автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы коррекции кольцевых артефактов в задачах рентгеновской томографии

На правах рукописи

Тит^

Титаренко Софья Станиславовна

Численные методы коррекции кольцевых артефактов в задачах рентгеновской томографии

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 2 ЛЕК 2010

Москва — 2010

004615050

Работа к ¿полнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный доктор физико-математических наук,

руководитель профессор Ягола Анатолий Григорьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Кочиков Игорь Викторович, НИВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова

доктор физико-математических наук Пикалов Валерий Владимирович, ИТПМ им. С.А. Христиановича СО РАН

Ведущая организация

Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ"

Защита состоится 17 декабря 2010 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 501.002.09 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 4, НИВЦ МГУ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВЦ МГУ.

Автореферат разослан « 2.» ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Суворов В. В.

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена задаче уменьшения кольцевых артефактов, возникающих в рентгеновской компьютерной томографии. Для ее решения изучаются физические процессы, вызывающие данные артефакты. В зависимости от типа основного физического процесса предлагаются численные алгоритмы решения, запрограммированные для использования на обычных и графических процессорах. Техника распараллеливания и специализированные библиотеки программ позволяют производить коррекцию артефактов за время, малое по сравнению со временем реконструкции трехмерного объекта или его сечения.

Актуальность темы

Во многих отраслях науки, медицины и промышленности требуется определить внутреннюю структуру объекта, не нарушая его целостности. Компьютерная томография является одним из самых распространенных методов, используемых для решения таких задач. В данной работе в качестве источника излучения используются рентгеновские лучи, создаваемые лабораторными томографами и синхротронами.

Для восстановления структуры объекта в томографии за последние 30 лет были предложены различные методы реконструкции. Но в ходе эксперимента всегда имеются ошибки, вызванные как разнообразными дефектами компонентов установки, так и сложностью физических явлений, возникающих в процессе прохождения рентгеновских лучей через изучаемый объект, их преобразования в видимое излучение, а затем при регистрации изображений. Все это приводит к случайным и систематическим ошибкам во входных данных, в результате чего возникают артефакты при реконструкции объекта. Поэтому, даже если некоторый метод и позволяет реконструировать объект точно при отсутствии ошибок, то при использовании реальных данных получается сильно искаженная картина. В связи с этим задачи устранения различных артефактов в компьютерной томографии представляют собой очень большой интерес.

Среди разнообразия артефактов выделяются кольцевые артефакты, как наиболее распространенные и сильно затрудняющие анализ объекта. Они представляют собой тонкие концентрические кольца или дуги, наложенные на обычное реконструируемое изображение — сечение объекта. В литературе предложено множество способов уменьшения таких артефактов, но они в основном базируются на сглаживании входных данных или реконструированного изображения. Такое сглаживание приводит к потере некоторых (обычно малых по размеру)

деталей. Кроме того, многие методы не полностью убирают указанные артефакты и даже могут привести к появлению новых.

Цель работы

На основе имеющейся априорной информации о физических процессах, происходящих во время сканирования объекта, разработать методы, более эффективно подавляющие кольцевые артефакты.

Положения, выносимые на защиту

1) Аналитическая формула для описания вида кольцевых артефактов в случае параллельной геометрии рентгеновских лучей и применения метода обратного проецирования фильтрованных проекций (ОПФП) при реконструкции объекта.

2) Метод уменьшения кольцевых артефактов, основанный на предложенной аналитической формуле и использующий априорную информацию о значениях коэффициента поглощения рентгеновских лучей в некоторых областях сечения объекта.

3) Аналитическая формула для уменьшения регулярных кольцевых артефактов, не зависящих от угла поворота объекта, основанная на нахождении точки минимума функционала Тихонова.

4) Подход к устранению нерегулярных кольцевых артефактов, зависящих от угла поворота объекта, основанный на применении упомянутой выше аналитической формулы для регулярных кольцевых артефактов.

5) Метод корректировки кольцевых артефактов, основанный на обработке двумерных проекций и численной минимизации функционала Тихонова.

6) Метод корректировки кольцевых и волновых артефактов в случае изменения вертикального профиля интенсивности рентгеновского излучения в процессе эксперимента.

Научная новизна

В работе был использован метод регуляризации Тихонова для подавления кольцевых артефактов. Полученная аналитическая формула для корректировки регулярных артефактов позволяет существенно увеличить скорость и точность корректировки кольцевых артефактов по

сравнению со стандартными численными методами. Предложенные алгоритмы позволяют использовать параллельные вычисления и были реализованы как для обычных многоядерных компьютерных процессоров, так и для графических карт.

Практическая ценность

Результаты, полученные в диссертации, могут быть применены как в лабораторных, в том числе медицинских, томографах, так и на синхротронах для улучшения качества реконструируемых объектов.

Личный вклад автора

Основные результаты диссертации, в том числе положения, выносимые на защиту, были получены автором лично. Проведение экспериментов по сканированию трехмерных объектов на синхротронах и лабораторных установках, а также интегрирование комплекса программ, предназначенного для подавления кольцевых артефактов, в общие комплексы программ, используемых для реконструкции объектов, было произведено соавторами статей.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы были представлены: на семинарах "Сотрудничество для успеха" по проблемам компьютерной томографии, организованных при поддержке Научного совета по инженерным и физическим наукам (Великобритания) в Уилмслоу (графство Чешир), 9-11 января 2008 г. и 15-17 марта 2009 г.; в лаборатории 112 синхротрона "Даймонд" (Diamond Light Source, Дидкот, графство Оксфордшир, Великобритания), 31 июля 2008 г.; на Британском коллоквиуме по прикладной математике в Университете Ноттингема (Великобритания), 7-9 апреля 2009 г. [6]; на ежегодной конференции "Женщины в математике", проводимой Лондонским математическим сообществом, 24 апреля 2009 г.; в Университете Манчестера (Великобритания) на семинарах школ математики и наук о материалах, а также на конференции студентов и аспирантов по математике, 18 мая 2009 г. [7]; в Аргоннской национальной лаборатории (США) в марте 2010 г.; в медицинском центре Университета Чикаго (США) на семинаре отделения радиологии, 18 марта 2010 г.; в Университете Шеффилда (Великобритания), в школе математики и статистики, 9 июня 2010 г.; на конференции "SPIE Optics & Photonics 2010" в Сан Диего (Калифорния, США), 1-5 августа 2010 г. [8]; на научном семинаре "Обратные задачи математической физики" в НИВЦ МГУ под научным руководством д.ф.-м.н.

проф. А. Г. Яголы, А. В. Вакушинского, А. В. Тихонравова, 29 сентября 2010 г.; на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ 29 сентября 2010 г.

Публикации

По теме диссертации было опубликовано 8 работ, из которых 2 тезиса конференций [6, 7], 1 статья в трудах конференции [8] и 5 статей в рецензируемых отечественных и зарубежных научных журналах [1-5].

Структура работы

Диссертация написана на 121 странице, состоит из титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения и списка литературы (101 наименование).

Краткое содержание работы

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ приведены основные сведения из области томографии: дано определение, указаны различные виды томографии, классифицированные по типу излучения, геометрии сканирования, способу регистрации данных. Поставлена задача нахождения внутренней структуры объекта без учета волновой природы света, и показано, что она является некорректной. Указаны основные способы реконструкции объектов и их сечений. Более подробно рассмотрены методы реконструкции при параллельной геометрии лучей (метод ОПФП).

Затем была осуществлена краткая классификация артефактов в томографии, появление которых обусловлено как техническими особенностями установки, так и физическими процессами, возникающими при прохождении рентгеновских лучей через объект, их преобразовании в видимое излучение и регистрации последнего фотокамерой. Были приведены схемы синхротрона и лабораторного томографа, объяснены принципы их работы. Особенное внимание было уделено монохро-матору, сцинтиллятору, оптической системе и ПЗС-камере (сокращение от прибор с зарядовой связью), т.е. тем компонентам установок, которые в большей мере ответственны за появление кольцевых артефактов.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена алгоритмам и численным методам, позволяющим убрать большую часть кольцевых артефактов. Пусть имеется некоторый трехмерный объект, вращающийся вокруг вертикальной оси Ог, все рентгеновские лучи параллельны оси Оу, а строки пикселей ПЗС-сенсора — оси Ох. Рассмотрим некоторое горизонталь-

ное сечение трехмерного объекта. Зная интенсивность излучения при наличии и отсутствии объекта в пучке, находим оптический путь р(х, 9) (так называемую синограмму), где 9 — угол поворота объекта вокруг вертикальной оси. Царапины, пыль, грязь на поверхностях, а также дефекты внутри сцинтиллятора, оптики и ПЗС-сенсора, немонохроматичность и дифракция падающего рентгеновского и генерируемого видимого света, тепловые шумы в регистрирующей аппаратуре, — все это приводит к тому, что измеряемый оптический путьр(0, х) несколько отличается от реального р*(в, х). В первом приближении можно считать, что

р{9,х) = p*{9,x)+q{x), где q[x) — некоторая функция, не зависящая от угла поворота в. Введем равномерные сетки в,, г = 1,2,..., пд и Xj, j = 1,2,..., пх с шагами Ав и Ах и осуществим переход к кусочно-постоянным функциям, т.е. положим р(9,х) - pij, р*{9,х) = p*j, q(x) = q, при 9 = х £

[Xj, Xj+i). Обозначим pj = ~ E^p.j = p*+qj, где р* = ^ Др* , определим функции р(х) = pj и р*(х) = pj при i £ [xj, Xj+i) и новую синограмму Pij = Pij ~ Pj = Pij + 9j ~ {Pj + Qj) = Pij ~ Pj> зависящую только от элементов точной (неизвестной) матрицы p*j. Метод ОПФП состоит в последовательном применении двух линейных операторов: свертки F с фильтр-функцией f(x) и обратного проецирования В.

Теорема 1 Пусть

1, х ё [Н,Н + h),

v ' | 0, в остальных случаях,

Н, h > 0, £ = pcostp, rj = psinip, р 0, <р G [0,2тг). Определим

{агс

_/ aiccos{{H + h)/p), р> Н + h,

агссоз(Я/р), р> Н,

в остальных случаях,

„ _ Г агссоз((Я + Н)//.

1 0, в остальных случаях.

Если £ £ [о, Я], то вм = (

* ' | 0, в остальных случаях.

Если £ е [Я, Я + Л], имеем

В(а) = I + V ~ * > \АЯ + А)8-*2.

к ' | (ш + 1р)/ж, в остальных случаях.

Если £ > Я + Л, то В(а) = (и - Р)/ж.

г V:

ЯП З.5

1

»г

-1,5

»■_ — я

11Я111111®Ш

• - Д ■ • 'Л- >'•' / 7

^ гЧ'.. •

КЩшШ

см

1,0

--1,0

Рис. 1. Графит с металлическими вкраплениями: (а) без удаления кольцевых артефактов, ¿¿(£,77), (6) функция

В начальном приближении можно предположить, что функция В{сг) является полурадиальной, т.е. может быть записана как

О о,

V < й-

Поэтому считаем, что разность между изображениями, восстановленными по методу ОПФП, для синограммы р}■ и точной синограммы р представляет собой функцию, близкую к полурадиальной.

Введем функцию = ^[^(р1)], тогда = В[Р{Р*ц ~

Ру)] = /¿Ч£,»7) - где = Функция /¿гС^.во

многих практических задачах является прекрасной заменой точного решения 77), когда достаточно определить, наблюдается ли та или иная особенность у объекта, и оценить ее размер, см. рис. 1.

Конечно, найденные абсолютные значения коэффициента поглощения неверны, и требуется дополнительная корректировка изображения. Последняя и осуществляется, когда известны точные значения коэффициента поглощения рентгеновского излучения в некоторых областях объекта. В качестве примера рассматривается реконструкция многослойных частиц, помещенных в цилиндрический контейнер.

Далее во второй главе обсуждаются существующие методы коррекции кольцевых артефактов. Приводится априорная информация, доступная для большинства томографических экспериментов (неотрицательность коэффициента поглощения, Липшиц-непрерывность синограммы по пространственной переменной, малость возмущений). Эта информация позволяет свести коррекцию кольцевых артефактов к минимизации сглаживающего функционала Тихонова.

Так, при рассмотрении одномерных проекций, т.е. когда имеется функция р(х,д), где пространственная переменная х € [0,а], а угол

поворота в 6 [0,9], получаем функционал Тихонова

а 0

НзМШм + Q / 11р(М) " «(®)llwiMdfl

о

на множестве ||g(z)|||3[oia] < Г2, где а > 0 — параметр регуляризации. Переходя к дискретным значениям, получаем функционал

ЛИ?] = Е + ^ Е (71 Е Ip.jp - 9;f + j=1 n« ¿=1 V j=l

n,-l \

+ 72 E Kftj+i ~ <7j+i) - (P.y - Qj)I2 , (1)

3=1 J

nx -

где 7!, 72 > 0 — некоторые константы, при условии £ g? < П, где П ~ П.

Пв

Теорема 2 Пусть pj = £ jfy, j = 1,..., n^, u t=i

/,- = Д-1 - (2 + £)py + pi+1, j = 2,3.....nx - 1, (2)

( i>;_i - (1 + j = n^

Тогда точка минимума функционала (1) представима в виде конечной суммы qj = £ Sjkfk, где коэффициенты Sjk имеют вид к=1

^ = ' tCh((n " lj ~ fc|)T) + Л((П + 1 " ^ " Л)Г)1' (3)

a = £ + a^ur = 2 arcsinMv/^).

Данный метод был применен при восстановлении структуры куска графита, см. рис. 2. Обсуждался вопрос выбора параметра регуляризации при решении практических задач, когда оценка всех погрешностей эксперимента не возможна.

Предложенный подход был обобщен для двумерного случая, когда одновременно обрабатываются данные со всех строк ПЗС-сенсора. Считаем, что горизонтальная координата х, вертикальная z и угол поворота в принадлежат отрезкам [0,а], [0,Ь] и [0,0] соответственно. Пусть D = [0, а] х [0, Ь]. Тогда функционал Тихонова принимает вид

а 6

Рис. 2. Кусок графита с вкраплением металлических частиц: (а) без удаления кольцевых артефактов, (б)-(д) сечение при различных значениях параметра а

на множестве ||д(х, г)\\2ь^ < П, где а > 0 — параметр регуляризации. После перехода к дискретным значениям получаем

Пх 71* п пв / Пх "г

лй<г] = Е Е ч% + Е 71Е Е ¡Рак - о.]к\2 +

к=1 пВ г=1 \ ]=\ к=1

пх-1 пх

+ 72 Е Е \{рц+гк - Я]+1к) - {рцк - <Цк)|2+ ¿=1 к=1

пт \

+ 72 Е Е - Ч]к+г) - (Рцк - Ч]к)I2 , (4)

]=1 к=1 )

где 71,72 > 0 — некоторые константы, при условии ^ Е < ^ ~

¿=17=1

Пусть имеются равномерные сетки 0,, г = 1,2,..., п^, ху, =

1,2.....пг и гь к = 1,2,..., пг, матрицы р,]к, р*]к и вектор ^ такие,

что р{в,х,г) = р1]к, р*(0,х,г) = р^к, я(х,г) = я]к при в е [йД+1),

пв

х е [х,,Х]+1), г е [гк,гк+1). Определим матрицу р¿к = £ Рцк■

1=1

Утверждение 1 Градиент функционала (4) имеет вид -^-М^Ы = + 2 Ь,

где q, Ъ, Ад — вектора размерности пхп2 такие, что

Ад = (1 + й(71 + ^ъ))Ч]к - аъ{<Ц-1к + ф+и + + 9^+1). Ъ = а(-(71 + 472)р]к + ъ{Рз-п + Ру+и + Р,к-1 + Р,к+1)). Следствие 1 Матрица Ад — свертка матриц д и Б, где ( 0 -¿72 О \

S =

-aj2 l + a(7i + 472) -Q72

V О -¿72 О

Для случая нерегулярных кольцевых артефактов, интенсивность которых зависит от времени или угла поворота объекта, применен подход, основанный на использовании формулы (3). Метод базируется на разложении решения по конечному набору ортонормированных функций переменной 9 и минимизации функционалов Тихонова. На рис. 3 показан образец с сильно неоднородной структурой: кусок графита, окруженный двумя титановыми пластинами (с волокнами SiC внутри) и обернутый алюминиевой фольгой. Обсуждался вопрос влияния числа ортонормированных функций на качество подавления артефактов.

В конце второй главы рассматривалось удаление кольцевых и волновых артефактов, появление которых привязано к физическим процессам на синхротроне APS (Advanced Photon Source, США). Интенсивность рентгеновского излучения до и после объекта

W{x, z, t) = Q{x, z)I„(г, a[t)z + b(t)),

P(x, z, t) = A( x, z, t)W(x, z, t),

где a(t) и b(i) — неизвестные функции, a A(x,z,t) — искомый коэффициент поглощения объекта.

A[X,Z,t)-W(x,zlT)llo(x,a(r)n + b(T))} ' W

Функции P(x,z,t) и W(x, z, t) измеряются в ходе эксперимента (в моменты времени i, и г,), а функция Iq[x,z) неизвестна. Считаем, что a(ri) = 1, Ъ{т\) = 0. Введем функцию

Пусть известны значения а и Ъ. Тогда находим следующие свойства:

Рис. 3. Многокомпонентный объект: (а)-(э) синограмма и некоторые увеличенные области, (г) и (с?) без коррекции кольцевых артефактов, (е) и (ж.) после предложенной коррекции

• Пусть z = az + Ь, тогда z = a*z + Ь\ где а* = 1/а, а Ъ* = —Ь/а и

_1_= J^ = + = , g

r(x,z,a,b) I0(x,az + b) I0(x, z) 12

Рис. 4. Объект вне пучка рентгеновских лучей: (а) без корректировки интенсивности, (6) предложенная корректировка

• Пусть r(x,z,a,b) известна для (ai,bi) и (а2,Ь2). Тогда

r(x, z, аи bi) • r(x, a:z + Ъи а2, Ь2) =

Io{x, a\z + bi)/0(®, a2(aiz + bi) + b2) , ,

= —!-гт—~хг7- . t n -- = r x, z, aia2, a2h + b2 ,

/o(®, z)Io[x, a\Z + Oj)

т.е. для а = аха2 и b = a2bi + b2 можно найти r(x, z, a, b).

Поэтому, зная функцию r[x,z,a,b) для некоторых пар (а,Ь), можно найти ее для большего числа пар, используя указанные выше свойства. Сам алгоритм коррекции волновых и кольцевых артефактов может быть описан следующим образом:

1) Пусть имеются 16 изображений без объекта, т.е. z, ry).

2) Выбирается одно "базовое" изображение, например W(x, z, Ti), для которого без ограничения общности полагается a(ri) = 1, b(ri) = 0.

3) Путем сглаживания, масштабирования и сдвига вдоль переменной z находятся а(т;), Ь(ту) для остальных изображений W{x,z,Tj).

4) Находится функция r(x,z,a,b) для разных пар (а, Ь).

5) Для любой проекции, т.е. P(x,z,ti), находится соответствующая ей функция r(x, z, а, Ь) и производится коррекция.

На рис. 4 показана реконструкция без объекта, т.е. когда объект был все время вне пучка рентгеновских лучей. Видно, что стандартная нормировка с использованием единственного значения W(x,z,Ti) приводит к "волнам" на изображении, тогда как предложенный метод дает почти постоянное значение. Этот же метод был применен для реконструкции стебля растения Salix variegata, см. рис. 5.

Рис. 5. Стебель Salix variegata: (а) стандартная корректировка интенсивности с помощью W(x,z,Ti), (5) предложенная корректировка

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ рассказано об особенностях реализации численных алгоритмов. Использование технологий графических карт nVidia и специально разработанных библиотек компании Intel для обычных процессоров позволило существенно увеличить скорость обработки данных, что очень важно при обработке данных в режиме реального времени, т.е. когда объект должен быть реконструирован почти сразу после получения данных. Для сравнения времен работы программ использовались четырехядерный процессор Q6600 компании Intel и графическая карта Tesla С870 компании nVidia.

В этом же разделе сравнивалось применение различных библиотек программ компании Intel для достижения наибольшей скорости работы программы. На примере задачи минимизации дискретного функционала сравнивалась скорость сходимости метода наискорейшего спуска и метода сопряженных градиентов.

Данный комплекс интегрирован в программное обеспечение, используемое в Университете Манчестера и на синхротроне "Даймонд" для реконструкции трехмерных объектов.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ приведены основные полученные результата:

1. Впервые получена формула, задающая общий вид кольцевого артефакта при параллельной геометрии рентгеновских лучей. Использование данной формулы совместно со знанием коэффициента поглощения в некоторых областях двумерного сечения объекта позволяет быстро удалить артефакты на всем сечении с точностью, приемлемой для практических приложений. Предложенный алгоритм был протестирован на примере реконструкции многослойных микрочастиц.

2. Впервые задача подавления кольцевых артефактов была сформулирована в виде задачи минимизации функционала Тихонова. Для случая одномерных проекций была предложена аналитическая формула для нахождения точки минимума данного функционала, в случае же двумерных проекций была предложена формула для быстрого нахождения градиента функционала. Численная реализация полученных формул как на обычных, так и на графических процессорах с применением многопоточных библиотек компаний Intel и nVidia позволяет существенно уменьшить время, необходимое для коррекции артефактов.

3. Разработан и опробован на примере удлиненных объектов и объектов с ярко выраженными анизотропными свойствами метод подавления нерегулярных кольцевых артефактов, интенсивность которых меняется в зависимости расположения относительно оси вращения.

4. Впервые разработан метод коррекции кольцевых и волновых артефактов, возникающих в результате колебаний рентгеновского пучка (дрожания ПЗС-камеры, оптической системы, сцинтиллятора), основанный на использовании информации о характере колебаний и дополнительных измерениях интенсивности излучения.

5. Все разработанные алгоритмы были применены к реальным данным, полученным на синхротронах Великобритании и США, а также на лабораторных томографах Университета Манчестера. Программный комплекс для подавления кольцевых артефактов был интегрирован в программное обеспечение, используемое для регистрации, обработки и восстановления трехмерных объектов в лаборатории имени Генри Мозли Университета Манчестера и лаборатории 112 синхротрона "Даймонд".

Основные результаты диссертации опубликованы

в следующих изданиях

Публикации в изданиях из Перечня ВАК:

[1] S. Titarenko, V. Titarbnko, A. Kymeleis, P.J. Withers. A ring artifact suppression algorithm based on a priori information // Applied Physics Letters.-2009.-Vol. 95, N 7.-P. 071113-1-3.

[2] C.C. Титаренко, А.Г. Ягола. Подавление кольцевых артефактов в режиме реального времени в рентгеновской томографии Ц Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия,— 2010. — № 1.-С. 65-67.

[3] S. Titarenko, V. Titarenko, A. Kyrieleis, P.J. Withers. A priori information in a regularized sinogram-based method for removing ring artefacts in tomography // Journal of Synchrotron Radiation.-2010.-Vol. 17, N 4.-P. 540-549.

[4] V. Titarbnko, S. Titarenko, P.J. Withers, F. De Carlo, X. Xiao. Improved tomographic reconstructions using adaptive time-dependent intensity normalization // Journal of Synchrotron Radiation.-2010.-Vol. 17, N 5.-P. 689-699.

[5] S. Titarenko, P.J. Withers, A. Yagola. An analytical formula for ring artefact suppression in X-ray tomography // Applied Mathematics Letters. - 2010. - Vol. 23, N 12. - P. 1489-1495.

Публикации в других научных изданиях:

[6] S. Titarenko. Reduction of ring artefacts in CT JI British Applied Mathematics Colloquium 2009. —Nottingham: University of Nottingham, 2009.-P. 102.

[71 S. Titarbnko. Ring artefacts in x-ray CT and regularizing algorithms // The 3rd University of Manchester Mathematics Research Students' Conference. — Manchester: University of Manchester, 2009. —

[8] V. Titarbnko, R. Bradley, C. Martin, P.J. Withers, S. Titarenko. Regularization methods for inverse problems in X-ray tomography // In "Developments in X-Ray Tomography VII". San Diego: SPIB, 2010.-P. 78040Z-1-10.

P. 5-6.

Введение.

1 Физика описываемых процессов.

1.1 Томография.

1.1.1 Классификация.

1.1.2 Преобразование Радона.

1.2 Синхротроны и лабораторные томографы.

1.2.1 Монохроматор

1.2.2 Сцинтиллятор

1.2.3 ПЗС-камера.

1.2.4 Оптическая система.

1.3 Артефакты.

2 Алгоритмы и численные методы.

2.1 Вид кольцевых артефактов.

2.2 Априорная информация.

2.3 Одномерные проекции.

2.4 Двумерные проекции.

2.5 Нерегулярные кольцевые артефакты.

2.6 Волновые артефакты.

3 Программный комплекс.

3.1 Современные вычислительные архитектуры.

3.1.1 Классические процессоры.

3.1.2 Графические процессоры.

3.2 Кольцевые артефакты

3.2.1 Программы для обработки изображений.

3.2.2 Программы для подавления кольцевых артефактов

Диссертационная работа посвящена задаче уменьшения так называемых кольцевых артефактов, возникающих в рентгеновской компьютерной томографии. Для ее решения обсуждаются физические процессы, вызывающие данные артефакты, и в зависимости от типа основного физического процесса предлагаются несколько численных алгоритмов решения. В свою очередь алгоритмы решения программируются для использования как на обычных компьютерных процессорах, так и на графических картах. Применение техники распараллеливания для указанных вычислительных архитектур, а также специализированных библиотек программ позволяет производить коррекцию артефактов за время, малое по сравнению со временем реконструкции трехмерного объекта или его сечения.

Актуальность темы Во многих отраслях науки, медицины и промышленности требуется определить внутреннюю структуру объекта, при этом не нарушая его целостности. Компьютерная томография является одним из самых распространенных методов, используемых для решения таких задач. В зависимости от типа источника излучения и схемы регистрации данных применяются различные методы реконструкции трехмерных объектов или их двумерных сечений. В данной работе в качестве источника излучения используются рентгеновские лучи, создаваемые как в маленьких лабораторных томографах, так и на больших ускорителях, например синхротронах.

Существуют два основных способа изучения объектов с помощью рентгеновских лучей. В первом случае измеряется интенсивность излучения, прошедшего через объект (трансмиссионная томография), во втором же случае — интенсивность и направление рассеянного излучения дифракционная томография). Можно грубо считать, что трансмиссионная томография использует приближение линейной оптики, а дифракционная — волновой. Конечно, для полностью правильного с математической точки зрения описания прохождения рентгеновских лучей через трехмерный объект необходимо записывать соответствующие волновые уравнения. К сожалению, в настоящее время решение обратных задач для таких трехмерных уравнений не может быть осуществлено даже на самых мощных компьютерах за приемлемое время. Поэтому на практике пользуются некоторыми физическими моделями, в которых соответствующие обратные задачи часто могут быть решены в режиме реального времени, т.е. почти сразу после регистрации последнего изображения. В диссертационной работе рассматривается только трансмиссионная томография.

Для восстановления структуры объекта в трансмиссионной томографии за последние 30 лет были предложены различные методы реконструкции, как точные, так и приближенные. Наиболее распространенными являются метод обратного проецирования фильтрованных проекций (ОПФП) в случае когда лучи, падающие на объект, параллельны и метод ФДК (сокращение от имен авторов: Фелдкамп, Дэвис, Кресс) для точечного источника излучения, когда формируется конический пучок лучей. В ходе эксперимента всегда имеются ошибки, вызван7 ные как различными дефектами компонентов установки, так и сложностью (и зачастую нелинейностью) физических явлений, возникающих в процессе прохождения рентгеновских лучей через изучаемый объект, их преобразования в видимое излучение, а затем при регистрации изображений. Все это приводит как к случайным, так и систематическим ошибкам во входных данных, в результате чего возникают артефакты при реконструкции объекта. Поэтому, даже если некоторый метод и позволяет реконструировать объект точно при отсутствии ошибок, то при использовании реальных данных получается сильно искаженная картина. В связи с этим задачи устранения различных артефактов в компьютерной томографии представляют собой очень большой интерес. Наличие артефактов часто приводит к увеличению времени сканирования объекта, что очень нежелательно в медицинских приложениях, где время облучения и интенсивность рентгеновских лучей должны быть по возможности минимальны. В немедицинских приложениях жесткое излучение с течением времени приводит к повреждению как исследуемого объекта, так и частей установки.

Отметим также очень важный в практических задачах параметр — время, необходимое для устранения или уменьшения того или иного артефакта. В зависимости от этого параметра методы подавления артефактов можно грубо разделить на "быстрые" и "точные". В первом случае необходимо просто проверить обладает ли исследуемый объект тем или иным свойством. Например, при исследовании механических свойств новых материалов их могут растягивать до того момента, пока не появится трещина. В этом случае производится система быстрых сканирований объекта, пока не обнаружатся требуемые изменения. При этом требуется "быстрый" метод корректировки артефактов, абсолютное же значение коэффициента поглощения в той или иной области объекта не столь интересно. Когда же область интересующих изменений определена, то производится сканирование с большим оптическим увеличением и при увеличении числа проекции. Сама же область может быть реконструирована позже, через несколько дней после проведения эксперимента. Но при этом требуется "точный" метод подавления артефактов, так как значение коэффициента поглощения рентгеновских лучей важно как для нахождения необходимых параметров, характеризующих объект, так и для выбора правильной физической модели для: его описания.

Среди разнообразия видов артефактов особое положение занимают так называемые кольцевые артефакты, как наиболее часто встречающиеся. По сравнению с другими артефактами они сильно затрудняют анализ объекта, так как представляют собой тонкие концентрические кольца или дуги, наложенные на обычное реконструируемое изображение — сечение объекта. В литературе предложено множество способов устранения (или уменьшения) артефактов такого типа. В основном они базируются на сглаживании либо входных данных, либо уже реконструированного изображения. К сожалению, такое сглаживание приводит к потере некоторых (обычно малых по размеру) деталей. Кроме того, многие методы не полностью убирают указанные артефакты и даже могут привести к появлению новых.

Цель работы Цель данной работы — на основе имеющейся априорной информации о физических процессах, происходящих во время сканирования объекта, разработать методы, более эффективно подавляющие кольцевые артефакты. Положения, выносимые на защиту

1) Аналитическая формула для описания вида кольцевых артефактов в случае параллельной геометрии рентгеновских лучей и применения метода обратного проецирования фильтрованных проекций при реконструкции объекта.

2) Метод уменьшения кольцевых артефактов, основанный на предложенной аналитической формуле и использующий априорную информацию о значениях коэффициента поглощения рентгеновских лучей в некоторых областях сечения объекта.

3) Аналитическая формула для уменьшения регулярных кольцевых артефактов, не зависящих от угла поворота объекта, основанная на нахождении точки минимума функционала Тихонова.

4) Подход к устранению нерегулярных кольцевых артефактов, зависящих от угла поворота объекта, основанный на применении упомянутой выше аналитической формулы для регулярных кольцевых артефактов.

5) Метод корректировки кольцевых артефактов, основанный на обработке двумерных проекций и численной минимизации функционала Тихонова.

6) Метод корректировки кольцевых и волновых артефактов в случае изменения вертикального профиля интенсивности рентгеновского излучения в процессе эксперимента.

Научная новизна В работе был использован метод регуляризации Тихонова для подавления кольцевых артефактов. Полученная аналитическая формула для корректировки регулярных артефактов позволяет существенно увеличить скорость и точность корректировки кольцевых артефактов по сравнению со стандартными численными методами. Предложенные алгоритмы предоставляют возможность применять параллельные вычисления и были реализованы для использования как на обычных многоядерных компьютерных процессорах, так и на графических картах компании nVidia.

Практическая ценность Результаты, полученные в диссертации, могут быть применены как в лабораторных, в том числе медицинских, томографах, так и на синхротронах для улучшения качества реконструируемых объектов.

Личный вклад автора Основные результаты диссертации, в том числе положения, выносимые на защиту, были получены автором лично. Проведение экспериментов по сканированию трехмерных объектов на синхротронах и лабораторных установках, а также интегрирование комплекса программ, предназначенного для подавления кольцевых артефактов, в общие комплексы программ, используемых для реконструкции объектов, было произведено соавторами статей. Апробация работы Основные результаты диссертационной работы были представлены:

1) на семинарах "Сотрудничество для успеха" по проблемам компьютерной томографии, организованных при поддержке Научного совета по инженерным и физическим наукам (EPSRC, Великобритания) в Уилмслоу (графство Чешир, Великобритания) и проходивших 9— 11 января 2008 г. и 15-17 марта 2009 г.;

2) в лаборатории 112 синхротрона "Даймонд" (Diamond Light Source, Дидкот, графство Оксфордшир, Великобритания) 31 июля 2008 г.;

3) на Британском коллоквиуме по прикладной математике, проходившем 7-9 апреля 2009 г. в Университете Ноттингема (Великобритания) [87];

4) на ежегодной конференции "Женщины в математике", проводимой Лондонским математическим сообществом, 24 апреля 2009 г.;

5) в Университете Манчестера (Великобритания) на семинарах школ математики и наук о материалах, а также на конференции студентов и аспирантов по математике 18 мая 2009 г. [88];

6) в Аргоннской национальной лаборатории (США) в марте 2010 г.;

7) в медицинском центре Университета Чикаго (США) на семинаре отделения радиологии 18 марта 2010 г.;

8) в Университете Шеффилда (Великобритания), в школе математики и статистики 9 июня 2010 г.;

9) на конференции "SPIE Optics & Photonics 2010", проводимой Обществом оптики и фотоники 1-5 августа 2010 г. в Сан Диего (Калифорния, США) [92];

10) на научном семинаре "Математические модели и численный эксперимент", проводимом в Научно-исследовательском вычислительном центре (НИВЦ) Московского государственного университета (МГУ) им. М. В. Ломоносова под научным руководством д.ф.-м.н. проф. А. В. Тихонравова, 00 сентября 2010 г.;

11) на научном семинаре "Обратные задачи математической физики", проводимом в НИВЦ МГУ под научным руководством д.ф.-м.н. проф. А. Г. Яголы, А. Б. Бакушинского, А. В. Тихонравова, 29 сентября 2010 г.;

12) на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ 29 сентября 2010 г.

Публикации По теме диссертации было опубликовано 8 работ, из которых 5 статей в рецензируемых отечественных и зарубежных научных журналах [26,89-91,93], 1 статья в трудах конференций [92] и 2 тезиса конференций [87,88].

Структура работы Диссертация написана на 121 е., состоит из титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения и списка литературы (количество наименований — 101).

В первой главе приведены основные сведения из области томографии: дано определение томографии, указаны ее различные виды, классифицированные по типу излучения, геометрии сканирования, способу регистрации данных. Поставлена задача нахождения внутренней структуры объекта без учета волновой природы света, и показано, что она является некорректной. Указаны основные способы реконструкции объектов и их сечений. Более подробно рассмотрены методы реконструкции при параллельной геометрии лучей, например метод ОПФП. Сам метод базируется на преобразовании Радона и его свойствах, которые также вкратце обсуждены в первой главе. Кроме того, указаны основные достоинства и недостатки данного метода.

Методы, предложенные в работе, применялись для обработки данных, полученных как на синхротронах, так и с использованием лабораторных томографов. Основная проблема, возникающая при реконструкции, — это наличие артефактов, краткая классификация которых приведена в первой главе. Их возникновение часто бывает обусловлено техническими особенностями установки, а также физическими процессами, возникающими при прохождении рентгеновских лучей через объект, их преобразовании в видимое излучение и регистрации последнего фотокамерой. В связи с этим были приведены схемы синхротрона и лабораторного томографа, объяснены принципы их работы. Особенное внимание было уделено тем компонентам установок (монохроматору, сцинтилля-тору, оптической системе и ПЗС-камере (ПЗС — сокращение от прибор с зарядовой связью)), которые в большей мере ответственны за появление так называемых кольцевых артефактов.

Вторая глава посвящена непосредственно численным методам, позволяющим существенно улучшить изображение и убрать большую часть кольцевых артефактов. Сначала выводится формула для функции, описывающей кольцевые артефакты, и обсуждаются ее свойства, которые можно использовать для быстрой корректировки восстановленного изображения при наличии априорной информации о значениях коэффициента поглощения рентгеновского излучения. На примере реконструкции многослойных частиц, находящихся в цилиндрическом контейнере, показывается практическое применение предложенного подхода.

Далее рассматривается метод корректировки входных данных, основанный на минимизации дискретного функционала Тихонова. Указана априорная информация, которую можно использовать при реконструкции. Приведена аналитическая формула, полученная с помощью минимизации функционала Тихонова, для случая реконструкции одного сечения объекта, т.е. для данных полученных с одной строки ПЗС-сенсора. Предложенный подход был обобщен для двумерного случая, когда одновременно обрабатываются данные со всего ПЗС-сенсора. В последнем случае предложена формула для нахождения градиента дискретного функционала Тихонова, основанная на свертке двух матриц. Для случая нерегулярных кольцевых артефактов, интенсивность которых зависит от времени или угла поворота объекта, показан подход, основанный на использовании аналитической формулы для регулярных кольцевых артефактов. Метод базируется на разложении решения по ортонормированному базису и минимизации соответствующего функционала Тихонова. В конце второй главы рассматривается специфический случай удаления кольцевых и так называемых волновых артефактов. Их появление жестко привязано к физическим процессам и особенностям установки синхротрона APS (Advanced Photon Source), находящегося на территории Аргоннской национальной лаборатории (США).

Все предложенные методы были использованы при реконструкции реальных объектов, результаты были обсуждены в диссертации.

В третьей главе рассказано об особенностях реализации численных алгоритмов. Использование технологий графических карт nVidia и специально разработанных библиотек компании Intel позволило существенно увеличить скорость обработки данных, что очень важно при обработке данных в режиме реального времени, т.е. когда объект должен быть реконструирован почти сразу после получения данных. Для более четкого понимания принципов работы программного комплекса, была представлена схема организации памяти в центральном процессоре. Были перечислены современные способы увеличения эффективности работы компьютера, указаны их преимущества и недостатки. Комплекс программ для подавления кольцевых артефактов написан для обеих аппаратных платформ (nVidia и Intel). Данный комплекс интегрировал в программное обеспечение, используемое в Университете Манчестера и на синхротроне "Даймонд" для обработки входных данных и реконструкции трехмерных объектов.

Заключение

Сформулируем основные результаты данной работы:

1) Впервые получена формула, задающая общий вид кольцевого артефакта при параллельной геометрии рентгеновских лучей. Использование данной формулы совместно со знанием коэффициента поглощения в некоторых областях двумерного сечения объекта позволяет быстро удалить артефакты на всем сечении с точностью, приемлемой для практических приложений. Предложенный алгоритм был протестирован на примере реконструкции многослойных микрочастиц.

2) Впервые задача подавления кольцевых артефактов была сформулирована в виде задачи минимизации функционала Тихонова. Для случая одномерных проекций была предложена аналитическая формула для нахождения точки минимума данного функционала, в случае же двумерных проекций была предложена формула для быстрого нахождения градиента функционала. Численная реализация полученных формул как на обычных, так и на графических процессорах с применением многопоточных библиотек компаний Intel и nVidia позволяет существенно уменьшить время, необходимое для коррекции артефактов.

3) Разработан и опробован на примере удлиненных объектов и объектов с ярко выраженными анизотропными свойствами метод подавления нерегулярных кольцевых артефактов, интенсивность которых меняется в зависимости расположения относительно оси вращения.

4) Впервые разработан метод коррекции кольцевых и волновых артефактов, возникающих в результате колебаний рентгеновского пучка дрожания ПЗС-камеры, оптической системы, сцинтиллятора), основанный на использовании информации о характере колебаний и дополнительных измерениях интенсивности рентгеновского пучка.

5) Все разработанные алгоритмы были применены к реальным данным, полученным как на синхротронах Великобритании и США, так и на лабораторных томографах Университета Манчестера. Программный комплекс для подавления кольцевых артефактов был интегрирован в программное обеспечение, используемое для регистрации, обработки и восстановления изображений и трехмерных объектов в лаборатории имени Генри Мозли Университета Манчестера и лаборатории 112 синхротрона "Даймонд" (Великобритания).

Считаю своим приятным долгом выразить благодарность 1) своему научному руководителю профессору Анатолию Григорьевичу Яголе за поставленные задачи и обсуждение полученных результатов; 2) кафедре математики и всем преподавателям физического факультета МГУ за знания, полученные во время обучения в качестве студентки и аспирантки данного факультета; 3) профессору Филипу Визерсу (Philip Withers) из Университета Манчестера (Великобритания) за приглашение посетить университет и принять участие в работе лаборатории имени Генри Мозли (Henry Moseley), а также всем сотрудникам его научной группы, предоставившим данные (как с лабораторных томографов, так и с синхротрона "Даймонд"), а также программное обеспечение для реконструкции трехмерных объектов; 4) доктору Франческо Де Карло (Francesco De Cario) и его сотрудникам из лаборатории 2-ВМ Аргоннской национальной лаборатории (США) за предоставленные данные.

1. Аниконов Д. С. Использование уравнения переноса в томографии / Д. С. Аниконов, А. Е. Ковтанюк, И. В. Прохоров. — М. : Логос, 2000. — 223 С.

2. Арсенин В. Я. Приближенное решение основного уравнения линейной компьютерной томографии в пространствах соболева-лиувилля и априорная информация / В. Я. Арсенин, А. А. Тимонов. — М. : ИПМ, 1987. — 22 С.

3. Ахманов С. А. Физическая оптика / С. А. Ахманов, С. Ю. Никитин. — М. : Издательство МГУ, 2004. — 656 С.

4. Васильев Ф. П. Методы оптимизации / Ф. П. Васильев. — М. : Факториал Пресс, 2002. — 824 С.

5. Васильева Э. Ю. Радиационная компьютерная томография в атомной энергетике / Э. Ю. Васильева, Л. И. Косарев, Н. Р. Кузелев. — М. : Энергоатомиздат, 1998. — 126 С.

6. Воеводин В. В. Параллельные вычисления / В. В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. — СПб. : БХВ-Петербург, 2002. — 608 С.

7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М. : Наука, 1966. — 576 С.

8. Гельфанд И. М. Математические проблемы томографии: сборник статей / И. М. Гельфанд, С. Г. Гиндикин. — М. : б. и., 1990. — 236 С.

9. Гончаров В. В. Акустическая томография океана / В. В. Гончаров, В. Ю. Зайцев, В. М. Куртепов, А. Г. Нечаев, А. И. Хилько. — Нижний Новгород : ИПФ РАН, 1997. — 256 С.

10. Гошко Е. Ю. Вычислительная томография и динамический анализ в сейсмике / Б. Ю. Гошко, С. М. Зеркаль, Е. А. Хо-гоев. — Новосибирск : б. и., 2007. — 171 С.

11. Губарени Н. М. Вычислительные методы и алгоритмы малоракурсной компьютерной томографии / Н. М. Губарени. — Киев : Наук, думка, 1997. — 326 С.

12. Зеркаль С. М. Сейсмическая томография / С. М. Зеркаль. — Новосибирск : Новосибирский гос. ун-т, 1999. — 108 С.

13. Кириллов А. А. Об одной проблеме И. М. Гельфанда / А. А. Кириллов // Доклады Академии наук. — 1961. — Т. 137, № 2. — С. 276-277.

14. Куницын В. Е. Томография ионосферы / В. Е. Куницын, Е. Д. Терещенко. — М. : Наука, 1991. — 176 С.

15. Левин Г. Г. Оптическая томография / Г. Г. Левин, Г. Н. Вишняков. — М. : Радио и связь, 1989. — 223 С.

16. Матвеев А. Н. Атомная физика / А. Н. Матвеев. — М. : Высшая школа, 1989. — 439 С.

17. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Ф. Наттерер. — М. : Мир, 1990. — 288 С.

18. Паламодов В. П. Интегральная геометрия и компьютерная томография / В. П. Паламодов. — М. : МК НМУ, 1997. — 68 С.

19. Пикалов В. В. Томография плазмы / В. В. Пикааов, Т. С. Мельникова. — Новосибирск : Наука, 1995. — 229 С.

20. Пикалов В. В. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы / В. В. Пикалов, Н. Г. Преображенский.

21. Новосибирск : Наука, 1987. — 332 С.

22. Пшеничный Б. Н. Численные методы в экстремальных задачах / Б. Н. Пшеничный, Ю. М. Данилин. — М. : Наука, 1975.319 С.

23. Сивухин Д. В. Общий курс физики: Оптика / Д. В. Сивухин.

24. М. : Физматлит, 2005. — 792 С.

25. Стародубцев П. А. Акустическая томография в процессе обнаружения подводных объектов / П. А. Стародубцев. — Владивосток : Мор. гос. ун-т им. Г.И. Невельского, 2005. — 189, С.

26. Терещенко С. А. Методы вычислительной томографии / С. А. Терещенко. — М. : Физматлит, 2004. — 320 С.

27. Тернов И. М. Синхротронное излучение и его применение / И. М. Тернов, В. В. Михайлин, В. Р. Халилов. — М. : Издательство Московского университета, 1980. — 278 С.

28. Титаренко С. С. Подавление кольцевых артефактов в режиме реального времени в рентгеновской томографии / С. С. Титаренко, А. Г. Ягола // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. — 2010. — № 1. — С. 65-67.

29. Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. — М. : Наука, 1974. — 224 С.

30. Тихонов А. Н. О решении проблемы восстановления изображения в ямр-томографе / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин,

31. И. Б. Рубашов, А. А. Тимонов // Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 263, № 4. с. 872-876.

32. Тихонов А. Н. Математические задачи компьютерной томографии / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, А. А. Тимонов. — М. : Наука, 1987. — 160 С.

33. Тихонов А. Н. Вычислительная томография слоистых изделий электроники / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, А. Н. Матвиенко, Ю. М. Платонов, Д. О. Савин // Докл. АН СССР. — 1990. — Т. 311, № 4. — С. 859-861.

34. Тихонов А. Н. Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. — М. : Наука, 1990. — 230 С.

35. Тихонов А. Н. Нелинейные некорректные задачи / А. Н. Тихонов, А. С. Леонов, А. Г. Ягола. — М. : Наука, 1995. — 311 С.

36. Троицкий И. Н. Статистическая теория томографии / И. Н. Троицкий. — М. : Радио и связь, 1989. — 240 С.

37. Федоров Г. А. Вычислительная эмиссионная томография / Г. А. Федоров, С. А. Терещенко. — М. : Энергоатомиздат, 1990. — 183 С.

38. Anderson I. S. Neutron imaging and, applications / I. S. Anderson, R. L. McGreevy, H. Z. Bilheux. — New York : Springer, 2009. — 400 P.

39. Bailey D. L. Positron emission tomography: Basic science / D. L. Bailey, D. W. Townsend, P. E. Valk, M. N. Maisey. — London : Springer, 2005. — 382 P.

40. Banhart J. Advanced tomographic methods in matherial research and engineering / J. Banhart. — Oxford : Oxford University Press, 2008. — 488 P.

41. Baruchel J. Neutron and synchrotron radiation for condensed matter studies: theory, instruments and methods / J. Baruchel, J. L. Hodeau, M. S. Lehmann, J. R. Regnard, C. Schlenker. — New York : Springer, 1993. — 456 P.

42. Boin M. Compensation of ring artefacts in synchrotron tomographic images / M. Boin, A. Haibel // Optics Express. — 2006. — Vol. 14, N 25. — P. 12071-12075.

43. Bovik A. C. Handbook of image and video processing / A. C. Bovik. — San Diego, CA : Academic Press, 2005. — 1384 P.

44. Boyle W. S. Charge coupled semiconductor devices / W. S. Boyle, G. E. Smith // Bell System Technical Journal. — 1970. — Vol. 49, N 4. — P. 587-593.

45. Burks A. W. Preliminary discussion of the logical design of an electronic computing instrument / A. W. Burks, H. H. Goldstine, J. v. Neumann. — Princeton : Institute for Advanced Study, 1946. — 42 P.

46. Drexler W. Optical coherence tomography / W. Drexler, J. G. Fujimoto. — Mauer, Germany : Springer, 2008. — 1346 P.

47. Duke P. J. Synchrtom radiation: production and properties /P.J. Duke. — Oxford : Oxfrod University Press, 2008. — 266 P.

48. Dye S. T. Neutrino geophysics / S. T. Dye. — Dordrecht : Springer, 2007. — 368 P.

49. Feldkamp L. A. Practical cone-beam algorithm / L. A. Feldkamp, L. C. Davis, J. W. Kress // Journal of the Optical Society of America A. — 1984. — Vol. 1, N 6. — P. 612-619.

50. Flynn M. J. Some computer organizations and their effectiveness / M. J. Flynn // IEEE Transactions on Computers. — 1972. — Vol. C-21, N 9. — P. 948-960.

51. Gary D. E. Solar and space weather radiophysics / D. E. Gary, C. U. Keller. — Dordrecht : Kluwer, 2004. — 400 P.

52. Hadamard J. Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique / J. Hadamard // Princeton University Bulletin. — 1902. — Vol. 13. — P. 49-52.

53. Hadland N. Nanotech x-ray systems: a point of focus / N. Hadland // Advanced packaging. — 2007. — . — P. 34-37.

54. Holder D. S. Electrical impedance tomography: methods, history and applications / D. S. Holder. — Bristol : IOP Publishing, 2005.456 P.

55. Hornberg A. Handbook of machine vision / A. Hornberg. — Weinheim, Germany : Wiley-VCH, 2006. — 821 P.

56. Howell S. B. Handbook of CCD astronomy / S. B. Howell. — Cambridge : Cambridge University Press, 2000. — 164 P.

57. Hsieh J. Computed tomography: principles, design, artifacts, and recent advances / J. Hsieh. — Bellingham, WA : SPIE Press, 2003.387 P.

58. Hsieh J. Investigation of a solid-state detector for advanced computed tomography / J. Hsieh, O. E. Gurmen, K. F. King //

59. EE Transactions on Medical Imaging. — 2000. — Vol. 19, N 9. — P. 930-940.

60. Hussein E. M. A. Handbook on radiation "probing, gauging, imaging and analysis / E. M. A. Hussein. — Dordrecht : Kluwer, 2003. — 526 P.

61. Как A. C. Principles of computerized tomographic imaging / A. C. Как, M. Slaney. — Philadelphia : SIAM, 2001. — 327 P.

62. Kirk D. B. Programming massively parallel processors / D. B. Kirk, W. m. Hwu. — New York : Elsevier, 2010. — 280 P.

63. Lavrent'ev M. M. Computer modelling in tomography and ill-posed problems / M. M. Lavrent'ev, S. M. Zerkal, О. E. Tropimov. — Utrecht : VSP, 2001. — 128 P.

64. Mahajan V. N. Optical imaging and aberrations: Part II. Wave diffraction optics / V. N. Mahajan. — Bellingham, WA : SPIE Press, 2001. — 484 P.

65. Mees F. Applications of x-ray computed tomography in the geosciences / F. Mees, R. Swennen, M. van Geet, P. Jacobs. — Bath, UK : Geological Society Publishing Home, 2003. — 243 P.

66. Microsoft Press Толковый словарь no вычислительной технике / Microsoft Press. — M. : Русская редакция, 1995. — 496 P.

67. Mohnike W. Oncologic and cardiologic PET/CT-diagnosis / W. Mohnike, G. Hör, H. R. Schelbert. — Mauer, Germany : Springer, 2008. — 739 P.

68. Mori H. High resolution and high sensitivity CMOS panel sensors for x-ray imaging / H. Mori, R. Kyuushima, K. Fujita, M. Honda

69. IEEE Nuclear Science Symposium Conference Record, 2001. — San Diego : IEEE, 2001. — P. 29-33.

70. Münch B. Stripe and ring artifact removal with combined wavelet—Fourier filtering / B. Münch, P. Trtik, F. Marone, M. Stampanoni // Optics Express. — 2009. — Vol. 17, N 10. — P. 8567-8591.

71. Münk W. Ocean acoustic tomography / W. Münk, P. Worcester, C. Wunsch. — Cambridge : Cambridge University Press, 1995. — 447 P.

72. Natterer F. Basic algorithms in tomography / F. Natterer, A. Faridani // Signal processing, part II: control theory and applications. — New York, NY : Springer, 1990. — P. 321-333.

73. Natterer F. Mathematical methods in image reconstruction / F. Natterer, F. Wübbeling. — Philadelphia, PA : SIAM, 2001. — 216 P.

74. Niederlöhner D. Using the Medipix2 detector for photon counting computed tomography / D. Niederlöhner, F. Nachtrab, T. Michel, G. Anton // IEEE Nuclear Science Symposium Conference Record, 2005. — P. 2327-2331.

75. Nolet G. Seismic tomography / G. Nolet. — Dordrecht : D. Reidel Publishing Company, 1987. — 398 P.

76. Radon J. Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten / J. Radon // Berichte über die Verhandlungen der Sächsische Akademie der Wissenschaflen. — 1917. — Vol. 69. — P. 262-277.

77. Rajan S. S. MRI: a conceptual overview /S. S. Rajan. — New York : Springer, 1997. — 167 P.

78. Rauber T. Parallel programming for multicore and cluster systems / T. Rauber, G. Rûnger. — Berlin : Springer, 2010. — 450 P.

79. Sadi F. Removal of ring artifacts in computed tomographic imaging using iterative center weighted median filter / F. Sadi, S. Y. Lee, M. K. Hasan // Computers in Biology and Medicine. — 2010. — Vol. 40, N 1. — P. 109-118.

80. Santosa F. Inverse problems of acoustic and elastic waves / F. Santosa, Y.-H. Pao, W. W. Symes, C. Holland. — Philadelphia, PA : SIAM, 1984. — 365 P.

81. Shepp L. A. Reconstructing interior head tissue from x-ray transmissions / L. A. Shepp, B. F. Logan // IEEE Transactions on Nuclear Science. — 1974. — Vol. 21, N 1. — P. 228-236.

82. Sijbers J. Reduction of ring artefacts in high resolution micro-CT reconstructions / J. Sijbers, A. Postnov // Physics in Medicine and Biology. — 2004. — Vol. 49, N 14. — P. N247-N253.

83. Stokes J. Inside the machine J J. Stokes. — San Francisco, CA : No Starch Press, 2006. — 300 P.

84. Taylor S. Optimizing applications for multi-core processors: using the Intel integrated performance primitives / S. Taylor. — Hillsboro, OR : Intel Press, 2007. — 600 P.

85. Titarenko S. Reduction of ring artefacts in CT / S. Titarenko // British Applied Mathematics Colloquium 2009. — Nottingham : University of Nottingham, 2009. — p. 102.

86. Titarenko S. Ring artefacts in x-ray CT and regularizing algorithms / S. Titarenko // The 3rd University of Manchester Mathematics Research Students' Conference. — Manchester : University of Manchester, 2009. — P. 5-6.

87. Titarenko S. A ring artifact suppression algorithm based on a priori information / S. Titarenko, V. Titarenko, A. Kyrieleis, P. J. Withers // Applied Physics Letters. — 2009. — Vol. 95, N 7. — P. 071113-1-3.

88. Titarenko S. A priori information in a regularized sinogram-based method for removing ring artefacts in tomography / S. Titarenko, V. Titarenko, A. Kyrieleis, P. J. Withers // Journal of Synchrotron Radiation. — 2010. — Vol. 17, N 4. — P. 540-549.

89. Titarenko S. An analytical formula for ring artefact suppression in X-ray tomography / S. Titarenko, P. J. Withers, A. Yagola

90. Applied Mathematics Letters. — 2010. — Vol. 23, N 12. — P. 14891495.

91. Titarenko V. Regularization methods for inverse problems in X-ray tomography / V. Titarenko, R. Bradley, C. Martin, P. J. Withers, S. Titarenko // Developments in X-Ray Tomography VII. — San Diego, California : SPIE, 2010. — P. 78040Z-1-10.

92. Titarenko V. Improved tomographic reconstructions using adaptive time-dependent intensity normalization / V. Titarenko, S. Titarenko, P. J. Withers, F. De Carlo, X. Xiao // Journal of Synchrotron Radiation. — 2010. — Vol. 17, N 5. — P. 689-699.

93. Turing A. On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem / A. Turing // Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2. — 1936. — Vol. 42. — P. 230-265.

94. Tuy H. K. An inversion formula for cone-beam reconstruction / H. K. Tuy // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 1983. — Vol. 43, N 3. — P. 546-552.

95. Walls J. R. Correction of artefacts in optical projection tomography / J. R. Walls, J. G. Sled, J. Sharpe, R. M. Henkelman // Physics in Medicine and Biology. — 2005. — Vol. 50, N 19. — P. 4645-4665.

96. Wernick M. N. Emission tomography: "the fundamentals of PET and SPECT / M. N. Wernick, J.N. Aarsvold. — San Diego, CA : Academic Press, 2004. — 596 P.

97. Yagola A. G. Data errors and an error estimation for ill-posed problems / A. G. Yagola, A. S. Leonov, V. N. Titarenko // Inverse Problems in Science and Engineering. — 2002. — Vol. 10, N 2. — P. 117-129.

98. Yang J. Geometric correction for cone-beam CT reconstruction and artifacts reduction / J. Yang, X. Zhen, L. Zhou, S. Zhang, Z. Wang, L. Zhu, W. Lu // The 2nd International Conference on Bioinformatics and Biomedical Engineering. — P. 2386-2389.

99. Zelakiewicz S. Modeling MTF and DQE for arbitrary scintillator thickness / S. Zelakiewicz, J. Shaw // IEEE Nuclear Science Symposium Conference Record, 2006. — San Diego : IEEE, 2006. — P. 2551-2553.