автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численные алгоритмы анализа динамических контактных задач

Р Г 3 0 ]3йП0! 0|СКЙ|' государственный УНИВЕРСИТЕТ

ЧНСПЬННЫЕ АЛГОРИТМ« АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ КОНТШШ ЗАДАЧ

03.13.10 - Применение акчисянтельной техники, матема . тичесного моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

на правах рукописи

Э1КУВАГ0В КАЗИ1

Запороаьо 1993

РаКотл выполнена в Эапоро«ско¥ госддар^гвениои иниверсктете.

-доктор технических наук, профессор Толок В,А.

-мокгор технических мдк, профессор Вермскнй fr.fi,

-кандидат г »хнйче см* наик, доцент Снопе» И.А.

Ведшее пр"»приятие - Запорожский индустриальной

янститнт

Защита диссертации состоится на заселении специаииаироваинйго совета К 068.52,02 при Запо-ртскои государственной университете по адрес«; 3308&0 г.Запо-рбдьэ.р, ваковского 68. ацдХ?

С диссертацией М01НО ознакомите с библиотека Заперпяского

гоеударстэвнного университета.

Автореферат разослал 1Шг.

Научннй руководитель

Официал», инь оптнши

Ученый секретарь специализированного совета к, т.н..доцент

у

^^■С^'Ьг. Лисоев В.А.

ибчая характеристика работы

ШШЬНОСТЬ РйБОТН.Численн.а аетодн являются одни* из основных, а зачастув к единственным аппаратом реиения современник прикладных задач механики, и частности динамических контактных задач, Накбольиее расдростраиеше получили методы, основанные на дискретизации облает I, в которой ищется ранение задачи.

В приложениях бывает необходимо исследовать сличай аногократного соударения тел, затратив на это небольяое время и получив достаточная точность.

Классический вариант ИКЗ-метод переиечениА естественно наиболее разработанный, прост, но при этой обладает целым рядок недостатков, делавчии его применение к трехмерным задача«, задачам разрушения и взаимодействия тел, кок центрации напряяениА трудно применимым.

По этому много работ посвяцено неклассическик вариантам НКЭ. в которых разрабатываотся приемы устранения главных недостатков: .«высокой точности определения напряяе-ний,трудоемкости решения динамических контактных задач, слояности расчета трехмерных задач.

Таким образом. актуальность проведенных исследований . обусловленна, с одной стороны, практической ваяностьи разрешаемых с помочью рассматриваемого подхода задач, с другой - необходимостью разработки математического аппарата и

построения алгоритмов, вдобннх для практического использования при проведений пректно-конструитореких работ.

ЦЕЛЬ РАБОТА Разработка аффективного варианта метода конечных елвмеитов для динамических контактных задач одного или Нескольких упругих тел с жесткой преградой.

Исследование на «го основе перемещений и капрненнй, возникаыих в плоских телах прямоугольной и кгуглей форме,составление на базе разработанного метода алгоритмов и комплекса программ.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА.Разработана модификация метода конечных алеман ой для расчета перемещений и контактных «апря-ввний для задач удара упругих тел. Предложенный подход развит на задачи с переменной воиой контакта, причем зона контакта определяется в процессе рееения (предложена соответствующая методика).

Разработана алгорит и и реализувщие их' пакеты прикладник программ для реяення некоторых классов задач контакта упругих тел .Проведено исследование поведения круглой пластинки при падении ее на жесткое основание перпендикулярно плосткостк пластины.

ДОСТОВЕРНОСТЬ основных научных результатов ойеспвчи-

«

ветея строгость постановки задачи на поиск екстреициа энергетического Функционала,строгостью математических ме-тодог для ее реыенйя.реыешш тестовых задач,соответствие«

а

пслученных результатов физическому содерманив задач, Численной проверкой СХОДИМСТИ М0ТОДЗ.

НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ.Предломенные в диссертационной работе алгоритмы и комплекс программ м*гут быть использовании НИИ г КБ.при расчетах прочности, наде»-ности, долговечности элементов конструкций.

Результат» исследований могут быть использовании с соотве'птвувчих организациях при расчетах на прочность деталей и мамин, элементов конструкций подземных сооружений различного назначения, таких как тонели метрополитенов.круговые заработки, подземные резервуара и т.д. под воздействием ударных, взрывных и сейсмических нагрузок к различного рода конструкций, внедрацихся с малыми и боль- . «ими скоростями в деформ^уемуп среду, при создании проти-вометеоритной зациты космических аппаратов и т.д.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения и результаты ра боты докладывались и обсупались на :

-научной семинаре кафедры прикладной математики Запо-ровского государственного университета ( г.Запорояье, 1993г.);

с -научной конференции преподавателей и студентов Гу-листанского государственного университета ( г.Гулистан, ,1993г.);

-научной семинаре кафедры висвей математики Запороис-кого индустриального института под руководство« проф. Та-ыурова Н.Г. (г. Запорояье. 1993г.);

з

-научной семинаре кафедры зданий и сооруаений аэропортов Киевского института игаенеров гражданской авиации под руководством проф. Вервмского Ю.В. (г.Киев, 1993 г.);

-научном семинаре кафедры программного обеспечения и математического моделирования Запоромйкого индустриального института под руководством проф. Пмцева В.И.(г.Запорожье, 1993г.). •

ПУБЛИКАЦИИ.По рьлультатам выполненых исследований опубликование 3 работн.в котормх отраменго основное содер-аание диссертационной раСотм.

ГР9КТ9РА И ОБЬЕМ РАБОТ». Диссертация состоит из вве-дчния,четырех тв,штшя.сп«ска литератур* и придоше-ния .

Она содераит 168 страниц,включая 35 йллвстрацкй 3 таблицы, список литературы содержит 100 наименований, при-ломвнис на __ страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ". •

ВО ВВЕДЕНИИ сделан краткий обзор работ по применении метода конечных элементов к ревании динамических контактных задач.Отмечены преимущества и недостатк'- ИКЭ в сравнении с МНР и ЙГЗ для рассматриваемого класса задач.

Все основные кодификации НКЭ (йвтод переме^ний, метод гибридных КЗ, метод равновесных граничных элементов) полрчвнк, исходя из одного анергчтическогр принципа. В

~к«кдои из случаев некргорке соотножения считаются выполненными точно, а некоторые - приблзывнно.Отнзчаатся, что среди многообразия формальных постановок МНЗ можно выбрать необходимув модификации, наиболее отвечапщув особенностям данной задачи. - .

Приведен краткий обзор выполненной работы, изложении актуальность исследований и цель работ».

ПЕРВАЯ ГЛАВА посвящела модифицированному численному методу на основе смешанной формы метода конечных элементов для ревеняя динамической контактной задачи.Иостроеяа дискретная модель и вм5вД8нны уравнения динамики конечного элемента.

В параграфе 1,1 строится дискретная модель сплавной среды. Исследуемые тела разбивается на треугольны симплекс-элементы Поле перемещения каждого элемента имеет вид;

.где -перемещение в момент, времени Ь,

-функции формы. -узловые перемещения, н

-номер каждого элемента.

Для вывода уравнений динамики отдельного элемента воспользуемся принципом виртуальных перемещений,

- + № - о

где ^П* ^-вариация потенциальной

(нергии, <Г-виртуальная работа инврцяоннкх сил. и Ар -ВН9ВНН9.нагрузки и - сосредоточенные сияя. Пссле преобразования получаем ургвяеии« динамики конечного элемента

[мЖУ*

г с.

ГД0

[л-Г]=у)/(У/ [Ы (л. V _ иатрица инерции влвмента,

аатрица несткости »депонта,

✓

- сектор поверхностных сил,

-вектор сосродото1 энних сил.

В параграфе 1.2 показанно.как путей ассааблированшга объединять уравнения 1>ля каадого из эленентов в одну систему ' •.

В зтои параграфа такяв приведена Фориулы вич.и'лошм иатриц аесткасти и инерции,

В параграфе 1.3 полученная систеиа уравнений численно

о

интегрируется изгодон Галеркииа на интервале времени (0,£). В. результате приходим к системе линейных уравнэний

Так как известны из начальных и граничных

условий,то первое уравнение иокно использовать для вычисление .а второе-дяя вычисления всех тррбуеинх значений Щ)^ для лвбого 1.начиная с 1=1.

В параграфе 1,4 описан алгорнти сиешзнкой форин ИКЗ.

Рассиатриваштся возыойности реализации подобных вн-числителышх процессов с учетом задания части нагрузок и Части напрааекио-дефориироваиного состояния и получение неизвестной части нагрузок и неизвестной части дефорииро-ванкого состояния.

В результате получаен следувди снстэиу уравнений

ч (У

к «Г. К

к„ ... к..

• • • К,, < Г ~ < «с

кч> • • • N «Ч <с ««« ' .1 «ч

„

Ревая это уравнение при Ь-и получаек перемещение во всех узлах и одновременно контактное напрявение в контактной зоне. Делаем ваг по времени н енова поличаем перенесения длв всех узлов и контактноо напрявение в ®оне контакта й т.д., пока не достигнем нукного иойента времени.

В этан и состоит модификация метода конечных йлемен-Тов, внрашшая.в то«, что поверхностные силы аппроксиии-Рймтся как бн граничными элементами и вводятся в задачу как равнозначные алонентц.

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ, прдлагаотся процедура составлання системы уравнвйий", ев преобразование и репекие, а такав представлен* общая блок-схана вычислений и подпрограммы.

В параграфе 2,1 показан алгоритм расширения матриц инерции от размера б#б до разаера 2п*2п. Суниируя расэи-рэнные матрицы всех элементов, получим глобальные матрица васгкости и инерции,

В параграфе 2,2 предлозэнно преобразование и ; звонив гиствмы ликайннх уравнений

о

где [К] -матрица местности « {р} -¿¿чтор правых частей. Особо отметим, что матрица в результируищей системе уравнений обладает двумя свойствами: симметрия и по-ловительная определенность.

В параграфе 2.3 матрица коэффициентов 0<] в уравнениях является ленточной и ее целесообразно хранить в маминной памяти в виде прямоугольного массива вместо квадратного. Такой способ запоминания матрицы [к]приводит к необходимости составления ряда подпрограмм.Преобразование изтрицы[К]в верхний треугольяуи осуществлен в одной подпрограмме , а иодификация сектора столбцами ранение системы обратной прогонкой - в другой.

В параграфе 2.4 показан способ хранения ьсех адвентов матрица и вектора правки частей в обцен одномерном иассиоо в виде.столбца. Основной причиной использования одномерного пассива является то. что его .размер ноаат бить установлен при выполнении програиин.

При этом »сюгачаитсп ойибки, связанные с определенней разаороэ масснвсп

Та'к ае в згой главе предстаялаина общая блок-схема вычислений.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА начинается обзорон работ, посвящонннх соудартшш тол. Видоляатся два подхода к решении дагной-задачи:

- в ранках механики сплошшн сред, что приводит к нк-

твгро-яиффярйнциальннк уравнениям,

- более сооременвдй к чечнпзлеме.чтный подход, который используется и автоцои. •

Проведенный обзор литературы свидетельствует о том, что проблема моделирования МКЭ в контактных задачах при ударе деформируемого тела о жесткуш преграду очень сложим, И что:подобные процессы практически не рассматривались в упругих и нелинейно-упругие средах.

В главе рассматривайте« возможности реализации подобных вычислительных процессов с учетом задания части нагрузок и части напряженно-деформированного состояния и получения неизвестной части деформированного состояния. Аля упрожмшя, но без потери общности, рассматриваемые »неенис усилия аппроксимируется сосредоточенными силами в узлах. Как самостоятельные приложения рассматривается возможности решения контактных зада»/.

6 параграфе 3,1 дана постановка задачи: упругое однородное тело прямоугольной формы (ударник) конечного размера падаьг с постоянной скоростью V,В начальный момент времени ио саоой нижней плоской стороной нормально сталкивается с поверхностью упругого прямоугольного тела (преградой), противоположная сторона которого жестко закреплена, причем на верхней стороне ударника начинает действовать постоянная нагрузка.

При применении Ш9 к згой задаче получены две систелы диф*чрвнцнальннх уравнений; для ударчика и для преграды.

В параграфа 3.2 отнеч-.чтея, что в качестве граничных условий в зоне кои'чкта рассматриваются условия нолиого

прилип ария к чтсдтстви!; трения * описан метод учета внем-них связей в данной модоли.

В параграфе 3.3 дан вычислительный алгоритм для сведения систем дифференциальных "равнений, полученных в параграфе 3.1 к системам линейных уравнений.

В задачах теории упругости долмны бить фиксировании некоторые перемещения. Квтедика соответствующего поеобра-аовання систлм лниейнмх уравнений для данного слу«ая дана так не В'этом разделе. '

Для проверки правильности получемих формул в параграфе 3.4 ревается соответствующая одномерная задача и сравнивается ревения, полненные аналитически к с помоцьв данного метода. Отмечается удовлетворительное совпадение результатов.

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА посвяцена прнненоккв разработанной нетодики к ррпенив конкректных задач.Рассмотрении динамические контактное задачи удара упругого стержня, четиреху-гольного тела и круглой пластинки о нэсткув преграду, а так ае рассиотрошш задачи о деформировании этих тел под действием других тел, двигавшихся с заданной ишростьв, В параграфе 4.1 рассматривается три задачи: 1Лдар упругого стераня о ~зсткуа преграду. 2.Упругий однородный стерявиь длины I одним концом закреплен в вертикальном полояошш. Сверху на него падает второй стераень длины 1Л со скоростья. в начальный момент времени 1=0 шшпш концсч кораально сталкивается с ннании сторвнеа. »

и

3. Упругий однородный стержень длина Ь. закреплен одн! концом в верткаальном плс»енни. Из другой конец стержня поставили второй стержень длины 11 из того же материала. ~аегхц на него падает третий стержень длины 12 со скоростью и, и в начальный момент времени 1=0 ня*:;« концом нормально сталкивается со средним стершие».

Данная задача приведена здесь для сравнения полученных результатов с аналитическим режекием. Приведена графи ки изменения напряжения з точках контакта стержней, иссле дуется отскок стержня. „

В параграфе 4.2 рассматривается трм задачи;

1. Здар упругого прямоугольного тела о. нес тку» прегр.

2. Упругое однородное прямоугольное тело (унарник) , конечного размера падает с постоянной скоростьв ИС.В начальный момент времени свос!) нижней плоской стороной нормально сталкивается с поверхность«) упругого прямоугольного тела (преградой), противополояная сторона которого жестко заделана.

3. Упругое однородное прямоугольное тело конечного размера закреплено стсроной за жесткув преграду.На другая сторону прямоугольного тела поставлвнно второе прямоугольное тело из того же материала.Сверху на него падает третье прямоугольное тело со скоростьш и». В начальный момент времени к=0 нижней стороной сталкивается с средним прямоугольным телом. .

Каждое прямоугольное .тело разбивается на 60 треугольных сиуплекс-элемвнтов. чаждый из которых имеет весть узловых коипоиентго, которые связаны кежду собой в узлах.

Ьа рис.1.а показан процесс изменения напряжения от времени во 2-й узловой контактной точке к-^жду верхним и средним телами. Напряжение в этой точке очень быстро растет до момента Ь=0.12*10 , в интервале 0.12*10 < I < 0.56*10 значение напряжения колебаетса на этом уровне, и при

56*10 достигает максимального значения, питон оно резко убывает и меняет знак. Процесс изменения напряжения со временем во 2-й узловой точке между нижним и средним телами сказано на ряс. 1.в.

На соответствующих графиках изобразив перемещения некоторых точек, напряжения в зоне контакта, уг угие волны и скорости иеко^рых точек, а так же исследуется отскок прямоугольного тела.

I • ■ .

В: параграфе 4.3 рассматриваются две задачи:

1.Упругий однородный жар диаметром I падает с постоянной скоростью и».В начальный момент времени ЬО в одной точке сталкивается с жесткой преградой.

2.Упругий однородный жар диаметром I в'одной точке закреплен за жесткую преграду.Сверху на него падает второй жар диаметром 11 >:о скоростью Но.В начальный ыомент времени ио в одной точке сталкивается с нижним жаром.

В начало параграфа описываются физические процессы, происходящие в жаре.

Исследуится на каждом ваге по времени изыенение зоны контакта, напряжение на границе контакта, перемещения всех узловых точек и скорости некоторых узловых точ^ч, прохождение упруго* волны по телу.

I з.

?я1ксн«оеть адини зон« контакт» от времени язобрамна на графике (Рис.2 >,

№ f

о

Н-о

д. о

ш

Í.W i.t i,M i.S

f 10"

Рис.2

Исследуется процесс отскока «Ара от прегради я вара от «ара.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ Сформированы основные результаты и выводы диссертации, которые сводятся к следившему:

-разработан.вариант метода конечны* •лементов для реве ння задач контакта упругих тел;

-разработана схема численного ксслледования напряяен-нодеформкрованкого сстоякня упругого стерння, прямоугольника и мара при ударе о месткуя преграду. Соответствующие программы реализовании на язмке Фортран IV для ЕС З^И, Программы отлаяены и провесе* 1 на тестовых примерах;

-преддовен и опробован алгоритм определения зоны кпн-

1S

такта, которая изменяется еб временем;

-проведен» вычислительные якспериментн по исследова-нкш движения Фронта волна;

-г^опедеко частичное исследование зависимости времени отскока от формы тел«: .

-разработан комплекс программ, ппволящий проводить вычислительные »ксперимектк и определять оптимальные параметры для .(онтактирупоик тел, который мояет быть использован при расчете прочности агрег?тов, в которых есть сонда-рявциэся ча ги.

Основные пояоаения и результате диссертации опили-новань*' в работах :

1.Толок В.А..Эякцватов К. К развитие вычислительна процзддры алгоригыичаской системы рееения задач теории уп-рдгссти на контактной задаче.//К.,1992,-18с.Деп.УкрННИН-ТИ.И -Як,92

Толок В,й..Эакратов К.Разработка вычислительной схекы расчета ддара весткого тела//Рвспцбликанский семинар по информатика;Тез.докл.-Гулистан.1993,-С,?1,

З.Эвкуватов К.Применение НИЗ в ревении динамической аадачи.//Областной семинар по ИК9;Твэ,дпчл.-Двизак. 1993.-С.40.

1 в