1 ПК-1 ПК" 1

ПК- к-О^гО П(*г-Х4) ПК- к=9**1 ПК- к-ол*"

Общность рассуждений не нарушается при определении производной в любой заданной точке отрезка. Примем обозначения X1 = тогда в общем виде для определения производной имеем:

П (*,-**>

к'0.к<_. у К

где С'Кт) - коэффициенты разностных шаблонов, т+1- количество узлов, г- порядок производной, ]- номер коэффициента при значении функции в > узле,

»Ут-/-симметрический многочлен есть сумма всех произведений, каждое из которых составлено как всевозможное сочетание из элементов вида (х^-х^ к=0,...,т), */- точка, в которой берегся производная.

Для формул исходными данными являются координаты точек - х] и значения функции - у}=}(х) в этих точках. В зависимости от положения точки, в которой определяется производная, получаем центральные или односторонние разностные шаблоны.

Возможность построения разностных шаблонов для неравномерного расположения узлов позволяет более точно аппроксимировать производные для быстро меняющейся функции на одной части области и медленно меняющейся на других участках области.

Также на основе выше описанного подхода возможно проинтерполировать заданную таблично функцию Дх) в точке х, не выписывая явного вида интерполяционного многочлена:

/(*)-*»*'/(*,)>0=0,7,2,...,и), где п+1-

количество точек,

.

X"1 =(-1)" '-0=1- - элемент обратной матрицы Вандермонда,

" п (*.-**)

1-0Л' ^ J Л

построенной по координатам точек,

' элементаРнь'й симметрический многочлен, есть сумма всех

произведений, каждое из которых составлено как всевозможное сочетание из элементов , причем Ы], (к~-0,...,п). Верхний индекс указывает на отсутствие ./-элемента в сочетаниях состоящих из нижний - номер элементарного симметрического многочлена.

В третьей главе на основе материала, изложенного во второй главе, приведены алгоритмы нахождения:

• коэффициентов центральных и односторонних разностных шаблонов, как для производных от функции одной переменной, так и для частных и смешанных производных любого порядка через произвольное количество точек;

• коэффициентов интерполяционных многочленов, приближающих функцию одной и двух переменных, заданную своими значениями в узловых точках прямоугольной области.

Разработанные алгоритмы позволяют с одинаковой легкостью строить как регулярные, так и произвольные шаблоны и использовать любое возможное количество узлов сетки.

Рассмотрим функцию двух переменных /(х,у), заданную в табличном виде: Функция имеет непрерывную производную до (п+т)-

порядка и задана на прямоугольнике размерности пхт (рис.1).

Алгоритм аппроксимации смешанной производной в узловой точке

СФ

А к,

к.

ХР, 1

г

к/ '

ГШ

Рис.1

1. Определить для всех точек ]-столбца (столбец фиксируется) частные производные к-порядка по х через значения функции в узловых точках каждой строки.

Для аппроксимации частных производных имеем выражение:

где

* ( у^

Су = V- V--——, 0=0,;.....п; к £т),

П <*,-*,)

т+1- количество точек, к - порядок производной, у - номер коэффициента при значении функции в у- узле (]~0,1,...,т),

симметрический многочлен есть сумма всех произведений, каждое из которых составлено как всевозможное сочетание из элементов вида (хь - х,) к-1,...,т), х,- точка, в которой берется производная. 2. Определить частные производные / - порядка по у по значениям найденных приближенных производных в точках, взятых по направлению х. Выражение для аппроксимации смешанной производной примет вид:

= п

•'у к у

. (]=0,1,2,...,т; к <т; I <п),

где

У У У и у 4 п

Л5«

П-,

Шу-У.)

14М * *

Обобщение на большее число размерности не вызывает сложностей. Коэффициенты разностных шаблонов представлены в табличном виде.

Разработанное на основе изложенных алгоритмов программное обеспечение повышает уровень автоматизации проектирования объекта на этапе замены дифференциального оператора разностным.

В четвертой главе приведены разработанные алгоритмы, программа, результаты численного решения краевых задач для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, описывающие напряженно-деформированное состояние конструкций.

Алгоритм модифицированного метода конечных разностей решения состоит из следующих этапов:

• разбиение области определения искомой функции на промежутки (области), в которых функция должна быть гладкой;

• задание через координаты, определенного числа точек в каждом промежутке, необходимого для обеспечения построения интерполяционного полинома назначенной степени;

• замена дифференциальных операторов в исходном дифференциальном уравнении и краевых условий разностными операторами, построенными на одном из разностных шаблонов;

• формирование системы линейных уравнений, искомые корни которой суть значения искомой функции в назначенных точках;

• решение сформированной системы;

• вывод назначенных дискретных значений искомых функций-вектора решения системы линейных уравнений;

• построение и вывод интерполяционных полиномов, которые представляют аналитический вид искомого решения.

Рассмотрен более детально третий этап - построение разностной модели. Замена дифференциального оператора разностным означает, что любую производную можно заменить ее разностным аналогом. Для нахождения коэффициентов разностных шаблонов используется процедура, генерирующая коэффициенты и позволяющая автоматизировать решение краевых задач на этапе алгебраизации дифференциальных уравнений.

Рассмотрено применение разработанного математического и программного обеспечения для анализа следующих моделей конструкций:

Модель 1. Система обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными краевыми условиями, описывающая напряженно-деформированное состояние (НДС) элемента системы (стержня) в линейной постановке.

Используются, разработанные в теории упругости, разрешающие уравнения в перемещениях. Уравнения имеют две искомые функции: и

т

п *

* А Г =

в а *и в р"

где - прогиб (перемещение нормальное к недеформированной оси стержня); и - перемещение по направлению оси стержня; р„ -распределенная нагрузка, нормальная к оси стержня; рг - распределенная нагрузка, направленная по оси стержня; О - постоянный коэффициент (изгибная жесткость); В - постоянный коэффициент (жесткость растяжения-сжатия); я - ось стержня до деформирования.

Своими концами соседние стержни контактируют между собой. Их взаимное влияние описывается через статические и геометрические граничные условия, т.е., задача усложнена описанием условий контакта между рассматриваемыми одномерными элементами, взаимосвязь которых определяет реальную систему (рама, ферма, арка, балка).

В качестве примера рассмотрен расчет рамы с загруженным ригелем -6м, с равномерно - распределенной по ригелю нагрузкой -1т и с заделанными стойками - 6м. Для того чтобы получить точное решение берется 19 узлов на сеточной области. Расчет дает перемещение в узловых точках, по которым определяются остальные факторы напряженно деформированного состояния: изгибающий момент, поперечные силы и осевые силы.

На рисунках даны графики прогибов и изгибающих моментов.

Эяюра фогабо*

Рис 2. График прогибов (*) Рис 3 график изгибающих

моментов (тм)

При расчете стержневых систем описанный метод позволяет еще до решения задачи задать порядок аппроксимирующего полинома, обеспечивающего точное решение в пределах применяемой теории, и таким образом определить оптимальное количество узлов сетки. Дальнейшее измельчение сетки не повлияет на уточнение решения в отличии от МКР.

Данная математическая постановка задачи является общей для расчетов прочности и деформаций стержневых моделей (рама, балка, ферма), работа которых подробно рассмотрена в данной главе.

Модель 2. Бигармоническое уравнение, рассматриваемое на прямоугольной области с заданными краевыми условиями на границе. В общем случае точно проинтегрировать это уравнение невозможно. Ниже приведены результаты расчета по модифицированному МКР.

при следующих краевых условиях (КУ №1) на границе:

чг(х,0)= ™(х,ь;= и>(0,у)= м/(а,у)=0,

Для удобства сравнения примем следующие исходные данные:

- плита, прямоугольная в плане со сторонами а~Ь = 1 м;

- равномерно распределенная нагрузка интенсивностью д = 1кН/м;

- цилиндрическая жесткость: й - 0 0916 кН/м2;

- коэффициент Пуассона: ц =0 3;

- м> — прогиб (искомая функция). Решение в перемещениях (м>) имеет вид:

X

ъ

Рис 4 График решения бигармонического уравнения в переметениях

Сравнение результатов по прогибу и изгибающему моменту,

полученных по МКР в традиционной и модифицированной постановке, проведены в указанном сечении на основе построения интерполяционных многочленов.

Рис. 5. График прогибов по сечению х - 0.5

„-0 027,0051

0 У 1

Рис.6. График изгибающих моментов по сечению х = 0.5

Из анализа сравнения с точными результатами (метод Галеркина) результатов расчета поМКРи МКР повышенной точности заключаем: - решение, с использованием сетки 9x9 по МКР повышенной точности, для максимального опорного изгибающего момента имеет наибольшую погрешность - 0.39% от точного, а решение по МКР имеет наибольшую погрешность - 62.87%.

Таким образом МКР повышенной точности, являясь разновидностью метода сеток и приближенным способом решения двумерных краевых задач, дает более точные решения при расчете прямоугольных пластинок, по сравнению с традиционным МКР, если использовать одинаковые сетки.

В работе представлены результаты расчета пластины при различных краевых условиях по МКР повышенной точности для сеток 5x5,9x9,13x13 и сделан вывод:

- решение, с использованием сетки 9x9 по МКР повышенной точности оптимально, так как дальнейшее измельчение сетки весьма мало повлияло на погрешность, которая для решения с сеткой 9x9 составила в самом неблагоприятном случае 2.3%.

В работе приведены результаты сравнения предлагаемого метода и метода конечных элементов (МКЭ) в программной реализации Scad с методом Галеркина. Анализ полученных результатов показывает:

- для пластины с шарнирным оттиранием максимальное расхождение величин по МКЭ составляет 2.7%, а по МКР повышенной точности составляет 1.5%;

- для пластины с заделанными краями по контуру максимальное расхождение величин по МКЭ составляет 35.4%, а по МКР повышенной точности составляет 4.0%.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Для решения задач в САПР по определению напряженно-деформированного состояния конструкций разработаны:

• автоматизированный подход к решению краевых задач на основе процедуры генерирующей коэффициенты разностных шаблонов;

• математическое обеспечение, базирующееся на аналитическом едином подходе вывода коэффициентов разностных шаблонов и интерполяционных многочленов для таблично заданных одномерных и двумерных функций. Этот подход осуществлен на основе аналитического обращения матрицы Вандермонда;

• программное обеспечение, включающее генерирующую процедуру, которая заменяет библиотеку разностных шаблонов и реализует:

- алгоритм для нахождения коэффициентов центральных и односторонних разностных шаблонов как с регулярной сеткой, так и с произвольной,

алгоритм нахождения разностных смешанных производных для прямоугольной области;

• математическое и программное обеспечение решения краевых задач для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, описывающие напряженно-деформированное состояние конструкций.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах автора [1-7].

1. Якивчук Е.Е. Разработка алгоритма измерительной системы на основе обращения матрицы Вандермонда. // Датчик и преобразователи информации систем измерения, контроля управления. Сборник материалов X юбилейной научно-техническая конференции с участием зарубежных специалистов. Под редакцией профессора В.Н. Азарова в 2-х томах. М.: МГИЭМ, 1998, с. 435-436.

2. Якивчук Е.Е. Обращение матрицы Вандермонда. // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 8. М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 1999г., с. 67-69.

I I i

3. Якивчук E.E., Борзых Е.П. Общая формула аппроксимации

производных и ее применение при решении краевых задач по расчету строительных конструкций. // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 9. М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2000г., с. 64-66.

4. Якивчук Е.Е. Математическое обеспечение САПР. // Датчик и преобразователи информации систем измерения, контроля управления. Сборник материалов XII научно-техническая конференции с участием зарубежных специалистов. Под редакцией профессора В.Н. Азарова. М.: МГИЭМ, 2000. - 312с.

5. Туманов М.П., Якивчук Е.Е. Применение метода интерполяции для нахождения коэффициентов характеристического уравнения сетевой системы автоматического управления с периодическим запаздыванием. // Датчик и преобразователи информации систем измерения, контроля управления. Сборник материалов XIII научно-техническая конференция с участием зарубежных специалистов. Под редакцией профессора В.Н. Азарова. М.: МГИЭМ, 2001. - 334с.

6. Якивчук Е.Е., Борзых Е.П. Решение задач строительной механики в полиномах. //Вестник Российского университета дружбы народов. Специальный выпуск. М.: Издательство Российского университета дружбы народов, 2002, №1, с.136.

7. Якивчук Е.Е., Гридина Е.Г. Автоматизированный подход к решению краевых дифференциальных задач. // Проблемы автоматизации и управления в технических системах. Труды Международной научно-технической конференции. Пенза: Информационно- издательский центр ПГУ, 2004г., с. 344.

1

ИД № 06117 or23.102001

Подписано в печать }Ш&200& Формат 60x84/16. Бумага типографам № 2. Печать - ризогрефия.

Усл. печ. л. 1,1 Тираж 100 эо. Заказ $4>7.

!

Мосязвсххй государственный внсппуг злекгрояи» и нгтжпж 10SQ28, Москва, БТршсаятятальсай пер., 3/12.

И Центр оперативной полиграфии (00Щ 8164&44,816-89-2S

?

то 7839

Введение

Глава 1. Обзор методов моделирования, используемых в системах прочностных расчетов, интегрированных в САПР.

1.1. Постановка задачи математического моделирования напряженно-деформированного состояния конструкций.

1.2. Метод конечных разностей и пути повышения точности решения по определению напряженно-деформированного состояния конструкций

Глава 2. Математическое обеспечение для решения краевых задач по определению напряженно-деформированного состояния статических систем.

Введение. Единый подход к основным задачам численного анализа.

2.1 Обращение матрицы Вандермонда.

2.1.1. Постановка задачи нахождения обратной матрицы.

2.1.2. Определитель матрицы Вандермонда.

2.1.3. Миноры матрицы Вандермонда.

2.1.4. Обращение матрицы Вандермонда.

2.1.5. Обращение матрицы Вандермонда с нулевым элементом.

2.2. Формулы численного дифференцирования.

2.2.1. Подходы к выводу формул численного дифференцирования

2.2.2. Общая формула аппроксимации производной п-порядка.

2.2.3. Погрешность формул численного дифференцирования.

2.3. Задача интерполирования.

2.3.1 Вывод интерполяционного многочлена.

2.3.2 Метод интерполяции Лагранжа.

2.3.3 Дифференцирование интерполяционного многочлена Лагранжа.

2.4. Квадратурные формулы.

2.4.1. Постановка задачи численного интегрирования.

2.4.2. Построение квадратурных формул.

2.5. Выводы

Глава 3. Процедура, генерирующая коэффициенты разностных шаблонов и интерполяционных многочленов.

3.1 Процедура, генерирующая коэффициенты разностных шаблонов для функции одного переменного.

3.2 Процедура, генерирующая коэффициенты интерполяционных многочленов для функции одного переменного.

3.3 Процедура, генерирующая коэффициенты разностных шаблонов для функции п - переменных. Аппроксимация смешанных производных.

3.4 Процедура, генерирующая коэффициенты интерполяционных многочленов для функции п- переменных. Многомерная интерполяция.

3.5. Выводы.

Глава 4. Алгоритмы, программы и примеры численного решения краевых задач по определению напряженно-деформированное состояние системы

4.1. Определение напряженно-деформированного состояния стержневых конструкций.

4.2. Определение напряженно-деформированного состояния прямоугольных пластинок.

4.3. Выводы.

Последние десятилетия характеризуются стремительным развитием вычислительной техники: от ЭВМ "Мир", "Наири" через "Минск-32" и "ЕС-1066", VAX и СМ к ПЭВМ 5-го и 6-го поколений (PC) и рабочим станциям (WS). Одновременно с ростом мощности вычислительной техники совершенствуются и возможности соответствующих программных продуктов (SOFTWARE). В последние годы наиболее эффективно ПЭВМ используются в небольших научных и производственных коллективах и отдельными квалифицированными пользователями. Соответствующую эволюцию претерпели и программные средства (ПС), обеспечивающие проведение основных видов расчетов (прочность, устойчивость, колебания, усталость, долговечность) строительных и машиностроительных конструкций. Не останавливаясь на истории вопроса, отметим состояние дел по развитию программных средств обеспечения прочностных расчетов. В настоящий момент существуют две основные тенденции развития ПС:

• создание специализированных ПС для узкого класса задач, отличающихся легкостью освоения и невысокими требованиями к мощности ПЭВМ;

• разработка универсальных пакетов прикладных программ, позволяющих решать практически любую задачу механики сплошных сред, достаточно сложных в освоении и эксплуатации.

Отметим программные продукты, получившие распространение в мире и России: FESTA - расчеты на прочность, устойчивость, а также проектирование плоских и пространственных судовых конструкций в рамках стержневых моделей, реализующие метод конечных элементов (МКЭ), GIFTS - версия 6.2.8 1988 г, и версия 6.5 1993г. Аризонского университета США. В библиотеку входит более 30 конечных балочных, пластинчатых и объемных элементов. В этом пакете достаточно удобно реализованы контактные задачи и задачи, требующие применения метода суперэлементов,

ANSYS - фирмы ANSYS (г. Хьюстон, США), COSMOS - фирмы SRAC (США), пакеты NASTRAN и ABAQUS для рабочих станций, отечественные пакеты ЗЕНИТ, ИСПА, ЛИРА, SCAD и ряд других.

Использование преимущественно зарубежных универсальных ПС объясняется тесной связью, прежде всего интерфейсов ввода-вывода, с последними возможностями вычислительной техники, новейшими операционными системами и интерфейсами CAD/CAM технологий.

При создании интегрированной в САПР подсистемы прочностных расчетов стоит задача - сделать подсистему более автоматизированной и более доступной для пользователей, не являющихся специалистами в области прикладной механики и вычислительных методов - удовлетворяющей следующим требованиям: наличие полной и ясной документации, дающей возможность пользователю самостоятельно решать мелкие проблемы, возникающие в процессе эксплуатации; простота и наглядность задания исходной геометрии; автоматизированная подготовка исходных данных для расчета объекта, на основе геометрической модели, созданной с помощью геометрического моделирования; программный анализ исходной информации на ее корректность; наличие мер контроля вычислений и средств проверки достоверности результатов; представление результатов в удобном виде; высокая надежность программы для заявленных классов задач.

Важным требованием на этапе разработки такого программного комплекса является его «открытость». С самого начала следует учесть возможности расширения, модификации программных модулей. Для этого должны быть предусмотрены следующие меры: выделены наиболее характерные программные модули, обеспечивающие типичные шаги расчета, и стандартизованы их входные и выходные данные; выработана типовая технология построения и разработки программных процедур в рамках данного комплекса.

Перечисленные требования во многом относятся к области сервиса, которые не преуменьшают важности построения и использования эффективных алгоритмов. Программное обеспечение расчетов на прочность характеризуется высокой сложностью применяемых математических моделей, алгоритмов и численных методов.

В настоящее время математическое моделирование и вычислительный эксперимент с использованием ЭВМ стали составными частями общих подходов, характерных для современных информационных технологий. Принципиально важно то, что математическое моделирование позволило объединить формальное и неформальное мышление и естественным образом сочетать способность ЭВМ "во много раз быстрее, точнее и лучше человека делать формальные, арифметические операции, отслеживать логические цепочки с удивительными свойствами человеческого интеллекта -интуицией, способностью к ассоциациям и т.д.", не менее важно и то, что современные средства отображения информации дают возможность вести с ЭВМ диалог - анализировать альтернативы, проверять предположения, экспериментировать с математической моделью [1,2,3].

Построение расчетной модели сложной конструктивной системы состоит из нескольких этапов, каждый из которых вносит свои допущения и погрешности. Основная часть из них зависит от опыта расчетчика и слабо связана с возможностями программного средства. Описание основных этапов построения численного моделирования («в это понятие мы включаем собственно математическое моделирование, сопряженное с численным экспериментом» [3]) осуществимо с помощью излагаемой ниже блок-схемы, предложенной в соответствии с идеями академика А.А. Самарского (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Блок-схема вычислительного эксперимента Здесь введены следующие обозначения:

• ФМ - физическая модель объекта. Она содержит описание основных свойств самого объекта; описание учитываемых граничных условий и внешних нагрузок, допущений о характере деформирования и распределения напряжений в подструктурах, свойств материала и т.п.

• ММ - математическая модель объекта. Для описания физической модели, как правило, используются интегро-дифференциальные уравнения математической физики. С точки зрения описания характера поведения физической модели, ММ приближенно отражает свойства ФМ.

• ЧМ - численная модель физического объекта. ЧМ строится, как правило, из ММ при помощи соответствующих численных алгоритмов. Большинство из них сводят ЧМ к системе линейных алгебраических уравнений.

Отметим, что начальные этапы - построение физической и математической модели - очень важны. Неудачно выбранная физическая модель не позволит перейти к удачной математической модели; некачественная математическая модель не позволит предложить эффективный численный метод, а недостатки в реализации метода не дадут удовлетворительного результата.

В большинстве случаев полезно построить такой упрощенный вариант ММ, который позволял бы получить или привлечь известное точное решение. Это решение затем можно использовать для сравнения при тестировании результатов. В некоторых случаях удается построить несколько ММ для одной и той же ФМ, отличающихся различным уровнем упрощения. Сравнение результатов исследования различных ММ может существенно расширить и обогатить знания о физическом объекте. Кроме того, такое сравнение позволяет оценить достоверность результатов последующего вычислительного эксперимента, если более простая ММ правильно отражает некоторые свойства ФМ, то результаты исследования этих свойств должны быть близки к результатам, полученным при использовании более полной и сложной ММ.

Итог анализа на рассматриваемом этапе - это обоснованный выбор рабочей ММ, которая подлежит в дальнейшем детальному количественному анализу. Успех в проведении этого этапа зависит, как правило, от глубины понимания связи отдельных составляющих ММ со свойствами ФМ, что предполагает органическое сочетание владения математикой и инженерными знаниями в конкретной предметной области.

Следующий этап состоит в обоснованном выборе метода количественного анализа ММ и в разработке эффективного алгоритма вычислительного эксперимента, и далее - в создании работоспособной программы, реализующей этот алгоритм средствами вычислительной техники. Для успешного проведения этих этапов необходимо владеть арсеналом современных методов вычислительной математики и обладать профессиональной подготовкой в области программирования на ЭВМ.

Получаемые в итоге работы программы результаты вычислений должны, прежде всего, пройти тестирование путем сопоставления с данными количественного анализа упрощенного варианта ММ. Тестирование может выявить недочеты, как в программе, так и в алгоритме и потребовать доработки программы или же модификации и алгоритма и программы. Анализ результатов вычислений и их инженерная интерпретация могут вызвать необходимость в корректировке ММ и соответствующей ЧМ. После устранения всех выявленных недочетов триаду "модель - алгоритм -программа" можно использовать в качестве рабочего инструмента для проведения вычислительного эксперимента и выработки на основе получаемой количественной информации практических рекомендаций, направленных на совершенствование физического объекта [4].

Представленная последовательность этапов носит общий и универсальный характер, хотя в некоторых конкретных случаях она может и несколько видоизменяться. Если при разработке ФМ можно использовать типовые ММ, то отпадает необходимость в выполнении ряда этапов, а при наличии и соответствующего программного комплекса процесс вычислительного эксперимента становится в значительной степени автоматизированным.

Современный уровень развития промышленности и строительства сопровождается широким внедрением все более сложных конструкций и сооружений, состоящих из различных типов конструктивных элементов. В большинстве случаев для их расчета невозможно применить точные аналитические методы. С другой стороны, ускорение технического прогресса привело к созданию и интенсивному использованию при решении инженерных задач современных компьютерных технологий, в частности вычислительной техники и соответствующего программного обеспечения. Все это обусловило дальнейшее развитие и совершенствование используемых численных методов. В настоящее время, как фундаментальные исследования, так и задачи, имеющие практическое приложение, выполняются, как правило, с применением вычислительных средств. Причем ЭВМ не только обеспечивает проведение вычислительных операций, но и берет на себя значительную часть работ по подготовке исходных данных, обработке результатов и представлению их в любом удобном виде. На долю же научного работника или инженера приходятся другие, более интеллектуальные задачи - создание эффективных физических и математических моделей, выбор наиболее подходящего численного метода решения конкретной задачи, квалифицированный анализ полученных результатов.

В общем случае реальная конструкция имеет бесконечно много особенностей геометрии, свойств материала, внешнего воздействия, которые в той или иной мере влияют на ее поведение. На практике при проведении инженерных расчетов учесть все эти особенности, как правило, невозможно. Достоверное решение может быть получено путем замены исходного объекта на некоторую физическую модель, обладающую конечным числом идеализированных особенностей из числа тех, которые присуще данной конструкции. Следующий шаг - построение математической модели объекта, под которой понимается совокупность математических соотношений, описывающих поведение соответствующей физической модели. Замена подобным образом реального объекта математической моделью позволяет сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для ее решения универсальным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта [5].

4.3. Выводы

Предлагаемый МКРпт, являясь разновидностью метода сеток и приближенным способом решения двумерных краевых задач, дает более точные решения при расчете прямоугольных пластинок, по сравнению с МКР, если использовать одинаковые сетки. Сравнение с методом конечных элементов в программной реализации Scad показывает, что на краю опорного контура, где функция краевого момента быстро меняется, расхождение с эталонными результатами (метод Галеркина) составляет более 30%. Для уменьшения погрешности по МКЭ необходимо более мелкое разбиение области на подобласти или можно использовать более сложный КЭ. И то и другое ведет к усложнению вычислений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для решения задач в САПР по расчету напряженно-деформированного состояния статических систем разработаны:

• автоматизированный подход к решению краевых задач на основе процедуры генерирующей коэффициенты разностных шаблонов

• математическое обеспечение, базирующееся на аналитическом едином подходе вывода коэффициентов разностных шаблонов и интерполяционных многочленов для таблично заданных одномерных и двумерных функций. Этот подход осуществлен на основе аналитического обращения матрицы Вандермонда;

• программное обеспечение, включающее:

- генерирующую процедуру, реализующую алгоритм для нахождения коэффициентов центральных и односторонних разностных шаблонов как с регулярной сеткой, так и с произвольной, включая частные и смешанные производные, что позволяет автоматизировать расчеты и расширить область применения программы;

- алгоритм нахождения коэффициентов интерполяционных многочленов на основе единого подхода вывода коэффициентов интерполяционных многочленов для таблично заданных одномерных и двумерных функций.

• математическое и программное обеспечение решения краевых задач для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами на примере определения напряженно-деформированного состояния элементов статических систем;

- разработан алгоритм модифицированного метода конечных разностей для одномерных задач, позволяющий, в отличии от традиционного МКР, находить точное решение (в пределах рассматриваемой теории) для расчета стержневых систем;

- разработан алгоритм модифицированного метода КР для двумерных задач, имеющий большую точность по сравнению с традиционным МКР, при использовании одинаковых сеток.

1. Моисеев Н.Н., Математика ставит эксперимент. -М.: Наука, 1979. -224 с.

2. Белоцерковский О.М., "Численное моделирование в механике сплошных сред", -М.: "Физ.-мат. лит.", 1994.

3. Рациональное численное моделирование в нелинейной механике /Под ред. О.М.Белоцерковского. -М.: Наука, 1990. 123 с.

4. Зарубин В С., Крищенко, А. П., Математическое моделирование в технике. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.- 496 с

5. Кульцеп А. В., Манухин В.А., Фрумен В.А., Автоматизированные системы расчетов прочности, устойчивости и колебаний в строительной механике корабля. СПб.: СПбГМТУ, 2000.- 125 с.

6. Лукашевич А. А., Современные численные методы строительной механики. Хабаровск: Хабаровский государственный технический университет, 2003.- 135 с.

7. Иванов В.Н., Вариационные принципы и методы решения задач теории упругости: М.: РУДН, Издательство Российского университета дружбы народов, 2001.- 176 с.

8. Ржаницын А.Р., Строительная механика. -М.: Высшая школа, 1986. -400 с.(с. 75 314)

9. Постнов В. А., Суслов В.П.,Строительная механика корабля и теория упругости. Том 1. Теория упругости и численные методы решения задач строительной механики корабля. Л.: Судостроение, 1987.- 288 с.

10. Ю.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. 1975. -541с.

11. Сегерлинд Л., Применение метода конечных элементов. М.: Мир. 1979.-392с.

12. Варвак П.М., Варвак П.П., Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. -М.: Стройиздат, 1977, -160 с.

13. Самарский А.А., Введение в численные методы. -М.:Наука,1987, -272 с.

14. Самарский А.А., Теория разностных схем. -М.:Наука,1983, 616 с.

15. Самарский А.А., Николаев Е.С., Методы решения сеточных уравнений: М.: Наука, 1978. - 592 с.

16. Калиткин Н.Н., Численные методы, М.: Наука, 1978. - 512 с.

17. Бахвалов Н.С., Численные методы. Т. 1.-М.: Наука, 1975.

18. Бахвалов Н. С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., Численные методы. М.: Наука, 1987, -600 с.

19. Марчук Г.И., Шайдуров В.В., Повышение точности решений разностных схем. -М.: Наука, 1979, -320 с.

20. Турчак J1. И., Плотников П.В., Основы численных методов. М.: Физматлит, 2002.- 304 с.

21. Волков Е.А., Численные методы. -М.: Наука, 1987. 248 с.

22. Годунов С.К., Рябенький B.C., Разностные схемы. -М.: Наука, 1973. -400 с.

23. Хемминг Р.В., Численные методы (для научных работников и инженеров). -М.: Наука, 1972, -400 с.

24. Береговенко Г.Я., Пухов Г.Е.,Саух С.Е., Численные операторные методы решения дифференциальных уравнений и анализа динамических систем. -Киев: Наукова думка, 1993, 264 с.

25. Коллатц JL, Задачи на собственные значения. -М.: Наука, 1968, -503 с.

26. Carl М. Bender, Dorge С. Brody, Bernhard К. Meister, Inverse of Vandermonde Matrix. 2001,http://www.imperial.ac.uk7research/theory/people/brody/DCB/sa6.pdf.

27. Mongkol Dejnakarintra, David Banjerdpongchai, An Algorithm for Computing the Analitical Inverse of the Vandermonde Matrix. Departament of Engineering, Chulalongkorn University, 1999. www.ee.eng.chula.ac.th/~david/papers/vandrev.ps.

28. Голуб Дж., Ван Лоун Ч., Матричные вычисления. -М.: Мир, 1999, -552 с.

29. Березин И.С., Жидков Н.П., Методы вычислений. -М:. Физматлит, 1962.- 464 с.

30. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М. : Наука, 1978, 832 с.

31. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н., Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз, 1960, 656 с.

32. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. -М. : Наука, 1972, 368 с

33. Норенков И.П., Основы автоматизированного проектирования. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.- 336 с

34. Кузьмик П.К., В.Б. Маничев, Системы автоматизированного проектирования. Кн.5. Автоматизация функционального проектирования. -М.: Высшая школа, 1986.

35. Трудонощин В.А., Пивоварова Н.В., Системы автоматизированного проектирования. Кн.4. Математические модели технических объектов. -М.: Высшая школа, 1986.

36. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И., Начала теории вычислительных методов. Интерполирование и интегрирование. -Минск: Наука и техника, 1983.

37. Смогунов, В. В., Зайцев В.Ю., Компьютерные технологии моделирования: Пенза: Пензенский государственный университет, 2003,- 88 с.

38. Бицадзе А.В., Уравнения математической физики. -М. : Наука, 1982,-336 с.

39. Тихонов А.Н., А.А. Самарский, Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977, 736 с.

40. Марчук Г.И., Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1977, -456 с.

41. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М., Численные процессы решения дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1969, -368 с.

42. Панов Д.Ю., Справочник по численному решению дифференциальных уравнений в частных производных. -М.: ГИТТЛ, 1950, -184 с.

43. Уилкинсон Дж. X., Алгебраическая проблема собственных значений. -М.: Наука, 1970, -564 с.

44. Интегрированная система прочностного анализа и проектирования конструкций, Structure CAD Office, http://www.scadgroup.com

45. Якивчук Е.Е., Обращение матрицы Вандермонда. // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 8. М.; Издательство Ассоциации строительных вузов, 1999г., с. 67-69.

46. Якивчук Е.Е., Борзых Е.П., Решение задач строительной механики в полиномах. //Вестник Российского университета дружбы народов. Специальный выпуск. М.; Издательство Российского университета дружбы народов, 2002, №1, с.136 (112-116).

47. Ли К., Основы САПР (CAD/CAM/CAE), издательство: Питер, 2004, -560с

48. Трудоношин В.А., Уваров М.Ю., Метод конечных элементов http://www.kgtu.runnet.ru/WD/TUTOR/mke/rnke.html. кафедра САПР, МГТУ.

49. Колтунов М.А., Кравчук А.С., Майборода В.П., Прикладная механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1983. - 349 с.

50. Ильин В.П., Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений, Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000.,-345 с.

51. Зенкевич О., Морган К., Конечные элементы и аппроксимация. -М.: Мир, 1986, -342с.

52. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Д. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц. М.: Мир, 1989. - 190с.

53. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. Пособие для вузов. М.: Высш.шк., 2000. - 266с.

54. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2001. - 382 с.

55. Гришин A.M., Якимов А.С. Об одном методе решения трёхмерного эллиптического уравнения общего вида // Вычислительные технологии. 2001. - Т. 6, N 2. - С. 73 -83.

56. Горбовец А.В., Евзеров И.Д., Приближенные схемы для стационарных и нестационарных задач с односторонними ограничениями. //Вычислительные технологии, 2000, т.5, №6, стр.33-35.

57. Лантух-Лященко А.И.,ЛИРА. Программный комплекс для расчета и проектирования контрукций, Учебное пособие К.-М., ФАКТ, 2001, -312с.

58. Дыченко А., Анализ напряженно-деформированного состояния конструкций программными продуктами САПР. "САПР и графика", 2002, №10, http://griola.narod.ru/FEM.htm

59. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А., Численное моделирование процессов тепло- и массообмена., -М.: Наука, 1984, -288 с.

60. Трудоношин В.А., Уваров М.Ю., Метод конечных элементов, http://www.kgtu.runnet.ru/WD/TUTOR/mke/mke.html, кафедра САПР, МГТУ имени Н.Э.Баумана.

61. Розин Л.А., Метод конечных элементов., // СОЖ, 2000, № 4, с. 120— 127. http://iournal.issep.rssi.ru/articles/pdf/0004 120.pdf

62. Воробьев Н.Н., Теория рядов., -М.: Наука, 1975, -366 с.