автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численные методы решения эллиптических краевых задач с пограничными слоями

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ .

НАУЧНО-ИССЛЕЦОВАТЕЛЬСКИИ ЦНГГР МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

РГ5 ОД

' О ОН! 11а правах рукописи

БАКИРОВ ЖЕГИГШ ЖОКИНОВИЧ

ЧИСЛШШЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ПОГРАНИЧНЫМИ СЛОЯМИ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бишкек - 1994

Работа выполнена в Научно-исследовательском центре математического моделирования Национальной Академии наук Кыргызской Республики в городе Бишкеке.

~Научные "руководители:-доктор-физико-математических-наук,

член-корреспондент HAH HP, профессор В.П.Кочергин,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник С.Н.Скляр

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник В.И.Климок,

Ведущая организация:

Защита состоится

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник А.Асанов.

Кыргызский Государственный Национальный университет, г. Бишкек.

/У

часов

на заседании Специализированного совета К 05.93.14 при Научно-исследовательском центре математического моделирования Национальной Академии наук Кыргызской Республики по адресу: 720071. г. Бишкек, пр. Чуй, 265-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке HAH KP, г. Бишкек, пр. Чуй, 265-а.

Автореферат разослан /У CUOIuITJ^

1994 г.

Ученый секретарь Специализированного совета

к.ф.-м.н О.В.Матюхша

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования.

При математическом моделировании физических процессов, таких как быстрые переходные процессы в задачах горения топлива, динамика потока вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса, возникает необходимость в численном решении краевых задач с малым параметром при старшей производной (Роуч П., 1980). Подобные задачи возникают также в гидротермодинамических моделях, они описывают поведение интегральных характеристик потока: функции тока, уровенной поверхности. Хорошо известно, что решение этих задач представляет одну из основных трудностей при численной реализации модели в целом. В этих же моделях естественным образом возникает проблема аппроксимации производных функции тока либо уровня, так как они определяют величины баротрошшх составляющих горизонтальных компонент скорости. При построении дискретных аналогов задач, описывакщих распределения плотности, температура, солености, мы также сталкиваемся с необходимостью качественной аппроксимации задач вышеуказанного типа (Кочвргин В.П., 1973, Саркисян A.C., 1996).

Как правило, эти задачи являются сингулярно-возмущеннн-ми, и их решения имеют большие градиенты в узких погранслой-ных или внутренних переходных областях. Наличие относительно малых подобластей о большими градиентами решения делает такие задачи сложными для численной реализации при использовании классических разностных схем. Преодолеть эти трудности можно, используя вычисленных моделях разностные схемы, учитывающие специфику ' поведения решения в погранслойных или внутренних переходных областях.

Процесс модел!грования физических явлений требует, использования как достаточно полной дифференциальной математической модели, так и адекватной ей дискретной реализации. А это предъявляет высокие требования к методам дискретизации дифферешгиальшх задач.

Современный подход к дискретизации задач с пограничными слоями таков, что, помимо традиционных аппроксимации и устойчивости, он требует, чтобы схема обладала свойством консервативности, т.е. удовлатваряла~Ш1Т0гралышг«Г0алансшм_со-~ отношениям, аналогичным тем, которые имеют место для задач в дифференциальной постановка и характеризуют иоведение моделируемого объекта в целом (Самарсннй A.A., 1933, Марчук Г.И., 1989). Другими, и ужа устоявшимися, требованиями к качеству схемы являются ее монотонность и равномерная по малому параметру сходимость приближенного решения к точному (Ду-лан Э., и др., 1983). Реализация последнего критерия существенно сужает класс подходящих разностных схем и усложняет технику получения оцаноь скорости сходимости, так как требует изучения асимптотических свойств решения исходной задачи к детального отслеживания параметрических зависимостей в константах атих оценок. Тем но макао, схемп, обладающие свойством равномерной по малому параметру сходимости, являются, в некотором смысле, универсальными: они гарантируют достаточнув точность решения при любах соотношениях между малыми параметрами и размерами сеточных ячеек. Цель и задача исследования.

Основной целью диссертации является разработка новых и исследование некоторых известных разностных схем для решения сингулярно-возмущенных эллиптических краабык задач. Для атого в диссертационной работе используется методика, условно назвшшая наш проекционным вариантом штвгра-интерполяцион-ного метода (ШИШ). Этот метод, в рамках единого подхода, позволяет получать аппроксимации как решения, так и его производных. Кроме того, обеспечивает сохранение в разностном виде многих интегралышх законов, присущих исходной дифференциальной постановка.

В работа проекционный вариант штегро-шггерполящюшюго метода нашел свое дальнейшее развитие: показано, как с его помощью модифицировать известные разностные схемы с целью улучшения их сходимости, кроме того, при помощи ПШШМ полу-

чены рашюморнио по малому параметру оценки не только для . решения, но и для производим. Работа предложенных новых схем иллюстрируется численными расчетами для достаточно большего числа модельных задач с известными точными решениями. Проводится их сравнение с известными методами. В работе приводятся такие тестовые расчета, связанные с определением порядков (как равномерной, так и классической) сходимости. Научная новизна.

Предлагается оригинальная методика, позволяющая едино-: образно получать аппроксимации как решения, так и его первых, производных для эллиптических краевых задач с пограничными ■ слоями. На основе этой методики предлагаются алгоритмы, позволяющие повысить точность разностных схем.

В частности, построено семейство новых разностных схем, аппроксимирующих одномерную задачу диффузии-адвекции, обладающих свойством вирга сходимости (Kreise Н.О., и др., 1986, Manteuiiel Т.А., White A.B., 1986). Доказаны равномерные по малому параметру оценки скорости сходимости со вторым порядком на произвольной неравномерной сетке.

ПВИИМ обобщен на двумерный случай: построены новые разностные аппроксимации решения и его производных для двумерных эллиптических краевых задач.

Предложена модификация классической схемы с центральными разностями для решения самосопряженной сингулярно-возмущенной краевой задачи, отличающаяся только правой частью в разностном уравнении. Для этой схемы доказана оценка, из которой следует равномерная по малому параметру сходимость приближенного решения к точному; получена неклассическая ' оценка скорости для схемы с центральными разностями.

Предложен алгоритм экспериментального определения порядков равномерной и классической сходимостей для разностных схем.

Все теоретические исследования иллюстрируются численными расчетами для достаточно большего числа модельных задач о известными точными решениями.

ПрактикескЕН ценность.

В диссертационной работе развивается методика построения рааностных схем (ШИШ), которая у«е ваша аффективное -применение—при—моделировании—крупномасштабной—цирку ляцка— жидкости в водоемах (Климок В.И., Фридрих Г., Скляр С.Н.,. Цишняков B.D., 1985, Кочвргш В.П., Скляр С.Н., Султанов . Р.К., 1990, Султанов Р.К., 1994).

Предложенные в работе разностные.схемы таюяе мргут быть использованы в моделях гидротермодашамшот и тепломассообмена.

Апробации работы.

Основше результаты диссертации докладывались и обсуж- , дались на IX ЫекреспуСликанской конференции молодых ученых (Фрунзе, 1988), III школе-семинаре "Численные методы для высокопроизводительных систем" (Фрунзе, 1968), Школе колодах ученых "Численные метода механики сплошной среда" (Красноярск, 1989), Межреспубликанской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана (Лешна-бад, 1990), III Всесоюзной школе колодах ученых "Численные методы механики сплошной среда" (Абрау-Дюрсо, 1991), Всесоюзной конференции "Асимптотические метода теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" (Бишкек, 1991), семинаре Научно-исследовательского центра математического моделирования HAH,KP.

Диссертация полностью докладывалась на заседании Ученого совета Научно-исследовательского центра математического моделирования HAU KP. Публикации.

По теме диссертации опубликовано девять работ. Структура к объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы из 68 наименований. Общий объем диссертации составляет 142 страницы, в том числе 8 рисунков в 24 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ PAEOTU

Во введении обсукдается актуальность теш, сфорнулиро-ванн цель и задачи исследования, основные результата работы. Приведен краткий обзор литературы.

Первая глава посвящена построению разностных схем для. одномерных сингулярно-возмущенных краевых задач при помощи , проекционного варианта интегро-интерполяцяонного . метода,. (ПВ1ШЛ).

В §1.1 рассматривается система уравнений специального вида относительно неизвестных значений сеточных функций u а

ио = <Ро -

ф, + мл - EA+1 = F<°>

(1)

- Ч»1+1 + °1-ни1+1 - HlMUt = FUi % = ф,

При определенных предположениях о коэффициентах доказываются апряорпыэ оценки для решений (и.ф) системи (1). Получению оценки слуяат необходимым аппаратом для исследования разностных схем, предлагаемых в диссертационной работе.

В §1.2 рассматривается одномерная несамосопряхешшя стгулярно-возмушенная задача:

ш"(х) + a(x)u'(x) = f(x), х с (0,1) с краевыми условиями:

ц(0) = а0, и(1)=а, (2)

Здесь е € (0,13 - малый параметр, функции а(х), f(x) будем считать достаточно гладкими, при этса в(х) > а > о, при х € е [0,1]. Задача (г) является математической моделью даффузи-oimo-копвектившх процессов или родствошшх физических явлений. Для дискретизации задачи (2) предлагается ШММ в форма, несколько о™личной от той, что использовалась раноо (Скляр с.II., 19S3), и позволяющей в рамках единого подходя получать аппроксимации как решения, так и его производное.

Наряду с новыми схемами эта методика дает возможность построения некоторых из ранее известных (A.E.Bergar и др., 1981, D.N. de C.Allen, R.U. Southwell, 1955, Ильин A.M., —1969,—Т. M.-El-Mlatlkawy,—МЛ. Worle,—1978),—одновременно мы получаем аппроксимации для производных от решения, естественным образом соответствующие этим схемам. В этом также, на наш взгляд, есть элемент новизны. На основе этой методики предлагается несколько алгоритмов, позволяющих повысить точность разностной схемы, в частности, получено семейство разностных схем, аппроксимирующих решение задачи (г) и его производную со вторым порядком равномерно по малому параметру на произвольной неравномерной сетке.

Свойство схемы - сохранять порядок сходимости при переходе с равномерной сетки на неравномерную - в литературе называют аирга сходимостью (Kreiss Н.О. и др., 1986, Manteuiiel Т.А., A.B.White, 1986). Построенные нами в этом параграфе схемы обладают этим свойством равномерно по е в отличие от известных (схема El-Mlstiteivy, M.I.fferle, 1978).

В работе (Кочерглн В.П., 1988) рассматривалась задача об обращении динамического оператора в модели общей циркуляции жидкости в водоеме, путем нетривиальной модификации ал--'горитма прогонки автору удалось добиться supra сходимости при решении этой задачи. Предлагаемая наш методика позволяет строить такие схемы, естественным образом не прибегая к дополнительному усложнению алгоритма решения разностной задачи.

В §1.3 предложен алгоритм экспериментального определения порядков равномерной и классической сходимостей для разностных схем. Этот алгоритм отличается от общеизвестных (Ду-лвн 3., и др., 1983, Paul A.Tarrel, 198З) алгоритмов и, на наш взгляд, более информативен. С его помощью определены порядки равномерной и классической сходимостей для разностных схем, предложенных в §1.2, на модельных, задачах. Для сравнения нами были также определены вышеуказанные порядки для некоторых общеизвестных схем. .

В §1.4 рассматривается первая краевая задача для самосопряженного уравнения с малым параметром е при старшей производной:

еи"(х)" - ь(x)u(x) = Их), х е (ои)

u(0) = а0, и(1) = а, (3)

Функции Ь(х), i(x) достаточно гладкие, причем Ъ(х) i р > о и о < е ё < + со. для аппроксимации задачи (3) рбично используют следующую разностную схему (Самарский A.A., 1983):

eD+D_u* - Ъ(х±№* = f(x1)

uo = V un = <V 1 = 1,2.....11-1 (4)

Известно, что схема, основанная на замене производных центрально-разностшми аппроксимациями, не приемлема для решения несамосопряменной сингулярно-возмущенной краевой задачи (Дулан 3., и др., 1983, Ильин A.M., 1969). Простейшая аппроксимация (4) задачи (э) достаточно эффективна. Объясняется это прежде всего тем, что оператор разностной задача (4) является монотонным. Тем не менее известно (Дулан Э., и. др.. 1933), что разностная задача (4) не обеспечивает равномерной по е сходимости прибликенного решения к точному и(х).

Наш предложен разностная схема для решения задачи

(3), отличащаяся от..(4) только правой частью в уравнении

(4). Для этой схемы доказана оценка, из которой следует равномерная по малому параметру сходимость приближенного решения к точному; попутно получена неклассическая оценка скорости для разностной задачи (4). Экспериментально определены порядки равномерной и классической сходимостей на тестовых задачах.

Во второй главе методика, предложенная в §1.2, обобщается на случай кривой задачи для двумерного эллиптического уравнения с граничными условиями общего вида.

В §2.1 рассматривается уравнение:

к Ш ♦ щ К" Ш) + Ш *■

4- b(x.y) gs = i(x,y),

в некоторой области О, здесь е(х,у), v(x,y), а(х,у), Ь(х,у), Пх.у) достаточно гладкие функции, кроме того, е(х.у)> о, v(x,y) > о при (х,у) е 0.

Получена разностная схема и формулы вычисления производных решения. Достоинства новой методики иллюстрируются результатами численных расчетов для модальных задач.

В 52.2 для уравнения ^ [е(х,у) ¿Ц] + ^ [v(x,y) +

+ [a(x,y)uj + gy £b(x,y)u] = i(x,y) предложена разностная схема и формулы вычисления производных решения. Сравнительные расчеты для модельной задачи показывают возможности полученных аппроксимаций.

В третьей главе рассматриваются другие подхода к построению разностных схем для одномерных сингулярно-возмущенных краевых задач.

В §3.1 исходная дифференциальная задача заменяется вспомогательной, коэффициенты и правые части которой аппроксимируют данные исходной задачи и являются удобными для дальнейшей дискретизации. В отсутствии точек поворота мы получаем равномерные по малому параметру оценки близости решений и их производных для исходной и вспомогательной задач в норме пространства непрерывных функций и интегральной "энергетической норме".

В §3.2 предлагается для решения несамосопряженной сингулярно-возмущенной краевой задачи некоторая модификация штода интегральных тождеств, основанная на разложении билинейной формы (С.Н.Скляр, 1988). Мы получаем разностную схему с алгебраической апироксимационной вязкостью, которая вычисляется по рекуррентной формуле. С использованием предложенного метода были проведены численные эксперименты на классе задач с известными точными решениями. Результаты сравнивались с результата«!, полученными с помощью схеш полной экспоненциальной подгонки (Carroll John, Miller J.J., 1980), показала вффективность предложенного алгоритма.

В работе С.Н.Скляра (1989) применена "p-h" версия метода конечных элементов (МКЭ), позволяющая численно решать несамосопрякешше сингулярно-возмущенные задачи.

В §3-3 проведена адаптация "p-h" версии МКЭ для решения самосопряженной сингулярно-возмущенной краевой задачи. Получена разностная схема с алгебраической аппроксимационноЯ вязкостью. Экспериментально определены порядки равномерной и классической сходимостей на модельных задачах.

В заключении излагаются основные результаты исследования:

1. Доказаны априорные оценки для решений разностных краевых задач специального вида. Эти оценки служат необходимым аппаратом для исследования разностных схем, предлагаемых в работе.

2. С использованием проекционного варианта интегро-интерполяционного метода на произвольной неравномерной сетке получено семейство новых разностных схем, аппроксимирующее одномерную задачу диффузии-адвекции. Доказаны равномерные по малому параметру оценки скорости сходимости со вторым порядком в сеточной норме. Экспериментально определены порядки равномерной и классической сходимостей предлокешшх схем на модельных задачах с известными точными решениями. Они подтверждают эффективность построенных схем по сравнению с известными.

3. Предложена модификация классической схемы с центральный! разностяш для решения семосопрягощюй сингулярно-возмущенной краевой задачи, отличающаяся только правой частью в разностном уравнении. Для этой схемы доказана оценка, из которой следует равномерная по малому параметру сходимость приближенного решения к точному; получена неклассическая оценка скорости для схемы с центральным:! разиостяма. Численно определены порядки классической и равномерной сходимостей на тестовых задачах.

4. Построены разностные аппроксимации ревэния и его производных для двумерных уравнений эллиптического типа о

палыми параметрами при старших, производных. Приводятся результаты .численных экспериментов на модельных задачах.

_5._Исходная задача, после аппроксимации коэффициентов,

заменяется вспомогательной,■ более удобной для дальнейшей дискретизации. Получены равномерно точные оценки близости решений (и их производных) исходной и вспомогательной задач в норме пространства непрерывных функций. и интегральной "энергетической норме".

6. При помощи теоремы о разложении билинейной формы для аппроксимации одномерной несамосопрякенной краевой задачи получена разностная схема с алгебраической аппроксимационной вязкостью. Проведенные сравнительные численше расчеты на модельных задачах подтверждают преимущества разработанной схемы.

7. С использованием "р-1г" версии метода конечных элементов для решения самосопряженной сингулярно-возмущенной краевой задачи построена разностная схема с алгебраической аппроксимационной вязкостью. Экспериментально определены порядки равномерной и классической рходимостей на модельных задачах. Эти расчеты показывают преимущества построенной схемы по сравнению с известными.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Бакиров Ж.Ж. Об одном подходе к решению дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром, использующем аппроксимацию коэффициентов // Материалы IX Межреспубликанской научной конференции молодых ученых. - Фрунзе, 1988. - с. 88 - 89.

2. Скляр С.Н., Алтынникова Л.А., Бакиров Н.Н. Применение "р-й" версии метода конечных элементов к решению задач с пограничным слоем // Школа-семинар "Численные методы для высокопроизводительных систем": Тез. докл. - Фрунзе: ИМ АН Кирг. ССР, 1988. - с. 50.

3. Скляр С.Н., Бакиров Ж.Е. О некоторых вопросах аппроксимации сингулярно-возмушенных краевых.задач // Числен-

нов моделирование в проблеме окружающей среда. Фрунзе, 19Q9. с. 93 - 98.

4. Бакиров К.Ж. Применение "p-h" версии метода конечных • элементов к решению самосопряженной сингулярно-возмущенной краевой задачи // Школа молодых ученых "Численные метода механики сплошной среды": Таз. докл. - Красноярск, 1989. -с. 27 - 29.

5. Бакиров Ж.Ж. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Материала республиканской научно-практической конференции молоди ученых и специалистов Таджикистана - Лонинабад, 1990,- с. 29 - 32.

Г]. Скляр С.II.. Бакиров Ж.Ж. О модификации одной классической разностной схемы для решения самосопряженной сингулярно -козмущенной краевой задачи // Изв. АН ГК. Физ.-техн., матем. и горно-геол.науки. - 1991. - Л 1. - с. ю - 16.

Ч. Скляр С.IL, Бакиров Н.Ж. 00 одной разностной схема для решения самосопряженной сингулярно-возмущенной краевой задачи // Ц&сола молодых ученых "Численные метода механики сплошной среда": Тез. докл. - Красноярск: ВЦ СО АН ССОР, 1991. - с. 33 - 35.

а. Скляр С.Н., Бакиров Ж.Ж. 00 одной разностной схеме для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной, ¡шучошюй при помощи теоремы о разложении билинейной формы // Теория и метода математического моделирования задач окружающей среды. - Бишкек, 1991. - с. 71-79.

9. Бакиров Ж.Я., Скляр С.Н. Об использовании проекционного варианта интегро-интерполяционного метода для аппроксимации производных решения сингулярно-возмущешшх краевых задач // Всесоюзная конференция "Асимптотические метода теории сингулярно-возмущешшх уравнений и некорректно поставленных задач": Тоз. докл. - Бишкек: ИМ АН FK, 1991. - с. 21.

10» Скляр СЛ., Бакиров Ж.Я. Двумерное эллиптическое уравнение: вычисление решения и его производных. I. // Изв. AH Pit. Физ. - техн.. матем. и горно-геологич. науки (принята

к публикации 2.12.1992).

11. Скляр С.Н.1 Бакиров К.Н. Двумерное эллиптическое уравнение: -вычислетге -ретения-и-его-производных.—II .-//-Изв АН РК. Физ. - техн., матем. и горно-геологич. науки (принята к публикации 3.02.1993).

ВаМгот Jetigen Jokinovich

Numerical methods of solution of elliptical boundary value problems Vflth boundary 1ауегв.

Summary

The dissertation offers a method allowing by united approach to get approximation of a Bolution and Its first derivatives for elliptical boundary value problems with boundary layers. Family of new difference schemes with supra convergent property was worked out by this method.

Бакиров Жетиген Кокинович

Чет катмарлуу зллиптикалык чектик масэлелерди чнгаруу-нун сандык ыкмалары.

Аннотация

Диссертациялык иште, чет катмарлуу эллиптикалык чектик маселелердин чыгарылышынын кана ошондой эле биринчи туунду-ларынын какындаштырылган маанилерин бирдиктуу жол менвн алу-учу( ыкма сунуш кылынат. Ушул ыкманын жардамы менвн вирга хыйналуучулук касиогшш ээ болгон кацы айырмалуу схемалардан тобу тургузулган.