автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование турбулентного перемешивания с использованием высокопроизводительных систем

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правахрукописи УДК: 519.68:519.8

Ладонкина Марина Евгеньевна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕМЕШИВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВЫСОКОПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Институте математического моделирования Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

В.Ф. Тишкин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор СЮ. Гуськов, кандидат физико-математических наук, Т.К. Козубская

Ведущая организация:

Институт проблем безопасносного развития ядерной энергетики.

Защита диссертации состоится «_»_2004г. в_на заседании

диссертационного совета в институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, г.Москва, Миусская пл., Д4-А

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН

Автореферат разослан «_»_2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

В.И. Похилко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Помимо несомненного интереса, явление турбулентного перемешивания, при развитии неустойчивостей, имеет большое значение для ряда практических задач. Создание новых источников энергии, основанных на процессе управляемого термоядерного синтеза, в частности, лазерного термоядерного синтеза (ЛТС), проектирование сложных технических конструкций, в которых происходит нестационарный нелинейный перенос вещества среды, требует подробного исследования законов переходных и турбулентных процессов.

Теоретические и экспериментальные исследования явлений гидродинамических неустойчивостей сопряжены с рядом трудностей для современной науки. Наиболее доступным методом изучения данной проблемы сегодня является математическое моделирование и численный эксперимент. Достоверное воспроизведение такого сложного эксперимента возможно лишь при сочетании эффективных численных методик, обеспечивающих высокую точность описания динамики процессов и сложной структуры области контактов и применения алгоритмов повышенной точности, позволяющих достаточно близко к экспериментальным данным воспроизводить основные характеристики гидродинамических неустойчивостей. Перспективным направлением решения задач гидродинамики сегодня является развитие экономичных численных методов. Интенсивно развивающимся за последние десять лет является математическое моделирование на основе иерархических локально - измельчающихся адаптивных сеток (adaptive mesh refinement - AMR).

Третьим, не мене значимым фактором развития данного направления является использование высокопроизводительной вычислительной техники, предоставляющее возможность моделирования турбулентных течений на совершенно другом уровне. Вследствие чего, в настоящий момент получены новые количественные характеристики в законе роста зоны турбулентного перемешивания, а так же появилась возможн

РОС. национальная]

турбулентности и ее основных характеристик.

Вышесказанное показывает, что выбранная тема диссертационной работы является актуальной.

Целью диссертацииявляются:

• разработка и создание пакета прикладных программ для решения задач гидродинамики и исследования основных характеристик турбулентности

• исследование гидродинамических неустойчивостей на многопроцессорных вычислительных системах

• исследование тонкой структуры турбулентности

Научнаяновизна ипрактическая ценностьработы.

Разработаны новые методики и создан комплекс программ «р^ОТ», позволяющий проводить прямое численное моделирование гидродинамических неустойчивостей и исследовать основные характеристики возникающей турбулентности на различных параллельных системах.

Проведено исследование турбулентного перемешивания при развитии неустойчивостей на многопроцессорных системах. Получен ряд новых результатов. Визуализирована картина тонкой структуры турбулентности. Уточнены константы в законе роста ширины зоны перемешивания. Установлен универсальный характер вида спектра кинетической энергии, который присущ также многим экспериментальным данным.

Разработаны новые алгоритмы решения и создан пакет прикладных программ АЭАРПЖ для решения задач газодинамических задач с учетом теплопроводности на основе концепции адаптивных локально - измельчающихся сеток.

Достоверность полученных результатов подтверждена проведенными тестовыми расчетами, а так же сравнением с экспериментальными данными и численными результатами ведущих научных центров, работающих по данной тематике.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на

• Russia-Japan International Workshop on Actual Problems of Computional Mechanics, (St.Peterburg, 2002)

• V International Congress on Mathematical Modeling (Dubna, 2002)

• X Всероссийской Школе-Семинаре "Современные проблемы Математического Моделирования" (пос. Абрау-Дюрсо, 2003)

• международной конференции Parallel CFD 2003 (Moscow, 2003)

• VI, VII, VIII международных семинарах «Супервычисления и математическое моделирование» (г. Саров, 2002,2003,2004гг.)

• Всероссийской Научно-Технической Конференции «Параллельные вычисления в задачах математической физики» (Ростов-на-Дону, 2004)

• 9th International Workshop on the Physics of Compressible Turbulent Mixing (Cambridge, UK, 2004)

• конференции «Физика Экстремальных Состояний Вещества» (Черноголовка, 2004г.)

• VI Международном Конгрессе «Математическое моделирование на высокопроизводительных компьютерных системах» (г. Нижний Новгород, 2004)

• семинаре кафедры математического моделирования МФТИ и Института математического моделирования РАН под руководством проф. Е.И. Леванова

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, из них 3 в рецензируемых изданиях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы (153 наименования). Работа изложена на 157 страницах, содержит 72 рисунка и 8 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении формулируется тема работы, обосновывается ее актуальность, формулируется цель и основные задачи исследования. Проводится обзор современных тенденций развития архитектур традиционных многопроцессорных вычислительных систем и методик решения исследуемых задач. Приводится краткое описание структуры диссертации.

В первой главе диссертации представлено подробное описание методик расчета и структура программного комплекса «pNUT». В п. 1.1.1 изложена постановка задачи и представлена методика решения системы уравнений газовой динамики. В основу комплекса положен численный код NUT1, который представляет собой программу для решения системы трехмерных уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных. Основное ядро программы составляет схема решения системы уравнений газовой динамики, записанной в виде законов сохранения массы, импульса и полной энергии в эйлеровой системе координат. За уравнение состояния принимается уравнение состояния идеального газа.

Для построения дискретной модели область непрерывного изменения аргумента заменяется дискретной сеткой, равномерной по каждому направлению. Аппроксимация пространственных производных осуществляется по принципу TVD схем. Данная версия кода использует для определения потоков через границы ячеек схему распада разрыва Годунова. Аппроксимация временных производных осуществляется по явной схеме второго порядка точности (что соответствует схеме типа «предиктор-корректор»). В п. 1.1.2. приводится подробные схемы межпроцессорных обменов.

В п. 1.1.3. рассмотрены принципы распараллеливания базового алгоритма, обосновывается принцип геометрического распараллеливания, теоретически исследуются различные способы деления области на процессоры.

Одним из ключевых вопросов в написании параллельной программы является понятие эффективности базового алгоритма. В п. 1.2. проводится исследование эффективности распараллеливания на различных многопроцессорных системах.

1 В.Ф.Тишкин, В.В.Никишин, И.В.Попов, АЛ.Фаворский. Разностные схемы трехмерной газовой динамики для задачи о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова. // Математическое моделирование, 1995, т.7, №5, с.15-25.

Анализируются результаты масштабируемых и не масштабируемых по области расчетов.

Вместе с тем, кроме проведения расчетов, необходим аппарат, позволяющий изучить основные характеристики турбулентного перемешивания. Для расчетов такого рода также необходимо создание параллельных программ и использование супер-ЭВМ..

Методика расчета зоны турбулентного перемешивания описана в п.1.3.1.: в

расчетах концентрация одного газа полагалась равной единице, а второго -нулю.

Величина Ь (ширина зоны перемешивания газов) определялась как расстояние

между точками по оси г, в которых средняя в поперечном сечении концентрация

легкого газа равна к и (1 -к).

Методика расчета спектра турбулентной энергии и исследование тонкой

структуры турбулентности приводится в пп. 1.3.2 и 1.3.3 Для изучения структуры

турбулентности и ее спектральных характеристик была использована следующая 1

процедура.

Пусть Идо УфУ/ук - дискретный вектор скорости с компонентами, заданными на равномерной прямоугольной сетке по х,у,г.. Рассмотрим разложение компонент вектора скорости:

где - количество интервалов сетки,. -

размеры счетной области, - соответствующие координаты центров

ячеек. Каждому значению модуля волнового вектора ц = 1-у+—г+-у

V Ас

соответствует одно или несколько значений кинетической энергии

1 NNAnuchwa, VI Volkov, V'A Gordeych.uk et al 3D Numencal Simulation of Rayleigh-Taylor Instability Using MAH-3 Code // Layer and Particle Beams, 2000, v 18, p 175-181.

7

=(«¿0. +'¿4. отвечающих различным наборам {¡,т,п}, которые дают одно и

то же значение д. Для построения спектра турбулентной кинетической энергии

интервал (О^пиД где ^ разбивался на фиксированное число р

отрезков длиной в каждом из которых суммировались соответствующие

значения Построенная в результате такой процедуры функция

рассматривалась как спектральная характеристика гидродинамических полей, полученных в результате численного моделирования.

Как известно, при развитии неустойчивости Релея-Тейлора, турбулентность в слое перемешивания нельзя считать изотропной. Для оценки степени анизотропии целесообразно наряду с величиной , определенной выше, рассмотреть также и одномерные спектры кинетической энергии, которые строятся по правилу

"у".

Е'(1) = +К, + *£.). аналогично Е\

В основу процедуры исследования тонкой структуры турбулентности, положена идея построения поля скоростей используя алгоритм представления скоростей в виде суммы гармоник (1). Отсекая низкочастотные гармоники (используя в дальнейшем разнообразные фильтры), строится ротор высокочастотной части поля скоростей.

. п1 пт пп

81П—.сов—СОБ—Х9к,

п1 . тт пп V = 2,2, 2, уг-ф/™ «и—51П —^ сов—г^,

Н> »1=0 л=0 -Ьу ¿2

(2)

Анализ тонкой структуры турбулентности проводится по визуализируемым линиям уровня модуля ротора, построенной высокочастотной части поля скоростей

г2 + г? +г/ »щ V

На рис.1 представлена тонкая структура

турбулентности, соответствующая развитой

турбулентности в задаче о развитии неустойчивости Кельвина-Гельмгольца.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию характеристик турбулентного перемешивания в задаче о прямом численном моделировании неустойчивости Релея-Тейлора и задаче о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова для условий, соответствующих эксперименту.

Изучение характеристик турбулентности, при развитии неустойчивости Релея-Тейлора для задач с разноплютностью приводится в п.2.1

Счетная область выбрана в виде параллелепипеда. В начальный момент заданы распределения плотности и давления в соответствии с барометрической формулой. Здесь выше плоскости z=0 лежит тяжелый газ с плотностью р2 и давлением p¡ и постоянной по высоте температурой. Скорость звука в нем всюду одинакова. Ниже расположен также изотермический легкий газ с плотностью и давлением Скорость звука в легком газе также всюду одинакова.

Рис 2

На поверхности раздела z=0 давление непрерывно и равно ро , а отношение плотностей тяжелого и легкого газов равно п - рот/рт- Рассмотрены случаи п=3, 10, 20, 40. Возмущения на поверхности z=0 в одном слое ячеек в легком газе случайным образом задавались 10% возмущения плотности.

Сначала подробно изложены результаты, касающиеся обработки таких величин, как турбулентная кинетическая энергия, пульсации плотности, компоненты тензора Рейнольдса и функция плотности распределения вероятности концентраций для п=10. Детально исследована динамика распределения концентрации по зоне перемешивания. На ее основе определялись размеры зоны и глубины проникновения тяжелого газа в легкий и легкого в тяжелый Во всех случаях, на границе раздела разноплотных газов возникает растущая со временем зона перемешивания, в которой явно определяются три стадии. В таблицах приводятся значения полученных характеристик.

Отмечено, что характерные особенности развития турбулентности, описанные выше для случая п=10 имеют место и для других значений разноплотностей.

В параграфе 2.2 продолжено исследование характеристик турбулентного перемешивания в задаче о прямом численном моделировании неустойчивости Релея-Тейлора, которая проводилась на последовательности сгущающихся сеток. Постановка задачи соответствует описанной выше в п.2.1. Перепад плотности в данном случае п=3. Расчеты проведены на сетках 100*100*200, 200*200*400 и 500*500*1000.

Отмечено, что в проведенных расчетах проявилась характерная для рассматриваемых задач закономерность, заключающаяся в следующем. Рост ширины зоны перемешивания, в основном, подчиняется закону ,

подразделяется на две стадии (Рис.3). Первая соответствует установлению процесса, константа а различна для различных постановок начальных возмущений. Вторая соответствует, по-видимому, автомодельной стадии развития турбулентности.

В этом диапазоне, константа а примерно одна и также для различных начальных

постановок. Законы роста ширины зоны перемешивания оказываются связанными с особенностями спектра

начальных возмущений, т.е. с набором характерных для начального возмущения длин волн и амплитуд.

Проведено сравнение спектров кинетической энергии. Установлено, что в энергетической части имеется удовлетворительное совпадение спектров на сетках №1 и №2. Объясняются некоторые различия. При переходе к более подробной сетке, инерционный интервал, как и следовало ожидать, увеличивается в 2,5 раза. Далее у спектров наблюдается затухание с показателем -11/3.

Результаты обработки ясно свидетельствует об имеющейся в постановке задачи анизотропии: одномерные спектры по направлениям X и Y изотропны, а направление вдоль оси z- выделено (вдоль вертикали вниз направлена сила тяжести).

В п. 2.3 изложены постановки и результаты расчетов задачи о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова для условий, соответствующих эксперименту1. В данном эксперименте, наряду с измерениями ширины зоны турбулентного перемешивания измерялись также пульсации продольной скорости течения, что предоставляет обширный материал для сопоставления с результатами расчетов.

Из анализа приведенной литературы были определены некоторые из условий экспериментов. Общим в этих исследованиях является создание ударной волны с примерно одинаковыми во всех опытах параметрами, волна образуется при

1 F.Poggi, M.-H.Thorembey, G Rodriguez. Velocity measurements in turbulent gaseous matures induced by Richtmyer-Meshkov instability // Physics of Fluids, 1998, Vol.10, No.l 1, pp.2698-2700

11

time'

Рис.3

прорыве мембраны, отделяющей камеру высокого давления от покоящегося элегаза, находящегося при атмосферном давлении. Неустойчивость Рихтмайера-Мешкова возбуждается при прохождении ударной волной тонкой мембраны, разделяющей элегаз (БРв) и воздух, также находящийся при атмосферном давлении. Начальные возмущения контактной границы, заключающиеся в прогибе мембраны, создаются небольшим (1,44 мбар) избытком давления в элегазе. В работах описано два способа создания начальных условий: мембрана закреплена либо на стенках трубы, либо на квадратной сетке проволочек.

Исходя из приведенных данных для расчетов, была принята физическая постановка задачи.

Рис.4

Для моделирования этого эксперимента была проведена модификация кода «рКШ» для случая смеси газов с различными показателями адиабаты, которая описана в п.2.3.1.

На основании первой серии расчетов, выполненных на сетках с h=l и 0,5 мм, была уточнена начальная постановка задачи для следующих расчетов. Это позволило сократить общее число ячеек и выполнить расчеты с шагом по пространству h=l/3 мм на многопроцессорном комплексе со сравнительно небольшими затратами ресурсов. А так же установлено, что тип задания и величина начальных возмущений плотности заметно сказываются на результатах расчетов.

Далее подробно рассматриваются отдельные характеристики

турбулентности, возникающей в условиях эксперимента. Как было отмечено,

основные физические характеристики задачи (скорость распространения ударной

волны в трубе, моменты прохождения ударной волной контактного разрыва газов

«элегаз/воздух», ширина зоны перемешивания) неплохо воспроизводятся в целом

12

ряде различных постановок начальных условий. По сути, эти постановки отличаются способами задания начальных возмущений контактной границы, и, следовательно, отвечают различным спектрам длин волн и амплитуд в начальном возмущении. Однако, пульсационная характеристика зоны перемешивания Жр = где - продольная скорость, заметно отличается от экспериментальных результатов. Здесь величина Щ, = <м>' - корреляция продольной скорости w, а усреднение <•> проводится либо в заданном поперечном сечении трубы (в местах расположения датчиков ЬБЛ), либо в середине зоны перемешивания, т.е. в каждый момент времени в различных соответствующих сечениях.

Анализ результатов показал, что, во-первых, величина зависит от спектральных характеристик начального возмущения, уменьшаясь с уменьшением характерных длин волн в нём. Во-вторых, закон затухания пульсаций Щ, в расчетах иной, чем в эксперименте. Предложено объяснение этой зависимости, связав уменьшение со временем величины с законом роста ширины зоны перемешивания Ц0, интерпретируя эволюцию зоны в рамках работы1. Тем самым, основной вывод состоит в том, что для количественного воспроизведения результатов следует модифицировать постановки расчетных задач с целью попытаться воспроизвести тот спектр длин волн и амплитуд начального возмущения, который характерен для условий эксперимента.

Кроме этого, для выполненных расчетов был проанализирован спектр кинетической энергии ,Е(д) по модулю q волнового вектора в соответствии с процедурой, описанной выше. Оказалось, что во всех расчетах, вид спектра один и тот же. Во всех случаях ясно выделяется «инерционный интервал» Е(ф~£5/3 и более протяженный интервал в области диссипации Последняя

зависимость носит, по-видимому, универсальный характер и присуща также многим экспериментальным данным.

1 Н.В.Змитренко, Н.Г.Прончева, В.Б.Розанов. Эволюционная модель турбулентного слоя перемешивания. // Препринт ФИАН № 65, Москва, 1997

13

Рис.5 Отнормированная спектральная плотность кинетической энергии в различных постановках расчетов. Прямые линии на графике проведены с наклоном к осям -5/3 и -11/3

Этот вывод можно сделать, проанализировав рис. из книг, где приведены обезразмеренные результаты многих экспериментов. Все они характеризуются различной протяженности инерционными интервалами, различной величиной Щф в области энергии, но единым участком в области диссипации, имеющим наклон -11/3.

Общий вид динамики зоны перемешивания диаграмма движения границ зоны) представляется сходным во всех расчетах и близким к экспериментально наблюдаемому. На рис.6 представлена эволюция границ зоны для одного расчета в сопоставлении с экспериментом. Эволюция ширины зоны имеет три стадии. В работе показано, что уменьшение амплитуды возмущений приводит к снижению ширины зоны. Можно сделать вывод, что в промежутках времени между моментами прохода ударных волн через зону ширина зоны следует закону или

- момент, соответствующий минимуму

1 O.M.Bclotserkovsky. Turbulence and Instabilities. // M., МПТ, 1999 - 347 р А.СМонин, АМ.Яглом. Статистическая гидромеханика. Часть 2. Механика турбулентности // М., Наука, 1967-720 стр.

ширины зоны. Далее проводится определение величины к для расчетных данных и сравнение с установленными экспериментальными.

Рис 6 Сканированная из статьи [1] 24 диаграмма движения границ зоны (крестики) и результаты расчета (сплошные линии). Размеры по вертикальной оси (2) в мм, по горизонтальной оси (время 1) в мкс

Проведен подробный анализ закона затухания пульсаций Жр от времени (рис.7 и 8). На основании данных собранных в таблице делается вывод о величинах к и т из закона зависимости ширины зоны и интенсивности пульсаций

от времени.

Рис. 7. Величины пульсаций (М^/с2) в зависимости от времени (мкс) расчета в сравнении с экспериментальными данными.

Рис 8. Значения максимумов пульсаций Жг (м2/с2) на 3-м, 4-м и 5-м датчиках в расчетах и эксперитменте

В работе проведены расчеты 7 задач на последовательности сгущающихся сеток (h=1, 0.5 и 1/Змм). Использованы возможности многопроцессорного комплекса. Получены расчетные зависимости ширины зоны и корреляций скоростей (уровня пульсаций), предложено объяснение наблюдаемым отличиям расчетных значений от эксперимента.

Проведенное исследование дает основания полагать, что ряд таких характеристик развивающейся зоны перемешивания как ширина зоны L(t) или уровень пульсаций Wp(t) зависит от спектра начальных данных , т.е. от того какие длины волн и с какими амплитудами представлены в начальном возмущении. Для воспроизведения результатов и других экспериментов следует подбирать тип начальных возмущений и зависимость , которые наилучшим образом соответствуют условиям эксперимента.

Глава 3 посвящена решению газодинамических задач с учетом теплопроводности на основе концепции адаптивных локально - измельчающихся сеток (в нашем случае на основе четырехугольных ячеек). Были разработаны алгоритмы решения и создан пакет прикладных программ ADAPT_2D.

В п.3.1 описана используемая методика AMR(adaptive mesh refinement).

Идеология построения AMR сетки позволяет интегрировать каждый уровень не только со своим временным шагом (выбираемым из условия Куранта - Фридрихса), но и со своим методом интегрирования. Сама

последовательность сеток строится рекурсивным способом, а именно, новые ячейки сетки внедряются в области более грубой сетки до тех пор, пока требуемая точность не буде достигнута.

Рис.9

Это достигается последовательным делением parent ("отцовской") ячейки на четыре child ("дочерних") ячейки (см. рисунок 9). Дочерним ячейкам

присваивается уровень на единицу больше, чем у родительской ячейки. Процедуры измельчения и огрубления сетки описаны в п. 3.2.

В п. 3.3 приводятся вычислительные методики, используемые для решения системы уравнений газовой динамики и уравнения теплопроводности в пакете прикладных программ А0АРТ_20. Основное ядро программы составляет схема решения системы уравнений газовой динамики, записанной в виде законов сохранения массы, импульса и полной энергии в эйлеровой системе координат. Решение проводится по схеме первого порядка точности. Для численного решения уравнения теплопроводности - неявная разностная схема, удовлетворяющая требованию самосопряженности получившегося оператора. Для решения уравнения на однопроцессорной ЭВМ используется метод неполного разложения Холецкого сопряженных градиентов.

Для проведения расчетов на адаптивных сетках требуется специальная организация структуры данных. Для адаптивных сеток, отношения связи между ячейками становятся сложнее, чем в регулярном случае. И более того, в нестационарных задачах окружение ячейки может меняться: ячейки могут то уничтожаться, то создаваться в соответствии с выбранным критерием. Структура данных и структура пакета представлены в п.3.4

В ^5.5 приводятся тестовые расчеты, демонстрирующие эффективность развитого метода.

На рис.10 расчет на динамически-адаптивной сетке, максимально допустимого порядка 1=5 прохождения сильной ударной волны (с числом Маха М=1,34) по однородному газу с постоянными коэффициентами теплоёмкости и теплопроводности.

Рис.10

Используя программный комплекс ADAPT_2D, проведено численное исследование развития неустойчивости в плазме на контактной границе, описаное

в п. 3.6

Неустойчивость развивается при прохождении сильной ударной волны с числом Маха М=20 через контактную границу "оболочка-ДТ-горючее". Исследуется влияние электронной теплопроводности на эволюцию возмущения границы. В первой области малоплотная смесь углерода и водорода (СН2), моделирующая корону лазерной мишени; вторая область- неиспаренная часть оболочки, с тем же химическим составом (СН2); третья область - горючее: смесь дейтерия и трития. В представленных расчетах моделировалась ситуация, когда ударная волна в лазерной мишени отражается от центра и тормозит оболочку. Возмущения на контактной границе "ДТ-оболочка" задавались в виде

Рис. 11 Уровни постоянной плотности для случаев отсутствия эффекта теплопроводности (а) и при наличии этого процесса (б).

В расчетах использовался коэффициент электронной теплопроводности в форме Спитцера-Брагинского к = к01!}. Расчеты проведены без учета теплопроводности (Рис. 11а) и с учетом влияния теплопроводности (рис.11б).

В рассматриваемом случае длинноволновых возмущений (20 мкм) влияние электронной теплопроводности невелико. Тем не менее видно, что теплопроводность несколько "разгладила" контактную поверхность и подавила мелкомасштабные возмущения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Разработаны методики и создан комплекс программ, позволяющий проводить прямое численное моделирование гидродинамических неустойчивостей на различных параллельных системах. Для анализа результатов расчетов процесса турбулентного перемешивания созданы параллельные модули, позволяющие

исследовать основные характеристики возникающей турбулентности, такие, как закон роста ширины зоны перемешивания со временем, зависимость спектра кинетической энергии от волнового числа и степень анизотропии турбулентного перемешивания, расчета пульсаций.

2. Проведено прямое моделирование турбулентного перемешивания на примере двух задач: задачи о развитии неустойчивости Релея -Тейлора и задачи о многократном прохождении ударной волны контактной границы элегаз/воздух. В расчетах было дано теоретическое объяснение эффекту уменьшения скорости роста зоны перемешивания при переходе к расчетным сеткам, содержащим большое число узлов. (порядкаЮ7). Это объяснение позже получило экспериментальное подтверждение. Получена картина тонкой структуры турбулентности.

3. Для решения задач газодинамических задач с учетом теплопроводности на основе концепции адаптивных локально - измельчающихся прямоугольных сеток были разработаны алгоритмы решения и создан пакет прикладных программ ADAPT_2D.

Основное содержание работы изложено в следующих публикациях:

1. С.М.Гарина, Н.В.Змитренко, М.Е.Ладонкина, И.Г.Лебо, В.В.Никишин, Н.Г.Прончева, В.Б.Розанов, В.Ф.Тишкин. Численное моделирование и анализ характеристик турбулентного перемешивания с помощью трехмерного кода NUT. //Математическое моделирование, 2003, т.15, №5, с.3-11.

2. V. F. Tishkin, N.V. Zmitrenko, М. Ye. Ladonkina, N.G. Proncheva, S. M. Garina A Study of a Gravity-Gradient Mixing Properties by the Means of a Direct Numerical Modeling.//Proceeding of the Parallel CFD 2003 Conference, Moscow, Russia (May 13-15,2003)

3. Н.В.Змитренко, М.Е.Ладонкина, В.Ф.Тишкин Численное исследование турбулентного перемешивания для одной задачи о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова. ВАНТ, Математическое моделирование физических процессов, 2004, вып.1, с. 12-27.

4. S.M.Garina, M.Ye.Ladonkina, N.G.Proncheva, V.F.Tishkin, N.V.Zmitrenko Numerical modeling о f the turbulent mixing a t m uniprocessor с omputer с luster. Abstracts of Russia-Japan International Workshop on Actual Problems of Computional Mechanics, St.Peterburg, 2002

5. С.М.Гарина, Н.В.Змитренко, М.Е.Ладонкина, Н.Г.Прончева, В.Ф.Тишкин «Математическое моделирование гравитационного перемешивания на многопроцессорных вычислительных комплексах» Тезисы докладов Международного семинара «Супервычисления и математическое моделирование», г. Саров, 2002

6. Н.В.Змитренко, М.Е.Ладонкина, В.Ф.Тишкин Численное моделирование характеристик турбулентности, возникающей за ударной волной Тезисы докладов Международного семинара «Супервычисления и математическое моделирование», г. Саров, 2003

7. V.F.Tishkin, M.YeXadonkina & N.V.Zmitrenko Numerical simulation of turbulent stage of Richtmyer-Meshkov instability with multi-shock interaction. Book of Abstracts 9th International Workshop on the Physics of Compressible Turbulent Mixing, Cambridge, UK, 2004

8. M.Ye. Ladonkina, N.G. Proncheva, V. F. Tishkin, N.V. Zmitrenko Numerical simulation of the turbulent gas dinamics flows by means of multiprocessor complex Book of Abstracts VIICMM, Nizhny Novgorod, Russia, 2004

Издательство ООО "МАКС Пресс". Лицензия ИД № 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 15.12.2004 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,25. Тираж 80 экз. Заказ 1226. Тел. 939-3890, Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В.Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Р2 726 2

Введение.

1. Программный комплекс «pNUT»

1.1.Параллельный алгоритм расчета газодинамических течений по методике NUT.

1.1.1. Используемые численные методы.

1.1.2. Принципы геометрического распараллеливания.

1.1.3. Основные схемы обменов.

1.1.4. Тестовый расчет. . ;.

1.2.Исследование эффективности распараллеливания на различных многопроцессорных системах.

1.2.1. Немасштабируемые расчеты.

1.2.2. Масштабируемые расчеты.

1.3.Методики расчета основных характеристик турбулентного перемешивания и . исследование тонкой структуры турбулентности.

1.3.1. Методика расчета зоны турбулентного перемешивания.

1.3.2. Методика вычисление спектра кинетической энергии.

1.3.3. Методика расчета тонкой структуры турбулентности.

2. Прямое численное моделирование неустойчивостей Рэлея - Тейлора и Рихтмайера - Мешкова на МВС.

2.1. Моделнрованине неустойчивости Релея-Тейлора Изучение характеристик турбулентности.

2.2. Моделировании неустойчивости Релея-Тейлора. Исследование характеристик турбулентного перемешивания на сгущающихся сетках.

2.3. Постановка и результаты расчетов задачи о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова для условий, соответствующих эксперименту. Анализ пульсации продольной скорости течения.

3. Моделирование задач гидродинамики на локальноподстраиваемых сетках в двухмерной геометрии.

3.1. Описание методики.

3.2. Описание блока эволюции сетки.

3.3. Разностные схемы блока гидродинамики и , блока теплопроводности.

3.4. Структура данных и структура пакета.

3.5. Тестовые расчеты.

3.6. Численные исследования развития неустойчивости при прохождении сильной ударной волы через контактную границу «оболочка-ДТ-горючее» с учетом влияния электронной теплопроводности на эволюцию возмущения границ.

Помимо несомненного интереса, явление турбулентного перемешивания, при развитии неустойчивостей, имеет большое значение для ряда практических задач. Создание новых источников энергии, основанных на процессе управляемого термоядерного синтеза, в частности, лазерного термоядерного синтеза (JITC), проектирование сложных технических конструкций, в которых происходит нестационарный нелинейный перенос вещества среды, требует подробного исследования законов переходных и турбулентных процессов.

Теоретические и экспериментальные исследования явлений гидродинамических неустойчивостей сопряжены с рядом трудностей для современной науки. Наиболее доступным методом изучения данной проблемы сегодня является математическое моделирование и численный эксперимент [1]. Достоверное воспроизведение такого сложного эксперимента возможно лишь при сочетании эффективных численных методик, обеспечивающих высокую точность описания динамики процессов и сложной структуры области контактов; применения алгоритмов повышенной точности, позволяющих достаточно близко к экспериментальным данным воспроизводить основные характеристики гидродинамических неустойчивостей и использование высокопроизводительной вычислительной техники, предоставляющее возможность моделирования турбулентных течений на совершенно новом уровне.

Исследование турбулентной стадии неустойчивостей стало возможно лишь в настоящее время, в связи с бурным развитием многопроцессорной вычислительной техники[50,51]. Наличие высокопроизводительной техники позволило проводить трехмерное математической моделирование гидродинамической неустойчивости, включая автомодельную стадию турбулентности и получать физически оправданный результат, кроме того и качественно и количественно новые характеристики.

К сожалению, развитие программного обеспечения для суперкомпьютеров отстает от общего развития технологий разработки программного обеспечения для персональных компьютеров[94,97]. Это связано с разницей в алгоритмах решения одних и тех же задач для однопроцессорной машины и многопроцессорного вычислительного комплекса. Поэтому тот огромный потенциал программного обеспечения, созданный для решения задач гидродинамики на персональном компьютере полностью должен быть пересмотрен применительно к многопроцессорным комплексам.

Данная диссертационная работа посвящена разработке и созданию программного комплекса для моделирования гидродинамических неустойчивостей и исследования основных характеристик турбулентного перемешивания на МВС с распределенным видом памяти.

В работе рассмотрено 3 вида неустойчивостей. Неустойчивость Рихтмайера - Мешкова [5,6] развивается на контактной границе 2х сред, когда ударная волна проходит из менее плотной среды в более плотную и наоборот. В [7] на основании численных расчетов было показано, что такого типа неустойчивость развивается и в том случае, когда ударная волна проходит через контактную границу двух равноплотных газов, но с различными показателями адиабаты. Второй тип неустойчивостей — неустойчивость Кельвина- Гельмгольца, возникающая на границе раздела двух сред разной плотности при их скольжении относительно друг друга. И неустойчивость Рэлея-Тейлора [8-10], которая развивается на контактной границе в том случае, когда более плотная среда помещена в поле тяготения над менее плотной средой, либо когда менее плотным слоем пытаются ускорить более плотный слой.

Работы по исследованию неустойчивости Рихтмайера-Мешкова были продиктованы в 60-е годы прикладными вопросами физики высокой плотности энергии. В 80-е годы начались экспериментальные и численные исследования этой задачи [39,40]. Первые расчеты были сделаны по лагранжевым методикам, и это позволило аккуратно отследить динамику развития контактных границ на линейной и нелинейной стадиях развития, но из-за сильного искажения формы лагранжевых ячеек не удавалось промоделировать переходную стадию развития процесса, наблюдаемую в экспериментах [38]. Лишь только качественный скачок в развитии разностных методов конце 90-х годов позволил в дальнейшем проведение численных экспериментов поздней нелинейной стадии развития неустойчивости вплоть до начала процессов турбулентного перемешивания [36,41,43,44].

Как известно, решение различных задач математической физики, которые описываются гиперболическими системами уравнений, могут быть гладкими в одних областях и разрывными в других [56]. Разрывные решения могут при этом возникать из гладких начальных данных. Такие свойства решений налагают на алгоритмы численного решения гиперболических систем уравнений достаточно противоречивые требования. С одной стороны, численный метод должен уметь сохранять свойство монотонности в тех областях, где искомые решения имеют большие перепады значений. С другой стороны, тот же метод должен обладать высоким порядком точности в тех областях, где решение является гладким. В 1959, в работе [53] Годунов показал, что линейных разностных схем, удовлетворяющих этим двум требованиям одновременно быть не может. В данной работе была сформулирована монотонная схема Годунова, имеющая первый порядок и на каждом шагу которой в соседних ячейках решалась задача Римана о распаде разрыва. В дальнейшем это породило целый класс схем, называемыми схемами типа Годунова. К таким схемам относятся также схемы типа TVD. Подробный обзор работ, посвященных численным методам задач гидродинамики, проведен в [47,48].

Создание TVD схем связано с уточнением понятия монотонности схемы для систем линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа. Общие идеи и принципы построения сводятся к следующим: невозрастание полной вариации разностного решения (Total Variation Diminishing) схемы

58,59,62-64] и неувеличение числа локальных экстремумов при ограниченном росте полной вариации (Essentional Non-Oscillatory) [77]. TVD свойство является более слабым требованием, чем монотонность, однако, за счет ослабления требований к схеме, удается построить схемы более высокого порядка, не осциллирующих на разрывах решения. Развитие TVD схем связано с именем Хартена. В работах [60,61,67,69] Хартен ввел класс TVD схем и изучил их свойства, и кроме того, предложил схему 2-го порядка. Для повышения порядка схемы и удовлетворению TVD условию развита специальная техника кусочно-линейной реконструкции сеточных функций. Наклоны кусочно-линейных сеточных функций внутри ячеек для выполнения TVD условия ограничиваются специальными ограничителями (limiters). Они действуют на конечные разности сеточных функций. В работах [73-75] дан анализ современному состоянию дел в области построения ограничителей. Во многих TVD схемах применяется так же и метод энтропийной коррекции, представленный в работе Хартена [68]. В последнее время практически все схемы переменного порядка точности основаны на кусочно-полиномиальной реконструкции дискретных сеточных функций, удовлетворяющих TVD-свойству или свойствам его обобщающим. Это такие схемы как UNO[66,72], TVB [65], ENO [66;70], и др.

Многие схемы не являются в общем случае TVD схемами, так же как и TVD схемы не являются монотонными, а имеют более слабые свойства.

Создание многочисленных разновидностей методик привело к значительному повышению качества получаемых численных решений, и даже вошло в обращение понятие схемы высокого разрешения (high resolution schemes) [71,73-76].

Другим перспективным направлением решения задач гидродинамики является развитие экономичных численных методов. При решении задач математической физики часто приходится иметь дело с изолированными областями высоких градиентов, в которых сложно аппроксимировать решение и которые, однако, могут существенным образом влиять на весь дальнейший процесс. Примерами тому служат задачи динамики жидкости и газа со сложными конфигурациями ударных волн и контактных разрывов; задачи лазерного термоядерного синтеза [52], в которых характерны значительные (на порядки) изменения масштабов длины за время сжатия мишени и т.д. В настоящее время существует достаточно много вычислительных методик для решения задач указанного класса. Среди них можно выделить такие направления как многосеточные итерационные методы, методы подвижных сеток и адаптивные методы. Перспективным и интенсивно развивающимся за последние десять лет является математическое моделирование на основе иерархических локально — измельчающихся адаптивных сеток (adaptive mesh refinement - AMR). Преимущество данного метода перед другими методами заключается в возможности получить решение требуемой точности за минимальные вычислительные затраты. Кроме того, иерархическая структура построения и хранения расчетных сеток предоставляет возможность эффективного использования высокопроизводительных машин с распределенной памятью. Однако, динамическая природа адаптивности при моделировании течений, зависящих от времени, делает достаточно сложным и трудоемким приложение методологии данного типа для современных параллельных суперкомпьютеров. Подробное описание метода AMR было предложено в работе М. Berger и J. 01iger[138]. Развитие метода и приложение его для решения систем газовой динамики описано в работе М. Berger и P. Colella [139] и обобщено на трехмерный случай Bell и др. [140-145].-В последнее время появилось огромное количество работ, использующих схемы сквозного счета на движущихся адаптивных сетках [83-88]. Использование схем сквозного счета на движущихся адаптивных сетках позволяет придавать численным методам сквозного счета элементы не только высокого, но и практически точного разрешения особенностей течения среды.

Огромное количество работ посвящено экспериментальным и численным исследованиям турбулентного перемешивания при развитии гравитационной неустойчивости. Развитие малых начальных возмущений на границе раздела двух жидкостей приводит к образованию зоны турбулентного перемешивания. Со временем процесс развития такой зоны должен выйти на автомодельный режим, когда характерные размеры структур течения будут пропорциональны ширине самой зоны, а она будет нарастать по закону L(t)=aAgt2, A=(p2-pi)/( Рг+Рь) - число Атвуда р2, рь -плотности тяжелой и легкой жидкостей, g - ускорение, t — время [11] Относительно недавно были сформулированы условия реализации автомодельного режима турбулентного перемешивания (Анучина и др. 1978; Youngs 1984 [12,13]) - (I) полное "забывание" начальных возмущений, (II) отсутствие в задаче макромасштаба размерности длины (то есть отсутствие влияния границ области и т.д.), и (III) пренебрежимая малость вклада физических механизмов, ответственных за диссипацию энергии. Удовлетворение всех трех этих требований оказалось чрезвычайно трудным, и экспериментально и в вычислительном отношении.

В настоящее время[14] нет полного согласия относительно выполнения условия (I): можно ли когда-либо полностью "забывать" о начальных условиях (Cook & Dimotakis 2001; Clark 2003) [15,16]. Тем не менее, многие исследователи сходятся во мнении, что начальные условия чувствуются до тех пор, пока ширина зоны перемешивания не становится больше по сравнению с наибольшей длиной волны, присутствующей в начальных возмущениях (Glimm. 2001; Dimonte, 2004) [17,18]. Следовательно, для выполнения этого условия необходимо задавать мелкомасштабные возмущения. В численном моделировании, минимальная длина волны возмущения ограничена шагом по сетке, и разрешающей способностью вычислительной разностной схемой. Относительно условия (II) известно, что процесс 'слипания пузырьков' прекращается, когда доминирующая длина волны, или 'пузырьковый диаметр', вырастает до ширины области. Кроме того, как только количество мод в области уменьшается, статистические измерения ширины зоны перемешивания нельзя считать истинными. Следовательно, в экспериментах желательно делать размер области как можно больше. Относительно (III): можно пренебречь явлениями диффузионных процессов, если происходят расчеты неустойчивости в случае несмешивающихся жидкостей. В работе [14] показано, что, хотя процессы перемешивания смешивающихся жидкостей происходят в масштабах, намного меньших чем длины волн, присутствующие в возмущениях, "то есть пузырьковый диаметр" намного больше, чем Колмогоровский масштаб, тем не менее диффузионные процессы оказывают влияние на развитие крупномасштабных структур. Наконец, для смешивающихся жидкостей диффузионными эффектами нельзя пренебрегать ни для каких значений числа Рейнольдса. A Youngs (1991) [19] отметил, что в экспериментах, использующих несмешивающиеся жидкости (Read 1984) [20] и проводимых для больших чисел Рейнольдса, возможно, полученная оценка значения а является завышенной применительно для смешивающихся жидкостей.

Многочисленные экспериментальные и численные исследования турбулентного перемешивания посвящены проверке квадратичного закона роста зоны перемешивания и количественной оценке величины а. Определение величины а имеет важное значение для полуэмпирических моделей развития турбулентности. В различных натурных экспериментах и численных расчетах это значение меняется в довольно широком диапазоне [17,20,22-25].

Эксперименты обладают значительным преимуществом перед численным моделированием в достижение большого числа Рейнольдса. Cook, и Zhou (2002)[21] выполнили прямое численное моделирование РТН используя 535 миллионов ячеек, однако, их числа Рейнольдса (5500) было недостаточно, чтобы выявить значительный инерционный интервал в энергетическом спектре. Однако, намного проще варьировать начальными возмущениями в численной модели, нежели порой даже определить в эксперименте. Эксперименты, включающие ускорение корпуса (Кучеренко; Read 1984; Dimonte и Schneider 2000) [26,20,27], обычно не характеризовали начальные возмущения, а эксперименты, включающие выдергивание пластины на границе раздела разноплотных газов (Зайцев; Duff, Harlow и Hirt 1962;

Dalziel, Linden и Youngs 1999) [28- 30], как известно, вводят нежелательные крупномасштабные нарушения течения. Так же и другие условия натурных экспериментов далеки от идеальных условий * автомодельного режима. В них, в частности, присутствует параметр размерности длины, определяемый конечными размерами ускоряемой т капсулы и ограничено время наблюдения развития неустойчивости.

Таким образом, численное моделирование, имеет преимущество в достижении турбулентным перемешиванием автомодельного режима, по крайней мере, до тех пор, когда в экспериментах смогут создать мелкомасштабные начальные возмущения.

Многие вопросы течения турбулентного перемешивания при развитии неустойчивости Рэлея -Тейлора являются все еще открытыми, хотя значительный скачек в исследованиях в последнее время связан с возможностью моделирования данного явления на высокопроизводительной технике. Подробный обзор ранних работ, посвященных численным и экспериментальным исследованиям, проведен Sharp (1984) [31]. В работе Linden, Redondo и Youngs (1994) [32], сочетающей и экспериментальные и трехмерные численные модели развития неустойчивости, использующие растворимые жидкости, было проведено всестороннее сравнение и получено качественное подобие, но столь же хорошее количественное согласие получить не удалось. Позже, в работе Dalziel, Linden и Youngs (1999) [30] также были проведены численные и натурные эксперименты турбулентного перемешивания между двумя растворимыми жидкостями, порожденного неустойчивостью Релея-Тейлора. В этой работе обсуждаются вопросы улучшения диагностики эксперимента и обеспечения более высокого уровня взаимодействия между экспериментами и численным моделированием. Показано, что на рост зоны перемешивания оказывает влияние в большей степени пространственная структура начальных возмущений, чем их амплитуда. В данной работе обсуждаются различные постановки экспериментов.

В работе Cook, Cabot & Miller (2004) [14] разрабона крупно-вихревая методология моделирования неустойчивости Рэлея-Тейлора, выполнены расчеты РТН на сетке с числом ячеек 1152. Результаты подтверждают наличие автомодельной стадии турбулентности. Скорость J роста зоны перемешивания подчиняется известному закону вне зависимости от начальных условий. Значения коэффициента а коррелируют с 1 результатами Glirnm и др. (2001) [17]. Эти значения ниже описанных в литературе, но соответствуют общей убывающей тенденции при увеличивающейся разрешающей способности сетки в численном моделировании (Dimonte и др. 2004) [18]. В работе предложено объяснение почему эксперименты с несмешивающимися жидкостями (Read 1984; Dimonte и Schneider 2000) [20,27], и численные модели (Glimm и др. 2001)[17] показывают более быстрые темпы роста зоны, чем случаи, учитывающие диффузию (Dimonte и др. 2004) [18].

Как уже было сказано, ещё одним значимым фактором развития данного направления является использование высокопроизводительной вычислительной техники, предоставляющее возможность моделирования турбулентных течений на совершенно другом уровне. Вследствие чего, в 1 настоящий момент получены новые количественные характеристики в законе роста зоны турбулентного перемешивания, а так же появилась возможность детального изучения структуры турбулентности и ее основных характеристик.

Несомненно, предпосылки появления многопроцессорной вычислительной техники появились намного раньше её создания. Ярким примером параллельной обработки данных ещё в докомпьютерную эру, является расчет эволюции взрывной волны, произведенный Александром Андреевичем Самарским в начале 50-х годов. Несколько десятков человек производили расчеты на арифмометрах и передавали результаты друг другу на словах. Таким образом была реализована основная идея, положенная в основу параллельных вычислительных систем. Не случайно, так же, история создания параллельной вычислительной техники в работе [4] начинается с момента создания первых ЭВМ (конец 40 - начало 50-х годов XX столетия).

Так с появлением первых компьютеров основным вопросом стало повышение их производительности, которое достигалось за счет совмещения во времени различных этапов выполнения соседних команд. j Следующими этапами увеличения производительности стали реализация принципов конвеерности, векторности и независимости функциональных устройств. В дальнейшем, увеличение производительности было связано в первую очередь с принципом параллелизма, но это был внутренний параллелизм, предполагающий, что процессор содержит несколько функциональных устройств, работающих независимо друг от друга. Следующим шагом в увеличении производительности вычислительной машины является создание многопроцессорной конфигурации. Архитектура параллельных компьютеров развивается невероятно быстрыми темпами в самых различных направлениях [90]. Но, тем не менее, основополагающими являются 2 класса. Первый - машины с общей памятью (SMP), когда в системе присутствуют несколько равноправных процессоров, которые имеют одинаковый доступ к единой памяти. И компьютеры с распределенной памятью (МРР). Где по сути каждый узел является полноценным компьютером со своим процессором, памятью, системой ввода/вывода, операционной системой. Кроме того, существует огромное количество способов организации параллельных систем. В настоящее время ещё не существует полной классификации параллельных машин, отражающей все основные характеристики систем. Хотя попыток создания классификации было множество: в работе[4] рассмотрены наиболее известные из них. Наиболее ранней и общепринятой в настоящее время является классификация М. Флина. В её основу положено понятие потока, (т. е. последовательность команд и данных, обрабатываемых процессором). Выделяется четыре класса архйтектур.

SISD - (одиночный поток команд - одиночный поток данных) SIMD - (одиночный поток команд - множественный поток данных) MISD — (множественный поток команд - одиночный поток данных) MIMD - (множественный поток команд - множественный поток данных)

Класс MIMD чрезвычайно широк, поэтому многими авторами уточнялось понятие этого класса[85]. Понимание типа архитектуры вычислительной машины необходимо для написания эффективной программы, т.к. для каждого типа параллельных машин характерна своя модель программирования. Так для МРР и компьютеров с кластерной архитектурой стандартной моделью является программирование с использованием сообщений. Сообщение как средство межпроцессорного взаимодействия впервые было введено Хоаром в работе [93]. На основе сообщений было создано много систем параллельного программирования, но самым распространенным на сегодняшний день является MPI [84,95-97]. Интерфейс MPI поддерживает создание параллельных программ в стиле MIMD, что подразумевает объединение процессов с различными исходными текстами .Однако на практике гораздо чаще используется S PMD модель, в рамках которой для всех параллельных процессов используется один и тот же код.

В свою очередь применение в вычислениях многопроцессорных машин требует совершенствования численных алгоритмов и создания параллельных программ для многопроцессорных комплексов. Если для оценки алгоритма для ПК достаточно было трех характеристик - это точность алгоритма, объем требуемой памяти и количество операций, то для создания алгоритма для многопроцессорной системы помимо этих характеристик необходимо учитывать выбор эффективного способа распараллеливания. И, вопрос эффективности базового алгоритма является ключевым в выборе численного метода. Так теоретическим и практическим вопросам программирования применительно к параллельным системам посвящена работа[57], анализ создания эффективных параллельных алгоритмов проведен в работах[4, 87,88]. Наиболее известна работа, посвященная параллельным алгоритмам линейной алгебры[127]. Параллельные алгоритмы решения задач гидродинамики были рассмотрены в работе[99]. И в последнее время это направление активно развивается[102-104].

В настоящее время, ни какого сомнения не вызывает тот факт, что для точного моделирования турбулентных течений помимо развития численных методов решения задач, необходимым аппаратом стало j использование многопроцессорных систем. Зачастую небольших параллельных кластеров бывает недостаточно для того, чтобы уловить сложную структуру турбулентности. Так с использованием подробных сеток, появилась возможность зафиксировать и исследовать тонкую структуру турбулентности. К сожалению, персональные машины и машины с небольшими параллельными кластерами в силу аппаратных ограничений могут работать только с «грубыми» сетками.

Созданные в последнее время параллельные программные комплексы вполне адекватно описывают экспериментальные результаты. Вместе с тем, особенности каждого численного алгоритма могут внести специфические сеточные погрешности в описание турбулентности, исказить картину течения или не отразить всех особенностей сложного развития неустойчивостей. Это обстоятельство. свою очередь требует подробного изучения адекватности расчетных данных имеющимся представлениям о моделируемом процессе. Кроме того, необходим аппарат, позволяющий изучить основные характеристики турбулентного перемешивания при развитии неустойчивостей, такие как ширина закон роста зоны турбулентного перемешивания, спектр кинетической энергии, тонкая структура турбулентности. Для расчетов такого рода уже необходимо создание параллельных программ и использование супер-ЭВМ.

Как известно, основные теоретические представления о турбулентности связаны с «колмогоровским» видом спектра кинетической энергии хаотически движущейся жидкости, квадратичным по времени законом роста ширины зоны, «автомодельным» профилем плотности в зоне перемешивания.

Нередко выполнение квадратичного закона роста ширины зоны и временное подобие осредненных профилей плотности в области перемешивания на некотором временном интервале считаются достаточными для того, чтобы рассматривать течение, как автомодельное. Для получения более обоснованного вывода об автомодельном характере турбулентного перемешивания на каком-то отрезке времени необходимо анализировать внутренние характеристики потока, базирующиеся на спектральном представлении газодинамических полей. В частности, наряду с установлением пространственно-временного подобия функционалов течения, необходимо проверять наличие инерционного интервала волновых чисел к, на котором реализуются закон Колмогорова-Обухова [33-35] распределения турбулентной кинетической энергии E(k)~k"5/3. Для анализа результатов расчетов процесса турбулентного перемешивания необходимы эффективные методики исследования основныех характеристик возникающей турбулентности. Ширину зоны перемешивания возможно оценивать различными способами. Например, задав начальное положение границы в дальнейшем рассчитывать её эволюцию. Используют при этом как алгоритмы явного выделения границы [17], так и «лагранжевые» метки -«маркеры»[36]. Известно определение зоны по средним концентрациям [37]. В работе [ 14] вводится понятие зоны «смешанности», используя молярную массу вещества, по ней всесторонне исследуется перемешивающийся слой.

Подробное исследование влияния спектра начальных возмущений на рост зоны турбулентного перемешивания и исследование спектра кинетической энергии проведено в работах [54,117].

Основными целями диссертации являются:

• разработка и создание пакета прикладных программ для решения задач гидродинамики и исследования основных характеристик турбулентности

• исследование гидродинамических неустойчивостей на многопроцессорных вычислительных системах

• исследование тонкой структуры турбулентности

Диссертация состоит из введения и трех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты диссертации:

1. Разработаны методики и создан комплекс программ, позволяющий проводить прямое численное моделирование гидродинамических неустойчивостей на различных параллельных системах. Для анализа результатов расчетов процесса турбулентного перемешивания созданы параллельные модули, позволяющие исследовать основные характеристики возникающей турбулентности, такие, как закон роста ширины зоны перемешивания со временем, зависимость спектра кинетической энергии от волнового числа и степень анизотропии турбулентного перемешивания, расчета пульсаций.

2. Проведено прямое моделирование турбулентного перемешивания на примере двух задач: задачи о развитии неустойчивости Релея -Тейлора и задачи о многократном прохождении ударной волны контактной границы элегаз/воздух. В расчетах было дано теоретическое объяснение эффекту уменьшения скорости роста зоны перемешивания при переходе к расчетным сеткам, содержащим большое число узлов. (порядкаЮ ). Это объяснение позже получило экспериментальное подтверждение. Получена картина тонкой структуры турбулентности.

3. Для решения задач газодинамических задач с учетом теплопроводности на основе концепции адаптивных локально — измельчающихся сеток (в нашем случае на основе четырехугольных ячеек) были разработаны алгоритмы решения и создан пакет прикладных программ ADAPT 2D.

1. А. А. Самарский, Теория разностных схем, М., Наука, (1989).

2. А. А. Самарский, Ю. П. Попов, Разностные методы решения задач газовой динамики, М., Наука, (1980).

3. О. М. Белоцерковский, А. М. Опарин, Численный эксперимент в турбулентности от порядка к хаосу, М., Наука, (2000)

4. В. В. Воеводин, Вл. В. Воеводин, Параллельные вычисления, С-Пб.,БХВ-Петербург, 2002.

5. R. D. Richtmyer, Taylor instability in shock acceleration of compressible fluids, Comm. Pure and Appl. Math, 13, #2, 297, (1960).

6. E. E. Мешков, Неустойчивость поверхности раздела двух газов, ускоренных ударной волной. Известия Академии наук СССР. Механика жидкости и газа, №5, 151. (1969).

7. Lord Rayleigh, Scientific Papers, Vol. II Cambridge Univ. Press, Cambridge, England, 200-207, (1900).

8. G. I. Taylor, The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction perpendicular totheir planes, Proc. R. Soc. London, Ser. A 201, 192-196, (1950).

9. S. Chandrasekhar, Hidrodynamic and Hydromagnetic Stability, Oxford University Press, (1961)

10. C.3. Беленький, E. С. Фрадкин,Теория турбулентного перемешивания, Труды ФИАН, т.29, 207-238, (1965)

11. Н. Н. Анучина, Ю. А. Кучеренко, В. Е. Неуважаев, В. Н. Огибина, JI. И. Шибаршов, В. Г. Яковлев, Известия Академии наук СССР. Механика жидкости и газа, №6, 157, (1978).

12. D. L. Youngs, Numerical simulation of turbulent mixing by Rayleigh-Taylor instability, Phisica D 12, 32-44, (1984).

13. A. W. Cook, W. Cabot, P. L. Miller, The mixing transition in Rayleigh-Taylor instability, J. Fluid Mech., vol. 511, 333-362, (2004)

14. A. W. Cook, P.E. Dimotakis, Transition stages of Rayleigh-Taylor instability between miscible fluids,, J. Fluid Mech., vol. 433, 69-99, (2001)

15. Т. T. Clark, A numerical study of the statistics of a two-dimensional Rayleigh-Taylor mixing layer, Phys. Fluids 15, 2413-2423, (2003).

16. J. Glimm, J. W. Grove, X. L. Li, W. Oh, D.H. Sharp, A critical analysis of Rayleigh-Taylor growth rates, J. Comput. Phys. 169, 652-677, (2001).

17. G. Dimonte, D.L. Youngs, A. Dimits et al., A comparative study of the turbulent Rayleigh-Taylor (RT) instability using high-resolution 3d numerical simulations: The alpha-group collaboration. Phys. Fluids 16, 1668-1693, (2004).

18. D. L. Youngs, Three-dimensional numerical simulation of turbulent mixing by Rayleigh-Taylor and Richtmyer-Meshkov instabilities, Laser Particle Beams 12,725-750, (1991).

19. К. I. Read, Experimental investigation of turbulent mixing by Rayleigh-Taylor instability, Physica D 12, 45-58, (1984).

20. A. W.Cook, у. Zhou, Energy transfer in Rayleigh-Taylor instability. Phys. Rev. E 66, 026312, (2002).

21. Ю. А. Кучеренко, О. E. Шестаченко, Ю. А. Пискунов и др., Экпериментальное исследование автомодельного режима перемешивания разноплотных газов в поле тяжести Земли, VI Забабахинские чтения, Снежинск, (2001).

22. G. Dimonte, М. Schneider, Density ratio dependence of by Rayleigh-Taylor mixing for sustained and impulsive acceleration histories, Phys. Fluids 12, 304-321,(2000).

23. B.B. Кривец, Исследование неустойчивости Рэлея-Тейлора в сжимаемых средах, Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук,

24. R. Е. Duff, F. Н. Harlow, C.W. Hirt, Effects of diffusion on interface instability between gases, Phys. Fluids 5, 417-425, (1962).

25. S. B. Dalziel, P. F. Linden, D. L. Youngs, Self-similarity and internal structure of turbulence induced by Rayleigh-Taylor instability. J. Fluid Mech. 399, 1-48, (1999).

26. D. H. Sharp, An overview of Rayleigh-Taylor instability. Physica D 12, 3-18, (1984).

27. P. F. Linden, J. M. Redondo, D. L. Youngs, Molecular mixing in Rayleigh-Taylor instability, J. Fluid Mech. 265, 97-124, (1994).

28. A. M. Обухов. О распределении энергии в спектре турбулентного потока, ДАН СССР, т. 32, №1, (1941).

29. А. М. Обухов. О распределении энергии в спектре турбулентного потока, Изв. АН СССР, сер. Географии и геофизики, т.5, №4,5, (1941).

30. А. Н. Колмогоров, Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса, ДАН СССР, т. 30, №4, (1941)

31. В. В. Никишин, Численное моделирование нелинейной и переходной стадий гидродинамических неустойчивостей, Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, М., ИММ РАН, (1997).

32. Anuchina N.N., Volkov V.I., Gordeychuk V.A., Es'kov N.S., Ilutina O.S., Kozirev O.M. 3D numerical simulation of Rayleigh-Taylor instability using MAH-3 code. // Laser and Particle Beams, 18, p.175-181, (2000)

33. Е. G. Gamaly, I. G. Lebo, V.B. Rozanov, S.G. Zaytsev, A.N. Aleshin, E.V. Lazareva, Investigation of nonlinear and intermediate stages in the development of Richmyer-Meshkov instability, ECLIM-19 conf, Madrid, (1988)

34. А.Н.Алешин, E.B. Лазарева, С.Г. Зайцев, В.Б. Розанов, Е. Г. Гамалий, И. Г. Лебо, Исследование нелинейной и переходной стадии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова, ДАН СССР, Физика, Т. 310,№5, (1990),

35. А.Н.Алешин, В. В. Демченко, С. Г. Зайцев, Е. В. Лазарева, Взаимодействие ударной волны с волнообразным контактным разрывом, Известия РАН, Механика жидкости и газа, №5, 168-174, (1992).

36. Г. Биркгоф, Неустойчивость Гельмгольца и Тейлора, Гидродинамическая неустойчивость, М., Мир, 68-94.

37. N.A. Inogamov, Turbulent Phase of the Rayleigh-Taylor instability, Черниголовка, Институт теоретич. Физ. Им. Л.Д. Ландау АН СССР, (1978)

38. С.З. Беленький, Е.с. Фрадкин, Теория турбулентного перемешивания, Тр. ФИАН СССР, т. 29, 207-238, (1965)

39. Н. А. Иногамов, Турбулентная стадия тейлоровской неустойчивости, Письма в ЖТФ, т. 4, вып. 12, 743-747,(1978)

40. А.Г. Куликовский, Н. В. Погорелов, А. Ю. Семенов, Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений, М., Физматлит, (2001).

41. Б.Н.Четверушкин, Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике. М, Изд-во МГУ, (1999).

42. Н. Г. Басов, И. Г. Лебо, В. Б. Розанов, Физика лазерного термоядерного синтеза, М., Знание, (1988)

43. С. К. Годунов, Разностный метод численного расчета разрывных течений гидродинамики, Мат. Сборник, 47 (89), №3, 271-306, (1959)

44. Н. А. Иногамов, А. М. Опарин, А. Ю. Демьянов, и др., О стохастическом перемешивании, вызванном неустойчивостью Рэлея-Тейлора, ЖЭТФ, т. 119, вып.4, 822-852, (2001).

45. Ю.Л.Левитан, И.М.Соболь. О датчике псевдослучайных чисел для персональных компьютеров. // Математическое моделирование, 1990, т.2, №8, с. 119-126.

46. Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко, Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, М., Наука, 1978

47. Р. Бебб, Дж. Мак-Гроу, Т. Акселрод, Программирование на параллельных вычислительных системах, М., Мир, (1991)

48. К. В. Вязников, В. Ф. Тишкин, А. П. Фаворский, Квазимонотонные схемы для уравнений газадинамики, препринт №175, ИПМ АН СССР, (1987).

49. К. В. Вязников, Н.С. Жорняк, В. Ф. Тишкин, А. П. Фаворский, О методе построения квазимонотонных схем повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса, препринт №141, ИПМ АН СССР, (1989).

50. Н. С. Yee, г. F. Warming, A. Harten, Application of TVD schemes for the Euler equations of gas dynamics, Lectures in Applied Math. V. 22, (1985)

51. A. Harten, On a class of high resolution total-variation-stable finite-difference schemes II NYU Report New York, NYU, 1982

52. P. K. Sweby, High rexolution TVD- schemes using flux limiters, Lectures in Applied Math., v.22, part 2, 289-309, (1985).

53. B. van Leer, Towards the ulimate conservative difference scheme. V. A second order sequel to Godunov's method, J. of Сотр. Physics, v.32, #1, 101-136,(1979)

54. S. Oher, S. R. Chakravarthy, High resolution schemes and the entropy condition, SIAM J. Numer. Anal., v.21, 955-984, (1984).

55. C.W. Shu, TVB uniformly high-order schemes for conservation laws, Math. Comput., 49, #179, 105-121, (1987)

56. A. Harten, S. Osher, Uniformly high-order accurate nonoscillatory schemes,I, SI AM J. Numer. Anal., 24, #2, 279-309, (1987).

57. A. Harten, High resolution schemes for hyperbolic conservation laws, J. Comput. Phys.,49, #3, 357-393, (1983).

58. A. Harten, The artificial compression method for computation of shocks and contact discontinuities: III. Self-adjusting hybrid schemes, Math. Comput., v. 32, (1978).

59. A. Harten, On aclass of high resolution total-variation-stable finite-difference schemes, SIAM J. Numer. Anal. 21,#1, 1-23, (1984)

60. J.I Yang, Third-order nonoscillatory schemes for Euler equations, AIAA Journal, v.29,# 10,(1991)

61. H.C Yee, A class of high-resolution explicit and implicit shock capturing methods, NASA-TM 101088, U.S.A. (1989)

62. C. Hirsch, Numerical Computation of Internal and External Flows 1-2, John Wiley, Chichester, U.K., (1990)

63. E. F. Того, Riemann Solvers and numerical methods for fluid dynamics, A practical Introduction, Springer, Berlin, (1997)

64. В. И. Пинчуков, Ч.-В. Шу, Численные методы высоких порядков для задач вэрогидродинамики, Изд-во СО РАН, Новосибирск, (2000)

65. A. Harten, ENO schemes with subcell resolution, J. of Сотр. Physics, v.83, #1, 148-184,(1989).

66. C.A. Иваненко, Адаптивно-гармонические сетки, Вычисл. центр РАН, М., (1997)

67. Б. Н. Азаренок, С. А. Иваненко, О применении адаптивных сеток для численного решения нестационарных задач газовой динамики, Ж. вычисл. Матем. И матем. Физики 40, №9, 1386-1407, (2000).

68. Гильманов А.Н. Применение динамически адаптивных сеток в нестационарных задачах газовой динамики // Труды международной научной конференции. Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности -2000. Уфа. 2000. С.98-103.

69. Гильманов А.Н. Локально-характеристический подход в разностной схеме повышенного порядка аппроксимации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т.40, N4, с.557-561. (V.40, N4, р.529-533)

70. Гильманов А.Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. М.: Наука. 2000. 240 с.

71. В.В. Воеводин, Информационная структура алгоритмов, М., Изд-во МГУ, (1997).

72. В.В.Воеводин, Математические модели и методы в параллельных процессах, М., Наука, (1986).

73. М. В. Якобовский, Распределенные системы и сети, Изд-во Станкин, (2000).

74. Вл. В. Воеводин, А. П. Капитонова, Методы описания и классификации архитектур вычислительных систем, М., МГУ, (1994)

75. Э. Де Бенедиктис, Супер-Эвм ASCIRed Storm и возможность модульного наращивания системы, Доклад на международном семинаре

76. Супервычисления и математическое моделирование» Саров, 6-11 Октября, 33-34, (2003).

77. А.В. Каляев, И. И. Левин, Модульно-наращиваемая многопроцессорная система с программированием архитектуры, Доклад на международном семинаре «Супервычисления и математическое моделирование» Саров, 6-11 Октября, 65-66, (2003).

78. Ч. Хоар, Взаимодействующие последовательные процессы, М., Мир, (1989).

79. I. Foster, Designing and Building Parallel Programs Addison- Wesley,(1995).

80. В. Д. Корнеев, Параллельное программирование в MPI, Новосибирск, Изд-во СО РАН, (2000).

81. М. Snir, S. Otto, S. Huss-Lederman, D. walker, J.Dongarra, MPI: The complete Reference.- MIT Press, (1996).

82. W. Gropp, E. Lusk, A. Skjellum, Using MPI: Portable Parallel Programming with the Massage Passing Interface,- MIT Press, (1996).

83. А. В. Забродин, Параллельные вычислительные технологии. Состояние и перспективы. Препринт ИПМ №71, М., ИПМ РАН, (1991).

84. Н. Van der Vorst, Parallel iterative solution methods for linear systems arising from discretized PDE's, ISpecial course on parallel computing in CFD, AGARD-R-807 France, Neuily-sur-Seine, AGARD, Workshop Lecture Notes, ( 1995)

85. R. Glowinsti, Domain decomposition methods for partial differential equations, Proceeding of the 1-st International symposium Philadelphia, SIAM, (1988)

86. D.E. Keyes, Domain decomposition: a bridge between nature and parallel compute, ICASE Report № 92-44, (1992)

87. D. Roose, R.V.Driessche, Parallel computers and parallel algorithms for CFD: an introduction, AGARD-R-807, 1995

88. Proceedings of a Symposium "Computational Fluid Dynamics for the 21 st Century, Notes on Numerical Fluid Mechanics, vol. 78 Springer-Verlag, 2001.

89. Book of Abstracts of the V International Congress on Mathematical Modelling, September 30 October 6,2002, Joint Institute for Nuclear Research, Dubna, Russia. M., Янус-К, 2002

90. Мешков Е.Е. Некоторые результаты экспериментальных исследований гравитационной неустойчивости границ раздела сред разной плотности. -М., 1981, сб. ИПМ РАН.

91. Елизарова Е.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные разностные схемы для моделирования течений вязкого теплопроводного газа. //ЖВМ и МФ, "1988, т.28, №11, с. 1695-1710

92. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, Том 6, Гидродинамика, М., Физматлит, (2001).

93. Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, Н.В. Розе, Теоретическая гидромеханика, 4.1, М., Физматлит, (1963).

94. В.Ф.Тишкин, В.В.Никишин, И.В.Попов, А.П.Фаворский. Разностные схемы трехмерной газовой динамики для задачи о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова. // Математическое моделирование, 1995, т.7, №5, с.15-25.

95. Lebo I.G., Rozanov V.B., Tishkin V.F., Nikishin V.V., Popov I.V., Favorski A.P. Numerical simulation of Richtmyer-Meshkov instability. // Proc. Of 20-th Symposiumon Shock Wave (Pasadena, USA, July, 1995), v.l, p.605-610

96. Lebo I.G., Nikishin V.V., Rozanov V.B., Tishkin V.F. Numerical simulation of evolution of multimode initial perturbations while developing Richtmyer-Meshkov instabilities.// Journal of Russian Laser Research, v. 19, N5, pp.483-504, (1998)

97. Anuchina N.N., Gordeychuk V.A., Es'kov N.S., Ilutina O.S., Kozirev O.M., Volkov V.I. Proceeding of 6-th International Workshop on Physics of Compressible Turbulent Mixing, (Marseille, 1997), IUSTI, Marseille, France

98. С.М.Гарина, Н.В.Змитренко, Н.Г.Прончева, В.Ф.Тишкин. Динамика роста зоны перемешивания в прямом численном моделировании гравитационной неустойчивости. // ВАНТ, 2002, Сер. Математическое моделирование физических процессов, 2002, вып.2, с. 10-17.

99. Н.В.Змитренко, В.Ф.Тишкин. Проведение 3D расчетов и изучение основных характеристик турбулентности. // PIMM РАН, Отчет по НИР № 96/1320-1321, М., июнь 2002

100. F.Poggi, M.-H.Thorembey, G.Rodriguez. Velocity measurements in turbulent gaseous mixtures induced by Richtmyer-Meshkov instability.// Physics of Fluids, 1998, Vol.10, No.ll, pp.2698-2700.

101. G.Lacssin, F.Poggi, G.Rodriguez. Experiment and Numerical Computation on a Large-Scale Richtmyer-Meshkov Instability. // Proc. of 6-th IWPCTM, Marseille, France, 1997, pp.289-294.

102. F.Poggi, M.-H.Thorembey, G.Rodriguez, J.-F.Haas. // Velocity Measurement in Turbulent Gaseous Mixture Induced by Richtmyer-Meshkov Instability. // Ibid, pp.416-421.

103. D.Souffland. O.Gregoire, S.Gauthier, F.Poggi, J.M.Koenig, Measurements and Simulation of the Turbulent Energy Levels in Mixing Zones Generated in Shock Tubes. // Ibid, pp.486-491.

104. Н.В.Змитренко, Н.Г.Прончева, В.Б.Розанов. Эволюционная модель турбулентного слоя перемешивания. // Препринт ФИАН № 65, Москва, 1997.

105. O.M.Belotserkovsky. Turbulence and Instabilities. // M., MIPT, 1999 347P

106. А.С.Монин, А.М.Яглом. Статистическая гидромеханика. Часть 2. Механика турбулентности // М., Наука, 1967 720 стр.126. 2.А.А. Самарский, А.В. Колдоба, Ю.А. Повещенко, В.Ф. Тишкин, А.П. Фаворский. Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск, 1996.

107. Дж. Ортега. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М: Мир, 1991.

108. G. V. Wilson, Practical Parallel Programming, MIT Press, (1990)

109. О. Ю. Милюкова. Параллельные варианты некоторых итерационных методов с факторизованной матрицей предобусловливания. ЖВМ и МФ, т.41, N 11, 2001, с.1635-1652.

110. А.А. Самарский, Е.С.Николаев. Методы решения сеточных уравнений. М: Наука, 1978.

111. N.N.Anuchina, V.I. Volkov, V.A. Gordeychuk, N.S. Es'kov, O.S. Ilutina, О. M. Kozirev, 3D numerical simulation of Rayleigh-Taylor instability using MAX-3 code, Laser and Particle Beams, 18, 175-181, (2000)

112. D.J. Youngs. Three-dimensional Numerical simulation of Rayleigh-Taylor instability. Phys. Fluid A, v. 3, №5 (1991)133. http://www.regatta.cs.msu.su/

113. A.H. Тихонов, A.A. Самарский. Уравнения математической физики. Из-во Московского университета, 1999.

114. О.М. Белоцерковский, A.M. Опарин, B.M. Чечеткин, Физические процессы развития сдвиговой турбулентности, ЖЭТФ, т. 126, вып.3(9), 577584, (2004)

115. Ю.А.Кучеренко, О.Е.Шестаченко, Ю.А. Пискунов и др, Экспериментальное исследование автомодельного режима перемешивания разноплотных газов в поле тяжести Земли, VI Забабахинские чтения, Снежинск, (2001)

116. М. J. Berger, J. Oliger. Local adaptive mesh refinement for hyperbolic partial differential equations. J. Сотр. Phys., № 53, pp. 484 512, (1984).

117. M. J. Berger, P.Colella. Local adaptive mesh refinement for shock hydrodynamics. J. Сотр. Phys., № 82, pp. 64 84, (1989).

118. D. De Zeeuw, K.G. Powell. An adaptively refined cartesian mesh solver for Euler equations. J. Сотр. Phys., № 104, pp. 56 68, (1993).

119. J.B. Bell, М. J. Berger, J. Saltzman, M.L. Welcome. A three dimensional adaptive mesh refinement for hyperbolic conservation laws. SIAM J. Sci. Statist. Comput., № 15(1), pp.127-138, (1994).

120. M. J. Berger, J. Saltzman. AMR on the CM-2. Appl. Numerical Math., № 14, pp.239-253, (1994).

121. A.S. Almgren, J.B. Bell, P. Colella, L.H. Howell, M.L. Welcome. A conservative adaptive projection method for the variable density incompressive Navier-Stokes equation. J. Сотр. Phys., № 142, pp. 1 46, (1998).