автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование структурной динамики ледникового покрова

Введение

I. Математическая модель течения ледникового покрова.

1.1. Общие уравнения динамики ледникового покрова.

1.2. Приближение пограничного слоя.

1.3. Модель течения вдоль фиксированной симметричной трубки тока.

1.4. Развитие реологически неоднородной структуры ледникового покрова.

1.5. Схематизация процессов рекристаллизации льда и описание реологических свойств структурно-неоднородной ледниковой толщи.

1.6. Граничные условия и эффекты изостазии земной коры.

1.7. Моделирование процессов теплопереноса.

II. Численное решение задачи и программный комплекс.

2.1. Разностная схема для уравнений динамики с учетом структурной неоднородности ледника.

2.2. Разностная схема задачи теплопереноса.

2.3. Описание общего алгоритма расчета и программного комплекса.

III. Тестирование численной схемы и информационное обеспечение задачи.

3.1. Сходимость и устойчивость решений.

3.2. Параметры вычислительного эксперимента (в приложении к условиям Антарктиды).

3.3. Современные условия существования ледника в секторе Восточной Антарктиды.

3.4. Моделирование палеоклимата.

IV. Вычислительный эксперимент по исследованию структурной динамики ледникового покрова применительно к условиям Антарктиды.

4.1. Базовый эксперимент. Основные динамические характеристики ледника.

4.2. Изостазия земной коры. Движение края наземной части ледника.

4.3. Влияние неизотермичности течения на общую динамику ледника.

4.4. Влияние эффектов структурной неоднородности на динамику ледника.

4.5. Влияние структурной неоднородности на возраст льда. Заключение.

Математическое моделирование занимает большое место в научных исследованиях и проектах, этому способствует не только возросшие возможности вычислительной техники, но и, в первую очередь, то, что теоретический подход и натурный эксперимент взаимно обогащают и стимулируют развитие друг друга. Создание математической модели есть неизбежный этап осмысления накопленной информации об изучаемом объекте, а широкие возможности математического прогнозирования позволяют планировать новые эксперименты, сосредотачивая усилия на изучении конкретных еще непознанных особенностей явления. Непротиворечивость модели и эксперимента является критерием правильности наших научных представлений.

В современной гляциологии особенно возрастает и является актуальной роль математического моделирования в силу того, что большие размеры и медленное течение ледников не позволяет эффективно применять экспериментальный аппарат для изучения их динамики на больших временных масштабах.

Ледниковый покров Земли, содержащий около 97% ее запасов пресной воды, включает два гигантских массива льда, Антарктический и Гренландский, и является одним из важнейших элементов климатической системы Земли. Необходимость исследования ледников продиктована как хозяйственно экономическими целями, так и глобальными задачами мониторинга окружающей среды. 5

Ледниковые покровы Антарктиды и Гренландии являются уникальными источниками информации. Более чем за 100 лет наблюдений собран богатый экспериментальный материал, который постоянно пополняется результатами исследований с использованием современных технологий. Анализ изотопного состава ледяного керна и температуры в глубоких скважинах позволяет проводить палеореконструкции, оценивать причинно-следственные механизмы глобальных изменений климата, современные тенденции оледенения и прогноз на ближайшие столетия. Однако для интерпретации данных натурных экспериментов необходимо правильное понимание механизмов динамики масс льда.

Основные направления развития современной механики ледников [5-7,10, 20, 21, 23, 27, 35, 41, 59, 63, 67] связаны с упрощением сложных общих уравнений при построении оптимальных с точки зрения целей исследования математических моделей и с учетом новых представлений о свойствах льда [43, 51, 89, 113].

Изначально, на основании лабораторных исследований [11, 18, 36, 41, 60], механические свойства поликристаллического льда задавались в рамках реологической модели неньютоновской жидкости [1]. Однако сейчас успешная реализация проектов глубокого бурения в Антарктиде и Гренландии открыла новые возможности для изучения внутреннего строения двух гигантских массивов природного льда и позволила продвинуться дальше в понимании механизмов взаимодействия динамики ледниковых покровов с развитием кристаллической стратификации и реологической неоднородности льда в теле ледников. Прежде всего, в соответствии с общими представлениями [92] о ползучести и 6 пластичности поликристаллических систем (металлов, минералов, керамик), была подтверждена прямая связь между течением ледника и процессами рекристаллизации льда (изменением строения льда и ориентировки кристаллов).

Данные наблюдений последних лет требуют пересмотра используемых реологических соотношений для ледникового льда и построения новой адекватной математической модели структурной неизотермической динамики ледникового покрова в условиях изменяющегося климата. Это определяет актуальность тематики исследований данной работы.

Первые систематические изложения основ механики течения ледников были предприняты в обзорах [20, 35, 41]. Значение параметра Рейнольдса в ледниковых покровах имеет порядок 10~15-10"12 [56], поэтому движение описывается уравнениями Стокса [35, 41] безинерционного течения вязкой среды (см. например [49]). Формулировки общих моделей течения ледниковых покровов при представлениях о льде как несжимаемой изотропной нелинейно-вязкой жидкости [1, 34] и их анализ методами теории подобия были даны в работах [6, 63]. В этих исследованиях на этапе построения математической модели был использован наблюдаемый географический факт, что характерная высота поверхности ледниковых покровов и куполов на земном шаре h° значительно меньше их характерного планового размера х°. Малость безразмерного параметра формы позволила обоснованно ввести в динамику ледников так называемое приближение пограничного слоя, которое существенно упростило модели глобальной эволюции ледниковых покровов, вошедшие в последствии в гля-циомеханику как модели «мелкого льда» («shallow ice» approximation [43]). 7

Однако возможность априорного задания масштаба А0 и предполагаемая оценка критерия по данным натурных наблюдений должны быть теоретически обоснованы. Это было сделано на основе теории подобия и анализа масштабов [3, 33] для уравнений движения в простейшем случае течения ледника по закону Глена [60] в работах [23, 59], а для произвольного закона течения изотропного льда [1, 34] в [24, 27].

Математически упрощение сводится к «отбрасыванию» в общих уравнениях движения слагаемых, малость которых обусловлена стремлением параметра формы Кк нулю. Физически такое упрощение означает, что распределение давления в теле ледникового покрова по вертикали оказывается гидростатическим, и течение ледника контролируется балансом сил тяжести (сил давления и сдвиговых напряжений вдоль направления максимального уклона высоты поверхности [88]).

В рамках погранслойного описания для общего изучения детальной картины течения льда особенно полезной оказывается упрощенная двумерная формулировка модели движения ледникового покрова вдоль фиксированной трубки тока [21, 37, 47, 95, 97, 99], заключенной между двумя близкими линиями тока. Допущение о стационарности линий тока непосредственно связано с устойчивостью картины распределения осадков на поверхности ледника и доминирующим влиянием рельефа ложа на формирование потоков льда в леднике.

Для адекватного описания динамики ледниковых покровов необходимо также учитывать влияние температурных полей, от которых существенно зави8 сят реологические свойства льда [8, 42], и решать температурную и механическую задачи совместно [10, 63]. Уравнение теплопереноса в теле ледникового покрова в приближении пограничного слоя было записано в [14, 23, 24, 63, 68, 97]. Неизотермические эффекты и сжимаемость снега, фирна и пузырькового льда дополнительно рассматривались в [47] и [99]. Однако, в случае изотропного льда температура в общей модели движения учитывалась только через коэффициент нелинейной вязкости льда (например, [41]). Новые экспериментальные данные позволяют делать выводы о том, что температура в теле ледника принципиально влияет на процессы рекристаллизации [89, 92] и изменение структуры, что должно быть учтено в модели течения.

Проблемой при построении замкнутой системы соотношений, описывающих течение наземной части ледниковых покровов, до последнего времени являлось определение граничных условий на линии налегания. Большинство существующих математических моделей динамики ледников (из последних [37, 97]) не дают строгого рассмотрения этого вопроса. Однако, феноменологический анализ и вывод соответствующих соотношений в районе контакта с морем был дан в [25, 111]. Теоретическое подтверждение эти результаты получили в работе [46]. Граничные условия на линии налегания должны быть также введены в модель динамики морского ледникового покрова.

При построении модели необходимо учесть и условия скольжения на контакте льда с ложем [27, 55, 57], влияющие на характер течения ледника. Эти условия могут изменяться для различных ледников от «прилипания» до «полного скольжения» в зависимости от свойств ложа и температуры льда [55-58, 9

78, 84]. Вопросы изостазии земной коры, которые определяют движение ложа и одновременно нижней границы ледникового покрова рассматриваются в работе в рамках общего гидростатического равновесия земной коры [9, 16, 79, 97 ].

Как отмечалось выше, все использованные ранее модели базировались на предположении о нелинейно-вязкой реологии льда [1], нелинейность учитывалась степенным законом течения, показатель ползучести в котором определялся из условия соответствия между решением (формой поверхности ледника), описываемым построенной моделью, и данными натурных наблюдений [29]. Для ледникового покрова Антарктиды значение степени равнялось 2-3 [41]. Однако данные о величинах внутренних напряжений в теле данного ледникового покрова (они не превышают 0,05-0,1 МПа [15]) и исследования реологических свойств льда при малых напряжениях [83] позволяют сделать предположения, что кажущаяся нелинейность динамики ледника вызвана влиянием других факторов, и, в первую очередь, неоднородностью структурных свойств ледникового льда.

Природный поликристаллический лед, образующийся на поверхности ледника, имеет изначально изотропную структуру со случайной пространственной ориентацией кристаллов. С течением времени по мере погружения и развития в верхней части ледникового покрова нормальных деформаций растяжения/сжатия происходит поворот кристаллической решетки отдельных зерен льда за счет дислокационного сдвига по базисным плоскостям [40, 45, 51, 82] и кристаллическая структура льда становится существенно анизотропной с четко выраженной поясной ориентировкой главных осей (с-осей) в плоскости, пер

10 пендикулярной направлению растяжения. Такой режим рекристаллизации называется полигонизацией. С увеличением с глубиной сдвиговых напряжений при достижении определенного их «порогового» уровня характер процесса рекристаллизации в поликристаллической системе существенно изменяется [92]. Здесь в результате первичной динамической рекристаллизации формируется и постоянно поддерживается наиболее благоприятная по отношению к текущему типу напряжений и деформаций текстура поликристаллического вещества [71, 80]. В ледниковом покрове в зоне преобладания сдвиговых напряжений это строго вертикальная одномаксимумная ориентировка оптических осей кристаллов, при которой их базисные плоскости оказываются параллельными плоскости сдвига. Структура льда, образовавшаяся в ходе различных режимов рекристаллизации, в свою очередь определяет реологические свойства льда [42, 108, 109, 113] и, как следствие, влияет на общую динамику ледника.

Все процессы рекристаллизации льда, его кристаллическая структура и реологические свойства существенным образом зависят от уровня содержания примесей [12, 61, 62, 82, 90, 112], которое непосредственно коррелирует с изменениями климата. Концентрация как твердых микрочастиц (пыли), так и растворимых примесей оказывается несоизмеримо выше в холодные ледниковые эпохи, чем в относительно теплые межгляциальные стадии. Первые наблюдения подобного реологического контраста между льдом ледникового периода и голоценовым льдом в ледниковом куполе Барнес были описаны в [65]. Детальный анализ ранних исследований в этой области выполнен в обзорах [38, 39, 41, 89]. Новые экспериментальные данные последних лет обобщены в [12, 52, 61,

11

112]. Ряд теоретических аспектов рассмотрен в [45, 49, 51, 101]. Далеко не все принципиальные моменты "структурной" динамики ледниковых покровов достаточно поняты, и, возможно, некоторые из них все еще остаются неизвестными.

На данный момент использование сложных анизотропных реологических моделей осуществляется либо при моделировании течения поликристаллического льда и сравнения результатов с аналогичными лабораторными данными [43-45, 51], либо применительно к условиям существования современного ледника Антарктиды [12, 52]. Остается не исследованным вопрос как же влияет изменяющаяся структура льда на общую динамику ледника, на его реакцию на воздействие изменяющегося климата за длительные периоды. Поэтому при построении математической модели течения ледникового покрова важно дать описание именно тех механизмов, которые предположительно определяют эволюцию структуры льда, и оценить их возможное взаимодействие с процессами деформации льда.

В упрощенной форме суммарный эффект заметного увеличения текучести льда, связанный с динамическим формированием легко деформируемой структуры и обусловленный сменой рекристаллизационного режима, традиционно выражается в терминах поправочного коэффициента [89], который вводится в закон течения льда. Одна из первых попыток учесть данную поправку при моделировании реакции ледникового покрова на изменения климата была предпринята в [37]. Но такая формальная процедура не решает ключевой проблемы описания самого процесса перехода с одного режима рекристаллизации

12 на другой. Поэтому возникает необходимость разработать подход к математическому моделированию эффектов структурного размягчения льда в рамках приближения мелкого льда при течении вдоль фиксированной трубки тока [1416, 101]. При этом специальное внимание необходимо уделить учету "памяти" о климатических условиях льдообразования (содержания примесей) и ее влиянию на начало и скорость динамической рекристаллизации, проявляющихся в структурной и реологической стратификации льда, и изучить роль процессов рекристаллизации в динамике ледникового покрова, учитывая специфические особенности поведения антарктического ледникового покрова в условиях изменяющегося климата в прошлом.

Приведенный анализ проблем определяет цель диссертационной работы.

Построение математической модели и разработка программного комплекса расчета нестационарной неизотермической динамики ледникового покрова с учетом процессов рекристаллизации льда в приложении к исследованию течения ледника Антарктиды.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы.

Результаты работы показывают, что процессы рекристаллизации и изменения структуры льда существенно влияют на динамику ледника на больших периодах времени в условиях изменяющегося климата. Дальнейшее развитие математического моделирования структурной динамики ледниковых покровов может быть связано уже с моделированием поворота главных осей кристаллов льда и созданием более точной картины анизотропной структуры льда в теле ледникового покрова.

150

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведем итог выполненному научному исследованию.

В соответствии с целью диссертационной работы проведен анализ общих уравнений механики ледников с учетом развития анизотропных свойств ледникового льда методами теория подобия и анализа масштабов, обоснована справедливость приближения пограничного слоя при описании течения структурно-неоднородного ледникового покрова. В рамках приближения пограничного слоя дана схематизация процессов рекристаллизации льда и описание реологических свойств структурно-неоднородной ледниковой толщи и построена математическая модель нестационарной неизотермической динамики ледникового покрова вдоль фиксированной симметричной трубки тока с учетом эффектов изостазии земной коры и граничного условия при взаимодействии с морем.

Сконструированы алгоритмы решения поставленной задачи методами вычислительной математики, надежность и точность которой подтверждена тестами на известных автомодельных и численных решениях. Разработан программный комплекс, основанный на использовании баз данных. С помощью вычислительного эксперимента применительно к условиям существования ледника вдоль линии тока льда от купола В к Обсерватории Мирный (Восточная Антарктида) исследованы качественные особенности нестационарной неизотермической динамики структурно-неоднородных ледников, даны количественные оценки при сравнении с моделью с упрощенным степенным реологическим законом течения льда.

149

Полученные результаты позволяют оценить влияние различных факторов на поведение ледника Антарктиды в условиях изменяющегося климата. В первую очередь это относится к развитию анизотропных свойств льда, процессов рекристаллизации и их проявлению в общей динамике ледника. Показана роль климатического фактора (растворимых и нерастворимых примесей) в формировании реологически-неоднородной структуры ледникового покрова и, в конечном итоге, в поведении ледника на различных стадиях его эволюции.

Созданный программный комплекс может быть использован при оценке возможных колебаний положения края ледникового покрова на границе с океаном, дает возможность предсказать изменение высоты поверхности (толщины) ледникового покрова, показать относительный вклад в эти колебания неизотер-мичности, эффектов изостазии и процессов рекристаллизации льда. Особое прикладное значение имеет прогноз распределения возраста льда в леднике в зависимости от режима его течения и реологических свойств льда.

1. Астарита Дж., Маруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М : Мир, 1978. - 310 с.

2. Ахмедова Ф.Х., Котляр JI.M., Потапенко В.Ю., Чугунов В.А. Численное исследование и автомодельные решения задачи взаимодействия края ледника и океана // МЖГ. 1986. - № 5. - С. 3-7.

3. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. -Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 256 с.

4. Блинов К.В., Марков А.Н. Зоны динамической активности в ледниковом покрове Антарктиды в районе ст. Восток. Антарктика // Доклады комиссии. - 1990. - №29.-С. 79-89.

5. Вертель A.B. Модель нестационарного ледникового щита в первом длинноволновом приближении // Численные эксперименты по динамике глобального климата. Владивосток, 1982. - С. 113-122.

6. Григорян С.С., Красс М.С., Шумский П.А. Математические модели основных типов ледников // Механика ледников. Изд-во Моск. Ун-та, 1977. С. 3-37.

7. Григорян С.С., Шумский П.А. Простейшая математическая модель трехмерного нестационарного ледника // Научн. Труды Ин-та механики МГУ. Изд-во Моск. Ун-та, 1975. - № 42. - С. 43-53.

8. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М. : Мир, 1972. - 256 с.151

9. Красс М.С. Математические модели и численное моделирование в гляциологии. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1981./Институт механики МГУ. -139 с.

10. Красс. М.С. Математическая теория гляциомеханики. М. , 1983. - С. 1144. - (Итоги науки и техн. Сер. Гляциология ; Т. 3).

11. Jle Гак Г., Дюваль П. Определяющие соотношения неупругого деформирования поликристаллического льда // Физика и механика льда. Сер.: Механика. Нов. в зарубеж. Науке. М., 1983. - № 30. - С. 202-208.

12. Липенков В.Я., Екайкин A.A., Барков Н.И., Пурше М. О связи плотности поверхностного слоя снега в Антарктиде со скоростью ветра // Материалы Гляциологических Исследований. 1998. - Вып. 85. - С. 148-158.

13. Маликова Д.Р., Саламатин А.Н. Моделирование динамики ледникового покрова в неизотермических условиях // МГИ. 1999. - Вып. 86. - С. 55-60.

14. Маликова Д.Р., Саламатин А.Н. Моделирование структурной динамики ледниковых покровов // Тезисы докладов Международной конференции "Мониторинг криосферы", 20-23 апреля 1999г. Пущино, 1999. - С. 83.152

15. Маликова Д.Р., Саламатин А.Н., Дюваль П. Численная модель динамики ледникового покрова вдоль фиксированной трубки тока с учетом эффектов изостазии и взаимодействия с морем // МГИ. 1998. - Вып. 85. - С. 159-165.

16. Маэно Н. Наука о льде. М. : Мир, 1988. - 230 с.

17. Меллор М. Механические свойства поликристаллического льда // Физика и механика льда. Сер.: Механика. Нов. в зарубеж. Науке. М., 1983. - № 30. -С. 209-239.

18. Механика и физика льда / Под ред. Р.В. Гольдштейна. М. : Наука, 1983. -173 с.

19. Патерсон У. Физика ледников. М. : Мир, 1972. - 311 с.

20. Потапенко В.Ю. Саламатин А.Н. Общая математическая модель квазистационарного ледникового покрова // Проблемы Арктики и Антарктики. Л. : Гидрометеоиздат, 1985. - № 59. - С. 21-26.

21. Потапенко В.Ю., Саламатин А.Н. Критериальный анализ уравнений описывающих термодинамические процессы в ледниковых покровах // Проблемы Арктики и Антарктики. Ленинград : Гидрометеоиздат, 1985. - № 50. - С. 74-77.

22. Саламатин А.Н. Анализ простейших математических моделей куполовидных ледников // Исследования по Прикладной Математике. Изд. Казанского Университета. - 1979. - № 7. - С. 131-139.

23. Саламатин А.Н. Взаимодействие температурных и гидродинамических полей в стационарных куполовидных ледниках // Материалы Гляциологических исследований. 1981. - № 42. - С. 122-128.

24. Саламатин А.Н. О движении края покровного ледника // Исслед. по прикладной математике. Изд-во Казан, ун-та. - 1984. - Вып. 10. - С. 150-154. Translation in Journal of Soviet Mathematics.- 1989. - Y. 44, № 5. - P. 672675.

25. Саламатин А.Н., Мазо А.Б. Исследование общей математической модели куполовидного ледника методами теории подобия // Исследования по Прикладной Математике. Изд. Казанского Университета, 1984. - № 10. -С. 139-149.

26. Саламатин А.Н., Маликова Д.Р. Структурная динамика ледникового покрова в условиях изменяющегося климата // МГИ.- 2000 (в печати).

27. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М : Изд-во «Наука», 1971.- 552 с.

28. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М. : Наука, 1972. - 420с.

29. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М. : Наука, 1976. - Т.1. - 536 с.

30. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидромеханика при малых числах Рейнольдса. -М. : Мир, 1976.-630 с.

31. Шумский П.А. Динамическая гляциология. М. , 1969. - 171 с. - ( Итоги науки. Сер. География. Гидрология суши. Гляциология).

32. Шумский П.А. О законе течения поликристаллического льда // Научн. Труды ин-та механики МГУ. М., 1975. - № 42. - С. 54-68.

33. Abe-Ouchi A., Blatter Н., Ohmura A. How does the Greenland ice sheet geometry remember the ice age // Global and Planetary Change. 1994. - № 9. -P. 133-142.

34. Alley R.B., Perepezko J.H., Bentley C.R. Grain growth in polar ice: I.Theory // Journal of Glaciology. 1986. - V. 32, № 112. - P. 415-424.

35. Alley R.B., Perepezko J.H., Bentley C.R. Grain growth in polar ice: II. Application// Journal of Glaciology. 1986. - V. 32, № 112. - P. 425-433.

36. Azuma N., Higashi A. Formation processes of ice fabric pattern in ice sheets // Annals of Glaciology. 1985. - № 6. - P. 130-134.

37. Budd W.F. The dynamics of ice masses. ANARE Sci.Rep. 108, Ser. A(IV) Glaciology, Antarctic Division, Dept. of Science, Melbourne, 1969. - 216 p.155

38. Budd W.F., Jacka T.H. A review of ice rheology for ice sheet modelling // Cold Region Science and Technology. 1989. - № 16. - P. 107-144.

39. Castelnau O., Duval P. Simulations of anisotropy and fabric development in polar ices // Annals of Glaciology. 1994. - № 20. - P. 277-282.

40. Chugunov V.A., Wilchinsky A.V. Modelling of a marine glacier and ice-sheet -ice-shelf transition zone based on asymptotic analysis // Annals of Glaciology. -1996.-V. 23.-P. 59-67.

41. Dahl-Jensen D. Steady thermomechanical flow along two-dimensional flow lines in large grounded ice sheets // J. of Geophys. Res. 1989. - V. 94(B8), № 10. - P. 355-362.

42. Dahl-Jensen D., Gundestrup N.S. Constitutive properties of ice at Dye 3, Greenland // Intern. Assoc. of Hydrol. Sciences Publ. 170 (Symp. at Vancouver, 1987 The Physical Basis of Ice Sheet Modelling), 1987. - P. 33-43.

43. De La Chapell S., Castelnau O., Lipenkov V., Duval P. Dinamic recrystalliza-tion and texture development in ice as revealed by study of deep ice cores in156

44. Antarctica and Greenland // Journal of Geophysical Research. 1998. - V. 103, №B3.-P. 5091-5105.

45. Duval P., Ashby M.F., Anderman I. Rate-controlling processes in the creep of polycrystalline ice // J. of Phys. Chem. 1983. - № 87(21). - P. 4066-4074.

46. Duval P., Castelnau O. Dynamic recrystallization of ice in polar ice sheets // Journal de Physiqye IV (Colloque C3, supplement au Journal de Physiqye III ). 1995. - № 5. - P. C3197-C3205.

47. Etheridge D.M., McCray A.P. Dynamics of the Low Dome ice cap from borehole measurements // ANARE Research Notes, JackaT.H. (Ed.), 1985. -Publ. 28. P. 10-17.

48. Fairbanks R.G., Matthews R.K. The marine oxygen isotope record in Pleistocene coral, Barbados, West Indies. Quat. Res. 1978. - № 10. - P. 181-196.

49. Fowler A.C. A theoretical treatment of the sliding of glaciers in the absence of cavitation // Phylosophical Transactions of the R. Soc. London. Ser. A. 1981. -V.228, № 1445. - P. 638-685.

50. Fowler A.C. Waves on glaciers // J. Fluid Mech. 1982. - V. 120. - P. 283-321.

51. Fowler A.C. Sub-temperate basal sliding // J. of Glaciology. 1986. - V. 32, № 110.-P. 3-5.157

52. Fowler A.C. Sliding with cavity formation // Journal of Glaciology. 1987. -V. 33, № 115.-P. 255-267.

53. Fowler A.C., Larson D.A. On the flow of polythermal glaciers, I. Model and preliminary analysis // Proc. R. Soc. London. 1978. - V. A.363. - P. 217-242.

54. Glen J.W. The creep of polycrystalline ice // Proc. R. Soc. London. 1955. - Ser. A, V. 228, № 1175.-P. 519-538.

55. Gow A.J., Williamson T. Rheological implications of the internal structure and crystal fabrics of the West Antarctic ice sheet as revealed by deep core drilling at Bird Station // CRREL Res. Rep. 1976. - № 7. - P. 6-35.

56. Grigoryan S.S., Krass M.S., Shumskiy P.A. Mathematical model of a three dimensional non-isothermal glacier// J. of Glaciology. 1976. -№ 17(77). -P. 401-417.

57. Hindmarsh R.C.A., Payne A.J. Time-step limits for stable solutions of the icesheet equations // Annals of Glaciology. 1996. - V. 23. - P. 74-85.

58. Hooke R. Le B. Structure and flow in the margin of the Barnes Ice Cap, Baffin Island, N.W.T., Canada // Journal of Glaciology. 1973 . - V. 12, № 66. -P. 423-438.

59. Hutchinson J.W., Bounds and self-consistent estimates for creep of polycrystalline materials // Proc. R. Soc. London. 1976. - V. A.348. - P. 101-127.

60. Hutter K. Theoretical glaciology; material science of ice and the mechanics of glaciers and ice sheets. Dordrecht, etc., D. Reidel Publishing Company/Tokyo, Terra Scientific Publishing Company, 1983.

61. Hutter K. Thermo-mechanically coupled ice-sheet response cold, polythermal, temperate // J.of Glaciology. - 1993. - № 39(131). - P. 65-86.

62. Jacka T.H., Budd W.F. Isotropic and anisotropic flow relations for ice dynamics // Annals of Glaciology. 1989. - V. 12. - P. 81-84.

63. Jacka T.H., Li Jun. The steady-state crystal size of deforming ice // Annals of Glaciology. 1994. - V. 20. - P. 13-18.

64. Jenssen D. A three-dimensional polar ice-sheet model // Journal of Glaciology. -1977. V. 18, № 80. - P. 373-389.

65. Jouzel J., Lorius C., Petit J.R., Genthon G., Barkov N.I., Kotlyakov V.M., Ko-rotkevich Y.S. Vostok ice-core: A continuous isotope temperature record over159the last climitic cycle (160,000 years) //Nature. 1987. - V. 329(6138). - P. 403408.

66. Jouzel J., Merlivat L. Deuterium and oxygen 18 in precipitation: modeling of the isotopic effects during snow formation // Journal of Geophysical Research. -1984. V. 89, № D7. - P. 11,749-11,757.

67. Jouzel J. et al. Extending The Vostok ice-core record of paleoclimate to the penultimate glacier period//Nature. 1993. - V. 364(6436). - P. 407-413.

68. Kamb B. Sliding motion of glaciers: theory and observations // Rev.Geophys. and Space Phys. 1970. - № 8(4). - P. 673-728.

69. Le Meur E., Huybrechts P. A comparison of different ways of dealing with isostasy: examples from modelling the Antarctic ice sheet during the last glacial cycle // Annals of Glaciology. 1996. - V. 23. - P. 309-317.

70. Li Jun, Jacka T.H., Budd W.F. Deformation rates in combined compression and shear for ice which is initially isotropic after the development of strong anisot-ropy // Annals of Glaciology. 1996. - V. 23. - P. 247-252.

71. Li Jun, Jacka T.H. Horizontal shear rate of ice exhibiting vertical compression fabrics // Journal of Glaciology. 1998. - V. 44, № 148. - P. 670-672.160

72. Lipenkov V.Ya., Barkov N.I., Duval P., Pimienta P. Crystalline texture of the 2083m ice core at Vostok station, Antarctica // Journal of Glaciology. 1989. -V. 35, № 121. - P. 392-398.

73. Lipenkov V.Ya., Salamatin A.N., Duval P. Bubbly-ice densification in ice sheets: II. Application // Journ. of Glaciology. 1997. - V. 43, № 145. - P. 397407.

74. Lliboutry L. A critical review of analytical approximate solutions of steady state velocities and temperatures in cold ice-sheets // Zeitschrift fer Gletscherkunde und Glazialgeologie. 1979. - V. 15, № 2. - P. 135-148.

75. Martinson D.G., Pisias N.G., Hays J.D., Imbrie J., Moore T.C., Shackleton N.J. Age dating and the orbital theory of ice ages: development of a high-resolution 0 to 300,0000-year chronostratigraphy // Quaternary Research. 1987. - V. 27, № l.-P. 1-29.

76. Mellor M., Testa R. Effect of temperature on the creep of ice // Journal of Glaciology. 1969,-V. 8, №52. - P.

77. Morgan V.I., Wookey C.W., Li J., van OmmenT.D., Skinner W., Fitzpatrick M.F. Site information and initial results from deep ice drilling on Law Dome, Antarctica // Journal of Glaciology. 1997. - V. 43, № 143. - P. 310

78. Nye J.F. The mechanics of glacier flow // Journal of Glaciology. 1952. - V. 2, №2.-P. 82-93.

79. Paterson W.S.B., Why ice-age ice is sometimes "soft" // Cold Regions Science and Technology. 1991. - V. 20. - P. 75-98.161

80. Petit J.R., Duval P., Lorius C. Long-term climatic changes indicated by crystal growth in polar ice // Nature. 1987. - V. 326, № 6108. - P. 62-64.

81. Poirier J.-P. Creep of crystals. Cambridge: Cambridge University Press, 1990. - 260 p.

82. Prentice M.L., Meeker L.D., Mayewski P.A. Links between fast changes in sea level, ice-sheet volume, and climate // Journal of Geophysical Research, in press.

83. Ram M., Koenig G. Continuous dust concentration profile of pre-Holocene ice from the Greenland Ice Sheet Project 2 ice core: Dust stadials, interstadials, and the Eemain // Journal of Geophysical Research. 1997. - V. 102, № C12. -P. 26,641-26,657

84. Reeh N. A flow-line model for calculating the surface profile and the velocity, strain-rate, and stress fields in an ice sheet // J.Glaciol. 1988. - V. 34(116). - P. 46-54.

85. Ritz C. Interpretation of the temperature profile measured at Vostok. East Antarctica//Annals of Glaciology. 1989. - № 12. - P. 138-144.162

86. Ritz C. Un modèle thermo-mecanique d'évolution pour le bassin glaciaire Antarctique Vostok-glacier Byrd: sensibilité aux valeurs des paramètres mal connus (Thèse de doctorat d'etat, Université Joseph Fourier Grenoble I, France), 1992.

87. Robin G. De Q. Ice cores and climatic change // Phil. Trans. R. Soc. Lond. -1977.-V.B.280.-P. 143-168.

88. Salamatin A.N. Ice sheet modelling taking account of glacier ice compressibility // International Association of Hydrological Sciences Publ. 208 (Symp. at St.Peterburg 1990 Glacier-Ocean-Atmosphere Interactions). -1991. -P.183-192.

89. Salamatin A.N. Paleoclimatic reconstructions based on borehole temperature measurements in ice sheets. Possibilities and limitations // Physics of Ice Core Records, T. Hondoh (Ed.), Hokkaido University, 2000.

90. Salamatin A.N, Duval P., Castelnau O., Malikova D.R. Boundary layer appoximation in anisotropic ice flow modelling // Mater. Glyatsiol. Issled. -1997.-V. 83.-P. 105-111.

91. Salamatin A.N., Lipenkov V.Ya., Blinov K.V. Vostok (Antarctica) climate record time-scale deduced from the analysis of a borehole-temperature profile // Annals of Glaciology. 1994. - № 20. - P. 207-214.

92. Salamatin A.N., Ritz C. A simplified multi-scale model for predicting climatic variations of the ice-sheet surface elevation in central Antarctica // Annals of Glaciology. 1996. - V. 23. - P. 28-35.

93. Shoji H., Langway C.C. Flow behavior of basal ice as related to modelling considerations // Annals of Glaciology. 1984. - № 5. - P. 141-148.

94. Shoji H., Langway C.C. Jr. Flow-law parameters of the Dye 3, Greenland, deep ice core // Ann. Glaciol. 1988. - № 10. - P. 146-150.

95. Sowers T., Bender M., Laberyrie L., Martinson D., Jouzel J., Raynaud D., Pichon J.J., Korotkevich Y.S. A 135,000-year Vostok-SPECMAP common temporal framework // Paleoceanography. 1993. - № 8(6). - P. 737-766.

96. Thomas R.H., Bently C.R. A model for Holocene retreat of the West Antarctic ice sheet // Quaternary Research. 1978. - V. 10. - P. 150-170.

97. Thorsteinsson T., Kipfstuhl J., Moller H. Textures and fabrics in the GRIP ice core // Journal of Geophysical Research. 1997. - V. 102, № C12. - P. 26,58326,599.

98. Thorsteinsson T., Waddington E.D., Taylor K.C., Alley R.B., Blankenship D. D. Strain-rate enhacement at Dye 3, Greenland // Journal of Glaciology. 1999. -V. 45, № 150. - P. 338-345.

99. Thwaites R.J., Wilson C.J.L. Relationship between bore-hole closure and crystal fabrics in Antarctic ice core from Cape Folger // Journal of Glaciology. 1984. -V. 30, N105.- P. 171-179.

100. Young N.W. Multilayer crystallographic structure of Low Dome ice core // ANARE Research Notes, Jacka T.H. (Ed.). 1985. - Publ. 28. - P. 18-24.