автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Интегрированная математическая модель распределения производственных потоков и ресурсов

ПЕРМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

ДОЛГОВА ЕЛЕНА ВЛАДИМИРОВНА

ИНТЕГРИРОВАННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРВДЕЯЕНШ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПОТОКОВ И РЕСУРСОВ

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов з научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Пермь-1991

Работа выполнена на кафедре автоматизированных систем управления Пермского политехнического института.

Научный руководитель - кандидат технических наук, доцент

НИЗАЫУТДИНОВ О.Б.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор МЖОВ А.И., кандидат технических наук, доцент ШУМИХИН А.Г.

Ведущая организация - НПО Уралсистем, г. Свердловск.

Защита состоится " ¡991 г> вД? часов

на заседании Специализированного совета в Пермском плитехни-ческом институте по адресу: 614000, г Пермь, Комсомольский пр., 29-а.

Автореферат разослан 1991 г.

Ученый секретарь

Специализированного

совета

Николаев С.Г.

дагигсЕЖ!]

1. :•. -1.,;:п;;:з

Отдел иссертаций

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Слогане производственные процессы (ПП) как объект исследования характеризуются тем, что проведение натурного эксперимента зачастую является дорогостоящим или невозможным. Однако, достоверная информация об их свойствах позволяет повысить эффективность принимаемых решений в различных областях - от проектирования до управления. В связи с этим, представляет интерес разработка математических моделей производственных процессов, предназначенных для решения исследовательских задач.

Важнейшей фазой производства является технологический процесс сборки, для эффективности которого большое значение имеют такие работы, как транспортировка и комплектование деталей и сборочных единиц. Такие производственные процессы характеризуются многими параметра).«!, динамичны, испытывают влияние случайных воздействий. Динамические свойства наиболее полно учитываются в моделях, при разработке которых производственный процесс пред-стс.".1.тс"ся в виде динамической системы. В этом направлении можно выделить работы А.А.Первозванского, П.А.Ватника.

Следует отметить, что создание средств исследования сложных технологических процессов признано одной из эффективных областей автоматизации, ей посвящено значительное количество публикаций. В зарубежных разработках научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы, относящиеся к созданию систем транспортировки, распределения, подачи деталей, являются одним из важных направлений ( фирмы £ЫсЪюп1с >1 иЬ та^п , Ои{?о<Ы

МаНле Сот-ротШп, 1'АсАс nTo¡jota" МасЫле

Анализ основных результатов в области разработки математических моделей производственных процессов, включающих сборочные и распределительные операции, показывает малые возможности исследования статистических и динамических характеристик потоков предметов, если объект имеет сетевую структуру и большую размерность. Модели таких объектов зачастую значительно упрощаются, используется детерминированный подход или рассматриваются стационарные режимы функционирования, то есть не учитываются в должной мере динамические свойства моделируемого объекта.

Актуальность и практическая ценность задач, связанных с использованием динамических моделей и статистических методов при моделировании объектов производства, были отмечены на Всесоюзной НТК "Применение статистических методов в производстве и управлении" (г.Пермь, 1990 г.). На данное направление ориентированы научные и практические задачи, решаемые в диссертационной работе.

Цель работы - повышение эффективности моделирования процессов производства дискретного и дискретно-непрерывного типа, имеющих сетевую технологическую структуру, включающих распределительные и сборочные операции.

Дня достижения поставленной цели решены следующие задачи:

1. Разработка математической модели производственного процесса, включающего сборочные и распределительные операции на основе декомпозиции, динамического и ыашрутно-непрерывного представления.

2. Исследование стохастического варианта модели системы распределительных операций с точки зрения анализа и синтеза объекта.

3. Исследование стохастического варианта модели многономен клатурной поточной сборочной линии.

4. Разработка модели сиетеш ресурсов в производственном подразделении и процессов их распределения.

5. Разработка методики настройки и агрегирования предложенных моделей.

6. Разработка структуры системы автоматизации моделирования производственного процесса, включающего сборочные и распределительные операции.

7. Программная реализация задач моделирования динамики объекта на основе предложенных моделей.

Методы исследований; Поставленные в работе задачи решены на основе использования аппарата дифференци&чьных и разностных уравнений, методов теории вероятностных процессов, теории систем, аппарата логики предикатов, принципов построения программного обеспечения ЭВМ.

На защиту выносятся:

1. Результаты декомпозиции и требования к компонентам интегрированной модели производственного процесса с сетевой технологической структурой.

2. Модель динамики производственного процесса, включающего распределительные и сборочные операции.

3. Стохастическая модель системы распределительных операций.

4. Стохастическая модель ыногономенклатурной поточной сборочной линии.

5. Модель функционирования ресурсов оборудования и работы персонала в производственном подразделении, включавшая формализацию распределения компонент ресурсов.

6. Методика настройхи разработанных моделей на реальный объект.

7. Алгоритмическое и программное обеспечение моделирования динамики процессов распределения и сборки.

Научная новизна:

Формализованы на основе использования непрерывной ыаршрут-но-техиологической координаты свойства процесса комплектования и сборзгн, связанные с протяяе.чностью технологических ыарпфутоа

Получены оригинальные аналитические соотнонения, позволяющие осуществлять анализ и синтез системы распределительных операция с учетом случайных отклонений интеясивностей потоков деталей н динамического перераспределения их компонент. Разработан эффективный по времена алгоритм синтез1.

Предложена модель статистической динамики сборочного процесса, учитывавшая его нестационарные характеристики.

Разработанная дискретно-логическая модель системы ресурсов в производственном подразделении позволяет осуществлять агрегирование с динамической моделью системы производственных потоков.

Практичасяую ценность работы представляют следующие результаты:

Програ»2Яое обеспечение моделирования производственного процесса, которое является открытым и может быть использовано

совместно с другими программными средствами, что расширяет возможности его использования.

Алгоритмы решения задач исследования вероятностных и динамических характеристик системы распределительных операций, обеспечивающие сокращение вычислительных затрат в 2 - 10 раз.

Математическое обеспечение, позволяющее исследовать многономенклатурное незавершенное производство с точки зрения обеспечения комплектности выпускаемых изделий и сокращения затрат на его создание и поддервание.

Программно-информационная реализация модели распределения ресурсов, сокращающая процесс настройки в 2 - 3 раза.

Методики моделирования еборочно-распределительных процессов.

Реализация результатов в промышленности. Практическими результатами явились разработки математического, программного и информационного обеспечения исследования производственных объектов с сетевой технологической структурой и дискретным типом производства. Результаты использованы в научно-исследовательских работах, выполняемых на кафедре АСУ в 1Э8о_1990 г.г., а также переданы НПО "ПАРМА". Суммарный экономический эффект от внедрения составил 36 тысяч рублей.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- всесоюзной НТК с участием стран членов СЭВ "Применение статистических методов в производстве и управлении", г.Пермь. 1990 г.;

- областной НТК "Математическое моделирование в сложных системах", НГС РЭС им. А.С.Попова, Пермь, 19Ь9 г.;

- I региональной Н1К "Совершенствование методологии и технологии создания перспективных автоматизированных систем",

г. Пермь, 19Ь9 г.;

- П всесоюзной НТК "Тренажеры в формировании профессиональных навыков при подготовке специалистов", союза НИО СССР,

г. Ульяновск, 1968 г.

Публикации. По результатам проведанных исследований опубликовано II печатных работ, а также получено положительное решение о выдаче авторского свидетельства.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и содержит 14Ь страниц машинописного текста, 25 страниц иллюстративного материала. Список литературы содержит 97 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность задач исследований, сформулированы новизна и практическая ценность основных положений, выносимых на защиту.

В первой главе рассмотрен обзор работ, посвященных разработке математических моделей производственных систем.

Анализ публикаций позволяет выделить следующие направления в разработке математических моделей: модели экономических процессов, включающие модели деятельности отдельных предприятий, модели ПП внутри предприятия, модели физических или химических процессов, характерных для определенных технологий. Приведенный обзор работ ориентирован на математические модели дискретных ПП с различной технологической структурой, позволяющие решать задачи исследования. Отмечено, что часто производство рассматривается как иерархическая система, модель которой состоит из отдельных составляющих - элементарных моделей. Эффективное использование локальных моделей возможно при удачном решении проблемы агрегирования различных модельных представлений, причем, модель не должна быть слишком громоздкой, так как это затрудняет решение исследовательских задач. В обзоре работ рассматриваются математические модели производственных процессов с сетевой технологической структурой. Показано, что существующие модели не позволяют исследовать такие объекты при воздействии на них динамических по характеру случайных возмущений, так как используют либо статическое, либо детерминированное представление процесса или ориентированы на решение одной конкретной задачи.

Однако, процессы сборки и распределения являются вазнейпими стадиями дискретного производства как с точки зрения доли в общей трудоемкости изготовления продукции, так и с точки зрения задач, решение которых требует исследования различных свойств объекта. Проблему моделирования таких процессов, с учотоы высказанного, нельзя считать решенной. Завершая «нялиэ проблем иоап-

лирования процессов распределения предметов по технологическим маршрутам, производственных ресурсов между технологическими операциями, делается вывод о необходимости разработки соответствующей интегрированной математической модели, основанной на динамическом и вероятностном представлении объекта.

В заключении главы сформулированы задачи исследования.

Вторая глава посвящена разработке математической модели производственного процесса сетевой технологической структуры.

Показано, что производство на машиностроительном предприятии может быть представлено в виде совокупности технологических маршрутов обработки предметов, складов-накопителей и систем сборочных и распределительных операций. Производственный процесс представлен в виде упорядоченного перемещения предметов по сети технологических операций. Процесс перемещения предметов рассматривается как совокупность производственных потоков. На вход сетевой технологической структуры поступают потоки предметов-ком-плектующих и деталей, а на выходе образуются потоки укомплектованных предметов-изделий.

В работе использован следующий набор переменных, характеризующих состояние производства на сборочных стадиях:

Тт> - вектор интенсивностей производственных потоков* комплектующих предметов;

у-^-ЧиЧзг - в"* - вектор интенсивностей потоков укомплектованных предметов;

Л,»<П1,1Г2>,..,Кт> _ Вектор текущих запасов комплектующих предметов;

Р1л<,Р&'ри>—1р1п> - вектор плотностей незавершенного производства комплектующих предметов;

Рг*Р21,Р22,-">Р21п> ~ вектор плотностей незавершенного производства в виде находящихся на технологических маршрутах комплектующих предметов. Сеть технологических операций представлена в виде совокупности линейных отрезков технологических маршрутов, накопителей предметов и сборочных операций.

Основой математической модели вышеописанного ПП являются

уравнения материального баланса, которые имеют вид:

dît а) di

где

= РШ-ScyC*) , (I)

5*113^3 - матрица применяемостей комплектующих предметов в комплектуемых.

Уравнение (I) описывает динамику запаса в накопителях, предназначенных для хранения комплектующих предметов, пока они не будут использованы при выполнении сборочных операций.

Процесс перемещения предметов по технологическим маршрутам описывается уравнениями, приведенными в виде:

Ы гас,- > Ю

ъРн (тл) _0

ы + эу,- '

где (3)

Ч ,х - маршрутно-технологические координаты; t - время.

Свободными параметрами модели, в общем случае, являются интенсивности входных потоков, начальные значения запасов и плотностей незавершенного производства, а также функционал, описывающий распределение компонент входных потоков между компонентами выходных. В качестве оценочных функционалов для процесса выпуска изделий могут быть использованы формализованные показатели ритмичности и надежности функционирования производственной системы, а также величина затрат 3 . В предложенной модели 3 включает две составляющие. Это - издержки на создание и поддержание страховых запасов и потери от рассогласования стадий производственного процесса, включающие потери из-за прояеживания и несвоевременного удовлетворения спроса. К последним относятся потери, возникающие из-за неравномерного выпуска предметов и потери из-за недостижения цели - выпуска укомплектованных предметов в заданном объеме за опреде-

ленный интервал времени - ЕО»£] . Первая из этих составляющих зависит от формализованного коэффициента ритмичности выпуска кг , вторая - от коэффициента надежности к«

Далее рассмотрены случайные возмущения в производстве, показано, что зависит от дисперсий интенсивностей пото-

ков укомплектованных предметов, У г - от их корреляционных функций. В заключение, сформулированы задачи исследования стохастических моделей процесса производства с сетевой технологической структурой.

Третья глава посвящена исследованию стохастических моделей систем распределительных и сборочных операций. На основе представления производства в виде динамической системы, а производственного потока - в виде случайного процесса, были решены следующие задачи:

1. Исследована модель влияния запасов комплектующих предметов в накопителях на характеристики потоков комплектуемых предметов.

2. Исследована стохастическая модель системы распределительных операций.

3. Исследована стохастическая модель многономенклатурной сборочной линии.

При решении первой задачи получены следующие результаты. Максимально возможный интегральный (суммарный) выпуск комплектуемых предметов при ограниченном поступлении комплектующих предметов за интервал времени [0,t] может быть описан системой уравнений:

о;*,--*.г^ ],

г • ' ¿у (4)

где Р* - интегральное поступление комплектующих предметов г -го наименования за время f ; ^ - индекс комплектуемого предмета; г - индекс комплектующего предмета; Л"о; - начальный запас в накопителе; У у - доля поступлений комплектующего предмета, расходуемого на комплектование предмета заданного наименования.

Реально, поступления комплектующих предметов находятся

под влиянием различных случайных факторов. Поэтому, Р/Ф,

i были представлены в виде случайных процессов Р{а .

Для нормально распределённых процессов ({) были получены оценки коэффициентов ритмичности и надежности процессов вида

' ' (о)

(б)

удобные при рассчетах для объектов большой размерности. Формулы (5) и (5) являются основой моделей, позволяющих оценить реально существующие запасы деталей Л0{ или рассчитать уровни запасов, обеспечивающие заданные значения характеристик выпуска готовых изделий.

Далее было приведено исследование системы распределительных операций. Его необходимость обусловлена тем, что характеристики выпуска готовых изделий зависят такие от процессов динамического перераспределения компонент потока комплектующих предметов между компонентами потоков комплектуемых предметов. Так как коэффициент ритмичности выпуска является функцией дисперсии интенсивности соответствующего производственного потока , а коэффициент надежности - функцией параметров ее корреляционной функции , то исследование модели системы распределительных операций может быть осноеа-но на идее формирующего фильтра. Свободными переменными в модели, в общем случае, могут быть компоненты <Л,0,У)кр>. Причем, У - функционал, позволяющий определить в любой момент времени интенсивность выпуска укомплектованных предметов в зависимости от состояния незавершенного производства, а кр -вектор автокорреляционных функций интенсивностей потоков комплектуемых предметов.

С учетом особенностей сбора статистической информации об объекте был выбран дискретный во времени вариант математического описания динамики накопителей:

(?)

и использовано ¿^-преобразование. Предполагалось также, что допустимо представление корреляционных функций процессов , в виде крЛт)=^^еС1е,т\ к^ Ьи *!?.

Были исследованы варианты стохастической модели системы распределительных операций, позволяющие решать задачи анализа и синтеза соответствующих объектов. В первом случае могут быть использованы рассчитанные зависимости между параметрами корреляционных функций интенсивностей потоков комплектующих предметов Ы. , с , параметрами передаточной матрицы системы и - коэффициентами ритмичности и надежности выпуска готовых изделий. Во втором случае, полученные результаты позволяют найти < У, Ко > , удовлетворяющие сформулированным исследователем требованиям. В работе даны два варианта постановки последней задачи. Если заданы желаемые значения показателей ритмичности и надежности выпуска изделий , к* , то полученные зависимости позволяют рассчитать Ко и параметры У как функции от к* , к| , С , а' , причем найденный У будет удовлетворять условиям устойчивости системы. Второй вариант решения задачи обеспечивает оптимум по критерию 0 . в основе - параметрическая оптимизация.

Однако, представление производственного процесса в виде линейной динамической системы адекватно лишь в тех случаях, когда вариации Р , ^ и Л сравнительно малы и позволяют исключить из рассмотрения ограничения Р>0 , <^>0 , 7Г>0 , определяющие нелинейность системы. В противном случав линейное описание неприемлемо. Поэтому на основе модели, приведенной во второй главе, была разработана нелинейная модель сборочного процесса на многономенклатурной поточной технологической линии при больших вариациях интенсивностей потоков предметов.

С учетом ограничения КС4)>0 уравнение, описывающее динамику накопителей с деталями, расположенных на технологическом маршруте, будет иметь вид:

(Ь)

где х- - координата сборочной операции на маршруте; 1С ] - единичная ступенчатая функция; ё(х) - минимальный запас, допускающий комплектование.

Далее п работе проведено исследование стохастической модели вьтиеописанного производственного процесса. Случайными при этом являются интенсивности поступления деталей и неукомплектованных изделий - и ) . В результате, получены зависимости дисперсионных характеристик потоков укомплектованных изделий РС^ц

от статистических характеристик потоков неукомплектованных изделий, потоков деталей, параметров накопителей. Эти характеристики являются свободными переменными стохастической модели, которая позволяет рассчитать показатели ритмичности и надежности работы исследуемого объекта, как функции } Сэг),&(ж).

В заключении главы описана методика настройки предложенных математических моделей на реальные производственные объекты и перечислены условия их адекватности.

Четвертая глава посвящена разработке математической модели функционирования многокомпонентных производственных ресурсов в подразделении предприятия. Выполнение технологических операций предполагает наличие ресурсов оборудования, исполнителей, инструмента и т.д. Разнообразие производственных систем и характеристик ресурсных компонент затрудняет разработку математической модели, пригодной для настройки на сколько-нибудь широкий класс объекта. Поэтому предложенный вариант модели ресурсов представляет собой набор фактов, записанных с помощью предикатов "ОПЕРАЦИЯ", "МОЖЙТ-ВШОЛНЯТЬ", "МО&гГ-ОБРАБАТЫВАТЬ" и других. Кроме формализованного таким образом описания номенклатуры выполняемых в подразделении детрле-опер&ций, специализации оборудования, квалификации персонала и других постоянных характеристик объекта, модель имеет еще две составляющих. Одна из них - формализованное описание требований исследователя к моделируемому процессу, другая - представленный в виде набора правил способ распределения ресурсов между выполняемыми деталеоперациями. Выполненная в системе ТиЯВО Р 1(010 & реализация позволяет изменять первые две составляющие модели и заменять третью.

Формализованный в работе в виде набора правил вариант

распределения ресурсов представляет собой алгоритм многокритериальной дискретной оптимизации по микро-критерию (с точки зрения производственного процесса в целом) и локальному критерию (с точки зрения подразделения). Замена этой составляющей модели другими ее вариантами позволяет исследовать влияние способов распределения ресурсных компонент между выполняемой де-талеоперацияыи на динамические характеристики производственного процесса. Возможно использование разработанной модели при имитационном моделировании. Свободными переменными для нее являются список деталеопераций, предъявляемых к выполнению, список исправного оборудования и список присутствующего персонала, которые могут быть получены как результаты имитации случайных возмущений, воздействующих на объект. Результатом, полученным на модели, является список выполняемых деталеопераций с указанием используемых при выполнении ресурсных компонент в каждый момент времени, являющийся исходными данными для вычисления исследуемых характеристик объекта.

Далее рассмотрен вариант агрегирования описания состояния производства в подразделениях в описание технологического маршрута, а также рассмотрены вопросы взаимодействия модели ресурсов и модели системы производственных потоков в процессе моделирования.

В заключение, рассматривается программное обеспечение моделирования сборочных и распределительных процессов. Описана общая структура системы автоматизации моделирования производственных объектов.

В приложении приведены описание разработанного программного и информационного обеспечения, а также результаты экспериментального исследования объекта производства дискретно-непрерывного типа с использованием предложенных моделей.

ОСНОВНЫЙ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработана открытая аналитическая математическая модель производственного процесса, включающего сборочные и распределительные операции, описывающая объект как динамическую систему. Формализация описания выполнена с учетом маршрутно-технологической распределенности объекта и с использованием аппарата дифференциальных уравнений в частных производных.

2. Исследована стохастическая модель системы распредели-

тельньгх операций в условиях многономенклатурного производственного процесса. Предложены модели задач синтеза систем распределительных операций, разработанные на основе идеи формирующего фильтра. Предложена также модель задачи анализа ритмичности и надежности функционирования таких объектов при воздействии случайных факторов на потоки комплектующих предметов.

3. Предложена стохастическая модель комплектовочного процесса на многономенклатурной поточной сборочной линии в динамическом ее варианте. Разработанная математическая модель позволяет исследовать влияние случайных отклонений интенсивнос-тей производственных потоков, характеристик накопителей и величин линейных запасов комплектующих предметов на выпуск готовых изделий.

4. Разработана математическая модель функционирования ресурсов в подразделении предприятия, включающая формализацию варианта их распределения и допускающая агрегирование с моделями производственных потоков. Предложенная модель позволяет исследовать принятый способ распределения ресурсов с точки зрения выпуска готовых предметов локальным структурным подразделением с учетом воздействия случайных факторов. При агрегировании с другими моделями возможно исследование влияния распределения локальных ресурсных компонент на производственный процесс на всем технологическим маршруте.

5. Предложены методики: настройки модели системы распределительных операций на объект; настройки модели многономенклатурной поточной сборочной линии на объект; агрегирование модели производственных ресурсов и модели производственного потока.

6. Разработаны компоненты программного обеспечения моделирования производственного процесса, включающего сборочные и распределительные операции. Предложена структура автоматизированной системы моделирования такого процесса.

Основные научные результаты и выводы, полученные в диссертации, содержатся в следующих публикациях:

1. A.c. СССР, (положительное решение ВНИИГПЭ) МКИ G 09 В 9/00. Устройство для обучения операторов систем управления/Долгова Е.В., Иванов A.C., Низамутдинов О.Б.(СССР) 'М6393&9/24-24. Заявлено Ib.0I.b9.

2. Долгова Е.В. Модели разветвляющихся технологических потоков//Тезисы докладов Областной НТК "Математическое моделиро-

вание в сложных системах".- Пермь, 19Ь9.- с.45.

3. Долгова 2.В. Стохастическая модель процесса сборки в многономенклатурной постановке //Модели и алгоритмы в сложных системах управления -Перм.политехи.ин-т.-Пермь,19Ь9,-Деп. в Йнформприбор I9.05.b9 №4637 Пр-с9.

4. Долгова Е.В., Низамутдинов О.Б. Математическая модель технологического процесса, включающего сборочные операции.-Перм.политехи.ин-т.-Пермь,19о9.-Деп. в Йнформприбор 20.03.b9, J.-4557 Пр-ЬЭ.

5. Низамутдинов О.Б., Долгова 2.В. Математическое моделирование разветвляющихся технологических потоков //Проблемы и перспективы автоматизации производства и управления на предприятиях машиностроения: Сб.научн.трудов.-Пермь, 19Ыэ.-с.74-Ь0.

6. Низамутдинов О.Б., Долгова Е.В. Задача распределение ресурсов при формировании сменно-суточного задания.-Перм.политехи. ин-т.-Пермь, 19Ь7.-Деп. о ЦН1МТЭИ приборостроения I5.05.b7 №3770-ПР.

7. Низамутдинов О.Б., Долгова Е.В. Математическое моделирование сборочно-распределительных процессов //Тезисы докладов I региональный НПК "Совершенствование методологии создания перспективных автоматизированных систем".-Пермь, I9b9,c.3I-32.

7. Низамутдинов О.Б., Советов Б.Я., Долгова Е.В. Исследование интегрированной математической модели управления производством.- Свердловск: Препринт Ур О АН СССР, 1969.

9. Низамутдинов О.Б., Файзрахманов P.A., Долгова Е.В. Математическая модель процесса сборки в стохастической постановке,- Пермь, 1965.- Деп. в БИНЖ1 26.12.о5 № Ь9336-В.

10. Низамутдинов О.Б., Файзрахманов P.A., Долгова Е.В. Стохастическая модель сборки в дискретном производстве //Тезисы докладов всесоюзного научно-технического семинара "Автоматизированные системы управления технологическими процессами дискретных производств,- Пермь, 19Ь4.- с. 64-65.

11. Низамутдинов О.Б., Файзрахманов P.A., Долгова Е.В., Липатов И.Н. Интегрированное описание дискретного производственного процесса. //Тезисы докладов ВНТК "Применение статистических методов в производстве и управлении", Пермь,

1990,- с. 159-160. Формат 60x84/16.Объем In.л.

Тирак 100.Заказ 79.Бесплатно.

Ротапринт иермского политехнического института