автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Геометрическое моделирование пространственных конструкций

На правах рукописи

БЕЛЯЕВА ЗОЯ ВЛАДИМИРОВНА

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 с и.'.П "П11 I I ,/ „I иЬ II

005547717

Пермь-2014

005547717

Работа выполнена в ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

Митюшов Евгений Александрович, доктор физико-математических наук, профессор

Кашеварова Галина Геннадьевна,

доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой строительных конструкций и вычислительной механики Пермского национального исследовательского политехнического университета

Емельянов Игорь Георгиевич,

доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник Института машиноведения Уральского отделения Российской академии наук

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего

профессионального образования «Южно-Уральский государственный университет» (национальный исследовательский университет) Защита диссертации состоится 20 мая 2014 г. в 14-00 на заседании диссертационного совета Д 212.188.08 при ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» по адресу: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, ауд.345.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» и на сайте http://www.pstu.ru/.

Автореферат разослан «_8_» апреля 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

А.И. Швейкин

Актуальность темы

В различных отраслях техники и строительства широкое применение находят аналитические поверхности. Традиционно используется довольно ограниченный круг поверхностей: сферические, цилиндрические, конические, пологие оболочки переноса и некоторые поверхности вращения, но современная архитектура тяготеет к необычным, оригинальным формам, происходит усложнение используемых геометрических форм, появляется необходимость в новых методах моделирования поверхностей, которые могут быть использованы в качестве основы в архитектурно-строительных задачах при проектировании пространственных конструкций. Решение вопросов конструирования поверхностей является одной из основных задач инженерной геометрии. Задачи геометрического моделирования и их приложения в различных областях рассматриваются в работах H.H. Голованова, А.Ш. Готмана, A.B. Замятина, В.Н. Иванова, С.Н. Кривошапко, A.B. Крутова, В.А. Лебедева, И.Н. Мишанина, О.В. Мысковой, Е.А. Никулина, Е.В. Попова, В.Г. Рекача, А.Г. Трущева, A.JI. Хейфеца и др.

С усложнением применяемых геометрических форм возникают нетривиальные задачи стыковки или сочленения элементов конструкции с другими конструкциями, привязки этой конструкции к основанию, раскроя элементов конструкций. Существующие программные комплексы позволяют создавать модели и выполнять расчеты конструкций практически любой формы, но при этом встроенные функции комплексов ориентированы, в основном, на использование простейших геометрических форм, что затрудняет решение задач геометрического моделирования при проектировании конструкций. Также в силу сложившейся практики использования разных программных комплексов на разных стадиях наблюдается разрыв между методами и моделями, используемыми в архитектурном моделировании, при проектировании и при изготовлении пространственных конструкций, из-за чего геометрическая форма итоговой конструкции может существенно отличаться от изначально задуманной.

Поэтому актуальным является решение задачи геометрического моделирования поверхностей в общей трехмерной постановке, позволяющей

исследовать особенности применения поверхностей с конструктивной параметризацией для моделирования тонкостенных конструкций в строительной и машиностроительной практике и более полно использовать современные технологии.

Цель работы

Разработка математических векторно-матричных моделей поверхностей, алгоритмов трансформации и развертки поверхностей для решения практических задач конструирования, проектирования и изготовления пространственных конструкций с применением компьютерной геометрии.

Задачи работы

- построение для куполов и сводов на круглом и прямоугольном основании математических моделей поверхностей и определение взаимосвязи параметров математических моделей с конструктивными параметрами покрытия;

- разработка векторно-матричных алгоритмов, реализующих кинематический метод геометрического моделирования при формообразовании тонкостенных и стержневых пространственных конструкций с использованием линейчатых поверхностей;

- разработка алгоритмов трансформации поверхностей с применением линейных и нелинейных преобразований при построении математических моделей поверхностей;

- разработка алгоритмов развертки элементов поверхностей с использованием аналитических методов;

- реализация полученных алгоритмов моделирования и раскроя элементов поверхностей при изготовлении мобильных тентовых конструкций.

Научная новизна

- предложена новая разновидность поверхностей - регулярные коноиды и регулярные цилиндроиды, для которых точки пересечения образующей во всех ее положениях с направляющей распределены равномерно;

- получен чередующийся сплайн первого порядка гладкости, преимуществом которого является возможность его задания только

координатами узловых точек с возможностью его аналитического продолжения, показана возможность применения таких сплайнов для задания образующих сложных поверхностей в задачах моделирования элементов пространственных конструкций;

— предложены алгоритмы моделирования элементов развертывающихся поверхностей методом центрального и параллельного проецирования;

— предложены алгоритмы аналитического построения кривых (линий кроя) на плоскости развертки для раскроя конструкций из листовых и тканевых материалов;

— на примерах тентовых шатров и куполов проиллюстрировано применение предложенных алгоритмов формообразования элементов поверхностей и построения разверток как для поверхностей, описываемых непрерывными аналитическими функциями, так и для поверхностей, выраженных кусочно-гладкими функциями, задаваемыми на каждом участке произвольными аналитическими кривыми или сплайнами.

Достоверность результатов

подтверждается реализацией на практике предложенных алгоритмов при изготовлении мобильных быстровозводимых конструкций и совпадением следующих из полученных результатов частных случаев с известными, классическими результатами.

Практическая ценность

заключается в возможности применения разработанных алгоритмов и программных комплексов для формообразования и проектирования сводов, куполов и оболочек на круглом и прямоугольном плане, для проектирования и раскроя листовых конструкций и легких тентовых конструкций из винила. Также результаты работы можно использовать при подготовке бакалавров и магистров по направлениям «Прикладная математика и информатика», «Строительство».

Получен акт о внедрении метода изготовления быстровозводимых сооружений путем раскроя пространственных элементов конструкций из рулонированных материалов в ООО «Рекламно-производственная компания «Берег».

Диссертационная работа выполнена на кафедрах «Теоретическая механика» и «Строительные конструкции» ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет имени первого Президента Б.Н. Ельцина» в рамках госбюджетных тем №815 и №2492.

Апробация работы

Основные результаты исследований, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на Всероссийских школах-конференциях молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» (Пермь, 2007-2010), 5-й Российской научно-технической конференции «Математическое моделирование и компьютерный инженерный анализ» (Екатеринбург, 2008), Международной научно-практической конференции «XXXIX Неделя науки СПбГПУ» (Санкт-Петербург, 2010).

Полностью диссертация обсуждалась на семинарах кафедр «Теоретическая механика» УрФУ, г. Екатеринбург (рук. д.ф.-м.н., доцент С.А. Берестова), «Строительные конструкции» УрФУ, г. Екатеринбург (рук. к.т.н., доцент В.Г. Крохалев), «Математического моделирования систем и процессов» ПНИПУ, г. Пермь (рук. д.ф.-м.н., профессор П.В. Трусов), «Механика композиционных материалов и конструкций» ПНИПУ, г. Пермь (рук. д.ф.-м.н., профессор Ю.В. Соколкин), Института механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь (рук. академик РАН В.П. Матвеенко) и Института «Проектстальконструкция», г. Екатеринбург (рук. к.т.н. C.B. Кудрявцев).

Публикации

Результаты исследований по теме диссертационной работы отражены в 17 публикациях; из них 9 статей [2-3, 6, 8, 10-11, 14-16], 3 из которых опубликованы — в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК, и одна монография [17].

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего 176 наименований. Работа содержит 71 рисунок, изложена на 173 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе получены векторно-матричные алгоритмы геометрического моделирования куполов, сводов и оболочек на круглых, прямоугольных и произвольных четырехугольных основаниях с использованием поверхностей второго порядка. Особое внимание уделено

6

возможностям представления фрагментов поверхностей, моделирующих элементы конструкции, через конструктивные параметры (высота, размеры в плане).

Получены математические модели поверхностей конического, сферического, параболического и гиперболического куполов на круглом плане без отверстий и с центральным купольным отверстием, поверхностей цилиндрических сводов на прямоугольном основании и сводов на прямоугольном основании с использованием канонических уравнений эллипсоида, сферы, параболоида, двуполостного гиперболоида.

Получены ограничивающие соотношения для задаваемых конструктивных параметров куполов и сводов, в моделях которых используются круговые и эллиптические образующие или направляющие.

Выполнено моделирование оболочек в форме гипара на произвольном четырехугольном основании с использованием параметрического уравнения гиперболического параболоида, полученного кинематическим методом.

На основе предлагаемых в первой главе методов и алгоритмов были разработаны комплексы программ для формообразования сводов и куполов на прямоугольном и круглом плане.

Во второй главе рассмотрены аналитические методы конструирования пространственных конструкций с использованием линейчатых поверхностей. Даны алгоритмы построения простейших линейчатых поверхностей, к которым относятся цилиндры и конусы с произвольными направляющими линиями. Рассмотрены способы аналитического построения поверхностей с плоскостью параллелизма - цилиндроидов (рис. 1) и коноидов. Введены в рассмотрение новые линейчатые поверхности - регулярные цилиндроиды (рис. 1) и регулярные коноиды, характеризующиеся равномерным распределением точек пересечения образующей во всех ее положениях с направляющими линиями. Уравнение регулярного коноида имеет вид

г = (1 -(?) + у?34((), 0</<1, 0<у< 1, (1)

где г,2(/), < / < /2 и г34(и), щ <и < и А - функции, задающие направляющий отрезок и направляющую кривую регулярного коноида соответственно, при этом нормировка параметров выполняется согласно равенству

1= 1^1/ .

Рис. 1. Примеры линейчатых поверхностей: а - цилиндроид с направляющими в виде парабол и горизонтальной плоскостью параллелизма; б - регулярный цилиндроид с направляющими в виде дуг окружностей (размеры на рисунке указаны в м)

Уравнение регулярного цилиндроида записывается в виде

г=(1-Х.)Р12(ы(0)+ ^34 МОХ 0<*<1, 0 < Л. < 1,

где участки направляющих кривых М\М2 и М3М4 уравнениями

гп=гп(и), щ<и<и2,

?ЪА =гм(\>), v^<v<v2.

Нормировка параметров и и V для каждой кривой выполняется через единый параметр / согласно следующим равенствам

I и «=]К|/Й4

(2)

Получено общее уравнение линейчатой поверхности

г = гн (и) + [р(м, у) • т(м)]х(и) + [р(и, у) •«(«)] п(и) + [р(а, у) • Ъ (и)\ I (и), (3)

"Л

где гп{и) - радиус-вектор точек направляющей кривой, т, п, Ь - единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали к направляющей кривой, определяемые соотношениями

т(и) =

(4)

р(и, у) - линейная по V вектор-функция скалярных аргументов.

На основе предлагаемых во второй главе методов были разработаны комплексы программ для формообразования оболочек и стержневых конструкций с использованием линейчатых поверхностей.

В общем векторном виде описан метод центрального и параллельного проецирования для получения произвольных по форме и произвольным образом ориентированных в пространстве элементов конических и цилиндрических поверхностей. При этом элемент конической или цилиндрической поверхности задается уравнением

г = vrl¡(u)+{\-v)rn(li), 0 < V < 1, и, <и<иг,

(5)

где г„ = ги(и) - уравнение направляющей кривой, Рп(м) - уравнение проекции направляющей кривой на заданную плоскость. Для цилиндрической поверхности уравнение этой линии в векторной форме имеет вид

- / \ (Яс -г(и))-п-

гп = гн (и) + у -"--1 .

I •п

(6)

а для коническои -

Га = Г5 + ^ " (М)- Г5),

(7)

где п - единичный вектор нормали к плоскости проецирования; гс радиус-вектор произвольной точки С плоскости проецирования; 1 - единичный вектор образующей цилиндрической поверхности; Т8 - центр проецирования для конической поверхности.

Третья глава посвящена разработке принципов геометрического моделирования элементов поверхностей на основе применения произвольных направляющих и образующих линий формообразующих поверхностей. Продемонстрированы возможности использования в качестве направляющих линий цепных и сплайновых линий. Для целей геометрического моделирования пространственных конструкций предложен новый вид сплайна - чередующийся сплайн, состоящий из участков алгебраических кривых третьей и четвертой степени, и проиллюстрированы способы его применения. Данный чередующийся сплайн обладает гладкостью первого порядка, и его построение можно выполнять, начиная с четырех узлов. При увеличении числа узлов интерполяции происходит достраивание сплайна с сохранением вида предыдущих его участков. Перечисленные свойства чередующегося сплайна в достаточной степени удовлетворяют требованиям геометрического моделирования образующих и направляющих линий при конструировании элементов пространственных конструкций произвольных криволинейных очертаний. Примеры поверхностей, полученных с использованием чередующихся сплайнов в качестве образующих поверхностей вращения, представлены на рис. 2.

Рис. 2. Примеры поверхностей вращения с образующими в виде чередующихся сплайнов (размеры на рисунке указаны в м)

Получен кинематический метод построения канаповых поверхностей с произвольной направляющей линией и изменяющейся по заданному закону образующей линией. При кинематическом методе построения каналовых поверхностей они генерируются путем перемещения образующей. Это перемещение задается некоторой функцией параметра с физическим смыслом

времени движения. В качестве параметров при получении уравнения поверхности принят угол поворота ср и «время» t при слежении за точками поверхности в винтовом движении наблюдателя вдоль некоторой направляющей кривой гн = rH(t).

В этом случае положение точек поверхности определятся соотношением

Г = rH(t)+ (р(/,ф)- n(t)) n(t)+ (р(г,ф)-б(г))б(/)+ (р(г,ф)- т(0) t(f), (8)

где т(t), n(t), b(t) - единичные векторы касательной, нормали и бинормали направляющей кривой, р(t, ф) - функция, переменная в общем случае по двум параметрам, определяющая характер изменения координатных линий t = const.

На нескольких примерах проиллюстрирована возможность применения каналовых поверхностей при моделировании сводов и оболочек (рис. 3).

Рис. 3. Поверхность с образующей в виде удлиненной гипоциклоиды и направляющей в виде синусоиды (размеры на рисунке указаны в м)

Описаны возможности использования матричных алгоритмов для расширения форм моделируемых поверхностей за счет применения линейных и нелинейных преобразований и получения сложных сплошных и сетчатых пространственных конструкций методом композиции аналитических примитивов. На рис. 4 представлено применение нелинейных преобразований для моделирования гладких поверхностей на примере трансформации эллипсоида вращения.

Четвертая глава посвящена математическим и технологическим аспектам проектирования тентовых и листовых конструкций, моделируемых элементами развертывающихся поверхностей.

б

в

Рис. 4. Трансформации эллипсоида в результате гладких преобразований (размеры на рисунке указаны в м)

Записаны алгоритмы построения кривых на плоскости развертки (линий кроя), в которые трансформируются кривые, принадлежащие цилиндрическим, коническим и торсовым поверхностям.

Уравнение кривой, в которую трансформируется кривая ?н(м) при развертывании цилиндрической поверхности на декартову плоскость развертки (£,,г|), имеет вид

"1 < 4 П = г(и\

. 2 / х 2

с1х \ ( йу

с1и

с1и,

(9)

Уравнение развертки кривой гн = {х(и ),у{и ),г(и)}, щ<и<и2 конической поверхности записывается в полярных координатах

щ<и<и2. (10)

Ребро возврата гИ = гИ (и) торсовой поверхности на плоскости развертки ОЪу\, ось О^ которой направлена по касательной к ребру возврата в его

начальной точке, описывается следующим уравнением в параметрической форме:

"л^/^ {'гк(м)хгн("1 1

$ = 2 Чи Ж,

1«, к И

ы, <и <иг.

(11)

^--г—-¿и

К и

Показано применение рассмотренных алгоритмов на примере формообразования тентовых шатров и получения выкроек их элементов.

В частности, на примере моделирования купола тентового шатра (рис. 5), представляющего собой наклонную натяжную конструкцию с пятиугольным основанием, продемонстрирован способ моделирования элементов цилиндрических поверхностей методом центрального проецирования.

После получения математической модели шатра найдены выкройки его формообразующих элементов (рис. 6) с помощью формулы (9), задающей уравнения линий кроя для произвольных цилиндрических поверхностей.

Методы моделирования элементов конических поверхностей и получения их разверток по формулам (10) продемонстрированы на примере формообразования и раскроя фигурного козырька (рис. 7).

На основе предлагаемых в четвертой главе методов и алгоритмов были разработаны комплексы программ для формообразования и построения линий кроя для изготовления конструкций из тканевых и листовых материалов.

Рис. 5. Модель тентового шатра

I\

1 I I \

I \ / \

/ \

L

/ \

Рис. 6. Развертки формообразующих элементов тентового шатра

Рис. 7. Фигурный козырек: а - общий вид; б - выкройка

При выполнении диссертационной работы использовались программные комплексы AutoCAD (Serial № 252 52646554) и Mathcad (№ 00-53-45-00-00-00-00-ID-7D-CA-AC-17).

В результате проведенных исследований, в соответствии с поставленной целью и решаемыми задачами, были достигнуты следующие результаты.

Заключение

1. Получены математические модели для конструирования сводов, куполов и оболочек на круглом и прямоугольном плане, позволяющие строить часть поверхности, необходимую для решения практической задачи, и непосредственно использовать конструктивные параметры конструкции при ее моделировании.

2. Построен новый класс поверхностей, называемых регулярными коноидами и регулярными цилиндроидами, для которых точки пересечения образующей во всех ее положениях с направляющей распределены равномерно,

благодаря чему возможно равномерно располагать армирующие элементы или элементы опалубки при проектировании или изготовлении конструкций.

3. Проведенное исследование показало, что кинематический метод моделирования однополостных гиперболоидов и гиперболических параболоидов с использованием операции переноса их прямолинейных образующих позволяет упростить расчеты и технические операции при изготовлении и возведении строительных конструкций на основе этих поверхностей.

4. Разработаны алгоритмы трансформации поверхностей с применением линейных преобразований для построения математических моделей пространственных конструкций.

5. С использованием аналитических методов разработан алгоритм и на его основе реализован программный комплекс по построению разверток элементов конических и цилиндрических поверхностей, ограниченных произвольными линиями.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Геометрическое моделирование пространственных конструкций // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета: научно-технический журнал. - Томск: ТГАСУ, 2010. - № 1 (26). - С. 53-63.

2. Беляева З.В., Митюшов Е.А.Формообразование и раскрой линейчатых элементов пространственных конструкций // Монтажные и специальные работы в строительстве: научно-технический и производственный журнал. - М., 2011. - № 2 (826). - С. 7-10.

3. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Использование аналитических методов при формообразовании и раскрое линейчатых элементов тентовых конструкций // Промышленное и гражданское строительство. - М.: Изд-во ПГС, 2012. - №2. - С. 29-31.

Публикации в прочих изданиях

4. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Математическое моделирование элементов строительных конструкций// Математическое моделирование в естественных науках: тезисы докладов 16-й Всерос. конференции молодых ученых. - Пермь: ПГТУ, 2007. - 118 с.

5. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Математическое моделирование элементов строительных конструкций // Математическое моделирование в естественных науках: сб. трудов 16-й Всерос. конференции молодых ученых. - Пермь: ПГТУ, 2007.

6. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Математическое моделирование гипаров // Строительство и образование: сб. науч. тр. - Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2007. - №10. - 234 с.

7. Беляева З.В., Ефремов Н.С. Определение матриц эффективных жесткостей композиционных пространственных конструкций // Механика микронеоднородных материалов и разрушение: тезисы докладов 5-й Всерос. конференции. - Екатеринбург, 2008. -С. 111.

8. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Математическое моделирование элементов поверхностей // Математическое моделирование в естественных науках: тезисы докладов 17-й Всерос. конференции молодых ученых. - Пермь: ПГТУ, 2008. - 91 с.

9. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Математическое моделирование сводов и куполов // Строительство и образование: сб. науч. тр. - Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2008. —№11. — 235 с.

10. Беляева З.В., Митюшов Е.А., Митюшова JI. Л. Гладкие отображения поверхностей // Математическое моделирование и компьютерный инженерный анализ: тезисы докладов 5-й Рос. науч.-техн. конференции. — Екатеринбург, 2008. — 95 с.

11. Беляева З.В., Митюшов Е.А., Митюшова Л. Л. Проектирование натяжных конструкций // Строительство и образование: сб. науч. тр. - Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2009. - №12. - 280 с.

12. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Проектирование и раскрой тентовых конструкций К Математическое моделирование в естественных науках: тезисы докладов 18-й Всерос. конференции молодых ученых. — Пермь: ПГТУ, 2009. - 123 с.

13. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Определение внутренних усилий в натяжных тентовых конструкциях // Научные труды XVII международной конференции молодых ученых по приоритетным направлениям развития науки и техники: сборник статей. В 3 ч. — Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2009. - Ч. 3. - С. 257-261.

14. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Кинематический метод построения каналовых поверхностей // Прикладная геометрия: электронный журнал. -М.: МАИ. - Вып. 12, N 25 (2010). - С. 1-8. -http://www.apg. mai.ru/Volume 12/Number25/beI 1225 .pdf

15. Беляева З.В., Митюшов Е.А. Применение метода параллельного и центрального проецирования при формообразовании и раскрое линейчатых элементов пространственных конструкций // Математическое моделирование в естественных науках: тезисы докладов 19-й Всерос. конференции молодых ученых. - Пермь: ПГТУ, 2010.

16. Беляева З.В., Митюшов Е.А.Использование аналитических методов при формообразовании и раскрое линейчатых элементов пространственных строительных конструкций // XXXIX Неделя науки СПбГПУ: материалы международной научно-практической конференции. Ч. I. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2010. - С. 361-362.

17. Митюшов Е.А., Беляева З.В. Геометрическое моделирование пространственных конструкций. - LAP Lambert Academic Publishing, 2011. - 144 с.

Подписано в печать 20.03.2014. Формат 60 х 90/16. Набор компьютерный. _Усл. печ. л.1. Тираж 100 экз._