автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование гемодинамики крупных кровеносных сосудов

На правах рукописи

Астраханцева Елена Владимировна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕМОДИНАМИКИ КРУПНЫХ КРОВЕНОСНЫХ СОСУДОВ

Специальность: 05.13.18 — "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2006

Работа выполнена иа кафедре вычислительной математики и программирования Московского авиационного института (государственного технического университета)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ревюников Дмитрий Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мнносцев Вениамин Борисович

кандидат физико-математических наук, доцент Мухин Сергей Иванович

Ведущая организация: Институт математического моделирования РАН

Защита состоится 22 декабря 2006 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д212.125.04 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского авиационного института.

Автореферат разослан « 10 » ноября 2006 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д212.125.04, кандидат физико-математических наук, доцент

Ротанина М.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Актуальность темы исследования обусловлена растущими требованиями к точности моделирования гемодинамических течений в медицинских приложениях. В настоящее время все в большей мере проявляется тенденция к использованию полномасштабных моделей кровеносной системы, что позволяет получать детальную пространственно-временную картину течения с учетом влияния гемодинамики различных сосудов. Учитывая, что возможности экспериментальных исследований гемодинамических процессов существенно ограничены, особое значение приобретает разработка эффективных программно-алгоритмических средств численного моделирования рассматриваемого класса течений и проведение широкомасштабного вычислительного эксперимента. Цель работы.

К основным целям настоящей диссертационной работы относятся: • разработка алгоритмов для численного моделирования гемодинамических процессов в системе крупных артерий;

- компьютерная реализация многоуровневой системы математических моделей гемодинамики, разработка комплекса программ;

- численное моделирование эффектов, возникающих в результате пережатия сосуда манжетой при измерении давления аускультативным и осциллометрическим методами.

Научная повита. Разработаны эффективные вычислительные алгоритмы моделирования гемодинамики в системе крупных артерий. Предложена модификация модели гемодинамики на случай пережатия сосуда манжетой, основанная на переменной ригидности сосудистой стенки. Исследована детальная структура течения при пережатии. На основе полномасштабной модели артериального дерева показано, что возникновение тонов Короткова при измерении давления аускультативным методом связано с нелинейным характером поведения упругих свойств оболочки сосуда. Получена колоколообразная зависимость амплитуды колебаний площади поперечного сечения плечевой артерии от пережимающего давления, характерная для осциллометрических методов измерения артериального давления.

Достоверность результатов диссертационной работы подтверждена хорошим согласованием результатов тестовых расчетов с известными аналитическими и численными решениями, а также с экспериментальными данными. Практическая ценность. Разработанный комплекс алгоритмов и программ может быть использован для моделирования волновых процессов при различных режимах функционирования сердечно-сосудистой системы, исследования взаимного влияния сосудов, а также эффектов, лежащих в основе осциллометрическнх и аускультативных методов измерения артериального давления.

Апробация, работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры «Вычислительная математика и программирование» под руководством чл.-корр. РАН, профессора Пирумова У, Г., на XIX м«клународном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (Санкт-Петербург, 2002), на IV, V, VI международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (Санкт-Петербург, 2002, Самара, 2004, Санкт-Петербург, 2006), на ХП, XIV международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС) (Владимир, 2003, Алушта, 2005), на семинаре отдела новых методов диагностики НИИ кардиологии им. A.JI. Мясннкова, на семинаре кафедры «Вычислительные методы» факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Публикации, Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-8]. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы из 88 наименований. Работа изложена на 100 страницах, содержит 1 таблицу и 42 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведено обоснование актуальности темы диссертационной работы, дан обзор литературы, посвященной моделированию гемодинамических процессов и численному решению гиперболических систем уравнений, а также изложена структура и содержание работы.

В первой главе рассмотрены вопросы математического моделирования течений крови в одиночном сосуде. Приведены результаты численного моделирования рада

тестовых задач. Исследована сходимость и рассмотрены вопросы выбора оптимальных сеточных параметров.

Одномерная модель гемодинамики описывается следующей системой нелинейных гиперболических уравнений в частных производных [напр., Абакумов М.В., Есикоеа Н£., Мухин С.И., Соснин И.Б., Тишкин В.Ф., Фаворский АЛ. Разностная схема решения задач гемодинамики на графе. //Препринт. - М.: Диалог-МГУ, 19981:

Здесь г - время, * - продольная координата, л - площадь поперечного сеченая сосуда, и - осредненная по поперечному сечению скорость движения крови вдоль сосуда, р • осредненное артериальное давление, р - плотность крови, которая считается постоянной, /( - приведенная внешняя сила, /„- приведенная сила сопротивления (трения), обусловленная вязкими свойствами крови.

Система уравнений (1) замыкается зависимостью площади поперечного сечения от давления в потоке:

При различных режимах функционирования в сосудах возможно появление зон со значительным продольным изменением гемодинамнческих параметров. Как следствие, применение схем первого порядка по пространству является малоэффективным в силу сильной схемной диссипации. В то же время традиционные схемы второго порядка обладают собственными дисперсионными свойствами, проявляющимися в виде ложных осцилляций численного решения в областях больших градиентов. Поэтому в диссертационной работе для решения системы уравнений гемодинамики (1), (2) используется TVD-подход. Этот подход связан с построением схем, которые уменьшают или сохраняют полную вариацию функции, не допуская тем самым появления ложных осцилляции. В настоящей работе применяется TVD-монотонгаированная схема типа Кураига-Изаксона-Риса [см., напр., Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов AJO. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001,

(1)

S = ■!{/>)

<2)

608 е.], основанная на приближенном решении задачи Римана для локально

ограничителей.

Для тестирования вычислительного алгоритма на задачах с плавным изменением гемодинамнческих параметров построен набор тестовых задач с правыми частями специального вида. При этом правые части, начальные и граничные условия для системы уравнений (1), (2) подбирались так, чтобы задача имела аналитическое решение в виде тригонометрических функций. Ряд численных экспериментов показал хорошую согласованность численных и аналитических решений.

С целью тестирования вычислительного алгоритма на задачах с резким изменением гемодинамических параметров было получено точное решение автомодельной задачи о распаде произвольного разрыва (задача Римана) для системы уравнений (1), (2). На рис. 1 приведено решение, полученное для конфигурации ВР-УВ (влево от разрыва движется веер волн разрежения (ВР);

линеаризованной системы уравнений. Проведена апробация различных

Рнс.1. Распределение р по пространственной переменной в момент времени t-0.0138 сек (конфигурация ВР-УВ).

вправо — ударная волна (УВ)) до наступления момента времени, когда BP и УВ достигнут границ сосуда. Видно, что

противопоточная схема довольно сильно «размазывает» решение, как на веере волн разрежения, так и на ударной волне, в то время как TVD-схема с лимитерами minmod и van Leer достаточно точно воспроизводит решение.

что

Рассматривается также более простая, линейная, модель гемодинамики;

Система уравнений (3) может быть получена из (1) в пренебрежении конвективными слагаемыми и в предположении о постоянной скорости распространения пульсовой волны,

В качестве тестовой задачи для системы уравнений гемодинамики (3) рассматривается задача со следующими граничными условиями [Абакумов М.В., Есикова Н£., Мухин С.И., Сосния Н.В., Тиштн В.Ф., Фаворский А.П. Разностная схема решения задач гемодинамики на графе. //Препринт. — М.: Диалог-МГУ, 1998.}: 1} на левой границе известен расход крови, описываемый следующей зависимостью:

Такое граничное условие моделирует сердечный выброс в системе кровообращения человека.

2) На правой границе поддерживается постоянное давление рх =100 ммрт.ст. Для данной задачи было получено аналитическое решение, основанное на анализе переотражений прямолинейных характеристик от границ расчетной области. На рие.2 представлены результаты численного решения задачи, полученные с использованием лимитера тшпкк! на дробных сетках (здесь и далее Nх - число шагов по пространству, СП. - число Куранта). Сплошной линией показано точное решение. Наблюдается сходимость численного решения к точному. Сравнение результатов, полученных с использованием различных лимитеров, показано на рис.З. Здесь же приведена кривая, полученная для прогнвопоточной схемы первого порядка точности по пространству. На графике наблюдаются небольшие отличия между

(4)

0, у/ >0.3

кривыми, соответствующим различным лимитерам. Видно, что для всех рассмотренных лимитеров, за исключением пшлкм], имеют место ложные осцилляции решения, Заметим, что во всех расчетах ограничители применялись к физическим переменным.

Рнс.2. Распределение давления по пространству в момент времени 1=5 сек.

Решение получено с помощью ТТО-схемы с лимитером ииптой СРЬ-0.5.

Рис.3. Распределение давления по пространств; в момент времена 1=5 сек, СН,-0.5, NI = 400.

В результате проведенного ряда численных экспериментов были вычислены осредненные по циклу значения погрешности в среднеквадратичной норме

И] )5, где е, относительная погрешность в (-ом узле по пространству)

V "» (-1

при различных сеточных параметрах.

Г" I '■■ I Ч ' г

—*—whLW

ч

Piic.4. Зависимость относительной погрешности при CFL=0.5 от разбиения по пространству.

Зависимости погрешности численного решения от пространственного разбиения для лимитеров minmod и van Leer показаны на рис. 4. Можно отметить значительное уменьшение погрешности в случае применения TVD-монотонизировакной схемы по сравнению с протнвопоточной схемой первого порядка, Видно, что использование более острого лимитера van Leer практически не снижает погрешность решения.

- Амютнческос решение лгакйкой модели ■■ Нслвмйви модель <CFLK>.5 N, -100}

Рис.5. Распределение артериального давления по времени в центре сосуда (TVD-схема второго порядка с лимитером minmod). CFL=0.7, jV, = 200.

На рис.5 приведены решения данной задачи для линейной (3) и нелинейной (1) моделей гемодинамики. Видно, что частотные свойства решений очень близки для обеих моделей. Различия проявляются в амплитудах. Таким образом, можно отметить, что, несмотря на сильные допущения, линейная модель

довольно неплохо описывает гемодинамику крупных кровеносных сосудов. Во второй главе рассматриваются вопросы многомасштабного моделирования гемодинамики. Для постановки адекватных граничных условий необходимо учитывать взаимосвязь исследуемого сосуда с сопряженными участками. Один из

возможных путей решения этой проблемы - сопряжение уравнений гемодинамики одиночного сосуда с уравнениями, описывающими кровеносную систему в целом. Рассмотрим нульмерную модель сердечно-сосудистой системы [AvanzolM G., Barbmi P., Cappello A. and Cevenini G. CADCS simulation of the closed-loop cardiovascular system // International Journal of Biomedical Computations, 1988, Na 22, pp. 39-49.]. Модель включает шесть основных участков, каждый га которых характеризуется двумя параметрами - артериальным давлением и расходом крови. Таким образом, кровеносная система описывается системой го двенадцати ОДУ:

¿.-З-Й-^.-Л. с,

с* ~jT - ¡n . Т> \ >а- "JT я » "«Л "Л. Ч -JT = Л - Ую-

(5)

Л (Яг+Д,) 4 Л ЛТ А

В данной модели коэффициенты С, характеризуют инерционные свойства крови, L, - упругие свойства стенок сосудов, R, - сопротивление течению крови.

В настоящей работе применяется подход, позволяющий с помощью нульмерной модели получать граничные условия для одномерной модели сосуда. Этот подход заключается в том, что одномерная модель сосуда «врезается» в нульмерную модель сердечно-сосудистой системы на определенном участке. Гемодинамическне параметры вычисляются путем сопряженного решения системы нелинейных уравнений в частных производных (1М2) и системы ОДУ (5) [Pontrelli G. А Multiscale Approach for Modelling Wave Propagation in an Arterial Segment. // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. 2004, v.7, №2, pp. 79-89.].

С этой целью в системе ОДУ (5) соответствующие исследуемому участку уравнения (в данном случае первое и второе) модифицируются:

(в)

где Qt - поток крови через левую границу сосуда, рл - давление на правой границе сосуда.

Результаты решения сопряженной задачи для аорты представлены на рис. 6, Здесь показаны зависимости давления от времени. В челом, полученные результаты достаточно хорошо воспроизводят качественную картину эволюции давления как в период систолы, так в период диастолы [см., напр. Segers P., Verdonck Р, Non-invasive estimation of total arterial compliance, //von Karmanit Institute Lecture Notes, 1998-04, 1998.]. Также наблюдается хорошая согласованность решении линейной и нелинейной моделей гемодинамики.

Кроме тот, рассмотрена задача сопряжения двумерной модели аорты с нульмерной моделью кровеносной системы [Винников В.В. Численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными границами, Москва, МАИ, 2005, Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.]. Такой подход позволил получить нестационарные профили скорости течения крови и провести сравнительный анализ результатов, полученных для одномерной и двумерной модели сосуда. На рис. 7 приведены временные зависимости скорости в срединном сечении сосуда. На графике видна хорошая согласованность результатов, полученных для одномерной и двумерной задач.

В третьей главе применяется полномасштабный подход к моделированию гемодинамики. Полномасштабный подход заключается в решении задачи гемодинамики для всей системы артерий при использовании, на каждом из участков, модели одиночного сосуда с характерными для него параметрами. Наиболее комплексное решение такой проблемы предложено в работе [Абакумов МЛ., Есикова

Рнс.6. Сравнение нелинейной н линейной моделей в центре аорты.

Рнс.7. Средняя продольная скорость в центре сосуда.

Н.Б., Мухин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностная схема решения задач гемодинамики на графе. //Препринт, - М,; Диалог-МГУ, 1998.]. В настоящей работе рассматривается аналогичная модель, но с меньшей степенью детализации кровеносных сосудов (рис. 8) \Rathish Kumar В. К, Quarteront А., Formaggia L, and Lamponi D. On parallel computation of blood flow in human arterial network based on 1-D modelling. //Computing, 2003, 71, pp. 321-351.]. Модель охватывает 55 артерий. Каждый из сосудов, входящих в модель, может быть представлен одномерной моделью гемодинамики. В этом случае течение в каждом из сосудов описывается системой нелинейных гиперболических уравнений (1)-(2).

Граничные условия для системы (1)-(2) моделируют взаимное влияние сосудов н работу сердца. Все сосуды, входящие в рассматриваемую медаль можно разделить на следующие группы;

1. Восходящая аорта. На левой границе задан поток крови, выбрасываемый сердцем в кровеносную систему. На правой границе аорта разделяется на два «дочерних» сосуда (бифуркация);

2. Сосуды, выходящие из «родительского» сосуда и разделяющиеся на правой границе на два «дочерних» (бифуркация);

3. Терминальные артерии - сосуды, не имеющие «дочерних» сосудов.

На рис,9 представлены рассчитанные распределения артериального давления в центрах аорты, левой плечевой артерии и правой бедренной артерии для не возмущенных условий. Можно отметить, что решение приняло периодический характер. При этом период решения соответствует периоду работы сердца (0,8 сек). Отчетливо выражены резкий рост давления характерный для систолы, а также падение давления во время диастолы. На графике наблюдается небольшое возрастание давления в артериях по мере удаления or сердца, что согласуется с экспериментальными данными для крупных артерии [ПЛ. Бегун, ЮЛ. Шукешо. Биомеханика. - Санкт-Петербург «Политехника», 2000,463 е.].

РисЛ. Модель артериального дерева (рисунок заимствован из работы [Rathiih Kumar В. К, Quartertmi A., Formaggia L., and Lamponl D. On parallel computation of blood flow in human arterial network based oil 1-D modelling. //Computing, 2003,71, pp. 321-351.].

Следующим этапом работы стало численное моделирование процессов, протекающих в сердечно-сосудистой системе при измерении артериального давления аускультативным или осциллометрнческим методами. При пережатии артерии манжетой сС упругие свойства изменяются. Согласно экспериментальным данным (см., напр. [G. Drzewieckt, S. Field, I Moubarak, J. K.-J. Li. Vessel growth and collapsible pressure-area relationship. // American Journal of Physiology - Heart and Circulatory Phiysiology, 1997, 273, pp. 2030-2043,]), в условиях пережатия сосуда манжетой зависимость (2) принимает существенно нелинейный характер. Поэтому в настоящей работе используется модифицированная функция з(р - (здесь ра-пережнмающее давление), составленная из сопряженных участка кривой для невозмущенных условий (2) и эмпирической кривой, моделирующей изменение упругих свойств стенок сосуда при пережатии (рис. 10). Участок с резким изменением площади поперечного сечения соответствует увеличению податливости стенки сосуда при пережатии. Такой подход позволяет моделировать эффект пережатия сосуда. Поскольку, как правило, манжета для измерения давления накладывается на левую руку, исследовалось пережатие левой плечевой артерии. Общая схема вычислительного эксперимента проиллюстрирована на рис. 11, где показаны изменение со временем давления пережатия (штриховая линия, правая шкала) и

пульсаций среднеинтегральнон площади поперечного сечения сосуда (сплошная кривая, левая шкала).

р*реЛ ' мм РТСГ

Рис.10. Зависимость площади Поперечного сечения сосуда от давления

Рнс.11. Схема вычислительного эксперимеэта.

На рис. 12-15 представлены временные распределения гемодинамических параметре» в центре левой плечевой артерии в невозмущенных условиях =0 мм рт.ст, н 1фк ее пережатии ры =«80 мм рт.ст. Можно отметить увеличение скорости течения крови в пережатом сосуде, а также уменьшение расхода крови, связанное с уменьшением площади поперечного сечения сосуда вследствие его пережатия. Кроме того, на всех распределениях гемодинамических параметров, полученных в условиях пережатия присутствует небольшой фазовый сдвиг по сравнению с аналогами для невозмущенных условий.

I»

Рнс.12. Распределение давления в центре сосуда по времени при различных давлениях пережатия.

Рис. 13. Распределение расхода крови в центре сосуда по времени при различных давлениях пережатия.

1 «

Рис.14, Распределение площади поперечного сечения в центре сосуда по времени при различных давлениях пережатая.

Рис, 15. Распределение скорости течения крова в центре сосуда по времени при различных давлениях пережатия.

На рис Л б представлены распределения расхода крови для артерии, являющейся «родительской» по отношению к левой плечевой артерии — левой подключич ной. На

трафике видно изменение амплитуды колебаний. На рис. 17 приведено распределение расхода крови для «дочерней» по отношению к исследуемой, левой лучевой артерии. Можно отметить наличие небольшого фазового сдвига, однако амплитуда колебаний практически не изменилась.

На рис. 18 и 19 представлены пространственные картины течения, наблюдаемые на периоде в невозмущенных условиях и при давлении пережатия = 80 мм рт.ст. Сравнивая кривые на рис. 18 и 19, можно отметить возрастание крутизны профилей при пережатии артерии (рис.19) по сравнению с не возмущенным состоянием (рис Л 8). Это обстоятельство свидетельствует об актуальности использования монотониз нрованных схем повышенного порядка точности для решения задач рассматриваемого класса.

......

Рнс.16. Распределение расхода крови в центре родительского сосуда при различных давлениях пережатия.

Рнс. 17. Распределение

расхода крови в центре дочернего сосуда

по времени при различных .давлениях

пережатия.

Рис. 18. Распределение давления по давне со(уда в различные моменты времени при р^ = О мм рт.ст.

Рнс.19. Распределение давления по длине сосуда в различные моменты времени при = 80 мм рт.ст.

Представляет интерес сопоставление результатов численного моделирования с эффектами, наблюдаемыми (и используемыми) в ходе измерения давления аускультативным и осциллометрическим методами. Они хорошо известны и подробно описаны в литературе (см. напр. [А.Н. Рогоза. Методы неинвазивного измерения артериального давления. //«Атмосфера. Кардиология», 2001, № 1, с. 20-

В основе наиболее точного, аускультативного, метода лежит появление слышимых тонов (тонов Короткова) при пережатии сосуда манжетой. С целью исследования этого феномена в настоящей работе был проведен спектральный анализ колебаний площади поперечного сечения на правой границе левой плечевой артерии. Это позволило получить коэффициенты изменения амплитуды колебаний для различных частот в зависимости от давления пережатия. Результаты представлены на рис.20. Здесь все амплитуды отнесены к соответствующим значениям для невозмущенного сосуда. Кривая 1 получена для частоты 1.25 Гц, кривая 2 - для частоты 12.5 Гц, 3-25 Гц Особый интерес представляет поведение кривой 3, соответствующей частоте, лежащей в слышимом человеческим ухом диапазоне. Видно значительное повышение амплитуды при достижении давления пережатия, равного диастолнческому, и резкое падение амплитуды при значениях пережимающего давления, превышающих величину систолического давления. Это подтверждает известную гипотезу о том, что появление тонов Короткова связано с

24.]).

нелинейным характером поведения упругих свойств оболочки сосуда. Отметим, что ранее подобный вывод был сделан в работе {GM. Drzewieck!, JMelbin, ANoordergraaf. The Korotkoff sounds. //Annals of Biomedical Engineering, 1989, 17, pp 325-359.] на основе численных результатов, полученных с использованием нульмерной модели гемодинамики.

Другая группа измерительных методов (осцнллометрические методы) основана на обработке осциллограмм, регистрирующих колебания давления в манжете при пережатии артерии. Поскольку они обусловлены колебаниями стенки сосуда, в данной работе был проведен анализ изменения амплитуды колебаний средней по длине плечевой артерии площади поперечного сечения при изменении пережимающего давления рш. Полученные результаты представлены на рис.21. На графике можно видеть существенное усиление колебаний, когда давление пережатия близко к днастолическому, дальнейшее нарастание амплитуды и последующее ослабление колебаний по мере приближения рм к систолическому давлению. Таким образом, полученная зависимость имеет характерную для обработки осциллометрическнми методами колоколообразную форму.

О Ю 40 № «О 100 120

мм рт.от.

Рис. 20. Спектральные характеристики колебаний сосуда при пережатии.

Рис.2). Изменение амплитуды колебаний площади поперечного сечения сосуда при

пережатии.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

В ходе диссертационной работы были получены следующие результаты;

1. Разработаны эффективные вычислительные алгоритмы моделирования гемодинамнческих процессов в системе крупных артерий, в основу которых положены ТУО-монотонизнрованные конечно-разностные схемы. С целью тестирования алгоритмов проведен ряд численных экспериментов на специально подобранных характерных задачах, имеющих аналитическое решение. Исследована сходимость и определены оптимальные сеточные параметры.

2. На основе разработанных алгоритмов реализован многоуровневый комплекс математических моделей гемодинамики, включающий нелинейную и линейную модели одиночного сосуда, нульмерную нестационарную модель кровеносной системы, одномерную модель артериального дерева н многомасштабные модели.

3. Разработана модификация модели гемодинамики для случая пережатия сосуда манжетой, учитывающая существенно нелинейный характер поведения сосудистой стенки.

4. С использованием модели артериального дерева исследованы эффекты, возникающие в условиях измерения артериального давления аускультативным и осциллометрическим методами. На основе полномасштабной модели показано, что возникновение тонов Короткова связано с нелинейным характером поведения упругих свойств оболочки сосуда. Получена характерная для осциллометрических методов колоколообразная зависимость амплитуды колебаний площади поперечного сечения плечевой артерии от пережимающего давления.

5. Создан комплекс программ для компьютерного моделирования гемодинамических процессов, позволяющий исследовать волновые процессы в кровеносной системе, анализировать взаимное влияние гемодинамики различных сосудов, моделировать эффекты, лежащие в основе осциллометрических и аускультативных методов измерения артериального давления.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Астраханцева Е.В., Рееизпиков Д.Л. Применение Т\Т>-подхода к численному моделированию гемодинамических течений в крупных кровеносных сосудах. //Тезисы докладов IV Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (ЫРШ-2002) / XIX Международного семинара по струйным, отрывным и нестационарным течениям, Санкт-Петербург, 24-28 нюня 2002 г. - М.: Изд-во МАИ, 2002, е. 61-62.

2. Астраханцева Е.В., Ревизников Д.Л. Комплекс алгоритмов н программ для численного моделирования гемодинамики крупных кровеносных сосудов. //Тезисы докладов Двенадцатой Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Владимир, 30 нюня - 5 июля 2003 г. - М.: Изд-во МАИ, 2003, т. 1., с. 67-68,

3. Астраханцева Е.В., Гидаспов В.Ю., Ревизников Д.Л. Апробация ТУЕ)-схем на точных решениях уравнений гемодинамики. //Тезисы докладов V

Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2004), Самара, 5-10 июля 2004 г. - М.: Вузовская книга, 2004, с. 33-34,

4. Астраханцева КВ., Гидаспов BJO., Ревизников Д.Л. Программный комплекс для моделирования гемодинамики в кровеносной системе. //Материалы XIV Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2005), Алушта, Крым, 25-31 мая 2005 г, -М.: Вузовская книга, 2005, с. 5152.

5. Астраханцева КВ. Исследование гемодинамических процессов в артериальном дереве методами математического моделирования. //Материалы VI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2006), Санкт-Петербург, 26 июня • 1 июля 2006 г.— М.: Вузовская книга, 2006.

6. Астраханцева ЕЛ., Гидаспов В.Ю., Ревизников ДМ Математическое моделирование гемодинамики крупных кровеносных сосудов. //Математическое моделирование, 2005, т. 17, N»8, с. 61-80.

7. Астраханцева КВ., Гидаспов BJO., Ревизников Д.Л Применение TVD-схем для решения уравнений гемодинамики. //Электронный журнал Труды МАИ, 2005, №20.

8. Астраханцева КВ., Гидаспов BJO., Пирумов У.Г., Ревизников ДМ. Численное моделирование гемодинамических процессов в артериальном дереве. Исследование влияния пережатия сосуда на параметры течения. //Математическое моделирование, 2006, т. 18, №8, с.25-36.

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕМОДИНАМИКИ ОДИНОЧНОГО СОСУДА

1.1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

1.2 ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД

1.3 ТЕСТОВЫЕ РАСЧЕТЫ

ЗАДАЧА С ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕРДЕЧНОГО ВЫБРОСА. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ.

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕРДЕЧНОГО ВЫБРОСА. НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ

2. МНОГОМАСШТАБНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

2.1 НУЛЬМЕРНАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ КРОВООБРАЩЕНИЯ В ЦЕЛОМ

2.2 СОПРЯЖЕНИЕ ОДНОМЕРНОЙ МОДЕЛИ СОСУДА С НУЛЬМЕРНОЙ МОДЕЛЬЮ КРОВЕНОСНОЙ СИСТЕМЫ

2.3 СОПРЯЖЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ АОРТЫ С НУЛЬМЕРНОЙ МОДЕЛЬЮ КРОВЕНОСНОЙ СИСТЕМЫ

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ КРОВИ В АРТЕРИАЛЬНОМ ДЕРЕВЕ. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТОВ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ПЕРЕЖАТИИ СОСУДА МАНЖЕТОЙ

3.1 МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕМОДИНАМИКИ В АРТЕРИАЛЬНОМ ДЕРЕВЕ В НЕВОЗМУЩЕННЫХ УСЛОВИЯХ

3.2 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕЖАТИЯ ПЛЕЧЕВОЙ АРТЕРИИ В АРТЕРИАЛЬНОМ ДЕРЕВЕ

На сегодняшний день, благодаря накоплению специальных знаний и опыта, математическое моделирование стало мощным инструментом анализа процессов, протекающих в системе кровообращения. В особой мере это касается изучения комплексного воздействия разнообразных факторов на характеристики системы. Возможности прямого измерения при этом, как правило, ограничены, в то время как построенная с использованием доступных экспериментальных данных математическая модель позволяет обеспечить подробную детализацию и оценить взаимное влияние различных параметров друг на друга, а также на функционирование системы в целом. Важнейшим условием эффективности вычислительного эксперимента является адекватность математической модели протекающим в системе кровообращения физическим процессам.

Укрупненно иерархия математических моделей гемодинамики, используемых в современной вычислительной практике, может быть представлена следующим образом.

1) Многомерные модели.

Течение крови в системе кровообращения в общем случае описывается трехмерными нестационарными уравнениями для вязкой в общем случае неньютоновской жидкости совместно с уравнениями динамики эластичных оболочек сосудов [1, 2]. Это связано с необходимостью учета реальных свойств крови, пространственной геометрии сосудов, влияния вязкости, взаимного влияния гидродинамики сосудов и их деформации. В камерах сердца и крупных кровеносных сосудах, где характерные размеры микроструктур значительно меньше характерных масштабов течения, кровь обычно рассматривается как однородная ньютоновская среда. Исключение могут составлять лишь области с малыми сдвиговыми напряжениями, в которых реализуются условия, благоприятные для агрегации микроэлементов. Задача моделирования течения крови в значительной мере облегчается тем обстоятельством, что практически во всех отделах кровеносной системы наблюдается ламинарный режим течения. Исключение составляет лишь часть аорты, где во время выброса крови из сердца наблюдается турбулентное течение, которое, однако, быстро переходит в ламинарное. Таким образом, одной из основных проблем построения вычислительного алгоритма является необходимость решения уравнений Навье-Стокса в областях с подвижными криволинейными границами. Этому вопросу посвящена, в частности, работа [3].

Другой проблемой являются чрезвычайно высокие требования, предъявляемые к вычислительным ресурсам [4, 5]. Положение несколько облегчается, если течение рассматривается как двумерное.

Однако вследствие необходимости учета импульсного нестационарного характера функционирования системы кровообращения вычислительные затраты и в этом случае остаются достаточно высокими, даже при использовании эффективных численных алгоритмов. В связи с вышесказанным многомерные модели не применяются для описания системы кровообращения в целом, а используются для получения детальной картины течения в характерных локальных зонах. Постановка граничных условий при этом должна отражать взаимное влияние рассматриваемого участка и других частей кровеносной системы. В этой связи все большее распространение получают многомасштабные модели, о которых будет сказано ниже.

2) Одномерные модели.

Одномерные модели предполагают работу с осредненными по поперечному сечению потока гемодинамическими параметрами. Поскольку течение в кровеносном сосуде направлено, главным образом, вдоль его оси, допущение об одномерности течения часто используется при исследовании волновых процессов в кровеносной системе. В этом случае движение крови по сосуду описывается гиперболической системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, выражающих законы сохранения массы и импульса. Вязкие эффекты описываются входящим в правую часть уравнения сохранения импульса выражением для силы трения. С целью учета взаимодействия течения и стенки сосуда система, как правило, замыкается полуэмпирической зависимостью площади поперечного сосуда от давления в потоке. Другой подход заключается в совместном решении уравнений гемодинамики и уравнений динамики оболочки сосуда. Проблемы динамического поведения кровеносных сосудов, как деформируемых оболочек рассмотрены в работе [6].

Использование одномерной модели для анализа течения в каком-либо отдельно взятом сосуде сопряжено с проблемой постановки граничных условий. В особой мере это касается правой, выходной, границы. Одним из возможных вариантов решения этой проблемы, также как и для многомерных моделей, является многомасштабный подход. Другой, более точный, но требующий более высоких вычислительных затрат, путь заключается в решении задачи для всей кровеносной системы в целом при использовании на каждом из участков одномерной модели с характерными для него параметрами. Несмотря на сложность решения задачи в такой постановке, в настоящее время имеются успешные реализации подобного моделирования. Наиболее полное комплексное решение проблемы предложено в работах [7, 8]. Здесь система кровообращения описана графом, ребра которого соответствуют отдельным кровеносным сосудам кровеносной системы или жгутам функционально однородных мелких сосудов, а вершинам графа приписаны функциональные свойства участков ветвления сосудов, мышечных тканей или отдельных органов. В качестве краевых условий для такой модели используются параметры сердечного выброса и разрежение, создаваемое сердцем в венозной части. Условия на границах сосудов получаются автоматически в процессе решения. При этом в узлах ветвления сосудов используются соотношения, выражающие закон сохранения массы и постоянства интеграла Бернулли. Аналогичная модель, но с меньшей степенью детализации, представлена в [9]. Модель охватывает 55 артерий, в каждой из которых течение описывается одномерной моделью. В отличие от [8] здесь не рассматривается венозная часть, а в выходном сечении артериального дерева задаются неотражающие условия.

При реализации рассмотренных комплексных моделей возникают два сорта проблем. Первый - обусловлен повышенной чувствительностью модели к заданию начальных данных, параметров сосудов и узлов сопряжения [8], второй - связан с необходимостью достижения определенной точности решения при разумных затратах вычислительных ресурсов. Последним обстоятельством продиктовано стремление как к использованию распараллеливания вычислений [9], так и к повышению эффективности вычислительных алгоритмов решения уравнений гемодинамики для одиночного сосуда. Именно этому вопросу уделяется основное внимание в первой главе диссертации, где рассматриваются различные аспекты применения к решению уравнений гемодинамики TVD-монотонизированных схем второго порядка точности по пространству и времени.

3) нульмерные (дискретные модели).

Данный класс моделей применяется для описания системы кровообращения в целом, которая представляется последовательностью характерных участков с соответствующим набором переменных по времени параметров течения (давление, расход крови и т.д.) [напр., 10]. Появление подобных моделей восходит к работам, посвященным аналоговому моделированию системы кровообращения с использованием электрических цепей [напр., И, 12, 13]. Поскольку модели данного класса не имеют пространственного разрешения, они обычно называются нульмерными моделями. Математически такая модель представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в результате решения задачи Коши для которой, определяются временные зависимости осредненных по пространству гемодинамических параметров на характерных участках кровеносной системы. Несмотря на то, что нульмерные модели не дают подробной картины течения, интерес к ним не угасает, что в значительной мере обусловлено их активным использованием в многомасштабпом моделировании.

4) Многомасштабные модели

Как уже отмечалось выше, одной из принципиальных проблем, возникающих при исследовании гемодинамики с использованием многомерных и одномерных моделей, является постановка граничных условий.

-w—jy^nni моих т т

Л) HATID-STIU C I IJIlF.l MODKI.

-jW^r

T T

III) MODI I ш ® т / т Ш Ш l.l'MHDMOIHX

Ulcclrk*! Circuil Лп*к»«)

AORTA

II) М01Ш. рис. 1. Применение многомасштабной модели [14]. С одной стороны, необходимость учета взаимного влияния различных частей кровеносной системы зачастую приводит к невозможности изолированного рассмотрения какого-либо участка, а с другой - применение комплексных моделей, охватывающих систему в целом, связано с высокими, а в случае многомерных моделей - непомерными затратами вычислительных ресурсов. В этой связи разумным компромиссом является сопряжение моделей различной размерности. Схематично такой подход проиллюстрирован на рис.1, заимствованном из работы [14].

Здесь одномерная модель гемодинамики аорты и трехмерная модель, описывающая течение крови в зоне бифуркации (разветвления) сонной артерии, сопряжены с нульмерной моделью кровеносной системы в целом. Это дает возможность автоматически получить корректные краевые условия на границах аорты и зоны бифуркации и в тоже время исследовать ответную реакцию различных участков кровеносной системы на процессы, происходящие в этих областях. Отметим также работу [16], в которой проведено сопряжение одномерной и трехмерной моделей сосуда, что позволило существенно уменьшить нефизические эффекты в трехмерной модели, связанные с отражениями пульсовых волн.

Однако, в ряде случаев, когда необходимо получение детальной картины течения в определенном сосуде, местоположение которого на упрощенной нульмерной модели невозможно определить, а также, когда необходима подробная информация о гемодинамических параметрах в кровеносной системе, использование многомасштабной модели является неэффективным. В частности, с такими проблемами приходится сталкиваться при моделировании пережатия плечевой артерии манжетой в условиях измерения давления аускультативным или осциллометрическим методами. С целью детального анализа подобных процессов в настоящей работе применяется модификация модели артериального дерева, предложенной в работе [9]. Такой подход позволяет не только получить временные распределения гемодинамических параметров, но и детально изучить пространственную картину течения в условиях пережатия сосуда.

Немаловажным аспектом является выбор высокоточного, экономичного алгоритма решения задачи гемодинамики.

В связи с тем, что уравнения гемодинамики относятся к классу гиперболических уравнений, приведем краткий обзор численных методов решения задач рассматриваемого класса.

Исторически первыми были созданы методы первого порядка точности. Обзор методов первого порядка точности может быть найден в работах [17-20]. Среди таких методов выделим метод, предложенный Годуновым С.К., основанный на использовании решения задачи о распаде произвольного разрыва. В дальнейшем на базе этого метода был развит класс численных схем типа Годунова, в которых применяются как точное, так и приближенные решения задачи Римана.

Схемы первого порядка точности обладают сильными диссипативными свойствами, что приводит к «размазыванию» решения в областях с резким изменением расчетных параметров и, как следствие, вынуждают проводить расчеты на очень мелких сетках. Поэтому дальнейшее развитие методов сквозного счета было направлено на повышение порядка точности. В этой связи отметим известные схемы второго порядка точности - Лакса-Вендроффа, Мак-Кормака, схема «чехарда» и другие.

Среди неявных схем можно отметить такие как схема Бима-Уорминга, Кранка-Николсона. Несмотря на то что, как правило, неявные методы решения гиперболических уравнений безусловно устойчивы, тем не менее их применение не обеспечивает преимущество относительно явных схем. При использовании неявной схемы на каждом временном слое получается система связанных между собой уравнений. Таким образом, любое возмущение (например, ошибка округления) влияет на решение во всех узлах на следующем временном слое.

Затем были созданы схемы третьего порядка точности [21, 22]. Также были предложены схемы четвертого и более высоких порядков точности [23]. Подробный обзор развития явных разностных схем приведен в работе [24]. Сравнительные исследования свойств схем могут быть найдены в работах [25, 26].

Увеличение порядка точности разностной схемы приводит к тому, что область, на которой «размазана» зона с резким изменением расчетных параметров уменьшается. Однако вместе с тем повышение порядка приводит к возникновению ложных осцилляций решения в таких областях. Как известно из теоремы Годунова С.К., в линейном случае монотонность можно обеспечить только в разностных схемах первого порядка точности. Поэтому на пути дальнейшего развития методов основной проблемой при построении разностных схем стало выполнение следующего условия: численная схема не должна обладать сильными диссипативными свойствами и должна сходиться к физически корректному решению. То есть одновременно с повышением порядка точности назрела необходимость создания механизма подавления ложных осцилляций, обусловленных дисперсионными свойствами схем.

Одним из способов их устранения являются различные искусственные добавки, такие, например, как, искусственная вязкость [27].

Обзоры такого рода подходов приведены в [28, 29, 30]. Обобщение на многомерный случай рассмотрено в обзоре [31].

К недостаткам этой группы методов можно отнести, то, что ее применение зачастую приводит к существенным изменениям в решении [32, 33] . Кроме того, такого рода методы требуют тщательного подбора коэффициентов.

Другой способ, позволяющий избежать ложных осцилляций решения заключается в применении схем переменного порядка точности. В областях, где имеет место резкое изменение расчетных параметров могут быть использованы схемы первого порядка точности, там же где имеет место гладкое решение возможно использование схем более высокого порядка точности.

Развитие этого подхода, названного гибридным, восходит к работам отечественных авторов [34, 35]. Как правило, под ним понимают применение нелинейных схем, которые могут локально менять свои свойства, например, порядок аппроксимации, в зависимости от структуры решения. В частности, гибридная схема может осуществлять сквозной счет схемой второго порядка точности в областях, где имеет место гладкое решение и переходить на схему первого порядка точности в тех областях, где решение содержит большие перепады расчетных параметров. Такой подход позволяет избежать нефизических осцилляций решения, свойственных для традиционных схем второго порядка точности и вместе с тем избежать «размазывания» решения, характерного для методов первого порядка.

Простейшая гибридная схема представляет из себя комбинацию двух схем: kS{ + (1 - k)S2. Здесь Si — это схема первого порядка точности, S2 — схема второго порядка, к — коэффициент гибридности, где 0 < к < 1.

Такая схема была пременена в [34] для линейного уравнения переноса.

Переключение между Si и S2 происходило на основе анализа отношения второй конечной разности решения к ее первой разности.

Затем было предложено обобщение гибридности на случай системы уравнений [36]. Применялась комбинация схем Лакса-Фридрихса [18] первого порядка точности и схемы Лакса-Вендроффа второго порядка точности [37, 38].

Были созданы и другие гибридные схемы на переменном разностном шаблоне, которые в зависимости от характера течения используют либо центральные, либо ориентированные разности [39,40,41,42].

Гибридным неявным разностным схемам с учетом характеристических направлений посвящены работы [43, 44]. Гибридизация явных схем с учетом характеристических направлений обсуждается в работах [45, 46,47,48].

В работах [49, 50, 51] предложен гибридный метод, позволяющий повысить порядок точности при помощи процедуры коррекции потоков. Основная идея такого рода методов состоит в следующем. На первом шаге (предиктор) применяется схема, в которую включена искусственная вязкость. На втором шаге, называемом антидиффузионным, решение частично уточняется. При этом антидиффузионные поправки ограничиваются таким образом, чтобы они не вносили новых экстремумов в решение, а также не увеличивали (не уменьшали) значения локальных максимумов (минимумов), которые имели место на первом шаге вычислений. Такие условия фактически эквивалентны условиям неувеличения полной вариации численного решения (TVD, total variation diminishing). Хотя этот метод показал на практике свою эффективность, он, тем не менее, не имеет строгого теоретического обоснования. Позднее были развиты схемы, которые опираются на TVD-условие более явно. Дальнейшее развитие монотонизированных схем связано с работами Хартена [52]. Он предложил использовать специальную кусочно-линейную (кусочнополиномиальную) реконструкцию сеточных функций, при помощи которой достигается выполнение TVD-условия для численного решения.

Наклоны расчетных параметров внутри дискретных ячеек расчетной сетки для выполнения TVD-свойства ограничиваются специальными функциями -ограничителями (limiters). Обзор ограничителей приведен в работах [53, 54].

Большинство современных схем переменного порядка точности используют кусочно-полиномиальную реконструкцию сеточных функций, удовлетворяющую TVD-условию.

Дальнейшее развитие TVD-подхода привело к созданию ряда модификаций, схем UNO [55], ENO [57], WENO [58] и др. Основная идея схем UNO состоит в том, что количество локальных экстремумов N[q] в сеточной функции q не возрастает со временем: N[qM\< N[qk]. Схемы такого рода допускают возрастание полной вариации сеточной функции в пределах порядка точности схемы. Основная идея ENO и WENO-схем состоит в том, что реконструкция функции осуществляется на переменном шаблоне. Шаблон выбирается из соображений локальной гладкости решения и отсутствия ложных осцилляций в окрестности разрывов. ENO - схемы используют только один (оптимальный в некотором смысле) шаблон для реконструкции функции, в то время как WENO-схемы используют выпуклую комбинацию всех возможных шаблонов с весовыми коэффициентами. Коэффициенты определяются исходя из локальной гладкости решения, полученного с использованием данного шаблона.

Появление нового класса методов привело к значительному улучшению качества численных решений по сравнению с классическими разностными методами фиксированного порядка точности. Схемы, основанные на TVDсвойстве, а также их модификации относятся к классу схем высокого разрешения.

Однако, использование ENO, WENO-схем а также ряда других модификаций повышенного порядка точности сопряжено с определенными сложностями. Реализация такого рода схем требует значительных вычислительных затрат, что обусловлено перебором шаблонов. Кроме того, поскольку условие невозрастания вариации решения строго не соблюдается, в решении зачастую возникают нефизические эффекты. В связи с вышесказанным в качестве базового подхода к построению вычислительных алгоритмов в настоящей работе применялись TVD-монотонизированные схемы повышенного порядка точности.

Завершая обзор математических моделей гемодинамики и численных методов решения гиперболических систем, сформулируем основные цели работы: разработка алгоритмов для численного моделирования гемодинамических процессов в системе крупных артерий; компьютерная реализация многоуровневой системы математических моделей гемодинамики, разработка комплекса программ; численное моделирование эффектов, возникающих в результате пережатия сосуда манжетой при измерении давления аускультативным и осциллометрическим методами. В первой главе рассмотрены вопросы математического моделирования течений крови в одиночном сосуде. Для рассматриваемой задачи применялись TVDмонотонизированные схемы, обеспечивающие второй порядок и позволяющие избежать ложных осцилляций решения.

В первой главе приведены результаты численного моделирования ряда характерных тестовых задач. Рассмотрены задача с правыми частями специального вида, задача о распаде произвольного разрыва и задача о моделировании сердечного выброса. Исследована сходимость и рассмотрены вопросы выбора оптимальных сеточных параметров.

Во второй главе рассматриваются вопросы многомасштабного моделирования гемодинамики. Для постановки адекватных граничных условий необходимо учитывать взаимосвязь исследуемого сосуда с сопряженными участками. Один из возможных путей решения этой проблемы - сопряжение уравнений гемодинамики одиночного сосуда с уравнениями, описывающими кровеносную систему в целом.

Рассматривается нульмерная модель сердечно-сосудистой системы, включающая шесть основных участков, каждый из которых характеризуется двумя параметрами - артериальным давлением и расходом крови. Применен подход, позволяющий с помощью нульмерной модели получать граничные условия для одномерной модели сосуда. Этот подход заключается в том, что одномерная модель сосуда «врезается» в нульмерную модель сердечнососудистой системы на определенном участке. Кроме того, рассмотрена задача сопряжения двумерной модели аорты с нульмерной моделью кровеносной системы. Такой подход позволил получить нестационарные профили скорости течения крови и провести сравнительный анализ результатов полученных для одномерной и двумерной модели сосуда.

В третьей главе применяется полномасштабный подход к моделированию гемодинамики. Рассматривается модель, включающая 55 основных крупных артерий человека, в каждой из которых течение описывается одномерной моделью. Получены решения для невозмущенных условий, проведен сравнительный анализ результатов.

С использованием модификации модели гемодинамики, основанной на переменной ригидности сосудистой стенки, осуществлено численное моделирование процессов, протекающих в сердечно-сосудистой системе при измерении артериального давления аускультативным или осциллометрическим методами. Анализируется детальная картина течения. Получена характерная для осциллометрических методов колоколообразная зависимость амплитуды колебаний площади поперечного сечения плечевой артерии от пережимающего давления. На основе полномасштабной модели артериального дерева показано, что возникновение тонов Короткова связано с нелинейным характером поведения упругих свойств оболочки сосуда. Научная новизна

Разработаны эффективные вычислительные алгоритмы моделирования гемодинамики в системе крупных артерий. Предложена модификация модели гемодинамики на случай пережатия сосуда манжетой, основанная на переменной ригидности сосудистой стенки. Исследована детальная структура течения при пережатии. На основе полномасштабной модели артериального дерева показано, что возникновение тонов Короткова при измерении давления аускультативным методом связано с нелинейным характером поведения упругих свойств оболочки сосуда. Получена колоколообразная зависимость амплитуды колебаний площади поперечного сечения плечевой артерии от пережимающего давления, характерная для осциллометрических методов измерения артериального давления.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры «Вычислительная математика и программирование» под руководством чл.-корр. РАН, профессора Пирумова У.Г., на XIX международном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (Санкт-Петербург, 2002), на IV, V, VI международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (Санкт-Петербург, 2002, Самара, 2004, Санкт-Петербург, 2006), на XII, XIV международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС) (Владимир, 2003, Алушта, 2005), на семинаре отдела новых методов диагностики НИИ кардиологии им. A.JI. Мясникова, на семинаре кафедры «Вычислительные методы» факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Публикации

По материалам настоящей диссертационной работы опубликованы тезисы IV, V международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях, XII и XIV международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам [60-64], также 3 статьи [65, 66, 67]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе диссертационной работы были получены следующие результаты:

1. Разработаны эффективные вычислительные алгоритмы моделирования гемодинамических процессов в системе крупных артерий, в основу которых положены TVD-монотонизированные конечно-разностные схемы. С целью тестирования алгоритмов проведен ряд численных экспериментов на специально подобранных характерных задачах, имеющих аналитическое решение. Исследована сходимость и определены оптимальные сеточные параметры.

2. На основе разработанных алгоритмов реализован многоуровневый комплекс математических моделей гемодинамики, включающий нелинейную и линейную модели одиночного сосуда, нульмерную нестационарную модель кровеносной системы, одномерную модель артериального дерева и многомасштабные модели.

3. Разработана модификация модели гемодинамики для случая пережатия сосуда манжетой, учитывающая существенно нелинейный характер поведения сосудистой стенки.

4. С использованием модели артериального дерева исследованы эффекты, возникающие в условиях измерения артериального давления аускультативным и осциллометрическим методами. На основе полномасштабной модели показано, что возникновение тонов Короткова связано с нелинейным характером поведения упругих свойств оболочки сосуда. Получена характерная для осциллометрических методов колоколообразная зависимость амплитуды колебаний площади поперечного сечения плечевой артерии от пережимающего давления.

5. Создан комплекс программ для компьютерного моделирования гемодинамических процессов, позволяющий исследовать волновые процессы в кровеносной системе, анализировать взаимное влияние гемодинамики различных сосудов, моделировать эффекты, лежащие в основе осциллометрических и аускультативных методов измерения артериального давления.

1. Каро К., Педли Т., Штотер Р., Сид У. Механика кровообращения. М.: Мир, 1981,624с.

2. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М.: Мир, 1983, 400с.

3. Винников В.В., Ревизников Д.Л. Применение декартовых сеток для решения уравнений Навье-Стокса в областях с криволинейной границей. //Математическое моделирование, 2005, т. 17, №8, с.15-30.

4. В. A. Cipra. Failure in Sight for a Mathematical Model of the Heart. //SIAM News, V. 32, № 8.

5. Вольмир A.C. Герштейн M.C. Проблемы динамики оболочек кровеносных сосудов. //Механика Полимеров, 1970, №2, с.373-379.

6. Абакумов М.В., Гаврилюк К.В., Есикова Н.Б., Кошелев В.Б., Лукшин А.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Математическая модель гемодинамики сердечно-сосудистой системы. //Дифференциальные уравнения, 1997,33(7), с. 892-898.

7. Абакумов М.В., Есикова Н.Б., Мухин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностная схема решения задач гемодинамики на графе. //Препринт. -М.: Диалог-МГУ, 1998.

8. Rathish Kumar B.V., Quarteroni A., Formaggia L., and Lamponi D. On parallelcomputation of blood flow in human arterial network based on 1-D modelling. //Computing, 2003, 71, pp.321-351.

9. Avanzolini G., Barbini P., Cappello A. and Cevenini G. CADCS simulation of the closed-loop cardiovascular system. //International Journal of Biomedical Computations, 1988, № 22, pp. 39-49.

10. Westerhof N., Bosman F., Vries C., Noordergraaf A. Analog studies of the human systemic arterial tree. //J. Biomechanics, 1969,2, pp.121-143.

11. Jager G.N., Westerhof N., Noordergraaf A. Oscillatory flow impedance in electrical analog of arterial system. //Circ. Res., 1965,16, pp.121-133.

12. Noordergraaf A., Verdouw P. D., van Brummelen A.G.W., Wiegel F.W. Analog of the arterial bed. In Pulsatile Blood Flow. (Edited by E.O. Attinger), p. 373, McGraw-Hill, New York.

13. Formaggia L., Nobile F., Quarteroni A., Veneziani A. Multiscale modelling of the circulatory system: a preliminary analysis. //Computing and Visualization in Science, 1999, №2, pp. 75-83.

14. Quarteroni A., Veneziani A. Tuveri M. Computational vascular fluid dynamics problems models and methods. //Computing and Visualization in Science, 2000, №2, pp. 163-197.

15. Formaggia L., Gerbeau J.F., Nobile F., Quarteroni A. On the coupling of 3D and ID Navier-Stokes equations for flow problem in compliant vessels. //Comput. methods Appl Mech.Engr., 2001, №191, pp. 561-582.

16. Courant R., Isaacson E. Rees M. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences. //Comm. Pure Appl. Math., 1952, № 3, pp. 243-255.

17. Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation, //Comm. Pure Appl. Math., 1954, № 1, 159-193.

18. Годунов C.K. Разностный метод расчета ударных волн. //Успехи мат. Наук, 1957, № 1 (73), с. 176-177.

19. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики. //Мат. сборник, 1959, № 3 , с. 271-306.

20. Kutler P., Lomax Н., Warming R.F. Second- and third-order noncentered difference schemes for nonlinear hyperbolic equations. //AIAA, 1973, № 2, pp.189-196.

21. Русанов B.B. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений. //Доклады АН СССР, 1968, № 6, с.1303-1305.

22. Abarbanel S., Gottlieb D., Turkel E. Difference schemes with fourth order accuracy. //SLAM Journal of Appl. Math., 1975, № 2, pp. 329-351.

23. Peyret R., Taylor T. D. Computational Methods for Fluid Flow, Springer, New York, 1983.

24. Turkel E. On the practical use of high-order methods for hyperbolic systems. //Journal of Computational Physics, 1980, № 3, pp. 319-340.

25. Самарский A.A., Арсенин В.Я. О численном решении уравнений газодинамики с различными типами вязкости. //Журнал вычислительной математики и математической физики, 1961, 1, №2, с. 357-360.

26. Куропатенко В.Ф. Метод построения разностных схем для численного интегрирования уравнений гидродинамики. //Известия высших учебных заведений. Математика, 1962, №3 (28), с.75-83.

27. Куропатенко В.Ф. О разностных методах для уравнений гидродинамики. //Труды математического института им. Стеклова АН СССР 74, 1966, ч.1, с.107-137.

28. Wilkins M.L. Use of artificial viscocity in multidimensional fluid dynamic calculations. //Journal of Computation Physics, 1980, № 3, pp. 281-303.

29. Roache P.J. Computational Fluid Dynamics. Hermosa, Albuquerque, NM, 1976. Рус. Пер.: Роуч П. Вычислительная гидродинамика, М.:Мир, 1980.

30. Latter R. Similarity solution for a spherical shock wave. //Journal of Applied Physics, 1955, № 8, pp 954-960.

31. Федоренко Р.П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений. //Журнал вычислительной математики и математической физики, 1962, №6, с. 11221128.

32. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производных к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений нестационарной газовой динамики. //Ученые зап. ЦАГИ, 1972, № 1, с. 914,.

33. Harten A., Zwas G. Self-adjusting hybrid schemes for shock computations. //Journal of Computational Physics, 1972, №3, pp. 568-583.

34. Lax P.D., Wendroff B. Systems of conservation laws. //Comm. Pure Appl. Math, 1960, №2, pp. 217-237.

35. Lax P.D., Wendroff В. Difference schemes for hyperbolic equations with high order of accuracy. //Comm. Pure Appl. Math., 1964, № 3, pp. 381-398.

36. Санкин B.M., Леви Б.И., Зейдель Я.М. Использование разностных схем с переменным шаблоном для повышения точности численного решения уравнений фильтрации. //Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1983, №4, с. 156-170.

37. Гущин В.А., Коныпин В.Н. Численное моделирование волновых движений жидкости. //Сообщения по прикладной математике, Вычислительный центр АН СССР, Москва, 1985.

38. Гущин В.А., Коныпин В.Н. Численное моделирование отрывных течений жидкости около цилиндра в широком диапазоне чисел Рейнольдса. В кн. Рациональное численное моделирование в нелинейной механике, под ред. О.М. Белоцерковского, 1990, 62-69, М.: Наука.

39. Воробьев О.В., Холодов Я.А. Об одном методе численного интегрирования одномерных задач газовой динамики. //Математическое моделирование, 1996, №1, с. 77-92.

40. Гаджиев А.Д. О сходимости конечно-разностного метода «ромб» решения гиперболических систем уравнений. //Журнал вычислительной математики и математической физики, 1982, № 4, с. 871-879.

41. Гаджиев А.Д., Писарев В.Н. Неявный конечно-разностный метод «ромб» для численного решения уравнений газовой динамики с теплопроводностью. //Журнал вычислительной математики и математической физики, 1979, №5, с. 1288-1303.

42. Петров И.Б., Холодов А.С., О регуляризации разрывных численныхрешений уравнений гиперболического типа. //Журнал вычислительной математики и математической физики, 1984, № 8, с. 1172-1188.

43. Семенов А.Ю. Метод построения гибридных разностных схем для гиперболических систем. //Доклады АН СССР, 1984, № 1, с. 34-37.

44. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. -М.: Наука, 1988.

45. Boris J.P., Book D.L. Flux-corrected transport. I SHASTA, a fluid transport algorithm that works. //Journal of Computational Physics, 1973, № 1, c. 38-69.

46. Boris J.P., Book D.L. Flux-corrected transport. Ill Minimal-error FCT algorithms. //Journal of Computational Physics, 1976, №4, c. 397-431.

47. Boris J.P., Book D.L., Hain K. Flux-corrected transport. II Generalizations of the method. //Journal of Computational Physics, 1975, № 3, c. 248-283.

48. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws. //Journal of Computation Physics, 1983, № 3, pp. 357-393.

49. Sweby P.K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws. //SIAM Journal Numerical Anal., 1984, № 5, pp. 995-1011.

50. Roe P.L. Some contributions to the modeling of discontinuous flows, in Lectures in Applied Mathematics, 1985, pp. 163-193, AMS, Providence, RI.

51. Harten A., Osher S. Uniformly high-order accurate nonoscillatory schemes.

52. SIAM Journal Numer. Anal., 1987, № 2, pp. 279-309.

53. Shu C.W. TVB uniformly high-order schemes for conservation laws. //Mathematical Computations, 1987, № 179, pp. 105-121.

54. Harten A. Preliminary results on the extension of ENO schemes to two-dimensional problems, in Nonlinear Hyperbolic Problems (St. Etienne, 1986), C. Carasso, P.-A. Raviart and D. Serre (Eds.), Lect. Notes in Math., pp. 23-40, Springer, Berlin, 1987.

55. Liu X.-D., Osher S., Chan T. Weighted essentially non-oscillatory schemes, //Journal of Computation Physics, 1994, №1, pp.200-212.

56. Пирумов У.Г. Аналитическое и численное исследование гемодинамики крупных сосудов. //Математическое моделирование, 2001, т. 13, №6, с.47-61.

57. Е.В. Астраханцева, В.Ю. Гидаспов, Д.Л. Ревизников. Математическое моделирование гемодинамики крупных кровеносных сосудов. //Математическое моделирование, 2005, т. 17, № 8, с. 61-80.

58. Астраханцева Е.В., Гидаспов В.Ю., Ревизников Д.Л. Применение TVD-схем для решения уравнений гемодинамики. //Электронный журнал Труды МАИ,-2005, №19.

59. Е.В. Астраханцева, В.Ю. Гидаспов, У.Г. Пирумов, Д.Л. Ревизников

60. Численное моделирование гемодинамических процессов в артериальном дереве. Исследование влияния пережатия сосуда на параметры течения. //Математическое моделирование, 2006, т. 18, №8, с.25-36.

61. Волобуев А.Н. Биофизика., -Самара: «Самар. Дом печати», 1999, -168с.

62. Fukushima Т. and Homma Т. A Logistic-type curve fits pressure-diameter relationship for relaxed and contracted dog renal arteries. //Biorheology, 1988, №25, pp. 37-48.

63. Liu В., Tang D. A numerical simulation of viscous flows in collapsible tubes with stenoses. //Applied Numerical Mathematics, 2000, № 32, pp. 87-101.

64. Advances in Computational Bioengineering. Vol.6. Wall Fluid Interactions in Physiological Flows. //Ed. by M.W. Collins, G. Pontrelli, M.A. Atherton. WITpress, 2004,204 pp.

65. Кантор Б.Я., Кунделев А.Ю. Анализ влияния начального натяжения толстостенных сосудов на поток жидкости в них. //Доповда Национально! Академш Наук Украши, 1999, № 11, с. 167-170.

66. Rathish Kumar B.V., Yamaguchi Т., Liu Н., Himeno R. 3D parallel flow solver for LV hemodynamics. //Riken Review, 2001, № 40, pp. 29-33.

67. Вязников K.B., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа. //Математическое моделирование, 1989, т.1, №5, с.95-120.

68. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений . М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 608 с.

69. LeVeque R.J. Numerical Methods for Conservation Laws, Lectures in Mathematics, В irkhauser, Basel, 1992.- 194p.

70. Gottlieb S., Shu C.W., Tadmor E. Strong Stability Preserving High-order Time Discretization Methods. // SIAM REVIEW. 2001, v. 43, №1, pp. 89-101.

71. Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин H.B., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Частные решения уравнений гемодинамики. // Препринт. -М: Диалог-МГУ, 1999.-43 с.

72. Pontrelli G. A Multiscale Approach for Modelling Wave Propagation in an Arterial Segment. //Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering, 2004,7, №2, pp. 79-89.

73. Segers P., Verdonck P. Non-invasive estimation of total arterial compliance, //von Karmann Institute Lecture Notes, 1998,1998-04.

74. Винников B.B. Численное моделирование теченийвязкой несжимаемой жидкости в областях с подвижными границами, Москва, 2005, Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

75. S.J. Sherwin, V.Franke, J. Peiro, K.Parker. One-dimensional modeling of a vascular network in space-time variables. //Journal of Engineering Mathematics, 2003,47, pp.217-250.

76. П.И. Бегун, Ю.А. Шукейло. Биомеханика. Санкт-Петербург: «Политехника», 2000.-463 с.

77. G. Drzewiecki, S. Field, I. Moubarak, J. K.-J. Li. Vessel growth and collapsible pressure-area relationship. //American Journal of Physiology Heart and Circulatory Phiysiology, 1997,273, pp. 2030-2043.

78. С.С. Григорян, 10.3. Саакян, А.К. Цатурян. О механизме генерации звуков Короткова. //ДАН СССР, 1980,251, №3, с.570-574.

79. Б. Дж. Маккартни. Применение экспоненциальных сплайнов в вычислительной гидродинамике. //Аэрокосмическая техника, 1984, т. 2, № 4, с. 13-20.

80. А.Н. Рогоза. Методы неинвазивного измерения артериального давления. //Атмосфера. Кардиология, 2001, № 1, с. 20-24.

81. G.M.Drzewiecki, J. Melbin, A. Noordergraaf. The Korotkoff sounds. //Annals of Biomedical Engineering, 1989,17, pp 325-359.