автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Идентификация по критерию максимума вероятности

TS C,1

ГОССМИОКЛЯ АКАДСТШ' НЛУК

инагаш ЭТГР/.ВЕЕГСЯ .

ка ьр^ЕПх рукописи

Ш№Н ВЛАДИСЛАВ ТЗОГЙСОВИЧ

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПО КРИТЕПХ МАКСИМУМА REPCHTHOGTÎÎ

Специальность 05.13.01 - Управление в.техюгебсчю

системпх

.АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учэясй степени кандидата техническая наук

Москпл

- TD33 г.

российская академия наук институт проблем управления

из правах рукописи

гошшн владислав борисович '

идентификация по критерию максимума вероятности

Специальность ОБ.13.01 - Управление в технически*

системах

автореферат

диссертации нч соискание ученой стошни кандидата технических наук

Wocifi-л - 1933 г.

Работа выполнена в Институте проблем управления

Научный руководитель: кандидат технических наук

Чадеев В.М,

Официальные оппоненты: доктор технических наук Л Земляков С.Д.

кандидат физико-математических нау Кичатйв Ю. Ф.

Ведущая оргащ.?ация: Центральный научно-исследовательский институт комплексной автоматизации, г.Москва

Защита диссертации состоится " —1993 г.

в_;_чао.__мин. ни заседании специализированного

совета Д 002.68.02 при Институте проблем управлении по адресу: Москва, ул. Профсоюзная, 65-

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института проблем управления.

Автореферат разослан " £ " ^¿^¿^с^Ь^Л^ 1993 г. Ученый, секретарь специал}таировашшого совета

д.т.н. Акинфиев В.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Современный этап развития теории управления характеризуется все большим вниманием к вопросам построения модели объекта по данным "вход-выход", полученным в условиях функционирования объекта. При этом предусматривается предварительное изучение объекта по данным "вход-выход", которое составляет предает направления в теории управления, получившего название идентификаций. Сложность решения задач автоматического управления техническими системами определяется наличном неконтролируемых случайных возмущений на входе и ка. выходе, отсутствием полной априорной информации о структуре модели системы. В этой связи в настоящее время все большее значение приобретает разработка математических методов идентификации, ориентированных ка априорную неопределенность структуры объекта.

Цель работы. Диссертация посвящена разработке алгоритма непарамотрической идентификации в общем случае нелинейных стохастических объектов по критерию максимума вероятности, который относится к классу сложных статистических критериев качества идентификации. Такой алгоритм дополняет традиционные алгоритмы идентификации на основе срвднеквадратического критерия в тех случаях, когда нужно оценить вероятность отклонения выходного сигнала из допуотимых пределов.

Целью диссертационной работы является:

- сравнительный анализ эффективности наиболее распространенных критериев идентификации;

- разработка на основе наиболее.аффективного критерия качества идентификации алгоритма непараметричэской идентификации, удобного для программной реализации;

- исследование статистических свойств и точности оценок, получаемых по данным "вход-выход" на основе алгоритма.

Общая мотодикл исследования заключается в примононии методов математической статистики, теории вероятностей, инфор-^ мациоштой теории идентификации для получения теоретических результатов по проблеме построения алгоритма нвшзраметршос-

коГх йхеитяфзкацки на основе вибронного критерия качества. Научная повуькз работы заключается в следующем;

- и^спшлпзировпш рсзт-зш :i общность критериев идентификации, значения которых определяются распределением вероятности невявки объекта и модели;

- на основа проведенного анализа предложен критерий качества идентификации, который мокно опроделг"^ как слокщЩ стртистнчоский, и соответствующий алгоритм идентификации;

- разработан алгоритм етльтрлцаи аддитивной суммарной погрешности измерений при идентификации но предложенному алгоритму; .

- ¿^лсазапы теоремн, .в которых аналйзируется точность и ка-'честно о ■ щстичзской обработки и рнчислений но алгоритма!,;.

Все основные результаты диссертации являются новы;«!. Практическая цеж;с —^ рпбаты состоит в то:,:, что построенные на основа проведэшшх теоретических исследований алгоритма:

- позволяют в ряде случаев существенно повысить точность прогнозирования значений выходной величины по значениям входной;

- удобны для программной реализации, в том числе в системах управления о идентификатором;

- универсальны при идентификации различных объектов и систем управления.

Реализация результатов работы осуществлялась в виде программ для ЗЗМ, разработанных для решения конкретных прикладных задач: непараметркческой идентификации энергетических характеристик протезов сердца при стендовых испытаниях и автоматического управления с идентификатором процесса терморегулирования в больтеобъедаой термокамере.

Практическое использование результатов диссертационной работы в первом случае дало возможность повысить точность получаемых При испытании характеристик протезов сердца, во втором - повысить точность терморвгулироввташ, в результате чего получен вкономичвский вффект. Результаты применения

подгпермдаются соответствующими справками. Ашюбащш работ.Результата б«лн долокепи:

- па IY Всесоюзной конференции "Проблемы метрологического обеспечения систем обработай измерительной информпщяг" (Москва, 1932 г.);

- на научных семинарах и конференциях профессорско-препо-даватольского состава Куйбышевского политэхнического института а Куйбышевского госуниверситета;

- на IX Всесоюзном семинаре по проблемам непрерывности к устойчивости стохастических моделей (Саратов, 1933 г.). Публикации. Автором опубликовано 7 научных работ по теме

диссертации, в том числе 3 без соавторства. Кроме того, результаты диссертационной работы использовались в научно-по-слэдовательских отчетах Института проблем управления, Куйбышевского политехнического института и Куйбышевского государственного университета.

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка цитированной литературы ( 79 назв.) и содержит 10S страниц печатного текста й 4 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ'РАБОТЫ.

В первой главе (обзорной) сводятся основные понятия, сбсуадается необходимость в разработке непарачатрического алгоритма идентификации на основе сложного критерия качества идентификация. О позиции общей методология непараметрической идентификаций вводится конкретный вид критерия качества идентификаций дискретных математических моделей. Анализируется его эффективность с точки зрения информационной теории идентификации и математической статистики.

В этой главе, исходя из общей постановки задачи непараметрической идентификации, сформулирована задача идентификации, решаемая в диссертационной работе. Пусть g - выходная величина объекта идентификации, принимающая значения в абстрактном банаховом пространстве Y , т] - входная со значениями в измеримом пространство X. Обозначим р(у/х) условную плот-

дозть вероятностей сгучейноЯ величины £ относительно значений т] . в соответствии с критерием максимума апостериорной вероятности в качестве оптимальной оценки выходной величины I при т] =х придам моду

с*(х)= arg шах р(у/х). у€У

При этом стохастическая зависимость выходной величины от входной оценивается соответствием у «= с*(х), которое является функцией, если наисольшему значению плотности р(у/х) соответствует единственное о.тчаше аргумента у.

Вместо плотности вероятностей р(у/х) • в действительности можно иметь только ее статистическую оценку, соответственно, выесго оптимальной оценки с*(х) приходится пользоваться ее статистиче оценкой

v5{x) = arg шах

У£У

где р(у/х) - статисъ; гекая оценка плотности вероятностей р(У/х).

• Во второй главе дается обобщенное описание непараметриче-скаго алгоритма идентификации, который то данным "вход-выход4 осуществляет оценку плотности вероятностей р(у/х) и, соответственно, получает оценку с(х). Исследуются свойства оценок, получаемых по данному алгоритму.

Пусть задано число е > о, определящее допустимую погрешность. отклонения по норме банахового пространства У выходной величины от ее оценки, и соответствующая допустимая вероятность р втого отклонения на величину не превышающую е, то есть для оценки с(х) выполняется неравенство: Р({? - c(x)J е /г|=х)> £ р .

Будем называть два значения Уп.Уг í У близктаи, если IУi" У?1 < е .

Введем разбиение множества X на непересекающиеся подмножества AXJc,k=i,...,«. Обозначим для подмн о коства ДХк с X:

I С* - arg max Р<8е - с*(х}| $ в/Т) е АХ. ),

хех К

р*» p(ie - о*| ^ £ /г,е ахк) .

Пусть далее по наблюдениям над входом;и выходом объекта идентификации получена выборка пар значений (х1,у1), 1=1, 2,...,N, случайных величин р 5 , Элементы выборки х±, 1=1,...,N группируем по подмножествам АХ^ ,k=1,..,n. Обозначим - число значений xJ( j ( , в подмножестве АХ^, Х'к - тожество индексов ¿ таких, что х е Л^ .

Для каждого элемента выборки у определяем число близких значений среди yJtj е I>k< то есть частоту попадания элементов выборки в подмножество близких значений элемента у} . Среди значений выходной переменной yJt ¿ с Ък, определим ск, имеющее наибольшее число ^ близких значений ц = mas vik k i€ \ ■ ■ Таким образом критерий качества идентификации основывается в данном случае на эмпирических частотах ulk и его оптимальное значение определяется максимальной эмпирической частотой. Отметим, что если вероятность понимать в смысле Мизе-са как отношение благоприятствующих случаев к числу всех случаев, то есть в данном случае вероятность отождествлять с относительной эмпирической частотой,, то критерий качества идентификации можно назвать критерием максимума вероятности.

Статистика ск оценивает величину с* (х), при х е ДХ^. , а отношение /Хк - условную вероятность отклонения выходной переменной С от с* на величину ле превышающую е, если значения входной переменной попадают в подмножество А^:

PÍIÉ ~ °kl < 8/ V € ¿V ' Таким образом, функция с(х), введенная в рассмотрение в первой главе,•является кусочно- постоянной и равна п

с(х)= 2 Cj^x),

в таком случае вероятность, определяющая близость объекта и модели, примет вид :

P(S? - о(х)| < Б/Т]=Х) = Р(55 - okj « s/Tj cA^j- pk Относительно сходимости максимальной относительной час-

sotu ',х?/л,. ic мщ.скчЕигыгой вэроязнооти р* и смездшш математического окидансч той статистики относительно ьароятш-

zta р* ку.оот f.kctq

Теорема 2.1. Пусть ц* - число адамантов выборки у . , j I сишзких к зцатащт с* , тогда статистика ^Aj является несмещенной, а цри статистической нечЕвисимооти ьт-.mohtol- выборки (х1,у1), 1-1,2,.,. ,к, состоятельной статистической оценкой верогтязста р* , пр'-'^м выполняется неравенство

-. ■ 'к «Ри <« W •

Ьшмяиутый алгоритм идентификация структурно можно реоли-возать следа'- ч'зм образом. 1

■разобьем. i<„- транстЕО У нз чгютлчшо промежутки AYj,

Ли ,2...... , такие, что hYjn hY^-ß, при -М,1 , для

■жсзшс у sy„e ау. [у,- у01 « с к и у .

! t v I ь» j «J

Чпс.'с/гу шшщения влешктов выборки в подмножество ду^ при Ä4e ¿X, обозначим Событием ■ Аг >у ( _ г обозначим

реализация частот

Обозначим далае

К s u ' К ~

w р1.г2.....рп

(Vra.....

1'д.! Qp- множество перестановок п первых натуральных чисел.

Относительно оценки сшау доверительной вероятности гопа-дария с*(х) в пой'Иокзство с максимальной эмпирической частотой имеет место

Теорема 2.2. Пусть при-хе'ДХ^ , о*(х)€ AYq

q и arg шах AY. /х€ АХ. )

( . lid^a 3 *

и с^остьуат а>0 такое, что для любого

: AYq /х1еДХк) < 2P(yi€Äy£J/x1€AXk),

к

тогда

11 -1

Р(о. £ AY /Л ) ( S z )

K qk 1=1

В трэтьей главе излагается алгоритм физьтрацнп пдвдтипгой погрешности звмерешф. Алгоритм (¡ияьтрацзп дополия.зт адата-ритм идентификация в тем плало, что отфильтровав цсслодуа-мую случайную величину от аддитивной псгреииоста лзмдрдегЗ, дальнейшую оценку отой величины можно проводить по злгорк~му вдгшткфшшцет.

Алгоритм фильтрации исходит из следующего ^дзвнегдя измерений g б= £ + р, где р - шгрвкпооть измерений, которая в свою очередь является сушэй a нозависианх одучазЬпс погрешностей + + ..,+р^.

Обозначим a(y),F(y),Pí-') - фущапгт распределения случай -îîhx величин £pac¡í Р и g соатзетотвзкю. По ное.со»ьк;:>,; наблюденным зпачвщтм случайной воличиш f ^ требуется оценить функции распределения Р(у).

Введем линейный оператор свертки

га . •

0(У)= î P(y-Z)d?(z),

■ —ta

тогда задачу могаго свести к статистической оценки функции распределения G(у) с последующи решением операторного уравнения типа свертки.. . ■

AirapoKcwMîip'ysM Фунции 0(у),?(у) и Р(у), соотватсгаашю, кусочно-постоггашми функциями вида:

со с? оо

S О X (У), 2 ? X (У)» 2 Р % (у),

1 1 i=.œ 1 i • i=-co i 1

где Xi(Я _ индикатор 1-го промежутка разбиения ((i-1)h; lh] числовой прямой (-м,оо ) с шагом h = s/2. Обозначим in ih ih

Oj-JíOíy). /а?(у), Pj-jrtPty) .

-со -со -œ

- Ю -

Тогда уравнение сводится к дискретному уравнений Вяиера-Хоп-фа:

со

2 .*.»<»

где ¿¿„¿"Р^- . Уравнение Винера-Хопфа приближенно ре-

иаотся могодом редукции, путам сведения его к конечной усеченной системе линейных алгебраических уравнений: п

2 р1*3-1 (I)

1=-п -

По рззгэнщо Р(п) уравнений (1) получим следующую аппроксимацию функции Р(х):

1=-п

сходящуюся'по норме пространства Ъг(-т,а>) к функции Р(х) при

П » « И Ь » 0 .

Пусть распределение случайной величины £наб оценено гистограммой

при (1-1)Ь<х<=1Л ,1=-п,...,п,

.1 ■

I

. О , при х £ [~гШ;пЬ),

где - частоты попадания элементов выборки в 1-й промежуток разбиения.

Функцию РгЛ(х) статистически оценим функцией:

✓ч ,

Р„<*)=

Р„(х)= | , I 0 ■ ,

при 2/, [-лЬ;пЬ),

гдо статистики Рк± определяются из системы уравнений

В предположении, что ата систомп уравне^.й имеет единственное решение, доказана несмещенность и состоятельность статистик PNi относительно ...,п.

Для нормы пространства Ь^^

а

|Р(х)-Р '<X)| = f J" [Р(Х)- р (x)]2dx]V2 L2 ""

с вероятностью 1 при N -» «> выполняется неравенство

|Р(Х) - % (х)| 2 £ |Р(Х) - Р^х)! а,

Tt Ii

правая часть которого стремится к нулю при п -> ю и h 0.

А А

В алгоритма идентификации положим - PN1), со-

ответственно, максимальное значение ¡l = max Jüi Ki^n N

является статистической оценкой максимальной вероятности р*. Показано, что'эта статистика является несмещенной и состоятельной оценкой вероятности.

В четвертой главе приводятся два примера практической реализации разработанного и исследованного в работе алгоритма идентификации. В первом примере алгоритм используется для непараметричвской идентификации энергетических характеристик протезов сердца при стендовых испытаниях на основе измерений в процессе испытания объемной скорости и перепадов давлений ' на отдельных участках стенда, имитирующего большой и малый круги кровообращения. Во втором примере алгоритм используется в контуре автоматического управления с идентификатором режимом терморегулирования больиеобъемной • зрмокамеры на этапе термостатирования. Идентификатор основан на программной реализации упомянутого алгоритма и его применение при термостатирования позволило достичь требуемой тонкости в течении достаточно длительного промежутка времени.

основные рьзульта1ы и выводы.

1. Разработка; алгоритм кепараметричоской идентификации

чо дэциыг.? "вход-зиход" на основе критерия максимальной вмпи-р»гческой частоты, погорай язлйэтсй статнсткчесюш аналогом критерия мекпкыумц вероятности. Выбрашшй 1фитеркй качества кдакпфьсБцик относится к массу сложных статистических критериев. При шборэ критерия попользовались идеи информационной теории идентификации, но в отличии от нее оптимальность прл выборе критерия основана на другом определении эффектив-поотй■статистических оценок* Эффективность в данной работе определяется,вероятностью отклонэшя статистической и опти-«чичыюй оцэйак -не Езлп^ину но правышаия.ую заденйого числа.

2. Предложенные, алгоритм обобщает правило Шовенэ по отб-рш:оакв резке Делящихся набладений к в отличии от робаст-ьих Мотсдое яаяяится непарометрическшл.

3. Получэлп оцошеа доверительной вероятности интервальных от^.-тс^"-:. на осноно которых строятся кусочно-постоянная функция, оценивающая зависимость "вход-выход" объекта йдэнти-Й1ча1г-П!, На численном пришрв показано,' как увеличивается до-ьергеаяммя вероятность, если вместо выборочного среднего ксаальчомть статистику алгоритма наотоящрй работы.

4. Получено оценка скорости сходимости максимальной отно- ■ сктельной чксюш, которвй используется в алгоритме, к максимальной ЕбрСйТНОСТЙ.

В. Получена оценка средпоквадратйчоского отклонения статистической оценки выходной величины от ва оптимальной оценКИ.

6. Разработан алгоритм оценки компонента свертки шюткос-. тей вероятностей выходной величины и погрешности измерений

на основе гистограмм наблюдаемой величина и погрешности измерений. Это позволяет повысить точность оценки распределения выходной величины. Алгоритм оценки компонента свертки основан на сведении уравнения свертки к дискретному уравнении Винвра-Хонфа, которое решается методом редукции.

7. Доказана космещенность и получено достаточное условие

состоятельности стгтрствл, получками иь у.рав;;:, ¿;'я ьлюрл-Хопфа. Доказана сходимость о героятиостьы Т итих статистик к оцениваемым вероятностям по норме простргист.-н ïr.

8. Разработан алгоритм расчета и статшпппа'жой оцепкн плотности вероятностей суммарной погрешности игкеронии на основе гистогрцмм слагаемых погрешностей. Этот ajuэритм ку-FeH п случае, если погрешности измерений складывается из погрешностей проотрвнствэпко разнесенных бло:сов ï-.rac oos'îocî-нод испытание о целью получения отятиотччэс;:ой внборкл -jyм-марной погрешности невозможно. Исследована скорости сход'лча-стн и точности оценки плотности вероятностей сум<приой пег-решпости измерзши в столе средиеквадратиюск^Л1 отклонения, гд. Разработанный алгоритм едонтя&шацин яс-пользован при ' автоматическом управлении с иденткфжатором рвзоаюм тегмос-тптирования тэрмовокуумчой установки, а такя:о :.грд идактифи- . кации энергетических характеристик лретепов сердцл па стенд?, имитирующем систему кровообращения. Зконокичоскпй аффект ст использования рзау-пьтатов работы дли управления рэжимом тер-мостптированпя составил 49810 рублей в год в ценах до I9S0

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ:

1.Евфимовский O.P., Илюшин B.iî., Рыбаков В.К. Адаптивнее управление температурными po;::;i:.WMï больше объемных термокамер.-В кн.: Элементы к системы оптимальной идентификации и управления технологическими процессами.- Тула: ТулПМ, 1988, о.137

- 140.

2.Илюшин В.Б. Идентификация по абсолютно оптимальному критерию - Ред. журнале Известия АН СССР, сьрил Техническая кибернетика".Деп. в ВИНИТИ , II 2974-В89, от 5.05.89, II о.

3.Илгашн В.Б. Статистический алгоритм фильтрации. - Ред. нурнала Известия АН СССР, серия "Техническая кибернетика". Деп. п ВИНИТИ , К Эб40а,от 4.07.83, 10 о.

4•Илкшин В.Б. Статистическая оценка компонента свертки распределения вероятностей. - В ira.:Иптограл и мера. Куйбышев: Изд. Куйбышевского госуниворситета, IS82, с. 30 - 34.

б.Шшшн В.Б., Солодянников Ю.В. К етализу потоков.воста-новлэния. - Автоматика и телемеханика,1981, о. 66 - 73.

6.Илюшин В.Б., Солодянников Ю.В. К задаче суммирования случайных погрешностей измерений. - Автометрия, 1981,11 6,

С. 32 - 38.

7.Илюшин В.В., Солодянников Ю.В. Статистическая оценка распределения сумм независимых случайных величин.- Известия вузов, серия,"Математика", 1983, N 9, о. 27-41.

Личный вклад диссертанта в работы, выполненные в соавторстве :

-в работе [1] автору принадлежит разработка алгоритма идентификации зависимости температуры термокамеры от входных величин и его программная реализация;

- в работе [5] автором выполнено исследование погрешности в скорости сходимости алгоритма этой работы,сформулированы и доказаны теоремы 1-4;

- и работе [6] автором выполнено исследование скорости сходимости алгоритма расчете суммарной погрешности измерений;

- в работах {7] автором сформулированы и доказаны теоремы 1-4,9,10 о сходимости и погрешности оценки свертки плотностей вероятностей¡и Проверки статистических гипотез о виде распределения сумма случайных величин по статистическим данным о слагаемых. !