автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование Е-оптимальных планов регрессионных экспериментов

Введение.

Глава 1. Обзор теории Е-оптимальных планов эксперимента

§1. Постановка задачи оптимального планирования регрессионных экспериментов

§2, Е-критерий.

§3. Теорема двойственности для Е-критерия

§4. Е-оптимальные планы для полиномиальной регрессии на отрезке

Глава 2. Аналитическое построение планов в простейших случаях

§1. Квадратичная регрессия.

§2. Кубическая регрессия для докритических промежутков

§3. Кубическая регрессия для критических промежутков

Глава 3. Полиномиальная регрёссия на симметричном отрезке

§1. Уравнение границы

§2. Экстремальный многочлен.

§3. Дифференциальное уравнение

§4. Предельный план

§5. Исследование матрицы Якоби

§6. Рекуррентное построение коэффициентов рядов

§7. Оценка точности разложений.

§8. Примеры. Случай т = 4.

§9. Примеры. Случай то = 5.

§10. Примеры. Случай га — 6.

Глава 4. Полиномиальная регрессия на произвольном отрезке

§1. Предварительные результаты и обозначения.

§2. Уравнение границы множества отрезков, для которых кратность Хт-тМ(£*) равна

§3. Вычисление коэффициентов разложений характеристик плана в виде функций от г

При математическом моделировании объектов и систем различной природы важную роль играют регрессионные модели. Теория планирования и анализа регрессионных экспериментов была развита во второй половине XX века усилиями многих зарубежных и отечественных ученых (Дж. Элвинг, Г.Чернов, Дж. Кифер, Дж. Вольфовиц, В.В. Налимов, В.В. Федоров, С.М. Ермаков, М.Б. Малютов и др.) В рамках этой теории наиболее полно были изучены Б-оптимальные планы эксперимента, т.е. планы, максимизирующие определитель информационной матрицы. Вместе с тем, значительный интерес представляют также Е-оптимальные планы, максимизирующие минимальное собственное число такой матрицы. Однако, несмотря на целый ряд работ, посвященных этому критерию, для классической модели полиномиальной регрессии на отрезке вид Е-оптимальных планов установлен лишь для некоторых типов отрезков. Изучению этой модели и посвящена настоящая работа. Используемый в ней подход состоит в исследовании точек и весов оптимальных планов как функций длины отрезка. В работе (Мелас, 1997) было установлено, что эти функции являются аналитическими для случая симметричных отрезков достаточно большой длины, что позволяет разложить их в ряд по обратным степеням длины. Построение таких разложений и является основной задачей диссертации. В ней разработаны методы, основанные на использовании пакетов символьной обработки данных, для разложения точек и весов оптимальных планов эксперимента в степенные ряды. Эти методы могут быть использованы для изучения оптимальных планов эксперимента для широкого класса достаточно гладких моделей и различных критериев оптимальности, представимых в виде функций от информационных матриц. Развитый подход позволяет вычислять точки и веса оптимальных планов с наперед заданной точностью. Полученные результаты могут быть использованы в практике экспериментальных исследований.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и Заключения. По теме диссертации опубликовано три статьи [14, 15, 27]. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры статистического моделирования математико-механического факультета СПбГУ, а также на 3-ем международном Санкт-Петербург

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Найдены предельные значения нормированных некоторым образом точек и весов Е-оптимальных планов для полиномиальной регрессии четной степени на симметричных промежутках при стремлении длины промежутка к бесконечности.

2. Построены рекуррентные формулы для вычисления коэффициентов разложения точек и весов Е-оптимальных планов, рассматриваемых как функции длины промежутка, в ряды Тейлора (в окрестности бесконечности) для многочленов третьей степени.

3. Разработан метод вычисления коэффициентов (определенных в п. 2) для многочленов произвольной степени и построены таблицы коэффициентов для случая многочленов третьей, четвертой и пятой степени.

4. Численно исследована эффективность планов, вычисленных с помощью построенных рядов.

5. Построено разложение точек и весов Е-оптимальных планов для квадратичной регрессии на произвольном отрезке по степеням расстояния центра отрезка от начала с коэффициентами, зависящими от длины отрезка.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Ван дер Варден Б.Л. (1976). Алгебра. М., 648 с.

2. Гантмахер Ф.Р. (1988). Теория матриц. Издание четвертое, дополненное. М. "Наука".

3. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. (1997) Введение в Maple. Математический пакет для всех. — М.: Мир, 208 с.

4. Ермаков С.М., Жиглявский A.A. (1987). Математическая теория оптимального эксперимента. М., 314 с.

5. Ермаков С.М. и др.(1983). Математическая теория планирования эксперимента. — М., Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы. — 392 с.

6. Карлин С.,Стадден В.(1976). Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. М.,"Наука", 568 с.

7. Ковригин A.B.(1979). Построение Е-оптимальных планов. Вестник ЛГУ, Деп. в ВИНИТИ, N 3544-79.

8. Малютов М.Б. (1975). Замечания о теореме эквивалентности // Планирование оптимальных экспериментов. М., с. 161-163.

9. Манзон Б.М. (1998). Maple V Pover Edition — М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 240 с.

10. MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windous 95. (1996). / Перевод с англ. —М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 712 с.

11. Мелас В.Б. (1982). Одна теорема двойственности и Е-ортималь-ность. Заводская лаборатория, N 3, с.48-50.

12. Мелас В.Б. (1995). Нечебышевские Е-оптимальные планы и разложения положительных многочленов. I //Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 2 (N 8). С. 31-35.

13. Мелас В.Б. (1997). Е-оптимальные планы эксперимента. Учебное пособие. Изд-во С.-Петербург, ун-та.

14. Мелас В.Б., Крылова Л.А. (1996). Е-оптимальные планы для кубической регрессии на симметричном отрезке. // Вестн. С.Петербург. ун-та, Сер. 1. Вып. 3. (N 15) С. 26-30.

15. Мелас В.В., Крылова Л.А. (1998). Е-оптимальные планы для квадратичной регрессии на произвольном отрезке. // Вестн. С.

16. Петербург, ун-та, Сер. 1. Вып. 3. (N 15) С. 44-49.

17. Мелас В.Б., Пепелышев А.Н. (1999). Степенные разложения неявных функций и локально-оптимальные планы эксперимента. Сборник работ кафедры стат. моделирования СПбГУ, с. 108-117.

18. Рао С.Р. (1968). Линейные статистические методы и их применение. М.,547 с.

19. Федоров В.В. (1969). Планирование экспериментов для линейных критериев оптимальности // Теор. вер. и ее примен. N 16, с. 189

20. Федоров В.В. (1971). Теория оптимального эксперимента. М., 312 с.

21. Ehrenfeld S. (1955). On the efficiency of experimental design // Ann. Math. Stat. Vol. 26. P. 247-255.

22. Guest P. (1958). The spacing of observations in pilynomial regression. Ann. Math. Statist. 29. P. 294

23. Heiligers B. (1991). E-optimal polynomial regression design. Habili-tationssrift, RWTH, Aahen, 88 p.

24. Karlin S., Stadden W. (1966). Optimal experimental designs // Ann. Math. Stat. Vol. 35. P. 783-815.

25. Kiefer J., Wolfowitz J. (1960). The equivalence of two extremum problems // Canad. J. Math. Vpl. 14. P. 363-366.

26. Kiefer J. (1974). General equivalense theory for optimal designs (approximate theory).- Ann.Statist., 2, p. 849-879.

27. Melas V.B. (2000). Analytical theory of E-optimal designs for polynomial regression. In; Advances in Stochastic Simulation Methods. Ed. by N. Balakrishnan, S.M.Ermakov and V.B.Melas. Birkhaiiser Boston. P. 85—115

28. Pukelsheim F. (1980). On linear regression designs which maximize information. J.Statist. Planning and Inference, Vol. 4, P. 339-364.

29. Pukelsheim F. (1993). Optimal designs of experiments. Wiley, N.Y., 454 p.

30. Pukelsheim F., Studden W. (1993). E-optimal designs for polynomial regression. Ann.Statist., 21, N 1, p.402-415.