автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Использование инвариантных приближений для решения краевых задач электро- и магнитостатики

___1ЬВ1ВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УН1ВЕРСИТЕТ IM.IBAHA ФРАНКА

О

*Ä9

lu

en

on

На правах рукопису

КОЦЮБА МАРШ ВАСИЛ1ВНА

ЗАСТОСУВАННЯ 1НВАР1АНТНИХ НАБЛИЖЕНЬ ДО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ЕЛЕКТРО- ТА МАГШТОСТАТИКИ

Спешальтсть-0-ЬО4?О2~- математичне моделювання i обчислювальш методи в наукових дослщженнях

АВТОРЕФЕРАТ дисертаци на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-математичних наук

ЛЬВ1В - 1996

Дисертащею е рукоиис.

Робота виконана на кафедр! теоретично! та загально! електро-техшки Державного ушверситету "Льв1Бська исшгехшка".

Науковий KepiBHHK

доктор техшчних наук, професор Ф1ЛЫД РОМАН ВОЛОДИМИРОВИЧ

ОфщШш опоненги:

1. Доктор ф 13ИКО - математичних наук, професор ПОПОВ БОГДАН ОЛЕКСАНДРОВИЧ

2. Кандидат ф Ьико - маге матичн их наук, доцент МУХА 1ГОР СТЕПАНОВИЧ

Провшга установа - 1нститут едектродинашки HAH Украши, м.Кшв

Захист вщбудеться 'tM/ftJ 199 £ р. o/rf годин!

на засвдашп ciieuiani30Baii0i вчейш ради К 04.04.05 у Л1.В1ВС1.кому державному ушверситет1 1м.1вана Франка за адресою: 290602, м.Льв1в, вул.Ушверситетська, 1, ЛДУ, ауд. 261.

3 дисертащею можна ознайомитися в 6i6jiioTeiji Льв1Вського державного ушверситету за адресою: м.Льв1в, вул.Драгоманова, 5.

Автореферат розклано

"/5* ■ MSC&MCytU99 6 р.

Вчений секретар спещалгаованоТ вчено! ради кандидат ф!зико-математичних наук, доцент (/ —- Б.А.Остудш

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Ахтуалынсть теми. Створення нових видов електротехшчното обладнання та вдосконалення елекгротехшчних пристрош вщомих ввдiв щодо пщвищення !х техшко-економгших показнигав здшсшо-еться з використанням сучасних автоматизованих систем проекту-вання на тдста!м розрахунтв фтзичних пол!в ¡з урахуванням реально! складно! геометрп граничних 1 контактних поверхонь, нелшшноси й атзотропи середовищ. Незважаючи на значш устхи останшх десятиргг у галуз1 розрахунку статичних електричних 1 магнгошх, а також електроиапптпих шшв, проблема вдосконалення методив розрахунку тшв задишаеться невичерпаною, 1 розвиток чисельних метод ¡в розв'язування крайових задач електро- та магш-тостатики, спрямований на пщвищення ефективносп й (чи) розши-рення можливостей цих мето,щв, е актуальним.

Дисертшпйну роботу виконано зпдно з Координацшним планом НАН Украши науково-дослшних робп з комплексно! проб-леми "Науков1 основи електроенергетики" на 1991-1995 рр., п.1.9.2.6.1.1.

Метою дисертацн е розвиток метод! в колокацц та скшченних р1зниць стосовно до крайових задач електро- та магштостатики, спрямований на:

- усунення на теоретичному р!вш причин, як! гальмують застосування цих методов;

- розроблення машинно-ор!ентованих алгоритм1в розв'язування типових математичних задач, що е складовими частинами алго-ршъпв розрахунку електро- та магштостатичних поя1В, 1 оброб-лення результат)]! розрахунку;

- створення для алгоритм1в розв'язування згаданих типових математичних задач вщшшдного математичного забезпечення.

Метода дослвджень. Для виведеня стввщношень використовува-лись аналггичш методи витцо! алгебри та математичного аналпу, а для розв'язування систем алгебрамних р1внянь 1 перев1рки працездат-носп алгоритм1в - чиселып методи й математичний експеримент.

Автор захищае комплекс отриманих на шдстав1 теорп гавар1-антного наближення функдш теоретичних результатов у галуз! чисельних методов розв'язування крайових задач електро- й мапи-тостатики, який охоплюе:

- загальний алгоритм обчислення для диференцшних операторов р1внянь Маквелла шавар1антних вщносно групи лшшних перетво-рень декартово! системи координат р!зницевих 1 дискретних аналопв заданих порядков похибки апроксимацй' на невироджених комплектах вузл1в довш.но! конфкурацн;

- загальш алгоритм*! формування на щцсгав! методу колокацй та скшченних рпниць швар^антних ыдпосно групи лиийних неретво-рень декартово! системи координат дискретних аналопв диференцшних крайових задач першого, другого й третьего род1В для областей довшьно! конф1гураци, заповнених безпстерезисними й, у загальному, нелшшними неоднорщними ашзотропними середовищами;

- загальш алгоритми розв'язування отримуваних дискретних аналопв диференцшних крайових задач.

Наукову новизну дисерташйно! робота становить:

- застосування до розв'язування диференцшних крайових задач електро- та магттостатики методом колокацй та методом скшчеи-них р!знидь теорп ¡нвар^анпюго наближення функцш, що дозволило створити дискрстш модели яи е однотипними як у випадку лшш-них, так 1 нелшшних задач, незалежними в!д конф1гурацп гранич-них 1 контактних поверхонь, характеризуются заздалепдь заданим порядком похибки апроксимацй", консерватившстю, високою зб!ж-нicтю та швар1антшстю отримуваних результат;

- обгрунтування обмежень на кшькоси граничних ! внутршшх Бузл1и та '¿X взаемне розгашування в метод! колоканн;

- споспб формування атки в око.ш границь складно!' конфпурацй в метод! скшченних ршшць

Достсш'ршсть результат забезпечуеться стропстю постановки задач! та використаних математичних методов; ствпадшням результатов, одержаних чисельними й аналггачними методами; отриман-ням результатов, яю узагальнюють рашше вщомь

Практична цшшсть дисертацшно! роботи полягае:

- у створент загально! водночас, просто! в практичшй реал!-зацн процедури формування для нелшшних крайових задач електро-та магттостатики !х дискретних аналопв;

- у розробленш структури надшного й високоефективного за-гального алгоритму розв'язування дискретних нелшшних крайових задач електро- та магнитостатики;

- у розробленш пакету прикладних програм для розв'язування дискретних нелшшних крайових задач електро- та магнитостатики;

- в отримашп результапв математичного характеру, яга махоть безпосередне вщношення до крайових задач електродштнки, теп-лопровщност1, дифузп, пружноот, аеро- та пдродинамжи тощо.

Розроблеш алгоритми можуть застосовуватися гид час проек-тування конкретних електротехтчних пристро!в, становити час-тину САПР.

Впроваджеиня результата роботи. Розроблене математичне забезпечення у шшмлд комп'ютерних програм заденоновано в Республлкннському Фонд! алгоритмов та програм.

Апробащя роботи. Основш результати дисертацшно!' роботи доповщалися й обговорювалися на науково-техшчшй конференци "Вдосконалсння технолопчних npouecÎB виробництва, ïx автоматизащя та впровадження результатов" (Каунас, 1988 р.), науковому семшар! HAH Украши "Математичне моделговання npoueciB та оптимпашя динам1чних юл i електричних систем i3 вентильними елементами" (Льв1в, 1993 р.), 1-й М1жнароднш науково-техшчшй конференцп "Математичне моделювання в електротехнвд й електроенергетидГ (Льв1в, 1995 р.), а також на семшарах Державного ушверситету "JIbBiBCbKa пол1техшка" та JIbBiBCbKoro державного университету ¡м.1вана Франка.

Публ1кацн. Основш науков! результати з теми дисертаци опублковано в 9 друкованих роботах автора.

Обсяг роботи. Робота викладена на 145 машинописних сторш-ках i мштить 27 рисунюв, 11 таблиць, 188 б1блюграф1чних назв.

2. КОРОТКИЙ 3MICT РОБОТИ

Дисертащя складаеться з вступу, чотирьох роздшв, buchobkîb i додатгав.

У Bcryni наведено анал1з вщомих метод in розв'язування крайових задач (КЗ) електро- та магштостатики, мету дослщження й обгрун-тування шлях1в п досягнення.

Робота присвячена розвнтков! методу колокаци та методу сган-ченних р1зниць на пщстав1 теорй" ¡нвар!антного наближення функцш. Обмежене застосування цих метод1в до розв'язування крайових задач електро- та магштостатики зумовлено, на наш поглад, такими основними причинами:

- наявтстю для диференцшних оператор1в (ДО), що входять у диференцшш р1вняння (ДР) електро- та магштостатичних пол1в, не одте? р!зницево'{ формулы лепного порядку похибки апрокси-мацп для конкретних титв комплекта вузл1в, а деяко!' множини формул, i вщсутнктю рекомендацш щодо ïx вибору;

- труднощами апроксимаци ДО в граничних i приграничних вузлах для некоординатних границь;

- вщсутшстю загальиого методу формування для ДО р1внянь поля р1зницевих формул для комплект вузлнз, яю е елементами нерегулярних cîtok, i, як наслшок, неможливютю застосування таких

cîtok.

Водночас пор!вняння теоретичних засад метсдав сюнченних р1зниць i метод: в сюнченних елеменпв не дае листав шдлавати переваги осташнм щодо точносп 3i заданою спкою вузлш. Тому розвиток методу скшченних р!зниць у напрям1 усунення чинни-

юв, як1 спричинились до сучасного гюр1вняльного стану якостей цих двох труп методов, е з теоретичного погляду перспективним 1 з практичного - доцшьним.

Досягнення ще! мети визначаеться вибором надшно! науковоТ стратеги.

3 теоретично! ф1зики вщомо, що р1вняння вах ф1зичних пол!в, у тому числ!, електро- та магштостатичних, е тензорними. Тензор-теть р^внянь р1вноцшна ¡х швар1антност1 пщ час перетворень системи координат (СК) 1 вщбивае фундаментальну властившть р!внянь пол1в, оскшыш вона е гарашчею незалежносп точного розв'язку КЗ вщ вибору СК, ¡, отже, гаранлею об'ективносп цього розв'язку (оскшьки виб1р СК залежить вщ суб'екта, що розв'язуе задачу). При наближеному розв'язуванш КЗ можна ор!ентуватися на вищу чи нижчу точшсть розв'язку (використовувати вщпонщну густоту сггки, застосовувати для апроксимаци ДО р!зшшев1 формули вищого чи нижчого порядку похибки, закшчувати ггерацшну процедуру розв'язання системи алгебра!чних р1внянь (САР) на певному розряд! мантиси числа тощо), проте недопустимо на будь-якому з еташв розв'язання втрачати тензорний характер р1внянь. Оскшьки шд час чисельного розв'язування КЗ з! складними копф!-гуращями границь використовуються майже без винятку декартов! прямокутт системи координат (ДПСК), то лопчною е вимога 1 н вар ¡ант ноет! розв'язку вщносно групп лшшних перетворень ДПСК, а це можливо т!льки тод1, коли вш належить до класу функцш, швар!антних пщ час таких перетворень. Чисельш методи розв'язування КЗ грунтуються на иаближенш розв'язку степеневими многочленами. Серед них швар1антними вщносно групи лшшних перетворень ДПСК е тшьки повш многочлени, зокрема, многочлени Тейлора. Саме тому в основу повзятого в данш робот1 дослщження прийнято теорда швар1антного наближення функцш (Т1НФ) як математичний апарат, що грунтуеться на застосуванш многочлешв Тейлора та забезпечуе можливнль штерполювання, апроксимуван-ня, диференцшвання й ¡нтегрування функцш дискретного аргументу, який е вектором евклщового простору, з гарант!ею ¡нвар!-антносп результате вщносно групи лшшних перетворень ДПСК.

Для розв'язування нелшшних САР, отримуваних внаслщок алгебравацн диференцшних КЗ, прийнято метод Ньютона {в раз1 необхщност! - з продовженням по параметру) як найшвидкозбек-шший 1 найнадшшший з вщомих метод1в аналопчного призначення. Тут природно виникае необхщшеть опису властивостей нелшшних середовищ тензором '¿х диференцшного питомого опору (чи тензором диференшйноГ проникноеп), який однаково придатний для

безпстерезисних середовищ уах титв - лшшшх чи нелшШних, ¡зотропних чи аш'зотропних.

У першоиу роздал! викладено особливосп Т1НФ, ¿стотш з погляду П застосування до розв'язугання диференщйних КЗ електро- та магнь тостатики ¡, зокрема, для алгебраТзац» ДО, то входять у формулю-вання цих задач.

Многочлен Тейлора л-го стеленя з т незалежними змшними при ш=3 мае вигляд

Ц= и и и иАг+и рсг/2\+...+и^уургЦ ахЫ а!)+...+«//"/л!=

= Т[х,у,г]Ги=Т-и\ (1)

де

• %Т [х,у,гН\ х у I х2/2!... ... г"/л!«; (2)

и = ||м, ...ир... иг1 (3)

- вщповщно рядок Тейлора та стовпець похщних многочлена в початку координат. Отже, рядок Тейлора е сукупшстю базисних многочлешв Тейлора в лшШному простор! Г многочлешв Тейлора до л-го степеня включно, тобто е базисом дього простору. В основу формування рядка Тейлора для однозначности останнього прийнято лексикохраф1чний порядок. Тут 1 надал1 символ "*" означае транспонування.

Кшьюсть члешв многочлена (1) для 3-пим1рного простору аргументу визначаеться за формулою

Р = (3+и)!/(3!л!). (4)

Якщо вважати, що г - Тх +/>■ + к-г, г- Гх + /у + кг - рад!уси-вектори точки 0 евклщового простору, визначеш вщповщно в ДПСК Охуг та Охуг, гд~ гх0+/у0+ к-г0- рад!ус-вектор початку ДПСК Охуг у ДПСКдх)Ъ то

7д+ (5)

де г*= II ху гII,; 11,;^= || х0 у0г0\и матриця напрямних

косинуав осей ДПСК Охугу ДПСК Охуг. Многочлен (1) мае вДПСК Охуг вигляд

= и, (6)

де Т, и - вщповщно, рядок Тейлора ! стовпець похщних, обчислеш в ДПСК Охуг. Як бачимо, перехщ до ДПСК Охуг в евклщовому простор! вщповщае переходу до нового базису в лшШному простор!

2\ Таким чином, рядок Тейлора та стовпець похщних перетворю-ються гид час переходу вщ ДПСК Охугпо ДПСК Охуг за формулами

Т[х,у,1] = Т[х,у,г}- Ф; (7)

7?, (8)

де Ф - матриця переходу до нового базису в лппйному простор} Г, елементи яко! визначаються параметрами перетворення (5). Виве-дення вираз!в елементш матриц! Ф та и конкретний вигляд при и=3 наведено в додатках.

3 пор1вняння (1) та (б) випливае, що многочлен Тейлора е ¡нва-р1антним гад час л ¡ниш их перетвореиь ДПСК, \ ця ¡нвар1антшсть мае два аспекта: вигляд многочлена в ус1х ДПСК е однаковим, 1 його значения не залежить вщ того, в якш ДПСК його обчислено.

Нехай функщя 11= I! [х,у,г] задана таблично, тобто сукуптстю и значень 111,...,ир, що в1дпов1дають точкам 0,,..-,0Р евклщового простору. Множину цих точок називатимемо комплектом, точки -вузлами, а значения функци в точках - вузловими значениями таблично задано! функци (ТЗФ). Для тако! ТЗФ можна визначити штерполянту у вигляд1 многочлена Тейлора наступним способом. Застосувавши многочлен (1) почергово до кожного з вузл1в, отримуе-мо лшшну САР

—* —»

(9)

-> -> Т-и= и,

де

1 х, у, г, х,У2! ... х1 а*у1"/г,"г-/(а!а\а!) ... г,"/я!

1 и>

; И ■

"г

(Ю)

1 хе ур гР хр2/21 ... ... *//л!

- вщповщно, матриця Тейлора 1 вузловий стовпець ТЗФ. Комплект, вузли якого не належать одшй поверхш и-го порядку, називатимемо невиродженим. Матриця Тейлора для такого комплекту е невиродже-ною, 1 тон

и = Т'1 и. (11)

Поставивши (11) в (1), отримуемо вираз ¡нтерполянти дано! ТЗФ

и=Т[х,у,1]Т-<и. (12)

У дисертаца на прикладах конкретних ТЗФ показано, що при штер-поляцв неповними многочленами отримуемо для точки, що не збиа-еться ш з одним !з вузл1в, р1зш ¡нтерпольоваш значения функци, в залежносп вщ того, яка ДПСК вибрана для обчислень, то/а як при штерполяцн многочленом Тейлора результат е в усЬс ДПСК однаковим.

Частинна псдадна рядка Тейлора за кожною з незалежних змш-них - це рядок розлпру Р, вякому Р'— (3+я-1)!/(3!(и-1)!) елемент формуються з Р' перших елеме1тв рядка (2), а решта елеменпв -нул^ тому

дТ/дх - 77/; дГ/ду = 77/; дТ/дг = Щ, (13)

де ТУ, /V - квадратш вироджеш матриц! розм!ру Р рангу Р', в яких Р' елеменпв дор1внюють одинищ, а решта - нулев!.

Вирази похщних ¡нтерполянти (12) з урахуванням (13) мають вигляд

ди/дх = ЩТдЦ/ду = ЩГ'Щ ди/дг = ЩТ''и. (14) Градиент ¡нтерполянти ТЗФ визначаеться за формулою

¿гас!II- чи= У7[х, у, г] Т~>и, (15)

де V - ДО Гамшьтона, який в ДПСК Оку г мае вигляд

V = Г- д/дх + 7' д/ду + к ■ д/д-. (16)

3 урахуванням (13)-(16)

егас1бг= 7- щт-'и+7- тт-*и+ к - щт-]и= тт->и, (П)

де _ _ _ _

Ы= I-Ых+к-(18)

- матриця Гамшьтона.

Зпдно з доведеною п робол Теоремою 1 матриця Гамшьтона е матрицею лшшного перетворення у лн-шшому простор! Г многочле-нш Тейлора до я-го степеня вклгочно I при зм1ш базису цього простору ц елементи перетворюються як компонента тензора з ко- та контра-вар1антною валентностями, ршними одинищ. Вказане лшшне перетворення е р^зницевим аналогом оператора Гам1чьтона у_простор! Г.

Похщна в напрям1 одиничного вектора п = тх + ]п + кпг, лзплааан \ похщна виду д"> ы,у*г,^дх"-ду">дг"- \ и те р пол я нти ТЗ<Ь пизначаються вщповщно за формулами

п- ёпкШ= п ■ Т(пЙ)Т-'и- ДС/=72У= (19)

Для векторно! функцп V ~ и \х, у, г], задано!' таблично, штер-польоване значения, дивергенция ! ротор визначаються за формулами

и=_р,-1й; Шу(7= VТЙТ'хи.; ю\й = Ч'1/= (ТЙГ1уд, (20) де ¿7= || £/ ... ир\\„ - стовпець вузлових значень ТЗФ.

Застосувавши формули (14), (15), (19), (20) до р-го вузла, маемо

(дЩдх)р = (ди/ду)р = !>ри- (дЩдг)р =

—> ->

(^«у+Ъ/дх"хдууд&Щр^ К а. а а^

(ЧЩ = (пЧЦ)^

<уи>, = %$ = (21)

де

лр ур р у ' ф р I ' х > г '

Л_ = ТШТ~>=7- ГЯГ-'+Т- ТИТ-^Ъ- ТИТ-' = 1- Я +/• Я +*• Л ;

чгр р р х 1 р у р г V №

Щур-

~> = ^Дг7 = ^ДД; (22)

- матриш-рядки, яы перетворюють матрицю-стовпець вузлових значень скалярно! ТЗФ вдаювшго в значения частинних похщних д/дх, д/ду, д/дг, грашенга, похщнсм в напрям! п, лаплааана та похщнсн виду ^ч+^+аг/^лф^^'пнхерполянти Ц1еУ ТЗФ у />-му вузл1 комплекту чи матрицю-стовпець вузлових значень векторноГ ТЗФ у значения дивергенцп та ротора штерполянти ще! ТЗФ у р-иу вузл1'. За означениям, вони е р1зницевими аналогами вщповщних ДО в />-му вузль Серед них особлива роль належить ртзницевому аналогов! ДО Гамшьтона, оаольки вш, як \ оператор V, е спшьним для гращента скалярно1 ТЗФ 1 дивергенцп й ротора векторно!" ТЗФ.

Ус1 викладеш стввщношення безпосередньо придатт для двовим1рного евклщового простору, причому тут

Р = (2+л)!/(2!я!) (23)

Вщомо, що ДО, як! визначаються через оператор V, е шваршнт-ними вщносно групи лшшних перетворень ДПСК. Зпдно з доьеде-ною в робот! Теоремою 2 р1зницев! аналоги ДО (РАДО), як1 визначаються через матрицю УУ, е також щвар1антними.

Яйцо для конкретного комплекту матриця Тейлора е невиродже-ною, то ¡снуе едина обернена до не! матриця, тому РАДО, обчислю-ваш за формулами (22), е единими. Отже, якщо для даного ДО при конкретному комплект! пропонуеться в лггератур! декшька р!зних РАДО! один з них збнаеться з визначеним за вщповщною з навсдених вище формулою, то вш е швар1антним, а вЫ шип - нешвар1антними. Цей висновок дозволяе перев!рити на ¡нвар]антшсть будь-який з вщомих у лтератур! РАДО. Наведемо найважливши результата тако'1 перев1рки. Для ДО Лапласа в центральному вузл1 комплекту, зображеного на рис. 1, озримано р!зницевий аналог

(1/(85*) || -(с,2+с22+с32) (-с,2+с22+с32) (-сг2+с32+с,2) (-с,2+с,2+с22) (-С,2+С22-ЬС32) (-С32+С32+С,2) (-С32+-С,2+С22) ООО II, (24) де площа трикутника з1 сторонами с,, с2, су В ;птератур1 вщомий тшьки окремий випадок РАДО (24), що вщповщае умов1 с~с=с=с.

Рис.3

Тут комплект мстить 10 вузл!в i, отже, вш вщповщае третьому степенев! штерполящйного многочлена ТЗФ, тому РАДО (24) мае другий порядок похибки апроксимацп. Вщомий РАДО l/(2XJh2sinö)|| -Xcosö 2 Xcosü 7кг -4(121} Xcosö 2 -Xcosö || (25) для комплекту, зображеного на рис.2, за даними [*] також мае другий порядок похибки апроксимацп. Анатз показав, що для комплекту рис.2 за будь-якого розташування десятого вузла не ¡снуе штерполящйного многочлена третього степени, оскшьки матриця Тейлора завжди буде виродженою. Таким чином, РАДО (25) е нсшваринтним.

Для б1гармон1чного ДО V4 щвар1антний р1зницевий аналог у центральному вузл1 комплекту, зображеного на рис.3, - це рядок l6/(9/i4)||12 -3-3-3-3-3-31111110 ... 0 || (26)

BiH вщповщае многочленов! 6-го степеня (Р= 28) i, отже, мае 2-й порядок похибки апроксимацп. BiH наведений у [*]. Але нами виявлено в [*] i [**] ще два РАДО V4 на цьому ж комплект!, а саме l6/(9/i4)||6 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1-1-1-1-111111 10... ОI (27) 4 /(9й4)|| 42 -10 -10-10-10 -10-10 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 ... О || (28) 3 наведеного вище випливае, що вони е нежвар1антними. Для вщомого з [*] РАДО V4 1/(W)||320 0 -120 32 -120 0 -120 32 -120 1 8 16 0 -1 0 16 8 1 8 16 0 -1 0 16 8 ||, (29)

що вщповщае комплектов!, зображеному на рис.4, доведено, що ßiH, як i (25), е нешвар1антним.

Застосувавши формули (21) до кожного з вузл!в комплекту й об'еднавши значения однойменних похшних у вщповшш вектори-стовпш, отримуемо формули

дИ/дх = Ди; dU/dy --=Ди; dÜ/dz

Vu=дЛ м/ = дД ¥v = дД vf = дД v*]y= дД (30) де

Д = ду = TA; J'-'; _ Д = TNT"-;

Дч=_ TNT = ¡Д+]Д+кД- Д-пЧ— TnNT = лД+лД+лД;

TN2T'l= TNx2 TN* T"'+TN^T~i = Дг+Д г+Дг (31) - квадратш матриц! po3Mipy Р, рядки яких - це вщповщш РАДО у вузлах комплекту. Щ матриц! е операторами, що перетворюють стовпець вузлових значень ТЗФ у стовпщ вузлових значень вщло-В1дних похшних uiei ТЗФ, i за означенням вони е дискретними аналогами вщпов1дних диференщйних операторов (ДАДО).

* Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1978.

** Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ. - Киев: Вища

школа, 1979.

РАДО використовуються для алгебрапаци ДР у метод! скшченних р1зниць, а ДАДО - для Тх алгебраГзацн в метод i колокаци.

У другому роздш викладено алгоритми розв'язування крайових задач електро- та магштостатики методом колокаци на niacraBi Т1НФ.

У метод! колокаци розв'язок КЗ шукають для кожно! 3i змшних стану поля у в игл яд i лшжноТ комбшацп лшшно незалежних базисних функцш, a ii¡ коефвденти визначають ¡з системи р1внянь, яка складаеть-ся з двох пщсистем: першу отримують у результат! шдставлення розв'яз-ку задач} в р1вняння поля стосовно до вибраних BHyrpiuiHix вуамв колокаци, а другу - застосуванням цьогож виразудо граничних вузлп?.

Нами не виявлено в л1тератур1 алгоритм1в розв'язування методом колокаци КЗ електро- та магштостатики з урахуванням неоднорщ-hoctí, ne;iíhíiíh0ct¡ й ашзотропй' середовищ, а також рекомендацш щодо умов, як1 noBHHHi задовшьняти системи базисних функцш (KpiM íx лшшно! незалежност!), юлькосп BHyrpiuiHix i граничних вузл1в колокаци та взаемне розташування вузл1в. yci ш питания однозначно й вичерпно розв'язуються на пщстав! Т1НФ.

У дисертацп викладено алгоритми розв'язування методом колокаци шести типових тривтирних КЗ першого роду, а саме задач розра-хунку електричного, магштного потенщального та магштного вихро-вого пол i в за умови, що область розрахунку поля заповнена найпрос-тшим - лшшним однорщним тзотропним - чи найскладшшим -нелшшним неоднорщним ашзотропним середовищем.

Прошюструемо суметь пропонованого методу стосовно до най-складтшо! з названих КЗ - розрахунку вихрового магштного поля в обласп G з границею Г, заловнешй нелшшним неоднорщним ашзотропним середовищем, тобто на КЗ_____

^Н\г] =_УМ (г е G); (32) B[r\ = V-Afr] (г е G, Г); (33) m = H[B,?)(?eG,D (34) Л[г] = Аг[7] (Г е Г), (35) де Н[г], В[г], А\г\ - залежносп, вщповщно, вектора нагтруженостт MarHiTHoro поля, вектора магшгноТ ¡ндукци та вектора магштного потеншалу вщ paaiyca-вектора г = ix+jy+kz точки облаеп, як\ е невь домими функшями; J[r] - задана залежшсть вектора густини струму вщ г, /4Дг] - задана залежшсть вектора магштного потеншалу вщ г.

Шукатимемо функцп Н = H\r], B=B[r], А - A[r] у клаа много-члешв Тейлора п-го степеня, тобто

Я[х,ул) = T[x,y,z]t; В [x,y,z] = T[x,y,z]t, A [x,y,z] = T[x,y,z)% (36)

де r* _ _

h = IIh, ... AJI.; b = Щ ... L; д = Ц ... aj. (37)

- CTOBnui похщних многочлешв (36). Наклавши на границю /облает! Lr граничних вузл1в i на область G (без и граниш) - L0 = P-L вузлгв, запишемо многочлени (36) у вишш

N и

//= T\x,y,z] ■ Т-'И; B= %,y,z] ■ Т~'% А = T\x,y,z] • T'lA, (38) де- _»—>_}

Я = ЦЯ, ... ЯЛ.; В = ЦЯ, ... А = |И, ... ЛД, (39)

- стовпщ вузлових значеиь функцш Н[г], В{г\, А[г].

Застосувавши ДР (32) почергоао до кожного з ¿^внутрилшх вузл1в i ДР (33) - почергово до кожного з Рвузл1в, отримуемо з урахуванням (30) дискретш аналоги них ршнянь

СД*Я = % в = Я;А (40)

де Сс = ||IG Щ - матриця, що складаеться з одинично'1 матриц! po3Mipy

Lc i нульово1 - po3Mipy La'Lr; J = ... JL ||, - вузловий стовпець густин струму.

Застосувавши залежшсть (34) почергово до кожного з Р вузл1в, отримуемо векторну функццо

Я = Н[В]. (41)

Застосувавши граничну умову (35) до кожного з Lr граничних вузл1с, отримуемо векторну фуккшю

СГЛ= % (42>

де Cr = ||0 /J - матриця, що складаеться з нульово! матриц! розшру LTiLc й одинично! - po3Mipy £г.

САР (40)-(42) е дискретним аналогом диференшйиоУ КЗ (32)-(35). ^ Осюльки ^

Я = l-H+j-H+k-H[; В = lB±]-Bp-k ~B- A - J-A+j-A+k-A., (43)

де

«Г \ИЛ ... ЯД; Я= ||Я„ ... ЯД; Яг = ||Я, ... ЯД; ... БД; - йг = ... 5Д;

Л> IK. - 4JU Л= Ц. ^ = К - (44)

- стовпш проекцш векторов И, В, А на oci ДПСК Oxyz, то систем! (40)-(42) сщпошдае САР

Сс1дД-дД)-Х= о; 0; Сс(ДхН^Л<= 0; (45)

К = 4Л-М; ? = К- М-дЛ № —> —» —> —> —> —»

^ W = /у= Я^= ЯДВДД]^ (47)

jt = Л,. = А = сДс+сД; (48>

де /)/6, Л (/ - CTOBnui проекц!й вектора потенщалу вщповщно

у внутршшк i граничних вузлах.

САР (45)-(48) нелшшна, осюльки Boiia м!стить нел!н!йн! р!вняння

(47). Для п розв'язування застосуемо метод Ньютона. Лнийна САР, породжувана нелшшною САР (45)-(48) на т-й ¡тераци, - це

Сс(дД-дД) = -мс; с6иД-дД) =

С/дД-дД) = (49)

= ДХЛ-ДАА;, АВ = ДАА>гДАА;, (50)

= V Д5+у Д/Н-у Д5; &Н = V АД2Г+у ДЯ*;

д хх л I)- > « г' г ух х уу у уг г'

АЯ = у Д^+у

; г* дг ;» _>■ гг г'

ДЛ = С^Д/1дС;

И =

(51)

(52)

де АН., АВ, ААр АЛ а (]=х,у,1) - поправки вектор ¡в Н, В., Ар Л с на т-й ¡теращУ; МХ.С,М)С,М_С - стовпщ нев'язок р1внянь (45), обчислеш за (от-1)-м наближенням кореня САР (45)-(48); уд = дН/дВ=йЫЩ/дВа,...,дН^дВ111=сПа§[ум,...,у(¡,к=х,у,г)(53) - матрищ, д!агональш елементи яких - це значения однойменних компоненлв тензора диференцшного питомого магштного опору середовища

_6Н _ йВ

V

(54)

днх/двхр днч;двур днх/дВ9 дн/двхр дну/дв9

дН^дВ,р дН^дВ» дН^дВ9 обчислен! у вузлах комплекту за («¡-1)-м наближенням кореня САР. Р1вияння (49^ зводяться з урахуванням (50)-|52) до вигляду

= Кс- Кс

(55)

де

Ко,

Ру = СсМуЛЛ\Х-ЛчЛ+ЛуХ)Сс»

= ^^ДДуД-ДУХ+ДД^С^;

- квадратш матриц! розмфу

Нульове наближення кореня САР (45)-(48) можна прийняти р1вним нулеви Якщо при цьому виявиться, що пераишна процедура

не збпаеться за 5-6 ¡терацш, то належить скористатись комбшацоею методу Ньютона з продовженням по параметру. При вщсутносп иел1Н1Йност1, неоднорщност! чи ашзотропп середовища алгоритм е окремим випадком описаного вище алгоритму.

Згщно з доведеною в робой Теоремою 3 дво- чи тривимфна КЗ електро- чи магштостатики мае розв'язок методом колокаци з засто-суванням швар!'антних апроксимащй 0 вш е единим), якщо:

- загальна юльюсть вузл1в колокаци дор1внюе кшькоеп коефощ-ент1в дво- чи тривим1рного многочлена Тейлора п-то степени, тобто належить до множили, що визначаеться формулою (4) чи (23);

- кшькшть граничних вузл1в належить до множини, що визначаеться формулою Ьг = (л+1)! чи Хг = 2и+1;

- сукупшсгь ус!х вузл1в не належить до поверхш (чи лшп) «-го порядку, тобто комплект вузл1в колокаци е невиродженим;

- сукупшсть внутр!шшх вузл1в не належить до поверхш (чи лшп) (л-2)-го порядку, тобто комплект вузл!в е невиродженим.

Розроблеш алгоритми не накладають принципових обмежснь на р1вень складност1 конф!гурацн границ! облает! розрахунку поля, р!вень нелшшност1, неоднорщносп чи ашзотропп середовища, однак доцшьна сфера ох застосування лежить у межах /;<Ю.

Якщо область розрахунку поля е кусково-однорщною, тобто скла-даеться з роздшених контактними поверхнями (лпиями) пщобластей, у межах кожпо!' з яких середовище е однорщним чи неперервно неод-норщним, то розроблен! в дисертацп алгоритми можуть бути безпо-середньо застосованими до цих подобластей, причому тод! значения потенц!алу на контактних поверхнях (л!н!ях) пщлягають обчисленню.

Працездатшсть розроблених алгоритм!в перев!рена та ох точность про!люстрована на вщповщних тестових задачах, що мають анагпгич-ний розв'язок.

У третьему роздш викладено алгоритми розв'язування крайовюх задач електро- та магштостатики методом скшченних ргзшшь на подстав! Т1НФ.

У метод! скшченних р!зниць не кнуе заздалепдь однозначного зв'язку мож кшькостями внутршшх ! граничних вузл!в облает! та жорстких обмежень на взаемне розташування вузл!в. Для випадюв, коли всередин! облает! використовуеться регулярна с!тка, а граничш (контоктн!) поверхш не е координатними площинами, запропо-новано алгоритм розташування граничних (контактних) вузл!в.

У дисертацп викладено алгоритми розв'язування методом скшчен-них р!зниць шести типових тривиморних КЗ другого роду, а саме задач розрахунку електричного. магштного пстенц!ального та магшт-ного вихрового пол!в за умови, що область розрахунку поля заповне-на лшшним однорщним ¡зотропним або нелшшним неоднорщним ан!зотропним середовищем.

Прошюструемо сутшсть пропонованого методу стосовно до роз-рахунку потенщального електричного поля в облает! G з границею Г, заповненш нелшшним неоднорщним ашзотропним середовищем,

тобто КЗ _ _ _____

V5[7]=_p0j (reG) (57) ед=-У£/И;(геС,Г)(58) D[r] = D[E,r}\ (г e_GJ){59) Щг] = UJLft (геГв) (60)

п[гЩг] = £Дг] (г еГ„), (61)

де D[r], E\r], U[r] - невщом1 залежносп, вщповщно, вектора електричного зм1щення, вектора напруженосп електричного поля та електричного потенщалу вщ рад1уса-вектора гточки обласн; р[г] - задана залежшеть об'емно! густиии електричного заряду вщ г, UD[r] - задана залежшеть потеншалу в!д 7 на частит границ! Г; Е^{г) - задана залежшеть нормально'^складовoi' вектора напруженост! Bin 7 на частиш Г^ границ! Г; п[г] - одиничний вектор нормаш до границ! як задана векторна функщя рашуса-вектора 7 на частиш rv гранищ Г.

Накладемо на область розрахунку поля ciTKy. Занумеруемо внут-piumi вузли числами вщ 1 до La, граничш вузли, що належать до частини Гд, гранищ Г, - числами вщ La+l до Ь0+Ью i граничн! вузли, що належать до частини Гл границ] Г, - числами вщ LC+LN+1 до L=Lg+Ln+Ld. Така нумеращя названа базовою. Поставимо у вщповщшеть /-му (/=1,1) вузлов! единий Р-вузловий комплект «-го порядку. Для вузл ¡в кожного комплекту введемо подвшну нумеращю, в ЯК1Й перша частина вказуе номер базового вузла комплекту в базовш нумерацп, а друга - локальний номер вузла в комплект!. Вщповщшеть м!ж подвШного та базовою нумерацшми визначаеться за таблицею, яка складаеться за наступним правилом: 1-й рядок таблиц! (/=1,L) мютить послщовно базов! номери вузл!в комплекту з подвшними номерами 1\,...,1Р. Очевидно, що номер базового вузла 1-го комплекту дор!внюе в базов!й нумерац!'! числу I.

Вважатимемо, що крок ciTKH е достатньо малим для того, щоб у межах комплекту можна було представити залежносп U=U\x,y,z\, D=Dx[x,y,z], D~Dy[x,y,z\, D=Dz{x,y,z], E=Ex{x,y,z], E=E^x,y,z\, E=E^x,y,z] многочленами Тейлора n-го степеня.

Алгебрапувавши з урахуванням (21) р1вняння (57) у кожному з BHyTpiinnix вузл!в, отримуемо систему Lc алгебра'!чних р!внянь

(/=йс) (62) ' -

де Rv/ - РАДО Гамшьто!« в базовому вузл! 1-го комплекту; Dt -стовпець значень вектора D у вузлах 1-го комплекту; р, - значения р в /-му вузл!.

Алгебра1зувавши з урахуванням (21) р1вняння (58) у кожному з вузл!в, отримаемо систему L алгебраУчних р1внянь

Ег-ХД\ (/=1,^) (63)

де Е1 - значения вектора Ё в 1-му вуаш; I/, - стовпець значень и у вузлах /-го комплекту.

Застосувавши залежшсть (59) почергово до кожного вузла, отри-муемо сукупшсгь £_векгорних залежностей

0= (/= 1,£) (64)

де Л, - значения вектора С в 1-му вузлк

Застосувавши граничну умову (60) до кожного з Ь0 граничних

вузл1в, маемо _

и=иог (/=1с+£„+1,£) (65)

Застосувавши граничну умову (61) до кожного з ¿^ граничних вузл1в, маемо_____

иД= V- (/= (66)

де п1, Ем - вщом1 значения вектора п \ напруженосп Еы в /-му граничному вузл1.

Система (62)-(66) е дискретним аналогом диференцшно5 КЗ (57)-(61). Представимо и з урахуванням (22) у проекщях на ос1 Ох, Оу, ОгК. А, +К< + =р>>

: : -»^ -» (68) К, = ЛЛ' ^ = ЧЛ; £* = ■

Ъ^тмь ^гЩЕ.Е^У, В^Е^Е,);

КгЩЕЛ>ЕЛ 1(69)

: _ (70)

Система (66)-(70) е дискретним аналогом диференцшноТ КЗ (57)-(61), якщо б остання була сформульована в проекщях. Система складаеться з 7-1 р1внянь 1 мктить стшьки ж невщомих: значения £,£,£.,£/в I вузлах.

Утворивши матриц!

= Ша^,,...,^); = «Я

та стовлщ_^

то,г - ... ял- -

••• ¿Л» К= К. - ¿У« -.. ..

{/=||£/,... 1у.; С/В=||и ... ... У

Н1р, - Р£1(.; Е^Е -

О и О А

запишемо систему (66)-(70) у виглад

С0(ЛлСО+ЙСЛ+ЙСД)-р= 0; (71)

£ = -Л С£/; Е = -Я О/; £ = -Л СИ; (72)

* ж ' ^ у * г г '

—» ->—>—>—> —> —> ....

я, = адЛД!; Я = ЩЕЛ>ЕУ> °г = № (73)

(74)

(75)

де С6=(/£с,0) - матриця, що складаеться з одинично! матриц! розм1ру £с та нульово! - розм1ру С - матриця шдпогндносп м!ж

базовою та локальною нумерациями; Сд=(0,^д), - матриця, що складаеться з нульово! матриш розм1ру (Ьа+Ь^Ь0 й одинично! -розм1ру 10] 0). - матриця, що складаеться з одинично!

матриц! розм1ру та нульово! - розкпру Сл,=(0,Лл,0)

- матриця, що складаеться з нульово! матриц! розкнру одинично! - розм!ру та нульово! - розийру [(

САР (71)-(75) нелшшна, осюльки вона хистить нелшШш р!вняння (73). Для Г! розв'язування застосуемо метод Ньютона. Лшшна САР, породжувана нел!н!йною САР (71)-(75) на т-й п-ерацп, мае витляд

СА^+ЛгСдД)=-Мс; (76)

АЕ=-Кхс1и-, 1Е=-Я.с1и-, АЕ=-К:СЩ (77)

Ц^Д+еД-чД'' (78>

^ (79)

^сД+л.сД+^сД-Л/,,, (80)

де АД., ДЕ„ ДО, ДЬГг и=х,у,А - поправки вектор!в Д., Д, С/, и,. на

/ У \ —» ^ ^

«г-й ¿терацц; М^-стовпц! нев'язок р1внянь (71), (75), обчислен! за (/и-1)-м наближенням кореня САР (71)-(75);

е^/^^[¿»Д,(/Л=адг) (81)

- матрищ, д1агональш елеменги яких - це значения однойменних компонент тензора диференщйноУ д1електрично! проникносй середовшца

£- ■

¿Ё

М,/дЕх1 дБу,/дЕ дВ/дЕ:) д^/дЕх, дО^/дё, дО^дЕ,

£ УХ! £»У

т» ы

(82)

обчислеш у вузлах атки за (от- 1)-м наближенням кореня САР. Р1вняння (76), (80) зводяться з урахуванням (77)-(79) до вигляду

= М№ (83)

де

Р^пС^А+ПС,Л;Ы_СаА)С0г (84)

- матриц! розм1ру Ь0х{Ьс+Ьы) та Ь^Ь^Ь^ вщповщно; А=ЯС(1--х,у,г)

- матриця розм1ру ЬЬ.

Нульове наближення кореня САР (71)-(75) можна прийняти ранним нулевь Якщо виявиться, що при цьому перацшна процедура не збнаеться за 5-6 ¡герацш, то належить скористатись комбшащею методу Ньютона з продовженням по параметру. За вщсутност! нель шйносп розв'язок отримуеться за одну ¡теращю.

Працездатшсть розроблених алгоритм!в перев1рена та Ух точшсть прошострована на вщповщних тестових задачах, що мають анат-тичний розв'язок.

У четвертому роздш викладено опие програмного забезпечення для розв'язування крайових задач методами колокаци та скшченних р!зниць на пщстав1 теори ¡нвар1антного наближення функцш 1 резуль-тати розв'язання контактно-крайово! нелМйно! задач 1 магштостатики.

3. висновки

1. На лщстав1 огляду лторатури виявлено основн! причини, що гальмують засгосування методу скшченних ргзниць, а саме:

- багатовар1антн1сть ршшиепих аналопв диференцшних оператор!в р!внянь пол ¡в ! вщсутшсть /х об'екгивно! пор!вняльно!' оц!нки;

- вщсутшсть загального методу формування для диференцшних оператор!в р1зницевих аналопв заданих порядив похибки апрокси-маци для нерегулярних с!ток ! в окол1 некоординатних границь.

2. В основу розвитку методу колокаци та методу скшченних р!зниць покладено теор!ю швар!антного наближення функцш, метод Ньютона розв'язування нелшшних систем р!внянь та опис середо-вищ тензорами Ух диференцшного питомого опору чи диферен-цшно! проникност!.

3. Вперше й на сшльнш математичнш основ! розроблено загальш алгоритми обчислення

- р!зницевих аналопв диференц!йних операгор1в, що входять у математичш формулювання крайових задач електро- та магштоста-тики, як матриць-рядмв, добутки яких на стовпець вузлових значень таблично задано! функцп дор1внюютъ результатам ди цих оператор!в

на штерполянту щ'еГ функци в заздалевдь вказаному вуз.'п;

- дискретних аналопв диферешпшшх операторов як квадратних матриць, добутки яких на стовпець вузлових значень функци дор1в-нюють матрицям-стовпцям результате дн цих оператор1в на штерполянту таблично задано! функци для в<ле1 множини вузл1в.

Щ алгоритми мають однакову структуру для вс1х диференщйних оператор1В 1 забезпечують едишеть розв'язку, ¡нвар1антшсть вщносно групи лшшних перетворень декартово! системи координат 1 придат-шегь для простору з довшьною кшьгастю незалежних змшних, для невироджених комплект вузл1в довшыюго степеня 1 з довшьним взаеминм розташуванням вузл1в.

4. Розроблеп1 алгоритми реализовано у вигляд1 програмиих модули* штерполяш! та диференщювання таблично заданих функцш, апро-ксимаци та диференцтвання таблично заданих (функщ'й, обчислення р1зннцевих аналопв диференцшних оператор1в, а також обчислення рядка Тейлора (як сукупност! базисних функцш багатовим1рного многочлена Тейлора) та його похщних.

5. На шдсгав1 розроблених алгоршшв виконано перев1рку ряду вщомих у лп-ератур! рЬницевих формул для двовим!рного простору 1 виявлено, що деяш з них с иешвар1ангними.

6. Вперше й на сшльшй математичнш основ! розроблено комп-лекси алгоритмов розв'язуванпя методом колокаци та методом скш-ченних р1зниць крайових задач розрахунку тривтпрних 1 шюских електричних, магштних потенщальних 1 магштних вихрових по.шв. Щ алгоритми гарантують:

- 1нвар1аитн1сть вщносно групи лшшних перетворень декартово! системи координат р!внянь па вс!х етапах розв'язання задач!, 1. як наслщок, швар1антшсть розв'язку;

- однотипность процедур формування дискретних аналогт диференщйних крайових задач для регулярпих \ нерегулярних аток, коорди-натних 1 некоординатних граничних 1 контактних поверхонь для безпстерезисних середовищ ус!Х вид1в - лшшних ! нелшшних, однорщних I неоднорщних, Ьотропних й ашзотропних;

- заздалегщь вибраний порядок похибки апроксимацн диференцш-них оператор!в !х р1зницевими аналогами.

7. Доведено, що крайова задача слектро- чи магштостатики мае розв'язок методом колокацп (1 вш с единим), якщо загальна юльюсть вуз:пв колокацп та юльюсть впутрпшпх вузл1в дор1внюють юлькосп члешв многочлена Тейлора вщповщно л-го та (и-2)-го степеня, а су купи осп цих вузл!в не належать новерхням (для двовим1рно! задач!

- лппям) вщповщно л-го та (л-2)-го порядку.

8. Працездатшсть розроблених алгоригм!в переворена на значшй кшькосп розв'язаних тестових задач.

9. Отримаш результата мате матичного характеру мають безпосе-редне вщношення до будь-яких задач математично! фгзики - задач електродинамжи, те п л опр о в1 д и ост!, дифузй, пружпосц, аеро- та пдродинамжи гощо.

OCHOBHI РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦП ВИКЛАДЕН1 В РОБОТАХ:

1. Фильц Р.В., Коцюба М.В. О разностной аппроксимации оператора Лапласа на регулярной сетке //Теоретическая электротехника; Сб. статей / Львовский государственный университет. - Львов. - 1987. - Вып. 42. - С. 3-7.

2. Коцюба М.В., Фильц Р.В. Решение нелинейной задачи магнитостатики методом коллокации на основе теории натуральной интерполяции //Тез. докладов научно-технической конференции "Совершенствование технологических процессов производства, их механизация, автоматизация и внедрение результатов". - Каунас: Каунасский политехнический институт. - 1988. - С. 61.

3. Фильц Р.В., Коцюба М.В. Протрамма натуральной степенной шперполяции и дифференцирования таблично заданной функции многих независимых Пфеменных. - Киев, 1988. - Деп. у РФАП. - Инв.ЫАП0223.

4. Фильц Р.В., Коцюба М.В. Программа натуральной степенной аппроксимации и дифференцирования таблично заданной функции многих независимых переменных - Киев, 1989. - Деп. у РФАП. - HiiB.NAn0249.

5. Фильц Р.В., Коцюба М.В. Расчет двумерных магнитных полей методом коллокации с применением теории натуральной интерполяции И Изв. вузов. Электромеханика. - 1989. - № 3. - С. 5-12.

6. Фшьц Р.В., Коцюба М.В. Програма розрахунку шваргантних р1зницевих аналоги диференщальних oneparopiB. - Киш, 1990. - Деп. у РФАП. - lHB.NAn0281.

7. Фильц Р.В., Коцюба М.В. Расчет методом конечных разностей плоских магнитных полей в областях сложной конфигурации //Изв. вузов. Электромеханика. - 1990. - № 7. - С. 14-20.

8. Фильц Р.В., Коцюба М.В. Решение нелинейной двумерной потенциальной задачи магнитостатики методом коллокации //Теоретическая электротехника: Сб. статей /Львовский государственный университет. -Львов. - 1990. - Вып. 49. - С. 118-126.

9. Коцюба М.В., Фшьц Р.В., Kociiu О.П. Розв'язання задач1 оптишзацй в люовш пшуз! на ochobl теорй iHBapiamHoro наближення функцй //Люове господарство, л1сова, палерова та дередаобробна промисловкть. 36. статей / Лыйвсьнш л1сотехшчний ¡петитуг. - Львш. - 1991. - Вип. 22. - С. 101-105.

10. ФишцР.В., Коцюба М.В. Програма обчислення вектора Тейлора та його похщних. - Кит, 1991. - Деп. у РФАП. - lHB.NAn0315.

11. Фильц Р.В., Коцюба М.В. Расчет методом конечных разностей плоских электростатических полей в областях сложной конфигурации // Теоретическая электротехника: Сб. статей /Львовский государственный университет. - Львов. - 1991. - Вып. 50. - С. 27-34.

12. Фильц Р.В., Коцюба М.В., Грицюк Ю.И. Алгоритм вычисления на ЭВМ многочлена Тейлора и его производных //Изв. вузов. Электромеханика. - 1991. - № 5. - С. 5-10.

13. Коцюба М.В. Розвиток методу еюнченних ршшць на nincTaßi Teopi'i iHBapiaHTHoro наближення функцш //Тези доповщей l-'i М1жнародно1' науково-техтчно! конференцй "Математичне моделювання в електротехшщ й електроенергетищ". - Льв)в: Державний университет "Льв1вська полиехшка". - 1995. - С. 69.