автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Диагностирование нелинейных динамических систем

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ (АВТОМАТИКИ И ТЕЛЕМЕХАНИКИ) РАН

Р Г 5 О А На правах рукописи

1 з \т

ШУМСКИЙ Алексей Евгеньевич

ДИАГНОСТИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05-13-01 - Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва 1996

Работа выполнена в Дальневосточном государственном техническом университете

Официальные оппоненты:

Доктор технических наук с.н.с.

КОРНОУШЕНКО Е.К. Доктор технических наук профессор

МИРОНОВСКИЙ Л .А. Доктор технических наук профессор ШАРШУНОВ С. Г.

Ведущее предприятие:

Военно-воздушная инженерная академия имени Н.Е.Жуковского (Москва)

Защита состоится "

1996 г. в 10 часов на

заседании диссертационного совета Д 002.68.02 Института проблем управления РАН по адресу 117279, г. Москва, ул. Профсоюзная,65

С диссертационной работой можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления РАН.

Автореферат разослан " & " 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук —В.К.Акинфиев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность, проблежи. Эффективный подход к обеспечению свойств отказоустойчивости, безопасности, живучести современных технических систем ответственного назначения состоит в оперативном обнаружении л локализации дефектов, возникающих в процессе их функционирования , с целью последующего парирования этих дефектов. Как следствие, средства диагностирования, реализующие функции обнаружения и локализации (поиска) дефектов, являются необходимым элементом таких систем. Проблема синтеза средств диагностирования технических систем подвергалась интенсивному исследованию последние два десятилетия. Результатом явилось создание многочисленных подходов к решению данной проблемы, ориентированных на различные классы объектов диагностирования н использующих различные методы решения диагностических задач.

Существующие подхода к диагностированию технических систем можно классифицировать по степени детализации используемого описания этих систем. Чем выше уровень детализации описания, тем более высокие характеристики процесса диагностирования могут быть получены. К числу подходов, позволяющих обеспечить наиболее эффективное решение диагностических задач, отпосятся подходы, оперирующие динамическими моделями технических систем, задаваемыми в виде совокупности дифференциальных или разностных уравнений. Ниже технические системы, допускающие такое описание, будут именоваться динамическими системами (ДС). К числу ДО относятся различные движущиеся объекты, технологические процессы, всевозможные системы управления, различные исполнительные механизмы, а также аналоговые устройства электронной техники. Специальный класс ДС составляют конечные автоматы (КА), к которым могут быть отнесены цифровые устройства (ЦУ) электронной и вычислительной техники. Методы диагностирования различных классов ДС получили свое развитие в многочисленных работах отечественных и зарубежных ученых (В. Данилов,

A. Жирабок, Н. Колесов, В. Корноушенко, А. Латышев, Л. Инроновский,

B. Сапожников, Вл. Сапожников, Е. Согомонян, Я. Впввеу111е, Р. РгапЬ, «Т. (ЗезгЫег, й. 1вегтапп, Л. Ра^оп, А. ИИвку и др.).

В настоящее' время наиболее активно развиваются методы диагностирования ДС, объединяемые общей концепцией аналитической избыточности. В основе этих методов лежит обширный арсенал средств, используемых при построении процедур диагностирования, включающий различные наблюдатели (фильтры Калмана, диагностирующие наблюдете-

ли, адаптивные наблюдатели) и соотношения паритета.

В большинстве работ объектом исследования являлись ДС, описываемые линейными моделями. Однако использование только линейных моделей при решении диагностических задач для реальных технических объектов сталкивается с определенными трудностями. Так, например, класс ЦУ, которые могут рассматриваться как линейные КА, весьма невелик. Для других классов ДС (системы управления, исполнительные механизмы и т.д.) ограниченная точность линейных моделей может явиться серьезным препятствием для обеспечения требуемых характеристик (полнота контроля, глубина поиска дефектов) процесса диагностирования. Существующий путь преодоления трудностей, связанных с ограниченной точностью линейных моделей, предполагает использование робастных методов диагностирования, ориентированных на достижение низкой чувствительности процедур диагностирования к ошибкам модели, обуславливаемым неточностями воспроизведения нелинейных элементов объекта диагностирования. Робастные методы диагностирования также широко используются для борьбы с эффектами, вызываемыми помехами измерений и внешними возмущающими воздействиями, сопровождающими процесс функционирования реальных технических систем. Однако применение этих методов дает хорошие результаты лишь при относительно небольшом числе неизвестных точно параметров модели и возмущающих воздействий.

Радикальный путь преодоления отмеченных трудностей состоит в переходе от линейных к нелинейным моделям ДС. Однако существующие методы, ориентированные на использование нелинейных моделей, характеризуются ограничениями, накладываемыми как на класс допустимых нелинейностей, так и на множество получаемых решений. В результате могут иметь место неоправданно завышенные аппаратурные или вычислительные затраты на реализацию процесса диагностирования, недостаточная полнота контроля и глубина поиска дефектов. Может потребоваться введение дополнительных контрольных точек в диагностируемые ДС. Таким образом, существует проблема, имеющая важное научное и прикладное значение, состоящая в развитии робастных методов диагностирования ДС на основе их нелинейных моделей.

Широкое распространение линейных моделей при решении диагностических задач обуславливается прежде всего эффективностью и универсальностью используемого математического аппарата линейной алгебры, позволяющего с единых позиций рассматривать системы с непрерывным временем, о дискретным временем, а также линейные КА. В тоже время применяемые для исследования различных классов нелиней-

ных ДС алгебраические и дифференциально-геометрические методы, нашедшие свое развитие в работах Р.Брокетта, В. Елкина, Г. Яковенко, A.Isidori, характеризуются значительным разнообразием, что затрудняет выявление общих аспектов, возникающих при решении диагностических задач. Это обуславливает актуальность разработки математической основы для решения с единых позиций комплекса диагностических задач для различных классов нелинейных ДС.

Целью работ является разработка теоретических основ, методов и процедур синтеза средств диагностирования ДС, описываемых нелинейными моделями, в условиях параметрической неопределенности моделей, помех измерений и внешних возмущающих воздействий. Полученные результаты должны быть использованы при создании диагностического обеспечения таких ДС.

Задачи исследования включают в себя: -разработку математических основ (математических методов) для решения задач анализа диагностирумости ДС и нелинейных преобразований их математических моделей, а также получение единых (на алгоритмическом уровне) решений перечисленных задач для различных классов нелинейных моделей ДС (с непрерывным временем, с дискретным временем, КА);

-разработку методов синтеза средств контроля правильности функционирования цифровых устройств на основе их аналитического описания с учетом требований полноты контроля и минимальной размерности получаемого устройства контроля;

-разработку методов синтеза робастных процедур обнаружения и поиска дефектов на основе нелинейных моделей ДС с использованием принципов полной развязки от параметрических возмущений и адаптации к неизвестным параметрам ДС;

-разработку машиноориентированных методов оптимального синтеза процедур обнаружения и поиска дефектов на основе нелинейных моделей ДС с параметрическими неопределенностями.

Методы исследований. В диссертации использованы методы высшей . и линейной алгебры, теории матриц и теории дифференциальных уравнений. При разработке методов анализа систем и синтеза средств (процедур) диагностирования использованы элементы теории систем и теории автоматического управления (в том числе теории чувствительности, теории оценивания и Н^-теории). Реализация методов синтеза средств (процедур) диагностирования осуществлялась с использованием пакета Reduce. Проверка процедур диагностирования выполнялась путем их машинного моделирования с помощью пакета Hat lab.

Научная новизна результатов исследований состоит в следующем:

1. В рамках развития математического аппарата парной алгебры Хартманиса и Стирнса предложены математические метода (объединяемые общим термином алгебра функций) и на их основе поручены решения ряда задач анализа (наблюдаемости, идентифицируемости и диаг-ностируемости), нелинейных преобразований и декомпозиции, которые являются общими (на алгоритмическом уровне) для различных классов ДС (систем с непрерывным временем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в форме Коши, систем с дискретным временем и цифровых систем, для описания которых привлекаются нелинейные разностные уравнения).

2. На основе алгебры функций разработан аналитический метод синтеза устройств контроля правильности функционирования цифровых ДС.

3- Предложен общий подход к синтезу нелинейных наблюдателей пониженного порядка, использующий разработанные методы нелинейных преобразований математических моделей ДС. Сформулированы общие условия инвариантности сигнала невязки, формируемого на выходе нелинейного наблюдателя пониженного порядка, к параметрическим возмущениям. На их основе разработаны процедуры синтеза нелинейных наблюдателей в соответствии с требованиями адаптации к неизвестным параметрам ДС, полной развязки от нежелательных параметрических возмущений, а также требованиями взаимной развязки дефектов в выходном пространстве наблюдателя.

4- Получены выражения для оценки показателей эффективности процедур диагностирования, реализованных на основе нелинейных наблюдателей, сформулированы критерии и разработаны машиноориентирован-ные процедуры оптимизационного синтеза нелинейных наблюдателей, приводящие к решению известных задач линейной алгебры (сингулярному разложению матриц, решению обобщенной проблемы собственных значений, решению линейных алгебраических уравнений).

5■ Предложены методы нахождения множества функционально независимых нелинейных соотношений паритета и на их основе реализованы различные подходы к синтезу робастных процедур диагностирования ДС. - •

Таким образом, в работе с единых методологических позиций разработан комплекс подходов, методов и процедур решения диагностических задач для различных классов ДС (описываемых нелинейными моделями) в условиях параметрической неопределенности используемых моделей, при наличии помех измерений и внешних возмущающих воздействий.

Практическая ценность и внедрение результатов работы.

Проводимые исследования включались в основные направления научно-исследовательских работ Дальневосточного государственного технического университета. Они выполнялись в соответствии с комплексной программой MB и ССО РСФСР "Надежность конструкций" по направлению "Повышение надежности и ресурса средств приборостроения, автоматизации и вычислительной техники" в 1986-90 гг., комплексной программой MB и ССО РСФСР "Системы автоматизации проектирования, конструирования и технологической подготовки производства в ведущих отраслях промышленности" по теме "Разработка алгоритмов и программ для систем автоматизированного проектирования элементов РЭА и радиосистем по критериям надежности и живучести" (N гос.per. 01860098855) в 1986-90 гг., комплексной программой Госкомитета Российской Федерации по ВО "Океанотехника" по темам "Разработка пакета прикладных программ для синтеза средств оперативного контроля технических средств освоения Океана" (N гос. per. 01.9.20 013711) в 1992-95 гг, "Разработка высококачественных систем управления и кинематических схем подводных аппаратов и манипуляторов" (N гос. per. 01.9.10 037194) в 1991-1995 гг., "Разработка мапш-ноориентировэнных методов и моделей диагностирования подводных роботов" (N гос. per. 01-9-50 000935) в 1994-1996 гг. Кроме того, внедрение результатов диссертации осуществлялось в ходе выполнения хоздоговорных научно-исследовательских работ с Иркутским филиалом НИАТ по теме "Исследование и разработка предложений по созданию отказоустойчивых ГПС на основе токарных модулей" (N гос.per. 02880055735) в 1987-1988 гг. и с Владивостокским филиалом НИЦЭВГ по теме "Разработка принципов и методов оперативного диагностирования функциональных блоков ЭВМ" (N гос.per. 01880053336) в - 1988-1990 гг.

Полученные в диссертации результаты доведены до инженерной практики и позволяют решать задачи создания средств оперативного контроля и поиска дефектов в технических системах ответственого назначения, описываемых нелинейными динамическими моделями, в условиях параметрической неопределенности используемых моделей, помех измерений, действия возмущающих факторов.

Практическая ценность полученных результатов подтверждается их использованием при решении ряда производственных задач, выполненных при непосредственном участии автора: разработка средств диагностирования ЭВМ конвейерного типа и сигнального процессора СИГ-НАЛ-КСП-16; разработка встроенных средств диагностирования тестера

ВДК-90; разработка процедур диагностирования элементов движитель-но-рулевых комплексов и манипуляторов подводных аппаратов "Антэс", "Линотип", "Роби".

Отдельные научные и практические результаты диссертации используются в учебном процессе ДВГТУ в дисциплинах "Теоретические основы конструирования, технологии и надежности электронных средств" , "Автоматизация конструкторско-технологического проектирования электронных средств", а также будут использованы при постановке дисциплины "Управление качеством электронных средств" инженерной подготовки по специальности 2008 и дисциплины "Методы и средства диагностирования динамических объектов" магистерской подготовки по направлению 551100.

На защиту выносятся:

1. Основные конструкции алгебры функций (отношения, операции, операторы), методы вычисления операций и операторов, а также инвариантов, составляющие математическую основу для решения с единых позиций комплекса задач анализа и синтеза ДС, описываемых нелинейными моделями с непрерывным и дискретным временем.

2. Методы и процедуры нелинейных преобразований и декомпозиции нелинейных моделей ДС.

3- Методы, процедуры и критерии для анализа наблюдаемости, идентифицируемости и диагностируемости ДС на основе их нелинейных моделей.

4- Методы и процедуры формирования контрольных соотношений для обеспечения необходимой полноты контроля, реализуемого с использованием нелинейных неблюдателей состояния.

5. Методы и процедуры синтеза нелинейных наблюдателей пониженного порядка в соответствии с требованиями устойчивости к параметрическим возмущениям и адаптации к неизвестным параметрам ДС.

6. Методы и процедуры синтеза средств диагностирования нелинейных ДС в соответствии с требованиями полной развязки от нежелательных параметрических возмущений и взаимной развязки эффектов, вызываемых различными дефектами в ДС.

7- Оптимизационный подход к синтезу робастных процедур диагностирования с использованием нелинейных наблюдателей состояния, критерии оптимальности и полученные на их основе оптимизационные процедуры синтеза таких наблюдателей.

8. Методы нахождения множества функционально независимых нелинейных соотношений паритета и реализованные на их основе робастные процедуры диагностирования ДС.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены и обсуждены на следующих конференциях, совещаниях и симпозиумах: 12-й Конгресс ИФАК (Сидней, 1993); 13-й Конгресс ИМЕКО (Турин, 1994); симпозиумы ИШАК по обнаружению дефектов, управлению и безопасности (Эспоо, 1994), идентификации (Копенгаген, 1994), 5-й симпозиум ДАААМ (Марибор, 1994); симпозиум по технологии электронной промышленности (Канадзава,1993); международные конференции по отказоустойчивости (Варна, 1990), технической диагностике (Гуй-линь, 1991), по диагностированию дефектов (Тулуза, 1993), по промышленной автоматизации (Монреаль, 1992; Нанси, 1995), по подводным необитаемым аппаратам "ОКЕАН 94" (Брест, 1994); IEEE конференция "Системы, человек и кибернетика" (Ле Туке, 1993); американские конференции по теории управления (Балтимор, 1994; Сиэтл, 1995); международные AMSE конференции по информации и теории систем (Хан-чжоу, 1991), по теории сигналов и систем (Варшава, 1991); Европейская конференция по теории цепей и проектированию (Давос, 1993), 2-я школа-семинар IPAC "Алгоритмы и архитектура для управления в реальном времени" (Сеул,1992); IX и X симпозиумы по проблеме избыточности в информационных системах (Ленинград, 1986, 1989); 6-е и 7-е Всес- совещания по технической диагностике (Ростов на Дону, 1987; Саратов, 1990); 1 и 2-я всес. школы-семинары "Техническая диагностика динамических систем", (Рыбачье, 1990; Севастополь, 1991); 2-я Всес. конф. "Живучесть и реконфигурация информационно-вычислительных и управляющих систем" (Харьков, 1988); 10-я межвуз. школа-семинар "Методы и средства технической диагностики" (Рыбачье, 1991); Всес. школа-семинар "Диагностирование надежность, не-разрушающий контроль электронных устройств и систем" (Владивосток, 1990); Всес. научно-техн. конф. "Повышение качества и надежности продукции, программного обеспечения ЭВМ и техннчеких средств обучения" (Куйбышев, 1989); Всес. совещ. "Проблемы построения перспективных бортовых управляющих вычислительных комплексов" (Владивосток, 1990); 3-я и 4-я республ. школы "Математическая теория систем и прикладные исследования" (Абстрактная теория систем и ее применения) (Черновцы, 1987, 1990); Респ. конф. "Автоматизация контроля вычислительных устройств и систем" (Винница, 1988); Респ. конф. "Проблемы автоматизации диагностического обеспечения электронных систем" (Винница, 1993).

Публикации и личный вклад автора. По материалам диссертации опубликовано 44 печатные работы и получен патент на изобретение. Основные результаты научных исследований по теме диссертации со-

держатся в 32 работах, в том числе в одной монографии и одном учебном пособии, приведенных в списке публикаций автореферата. В работах, написанных в соавторстве, автору принадлежат следующие научные и практические результаты: в работе [32]''- методы и процедуры диагностирования движительно-рулевого комплекса подводного аппарата; в работе [23] - обобщение и развитие результатов, полученных предыдущих работах автора [19.20]. Работы [2-5, 7, 11» 12, 21] написаны совместно.

Объел и структура работы. Диссертация состоит из введения, основной части (7 глав), заключения, списка литературы, содержащего 228 наименований, и четырех приложений. Объем работы 354 машинописные страницы, в том числе 282 страницы основного текста, включающего 4 таблицы и 55 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы, указывается цель работы и рассматривается научная и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе определяются цели и дается развернутая постановка задач диагностирования. Формулируются основные концепции, в рамках которых осуществляется решение этих задач. Рассматриваются математические модели ДС, используемые при разработке процедур диагностирования. Проводится анализ существующих методов диагностирования и на его основе определяются направления исследований.

Целью диагностирования ДС является установление факта неправильного функционирования (обнаружение дефектов) и установление места, а также, возможно, величины дефекта (поиск дефектов). Для реализации этой цели в работе предлагается использовать методы функционального диагностирования (ФД) в пространстве сигналов. Общий подход к ФД ДС, которому следует настоящая работа, соответствует концепции аналитической избыточности, согласно которой диагностирование осуществляется на основе проверки аналитических зависимостей, существующих между измеряемыми входами (управлениями) и выходами ДС, на некотором интервале времени. Процесс диагностирования, реализовэнный в соответствии с этой концепцией, имеет структуру, включающую генератор сигнала рассогласования поведения диагностируемой ДС и ее эталонной модели (генератор сигнала невязки) и блок принятия решения.

Важнейшей концепцией, используемой при разработке процедур

диагностирования ДС, является концепция робастности, согласно которой требуется обеспечивать максимальную обнаруживающую способность и глубину поиска дефектов при минимальной чувствительности (или даже инвариантности) процедур диагностирования к возмущающим факторам (помехи измерений, неконтролируемые возмущающие воздействия на динамику системы, ошибки используемых моделей). Рассматриваются активные и пассивные методы обеспечения робастности.

При поиске дефектов с целью максимального упрощения процедур принятия решений генерация невязки осуществляется с использованием дополнительных требований структурированности или фиксированной направленности вектора невязок. Первое состоит в том, что при наличии определенного дефекта только отдельные компоненты вектора невязок, однозначно соответствующие данному дефекту, отличны от нуля. Второе предполагает строго определенную ориентацию вектора невязок для каждого дефекта в ДС.

С целью снижения вычислительных затрат на разработку процедур диагностирования в соответствии с концепцией покомпонентного диагностирования исходная ДС может представляться в виде совокупности некоторых компонент, для которых решение диа'гностических задач осуществляется независимо.

Различные этапы решения, диагностических задач требуют различной степени детализации описания факторов, сопровождающих процесс функционирования ДС. В соответствии с этим в работе используются три основных вида математических моделей ДС: номинальная модель (НМ), диагностическая модель (ДМ), полная диагностическая модель (ПДМ). Рассматриваемые модели с непрерывным и дискретным временем описывают движение ДС в пространстве состояний.

Нелинейная стационарная НМ с непрерывным временем задается в следующем виде:

¿Ш=?(хШ,и(1;}), у(1;)=1г(х(1;)), (1)

где х("Ь)еХсКп - вектор состояния; и^ЭеиЕЕ"1 - вектор входа (управления); у(-Ь)еУеК' - вектор выхода, £ и Ь - нелинейные векторные функции, t - непрерывное время.

Нелинейная стационарная НМ с дискретным временем имеет вид

х( 1;-М )=£(х( 1;) ,и( Ю ), у(1;}=Ь(х("Ь) ). (2)

где t=1,2,. — - дискретное время.

Модели (1), (2) используются в качестве основных НМ. В случае КА векторы состояния, входа и выхода модели (2) принимают значения из соответствующих полей Галуа, функции £ и 11 - суть векторные функции к-значной алгебры логики. Кроме того, в работе рассматри-

ваются и другие модели: нелинейные нестационарные, линейные по уп-. равлению, билинейные, линейные нестационарные и стационарные.

Параметрическая модель (ПЮ получается из НМ выделением некоторых коэффициентов в качестве параметров модели и имеет вид

х(-Ь)=£(х(1:},и(1:).р(1;)), у(-Ь)=Ых( 1;) ,р( Ю), (3)

в случав непрерывного времени и

х( "Ы-1 )=:С(х( *) ,и(-Ь) ,р( 1;) ) , y(t)=h(x(t),p(t)), (4)

- в случае дискретного времени, где р^ЭеРеЕ8- вектор параметров модели. При этом предполагается существование соответствия между параметрами модели и физическими параметрами и структурой ДС. Бездефектной работе ДС соответствует номинальное значение р°, р еР, вектора параметров модели. Искажение физических параметров или изменение структурных связей, вызываемое дефектами в ДС, представляется отклонениями соответствующих параметров модели от их номинальных значений.

Модель дефектов (МД) задается в виде таблицы {р ,{р (1;)}}, где р.-1-й дефект в ДС, (р^)} - список функций времени, соответствующих параметрам модели, используемым для отображения данного физического дефекта на ПМ ДС. При решении диагностических задач р^-Ь) рассматриваются как неизвестные функции времени. Помимо множества Ж={р ,...,р } всех возможных дефектов в ДС вводится также множество Ж1 условных (однократных) дефектов, каждый из которых приводит к искажению только одной компоненты вектора параметров модели. Однократные дефекты из Ж в общем случае представимы многократными дефектами из Ж1. ПМ ДС, дополненная МД, называется ДМ ДС.

Полная параметрическая модель (ППМ) получается выделением в ПМ ряда дополнительных коэффициентов в качестве неопределенных параметров (коэффициентов) модели. В случае непрерывного времени ППМ записывается в виде

х(г)=£(х(1;),и(г),р(г))7(г)), уиьЫхШ.рими)), (5)

а в случае дискретного времени в виде

х(1;+1)=£(х(1:),и(1;),р(1;),у(1;)), у( г )=Ыхи) ,р( 1;), у( X)), (6) где г("Ь), ц(1;)сГеКг , - вектор неопределенных коэффициентов модели, рассматриваемых как неизвестные функции времени. ППМ являются наиболее общими, так как позволяют учитывать эффекты, вызываемые помехами измерения векторов и("Ь), у(1;), возмущающими воздействиями на динамику ДС, а также допусковым заданием физических параметров ДС. Полная диагностическая модель получается дополненеием ППМ моделью дефектов.

Кроме того в этой главе выполняется анализ существующих мето-

дов диагностирования ДС и дается их классификация по способу формирования невязки. Указывается на существование двух принципиально различных вариантов построения генераторов сигнала невязки - с замкнутой петлей обратной связи (на основе фильтров Калмана, наблюдателей Люэнбергера, диагностирующих наблюдателей, адаптивных наблюдателей) и с разомкнутой петлей обратной связи (с использованием соотношений паритета или прямого и обратного пересчета). Здесь же рассматриваются методы синтеза ЦУ со свойствами обнаружения дефектов и выделяются два основных подхода к построению таких ЦУ, основанные на кодировании сигналов ЦУ кодами с постоянным весом и разделимыми кодами. По результатам проведенного анализа выявляются основные недостатки существующих методов и определяются эффективные пути их устранения.

Во второй главе описывается математический аппарат алгебры функций. Подробно рассматриваются основные конструкции алгебры функций, устанавливаются их свойства и предлагаются вычислительные процедуры, используемые в дальнейшем при решении диагностических задач.

Обозначим через © некоторое множество векторных функций. Для конкретизации области определения функций будем использовать нижний индекс, например, (Е^ - множество функций с областью определения X. Введем в рассмотрение специальные функции: единичную 1(х)=1 УхеХ и тождественную 0(х)=х УхеХ.

Пусть а,0е(Б. Будем говорить, что функция а не превосходит 0 и записывать а<|3, если существует некоторая векторная функция 7, заданная на множестве значений компонент функции ос, такая, что р=уа. Отношение < рефлексивно и транзитивно и, следовательно, оно является отношением частичного предпорядка. Для произвольной функции аеОх выполняется функциональное неравенство ОИаз!. Если для функций а,|3 выполняется а<(? и то такие функции являются эквивалентными и обозначаются Таким образом, множество <0 отношением а разбивается на классы эквивалентных функций. Все действия над классами эквивалентных функций заменяются действиями над функциями - представителями этих классов. В качестве представителей функций-констант и взаимооднозначных функций могут использоваться соответственно единичная и тождественная функции. Эквивалентные преобразования векторных функций (например, удаление функционально зависимых компонент) могут использоваться для упрощения получаемых выражений.

Классы функций на (5 образуют частично упорядоченное множест-

во, которое является решеткой, т.к. для любой пары функций а.реС можно найти наибольшую нижнюю и наименьшую верхние грани: б=шах( g I gsa, gáp ), ï=min( g I asg, psg ).

Для обозначения операций определения наибольшей нижней и наименьшей верхней граней используются символы х и d соответственно: б=«х(3 и у=апр.

Теорема 1. Для произвольных функций a,p,?e(Es и произвольной функции Ô с областью значений S справедливы следующие соотношения:

1. ax(3<a, asaop;

2. axftea » «sp « aD0Sí0;

3. ocí0 ■* (ахузрху, аау^Рац);

4. ахаза, аоааа - идемпотентность;

5. ахр^рха, ааЭ^Эоа - коммутативность;

6. ( ахб ) хysiax ( Bxv ) 1 _ _

(«ofOaïaaolfîoï) } " ассоциативность;

7. осх(сш0)в<х, aa(ax)3)sia - поглощение;

8. (ах7)о(|5ху}^(ап|1 _ слабая ■уо(ахр)5(ао7)х(рй7) J дистрибутивность

9- а5|3 + aSspS;

10. (ccxp)6=ctô*pô.

Для функций а,0е<Бх вводится бинарное отношение Д:

(a,р)еД н П хаП ü(3p/dx):f

их

в случае модели ДС (1) с непрерывным временем и

(сс,р)еД » П хаП £0f

их

в случае модели ДС (2) с дискретным временем, где Пц(х,и)=и и Пх(х,и)=х - проекции. Операторы Ми m определяются единообразно для моделей (1) и (2):

(М(р),р)ед, (а,р)еД * as М(р), (а,т(а))еД, (а,р)еД * т(а) s р. Теорема 2. Для произвольных функций a,a*effi^, 0, Э 'справедливо: 1. [(а,0)еД, a'sa, 0S0'] * (а',р)еД, (осхр,0')еД;

2. f(сх,0)еД, (а'.Э')еД] * (axa',0x0')еД;

3. asp * axM(a)sM(p), m(ot)smO);

4. M(axp)asM(ct)xM(p), т(аа|3)>т(о)пт(Э) ; 5- m(otx0)<m(a)xm(p) ;

6. m(M(0)):sp, М(т(а) )га. Далее в главе 2 рассматриваются процедуры вычисления операций и операторов. В частности показано, что вычисление операции * для векторных функций a=col( с^ ,а2, — ),0=col(J3i,Р2, — ) сводится к построению составной векторной функции a*p=col(a1,a,...,p ,0 ,...). Вычисление оператора M сводится к выполнению простых алгебраичес-

ких преобразований. Так в наиболее важном для практики случае из /Щх.иЬЕ? а (х)Ь. (и), где £ - функция модели (2), и линейной независимости функций Ь ,Ъ„,— ,Ъ следует М(р)«а,*а * — *а : в слу-

12а 12а

чае модели (1) композиция 0£(х,и) заменяется на (90/6х)£(х,и). Вычисление операции □ и оператора ш для функций модели с дискретной областью определения сводится к решению некоторых систем алгебраических уравнений. Вычисление операции □ и оператора т для функций модели с непрерывной областью определения представляет более сложную задачу так как требует решения дифференциальных уравнений в частных производных. Приводится вывод этих уравнений; решение последних сводится к интегрированию характеристических систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Кроме того для линейных (стационарных и нестационарных) и билинейных моделей ДС предлагаются упрощенные процедуры вычисления операторов, для своей реализации требующие осуществления только матричных операций.

Для КА устанавливается изоморфизм предложенной алгебры функций и парной алгебры разбиений Хартманиса-Стирнса. Для моделей с непрерывным временем, линейных по управлению, устанавливается связь между понятиями инвариантности относительно динамики и (Ь,£)-инвариантности и свойствами пар функций. Это позволяет сформулировать понятия инвариантности в терминах алгебры функций и распространить его на ДС, описываемые нелинейными моделями общего вида с непрерывным (1) и дискретным (2) временем.

Векторная функция ае®х называется инвариантом относительно динамики, если выполняется1 включение (а,а)еД. Векторная функция «е®х называется (Ь,£)-инвариантом, где функция 1ге<Бх, если выполняется включение (й*а,а)еД. Вычисление инвариантов является необходимым этапом при решении рассматриваемых в работе прикладных задач. В работе формулируются правила вычисления инвариантов при дополнительных ограничениях на получаемую векторную функцию-инвариант. Пусть

а{П=а(0)хМ(а(0>)«...хМ1(а(0)), 0й + 1 " >аш( р< " хЦ), 1=0.1,... .

Теорема 3. Если при некотором к выполняется соотношение а(к + 1'а<а(к', то функция а(к) является наибольшей, удовлетворяющей требованию -инвариантности относительно динамики и условию о(к)^а(0!

Теорема 4. Если при некотором к выполняется соотношение (3(к +11 ар(к', то функция р(к) является наименьшей, удовлетворяющей требованию (11,£)-инвариантности и условию

При 11=1 теорема 4 дает правило вычисления инварианта относительно динамики. Для вычисления (11,£)-инвариантов при ограничении

а(к)<а(0> предложен специальный алгоритм. Требование сходимости процедур вычисления инвариантов, определяющее ограничение на класс нелинейных моделей ДС, к которым могут быть применены методы настоящей работы, выполняется для КА и моделей с гладкими функциями.

Таким образом, во второй главе формируется математическая основа для решения комплекса диагностических задач, рассматриваемых в последующих главах работы.

В третьей главе исследуются различные преобразования нелинейных моделей (1) и (2), используемые при решении диагностических задач. Предполагается, что векторы состояния хж(1;) и выхода преобразованной и исходной моделей в каждый момент времени г связаны функциональной зависимостью

х^ (1;)=а(х( г)), уж(Ю=у(у(1;)). (7)

Рассматриваемое преобразование является эквивалентным в случае, если векторная функция у) взаимооднозначна. Под гомоморфным преобразованием понимается преобразование модели (1) к модели

х (*)=£ (х ("Ь) ,и("Ь)), у т=}1 (х (г)) (8)

* * * * * *

или модели (2) к модели

х (1;+1)=£ (х (Ю.иСЮ), у (Ю=11 (х (г)). (9)

* X * * * *

Необходимые и достаточные условия существования гомоморфного преобразования моделей устанавливаются в следующем виде.

Лемма 1 - Для того, чтобы модель (1) допускала преобразование к модели (8), необходимо и достаточно, чтобы Функции а, удовлетворяли системе уравнений

£ж(а(х),и) = (За/Эх)1(х,и), (а(х) )=ф(Ых) ) . (10)

Лемма 2. Для того, чтобы модель (2) допускала преобразование к модели (9), необходимо и достаточно, чтобы функции а и ф удовлетворяли системе уравнений

£ж(а(х),и)=а(£(х,и)), ^(а(х) )=ч>(Мх)). (11)

Следующая теорема обобщает положения лемм 1,2 и определяет требования к функции а независимо от вида рассматриваемых моделей.

Теорема 5- Векторная функция ае<Бхопределяет гомоморфное преобразование моделей (1) или (2) тогда и только тогда, когда она является инвариантом относительно динамики.

Под негомоморфным преобразованием или преобразованием общего вида понимается преобразование модели (1) к модели

х (1;)=£ (х ("Ь),и('Ь),у(^)), у С"Ь>=Ь. (х (Ю) (12)

* * * * * *

или модели (2) к модели

х (г+1)=£ (х (Ю,и(1;),у(1;)), у (Ю=11 (х (г)). (13) * * * * * *

Необходимые и достаточные условия существования такого преобразо-

вания и требования к функции а определяются следующими леммами и теоремой.

Лемма 3. Для того, чтобы модель (1) допускала преобразование к модели (12), необходимо и достаточно, чтобы функции а, ц> удовлетворяли системе уравнений

£ (а(х),Шх),и) = (Зо:/ах)£(х,и), И (а(х) )=¥>(Ь(х)). (14) * *

Лемма 4. Для того, чтобы модель (2) допускала преобразование к модели (13), необходимо и достаточно, чтобы функции а, у удовлетворяли системе уравнений

£^(а(х),11(х),и)=а(£(х,и)), (а(х) )=у(Ых)) • (15)

Теорема 6. Векторная функция ае®хопределяет преобразование моделей (1) или (2) общего вида тогда и только тогда, когда она является Ш,£)-инвариантом.

Рассматривается задача нахождения преобразований моделей (1) или (2) по заданной векторной функции р. Показано, что нахождение функции а, задающей требуемое преобразование вектора х, может быть осуществлено с использованием предложенных в главе 2 процедур вычисления инвариантов при ограничении азу, после чего функции £ж и преобразованной модели могут быть найдены из решения одной из систем уравнений (10),(11),(14),(15) (в зависимости от характера рассматриваемого преобразования). Полученные результаты применяются к задаче синтеза устройства диагностирования (УД) минимальной размерности, реализующего процесс контроля правильности Функционирования ЦУ в соответствии с одной из нижеприведенных схем.

Сигнал невязки, формируемый на выходе каждой из таких схем, удовлетворяет равенству г(1;)=0 VI; в случае исправной работы ЦУ и (при соответствующем выборе функции ц>) принимает отличное от нуля значение в случае искажения вектора выхода ЦУ дефектом. Описание УД находится в виде (9) или (13).

Также рассматривается задача нахождения преобразований моделей (1),(2) к моделям без обратных связей. Эти преобразования используются в главе 7 при построении нелинейных соотношений паритета. Описание моделей-образов в этом случае принимает вид

хм>(1;)=£11>(и(1;),у(1;)), х( 1> (г )=£'' > (и(1;) ,у( г) ,х11'15 (1;))

для непрерывного времени.и

xci)(t+1)=f(l>(ii(t),y(t)), xu>(t+1)=fti,(u(t),y(-t),x(l-l>(t)) для дискретного времени, где 1=2,...,к, функция выхода модели-образа у (t)=h (xCk>(t)). Необходимое и достаточное условие существования преобразования устанавливается в следующем виде.

Теорема 7. Векторные функции а(х)=а(1'(х)хас2'(х)х..хасk (х), ц>(у) определяют преобразование моделей (1) или (2) общего вида к моделям без обратных связей тогда и только тогда, когда они удовлетворяют системе функциональных неравенств

m(h)*a(1>, m(h.xa{ 1 ' 1}, 1=2.....k, a(k):sijth.

При a<k)sh рассматриваемое преобразование является эквивалентным. Предлагаются алгоритмы вычисления функций a(i), 1=1,—,k, у, задающих требуемое преобразование координат исходной модели.

В главе также рассматриваются различные декомпозиции моделей (1) и (2): последовательные, в том числе с выделением ненаблюдаемых и неуправляемых компонент; параллельные, включая децентрализации по управлениям, выходам; декомпозиции с выделением компонент, связанных через вектор выхода. Формулируются условия существования декомпозиций и предлагаются методы их нахождения с использованием предложенных в главе 2 процедур вычисления инвариантов.

Показано, что осуществление декомпозиции с выделением неуправляемой компоненты сводится к нахождению инварианта относительно динамики при ограничении (дх)(3f/3u)=0 в случае модели (1) и ограничении 3(0f)/9u=O в случае модели (2). Показано также, что осуществление декомпозиции с выделением ненаблюдаемой компоненты возможно в случае существования инварианта относительно динамики, являющегося невзаимооднозначной функцией и удовлетворяющего ограничению ash..

Таким образом, с использованием алгебры функций получено решение задач нелинейных преобразований и декомпозиции нелинейных математических моделей ДС. Полученные результаты применяются к задаче синтеза УД минимальной размерности для ЦУ. Декомпозиции моделей используются с целью понижения размерности решаемых диагностических задач, а также для анализа влияния различных возмущающих воздействий и дефектов на те или иные выходы ДС.

В четвертой главе аппарат алгебры функций применяется для исследования наблюдаемости, идентифицируемости и диагностируемости нелинейных ДС.

Основу предлагаемого подхода составляет анализ различимости значений вектора состояния расширенной параметрической модели

(РПМ) ДС, вектор состояния которой ,x=col(хт,рт), функция i(x,u)=col(fT(x,u),рт) в случае дискретного времени и f(x,u)=col(fT(x,u),0, ) в случае непрерывного времени и функция

— — 1 X s

h(x)=h(x,p). Пусть H(x(to),u(t)»T) - выходная реакция ДС, формируемая на интервале времени T=[tQ,ti] под воздействием управления u(t)eU. Будем говорить, что значения ха и хь различимы, если найдутся такой конечный интервал времени Т и управление u(t), t()ststi, что H(xa,u(t),T)^H(xb,u(t),T). Необходимое и достаточное условие неразличимости значений ха и хь вектора состояния РПМ ДС формулируется независимо от вида используемой модели (с непрерывны или дискретным временем) в следующем виде.

Теорема 8. Пусть векторная функция а е <Б удовлетворяет требованию инвариантности относительно динамики и функциональному неравенству ash. Значения ха,хь вектора состояния РПМ ДС неразличимы тогда и только тогда, когда они удовлетворяют равенству

а(ха)=а(хь).

Анализ различимости значений вектора состояния РПМ ДС осуществляется с использованием максимальной векторной функции ае<Еххр, удовлетворяющей требованию инвариантности относительно динамики и функциональному неравенству ash. Нахождение такой векторной функции может быть реализовано с использованием результата теоремы 3. применяемого к РПМ ДС. Исследование свойств получаемой функции a позволяет ответить на вопрос о наблюдаемости, идентифицируемости и диагностируемости ДС.

В работе используются общепринятые для нелинейных ДС определения различных видов идентифицируемости и наблюдаемости. Показано, что ПМ ДС удовлетворяет требованию х°-идентифицируемости тогда и только тогда, когда а0, а°(р)=а(х°,р), является взаимооднозначной векторной функцией. Если эта функция взаимооднозначна в открытой окрестности У точки р°, то в этом случае ПМ ДС локально х°-идентифицируема в точке р°. Для дифференцируемой функции а0 полученный результат приводит к ранговому критерию локальной

х°-ид®нтифицируемости следующего вида: rank [да0/Эр] «=dim Р. По— р£Т

казано также, что если функция <р(р), 4>=апП , где П :Ххр->р - проек-

- р Р

ция, взаимооднозначна, то ПМ ДС глобально идентифицируема. Ранговый критерий локальной идентифицируемости в точке р° записывается следующим образом: rank [ЭФ/др] c?=dim Р. Необходимыми и достаточными условиями соответственно наблюдаемости и локальной наблюдаемости в точке , х° являются взаимооднозначность функции а, а(х)=а(х,р°), во всей области определения X и открытой окрестности

Ж точки соответственно. Ранговый критерий локальной наблюдаемости цри этом принимает вид rank [За/Зх] ^^dim X. Показано, что ряд известных критериев наблюдаемости и идентифицируемости следует из полученных как частные случаи.

Определения диагностируемости ДС относительно множества дефектов Л={р1,р ,..•tp } вводятся следующим образом. Рассмотрим семейство {Р0,?1.....Р"} множеств векторов, Р'еР, 1=0,—,N, такое,

что Р°={р0} и Vi=1,—,N р°£Р' и ре?' тогда и только тогда, когда в ДС имеет место дефект р . Отметим, что используемые РПМ ДС накладывают ограничение на множество рассматриваемых дефектов: предполагается, что дефекты приводят к отклонению значения вектора параметров от номинального на постоянную (во времени) величину. Дефекты р , р называются :г°-наблюдаемыми, если VpeP1UP2U...UPN векторы состояния РПМ ДС x"=col((х°)т,рт) и

x°=col((xV,(pV) различимы. Дефекты pjt рг.....рн называются

наблюдаемыми, если они являются х°-наблюдаемыми в каждой точке х°еХ. Дефекты pi, р^ называются х°-различимыми, если каждая пара значений вектора состояния РПМ ДС xa=col((х°)т,(р1)т), и xb=col((х°)т,(pJ)т), р'еР*,pJePJ, различима. Дефекты p¡tp называются различимыми, если они х°-различимы в каждой точке х°еХ. ДС называется х°-диагностируемой относительно множества дефектов X, если дефекты из множества X х°-наблюдаемы и попарно х°-различимы. ДС называется диагностируемой относительно множества дефектов К, если она х°-диагностируема в каждой точке х°еХ.

Показано, что дефекты р . р ....,р„ являются х°-наблюдаемыми тогда и только тогда, когда выполняется неравенство « (р)*«°(р ) VpeP'uPzu —uPN. Дефекты pjt рг,—,pN являются наблюдаемыми, если выполняется неравенство Ф(р)*Ф(р°) VpeP^P2 ...uPN. Дефекты р , р являются х°-различимыми тогда и только тогда, когда Vp'eP , pep' выполняется неравенство а°(р')*aQ(pj). Дефекты p¡t р ^ являются различимыми, если Vp'eP1, pJePJ, выполняется неравенство Ф(р1)^<í>(pJ). Анализ х°-диагностируемости или диагностируемости ДС сводится к проверке совместного выполнения соответствующих условий наблюдаемости и различимости дефектов. Также показано, что ДС является диагностируемой относительно множества дефектов Я1, приводящих к малым отклонениям значения вектора параметров от номинального, если каждая пара векторов (дф/Эр ) о, (ЭФ/Эр ) о,

i р-р j р'р

i,3=1»—»N, ijíj, линейно независима. Полученные результаты могут быть использованы для оценки потенциальных характеристик процесса диагностирования (полноты контроля, глубины поиска дефектов). Ука-

эано также на возможность их использования для выбора минимальных неизбыточных совокупностей контрольных точек.

Сформулировано необходимое условие диагностируемости ДС относительно дефектов из Я1, состоящее в требовании попарной линейной независимости векторов СКЭХ/Зр^) и <3( 3£/Эр ^) при р=р? где матрица наблюдаемости

а(х,й)=

с111/ах (йЬ/йх)

Л-*"1 (сШЛЬс)

(йИ/йх 1"1 (сЙ1/йх) ],

вычисляется по номинальной модели ДС (1) или (2) с использованием линейного дифференциального оператора К , определяемого соотноше-

нием

сН « + ^ 1 ах ах

О' §1 +

0 ^сИг/ах,

IТ __Г з Г 1 Т-| Т

I о?

Зх Эх

в случае модели (1) с непрерывным временем и соотношением

хдс^] =

с^Шхт.итьии+т).....

(х (х( г) ,и( х)) ,и( г+1),... ,и( )

в случае модели (2) с дискретным временем, вектор и=со1(и!(Йи/си)I — , (<1 ■)и/<11; )т) в случае непрерывного времени; в случае дискретного времени операция дифференцирования заменяется операцией временного сдвига на такт. На основе полученных необходимых условий диагностируемости может быть осуществлен выбор минимальных неизбыточных совокупностей контрольных точек. Кроме того, эти условия могут быть использованы для выбора управляющих тестовых воздействий.

В этой главе также получены необходимое и достаточные условия обнаружения дефекта по результатам анализа сигнала невязки г, формируемого нелинейным наблюдателем пониженного порядка с непрерывным временем

х =1 (х ,и,у)+К(х ,и,у)г, Г=11 (х )-¥'(у) (16)

* * * * * *

или с дискретным временем

х . =1 (х ,и,у)+К(х ,и,у)г, Г=11 (х )-ф(у), (17)

*|1=1+1** * * *

где К(х^,и,у) - матричная функция.

Необходимое условие обнаружения дефекта, приводящего к достаточно малым отклонениям вектора параметров от номинального значе-

ния, получено на основе анализа уравнений чувствительности сигнала невязки. В случае непрерывного времени уравнения чувствительности записываются (при х =Э(х -а(х))/Эр) в виде

* р *

х =сэ£ /эх +к(аи /ах ))х +(э£ /аь-к(эф/эь.))(аь/ар}-

*р * * ***р *■

-(Эа/Эх) (3£/Эр), Зг/Эр^З^/Эх^х^^ Эф/Эй) (Э11/Эр). (18)

В случае дискретного времени дифференциальные уравнения (18) заменяются на соответствующие разностные уравнения, причем значение матрицы За/Эх вычисляется в момент времени 1;+1. Вывод уравнений чувствительности дан в предположении, что при отсутствии дефектов сигнал невязки равен нулю, а векторы состояния наблюдателя и ДС связаны равенством (7)- Условие обнаружения дефекта имеет вид неравенства

(а а/эх)(вх/ар) ■-(3£ж/эъ)(зь/зр) (Эф/Эй.) (ЭИ/Зр)

о

р = р

и может быть использовано при синтезе наблюдателя для выбора функций а, р, задающих преобразование координат исходной модели.

Достаточные условия обнаружения дефекта, приводящего к произвольным искажениям вектора параметров, определяют требования к функции ф и формулируются следующим образом.

Теорема 9- Пусть векторная функция ц> удовлетворяет функциональному неравенству а векторная функция ае(Бх - равенству (Эа/Эх)(Э£/Эр)=0 и требованию )-инвариантности. Тогда в момент г первого искажения вектора выхода ДС выполняется г(1; )*0.

Теорема 10. Пусть векторная функция у> удовлетворяет функциональному неравенству а векторная функция ае®^ - равенству (6а/Эх)(3£/3р)=0 и требованию инвариантности относительно динамики. Тогда искажение вектора выхода ДС приводит к формированию ненулевого сигнала невязки г (

Сформулированные результаты положены в основу методики выбора функции гарантирующей обеспечение заданной полноты контроля. Они сохраняют справедливость и в случае ФД ЦУ на основе моделей пониженного порядка (9) или (13).

Таким образом, на основе алгебры функций решена задача анализа наблюдаемости, идентифицируемости и диагностируемости нелинейных ДС и сформулированы новые критерии наблюдаемости идентифицируемости и диагностируемости. Полученные результаты позволяют осуществлять оценку потенциальных характеристик процесса диагностирования, производить выбор контрольных точек, тестовых воздействий, контрольных соотношений в соответствии с требуемыми полнотой контроля и глубиной поиска дефектов.

В пятой главе рассматривается задача синтеза процедур диагностирования ДС на основе нелинейных наблюдателей. Решение этой задачи включает синтез нелинейного наблюдателя полного или пониженного порядка (или некоторой совокупности (банка) нелинейных наблюдателей) и разработку процедур принятия решения. Синтез нелинейного наблюдателя пониженного порядка (16) или (17) предполагает определение функций 1^, h наблюдателя по результатам нелинейного неэквивалентного преобразования исходной НМ ДС и последующее вычисление. матрицы функций обратных связей К. Требование (h,f)-инвариантности, предъявляемое в настоящей работе к функции а, задающей преобразование вектора состояния исходной модели, является более общим, чем используемое в известных работах группы ученых (X.Ding, P.Prank, R.Seliger) требование rank(3(a,h)/3x)= =dim X. Как следствие, предлагаемый подход к построению наблюдателей пониженного порядка позволяет получать решения в тех случаях, когда существующими методами они не могут быть найдены без расширения вектора выхода ДС (введения дополнительных контрольных точек) и может приводить к наблюдателям меньшей размерности.

Излагается методика и приводятся расчетные соотношения для вычисления матрицы Функций К наблюдателя пониженного порядка в соответствии с требованием устойчивости матрицы д£/Эх +К(dh^/Эж^), определяющей динамику уравнений чувствительности (18) сигнала невязки к параметрическим возмущениям. Вывод расчетных соотношений базируется на эквивалентном преобразовании уравнений чувствительности к линейным уравнениям, записываемым в канонических координатах.

Рассматриваются активные методы обеспечения робастности процедур диагностирования, включающие методы полной развязки от параметрических возмущений и адаптации к медленно меняющимся параметрам ДС. Определяются требования

(Эа/Эх)(6f/9y)=0, (а5/8у)(6Ь/Эу)=0, (19)

к функциям «е®х» *Ре<Бу» задающим преобразования координат ис-

ходной модели ДС, при выполнении которых невязка, формируемая наблюдателем пониженного порядка

x^i^.u.eiyn+Kfx^u.e'CyJJr, г=11ж(хж)-!Ку), (20)

инвариантна к параметрическим возмущениям в ДС.

Анализируются свойства наблюдателя пониженного порядка, построенного на основе нелинейного преобразования РПМ ДС с вектором состояния x=col(xT, ~tT). Такой наблюдатель реализует оценивание компонент векторной функции ъ(х,ц) и согласно существующей тер-

минологии может быть отнесен к адаптивным наблюдателям. При условии малой скорости изменения вектора у из v=dy/d"t»>0 для линейного приближения сигнала невязки следует r=(ar/av)v*>0 в силу устойчивости решения уравнения чувствительности для 6r/3v, обеспечиваемого соответствующим выбором матрицы К наблюдателя. Синтез наблюдателя может быть реализован без преобразования исходной модели ДС к канонической наблюдаемой адаптивной форме, что позволяет преодолеть ограничения известных работ (X.Ding, Р.Prank).

В случае невозможности полной компенсации составляющей вектора невязки, обуславливаемой параметрической неопределенностью и неконтролируемыми возмущающими воздействиями, для обеспечения необходимой робастности процедур диагностирования предлагается использовать пассивные методы. Суть этих методов заключается в применении правил принятия решения, базирующихся на сравнении некоторой нормы вектора невязки с пороговым значением этой нормы, вычисляемым непосредственно в процессе диагностирования. В работе используется евклидова норма ||г||2, а также корень квадратный из среднего на интервале времени [t.t+т] значения квадрата евклидовой нормы вектора невязки |г)(г. С целью исключения ложной тревоги в качестве пороговых значений указанных норм используются их верхние граничные оценки, получаемые при отсутствии дефектов в ДС. Приводятся расчетные соотношения для нахождения пороговых значений норм с учетом текущих управляющих воздействий. При их выводе используются полученные уравнения чувствительности сигнала невязки в исходных и канонических координатах, а также свойство Н^-нормы передаточной функции линейной динамической системы.

Далее в главе рассматривается задача поиска дефектов с использованием банка нелинейных наблюдателей пониженного порядка или наблюдателя полного порядка (нелинейного обнаруживающего фильтра). Решение о наличии в ДС того или иного дефекта в общем случае принимается по результатам сопоставления формируемого вектора невязок со столбцами матрицы синдромов дефектов (МСД). Элемент МСД, стоящий на пересечении i-ой строки и j-ro столбца характеризует значение 1-ой компоненты вектора невязок, формируемой при наличии в ДС ¿-то дефекта. При задании конкретного вида МСД преследуется цель максимального упрощения процедур дешифрации дефектов, учитываются допустимая кратность дефектов и возможность синтеза наблюдателей.

В случае дефектов произвольной кратности простое правило дешифрации дефектов имеет место если МСД содержит ненулевые элементы только на своей главной диагонали, что приводит к требованию фик-

сированной направленности вектора невязок. Показано, что для дефектов, искажающих компоненты функции f, такой вектор невязок может быть сформирован при условии существования семейства {а(1',...,ас N>} функций-инвариантов, удовлетворяющих дополнительным ограничениям (Эа(1'/Эх)(3f/3p.)*0, (За(1 Vax)(3f/3p.)=0,

1,0=1. ,N, Если при этом £ rank 3(all))/3x s dim X VxeX,

i

то возможен синтез наблюдателя полного порядка. Также показано, что в случае поиска дефектов в задатчиках, отображаемых на ДМ ДС в виде искажений компонент вектора управления, и дефектов в датчиках, отображаемых в виде искажений компонент вектора выхода, задача синтеза банка наблюдателей приводит соответственно к задачам децентрализации по управлениям и децентрализации по выходам.

В случае однократных дефектов простое правило их дешифрации получается при использовании МСД, содержащей нулевые элементы только на своей главной диагонали, что приводит к требованию структурированности вектора невязок. В случае дефектов, искажающих компоненты функции t, возможность выполнения данного требования связывается с существованием семейства функций-инвариантов, удовлетворяющих ограничениям (За!1'/Эх)(3f/3p.)=0, (Эа''}/дх)(di/dp.)*0 Vi,j=1,...,N, i*,]'. При невыполнении некоторых из записанных выше неравенств МСД также будет содержать нулевые элементы вне главной диагонали, что приведет к получению структурированного вектора невязок более.общего вида.

Здесь же рассматривается задача синтеза наблюдателя (20) при £(у)=у!1) и дополнительном векторе невязок, формируемом по правилу г'=h4x )-ус2', где векторы у(1), у<2> задают разбиение вектора у на два подвектора. Использование такого наблюдателя позволяет реализовать поиск дефектов произвольной кратности в датчиках ДС, измеряющих значения компонент подвектора уС2>, и обнаружение дефектов датчиков, используемых для измерения компонент подвектора у(1). Поиск многократных дефектов в датчиках ДС при этом может быть организован с использованием банка наблюдателей в рамках различных известных схем диагностирования. Необходимое и достаточное условие существования наблюдателя, полученное в виде hc1'*M(h(1')х...xMk(h(1')ih(2', где k - некоторое натуральное число, накладывает ограничение на допустимые разбиения вектора у.

В случае выполнения требований структурированности или фиксированной направленности вектора невязок принятие решения о наличии в ДС того или иного дефекта осуществляется по результатам простого сравнения абсолютных значений компонент формируемого вектора не-

вязок. При отсутствии явно выраженных свойств структурированности или фиксированной направленности логика принятия решения усложняется. В работе предлагается правило принятия решения на основе сравнения значений критериев

Б^И/т)/^ |гт(эг/вр. )|/||г||2||аг/ар. ||2 сИ;', 1=1.....N.

устанавливающих степень близости формируемого вектора невязок и соответствующего столбца МСД. Вычисление значений критериев в процессе диагностирования может быть осуществлено посредством синхронного детектирования сигнала невязки с использованием опорных сигналов Эг/Эр1, 1=1,—,Г1, формируемых на основе соотношения (18).

Изложенные в главе результаты подкрепляются соответствующими процедурами синтеза наблюдателей. Основу этих процедур составляют рассмотрнная в главе 2 процедура вычисления инвариантов относительно динамики и модифицированные процедуры вычисления (Ь,±)-инвариантов, а также сформулированные в главе 4 условия обнаружения дефектов по выходу сигнала невязки. Разработанные процедуры в общем случае допускают получение различных вариантов решений. Сравнительную оценку эффективности получаемых решений предлагается осуществлять с использованием показателей чувствительности и разрешающей способности процедур диагностирования.

В качестве показателя чувствительности процедуры диагностирования к отклонению параметра р. от номинального значения используется минимальное значение абсолютной величины отклонения <1 , для которого выполняется условие |р.-р?|>й -* Цг||г>Пт, где ^-пороговое значение нормы ||г||т- В качестве показателя разрешающей способности процедуры диагностирования к отклонению параметра р. используется минимальное значение абсолютной величины отклонения этого параметра, для которого выполняется условие |р1-р°|>с11 -» Б' >Б-1

—¿¡¿1- В работе получены верхние граничные оценки показателей чувствительности и разрешающей способности . процедуры диагностирования. Их анализ позволяет сделать вывод об определяющем влиянии выбора функций, задающих преобразование координат исходной модели, на характеристики процесса диагностирования. Роль полученных оценок состоит в том, что они используются на различных этапах синтеза наблюдателей для выбора наиболее эффективных решений.

Таким образом, в рамках решения общей задачи синтеза робаст-ных процедур диагностирования на основе нелинейных наблюдателей, разработаны методы и процедуры синтеза наблюдателей в соответствии с требованиями полной развязки от параметрических возмущений и

адаптации к неизвестным параметрам ДС, с учетом свойств фиксированной направленности и структурированности формируемого вектора невязок. Предложены эффективные правила принятия решения и получены оценки чувствительности и разрешающей способности процесса диагностирования в зависимости от выбора характеристик наблюдателей.

В шестой главе задача синтеза нелинейных наблюдателей пониженного порядка решается в оптимизационной постановке. Преследуемая при этом цель состоит, во-первых, в оптимизации основных характеристик процесса диагностирования, в качестве которых рассматриваются показатели чувствительности и разрешающей способности, и, во-вторых, в получении процедур синтеза наблюдателей, допускающих вычислительную поддержку основных этапов существующими пакетами прикладных программ. В качестве инструмента достижения минимума показателей чувствительности и разрешающей способности процедуры диагностирования используется выбор функций, задающих преобразование координат исходной модели ДС. Этот выбор осуществляется по результатам. решения последовательности однопараметрических однокри-териальных оптимизационных задач. Перечень рассматриваемых в главе вопросов включает определение общей структуры процедуры оптимального преобразования координат модели, выбор минимизируемых критериев и разработку процедур минимизации этих критериев.

Предлагаемая процедура оптимального преобразования координат модели ориентирована на получение описания наблюдателя в виде (20) и состоит в нахождении функций ае<Бх- Рассматривается два

подхода к выбору указанных функций, целью которых является минимизация показателей чувствительности процедуры диагностирования. Первый из них базируется на решении минимаксных оптимизационных задач

max { max J1, 1=1,...,N ) —> min; max —♦ min.

1 x , u ОС x , ц £

в случае дефектов, приводящих к искажению функции f, и

max J3 —> min; max { max J*, 1=1,...,N } —» min

x,u CX i x , u £

в случае дефектов, искажающих функцию h, где

• J1=£||(a«/ax)Of/ay ,)|l S/I (да/Эх) (э£/эр )|| ;J (эъ/э7 )й s

j J ** J j J^J

J,=£ll (doc/ ah) (3f/3* .) I « ; j '=£|| (Э5/ЭЮ (any at t) ||,б /Ц (ag/ah) (ah/эр ) ||

^ j J^j^j J J 1С.

5 =max|у -у0I. j j j j

Второй подход основан на минимизации обобщенных критериев

J! =Е1 (аа/ах) (ai/d-i) \\2б /£| (Эа/Эх) (3f/ap.)\г; J1=Ц\(ag/3h) (ah/э*)\\б j i J

^3=EII(3a/ax)(af/3^)||^.;j'=^||(ac/3h)(3h/3^)||^./p|(a?/3h)(3h/3p.)|^

на множестве представительных точек u°eU, х^Х, 1=1,...,к. По результатам решения оптимизационных задач строятся таблицы значений функций a, 5(h) в представительных точках. Искомые функции определяются аппроксимацией полученных таблиц.

Здесь же рассматривается оптимизационный подход к выбору функции а из условия минимума показателей разрешающей способности процедуры диагностирования. При выборе минимизируемых критериев дополнительно учитываются требования структурированности и фиксированной направленности вектора невязок.

При нахождении Функции а дополнительно учитываются требования (h,f)-инвариантности. Предлагаемая в главе модифицированная (оптимизационная) процедура вычисления (h,í)-инвариантов в отличие от процедуры, непосредственно использующей результат теоремы 4, не требует для своей реализации решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Разработанная процедура оптимизационного синтеза наблюдателей допускает программную поддержку своих основных этапов существующими математическими пакетами прикладных программ, в частности пакетами Uathcad, Reduce и tíatlab. Пакеты Reduce, Hothead, обеспечивают программную подцержку вычисления оператора М, аналитического дифференцирования векторных функций, проверку функциональной зависимости векторных функций с использованием рангового критерия, а также выполнение операций над матрицами функций в аналитическом виде. Пакет Hat lab может эффективно использоваться для решения обобщенной проблемы собственных значений, сингулярного разложения матрац и решения матричных уравнений, составляющих основу процедур минимизации используемых критериев.

Основным итогом шестой главы является разработка оптимизационного подхода, методов и машиноориентированных процедур синтеза нелинейных наблюдателей пониженного порядка.

В седьмой главе рассматривается задача синтеза процедур диагностирования на основе нелинейных соотношений паритета. Для ДС, описываемых моделями с дискретным временем (2), предлагается подход к нахождению базиса нелинейных соотношений паритета, который обобщает известный подход A-Willsky, сформулированный для линейных ДС.

Положим y.(t,k)=

У .(t)

yj(t-H)

y.(t+k) j

h.(x(t)) h (í(x(t),u(t))

h.(f(...f(x(t),u(t)j...,u(t+k-1)) j

k=0,1,—, 3=1,...,1. Введем матрицу частных производных

С (t,k)=3y (t,k)/6x(t)=

' ah (x(t))/9x(t)

к{[eh (x(t))/ax(t)]

yjfah (x(t))/ax(t)]

Для любого к ранг матрицы С ^ (1;, к) не превышает ранга п. матрицы наблюдаемости <Э(х,й) и, следовательно, существует натуральное число к^ 1<к^п-1, такое, что

rank CjCt.k)

f k+1, = IV

при к<к^ при k>k^.

(21)

i

Положим k =max { k ,k , 0 12

=[y1(t,ki)1

lyjít.kj)']*

..,k }; u(t)=ñ(t,k ); s= £ (k +1); y(t)=

j-i J Рассмотрим sxn матрицу

C(t,k0)=

3y(t)

C^t.k,) c'^t.k,)

3x(t)

являющуюся функцией векторов x(t), ü("t). Так как при ранге п матрица Якоби C(t,ko) содержит s строк, существует ровно з-n функционально независимых функций, удовлетворяющих условию

P(t,k0)=

(u(t),y(t))

=0.

Вектор P(t,k0) рассматривается как обобщение

Ф (и("Ь) , у (^))

в - п

вектора паритета, функция ф, удовлетворяющая условию

❖ (❖^({К-Ь) ).....^(йт.уШ^О, (22)

- как обобщение функции паритета, а само условие (22) - как обобщение соотношения (уравнения) паритета на нелинейный случай. Предлагается способ вычисления базисных функций паритета, основанный на интегрировании системы дифференциальных уравнений (34>1/Эу)С(1;,ко)=0, 1=1,...,а-п.

В главе также рассматривается альтернативный подход к нахождению соотношений паритета, использующий описание ДО моделью без обратных связей и последующий переход к вход-выходному описанию исключением переменных хсп, 1=2, — ,к, в функциях £<1},11ж модели. Для моделей с дискретным временем такой подход позволяет преодолеть требование дифференцируемости функций £, Ь исходной модели по компонентам вектора состояния.

Здесь же рассмотрены возможности применения последнего подхода для нахождения нелинейных соотношений паритета в случае моделей ДС с непрерывным временем. Получаемые при этом результаты могут рассматриваться как обобщение известных результатов, предложенных

А.Медведевым для случая линейных непрерывных моделей ДС. В предположении, что компоненты функций РИМ без обратных связей -суть полиномы от компонент векторов х(1), у, р с коэффициентами -произвольными функциями от векторов управления и выхода ДС, вход-выходное описание ДС может быть получено в следующем виде УxJ(t)=BJ(t,r)Э(y,p)+CJ(t,т)^p(x(t)(t-т),..,xtk)(t-т),7,p)+DjCt,т), где В^(1;,т), 0^(1;,т) и ^("Ь.т) - соответственно векторы функционалов и функционал, зависящие от векторов управления и выхода ДС ш интервале времени [1:-т,'Ь], р и р - векторные функции, одинаковы« для всех 3=1,...,1 , и 1 - число компонент вектора выхода преобра-

зованной модели- Пусть tQ, тельность отсчетов времени обозначения

V V"

Положим

-Ч -

t=t -г i 1

некоторая последова-и введем следующие

B^t.k)»

VW VW

B/VV

C^t.kb

<VW c»i>

Dj(t,k)=

DJ(W

wv

Отметим, что для любого ^ , 3=1,— ,1 , найдется натуральное числс к^, не превышающее уменьшенного на единицу числа линейно независимых столбцов матрицы С^(1;,к), такое, что выполняется равенств« (21). Введем матрицы

B^t.kj) B2(t,kz)

Bjitik^

где kQ=max { kj.kji

B(t,ko)=

C(t,k0)=

0t(t,kt) c2(t,k2)

C^t.'kj j

D(t,ko)=

,,kl >. По

Djit.k^ D2(t,k2)

Djit.'k ) * *

построению число строк матрищ

C(t,ko) превышает (по крайней мере на ) число ее линейно незави-

симых столбцов, что позволяет найти ненулевую матрицу

o(t,ko),

удовлетворяющую условию (i>(t,k0)C(t,k0)=0 и содержащую не менее 1, линейно независимых строк. Вектор паритета задается следующим образом:

P(t+k0)=o(t,k0)(D(t,ko)+B(t,k0)?(i°.p0)-v(t,k0)).

где vlt.k )=col(v,(y(t )),ш (y(t (y(t )),..,«», (y(t ))

l * l * В работе используется правило формирования вектора невязок H!

основе линейного преобразования вектора паритета

г(t+ko)=А(t+k0)Р(t+kfl),

где матрица A(t+kQ) вычисляется в каждом такте t'=t+ko, t=1,2,----

с учетом требуемых свойств вектора невязок. Сформулированные i главе подходы к нахождению правил вычисления матрицы A(t+kfl) обобщают результаты работ ряда зарубежных ученых (P.Prank, J. Gertler R. Patton, A. Willsky) на случай нелинейных соотношений паритета

Рассматриваются следующие требования к вектору невязок:

1) нечувствительность к параметрическим возмущениям

Эг (t+k„)/3jr=0;

1 о

2) структурированность вектора невязок

r.(t+ko)/a(pil>)=0, г.(t+ko)/3p'2)=d. '^0, J=1,..,N2,

где разбиение вектора параметров р на подвекторы р'1' и р'2' размера и Ng соответственно, N +N =N, определяется заданной матрицей синдромов дефектов;

3) фиксированная направленность вектора невязок

Зг (t+k )/9p=[d ,d ]=const.

1 О i 1 i N

Для каждого из этих требований устанавливаются необходимые и достаточные условия их выполнения и предлагаются правила формирования матрицы A(t') по измеренным на интервале [t,t+kQ] значениям векторов управления и выхода ДС. Если сформулированные требования к вектору невязок не выполнимы, нахождение матрицы A(t') предлагается осуществлять на основе оптимизационного подхода.

Рассматриваемые в рамках оптимизационного подхода правила формирования матрицы А( t ' ) с учетом требования робастности процедуры диагностирования к параметрическим возмущениям предполагают использование квадратичного критерия ЦЭг/ЭтгЦ , квадратичного критерия с ограничениями в виде равенства 3r/3p=d (где d - некоторая матрица ), отношения квадратичных критериев Цэг/Зу 02/||3r/3pj| . Минимизация указанных критериев требует решения соответственно задачи сингулярного разложения матриц, системы линейных неоднородных уравнений, обобщенной задачи о собственных значениях. Используются также модифицированные критерии, позволяющие формировать вектор невязок с учетом дополнительных требований структуироваяности и фиксированной направленности. Приводятся верхние граничные оценки показателей чувствительности и разрешающей способности процедуры диагностирования, реализованной на основе соотношений паритета. Полученные оценки позволяют осуществить выбор наиболее эффективного (в рамках конкретной диагностической задачи) правила формирования матрицы A(t').

Таким образом, решена задача синтеза робастных прцедур диагностирования ДС на основе нелинейных соотношений паритета.

В приложениях приводятся модифицированные критерии для оптимизационного синтеза наблюдателей, описываются программные модули, реализующие решение минимаксных оптимизационных задач в среде пакета Reduce, а также содержатся материалы, подтверждающие внедрение результатов диссертации.

30

вывода И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных в диссертации исследований получены следующие основные теоретические и практические результаты:

1- Предложен комплекс математических методов (алгебра функций), позволяющий с единых позиций подойти к исследованию различных классов нелинейных ДС (с непрерывным временем, дискретным временем, конечных автоматов).

2 С использованием алгебры функций решены задачи анализа наблюдаемости, идентифицируемости, диагностируемости нелинейных ДС и предложены новые критерии наблюдаемости, идентифицируемости и диагностируемости. Полученные результаты применяются для анализа потенциальных характеристик процесса диагностирования, выбора минимальных неизбыточных совокупностей контрольных точек, контрольных соотношений, тестовых воздействий.

3- С использованием алгебры функций решены задачи нелинейных преобразований и декомпозиции нелинейных моделей ДС. Найдены условия существования преобразований, разработаны методы и предложены процедуры для их осуществления. Полученные результаты использованы при разработке методов синтеза процедур диагностирования нелинейных ДС.

4- Решена задача синтеза устройства контроля правильности функционирования цифровых устройств на основе их аналитического описания с учетом требований полноты контроля и минимальной размерности получаемого устройства контроля.

5. Предложен общий подход к синтезу нелинейных наблюдателей пониженного порядка в условиях параметрических возмущений и на его основе решена задача синтеза нелинейного наблюдателя, адаптирующегося к неизвестным параметрам ДС.

6. Получены условия инвариантности и чувствительности сигнала невязки, формируемого на выходе нелинейного наблюдателя пониженного порядка, к параметрическим возмущениям. На их основе разработаны методы синтеза робастных процедур обнаружения и поиска дефектов, реализуемых с использованием различных схем диагностирования.

7. Разработаны аффективные правила принятия решения о наличии или отсутствии в ДС тех или иных дефектов, позволяющие учитывать текущие значения управляющих воздействий и действие дестабилизирующих факторов.

8. Получены выражения для оценки показателей эффективности процедур диагностирования, реализуемых на основе нелинейных наблюда-

телей. Предложен оптимизационный подход, сформулированы критерии и разработаны машиноориентированные процедуры синтеза наблюдателей.

9- Предложены•методы нахождения множества функционально независимых нелинейных соотношений паритета и на их основе разработаны робастные процедуры диагностирования ДС.

Совокупность полученных в диссертации теоретических и практических положений позволяет сделать вывод, что ее результатом является развитие эффективного направления в технической диагностике, характеризующегося использованием нелинейных динамических моделей технических систем. Реализация полученных результатов позволит гарантировать высокие эксплутационные характеристики создаваемых средств диагностирования.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Шумский А.Е. Функциональное диагностирование непрерывных систем // Разработка и моделирование в технических и социально-экономических проблемах освоения океана. Владивосток: ДВГУ. 1985. С.10-13.

2. Жирабок А.Н., Шумский А.Е. К теории функционального диагностирования нелинейных непрерывных систем // IX симпозиум по проблеме избыточности в информационных системах. Л.: ЛИАП, 1986. Ч.З. С.76-79-

3- Жирабок А.Н., Шумский А.Е. Аналитический метод синтеза схем функционального диагностирования цифровых автоматов // Электронное моделирование. 1987- N 3- С.53-58.

4. Жирабок А.Н., Шумский А.Е. Функциональное диагностирование непрерывных .динамических систем, описываемых уравнениями с полиномиальной правой частью // Автоматика и телемеханика. 1987. N8. С.154-164.

5. Жирабок А.Н., Шумский А.Е. Парная алгебра функций и ее приложения в теории динамических систем // Анализ технических систем с учетом параметрических возмущений. Владивосток: ДВО АН СССР, 1987. С..66-79.

6. Шумский А.Е. Коррекция сбоев в динамических системах с дискретным временем // Методы и алгоритмы диагноза электронных устройств. Владивосток: ДВО АН СССР. 1987. С.102-108.

7- Жирабок А.Н., Шумский А.Е. Структурный анализ разложимых систем / Учебное пособие. Владивосток: ДВГУ, 1988. 80 с.

8. Шумский А.Е. Модель дефектов для дискретных устройств и ее приложение к задаче функционального диагностирования // Элек-

тронное моделирование. 1988. N 4. С.56-61,86.

9- Щумский А.Е. Метод синтеза средств функционального диагностирования для поиска дефектов в нелинейных системах // X всесо-юзн. симпозиум по проблеме избыточности в информационных системах. Л.: ЛИАП, 1939. Ч-З- С.60-62.

10. Шумский А.Е. 0 декомпозиции нелинейных динамических систем // Кибернетика и вычислительная техника. 1989- Вып.81. С.44-50.

11. Жирабок А.Н., Шумский А.Е. Функциональное диагностирование нестационарных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1989. N 11. С.146-154.

12. Жирабок А.Н., Шумский А.Е. Функциональное диагностирование непрерывных нелинейных динамических систем // Диагностика и идентификация электрических цепей. Владивосток: ДВГУ, 1989-С.133-144.

13- Шумский А.Е. Поиск дефектов при функциональном диагностировании технических объектов, описываемых нелинейными разностными уравнениями // Электронное моделирование. 1989. N 6. С.44-49.

14- Шумский А.Е. Моделируемость при функциональном диагностировании динамических систем без использования информации о векторе входа диагностируемой системы // Моделирование и управление. Владйвосток: ДВГУ, 1990. С.88-96.

15. Шумский А.Е. Поиск дефектов в динамических системах с дискретным временем методом инерционного функционального диагностирования // Автоматизация проектирования и параметрический синтез технических систем. Владивосток: ДВГУ, 1990. С.46-54.

16. Шумский А.Е. Выбор контрольных соотношений при синтезе систем функционального диагностирования // Вопросы микроэлектроники. Владивосток: ДВГУ, 1990. С.82-90.

17- Шумский А.Е. Поиск дефектов в нелинейных системах методом функционального диагностирования // Автоматика и телемеханика. 1991. N 12. С.148-155-

18. Шумский А.Е. Поиск дефектов при функциональном диагностировании нестационарных динамических систем // Надежность и эффективность компонент и устройств электронной техники. Владивосток: ДВГУ, 1991. С.12-26.

19- Шумский А.Е. Поиск дефектов в нелинейных системах методом функционального диагностирования на основе алгебраических инвариантов // Электронное моделирование. 1992- N 1. С.70-76.

20. Шумский А.Е. Диагностирование параметрических ошибок в

Шумский Алексей Евгеньевич

Диагностирование нелинейных динамических систем

Автореферат

Лицензия № 020466 от 04.03.92 г. Подписано в печать 10.04.96. Формат 60x84/16. Печать офсетная.Усл. п. л. 2,09. Уч.-изд. л. 1,72. Тираж 100 экз. Заказ 141.

Отпечатано в типографии издательства ДВГТУ г. Владивосток, ул. Пушкинская, 10