автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Численное моделирование трехмерных квазистационарных электромагнитных полей в шунтирующих реакторах

на правах рукописи

Чиндилов Денис Викторович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ШУНТИРУЮЩИХ РЕАКТОРАХ.

Специальность: 05.09.05 - Теоретическая электротехника

Автореферат диссертации на соискание уче юй степени кандидата технических наук

Иваново - 2006

Работа выполнена на кафедра «Теоретические основы электротехники и электротехнологии» Ивановского государственного энергетического университета.

Научный руководитель:

Доктор технических наук, профессор Кадников Сергей Николаевич

Официальные оппоненты:

Доктор технических н /к, профессор Курбатов Павел Александрович Кандидат техническ IX наук, доцент Шурыгин Михаил Николаевич

Ведущая организация:

ОАО НИИ Электропривод (г. Иваново)

Защита состоится 16 июня 2006 г. в 14.00 часов, на заседании диссертационного совета Д 212.157.13 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: 111250, Москва, ул. Красноказарменная, 14, ауд. 3-505

Отзывы на автореферат, заверенные печатью организации, просим присылать по адресу: 111250 Москва, Красноказарменная ул., 14. Ученый совет МЭИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета Автореферат разослан «_» мая 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор

Гусев Г.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время при проектировании электрических реакторов до сих пор широко используются полуэмпирические методики, основанные на применении приближенных аналитических методов расчета поля в сочетании с результатами экспериментов. Такой подход связан с большими экономическими затратами и не может обеспечить оптимальных проектных решений. Поэтому необходимо расширить внедрение в практику проектирования современных численных методов расчета полей, основанных на применении ЭВМ и современных информационных технологий. Это даст возможность использовать математические модели, адекватно отражающие основные характеристики процессов в реальных устройствах и достаточно точно определять их главные функциональные параметры (индуктивности, мощности, потокосцепления, потери и т.д.) а, следовательно, оптимизировать конструкции по этим параметрам.

Однако современные численные методы расчета трехмерных электромагнитных полей, универсальные по форме, все еще остаются недостаточно эффективными для расчетов полей реакторов. Расчет полей реакторов с их помощью возможен лишь при принятии существенных упрощений. В противном случае их использование приводит к чрезмерно большому (недоступному для современных ЭВМ) порядку матриц алгебраических уравнений, к решению которых сводится расчет поля, их плохой обусловленности и вырождению. В связи с этим актуальной является разработка специализированных методов и методик расчета полей, учитывающих особенности электромагнитных процессов, протекающих в реакторах. Разработка таких методик позволит путем использования априорно известной информации об искомом решении улучили ь вычислительные свойства математических моделей, снизить объемы требуемых вычислений и, в конечном итоге, повысить

значимость численных методов для проектирораюа реедо№ров-

ВИЬЛИОТИ:,.

С. 09

Цель исследования - разработка эффективных методов и методик расчета трехмерных электромагнитных полей шунтирующих реакторов.

Задачи исследования:

1. Разработать эффективную методику расчета магнитных полей шунтирующих реакторов для определения и оптимизации их основных функциональных характеристик. Исследовать влияние анизотропии магнитных свойств магнитопроводов на величину индуктивности, рассмотреть влияние шунтов на индуктивность и распределение индукции в стали.

2. Разработать эффективные методы и методики расчета электромагнитных полей шунтирующих реакторов для определения потерь в стальных деталях конструкции. Разработать методику расчета распределения удельных потерь в массивных деталях конструкций реакторов. Исследовать влияние приближения плоской волны на точность расчета удельных потерь.

3. Разработать эффективный метод и методику расчета электромагнитных полей шунтирующих реакторов для определения трехмерных вихревых токов в магнитопроводах с учетом анизотропии их магнитных и электрических свойств.

Научная новизна работы:

I. Впервые получена система смешанных интегральных уравнений для расчета трехмерного синусоидального электромагнитного поля в однородных средах с анизотропией как магнитных, так и электрических свойств.

И. Для расчета трехмерного синусоидального электромагнитного поля в однородных изотропных ферромагнитных средах получена новая система граничных интегральных уравнений, существенно более экономичная, чем известная система граничных уравнений минимальной размерности.

III. Получено новое скалярное граничное интегральное уравнение для приближенного расчета трехмерного синусоидального магнитного поля в однородных изотропных ферромагнитных средах, имеющее преимущества

над известными скалярными граничными интегральными уравнениями, основанными на приближенных граничных условиях (Леонтовича и идеальной проводимости).

IV. Разработаны новые алгоритмы расчета трехмерных стационарных и синусоидальных электромагнитных полей в однородных изотропных и анизотропных средах, которые применительно к расчетам полей реакторов являются более эффективными, чем существующие алгоритмы.

Практическая ценность диссертации заключается в создании программных комплексов для расчета трехмерных стационарных и квазистационарных электромагнитных полей в линейных изотропных и анизотропных средах на базе специализированных алгоритмов, которые, применительно к расчетам полей шунтирующих реакторов, более эффективны, чем алгоритмы в существующих программах. Разработан: ые пакеты программ внедрены на ОАО НИИ Электропривод (г. Иваново).

На защиту выносятся:

1. Система смешанных интегральных уравнений для расчета трехмерного синусоидального электромагнитного поля в однородных анизотропных средах.

2. Система граничных интегральных уравнений для расчета трехмерного синусоидального электромагнитного поля в однородных изотропных ферромагнитных средах.

3. Скалярное граничное интегральное уравнение для приближенного расчета трехмерного синусоидального магнитного поля в однородных изотропных ферромагнитных средах.

4. Алгоритмы решения предложенных систем граничных и смешанных интегральных уравнений.

5. Практически значимый вывод о характере влияния числа вставок стержня на индуктивность реактора и распределение индукции в стали.

6. Теоретически значимые выводы о возможности использования моделей магнитных полей в изотропных средах для расчета индуктивностей реакторов и о влиянии приближения плоской волны на распределение удельных потерь в массивных деталях конструкции.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на: 1) 7-й, 8-й и 9-й международных научно-технических конференциях «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (г. Москва, 2001-2003г.); 2) Международной научно-технической конференции «Состояние и перспективы развития электротехнологии» (X Бенардосовские чтения) (г. Иваново, 2001 г.); 3) Международной научно-технической конференции «Проблемы сварки и электротехники» (XI Бенардосовские чтения) (г. Иваново, 2003 г.); 4) научных семинарах кафедры ТОЭЭ ИГЭУ (г. Иваново); 5) научных семинарах кафедры «Электрические аппараты» МЭИ.

На 7-й, 8-й и 9-й международных научно-технических конференциях «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» доклады были отмечены дипломами второй степени.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 10 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, общим объемом 163 страницы, списка литературы (151 наименование), пяти приложений общим объемом 82 страницы и акта внедрения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследований, приведены основные положения, выносимые на защиту, изложены основные научные результаты.

В первой главе произведен анализ современного состояния и перспективы развития методов численного моделирования трехмерных электромагнитных полей применительно к расчетам полей шунтирующих реакторов. В результате анализа сделан вывод о необходимости развития методов расчета трехмерных электромагнитных полей и разработки специализированных методик их численной реализации, позволяющих за счет учета особенностей электромагнитных процессов в шунтирующих реакторах снизить объемы вычислений и повысить точность решения. Наиболее пригодным для этого признан метод интегральных уравнений, поскольку в случае линейных задач расчета поля (что характерно для шунтирующих реакторов) данный метод позволяет получить более экономичные полевые модели, чем другие численные методы, в том числе и метод конечных элементов.

Во второй главе рассмотрена задача определения основных функциональных характеристик шунтирующих реакторов (индуктивности, реактивной мощности и энергии магнитного поля). Показано, что решение данной задачи может быть сведено к решению краевой задачи по расчету трехмерного стационарного магнитного поля в однородной анизотропной среде. Обосновано, что решение краевой задачи целесообразно сводить к решению системы граничных (ГИУ), а не пространственных (ПРИУ), интегральных уравнений.

Краевая задача может быть редуцирована к различным системам ГИУ. Наиболее экономная из них, состоящая из двух скалярных ГИУ, получается введением в анизотропной V* и однородной V в магнитном отношении областях (рис. 1) потенциалов простого и двойного слоя магнитных зарядов. Однако она обладает рядом недостатков (сложности вычисления потенциала внешнего источника поля, громоздкие выражения коэффициентов матриц, трудности с распространением полевой модели на более широкие классы задач и т.д.), делающих ее практическое использование нецелесообразным.

Рис. 1 - Модель бронестержневого реактора: (а) и (б) - поперечные сечения, (в) - вид сверху. Обозначения: 1 - ярмо, 2 - обмотка, 3 - шунт, 4 - стержень

Поэтому в работе полевая задача редуцировалась к следующей, несколько менее экономной системе ГИУ, являющейся, тем не менее, более пригодной для численной реализации: 7д- 2 • <$[пд X [7и X У^Суд, +

+ 2• \<тмх = "2 • {»о * НЛо\, (2)

<Т0 + 2 • (йр • р. ■ У0Кдк, №„ -

•[?„ X=-2/и0(Пд ■ Нд), (3)

5

где /и и а ч - плотности поверхностного тока и заряда на границе раздела сред 5, С<гм =1/(4 я-Гун), - расстояние между точками Q и М,

Ч о о о м> о

,0 0 /л,

*<?«/ =1 ), Р =

- тензор магнитнои прони-

цаемости, ЛС1/ /рх+(у0-уч)г/р, +(гд-2к,у-1 , Н°0 -

напряженность внешнего магнитного поля, - нормаль к 5 в точке О.

Система ГИУ (2), (3) содержит наряду с интегральными операторами типа Фредгольма также и сингулярные интегральные операторы (в уравнении (2) сингулярным является интеграл относительно <т, а в (3) - относительно i). Завершенные методики решения таких систем в литературе не обнаружены.

Разработка методики решения (2),(3) явилась одним из основных результатов, полученных в данной главе. Решение осуществлялось сведением (2),(3) к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом конечных сумм. В рамках методики выполнено следующее. Обоснована целесообразность использования кусочно-постоянной аппроксимации вторичных источников. Показано, что такая аппроксимация обеспечивает хорошие вычислительные свойства СЛАУ и наиболее простые в вычислительном плане выражения для их коэффициентоь. Предложено использовать местные системы координат граничных элеме ггов, что позволило сократить число скалярных неизвестных на 'А. Получены аналитические выражения для вычисления всех коэффициентов матрш и СЛАУ, в том числе коэффициентов, содержащих нестандартный сингулярный интеграл относительно функции VQKQ„. Исследована возможность итерационного решения СЛАУ как методом простой итерации, так и с использованием коэффициента релаксации.

Чтобы подтвердить пригодность методики для исследований реальных физических процессов, проводилось сопоставление результатов расчета поля с результатами измерений. Оно показало, что методика позволяет достаточно точно описать процесс замыкания магнитного потока в контуре магнитопро-вода, т.е. тот процесс, который как раз и важен для определения основных функциональных характеристик шунтирующих реакторов.

Кроме того, было выполнено сопоставление численных и приближенных аналитических результатов расчетов индуктивностей, которое показало близость результатов для наиболее распространенных соотношений геомет-

рических размеров конструкций реакторов и их существенное расхождение в остальных случаях. Пример сопоставления для бронестержневого реактора, изображенного на рис. 1, показан на рис. 2.

(а)

число вставок

¿,Гн

И - высота окна мягнитопровода суммарная величина зазора

8 10 12 14

/ 1И

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Рис. 2 - Зависимость индуктивности бронестержневого реактора от: (а) -числа вставок, (б) - суммарной величины зазора

На основе разработанной методики была проведена: 1) оптимизация конструкций броневых и бронестержневых реакторов с С-образными ярмами с целью достижения наибольшей индуктивности при условии работы в линейном режиме и возможно меньшем значении средней индукции в стали (для бронестержневых реакторов оптимизируемыми параметрами являлись число вставок стержня и суммарная длина немагнитных зазоров, для броневых - высота обмотки и ее внутренний радиус.); 2) исследование влияния пространственной анизотропии магнитных свойств магиитопровода на величину индуктивности; 3) исследование влияния шунтов на индуктивность и распределение индукции в стали.

В результате были сделаны следующие наиболее значимые выводы: 1) увеличение числа вставок стержня для выравнивания распределения индукции в стали и снижения средней индукции, а также уменьшение суммарной длины немагнитных зазоров для повышения индуктивности является эффек-

и

тивным способом оптимизации магнитного поля бронестержневого реактора; 2) установка шунтов над и под стержнем бронестержневого реактора позволяет существенно повысить индуктивность и добиться более равномерного распределения индукции в стали; 3) расчеты индуктивностей броневых и бронестержневых реакторов с С-образными ярмами можно с достаточно большой степенью точности основывать на более экономичных моделях стационарных магнитных полей в изотропных средах.

В третьей главе рассмотрена задача расчета потерь в стальных деталях конструкций реакторов. Показано, что решение этой задачи может быть сведено к решению краевой задачи по расчету трехмерного синусоидального электромагнитного поля в массивном однородном изотропном проводнике.

До сих пор наиболее экономичной системой интегральных уравнений, обеспечивающей точное решение данной задачи, считалась так называемая система ГИУ минимальной размерности, которая имеет вид:

ая-г- (пд ■ +2(пдН%) =

= -2ц ■ ■ [/„ х ])<&„ , (4)

7д+ 2■ х[1и XЧдСди = 2 • {<тА [л0 X ]<ЮЦ - 2 • [пе х Я* ], (5)

5 5

где - напряженность магнитного поля внешнего источника, 1и и сг„ -

плотности поверхностного тока и заряда на границе раздела сред 5, К^, =1/(4л- г0„), вом = ехр(-(1 + у)* • гдк,) /(4л- • гд„), гф1 - расстояние между т. 0 и М, = ехр(-(1 + ])к ■ ге„) /(4л- ■ ), к = ^щгу12, /л и у - магнитная проницаемость и удельная проводимость проводника, } = -1-1.

В данной главе ГИУ минимальной размерности была преобразована в более экономичную ГИУ. Преобразование осуществлялось в два этапа:

На первом этапе у интегралов, содержащих в подъинтегральной функции элемент Ч , область интегрирования 5 сужалась до области Сд, где

Сд - это пересечение поверхности 5 и сферы с центром в точке наблюдения Q и радиусом г; г - это минимальное расстояние между точками и М, при котором значение можно считать пренебрежимо малым. В слу-

чае массивных проводников величина г всегда много меньше геометрических размеров границы раздела сред 5, поэтому данное сужение области интегрирования существенно сокращает объемы вычислений.

На втором этапе было показано, что требование достаточно точной аппроксимации тока 1 на поверхности 5 при расчетах полей в массивных проводниках приводит к чрезмерно большому (сотни тысяч) числу скалярных

о

неизвестных. В связи с этим для кардинального снижения размерности матриц СЛАУ было предложено по возможности максимально сузить область определения тока, на которой требуется его аппроксимация. Для этого решалась следующая задача: Найти максимальное множество Ос5 такое, что для S4Q е П верно следующее:

Было показано, что общим решением данной задачи является область О = {£? е 5: Сг с £>}, где О - незамкнутое объединение плоских участков поверхности 5 (рис. 3).

(6)

(а)

(в)

Рис. 3 - Плоские области поверхности 5: (а) - О, (б) - О, (в) - 0

Таким образом, ток i, распределенный в области О, был однозначно выражен через поле зарядов и внешнего источника по формуле:

1Q = 2 • <jaM[nQ х V^, ]dSw -2 [пд*Щ), (7)

s

что позволило исключить его рассмотрения и тем самым снизить объемы вычислений. Эффект от сужения области определения тока будет тем выше, чем большую часть поверхности S будет занимать область Cl. Показано, что в случае массивных деталей реакторов область П, как правило, занимает подавляющую часть поверхности S и эффект от сужения области определения тока высок (снижение размерности СЛАУ приблизительно в 15-20 раз).

В результате сужения области определения тока на область S\Q ГИУ минимальной размерности была преобразована в следующую ГИУ:

2 ' fc» • («о ■ veV +2-(nç-H*) =

s

S\Cl ci s

-^■\{VQGQ,rHi)dSK,, VQeS, (8)

n

1Q+ 2 • \[nQ x [/„ x VqGqm ]]<£„ -

S\Cl

-2• \au[nç X VQKQU)dS„ = -2■ [Яд VQeS\n. (9)

s

Для случаев, когда область fi занимает подавляющую часть поверхности S, предложен приближенный метод расчета внешнего магнитного поля, основанный на решении следующего скалярного ГИУ:

aQ-2• jau • (nQ ■ VQKQM)dS„ +2-{hQ =

s

= -4//- J(VcC7ca/ .$cTPV„K<IPdSP)dSx, -AM-\(VQGQ4 ■H*,)dSx, . (10)

Cl S Cl

Уравнение (10) получено из (8) пренебрежением влиянием поверхностного тока, распределенного над S\Q, на плотность магнитных зарядов. Показано,

что в предельном случае, когда площадь 5 \ П стремиться к нулю, решение уравнения (10) стремится к точному решению задачи. Кроме того, показано, что неустранимая погрешность уравнения (10) не превосходит погрешности, возникающей от принятия условия идеальной проводимости на участке 5 \ © границы раздела сред, где © = {() е 5: Сд с П} (рис. 3 (в)). Следует отметить,

что применительно к массивным деталям реакторов область 0, как правило, занимает подавляющую часть границы раздела сред и поэтому неустранимая погрешность уравнения (10) достаточно мала.

Сравнение ГИУ (10) с известными скалярными ГИУ показало, что оно: 1) всегда обеспечивает более высокую точность решения, чем уравнение, основанное на условии идеальной проводимости; 2) имеет сравнимую точность решения с уравнением, основанным на граничных условиях Леонтовича, но обеспечивает значительно более легкое распространение на более широкие классы задач.

В главе рассмотрено распространение системы (8), (9) и уравнения (10) на случай, когда в окружающем массивный проводник пространстве находятся непроводящие анизотропные ферромагнитные тела.

Предложены методики численного решения системы (8),(9) и уравнения (10) методом конечных сумм. Новшество методик заключалось в разработке метода расчета нестандартного двойного интеграла в правой части уравнений (8) и (10), внутренний интеграл которого несобственный, а внешний - сингулярный. В рамках методик исследованы вычислительные свойства матриц СЛАУ и возможность их итерационного решения.

Проведенное сопоставление результатов расчетов с результатами измерений индукции магнитного поля подтвердило высокую степень адекватности предложенных математических моделей реальным физическим процессам.

Разработка экономичной системы ГИУ (8),(9) позволила предложить уточненную методику расчета потерь в массивных проводниках, не принимающую в отличие от остальных методик приближение плоской волны для поля в массивном проводнике. Это впервые позволило получить достаточно точное распределение удельных потерь вблизи ребер и улов массивных проводников, а также провести количественное исследование влияния приближения плоской волны на распределение удельных потерь.

В конце главы приведены способы оптимального экранирования баков реакторов.

В четвертой главе рассматривается задача исследования распределения вихревых токов в магнитопроводах шунтирующих реакторов. Результаты решения этой задачи являются начальными данными для задач расчета шумов, вибраций реакторов, для выявления повышенных местных нагревов, приводящих к разрушению изоляции пластин.

Показано, что решение данной задачи сводится к решению краевой задачи по расчету трехмерного синусоидального электромагнитного поля в однородной среде V* с анизотропными магнитными и электрическими свойствами, окруженной однородным непроводящим пространством V.

Однако, как показал проведенный анализ, математические модели для расчета таких полей в рамках метода интегральных уравнений не разработаны. Существующие модели охватывают лишь случай квазистационарных полей в средах с анизотропией только магнитных свойств. Все вышесказанное обуславливает актуальность основной задачи, решаемой в данной главе, а именно разработки математической модели трехмерного квазистационарного электромагнитного поля в средах с анизотропией как магнитных, так и электрических свойств.

Решение поставленной задачи сводилось к следующей краевой задаче: найти векторы напряженности электрического Ё и магнитного Н полей, удовлетворяющие уравнениям (рис. 1):

го1дЙд = уд-Ёд, го10Ё0 = ■ Нд (11)

Лус£е=0, У^еК- (12)

на границе раздела сред 5 краевым условиям:

[пд,Н'д-Н'д] = 0, [пд,Ё'д-Ё'д) = 0, (13)

а также интегральному условию: (14)

где р н у - тензоры магнитной проницаемости и удельной проводимости анизотропной среды, пд - нормаль к 5 в точке £?,./ = -У-1, со - круговая

частота, индексы ей/ означают, что величина берется соответственно на внешней и внутренней стороне поверхности анизотропной среды.

Для редуцирования краевой задачи (11)-(14) к системе интегральных уравнений использовались пространственные вторичные источники - напряженности вторичного магнитного и электрического поля, распределенные в области V* с плотностями Нд и Ёд соответственно, а также поверхностные

вторичные источники - электрические заряды, наведенные на границе раздела сред Я с плотностью а.

Уравнения относительно плотностей Нд и Ёд были найдены из интегральных представлений для решений векторных уравнений Гельмгольца:

Ад, Нм = -го1м81 + —> (15)

ЛлД/ = &а<}мс1пмЁм + ]СОЦйё1 - го1ибЦ, (16)

полученных из уравнений (11) краевой задачи. Здесь 8д = -]соца{]1д - \)Нд -магнитный ток, 5д -удЁд - ток проводимости, 1 - тензор второй валентно-

сти с единичной диагональной матрицей Соответствующие интегральные уравнения имеют вид:

Я; + ¡[У„К ]с}Ум - \{амН1 -Чч)ЧмОдк1<1Ум = Ц, (17)

г I

Щ +1\Ё* ■ ум )Ч„Соис1Уи + р \{гЛ -

I г

- р \[а„Н*ы X + „ = Ц, (18)

I 3

где С?^, = 1 /(4л- • геЛ(), гдм - расстояние между точками @ и М,

Ц = - ^Л!^/ - {(а^я;, . (19)

I I

^ - /(££ • V+

I 1

+ р|[а1,Я?,хУ{?С(?,,]С/К1, , (20)

I

р = ]со/и0, ам = - 1, Я^ и - напряженности магнитного и электрического поля, созданные внешним источником поля.

Уравнение относительно сг было получено из краевого условия (^ Ёд,пд) = 0, в предположении, что у - тензор второй валентности с диагональной матрицей, все диагональные элементы которой отличны от нуля, и, что вектор пд всегда коллинеарен одному из направлений анизотропии.

Соответствующее ГИУ имеет вид:

и ' ^ .4

У I

+ 2 р ¡("с ■ г Л, - 2 р ¡(П0 ■ [5„ЯД, х ])с!УХ1 = 0. (21)

I г

В главе доказано, что система (17),(18),(21) решает поставленную краевую задачу (11 )-(14) и обладает единственностью решения.

Разработана методика численного решения системы (17),(18),(21) методом конечных сумм. В рамках методики получены аналитические выраже-

ния для вычисления коэффициентов матрицы СЛАУ, исследованы ее вычислительные свойства. Методика была применена для расчета моделей реакторов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты, полученные в работе, состоят в следующем:

1. Обоснована необходимость разработки специализированных полевых моделей, учитывающих особенности электромагнитных процессов, протекающих в реакторах.

2. Разработана новая методика расчета трехмерного стационарного магнитного поля в линейных анизотропных средах. С ее помощью оптимизированы конструкции магнитных систем реакторов, сопоставлены численные и аналитические результаты расчетов индуктивностей, исследовано влияние анизотропии магнитных свойств магнитопроводов на величину индуктивности, рассмотрено влияние шунтов на величину индуктивности и распределение индукции в стали.

3. На основе системы ГИУ минимальной размерности получена новая, более экономичная система ГИУ для расчета синусоидальных электромагнитных полей в однородных изотропных проводниках. Разработан алгоритм ее решения, который в случае массивных проводников (стальные элементы конструкции реактора) более эффективен, чем существующие.

4. Получено новое скалярное ГИУ, имеющее преимущества над известными скалярными ГИУ для приближенного расчета трехмерных синусоидальных магнитных полей в массивных проводниках. Разработан численный алгоритм его решения.

5. Предложена новая методика расчета потерь в массивных проводниках, не использующая приближение плоской волны. Показано, что методики, использующие это приближение, приводят к существенной погрешности расчета удельных потерь вблизи ребер и углов массивных проводников.

6. Впервые получена система смешанных интегральных уравнений для расчета трехмерного синусоидального электромагнитного поля в средах с анизотропией как магнитных, так и электрических свойств. Разработана методика ее численного решения.

7. Создан пакет программного обеспечения, реализующий разработанные алгоритмы расчета трехмерных синусоидальных электромагнитных полей в однородных изотропных и анизотропных средах, индуктивностей, добавочных потерь в массивных проводниках. Программное обеспечение прошло апробацию в ОАО НИИ Электропривод (г. Иваново).

Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах:

1. Кадников С.Н., Чиндилов Д.В. Методика расчета потерь в баке шунтирующего реактора // Электротехника. - 2004. - № 1. - С. 21-27.

2. Чиндилов Д.В. Расчет трехмерных вихревых токов в случае малых глубин проникновения // IEEE Trans. Magn. - 2003. - Vol. 39. - №. 2. - P. 968-972. (на англ. яз.)

3. Кадников С.Н., Чиндилов Д.В. Оценка краевого эффекта при расчете трехмерного магнитного поля методом интегральных уравнений // Сб. докл. науч. семинара по электротехнике и прикладной математике / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2001. - С. 6-9.

4. Кадников С.Н., Чиндилов Д.В. Интегральные уравнения смешанного типа для расчета квазистационарного электромагнитного поля в анизотропных средах // Электротехника и прикладная математика: Сб. докл. науч. семинара, посвященного 200-летию открытия электрической дуги В.В. Петровым и 160-летию со дня рождения H.H. Бенардоса / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2003. - С. 5-8.

5. Кадников С.Н., Чиндилов Д.В. Расчет потерь в массивных элементах шунтирующего реактора // Электротехника и прикладная математика: Сб.

dO<P£A f&l

,„„ »- 85 82 .

докл. науч. семинара, посвященного 200-летию открытия электрической дуги В.В. Петровым и 160-летию со дня рождения H.H. Бенардоса / Иван, гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2003. - С. 8-12.

6. Чиндилов Д.В. Расчет индуктивности и реактивной мощности броневого реактора И Проблемы сварки и прикладной электротехники: Материалы Междунар. науч.-техн. конф. «XI Бенардосовские чтения» / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2003. - С. 39-41.

7. Кадников С.Н., Чиндилов Д.В. Расчет трехмерного квазистационарного магнитного поля в кусочно-однородной среде методом интегральных уравнений // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: Тез. докл. Седьмой Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов. В 3 т. - М.: Изд-во МЭИ, 2001. - Т. 2. - С. 36-37.

8. Кадников С.Н., Чиндилов Д.В. Методика расчета магнитного поля и тепловых потерь в баке реактора // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: Тез. докл. Восьмой Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов. В 3 т. - М.: Изд-во МЭИ, 2002. - Т. 2. - С. 76-77.

9. Кадников С.Н., Чиндилов Д.В. Расчет трехмерного квазистационарного поля в случае малых глубин проникновения // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: Тез. докл. Девятой Междунар. науч.-техн. конф. студентов и аспирантов. В 3 т. - М.: Изд-во МЭИ, 2003. - Т. 2. - С. 82-83.

Ю.Кадников С.Н., Чиндилов Д.В. Расчет квазистационарного магнитного поля методом интегральных уравнений // Состояние и перспективы развития электротехнологии: Тез. докл. Междунар. науч.-техн. конф. «X Бенардосовские чтения». В 2 т. / Иван. гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2001. -Т. 2.-С. 187.

Усл.печл. 1,3. Тираж 100 экз. Заказ № Типография МЭИ. 111250, г. Москва, ул. Красноказарменная, 13

ВВЕДЕНИЕ.

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МЕТОДОВ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РЕАКТОРОВ И СИЛОВЫХ ТРАНСФОРМАТОРОВ.

1.1. Введение.

1.2. Обзор методов исследования электромагнитных полей.

1.3. Выводы и постановка задачи.

2. РАСЧЕТ ТРЕХМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ШУНТИРУЮЩИХ РЕАКТОРОВ.

2.1. Введение.

2.2. Состояние вопроса.

2.3. Постановка краевой задачи и вывод интегральных уравнений.

2.4. Методика численного решения системы интегральных уравнений.

2.5. Исследование вычислительных свойств полученных матриц СЛАУ.

2.6. Итерационное решение полученных СЛАУ.

2.7. Расчет индуктивности, реактивной мощности и энергии магнитного поля шунтирующего реактора.

2.8. Исследование магнитных полей броневых и бронестержневых реакторов с С-образными ярмами.

2.9. Выводы.

3. РАСЧЕТ ТРЕХМЕРНЫХ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЕЙ В МАССИВНЫХ ДЕТАЛЯХ КОНСТРУКЦИИ РЕАКТОРОВ.

3.1. Введение.

3.2. Состояние вопроса.

3.3. Постановка краевой задачи и вывод исходных интегральных уравнений.

3.4. Снижение объема вычислений при расчете полей в массивных элементах.

3.5. Трудности численного решения ГНУ минимальной размерности при расчете полей в массивных проводниках.

3.6. Усовершенствование ГИУ минимальной размерности.

3.7. Последовательное вычисление вторичных источников.

3.8. Методики использования усовершенствованной и приближенной полевых моделей.

3.9. Исследование вычислительных свойств полученных матриц СЛАУ.

3.10. Итерационное решение полученных СЛАУ.

3.11. Распространение моделей на случай наличия в пространстве непроводящих анизотропных ферромагнитных тел.

3.12. Методика расчета потерь в массивных проводниках.

3.13. Примеры анализа методических погрешностей расчета потерь, возникающих при использовании приближения плоской волны

3.14. Выводы.

4. РАСЧЕТ ТРЕХМЕРНЫХ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ЛИНЕЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ

СРЕДАХ.

4.1. Введение.

4.2. Постановка краевой задачи и вывод интегральных уравнений

4.3. Методика численного решения системы интегральных уравнений.

4.4. Исследование вычислительных свойств полученных матриц СЛАУ.

4.5. Выводы.

Актуальность темы. В настоящее время при проектировании электротехнических устройств, в частности, реакторов, до сих пор широко используются полуэмпирические методики, основанные на применении приближенных аналитических методов расчета поля в сочетании с результатами экспериментов. Такой подход связан с большими экономическими затратами и не может обеспечить оптимальных проекционных решений. Поэтому необходимо расширить внедрение в практику проектирования современных численных методов расчета полей, основанных на применении ЭВМ и современных информационных технологий. Такой подход дает возможность использовать математические модели, адекватно отражающие основные характеристики процессов в реальных устройствах и достаточно точно определять их главные функциональные параметры (индуктивности, мощности, потокосцепления, потери и т.д.) и, следовательно, оптимизировать конструкции по этим параметрам. Кроме того, использование численных методов позволяет определять характеристики поля в ряде важных областей реакторов, недоступных для экспериментальных исследований, что упрощает выявление различного рода негативных явлений (повышенных местных нагревов, вибраций и т.д.). Все это обуславливает практическую актуальность использования численных методов для исследований полей электрических реакторов.

Однако современные численные методы расчета трехмерных электромагнитных полей, универсальные по форме, все еще остаются недостаточно эффективными для расчетов полей реакторов. Основные проблемы, возникающие при численном расчете полей реакторов, вызваны следующими факторами: наличием большого числа разномасштабных деталей (от нескольких миллиметров до нескольких метров); резко-различными материальными характеристикам» деталей («массивные» и магнитно-прозрачные проводники; детали с резко-выраженной анизотропией магнитных и электрических свойств и т.д.); существенной трехмерностью электромагнитного поля. Использование современных, формально универсальных численных методов для расчета полей в таких устройствах возможно лишь при принятии существенных упрощений. В противном случае, их использование приводит к чрезмерно большому (недоступному для современных ЭВМ) порядку матриц алгебраических уравнений, к решению которых сводится расчет поля, их плохой обусловленности и вырождению (см., например, [65, 66]). В связи с этим, актуальной является разработка специализированных методов и методик расчета полей, учитывающих особенности электромагнитных процессов, протекающих в реакторах. Разработка таких методик позволит, используя максимум известной информации об искомом решении, улучшить вычислительные свойства математических моделей, снизить объемы требуемых вычислений и, в конечном итоге, повысить значимость численных методов для проектирования реакторов.

Цель работы - разработка специализированных методов численного моделирования трехмерных электромагнитных полей шунтирующих реакторов и методик их численной реализации. В соответствии с целью работы были поставлены следующие основные задачи:

1. Разработать методику расчета трехмерных стационарных магнитных полей в линейных анизотропных средах, адаптированную к расчетам полей в магнитопроводах шунтирующих реакторов. Используя полученную методику для броневых и бронестержневых реакторов с Сообразными ярмами выполнить оптимизацию конструкций магнито-провода, сопоставить численные и аналитические результаты расчетов индуктивностеи, исследовать влияние анизотропии магнитных свойств магнитопроводов на величину индуктивности, рассмотреть влияние шунтов на величину индуктивности и распределение индукции в стали.

2. Разработать экономные методы расчета трехмерных квазистационарных электромагнитных полей в линейных изотропных проводниках. Предложить методики их численной реализации, адаптированные к расчетам полей в стальных деталях конструкций реакторов. Разработать методику расчета распределения удельных потерь в массивных деталях конструкций реакторов. Исследовать влияние приближения плоской волны на точность расчета удельных потерь.

3. Разработать метод расчета трехмерных квазистационарных электромагнитных полей в линейных анизотропных средах. Предложить методику его численной реализации.

В первой главе диссертационной работы произведен анализ современного состояния и перспективы развития методов численного моделирования трехмерных электромагнитных полей применительно к расчетам полей шунтирующих реакторов. В результате анализа сделан вывод о необходимости развития методов расчета трехмерных электромагнитных полей и разработки специализированных методик их численной реализации, позволяющих за счет учета особенностей электромагнитных процессов в шунтирующих реакторах снизить объемы вычислений и повысить точность решения. Наиболее пригодным для этого признан метод интегральных уравнений, поскольку в случае линейных задач расчета поля (что характерно для шунтирующих реакторов) данный метод позволяет получить более экономные полевые модели, чем другие численные методы, в том числе и метод конечных элементов.

Во второй главе рассмотрена задача определения основных функциональных характеристик шунтирующих реакторов (индуктивности, реактивной мощности и энергии магнитного поля). Показано, что решение данной задачи может быть сведено к задаче расчета трехмерных стационарных магнитных полей в линейных анизотропных средах. Обосновано, что для решения полевой задачи следует использовать метод граничных интегральных уравнений.

Целью данной главы являлось: во-первых, разработка соответствующей методики расчета поля, адаптированной к расчетам полей реакторов и, во-вторых, исследование картины магнитного поля броневых и бро-нестержневых реакторов с С-образными ярмами.

Предложенная методика расчета поля основывалась на решении системы граничных сингулярных интегральных уравнений, записанных относительно тока намагниченности и заряда, методом конечных сумм с кусочно-постоянной аппроксимацией вторичных источников. В рамках методики предложено использовать местные системы координат граничных элементов, что позволяет снизить число скалярных неизвестных на 1Л, получены аналитические выражения для вычисления коэффициентов матрицы СЛАУ, исследованные ее вычислительные свойства, а также возможность итерационного решения.

В рамках исследования картины магнитного поля выполнено:

1. оптимизация конструкции магнитопровода реактора. Для броне-стержневых реакторов оптимизируемыми параметрами являлись число вставок стрежня и суммарная длина немагнитных зазоров, для броневых - высота обмотки и ширина магнитопровода.

2. сопоставление численных и аналитических результатов расчета ин-дуктивностей.

3. исследование влияния анизотропии магнитных свойств магнитопровода на индуктивность. Кроме того, было рассмотрено влияния шунта, расположенного над и под обмоткой, бронестержневого реактора на его индуктивность и распределение индукции в объеме стали.

В главе также рассмотрено вычисление интегральных параметров поля, которые могут быть использованы для построения эквивалентных схем замещения реакторов.

В третьей главе рассмотрена задача расчета потерь в стальных деталях конструкции реакторов (бак и т.д.). Показано, что решение данной задачи может быть сведено к задаче расчета трехмерных квазистационарных магнитных полей в линейных анизотропных средах и массивных изотропных проводниках.

Проведенный анализ показал, что существующие методики расчета трехмерных полей в массивных проводниках принимают в той или иной форме (граничные условия Леонтовича, поверхностный импеданс и т.д.) приближение плоской волны для снижения объемов вычислений до приемлемого уровня. Это приводит к возникновению дополнительной неустранимой погрешности расчета поля, которая особенно велика вблизи ребер и углов проводников. В тоже время расчет поля вблизи ребер и углов имеет большую практическую значимость, поскольку именно в этих областях часто имеет место локальное усиление поля, приводящее к различным нежелательным эффектам (например, повышенным местным нагревам). В связи с этим целью главы являлась разработка новых методов расчета поля в массивных проводниках, достаточно экономных, чтобы не требовать использования каких-либо приближений для снижения объемов вычислений, а также разработка на базе этих методов более точной методики расчета удельных потерь в массивных проводниках.

Разработка новых экономных методов расчета поля проводилась за счет усовершенствования известной системы граничных интегральных уравнений минимальной размерности [75]. Усовершенствование основывалось на том факте, что при наличии у поверхности массивного проводника достаточно больших плоских участков, что характерно для массивных деталей реакторов, область определения одного из вторичных источников, а именно поверхностного тока, может быть сужена. Показано, что в случае массивных проводников реакторов такое сужение области определения вторичных источников часто позволяет уменьшить число скалярных неизвестных СЛАУ в десятки раз. В итоге была получена новая, более экономная, система сингулярных граничных интегральных уравнений для расчета полей в массивных проводниках. Также получено новое скалярное граничное интегральное уравнение для приближенного расчета полей в массивных проводниках, имеющее преимущества над известными скалярными граничными интегральными уравнениями, основанными на приближенных граничных условиях (Леонтовича и идеальной проводимости). Кроме того, в данной главе предложены методики численного решения полученных систем граничных интегральных уравнений. Новшество данных методик заключается в разработке метода расчета нестандартного двойного интеграла с несобственным внутренним и сингулярным внешним интегралами. В рамках методики исследованы вычислительные свойства матриц СЛАУ и возможность их итерационного решения.

Разработка новой системы граничных интегральных уравнений, достаточно экономной, чтобы не требовать принятия каких-либо приближений для снижения объемов вычислений, позволила предложить уточненную методику расчета потерь в массивных проводниках, не принимающую и в отличие от остальных методик приближение плоской волны для поля в массивном проводнике. Это впервые позволило получить достаточно точное распределение удельных потерь вблизи ребер и улов массивных проводников, а также провести количественное исследование влияния приближения плоской волны на распределение удельных потерь.

В четвертой главе рассматривается задача исследования распределения вихревых токов в магнитопроводах шунтирующих реакторов. Результаты решения этой задачи являются начальными данными для задач расчета шумов, вибраций реакторов, для выявления повышенных местных нагревов, приводящих к разрушению изоляции пластин (так называемые «пожары в стали»).

В главе показано, что решение данной задачи может быть сведено к задаче расчета трехмерных квазистационарных электромагнитных полей в средах с анизотропными магнитными и электрическими свойствами. Однако, как показал проведенный анализ, математические модели для расчета таких полей в рамках метода интегральных уравнений не разработаны. Существующие модели охватывают лишь случай квазистационарных полей в средах с анизотропией только магнитных свойств1. Все вышесказанное обуславливает актуальность основной задачи, решаемой в данной главе, а именно разработки математической модели трехмерного квазистационарного электромагнитного поля в средах с анизотропией как магнитных, так и электрических свойств. В конечном итоге для решения поставленной задачи была получена новая система сингулярных интегральных уравнений смешанного типа, записанная относительно двух пространственных векторных (напряженности вторичного магнитного и электриче

1 Курбатов П.А., Аринчин С.А. Численный расчет электромагнитных полей. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 167 е.; Кадников СМ. Метод интегральных уравнений для расчета электромагнитною поля/Иван, гос. энерг. ун-т. - Иваново, 2003. -340 с. ского поля в анизотропной среде) и одного граничного скалярного (электрический заряд, наведенный на границе раздела сред) вторичного источника. В главе предлагается также методика численного решения полученной системы интегральных уравнений. В рамках методики получены аналитические выражения для вычисления коэффициентов матрицы СЛАУ, исследованные ее вычислительные свойства. Методика применена для расчета упрощенных моделей шунтирующих реакторов.

Научная новизна работы.

1.Впервые получена система смешанных интегральных уравнений для расчета трехмерного квазистационарного электромагнитного поля в линейных безгистерезисных средах с анизотропией как магнитных, так и электрических свойств.

Н.Для расчета трехмерного квазистационарного магнитного поля в линейных изотропных безгистерезисных ферромагнитных средах получена система граничных интегральных уравнений более экономная, чем известная система граничных интегральных уравнений минимальной размерности.

Ш.Получено новое скалярное граничное интегральное уравнение для приближенного расчета трехмерного квазистационарного магнитного поля в линейных изотропных безгистерезисных ферромагнитных средах, имеющее преимущества над известными скалярными граничными интегральными уравнениями, основанными на приближенных граничных условиях (Леонтовича и идеальной проводимости).

IV. Впервые предложена методика численного решения системы сингулярных граничных интегральных уравнений, записанных относительно тока намагниченности и заряда, для расчета трехмерных стационарных магнитных полей в линейных безгистерезисных анизотропных средах. С использованием данной методики показано, что принятие условия пространственной изотропии магнитопровода броневого или бронестержне-вого реактора с С-образными ярмами не приводит к существенной погрешности при расчете индуктивности. У.Впервые предложена методика расчета удельных потерь в массивных проводниках, не использующая приближение плоской волны. Показано, что использование приближения плоской волны может существенно искажать величину удельных потерь вблизи ребер и углов массивных проводников.

Теоретическая значимость работы состоит в следующем. Впервые предложен метод расчета трехмерных квазистационарных электромагнитных полей в средах с анизотропией как магнитных, так и электрических свойств. Разработаны новые более экономичные методы расчета трехмерных квазистационарных полей в изотропных ферромагнитных средах. Сделаны теоретически значимые выводы о возможности использования моделей магнитных полей в изотропных средах для расчета индуктивностей реакторов, о влиянии приближения плоской волны на распределение удельных потерь в массивных де-талях конструкции.

Практическая значимость результатов состоит в следующем. Разработаны г/ новые методики и численные алгоритмы расчета трехмерных стационарных и квазистационарных электромагнитных полей в линейных изотропных и анизотропных средах. Данные методики реализованы в виде программного комплекса для персональных компьютеров IBM PC. Использование созданного программного комплекса для оптимизаций конструкций магнитопроводов реакторов позволило сделать практически значимый вывод о влиянии числа вставок стержня на индуктивность реактора и распределение индукции в стали. Разработанное программное обеспечение внедрено на предприятии г. Иваново ГУП ИвНИИЭлектропривод.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на

• 7-й международной научно-технической конференции «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (г. Москва, 2001 г.);

• Международной научно-технической конференции «Состояние и перспективы развития электротехнологии» (X Бенардосовские чтения) (г. Иваново, 2001 г.);

• 8-й международной научно-технической конференции «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (г. Москва, 2002 г.);

• Международной научно-технической конференции «Проблемы сварки и электротехники» (XI Бенардосовские чтения) (г. Иваново, 2003 г.);

• 9-й международной научно-технической конференции «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (г. Москва, 2003 г.);

• научных семинарах кафедры ТОЭЭ Ивановского государственного энергетического университета.

• научных семинарах кафедры «Электрические аппараты» Московского Энергетического Института.

На 7-й и 8-й международных научно-технических конференциях «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» доклады были удостоены дипломами второй степени.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, общим объемом 163 страницы, списка литературы из 151 наименования источников,

Выводы: Измерения показали, что в основной части зазора величина индукции составляет величину от 0.5 Тл до 0.53 Тл с учетом пересчета тока на рабочее значение 15 А. Отсюда следует вывод, что в. рабочем зазоре величина индукции достаточна для магнитно-импульсной обработки металлов и сплавов.

Подписи у-о ТОЭЭ, к.т.н., проф. Королев А.Н.; а., проф. каф. ТОЭЭ Кадников£.Н.; д.т.н., проф. каф. ТОЭЭ Голубев А.Н.; аспирант каф. ТОЭЭ Чиндилов Д.В.

Ди

1. Видмар М. Трансформаторы. М ГОНТИ, 1931. -592 с. ГОСТ 16110-70 (СТ СЭВ 1103-78). Трансформаторы силовые. Термины и определения.

2. Лейтес Л.В. Особенности проектирования мощных реакторов для кратковременной работы. Электричество, 1963, 10, с. 67-69.

3. Лейтес Л.В. Тороидальные реакторы. М.: изд. ВНИИЭМ, 1966. 84 с.

4. Коган Р.А., Лейтес Л.В. Броневые шунтирующие реакторы. Вестник электропромышленности, 1962, J T 1, с. 38-41. Ss

5. Крайз А.Г., Лейтес Л.В. Об индуктивных устройствах для статических компенсаторов реактивной мошности. Электричество, 1979,№ 10, с. 56-59.

6. Лейтес Л.В. Электромагнитные расчеты трансформаторов и реакторов.-М.: Энергия, 1981.-392 с.

7. Лейтес Л.В. О стандарте на терминологию реакторов. Электротехника, 1974, 4, с. 39-42.

8. Бинс К., Лауренсон П. Анализ и расчет электрических и магнитных полей. М.: Энергия, 1970. 376 с.

9. Демирчян К.С. Моделирование электромагнитного поля. Энергия, 1974,-288 с.

10. Туровский Я. Техническая электродинамика. М.; Энергия, 1974. М.:

11. Домбовский В.В. Справочное пособие по расчету электромагнитного поля в электрических машинах. Л Энергоатомиздат, Ленинградское отделение, 1983. 256 с.

12. Кузнецов В.А. Физическое математическое моделирование электрических машин. «Итоги науки и техники», ВИНИТИ АИ СССР. Сер. электрические машины и трансформаторы, 3, 1981. 104 с.

13. Электромагнитные поля в электрических машинах. /Брынский П.А., Данилевич Я.Б., Яковлев В.И. Л.: Энергия, 1979. 176 с.

14. Иванов-Смоленский А.В. Электромагнитные поля и процессы в электрических машинах и их физическое моделирование. М.: Энергия, 1969.-304 с.

15. Веников В.А. Теория подобия и моделирования применительно к задачам электроэнергетики. М. -Л.: Госэнергоиздат, 1949. 168 с.

16. Рязанов Г.А. Опыты и моделирование при изучении электромагнитного поля. -М.: Иаука, 1966.

17. Фильчяков П.Ф., Панчин В.И. Интеграторы ЭГДА. Моделирование I, потенциальных полей на электропроводной бумаге. Киев, 1961. 161 с.

18. Демирчян К.С., Воронин В.И. Моделирование трехмерного магнитного поля в трансформаторах. Электротехника, 1969, N2 1, с. 37-39.

19. Демирчян К.С, Кузнецов И.Ф., Воронин В.И. Иоверхностный эффект в электроэнергетических устройствах. Л Иаука, 1983. 280 с.

20. Иейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. В 2-х томах. 2-е изд. -Л.: Энергия, 1975. 522 и 407 с.

21. Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964. 774 с.

22. Вухгольц Г. Расчет электрических и магнитных полей. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. -712 с.

23. Калантаров И.Л., Цейтлин Л.А. Расчет индуктивностей. Справочная книга. 2-е изд. -Л.: Энергия, 1970. 416 с.

24. Ламмеранер Й., Штафль М. Вихревые токи. М.: Энергия, 1967. 208 с. ф

25. Марквардт Е.Г. Электромагнитные расчеты трансформаторов. М.; ОНТИ, 1938.-136 с.

26. Говорков В.А. Электрические и магнитные поля. 3-е изд. М.: Энергия, 1968.-488 с.

27. Холявский Г.Б. Расчет электродинамических усилий в электрических аннаратах. М.: Госэнергоиздат, 1962. 184 с.

28. Лейтес Л.В., Пинцов A.M. Параметры и схемы замещения многообмоточных трансформаторов. М.: Энергия, 1974. 192 с.

29. Лейтес Л.В. Эквивалентная схема двухобмоточного трансформатора; опыты холостого хода и короткого замыкания. В кн.: Вопросы трансформаторостроения/ Под. ред. Э.А. Манькина. М.: Энергия, 1969, Тр. ВЭИ, вып. 79, с. 277-295.

30. Сегерлинд П. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.-329 с.

31. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985.-334 с.

32. Silvester Р., Chan M.V.K. Finite element solution of saturable magnetic field problems. IEEE Trans, on Power App. and Syst., Vol. PAS-89, N2 7, 1970, pp. 1642-1651.

33. Демирчян K.C., Солнышкин Н.И. Расчет трехмерных магнитных полей методом конечных элементов. Изв. АН СССР Энергетика и транспорт, 1975, 5, с. 39-49.

34. Новик ЯЛ. Численный расчет магнитного поля методом конечных элементов в электрических машинах с учетом насыщения стали. -Изв. АН Латв. ССР. Сер. физич. и техн. наук, 1974, N2 5, с. 96-103.

35. Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-349 с.

36. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977.

37. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван, 1979.

38. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение

39. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 558 с.

40. Шаманский В.Е., Гринькова Г.В. О применении модификации метода Ньютона для расчета двумерных электромагнитных полей. В кн.: Методы расчета электронно-оптических систем. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1970, с. 204-210.

41. Glowinski R., Marroco А. Finite element approximation and iterative methods of solution for 2-D non-linear magnetostatic problems. Proc. Of Compumag, 1976, p. 112-139.

42. Kreisinger V. Iterative methods for the solution nonlinear magnetic fields. Acta Technica CSAV, 3, p. 277-298.

43. Biro O. Preis K. Finite element analysis of 3-D eddy currents. IEEE Tram. Magn., Vol 26, 2,1990, pp. 418-423.

44. Albertz D., Henneberger G. Calculation of 3D eddy current fields using both electric and magnetic vector potential in conducting regions. IEEE Trans. Magn., Vol 34, 5, 1998, pp. 2644-2647.

45. Janicke L., Kost A. Convergence properties of the finite element solution. IEEE Trans. Magn., Vol 35, 3, 1999, pp. 1414-1417.

46. Polstyanko S.V., Guanghua Peng. Algebraic multigrid method for solving FEM matrix equations for 3D static problems. IEEE Trans. Magn., Vol 35, 3 1999, pp. 1183-1186.

47. Magele C Stogner H., Preis K. Comparison of different finite element formulations for 3D magnetostatic problems. IEEE Trans. Magn., Vol 24, №3,1988, pp. 31-34. 49. Kim H., Hong S., Choi K., Jung H., Hahn, S. A three dimensional adaptive finite element method for magnetostatic problems. IEEE Trans. Magn., Vol 27, 5, 1991, pp. 4081-4084.

48. Nakata Т., Takahashi N., Fujiwara K., Shiraki Y. Comparison of diffeient finite elements for 3-D eddy current analysis. IEEE Trans. Magn., Vol 26, №2,1990, pp. 434-437.

49. Albanese R., Coccorese E., Martone R., Miano G., Rubinacci G. Periodic solutions of nonlinear eddy current problems in three-dimensional geometries. IEEE Trans. Magn., Vol 28, 2, 1992, pp. 1118-1121.

50. Leonard, P.J. Finite element modeling of magnetic hysteresis. IEEE Trans. Magn., Vol 31, 3, 1995, pp. 1801-1804.

51. Koltermann P.I., Bastos J.P.A., Sadowski N., Batistela N.J., Kost A., Janicke L., Miethner K. Nonlinear magnetic field model by FEM taking into account hysteresis characteristics with M-B variables. IEEE Trans. Magn., Vol 38, 2, 2002, pp. 897-900.

52. Brandstatter В., Decker A., Ring W. Adaptive finite-element mesh generation for optimization problems. IEEE Trans. Magn., Vol 38, J f 2, Se 2002, pp. 1017-1020.

53. Gyimothy S., Vagvolgyi A., Sebestyen I. Boundary refinement in ndimensional Delaunay-meshing. IEEE Trans. Magn., Vol 36, 4, 2000, pp. 1569-1573.

54. Koji Fujiwara, Takayoshi Nakata, Hiromitsu Ohashi. Improvement of convergence characteristic of ICCG Method for the А-ф method using edge elements. IEEE Tram. Magn., Vol 32, 3, 1996, pp. 804-807.

55. Neagoe C Ossart F. Analysis of convergence in nonlinear magnetostatic finite elements problems. IEEE Tram. Magn., Vol 30, JVQ 5, 1994, pp. 2865-2868.

56. Koizumi M., Higuchi Y. A new vector element in the volume integral equation method for nonlinear magnetostatics. IEEE Trans. Magn., Vol 31, Xo 3,1995, pp. 1516-1519.

57. Golias N.A., Tsiboukis T.D. Three-dimensional automatic adaptive mesh generation. IEEE Tram. Magn., Vol 28, 2, 1992, pp. 1700-1703.

58. Nagakura S., Noguchi S., Yamashita H., Cingoski V. Automatic hexahedral mesh generation for FEM using shape recognition technique and tree method. IEEE Tram. Magn., Vol 38, 2, 2002, pp. 417-420.

59. Hong-Kyu Kim, Sun-Ki Hong, Hyun-Kyo Jung An improved finite element analysis of magnetic system considering magnetic hysteresis. IEEE Tram. Magn., Vol 36, 4, 2000, pp. 689-692.

60. Saeb M., Saunders R. Finite element analysis of electromechanical devices with anisotropic materials. IEEE Tram. Magn., Vol 23, JT 5, 1987, pp. Sy 3860-3865.

61. Villeneuve D., Webb J.P. Accuracy versus cost for three efficient finiteelement solvers. IEEE Trans. Magn., Vol 32, 3, 1996, pp. 1385-1388.

62. Biro O., Preis K. On the use ol magnetic vector potential in the finite element analysis of the three-dimensional eddy currents. IEEE Trans. MjgA7., Vol 25, 4, 1989, pp. 3145-3159.

63. Biro O., Preis K., Richter R. On the use of magnetic vector potential in the nodal and edge finite element analysis of 3D magnetostatic fields. IEEE Tram. Magn., Vol 32, 3, 1996, pp. 651-654.

64. Manges J.B., Cendes Z.J. A generalized three-cotree gauge for magnetic filed computation. IEEE Trans. Magn., Vol 31, 3, 1995, pp. 1342-1347. 67. Mur G. Edge elements, their advantages and their disadvantages. IEEE Trans. Magn., Vol 30, 5, 1994, pp. 3552-3557.

65. Bossavit A. A rationale for edge elements. IEEE Trans. Magn., Vol 24, 1,1988, pp. 74-79. 69. Yu C.H., Basak A. Optimum design of transformer cores by analysing flux and iron loss with the aid of a novel software. IEEE Trans. Magn., Vol 29, 2 1993, pp. 1446-1449.

66. Holland S.A. OConnell G.P. Haydoek L. Calculating stray losses in power transformers using surface impedance with finite elements. IEEE Trans. Magn., Vol 28, 2, 1992, pp. 1355-1358.

67. Guerin C Meinier G. Surface impedance for 3D non-linear eddy current problems application to loss computation in transformers. IEEE Trans. Magn., Vol 32, 3, 1996, pp. 808-811.

68. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлении. М.: Изд-во АН СССР, 1948. 724 с.

69. Демирчян К.С, Чечурин В.Л. Метод расчета вихревых магнитных Изв. АН СССР. нолей с помощью скалярного потенциала. Энергетика и транспорт, 1970, 4

70. Колечитский Е.С. Численные методы расчета электрических полей с использованием уравнений первого рода. Электричество, 1975, 8.

71. Маергойз И.Д. Интегральные уравнения для расчета трехмерного квазистационарного электромагнитного поля. III. Электромеханика, 1972, JT 7. S» Изв. Вузов.

72. Маергойз И.Д. О вариационном нодходе к формулировке уравнений статического магнитного поля в ферромагнитной среде. Кибернетика и вычисл. техника, 1972, вын. 17.

73. Маергойз И.Д. О расчете статического магнитного поля в нелинейной ферромагнитной среде. Кибернетика и вычисл. техника, 1972, вып. 17.

74. Маергойз И.Д. Расчет статических нолей в кусочно-однородных анизотропных средах. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1972, №2.

75. Маергойз И.Д. Расчет статических полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах. Электричество, 1978, 5, с. 19.

76. Маергойз И.Д., Тозони О.В. Иснользование нотенциала двойного слоя для расчета статических магнитных полей в кусочно-однородной среде. Кибернетика и вычисл. техника, 1971, вын. 11.

77. Тозони О.В. Математические модели для расчета электрических и магнитных полей. Киев: Наук, думка, 1964.

78. Тозони О.В. Расчет электромагнитных полей на вычислительных машинах. Киев: Техника, 1967. 252 с.

79. Тозони О.В., Маергойз И.Д. Интегральные уравнения для расчета трехмерного квазистационарного электромагнитного поля в неоднородных и проводящих средах. Кибернетика и вычисл. техника, 1972, вып. 17.

80. Тозони О.В., Маергойз И.Д. О расчете статических полей методом интегральных уравнений. Изв. вузов. Электромеханика, 1967, JVs 11.

81. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике. М.: Энергия, 1975.-294 с.

82. Тозони О.В., Маергойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. Киев: Техника, 1974. 352 с.

83. Mayergoyz I.D. А new universal numerical technique for the solution of boundary integral equations. IEEE Trans. Magn., Vol 38, 2, 2002, pp. 425-428.

84. Gimignani M., Musolino A., Raugi M. Integral formulation for nonlinear magnetostatic and eddy currents analysis. IEEE Trans. Magn.., Vol 30, 5, 1994, pp. 3024-3027.

85. Ikaheimo J., Forsman K., Kettunen L. Adaptive mesh generation in 2D magnetostatic integral formulations. IEEE Trans. Magn.., Vol 33, JT 2, S» 1997, pp. 1736-1739.

86. Babic S., Akyel C, Gavrilovic M.M. Calculation improvement of 3D linear magnetostatic field based on fictitious magnetic surface charge. IEEE Trans. Magn., Vol 36, 5, 2000, pp. 3125-3127.

87. Shen J., Adnjelic Z., Schaub B. A hybrid single and dual simple layer boundary integral equation formulation for 3-D eddy currents. IEEE Trans. Magn., Vol 34, 5, 1998, pp. 2636-2639.

88. Tsuboi H., Tanaka M. Three-dimensional eddy current analysis by the boundary element method using vector potential. IEEE Trans. Magn., Vol 26, 2 1990, pp. 454-457.

89. Takeda Т., Kuwahara Т., Miyata Т., Igarashi M. An error estimation of a solution using the integral equation method. IEEE Trans. Magn., Vol 26, 2,1990, pp. 719-722.

90. Deeley E.M., Xiang J. A coupled minimum-order BE-FE method based on modified surface impedance. IEEE Trans. Magn., Vol 28, 2, 1992, pp. 1158-1161.

91. Tsuboi Н., Asahara Т., Kobayashi F., Misaki T. Adaptive triangular mesh generation for boundary element method in three-dimensional electrostatic problems. IEEE Trans. Magn., Vol 34, 5, 1998, pp. 3379-3382.

92. Huber C.J., Rieger W., Haas M., Rucker W.M. A boundary element formulation using higher order curvilinear edge elements. IEEE Tram. Magn., Vol 34, 5, 1998, pp. 2441-2444.

93. Rucker W.M., Magele C, Schlemmer E., Richter K.R. Boundary element analysis of 3-D magnetostatic problems using scalar Trans. Magn., Vol 28, 2, 1992, pp. 1099-1102.

94. Kurz S., Fetzer J., Lehner G. A novel iterative algorithm for the nonlinear BEM-FEM coupling method. IEEE Trans. Magn., Vol 33, 2, 1997, pp. 1772-1775.

95. Tsuboi H., Shimotsukasa Т., Kato K. Triangular mesh generation using knowledge base for three-dimensional boundary element method. IEEE Trans. Magn., Vol 26, 2, 1990, pp. 799-802.

96. Deeley E.M., Xiang J. The use of modified surface impedance in a minimum-order boundary element method. IEEE Trans. Magn., Vol 26, J i S> 5,1990, pp. 2762-2764. lOl.Ishibashi K. Eddy current analysis by BEM utilizing edge boundary condition. IEEE Trans. Magn., Vol 32, 3, 1996, pp. 832-835.

97. Yuan J., Kost A. A three-component boundary element algorithm for threedimensional eddy current calculation. IEEE Trans. Magn., Vol 30, J o 5, V 1994, pp. 3028-3031.

98. Ishibashi K. Eddy current analysis by integral equation method utilizing loop electric and surface magnetic currents as unknowns. IEEE Trans. Magn., Vol 34, 5, 1998, pp. 2585-2588. potentials. IEEE

99. Mayergoyz I., Peaiyoung S., Salong S.J. Some technical aspects of implementing boundary element equations. IEEE Trans. Magn., Vol 25, 4,1989, pp. 2998-3000.

100. Ishibashi K. Nonlinear eddy current analysis by integral equation method. IEEE Trans. Magn., Vol 30, 5, 1994, pp. 3020-3023.

101. Kost A., Bastos J.P.A., Miethner K., Janicke L. Improvement of nonlinear impedance boundary conditions. IEEE Trans. Magn., Vol 38, 2, 2002, pp. 573-576.

102. Shen J., Kost A. On the convergence of the iterative A-BEM formulation for 2-D nonlinear eddy currents. IEEE Trans. Magn., Vol 31, JT 3, 1995, S» pp. 1496-1499.

103. Doppel K., Hochmuth R. A nonlinear singular integral equation model for hysteresis in magneto-statics. IEEE Trans. Magn., Vol 32, 3, 1996, pp. 678-681.

104. Dong-Hun Kim, Song-Yop Hahn, Sang-Young Kim. Improved design of cover plates of power transformers for lower eddy current losses. IEEE Trans. Magn., Vol 35, 5, 1999, pp. 3529-3531.

105. Ahmad A., Auriol P., Kieny C. Shell-form power transformer modelling at high frequencies. IEEE Trans. Magn., Vol 30, 5, 1994, pp. 3729-3732.

106. Маергойз И.Д. Итерационные методы расчета статических полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах. Киев: Наук. думка, 1979.-206 с.

107. Курбатов П.А., Аринчин А. Численный расчет электромагнитных полей. М.: Энергоатомиздат, 1984. 167 с.

108. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М. Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

109. Краснов Н.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. М Наука, 1976-215 с.

110. Метод ГИУ/ Под ред. Т. Круз, Ф. Риццо. М.: Мир, 1976. 207 с.

111. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интефальных уравнений с профаммами для ЭВМ. Киев: Наук, думка, 1978. 292 с.

112. Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. М.:Мир, 1984.-264 с.

113. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. Наука, 1977.-303 с.

114. Deeley Е.М. Surface impedance methods for linear and nonlinear 2-D and 3-D problems. Eddy current seminar, 24-26 March 1986, RAL 86-088, Chilton, p. 101-109.

115. Guerin C Tanneau G., Meunier G. 3D eddy current losses calculation in transformer tanks using the finite element method. IEEE Tram. Magn., Vol 29, 2 1993, pp. 1419-1422

116. Кадников C.H. Метод интефальных уравнений для расчета М.: электростатических полей/Иван, гос. энерг. ун-т. Иваново, 1995. 84 с.

117. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976. 616 с.

118. Кадников Н. Метод интегральных уравнений для расчета электромагнитного ноля/Иван, гос. энерг. ун-т. Иваново, 2003. -340 с.

119. Chindilov D.V., Three-Dimensional Eddy-Current Calculation for Small Skin Depths IEEE Trans. Magn., Vol 39, No 2, 2003, pp. 968-972.

120. Карасев B.B, Лурье СИ. Определение потерь в элементах конструкции трансформаторов с использованием математического моделирования. Электричество, 1971, Jsfe 5, с. 34-39.

121. Березовский А.А., Кравченко А.Н., Нижник Л.П. Расчет добавочных потерь в баке трансформаторов. Электричество, 1966, N» 9, с. 1-7. 13О.Лейтес Л.В., Мастрюков Л.А. Снижение добавочных потерь в баке мощных стержневых реакторов. Электричество, 1966, 9, с. 8-13.

122. Сисуненко О.И. Расчет потерь в баках трансформаторов. Аппараты высокого Электротехническая промышленность. напряжения, трансформаторы, силовые конденсаторы, 1972, вып. 1 (10), с. 17-21.

123. Борю Н.В., Калайда Г.И., Береза В.Л. К расчету потерь в баках крупных силовых трансформаторов. Электричество, 1966, J b 8, с. 60N 62.

124. Карасев В.В., Лейтес Л.В., Филиппов А.Е. Расчет электромагнитного поля и потерь в стальной оболочке трехфазного токопровода. Электричество, 1978, JT 4, с. 16-20.

125. Дружинин В.В. Магнитные свойства электротехнической стали. М.: Энергия, 1974.-240 с.

126. Острейко В.Н. Расчет электромагнитных полей в многослойных средах. -Л.: Изд-во Ленинф. ун-та. 1981. 152 с.

127. Лейтес Л.В. Расчет индуктивности рассеяния трансформаторов.- В кн.: Вопросы трансформаторостроения/ Под ред. Э. А. Манькина. М.: Энергия, 1969, Тр. ВЭИ, вып. 79, с. 220-235.

128. Бики М.А., Юрченко Е.А. Расчет индуктивности броневых реакторов. Электротехника, 1978, 4, с. 25-28.

129. Лейтес Л.В. Упрощенный расчет индуктивности броневых и ярмовых реакторов и реакторов с электромагнитными экранами. Электротехника, 1979, Kfi 7, с. 36-38.

130. Манькин Э.А. Расчет реакторов со стальным магнитопроводом и зазорами. Электричество, 1959, К» 7, с. 35-41.

131. Колесников Э.В. Уравнения электромагнитного ноля в пакете стальных анизотропных пластин. Изв. Вузов. Электромеханика, 1973, 7 с. 703-713. 141.НИЖНИК Л.П., Кравченко А.Н., Калайда Г.И. Моделирование электромагнитного поля на поверхности массивных ферромагнитных деталей. Электротехника, 1971, 7, с. 50-53.

132. Борю Н.В. Моделирование потерь от рассеяния мощных силовых трансформаторов. Электричество, 1960, 9, с. 38-41.

133. Калайда Г.И. Исследование электромагнитного поля в массивных ферромагнитных деталях силовых трансформаторов. Электротехника, 1974, 4, с. 25-29.

134. Гельперин Б.Б. О расчете магнитного поля рассеяния катушки со стальным сердечником и воздушным зазором. Вестник электропромышленности, 1961, 3, с. 21-25. 145.MulIer С

135. Grundprobleme der Mathematishen Theorie electromagnettischer Shwingungen, Berlin, 1957.

136. Крайз А.Г,, Мастрюков Л.А. Регулирующие и компенсирующие устройства для оптимизации работы сетей сверхвысокого напряжения. Электричество, 1981, 4, с. 18-22.

137. Сергеев В.Г., Шихин А.Я. Магнитоизмерительные приборы и установки. М Энергоиздат, 1982. 152 с.

138. Средства измерений магнитного поля Афанасьев Ю.В. и др. —Л.: Энергия, 1979.-370 с.

139. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 279 с.

140. Михлин Г. Интегральные уравнения. М.: Гостехиздат, 1949. —428с.

141. Электрические измерения/Р.М. Демидова-Панферова, В.Н. Малиновский, B.C. Попов и др.; Под. ред. В.Н. Малиновского. М.: Энергоиздат, 1982. 392 с.