автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Диалоговая система для вычислений в комбинаторной теории групп

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИЙ К. ОГДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УБКБЕРСИГЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

НАУЧНО-ЙССЛЕДОБАТЕЛЬгЖИЙ ВЫЧКСЖТЕЛЫЕЙ Д5НГР

На правах рукописи

ХЛАМОВ Евгений Владимирович

УЖ. 681-3:512.543

МАЛОГОВАЯ СИСТЕМ. ДЛЯ' ВЫЧЙСШИЙ В КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ ГРИШ

05.13.II- математическое и программное-обеспечение вычислительны! машин, комплексов, систем и сетей

Автореферат диссертации нз соискание ученой степеш кандидата физико-математических наук

Москва - 1990

4 у

¿V л / г '

У С-У / А /',

Работа выполнена на кафедре алгебры,логики и кибернетики Иркутского государственного университета

Научный руководитель - кандад8Т-~физико-ма?екагических наук,

доцент В.В. Блудов

Офгщкальще оппоненты - доктор ©азшо-магемгякеских наук,

Профессор С.Д. ¿ораыов ■ ■ кавлидат ф513йко--м8$ем2Гйчес1сих наук В.В. Панкратьев

Ведущая ■ организация - ■Д«2ИНГрадское отделение

кйтемагйчв&гого Енаадгута •смени В.Д-"Стеклове '

Зш№га ллсеерташт состоится г':р\ * 2990

в /{^ кйн. йа заселении спедиалшированйого совета

К.053.05,034 в Московской государственном университете нмани ¡Н.В. Ломоносова по.адресу.: 1X9899»- Ёосква, Ленинские.горы* ШБЦ "Ш^в конференц-зал. •

С' диссертацией шшо ознакомиться в библиотеке Научно-асследовательскаго штасжтельного центра МГУ.

¿зторефврвт разослан," 0е- .1590 г.

Жадный секретарь . щешадазнрсшашого-совета //

. лавдцдат фаз .»мат. наук . -V/ " • ¿-Б- Борасов

0БЩ1Я ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теки. Для последних 15-20 лет характерно возрастание интереса к вопросам применения ЭВМ для аналитических вычислений. Нз рубеже 80-х гадов определилось новое научное направление, объединившее эти вопросы и получившее название "компьютерная алгебра".

Значительный раздел этого направления посвящен вопросам автоматизации вычислений в абстрактной алгебре. В частности, зто касается. коммутативной алгебры и комбинаторной теории груш. Процесс компьютеризации коммутативной алгебры протекает достаточна активно.' Известны многочисленные. программные системы, например: -Редьюс, Мшат, Математика (за рубежом). Аналитик, Алгебра, Делиа (у нас в стране)1^. -Разработка систем для аналитических вычислений- в комбинаторной теории груш ведется аё так активно. Известна лишь'одна система, использующая теоретико-групповые методы,- Кэлли. К сожалению, Кэлли не распространена у нас в стране. В СССР процесс компьютеризации теории груш ограничивается созданием специализированных програш для решения конкретных- теоретико-грушюваз;- задач2К Создание универсальных систем, использующих об!цие метода и. ориентированных на решение широкого крута задач, не- ведется,- Это связано с рядом трудностей, возникающих при создании подобных систем. Рассмотрим некоторые из них.

Первая обусловлена неразрешимостью основных проблем теории групп. Это делает невозможным "использование..теоретико-групповых методов в режиме "счета до конца" и накладывает опеределенные требования на реким функционирования разрабатываемых программных средств.

Вторая связана с реализацией на ЭВМ основных кзтодов

1. Грошева М.В., Ефимов Г.Б. О системах аналитических вычислений на ЭВМ // Пакеты прикладанх программ.- Ы.: Наука, 1938. - с.5-30.

2. Скопнн . А.Ж. О . реализации вычислений на ■ ЭВМ в трансметабелевых группах // Вестн.МГУ. Мат.мэх.асгрон., 1988.-N I.- с.20-23.

комбинаторной теории групп. Методы созданы, для ручного счета и являются мало пркгодкыми- для компьютерной ' реализации. Это определяет необходимость их модификаций.

Третья обусловлена тем, что данные представляющие обьекти комбинаторной теории групп, характеризуется большими объемами и динамизмом. Эго порождает целый комплекс частных проблем, связанных с

-размещением данных, в оперативной' и внешней памяти;

-обменами. мекду оперативной и внешней памятью:

-эффективным доступом к элементам данных;

-сборкой мусора и т.п.

Четвертая трудность обусловлена семантическим разрывом между внешним (в комбинаторной теории групп) к внутренним (в языках программирования) представлениями объектов. В то же время система долгны быть рассчитаны на конечного пользователя. В связи , с этим юзникает необходимость в разработке к реализации специального языка для . описания объектов и задашь команд т обработки.

Диссертация . посвящена Еолросам создания универсальной системы- для аналитических вычислений в комбинаторной теории груш и решению связанных с этим проблем, анонсированных ваше.

В ¿той связи, тема диссертации'является весьма актуальной и имеет практическое .значение в приложении к теоретическим исследованиям в комбинаторнной теории трупп.

Целью работ является:

1) модификация известных теоретико-групповых алгоритмов и реализация их на ЭШ;

2) разработка моделей данных для представления ' теоретико-групповых объектов в памяти ЭВМ;

'3)' построение инструментальной системы программ общего' - назначения для. вычислений .в комбинаторной теории групп;

4) ретте' некоторых, теоретико-групповых задач на ЭШ.

. Методика исследований базируется на алгоритмах комбинаторной теории трупп, а также понятиях и методах теории формальных грамматик. ...

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем: -разработана модификации методов комбинаторной теории груш

и выполнены их программные реализации; •

-разработана модель данных - для представления теоретико-групповых, объектов в памяти ЭВМ; -реализована действующая интерактивная система для аналитически вичисленнй в комбинаторной теория груш, обладающая развитым пользовательским интерфейсом; -о немощь» построенной системы получено рекение ряда теоретико-групповых задач из разряда проблемных.

Пракхичесю!я значшоспъ. Система программ, предложенная в диссертационной работе, ориентирована на решение широкого класса задач коубинатеркой теорта групп я мотет использоваться как при проведении научна исследований, так и пря обучении. Система внедрена з Мрнутскс.4 государственном университете, Иркутском ВЦ СОАН CCC?, Новосибирском государственном университете.

Апробация робела. Результаты диссертации докладывались и обсуздалгсь яа :

-IX Всесоюзном симпозиуме по теорнд групп (Москва. 1984); -VII Всесоюзной конференции "Проблемы. теоретической кибернетика" (Иркутск, 1985);

-Всесоюзной: конференции по теории груш(Свердлозск,1989); -МездукзродяоЯ ков&гренцяи по алгебре(Новосибирск,1989}; -IV Международном совещания по аналитическим вычислениям на ЗБЩДубна,IS90);

а также на семинарах, лаборатория вычислительных методов ЫГ7(1986-1990) я семинарах кафэдри алгебры, логики н кибернетики я кафедры теораа алгоритмов а программирования Иркутского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ.

Сярукяура. и объел диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, за-шяения, списка литературы из 73 названий п приложений. Работа изложена на ИЗ страницах машинописного текста, содержит 6 рисунков и I таблицу.

ЙРАГКОЕ СОДЕРЖАНИЕ Р1Б0Ш Во введении обосновывается актуальность те»з а дается.

краткое изложение содержания диссертации.

Нулевая глава содержит' описание основных понятий из комбинаторна® теории груш и теории формальных языков, используемых в диссертационной работе.

Первая глава содержит описание основных алгоритмов, их модификаций и проблем, связанных с реализацией этих алгоритмов на ЭВМ. В частности, рассматриваются вопросы, связанные с методом перечисления смежных классов Тодда-Коксетера.■ Здесь не отмывается язык копредставленяй и особенности его реализации.

Назначение- ц. режим функционирования систели ДИСКОНТ. С помощью системы ДИСКОТЕГ можно решать следующие задачи:

- определение порядков груш и их подгрупп на основе капредетавлвшй групп;

- представление груш таблицами действия образующих на множестве классов;

-частично радение проблема слов для бесконечных и конечных групп, прэ-детазд&нзя которых не помещаются в памяти ЭВМ,, и полное реаани&. да. конечных групп, прадставимых в памяти;

-построеяиа. непредставлений всех подгрупп ыаяах ( <10 ) иедэксов, исщдада та$ота -образущйк группа;

- ЕШолненЕа оп§рзцг£ над .та<5лица»ги образувгйх по правилам операнда над тдетащЕкаки.

Кро?;£ того- в. сэдсяс&иэ реализованы сервисные функции, обесшчзвзкг^е-йптер^ггр с пользователем, доступ к базе таблиц и копредставлэшЗ» ущравдоща ngoijoccoM.внчпсыгошй и другие.

Гаращзгр^вать решен?», мщеаашх.- зада« невозмохао, как из-за аягорйиадаф^й ropsajsj^^cja теории груш, так и из-за orparaneiffióSgx щузкощзочвЩ 14, • Поэтому применение система носит ЩЫядр эвршткчесkjü?- xapss^fep. Наиболее отаглашшм решит, '' . \ в^ряягчэсювЗ-. поиск, является

дщалогсшай.' ySíijáo оа правая- за, основу ^кгциошгоовашя сястеш

дажет1'; •

■' Б" система ' истадоващоь классические методы

KOMózsBTajjSqÜ теории групп. Это матод Тодда-Коксетера для пвре'числёнйя С.-.ЭВДШХ классов груша по подгруппе на основе копредстё'влешй. ' "груши и пощзущщ. и метод' РеЩшейстера-ЩреЯэргг для " оотздэлещя - котаэдетавлеяза подгруппы исходной группн на-; _ основе ''''(таблиц обрааугашх группа.

Далее описываются ¿юдьфих^ш явшсда. Тодда-Коксетера, :остоящие в следующем.-

1.. Изменение aopadm npozcdw апредемяацих слой. {еэффвктивиостъ проходки- отфе делящих .слов состоит а ев )дкостсроетоста. Определяющее слово проходится, только в одном • вправлении: слева - направо, что, зачастую, приводит- к гоявлеянв лишних пар эквивалентных номеров. Остановила на атом »сколько подробней.

Пусть определяющее соотношение R имеет вид

з1 з, з ' R- а^ ...ajJ...ar

То этому определяющему соотяоиенна производится проходка для' слассэ №. Допустим,' что проходка части слова

31 3t-i (7=а? 7.. .а}{ у

is • порождает нового смежного класса.п

ГГ. .

5 то га вреня» результат-cmpauca 31

N. * а/

5 табгят' г-с-рзуагда отсутствует. _ Согласно . иетоду ?одда-Кокс--~",:--г, з этгг "осто zoszzsa поггЗ c;i3r;*r-:1: т-гдпсс 1Ъ гол:! опзсзп™

Д-Л ^¿y-.JS.

J I • •

го з отоп :»? гг^гждггвсгх. ;.;."-,•), эс.~л

,7 • :Г'--=- го :!3 -

т i.ix ? с*"■:-,'":''. 1 слов

^слга'Л хттп: г то vci-tr: пропет:? тп'т'л'злг.гг." г ■го^эрлза:*. кяо било -лап г:л?с?о "ст-зга ••спсх.йола'з tr:rsy

'Но ляя гитгсг?31гя «3SD-crc:'.> п:есгл л >з ялгор:у;:

1радогкп спрэ^а :пг слсв, сд?лг,:з его дзустароЕШЗ!.

2. .-:сСэ1ч dassvc, "лз-чз ^лслс.

используемой в классическом алгоритме Тодда-Коксетерз, обусловлены, во-первых, ее неэкономичностью и, во-вторых, большими затратами на поиск нужной информации. При этом используемая модель дэеных очень склонна к "засорению". Очистка ее невозможна без ущерба для вычислений.

Предлагается иная модель, основанная на представлении графа группы и реализованная • с использованием динамических данных. Предлагаемая модель экономит память и позволяет избавиться от скзсзеого просмотра при обращении - к элементам подстановок. Схематично она представляется следующим образом:

■РисЛ. Схема прэдстззлеягя таблиц рбразущях списком •

На этор ^- кокэра смежных классов, р?,. - .

указателз: следашг злаизнтов списка- При этом действия образующего а| на классе N определяется элементом

3. Модификация процедуры, сгоейки заключается а сопоставлении уходянзыу номеру/класса еГ0 канонического представителя Для указания класса-каяошческого представителя используется, средняя строка таблица Т(п+1). в ■ нашем . случае з- ячейку Р2->Т(п+1) заносится указатель класса Ячейки Т(п+1) в

'олбаах, соответствующих каноническим' представителям, остаются

стыки (Р,->Т(ти-1 )^пи11). Это облегчает доступ к каноническим

мерсм я, в дальнейшем, существенно упрощает процедуру лошнетя пайлицы( "сборки мусора"). Уплотнение таблицу. авизуется как построение списка свабодаы£(неканонических) яжных классов. При размещении новых классов ■ сначала уаествляется попытка размещения их именно в этом списке, ематично это выглядит так:

Ш _

) | РРЗ | | М, ?Р5 | «Гг | гт!1 | | Нг |. пиИ

Рис.4 Вид таблицы действия образующих посла уплотнения

В п. 1.2 описывается реализац!хя яодьфшхироваянага летоЗа Зда-Конеетера. - Общая оценка слоккосга списываемой реализации то да имеет вид: я

К П Г Си(К+С1п)1 + Кп( (1)

} К - порядковый номер последнего перечисленного класса, т -отчество слов в .непредставлении группы. - длина. 1-го слова

треяставлеяия, п - количество образующих ' Ст,= 0(11).

р

г= О(тг),- 0^= 0(п), с^ 0(п). Как 'видно из формула

) «сложность алгоритма имеет оценку ОСК3), 0(1) а 0(п2), что

тает реальным счет на таблицах размерностей порядка десятков ¡йт. 3 конкретной реализации системы на ЕС- 106! на а Мбайтах, ¡ративной памяти перечисляется 300000 смежных классов для 'гш, заданных двумя образущгми. Заметим, что длина гредставлекия не влияет на объем используемой памяти, но ¡естЕеннс сказывается на времени счета. Практически для любых [редстзЕлениЗ время счета остается реальным,' так как наиболее геячным ресурсом является, все-таки, память. В п. 1.3 приводится описание язына копредспавлетшй, близкого

к языку комбинаторной, теории'"груш •'и' составляющего основу пользовательского интерфейса. Язык является регулярным и реализуется посредством конечного, автомата. Здесь же приводится описание кошилтара язьжх непредставлений,, и редашора непредставлений..

В п. 1.4 описываются дополнительные возложнааж системы ДИСКОТЕГ.

1) Процедура проверки, равенства слов, основанная на определении номеров сшщш классов, представляемых заданными словами.

2) Процедура поиска представителя смежного класса, позволявдая определять слово, представляющее заданный смежный класс.

3) Процедура дополнения. кспредстяЗления, позволя.щая доопределять копредсТавлвнив - группы единичными слонами, полученными в результате пэречислзшя смежных; классов по методу ?одца-Кокс<зтэра. .

4) Процедура* 'бдаодяйейда операции над подстаювтли, предстзЕляЕ£3?.51 группу. .

5) .7рсЦ£%р:, обееиеча£2&х^ . ведете . бази банит. В базе данных,- оргад^эгкйзй"'оо- библиотечному ' щшшшу, хранятся копрздзтца^гат грущг. ■'.'.-.

6) ЦрритЗури, <£асгжиеаа&э райсиу. алэШой тешка;. дш поддереда сгесЗГ : ЕссЕзяоаайА . •• .шюлзяешх -..'в-- решке бе&тгртазха, ■

В®ор%1--^¿'Га' «сс5аБЭ • структура и кжлзкд' еастогш

дяскотег, . , ■ : -.

-СИ^О ошжагся ехзаай,- -пракдангейг ла ркс. 3. -ЩЩЖ оОоспэчша» инпстжгздр С "зрлгя гсгсвг ЕНЩЫКЗЪ "Р1 уровня

С - то^.;: оря&я.их о^ежжг кокздвд далптег на даз

-

грунта п педгрушн;

- Си.;:ранок.:о тезус— груки п подгрупп- в

библиотеке копредставлеяий;

- нагрузка текупаш копредставлений из библиотеки;

- определение копредставления текущей подгруппы как подгруппы заданного конечного индекса.

■Управляющий модуль

Г?ШГ)=<имя> 1 ГД ТО

Модуль редактирования' когазедстзвления с подкомандами Модуль генерация таблиц с подкомандами

ГР(ПГ)=ПИ t_

Модуль построения ко-гоедстзвленая подгруппы заданного индекса с подхо:,-!аздз?.а

. Fr'.с: 3. Структурная сзема сястеш ДШШГНГ

ХаггпдУл 0TL6pjp'jx^j& r.petjorszà.ieHiJs^tii, гншдаруят шподаенпе tskhz огерзшиг, как: • . -

- - построение таблица деДсттлгя образуема груша на ?дкшстЕе омег-:ж классов;

-упдоговгаз тзйиге» •сбргзустх;

- внподпзнпе cnopsuaî лад стрскс;а газлшщ оиразуэдях как наг подстаногссз'п (р.Узло-:зн-л> з кткга, у;згя1по);

-выполнение прЕнуднтзльшг сцлззк;

-нзтослейпе нсмэра сгэгзюго класса ш заданному представителю;

-вычислегоэ представителей схегкого масса яо . заданной? подеру ;

-опер^цпп иад стековой памятью;

-организация контрольной точки;

-рестарт систеш с контрольной точки.

Третья глава содержит описание примеров использования системы ЛИСКОТЕГ

Это, во-первых, использование системы для повторения яекоторшс уже известных результатов, полученных ранее теоретически. Такое применение представляет особый интерес с точки зрения сценки работоспособности и эффективности системы. К таким исследованиям можно отнести определение порядка силлетрияесксй и знакопеременной групп.

Во-вторых, использование системы для подтверждения или опровержения гипотез. Обычно, это сводится к построению на ЭВМ примеров, подтверждающих гипотезу или контрпримеров, опровергающих ее. Очевидно, что в этом случае не может быть и речи об исчерпывающем доказательстве. Но иногда дане косвенное подтверждение гипотезы имеет большое значение. Примером такого использований системы могут служить вычисления в локалъно-нииьпстенпшх группах, описанные п. 3.2.

В-третьих, система мояет быть использована для накопления фактического материала и формулирования гипотез или утверждений на его основе-. В этом ключе можно рассматривать, например, исследования на ЗВЙ шзроного спектра уравнений над щшлиниским груплаш, описанные в д.3.3.

При исследовашаг сияаепсринеснсй группу, рассматривались три ее ■ известных копрадставлеаи:.

1) sl : <Р ш ъ2 = (ah)n~1 = 7

- (a~r+1 (cü)r~1 )П = 1, 2 < г < п

(a~Jbar b)2 * 1, 2 « j ^ n/2 При. этом napcEuaszcef а и Ь vz&m вид а ~ ( 12 3.... 7V),. Ъ = (1 2).

Зксцерщ;эетальныа< способом с помощью ДйСКОТЕГ из Sn' было получено в тех. К& пэрсвдапцшс а, Ь более компактное

капредотайлезя Sl', имэацае вид:.

(Р = Ь2 - (ф)пЧ= 1

- -IS -

гсГ-^сЛ}2 = 1, 2 ^ $ л/г,

что является повторением результата Нильсена1^, полученного теоретически.

2) : ап- Ь(аЫп~Г-~ (ЪоГ1Ъа)3= 1

(ъа~3ъа.3)2 = 1, 2 J

в порождающих а,Ъ из 31р. Оно было приведено к виду:

: ап= Ь2= (аЬ)п~1= (Ъа~1Ъа)3= 1

(Ъа JbaJ)~^ 1,

в тех яе порождающих а и Ь.

3> 4 • 4= ~ ■

1, 1 ^ п-2; (а,ак)2, I < к-2;

б порождающих

(К2), ар= (2,3), ... , а^^п-ип).

Это копредставлеаие привести не удалось.

По своим "счетнж" характеристикам первое и второе копредставления после их приведения оказались идентичными. Третье, несмотря на простоту, уступает та на порядок.

Исследования в лоихиъно-пилъпапатиых грушах ведись на предает поиска контрпримера к одному известному вопросу^ ^.

Nielsen J. Die simmeirische und die alternierende Gruppe // Math. Ilüsskr.- Б., i940.- s.7-18.

^ Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории груш.-Новосибирск, 1986. - 132 с.

"Пусть X - конечное множество, / - функция, приншашая натуральные значения на его .надмножествах. Потребуем, чтобы в груше с порсвдэйцим множеством X каэдая подгруппа грГУ; (У с X) была шльпотентна ступени < /(у). Верно ли, что свободная относительно этого условия группа не имеет кручения? "

Этот вопрос решается отрицательно, что показывает следующий пример

/ ; 2х -> Ш,

/(Ж) = 4, ■ (*)

, /((Х1г Хг)) = Т( (х2, Х3)) = г, /((Х,, Хд}) = 1.

Через бу обозначим группу ■ с . поровдашими , Гр, к

свободную относительно условия (*), т.е. группа 4-х ступенно-нильшгентнай, подгруппа пр(х^х3) - абелева, подгруппы грСх^Тр) и гр(х^,х3) ■ - двусгуданно-шыьпотентные. Су можно задать поровдавдиуи с определящимк соотношениями. С использованием системы ЖЖОТЕГ было показано,что груша гомоморфна груше I порядка 32, порождаемой подстановками: Х1 <= (2 7)(4 9)(8 14)(10 24)(11 2в)(13 20). (15 19)(16 17)(1в ,13)(23 25)(26 27)(29 31) . х2 = ,(1 2)(3 7)(4 в)(5 29}(6 13)(9 26) ■ . (10 Т6)(11 1в)(12 31)(14 23)(15 30) (17 23) (19 21) (20 22) (24 32) (25 27) Х3 - (2 В)(3 21)_(7 14)(10 23)(12 22) (13 16)(15 17) (10 19)(20 32)(24 25)(26 29)(27 31). В этой группе выполнять условия (*) п элемент Мх*,х21,(х2,х3]} не .равен единице. Уаним образом, получен

отрицательней ответ па поставлйшшй вопрос.

Пра • иссгадованш црайнапий кза гдаагксмгиси су^гет^и. был

получен ответ на вопрос Линдона1^, поставленный следующим образом:

"Пусть п к к взаимно просты, <7 - циклическая группа порядка пк. Если уравнение тп(а,х)=1 решается над группами порядков' п и Р., то решается ли оно.над группой порядка пй? Верно ли обратное1?"

Б качестве ответа мокно привести следующую таблицу для

обобщающую результаты исследований на ЭВМ уравнения и(а,х)=1 над циклической грушой;порядка п-п^.

п1 Пр п^пр ш(а,х) примечание

•+■ +

+ +

■ ОСНОШЕ ЕЕЗШИТЫ ДЯССЕРШШ " _

. I) Разработана диалоговая система для внчиеленгй в комбинаторной теории групп в часта йетода перечисления смежных классов Тодда- Коксетера и вокштатедшпс алгоритмов, а • также сервисных функций, обеспежтваюиш ' ведете • базы данных и пользовательский интерфейс.

2) Предложены модаЗйшда-. 'классических геореттто-грушовых алгоритмов, повывающие эффективность их кошьЕтерной .реализации..

3) Предложена модель представления твгфетпсо-грушювнх объектов в 'памяти ЭВМ. и -методика .обработай объектов, характеризующихся большими представлениями.

4) Разработан' и реализован-язык, задания, теорегано- групповых объектов и манипулирования этют объектами.

•^Lyndon R.C. Equations In groups.// Bull. .Bras. Math. Soc., 1930.- 11, H 1.-p.79-102.

произвольное • невозможно

la, a1!

id, Л ■ fij-2, '

■ of* С?'

+

5) Решеш с помощью системы некоторые задачи для- лог.ально-нилыготентша в циклических груш.

Публикации, по теме диссертации:

1. Блудов В.В;, Хламов Е.В. Интерактивная система для вычислений на ЭВМ в комбинаторной теории групп // IX Всесоюзный симпозиум по теории групп: Тез. докл. - Москва, 2934. - с.II.

2. Блудов В.В., Пантелеев В.К., Хламов Е.В. Система программ для комбинаторной теории груш.// II конф.молодых ученых ИГУ: Тез.докл. /Иркут.ун-т.- Иркутск, 1984.-.ч.1.~ с.24.

3. Блудов В.Б., Хламов Е.В.• Автоматизация, исследований в теории груш.// Теория алгебраических, структур-. - Кзраганда, 1935.-с .12-18.'

4. Блудоз В.В., Пантелеев Б.И., Хламов Е.В. Автоматизация исследований ■комбинаторной теории групп // Алгебраические система. Алгоритмические' вопросы и ЭВМ,- Иркутск, 193£. -с.68-76. .

5. Блудов В.В.', Хламов Е.В. Применение ЭВМ к решению уравнений над циклическими грушашг // Мевд.конф.по алгебре: Тез. докл. по теории.груш. -.Новосибирск, 1989.- с.18.

6. Блудов В.В., Клезйшнов В.Ф., Хламов Б.В. Контрпример к одному вопросу Ольшанского // Алгебра и -логика.- 1990.- Т.29, N 2.- с.139-140.

7. Хламов }З.В., Блудов В.В- Интерактивная система для .решения алгебраических задач // VII Всесовз.конф. "Проблемы теоретической кибернетики": Тез,докладов.- Иркутск, 1985.-с.196-197.

8. Хламов Е.В. Некоторые. вопроск -автоматизации исследований в теории групп. // Нек.БОпр.выч.мат., мат.физ. и прогр.обеспеч. ЭВМ.- Ь!.:. 1987.- с.84-85. , -

9. Хламов Е.'В. Некоторые вопроси разработки систем для автоматизации исследований в алгебре // Алгебраические и комбинаторные вопроси дискретных систем и ЭВМ.- Иркутск, Изд-во ИГУ» 1990.- с.131-146.

ЯЗО.Закав -В"- <1101871 ОТД Иркутского ЦНИ ■.¡"иугся-Коинунарав ЛО'