автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Динамические модели управления запасами в условиях стохастического спроса

На правах рукописи

(л

Сопко Михаил Валерьевич

ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОГО СПРОСА

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Челябинск-2013

2 9 АВГ 2013

005532376

Работа выполнена на кафедре математических методов в экономике ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет».

Научный руководитель: Бигильдеева Татьяна Борисовна,

кандидат физико-математических наук, доцент.

Официальные оппоненты: Панюков Анатолий Васильевич,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет», заведующий кафедрой;

Белов Евгений Геннадьевич, кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет», доцент.

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный

университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина».

Защита состоится 26 сентября 2013 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д212.296.02 при ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет» по адресу: 454001, Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет».

Автореферат разослан «» августа 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ЬЛ' доктор физико-математических наук, '--

профессор ___■ " Федоров В.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Важность решения задач управления запасами обусловлена тем, что на многих предприятиях в запасы вложены большие объемы денежных средств, поэтому их обоснованное снижение даже на несколько процентов приводит к ощутимой экономии финансовых ресурсов.

Деятельность большинства предприятий существенно зависит от спроса на его продукцию. Недостаточное количество запасов приводит к дефициту, упущенной прибыли (в случае потери неудовлетворенного спроса) и возможной потере клиентов в будущем. Излишек запасов приводит к потерям, связанным с «омертвлением» средств и увеличению затрат на приобретение и хранение.

Принятие решений о размере заказа в условиях высоко вариативного стохастического спроса является сложной задачей, достаточно часто возникающей на практике, в частности, в деятельности торговых предприятий. В данной ситуации наиболее адекватное описание процесса управления запасами осуществляется при помощи многоэтапных динамических моделей управления запасами в условиях стохастического спроса, которые в силу своей сложности реже представлены в исследованиях и требуют дальнейшего изучения.

Степень разработанности темы. Задачи управления запасами, в том числе динамические, рассмотрены в работах Рыжикова Ю.И.1, Бродецкого Г.Л., Домбровского В.В., Чаусовой Е.В., Шорикова А.Ф.2, Пинигина Е.Б., Силвера Э.А., Петерсона Р. и др.

Исследованию динамических задач управления запасами в условиях стохастического спроса посвящены работы Токарева В.В.3, Шохиной Т.Е., Манделя A.C.4, Семенова Д.А., Акзетра С.5, Хедли Дж., Тарима С.А., Росси Р.6 и др.

Динамические модели управления запасами в условиях стохастического спроса обычно ставят целью минимизацию ожидаемых суммарных затрат (максимизацию прибыли) с учетом специфики системы управления запасами (способа контроля запасов, особенностей пополнения, хранения запасов и т.д.).

В исследованиях по управлению запасами динамика запасов представлена, как правило, для случая, когда дефицит не допускается, а также

1 Рыжиков, Ю.И. Теория очередей и управление запасами/ Ю.И Рыжиков,- СПб: Питер, 2001.- 384 с.

2 Шориков, А.Ф. Анзлиз результатов внедрения логистической компьютерной системы управления запасами на предприятии оптовой торговли / А.Ф. Шориков, Е.Б. Пинигин // Известия Уральского государственного экономического университета. - 2006. - №4. - С. 68-74.

3 Токарев, В.В. Вероятностно-гарантирующее планирование в конечношаговой задаче управления запасами / В.В. Токарев, Т.Е. Шохина // Автоматика и телемеханика. - 2000. - №6. - С. 79-90.

4 Мандель, А.С. Адаптивные алгоритмы оценки параметров оптимальных стратегий управления запасами при ограниченном дефиците / А.С. Мандель, Д.А. Семенов // Автоматика и телемеханика. - 2008. - №6. - С. 117128.

' Axsater, S. Inventory Control / S. Axsater- Springer, 2006.

" Rossi, R. Replenishment planning for stochastic inventory systems with shortage cost / R. Rossi, S.A. Tarim, B. Hnich, S. Prestwich // Proceedings of the international conference on integration of AI and OR techniques in constraint programming for combinatorial optimization problems CP-A1-OR 2007. Lecture notes in computer science. - Springer. - 2007. - №4510. - P. 229-243.

для случая, когда спрос откладывается (может быть удовлетворен в следующих периодах). Динамика запасов (дефицита) в этих ситуациях существенно проще, чем в случае потери неудовлетворенного спроса, который достаточно часто встречается на практике. Несмотря на имеющиеся результаты, динамические задачи управления запасами в условиях стохастического спроса в случае потери неудовлетворенного спроса требуют проведения дальнейших исследований.

Цель исследования — разработка и реализация алгоритмов решения динамических задач управления запасами с целью максимизации прибыли в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос теряется.

Для достижения цели в работе были поставлены следующие задачи.

1. Разработать динамические модели управления запасами с целью максимизации прибыли в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос теряется.

2. Разработать численные алгоритмы решения динамических задач оптимизации запасов.

3. Реализовать численные алгоритмы решения динамических задач оптимизации запасов в виде программного комплекса.

4. Провести вычислительные эксперименты, оценить эффективность предложенных алгоритмов.

Научная новизна исследования заключается в следующем.

1. В области развития качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей:

Разработаны динамические модели управления запасами с целью максимизации суммарной прибыли (без учета затрат на оформление и хранение) в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос теряется.

Разработаны динамические модели управления запасами с целью максимизации суммарной прибыли со штрафом за дефицит в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос откладывается.

Доказано, что динамические задачи с целью максимизации прибыли для ожидаемых (прогнозных) значений спроса в случае потери неудовлетворенного спроса и в случае отложенного спроса имеют решение и множества их решений совпадают.

Доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности для динамических задач управления запасами с целью максимизации прибыли для ожидаемых значений спроса.

Для однопериодных задач управления запасами с целью максимизации ожидаемой прибыли доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности.

Для двухпериодной задачи управления запасами с целью максимизации ожидаемой прибыли в случае отложенного спроса доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности в предположении, что спрос в каждом

периоде имеет распределение, сосредоточенное на отрезке. Для равномерного распределения построено множество решений данной задачи.

2. В области разработки, обоснования и тестирования эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий:

На основе полученных условий оптимальности разработаны численные алгоритмы решения динамических задач оптимизации запасов с целью максимизации прибыли в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос теряется.

3. В области реализации эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента:

Разработан и зарегистрирован программный комплекс для поддержки принятия решений в сфере управления запасами торгового предприятия на основе разработанных математических моделей и численных алгоритмов решения динамических задач управления запасами в условиях стохастического спроса.

Теоретическая значимость исследования заключается в решении актуальных динамических задач управления запасами с целью максимизации прибыли в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос теряется.

Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что предложенные в работе подходы, модели, алгоритмы и программный комплекс управления запасами способствуют повышению принятия рациональных и обоснованных решений при управлении запасами в условиях высоко вариативного стохастического спроса.

Предложенные алгоритмы вычисления оптимальных размеров заказов могут быть использованы в реальной деятельности предприятий. Разработанный программный комплекс представляет собой удобный инструмент поддержки принятия решений в сфере управления запасами торгового предприятия в условиях стохастического спроса.

Методология и методы исследования. В ходе исследования были использованы методы исследования операций, системного анализа, оптимизации, теории вероятностей, математической статистики и эконометрического моделирования. При исследовании эффективности алгоритмов управления запасами применялся метод статистических испытаний.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Динамические модели управления запасами с целью максимизации прибыли для ожидаемого спроса и с целью максимизации ожидаемой прибыли в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос теряется и в случае, когда неудовлетворенный спрос откладывается.

2. Необходимые и достаточные условия оптимальности для динамических задач управления запасами с целью максимизации прибыли для ожидаемых (прогнозных) значений спроса в случаях потерянного и отложенного неудовлетворенного спроса.

3. Необходимые и достаточные условия оптимальности для однопериодных задач управления запасами с целью максимизации ожидаемой прибыли в условиях стохастического спроса.

4. Необходимые и достаточные условия оптимальности для двухпериодной задачи управления запасами с целью максимизации ожидаемой прибыли в условиях стохастического спроса в случае отложенного неудовлетворенного спроса.

5. Численные алгоритмы решения динамических задач оптимизации запасов в условиях стохастического спроса для случая, когда неудовлетворенный спрос теряется, которые реализованы в виде программного комплекса.

Степень достоверности результатов. Достоверность полученных результатов обусловлена корректным использованием математического аппарата. Полученные в ходе исследования результаты согласуются с результатами других исследователей.

Апробация результатов исследования. Результаты проведенного исследования докладывались на шестой научной конференции «Экономика современной России: модели развития и регулирование динамики» (г. Екатеринбург, 2008 г), пятой международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г. Воронеж, 2009 г.), шестой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 г.), международной научной конференции «Взаимодействие реального и финансового сектора в трансформационной экономике» (г. Оренбург, 2010 г.), второй всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Математическое моделирование, численные методы и информационные системы» (г. Самара, 2010 г.), первой международной научно-практической конференции «Теория и практика в физико-математических науках» (г. Москва, 2011 г.).

Практическими результатами работы явились алгоритмы и программный комплекс, зарегистрированные в объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» (ОФЭРНиО) — регистрация электронного ресурса «Автоматизированная система управления запасами торгового предприятия» (свидетельство о регистрации № 18172 от 27.04.2012).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 14 научных работ, в том числе 4 работы в ведущих рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В опубликованных работах раскрыты основные положения проведенного исследования.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и 18 приложений. Объем диссертации составляет 122 страницы, включая 17 рисунков и б таблиц. Список литературы содержит 110 источников, в том числе 18 работ зарубежных авторов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Динамические задачи управления запасами в условиях стохастической неопределенности.

Динамическая задача управления запасами с дискретным временем в течение Т периодов заключается в следующем. В конце периода 1-1 на предприятии имеется остаток некоторого запаса в размере у,_, (у,., характеризует состояние системы в момент времени 1-1). На каждом шаге предприятие делает заказ на пополнение запаса в размере х,, который поступает к началу периода I (х, представляет собой управляющее воздействие в момент времени I).

В момент времени I происходит реализация спроса после чего система переходит в следующее состояние у, (зависящее от х, и £,) и определяется уравнением динамики, которое зависит от особенностей системы управления запасами.

Если у^+х,^,, то спрос в периоде I удовлетворен полностью, а остатки в размере у,_,переносятся на следующий период. Если величина спроса превышает объем запаса, то есть у1Ч+х, < £,,, то возникает дефицит в размере д, - у 1 - х,.

В условиях, когда дефицит недопустим, уравнение динамики имеет вид: у,=у«+х,-|„ у, >0, ( = Пт. (1)

Если дефицит допускается, то у1 может принимать отрицательные значения, причем если у, > 0, то у, - реальный запас, а если у, < 0, то величина у, - это размер дефицита в конце периода I.

В случае, когда неудовлетворенный спрос откладывается, уравнение динамики имеет вид (1), но без ограничений у, >0, 1 = 1,Т. Если же неудовлетворенный спрос теряется, то уравнение динамики принимает вид

у, =тах{у1_|,0}+х,-5,,1 = 1Л:. (2)

В динамической задаче управления запасами в течение Т периодов времени требуется найти такие размеры заказов х, с учетом спроса в течение периодов I = 1. 2,Т, чтобы максимизировать (минимизировать) некоторую целевую функцию.

В качестве целевой функции могут выступать суммарные затраты системы управления запасами или суммарная прибыль. В суммарных затратах системы управления запасами обычно учитываются следующие основные виды затрат: затраты на приобретение, транспортировку, хранение запасов, на оформление заказов, а также потери от дефицита. Суммарная прибыль представляет собой разность между суммарной выручкой от продажи запасов и суммарными затратами.

На практике часто встречается ситуация, когда спрос заранее неизвестен. Основным подходом к решению задачи управления запасам в случае неопределенного спроса является введение предположения о его

стохастическом характере. Для решения этой задачи обычно используЕОт два основных подхода.

1. Целевая функция оптимизируется для ожидаемых (прогнозируемых) значений спроса е[|]. Этот подход оправдан, если спрос является прогнозируемым с достаточной точностью.

2. В качестве критерия оптимальности используется ожидаемое значение целевой функции.

При решении динамических задач управления запасами, особенно в условиях высоко вариативного спроса, может использоваться подход, когда решение многопериодной задачи сводится либо к последовательному решению однопериодных задач (с корректировкой параметров системы в каждом периоде), либо к серии двухпериодных задач со скользящим горизонтом планирования7.

В главе 1 сформулирована однономенклатурная задача управления запасами с дискретным временем в течение Т периодов планирования с учетом динамики запасов с целью максимизации прибыли в условиях стохастического спроса для предприятия, которое формирует некоторый запас, не подверженный порче, и располагает собственными складскими помещениями в достаточных объемах, затраты на содержание которых являются постоянными и не зависят от размера запаса.

В работе предполагается, что проверка (контроль) запасов осуществляется регулярно, заказ размещается в начале периода и поступает мгновенно, затраты на хранение запасов и оформление заказов не учитываются.

В качестве критерия оптимальности рассматривается прибыль предприятия за Т периодов.

Пусть х 1 е [о, - величина заказа на пополнение запаса в периоде I,

г = Т/Г, где Т - количество периодов планирования, х = (х,,х,,..., хт) - вектор заказов в периоды времени 1, 2,..., Т.

Пусть - величина спроса в периоде I, причем е [0, к). г = 1,Т.

Обозначим £ = {> ,5,,..., ■;-,.) -вектор спроса в периоды времени 1, 2, ..., Т.

Обозначим у, - величина запаса (дефицита) на конец периода I - 1,Т. Неудовлетворенный в конце периода I спрос теряется, динамика запасов описывается уравнением (2). Далее предполагается, что у„ = 0.

Величина шах{у,.,,0}+х1 - это количество запаса, имеющегося в наличии, поэтому в периоде I объем продаж равен шт{тах{у[_1,0}+х, ,|,}.

Пусть р - цена реализации единицы запаса. Тогда выручка от реализации в периоде I имеет вид: р-шт{шах{у1_,,0} + х1,^,} = р-тт{у,,0} + р^ с учетом того, что У; = шах{у,_, .0}+х( -¿¡¡.

1 Cheaitou, A. Two-period production planning and inventory control / A. Cheaitou, C. van Delft. Y. Dallcry. Z. Jemai //Int. J. Production Economics. -2009. 18. -P. 118-130.

Если с - затраты на приобретение и транспортировку единицы запаса, тогда прибыль в периоде t будет п,(х„£,) = р£, +p-min{y,,o}-cxt. Суммарная прибыль за Т периодов планирования п(х,ьЕ) представляет собой величину

n(x„J) = ¿n,(x„£1) = Í>í. + p-mm¡y„0}-cx,) i-i t-1

Задача управления запасами с целью максимизации прибыли в случае потери неудовлетворенного спроса для заданного £ имеет следующий вид.

т

П(х,|) = + p-min{y„0}-cx,)-»max

' y1=max{y,.1,0} + x,-|t,t = í7f, (3)

х >0.

Заметим, что - потенциальная величина выручки в случае полного удовлетворения спроса, a p min{y,,0} - величина упущенной выручки при неудовлетворенном спросе (в ситуации дефицита), поэтому i\(x,q) - суммарная прибыль предприятия за Т периодов с учетом упущенной выручки.

Если неудовлетворенный спрос откладывается, то задачу управления

запасами в этом случае можно представить в виде:

г

гг(х, = £ (р£, + р • min {у t ,0¡ - сх,) -> max t=i х

у,=у,.1+х,-|„1 = Пт, (4)

х > 0.

В этом случае слагаемое p-min¡yt,0} представляет собой штраф за дефицит. Заметим, что п(х,£) - реальная прибыль предприятия, а ,т(х,Е) — прибыль предприятия со штрафом за дефицит.

t _

Задачу (4) можно представить с учетом того, что у, = ^Г (х k - ), t = 1, Т при у0 = 0 в следующем виде:

ir(x,<|) = £|pf, +p-min|¿(xk -ít)0¡.-cx, j^max. (5)

Целевая функция в задаче (5) является вогнутой кусочно-линейной функцией.

Теорема I. Задачи (3) и (5) имеют решения при фиксированном £ > 0 и множество решений задачи (3) совпадает с множеством решений задачи (5).

Согласно теореме 1 решение задачи оптимизации (3) можно свести к решению задачи (5) в условиях детерминированного спроса.

Задача управления запасами с целью максимизации прибыли для ожидаемого спроса в случае потери неудовлетворенного спроса имеет следующий вид:

т

n(x,E(|)) = 2(pEfe) + P-m¡n{yt,0}-cx,)->max

' у, =max{yt_„0}+x, -Efe), t = I7r, (6)

х >0,

где - математическое ожидание случайной величины д,, I = 1,Т.

Задача управления запасами с целью максимизации ожидаемой прибыли в случае потери неудовлетворенного спроса имеет вид:

' Е(П(х,!)) = (р£, + р • тш{у, ,0}- сх, тах

у, =тах{у,.1,0}+х,-^,1 = 17г, (7)

х > 0.

Задачи (6) и (7) в отличие от существующих динамических задач управления запасами в условиях стохастического спроса учитывают в более сложном варианте динамику запасов, когда неудовлетворенный спрос теряется.

В случае отложенного спроса задачи управления запасами в условиях стохастического спроса могут быть представлены в виде (8), (9). Задачи (8) и (9) являются вспомогательными для решетя задач (6) и (7) соответственно.

= -Е(^|-сх,^тах (8)

Е(*(х,£)) = Е

(9)

Заметим, что задачи (6) и (8) являются задачами управления запасами в условиях детерминированного спроса и согласно теореме 1 множества их решений совпадают, поэтому решение задачи (6) может быть сведено к решению задачи (8).

Глава 2. Алгоритмы решения динамических задач управления запасами с целью максимизации прибыли в условиях стохастического спроса.

В задачах (6) и (8) максимизируется прибыль для ожидаемых (прогнозных) значений спроса. Несомненным достоинством этого подхода является тот факт, что задача управления запасами в условиях стохастического спроса в этом случае сводится к некоторой детерминированной задаче.

Теорема 2. Максимальное значение функции тг(х,|) по х при фиксированном £ >0, если р>с, достигается в точке х* = х') тогда и только тогда, когда х" удовлетворяет следующим условиям:

(10)

(п)

к=1 к=1 причем = = .

Заметим, что условия (Ю)-(И) выполняются в случае, если х' I =1,Т, то есть если заказы в каждом периоде в точности соответствуют величине спроса за тот же период. Полученные условия оптимальности являются необходимыми и достаточными условиями оптимальности и для задачи максимизации прибыли п(х,|) в силу того, что множества решений задач (3) и

(5) совпадают. Кроме того, гг*(£) = = n'(i), т.е. n"(s) - максимальное

значение целевой функции в задаче (3) для заданного спроса £.

Из теоремы 2 вытекает, что х' = Е(£,), t = 1,Т является решением задачи (8) и, следовательно, задачи (6) — задачи максимизации прибыли для ожидаемого спроса в случае потери неудовлетворенного спроса.

В задачах (7) и (9) в качестве критерия оптимальности используется математическое ожидание целевой функции.

Теорема 3. Пусть {¡5, }1ЧТ - независимые случайные величины с

функциями плотности распределения fI(|,),t = l,T, удовлетворяющими условиям:

1) f,(4,) непрерывны на сегменте

2) f,(£)= 0, если

Тогда решение задач (7) и (9) существует.

Функция л-(х)= е[л-(х,^)] является вогнутой на множестве х>0, поэтому любой локальный максимум в задаче (9) является глобальным.

Однопериодная задача управления запасами в условиях стохастического спроса для отдельного периода t (при Т = 1 задачи (7) и (9) совпадают) имеет следующий вид.

,т(х) = Е(,т(х,£))= J(p£ + pmin{x-£,0}-cx)f(£)dg —>max, (12)

о

где [(£) - функция плотности распределения вероятностей случайной величины <J на [0,оо).

Теорема 4. Пусть р > с и (<£) - непрерывная функция плотности случайной величины £ на [0,со). Тогда максимальное значение в задаче управления запасами (12) в случае одного периода времени достигается в точке х* тогда и только тогда, когда х" удовлетворяет следующему условию

F(x') = ^, (13)

Р

где F(£) - функция распределения вероятностей случайной величины 4 ■

В предположении о равномерном законе распределения спроса на сегменте [i™»^™*] решение задачи (12) будет иметь вид

х- (14)

Р

Двухпериодная задача управления запасами в условиях стохастического спроса имеет следующий вид

Л"(х)= JJ(pfei + £2)+p-min{x1 — ,0} + р• min{х, +х2 -|2,0}- (15)

о о

- с(х, + х 2 )Х )f2 (i2 )diid<?2 max ,

где it e [(),»), t = 1,2 - независимые случайные величины с функциями плотности распределения f^,) и f2(?2) соответственно.

Теорема 5. Если р>с, {5,- независимые случайные величины с функциями плотности распределения = 1.2, такими, что:

1) непрерывны на сегменте ¡ОД™1], 1 = 1,2;

2) ^ = 0 при £,>4Г. 1 =

Тогда х является решением задачи (15) тогда и только тогда, когда выполняются условия

!х, >о, С(х„х2) = 0,

^•^(хЛ-О^О, _

где РД^) - функции распределения случайных величин , 1 = 1,2,

С(х[,х2) = 2р-с-р-Р1(х1)-р-,!|[Г,(х1 +х2 -¿2) + (х1 + х2 +х2+

с

о

Следствие 1. Если х* = (х*,х*)>0 - решение задачи (15), то

р,(х;)=1. (16)

Следствие 2. Для того, чтобы х" = (х',о), х^ >0 бьшо решением задачи (15) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

8(хО=0, (17)

где д(х,)=0(х,,0)=2р-р-Р1(х1)-р"|Р1(х,-^2У2(^2)а^2-

о

-р"|(х, -£2й(х, -ыиъкъ +р - с-

о о

Теорема 6. Пусть р > с, с,, — независимые случайные величины с равномерным распределением на сегменте [о,Тогда х" >0 - решение задачи (15) имеет вид:

х'2=0'если;-|- (18)

х;+х*2=^^2-^,если^<1. (19)

Доказанные необходимые и достаточные условия оптимальности позволили построить численные алгоритмы решения задач управления запасами.

Все алгоритмы предполагают поэтапное решение задачи с корректировкой величины запаса и информационного множества (предыстории спроса) 1( по мере получения информации о фактическом значении спроса.

Алгоритм 1 предназначен для решения задачи (6) - задачи максимизации прибыли для ожидаемого спроса в случае потери неудовлетворенного спроса.

Алгоритм 1.

1. 1:=1, I, ={*_„

2. Определяется = е(|,|1,).

3. х' =тах|^1 -тах(у,_1,0),0}.

4. у, =тах{у,ч,0}+х;

5. 11+| := I, и {£,}' я := в + 1.

6. I := I +1. Если I < Т, то переход к шагу 2.

Для определения е(с,|1,) - ожидаемого значения случайной величины на основе предыстории I., предлагается использовать следующие методы прогнозирования: экспоненциального сглаживания, Хольта и Тейла-Вейджа .

Для решения задачи управления запасами (7) с целью максимизации ожидаемой прибыли в условиях потери неудовлетворенного спроса предлагаются алгоритмы 2-4.

В алгоритме 2 используется подход, при котором решение многопериодной динамической задачи управления запасами в условиях стохастического спроса сводится к последовательному решению серии однопериодных задач.

Алгоритм 2.

1. 1 := 1. Рассчитывается а = -—-.

Р

2. Строится таблица эмпирического распределения случайной величины с,

на основании I, = {£,_„

3. Рассчитывается квантиль уровня а, то есть определяется х, : р(х, )= а .

4. х' = плах{х, -шах{у,_1,0},0}.

5. у, =тах{у,_,,0} + х;-|1.

6. 1Ы:=1,11&}, 8:=8 + 1.

7. I := I +1. Если I < Т, то переход к шагу 2.

Для реализации алгоритма 2 необходимо иметь историю реализаций . В случае ее отсутствия, реализация данного алгоритма является невозможной.

В алгоритмах 3 и 4 решение многопериодной динамической задачи управления запасами с целью максимизации ожидаемой прибыли сводится к последовательному решению серии двухпериодных задач.

Алгоритм 3 основан на предположении, что спрос имеет равномерное распределение и на условиях оптимальности (18)-(19).

Алгоритм 3.

1. 1:=1, I, = 15,.], •■•>

Ь, г \lk-tl

2. Рассчитывается —-—.

в | 8-1

й Лукашин, Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов /' Ю.П. Лукашин. -М: Финансы и статистика, 2002. -416 с.

3. Вьиисляется х, =£"" 5-—-1 , если £>1; х, если-<1.

Р ) Р 2 Р 2

4. х* = шах{х, -гпах{у,_1,0},0}.

5. у, =тах{у,_„0}+х;

6. Г,^ :=Г, 8:=8 + 1.

7. V := I +1. Если I < Т, то переход к шагу 2.

Алгоритм 4 основан на условиях оптимальности (16) и (17) и на предположении, что {¿г,},.,^ - независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения.

Алгоритм 4.

1. 1!=1, I, ={<?_, ...,£_}.

2. Определяется £1га™ = тах. {£ь}.

3. Строится таблица эмпирического распределения случайной величины

на основании предыстории I,.

4. Вычисляется '¿(^Г"' )■

5. Если g(^l,"™)>0, то х, = , иначе определяется х( е[о,£,"""]: §(х,) = 0.

6. х^ = тах{х!-тах{у,_,,0},0}.

7. у, =тах{у1_,,0}+х;-£1.

8. 11+1:=1,и{^}, 5-5 + 1.

9. I := I -и 1. Если I < Т, то переход к шагу 2.

При решении уравнения g(x1)=0 используется сеточная аппроксимация функций Р и ц на отрезке [о,^,1"™]. Алгоритм 4 является более трудоемким, чем алгоритмы 2 и 3, для своей реализации требует наличия информации о значениях спроса в предыдущие периоды.

Глава 3. Разработка автоматизированной системы управления запасами в условиях стохастического спроса.

На основе разработанных математических моделей и алгоритмов управления запасами реализован программный комплекс «Автоматизированная система управления запасами торгового предприятия».

«АСУЗ ТП» обладает функциональными возможностями, характерными для современных систем управления запасами: поддерживает загрузку данных из учетных систем, имеет модульную структуру, поддерживает различные методы прогнозирования, имеет дружественный интерфейс.

Автоматизированная система управления запасами торгового предприятия состоит из следующих модулей: модуль загрузки и обработки данных, модуль статистического анализа и прогнозирования, модуль расчета размеров заказа.

Внедрение «АСУЗ ТП» позволяет автоматизировать работы по прогнозированию объемов продаж и расчету размеров заказа, а также сформировать прозрачную и понятную систему принятия решений по определению объемов закупок.

Глава 4. Анализ эффективности работы алгоритмов управления запасами в условиях стохастического спроса.

Цель проведения экспериментов заключалась в оценке эффективности предложенных алгоритмов управления запасами в условиях стохастического (в том числе высоко вариативного) спроса в случае потери неудовлетворенного спроса. Вариативность спроса £ измерялась коэффициентом вариации который представляет собой отношение среднеквадратического отклонения сг(£) к математическому ожиданию ).

Для оценки эффективности работы алгоритма управления запасами значение целевой функции п(х,£), полученное в результате работы выбранного алгоритма управления запасами за Т периодов, сравнивалось с максимально возможным значением целевой функции П*(£) для данной реализации £.

Сравнительный анализ эффективности работы алгоритмов проводился с использованием метода статистических испытаний. Всего было проведено п экспериментов. В каждом эксперименте генерировалась последовательность значений случайных величин £,, ,..., |1+т, которая была разделена на рабочую (1 = 1,я) и контрольную выборки (1 = 3 + 1,3 +Т). Значения 1 = 1,з

использовались в качестве предыстории на начато работы алгоритмов управления запасами. Имитация работы выбранного алгоритма проводилась в течение Т периодов времени по контрольной выборке.

Для части экспериментов генерировались независимые одинаково распределенные случайные величины ..., , имеющие равномерный

закон (п, экспериментов) и усеченный нормальный закон распределения вероятностей (п, экспериментов). Другая часть экспериментов (п3 экспериментов) проводилась по реальным данным торгового предприятия. При проведении экспериментов были выбраны следующие значения параметров: п, =50, п2 =250, п, =20, 8 = 30, Т = 10, Т + 5 = 40.

Сравнение эффективности работы алгоритмов 1-4 на модельных данных представлено в таблицах 1-2.

Таблица 4.1

Сравнение эффективности работы алгоритма 1 на модельных данных

Закон распределения случайных величин 1 = 1,в+Т Коэффициент вариации V Среднее отношение полученного значения целевой функции к максимально возможному значению, в %

Метод экспоненциального сглаживания Метод Хольта Метод Тейла-Вейджа

Равномерный 0 < V < 0,25 89,44 77,34 82,37

0,25 < V <0,50 71,97 50,34 60,46

V > 0,50 61,39 28,37 50,62

Усеченный нормальный 0 < V < 0,25 91,12 78,96 87,68

0,25 <у <0,50 73,56 50,05 59,63

V > 0,50 63,01 39,90 51,86

Таблица 4.2

Сравнение эффективности работы алгоритмов 2-4 на модельных данных

Закон распределения случайных величин 1 = 1,8 + Т Коэффициент вариации V Среднее отношение полученного значения целевой функции к максимально возможному значению, в %

Алгоритм 2 Алгоритм 3 Алгоритм 4

Равномерный 0 < V < 0,25 87,17 94,81 93,41

0,25 5 V < 0,50 68,04 88,41 87,47

у>0,50 47,56 87,02 87,12

Усеченный нормальный 0< у<0,25 90,51 95,63 96,04

0,25 <: V < 0,50 68,57 85,83 84,52

у > 0,50 51,32 81,72 81,85

Результаты экспериментов показали, что наиболее эффективным является алгоритм 4. При проведении экспериментов на реальных данных (для торгового предприятия «Союз-игрушка») точность полученных решений для алгоритмов 1-4 в среднем по всем экспериментам составила 74,43%, 61,80%, 70,63%, 76,42% соответственно.

Проведенные вычислительные эксперименты на модельных и реальных данных показали достаточно высокую эффективность разработанных алгоритмов. К достоинствам предложенных алгоритмов следует также добавить относительную простоту их реализации, что играет важную роль при их использовании на практике.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итоги исследования

1. Разработаны динамические модели управления запасами с целью максимизации прибыли (без учета затрат на оформление и хранение) в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос теряется.

2. Разработаны динамические модели управления запасами с целью максимизации прибыли (со штрафом за дефицит) в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос откладывается.

3. Доказано, что динамические задачи управления запасами с целью максимизации прибыли для ожидаемых (прогнозных) значений спроса в случае потери неудовлетворенного спроса и в случае отложенного спроса имеют решение и множества их решений совпадают.

4. Доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности для динамических задач управления запасами с целью максимизации прибыли для ожидаемых значений спроса.

5. Доказано, что многопериодные задачи управления запасами с целью максимизации ожидаемой прибыли как в случае потери неудовлетворенного спроса, так и в случае отложенного спроса, имеют решение.

6. Для однопериодных задач управления запасами с целью максимизации ожидаемой прибыли доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности.

7. Для двухпериодной задачи управления запасами с целью максимизации ожидаемой прибыли в случае отложенного спроса доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности в предположении, что спрос в каждом периоде имеет распределение, сосредоточенное на отрезке, с непрерывной функцией плотности на этом отрезке. Для равномерного распределения построено множество решений данной задачи.

8. На основе полученных условий оптимальности разработаны численные алгоритмы решения динамических задач оптимизации запасов с целью максимизации прибыли в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос теряется.

9. Разработан и зарегистрирован программный комплекс на основе разработанных математических моделей и численных алгоритмов решения динамических задач управления запасами в условиях стохастического спроса.

10. Проведены вычислительные эксперименты, подтвердившие эффективность предложенных алгоритмов.

В качестве перспективы дальнейшей разработки темы можно отметить исследование динамических моделей управления запасами в условиях стохастического спроса с учетом динамики цен.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в журналах, включенных в Перечень ВАК ведущих периодических изданий

1. Сопко, М.В. О подходе к управлению однономенклатурными запасами торгового предприятия с высокой вариацией спроса / М.В. Сопко // Логистика и управление цепями поставок. - 2011. - №6 (47). - С. 78-86.

2. Сопко, М.В. Задача управления однономенклатурными запасами торгового предприятия с неизвестными вероятностными характеристиками спроса / М.В. Сопко // Логистика. - 2012. - №3. - С. 28-30.

3. Сопко, М.В. Автоматизированная система управления запасами торгового предприятия в условиях стохастического высоко вариативного спроса / М.В. Сопко // Логистика. - 2012. - №11,- С. 36-39.

4. Сопко, М.В. Двухпериодная задача управления запасами торгового предприятия с высокой вариацией спроса / Т.Б. Бигильдеева, М.В. Сопко // Логистика и управление цепями поставок. - 2013. - №2 (55). - С. 78-86.

Другие научные публикации

5. Сопко, М.В. О совершенствовании управления запасами на производственном предприятии в условиях неопределенности спроса / М.В. Сопко // Материалы Шестой научной конференции «Экономика современной России: модели развития и регулирование динамики» / Уральский государственный университет им. A.M. Горького. - Екатеринбург: Издательство УрГУ, 2008. - С. 200-202.

6. Сопко, M.B. Адаптивный алгоритм решения задачи управления запасами на производственном предприятии в условиях неопределенности спроса / М.В. Сопко // Голиковские чтения. Сборник научных трудов №4. - Челябинск: ЧелГУ, 2008. - С. 143-149.

7. Сопко, М.В. Прогнозирование спроса при планировании ассортимента торгового предприятия / М.В. Сопко // Материалы V Международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы»: в 2 ч. / [под общ. ред. В. В. Давниса]; Воронежский государственный университет [и др.]. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2009. -Ч. 1. - С. 77-81.

8. Сопко, М.В. Алгоритм оптимизации ассортимента торгового предприятия в условиях неопределенности спроса / М.В. Сопко // Материалы Шестой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» / СамГТУ, Самара, 2009. -Ч. 4. - С. 125-128.

9. Сопко, М.В. О подходах к решению задачи управления запасами торгового предприятия в условиях неопределенности спроса / М.В. Сопко // Материалы Международной научной конференции «Взаимодействие реального и финансового сектора в трансформационной экономике» / Оренбургский государственный университет, Оренбург, 2010. — С. 832-836.

10. Сопко, М.В. Решение задачи управления многономенклатурными запасами торгового предприятия в условиях неопределенности спроса / М.В. Сопко И сб. статей II Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Математическое моделирование, численные методы и информационные системы». Самара, 14-15 октября 2010 г. Самара: Изд-во «Самарский муниципальный институт управления», 2010. - С. 194-196.

11. Сопко, М.В. Управление однономенклатурными запасами торгового предприятия с высокой вариацией спроса / М.В. Сопко // Материалы I международной научно-практической конференции «Теория и практика в физико-математических науках (01.06.2011)». - Москва: Издательство «Спутники-», 2011. - С. 35-37.

12. Сопко, М.В. Автоматизированная система управления запасами торгового предприятия [Электронный ресурс] / М.В. Сопко // Хроники объединенного фонда электронный ресурсов «Наука и образование». - 2012. - №4 (35). - С. 2728. - Режим доступа:

http://ofernio.rU/portal/newspaper/ofernio/2012/4.doc.

13. Sopko, М. Stochastic one-nomenclature inventory control model of trade enterprise with the high variation of demand / M. Sopko // ZIRP 2012, International Scientific Conference «Development of Logistics Business and Transport System Supported by EU Funds», Zagreb: Fakultet prometnih znanosti, 2012. - P. 67-72.

Авторские свидетельства

14. Сопко, М.В. Автоматизированная система управлеши запасами торгового предприятия (информационная карта): свидетельство о регистрации электронного ресурса № 18172 / М.В. Сопко // Государственная академия наук РАО институт научной и педагогической информации объединенный фонд электронных ресурсов «Наука и образование». - 27.04.2012.

Подписано в печать 14.08.13. Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,04. Уч.-изд. л. 0,85. Тираж 100 экз. Заказ № 2130

Отпечатано в типографии «Аксиома печати». 454080, г. Челябинск, ул. Тернопольская, 6

04201364363

ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОГО СПРОСА

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

Сопко Михаил Валерьевич

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: канд. физ.-мат. наук, доцент, Бигильдеева Татьяна Борисовна

Челябинск - 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................................................4

ГЛАВА 1. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ............................................................................10

1.1. Динамические задачи управления запасами в условиях стохастического спроса.............10

1.2. Основные подходы к решению динамических задач управления запасами в условиях стохастической неопределенности..............................................................................................16

1.3. Динамические модели управления запасами с целью максимизации прибыли в условиях

стохастического спроса...............................................................................................................21

Выводы по первой главе..............................................................................................................26

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ С ЦЕЛЬЮ МАКСИМИЗАЦИИ ПРИБЫЛИ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОГО СПРОСА. 28

2.1. Условия оптимальности для динамических задач управления запасами с целью максимизации прибыли для ожидаемого спроса........................................................................28

2.2. Условия оптимальности для динамических задач управления запасами с целью максимизации ожидаемой прибыли............................................................................................32

2.3. Численные алгоритмы решения...........................................................................................45

Выводы по второй главе..............................................................................................................53

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОГО СПРОСА..................................................54

3.1. Основные требования к современным автоматизированным системам управления запасами.......................................................................................................................................54

3.2. Схема работы и модульная структура автоматизированной системы управления запасами «АСУЗТП»..................................................................................................................................60

3.3. Функциональные возможности «АСУЗ ТП».......................................................................63

Выводы по третьей главе.............................................................................................................70

ГЛАВА 4. АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАБОТЫ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОГО СПРОСА..................................................71

4.1. Схема вычислительных экспериментов...............................................................................71

4.2. Результаты численных экспериментов с использованием метода статистических испытаний....................................................................................................................................77

4.3. Результаты численных экспериментов на реальных данных..............................................85

Выводы по четвертой главе.........................................................................................................89

ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................................................................91

Список литературы 93

ПРИЛОЖЕНИЯ 104

Приложение 1 Свидетельство о регистрации электронного ресурса 104

Приложение 2 Место «АСУЗ ТП» при управлении запасами на предприятии 105

Приложение 3 Описание полей таблицы «Продажи» 106

Приложение 4 Описание полей таблицы «Товары» 107

Приложение 5 Описание полей таблицы «Остатки» 108 Приложение 6 Описание полей таблицы «Прогнозы» в случае использования методов

прогнозирования 109 Приложение 7 Описание полей таблицы «Прогнозы» при вычислении статистических

характеристик объемов продаж 110 Приложение 8 Описание полей таблицы «Прогнозы» при расчете объемов продаж на основе

таблицы эмпирического ряда распределения 111

Приложение 9 Описание полей таблицы «Заказы» 112

Приложение 10 Схема связей модулей АСУЗ ТП 113

Приложение 11 Описание функций модулей 114

Приложение 12 Пример таблицы для загрузки информации об объемах продаж 116

Приложение 13 Пример таблицы для загрузки информации о ценах и затратах 117

Приложение 14 Пример таблицы для загрузки информации об остатках 118

Приложение 15 Пример работы алгоритма 1 119

Приложение 16 Пример работы алгоритма 2 120

Приложение 17 Пример работы алгоритма 3 121

Приложение 18 Пример работы алгоритма 4 122

Актуальность работы. Актуальность решения задач управления запасами обусловлена тем, что на многих предприятиях в запасы вложены существенные денежные средства, поэтому их обоснованное снижение даже на несколько процентов приводит к ощутимой экономии финансовых ресурсов.

Деятельность большинства предприятий существенно зависит от спроса на его продукцию. Недостаточное количество запасов приводит к дефициту, упущенной прибыли (в случае потери неудовлетворенного спроса) и возможной потере клиентов в будущем. Излишек запасов приводит к потерям, связанным с «омертвлением» средств и увеличению затрат на приобретение и хранение.

Принятие решений о размере заказа в условиях высоко вариативного стохастического спроса является сложной задачей, достаточно часто возникающей на практике, в частности, в деятельности торговых предприятий. В данной ситуации наиболее адекватное описание процесса управления запасами осуществляется при помощи многоэтапных динамических моделей управления запасами в условиях стохастического спроса, которые в силу своей сложности реже представлены в исследованиях и требуют дальнейшего изучения.

Степень разработанности темы. Задачи управления запасами, в том числе динамические, рассмотрены в работах Рыжикова Ю.И., Бродецкого Г.Л., Домбровского В.В., Чаусовой Е.В., Шорикова А.Ф., Пинигина Е.Б., Силвера Э.А., Петерсона Р. и др. [9, 10, 11,21, 22, 43, 44, 75, 83, 102].

Исследованию динамических задач управления запасами в условиях стохастического спроса посвящены работы Токарева В.В., Шохиной Т.Е., Манделя A.C., Семенова Д.А., Акзетра С., Хедли Дж., Тарима С.А., Росси Р. и др. [33,68, 81,92, 98, 106, 107].

Динамические модели управления запасами в условиях стохастического спроса обычно представляют собой задачи стохастического программирования, ставящие целью минимизацию ожидаемых суммарных затрат (максимизацию

прибыли), с учетом специфики системы управления запасами (способ контроля запасов, особенности пополнения, хранения запасов и т.д.).

В большей степени представлены исследования, в которых предполагается, что спрос является стационарным [33, 43, 44, 81]. Существенно реже - когда спрос является нестационарным [98, 106, 107]. Алгоритмы решения задач в этом случае, как правило, опираются на предположения о виде распределения спроса.

В исследованиях по управлению запасами динамика запасов представлена обычно для случая, когда дефицит не допускается, а также для случая, когда спрос откладывается (может быть удовлетворен в следующих периодах). Динамика запасов (дефицита) в этих ситуациях существенно проще, чем в случае потери неудовлетворенного спроса, который достаточно часто встречается на практике.

Существующие методы и алгоритмы решения многошаговых задач управления запасами в условиях стохастического спроса получены для специальных классов задач, которые учитывают специфику деятельности предприятия, особенности целевой функции и ограничений. Несмотря на имеющиеся результаты, динамические задачи управления запасами в условиях стохастического спроса требуют проведения дальнейших исследований.

Цель исследования - разработка и реализация алгоритмов решения динамических задач управления запасами с целью максимизации прибыли в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос теряется.

Для достижения цели в работе были поставлены следующие задачи.

1. Разработать динамические модели управления запасами с целью максимизации прибыли в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос теряется.

2. Разработать численные алгоритмы решения динамических задач оптимизации запасов.

3. Реализовать численные алгоритмы решения динамических задач оптимизации запасов в виде программного комплекса.

4. Провести вычислительные эксперименты, оценить эффективность предложенных алгоритмов.

Объектом исследования являются предприятия, функционирующие на рынке в условиях стохастического спроса.

Предметом исследования является процесс управления запасами в условиях стохастического спроса на предприятиях, большое значение в деятельности которых имеют потери от неудовлетворенного спроса, экономико-математические методы и модели управления запасами.

Научная новизна исследования заключается в следующем.

1. В области развития качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей:

Разработаны динамические модели управления запасами с целью максимизации суммарной прибыли (без учета затрат на оформление и хранение) в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос теряется.

Разработаны динамические модели управления запасами с целью максимизации суммарной прибыли со штрафом за дефицит специального вида в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос откладывается.

Доказано, что динамические задачи с целью максимизации прибыли для ожидаемых (прогнозных) значений спроса в случае потери неудовлетворенного спроса и в случае отложенного спроса имеют решение и множества их решений совпадают.

Доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности для динамических задач максимизации прибыли для ожидаемых значений спроса.

Для однопериодных задач управления запасами с целью максимизации ожидаемой прибыли доказаны необходимые и достаточные условия оптимальности.

Для двухпериодной задачи управления запасами с целью максимизации ожидаемой прибыли в случае отложенного спроса доказаны необходимые и

достаточные условия оптимальности в предположении, что спрос в каждом периоде имеет распределение, сосредоточенное на отрезке, и функция плотности непрерывна на этом отрезке. Для равномерного распределения построено множество решений данной задачи.

2. В области разработки, обоснования и тестирования эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий:

На основе полученных условий оптимальности разработаны численные алгоритмы решения динамических задач оптимизации запасов с целью максимизации прибыли в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос теряется.

3. В области реализации эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента:

Разработан и зарегистрирован программный комплекс для поддержки принятия решений в сфере управления запасами торгового предприятия на основе разработанных математических динамических моделей и численных алгоритмов решения динамических задач управления запасами в условиях стохастического спроса.

Теоретическая значимость исследования заключается в решении актуальных динамических задач управления запасами с целью максимизации прибыли в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос теряется.

Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что предложенные в работе подходы, модели, алгоритмы и программный комплекс управления запасами способствуют повышению принятия рациональных и обоснованных решений при управлении запасами в условиях высоко вариативного стохастического спроса.

Предложенные алгоритмы вычисления оптимальных размеров заказов могут быть использованы в реальной деятельности предприятий. Разработанный

программный комплекс представляет собой удобный инструмент поддержки принятия решений в сфере управления запасами торгового предприятия в условиях стохастического спроса.

Методология и методы исследования. В ходе исследования были использованы методы исследования операций, системного анализа, оптимизации, теории вероятностей, математической статистики и эконометрического моделирования. При исследовании эффективности алгоритмов управления запасами применялся метод статистических испытаний.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Динамические модели управления запасами с целью максимизации прибыли для ожидаемого спроса и целью максимизации ожидаемой прибыли в условиях стохастического спроса в случае, когда неудовлетворенный спрос теряется и в случае, когда неудовлетворенный спрос откладывается.

2. Необходимые и достаточные условия оптимальности для динамических задач управления запасами с целью максимизации прибыли для ожидаемых (прогнозных) значений спроса в случаях потерянного и отложенного неудовлетворенного спроса.

3. Необходимые и достаточные условия оптимальности для однопериодных задач управления запасами с целью максимизации ожидаемой прибыли в условиях стохастического спроса.

4. Необходимые и достаточные условия оптимальности для двухпериодной задачи управления запасами с целью максимизации ожидаемой прибыли в условиях стохастического спроса в случае отложенного неудовлетворенного спроса.

5. Численные алгоритмы решения динамических задач оптимизации запасов в условиях стохастического спроса для случая, когда неудовлетворенный спрос теряется, которые реализованы в виде программного комплекса.

Степень достоверности результатов. Достоверность полученных результатов обусловлена корректным использованием математического аппарата.

Полученные в ходе исследования результаты согласуются с результатами других исследователей.

Апробация результатов исследования. Результаты проведенного исследования докладывались на шестой научной конференции «Экономика современной России: модели развития и регулирование динамики» (г. Екатеринбург, 2008 г), пятой международной научно-практической конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (г. Воронеж, 2009 г.), шестой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 г.), международной научной конференции «Взаимодействие реального и финансового сектора в трансформационной экономике» (г. Оренбург, 2010 г.), второй всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Математическое моделирование, численные методы и информационные системы» (г. Самара, 2010 г.), первой международной научно-практической конференции «Теория и практика в физико-математических науках» (г. Москва, 2011 г.).

Практическими результатами работы явились алгоритмы и программный комплекс, зарегистрированные в объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» (ОФЭРНиО) - регистрация электронного ресурса «Автоматизированная система управления запасами торгового предприятия» (свидетельство о регистрации № 18172 от 27.04.2012).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 14 научных работ, в том числе 4 работы в ведущих рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В опубликованных работах раскрыты основные положения проведенного исследования.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и 18 приложений. Объем диссертации составляет 122 страницы, включая 17 рисунков и 6 таблиц. Список литературы содержит 110 источников, в том числе 18 работ зарубежных авторов.

ГЛАВА 1. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

1.1. Динамические задачи управления запасами в условиях стохастического

спроса

Управление запасами является важной задачей для многих предприятий. Запасы на предприятии представляют собой различные материальные ресурсы, которые используются в основной деятельности предприятия, например, сырье, материалы, товары или готовая продукция.

К необходимости формирования запасов приводят следующие факторы: дискретность поставок при непрерывном потреблении, случайные колебания в спросе и длительности интервалов между поставками.

Основная цель создания запасов на предприятии - обеспечение стабильности и непрерывности основной деятельности предприятия в условиях неопределенности, надежное обслуживание клиентов с целью получения прибыли и поддержания репутации предприятия.

При управлении запасами существуют следующие виды неопределенности: неопределенность спроса, неопределенность, связанная с поставками (например, отклонение количества поставленного товара от заказанного, отклонение фактической даты доставки от запланированной), неопределенность, связанная с запасами (например, отклонение фактических остатков на складе от отчетных) [6, 15,43,63].

С точки зрения логистического подхода целью управления запасами является со