автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное решение двумерной статичной задачи теории упругости гибридным методом граничных и конечных элементов

ЛШВСЬКШ ЛЕРЖАВНШ ШВЕРСИТЕГ IM. IB. ФРАНКА

Р Г Б ОЛ

На правах рушису

Паук Натал1я Мирояйпа

ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ'ЯЗАЙНЯ SBOBIffilPKOÏ CTATIÎ4H0Ï ЗДДАЧ1 ТЕОРИ ПРШОСТ! ЙБЙЩИа ?®трдом ГРАНИЧНМХ ТА CKÎH4EHHHX ЕЛЕМЕНТ1В-

Спэц1альн1сть 05.13.16 - аастосування обчкслввалыга! тахнйел, математичного моделювання I матоматлчних метод!в у наукових досл!даениях

Автореферат

дгоертацИ на здобутгя вченого стуяеня кандидата ф1зико-математичних наук

ЛЬВ1В - 1934

ДасертаЩею с рукопис

Робота викоиана на кафедр! прикладной математики Льв1веького державного ун1верситету 1м..1. Франка

Науковйй кер1вяик: доктор ф1зико-математичних наук, лрофэсор Я.Г. САВУЛА

0ф1ц1йн1 ояонотти: доктор ф1зико-мата\:атичних наук, М.В. Хай, кандидат ф1зико-матемвтичних наук, доцент В.А. Пучка

Во луч а орг£Ш1зац1я: Кйвсышй дорзавний ун1в0реитет 1м. Т.Г. Шевчеяка

Залют в1дбудвться " гсо$>т,1с% 1994 р ку

о 15.00 годкн на зас1данн! слец1ал1зовано1 рада К 04.04.05 у Льв1вському державному ун1верситет1 1м. I. Франка ( 290602, ы. Льв1в, вул. Ун1варсит0тська, 1..ДДУ, ауд. ¿.61 ).

3 длсертац1ею можна ознайомитися у бЮлЮтец! Льв1вського дэраавного ун1верс^тету 1м. I. ©ранка.

Автореферат роз1слаиий "й Ье-рШ-ЬЯ 1994 року.

Бчзнлй секретар спвц18л1зовано1 ради

Б.А. Оптуд1д

Актуальн!сть проблема. Серед сучасшх обчислявальних метод!в 'язуваяня крайових. задач матемагично! ф!зики найб!льш решили е ...етоди ск!нчешшх (МСЕ) та граничите елемонт!в (МГЕ). ззон застосовност! МСЕ, Яого ефектиш!сть, ун!версальн!сть I зняна легк!сть, з якоо мояуть бути врахован! реальн! ^раничн! .!, надае йом« значних перэваг перед йшими числовиш методами, э МГЕ е заслуговукгою на увагу альтернативою î доповненням до га 1нших чисельних метод!в.

Суть МГЕ полягае в перетворенн! вих!дгго дпферент.ального яння в часткових пох!дних, що описуе ровед1нку нев1домо! Ш всередан! I на границ! облает!, в Штегралькв р!вняння, що ачае лише граничм значения, а потГм в1диуканн! чисел-ного 'язку цього р!вяяння. Яиао лотрКЗно знайта значения нев!домих ц!Й у внутр!шн1х точках облает!, то Ix межяа обчислити, ристовуючи в!дом! розв'язки на границ!. Оск!льки вс! зумовлс! льними розрахунками наближення пов'язан! лиие з границею, tpHîcTb задач! зменшуеться на одиницю I одержана система янь виявляеться мекаю» у пор!внянн! з влх!дною системою ренц!альних р!внянь.

В останн!й час появилась велика к!льк!сть роб!т, в яких лядаються теорвтичн! I приклада! аспекта викориетгння методу ячних !нтегральних р!внянь ! ЮТ . В!да!этшо вклад таких овц!в, як О.Я.Александров, C.Î.Беиекков, Ю.В.Вбрхшський, ГольдагеЯн, 1.1.Дияк, Г.С.К!т, M.I.Лазарев, Й.В.Людкошч, Мельн!ков, Б.А.0студ!н, В.В.Панасни, В.А.Пучка, В.А.Толок, Угодч!ков, Р.С.Хагасо, И.В.Хзй, 1.IL.Хугоряясымй. Серед закордонннх вчеких сл!д в!дзначити роботи K.H.Allabadl. Banerjeef> C.A.Brebbla, R.Butterileld, T.A.Cruse, D-J.Dans^n, Ferner. M.Culgglanl, S.M.Holzer, G.W.Hustoe, P.Parrelra, Rlcca'rdella, F.J.Rlzzo, R.P.Shsw, D.J.Shlppy, Y.C. Telles, iker, J.O.Watson, ïï.L.ffendland.

Анал!з переваг ! недол!к!в обох груп мэтод!в наводить на у про доц!льн!сть розробки кокб!нсванйх чисельних методîb. ов!дн1 комб!нован1 розв'язки часто називавть rlöpajrmra 'язкаш. Почшаючя з робота O.e. Zleiiklewîcz про "молний " ("marriage a' la mode") -двох 'метод!в, велика к1льк1сть

йдкень присвячена р!зноман1тним аспектам як теорИ, те ельно! реал!заци об'еднаного л!дходу. Сл!д в!дзначити рс Beer, Т. Belytschko, К.С. Chans, C.K.Chol, A. Deb, Q. Du, Costabel, H. Hoístetter, J. Johson, D.W. Kelly, Y.Y. Lu, Mang, G.G.W. Mustoe, R.P. Shaw, J.C.Slmo.G. Swoboüa, R.i. Taj J.O. Watson, A.I. Wanüerllngh, J.I. Wearing.

Використання об'еднаного п!дходу у багатьох випадка; ефективн!шим, н!к кожного методу зокрема. Так! задач!, як

- взаемод!я м!ж конструкции скИгтенного розм!ру í-масивним tJ

- взаемод1я м!и конструкцию 1 р!даного, в яку вона "ом1ще

- врахуЕ^ння локально! нел!н!йно1 повед!нки конструкЩй;

- теорИ тр1вдн ;

- врахування неск!нченних областей ;

- знаходаення оптимальней геометричних розм!р!в конотрукц!й, еост!йно привертають увагу Оагатьох спец!ал!ст!в (R.B. 7/11 J.R. Oslas, I.A. Seltelman, O.C.Zlenlclewlcz.C.A. Brebbla, Butteríleld, P. Georglou, S. Walker, A. Wexler, R.P. Shaw), розробили алгоритма комб!нованих даференЩальних та !нтегра;

мэтод1в.

Дана робота присвячена'побудов! об'еднаного п!дходу МП МОЕ %ля розв'язання двовим!рно! статично! задач! теор!1 пруж на основ! ком<5!новано! математичяо! модел! типу "пружне t!i оболонка типу Тимошенка". Бобудова I розв'язання komöIhoi математичяих моделей такого типу - один з сучасни". напрямк!в наукових досл1дкень. е ряд poölT, в яких ця проблема Biuaai зокрема це прац! Й.г. Савули, 1.1. Дияка, A.B. Дубовика, О.С. Коссак, P.C. Clarlet. Необх!дн1ст1> у використанн! ч моделей виникае при розрахунку напружено- деформованого с конструкд!й, що вклшають в себе ыасивн! l tohkoctíhh! фрагме У рамка* таких моделей у одн!й частин! прухного використовуються сп!вв!дношення теорИ пружност!, а в] частин! - теорИ оболонок.

Засгссування сп!вв!дношень теори .оболонок дае можлие понизити розм!рн!сть вих1дних даференЩальних р!внянь, ripiöb додйткор! обмеження на характер деформування тонкост!шшх т!л, уншшути т! труднещ! обчислювального характеру, як! виникають ииюристшш! чисельних метод!в безпосэредньо до р!внянь té пружиост!. Однак, при дослхдаенн! оболонок одержуються ноадою

результати у зонах крайових вплив!в, концентрацИ напруяень та !х локально! зм!ш!. Подолати виде вказан! недол1ки дозволяв використання комб!нованих математичних моделей.

Ключовш для таких моделей е пнтання спряжения фрагмент1в конструкцМ, що описухлъся р!зиими теор1я>.га. Шнченноелементи! досл1даепня з'едаання кояструкц!й потробують задания умов * зв'язку на перем!щеннях у вузлах спряжения. Найб1льш розповсюдженпми в наступи! алгоритма: метод влключення, метод Лаграккових множник!в, метод штрафних Функц1й I метод комб!нованих розв'язк1в.

У прац! С.А. Капуст1на, A.M. Паутова. Д.М. Шуваева питания про спряжения фрагмент, що описуеться р!зниш теор!яш, розв'язуеться шляхом введения спец!алыш умов спряжения. Щ сп!в-в!дношения представляють собою умови нерозривност!- пером!ще::ь i -умови статично! р1вноваги на поверхи! спрякення фрагмзнт!в. При такому п!дход! коиОШсвана модель иоже бута записана у еигляд! замкнуто! систеш диференц!альних р!внянь з деякими граничними умовами на границ! облает! ! умова,1.® спряжения на поверхн! спряжения,

Я.Г. Савуло» була запропонована нрайова задача для комб!нова-но! математично! модел! тшу "пруэяе т!ло - оболонка типу Тимошен-ка" . У працях Я.Г.Савули i А.В.ДубоЕгоса був побудований I досл!даений функц!онал потенц!ально! е.чергП з! штрафом, / м!н1м1зац1я якого екв!в8лентнз розв'язку крайово! задач! для комб!новако! модел!. На основ! чиселышх схем 1,:СЕ розв'язан! задач! статики тонкост!нних просторових конструШЯ. У робот! О.С. Коссак побудований вар1ант комзигавано! модел! для досл!дження частот 1 форм в!льнлх коливвнь склэдоеих т!л обертання.

Виходячи з вице сказаного, кскна ствердаувзти, шр проблема гсобудови гЮрадних розв'язк!в на основ! поздаання МГЕ ! MCE s актуальною задачею.

Мета дано! рсботи чолягала у :

- розробц! нового ефективного п!дходу для чкеельиого розв'я-заиня двовим!рних статичних задач теорП пружност! на основ! застосування комб1новано! математично! модел! типу "пружне т!лС -оболонка типу Тимошенка" 1 чнеельно! схем/ г!брздного методу граничних та ск!нченних елемент!й ;

-6- чисельшя реал!зац15 запропонованого п!дходу 1 створенн! на його основ! програмного комплексу, що дозвояе проводит« досл!доння напружено- деформовааого стану Ишенерш конструщ!й.

Наукова новизна. У дисертац!йн!й робот! розвлнуто ловий ориг!налышй п!дх!д для досл1даеяня двовим!рних статичных задач теор!! пружност!. Таккй п!дх!д реал!зованний на основ! застосуван-ня об'едаано! схвми гранично-ск!нченно-елементнкх апроксимац1й.

В!дггов!дно до цього у дисертацШМ робот! :

- записан! сп!вв!дношешй крайово! задач! для ком01новано! модел! типу "пружне т!ло - оболонка типу Тимошенка";

- побудован! 1 досл!даен! функд1онали комб!новано2 модел! без штрафу 1 з! - штрафом; одержан! р!вняння Ейлвра в!дпов!дних функц!окал!в;

- для вкладку плоско! деформацИ двовим!рного пружного т!ла, спряженого з пластиною типу Тимошенка, доведена додатня Еизкг ен!сть оператора комб!новгно! модел! без штрафу I з! штрафом, а такозк зб!кн!сть розв'язку задач! з! штрафом до розв'язку комб1новано1 модел! без втрафу;

- побудована схема поеднання методу граничних елемент!в 1 методу скШенних елемет!в; реал!зовано умови пружного спряжения комб!новаяо1 модел!;

- запропонований алгоритм реал!зований у вигляд! комплексу прлкладних ирограм для ПЕОМ, на ряд! задач досл!джен! питания точност! та меж! 'застосовност! побудовано! схем г!бридного методу грашчних 1 ск!нченних елеменйв, . дан! практичн! рекомевдацП по влкорнстакко комб!новано| модел! до розрахунку 1нхенорних конструкц!й.

йэс"ов1ти!сть наукових результат!? забезпечуеться математич-Ш1м обгрунтуваяням аапропонованого п!дходу; доведениям наведених теорем; пор!внянням одвршшх розв'язкгв для тестових задач з ш1ал1тич5шми розв'йзкаш; алал!зом наближенмх розв'язкга» одеркшш на р1зних с!тках розбиття; сгйвставлвнням результатами, одерханими на основ! використання !ншх матсматичнях

моделей та ыегод!в, а також дослщеннями !шжх автор!в. »

Практична ц!нн!сть робота полягае в розробц! та реал!зац!1 нг. IШШ Активного п1дходу на основ! оО'еднання \!ГЕ ! МСЕ для досл1дкення напружено-деформованого" стану !шке'нэршх конструкции

Дисертац!я виконана в рамках план!в наукових досл!джень, держОюджетно! тематики нафэдри прннлэдноГ математики ЛьвШського ун!верситету 1м. 1в. Френка, а саме: республ1кансько1 комплексно! науково-техн!чно! программ "Розровка схем, алгоритм1в I пакет!в прогрвм для розв'язувзння початково- крайових задач математично! ф!зяки на основ! комб1нованих мет'од!в граничите I ск!нченних елемент1в", затвврджено! постановов М1н!стерства Осв!ти Укра1ни N 63 в!д 31.03.92 р.

Можливе впровадаення програмного комплексу на Запор!жськсму ВО "Перетворювач", 1нститут! зварки Ш ^а 1ншх проектно-конструкторських орган!зэц!ях.

Апро0ац1я робота . Результата робота догов!дались на : II Всесоюзна конференцИ "Нов! пШоди до розв';.зку диференц!альшх р!вйянь" (Дрогобич, 1939 р.); М!жреепубл!канськ!й науково- практичн!й конференцП творчо! молод! "Актуальн! проблема 1нформатики: математичне, програмне ! 1нформац1Яне забезпечення" (М!нськ, 1992 р.) ; Р8спубл1ка<гськ1й науково-мегодочн!й конферея-ц11, присвячен!й 200-л1тта з дня народаення М.Ообачевського (Одеса, 1992 р.); . Укря1нсьн1й м!жнародн1й конферонцМ "Моделювання 1 досл1доиш стШост! систем" (К"1в, 1993 р.).

Лисортац1йна робота в ц!лому обговорювалася на науковому сем!нар! кафедри щшладно! математики Льв!вського уи1верситету 1м. 1в. Франка та Техщчного ун!верситету В1дня.

Публ1кац!У. Основлй зм!ст дасертацШо! робота вЩобракано у 8 статтях 1 тезах допов!дей конферэнцМ.

Структура та об'ем робота. '

ДиеертзцМна робота включзе вступ, три розд!ли, загальн! висновки. Бона м!стить 135 стор!нск тексту, в тому, числ! 24 рясункн. 6 гЛЗлпць ! 0!бл!ограф1чниЯ список, що складаеться з 152 наЯменувань л!тературних дкерол.

КОРОТКИЙ ЗШСТ ДЙСЕРТАЦН

У вступ! коротко характеризуешься еучасгай стан проблем розв'язку крайових задач математкчно! ф!зики, подано огляд праць за темою дисертацП, обг^унтовуеться актуалШсть вибрано! теми. Викладен! основн! результата, що виносяться на захист. Подана

аянотац!я дисертацИ по розд!лах.

У пвршому роздШ сформульован! постановки задач комМновано! математично! модел! типу "пружне т!ло - оболонка тшу Тимошенка". Рсэглядаеться задача про плоску деформвц!ю пружного " т!ла, попэречний перэр!з якого займае область о с к2 (Рис.1), яка складаеться з двох часиш £) = о, и о_ , де о, - дов!льна

4

двовш!рна область з ЛИшцево» границею Г =1У,Г1<П , а оа -область, що в ортогоналыш кривол!н!йних координатах а, ,а3 мае

вигляд 02= ¡а1, аз: й « « - р * р \ . Тод! крайова

задача запропоновано! комб1новано1 модел! включав в себе наступи! сп!вв!дношення:

ДБ0Б15М1рН01 теорН пружност!, що д!ють в облает! 01

мллхжших

32иа) дги<1У

С ' • <2>

+ 1 . и'1,2. (3)

2 ( эг + эх^ } • 1.3 * 1,2.

Тут и|п,и'п - пэрем!щення точок т!ла в декартов!й систем! координат 1 '.у^1гуетини масових сил; \ 1 у - стал!

Ламе, що пов'язан! з модулем Юнга Е 1 коеф!ц1ентом Пуассона \>

оп1Бв1даошенняш X -- » = '„ 1 ~

компонента тензор!в напружень I деформаЩй; - символ Кронекерз. - сп1ввусношення теорИ оболонок та плоских кривол!н!йних стрижщв тшу Тимошинка, що д1ють в облает! С2

г , (IV2' сЦ(2) йу<2> , (1и<а)

1 С 2 —г - + — } - в я (I — + КУ2)з + р12.^ а,

(3) Дш'31

1

аи

(2)

а«.

X. =

+ К, и>'3\

£ = -К и

13 11

<3>, 1

+ Л

Йш(а> : (1а.

* г;

(3)

й-,

(3)

<1«

Г1(3,= В с1

(}<2)= С с

а = 4 [ г(2> + «

11 П 1 1 3

13 '

12

/I3 1

л;2^ в х.

->(3)

0 =

ГА'

5Л

(5) (б)

. (Т)

Тут коеф!ц!ент Ляго 1 головна кривела осолонка;

В, С, й - констанга, що характеризують пружн! властивост! оболонни _ - • ™э

В

С г К СП ,

в = .

для 130тр0пних оболонок с'= гч+у) • 6 •

р|31,р^2),т|2>- густини приведения зовн1шн!х сил I моменту, як! виражаються через густину масових та поверхневих сил. - граничн! умови

С -рГ1. (Т(1) = п(1> УТ "г ' г(1) 1 1 ' (8)

и'п = й^', р(2) (9)

К" х1'хае Г!Э>" (10)

аИ> иРХ *ГХ2е Г1<3>- (И) ■

Тут нормально I дотичне перем!щення; а(1>. а"

нормально •! дотичне напруження; й.

■7 < 1 > д(1) =

рУ - складов!

перем!щень 1 зовн!шн!х сил, заданих на границ! з зовн!шньою нор'аллю у 1 по заданому напрямку г. Складов! перем!щень 1

напружень визначаються за формулами и^1 и|пи^ и^11ма,

ип)= и(п _ (п а>

I 11 12 2 1

с"'«

1/У .......

и 1 ]

11 ■ 1

а'

11 12"

де 1>,= соз(хги) ,г =■ созСг^.г;, 1=-;,? - напрямн! хосинуси вектора нормал! у I вектора дотично! г = - т3= ).

Нехай на краю оболонки «1 = а* задаються граничн! умови одного з тип!в : хорстке защемления uja)» ш(а>= >|а1= 0: шарн!рно опертая край u{a>= !0(а>= 0 , il[3)= 0; в!льний край q[z)= м[г)= Т{2 = 0; симетр!я и{а>= ч[а)= 0 , <3|2)= 0 . (12)

- граничн! умови спряжения на частин! границ! Г[°= ( а^ а° ,

-î*vî>

U^-U^'iap + «a7ja>r«■ 4П= ш|а)Гар,' "(13) h/2 -h/2

j | «с «,*•»-

-h/2 -h/2 -h/3

-h/2

Сформульован! вар!ац!йн! постановки крайово! задач!, що полягають у мШм!зац!1 функц!оналу повно! потенц!ально! енергИ

а,.<1> „,( 1) , mi<»> о Mi'1) ^

. . t . su. eu„ >2 , au. ,2 , эи„ , а

™ - HMi^^l^ Ч^ ) ** 2Д( ^ ) +

, au<'> au'1' 2. , «Г , f 1 du(a) . .»2

+ +ЬГ { В[ + КУ ) +

а° .

ri m'2' г, rt»(a>

+ с( + '!2>- V1!2') + ¡¡ï( ) } A.da1 - J

1 • ? ° 0

f ao, - j'( P;a>u;2>f A^ . n5>

aî

М!н!м!зац!я функц!оналу (15) зд!йсншться на мнокин! функЩй и <= vo - | u =fu'n,u'a,r. u,nKui;),u<1,JT,

u(s,=(u<a,.tt>(a\,<a,r. u"'« [w(''/0i;]a. u(a,e fw(11(oa)]3 } .

що падов!й .няють к!нематичн! грашчн! умови'(9),(10),( 12) ! к!на-матичн! умови спряжения (13).

Згдача н!н!м!зац!Г функ'"Гоналу потенц!альн^Г енергМ (15) пов'язана з! знашшми трудамдами обчиелювального характеру.

викликаними необх!дн!сгю врахування обметания (13) на множин! достатньо гладких функц!й. Тому розглядалась ще одна вар1ац1йна , постановка крайово! задач! з! штрафе i, яка не потребуе врахування головних граничних умов спряжения (13). Для itfeï задач! функц!онал з! штрафом

h/a а

Fe(U) = FW +11 i(t4J)r«3; - u),'31!-«;;] + -h/2

* К'Ч' - "ia>f<; - v^KJ]2}. (16)

визначений на множин! функц!й u <= v0 , що задов!льняють лише головн! граничн! умови (9),(10),(12). Познячимо цей прост!р функц!й через v.

Для функц!онал!в (15),(16) одержан! р!вняння Ейлера. На основ! анал!зу цих р!внянь показано, що крайова задача для комб!новано! модэл! екв!в8лентна задач! м!н!м!зац!1 функц!оналу без штрафу безумовно, а функд!оналу з! штрафом при додатков!й умов! прямування до нуля параметра штрафа" е.

Маготь м!сцэ наступи! теореми. Теорема Б!л!н!йна форма А ¿и,и) задовольняз подв!йну

нер!вн!сть я2 nun® в * JJu.uJ s 11* nun2 й , vu e v. Тут

+ j j u;a>a+ ii.<a'2» 7;г,а+ [u'{2>]2 + (id'<21)2 + [ï';3']3)

Насл!док. 3 доведено! теореми 1 ьипливае, оск1льки iiuii2 0 г nun2 9 , то оператор комб!нованоТ математично! модел! з! штрафом додатно визначений, тобто Âju,u) 2 п2 nun2 , де

2 < "U"o.o =1 L Ы1П2 d0i + j ( ui213 * ы,<3)3 ♦ j dV

"Г

Теорема <L Нехай е'~ ис- и'. Посл1довн!сть и' зб!гаеться при с — О до узагалъненого розв'яэку и , тобто ne'ii Q о

Другий розд!л присвячений розробц! алгоритму комб!нованого п!даоду на основ! прямого методу граничних елемент!в та методу ск!нченних елемент!в до розглянуто! комб!новано! модел!. В1н м!стить виклад чисельно! схеми ПМГЕ стосовно до двовим!рних статичних задач теорП пружност!. Записан! фундаментальн! розв'язки д: : перем!щень, деформац!й та напруженъ. На основ! теореми взаемност! сп!вв!дношення крайово! задач! теор!Х пружност! зводяться до граничного !нтегрального р!вняння. Приведен! основн! сп!вв!дношення для знаходаення шунаних функц!й перем!щень, деформац!й та напруженъ на границ! облает! та в дов!льн!й внутр!шн!й точц!. На основ! методу Бу1нова-Гальорк!на записана дискретна.постановка задач!.

Розглянута повна всестороння схема обчислення сильно I слабо сингулярних !нтеграл!в, що передбачае виксристання лише стандартних квадратурних формул Гауса. Методику обчислення сингулярних !нтеграп!Б апробовано на тестових прикладах.

У другому рездш приведена також схема МСЕ для розв'язання вар!ац1йно! задач! теорН оболонок типу. Тимошенка. в матр:чному вигляд! записан! сп!вв!дношення для обчислення елемент!в матриц! жорсткост! I мае.

особлива увага прид!лена реал!зац!1 умов пружного спряжения комб!нованоГ модел! на основ! об'едаано! схеми грашчно-ск!нченно-елементних алроксимац!й. Цей е!дх!д нередбачае розв'язання СЛАР з! спец!альшши правими . частиками. Результуючий розв'язок одержуеться при розв'язанн! додатково! матриц! зв'язку, сформовано! так, щоб врахувати к!нематичн! i статичн! умови на границ! спряжения.

У третьему роздШ описан! ochobhI характеристики програмного комплексу 1 можливост! програмних модул!в. Програмне забезпечення написано на мов! Фортран 77 для ПЕОМ типу IBM PC/AT.

Апробац!я запрононовано! комб!новано! модел! проводилась на ряд! тестових задач, в саме: задача про ллоску дефорлац!» неск!н-чекного цилШра, шару з косозр!заним .краем, пластини ступ!нчато! товщини. Для 1лмстрац1! одержаних результат!в подано численн! таблиц! та граф!ки. Вироблено пргкгичн! рекомендац!! щодо застосування запропо.чованого п!дходу для реальних техн!чних задач.

Досл!джено напружено-деформований стан цил!ндричноТ оболонки-

перекриття кругового перер!зу, що м!стить масивке ребро (Рис.2). На основ! приведених результата мояна судити про ефективнЮть 1 перспективн!сть застосування запропонованого комМнованого п!дходу до моделювання широкого класу !нженерних задач.

В загальних висновках сформульован! основн! результата та п!дсумков! зауваження.

1. На основ! сп!вв!дношень л!н!йно1 двовим!рно! теорН пружност! I теорП оболонок типу Тимоиенка, записана постановка задач!, граютш! умови та умови пружного спряжения для комб!новано! математично! модел!. Побудован! функц!онали потенц!ально1 енерПХ без штрафа 1 з! штрафом. Одержан! р!вняння Ейлера в!дпов!дних функц!онал!в. Показано екв!валентн!сть крайових та вар!ац!йних задач.

2. Досл!даен! питания Юнування ! зб!жност! розв'язк!в зз комб!-нованою моделлю. Доведено додатню визначен!сть оператора комб!-новано! модел! з! штрафом 1 без штрафа, а також зб!кн!сть розв'язку комб!новано! модел! з штрафом до розв'язку комб!новано1 модел! без штрафа при параметр! штрафа, ш,о прямуа до нуля.

3. Подана чисельна схема прямого вар!анту методу граничим елемен-т!в у постанову! Бубнова-Гальорк!на, що використовуеться для розв'язання пружностатично! задач!. К!льк!сть точок Гауса, необх!дних для досягнення достатньо! точное?! обчислень, встановлена експерименталыга в процес! розрахунку. ¿пробована спец!альна методика обчислення сильно 1 слабо сингулярных 1нтеГрал!в результуючо! системи граничних 1нтеГральних р!внянь.

Алгоритм об'еднано! схеми грашчио-ск!нченно-"лементш1х апрокскмаЩй базуеться на формуванн! додатково! матриц! зв'язку, записано! для сп!льно! границ! ооох фрагмента. Для обчислення елемент!в ц!е! матриц! викорютовують розв'язки посл!довност! базових задач, як! сформульован! ^чец!альним чином та задов!льняготь к!нематичн! ! статичн! умови спряжения. 5. Запропо^ований комб!нований п!дх!д реал!зоваш1й у вигляд! комплексу програм для ПЕОМ типу IBM PC/AT. На. оскоп! використання розглянуто! комб!новано! модел!. а також математичних моделей для р!внянь теорИ прукност* при використанн! МГЕ та МСЕ, для р!внянь теорИ оболонок тану

Тиыошонха (MCE), проведано анал!з розв*язк!в тестових задач. Розрослено практичн! рекомендацИ щодо використання цього п!дходу до розрахунку напружвно-деформованого стану !нженерних конструкцМ.

6. Досл!даено НДС цил!кдрячно! оболонки-перекриття кругового перер!зу, що м!стить масивне ребро. Результата числового эксперименту п1дтвердаують ефективн!сть i персяективн!сть використання запропонованого комб!нованого п!дходу для моделзвання широкого клаеу 1нженерних задач.

0СИ0ВН1 РЕЗУЛЬТАТЕ ДЙСЕРТАЦИ ОПУЕЛ1КОВАН1 В НАСТУПКйХ ПРАЦЯХ »ВТОРА :

1. Дияк 1.1., Паук Н.М, Використання метод!в граничних I CKlmmurs елемент1в для чисельного досл!даення комб!новано! математично! кодел! теорИ пружност! // Моделаваиия 1 досл!даення ст1йзсосг1 систем: Тези допов. на украИз. конфер.-Ки1в, 1993, ч. 1, о. 46.

2. Дияк 1.1., Паук Н.М. Чисельне досл1даешя плоско! задач! теор!1 пружност! методом граничних елемэнт!в // Матем. метода I ф!з.-механ. поля. - Льв!в, вип. 38, 1993. (подано до друку)

3. Дубовик A.B., Дыяк К.И., Паук Н.М., Савула Я.Г. Численное исследование комбинированной математической модели плоской задачи теории упругости. - Львов, 1988. - 42 с. - Деп. в УкрНИИНТИ 10.10.88, »•? 2573 - Ук88.

4. Дубовик A.B., Дыяк И.И., Паук Н.М., Савула Я.Г. Комбинация методов штрафа и конечных элементов для численного решения кренах задач комбинированной математической модели плоской • теории упругости // Новыо подхода к решению дифференциальных уравнений: Тез. докл.П Всесоюзн. конф.- Дрогсбыч, 1989, с.62

5. Паук Н.Ы. Застосування об'еднаного гранично-ск!нченно-еле-мелтного анал!зу для чисельного розв'язування двовим1рно! задач! теорП прукност! // В!снлк Льв!в. ун-ту. Сер!я прикл. метода 1 модэл!. - 1993. (подано до друку)

6. Паук K.M. Комбинация методов граничшх и конечных элементов для численного реиения кревых зндач комбинированной математической «одели плоской теории упругости // Актуальные проблемы информатики '• математическое, программное и информационное

обеспечениэ : Тез. докл. маароспубл. яаучно-практич. кснф. творческой молод. - Минск: Белгосуниверситет, 1992, - 124 е..

7. Савула.Я.Г., Дияк I.I., Паук Н.М. Чисельний анал!з комб1нова-них математичних моделей мотодага граничних 1 скШчоших элемент!в // Тез. допов. рэспубл. науково-методично! конф., приев. 200-л1ттю з дня народаення Лобачопського <4.1. - Одеса, 1992, ч. 2, с.37.

8. Савула Я.Г., Дубовик A.B., Паук Н.М. Крайова 1 вар!ац!йна задач! з! штрафом комбйюваю! модол! плоско! теорИ прушост! U Blcmnt Льв1в. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1990, вил. 33, с.3-9

Х2

Рис. 2.