автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Эволюция сложных распределенных систем, развивающихся в режиме с обострением

На правах рукописи

Белавин Владимир Анатольевич

ЭВОЛЮЦИЯ СЛОЖНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ, РАЗВИВАЮЩИХСЯ В РЕЖИМЕ С ОБОСТРЕНИЕМ

Специальность: 05 Л 3.18 - Математическое моделирование.

Численные методы и комплексы программ.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2005

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН.

Научные руководители:

член-корр. РАН,

доктор физико-математических наук, профессор [Курдюмов сЩ

доктор физико-математических наук, профессор Капица СЛ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Чернавский Д.С.,

кандидат физико-математических наук с.н.с. Куркина Е.С.

Ведущая организация:

Институт математического моделирования РАН

Защита состоится "2-1" cPiCfiMs/ù^t— 2005 г. в часов на заседании

Диссертационного Совета К 501.001.11 по адресу:

119992 г. Москва, Ленинские горы, Научно-исследовательский вычислительный центр Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, конференц-зал НИВЦ МГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВЦ МГУ.

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь Здссертационного совета с.ф.-м.н.

В.В.Суворов

1

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию свойств решений задачи Копти для квазилинейного уравнения теплопроводности с источником, построению на основе указанной задачи синергетической модели эволюции сложных систем, развивающихся в режиме с обострением, и применению данной модели для исследования закономерностей развития глобальной демографической системы.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

«Наука наших дней претерпевает глубокие изменения, затрагивающие практически все ее сферы, что позволяет говорить о вхождении ее в качественно новый, постклассический этап развития. Эти изменения вызваны как внутренней логикой развития самой науки, во многом обусловленной ее переходом к познанию сложно-организованных систем, так и всем ходом развития современной цивилизации <...>. Эти тенденции могут иметь самые разные проявления, но в своем, по-видимому, наиболее концентрированном виде они нашли свое выражение в синергетике»1.

Синергетика - это современный этап развития идей кибернетики и теории систем, В то же время синергетика несет в себе нечто принципиально новое. Кибернетика и различные варианты общей теории систем изучают в основном процессы поддержания равновесных состояний в технических, биологических, социальных системах, посредством использования механизмов отрицательной обратной связи, и рассматривают, как правило, случаи, когда нелинейная система может быть представлена как квазилинейная. Синергетика же занимается исследованием физических основ самоорганизации, изучает существенно неравновесные системы и существенно нелинейные процессы их эволюции.

Синергетика предлагает свою парадигму построения моделей эволюции сложных систем, требует учета не только временных, но и пространственных закономерностей процессов и их взаимного влияния. Краткая характеристика синергетической модели включает в себя три основные идеи: нелинейность, открытость, диссипативностъ.

Нелинейность, избирательность, необычная, на первый взгляд, реакция на внешние воздействия, когда «правильное» воздействие оказывает большее влияние на эволюцию системы, чем воздействие более сильное, но организованное не адекватно ее собственным тенденциям.

Открытость, наличие нелинейных обратных связей, нелинейных внешних источников и стоков (энергии, ресурсов, информации и пр.), необходимое условие существования неравновесных состояний.

Дисетпативность. макроскопическое проявление хаотических процессов, протекающих

1 В.С.Степин, В.Й.Аршинов. Предисловие //Сб. «Самоорганизация и на

на микроуровне. Это - фактор «естественного отбора», разрушающий все, что не отвечает тенденциям развития, «молоток скульптора», которым тот отсекает все лишнее от глыбы камня, создавая скульптуру. Кроме того, это - фактор когерентности, связывающий отдельные части в сложной структуре, устанавливающий в них общий темп развития. Наконец, это - причина появления в системе «стрелы времени», указывающей направление эволюции системы.

Начиная с работ А.Н.Колмогорова, И.Г.Петровского, Г.С.Пискунова, А.Тюринга, ИЛригожина, Г.Хакена и др. при моделировании явлений самоорганизации в различных системах часто используют математические модели, в основе которых лежат системы нелинейных параболических уравнений типа реакция-диффузия. Например, одно уравнение с одной пространственной переменной:

ди__д_

3/ дх

дх

= б(и). (1)

Здесь ( - время, х - пространственная координата; и - это, например, концентрации химических веществ, различные температуры (электронные, ионные) в плазме, различные виды в биологии, товары в экономике, группы расселения в социальных науках. Объемные источники и стоки в правой части могут толковаться как нелинейное влияние обратных связей в физических, биологических, экономических и других системах..

В работах В.А.Галакшонова, А.А.Самарского, С.П.Курдюмова было показано, что нелинейные зависимости С ш ъ уравнении (1) во многих случаях приводят к

неограниченному возрастанию функции и за конечное время (режиму с обострением).

Режимы с обострением имеют место в большом количестве реальных систем. Сверхбыстрые процессы, идущие в режиме с обострением, имеют приложения во многих областях науки, физике, химии, социологии и др., связаны с глобальным прогнозированием и механизмами прохождения кризисов - актуальнейшей проблемой современности.

Особенностью режимов с обострением (для одного уравнения вида (1)) является вырождение многих сложных нелинейных зависимостей С(и), (}(и) в (1) в более простые виды зависимостей. В таких случаях на асимптотической стадии уравнение (1) можно заменить (в зависимости от вида С(ы) и 0(и)) на:

уравнение с экспоненциальными коэффициентами Соехр(ст) и 0оехр(/&); уравнение со степенными коэффициентами Соисти уравнение Гамильтояа-Якоби; при этом только уравнения со степенными зависимостями обладают сложным спектром устойчивых (или метастабильяых) динамических структур1.

Эти математические идеи и выводы были сформулированы в работах С.П.Курдюмова и

1В .А.Галактионов, Д.А.Самарский. Методы построения приближенных автомодельных решений нелинейных уравнений теплопроводрости.//Мртеем. сборник.1982. Т.118, №3. С. 222-322. Т. 121, №2, С, 131-155.

Е.Н.Князевой1 в виде антропного принципа в синергетике:

- при развитии режимов с обострением только узкий класс моделей (со степенными зависимостями для С = С& и°, @ - , и только в определенном диапазоне значений а и Д) может описывать эволюцию сложных систем с большим числом различных структур и форм организации.

Синергетика уже долгое время успешно применяется для построения моделей в различных естественных науках, например, открытие Т-слоя в плазме, или моделирование сложных химических процессов при каталитических реакциях. Использование синергетического подхода для поиска универсальных принципов формирования и эволюции сложных систем, необходимых для моделирования эволюционных процессов и катастрофических ситуаций, является аюуальной задачей современных системных исследований, выходящей за рамки конкретных приложений.

Сложные распределенные системы являются нелинейными и многопараметрическими объектами. Они требуют разработки специальной стратегии исследования и эффективных вычислительных технологий.

Для численных расчетов режимов с обострением необходимы алгоритмы, позволяющие рассчитывать значения неременных, изменяющихся в сотни и тысячи раз. Многопараметричность приводит к необходимости создания специальных методов анализа решений, сравнения их с экспериментальными данными, выделения параметров порядка.

Одной из важных и интересных систем, развивающихся в режиме с обострением, является демографическая система. С точки зрения системного подхода понятие "демографическая система" является синонимом понятия "население", и обозначает "ту же совокупность людей, которая составляет и общество, но рассматриваемую с точки зрения возобновления поколений"2.

В последнее время стала очевидной необходимость рассмотрения народонаселения Земли как единой распределенной нелинейной системы. Одним из ключевых моментов системного подхода в демографии является выявление законов развития всей демографической системы, неизменных в течение длительного времени. Таким фундаментальным законом является гиперболический закон роста населения Земли. Современные специальные исследования соответствующей модели и сравнение ее с кривыми, построенными на основе реальных исторических данных о численности народонаселения мира в различные эпохи, приведены в работах С.П-Капицы3. В них показано, что развитие человечества в течение 100 ООО лет и более происходит в режиме с обострением:

1 Е.Н.Князева, С.П.Курдюмов. Антрошшй принцип в синергетике. //Вопр. Философии, 1997. №3, С. 62-79.

2 Вишневский А.Г. Воспроизводство населения и общество, М.: Финансы и статистика, 1982.

3 Например, в статье: Капица С.П. Математическая модель роста народонаселения Земли. //Матем. Моделирование. 1992. Т.4. № б. С.65-79.

С0 = 186x109, То - 2007 год.

Изучение внутренних законов пространственно-временной эволюции сложных систем, развивающихся в режиме с обострением (и, в частности, демографической системы), основанное на математическом моделировании, сбалансированном сочетании аналитических и численных методов исследования, является актуальной задачей современной прикладной математики.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель данной диссертационной работы:

- Численное построение и исследование решений задачи Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности с источником, развивающихся в режиме с обострением. Исследование решений системы уравнений, полученной методом осреднения. Сравнительный анализ фазовых траекторий метода осреднения и фазовых траекторий задачи Коши. Исследование применимости метода осреднения для построения решений указанной задачи.

- Исследование поведения решений осредненной системы и решений задачи Коши при введении флуктуаций различного вида.

- Построение на основе синергешческого подхода математической модели эволюции сложных распределенных систем, развивающихся в режиме с обострением. Применение построенной модели для описания эволюции демографической системы. Исследование зависимости закономерностей развития от значений параметров модели. Изучение устойчивости решений, развивающихся в режиме с обострением, по отношению к флуктуациям различного вида.

Для достижения сформулированных целей в диссертационной работе были поставлены следующие основные задачи:

1. Реализация численных методов решения задачи Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности со степенным видом зависимостей в коэффициенте теплопроводности и источнике.

2. Разработка и реализация алгоритмов автомодельной обработки и построения фазовых траекторий решений указанной задачи.

3. Реализация численных методов построения решений методом осреднения.

4. Разработка алгоритмов сравнительного анализа фазовых траекторий метода осреднения и фазовых траекторий задачи Коши.

5. Сопоставление полученных численных результатов с известными из аналитических исследований свойствами решений указанной задачи.

6. Разработка методики включения в исследуемую задачу флуктуаций различного вида.

7. Построение комплекса программ, позволяющего проводить численное исследование

решений задачи Коши, развивающихся в режиме с обострением, и решений осредненной системы, их анализ при различных значениях параметров и при наличии флуктуаций различного вида.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

В результате проведенного автором исследования были получены новые результаты, касающиеся выхода на автомодельный режим решений задачи Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности с источником; асимптотического поведения фазовых траекторий, определения границ применимости метода осреднения.

Автором был создан комплекс программ для исследования и анализа в диалоговом режиме закономерностей эволюции сложных распределенных систем, развивающихся в режиме с обострением.

Автором впервые была построена и исследована при помощи разработанного комплекса программ математическая модель, основанная на синергетическом подходе, описывающая глобальную пространственно-временную эволюцию демографической системы. Было произведено подробное изучение свойств модели, их чувствительности к изменению параметров, устойчивости по отношению к флуктуациям различного вида. Были подобраны параметры модели, позволяющие впервые математически описать некоторые известные демографические и антропологические данные, не описываемые другими существующими моделями.

ВКЛАД АВТОРА

Включенные в диссертацию основные результаты получены лично автором. Все численные исследования, приведенные в диссертации, являются личным вкладом автора.

Комплекс программ для численного исследования описанных в диссертации задач и моделей и обработки полученных результатов разработан лично автором.

Автор непосредственно участвовал в математической постановке задач, в разработке новой модели глобальной демографической системы, в анализе и интерпретации результатов исследования.

Полный список печатных работ с участием автора содержит 35 наименований, в том числе 19 наименований, отражающих содержание диссертации (в том числе 4 статьи в реферируемых журналах, 4 статьи в сборниках статей, 9 статей в трудах конференций и 2 препринта).

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Основные результаты диссертации представлялись на Московском синергетическом Форуме в 1996, на Международной научно-практической конференции «Анализ систем на

рубеже тысячелетия» в 1999, на Международной Школе по нелинейной динамике в 2000, на VIII и IX Международных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» (2001,2002), на Научных, конференциях «Ломоносовские чтения» (2002, 2003), на IV и V Всероссийских конференциях молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (2003, 2004), докладывались на семинарах в ИПМ РАН, ИНП РАН, РАГС и МГУ, публиковались в научных журналах и сборниках статей.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения, содержит 101 страницу, включает в себя 24 рисунка, 5 таблиц и список цитируемой литературы из 59 наименований.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность проблем, исследованных в диссертационной работе, и сформулированы цели исследования. Дан обзор современных методов исследования на основе синергетического подхода. Отмечена роль уравнений типа «реакция-диффузия» в исследовании свойств и законов развития сложных систем, развивающихся в режиме с обострением. Кратко изложены содержание глав диссертации и полученные автором результаты.

В ГЛАВЕ 1 сформулирована математическая постановка задачи:

I-0'

u(r,Q)~u0(r); и,(0,0 = 0; (3)

u(r,t) 0,г -> оо; rNAuffux -> 0,г -> оо; о■ - const >0, fi = const >1, С- const >0, Q- const > 0.

Выписаны необходимые понятия и известные свойства решений задачи (З)1:

- При Р> 1 задача (3) имеет решения, развивающиеся в режиме с обострением:

3tf < оо: sup и(х>t) +00,t tj,

^•называется моментом обострения.

- Уравнение (3) имеет автомодельные решения:

ua(r,t) = (tf-tylJ^m, £ = x/(tf-t)B, (4)

В = Q.5(J3 - er -1) -1). А<э)~ автомодельный профиль решения, определяемый уравнением:

1 См., например: А.А.Самарский, В.А.Галакгионов, СЛЛСурдюмов, А.П.Михайлов. Режимы с обострешем в задачах дош квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 19Е7.

ГГ+аГ*-1/'2*/* "т^Цг/- ЦГ§+2-гГГ= о Ср-1) 4

с граничными условиями:

(б)

- Решение и(г,() локализовано, если множество

ограничено. Диаметр множества О. называется шириной области локализации решения.

При <х+1</?<с7+1 + НИ автомодельное решение не является локализованным. При 1 для неавтомодельного решения задачи (3) с финитной начальной функцией щ(г) с достаточно малым диаметром носителя С.П.Курдюмовым была получена оценка ширины области локализации:

- 2 стадии режима с обострением:

квазистационарная стадия - шах и£г,{) < 1,

стадия сверхбыстрого роста (обострения) - юах » 1,

- Основные типы режимов с обострением в задаче (3):

Ш-режим: 1 <$< сг+ 1; в-режим: <?+1; Ь8-режим: /?> сг+ 1.

И£-режим с сильной нелинейностью в источнике: /?> а +1 + 2/К

В главе 1 описываются также: 1. Методика численного построения решений задачи (3), развивающихся в режиме с обострением.

Испрльзуется чисто неявная разностная схема:

(Т __иг

а

(7)

Для решения используется метод итераций;

+ 0*)'.

Здесь ух (у/) - значение в г'-й точке сетки на нижней (верхней) итерации.

Пространственный шаг схемы к выбирался постоянным в пределах 0.01-0.001, шаг по времени г выбирается из оценки расстояния до момента обострения по значению максимума у}\

/л - некоторая постоянная, выбираемая в пределах 0.01-0.1, гтах- максимальное значение шага, находящееся в пределах 0.1-10.

Данная разностная схема устойчива и имеет порядок аппроксимации 0(г+И2). Она позволяет получить решение как минимум до 0.99// (Т* уменьшается на 2-3 порядка).

2. Определение характерного времени выхода на автомодельный режим.

Впервые показано, что для малых начальных функций выход на автомодельный режим происходит на квазистационарной стадии.

3. Свойства решений задачи (3), полученных методом осреднения. Решения задачи (3) ищем в следующем виде:

Подставив (8) в уравнение (3) и проинтегрировав на полупрямой (0,оо) с весом и(г,{) и с ;сом 1, получим осредненную систему уравнений:

т = ПШ1 (/¿Г*,гтах), Г* = (тахЛ ) ^,

= 0)

(8)

ф = (р.

(9)

Здесь

-Х=г=2Е, Г=2.Р-(7, Т-2(0-]7),

Общий интеграл фазовых траекторий осредненной системы для случая N=1: при р а+ 3:

р-а-Ъ

-при /?= ег+3:

4. Результаты численного исследования осредненной системы (9).

Построены численно графики фазовых траекторий решений осредненной системы для

различных режимов с обострением (Фиг. 1). Проведена оценка устойчивости автомодельных решений на основе метода осреднения.

Разработаны алгоритмы автомодельной обработки и построения фазовых траекторий решений задачи Коши, алгоритм сравнительного анализа эволюции численных решений задачи Коши и решений, полученных методом осреднения.

а)

logg 1

/ ч

1од<? к

6)

Фиг. 1. Фазовые траектории решений осредненной системы: а) Ьв-режим, 1, ¡5= 1.8, а= 0.4. б) Н8-режим,N= 1,0= 1.4, сг= 0.7. А - автомодельная фазовая траектория.

Указанные алгоритмы реализованы в комплексе программ для исследования свойств модели, основанной на задаче Коши (3) и позволили автору получить критерий применимости метода: метод осреднения позволяет правильно описать решения задачи (3), развивающиеся в ЬБ-режиме с обострением, только при ¡3< сг+1 + 2/ТУ.

а)

б)

Фиг. 2. Фазовые траектории для случая Ь8-режима с сильной нелинейностью в источнике, Л'' — 1, /? > а + 3; а) осредненная система, б) численное решение уравнения в частных производных.

и

Автором показано, что при всех значения параметров задачи /?и сг фазовые траектории задачи Коши имеют автомодельную асимптотику при стремлении к моменту обострения (в отличие от решений, полученных методом осреднения).

На Фиг. 2 (а, б) изображены фазовые траектории для случая Ьв-режима с сильной нелинейностью в источнике (ЛГ= 1, у?> ег+ 3), когда метод осреднения не позволяет описать эволюцию решений, развивающихся в режиме с обострением. Фазовые траектории осредненной системы (Фиг. 2а) имеют неавтомодельную асимптотику при % —> оо, тогда как асимптотика фазовых траекторий численных решений (Фиг. 26) автомодельная.

В ГЛАВЕ 2 изложены результаты численных исследований задачи Коши (3) при наличии флуктуаций различного вида и проведен анализ устойчивости этих решений.

Впервые показано, что флуктуации, изменяющие форму профиля решения, но не меняющие значение его пространственного интеграла, могут привести к выделению в эволюции решений нескольких периодов с сокращающейся по линейному закону (при приближении к моменту обострения) длительностью.Рассмотрены некоторые возможности обобщения исследуемой задачи:

- влияние на эволюцию решений дополнительного линейного стока (появление на фазовой плоскости сепаратрисы, отделяющей область, в которой решения развиваются в режиме с обострением; на стадии обострения практическое отсутствие влияния на эволюцию решения).

- влияние интегральных (энергетических) флуктуаций, в особенности в критические периоды (в области смены режима, вблизи момента обострения). Впервые показана возможность того, что флуктуации параметров задачи С и <2 могут привести к смене глобального режима развития (с роста в режиме с обострением на режим уменьшения концентрации и пространственного распространения).

В ГЛАВЕ 3 предложена новая математическая модель демографической системы -сложной распределенной системы, развивающейся в режиме с обострением. Предложенная модель рассматривает население Земли как единую эволюционирующую и самоорганизующуюся демографическую систему.

Кратко изложен путь формирования системного подхода в демографических исследованиях и описана предложенная С.П.Кашщей модель, описывающая рост численности населения Земли, как единой нелинейной распределенной системы, в режиме с обострением (2) в течение более ста тысяч лет, см. Фиг. За.

Формулируются некоторые важные проблемы, не решенные в рамках модели СЛКапицы и моделей, основанных на рассмотрении человечества как единой сложной нелинейной системы1, но не учитывающих пространственное распределение народонаселения:

1 Например, модель, предложенная в работах А.В Подлазова. См.: А.В.Подлазов. Основное уравнение теоретической демографии и модель глобального демографического перехода. //Препринт №88 ИПМатем. РАН, 2001,

постоянство гиперболического закона роста в течение длительного времени, существование периодов в историческом развитии человечества.

Обосновывается необходимость моделирования эволюции глобальной демографической системы в рамках синергетического подхода.

В основу модели эволюции демографической системы положена исследованная в главах 1, 2 задача Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности со степенным источником и степенной нелинейностью в коэффициенте теплопроводности для случая N = 1 (одномерная задача) и N = 2 (задача с радиальной симметрией).

ди

1 ^(г^Си'^ + Ои"; г>0, />0,

аЛ

дг)

и(г,0)=«0(г); «ДО,Г) = 0;

<т = соп^>0, /?=сопй>1, С = сопй*>0, <2=сопй>0.

Число 5 людей

|-10ипрд 1 млрд

5-100 млн

е-10 млн -1 млн -100 тыс -10 тыс зг-1000

ргггттгт—[ггттпт

10 млн 1 млн

|1ШП I I—|П!Н I I I—[ПИП I I—¡ЩИ I I I 100 тыс 10 тыс 1 000 100 лет назад

100

Фиг. За. График роста численности населения Земного шара согласно демографическим данным и согласно теории СИКадацы.

В данной задаче искомая функция и{г,() соответствует усредненной (по определенным интервалам времени и областям пространства) плотности пространственного распределению народонаселения, пространство считается однородным; все нарушения однородности и отклонения от усредненной плотности населения рассматриваются как флуктуации. Источник отражает наличие взаимодействия между людьми, как компонентами демографической системы. Диффузионный член выражает наличие в системе хаотических микропроцессов.

Проведена оценка значений параметров модельной задачи для демографической системы, исходя из соответствия между пространственным интегралом функции и(г$ и законом роста полной численности народонаселения (2), а также из предположения, что ширина области локализации решения задачи Копш (3) по порядку величины близка к размерам Земного шара ~ 104 км. При этих условиях величины С ъ. О, имеют порядки 104и Ю-6 соответственно. Значения параметров и а оценивались из соответствия между периодами развития решения модельной задачи (при введении флуктуаций) и имеющимися историческими данными.

Фиг. 36. График роста полной численности народонаселения, согласно исследуемой модели, при наличии флуктуаций.

Были получены оценки: сг~ 0.1-0.5; 3/7= <т+ 5 для одномерной задачи, 2/?= сг+ 3 для задачи с радиальной симметрией.

Предложенная в диссертации модель позволяет применить к изучению демографической системы многие результаты, полученные в последние десятилетия в синергетике и ее различных приложениях1. Построенная модель дает ряд качественных и количественных соответствий между полученными результатами и данными демографических и исторических исследований.

Показано, что данная модель (в отличие от других моделей, основанных на системном подходе, но не учитывающих пространственное распределение народонаселения) описывает появление в эволюции периодов с сокращающимся степенным образом характерным временем качественных изменений системы (см. Табл.1 и Фиг.4).

10 000 1000 100 лет назад

Фиг. 4 Картина поведения фазовой переменной <р({) относительно невозмущенного решения сро(1) для системы с тем же моментом обострения (сг= 0.2, /?= 1.6).

Табл.1. Исторические периоды человечества

развитии

1 См., например, работы ИЛригожина, АА.Самарского, СЛ.Курдюмова, В.А.Галактионова, Г.Г.Малинецкого и др.

Показано, что модель описывает также неравномерность развития различных регионов Земли в настоящее время, постоянство на протяжении длительного времени (несмотря на присутствие в системе флуктуаций) закона роста полной численности народонаселения (см. Фиг. 36). Модель позволяет также описать возможность перехода демографической системы от роста в режиме с обострением к другому режиму эволюции. В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированы основные заключения и выводы.

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получен и исследован ряд новых свойств решений задачи Копш для квазилинейного уравнения теплопроводности с источником. Впервые показано, что для малых начальных функций выход на автомодельный режим происходит уже на квазистационарной стадии, далекой от момента обострения.

Впервые показано, что асимптотики фазовых траекторий решений задачи Копш, развивающихся в режиме с обострением, всегда являются автомодельными, и указан критерий, определяющий границы применимости метода осреднения для построения решений задачи Коши, развивающихся в режиме с обострением. Впервые показана возможность перехода между фазовыми траекториями решений при наличии флуктуаций параметров модели.

2. Создан комплекс программ для исследования закономерностей эволюции нелинейной распределенной системы, описываемой моделью на основе задачи Копш для квазилинейного уравнения теплопроводности с источником, позволяющий в диалоговом режиме изменять параметры модели, следя за соответствием между получаемыми результатами и известными данными.

Разработаны алгоритмы автомодельной обработки и построения фазовых траекторий решений данной задачи. Предложен новый алгоритм сравнительного анализа эволюции численных решений задачи Копш и решений, полученных методом осреднения.

3. Впервые предложена математическая модель демографической системы, рассматривающая человечество как единую нелинейную распределенную систему. Предложена методика определения диапазона значений параметров модели.

Показано, что закон роста полной численности народонаселения Земли сохраняется при наличии флуктуаций пространственного распределения населения. Впервые показано, что флуктуации пространственного распределения приводят к появлению в эволюции человечества нескольких периодов с сокращающейся (по мере приближения к настоящему времени) длительностью. Впервые показано, что флуктуации параметров модели могут служить механизмом смены глобального закона роста.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ опубликованы в следующих работах:

1. Belavin V.A., Knyazeva E.N., Kurdyumov S.P. Blow-up regimes and laws of coevolution of complex systems. //Phys. techn. Journal. 1997. V.3, №1. P.107-113.

2. Белавин В.А., Курдюмов СЛ.. Математическая модель глобальных демографических процессов. Препринт №97 ИПМатем. РАН, 1996.

3. Белавин В.А., Курдюмов СЛ.. Режимы с обострением. Законы самоорганизации коэволюции сложных систем. //Проблемы перехода России к устойчивому развитию. Матер, научн.-практ. семинара. Москва, 1997. С.282-288.

4. Белавин В.А., Князева E.H., Курдюмов С.П. Модели синергетики и развитие человечества. //Синергетика и образование. М., Гнозис, 1997. С. 13-32.

5. Белавин В.А. Квазилинейное уравнение теплопроводности с источником. LS-режим. Метод осреднения и автомодельность. Препринт №51 ИПМатем. РАН, 1998.

6. Белавин В.А., Капица СЛ., Курдюмов СЛ. Математическая модель демографических процессов с учетом пространственного распределения. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т.38. №6. С.885-902.

7. Белавин В.А., Курдюмов СЛ. Синергетика и демография. Глобальные проблемы и надежды на рубеже веков. //Материалы международной научно-практической конференции «Анализ систем на рубеже тысячелетия». М.,1999. С. 72-91.

8. Белавин В.А, Князева E.H., Курдюмов С.П. Новые типы связи пространства и времени в сложных системах. //Материалы международной научно-практической конференции «Анализ систем на рубеже тысячелетия». М.,1999. С. 38-40.

9. Белавин В.А., Курдюмов СЛ. Глобальный демографический кризис: опасности и надежды. //Синергетика-1999. М., МГУ, 1999. С. 5-16.

10. Белавин В.А., Курдюмов СЛ. Режимы с обострением в демографической системе. Сценарий усиления нелинейности. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40. №2. С. 238-251.

11. Белавин В.А., Курдюмов СЛ. О применимости метода осреднения к задаче Коши для уравнения ut=(uaux)x+uß.// Доклады РАН, 1999, т.367, №1. С. 31-34.

12. Белавин В.А. Синергетический подход к исследованию демографических процеесов.//Тезисы Восьмой международной конференции «Математика. Образование. Компьютер», 2001. С. 128.

13. Белавин В.А. Синергетический подход к моделированию глобальных демографических процессов. // Сб. Синергетика, философия, культура. М., Изд-во РАГС, 2001. С. 262-272.

14. Белавин В.А. Синергетика и математические модели в демографии. //Тезисы Девятой международной конференции «Математика. Образование. Компьютер», Дубна, 2002. С. 281.

15. Нисанов Я.И., Белавин В.А. Обзор дискуссии о синергетических моделях в системе демографических знаний. //Тезисы Девятой международной конференции «Математика. Образование. Компьютер», Дубна, 2002. С. 286.

16. Белавин В.А. Синергетика и развитие человечества. // Сб. Глобализация. Синергетический подход. М., Изд-во РАГС, 2002. С. 60-69.

17. Нисанов Я.И., Белавин В.А. Нелинейность и синергетический подход в существующей демографической парадигме. //Материалы научной конференции «Ломоносовские чтения-2003». М., «ТЕИС», 2003. С. 149-151.

18. Белавин В.А. Синергетика и глобальная демографическая эволюция. //Тезисы IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Красноярск, 2003. С. 14.

19. Белавин В.А. Синергетический подход и анализ глобальных демографических процессов. //Тезисы V Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Красноярск, 2004.

Принято к исполнению 02/09/2005 Исполнено 05/09/2005

Заказ № 1006 Тираж: 75 экз

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш., 36 (095) 975-78-56 (095) 747-64-70 www.autoreferat.ru

РНБ Русский фонд

2006-4 11110

1. Введение.

Глава 1. Квазилинейное уравнение теплопроводности с источником. Постановка задачи. Исследование основных свойств ее решений.

Исторические предпосылки и основные свойства синергетического подхода. 16 Постановка задачи.

Основные понятия.

Основные свойства решений задачи (7).

Методика исследования задачи (7).

Новые результаты, полученные автором в процессе исследования.

Глава 2. Исследование задачи (7) при наличии флуктуаций.

Исследование флуктуаций пространственного распределения.

Обобщение модели. Источники и стоки с меньшей нелинейностью; флуктуации, уменьшающие энергию системы.

Сложные собственные функции, их устойчивость и распад.

Исследование модели в случае цилиндрической симметрии системы.

Глава 3. Синергетический подход и демография.

Формирование синергетического подхода в демографии.

Режим с обострением в демографической системе.

Синергетический подход к моделированию глобальных демографических процессов.

Некоторые демографические аспекты предложенной модели.

Наука наших дней претерпевает глубокие изменения, затрагивающие практически все ее сферы, что позволяет говорить о вхождении ее в качественно новый, постклассический этап развития. Эти изменения вызваны как внутренней логикой развития самой науки, во многом обусловленной ее переходом к познанию сложно-организованных систем, так и всем ходом развития современной цивилизации <.>. Эти тенденции могут иметь самые разные проявления, но в своем, по-видимому, наиболее концентрированном виде они нашли свое выражение в синергетике» [1].

Синергетику можно рассматривать как современный этап развития идей кибернетики и теории систем. В то же время вряд ли есть основания сомневаться в том, что синергетика несет в себе нечто принципиально новое.

Кибернетика и различные варианты общей теории систем изучают в основном процессы поддержания некоторых равновесных состояний в технических, биологических, социальных системах, посредством использования механизмов отрицательной обратной связи. При этом они рассматривают в основном такие случаи, когда нелинейная система может быть представлена как квазилинейная. Синергетика же занимается исследованием физических основ самоорганизации, изучает существенно неравновесные системы и существенно нелинейные процессы эволюции таких систем.

Начиная с работ А.Н.Колмогорова, И.Г.Петровского, Г.С.Пискунова [ 2], А.Тюринга [ 3], И.Пригожина [ 4], Г.Хакена [ 5] (см. также работы [ 6]-[ 8]) при моделировании явлений самоорганизации в различных системах часто используют математические модели, в основе которых лежат системы нелинейных параболических уравнений типа реакция-диффузия. Например, для случая одного уравнения и одной пространственной переменной: ди 8 dt дх

С(и)— дх Q(u). (1)

Здесь t — время, х — пространственная координата; в качестве и могут выступать концентрации химических веществ, различные температуры (электронные, ионные) в плазме, различные виды в биологии, товары в экономике, группы расселения в социальных науках. Правая часть уравнения (1) описывает объемные источники и стоки. Они могут толковаться как реакции, происходящие с компонентами и или как нелинейное влияние прямых и обратных связей в биологических, экономических и др. системах. Они могут передавать и внешнее влияние в открытых системах. Например, поступление в каждую точку (или объем) системы энергии, вещества, информации за счет внешних воздействий или за счет их кинетики в самой точке пространства (а не за счет диффузии от соседей). Здесь могут проявляться: нелокальное взаимодействие элементов среды через распределительные функции целого организма, аналоги нейронных связей в мозгу или в нейрокомпьютерах, «многочастичных столкновений» в каталитических процессах на решетках. Здесь же в экономических задачах происходит учет функции спроса, определяемой по данным социологических опросов и настройки констант модели по поведению системы в прошлом.

В экономике часто встречается упрощенный вариант уравнения (1) без учета локальной диффузии: f^ = £("), (2) dt или еще более простой (стационарный) вариант:

Q(u) = о. (3)

Опыт многих частных задач синергетики показывает, что даже относительно простые «точечные» уравнения (2) и (3) колоссально усложняются в возможностях проявления своей пространственной организации при введении хаоса на микроуровне, что и отражает уравнение (1).

Так, в работах В.А.Галактионова, А.А.Самарского, С.П.Курдюмова [ 9],[ 10] было показано, что нелинейные зависимости Q{u) и С(и) в (1) и (2) во многих случаях приводят к гиперболическому нарастанию процессов во времени. При этом в решении за конечный промежуток времени возникают особенности, кризисы, бифуркации. Такие режимы называются режимами с обострением.

Режимы с обострением имеют место в большом количестве реальных систем. Сверхбыстрые процессы, идущие в режиме с обострением, имеют приложения во многих областях науки, физике, химии, социологии и др., связаны с глобальным прогнозированием и механизмами прохождения кризисов - актуальнейшей проблемой современности.

Важной особенностью для такого класса режимов для уравнения вида (1) является вырождение многих сложных произвольных нелинейных зависимостей С(и), Q(u) в (1) в более простые виды зависимостей (см. [ 9]-[ 13]). В таких случаях на асимптотической стадии уравнение (1) можно заменить (в зависимости от вида С(и) и Q(u)) на:

- уравнение с экспоненциальными коэффициентами Соехр(ои) и Q0exp(j3u); уравнение со степенными коэффициентами CoUff и уравнение Гамильтона-Якоби; при этом только уравнения со степенными зависимостями обладают сложным спектром устойчивых (или метастабильных) динамических структур, имеющих различные локализованные формы в пространстве. Локализация определенных форм структур обусловлена явлением инерции тепла, подробно изученным А.А.Самарским, С.П.Курдюмовым, В.А.Галактионовым и другими учеными (см., например, [ 9]-[ 13]).

Эти математические идеи и выводы привели к формулировке антропного принципа в синергетике [ 14]-[ 18]: при развитии режимов с обострением только узкий класс моделей (со степенными зависимостями для С = Со иа, Q — Qo и^, и только в определенном диапазоне значений аир) может описывать эволюцию сложных систем с большим числом различных структур и форм организации.

Синергетика уже долгое время успешно применяется для построения моделей в различных естественных науках, таких, как, например, физика плазмы (открытие Т-слоя), или моделирование сложных химических процессов при каталитических реакциях. Использование синергетического подхода для поиска универсальных принципов формирования и эволюции сложных систем, необходимых для моделирования эволюционных процессов и катастрофических ситуаций, является актуальной задачей современных системных исследований, выходящей за рамки конкретных приложений.

Сложные распределенные системы являются нелинейными и многопараметрическими объектами. Они требуют разработки специальной стратегии исследования и создания эффективных вычислительных технологий.

Для численных расчетов режимов с обострением необходимы алгоритмы, позволяющие рассчитывать значения переменных, изменяющихся в сотни и тысячи раз.

Многопараметричность приводит к необходимости создания специальных методов анализа решений, сравнения их с экспериментальными данными, выделения параметров порядка системы.

Одной из важных и интересных систем, развивающихся в режиме с обострением, является демографическая система. С точки зрения системного подхода понятие "демографическая система" является синонимом понятия "население", и обозначает "ту же совокупность людей, которая составляет и общество, но рассматриваемую с точки зрения возобновления поколений" [19].

В последнее время стала очевидной необходимость рассмотрения народонаселения Земли как единой распределенной нелинейной системы. Демографические модели стали все шире использовать другие социальные и даже естественнонаучные дисциплины для понимания законов эволюции демографической системы.

Однако, демографам до сих пор, "как правило, пока приходится иметь дело с фрагментарными вкраплениями системно-исторической логики в общий контекст демографических исследований, что ограничивает ее влияние на понимание сущности и закономерностей изучаемых процессов" [19]. Существенной особенностью большинства современных демографических исследований является разделение населения Земного шара на регионы и раздельное рассмотрение процессов роста населения в каждом из них.

Одним из ключевых моментов системного подхода в демографии является выявление законов развития всей демографической системы, неизменных в течение длительного времени. Таким фундаментальным законом, например, является гиперболический закон роста населения Земли. Современные специальные исследования соответствующей модели и сравнение ее с кривыми, построенными на основе реальных исторических данных о численности народонаселения мира в различные эпохи, приведены в работах С.П.Капицы1. В них показано, что развитие человечества в течение 100 тысяч лет и более происходит в режиме с обострением:

N(t) = Со / {tr 0, С0 = 186х Ю9, Т0 = 2007 год.

Изучение внутренних законов пространственно-временной эволюции сложных систем, развивающихся в режиме с обострением (и, в частности, демографической системы), основанное на математическом моделировании, сбалансированном сочетании аналитических и численных методов исследования, является актуальной задачей современной прикладной математики.

Цель данной диссертационной работы:

- Численное построение и исследование решений задачи Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности с источником, развивающихся в режиме с обострением. Исследование решений системы уравнений, полученной методом осреднения. Сравнительный анализ фазовых траекторий метода осреднения и фазовых траекторий задачи Коши. Исследование применимости метода осреднения для построения решений указанной задачи.

- Исследование поведения решений осредненной системы и решений задачи Коши при введении флуктуаций различного вида.

- Построение на основе синергетического подхода математической модели эволюции сложных распределенных систем, развивающихся в режиме с обострением. Применение построенной модели для описания эволюции демографической системы. Исследование зависимости закономерностей развития от значений параметров модели. Изучение устойчивости решений, развивающихся в режиме с обострением, по отношению к флуктуациям различного вида.

Для достижения сформулированных целей в диссертационной работе были поставлены следующие основные задачи:

1. Реализация численных методов решения задачи Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности со степенным видом зависимостей в коэффициенте теплопроводности и источнике.

2. Разработка и реализация алгоритмов автомодельной обработки и построения фазовых траекторий решений указанной задачи.

3. Реализация численных методов построения решений методом осреднения.

4. Разработка алгоритмов сравнительного анализа фазовых траекторий метода осреднения и фазовых траекторий задачи Коши.

5. Сопоставление полученных численных результатов с известными из аналитических исследований свойствами решений указанной задачи.

1 Например, в статье: Капица С.П. Математическая модель роста народонаселения Земли. //Матем.

6. Разработка методики включения в исследуемую задачу флуктуаций различного вида.

7. Построение комплекса программ, позволяющего проводить численное исследование решений задачи Коши, развивающихся в режиме с обострением, и решений осредненной системы, их анализ при различных значениях параметров и при наличии флуктуаций различного вида.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Краткое содержание последующих глав:

Заключение.

В настоящей диссертации были получены следующие наиболее значимые результаты:

1. Получен и исследован ряд новых свойств решений задачи Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности с источником. Впервые показано, что для малых начальных функций выход на автомодельный режим происходит уже на квазистационарной стадии, далекой от момента обострения.

Впервые показано, что асимптотики фазовых траекторий решений задачи Коши, развивающихся в режиме с обострением, всегда являются автомодельными, и указан критерий, определяющий границы применимости метода осреднения для построения решений задачи Коши, развивающихся в режиме с обострением. Впервые показана возможность перехода между фазовыми траекториями решений при наличии флуктуаций параметров модели.

2. Создан комплекс программ для исследования закономерностей эволюции нелинейной распределенной системы, описываемой моделью на основе задачи Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности с источником, позволяющий в диалоговом режиме изменять параметры модели, следя за соответствием между получаемыми результатами и известными данными.

Разработаны алгоритмы автомодельной обработки и построения фазовых траекторий решений данной задачи. Предложен новый алгоритм сравнительного анализа эволюции численных решений задачи Коши и решений, полученных методом осреднения.

3. Впервые предложена математическая модель демографической системы, рассматривающая человечество как единую нелинейную распределенную систему. Предложена методика определения диапазона значений параметров модели.

Показано, что закон роста полной численности народонаселения Земли сохраняется при наличии флуктуаций пространственного распределения населения. Впервые показано, что флуктуации пространственного распределения приводят к появлению в эволюции человечества нескольких периодов с сокращающейся (по мере приближения к настоящему времени) длительностью. Впервые показано, что флуктуации параметров модели могут служить механизмом смены закона роста, наблюдающейся в настоящее время.

1. В.С.Степин, В.И.Аршинов. Предисловие //Сб. «Самоорганизация и наука», М., 1994.

2. А.Н.Колмогоров, И.Т.Петровский, Н.С.Пискунова. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества и его применение в одной биологической проблеме. //Бюллетень МГУ. 1937. Т.1, №6. С.1-26.

3. A.Turing The chemical basis of morphogenesis. //Phyl. Trans. R.C. London. B-1952. V.237. P.37-71.

4. Г.Николис, И.Пригожин. Самоорганизация в неравновесных системах. М. Мир, 1980.

5. Г.Хакен. Синергетика. М. Мир, 1980.

6. Т.С.Ахромеева, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий, А.А. Самарский. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М. Наука, 1992.

7. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. Сб-к. М. Наука, 1996.

8. С.П.Капица, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий. Синергетика и прогнозы будущего. М. Наука, 1997.

9. В.А.Галактионов, А.А. Самарский. Методы построения приближенных автомодельных решений нелинейных уравнений теплопроводности. //Матем. Сборник. 1982. Т. 118, №3. С.222-322, 1983. Т.121, №2. С.131-155.

10. Режимы с обострением. Становление идеи. Сб-к. М. Наука, 1999.

11. А. А. Самарский, В.А.Галактионов, С.П.Курдюмов, А.П.Михайлов. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

12. В.А.Белавин, С.П.Капица, С.П.Курдюмов. Математическая модель глобальных демографических процессов с учетом пространственного распределения. //ЖВМиМФ, 1998. Т. 38, №6.

13. В.А.Белавин, С.П.Курдюмов. Режимы с обострением в демографической системе. Сценарий усиления нелинейности. //ЖВМиМФ, 2000. Т. 40, №2. С.238-251.

14. Е.Н.Князева, С.П.Курдюмов. Антропный принцип в синергетике. //Вопр. Философии, 1997. №3. С. 62-79.

15. V.A.Belavin, E.N.Knyazeva, S.P.Kerdyumov. Blow-up and laws of coevolution of complex systems. //Phystech. Journal. 1997. V.3, №1. P. 107-113.

16. В.А.Белавин, С.П.Курдюмов. Глобальный демографический кризис: опасности и надежды. //Сб-к «Синергетика» №2. М. МГУ, 1999. С. 5-10.

17. А.Г.Вишневский. Воспроизводство населения и общество, М.: Финансы и статистика, 1982.

18. В.А.Белавин. Синергетический подход к моделированию глобальных демографических процессов. // Сб. Синергетика, философия, культура. М., Изд-во РАГС, 2001. С. 262-272.

19. В.А.Белавин. Синергетика и развитие человечества. // Сб. Глобализация. Синергетический подход. М., Изд-во РАГС, 2002. С. 60-69.

20. В.А.Белавин, С.П.Курдюмов. Режимы с обострением. Законы самоорганизации коэволюции сложных систем. //Проблемы перехода России к устойчивому развитию. Матер, научн.-практ. семинара. Москва, 1997. С.282-288.

21. В.А.Белавин, С.П.Курдюмов. Синергетика и демография. Глобальные проблемы и надежды на рубеже веков. //Материалы международной научно-практической конференции «Анализ систем на рубеже тысячелетия». М.,1999. С. 72-91.

22. В.А.Белавин. Синергетический подход к исследованию демографических процессов.//Тезисы Восьмой международной конференции «Математика. Образование. Компьютер», 2001. С. 128.

23. В.А.Белавин, Е.Н.Князева, С.П.Курдюмов. Новые типы связи пространства и времени в сложных системах. //Материалы международной научно-практической конференции «Анализ систем на рубеже тысячелетия». М.,1999. С. 38-40.

24. В.А.Белавин. Синергетика и математические модели в демографии. //Тезисы Девятой международной конференции «Математика. Образование. Компьютер», Дубна, 2002. С. 281.

25. Я.И.Нисанов, В.А.Белавин. Обзор дискуссии о синергетических моделях в системе демографических знаний. //Тезисы Девятой международной конференции «Математика. Образование. Компьютер», Дубна, 2002. С. 286.

26. Я.И.Нисанов, В.А.Белавин. Нелинейность и синергетический подход в существующей демографической парадигме. //Материалы научной конференции «Ломоносовские чтения-2003». М., «ТЕИС», 2003. С. 149-151.

27. В.А.Белавин. Квазилинейное уравнение теплопроводности с источником. LS-режим. Метод осреднения и автомодельность. //Препринт №51 ИПМатем. РАН, 1998.

28. В.А.Белавин, С.П.Курдюмов. Математическая модель глобальных демографических процессов. // Препринт №97 ИПМатем. РАН, 1996.

29. Г.Николис, И.Пригожин. Познание сложного. М.: Наука, 1990.

30. Г.Хаген. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам. М.: Мир, 1991.

31. Е.Н.Князева, С.П.Курдюмов. Синергетика как новое мировоззрение. Диалог с И.Пригожиным. //Вопр. философии, 1992, № 12, с.3-20.

32. Е.Н.Князева, С.П.Курдюмов. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. М.: Наука, 1994.

33. Е.Н.Князева, С.П.Курдюмов. Основания синергетики. С-Пб.: Алетейя, 2002.40 .Г.Г.Еленин, С.П.Курдюмов. Условия усложнения организации нелинейной диссипативной среды. Препринт № 106 ИПМатем. АН СССР, 1977.

34. Т.С.Ахромеева, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий, А.А.Самарский. Нестационарные диссипативные структуры и диффузионный хаос. М., Наука, 1992, 541с.

35. Г.Г.Еленин, К.Э.Плохотников. Об одном способе качественного исследования одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности с нелинейным источником тепла. //Препринт ИПМ АН СССР № 91, 1977.

36. А.А. Самарский, Н.В.Змитренко, С.П.Курдюмов, А.П.Михайлов. Тепловые структуры и фундаментальная длина в среде с нелинейной теплопроводностью и объемными источниками тепла. //ДАН СССР, № 227, 1976, с. 321.

37. С.П.Курдюмов. Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее организации. //Препринт ИПМ РАН №39, 1979.

38. А.А.Самарский. Теория разностных схем. М., Наука, 1989.

39. Ф.Броделъ. История и общественные науки. Историческая деятельность. //Философия и методология истории. М.: Прогресс, 1977. С.115-142.

40. F.Lorimer. The development of demography. //The study of population. An inventory and appraisal. Ed. Dy P.Hauser and O.Dunkan. Chicago, 1959.

41. М.В.Птуха. Очерки по истории статистики XVII-XVIII веков. М.:1945.5Х.С.П.Капица. Феноменологическая теория роста населения Земли. //Успехи физ. Наук, 1996, т. 166, № 1, с.63-79.

42. С.П.Капица. Математическая модель роста народонаселения Земли. //Матем. Моделирование. 1992. Т.4. № 6. С.65-79.

43. С.П.Капица, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий. Синергетика и прогнозы будущего. М., Наука, 1997.

44. С.П.Капица, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий. Синергетика и прогнозы будущего. М., Наука, 1997.

45. А.В. Подлазов. Теоретическая демография, как основа математической истории. //Препринт №73 ИПМатем. РАН, 2000.

46. Г.Г.Малинецкий. Нелинейная динамика ключ к теоретической истории?// Общественные науки и современность, 1997, №4. С.98-111.

47. А.В.Подлазов. Основное уравнение теоретической демографии и модель глобального демографического перехода. //Препринт №88 ИПМатем. РАН, 2001.

48. С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий, А.В.Подлазов. Историческая динамика. Взгляд с позиции синергетики. //Препринт № 85 ИПМатем. РАН, 2004.

49. М.Ичас. О природе живого: Механизмы и смысл. М., Мир, 1994.