автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели элементов гидротехнических сооружений

На правах рукописи

ДАНИЛЮК ВЯЧЕСЛАВ АНАТОЛЬЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТОВ ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

16 т я т

Санкт-Петербург 2013

005059401

Работа выполнена на кафедре «Прикладной математики» ФБОУ ВПО «Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова».

Научный руководитель:

Голос ко ков Дмитрий Петрович, доктор технических наук, профессор.

Официальные оппоненты:

Пшеницын Владимир Ильич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Физики» ФБОУ ВПО «Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова».

Ширунов Гурий Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Строительной механики» ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет»

Ведущая организация:

ФБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный Политехнический университет».

Защита состоится «<23 » А/ДО? 2013 года в часов на заседании диссертационного совета Д 223.009.03 при ФБОУ ВПО «Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова» по адресу: 198035, Санкт-Петербург, ул. Двинская, д. 5/7, ауд. 235.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ФБОУ ВПО «Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова».

Автореферат разослан « /(? » ЗПХ/¡СЛ 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Зарубежный и отечественный опыт эксплуатации массивных камер шлюзовых сооружений показал, что ресурс их прочности и надежности после 40...50 лет работы практически исчерпывается. Объясняется это объективными закономерностями перераспределения внутренних напряжений в материале сооружения, в том числе и при смене времён года. Сезонные колебания температур вызывают упругие деформации и, как следствие, при превышении пределов прочности, влекут за собой пластические деформации материала в местах концентрации напряжений (трещинах и межблочных швах). Сказанное обуславливает потребность детального анализа происходящих в теле деформаций, вызвавших эти деформации причин, оценки удельного вклада в деформации каждой из причин.

Большинство практических задач теории упругости, к сожалению, не имеют точного аналитического решения. Поэтому развитие приближённых аналитических и численно-аналитических методов решения задач теории упругости представляется по-прежнему актуальным.

Таким образом, создание математических моделей на основе аналитических методов расчета конструкций и решения с их помощью конкретных задач, является одной из актуальных проблем.

Настоящая работа посвящена развитию численно-аналитического метода решения краевых задач плоской теории упругости, моделирующих работу под нагрузкой камер судоходных шлюзов, плотин или аналогичных сооружений.

Целью работы является создание математических моделей элементов гидротехнических сооружений на основе решения задач плоской теории упругости, а также разработка универсального численно-аналитического метода для решения указанных задач и комплекса компьютерных программ для его реализации на ЭВМ.

Объектами исследования являются гидротехнические конструкции, такие как камеры судоходных шлюзов, плотины, а также элементы этих сооружений.

Предмет исследования составляют математические модели позволяющие определить НДС конструкций, подверженных статической нагрузке, с учетом распределения температур в конструкциях.

Методы исследования. Методологической основой исследования являются теория упругости, теория дифференциальных уравнений, численные методы.

Научная новизна:

1. В диссертационной работе дано развитие численно-аналитического метода, предложенного впервые, по-видимому, Ритцем, решения плоских задач теории упругости и стационарной теплопроводности, основанного на представлении решения в виде полиномов, априори удовлетворяющих внутри области всем дифференциальным уравнениям.

2. Разработан комплекс вычислительных программ в пакете Maple, реализующих предложенный метод для плоских задач теории упругости и стаци-

онарной теплопроводности. Особенностью разработанных вычислительных программ являются процедуры, уменьшающие объём и время расчётов: замена процедуры интегрирования полиномиальной функции невязок на процедуру вычисления наборов коэффициентов, дающую аналогичный интегрированию результат за время в 10-15 раз меньшее; уменьшение мантиссы за счёт контроля погрешности граничных аппроксимаций.

3. На основе разработанного численно-аналитического метода предложены новые математические модели для расчета гидротехнических сооружений и их элементов. На защиту выносятся:

1. Численно-аналитический метод решения плоской задачи теории упруго-

сти и плоской стационарной задачи теплопроводности в полиномах.

2. Математические модели напряжённо-деформированного состояния гидротехнических сооружений и их элементов: расчет камеры Шекснинского гидроузла на собственный вес, расчет головы шлюза от поверхностных сил и собственного веса, задача о щели в бетонном блоке камеры судоходного шлюза.

3. Комплекс компьютерных программ, разработанных, в математическом пакете Maple, предназначенных для решения плоской задачи теории упругости и стационарной задачи теплопроводности. Практическая значимость. Метод позволяет производить прочностные

расчеты реальных камер судоходных гидротехнических сооружений и аналогичных конструкций, а также приближённо решать двумерные краевые задачи, описываемые однородным уравнением Лапласа. Полученные решения конкретных краевых задач теории упругости доведены до практической реализации в расчетных схемах ГТС. Созданы и реализованы в программах в системе аналитических вычислений Maple новые эффективные алгоритмы расчета НДС гидротехнических сооружений, позволяющие решать задачи оптимизации параметров сооружений.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

• строгим использованием математического аппарата теории упругости, теории дифференциальных уравнений;

• совпадением решений полученных численно-аналитическими методами в пакете Maple с аналитическими решениями, полученными другими методами (методом начальных функций), а также методом конечных элементов в пакете Matlab.

Внедрение результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, используются:

• в учебном процессе в Санкт-Петербургском университете водных коммуникаций при выполнении курсовых и дипломных работ по специальности «Прикладная математика и информатика», связанных с математическим моделированием упругих тел;

• в учебном процессе Военной академии тыла и транспорта им. Генерала армии A.B. Хрулёва при разработке учебно-методических материалов на кафедре общенаучных и общетехнических дисциплин;

• в ООО «БАЛТМОРПРОЕКТ» при выполнении предварительных оценочных расчётов элементов гидротехнических сооружений на прочность. Апробация работы. Основные положения и результаты, полученные в

диссертации, докладывались и обсуждались на:

• международной научно-практической конференции «Водный транспорт России: инновационный путь развития» проходившей 6-7 октября 2010 г. в Санкт-Петербурге.

• конференции кафедры прикладной математики СПГУВК 19 ноября 2010 г.

• конкурсе на лучший инновационный проект в области водного транспорта в 2010 г. (проект удостоен премии университета).

• 9-ой межвузовской научно-практической конференции ППС, аспирантов и студентов «Наука и инновации в социально-экономическом и инженерно-техническом развитии транспортных коммуникаций и инфраструктуры Выборгского района», проходившей 30 сентября 2010 г. в городе Выборге;

• 10-ой межвузовской научно-практической «Современное состояние и перспективы развития науки и образования и их влияние на развитие водного транспорта, промышленное, социальное, культурное и экономическое положение Северо-Западного региона России», проходившей 29 апреля 2011 г. в городе Выборге (докладу присуждено 1-ое место).

• Промежуточные результаты диссертационного исследования докладывались автором на конкурсе студентов и аспирантов СПГУВК на лучшую научную работу в области водного транспорта в 2010 году. Публикации. Основное содержание работы опубликовано в 6 печатных

работах, две из которых в журнале, рекомендованном ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, приложений (коды программ и список литературы, включающий 92 наименования). Полный объем работы составляет 166 страниц, объём приложений составляет 33 страницы, работа содержит 110 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дано обоснование актуальности работы, сформулированы ее цели и научная новизна.

В первом разделе содержится описание конструкции камеры судоходного шлюза, краткий обзор и анализ методов исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) гидротехнических сооружений (ГТС) и методов расчета конструкций ГТС, таких как камеры судоходных шлюзов и плотины. Отмечается, что в настоящее время широкое применение получил метод конечных элементов. Альтернативным направлением расчета является применение приближенных численно-аналитических методов, в том числе с

использованием полиномов. Однако, из-за трудностей, возникающих при практической реализации, они используются значительно реже численных методов. Аналитические методы изложены в трудах Б.Н. Жемочкина, И.Г. Бубнова, В.З. Власова, Б.Г. Галеркина, С.П. Тимошенко, В.В. Новожилова, A.C. Малие-ва, В.Н. Фролова, К.А. Китовера, A.A. Курдюмова, М.Д. Галилеева и др.

Анализ методов исследования НДС ГТС и их элементов показал, что традиционно используемые методы (методы сопротивления материалов, метод конечных элементов (МКЭ)) не лишены недостатков.

Обозначена важная роль в исследованиях НДС упругих тел пакетов компьютерной математики, ориентированных на выполнение сложных аналитических операций (и прежде всего на работу с символьными величинами), благодаря развитию которых, оказалось возможным построить универсальный алгоритм, реализующий численно-аналитический вариант метода полиномов для задач с различной геометрией исследуемой области и произвольно заданными граничными условиями.

Второй раздел посвящен описанию численно-аналитического метода моделирования упругих конструкций, таких как камеры судоходных шлюзов и плотин, математические модели которых описываются плоской задачей теории упругости (случай плоской деформации).

Система дифференциальных уравнений в перемещениях, описывающая

плоскую деформацию, имеет вид:

82и 1 a2v 1-2v д2и п

—т+--+--7=°;

öx 2-2vöxdy 2 — 2v ду

e2v 1 д2и 1-2v d2v п

-5" +--+--5" = °- О)

ду2 2-2v дхду 2-2v дх2

Здесь и и v — горизонтальные и вертикальные перемещения соответственно.

В данной главе описана процедура отыскания частных решений системы (1) в полиномах и рядах Фурье. Показано, что любой полином определённого порядка может удовлетворять уравнениям системы (1) и при этом иметь 4 свободных линейно-независимых коэффициента. Частные решения системы (1) представимы в виде полиномов разных порядков. Полином порядка и задаётся следующим образом:

л+1

ип = • JC'"1 • = at ■ у" + а2 ■ х ■ у"~' +... + ая ■ х""1 • у + а„+1 ■ х".

¡=1

Например, частным решением 1-го порядка системы (1) будет пара функций:

м, = а, • х + а2 • у;

v, = Z>, • х + Ьг ■ у.

Здесь коэффициенты a^a2,bvb2 произвольны. Для удобства формализации математических преобразований, все свободные коэффициенты at,bt для решений, порядок которых выше 0-го, в дальнейшем нумеруются строго в порядке

возрастания и представляются в виде: а1,а2,...,ап. Так для полинома 1-го порядка свободные коэффициенты обозначаем как для полинома 2-го порядка — а5,а6,а1,аг, 3-го порядка — a9,a¡0,an,al2, ..., для 20-го порядка — a-n,a1%,a19,ai0, ..„для л-го порядка — а4„_3,а4„_2,а4„_1,а4„ и т. д.

Решение задачи в полиномах представляется в виде суммы частных решений от 0-го порядка до некоторого и-го, то есть:

п п

и(х'У)=ZM.; v(x>y)=Y,v¡-

/=0 1=0

Помимо полиномов частные решения можно получить и в форме членов ряда Фурье по каждой из переменных х или у в виде:

u = c\- sin ktx ■ ек,у +с2 - cos кгх -ек2У +с3-cos к3у- ек,х + с4 • sin кЛу ■ ек,х;

V = -с, ■ cos кхх ■ ек,у + с2 • sin кгх ■ ек2У - съ • sin кгу ■ ек>* + с4 • cos кЛу • ек,х.

Здесь, citkt свободно варьируемые коэффициенты. Посредством подстановки указанных членов ряда Фурье в систему (1) можно легко убедиться, что они являются частными решениями этой системы.

Установлено, что по сравнению с полиномами численно-аналитическое моделирование с использованием рядов Фурье имеет ряд недостатков:

1) затраты времени на интегрирование функции невязок, имеющей в своём составе члены ряда Фурье, по границе значительно превышают аналогичные затраты при моделировании полиномами для одинаковых погрешностей граничных аппроксимаций;

2) возникают сложности с нахождением оптимальных значений коэффициентов k¡;

3) плохая точность аппроксимаций из-за связанности функций перемещений и и V через коэффициенты с,.

Таким образом, для моделирования НДС упругих тел посредством численно-аналитического метода, удобнее применять полиномы.

После задания частного решения в полиномах производится разбиение границы на прямолинейные отрезки, в пределах которых, функции, задающие граничные условия, непрерывны и дифференцируемы.

Численно-аналитический метод решения в полиномах предполагает оптимизацию свободных коэффициентов а, частных полиномиальных решений системы (1) таким образом, чтобы перемещения и и v и соответствующие им напряжения как можно более точно аппроксимировали граничные условия. Оптимизация этих коэффициентов производится посредством метода наименьших квадратов (МНК). Аппроксимация граничных условий производится в два этапа — сначала аппроксимируют граничные напряжения посредством коэффициентов а1,а2,...,ап, и только затем граничные перемещения с помощью двух коэффициентов полинома 0-го порядка aQ,bg. Для проведения этих аппроксимаций граница рассматриваемого упругого тела должна быть разбита на конечное число прямолинейных отрезков, каждому из которых ставится в соответствие

уравнение прямой, на которой лежит этот отрезок: у(х) или х(у). Необходимо минимизировать функцию невязок по границе тела, которая задаётся следующим образом:

к к Р(а],а2,...,ап) = ^М1(а,,а2,...,ап) + ^К1(а1,а2,...,а„) (2).

¡=1 ¡=1 Здесь, к — количество граничных отрезков, — функция невя-

зок по нормальным напряжениям на г-ом отрезке, К,(а1,а2,...,ап) — функция

невязок по касательным напряжениям на г-ом отрезке.

В том случае, если на г-ом граничном отрезке заданы нормальные напряжения сгп^х,у) и касательные напряжения от,. (.*,.>'), функции невязок для вертикально ориентированных граничных отрезков имеют вид:

К,(а1,а2,...,ап) =

уК

щ

уК 2

для прочих отрезков:

^,.(а1,а2,...,а„)= 1 +

бш2Д

сое Д

КХа„а2,...,а„)= 1 +

8ш2Д

со в2 Д.

' 2

| {х,У, {х),аиа2.....а„) - сгл,. (х,у1 (*))) <1х

щ

/ (*>Я (х),а„а2,...,ая) - от,. (х,у, (*))) еЬс

Здесь, хп^хк, — начальная и конечная абсциссы г-ого граничного отрезка; УпиУК — начальная и конечная ординаты г-ого граничного отрезка; х1(у),у{(х) — функции, задающие прямую, на которой лежит г-ый отрезок; Д. — угол ориентации г-ого граничного отрезка (для вертикально ориентирован-

п Ъл

ных граничных отрезков Д.

Для граничных условий в перемещениях функции невязок по напряжениям находятся по формулам, представленным в тексте диссертации, и здесь не приводятся в виду их громоздкости.

После определения на каждом из отрезков функции невязок по нормальным и касательным напряжениям, и вычисления суммарной функции невязок, решается система п линейных алгебраических уравнений:

дР{а\>а2>—>ап).

да,

- = 0, г =1,2,...,и.

Из решения данной системы, определяются оптимальные значения коэффициентов а1,а1,...,а11, при которых функция невязок р(а1,а2,...,а11) имеет минимум. Таким образом, с учётом найденных коэффициентов ах,а2,...,ап, полу-

ченная пара численно-аналитических решений и(х,у) и у(х,у) отличается от истинных перемещений на константы а0,Ь0. Чтобы вычислить эти постоянные, общее решение задачи представляется как:

и(х,у,а0) = а0+и(х,у); У(х,у,Ь0) = Ь0 + у(х,у).

На тех граничных отрезках, где граничные условия заданы в перемещениях, выражаем нормальные и касательные перемещения через переменные х,У,а0,Ь0:

ип1(х,у,а0) = -и{х,у,а0)&1пР1 + У(х,у,Ъй)со5рг, Щ ( X, у, а0) = и ( х, у, а0 ) сое Д. + V ( дг, у, Ь0) вт Д.

Функции невязок для вертикально ориентированных отрезков по нормальным и касательным перемещениям будут следующими:

",(аоА) =

к,{аоА)--

у*1

|(щыу),у,а0>ь0)-щ{х1(у)'у)) ¿У

| {Щ(*,{У),У,а(*,(У),У)) 4У

Функции невязок для прочих отрезков по нормальным и касательным перемещениям будут следующими:

",(аоА) = ,Д +

ът2 0

соб д

вш р

соб Д

I {щ (х, у,(х),а0,Ь0)- ш, (х, (х)))2 йх

Здесь, ми, и — заданные граничные условия в перемещениях. Суммарная функция невязок находится как:/(я0А) = 2и>(аоА)+Х^(аоА)- Пределы в суммах не указаны, поскольку граничные условия в перемещениях могут быть заданы, например, на 1-ом и 3-ем отрезках, а на 2-ом заданы в напряжениях. Сумма в данной формуле предполагается для всех отрезков, на которых граничные условия заданы в перемещениях.

Решая систему из двух линейных алгебраических уравнений д/(ав,ЪЛ д/(а0>Ь0)

—^-- = О,—--- = 0, определяем оптимальную пару коэффициентов

дап

дЪп

а0,Ь0 и, как следствие, окончательное решение в перемещениях.

После определения перемещений, используя соотношения напряжения-деформации, легко вычисляются функции распределения напряжений в сооружении.

Следует заметить, что представление решения в виде непрерывно дифференцируемой на всей области определения полиномиальной функции, значительно облегчает процедуру и математическую обработку решения, а также со-

кращает объём и время расчётов по сравнению с численными методами. Также, данный метод позволяет легко определять относительную и абсолютную погрешности аппроксимаций граничных условий.

Для реализации данного метода разработана программа в пакете Maple. Проведено тестирование программы на математических моделях ряда задач плоской теории упругости. Численно-аналитические решения по методу полиномов хорошо согласуются с решениями, найденными альтернативными методами.

В третьем разделе усовершенствован численно-аналитический метод решения в полиномах. Прежде всего, это касается возможности учёта объёмных сил (собственного веса и температурных напряжений), а также решения плоской стационарной задачи теплопроводности.

Система, учитывающая собственный вес сооружения:

д2и 1 82v l-2v д2и дх2 +2-2vdxdy 2-2v 8уг

d2v 1 82и 1-2У82У= (1 + У)(1-2У) ду2 2-2vdx8y 2-2v дх2 PtB E(\-v) Система, учитывающая термоупругие напряжения:

д2и 1 d2v l-2v д2и = а( 1 + v) дТ дх2 2-2v8x8y 2-2 vdy2~ 1-v дх'

B2v 1 д2и 1 —2v 82у _а{\ + у)дТ ду2 +2-2v8x8y +2-2v8x2~ 1-v 8у ' В системе (3) ось у направлена строго вверх, то есть противоположно (навстречу) вектору ускорения свободного падения. В системе (3) а — коэффициент температурного линейного расширения материала.

Систему дифференциальных уравнений (3) можно свести к однородной с помощью замены переменной. Так для устранения неоднородности

—2у) ^ вызваннод собственным весом конструкции, наиболее удоб-E(l-v)

0 + ") 2

ной является следующая замена: и = 0, v = pdg х .

Е

Здесь ирг,ург — частные неоднородные решения системы (3). Как видно, они

действительно сводят эту систему к однородной системе (1). Сделав данную замену, мы корректируем граничные условия исходной задачи с учётом данной замены и решаем её методом, разработанным во второй главе, получаем решения и,у'. Тогда решение задачи в перемещениях от собственного веса соору-

(1 + »/) 2

жения записывается как: и=и +и =и , у = у +vpr = v + —-—х .

Для решения задачи теории упругости от собственного веса в полиномах разработана вычислительная программа в пакете Maple (представлена в Приложении 4), реализующая разработанный численно-аналитический метод. Проведено тестирование программы на задачах, имеющих точное решение, которое показало хорошее соответствие решений.

Для задачи термоупругости частные неоднородные решения не являются известной наперёд функцией. Их определение тесно связано с решением стационарной тепловой задачи и определения функции распределения температур Т внутри сооружения. Численно-аналитический метод был адаптирован для решения стационарной тепловой задачи. В первом параграфе третьей главы изложен вариант этого метода для решения двумерного уравнения Лапласа с граничными условиями Дирихле.

Пусть решение стационарной тепловой задачи представлено в виде: Т(х,у) = аоа + awx + ааху + аиху + ala(х1-у1), здесь a00,al0,am,au,a20 — свободно варьируемые коэффициенты.

В этом случае для системы (4) несложно подобрать пару частных неоднородных решений. Так фрагменту температур Т(х,у) = ат ставится в соответствие пара частных однородных решений ирг = 0, v = 0. Фрагменту Т(х,у) = а10х соответствует пара частных неоднородных решений

ирг = а™2(^-у) Vpr = °' Для ФРагмента т(х>У) = атУ имеем V= 0' ап.а( 1 + v) , ,, Y1 , 1 Л

2(1-у) "" Т{х'у) = аllXy upr = ana(l + v)[^x У-^У J.

vpr + и наконец, для T{x,y) = aw(x2 —у2) получаем

_a20a(l + v) з _ a20a(l + v) 3

3(1-v) ' 3(l-v) У-

В том случае, если полином 2-го порядка недостаточно точно аппроксимирует граничные температуры, удобнее будет не повышать дальше порядок полинома, а представить решение в виде частичной суммы ряда Фурье:

п

Т(х,у) = sinkÉy + В{ек,х cos k¡y + Cte¡y sin^x + DteKy cosk¡x).

i=l

Тогда частные неоднородные решения представляются в следующем виде:

л J

upr=a( 1 + v)^—(Дем sin к ¡y + Btek,x cos k¡y + DfKy sin кгх - Срк'у cos ,

n ^ J

vpr = a( 1 + {B^'* sink¡y - Atek'x cosk¡y + Ce,y sin^.x + Dek,y eosk¡x^.

(=i К

В этом случае частным неоднородным решением будет сумма полинома и фрагмента ряда Фурье. Граничные условия исходной задачи также корректи-

^ ди dv^ ду дх

= 0.

руются с учётом частных неоднородных решений, после чего решается с новыми граничными условиями систему уравнений (1), методом, изложенным во второй главе, и находится пара решения u*,v*. Тогда перемещения, вызванные объёмными силами, записываются как: и = и* + upr, v = v* + vpr. К ним нужно

добавить перемещения от граничных условий, вызванных термоупругими напряжениями. Итоговым решением будет пара функций:

и, = и + U(x,у) - a^T(x,y)dx + А ■ у + В;

V( =v + V{x,y)-a^T(x,y)dy-A-x + C.

Коэффициенты А, В,С используются для аппроксимаций граничных условий (заданных в перемещениях). При этом, коэффициент А имеет разный знак для того, чтобы добавленная постоянная интегрирования не вызывала

сдвиговой деформации, то есть ev = ^

Для решения задачи теории упругости от температурных напряжений в полиномах разработана вычислительная программа в пакете Maple (представлена в Приложении 5), реализующая разработанный численно-аналитический метод.

Изложен принцип решения задач при совместном действии различных нагрузок, заключающийся в наложении друг на друга функций распределения перемещений и напряжений, вызванных этими нагрузками. Показана возможность учёта условий симметрии.

Теоретически обоснован численно-аналитический подход решения в полиномах внешней задачи теории упругости (задача о полости в бесконечном теле).

Представлен пример решения задачи с узкими щелеподобными вырезами (бетонный блок камеры судоходного шлюза с щелью) для тех случаев, когда общий подход разработанного метода не даёт достаточно точного решения.

Изложены подходы к определению погрешности численно-аналитического решения. В виду того, что частные решения абсолютно точно удовлетворяют уравнениям системы (1), погрешность решения в области будет вызвана только погрешностью аппроксимаций граничных условий. В этом случае погрешность решения можно оценить, вычислив относительную погреш-

I F ГТ

ность 8, = -т,-п—гг или абсолютную погрешность Д =, —. Здесь,

^•тахЦот^от,!} \2р

р — периметр границы (суммарная длина всех граничных отрезков).

Описаны некоторые особенности разработанных вычислительных программ. При реализации численно-аналитического метода в полиномах, напрямую выполнение процедуры интегрирования функции невязок по границе тела может занимать очень много времени, особенно при большом числе граничных отрезков, высоком порядке полиномиального решения и большой мантиссе. Для устранения данной проблемы пришлось отказаться от процедуры непо-

средственного вычисления определённого интеграла, задаваемой в пакете Ма-ple командой int(/(jK,ax,...,ain),x = a.b), где / — функция невязок по границе тела, а и b — пределы интегрирования, a,,...,a4„ — коэффициенты полинома решения, п — порядок полиномиального решения. Если предположить, что функция / является многочленом (то есть граничные условия тоже заданы только в полиномах), то указанную команду int можно заменить определённой последовательностью команд, приводящей к тому же результату. Прежде всего, посредством команды kt = coeff[x-f{x,au...,ain),x'} вычисляется список коэффициентов при х', причём i здесь изменяется от 1 до 2п -1. Далее непосредственное интегрирование xw (взятых из функции f[x,a„...,a4ll)) заменяется

командой s, = —;—, здесь i также изменяется от 1 до 2и -1. Далее выполня-

ется суммирование попарных произведений к, и соответственно, для /' изменяющегося от 1 до 2и -1. В результате, приходим к тождеству:

Описанная замена команды интегрирования позволяет снижать общее время расчётов в 10-15 раз. Однако данное усовершенствование накладывает два ограничения на ввод условий задачи. Первое из них — граничные условия должны быть заданы в полиномах, второе — порядок полинома решения должен быть больше максимального порядка полиномов, задающих граничные условия на отрезках, хотя бы на единицу, иначе граничные условия, заданные степенными функциями более высоких порядков, не будут учтены.

Также для снижения временных затрат рационально ограничивать значение мантиссы в зависимости от динамики вычисляемых в программе погрешностей. Очевидно, что если при увеличении числа удерживаемых знаков после запятой не происходит существенного изменения погрешности граничных аппроксимаций, то данное увеличение мантиссы было ненужным. При решении большого количества тестовых примеров была установлена следующая эмпирическая зависимость мантиссы от порядка решения: N<2n. Так при решении задачи описанной в п. 4.4 использовался полином 18 порядка, при этом было взято всего лишь 30 знаков после запятой, в то время как A.B. Матросов для этой же задачи учитывал в методе начальных функций (МНФ) 120 знаков после запятой. Таким образом, без ущерба для точности решения можно значительно уменьшать мантиссу.

Отметим ещё одну особенность разработанных программ — возможность учета несогласованных граничных условий в общей точке двух граничных отрезков (например, на одном граничном отрезке задана постоянная температура 15'С, а на соседнем — 10 °С; при этом, в общей точке этих отрезков будет несоответствие граничных условий, которые невозможно аппроксимировать никакой непрерывно-дифференцируемой функцией).

Также следует отметить следующую особенность разработанного метода — при решении задач полиномы разных порядков по разному улучшают решение (снижают погрешность аппроксимаций граничных условий), но при этом каждый такой полином нового порядка увеличивает время счёта, дополнительно отнимает вычислительные ресурсы ЭВМ и математического пакета. Поэтому те полиномы, которые слабо снижают погрешность решения целесообразно пропускать, то есть исключать из решения. Для этого в программу представленную в Приложении 3 была встроена в блоке ввода условий задачи команда задания коэффициента так задание этого коэффициента равным нулю

означает, что полином у -ого порядка будет исключён из решения и, наоборот, если этот коэффициент приравнять единице, то полином у -ого порядка будет учтён в решении.

При решении некоторых задач возникает ситуация, когда на одних граничных отрезках граничные условия при повышении порядка полинома решения аппроксимируются быстрее, чем на других. Чтобы сделать аппроксимацию граничных условий более равномерной по граничным отрезкам нужно функции невязок по «плохим» отрезкам в формуле (2) взять несколько раз, чтобы усилить удельный вес функции невязок по конкретному граничному отрезку в суммарной функции невязок по всей границе. В программе из Приложения 3 предусмотрена возможность многократного усиления функций невязок по граничным отрезкам. Граничные отрезки, на которых ГУ аппроксимируются хуже, чем на других, выявляются эмпирически, исходя из совместных графиков заданных и аппроксимированных граничных условий.

В третьей главе представлены также применения разработанного метода для решения интегральных и функциональных уравнений на конечном отрезке.

Четвертый раздел посвящен моделированию НДС ГТС и их элементов посредством разработанного во втором и третьем разделах метода и комплекса программ.

Решена стационарная тепловая задача для бетонного блока камеры судоходного шлюза численно-аналитическим методом с использованием полиномов и в пакете МаНаЬ, результаты расчётов хорошо согласуются между собой (рис. 1,2).

Рис. 1. Диаграмма распределения температур внутри блока, полученная посредством метода конечных элементов в пакете Ма11аЬ.

Рис. 2. Диаграмма распределения температур внутри блока, полученная посредством численно-аналитического метода полиномом 7 порядка в пакете Maple.

Решена задача о жёстко заделанном прямоугольном брусе, сжимаемом с торца, погрешность аппроксимации граничных условий не превысила допустимых пределов.

Решена задача о прямоугольной равномерно нагруженной пластине, защемлённой по бокам; большинство результатов хорошо согласуются с альтернативным решением посредством МНФ (рис. 3-8), для случая рассогласования результатов указаны причины.

Рис. 3. Графики безразмерных перемещений и ■ Е в сечениях параллельных оси у, вычисленных по МНФ.

Рис. 5. Графики безразмерных напряжений стх в сечениях параллельных оси у, вычисленных по МНФ.

Рис. 4. Графики безразмерных перемещений и ■ Е в сечениях параллельных оси у, вычисленных численно-аналитическим методом в полиномах.

с > / \

3-2- 1 1 \

к/ V 3

0.5- А £ '

3.3- \ \ V 1 „_____ , ^ ¥ | У ! тГ 1 1

.. 1 )

У

Рис. 6. Графики безразмерных напряжений <тх в сечениях параллельных оси у, вычисленных с помощью численно-аналитического метода.

Рис. 7. Графики безразмерных напряжений Т в сечениях параллельных оси х, вычисленных по МНФ.

Рис. В. Графики безразмерных напряжений Т в сечениях параллельных оси х, вычисленных с помощью численно-аналитического метода.

Решена задача Ламе для двух случаев нагружения кольцевого сечения: 1) сжатие с двух сторон; 2) только внешнее сжатие. Результаты, полученные численно-аналитическим методом, хорошо согласуются с точным решением (рис. 9-14).

Рис. 9. Графики напряжений сгу в сечении

кольца для случая двустороннего нагружения (синим цветом показано численно-аналитическое решение в полиномах, красным — аналитическое).

Рис. 10. Графики напряжений егу в сечении

кольца для случая одностороннего внешнего нагружения (синим цветом показано численно-аналитическое решение в полиномах, красным — аналитическое).

-430000-505500-520080-340000-360090--5£8000--«00000-620800-640000-440000-

Рис. 11. Графики напряжений ах в сечении кольца для случая двустороннего нагруже-ния (синим цветом показано численно-аналитическое решение в полиномах, красным — аналитическое).

Рис. 13. Графики перемещений V в вертикальном сечении кольца для случая двустороннего нагружения (синим цветом показано численно-аналитическое решение в полиномах, красным — аналитическое).

Рис. 12. Графики напряжений стх в сечении кольца для случая одностороннего внешнего нагружения (синим цветом показано численно-аналитическое решение в полиномах, красным — аналитическое).

У.М -4.4 х 10*-

-¿.5 * 10

-4.6 »

0.5 5 6 5.1 у 0.8 0.9 ! О

Рис. 14. Графики перемещений V в вертикальном сечении кольца для случая одностороннего внешнего нагружения (синим цветом показано численно-аналитическое решение в полиномах, красным — аналитическое).

С помощью численно-аналитического метода произведён расчёт головы шлюза; погрешность аппроксимации граничных условий не превышает допустимых пределов, также смоделировано дополнительное влияние собственного веса на НДС головы шлюза.

Проанализировано влияние собственного веса стены камеры Шекснин-ского шлюза № 8 Волго-Балтийского Водного Пути на её НДС. В диссертации А.А. Семёнова построена математическая модель НДС стены данного шлюза от внешних сил и температурных напряжений, однако, он не учёл влияния собственного веса. Напряжения ау от поверхностных сил в среднем сечении второго блока, график этих напряжений представлен на рис. 15.

Рис. 15. Распределение напряжений <7 в горизонтальном сечении у = 6 м. от давления

грунта засыпки.

Распределение напряжений от собственного веса в том же сечении (решение с помощью полиномов):

Рис. 16. Распределение напряжений сту в горизонтальном сечении у = 6 м. от собственного веса.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В приложении содержатся программы расчета конструкций и их элементов, реализованные в математическом пакете Maple и список использованной литературы.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В связи с давно назревшей проблемой, связанной с точностью расчёта НДС гидротехнических сооружений, в диссертации получил дальнейшее развитие численно-аналитический метод Ритца для решения плоских задач теории упругости в полиномах. В отличие от известных подходов, решение строится в виде разложения по полиномам, априори удовлетворяющих уравнениям плоской задачи теории упругости в перемещениях внутри области. Коэффициенты разложения находятся из условия минимума невязки в выполнении граничных условий методом наименьших квадратов. Таким образом, оценка прочности элементов сооружений сводится к решению некоторой краевой задаче теории упругости — задаче математической физики. Сведение задачи расчета НДС сооружения к некоторой краевой задаче позволяет использовать для ее решения весь арсенал методов, имеющихся для решения краевых задач, — как аналитические, так и численные методы. Это повышает достоверность и надежность получаемых решений.

Расчетные модели сооружений реализуются в аналитических решениях, что является несомненным преимуществом перед дискретными расчетными моделями, такими, например, как метод конечных элементов. Это позволяет простыми средствами выявить зоны концентрации напряжений и, тем самым, избежать наступления предельного состояния, повысить прочностную надежность сооружения.

Основное направление развития метода — применение его к расчету различных гидротехнических конструкций, например, таких как камеры судоходных шлюзов и плотины.

На основе предлагаемого численно-аналитического метода произведён анализ НДС камеры шекснинского гидроузла от собственного веса, головы судоходного шлюза от внешних сил и собственного веса, бетонного блока камеры судоходного шлюза с щелью, и целого ряда тестовых задач (задачи Ламе для трубы круглого сечения, прямоугольных пластинок под действием растягивающих (сжимающих) и т. п.).

Созданы и реализованы в программах в системе аналитических вычислений Maple новые алгоритмы расчета НДС и решения стационарных задач для плоских областей.

Резюмируем полученные результаты:

1. Развит численно-аналитический метод решения плоской задачи теории упругости и плоской стационарной задачи теплопроводности в полиномах.

2. На основе предложенного метода разработаны математические модели напряжённо-деформированного состояния гидротехнических сооружений и их элементов от поверхностных сил, собственного веса и температурных напряжений.

3. Разработан комплекс компьютерных программ в математическом пакете Maple, предназначенных для решения плоской задачи теории упругости и стационарной задачи теплопроводности. Особенностью разработанных

вычислительных программ являются новые численные процедуры, уменьшающие объём и время расчётов.

Предложенные в работе численно-аналитические решения могут рассматриваться как эталонные и служить для проверки численных решений соответствующих краевых задач, в том числе и полученных методом конечных элементов, а также могут использоваться для апробации новых приближенных аналитических и численных методов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В изданиях, предусмотренных «Перечнем изданий ВАК»:

1. Данилюк В.А. Расчёт камеры судоходного шлюза методом граничных элементов. // Журнал университета водных коммуникаций. — Вып. I (IX) — СПб.: СПГУВК, 2011 г. С. 14-19.

2. Голоскоков Д.П., Данилюк В.А. Моделирование напряжённо-деформированного состояния камеры судоходного шлюза с помощью полиномов, Журнал университета водных коммуникаций. Выпуск 12 СПб.: СПГУВК, 2011.

В других изданиях:

3. Данилюк В.А. Моделирование напряжённо-деформированного состояния сооружений с помощью методов граничных элементов. // Сборник научных статей IX Межвузовской научно-практической конференции ППС, аспирантов и студентов. Брошюра — Вып. 7 — Выборг: ВФ СПГУВК, 2010 г. —С. 65-121.

4. Данилюк В.А. Расчёт бетонного блока камеры судоходного шлюза с помощью полиномов. // Математика и ее приложения: Межвузовский сборник научных трудов / Под ред. Д.П. Голоскокова, А.Р. Шкадовой. — Вып. 2 — СПб.: СПГУВК, 2009 г. С. 173-184.

5. Данилюк В.А. Численно-аналитическое решение нестационарной тепловой задачи с коэффициентом теплопроводности, зависящим от температуры. // Математика и ее приложения: Межвузовский сборник научных трудов / Под ред. Д.П. Голоскокова, А.Р. Шкадовой. — Вып. 3 — СПб.: СПГУВК, 2011 г. С. 209-215.

6. Данилюк В.А. Численное решение задач математической физики с помощью полиномов. // Журнал университета водных коммуникаций. — Вып. III — СПб.: СПГУВК, 2009 г. С. 193-196.

Подписано в печать 15.02.13 Сдано в производство 15.02.13 Формат 60x84 1/16 Усл.-печ. л. 1,27. Уч.-изд. л. 1,1. _Тираж 50 экз._Заказ № 19_

Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова 198035, Санкт-Петербург, ул. Двинская, 5/7

Отпечатано в типографии ФГБОУ ВПО ГУМ РФ 198035, Санкт-Петербург, Межевой канал, 2