автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование фильтрационных течений в грунтах с криволинейной анизотропией методом математического моделирования

РГБ ОД

- С МАИ >905

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РФ ПО ДЕЛАМ НАУКИ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ

РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Диссертационный совет К 063.52.12 по физико-математическим и техническим наукам

На правах рукописи

Сербина Людмила Ивановка

Исследование фильтрационных течений в грунтах с криволинейной анизотропией методом математического моделирования

05.13.16. - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (информатика, вычислительная техника и автоматизация)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

РОСТОВ-НА-ДОНУ - 1995г

Работа выполнена в Научно - исследовательском институте прикладной математики и автоматизации Миннауки России (i. Нальчик).

Научные руководители:

- доктор физико - математических наук, профессор, академик РАЕН и АМАН

Нахушев A.M.

- кандидат физико- математических наук, доцент Толпаев В.А.

Официальные оппоненты:

- доктор физико- математических наук, с.н.с. Крукиер Л.А.

- кандидат физико- математических наук, Хартиев С.М.

Ведущая организация: Санкт- Петербургский институт информатики и

автоматизации РАН Защита состоится " 1 " июня" 1995г в 11.00 часов на заседании диссертационного совета К 063.52.12 по физико - математическим и техническим наукам в Ростовском университете по адресу: 344104, г. Ростов- на-Дону проспект Стачки, 200/1, корпус 2. Вычислительный центр РГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке по адресу: ул. Пушкинская, 148

Автореферат разослан ¿b^ffi апреля * 1995г

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук Дженибалаев Х.Д.

Общая характеристика работы

Работа посвящена развитию методов решения дифференциальных уравнений эллиптического типа с переменными коэффициентами, возникающих при математическом моделировании фильтрационных течений в пористых средах с криволинейной анизотропией.

Актуальность проблемы Одним из актуальных направлений современной математической физики является исследование математических моделей, в основе которых лежат уравнения в частных производных. Реализация математических моделей, основанных на дифференциальных уравнениях в частных производных с существенно переменными коэффициентами усложняется серьезными затруднениями, как в чисто математическом плане так и при доведении этих исследований до практически реализуемых алгоритмов. Многочисленные научные публикации и экс-перементальные исследования свидетельствуют о необходимости более полного и всестороннего учёта физико - механических свойств пористых сред всякий раз, когда нужно или повысить эксплуатационные свойства нефтегазодобывающих скважин, или увеличить надежность прогнозирования изменения уровня грунтовых вод, или учесть местные особенности строения грунта с целью предотвращения аварийных ситуаций в практике гидротехнического строительства.

Необходимость учета анизотропии фильтрационных свойств грунтов заставляет выяснить целый ряд вопросов. Наиболее важным является описание анизотропных свойств грунта по изначально задаваемому закону распределения главных направлений анизотропии (ГНА) среды. Это, в свою очередь, заставляет дать предварительно удобный для практических целей способ задания закона распределения ГНА.

В связи с тем, что в математической физике часто оказывается значительно ослабленным звено, дающее связь между законом распределения ГНА,

которые могут реально существовать в природе и сответсгтукзще'.". системой уравнений в частных производных, то поэтому актуально исследование фильтрации в анизотропных грунтах, математическая модель которых принципиально идет от первоначально задаваемого закона распределения ГНА среды. Анализу математических моделей возникающих при такой постановке задачи и созданию алгоритмов их реализации на вычислительных средствах посвящена данная работа.

Цель работы

Развитие математических моделей фильтрации жидкости в средах с наиболее общими типами распределения ГНА. Анализ на основе развитых математических моделей интегральных характеристик фильтрационного течения для конкретных случаев (работа одиночной скважины в анизотропной среде, фильтрация под плотиной, гидродинамическая интепретация аналитических функций комплексного переменного для течения в анизотропных средах).

Научная новизна

Впервые разработан приближенный аналитический метод для расчета интегральных характеристик фильтрационных течений (потоки фильтрации через заданные участки границ), основанный на оптимизации распределения кинематически допустимых линий тока. Этот метод, названный методом виртуальных трубок тока, применен к анализу фильтрационного течения под плотиной в среде с конгруэнтным типом анизотропии. Преимуществом данного метода является его универсальность в сочетании с простым физическим смыслом.

Практическая ценность Полученные результаты исследования анизотропных фильтрационных свойств пористых сред могут быть использованы при решении многих технических проблем, возникающих в практике нефте — и газодобычи, в экологии подземных вод, гидротехническом строительстве, эксплуатации артезианских скважин и многих других.

Апробация работы

Основные результаты докладывались на ежегодных научно- технических конференциях СтПИ - СтГТУ (г. Ставрополь 1993- 1995г), на семинаре по современному анализу и информатике НИИ ПМА КБНЦ РАН под руководством Нахушева А. М. (г. Нальчик 1994 г), на конференции " Современные методы нелинейного анализа", посвященной 75 - летию М. А. Красносельского ( г. Воронеж, 1995 г.).

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, а также графиков и рисунков.

Во введении представлен обзор литературных источников, на основании анализа которого делается вывод о целесообразности и необходимости рассмотрения задачи, решению которой посвящено данное исследование.

Расчёту тензора проницаемости через известный закон распределения ГНА и уравнениям фильтрации посвящена первая глава диссертации. При расчете тензора проницаемости исходим из того, что считаем заранее известной систему двух функций

линии уровня которой взаимно ортогональны. Касательные к линиям уровня и определяют в каждой точке ГНА среды. Проницаемости вдоль ГНА называются главными проницаемостями анизотропной среды. Они считаются известными постоянными и обозначаются через Л, и Я2 . В работе подробно описывается, как удобно задавать систему взаимно ортогональных функций (1).

Структура и объем работы

Содержание работы

Глава I. Уравнения фильтрации в анизотропных средах.

(1)

В приведенных исследованиях широко ¡-¡^пользуется для задания функций (1) в некоторой кривслинеиной ортогональной расчетной системе координат (£; /;)

система уравнений Г.Н. Положего 1 др^Щ^дд 4Ё л/О дп 1 Я(£ П) дд

.-Л? дг, 4Ё

В (2) Е и в - коэффициенты 1-ой квадратичной формы для системы (£; г/), Н(£;г]) - некоторая непрерывно дифференцируемая функция. Поскольку система (2) определяет решения р и д обладающие взаимно ортогональными линиями уровня, то в качестве функций (1) в работе используются всевозможные частные решения системы (2).

После того, как с помощью системы (2) закон распределения ГНА в расчетной криволинейной системе координат £задан, компоненты тензора проницаемости анизотропной среды вычисляются по формулам

Важно подчеркнуть, как следует из формулы (3), справедливость равенства

(3)

к^-к2г -(А'и)2 = Я,Я2 = сопи (4)

Зная компоненты тензора проницаемости, проекции скорости фильтрации на орты расчетной системы координат т] находятся с помощью закона Дарси из уравнений

V,-

к„ 0(р | кп 0<р 4Ё 0S, 4G й;

у = кп д<Р , кп " 4Ё д!; JG 0Ц

в которых через <р обозначена функция р + PZb

(5)

(6)

Здесь Р- гидродинамическое давление, Л- нивелировочная высота,/л- динамическая вязкость фильтрующейся жидкости, р- плотность жидкости, £ - ускорение свободного падения.

Кроме уравнений (5) поле скоростей фильтрации должно удовлетворять также уравнению неразрывности Лу К = 0, которое позволяет обычным способом ввести в рассмотрение функцию тока течения. С её помощью проекции V. и V выражаются по формулам

V. =

1 ¿у

15 дт}

1 ду

~ Л

(7)

Сравнивая (5) и (7) относительно функций р и у , описывающих плоско-

параллельную фильтрацию, получим систему уравнений

ku d(¡> кп áp _ 1 0у/

Кг

к,,

1 ¿у

(8)

-ЛИ 0$ 4g дц 4Ё

При перекрестном дифференцировании из системы уравнений (8) относительно функции <р получается уравнение

0Í

0S, " 0r¡ I 01]

" 04 ]¡G 2

А,

= 0

(9)

Точно такой же вид имеет уравнение и для функции тока ц/.

к

Система уравнений (8) с помощью тождества (4) легко приводится к стандартной форме систему Бельтрами. На основании свойств последней общее решение системы (9) можно записать в виде

Д57ч) + «Х£ 7) = (10)

где и- - аналитическая функция комплексного переменного^*, определяемого по формуле

С^^Ф+'Шп). (Ц)

в которой через /, и 1г обозначены частные решения системы

, ^ ч дк , с. N

а£, ац дт\

¿Я] дт\ дс,

с коэффициентами а,Ь и с определяемыми по формулам

а = в = с = /—

V £ Л]Х2 щ^Х^Л} V

(12)

(13)

Как видно, возможность использования аналитических функций комплексного переменного для решения задач фильтрации в анизотропных средах связана с построением частных решений системы уравнений Бельтрами (12).

В самом общем случае не удаётся найти простыми методами решения этой системы уравнений. Однако в работе найден весьма широкий класс анизотропных сред, включающий в себя абсолютно все законы распределения ГНА, рассмотренные ранее другими авторами и значительно расширяющий их, когда частные решения системы (12) удаётся найти с помощью квадратур. Этот класс анизотропных сред описывается законом распределения ГНА, получаемым в изотермических координатах , при помощи £ -интегрирования, применённого к системе (2), в которой функция Я выбрана зависящей только от одной координаты. В результате этого для функций р и д получаются значения, определяемые по формулам

Ч*

>]) = /}£-а \~iH-

в которых а.р. //„ - произвольные постоянные. Если в формулах (14) конкретизировать изотермические координаты то:

1) в случае декартовых координат £ 7 будем иметь среды с конгруэнтным типом анизотропии;

2) в случае изотермических полярных координат £ ?/ будем иметь среды с центральным типом анизотропии;

3) в случае, когда Н(ф =1, р = 0, а= 1 будем иметь среды с изотермическим типом анизотропии.

Множество конкретных законов распределения ГНА, вытекающих из (14), получается путем задания функции Н(?/) и координат (£ ?;).

Важной особенностью законов распределения ГНА, определяемых по формулам (14), является то, что коэффициенты а,Ь,с в системе (12) оказываются всегда зависящими от одной координаты Последнее обстоятельство позволяет для системы (12) в указанном случае построить операцию, называемую по терминологии Липмана-Берса операцией £-интегрирования. Благодаря ей частные решения системы (12) удаётся найти в квадратурах по формулам:

Г арН(,,){А2-Л,)

_ Р'Н'{1])Л1 -(-«'Я, ргН2(!])Л1+а:А2

(15)

А

Таким образом, во всех средах с криволинейной анизотропией, законы распределения ГНА которых принадлежат множеству (14), плоско-парал-

лельные фильтрационные течения будут описываться с помощью аналитических функций (10), комплексный аргументкоторых определяется по формулам (11) и (15). Для сред, законы распределения ГНА которых не принадлежат множеству (14), конкретный вид комплексных потенциалов течений и сами течения пока не исследованы.

Глава II. Исследование плоско-параллельных фильтрационных течений в анизотропных средах. В ней рассматриваются приложения комплексных потенциалов (10) для расчета фильтрационных течений в анизотропных средах.

В частности, если в формулах (14) в качестве координатг/ выбрать полярные координаты, то как уже упоминалось, мы получим среды с центральным типом анизотропии. Комплексный потенциал (10) для этих сред в соответствии с формулами (15) примет вид:

ДХеК'-. 0)+«Кг, <?)=,

где И{г) = г0е* (16)

О)

арн(х1-х1) ^

г\а1НгХ, Г

В качестве конкретного примера применения потенциала (16) решена задача Дюпюи о притоке жидкости к центральной скважине. Показано, что течение к центральной скважине описывается комплексным потенциалом **{$=В\т\(+Г (17)

в котором постоянные £) и Г через заданные значения давления на контуре скважины и на контуре питания находятся по формулам:

ЛЩр-л)

й--

"I------~---

¿г

{ /•[агЯ3(гК+/ЛЧ] 08)

Дя>„

М

С помощью найденного комплексного потенциала (1/) вычислен удельный дебит скважины

1*ДГг{Р-Р.) (19)

На основе анализа течения к.скважине сформулирован общий критерий для двусторонней оценки полного потока фильтрационного течения применительно к средам с произвольным типом анизотропии. А именно, если Q • полный фильтрационный поток течения в изотропной области С с проницаемостью, равной к, то фильтрационный расход в среде, у которой главные проницаемости Я, и Хг будет удовлетворять неравенству Qf<Q<Qa, в котором Qp и Qa находятся по той же формуле, что и Q путем замены в ней проницаемости к в первом случае на Лтт , во втором на л „„ .

В частности, для удельного дебита Q течений к центральным скважинам в средах с произвольным типом криволинейной анизотропии нижняя и верхняя

оценки находятся по формулам

0 _2*A^{P-P.)

\¿f , R '

ц In—

s <2°)

О 2лл™(р~р') R

¿íln— гв

Если же 8 формулах (14) в качестве изотермических координат£ г/ выбрать

декартовы координаты а- и у, то мы приходим к средам с конгруэнтным типом

анизотропии. Комплексные потенциалы течений в средах с конгруэнтным типом

анизотропии в соответствии с формулами (15) будут иметь вид:

у)+i (фс, у) = t,

У

где

i=4+i>h 4=x-¡ (21)

J К Áy)

В средах с конгруэнтным типом анизотропии решена важная для практики проектирования плотины задача расхода жидкости на фильтрацию под фундаментом гидротехнического сооружения.

Физически такие анизотропные среды представляют собой модель мелкослойчатого грунта, указанного на рис.1.

Рис.1. Модель плотины с разноуровневыми линиями бьефов в области прямолинейной конфигурации с конгруэнтным типом анизотропии.

Мелкослойчатым называют грунт, составленный из чередующихся изотропных и очень тонких пластов. Проницаемость вдоль пластов обозначается через А, и она отлична от проницаемости перпендикулярно пластам, обозначенной через А, . Границы соприкосновения пластов друг с другом описываем с помощью

линий уровня </( \,, а ортогональные к ним траектории - линиями уровня функции 1>(.\\у):

1{х,у) = ах-р\н{у)11у

Г <1у (22)

Произвольная непрерывная функция Н(у) в формулах (22) имеет простой геометрический смысл. Она определяет величину щу, угла образованного линией

Р=с<т1 с прямой у^согин и находится по формуле

ЦГ = -~Н{у) (23)

а

Если проницаемости Л, иЯ,,а также закон изменения тангенса угла у от у заданы, тензор проницаемости рассматриваемой анизотропной среды с конгруэнтной анизотропией будет находиться по формулам

оЧ/РЯ'Ы

лу> аг+р ХфгН1 {у) + Хгаг аг+/?Н2{у)

/■(,)-,-(>•)- (24)

а,л2 ■

Линейная фильтрация в таких средах описывается уравнениями

ох ду су

дх ду дх

(25)

(26)

Систему уравнений (26) с постояными коэффициентами Я, иЯ3 путем деления на сведем к системе уравнений Бельтрами. Поэтому в силу свойств решений системы Бельтрами функции <р и у, удовлетворяющие (26), можно будет найти с помощью аналитической функции и- комплексного переменного £, определяемой формулами (21). Поэтому задача о фильтрации под плотиной сведется к отысканию комплексного потенциала н(£) исследуемого потока по граничным условиям.

<р

= = <рг = сопт (27)

'фх] Ц

Точное решение сформулированной задачи удастся найти только тогда, когда границы образа области фильтрации в плоскости представлены прямолинейными отрезками. Это обусловленно возможностью применения интеграла Шварца- Кристофеля. В рассматриваемом случае точное решение сформулированной задачи найдено для среды с прямолинейной анизотропией оси, ГНА которой совпадают с осями координат х, у. На основе этого получена формула для точного расчета расхода жидкости на фильтрацию под плотиной 8 среде с прямолинейной анизотропией в ситуации, указанной на рис. 2.

Эта формула имеет вид:

2ц К(к)

где А''(А) = К(к'), К(к) - полный эллиптический интеграл (1) рода, модуль к которого вычисляется через размеры области фильтрации, указанной на рис.2.

В общем случае для сред с конфуэнтной анизотропией расчёт расхода жидкости Q выполнен приближённо по новому, впервые предложенному в диссертации способу. Суть этого способа заключается в том, что неизвестные линии тока реального течения будем моделировать некоторыми кинематически допустимыми и более простыми трубками тока. Для каждой системы трубок тока, названной в работе системой виртуальных трубок тока, вычисляем расход Q жидкости на фильтрацию под плотиной. Затем из всего множества кинематически допустимых систем трубок тока выбираем ту, при которой расход Q оказывается наибольшим.

Рис.2. Схема фильтрационного потока под плотиной с плоским флютбетом в прямоугольной области с прямолинейной анизотропией.

Это наибольшее значение расхода, найденное на множестве допустимых

систем трубок тока, и будет приближенным аналитическим решением задачи. В

диссертации в качестве допустимых систем виртуальных трубок тока

рассматривались трубки тока, представленные на рис.3

Для такой системы трубок тока приближенное значение расхода жидкости ()

найдется по формуле

е = ^Я'(Л,/г) (29)

1Ь

4У

Рис.3. Схема фрагментации течения под плотиной системой трехзвенных,

прямолинейных виртуальных трубок токаД пробные кривые точек излома линий тока - кривые у = /(*) и х = /20))-где Я'(/,/2) - максимальное значение функционала равного

йх

/¡и

1

где J =

(30)

заданного на пробных кривых /¡{х) и /2{х) из класса непрерывных кусочно-дифференцируемых функций, удовлетворяющих краевым условиям:

/ - монотонно возрастающая /, - монотонно убывающая

Точное решение экстремальной задачи (30)-(31) для функционала (30), тип которого в вариационном исчислении раньше не встречался, найти не удалось. Поэтому задача максимизации (30)-(31) решена приближенно, когда пробные кривые моделировались ломанными из прямолинейных звеньев. По описанной методике в работе разработаны программы для расчета приближенного расхода <2 жидкости на фильтрацию под плотиной. Приближенные расчеты сверялись с результатами точного аналитического решения (28), в частной ситуации, представленной на рис.2, для среды с прямолинейной анизотропией. В этом случае относительные погрешности расчетов колебались в зависимости от размеров области фильтрации, в пределах от 5% до 17% процентов. Кроме этого, расчеты подтвердили, что приближенная формула (29) действительно дает заниженные по сравнению с точным решением значения для расхода д.

Щ/,(х),/г(х))->тах =-Г,/(-{) = -« /:(-Т) = 1,/а(-в) = г

(31)

Результаты, представленные к защите.

1. Развит удобный для практических целей способ описания закона распределения ГНА среды.

2. Выведены расчетные формулы для компонент тензора проницаемости среды, принципиально основанные на первоначальном задании закона распределения ГНА среды.

3. Указан весьма широкий класс сред с криволинейными типами анизотропии, включающий в себя, как частные случаи, все ранее известные типы анизотропных сред, для которого^астные решения системы уравнений Бельтрами найдены при помощи квадратур. Последнее открывает возможность широкого применения для решения задач фильтрации в анизотропных средах аналитических функций комплексного переменного.

4. Для расчета фильтрации под плотиной предложен новый аналитический приближенный метод - метод фрагментации течения системой виртуальных трубок тока. Достоинством этого метода является простота его физического смысла, которая дает ему практически универсальное применение.

5. Получены результаты, позволяющие применять комплексные потенциалы течений в изотропных однородных средах для двусторонней оценки фильтрационных расходов жидкости таких же течений в грунтах с любым типом анизотропии

6. Сформулирован принцип, позволяющий находить точное аналитическое решение, описывающее фильтрацию в полуплоскости у < 0, заполненной

средой с конгруэнтным типом анизотропии, по комплексному потенциалу такого же течения в изотропной однородной среде. Это значительно расширяет круг приложений результатов, ранее полученных другими авторами, для изотропных однородных сред к анализу фильтрации в анизотропных грунтах.

7. Разработан комплекс программ для расчетов потерь жидкости на фильтрацию под фундаментом плотины в анизотропной среде.

Автор глубоко благодарен научным руководителям Адаму Моремовичу Нахушеву и Владимиру Александровичу Толпаеву за внимание к работе и полезные советы.

1. Сербина Л.И., Толпаев В.А. О построении комплексных потенциалов плоскопараллельных фильтрационных течений в средах с криволинейной анизотропией / Сб. тр. ( межвузовский ) "Прогнозирование социальных процессов." - Ставрополь, 1995. - С. 14-15.

2. Сербина Л.И. Задача Дюпюи для сред с центральной анизотропией / Сб. тр. ( межвузовский ) "Прогнозирование социальных процессов." - Ставрополь, 1995. - С. 134-138.

3. Сербина Л.И., Толпаев В.А. Расчет расхода жидкости на фильтрацию под плотиной в средах с конгруэнтным типом анизотропии I Сб. тр. ( межвузовский ) - Нальчик, 1995.

4. Сербина Л.И., Толпаев В.А. Точное решение задачи о фильтрации под плотиной для случая прямоугольной области течения / Тез. докл. XXV Научно -технической конференции СтГТУ. - Ставрополь, 1995. - С. 47.

Список опубликованных работ по теме диссертации.