автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Хаотическая динамика систем синхронизации

Введение

Глава

1.1 1.

Глава

2.1 2.

Глава

Глава

Дуплексная система связи с хаотической несущей на базе ФМ-демодуляторов

Костаса.

Постановка задачи.

Аналитическое описание и принцип действия системы связи.

Компьютерное моделирование и обоснование работоспособности систем связи.

Выводы.

Динамика двух связанных неавтономных систем ФАС

Постановка задачи.

Математическая модель ФАС.

Хаос в связанных системах.

Бифуркационные диаграммы, карты ляпуновских показателей, фазовые траектории системы.

Выводы

Генераторы хаоса.

Постановка задачи.

Джозефсоновский генератор хаоса.

Осциллятор Дуффинга.

Модель неавтономной ФАС

Условия возникновения хаотических колебаний в неавтономной системе, близкой к гамильтоновой.

Хаос в системе фазовой автоподстройки частоты третьего порядка.

Выводы

Воздействие гармонической помехи

Постановка задачи

Влияние гармонической помехи на процессы синхронизации в системе первого порядка.

Воздействие гармонической помехи на систему второго порядка.

Условие возникновения хаотических движений в ФАС второго порядка в результате воздействия гармонической помехи.

4.5 Выводы

ЗАКЛЮЧЕИЕ

Актуальность темы

В качестве одного из наиболее перспективных направлений исследований нелинейной динамики детерминированных радиотехнических систем сегодня следует выделить изучение сложных движений в автоколебательных и следящих системах. Повышенный интерес к такого рода режимам не является случайным. Ужесточение требований к помехозащищенности и скрытности работы приемопередающих комплексов приводит к необходимости использовать широкополосные сигналы. Такие сигналы должны обладать рядом свойств. Это равномерный спектр в широком диапазоне частот и возможность генерации широкополосного эталонного сигнала в приемнике. В настоящее время расширение спектра сигнала достигается использованием фазовой манипуляции псевдослучайным сигналом, например, М-последовательностью. Альтернативой этому служит применение генераторов хаотических сигналов. Такие сигналы обладают рядом преимуществ, в частности, на их базе возможно создание аналоговых широкополосных связных устройств, обладающих хорошей стойкостью к перехвату, простой схемой реализации, широким диапазоном перестройки.

Однако на пути создания таких систем встречаются определенные трудности, имеющие следствием то, что и в России и за рубежом отсутствуют промышленные образцы связной техники, использующие широкополосные сигналы с хаотической модуляцией. Основные проблемы при разработке таких систем заключаются в следующем.

1.Необходимо создать генераторы хаоса с одной стороны с разбросом параметров радиоэлектронных элементов, что важно при их промышленном производстве для достаточно точного воспроизведения хаотического колебания в приемнике. С другой стороны, эти генераторы должны обладать определенной «криптостойкостью», затрудняющей их перехват.

2.Необходимо обеспечить синхронный прием сигнала с хаотической поднесущей.

В настоящее время эти проблемы далеко не решены. Начало появления публикаций (середина 70-х годов) по хаотической динамике сосредоточенных и распределенных динамических систем связано с созданием теории хаотических колебаний, без которой исследования в данной области не представляются возможными. Всплеск публикаций пришелся на середину 80-х - начало 90-х годов, что обусловлено, по-видимому, бурным ростом возможностей персональных ЭВМ. В настоящее время число новых публикаций в данной области остается достаточно высоким. Работы можно условно разделить по следующим направлениям хаотической динамики: а) распределенные системы (гидро и газодинамические); б) сети из сравнительно большого числа элементов (дискретные среды, синхронные сети связи, энергосети, фазированные антенные решетки); в) сосредоточенные простые динамические системы невысокого порядка (генераторы хаоса, фазовая и частотная автоподстройки, химические реакции, биологические модели роста популяций и др.).

Проводимые исследования можно разделить и по применяемым методам: а) работы, основанные на аналитическом аппарате качественной теории дифференциальных уравнений и топологии; б) работы, основанные на использовании компьютерного моделирования.

В большей части публикаций используется аппарат компьютерного моделирования. Несмотря на интенсивные работы в данной области, по крайней мере, в течение последних 20-и лет, аналитические результаты (по размерностям аттракторов, в частности) получены лишь для крайне простых дискретных моделей хаотических движений.

Что касается методов компьютерного моделирования и анализа систем с хаотической динамикой, то и они разработаны далеко не полностью. Трудность заключается в «предельном» характере всех основных количественных характеристик странных аттракторов, начиная от их размерностей до показателей Ляпунова. Остро стоит вопрос об адекватности данных компьютерного моделирования и процессов в реальных системах, об их правильной интерпретации. Эффективность используемых методов также остается достаточно низкой даже при современном уровне развития вычислительной техники. Вместе с тем, в радиотехнических приложениях ученые и инженеры, по-видимому, ближе всего подошли к практическому использованию свойств хаотических систем.

Среди исследователей хаотической динамики радиотехнических систем, и частности, радиотехнических следует выделить работы Дмитриева А.С., Шалфеева В.Д., Капранова М.В., Шахтарина Б.И., Эндо, Чуа, Холмса, Кеннеди и др.

Нелинейной динамике фазовых автоматических систем (ФАС) посвящено значительное число работ [1-10 и др.]. Подробно исследована динамика нелинейных систем в основном второго порядка. В меньшем числе работ исследуется поведение ФАС при воздействии гармонических помех [11-22]. Лишь в последние 10-15 лет начато исследование хаотической динамики ФАС [23-32]. Отметим, что общей теории хаотических колебаний посвящены монографии [33-38 и др.]. Вопросы передачи информации с использованием хаотических сигналов рассматриваются в работах [39-45].

В данной работе среди генераторов хаоса кроме ФАС рассматривается джозефсоновский генератор хаоса [47,48], а также осциллятор Дуффинга [37, 49-52], для последнего в настоящей работе впервые представлены резонансные характеристики, полученные методом усреднения.

Тем не менее, до настоящего времени многие вопросы хаотической динамики систем синхронизации требуют развития и новых разработок. Это в первую очередь относится к нелинейному анализу ФАС третьего и более высокого порядков, анализу ФАС при воздействии гармонических помех и т.д.

Цели и задачи диссертации.

Настоящая диссертационная работа посвящена проблемам применения компьютерного моделирования в сочетании с качественными аналитическими методами теории дифференциальных уравнений для исследования хаотических режимов автоколебательных систем и фазовой автоподстройки частоты с точки зрения их использования в широкополосных системах связи.

Цель работы состоит в адаптации алгоритмов анализа хаотической динамики для исследования конкретных автоколебательных и фазовых систем; в проработке рекомендаций по применимости тех или иных способов построения синхронных приемников.

В соответствии с поставленной целью в диссертации решаются следующие задачи.

1. Анализ стохастических режимов фазовой автоподстройки частоты при воздействии узкополосных детерминированных помех.

2. Построение областей существования хаотических режимов для конкретных генераторов хаоса.

3. Исследование возможности создания широкополосных связных систем на базе фазовой автоподстройки частоты.

4. Анализ хаотических колебаний в связанных системах фазовой автоподстройки.

Метод исследований.

При исследовании хаотической динамики систем синхронизации использовались общие методы теории нелинейных колебаний, методы качественной теории дифференциальных уравнений, методы пространства состояний, метод усреднения, теория бифуркаций, метод Мельникова. Для проверки достоверности теоретических результатов и получения новых результатов использовался метод компьютерного моделирования.

Научная новизна.

С использованием методов компьютерного моделирования и метода усреднения

1.Получены области возникновения хаотических режимов в фазовой автоподстройке частоты с различного рода характеристиками фазового детектора при воздействии узкополосной детерминированной помехи.

2.Получены области возникновения хаотического движения в различных генераторах хаоса, в том числе джозефсоновского и Дуффинга.

3.Получены характеристики хаотических режимов связанных систем синхронизации.

4.Установлены свойства симплексной системы связи с хаотической модуляцией на базе фазовой автоподстройки частоты.

5.Установлены свойства дуплексной системы связи с хаотической модуляцией на базе схемы Костаса.

Отличительной чертой работы является сравнение данных приближенного метода усреднения и результатов компьютерного моделирования.

Практическая значимость работы.

Полученные результаты

-позволяют осуществить выбор параметров конкретных систем, при которых реализуется хаотический режим работы;

-дают рекомендации по компьютерному моделированию генераторов хаоса;

-расширяют представление о возможности использования фазовой автоподстройки в широкополосных системах связи с хаотическими сигналами.

Реализация результатов исследования

Исследования по теме диссертационной работы выполнялись в рамках НИР «Исследование систем синхронизации при наличии помех», НИР «Анализ систем синхронизации», НИР «Передача информации в цифровых системах связи», проводимых в МГТУ им. Баумана, и НИР «Хаос», проводимой в Академии ФСБ.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации обсуждались на LIII Научной сессии РНТОРЭС им. Попова, посвященной дню радио, Москва (1998г.) и на V Международном совещании-семинаре Центра прикладной физики МГТУ им. Баумана «Инженерно-физические проблемы новой техники», Москва (1998г.). Результаты исследований также нашли применение в учебном процессе и учебно-методической работе кафедры «Автономные информационные и управляющие системы» МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Публикации и личный вклад соискателя.

Результаты диссертации отражены в 15 публикациях, список которых приведен в конце диссертации [64-78]. Публикации [64-72] выполнены в соавторстве с научным руководителем, в публикациях [77,6971] вклад соискателя равен вкладу соавторов.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1 .Методики, вычислительные алгоритмы и программная реализация точных и приближенных методов анализа.

2.Результаты компьютерного моделирования различных систем синхронизации, а также систем связи с хаотической несущей.

3 .Результаты исследования хаотической динамики нелинейных генераторов хаоса (джозефсоновского и осциллятора Дуффинга).

4.Рассчитанные динамические и хаотические характеристики ФАС при воздействии на нее гармонической помехи.

5 .Результаты исследования связанных систем синхронизации.

6.Результаты исследования дуплексной системы связи с хаотической несущей на базе ФМ-демодулятора по схеме Костаса.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Текст диссертации изложен на 158 листах текста, включая 99 иллюстраций.

4.5 Выводы

1.Получена математическая модель ФПС 1-го порядка при наличии гармонической помехи. Качественно исследовано поведение фазовых траекторий системы при различных величинах помеховой расстройки по частоте. Сделан вывод о существовании трех различных режимах работы ФАС —асинхронный режим, захват помехой, захват за сигнал. Получено аналитическое выражение достаточного условия для захвата за сигнал. Проведено численное решение уравнения, определяющего критические значения помеховой расстройки при переходе от одного решения к другому.

2.Численным методом построены фазовые портреты для трех режимов работы системы.

3 .Рассмотрено воздействие гармонической помехи на ФАС 2-го порядка. Получена математическая модель системы в виде системы из трех ДУ первого порядка. Проведен анализ полученного ДУ методом усреднения. Сделан вывод о том, что режим работы системы определяется не только частотными расстройками сигнала и помехи, но и начальными значениями переменной состояния системы.

4.Проведено численное решение системы ДУ, описывающее ФАС в результате чего, определены критические значения помеховой расстройки характеризующие различные режимы работы системы - захват за сигнал, захват за помеху. Рассмотрено влияние полосы пропускания ПИФ в кольце ФАС на процессы захвата сигнала или помехи. Сделаны выводы о том, что увеличение постоянной времени фильтра повышает помехоустойчивость системы.

5.Получены аналитические выражения для определения времени переходного процесса при захвате за сигнал при захвате за помеху.

6.Методом Мельникова исследована возможность возникновения хаотических движений в ФАС 2-го порядка при воздействии гармонической помехи. Получено аналитическое выражение

4.18)

123 характеризующее условие отсутствия хаотических движений ФАС в зависимости от интенсивности помехи. Результаты проиллюстрированы графически.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с поставленными целями и задачами в диссертации получены следующие результаты.

1. Предложена структурная схема, дано математическое описание и проведено компьютерное моделирование дуплексной системы связи с хаотической несущей, построенной по принципу разнесения в пространстве отдельных частей единого хаотического генератора. Передатчик и приемник имеют одинаковую структуру: это ФМ демодуляторы Костаса с опорным ЧМ сигналом на входе и фильтром первого порядка (ИФ, ПИФ или вырожденный ПИФ) в цепи обратной связи. Дуплексная связь позволяет решить проблему синхронизации (режим во всей системе с необходимостью воспроизводит режим в каждой из подсистем) и обеспечивает возможность одновременной передачи сообщений в противоположных направлениях.

2. Изучена динамика, построены бифукационные диаграммы и карты ляпуновских показателей для одиночного неавтономного ФМ демодулятора Костаса при наличии во входном сигнале гармонической ЧМ. С применением метода Мельникова на плоскости параметров частота-амплитуда внешнего воздействия, выявлены зоны существования хаоса, изучена численно зависимость формы этих зон от параметров фильтра в кольце обратной связи, определены «рабочие» значения параметров, для которых режим хаотических движений обладает глобальной асимптотической устойчивостью и сохраняется при изменении параметров на 5. 10 % от их номинальных значений.

3. Численно изучена динамика системы связи из двух ФМ демодуляторов Костаса. Доказано наличие синхронных хаотических режимов, а также продемонстрирована устойчивость указанных режимов к расстройке параметров демодуляторов.

4. Численно исследована динамика двух связанных ФАС с ПИФ и вырожденными ПИФ, как модель системы передачи информации с хаотической поднесущей. Получены качественные представления об условиях возникновения синхронизма в работе обоих систем. Получены бифуркационные диаграммы и фазовые траектории, характеризующие различные движения системы. Доказано наличие областей хаотических движений путем вычисления максимального ляпуновского показателя. Установлено, что система передачи информации с использованием хаотической поднесущей, построена на базе двух связанных ФАС с ПИФ и вырожденным ПИФ, не обладает высокой чувствительностью к расстройке параметров генераторов поднесущей в приемнике и передатчике, что затрудняет ее практическое применение.

5. Изучена применимость методики исследования хаотической динамики системы синхронизации, использовавшаяся ранее в главах 1 и 2, для анализа ряда традиционных систем, обладающих хаотической динамикой, таких как джозефсоновский переход, осциллятор дуффинга, неавтономная ФАП, система 3-го порядка. Показана применимость данной методики для широкого круга систем.

6. Получены резонансные характеристики как свойства ФАП второго порядка с ПИФ усиливать слабый модулирующий сигнал. При этом использовалась приближенная модель ФАП, соответствующая разложению нелинейности sinx в ряд до третьего члена (уравнение Дуффинга).

7. Разработана методика получения условий возникновения хаотических колебаний в автономной ФАС третьего порядка и в неавтономной ФАС второго порядка. Построены граничные кривые, разделяющие области регулярной и хаотической динамики. Расчет производится методом Мельникова (численно и аналитически), методом компьютерного моделирования и вычислением максимального показателя Ляпунова. Проведено сравнение метода Мельникова и результатов моделирования, показано, что метод Мельникова определяет достаточные условия отсутствия хаотических колебаний ФАС. Сделан вывод о преимуществах и недостатках ФАП второго и третьего порядка с точки зрения их использования как генераторов хаоса. Выработаны рекомендации по выбору параметров системы для получения хаотических режимов.

8. Получена математическая модель ФПС 1-го порядка при наличии гармонической помехи. Качественно исследовано поведение фазовых траекторий системы при различных величинах помеховой расстройки по частоте. Сделан вывод о существовании трех различных режимах работы ФАС —асинхронный режим, захват помехой, захват за сигнал. Получено аналитическое выражение достаточного условия для захвата за сигнал. Проведено численное решение уравнения, определяющего критические значения помеховой расстройки при переходе от одного решения к другому.

9. Рассмотрено воздействие гармонической помехи на ФАС 2-го порядка. Получена математическая модель системы в виде системы из трех ДУ первого порядка. Проведен анализ полученного ДУ методом усреднения. В результате получена усредненная система ДУ, решения которой, аппроксимируют истинное решение ДУ, задающей модель ФАС с точностью до слагаемых порядка. Сделан вывод о том, что режим работы системы определяется не только частотными расстройками сигнала и помехи, но и начальными значениями переменной состояния системы.

Ю.Проведено численное решение системы ДУ, описывающее ФАС в результате чего, определены критические значения помеховой расстройки характеризующие различные режимы работы системы

126 захват за сигнал, захват за помеху. Рассмотрено влияние полосы пропускания ПИФ в кольце ФАС на процессы захвата сигнала или помехи. Сделаны выводы о том, что увеличение постоянной времени фильтра повышает помехоустойчивость системы.

11.Получены аналитические выражения для определения времени переходного процесса при захвате за сигнал при захвате за помеху.

12.Методом Мельникова исследована возможность возникновения хаотических движений в ФАС 2-го порядка при воздействии гармонической помехи. Получено аналитическое выражение характеризующее условие отсутствия хаотических движений ФАС в зависимости от интенсивности помехи. Результаты проиллюстрированы графически.

1. Шахтарин Б.И. Статистическая динамика систем синхронизации. М.: Радио и связь, 1998. 488с.

2. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении. Пер. с англ./ Под ред. Ю.А. Бакаева, М.В. Капранова. М.: Советское радио, 1978. 600с.

3. Капранов М. В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1984. 320с.

4. Первачев С. В. Радиоавтоматика. М.: Радио и связь, 1982.

5. Стиффлер Дж. Дж. Теория синхронной связи. М.: Связь, 1975.

6. Gardner F.M. Phase lock techniques. 2nd ed. N.Y.: Wiley, 1979.

7. Best R.E. Phase-locked loops. Design, simulations, and applications, 3d ed. -N.Y. McGraw-Hill, 1997.

8. Blanchard A. Phase-locked loops application to coherent receiver design. N.Y.: Wiley, 1976.

9. Быховский M.A. Влияние помехи на процессы захвата в системе фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника и электроника 1987, № 10, с. 2131-2141.

10. Blanchard A. Interference in phase-locked loops // IEEE Trans. 1974. Vol. AES-10, N5, p.686-697.

11. Yoon C.Y., Lindsey W.C. Phase-locked loop performance in the presence of CW interference and additive noise // IEEE Trans. 1982, Vol. COM-30, N 10, p. 2305-2311.

12. Nakagava M. Effects of interfering signals in phase-locked loops // Frequentz, 1978, v/ 32, N 5, p. 146-153.

13. Tanaka H.A., Oishi S., Horiuchi K. Melnikov analysis for a second order phase-locked loop in the presence of a weak CW interference // IEICE trancs. on Fundamentals, 1994. v. E-77A, N11, p.l 887-1897.

14. Endo Т., Iizuka N. Influence of interference in second-order phase-locked loops with imperfect integrator // IECE, 1981, v. J.64-B, N 3, p. 191-198. (in Japanese).

15. Endo Т., Matsubura t., Ohta T. Behavior of phase locked loops in the presence of large interfering signal // Electronics and communications in Japan, 1982, v. 65-B, N 3. P. 44-53.

16. Endo Т., Suzuki T. Influence of an interfering second target on a certain amplitude-comparison monopulse radar system // Proc. of the IEEE Global Telecom. Conf, 1984, p.224-229.

17. Sue M.K. Effects of CW interference on the carrier tracking loop of the space network // IEEE Trans., 1984, v. EMC-26, N3, p.120-128.

18. Kantak A., Davarian F. Performance of PLL in the presence of a CW interfere // Proc. of IEEE Global Telecom. Conf., 1984, p. 230-236.

19. Дмитриев A.C., Кислов В.Я., Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989.

20. Endo Т., Ogawa Т. Stabilization of the saddle type periodic in phase-locked loop equation by OGY-control method // ECCTD'95, 1995, p. 1109-1112.

21. Kolumbun G., Vizvari B. Direct symbol generation by PLL for chaos shift keying modulation // ECCTD'95, 1995, p.483-486.

22. Kolumbun G., Vizvari B. Nonlinear oscillations, synchronization and chaos. Ph.D. Univer. of Calif. Berkeley, 1988.

23. Endo Т., Chua L.O. Chaos from phase-locked loops // IEEE Trans., 1988, v. CS-35, N 8, p. 987-1003.

24. Endo Т., Chua L.O., Narita T. Chaos from phased-locked loops. Part 2.: High-dissipation case // IEEE Trans. 1989, v. CS-35, N 2, p.255-263.

25. Endo Т., Chua L.O. Piecewise-linear analysis of high-damping chaotic phase-locked loops using Melnilcov's method // IEEE trans. On circuits andsystems I: Fundamental theory and applications, 1993, v. 40, N 11, p. 1104-1115.

26. Chu Y., Chou J-H, Chang S. Chaos from third-order phase-locked loops with slowly varying parameter // IEEE Trans. 1990, v. CS-37, N 9, p. 393-395.

27. Horio Y., Suyama K., Experimental verification of signal transmission using synchronized SC chaotic neural networks // IEEE Trans, on circuits and systems -1: Fundamental theory and applications. Y. 42, N 7, p. 393-395.

28. Мун Ф. Хаотические колебания: вводный курс для научных работников и инженеров. М: Мир, 1990.

29. БержеП., Помо И., Видаль К. порядок в хаосе. О детерминированном подходе к турбулентности. М.: Мир. 1991.

30. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. М.: Мир, 1988.

31. Лихтенберг Ф., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. -М.: Мир, 1984, 528с.

32. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. 3-d printing, N-Y.: Springer, 1990, p. 184-193.

33. Wiggins S. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos. N.Y.: Springer, 1990, 670 pp.

34. Kennedy M.P. Three Steps to Chaos. Part 1: Evolution // IEEE Trans. Of circuits and systems. I: Fundamental theory and applications. 1993, v. 40, N 10.

35. Дмитриев A.C., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1997, № 10, с. 4 -26.

36. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К., Волковский А.Д. Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1997, №10, с. 27-49.

37. Тратас Ю.Г. Оптимальный прием аналоговых сигналов с использованием динамического хаоса // Радиотехника и электроника. 1997, №5, с. 617-623.

38. Hayes S., Grebog C., Ott E. Communications with chaos // Physical Review Letters. 1993, v. 70, N 20, p. 3031-3034.

39. Sanders J.A. Melnilcov's method and averaging // Celestial mechanics. 1982, v. 28, p. 171-181.

40. Belykh V.N., Pedersen N.F., Soerensen O.H. Shunted-Josephson-junction model // Physical Review B. 1977. V. 16, N 11, 1. The autonomous case. Pp. 4853-4859; 2. The nonautonomous case. P. 4860-4871.

41. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984.

42. Elgin J.N., Forster D., Sarkar S. Mechanism for chaos in the Duffing equation // Physics letters, 1983, v. 94-A, N 5, p. 195-197.

43. Морозов А.А. Глобальный анализ в теории нелинейных колебаний. Н.Новгород, Изд-во ННГУб 19956 292с.

44. Градщтейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962.

45. Основы теории колебаний / Мигулин В.В., Медведев В.И., My стел ь Е.Р., Парыгин В.Н. М.: Наука, 1988. 392с.

46. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980 359с.

47. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981. 400с.

48. Стокер Д. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: ИЛ, 1953. 256с.

49. Морозов А.Д. К вопросу о полном качественном исследовании уравнения Дуффинга // ЖВМ и МФ 1973. Т.13,№5.с.1134-1152.

50. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н., Бойкова С.А., Малышева О.В. Инвариантные множества динамических систем в Windows. М.: УРСС. 1998. 237с.

51. Бакаев Ю.Н. Исследование инерционной системы телевизионной синхронизации // Радиотехника и электроника 1958. №2. С.227-236.

52. Шахтарин Б.И. Оценка границ устойчивости системы автоматического управления фазой колебания генератора // Автоматика и телемеханика 1970 №9 с. 159-162.

53. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1964. 344с.

54. Справочник по специальным функциям / Под ред. М.И. Абрамовича, И.М. Стиган. М.: Наука, 1979. 830с.

55. Анализ генераторов методом усреднения: Учебное пособие/ Шахтарин Б.И. и др. -М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 1999, 218с.

56. Шахтарин Б.И. Анализ систем синхронизации при наличии помех. М.: ИПРЖР, 1996,251с.

57. Шахтарин Б.И. Анализ нелинейных систем методом усреднения. 41. Детерминированные системы: Учеб. пособие М.: МГТУ, 1993.

58. Шахтарин Б.И. Анализ нелинейных систем методом усреднения. 42. Кусочно-линейные системы: Учеб. пособие М.: МГТУ, 1993.

59. Шахтарин Б.И. Анализ нелинейных систем методом усреднения. 43. Стохастические системы: Учеб. пособие М.: МГТУ, 1994.

60. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации./ Под. ред. А.В. Гапонова-Грекова, М.И. Рабиновича: Горький: ИПФАН, 1989 г.

61. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания.: Наука: 1987г.

62. Шахтарин Б.И., Губанов Д.А., Голубев С.В., Рукавица К.А. Хаос в сингулярной ФАС 3-го порядка.// Сборник МГТУ ГА, 1997,с.57-68

63. Шахтарин Б.И., Губанов Д.А., Рукавица К.А. Расчет среднего времени до срыва синхронизации в системе слежения за задержкой псевдошумового сигнала. Вестник МГТУ 4/97 серия Приборостроение. С.94-107.

64. Шахтарин Б.И. Рукавица К.А. О хаосе в двух связанных системах ФАП// Сб. науч. трудов МГТУ ГА, 1999, с.83-91.

65. Шахтарин Б.И., Артюшин С.В., Голубев С.В., Рукавица К.А. Анализ генераторов методом усреднения. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999, с.178.

66. Шахтарин Б.И., Артюшин С.В., Голубев С.В., Рукавица К.А. Резонанс и хаос в одной нелинейной системе.// Электричество, 2000, №2, с.43-49

67. Панцирев М.А., Рукавица К.А., Шахтарин Б.И. Исследование хаотических режимов неавтономной системы Костаса 2-го порядка, при возбуждении ЧМ- сигналом // Научный вестник МГТУ ГА. Серия Радиофизика-Радиотехника, 2000, №31, с.59-70

68. Шахтарин Б.И., Голубев С.В., Рукавица К.А. Хаос в неавтономной системе фазовой автоподстройки частоты второго порядка.// Радиотехника и электроника, 2000, т. 45, №1, с.92-97.

69. Губанов Д.А., Рукавица К.А., Шахтарин Б.И. Оптимизация параметров схемы слежения за задержкой по критерию максимума среднего времени до срыва синхронизации. // Радиотехника, 2000, №11, с.19-29.

70. Шахтарин Б.И., Артюшин С.В., Рукавица К.А. Воздействие гармонической помехи на систему фазовой автоподстройки частоты.// Вестник МГТУ им. Баумана, 2000, №4 (41), с.68-78.

71. НИР "Хаос" Академия ФСБ, 1998 г.

72. НИР "Анализ систем синхронизации" МГТУ им. Баумана, тема Г2-2С/98, 1998г., № ГР 01.990003036.

73. НИР "Передача информации в цифровых системах связи" МГТУ им. Баумана, тема Г2-2Г/99, 2000г., №ГР.02.200104560.

74. НИР "Исследование систем синхронизации при наличии помех" МГТУ им. Баумана, направление "Технические университеты", программы "Университеты России", разд. 2.6. "Фундаментальные проблемы создания спецтехники", 1996 г, № 01.970001718.

75. Губанов Д.А., Рукавица К.А. Нелинейная оптимальная фильтрация; информационный подход // Тезисы докладов на LIII научной сессии посвященной дню радио. РТНОЭС им. Попова. Москва (май 1998). Секция "Теория информации". С. 210.