автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Геометрическое моделирование технологических процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов

\п J\ {/

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Битюков Юрий Иванович

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НАМОТКИ И ВЫКЛАДКИ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Специальность 05.01.01 - Инженерная геометрия и компьютерная графика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва-2010

4843279

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Московский авиационный институт (Государственный технический университет)".

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Денискин Юрий Иванович

доктор технических наук, профессор Иванов Геннадий Сергеевич

доктор технических наук, профессор Панчук Константин Леонидович

доктор технических наук, профессор Блинов Виктор Николаевич

ЗАО "Научно-методический центр НОРМА" г. Москва

Защита диссертации состоится 11 февраля 2011 г. в 14 ч. на заседании регионального диссертационного совета ДМ 212.250.03 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия" по адресу: 644080, г. Омск, пр. Мира, 5, зал заседаний.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия".

Отзывы на автореферат направлять по адресу: 644080, г. Омск, пр. Мира 5, тел., факс: (3812) 65-03-23, e-mail: Arkhipenko_m@sibadi.org

Автореферат разослан ^ f ¿У 201 /г.

Ученый секретарь регионального диссертационного совета ДМ 212.250.03, кандидат технических наук

М.Ю. Архипенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Совершенствование и разработка новых конструкций, применяемых в авиастроении, ракетно-космической технике, энергетике, машиностроении и других отраслях промышленности, в значительной мере связаны с использованием композиционных материалов. Композиционные материалы обладают свойствами и особенностями, отличающимися от свойств традиционных конструкционных материалов и в совокупности открывающими широкие возможности как для совершенствования существующих, так и для разработки новых конструкций и технологических процессов.

Композиционные материалы обеспечивают оптимальные физико-механические " характеристики: легкость, прочность, антикоррозийность, кислотостойкость. Эти материалы представляют собой неоднородный сплошной материал, состоящий из двух или более компонентов. Среди таких компонентов можно выделить армирующие элементы, обеспечивающие необходимые механические характеристики, и матрицу или связующее, обеспечивающую совместную работу армирующих элементов. Удельная прочность композиционных материалов в 4-5 раз превышает удельную прочность стали, алюминиевых и титановых сплавов. Композиционные материалы характеризуются также низкой теплопроводностью, высокой термостойкостью, хорошими технологическими, электроизоляционными, антикоррозийными свойствами и сравнительно малым удельным весом. Все это демонстрирует преимущества физико-механических свойств конструкционных материалов из композиционных материалов перед металлическими. Другими важными преимуществами технологии изготовления конструкций из композиционных материалов являются простота достижения аэродинамических свойств и заданного теоретического контура внешнего обвода летательного аппарата, возможность получать монолитные конструкции без швов и скреплений. Все вышеперечисленное делает актуальной задачу применения композиционных материалов в авиастроении.

В настоящее время одним из самых совершенных методов изготовления высокопрочных армированных оболочек из композиционных материалов является технологический процесс намотки непрерывными волокнами в направлении действия силы, осуществляемый с помощью специальных многокоординатных намоточных станков с числовым программным управлением. В этом методе лента, образованная системой нитей или сформированная из тканей, пропитывается полимерным связующим и подается на вращающуюся оправку, имеющую конфигурацию внутренней поверхности изделия. После получения необходимой толщины и структуры оболочки производится полимеризация, окончательное отверждение связующего. Оправка может быть удалена или использована как часть конструкции. В родственном намотке процессе автоматизированной выкладки, осуществляемом также на станках с числовым программным управлением, на поверхность оправки, как правило, с помощью прижимных устройств укладывается достаточно широкая лента, составленная из однонаправленных

волокон, нитей, куски которой отрезаются с помощью специального устройства до или после укладки.

Намоточный процесс имеет ряд особенностей. Точность процесса намотки и получение оболочки, удовлетворяющей требуемым геометрическим и прочностным характеристикам, прежде всего, зависят от качества отработки расчетных траекторий, точности укладки ленты на поверхность оправки и создания на раскладчике ленты намоточного станка нужного натяжения. Поэтому для разработки управляющих программ для намоточных станков требуется наличие полной математической модели, описывающей процесс укладки лент на поверхность оправки с соблюдением целого комплекса условий.

До появления геометрической модели В.А. Калинина, Г.Р. Бороха, В.И. Якунина, H.H. Беляковой рассматривались поверхности вращения и нитевые модели, в которых не учитывалась реальная структура ленты. Сейчас существует теория намотки нитью поверхностей вращения. Помимо геометрической модели укладки нити на поверхность вращения, в этой теории существуют правила перехода от кривой на поверхности к непосредственному движению нитераскладывающего механизма станка, существуют способы выбора начальных условий для геодезической кривой, определяющей рисунок укладки, так, чтобы укладка нити на поверхность была бы равномерной. Для поверхностей вращения существует программный комплекс CADWIN, реализующий алгоритм расчета траекторий намотки.

Следует отметить, что сейчас гораздо чаще методом намотки изготавливаются конструкции, не являющиеся поверхностями вращения. Поэтому стали появляться попытки приспособить результаты, полученные для поверхностей вращения на случай оправок произвольной формы. В работах В.А. Калинина, Г.Р. Бороха, В.И. Якунина, H.H. Беляковой, Т.В. Аюшеева была разработана геометрическая модель процесса намотки, учитывающая реальную структуру ленты, а в работах Т.В. Аюшеева рассмотрено так же применение систем технического зрения к повышению точности реализации процесса намотки. Модель обладает рядом существенных недостатков и ограничений. Она предназначена для анализа схемы укладки ленты постоянной ширины (препрега) по заданной кривой на поверхности. В ее рамках не учитывалась толщина ленты, расчет параметров, характеризующих схему укладки ленты, крайне затруднителен из-за того, что параметрическое представление кривых, по которым укладываются нити ленты, не могут быть найдены точно. Компьютерная реализация данной модели затруднительна из-за того, что поверхности всегда задавались различными способами. Для расчета характеристик схемы укладки необходима поверхность класса С2. Поэтому, если оправка состояла из нескольких частей, которые определялись различными параметрическими представлениями, то необходимо, во-первых, гладко склеить эти части (методов гладкого склеивания поверхностей в модели не было предусмотрено), во-вторых, каким-то образом согласовать параметризацию на разных кусках. Помимо всего перечисленного, модель не приспособлена к анализу схемы укладки ленты (и моделированию укладки) переменной ширины (ровницы). С такой укладкой мы сталкиваемся, когда нити собираются в ленту непосредственно перед укладкой (метод "мокрой" намотки)

4

и ширину ленты можно изменять за счет различной ориентации нитераскладывшощего механизма. Этой возможностью пользуются для устранения нахлестов лент.

Из сказанного вытекает, что проблема геометрического моделирования процессов намотки и выкладки является по-прежнему актуальной. Важно отметить, что моделирование процессов намотки и выкладки решает не только технологические задачи, но и дает ответ о возможности реализации спроектированной конструкции по рассчитанной схеме армирования и возможности получения требуемых ее функциональных характеристик.

На основании анализа многочисленных научных и прикладных отечественных и зарубежных публикаций определены объект, предмет, цель и поставлены теоретические и прикладные задачи диссертационного исследования.

Объектом диссертационного исследования является теория геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов с полимерной матрицей.

Предметом диссертационного исследования является математический аппарат для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки сложных конструкций из волокнистых композиционных материалов, на базе которого возможно создание обобщенных геометрических моделей указанных процессов, получения численного анализа схемы армирования, решения различных задач оптимизации, возникающих при укладке ленты.

Целью диссертационной работы является разработка комплексного подхода к решению проблемы повышения качества и эффективности изготовления сложных конструкций из композиционных материалов на основе применения обобщенных геометрических моделей технологических процессов намотки и выкладки.

Теоретические и прикладные задачи исследований. К ним отнесены задачи, решение которых позволяет достичь и показать практическую полезность поставленной цели:

• разработать новый математический аппарат для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов с однонаправленными волокнами, который позволяет создать обобщенную геометрическую модель указанных процессов, и предоставляет практические удобные инструменты для анализа и коррекции схемы армирования:

о найти разложение кубического интерполяционного сплайна по базисным сплайнам на равномерной сетке с явно выписанными коэффициентами разложения, для различных краевых условий;

о дать конструктивное доказательство возможности введения на гладкой поверхности новой системы координат, удовлетворяющей двум условиям: функции, связывающие новые координаты точки поверхности и ее криволинейные координаты, допускают явное,

конечное задание; эти функции сколь угодно близки в смысле нормы в С2 к функциям, связывающим полугеодезические координаты точки и ее криволинейные координаты;

о разработать численный метод нахождения значения функции, которая в каждой точке поверхности определяет число лент, накрывающих эту точку;

о сформулировать и дать конструктивное доказательство теоремы о возможности единообразного описания поверхностей технологических оправок класса С2, являющихся поверхностями зависимых сечений;

• разработать теоретические основы геометрического моделирования укладки ленты переменной ширины на поверхность с помощью явно заданного отображения прямоугольника в пространство, которые обобщают существующие теоретические результаты по геометрическому моделированию технологического процесса намотки;

• разработать теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки, где будет учтено изменение формы поверхности в соответствии с толщиной ленты;

• разработать методики анализа схемы укладки ленты, на предмет равновесности нитей ленты и ее прилегания к поверхности;

• формализовать проблему выбора закона изменения ширины ленты, с целью уменьшения зон нахлестов лент и предложить численный алгоритм решения этой проблемы;

• описать закон движения нитераскладывающего механизма намоточного станка по заданному рисунку укладки ленты, учитывающий ее реапьное расположение на поверхности;

• разработать на базе построенных геометрических моделей и методик компьютерную модель процессов намотки и выкладки, позволяющую дать качественный анализ выбираемой схемы укладки ленты, решать различные задачи оптимизации, возникающие при укладке ленты, получать закон движения нитераскладывающего механизма, учитывающий реальную структуру ленты.

Методы исследования. Поставленные в работе теоретические задачи решаются методами дифференциальной и вычислительной геометрий. Применяется аппарат математического анализа, теория дифференциальных уравнений, теория матриц, теория уравнений в конечных разностях, методы функционального анализа, методы вычислительной математики. Для построения компьютерной модели использовалось программное обеспечение MathCad v.ll компании РТС и среда программирования MVC 6.0 (Microsoft Visual С++версия 6.0).

Научная новизна работы:

• найдено разложение кубического интерполяционного сплайна по базисным сплайнам на равномерной сетке с явно заданным коэффициентами разложения для различных краевых условий;

• дано конструктивное доказательство возможности введения на гладкой поверхности новой системы координат, удовлетворяющей двум условиям:

функции, связывающие новые координаты точки поверхности и ее криволинейные координаты, допускают явное, конечное задание; эти функции сколь угодно близки в смысле нормы в С2, к функциям, связывающим полугеодезические координаты точки и ее криволинейные координаты;

• разработан численный метод нахождения значения функции, которая в каждой точке поверхности определяет число лент, накрывающих эту точку;

• дано конструктивное доказательство теоремы о возможности единообразного описания поверхностей технологических оправок класса С2, являющихся поверхностями зависимых сечений;

• разработаны теоретические основы геометрического моделирования укладки ленты переменной ширины на поверхность с помощью явно заданного отображения прямоугольника в пространство, обобщающие существующие разработки по моделированию процесса намотки;

• разработаны методики анализа схемы укладки ленты, на предмет равновесности нитей ленты и ее прилегания к поверхности;

• формализована проблема выбора закона изменения ширины ленты, из соображений уменьшения зон нахлестов лент и предложен численный алгоритм решения этой проблемы;

• разработаны теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки, в которых учитывается изменение формы поверхности в соответствии с толщиной ленты;

• описан закон движения нитераскладывающего механизма намоточного станка по заданному рисунку укладки ленты, учитывающий ее реальное расположение на поверхности;

• разработаны компьютерные модели процессов намотки и выкладки сложных конструкций из композиционных материалов, в рамках которых можно получить детальный анализ схемы армирования на предмет возможности получения конструкции по данной схеме методом намотки или выкладки.

Ценность основных научных результатов. Ценность диссертации определяется научной новизной полученных результатов. Новизна научных результатов заключается в разработке нового математического аппарата предназначенного для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из композиционных материалов с однонаправленными волокнами, предоставляющего простой и эффективный инструментарий для решения разнообразных проблем, возникающих при анализе и коррекции схем армирования.

Практическая полезность результатов исследований. Разработанные в диссертации геометрические модели технологических процессов намотки и выкладки, а также разработанные на базе этих моделей компьютерные модели указанных процессов позволяют детально исследовать схемы армирования, получать законы движения исполнительных механизмов станков с числовым программным управлением. Разработанные методики расчета параметров, характеризующих схему армирования, позволяют предопределять возможность получения изделия методом намотки или выкладки по данной схеме и корректировать эту схему для достижения такой возможности. Все это

позволяет существенно снизить затраты при создании опытных образцов конструкций за счет отработки схемы армирования с использованием компьютерной модели, вследствие экономии дорогостоящих композиционных материалов. Разработанный математический аппарат позволяет ставить и решать различные задачи оптимизации, возникающие при укладке ленты, например, в рамках компьютерной модели решается задача выбора закона изменения ширины ленты, из условия уменьшения зон нахлестов лент.

Реализация результатов работы. Математическая модель технологического процесса выкладки и методики построения поверхностей оправок были использованы для анализа схемы армирования при изготовлении методом выкладки лопатки перспективного двигателя нового поколения в ОАО «НИАТ». Математическая модель намотки и методики расчета параметров, характеризующих процесс намотки, были внедрены на ОАО «Туполев». Методика моделирования поверхностей по точечному каркасу сечений была внедрена на предприятии ОАО «ОКБ Сухого».

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• VII-Всероссийской конференции по компьютерной геометрии и графике, Нижний Новгород, 1997 год;

• Конференции в Зеленограде: «Проблемы методологии и методики применения компьютерных технологий в дисциплинах начертательной геометрии и инженерной графики», 1995 год;

• Конференции в Улан-Уде «Роль геометрии в искусственном интеллекте и системах автоматизированного проектирования», 1996 год;

• Научно-методический семинар по организации Всероссийского конкурса учащихся и студентов по черчению и компьютерной графике: «Совершенствование учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации», 1997 год;

• V Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Технологии Microsoft в теории и практике программирования», 2008 год.

• II Всероссийской научно-практической студенческой школе-семинаре «Компьютерный инжиринг в промышленности и вузах», посвященной 80-летию МАИ, г. Кременки, «Вятичи», 20-21 ноября, 2009 год.

Публикации. Результаты теоретических и прикладных исследований были опубликованы в 16 научных статьях из перечня ВАК и одной монографии.

На защиту выносятся следующие результаты:

• конструктивное доказательство теоремы о возможности введения на гладкой поверхности системы координат близкой к полугеодезической, для которой функции, связывающие новые координаты точки поверхности и ее криволинейные координаты допускают явное задание;

• теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов с однонаправленными волокнами;

• конструктивное доказательство возможности единообразного описания поверхностей технологических оправок, являющихся поверхностями зависимых сечений;

• численный метод нахождения значения функции, определяющей в каждой точке поверхности число лент, накрывающих эту точку;

• методология анализа схемы укладки ленты на поверхность оправки и численный метод выбора закона изменения ширины ленты, обеспечивающий уменьшение зон нахлестов ленты в процессе ее укладки на поверхность;

• компьютерные модели технологических процессов намотки и выкладки

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка используемой литературы и двух приложений. Работа содержит 332 страницы из них 48 страниц приложений, 73 рисунка, 10 таблиц и 219 наименований используемых литературных источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследований, отмечены научная новизна и практическая значимость результатов.

Первая глава посвящена обзору существующего математического и программного обеспечения технологических процессов намотки и выкладки. Выявлена одна из моделей, наиболее точно учитывающая реальную структуру ленты. В главе отмечены ограничения и недостатки существующих моделей. Показана необходимость построения нового математического аппарата для геометрического моделирования укладки ленты, который позволил бы создать обобщенную геометрическую модель процесса намотки, и устранил существующие ограничения и недостатки.

Во второй главе строится математический аппарат для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов с однонаправленными волокнами. В частности, дается конструктивное доказательство возможности введения на гладкой поверхности системы координат близкой к полугеодезической системе, но, для которой функции, связывающие новые координаты точки и ее криволинейные координаты допускают явное задание. Построение введется на основе получения разложения кубического сплайна по базисным сплайнам с явно выписанными коэффициентами разложения. В этой же главе предлагается моделировать ленту на поверхности с помощью явно заданного гладкого отображения прямоугольника в пространство и строится функция, значение которой в каждой точке поверхности равно числу лент, накрывающих эту точку.

Пусть на отрезке [а\Ь] задано разбиение Д :а = ха<х1<...<хп=Ь. Обозначим 5и ,,(д) линейное пространство сплайнов степени т дефекта и с узлами на сетке Д. Элементами этого пространства являются функции *„;.(х),

удовлетворяющие условиям: 1) С"~"[а;й]; 2) на каждом отрезке /' = 0,1,функция $„,,.(*) является многочленом степени т. Известно, что размерность пространства в^Дд) равна т+1+у(п-1). Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать пространство 8_,,(Д), так как нас будут интересовать поверхности дважды непрерывно дифференцируемые.

В пространстве 8„ ,(д) существует базис, состоящий из финитных функций называемых В - сплайнами. Расширим сетку Д, добавив

дополнительно точки х,т < ...< х_, < а\ Ъ < <... < х,,^. Тогда функции можно определить следующим соотношением

В пространстве Б^Дд) базис составляют функции М42(х),...,МЛм:!(х).

Пусть /е С'[о;й]. Обозначим / = /(*,),/ = 0,1.....п. Тогда, как известно, в

пространстве 8,,(Д) можно найти единственную функцию удовлетворяющую условиям:

*!..(*/) = /. ' = 0,1,...,»; («,.■)'(*) = /(*); (*,,)'(*„) = /(*„). Оказывается, что, если сетка равномерная, то этот сплайн можно выписать в явном виде, а именно, имеет место теорема.

Теорема 1. Если расширенная сетка Д равномерная, то сплайн можно

представить в виде: = £'7,- Л^Д*), гДе числа п, определяются

равенствами:

*7„ = Яг ~ ;7„,г = г;„ + 2~-/(хп),

а Г„, (у, /), Е(п) - это следующие вспомогательные функции целых неотрицательных аргументов:

=(——тах(/,у)), г,/ = Е(к) = 2- \(к-1)-\(к-2), А>3;

1, к = 0;

2, к = 1;

7, к = 2;

,26, Аг = 3;

97, £ = 4;

Л(А) =

Рассмотрим теперь другой вид условий, накладываемых на сплайн

которые возникают при интерполяции периодических функций. Это условия вида

= ' = 0.1,...,я; ? = 0,1,2.

Оказывается, что и такой сплайн можно выписать в явном виде.

Теорема 2. Если /„=/„, то сплайн (х) можно представить в виде:

= где числа 7,. определяются равенствами

.' = 0,1.....л-1; 7„=7,.7-,=7».,. 7»«| =7|>

а Ф(и), 1Р„{;,>) вспомогательные функции целых неотрицательных аргументов:

(-1)ж(4и-/)+(-1)"/((/-2)),у = 1; = ' = 1,2.....к

'I

А{п)

0, я = -1;

1, л = 0; 4, л = 1;

Л 5, и = 2;

I 2ч/з

Пусть в пространстве фиксирована декартова система координат Оху: и гладкая поверхность X класса С2 задана параметрическим представлением г(и,у) = х(ы,у).Г+>'(ы,у).7+г(и,у).А, (и,у)е [а,;й,]х[а2;йг]. Пусть у гладкая кривая на поверхности, заданная параметрическим представлением /: г(г) = л(ик(7)), [Го-а^;;,+ак], ак >0. Эта кривая будет определять нам схему укладки ленты. При выполнении условий, наложенных на вектор-функцию. определяющую поверхность, каждая точка этой поверхности является заведомо обыкновенной и поэтому для любой гладкой кривой на поверхности существует (если ограничиться достаточно малым ее куском) полугеодезическая система координат, в которую данная кривая входит в качестве координатной линии. Таким образом, существует число ¿>0 такое, что полугеодезическую систему координат можно ввести на куске поверхности ХпуЦ^(Р), где и^(Р) - шар с центром в точке Р и радиусом И. Напомним

способ построения такой системы координат. В каждой точке М(г) кривой у берем направление на поверхности, ортогональное к направлению у и проводим через эту точку в этом направлении геодезическую линию (что всегда можно сделать и притом единственным образом). Отложим на геодезической дугу длины 5 (снабжая 5 знаком ± в зависимости от того, в какую сторону от / отложена дуга). В результате мы приходим в некоторую точку М'[ип\уп) на поверхности, положение которой вполне определяется значениями / и 3

II

(система координат поверхности полугеодезической), определяется также

' = (, = 8 на является Точка М' параметрами

Рисунок 1 - Построение множества точек, принадлежащих координатным линиям полугеодезической системы координат на гладкой поверхности

(ип\уп). Следовательно, ип,\п есть функции от параметров г и 5:

"Л'»*)-

В существующей модели намотки, которая была разработана только для укладки препрега (ленты постоянной ширины), укладка нити ленты, находящейся от средней нити на расстоянии 2],

осуществляется по кривой

= Так как

выписать эти функции в общем случае не возможно, мы построим функции и(1,3), К(г,Л) близкие к ним, но которые допускают явное задание. Иначе говоря, необходимо разработать методологию введения на поверхности системы координат близкой к полугеодезической, но для которой функции связи новых координат с криволинейными координатами можно выписать в явном виде. Эти функции связи и дадут нам искомое отображение прямоугольника в пространство, с помощью которого и можно смоделировать укладку ленты на поверхность.

Будем предполагать, что функции С2[<0агг] и при любом

ге [<(,-а^,I, +«,(■] точка принадлежит множеству (а,;6,)х(аг;£2),

следовательно, кривая не проходит через точки границы поверхности. Тогда всегда можно найти прямоугольник ЛГ' = [г„-а4;г, </>0, на котором

будут определены функции ия(г,<5), чп(1,8). Рассмотрим равномерную сетку

Д,:г0=/0<г,<...<гг=/„ г, = /„ + А, • /', / = 0,1.....Г, А,

на отрезке Причем, значение Т выберем так, чтобы выполнялось

неравенство Н, <ак . Положим г_, = г0-¡Иг, =т1)+(/+Г)й(, /=1,2, ... Из каждой точки еДхКСЛМП)); у(их(.г,)^(т,)); -"(МО-МО)). / = -1,0,1,....Т,741, строим две возможные геодезические у* и у^, перпендикулярные кривой у (рис. 1). Пусть параметрические представления геодезических линий имеют вид уГ: Д* (.*) = г (ы* (а), <(*)), ¿е[0,Л/2+а„], с!!2+ап<1 а„> 0;

у- : = [0,<//2+ап].

Здесь через л обозначена переменная длина дуги геодезических линий. Рассмотрим равномерную сетку

Д, :*„=()<*, <„.<*, =¿/2, ¡^Ь,-], ./ = 0,1,...,/, А, =¿/(2-1) на отрезке [0;¿//2]. Причем значение / выберем так, чтобы выполнялось неравенство А, <ап. Введем следующие обозначения:

"■/ = "Г(■*-,). П = V"), / = -/-1,-/,...,-1;

и построим на прямоугольнике К=[г0;г,]х[-с*/2;с//2] функции ¡/(г.з), удовлетворяющие условиям:

= К(г„= у, ,/ = -/,...,-1, / = 0Л...,Г;

£/(^,>4,; = 1.....Л ' = 0,1,...,Г; (1)

1/(г,0) = иг(г); К(г,0) = у)с(г),ге[/о;/,]. Для начала построим функции

С/, :[г,;/,]->!*, ^ :[»,;/,]-* К, ; = -/-!,-/,...,-2,-1,1,2...../,/ + 1

такие, что (/Дг,) = н,7, кДг() = у(>, / = 0,1,...,7". Мы определим эти функции следующими равенствами:

Т+1 Г+2

^(О-Е^-^ЛО. «[г,-,.,].

где В-сплайны построены на расширенной равномерной сетке

Г, < т., < г., < г0 = г0 < г, <... < тт = г, < гг+, < Гг^г < гг+, . Для нахождения величин и потребуем, чтобы выполнялись равенства (1) и граничные условия

На основании теоремы 1, коэффициенты соч,Вн могут быть найдены по следующим формулам:

+Гг„{1,Т +1)^3Л I = 1,2,...,Г + 1; (/, Г +1). ^ЗуГ; - + 1уг_и ^ / = 1,2,..., Г +1;

¿о.., ^.у+

Положим С/0(г) = и1(г), = ук (т), ге Определим теперь функции

следующими равенствами:

/=о м>

где В-сплайны построены на равномерной сетке

< 5.2 < л., < /2< ¡1 < ...< 1, < ...<¡2., = <1 /2< < 52,и1 <

з,=-еН 2 + 1-/ = —3,...,2/ + 3. Функции а,{г) и 5,(г) мы найдем из условий:

Здесь через !'/(и, V) обозначена частная производная . На

основании теоремы 1, функции й>,(г) и .9, (г) могут быть найдены по следующим формулам:

2 р.1

Итак; на этом заканчивается построение функций У(т^),

удовлетворяющих условиям (1).

Теорема 3. При соблюдении неравенства И, й Л, между шагами сеток, можно выбрать последовательность сеток и получить последовательности функций 1/„,(г-,.г), КДг,^), которые будут удовлетворять условиям

если ип, упёС*(К'), ¿ = 0,1,2.

Как известно, если функции и„, у„е С'(К'), то на прямоугольнике К'

якобиан отличен от нуля. Следовательно, в силу его

непрерывности, он на прямоугольнике сохраняет знак и достигает своих наибольшего и наименьшего Jmщ значений. Итак, возможны следующие случаи

Л»5 Л1"'*)2 Л™ < К', или 0 ^ /ш„х, (г,ф К'.

Поэтому всегда можно выбрать номер т, для которого якобиан = 1 отличен от нуля на прямоугольнике К. Итак, отображение

взаимно однозначно и вектор функция р(т,*) = г(ит(г,*),У„(г,з)), (г,л)еК определяет кусок поверхности При этом одно семейство координатных линий (т=соп51) близко к геодезическим линиям, а угол между координатными линиями различных семейств, близок к я/2 (и эти свойства можно обеспечить с любой наперед заданной точностью). Таким образом, мы построили на поверхности систему координат (т,б) близкую к полугеодезической системе.

До сих пор, рассматриваемые поверхности были произвольными гладкими, поверхностями класса С2. Сейчас мы сужаем класс рассматриваемых поверхностей. Обозначим С^. множество дважды непрерывно дифференцируемых поверхностей зависимых сечений с переменной образующей, которые формируются следующим образом: образующей служит плоская замкнутая гладкая дважды непрерывно дифференцируемая кривая; при своем движении и изменении кривая остается гладкой, дважды непрерывно дифференцируемой кривой, лежащей в плоскости параллельной координатной плоскости Оху; однопараметрическое множество плоскостей образующих в пространстве: : = г(у), уб[л,;62], причем функция дважды непрерывно дифференцируема и строго монотонна на указанном отрезке. Параметрическое представление такой поверхности можно записать в виде:

= + ие [а,;4,], уе[а2;й2].

При выполнении условий, наложенных на вектор-функцию, выполняются равенства + = для любого уе [а2;й2] и любых

аиа2е {0,1,2}, а, <; 2. Поэтому, очевидно, данную вектор-функцию можно считать определенной на множестве Кх[а2;г>2].

Заметим, что лента представляет собой замкнутую, односвязную, плоскую область. При укладке ленты на поверхность мы каждой ее точке ставим в соответствие единственную точку поверхности. Таким образом, укладку ленты на поверхность можно рассматривать как отображение замкнутой, плоской, односвязной области в трехмерное Евклидово пространство. Причем, так как область односвязна, то можно считать, что отображение определено на прямоугольнике. Пусть W:\ta\ti\x\-d 12-,<112\-^>Т£ -указанное отображение, моделирующее ленту на поверхности. Для того чтобы учесть толщину ленты в геометрической модели намотки и научиться изменять форму поверхности технологической оправки в соответствии с толщиной ленты, необходимо научиться определять для каждой точки поверхности оправки сколько лент лежит над этой точкой. Для достижения этой цели строится отображение Ы„, :[в,;й,]х[а2;4г]-»Ми{0} (здесь через N обозначено

множество натуральных чисел), значение которого в точке (ц,у)е

равно числу элементов во множестве ^''(Р), ОР = г(и,у). Такая функция сама по

себе представляет собой удобный инструмент для анализа «зазоров» и «нахлестав» лент; выбора оптимального закона изменения ширины ленты из соображений уменьшения «нахлестав» лент при намотке ровницей (лента переменной ширины), ну и конечно, она играет важнейшую роль при моделировании многослойной намотки и выкладки.

Зафиксируем произвольное значение у' из отрезка [а2;й2]. Тогда, и-

линия, соответствующая этому значению, есть линия пересечения поверхности и плоскости : = ='. Введем в рассмотрение следующие вспомогательные функции: я-,:!*3-»!*, я.(х= ®о(г) = п-. °№(т,с! 12)-г' ,

а= жг°\¥(т,-с1 /2)-г', ге[г0;',]- Например, методом дихотомии находим корни (0<гю<г01 <...<г0р<г,; < < гп < ...< й , соответственно, уравнений й)о(г) = 0; о),(г) = 0. Расположим все корни по неубыванию их значений:

г, <т. ¿т- 5 <г <т. < <г. <г. <1,.

'(1 а 'я„.*„ - 'л,./!,------ I-----'¿„'и ~ ~ 1

Здесь индекс X, принимает одно из значений 0 или 1. Будем последовательно рассматривать промежутки: Д„=[/„;гЛоЛ]; Д, =[г.ьЛ;г-. „],...,

Каж*омУ из них поставим в

соответствие четыре числа и\2> / = 0,1.....р+д+2 по следующему

правилу.

• Если г0 = А, то положим £0 = £0 = 0, если /0 < г^, то положим

• Если гд = гг я , >т0 положим = = 2, если гя ; < г^ , то положим

=»««я(®„((гя^. +г^)/2)); ¿"ли +г^)/2))'

• Если с, = г^ 1 ^ 1, то положим = С= ° >если '1 > х>.,„лл,.>то положим

Два числа ¿V характеризуют расположение ленты относительно выбранного сечения. Некоторые из примеров такого расположения ленты приведены на рисунке 2.

«яв®

Г2

Рисунок 2 - Примеры расположения ленты относительно сечения

Теперь определим значения ы(,2),/ = 0,1,...,р + ? + 2 следующими равенствами:

гм Н' = & = 0. или =<Г„ = 1, или & = С0 =-1;

' -1. = <Го = 0. или = = 1, или = = -1;

«£4

где <?„" - корень уравнения = [-¿/2;<//2]. Для / = 1,2,...,р + д + 1

положим

„(О } 6 = 2> ^ = 2. Лн =0, или^-С =-1, дн =0;

^,„,„,.-7} #, = 2. ¿"1 = 2, Дм = 1, или^-С,=-1,Дм = 1;

„(/•=^• I) ^'=2- &=2-я< = или 6■ 4". = -1. = о;

* ' #, = 2, = 2, Я, = 1, или =-1, Я, = 1.

I/ г.

Наконец для 1=р + д + 2 положим

' -!> =^,»2 = или = 1;

где Л,' - корень уравнения з[1°№(1„5) = :\ 8е\-с!/2;с1/2}. Обозначим через (х) - характеристическую функцию множества £, т.е. функцию, равную 1 на множестве Е и нулю вне этого множества. Тогда значение для любого

мб [а,;А,] может быть найдено по формуле:

В этой формуле учтено продолжение вектор-функции /~(н,у) на множество

Кх[а,;й,]. При этом необходимо заметить, что во внутренней сумме только

конечное число слагаемых отлично от нуля.

Если Р - произвольная точка и-линии, задаваемая значением параметра ие[а,;Ь,], то значение Л^(ыУ) дает количество лент, которые накрывают

точку Р поверхности. По графику функции можно судить о наличии

участков наложения лент и наличии участков, где лент совсем нет. Выбрав достаточно большое количество сечений поверхности и, построив для каждого сечения функцию Лг„,(и,у'], можно дать точную характеристику выбранной

схемы намотки, касающуюся количества слоев, находящихся над данной точкой, в частности, наличие «зазоров» (характеризующихся нулевыми значениями функции) и «нахлестов» (характеризующихся значениями функции, превышающими некоторое заданное значение слоев).

Третья глава посвящена построению обобщенной геометрической модели технологического процесса намотки конструкций из волокнистых композиционных материалов. Пусть поверхность оправки принадлежит и гладкая кривая ^ ?к(г) = г(и,.(*),ук(/)), *е [/„-ак;г,>0 определяет

схему укладки ленты на оправку. Согласно результатам главы 2, существует система координат на поверхности, обладающая следующими свойствами: данная кривая является координатной линией этой системы; функции и(1,8),У([,$), связывающие новые координаты (1,5) точки поверхности и ее криволинейные координаты допускают явное задание и они сколь угодно близки к функциям, связывающим полугеодезические координаты точки и ее криволинейные координаты; функции ГУ(/,<>), У{1,6) определены на

прямоугольнике К=[/0;г,]х[-Л/2;й?/2], ¿>0. Используя такие функции, моделировать укладку ленты переменной ширины мы будем с помощью вектор-функции

г(и{и6), К, ={(,,£): г„ <<<г„ -«т,(/)£5 <<г2(/)},

где положительные на отрезке функции сг, (/) и ег,(/) задают закон

изменения ширины ленты. При этом 0 < </и(д <а,(г)+(г2(г)£ (¡, <т,(г), аг[г)<(И2. Очевидно, что гомеоморфизм

задает отображение прямоугольника АГ = [г0;/,]х[-с//2;^/2] на замкнутую область К„ ={(',<?): г0 ¿>¿1,, — <г,(г)^^^<г2(/)}. Поэтому положение ленты на

оправке можно представить как образ множества К при отображении Ш: К К5, определенном формулой

ОР = г(иоН(1,з),У°Н(1,з)), (г.^еЛГ. Итак, в нашей новой геометрической модели укладки ленты на технологическую оправку мы моделируем укладку нитей ленты по кривым Г,: Л(м) = ?(17(Я(/,*)), [/„;',]. При s-±d¡2 получаем крайние

нити ленты. В частности, если (/) = <//2, то Н - тождественное

отображение, и мы получаем геометрическую модель укладки препрега ширины с1, в которой укладка нитей ленты происходит по кривым близким к геодезическим параллелям кривой у, задающей схему укладки, а средняя нить ленты ложится по самой этой кривой.

Заметим, что при укладке ровницей функция зависит так же от

самих функций о-,(;),о-2(г). Выбор функций <7,(г),о-2(г) будем осуществлять из условия уменьшения зон нахлестов лент. Обозначим о-пп„(/) = й/2, (е [(„;(, |. Переводя на формальный математический язык, необходимо найти функции сг,(/),а1(>)б С2[/(,;<,] так, чтобы

а

(и, V, сг, ,(Т2) с/и<.¡V —> тш;

5иррЫ„, (и,V,о-„<т2)0} ={(а,V): (и,

Первое условие обеспечивает уменьшение зон нахлестов, а второе не допускает при этом образование зазоров. На рисунке 3 показан пример укладки ленты постоянной и переменной ширины.

ЭДЯЯК

. и ' г: Н'ЫН'

та

а) б)

Рисунок 3 - Укладка ровницы а) и препрега б)

Пусть ц - коэффициент трения скольжения материала нити о материал поверхности. Равновесность положения нити на поверхности оправки характеризуется тангенсом угла в геодезического отклонения кривой, по которой укладывается нить. Условие равновесности нити, уложенной по кривой у,, состоит в том, что во всех точках кривой выполняется неравенство Поэтому в рамках предложенной геометрической модели укладки ровницы, для равновесности всех нитей должно выполняться неравенство

, для всех (м)е К.

Как известно, функция 9(1,5) определяется следующим равенством

/

соэ Б) = где коэффициенты

ч 2 ^ # [(к.я)', кг

Е- >

Ь= ?

[П.К]

м=

, м1

ы= к

вычислены в точке к(я(м))) (в выражениях для указанных

коэффициентов круглыми скобками обозначено скалярное произведение векторов, а квадратными - векторное произведение).

При исследовании прилегания ленты к поверхности оправки, прежде всего, нужно исследовать наматываемость соответствующих кривых в нашей модели, т.е. принципиальную возможность для нити принять форму кривой на поверхности.

Теорема 4. Кривая = К(я(/,.?))), /е [/0;г,] на поверхности

наматываема тогда и только тогда, когда выполняется неравенство

|ь(£>('01 [и о Я))3 + 2М£>(,'0) (и о Я) От (Ко Я) + м(о(>'°> (V о Я))=| <0

для всех /е [/(,;?,].

Рассмотрим теперь задачу прилегания ленты к поверхности. Пусть длина ленты в свободном состоянии равна /„, а ев>х. - максимально возможное значение относительного удлинения нити ленты. Так как нить, соответствующая параметру я, укладывается по кривой »(Лл), ге [г,,;/,], то длина нити /(¿) после укладки будет равна длине этой кривой. Следовательно, относительное удлинение ё(^) нити равно

*|1 *п ,

Теорема 5. Лента прилегает к поверхности оправки, принимая ее форму тогда и

1 ''

только тогда, когда выполняются неравенства 0< — J]iv'(r,j)|iÄ-l<Em4, для всех

'о iv

значений se[-d/2;d/2],

С помощью приведенной оценки нельзя указать места на поверхности, где лента не прилегает к ней. Для этой цели рассмотрим функцию длины //(г) ленты в свободном состоянии, которая была уложена с натяжением на поверхность по кривой/,: te [f„;f,]. Тогда rj(t) является строго

монотонной функцией параметра t на отрезке ['„;',]■ Определим функцию

e(/,j) = lim—---т-г-l.

Теорема 6. Если функция rj(t) принадлежит С'[/„;/,] и нить, укладываемая по кривой у,, прилегает к поверхности, то выполняется следующее неравенство

5М,

При применении полученного результата на практике, для вычисления e{t,s) можно приближенно положить г (/,i) = ё(0). Мы тем самым считаем, что

0<

(E(/,0)+l)-lSEms для всех /е [r„:r,].

лента при укладке деформируется равномерно по своей длине. Поэтому

J|«v(r,0)]dr

. Следовательно, £(/,s)<=

JK(r,0)| dr

Им|- JKM* _к_

По отображению w, моделирующего укладку ленты, можно построить закон движения нитераскладывающего механизма. Пусть в пространстве фиксирована декартова система координат Oxyz, неподвижная относительно поверхности оправки. Мы найдем закон движения раскладчика относительно этой системы. Положение раскладывающей головки в пространстве в системе Oxyz будем описывать радиус-вектором ?,(/) одной из крайних точек А этой

головки, а ее ориентацию в пространстве вектором p(t), с началом в выбранной точке А и концом в другой крайней точке головки. При этом |р(/)| = const = р (рисунок 4). Обозначим А, - расстояние от точки А до точки схода крайней нити ленты, например, определяемой вектор - функцией w(t,d/2), te [/„; г,], с поверхности оправки. Это значение мы зафиксируем. Аналогично, пусть Л2(/) -расстояние от другой крайней точки раскладчика до точки схода второй крайней нити с поверхности. Его мы будем находить. Очевидно, имеют место равенства:

sw (t,-d ¡2)

Z

Рисунок 4 — Определение положения раскладывающей головки

Обозначим Ш = Ш= Ш'Ч' -¿/2)-аи,с1/г). Из

равенства /? = |/>(7)| находим

В третьей главе так же строится геометрическая модель родственного намотке технологического процесса выкладки. В процессе выкладки укладка лент осуществляется по семейству кривых

у,: ?Д/) = x(иД/),v((0)•í' + ^'(w,.W,vД0)•7 + -(1'.W)•'í; '6КЛ]> » = 0,1,...,л.

Обозначим через (1 ширину ленты. Кривая у1 определяет вектор-функцию й>,:[б'„,;6',,]х[-с//2;^/2]->К3, моделирующую укладку соответствующей ленты. Тогда функция

где б!. 1г /=01- 01 "Л 1 1 '

моделирует укладку всех лент на поверхность оправки. Каждая из вектор-функций й. определяет функцию Ы„, («,у) , которая в точке поверхности равна единице, если эта точка накрывается данной лентой и нулю — в противном случае. Очевидно, что функция = (и,у) в точке поверхности равна

т=0

числу лент, накрывающих эту точку.

Четвертая глава посвящена проблеме единообразного описания поверхностей технологических оправок. Как известно, поверхности технологических оправок состоят обычно из нескольких частей, среди которых выделяют конструктивную часть - это собственно поверхность изделия и технологическую часть. Технологическая часть может состоять из поверхности законцовки, служащей для разворота ленты, и переходной поверхности между конструктивной частью и законцовкой. Все эти части поверхности могут задаваться различными параметрическими представлениями. Поэтому для моделирования укладки ленты на поверхность и расчета характеристик схемы укладки ленты необходимо части гладко склеить между собой. Кроме того необходимо согласовать параметризацию на различных частях. Наличие методологии единообразного описания поверхностей автоматически устраняет все эти проблемы, так как будет единое параметрическое представление на всю поверхность, задающее все ее части.

Рассмотрим, для начала, методику построения поверхности по точечному каркасу сечений. Такая поверхность определяется точками, задающими ее сечения, причем сечения лежат в параллельных плоскостях. Мы выберем декартову систему координат Оху: так, что эти плоскости будут перпендикулярны оси О:. Тогда множество точек сечений поверхности можно

записать следующим образом {Р,,{хч>Уц':1):'= М-.Яу. У = 0,1.....к, ОР,^ = 0Л>.У}.

По множествам точек (/>„ :/ = 0,1,...,«„}, :/'= 0,1,...,«,},....{/^ :/ = 0,1,...,л,.} построим семейство замкнутых кривых гДи), ие [а,;^]. Фиксируя произвольное значение иб^д], получаем набор точек £?у(и), = по которому строим кривую Н(и.у). Ее параметрическое представление и определяет параметрическое представление искомой поверхности. Используя

результаты теорем 1 и 2, параметрическое представление искомой поверхности

¿+2

можно записать в виде = [я]х[о;,62где

¡•О

'/(") = (и); у = о,1.....А, иб[0,л].

Пи ■■

'7»„/=7о.у. Ч.^-Чи-

В это параметрическое представление входят две неизвестные вектор-функции Ку(и,аг) и Н\{и,Ьг), которые могут быть выбраны исходя из условий: дважды

непрерывно дифференцируемы на [в^] и

((а, + 0, с) =(/(.)'"'(/>,-0,с), а = 0,1Д с = аг,Ь1. В качестве таких функций можно выбрать, например, следующие:

Таким образом, получено параметрическое представление поверхности задаваемой точечным каркасом сечений, причем это представление найдено в явном конечном виде. Отметим следующие простые свойства построенной поверхности, которые будут использоваться в дальнейшем. Лемма 1. Если и (яЦц,не зависят от параметра и, то

построенная поверхность принадлежит С¿г.

Лемма 2. Для точек Р / = 0,1,...,л;-1, у'=0,1,...,£ поверхности выполняются

следующие равенства:

/

ОР^Р.

, /'= 0,1,...,л/-1, У=0,1.....к.

I » I » - ^ ¿/»

' я, х 'к

Как отмечалось выше, для компьютерного моделирования процессов намотки и выкладки желательно иметь единую модель поверхности, с которой и работать. Сделать это можно с помощью аппроксимации данной поверхности поверхностью, определяемой точечным каркасом сечений. Так как параметры характеризующие схему укладки ленты на поверхность выражаются через первые и вторые производные вектор — функции поверхности, то сколь угодно точная замена поверхности должна происходить в пространстве С2, иначе результаты анализа схемы, полученные для исходной поверхности и замененной, могут быть разные.

Теорема 7. Пусть г(и,у) = х(и,у)-1 + у(и,у)-] + :(у)-к, ие уе [а2;£2]

параметрическое представление поверхности технологической оправки класса Если для любого значения ие [о,;6,] существуют Омг(и,аг], , и

эти вектор-функции принадлежат с[в,;6,], тогда' для последовательности

равномерных сеток

д» <"-2 <и-1 <"и=а,<и, <...<ип=Ь,<и„+1 <

+ й„, / = -3,...,л + 3, Л„ = (б,-а,]/п;

Л„ : V., < V., < V., <у„ = а2 < у, < ... < у* = А2 < у^, < ум < ум;

у1=С + ;-Их„ у = 0,1,...,*, Д, =(Ьг-а,)/к; й„ < последовательность вектор-функций *(и,у), построенных по точечным каркасам 0/>у = уу), / = 0,1,-.,«; 7 = 0,1,...,Л, сходится к ?(и,у) в смысле нормы С2,т.е. = 0,= 0,1,2.

В пятой главе строится геометрическая модель многослойной намотки, в которой учтено изменение поверхности оправки в соответствии с толщиной ленты Л. Согласно теореме 7, поверхность 2, принадлежащую С^, можно сколь угодно точно аппроксимировать поверхностью, принадлежащую Сг0. и, задаваемую точечным каркасом сечений. Модификацию поверхности в соответствии с толщиной ленты, будем осуществлять путем перестройки точечного каркаса. Обозначим г (".>'). 9 = 0,1,... вектор-функцию, определяющую поверхность технологической оправки после <? перестроек исходной поверхности, параметрическое представление которой г„(и,у). Пусть ее точечный каркас представляет собой множество / = 0,1,...,я;/ = 0,1,...,/!:]. Обозначим /я, (и, у) вектор нормали к поверхности, который направлен из области, ограниченной поверхностью и л?(и,у)=(7,/й9(г/,у))-7(и, у))-7.

Пусть и,.=Я|+(4.-о.)-; у. = а2+(л2~а,)^, /./е г. Тогда, в силу леммы 2, имеет 4 п ~ к

место равенство ?Дн,,уу) = 0/^,/ = 0,1,...,и, 7 = 0,1,...,*.

Заметим для начала, что лента укладывается на поверхность с натяжением. Поэтому, при укладке ленты на уже уложенные слои между поверхностью и лентой может возникнуть зазор. Для дальнейших построений удобно периодически с периодом Г = £,-а, продолжить функцию на множество йх[а2;Ь2]. По точкам Р^, Л = 0,1,...,и сечений построим новые точки Р]^ в соответствии с правилом:

= Пусть = Из

множества Р^, Л = 0,1,..., п выберем подмножество точек

¿ = 0,1,...,,9'}, ОЯ2«„ ф ОР1г1Х, обладающих свойством: N„,(11, или Ы„, (ид ,уд)> А^. Из полученного множества удалим те точки

для которых выполняются условия:

М^'ФМ^л)или

К ("д,.,-^ ) > {»1.Л ) > 14V/ ) -

Пусть я = 0,1,...,т9| полученное множество (заметим, что этим точкам

соответствуют некоторые из локальных максимумов функции ) (рисунок 5).

- Г**

1 и

Э й 1 Й- 0 3 (Ч ¡1 * О' ЯЛ ад 1

а) График функции .V,, для выбранного сечения и найденные локальные максимумы этой функции, соответствующие точкам Р \ з = 0,1,...,.9

Рисунок 5 - Построение множества | Р\ л = 0,),...,¿»}

Обозначим (2, точку с радиус-вектором <?„(/)• Каждой точке Р] я поставим в соответствие упорядоченную пару , ) действительных чисел по следующему правилу: /т < 1* , прямые Р\ ^ <2Г и Я? ^ б. являются касательными к кривой (/). Пусть Ля - это прямая, заданная представлением Лл : Ш = теП.

Рассмотрим теперь пару точек Р\1Ц, Р\ ■? = 0,1,...,5-1. Если /? , то имеют место неравенства ик 1 > ^ > I* > нЛ_. В этом случае определим новые точки как точки пересечения прямых ЛЛ и !,„£?,. . Точки

и >ид >г:ч мы определим как точки пересечения прямых Лд и Р\ ^¡2,. • Наконец для значений Л, удовлетворяющих неравенству С<»д <С+]> положим

р <з ~ р 1

1 >.и 1 >41 •

Рассмотрим теперь случай, когда Точки и; <их<и1] мы

определим как точки пересечения прямых Л; и Р\%„Р\а„ (рисунок 6).

Рисунок 6 - Смещение точек каркаса

Итак, на этом заканчивается построение точек РЦм. Обозначим их координаты (s^;.^;-*)- По точкам Р£, Л = 0Д...,я+1, ОР0ч/: = ОР^ построим сглаживающий замкнутый сплайн gß(a) = f? {а>)-1 + f" (a)-j + <ве[0;1]. Для этого мы задаем на отрезке [0;1] сетку й>„ = 0<<в, <...<£»„ = 1 и строим два периодических сглаживающих сплайна /"(»),/,"(w) по множествам точек: |(<г>^ Я = 0,1,...,л|; = 0,X,После построения сглаживающего

сплайна можно определить точки Р£' сечений новой поверхности, например, следующим равенством: ОР£* =gll(t»i), Л = 0,\,...,п. По найденным точкам строим поверхность <7,+](n,v), (u,v)e [а,;г>,]х[а,;£>2]. Моделирование следующего слоя осуществляется по описанной схеме, используя точки Р^ и полученную поверхность.

При моделировании многослойной выкладки необходимо учесть тог факт, что ленты прижимаются к поверхности с помощью специальных валиков, поэтому после построения точек P\/t можно сразу строить сглаживающий сплайн и определять точки Р;, как точки этого сглаживающего сплайна.

Шестая глава посвящена описанию компьютерных моделей технологических процессов намотки и выкладки, разработанных на основе построенных геометрических моделей. Все программное обеспечение было разработано в среде MVC 6.0 (Microsoft Visual С++ версия 6.0). Кроме того, для подготовки поверхности технологической оправки был разработан документ MathCad. Компьютерные модели реализованы в двух программах GMWinding и GMSpread. Первая из них служит для моделирования процесса намотки, а вторая - для моделирования процесса выкладки. На рисунке 7 показаны

возможности разработанных компьютерных моделей, предоставляемых пользователю.

Рисунок 7 - Возможности компьютерных моделей

В седьмой главе рассматривается применение разработанных компьютерных и геометрических моделей к анализу схемы намотки реального изделия - лонжерона стабилизатора вертолета и выкладки вентиляторной лопатки авиадвигателя.

Поверхность лонжерона представляет собой носовую часть стабилизатора и задается непрерывным каркасом поперечных сечений. При этом само поперечное сечение стабилизатора определяется двумя семействами точек {б!*': ' = 0,1,...,и} и {<2!н): / = 0,1,...,«}, принадлежащих соответственно верхней и нижней дужкам сечения. Теоретический контур сечений стабилизатора определяется процентным заданием координат точек (*,;>/'') и

относительно длины строительной хорды по формулам х. Х'

у[:]

100

100 v ' 100 1 ;

у] \ \г, ,

100 4 у ТОО 4 '

с . (") ^' уУ

-, где с - длина

строительной хорды, коэффициент к определяется равенством: к = 1+

2(г,-_-„)'

- аппликаты начального и конечного сечений, а значения х„ у1;"', у*"1 являются табличными. Для стабилизатора вертолета значения с, г,, соответственно равны 600 мм, 1045 мм, 0 мм.

На расстоянии А = 200 мм от носовой кромки стабилизатора по строительной хорде, профиль лонжерона стабилизатора имеет прямолинейный вертикальный участок. Для разворота ленты нам необходима технологическая часть оправки. Она состоит из переходной поверхности и поверхности законцовки. Законцовка будет представлять собой полусферу. Эти поверхности мы зададим с помощью точечных каркасов сечений, которые лежат в

плоскостях, параллельных координатной плоскости Оху=. В качестве области определения вектор - функции поверхности выберем квадрат [0;1]х[0;1].

На рисунке 8 а) показана поверхность технологической оправки и несколько уложенных на нее витков ленты. На рисунке 8 б) показан макет лонжерона, кривая намотки и две ее геодезические параллели. Как видно укладка нитей ленты происходит по геодезическим параллелям. Лента укладывалась по геодезической линии, которая выходила из точки поверхности с параметрами и=0,45; у=0,23 под углом 0° к сечению поверхности.

а) лонжерон и несколько витков ленты, полученные в компьютерной

модели

б) макет лонжерона, укладка нескольких витков ленты

Рисунок 8 - Верификация модели укладки ленты

Рассмотрим теперь пример анализа участка ленты длины 1500 мм. На рисунках 9 и 10 представлены графики функций г(г,<5)и ]/£©((,<5)|. Как видно из

представленных графиков, нити ленты будут равновесны для коэффициентов трения /л >0,1 и будут прилегать к поверхности для значений е^ >0,025.

Рассмотрим теперь моделирование выкладки вентиляторной лопатки авиадвигателя. Вентиляторная лопатка задается шестнадцатью сечениями по 60 точек в каждом. Лопатка работает в условиях сложнонапряжённого состояния. Основными являются центробежные нагрузки в результате высоких скоростей вращения (порядка 4000 об/мин). Кроме того, на лопатку действуют аэродинамические нагрузки от набегающего потока воздуха, которые вызывают

изгибные моменты и её кручение. Для противостояния растяжению от центробежных нагрузок и изгиба лопатку необходимо армировать углеродными волокнами, направленными вдоль оси Z (ось проходящая через ось вращения

двигателя и перпендикулярная ей). Основным требованием к крутильной стойкости является крутильная жёсткость лопатки, для чего необходимо армирование по направлениям ±45° к оси Z. Расчёты также показывают, что на лопатку действуют высокие сдвиговые межслоевые нагрузки, которые в отдельных частях детали выше предельных для существующих отечественных

углепластиков аэрокосмического

назначения. В основном эта проблема будет решаться материаловедческими и технологическими разработками. Однако.

Рисунок 11 - Выбор начальных для исключения дополнительных сдвиговых условий для геодезических межслоевых нагрузок, армирующие

волокна должны располагаться по

геодезическим линиям.

Семейство геодезических, соответствующих заданному слою, будем строить из точек заданной u-линии поверхности и двух v-линий (рисунок 11). Расстоянием d: между соседними геодезическими будем регулировать «зазоры» и «нахлесты» лент. Эти расстояния можно выбрать из решения задачи минимизации:

|| Ns(u,v,d,,...,dn^)dudv -> min, suppNä (w.v.rf,,...,^,) = [a,;i,]x [а2;£2].

Первое условие гарантирует уменьшение зон нахлестов, а второе не допускает образования зазоров. На рисунке 12 а) показана выкладка четырех лент на макет лопатки и зоны нахлестов лент для выбранного сечения лопатки. На рисунке 12 б) показан график функции /V„.(«,v) для выбранного сечения, а на рисунке 12 в) само сечение и зоны нахлестов, найденные в компьютерной модели. На рисунке 13 показано семейство геодезических для укладки первого слоя. Геодезические строились под углом 45° к оси Oz из сечения = = 125. На рисунке 14 показана перестройка сечения г = 175 поверхности после укладки трех слоев. Сплошной линией показан сглаживающий сплайн, пунктирной линией показано сечение поверхности, точки соответствуют Р^. На рисунке 15 показана перестройка поверхности после укладки трех слоев. При укладке второго слоя геодезические строились из точек сечения 5 = 26 под углом 90° к сечению. Третий слой укладывался аналогично первому.

а) макет лопатки, четыре ленты и зоны нахлестав для сечения 2=125

б) график функции М„.(и,\>) для сечения 2=125, полученный в компьютерной модели

1 I

I

! ;

! I

I

Сеченне г = 125.0000

в) сечение и зоны нахлестав, найденные в компьютерной модели Рисунок 12 - Верификация геометрической модели выкладки

13 - Семейство геодезических (первый слой)

Рисунок 14 - Перестройка Рисунок 15—Многослойная сечения поверхности после выкладка (перестроенная укладки трех слоев поверхность)

Толщина ленты была взята равной 0,4 мм. Видно, что есть самопересечение поверхности. Следовательно, есть участки на поверхности, где слои, выкладываемые на одну и другую части лопатки достигли друг друга.

Приложения содержат акты внедрения результатов автора и листинги программ, составляющих компьютерные модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Интенсивное внедрение в авиастроение процессов намотки и выкладки при изготовлении конструкций сложной геометрической формы из композиционных материалов требует создания качественно новых, повышающих уровень точности управляющих программ для намоточных и выкладочных станков с ЧПУ.

На основании приведенных исследований процессов намотки и выкладки мы можем выделить следующие этапы в создании конструкций из волокнистых композиционных материалов:

• Проектирование состава и структуры композиционного материала. Здесь осуществляется выбор самих волокон и полимерной основы;

• Определение оптимальной схемы армирования, так как для волокнистых композиционных материалов характерна анизотропия механических свойств. В оптимальной схеме волокна должны располагаться в направлениях прилагаемой нагрузки;

• Проектирование технологии производства изделия;

• Технологическая отработка изделия с выпуском экспериментальных образцов. Проверка соответствия свойств опытных образцов изделия из армированного композита результатам выполненных расчетов и заданным техническим требованиям. Корректировка конструкции материала и изделия;

Последний этап является экспериментальным. Если изделие не получается изготовить по заданной схеме армирования, то идет корректировка этой схемы. При этом осуществляются затраты на производство оправок, расход дорогостоящих композитов. Поэтому большую помощь в прохождении последнего этапа оказывает компьютерная модель процесса, в рамках которой можно дать качественный анализ выбираемой схемы армирования на предмет возможности изготовить данное изделие методами намотки или выкладки, получить геометрические характеристики конечной конструкции. Создание такой модели позволило бы корректировать схему армирования не после создания опытных образцов, а до них. В свою очередь это экономит дорогостоящие композиционные материалы, нет расходов средств на изготовление технологических оправок. Только после получения удовлетворительных результатов в компьютерной модели можно переходить к созданию опытных образцов. Компьютерная модель позволит также получить и законы движения исполнительных органов станка. Для создания такой компьютерной модели необходима наиболее точная и наиболее полная геометрическая модель процессов намотки и выкладки, учитывающая реальную структуру ленты.

На сегодняшнее время существуют геометрические модели процессов намотки и выкладки, но они предназначены либо только для поверхностей вращения, либо обладают рядом существенных недостатков и ограничений, которые были указанные во введении.

• Данная диссертационная работа посвящена иному взгляду, отличному от

существующих взглядов, на намотку и выкладку. Этот новый взгляд устранил

недостатки и ограничения существующих моделей и открыл перспективы более

детального и точного анализа схем армирования.

Итак, в диссертационной работе были получены следующие результаты:

1. Разработан новый математический аппарат для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов.

a. Получено разложение кубического сплайна по базисным сплайнам на равномерной сетке с явно выписанными коэффициентами разложения;

b. Дано конструктивное доказательство возможности введения на гладкой поверхности системы координат сколь угодно близкой к полугеодазической системе, для которой функции, связывающие новые координаты и криволинейные допускают явное задание;

c. Построена функция, определенная в точках поверхности технологической оправки, значение которой в каждой точке равно числу лент, накрывающих эту точку.

2. Созданы теоретические основы геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки, обобщающие все существующие методы моделирования этих процессов;

3. Дано конструктивное доказательство возможности единообразного описания технологических оправок, являющихся поверхностями зависимых сечений класса С2. Поверхности технологических оправок могут быть заданы различными параметрическими представлениями, могут состоять из нескольких отсеков. Поэтому наличие единообразного метода задания поверхностей существенно упрощает компьютерное моделирование процессов намотки и выкладки;

4. Разработаны теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки, где учитывается толщина ленты и ее положение на поверхности;

5. Разработаны методики анализа схемы укладки ленты на поверхность на предмет равновесности ленты и ее прилегания к ней;

6. Формализована проблема выбора закона изменения ширины ленты (при «мокрой» намотке) из условия уменьшения зон нахлестов лент и дан численный метод решения этой проблемы;

7. Построен закон движения нетераскладывающего механизма, учитывающий реальную структуру ленты и ее положение на поверхности;

8. Разработаны компьютерные модели, служащие для качественного анализа выбираемой схемы укладки ленты на поверхность на предмет возможности изготовить изделие по данной схеме армирования. В рамках этой модели можно получить не только анализ схемы, но и увидеть опытный образец изделия таким, какой он будет после его изготовления на станке. Таким образом, мы можем контролировать качество изготавливаемого изделия еще до его производства на станке;

9. На предприятиях авиационной промышленности внедрены и включены в системы автоматизированной подготовки управляющих программ разработанные в диссертации методы и алгоритмы определения равновесности нитей ленты на поверхности, прилегания ленты к поверхности оправки. Использование компьютерных моделей на предприятиях

авиационной промышленности доказало их эффективность в вопросах анализа и коррекции схем армирования еще до изготовления опытных образцов.

ПУБЛИКАЦИИ

В изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Битюков Ю.И., Калинин В.А., Токсанбаев М.С., Литвинов В.Б. Создание модели поверхности вентиляторной лопатки для перспективного двигателя нового поколения // Авиационная промышленность. -2007. -№2. - С. 7-11.

2. Битюков Ю.И., Калинин В.А., Токсанбаев М.С., Литвинов В.Б. Разработка схемы выкладки поверхности вентиляторной лопатки // Авиационная промышленность. - 2007. - № 3. - С. 10-17.

3. Битюков Ю.И., Калинин В.А., Токсанбаев М.С., Литвинов В.Б. Проектирование и изготовление вентиляторной лопатки методом многослойной выкладки для перспективного двигателя нового поколения // Авиационная промышленность. - 2008. - №2. - С. 25-27.

4. Битюков Ю.И. Моделирование технологического процесса намотки с помощью гладкого отображения прямоугольника в пространство R3 II Авиационная промышленность. - 2008. - №2. - С. 35-41.

5. Битюков Ю.И. Об одной характеристике схемы армирования // Авиационная промышленность. -2008. - №4. - С. 20-23.

6. Битюков Ю.И. Геометрическое моделирование технологического процесса выкладки // Полет. - 2008. - №10. - С. 36-41.

7. Битюков Ю.И. Создание математической модели многослойной выкладки // Полет. - 2009. - №3. - С. 44-48.

8. Битюков, Ю.И. О параметрах, характеризующих схему укладки ленты в процессе намотки // Вестник МАИ. -2009. -Т16.-№5. -С. 274-281.

9. Битюков Ю.И. Денискин Ю.И. Геометрическое моделирование многослойной намотки // Электронный журнал «Труды МАИ» (раздел «Машиноведение. Машиностроение»). - 2010. - Выпуск № 37. - Режим доступа в журн.: vvvvw.mai.ru/scieiice/trudv/

10. Битюков Ю.И. Денискин Ю.И. Геометрическое и компьютерное моделирование технологического процесса намотки // Электронный журнал «Труды МАИ» (раздел «Машиноведение. Машиностроение»). 2010. - Выпуск № 37. — Режим доступа в журн.: \vww.mai.ru/science/trudv/

11. Битюков Ю.И. Расчет характеристик схемы укладки ленты в процессе намотки оболочек из композиционных материалов при его геометрическом моделировании с помощью гладкого отображения прямоугольника в пространство// Омский научный вестник. -2010. -Ns2(90). - С. 128-131.

12. Битюков Ю.И. Представление кубического сплайна в виде разложения по B-сплайнам на равномерной сетке с явно выписанными коэффициентами разложения II Естественные и технические науки. -2010. -№3. - С. 304-308.

13. Битюков Ю.И. Технологический процесс выкладки конструкций из композиционных материалов и его компьютерное моделирование // Естественные и технические науки. — 2010. - №3. - С. 309-316.

14. Битюков Ю.И., Калинин В.А. Численный анализ схемы укладки ленты переменной ширины на технологическую оправку в процессе намотки

конструкций из композиционных материалов //Механика композиционных материалов и конструкций.-2010.-Т.16.-№2.-С. 276-290.

15. Бнтюков Ю.И. Определение закона движения раскладывающей головки намоточного станка по заданному рисунку укладки ленты на технологическую оправку в процессе намотки конструкций из композиционных материалов //Научный вестник Новосибирского государственного технического университета. - 2010. - №3 (40). - С. 51-59.

16. Битюков Ю.И., Денискин Ю.И. Об инструментах обеспечения качества конструкций из композиционных материалов, изготавливаемых методом намотки и выкладки // Качество инновации образование. - 2010. - №8(63). -С. 51-55.

В других изданиях;

17. Битюков Ю.И. Введение в компьютерную геометрию. Курс лекций.-М.: МГСГИ, 2005.-55 с.

18. Битюков Ю.И. Геометрическое моделирование технологических процессов намотки и выкладки. -М.: МАИ, 2007. - 88 е.: ил.

19. Битюков Ю. И. Геометрическое моделирование технологического процесса намотки с помощью гладкого отображения прямоугольника в пространство//Технологии Microsoft в теории и практике программирования. Тезисы докладов V Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых - Москва, 2008. - с. 84 — 86.

20. Битюков Ю.И. Гометрическое моделирование многослойной выкладки // Часть I. Материалы II Всероссийской студенческой научно-технической школы-семинара «Аэрокосмическая декада». Часть II. Материалы II Всероссийской научно-практической студенческой школы-семинара «Компьютерный инжиринг в промышленности и ВУЗах», посвященной 80-ти летаю МАИ.-М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009.-С.53-57.

21. Бкпоков Ю. И. Моделирование поверхностей законцовок с использованием В-сплайнов // Тезисы докладов VII-Всероссийской конференции по компьютерной геометрии и графике. - Нижний Новгород, 1997.-с46 - 47.

22. Битюков Ю. И. Моделирование поверхностей по точечному каркасу сечений // Межвузовский сб. науч. тр./МГСГИ. - Москва, 2005.-C.75-79.

23. Калинин В. А., Битюков Ю.И. Намотка лонжерона стабилизатора по линии откоса // Проблемы методологии и методики применения компьютерных технологий в дисциплинах начертательной геометрии и инженерной графики. Тезисы конференции / МГИЭТ-ТУ. - Зеленоград, 1995. - С.96 - 98.

24. Калинин В. А., Битюков Ю.И. Способ моделирования поверхностей сплайнами без заданных производных в концевых точках // Роль геометрии в искусственном интеллекте и системах автоматизированного проектирования: доклады науч.-техн. конф./ ВСГТУ. - Улан-Удэ: 1996. - С. 130 - 133.

25. Калинин В.А., Битюков Ю.И. Разработка системы автоматизированного проектирования поверхностей законцовок для технологических оправок, используемых в процессе намотки//Совершенствование учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации. Научно-методический сборник докладов семинара по организации Всероссийского конкурса учащихся и студентов по черчению и компьютерной графике. - Саратов, 1997. -С. 130-131.

Подписано в печать 25.12.2010 Формат 60x84/16 Бумага писчая Гарнитура Times New Roman Оперативный способ печати Уч.-печ. л. 2,25 Тираж 120 экз. Заказ № 247 Цена договорная

Полиграфический центр КАН г. Омск, пр. Мира, 34 Тел.: (381-2) 65-47-31 e-mail: pc_kan@mail.ru Лицензия ПЛД № 58-47 от 21.04.97 г

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

В. 1 Композиционные материалы и их типы.

В. 2 Место композиционных материалов в промышленности.

В. 3 Производство конструкций из композиционных материалов методами намотки и выкладки.

В. 4 Обзор методов геометрического и компьютерного моделирования процессов намотки и выкладки.

В. 5 Постановка задачи исследования.

1 ОБЗОР И АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НАМОТКИ И ВЫКЛАДКИ.

1.1 Геометрическая модель процесса намотки.

1.2 Расчет угла геодезического отклонения.

1.3 Условие прилегания ленты к поверхности.

1.4 Вычислительные формулы для параметров, характеризующих технологический процесс намотки.

Выводы к главе 1.

2 РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ДЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НАМОТКИ И ВЫКЛАДКИ.

2.1 Описание класса, рассматриваемых поверхностей.

2.2 Явное представление кубического сплайна в виде линейной комбинации В - сплайнов для различных граничных условий.

2.3 Методология введения на поверхности системы координат близкой к полугеодезической.

2.4 О еще одном способе построения функций и(1,5), У(^5) сколь угодно близких к ип(^5), УпОД).

2.5 Построение функции JVw для количественного определения числа лент, накрывающих произвольную точку поверхности.

Выводы к главе 2.

3 ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ НАМОТКИ И ВЫКЛАДКИ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

3.1 Геометрическая модель укладки ленты из однонаправленных волокон на поверхность оправки.

3.2 Вычислительные формулы для параметров, характеризующих схему укладки ленты в процессе намотки.

3.3 О некоторых особенностях моделирования укладки ленты на технологическую оправку.

3.4 Намотка по геодезической линии.

3.5 Намотка по кривой откоса.

3.6 О выборе начальных условий для построения кривой намотки.

3.7 Определение закона движения раскладывающей головки намоточного станка по заданному рисунку укладки ленты на технологическую оправку.:.

3.8 Геометрическое моделирование технологического процесса выкладки.

3.9 Определение закона изменения ширины ленты при намотке ровницей.

Выводы к главе 3.

4 МЕТОДОЛОГИЯЕДИНООБРАЗНОГО ОПИСАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОПРАВОК, ПРИМЕНЯЕМЫХ В ПРОЦЕССАХ НАМОТКИ И ВЫКЛАДКИ.

4.1 Методика моделирования поверхностей по точечному каркасу сечений с использованием кубических В — сплайнов.

4.2 Аппроксимация поверхностей технологических оправок поверхностями определяемыми точечными каркасами сечений.

4.3 Конструирование технологической части оправки.

Выводы к главе 4.

5 ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОСЛОЙНОЙ НАМОТКИ И ВЫКЛАДКИ.

5.1 Существующая модель учета толщины ленты. Ее анализ и модификация.

5.2 Геометрическое моделирование многослойной намотки.

5.3 Многослойная выкладка.

Выводы к главе 5.

6 КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НАМОТКИ И ВЫКЛАДКИ.

6.1 Программа GMWinding.

6.2 Программа GMSpread.

Выводы к главе 6.

7 ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАМОТКИ ЛОНЖЕРОНА СТАБИЛИЗАТОРА ВЕРТОЛЕТА И ВЫКЛАДКИ ВЕНТИЛЯТОРНОЙ ЛОПАТКИ.

7.1 Проектирование и изготовление вентиляторной лопатки для перспективного двигателя нового поколения.

7.2 Намотка лонжерона стабилизатора вертолета.

Выводы к главе 7.

Совершенствование и разработка новых конструкций, применяемых в авиационной и ракетно-космической технике, энергетике, машиностроении и других отраслях промышленности в значительной мере связаны с использованием композиционных материалов (КМ). Композиционные материалы обладают свойствами и особенностями, отличающимися от свойств традиционных конструкционных материалов и в совокупности открывающими широкие возможности как для совершенствования существующих, так и для разработки новых конструкций и технологических процессов.

Композиционные материалы обеспечивают оптимальные физико-механические характеристики конструкций: легкость, прочность, антикоррозийность, кислотостойкость [45,51,115,140,153].

В настоящее время технология производства элементов летательных аппаратов (ЛА) из композиционных материалов развивается опережающими темпами практически во всех промышленно развитых странах.

Данная работа посвящена проблеме моделирования двух из самых совершенных методов получения конструкций из композиционных материалов - технологических процессов намотки и выкладки.

В.1 Композиционные материалы и их типы

Композиционный материал - неоднородный сплошной материал, состоящий из двух или более компонентов, среди которых можно выделить армирующие элементы (упрочнители), обеспечивающие необходимые механические характеристики материала, и матрицу (связующее), обеспечивающую совместную работу армирующих элементов [13].

Возможности создания композитов практически неисчерпаемы, поскольку велико число сочетаний, которое можно сделать из огромного количества компонентов, пригодных для их получения. Причем, это количество сочетаний следует еще умножить на число различных структур компонентов, которые можно получить, управляя их формированием путем изменения технологии изготовления материалов. Как правило, стоимость композиционных материалов очень высока, что связано со сложностью технологических процессов их производства и высокой ценой используемых компонентов.

По характеру структуры КМ подразделяются на волокнистые, упрочнённые непрерывными волокнами и нитевидными кристаллами, дисперсно-упрочнённые материалы, полученные путём введения в металлическую матрицу дисперсных частиц упрочнителей, слоистые материалы, созданные путем прессования или прокатки разнородных материалов. Комбинируя объемное содержание компонентов, можно, в зависимости от назначения, получать материалы с требуемыми значениями прочности, жаропрочности, модуля упругости, а также создавать композиции с необходимыми магнитными, диэлектрическими, радиопоглощающими и другими специальными свойствами [13,14].

Композиты или композиционные материалы могут создаваться на полимерной, металлической и керамической матрице [13,14].

1. Композиционные материалы с металлической матрицей состоят из металлической матрицы (чаще А1, N1 и их сплавы), упрочненной высокопрочными волокнами (волокнистые материалы) или тонкодисперсными тугоплавкими частицами, не растворяющимися в основном металле (дисперсно-упрочненные материалы). Металлическая матрица связывает волокна (дисперсные частицы) в единое целое.

2. Композиционные материалы с неметаллической матрицей нашли широкое применение. В качестве неметаллических матриц используют полимерные, углеродные и керамические материалы. Из полимерных матриц наибольшее распространение получили эпоксидная, фенолоформальдегидная и полиамидная. Матрица связывает композицию, придавая ей форму. Упрочнителями служат волокна: стеклянные, углеродные, борные, органические, на основе нитевидных кристаллов (оксидов, карбидов, боридов, нитридов и других), а также металлические (проволоки), обладающие высокой прочностью и жесткостью.

Свойства композиционных материалов зависят от состава компонентов, их сочетания, количественного соотношения и прочности связи между ними. Армирующие материалы могут быть в виде волокон, жгутов, нитей, лент, многослойных тканей. Содержание упрочнителя в ориентированных материалах составляет 60-80%, в неориентированных (с дискретными волокнами и нитевидными кристаллами) — 20-30 %. Чем выше прочность и модуль упругости волокон, тем выше прочность и жесткость композиционного материала. Свойства матрицы определяют прочность композиции при сдвиге и сжатии и сопротивление усталостному разрушению [13,14,46].

В волокнистых композиционных материалах, производству конструкций из которых и посвящена диссертационная работа, волокна воспринимают основные напряжения, возникающие в композите при действии внешних нагрузок, и обеспечивают прочность и жесткость композиции в направлении ориентации волокон. Матрица, заполняющая межволокнистое пространство, обеспечивает совместную работу отдельных волокон за счет собственной жесткости и взаимодействия, существующего на границе раздела матрица -волокно [13,14,143]. Механические свойства волокнистого композиционного материала определяются тремя основными параметрами: высокой прочностью армирующих волокон, жесткостью матрицы и прочностью связи на границе матрица-волокно. В таблице 1 приведены некоторые свойства волокон. Диаметр непрерывных волокон обычно составляет 3—200 мкм.

В узлах конструкций, требующих наибольшего упрочнения, армирующие волокна располагаются по направлению приложенной нагрузки. Цилиндрические изделия и другие тела вращения (например, сосуды высокого давления) армируют волокнами, ориентируя их в продольном и поперечном направлениях. Увеличение прочности и надежности в работе цилиндрических корпусов, а также уменьшение их массы достигается внешним армированием узлов конструкций высокопрочными и высокомодульными волокнами, что 7 позволяет повысить в 1,5—2 раза удельную конструктивную прочность по сравнению с цельнометаллическими корпусами. Упрочнение материалов волокнами из тугоплавких веществ значительно повышает их жаропрочность. Например, армирование никелевого сплава вольфрамовым волокном (проволокой) позволяет повысить его жаропрочность при 1100 С в 2 раза.

Таблица 1 - Свойства армирующих волокон [13]

Волокно Плотность, кг/м3 Диаметр, мкм Модуль упругости Прочность при растяжении Ог+, ГПа Удлинение при разрыве Erna« °/о

Борные волокна

США, Avco (B/W) 2,5-10"3 98 390-4000 3,39 0,85

Япония, Toshiba (B/W) 2,5-10"3 97,2-99 363-393 3,23-3,74 0,84-1

Россия (B/W) 2,5-10"3 192-198 394 2,95-3,5 0,75-0,9

Углеродные волокна (высокая стоимость)

ВМН-4 1710 6 270 2,21 0,8-1,3

Кулон» 1900 6 400-600 2

ЛУ-2 1700 6 230 2-2,5

Урал-15» 1500-1600 6 70-80 165-167

Органические волокна

Армос (Россия, ВНИИПВ) 1450 -12 14-142 5000-5500 3,5-4,5

Кевлар-129 (США, «Дюпон») 1440 -12 75-98 3200 3,6

Спектра-900», (США, «Эллаяд») 970 -12 50-120 2570 3-6

Стеклянные волокна

Стеклянные 2400-2600 3-19 69-86 1724-4585 4,5-5,6

Композиционные материалы, имеющие полимерную матрицу, называются полимерными композитами [46,156,175]. Полимерные композиционные материалы являются одним из наиболее важных и широко используемых классов современных конструкционных материалов. Полимерные композиты, наполненные длинными волокнами или волокнистыми текстильными материалами, называются армированными пластиками.

К достоинствам армированных пластиков относятся:

• высокая прочность при низкой плотности, что позволяет заменять сталь в конструкциях машин и механизмов;

• устойчивость к воздействию агрессивных сред, что обеспечивает изделиям из них длительные сроки эксплуатации без применения защитных покрытий;

• низкая материалоемкость изготовленных из них изделий, что позволяет снизить массу и расходы на эксплуатацию мобильной техники;

• высокая технологичность, заключающаяся в возможности изготовления крупногабаритных изделий сложной формы без дорогостоящей технологической оснастки и оборудования;

• возможность регулирования в широких пределах тепло- и электропроводности, радио- и светопрозрачности в зависимости от типа применяемых армирующих волокон;

• низкие капитальные затраты на организацию производства изделий из армированных пластиков;

• работоспособность в широком диапазоне температур и напряжений.

К признакам классификации армированных пластиков относятся:

• химическая природа связующего; оно может быть термореактивным или термопластичным, от чего зависят многие эксплуатационные свойства армированных пластиков, например, отношение к растворителям, теплостойкость и другие, а также возможность рационального использования отходов их производства и потребления;

• тип армирующего волокна; широко используются стеклянные, угольные, органические, базальтовые, борные и другие волокна;

• форма армирующих элементов; они могут быть в виде волокон, нитей, жгутов, матов, тканей, пленок, лент;

• схемы армирования, которые бывают одно-, двух- и трехмерные; возможно также хаотичное армирование дискретными волокнами;

• степень армирования; в зависимости от типа армирующего материала она может быть низкой, высокой и предельной. При низкой степени армирования содержание волокон не превышает 40 % по массе; при высокой степени армирования содержание волокон может достигать 75-92 % по объему. Предельное армирование осуществляется вообще без связующего путем оплавления части полимерных волокон, содержание которых в исходной композиции составляет 100% (так называемое «перепрофилирование волокон»);

• назначение; по этому признаку армированные полимерные композиты подразделяют на высокопрочные, морозостойкие, теплостойкие, трудногорючие, электротехнические, износостойкие и др.;

• технология производства; армированные полимерные материалы получают литьем под давлением, экструзией, намоткой, напылением, пултрузией, выкладкой и другими способами.

Наибольшее распространение получили армированные полимерные композиты с использованием в качестве арматуры текстильных материалов на основе стекловолокна, что связано с его доступностью, низкой стоимостью и высокими прочностными свойствами. Некоторые свойства стеклопластиков показаны в таблице 2 [46,139,159,160,170,171,181].

Увеличение требований к армированным материалам привело к использованию в полимерных композитах сначала углеродных, а позднее органических высокомодульных волокон. Этого требовало создание современной ракетно-космической и авиационной техники, необходимость снижения ее массы и одновременного повышения прочности и выносливости, а также обеспечения специальных технических свойств.

Таблица 2 - Свойства стеклопластиков на основе некоторых связующих

Наименование 1 показателя Единица измерения Значение показателя для стеклопластиков на основе различных смол

Полиэфирная Эпоксидная Фенолформ-альдегидная

Плотность г/см3 1,4-1,75 1,6-1,9 1,5-1,8

Прочность при растяжении МПа 140-450 400-600 300-500

Прочность при статическом изгибе МПа 150-500 400-800 200-600

Прочность при ¡сжатии МПа 150-300 200-400 100-300

Модуль упругости при растяжении ГПа 11-25 22-32 18-25

Наряду с разработкой новых материалов совершенствовались и технологии изготовления изделий из армированных композиционных материалов. Были разработаны высокопроизводительные технологии, позволяющие получать изделия с высокими эстетическими свойствами и меньшими отходами производства способами намотки, пултрузии, впрыска в закрытую форму и др [13].

Таким образом, потребности промышленности в более совершенных материалах и технологиях с одной стороны, и возможности, появившиеся при создании новых сырьевых материалов и оборудования с другой стороны, способствовали расширению применения армированных пластиков в различных отраслях экономики.

Особый интерес представляет производство из армированных полимерных композитов пустотелых изделий оболочковой формы. Как правило, такие изделия изготавливаются путем намотки на оправку, которая может быть: неразборной; разборной; выплавляемой; разрушаемой; выжигаемой; надувной; комбинированной [13,169].

Неразборная оправка используется при изготовлении изделий, открытых хотя бы с одного торца и позволяющих извлечение оправки. Такая оправка

11 используется многократно. Использование оправки такого типа ограничено конструкцией изделия и во многих случаях невозможно. Формование крупногабаритных изделий с применением неразборной оправки затруднено также в связи с необходимостью приложения больших усилий для ее выемки из отформованного изделия.

При невозможности осевого извлечения оправки из готового изделия сложной формы ее делают разборной. Разборные оправки имеют высокое качество поверхности, легко извлекаются из готового изделия, используются многократно, но стоят довольно дорого.

Разрушаемые оправки имеют одноразовое применение, изготавливаются из относительно прочного, но в то же время легко разрушаемого материала, например, гипса. Стоимость их высока, а после разрушения оправки ее куски подлежат уничтожению.

Для изготовления одноразовых оправок возможно использование песчано-смоляных композиций и легкоплавких материалов. Такие оправки удобны в работе, т.к. их изготовление достаточно просто, а материалы для их производства могут быть использованы многократно.

Выплавляемые оправки могут быть использованы только при производстве изделий из армированных композитов на основе связующего холодного отверждения. Особые преимущества оправки из выплавляемых материалов возникают при изготовлении изделий со сложной поверхностью, с полостями и каналами.

Выжигаемые оправки изготавливают из легкогорючих материалов низкой плотности, например, из пенополистирола. Они дешевы, т.к. расход материалов на их производство невелик, а технология изготовления проста. Такие оправки также удобно использовать для производства изделий сложной формы, имеющих полости.

И, наконец, надувные оправки изготавливают из эластичных материалов, например, резины. Такие оправки надуваются воздухом и могут служить в качестве оснастки для производства оболочковых конструкций из

12 полимерных композитов. Однако применение надувных оправок ограничивается возможностями получения изделий с точными размерами и рядом других технологических причин.

Особенности армированных композиционных материалов предполагают совмещение двух важнейших процессов: производства самого материала и производства изделия из него. При конструировании изделий из композиционных полимерных материалов следует сформулировать технические требования к ним, после чего сопоставить эти требования с реальными возможностями материала. Зная технические требования к материалу, необходимо спроектировать его состав и структуру. Под этим подразумевается, во-первых, выбор полимерной основы, отвердителя, катализатора отверждения и их соотношение в полимерной композиции, используемой в качестве связующего. Кроме того, состав материала определяется природой и структурой армирующего наполнителя, который должен быть выбран при проектировании.

Необходимо не только выбрать тип и природу армирующего материала, но и определить оптимальную схему армирования [143], поскольку для пластиков, имеющих в своем составе непрерывный наполнитель в виде волокна, нетканого полотна (мата) или ткани, характерна значительная анизотропия механических свойств. Наибольшее различие свойств проявляется в однонаправленных армированных материалах. Так, для стеклопластиков прочность вдоль волокон составляет 2000 МПа, в то время как в перпендикулярном направлении всего 40 МПа, т.е. в 50 раз меньше. Правильный выбор схемы армирования с учетом условий эксплуатации изделия и вектора прилагаемой нагрузки позволяет многократно увеличить его эксплуатационную долговечность. Итак, регулируя состав связующего, тип наполнителя и схему армирования, возможно уже на стадии проектирования армированного композиционного материала создать предпосылки для получения изделия с необходимыми эксплуатационными характеристиками.

После этого следует спроектировать технологию производства изделия, поскольку на его свойства будут влиять: температура и влажность исходного сырья; температура отверждения связующего; давление формования; режим постотверждения отформованных изделий. При расчете состава и структуры материала и изделия пользуются эмпирическими формулами и соответствующим программным обеспечением. Расчеты, выполненные при проектировании материала и изделия, базируются на известных для соответствующих материалов характеристиках и их зависимостях от тех или иных параметров состава и структуры армированного композиционного материала.

На следующем этапе конструирования проводится технологическая отработка изделия с выпуском экспериментальных образцов. На этом этапе проверяется соответствие свойств опытных образцов изделия из армированного композита результатам выполненных расчетов и заданным техническим требованиям. После этого при необходимости проводится корректировка конструкции материала и изделия. При наличии компьютерной модели процесса производства конструкции из композиционных материалов можно перед этим этапом отработать оптимальную схему армирования в этой компьютерной модели. И только после получения удовлетворительных результатов переходить к производству опытных образцов. В этом случае мы существенно экономим дорогостоящие композиты и не затрачиваемся на производство оправки. На рисунке 1 показана блок-схема производства конструкций из армированных пластиков и место компьютерной модели в этой схеме. Заметим, что исследование свойств новых КМ — дорогостоящая и трудоемкая задача. Не менее сложна задача конструирования изделий из КМ. Чтобы в совершенстве овладеть процессом конструирования изделий из КМ, специалисту требуется 15-20 лет [13].

При конструировании армированных полимерных композиционных материалов широко используется компьютерная обработка данных. Большое число и разнообразие программных продуктов для технологического и

14 конструкционного проектирования изделий из армированных композитов свидетельствует о том, что использование программного обеспечения стало необходимым элементом композитной индустрии.

Программы позволяют повышать качество продукции, сокращать длительность разработки и организации производства изделия, комплексно решать задачи его оптимизации.

Армированные пластики

1

Производство 11роизводство материала изделия

Оптимальная схема армирования

Проверка соответствия коррекция опытных образцов результатам расчетов композиты изготовление оправки

Компьютерная модель

Рисунок 1 - Блок - схема производства конструкций из армированных пластиков

В.2 Место композиционных материалов в промышленности

Благодаря уникальным технологическим и эксплуатационным свойствам армированные волокнистыми наполнителями пластики находят широкое применение в различных отраслях экономики: в авиа- и ракетостроении, автомобиле- и судостроении, строительстве и в энергомашиностроении, для производства спортивного инвентаря и продукции культурно-бытового назначения, медицинских изделии, произведений искусства идр [1,13,14,116120,153,156,159,167,176].

Первыми армированными пластиками, нашедшими широкое промышленное применение, были стеклопластики. Объемы их использования и сегодня намного опережают применение других армированных пластмасс [167]. Особенно интенсивно растет использование стеклопластиков на основе термопластичных полимеров, что связано с относительной простотой утилизации отходов и отработавших свой ресурс изделий из этих материалов. Такой опережающий рост потребления стеклопластиков на термопластичной матрице характерен, прежде всего, для стран Западной Европы, где вопросам защиты окружающей среды (в том числе и от отходов) уделяется большое внимание. Основными потребителями стеклопластиков являются США и страны Западной Европы. На рисунке 2 показана диаграмма мирового использования стекловолокна на 2002 год [167].

Применение стеклопластиков началось в конце 40-х годов прошлого столетия в конструкции самолетов. Вскоре они нашли рациональное применение не только в авиации, но и в судо- и автомобилестроении [13]. В настоящее время корпуса практически всех маломерных судов длиной до 20 м (моторных и парусных лодок, яхт и др.) изготавливают из стеклопластиков. Такие корпуса помимо высоких эстетических свойств, обладают при малой массе чрезвычайно высокими прочностью, жесткостью, долговечностью и надежностью. Кроме этого, они обладают высокой герметичностью, водостойкостью, коррозионной стойкостью и другими преимуществами. Польский филиал компании Еигов

Остальные регионы

Ают

30"»

Рисунок 2 - Мировое использование стекловолокна на 2002 год [167]

РоЬка производит ветряные лопасти из армированного стеклопластика на заводе площадью 4 тыс. м . Изделия завода используются в планерной промышленности [117].

Широко используются стеклопластики для изготовления деталей внутренней облицовки автобусов, троллейбусов, вагонов метро и электропоездов благодаря своим антивандальным свойствам, устойчивости к воздействию воды и других сред, а также высокой огнестойкости.

Несколько позже, в начале 50-х годов, на стеклопластик обратили внимание архитекторы и строители, которых привлекли неограниченные возможности цветовых и геометрических решений, связанные с использованием этих материалов. В последние годы из стеклопластиков изготавливают изделия санитарно-технического и спортивного назначения. Из них производят ванны, бассейны, корпуса фильтров для очистки воды бассейнов, водные горки, всевозможные аттракционы для аквапарков и другое оборудование. Композиционные материалы широко используются в отделке интерьеров медицинских комнат, ресторанов, банков и т.д. [116]. 28 апреля 2009 года «Дюпон» торжественно открыл в Праге новый Центр дорожных покрытий, работа которого сосредоточена на модификации битумов при помощи химически активных модификаторов БиРоШТМ Е1уа1оу. Полимеры Е1уа1оу после смешивания с битумом значительно улучшают эксплуатационные характеристики асфальтобетона, что позволяет увеличить срок службы дорожного покрытия больше чем на 50% и сократить издержки на обслуживание дороги более чем на 30% по сравнению с обычными битумами. Асфальты, модифицированные полимерами Е1уа1оу, образуют дорожное покрытие с улучшенными эксплуатационными свойствами, увеличенным сроком службы, большей устойчивостью к растрескиванию, усталостному и химическому разрушению [118].

Основные области применения углепластиков связаны с такими их свойствами, как высокие удельная прочность и жесткость, усталостная прочность, тепло- и электропроводность, низкий коэффициент трения, регулируемая анизотропия свойств, устойчивость к термическому и радиационному воздействию. Изделия из этих материалов изготавливаются в виде монолитных конструкций сложной формы. Изготовление из углепластиков крупногабаритных панелей летательных аппаратов позволяет снизить их массу на 20-40 %, повысить жесткость на 50 %, в несколько раз увеличить выносливость и т.п. Это дает возможность повысить топливную экономичность и уменьшить загрязнение окружающей среды, т.к. более легкий самолет при полете сжигает меньше топлива [13]. Именно поэтому армированные полимеры и, прежде всего, углепластики заняли преобладающее место в конструкции самолета Боинг 787 Б11ЕМЬМЕК. Он более чем на 50% состоит из композитов [118]. В таблице 3 представлены данные по использованию углепластиков в самолетах серии МиГ.

Таблица 3 - Применение углепластиков в самолетах серии МиГ [13]

Тип самолета Масса углепластиков, кг Снижение массы конструкции за счет применения композитов, кг

МиГ-29 90 105

МиГ-29м 137 140

МиГ-31 156 175

МиГ-Х 790 750

Такое высокое содержание армированных пластиков в новейших самолетах явилось следствием их использования для изготовления фюзеляжа, хвостового оперения, рулей управления, наконечников крыльев, горизонтального стабилизатора и других крупногабаритных и чрезвычайно ответственных узлов и деталей. Использование армированных пластиков благодаря технологической простоте позволяет изготавливать летательные аппараты удивительной формы с поверхностью, поражающей своим эстетическим и техническим совершенством.

Важной областью применения армированных полимерных материалов в авиастроении явилось их использование для изготовления радиопрозрачных и радиопоглощающих оболочек военных машин [120]. Радиопрозрачные материалы должны обладать высокими диэлектрическими характеристиками. Диэлектрическая проницаемость должна приближаться к значению, характерному для воздуха. Этому требованию удовлетворяют стеклопластики, а также сотовые конструкции, изготовленные из стеклопластиков. Радиоэкранирующие материалы, наоборот, должны поглощать радиочастотные излучения. Экранирование от радиочастотного излучения достигается применением высокоэлектропроводных материалов - полимерных композитов, армированных углеродными волокнами.

Не осталось в стороне от технологического прогресса и автомобилестроение [13]. Сегодня многие ведущие фирмы стремятся использовать углепластики в конструкции выпускаемой ими техники. Так, фирма Mercedes-Benz изготавливает автомобиль McLaren SLR с углепластиковым кузовом, который весит на 50 % меньше стального и на 30 % меньше алюминиевого. А использование углепластиковых крыш и и бампера позволило повысить устойчивость автомобиля BMW Мб на дороге при больших скоростях движения, т.к. позволило опустить центр его тяжести. Фирма Honda изготавливает из углепластика воздухозаборники некоторых моделей автомобилей. Масса таких воздухозаборников на 75 % меньше массы аналогичных деталей из алюминиевого сплава.

Предполагается использование углепластиков для изготовления следующих деталей автомобилей: листовых рессор, лонжеронов и поперечин рам, элементов крепления двигателя и коробки передач, рычагов подвески, карданного вала, шатунов, поддона картера двигателя и др. Для снижения стоимости деталей автомобилей из композитов применяют в качестве армирующих материалов комбинацию из углеродных и стеклянных волокон. Широко используются углепластики для производства корпусов ракетных двигателей. Такие изделия производят намоткой в виде коконов, они имеют

19 высокую прочность, термостойкость и устойчивость к агрессивным средам [13,46].

Лучший спортивный инвентарь с низкой массой и очень высокой прочностью также делают из углепластиков. Это спортивные ракетки, велосипеды, лыжи, хоккейные клюшки, лодки и «каноэ» и др.

В.З Производство конструкций из композиционных материалов методами намотки и выкладки

Как отмечалось выше, в современных композитах используют тонкие диаметром (5-200)-1СГ6 м непрерывные волокна. Элементарные волокна собирают непосредственно в процессе их производства в параллельные пучки (первичные нити), из которых организуют в дальнейшем нити, жгуты, однонаправлено - волокнистые ленты (ленточные полуфабрикаты), ткани с различными типами плетения. Волокна должны удовлетворять целому ряду эксплуатационных и технологических требований. К первым относятся требования по прочности, жесткости, плотности и стабильности свойств в процессе эксплуатации. Еще одним важным требованием является совместимость материала волокон с материалом матрицы. При этом совместимыми считаются компоненты, на границе которых возможно достижение прочной связи, близкой к прочности матрицы.

Современное производство элементов конструкций из полимерных композитов в значительной мере ориентируется на препреговую технологию изготовления изделий. Суть этой технологии состоит в использовании промежуточного полуфабриката препрега. Препрег, полученный на специальных пропиточных установках, обладает наивысший качеством пропитки наполнителя связующим, минимальными механическими повреждениями наполнителя, равномерным "наносом" связующего в наполнитель при оптимальном процентном содержании связующего. Готовый препрег обычно представляет собой рулоны или пакеты ленточного калиброванного материала с разделительной пленкой между слоями. Отсутствие липкости при нормальной температуре (20 ±10°С) дает возможность автоматизировать процесс нанесения препрега методами намотки, выкладки, сделать технологически "чистыми" процессы ручной выкладки сложных изделий [57,58].

В настоящее время конструкции с использованием волокнистых материалов изготавливаются многими технологическими способами, среди которых наибольшее распространение получили два способа с принципиально отличными друг от друга технологиями — способ непрерывной намотки волокон или жгутов и способ формования с многочисленными его разновидностями. Каждая из этих технологий влияет на локальные свойства получаемого композиционного материала и на конструкционные свойства получаемых изделий и имеет свои преимущества и недостатки, что в основном определяет области их применимости.

Непрерывная намотка волокон (или ленты из волокон) производится на оправку, которая обычно имеет конфигурацию внутренней поверхности будущей конструкции. Волокна при намотке укладываются с некоторым натяжением, что обеспечивает «прямолинейность» волокон и плотную укладку. Как правило, намотка производится путем автоматической укладки волокон, что обеспечивает стабильность выходных прочностных, физических и геометрических параметров получаемой конструкции. После получения необходимой толщины и структуры оболочки производится полимеризация, окончательное отверждение связующего. Оправка может быть удалена или использована как часть конструкции [123,140,181,169].

Использование данного способа создания конструкций из композиционных материалов позволяет ставить задачи их оптимизации еще в процессе проектирования. Следует указать, что оптимизация или рациональное использование волокнистого материала предполагает и «оптимальный или расчетный» рисунок укладки, и оптимальную конструктивную геометрию.

Как правило, метод намотки позволяет реализовать рисунки укладки волокон, находящихся в классе не соскальзывающих линий на поверхностях, описывающих форму будущего изделия. Такими линиями, как правило, являются геодезические линии на поверхности либо линии на поверхности, отличающиеся от геодезических в пределах обеспечения за счет трения устойчивости наматываемой линии на заданной физической поверхности. Как уже отмечалось, автоматизированная непрерывная намотка лент, прядей, жгутов армирующего материала обеспечивает при большой промышленной производительности максимальную реализацию прочностных и физических свойств используемых материалов в создаваемых изделиях промышленного назначения.

По исходному состоянию наматываемой ленты различают «сухую» и «мокрую» намотки [58]. Если намотка осуществляется армирующими элементами, пропитанными связующим непосредственно перед укладкой на оправку, то она называется «мокрой» намоткой. Намотка с помощью предварительно пропитанных и подсушенных жгутов или лент (препрегов), носит название «сухой» намотки. Перед укладкой эти жгуты проходят через горячие валки или через нагревательную камеру и в размягченном виде укладываются на оправку. Так как физико-механические характеристики изделий из КМ зависят от толщины и равномерности слоя связующего, от глубины его проникновения между волокнами, от степени полимеризации связующего в подсушенных заготовках, то чаще всего используется «сухая» намотка, позволяющая легче контролировать степень армирования изделия при намотке и отверждении и более равномерно распределять связующее по толщине стенки изделия.

Свойства изделий, получаемых методом намотки, зависят от многих условий: физико-механических свойств используемых композиционных материалов, точности моделирования поверхности оправки, качества отработки расчетных траекторий, точности укладки ленты на оправку, возможностей намоточного оборудования [5], [17,18,19], [66,67], [73], [93], [95], [101,102], [108], [115,121,122], [127], [140], [143], [172], [180], [191,192,193,194].

Отметим, что в родственном процессу намотки процессе автоматизированной выкладки, осуществляемом на станках с числовым программным управлением, на поверхность оправки, как правило, с помощью прижимных устройств, укладывается достаточно широкая лента, составленная из однонаправленных волокон, нитей, куски которой отрезаются с помощью специального устройства до или после укладки [57].

Принципиальная схема станков, используемых для реализации методов намотки и выкладки, показаны на рисунках 3-5.

Отличительной особенностью используемых при намотке нитей или жгутов волокнистого материала является их структура. Используемые в ленте нити или жгуты состоят из многочисленных элементарных микроволокон. Количество их в нити достигает 1000.

В силу такой структуры в нити содержится большое количество микропор, которое, как правило, составляет минимум 22% от объема, занимаемого нитью. При пропитке таких нитей основной задачей является замещение воздуха и влаги, находящихся в данных микропорах, используемым связующим. Из-за микроскопических размеров пор между волокнами при процессе замещения действуют законы капиллярного эффекта, приводящие к тому, что для замещения существующего в капиллярах воздуха и влаги необходимо воздействие на нить высоких градиентов давлений. Все это осуществляется в пропиточных устройствах (рисунок 4) [57]. При этом, наиболее целесообразно использовать связующие с низкой вязкостью и коэффициентом поверхностного натяжения.

Как правило, при намотке исполнительные органы намоточного станка движутся неравномерно, создавая переменные усилия в укладываемой ленте нитей. Такие неравномерные колебания усилия натяжения нитей приводят к некачественной пропитке и намотке. Для исключения данного отрицательного эффекта используют различного рода стабилизаторы и компенсаторы натяжения нитей, которые совмещаются с устройствами для хранения нитей (шпулярниками).

Для непосредственной укладки армирующих лент по заданным траекториям на оправке в конструкциях станков используют также различные конструктивные схемы раскладывающих головок. Типовые схемы таких головок представлены на рисунок 6 [58].

Для реализации укладки армирующих нитей по некоторым заданным траекториям на оправках с поверхностями общего вида могут быть использованы следующие движения исполнительных органов станка [58] (рисунок 3):

• вращательное движение оправки (характеризуется угловой координатой ±х);

• поступательно - возвратное движение центра раскладочной головки вдоль оси вращения оправки (характеризуется координатой ±у );

• поступательно-возвратное движение центра раскладочной головки в плоскости, перпендикулярной оси вращения оправки (характеризуется координатой ± г );

• поступательно-возвратное движение центра раскладочной головки в плоскости, перпендикулярной оси вращения оправки (характеризуется координатой ±"И>);

• поворот раскладочной головки относительно оси 2 (характеризуется угловой координатой ±г/);

• поворот раскладочной головки относительно оси IV (характеризуется угловой координатой ±г7).

На практике наиболее распространенными схемами станков являются четырех координатные (±х, ± у, ± г, ± и или ±м>) или трех координатные х, ±у,±г). В общем случае, используя многокоординатные исполнительные органы современных намоточных станков, возможно реализовывать намотку волокнистого материала практически по любым траекториям на поверхности будущего изделия. Однако существует целый ряд ограничений геометрического и физического характера, которые существенно сужают возможности использования метода намотки при создании конструкций из композиционных материалов.

Рисунок 3 - Управляющие механизмы намоточного станка [58]

Рисунок 4 - Схема намоточного станка [58] 1 - намоточное устройство; 2 - пропиточное устройство; 3 - устройство хранения и подготовки нитей (шпулярник)

Рисунок 5 - Автоматизированная выкладка [57] 1 - оправка; 2 - рама; 3 - бобина с препрегом; 4 - разделительная пленка; 5 -суппорт; 6 - каретка; 7 - головка; 8 - нагреватель; 9 - устройство обрезки;

I - V - степени под вижности станка

В.4 Обзор методов геометрического и компьютерного моделирования процессов намотки и выкладки

Управление всеми исполнительными механизмами намоточного станка осуществляется по заранее составленным программам намотки. Только с помощью программного управления можно обеспечить контроль над точностью процесса намотки для получения необходимой прочности оболочки, требуемой ее формы и удовлетворения других показателей качества. Для подготовки управляющих программ формообразования изделий методом намотки используются системы автоматизированного программирования намоточных станков. Эти системы принадлежит к достаточно обширному классу систем, предназначенных для создания управляющих программ для различного технологического оборудования. Однако намоточный процесс имеет ряд особенностей. Точность процесса намотки и получение оболочки, удовлетворяющей требуемым геометрическим и прочностным характеристикам, прежде всего, зависит от качества отработки расчетных траекторий, точности укладки ленты на поверхность оправки и создания на раскладчике ленты намоточного станка нужного натяжения. Поэтому для разработки управляющих программ намоточными станками требуется наличие наиболее полной математической модели, описывающей процесс укладки лент на поверхность оправки с соблюдением целого комплекса условий. Эта модель должна содержать в себе информацию о задании поверхности технологической оправки и кривой намотки. Ниже приводится диаграмма Ишикавы для моделирования технологических процессов намотки и выкладки.

Первые попытки сформировать математическую модель процесса намотки и разработать систему автоматизированной подготовки управляющих программ начинались с того, что предполагалось наличие готовой оправки или, по крайней мере, чертежей для ее изготовления, одного витка линии на поверхности оправки, являющейся геодезической линией, равного отклонения или винтовой [149,150,151], [144,145], [69], [82], [72,137,152], [91]. я

Модель многослойной намотки и выкладки

Точность

Простота Высокая скорость

Количество

Явное выписывание через известные величины

Модель поверхности

Высокая скорость нахождения дифференциальных характеристик поверхности

Параметры, характеризующие

Простота вычисления

Модель укладки лети на оправку

Точность

Математическое описание укладки каждой нити ленты

Явное математическое выражение, описывающее укладку нити

Рисунок 7 - Причинно следственная связь субъективных факторов, определяющих качество модели процессов намотки и выкладки

В перечисленных работах рассматривались в основном поверхности вращения. Дальнейшее решение задачи привело к попыткам приспособить методы и расчеты, полученные для поверхностей вращения, к оправкам, имеющим некруговые сечения [42,43,44], [75,76,77], [155], [127], [138].

В этих работах не учитывается структура ленты из КМ, с помощью которой происходит намотка. И только в работах Беляковой Н.Н., Бороха Г.Р., Калинина В.А., Якунина В.И. впервые рассматривалось моделирование процесса намотки лентами из волокнистых композиционных материалов для произвольных поверхностей с учетом реальной структуры ленты [9,10,11], [15,16,17,18,19], [93,94,95,97,98,99,100,101,102,108], [192,193,194,196]. Предложенная этими авторами модель имеет ряд существенных недостатков. Во-первых, укладка нитей ленты моделируется по кривым, параметрическое представление которых точно выписано быть не может. Этот факт приводит к сложностям в расчете характеристик схемы укладки ленты. Во-вторых, модель не приспособлена к описанию укладки ленты переменной ширины (ровницы). С такой укладкой мы сталкиваемся в методе «мокрой» намотки. Шириной ленты можно управлять поворотом раскладываю щей головки намоточного станка. Этим пользуются для устранения нахлестов лент. Третьим недостатком модели является отсутствие единообразия в описании поверхностей технологических оправок. Такие поверхности могут задаваться различными способами (аналитическим, точечным каркасом сечений и т.д.) и параметрическими представлениями. Кроме того, они могут состоять из нескольких отсеков. Для анализа схемы нужна дважды непрерывно дифференцируемая поверхность. Поэтому различные части поверхности необходимо гладко состыковать друг с другом и согласовать параметризацию. Так как конечной целью геометрического моделирования процессов намотки и выкладки является компьютерная модель указанных процессов, в которой можно анализировать и корректировать схему укладки ленты, то отсутствие единообразия в задании поверхностей является большой трудностью в реализации такой модели. Четвертым недостатком модели является отсутствие учета толщины ленты. В связи с этим нет возможности увидеть получаемое изделие в компьютерной модели. Таким образом, создание наиболее полной геометрической модели процессов намотки и выкладки является, по-прежнему, актуальной задачей.

Геометрическое моделирование произвольных поверхностей, используемых в модели намотки, является также актуальной задачей. Вопросам формирования кривых и моделей поверхностей были посвящены работы многих авторов [121,122], [161,162], [178], [47-50], [73], [174], [53], [60], [78,81], [75,76,77], [86,88], [190], [146,147,148], [112], [3,191], [85], [89], [126], [142], [179], [177], [154], [22,25,27,28,29,41], [96], [106,107], [163,164], [195,197-219]. Известно, что поверхность оправки содержит конструктивную часть, в которую входят поверхности изделий, и так называемую технологическую часть, которая состоит из поверхностей законцовок и из переходных поверхностей между поверхностью изделия и законцовкой. Назначение технологической части оправки состоит в том, чтобы обеспечить разворот ленты для обратного хода намотки. При этом требуется соблюдение различных условий. Например, сохранение равновесного состояния ленты и ее прилегание к этой поверхности, необходимость выхода ленты на конструктивную часть оправки после ее поворота на поверхности законцовки с требуемым утлом армирования, минимальность расхода ленты на технологической части и другие. Конструктивных частей на поверхности оправки может быть несколько, что приводит к экономии расхода материала за счет уменьшения числа технологических законцовок (рисунок 8).

Заключительный этап моделирования процесса намотки связан с разработкой управляющих программ намоточным оборудованием [6,7,54,55,131,157,182,183,184].

С учетом вышеизложенного можно сделать вывод, что проблема создания новых, обобщения и совершенствования известных методов геометрического моделирования процессов намотки и выкладки является весьма актуальной.

В.5 Постановка задачи исследования

Целью диссертационной работы является разработка комплексного подхода к решению проблемы повышения качества и эффективности изготовления сложных конструкций из композиционных материалов на основе применения обобщенных геометрических моделей технологических процессов намотки и выкладки. з 1 2

Рисунок 8 - Поверхность оправки

1 - поверхности законцовок;

2 - конструктивная часть оправки;

3 - переходные поверхности

Поставленная цель требует решения следующих теоретических и прикладных задач:

1. Разработать новый математический аппарат для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов с однонаправленными волокнами, который позволяет создать обобщенную геометрическую модель указанных процессов, и предоставляет практические удобные инструменты для анализа и коррекции схемы армирования: a. Найти разложение кубического интерполяционного сплайна по базисным сплайнам на равномерной сетке с явно выписанными коэффициентами разложения, для различных краевых условий; b. Дать конструктивное доказательство возможности введения на гладкой поверхности новой системы координат, удовлетворяющей двум условиям: функции, связывающие новые координаты точки поверхности и ее криволинейные координаты, допускают явное задание; эти функции сколь угодно близки в смысле нормы в С к функциям, связывающим полугеодезические координаты точки и ее криволинейные координаты; c. Разработать численный метод нахождения значения функции, которая в каждой точке поверхности определяет число лент, накрывающих эту точку;

1. Сформулировать и дать конструктивное доказательство теоремы о возможности единообразного описания поверхностей технологических оправок класса С , являющихся поверхностями зависимых сечении;

2. Разработать теоретические основы геометрического моделирования укладки ленты переменной ширины на поверхность с помощью явно заданного отображения прямоугольника в пространство, которые обобщают существующие теоретические результаты по геометрическому моделированию технологического процесса намотки;

3. Разработать теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки, где будет учтено изменение формы поверхности в соответствии с толщиной ленты;

4. Разработать методики анализа схемы укладки ленты, на предмет равновесности нитей ленты и ее прилегания к поверхности;

5. Формализовать проблему выбора закона изменения ширины ленты, с целью уменьшения зон нахлестов лент и предложить численный алгоритм решения этой проблемы;

6. Описать закон движения нитераскладывающего механизма намоточного станка по заданному рисунку укладки ленты, учитывающий ее реальное расположение на поверхности;

7. Разработать на базе построенных геометрических моделей и методик компьютерную модель процессов намотки и выкладки, позволяющую дать качественный анализ выбираемой схемы укладки ленты, решать различные задачи оптимизации, возникающие при укладке ленты, получать закон движения нитераскладывающего механизма, учитывающий реальную структуру ленты.

Таким образом, предметом исследования является математический аппарат для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки сложных конструкций из волокнистых композиционных материалов, на базе которого возможно создание обобщенных геометрических моделей указанных процессов, получения численного анализа схемы армирования, решения различных задач оптимизации, возникающих при укладке ленты. Объектом исследования при этом является теория геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов с полимерной матрицей.

Методы исследования. Поставленные в работе теоретические задачи решаются методами дифференциальной и вычислительной геометрий. Применяется аппарат математического анализа, теория дифференциальных

32 уравнений, теория матриц, теория уравнений в конечных разностях, методы функционального анализа, методы вычислительной математики. Для построения компьютерной модели использовалось программное обеспечение MathCad v. 11 компании РТС и среда программирования МУС 6.0 (Microsoft Visual С++ версия 6.0).

Научная новизна диссертационной работы заключается в разработке нового математического аппарата предназначенного для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из композиционных материалов с однонаправленными волокнами, предоставляющего простой и эффективный инструментарий для решения разнообразных проблем, возникающих при анализе и коррекции схем армирования. В работе получены следующие новые результаты:

1. Найдено разложение кубического интерполяционного сплайна по базисным сплайнам на равномерной сетке с явно заданным коэффициентами разложения для различных краевых условий;

2. Дано конструктивное доказательство возможности введения на гладкой поверхности новой системы координат, удовлетворяющей двум условиям: функции, связывающие новые координаты точки поверхности и ее криволинейные координаты, допускают явное, конечное задание; эти функции сколь угодно близки в смысле нормы в С2 к функциям, связывающим полугеодезические координаты точки и ее криволинейные координаты;

3. Разработан численный метод нахождения значения функции, которая в каждой точке поверхности определяет число лент, накрывающих эту точку;

4. Дано конструктивное доказательство теоремы о возможности единообразного описания поверхностей технологических оправок класса С , являющихся поверхностями зависимых сечений;

5. Разработаны теоретические основы геометрического моделирования укладки ленты переменной ширины на поверхность с помощью явно заданного отображения прямоугольника в пространство, обобщающие существующие разработки по моделированию процесса намотки;

6. Разработаны методики анализа схемы укладки ленты, на предмет равновесности нитей ленты и ее прилегания к поверхности;

7. Формализована проблема выбора закона изменения ширины ленты, из соображений уменьшения зон нахлестов лент и предложен численный алгоритм решения этой проблемы;

8. Разработаны теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки, в которых учитывается изменение формы поверхности в соответствии с толщиной ленты;

9. Описан закон движения нитераскладывающего механизма намоточного станка по заданному рисунку укладки ленты, учитывающий ее реальное расположение на поверхности;

10. Разработаны компьютерные модели процессов намотки и выкладки сложных конструкций из композиционных материалов, в рамках которых можно получить детальный анализ схемы армирования на предмет возможности получения конструкции по данной схеме методом намотки или выкладки.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации геометрические модели технологических процессов намотки и выкладки, а также разработанные на базе этих моделей компьютерные модели указанных процессов позволяют детально исследовать схемы армирования, получать законы движения исполнительных механизмов станков с числовым программным управлением. Разработанные методики расчета параметров, характеризующих схему армирования, позволяют предопределять возможность получения изделия методом намотки или выкладки по данной схеме и корректировать эту схему для достижения такой возможности. Все это позволяет существенно снизить затраты при создании опытных образцов конструкций за счет отработки схемы армирования с использованием компьютерной модели, вследствие экономии дорогостоящих композиционных материалов. Разработанный математический аппарат позволяет ставить и

34 решать различные задачи оптимизации, возникающие при укладке ленты, например, в рамках компьютерной модели решается задача выбора закона изменения ширины ленты, из условия уменьшения зон нахлестов лент.

Реализация работы. Результаты теоретических исследований, выполненных в диссертационной работе, были внедрены на некоторых предприятиях авиационной промышленности в виде методов моделирования поверхностей, применяемых в процессах намотки и выкладки, а так же методов расчета параметров эти процессов. Разработанные компьютерные модели были включены в системы автоматизированной подготовки управляющих программ для станков с ЧПУ на этих предприятиях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• VII-Всероссийской конференции по компьютерной геометрии и графике, Нижний Новгород, 1997 год [25];

• Конференции в Зеленограде: «Проблемы методологии и методики применения компьютерных технологий в дисциплинах начертательной геометрии и инженерной графики», 1995 год [105];

• Конференции в Улан-Уде «Роль геометрии в искусственном интеллекте и системах автоматизированного проектирования», 1996 год [106];

• Научно-методический семинар по организации Всероссийского конкурса учащихся и студентов по черчению и компьютерной графике: «Совершенствование учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации», 1997 год [107];

• V Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Технологии Microsoft в теории и практике программирования», 2008 год [24].

• II Всероссийской научно-практической студенческой школе-семинаре «Компьютерный инжиринг в промышленности и вузах», посвященной 80-летию МАИ, г. Кременки, «Вятичи», 20-21 ноября, 2009 год [23].

Публикации. Результаты теоретических и прикладных исследований были опубликованы в 16 научных статьях из перечня ВАК и одной монографии.

На защиту выносятся:

• конструктивное доказательство теоремы о возможности введения на гладкой поверхности системы координат близкой к полугеодезической, для которой функции, связывающие новые координаты точки поверхности и ее криволинейные координаты допускают явное задание;

• теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов с однонаправленными волокнами;

• конструктивное доказательство возможности единообразного описания поверхностей технологических оправок, являющихся поверхностями зависимых сечений;

• численный метод нахождения значения функции, определяющей в каждой точке поверхности число лент, накрывающих эту точку;

• методология анализа схемы укладки ленты на поверхность оправки и численный метод выбора закона изменения ширины ленты, обеспечивающий уменьшение зон нахлестов ленты в процессе ее укладки на поверхность;

• компьютерные модели технологических процессов намотки и выкладки

Структура и объем работы. Диссертационная работа объемом 332 м.п.с. состоит из введения, семи глав, заключения, списка используемых источников из 219 наименований и двух приложений объемом 48 страниц. В работе содержится 73 рисунков и 10 таблиц.

Выводы к главе 7

На основании результатов, представленных в данной главе можно сделать следующие выводы.

1. Рассмотрен и обоснован выбор схемы армирования вентиляторной лопатки двигателя нового поколения, изготавливаемой методом выкладки. Приведен расчет для начальных условий выхода геодезических линий, задающих схему укладки лент. Проведена верификация геометрической модели выкладки на примере макета вентиляторной лопатки. Дан анализ «зазоров» и «нахлестов» лент при укладке их по выбранной схеме. Тем самым показана возможность коррекции схемы армирования (подбор начальных условий для геодезических) в рамках компьютерной модели, а не на станке с ЧПУ. В главе дана демонстрация работы геометрической модели многослойной выкладки.

2. Рассмотрен пример геометрического моделирования намотки лонжерона стабилизатора вертолета. Проведена верификация геометрической модели укладки ленты на поверхность на примере макета лонжерона стабилизатора вертолета. Продемонстрированы методики анализа схемы укладки ленты на предмет равновесности нитей ленты, их прилегания к поверхности. На примере укладки нескольких витков ленты продемонстрирована работа геометрической модели многослойной намотки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Интенсивное внедрение в авиастроение процессов намотки и выкладки при изготовлении конструкций сложной геометрической формы из композиционных материалов требует создания качественно новых, повышающих уровень точности управляющих программ для намоточных и вы кладочных станков с ЧПУ.

На основании приведенных исследований процессов намотки и выкладки мы можем выделить следующие этапы в создании конструкций из волокнистых композиционных материалов:

• Проектирование состава и структуры композиционного материала. Здесь осуществляется выбор самих волокон и полимерной основы;

• Определение оптимальной схемы армирования, так как для волокнистых композиционных материалов характерна анизотропия механических свойств. В оптимальной схеме волокна должны располагаться в направлениях прилагаемой нагрузки;

• Проектирование технологии производства изделия;

• Технологическая отработка изделия с выпуском экспериментальных образцов. Проверка соответствия свойств опытных образцов изделия из армированного композита результатам выполненных расчетов и заданным техническим требованиям. Корректировка конструкции материала и изделия;

Последний этап является экспериментальным. Если изделие не получается изготовить по заданной схеме армирования, то идет корректировка этой схемы. При этом осуществляются затраты на производство оправок, расход дорогостоящих композитов. Поэтому большую помощь в прохождении последнего этапа оказывает компьютерная модель процесса, в рамках которой можно дать качественный анализ выбираемой схемы армирования на предмет возможности изготовить данное изделие методами намотки или выкладки, получить геометрические характеристики конечной конструкции. Создание такой модели позволило бы корректировать схему армирования не после создания опытных

258 образцов, а до них. В свою очередь это экономит дорогостоящие композиционные материалы, нет расходов средств на изготовление технологических оправок. Только после получения удовлетворительных результатов в компьютерной модели можно переходить к созданию опытных образцов. Компьютерная модель позволит также получить и законы движения исполнительных органов станка. Для создания такой компьютерной модели необходима наиболее точная и наиболее полная геометрическая модель процессов намотки и выкладки, учитывающая реальную структуру ленты.

На сегодняшнее время существуют геометрические модели процессов намотки и выкладки, но они предназначены либо только для поверхностей вращения, либо обладают рядом существенных недостатков и ограничений, которые были указанные во введении.

Данная диссертационная работа посвящена иному взгляду, отличному от существующих взглядов, на намотку и выкладку. Этот новый взгляд устранил недостатки и ограничения существующих моделей и открыл перспективы более детального и точного анализа схем армирования.

Итак, в диссертационной работе были получены следующие результаты: 1. Разработан новый математический аппарат для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов. a. Получено разложение кубического сплайна по базисным сплайнам на равномерной сетке с явно выписанными коэффициентами разложения; b. Дано конструктивное доказательство возможности введения на гладкой поверхности системы координат сколь угодно близкой к полугео-дазической системе, для которой функции, связывающие новые координаты и криволинейные допускают явное задание; c. Построена функция, определенная в точках поверхности технологической оправки, значение которой в каждой точке равно числу лент, накрывающих эту точку.

2. Созданы теоретические основы геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки, обобщающие все существующие методы моделирования этих процессов;

3. Дано конструктивное доказательство возможности единообразного описания технологических оправок, являющихся поверхностями зависимых сечений класса С2. Поверхности технологических оправок могут быть заданы различными параметрическими представлениями, могут состоять из нескольких отсеков. Поэтому наличие единообразного метода задания поверхностей существенно упрощает компьютерное моделирование процессов намотки и выкладки;

4. Разработаны теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки, где учитывается толщина ленты и ее положение на поверхности;

5. Разработаны методики анализа схемы укладки ленты на поверхность на предмет равновесности ленты и ее прилегания к ней;

6. Формализована проблема выбора закона изменения ширины ленты (при «мокрой» намотке) из условия уменьшения зон нахлестов лент и дан численный метод решения этой проблемы;

7. Построен закон движения нетераскладывающего механизма, учитывающий реальную структуру ленты и ее положение на поверхности;

8. Разработаны компьютерные модели, служащие для качественного анализа выбираемой схемы укладки ленты на поверхность на предмет возможности изготовить изделие по данной схеме армирования. В рамках этой модели можно получить не только анализ схемы, но и увидеть опытный образец изделия таким, какой он будет после его изготовления на станке. Таким образом, мы можем контролировать качество изготавливаемого изделия еще до его производства на станке;

9. На предприятиях авиационной промышленности внедрены и включены в системы автоматизированной подготовки управляющих программ разработанные в диссертации методы и алгоритмы определения равновесности ни

260 тей ленты на поверхности, прилегания ленты к поверхности оправки. Использование компьютерных моделей на предприятиях авиационной промышленности доказало их эффективность в вопросах анализа и коррекции схем армирования еще до изготовления опытных образцов.

1. Абибов, А. Л. и др. Применение конструкционных пластмасс в производстве летательных аппаратов / А.Л. Абибов, Б.В. Бойцов, Г.А. Молодцов, И.Ю. Шейдеман. — М.: Машиностроение, 1971. 192 с.

2. Алберг, Дж. Теория сплайнов и ее приложения / Дж. Алберг, Э. Нилсон, Дж. Уолш. М.: Мир, 1972. - 230 с.

3. Алгоритмы и программы решения геометрических задач на ЭВМ / В.И. Якунин и др.. М.: МАИ, 1982. - 82 с.

4. Александров, П. С. Лекции по аналитической геометрии / П.С. Александров. М.: Наука, 1968. - 912 с.

5. Алексейчик, В. В. Влияние возмущений программной траектории на точность намотки / В.В. Алексейчик, А.Г. Душенко, В.К. Ершов, Я.Я. Чикильдин // Труды Новочеркасского политехнического института им С. Орджоникидзе. 1975. - Т. 310. - С. 24-28.

6. Алексейчик, В. В. Автоматизированная система подготовки управляющих программ для многокоординатных станков / В.В. Алексейчик, В.К. Ершов, А.Н. Иванченко // Автоматизированные системы управления. Труды IV отраслевой конференции.- М., 1979. С. 31-35.

7. Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. - 368 с.

8. Аюшеев, Т. В. Особенности процесса намотки составной поверхности / Т.В. Аюшеев, В.А. Калинин, В.И. Якунин // Инженерная и машинная графика. Тезисы докладов X Всесоюзного научно-методического семинара. Полтава, 1991. - С. 19.

9. Аюшеев, Т. В. Алгоритм расчета параметров процесса намотки составной поверхности / Т.В. Аюшеев, В.А. Калинин, В.И. Якунин // Конструирование поверхностей и их технические приложения: сб. науч. тр./МАИ. Москва, 1992. - С. 28-32.

10. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.Б. Жидков, Г.М. Кабельков. М.: Бином. Лаборатория базовых знаний, 2004. - 636 с.

11. Батаев, А. А. Композиционные материалы: строение, получение, применение: учебник / A.A. Батаев, В.А. Батаев. Новосибирск: Изд. НГТУ, 2002. - 384 с.

12. Берлин, А. А. Принципы создания композиционных полимерных материалов / A.A. Берлин, С.А. Вольфсон, В.Г. Ошмян, Н.С. Ениколопов. -М.: Химия, 1990. -238 с.

13. Белякова, Н. Н. Задача выбора ширины ленты дня армирования оболочек /H.H. Белякова//Вопросы авиационной науки и техники. Серия "Авиационная технология". 1989. - № 4(13). - С. 29-34.

14. Белякова, Н. НГ. К расчету геометрических характеристик изделий, получаемых процессом армирования /H.H. Белякова// Геометрическое моделирование в авиационном проектировании: сб. тр./КНИГА. Киев, 1987. - С. 64-69.

15. Белякова, Н. Н. Учет прилегания ленты при геометрическом моделировании оболочек армирования / H.H. Белякова // Методы конструирования новых форм поверхностей и их модификаций: сб. науч. тр./МАИ. Москва, 1990. - С. 37-42.

16. Белякова, Н. Н. Влияние ширины композиционной ленты на некоторые параметры процессов намотки и выкладки / H.H. Белякова, Г. Р. Борох, В.А. Калинин// Авиационная промышленность. 1985. - № 3. - С. 10-12.

17. Белякова, Н. Н. Метод расчета параметров армирования произвольных поверхностей с учетом ширины композиционной ленты / H.H. Белякова, Г. Р. Борох, В.А. Калинин // Авиационная промышленность. 1986. - № 10. -С.8-11.

18. Битюков, Ю.И. Об инструментах обеспечения качества конструкций из композиционных материалов, изготавливаемых методом намотки и выкладки/Ю.И. Битюков, Ю.И. Дениски н // Качество инновации образование. 2010. - №8(63). - С. 51-55.

19. Битюков, Ю.И. Введение в компьютерную геометрию. Курс лекций / Ю.И. Битюков. М.: МГСГИ, 2005. - 55 с.

20. Битюков, Ю. И. Моделирование поверхностей законцовок с использованием В-сплайнов // Тезисы докладов УП-Всероссийскойконференции по компьютерной геометрии и графике. — Нижний Новгород, 1997. с 46-47.

21. Битюков, Ю. И. Геометрическое моделирование технологических процессов намотки и выкладки / Ю.И. Битюков. — М.: МАИ, 2007. 88 е.: ил.

22. Битюков, Ю. И. Моделирование поверхностей по точечному каркасу сечений / Ю.И. Битюков // Межвузовский сб. науч. тр./МГСГИ. Москва, 2005.-С.75-79.

23. Битюков, Ю. И. Моделирование технологической части поверхностей оправок, применяемых в процессе намотки: дис. канд. техн. наук: 05.01.01/ Ю.И. Битюков. Москва, 1998.-225 е.: ил.

24. Битюков, Ю. И. Моделирование технологической части поверхностей оправок, применяемых в процессе намотки: автореф. дис. канд. техн. наук: 05.01.01 / Ю.И. Битюков. Москва, 1998. - 25 с.

25. Битюков, Ю. И. Моделирование технологического процесса намотки сопомощью гладкого отображения прямоугольника в пространство Ю.И. Битюков // Авиационная промышленность. 2008. - №2. - С. 35-41.

26. Битюков, Ю. И. Об одной характеристике схемы армирования / Ю.И. Битюков // Авиационная промышленность. — 2008. №4. - С. 20-23.

27. Битюков, Ю. И. Представление кубического сплайна в виде разложения по В-сплайнам на равномерной сетке с явно выписанными коэффициентами разложения / Ю.И. Битюков // Естественные и технические науки. 2010. - №3. - С. 304-308.

28. Битюков, Ю. И. Технологический процесс выкладки конструкций из композиционных материалов и его компьютерное моделирование / Ю.И. Битюков // Естественные и технические науки. 2010. - №3. - С. 309-316.

29. Битюков, Ю. ВТ. Геометрическое моделирование технологического процесса выкладки / Ю.И. Битюков // Полет. 2008. - №10. - С. 36-41.

30. Битюков, Ю. И. Создание математической модели многослойной выкладки / Ю.И. Бипоков // Полет. 2009. - №3. - С. 44-48.

31. Битюков, Ю. И. О параметрах, характеризующих схему укладки ленты в процессе намотки / Ю.И. Битюков // Вестник МАИ. 2009. - Т16,- №5. -С. 274-281.

32. Битюков, Ю. И. Геометрическое моделирование многослойной намотки / Ю.И. Битюков, Ю.И. Денискин // Электронный журнал «Труды МАИ» (раздел «Машиноведение. Машиностроение»). 2010. - Выпуск № 37. -Режим доступа в журн.: www.mai.ru/science/trudy/ .

33. Битюков, Ю. И. Создание модели поверхности вентиляторной лопатки для перспективного двигателя нового поколения / Ю.И. Битюков, В.А. Калинин, В. Б. Литвинов, М.С. Токсанбаев // Авиационная промышленность. — 2007. №2. - С. 7-11.

34. Борох, Г. Р. Автоматизированное проектирование изготовления изделий из композиционных материалов / Г.Р. Борох, В.М. Киселев, В.Ф. Соколов

35. Технология авиационного производства: сб. тр./ НИАТ. Москва, 1981. -С. 81-87.

36. Борох, Г. Р. Построение математических моделей намоточных процессов / Г.Р. Борох, Э.М. Мендлин // Труды НИАТ. 1979. - № 291. - С.7.

37. Бривманис, Р. Э. Намоточные конструкции в электрических машинах и аппаратах/Р.Э. Бривманис, А.К. Гаганов. М.: Энергия, 1971. - 89 с.

38. Бунаков, В. А. Армированные пластики / В.А. Бунаков, Г.С. Головкин, Г.П. Машинская и др.; под ред. Г.С. Головкина, B.C. Семенова. М.: Изд-во МАИ, 1997. - 404 с.

39. Бусыгин, В. А. Коррекция по дискретным исходным данным программы обработки плоского обвода, на станках с числовым программным управлением / В.А. Бусыгин, А.Б. Лебедева, В.А. Филипенков // Авиационная промышленность. 1976. - № 4. - С. 17-18.

40. Бусыгин, В. А. Программирование обработки цилиндрических поверхностей на четырех координатном фрезерном станке с ЧПУ / В.А. Бусыгин, Б.А. Медведев, В.А. Филипенков // Авиационная промышленность. — 1980. № 5. - С. 3-6.

41. Василенко, В. А. Сплайн интерполяция в прямоугольной области с хаотически расположенными узлами / В.А. Василенко, Е.М. Переломов // Сб. «Машинная графика и ее применение». — Новосибирск: Изд-во СО АН СССР.- 1973.- С.96-103.

42. Василенко, В. А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы / В.А. Василенко. Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1983. - 216 с.

43. Васильев, В. В. Механика конструкций из композиционных материалов / В.В. Васильев. М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.

44. Васильев, П. Ф. Численные методы решения экстремальных задач / П.Ф.

45. Васильев. -М. Наука, 1988. 549 с.

46. Вершинин, В. В. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания / Вершинин В. В., Завьялов Ю.С., Павлов Н.П. Новосибирск: Наука, 1988.- 103 с.

47. Водовозов, В. М. Прямое управление намоточным процессом от микроЭВМ / В.М. Водовозов // Механика композиционных материалов. -1985. №5. - С. 892-896.

48. Водовозов, В. М. Кинематический синтез управления движением намоточного оборудования / В.М. Водовозов II Механика композиционных материалов. 1992. - №5. - С. 650 - 656.

49. Волков, Е. А. Численные методы / Е.А. Волков. М.: Наука, 1982. - 256 с.

50. Воробей, В. В. Технология производства конструкций из композиционных материалов: учебное пособие / В.В. Воробей. М.: МАИ, 1996. - 184 с.

51. Воробей, В. В. Технология непрерывной намотки нитью / В.В. Воробей, Н.Г. Мороз. М.:МАИ, 2007. - 180 е.: ил.

52. Воскобойников, Ю. Е. Изогеометрические сглаживающие сплайны / Ю.Е. Воскобойников, М.В. Березовский // Научный вестник НГТУ. 1999. - № 2(7).-С. 3-13.

53. Второва, М. Б. Проектирование геометрической формы оправки для намотки конструкций со сложнопрофильной поверхностью / М.Б. Второва, Г.Р. Борох, И.П. Королева, В.К. Фролов // Авиационная промышленность. -1990. -№7. -С. 10-12.

54. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М.: Наука, 1988. -548с.

55. Гельфонд, А. О. Исчисление конечных разностей / А.О. Гельфонд. М: КомКнига, 2006. - 376 с.

56. Голованов, Н. Н. Геометрическое моделирование / H.H. Голованов. — М.: Физматлит, 2002. 472 с.

57. Голованов, Н. Н. Компьютерная геометрия: Учебное пособие для студ. Вузов / H.H. Голованов, Д.П. Ильютко, Г.В. Носовский, А.Т. Фоменко.- М.: Издательский центр «Академия», 2006. — 512 с.

58. Гребенников, А. И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений / А.И. Гребенников. М.: Изд-во МГУ, 1983. - 208 с.

59. Гречишкин, В. А. О способах спиральной намотки и их преимуществах / В. А. Гречишкин // Авиационная промышленность. 1967. - приложение № 2-3. - С. 64-67.

60. Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. М.: Наука, 1970. - 664 с.

61. Добровольский, А. К. К вопросу о методе расчета характеристик геодезической намотки стеклопластиковых оболочек вращения / А.К. Добровольский, В.И. Костров // Механика полимеров. 1970. - № 6. - С. 934-936.

62. Дубровин, Б. А. Современная геометрия: Методы и приложения, в 3 т. / Б.А. Дубровин, С.П, Новиков, А.Т. Фоменко. 4-е изд. Исправленное и дополненное. - М.: Эдиториал УРСС, 1998. - Т. 1: Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. - 336 с.

63. Душенко, А. Г. Расчет технологических координат траектории движения укладчика / А.Г. Душенко, А.Н. Моргун, В.И. Боляев // Труды Новочеркасского политехнического института им. С. Орджоникидзе. -1975.-Т. 310. -С. 18-24.

64. Евгенев, Г. Б. Программирование намотки стеклолентой оболочек типа тел вращения на пятикоординатном станке с ЦПУ / Г.Б. Евгенев, В.М. орозова, А.Н. Петухов, Д.Ю. Струве // Производственно технический опыт. - 1971. - № 6. - С. 13-16.

65. Егоров, Э. В. Моделирование поверхностей агрегатов ЛА: Учебное пособие / Э.В. Егоров, А.Д. Тузов. М.: Изд - во МАИ, 1988. - 88 с.

66. Ефимов, Н. В. Линейная алгебра и многомерная геометрия / Н.В. Ефимов, Э.Р. Розендорн. М.: Наука, 1970. - 528 с.

67. Завидский А. В. Определение параметров технологической поверхности, обеспечивающей непрерывность намотки по геодезическим линиям / A.B. Завидский // Труды МАИ. 1976. - № 349. - С. 34-35.

68. Завидский, А. В. Построение геодезической на поверхности каркаса горизонталей / A.B. Завидский // Труды МАИ. 1977. - № 414. - С. 18-19.

69. Завидский, А. В. Исследование геометрических вопросов технологии изготовления сложных технических поверхностей методом автоматизированной намотки: дис. канд. техн. наук /A.B. Завидский. -Москва, 1977. 113 с.

70. Завьялов, Ю. С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.П. Мирошниченко. — М.: Наука, 1980 352 с.

71. Завьялов, Ю. С. О явном представлении интерполяционных сплайн -функций с равноотстоящими узлами / Ю.С. Завьялов // Сб. «Вычислительные системы». Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1973." -вып. 56. - С. 3 - 17.

72. Завьялов, Ю. С. Интерполирование кубическими многозвенниками / Ю.С. Завьялов // Сб. «Вычислительные системы». Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1970. - вып. 38. - 23—73.

73. Завьялов, Ю. С. Сплайны в инженерной геометрии / Ю.С. Завьялов, В.А.

74. Леус, В.А. Скороспелое. М.: Машиностроение, 1985. -224 с.

75. Зборжевский, В. И. К Вопросу расчета параметров траектории намотки тел вращения произвольной формы по кривым равного отклонения / В.И. Зборжевский, А.И. Свитыч, В.М. Мазур, Л.Д. Биленко // Производственно-технический опыт. 1977. -№ 1. - С. 10-11.

76. Зорич, В. А. Математический анализ: в 2 ч. / В.А. Зорич. Изд. 3-е, испр. идоп. М.: МЦМНМО, 2001. -41.- 664 с.270

77. Зорич, В. А. Математический анализ: в 2 ч. / В.А. Зорич. Изд. 3-е, испр. и доп. - М.: МЦМНМО, 2001. -42.- 794 с.

78. Зубков, В. А. Метод геометрического конструирования аэродинамических поверхностей типа "крыло-оперение" и автоматизация их произведения на оборудовании с ЧПУ: автореф. дис. канд. техн. наук / В.А. Зубков. М., 1977. - 20 с.

79. Иванов, Г. С. Конструирование технических поверхностей / Г.С. Иванов. -М.: Машиностроение, 1987. 192 с.

80. Иванов, Г. С. Начертательная геометрия: Учебник для вузов / Г.С. Иванов. М.: Машиностроение, 1995. - 224 с.

81. Иванов, Г. С. Прямая и обратная задачи моделирования поверхности / Г.С. Иванов // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1990. вып. 50. - С. 17-21.

82. Иванченко, А. Н. Применение сплайн-функций в. системах автоматизированного проектирования / А.Н. Иванченко, В.В. Алексейчик,

83. B.А. Пальцев // Методы поиска новых технических решений. Тезисы докладов П Всесоюзной конференции. Новочеркасск, 1980. - С. 196 - 199.

84. Ильин, В. Г1. Численный анализ / В.П. Ильин. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004. -Т.1.-334 с.

85. Исаков, Ю. А. К вопросу о расчете параметров спиральной намотки нитью и лентой / Ю.А. Исаков // Механика полимеров. 1974. - № 4. - С. 599-607.

86. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. М.: Издательство ЛКИ, 2007. - 624с.

87. Калинин, В. А. Моделирование процесса намотки оболочек волокнистыми композиционными материалами // Геометрические вопросы САПР. Тезисы докладов межгосударственной научной конференции. Улан-Удэ, 1993.1. C. 9-10.

88. Калинин, В. А. О наматываемости вдоль заданной кривой на поверхностиоправки // Интеграция инженерно-графических дисциплин в процессе271подготовки инженеров. Тезисы докладов научной конференции / Чувашский университет. — Чебоксары, 1993. С. 65.

89. Калинин, В. А. Технологический процесс намотки и его моделирование // Керамика в народном хозяйстве: тезисы науч.-техн. конф. Ярославль, 1994. - с. 48-49.

90. Калинин, В. А. Исследование и использование свойств геодезических линий на поверхности при ее намотке // Геометрическое моделирование и компьютерная графика: труды СПбГТУ. СПб, 1995. - выпуск 454. - С.29-36.

91. Калинин, В. А. Теоретические основы геометрического моделирования процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов: дис. доктора техн. наук: 05.01.01 / В.А. Калинин. М., 1997. - 463 с.

92. Калинин, В. А. Теоретические основы геометрического моделирования процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов: автореф. дис. доктора техн. наук: 05.01.01 / В.А. Калинин. М., 1997. - 49 с.

93. Калинин, В. А. Моделирование процесса намотки / В.А. Калинин, H.H. Белякова // Высшая школа в новых социально экономических условиях Тезисы Международной науч.-прак. конф. С.-Петербург, 1994. - С.41.

94. Калинин, В. А. Разработка схемы выкладки поверхности вентиляторной лопатки / В.А Калинин, Ю.И. Битюков, В.Б. Литвинов, М.С. Токсанбаев // Авиационная промышленность. 2007. - № 3. - С. 10-17.

95. Калинин, В. А. Геометрическое моделирование технологического процесса намотки в производстве ЛА: Учебное пособие / В. А. Калинин, В.И. Якунин. М.: Изд-во МАИ, 1995. - 68 с.

96. Калиткин, Н. Н. Численные методы / H.H. Калиткин. — М.: Наука, 1978. — 512с.

97. Квасов, Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами / Б.И. Квасов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 360 с.

98. Квасов, Б. И. Изогеометрическая аппроксимация сплайнами: Учебное пособие / Б. И. Квасов. Новосибирск: НГУ, 1998. - 150 с.

99. Кинематические методы конструирования технических поверхностей, сб. ст. / Под редакцией A.M. Тевлина. Москва: МАИ, 1970. - вып. 213.-121 с.

100. Князев, Д. Н. Математические модели и алгоритмы программирования процессов формообразования изделий методом намотки: дис. канд. техн. наук: 05.13.18 / Д.Н. Князев. Новочеркасск, 2002. - 170 с.

101. Композиционные материалы в конструкции летательных аппаратов, сб. ст. Пер. с англ./ Ред. А.Л. Абибов. М.: Машиностроение, 1975. - 272 с.

102. Компомир NEWS Электронный ресурс./000 «ИД «Мир Композитов» -электронная газета Санкт — Петербург, 2009. - №1 — Режим доступа к газете: www.kornpornir.ru.

103. Компомир NEWS Электронный ресурс.ЮОО «ИД «Мир Композитов» -электронная газета Санкт - Петербург, 2009. - №2 - Режим доступа к газете: www.kornpomir.ru.

104. Компомир NEWS Электронный ресурс./000 «ИД «Мир Композитов» -электронная газета Санкт - Петербург, 2009. - №3 - Режим доступа к газете: www.kornpomir.ru.

105. Компомир NEWS Электронный ресурс./000 «ИД «Мир Композитов» -электронная газета — Санкт — Петербург, 2009. №4 - Режим доступа к газете: www.kompomir.ru.

106. Компомир NEWS Электронный ресурс./000 «ИД «Мир Композитов» -электронная газета — Санкт — Петербург, 2009. №5 — Режим доступа к газете: www.kompomir.ru,

107. Котов, И. И. Прикладная геометрия и автоматизированное воспроизведение поверхностей/И.И. Котов/ЛСибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей: сб. тр./МАИ.-М.,1971.-вып. 8.-С. 3-5.

108. Котов, И. И. Алгоритмы машинной графики / И.И. Котов, B.C. Полозов, Л.В. Широкова.- М.: Машиностроение, 1977. 231 с.

109. Крысин, В. Н. Технологические процессы формования, намотки и склеивания конструкций / В.Н. Крысин, М.В. Крысин. М.: Машиностроение, 1989. - 234с.

110. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа: в 3 т. — М.: Дрофа, 2005.

111. Т. 1: Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. 704 с.

112. Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа: в 3 т. М.: Дрофа, 2005.- Т. 3: Гармонический анализ. Элементы функционального анализа.—352 с.

113. Курчатов, Э. Ю. Моделирование поверхностей и обводов с произвольной контурной линией двумерными сплайнами / Э.Ю. Курчатов, А.Н. Роткин, В.Ф. Снигирев, В.Г. Шатаев // Известия ВУЗов. Серия «Авиационная техника». 1991. - № 3. - С.3-8.

114. Литвинов, И. А. Расчет траектории многослойной намотки пространственных форм на оборудовании с ЧПУ / И.А. Литвинов, Г. С. Иванов, C.B. Щербинин, В.П. Гришаев // Авиационная промышленность. -1992. № 3. - С. 10-12.

115. Макаров, В. Л. Сплайн-аппроксимация функций / В.Л. Макаров, В.В. Хлобыстов. М.: Высшая школа, 1983. - 80 с.

116. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики: Учебное пособие / Г.И. Марчук. М.: Наука, 1989. - 608 с.

117. Маринин, В. И. Построение линии намотки нити на поверхности произвольной формы / В.И. Маринин, А.Б. Шварц // Известия вузов Сев. Кавк. регион Техн. науки / ЮРГТУ. Новочеркасск, 2001. - №3. - С. 34-38.

118. Меркин, Д Р. Введение в механику гибкой нити / Д.Р. Меркин. М.: Наука, 1980.- 240 с.

119. Минаков, А. П. К вопросу о равновесии идеально-гибкой нити на, шероховатой поверхности / А.П. Минаков // Ученые записки МГУ. 1951. - вып. 154.-С. 241-266.

120. Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П. Михайлов. -М.: Наука, 1976, 392 с.

121. Морозова, В. М. Метод расчета программ намотки изделий с различными осевыми отверстиями/ В.М. Морозова, Г.Б. Евгенев // Производственно -техн. опыт. 1973. - № 11. - С. 62-64.

122. Мухамбетжанов, С. Г. Геодезическая намотка на конических поверхностях произвольного профиля / С.Г. Мухамбетжанов, Ю.П. Ромашев, С.Г. Сидорин, Е.М. Центровский // Механика композитных материалов. 1992. - № 6. - С. 764-770.

123. Наполнители для полимерных композиционных материалов: справочное пособие / Пер. с англ. под ред. П.Г. Бабаевского. М.: Химия, 1981. - 736 с.

124. Нильсен, JL Механические свойства полимеров и полимерных композиций / JI. Нильсен. М.: Химия, 1978. - 312 с.

125. Норден, А. П. Теория поверхностей / А. П. Норден. М.: Гостехиздат, 1956. - 215 с.

126. Ньюмен, У. Основы интерактивной машинной графики / У. Ньюмен, Р. Спрулл. М.: Мир, 1976. - 573 с.

127. Образцов, И. Ф. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов / И.Ф. Образцов, В.В. Васильев, В.А. Бунаков. М.: Машиностроение, 1977. - 144 с.

128. Орлов, М. В. Определение поверхности дополнительного технологического отсека, служащего для непрерывной намотки по геодезической линии / М.В. Орлов // Труды МАИ. 1970. - вып. 205. - С. 51-52.

129. Орлов, М. В. Некоторые вопросы формообразования многослойных оболочек геодезических: автореф. дис. канд. техн. наук / М.В. Орлов -М., 1972. 17 с.

130. Осипов, В. А. Машинные методы проектирования и расчета непрерывно-каркасных поверхностей / В.А. Осипов. М.: Машиностроение, 1979. -248с.

131. Осипов, В. А. Проектирование непрерывных каркасов поверхностей с наперед заданными дифференциальными свойствами / В.А. Осипов // Труды Московского института радиоэлектроники и автоматики. — 1972. — вып. 63. С. 47 - 53.

132. Осипов, В. А. Теоретические основы каркасно-кинематического метода направляющей линии / В.А. Осипов, Л.И. Осипова // Известия ВУЗов. Серия "Авиационная техника". 1980. - № 4. - С. 48-52.

133. Парников, А. Ф. Геометрические вопросы технологии изготовления поверхностей методом обмотки // Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей: сб. науч. тр./МАИ. -М., 1969. вып. 3. - С. 18-21.

134. Парников, А. Ф. Построение плотного каркаса геодезических на соосном сочетании отсеков поверхностей вращения // Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей: сб. науч. тр./ МАИ. М., 1969. - вып. 3. - С. 103 - 106.

135. Парников, А. Ф. Вопросы конструирования плотных каркасов геодезических: автореф. дис. канд. техн. наук. / А.Ф. Парняков. — М., 1969. -19 с.

136. Пидгайный, Ю. М. Методика расчета характеристик геодезической намотки оболочек тел вращения/ Ю.М. Пидгайный, В.М. Морозова, В.А. Дудко // Механика полимеров. 1967. - № 6. - С. 1096-1104.

137. Промышленные полимерные композиционные материалы / Пер. с англ. под ред. П.Г. Бабаевского. М.: Химия, 1986. - 472 с.

138. Препарата, Ф. Вычислительная геометрия. Введение/Ф. Препарата, М. Шеймос.- М.: Мир, 1989. 480 с.

139. Пушков, В. П. Технология изготовления лопасти воздушных винтов из КМ методом намотки/В.П. Пушков, Ю.М. Щербаков, Е.В. Моисеев, В.П. Гришаев В.А. Поддубский//Авиационная промышленность-1978,-Приложение № 2.-С. 40-42.

140. Ричардсон, M. Промышленные полимерные композиционные материалы/М. Ричардсон, Д. Филипс, Б. Харрис и др..-М.: Химия, 1980. -472 с.

141. Рассудов, JI. Н. Алгоритмизация управления рабочими органами намоточных станков для производства стеклопластиковых оболочек/ JI.H. Рассудов, В.Н. Мядзель, С.Г. Мамаев// Механика полимеров. — 1977. № 1. - С. 30 - 34.

142. Рашевский, П. К. Курс дифференциальной геометрии/П.К. Рашевский. -М.: Гостехиздат, 1956. 420 с.

143. Рогинский, С. JI. Высокопрочные стеклопластики/C.JI. Рогинский, М.З. Канович, М.А. Колтунов. -М.: Химия, 1979. 143 с.

144. Росато, Д. В. Намотка стеклонитью/Д.В. Росато, К.С. Грове.-М.: Машиностроение, 1979. 179 с.

145. Рыжов, H. Н. Каркасная теория задания и конструирования поверхностей/ Н.Н. Рыжов//Труды УДН.—1967.-Т. 26. Математика.-Вып. 3. С. 128-138.

146. Рыжов, H. Н. Определитель поверхности и его применение/Н.Н. Рыжов//Труды УДН— 1971.-Т. 53. Прикладная геометрия.-Вып. 5. С. 3-16.

147. Снигирев, В. Ф. Краевые условия сплайна для задачи автоматизации проектирования обводов / В.Ф. Снигирев //Известия ВУЗов. Серия "Авиационная техника".-1988.-№ 1.-С. 75 77.

148. Снигирев, В. Ф. Алгоритмы построения кубического сплайна, не требующие задания краевых условий // Исследование операций и аналитическое проектирование в технике. Казань: Казан, авиац. ин-т. -1984.-С. 51-54.

149. Субботин, Ю. Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными/ Ю.Н. Субботин // Тр. Математического института АН СССР. 1965. - вып. 78. - С. 24 - 42.

150. Субботин, Ю. С. Связь сплайн приближений с задачей приближения класса классом/ Ю.С. Субботин // Математические заметки. - 1971. - вып. 9. - № 5. - С.501—510.

151. Суханов, А. В. Полимерные композиты перспективные строительные материалы XXI века / A3. Суханов, A.B. Асеев, В.И. Сисаури // Строительные материалы оборудование, технологии XXI века. - 2003. -№12(59). - С.20-23.

152. Стечкин, С. Б. Сплайны в вычислительной математике / С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин. М. Наука, 1976. - 248 с.

153. Современные проблемы проектирования и изготовления конструкций из композиционных материалов: Тематический сборник, научных трудов / А.И. Ярковец и др..- М.: МАИ, 1985. 70 с.

154. Тарнопольский, Ю. М. Конструкционная прочность и деформативность стеклопластиков / Ю.М. Тарнопольский, A.M. Скудра.- Рига: Зинатне, 1966. 260 с.

155. Тарнопольский, Ю. М. Пространственно-армированные композиционные материалы: справочник / Ю.М. Тарнопольский, И.Г. Жигун, В.А. Поляков. М.: Машиностроение, 1987. - 223 с.

156. Теоретические основы формирования моделей поверхностей: Учебное пособие / В.И. Якунин и др.. М.: Издательство МАИ, 1985. -52 с.

157. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В.А. Треногин.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 488 с.

158. Тузов, А. Д. Порции поверхности Кунса в форме Фергюсона на непрямоугольной области// Моделирование задач науки и техники методами начертательной геометрии: сб. науч. Трудов/ Казах. ПТИ. -Алма-Ата, 1986. С. 71-76.

159. Туманов, А. Т. Современные композиционные материалы и технологические процессы получения деталей авиационной техники / А.Т. Туманов. М.: ОНТИ, 1974. - 147 с.

160. Туркин, И. К. Проектирование элементов конструкций ЛА с использованием композиционных материалов: учебное пособие / И.К. Туркин М.: Издательство МАИ, 1998. - 64 с.

161. Фокс, А. Вычислительная геометрия / А. Фокс, М. Пратт М.: Мир, 1982. -304 с.

162. Фролов, С. А. Кибернетика и инженерная графика / С.А. Фролов. М.: Машиностроение, 1974. - 224 с.

163. Хемнинг, Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1972.-400 с.

164. Цыштаков, О. Г. Научные основы технологии композиционно-волокнистых материалов / О.Г. Цыплаков. Пермь, 1974. - 316 с.

165. Цыплаков, О. Г. Основы формования стеклопластиковых оболочек / О.Г. Цыплаков. JL: Машиностроение, 1968. - 173 с.

166. Шукшунов, В. Е. Автоматизированные системы управления намоточными станками / В.Е. Шукшунов и др.. М.: Машиностроение, 1985. - 208 с.

167. Шварц, А. Б. Математическое и программное обеспечение геометрического моделирования процессов намотки изделий из композиционных материалов: дис. канд. техн. наук: 05.13.18/А.Б. Шварц. Новочеркасск, 2002. - 255 с.

168. Щедров, В. С. Основы механики гибкой нити / B.C. Щедров,- М.: Машгиз, 1961. 172 с.

169. Эльсгольц, JI. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. М.: Наука, 1978. - 424 с.

170. Энгелькинг, Р. Общая топология / Р. Энгелькинг. М.: Мир, 1986. - 752 с.

171. Якунин, В. И. Основы прикладной геометрии поверхностей элементов ЛА: Учебное пособие / В.И. Якунин и др.. М.: Издательство МАИ, 1991. -68с.

172. Якунин, В. И. Геометрические основы систем автоматизированного проектирования технических поверхностей / В.И. Якунин. М.: Издательство МАИ, 1980. - 86с.

173. Якунин, В. И. Проектирование законцовок при намотке изделий прямоугольного профиля / В.И. Якунин, В.А. Калинин // Геометрическое моделирование и компьютерная графика: сборник трудов / СПГТУ. СПб. 1992. - С. 33 - 37.

174. Якунин, В. И. Намотка оболочек прямоугольного профиля / В.И. Якунин, В.А. Калинин // Тезисы I Международной конференции по экранопланам / ИГУ. Иркутск, 1993. - С. 93-94.

175. Якунин, В. И. Моделирование поверхностей законцовок непрерывно-каркасным методом / В.И. Якунин, В.А. Калинин, Ю.И. Бииоков // Тезисы докладов VII-Всероссийской конференции по компьютерной геометрии и графике. Нижний Новгород, 1997. - С. 23 - 26.

176. Atkinson, К. Е. On the order of convergence of natural cubic spline interpolation / K.E. Atkinson // SIAM J. Numer. Anal. 1968. - V. 5. - № l. -P. 89—101.

177. Bezier, P. Example of an existing system in the motor industry: The UNISURF System.-Proc. Royal Soc. London, 1971. - A 321. - P. 207 - 218.

178. Carlson, R. E. Error bounds for bicubic spline interpolation / R.E. Carlson, C.A. Hall // J. Approximation Theory. 1973. - V. 7. - № 1. - P. 41—47.

179. Carlson, R. E. Bicubic spline interpolation in L-shaped domains / R.E. Carlson, C.A. Hal 1 // J. Approximation Theory. 1973. -V.8. - № 1. - 62—68.

180. Coons, S. A. Surfaces for computer aided design of space forms / S.A. Coons // Project MAC, M. I.T., Report MAC-TR-41, 1967.

181. Coons, S. A. Modification of the shape of piecewise curves / S.A. Coons // Computer Aided Design, 1977. V. 3. - № 9. - P. 178 - 180.

182. Costantini, P. On discrete hyperbolic tension splines / P. Costantini, B.I. Kvasov, C. Manni // Adv. Comput. 1999. - V. 11. - P. 331 - 354.

183. De Boor, C. Bicubic spline interpolation / C. De Boor // J. Math. Phys. 1962. - V. 41. -P.212-218.

184. De Boor, C. On calculating with B-splines / C. De Boor // J. Approximation Theory. 1972. - V. 6. - № 1. - P. 50—62.

185. De Boor, C. Splines with nonnegative B-spline coefficients / C. De Boor, J.W. Daniel // Math. Сотр. 1975. - V. 28. - № 126. - P. 565—568.

186. Delbourgo R. Shape preserving piecewise rational interpolation / R. Delbourgo, J.A. Gregory // SIAM J. Sci. and Statist. Comput. 1985. - V.6. - № 4. - P. 967 -976.

187. Eisenstat, S. E. The order of monotone piecewise cubic interpolation / S.E. Eisenstat, K.R. Jackson, J.W. Lewis // SIAM J. Numer. Anal. 1985. - V. 22. -№ 6. - P. 1220 -1237.

188. Ferguson, J. C. Multivarible curve interpolation / J.C. Ferguson // The Boing Co. Seatle: Washington. - Report No D2-22504.

189. Hall, C. A. Uniform convergence of cubic spline interpolants / C.A. Hall // J. Approximation Theory. 1973. - V.7. - № 1. -P. 71—75.

190. Hall, C. A. Bicubic interpolation over triangles / C. A. Hall // J. Math. Mech. -1969. V.19.- № l.-P. 1—11.

191. Hoskins, W. D. Explicit calculation of interpolation cubic splines on equidistant knots / W.D. Hoskins, P.J. Ponzo //BIT.-1972.-V. 12.-№ l.-P. 54 62.

192. Kershaw, D. A note on the convergence of interpolatory cubic splines / D. Kershaw // SIAM J. Numer. Anal. 1971. -V.8. - № 1. - P. 67—75.

193. Lucas, T. R., Error bounds for interpolating cubic spline under various end conditions I T.R. Lucas // SIAM J. Numer. Anal. 1974. - V. 11. - № 3. - P. 569—584.

194. Marsden, M .J. On uniform spline approximation / M. J. Marsden // J. Approximation Theory. 1972. -V. 6. - № 3. - P. 244—253.

195. Marsden, M. J., Cubic spline interpolation of continuous functions / M. J. Marsden // J. Approximation Theory. 1974. - V. 10. - № 2. - P. 103—111.

196. Renka, R. J. Interpolation tension splines with automatic selection of tension factors / R. J. Renka // SIAM J. Sci. Stat. Comp. 1987. - V. 8. - P. 393 - 415.

197. Rentrop, P. An algorithm for the computation of exponential splines / P. Rentrop // Numer. Math. 1980. - V. 35. - P. 81 - 93.