автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование электронных возбуждений на примере гелия, неона, натрия и фтора

На правах рукописи

«4

Попов Виталий Валерьевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ВОЗБУЖДЕНИИ НА ПРИМЕРЕ ГЕЛИЯ, НЕОНА, НАТРИЯ И ФТОРА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-6 ОКТ 2011

Барнаул -2011

4855529

Работа выполнена на кафедре Прикладной математики в ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им. И.II. Ползунова»

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Кантор Семен Аврамович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Черный Сергей Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор Сагалаков Анатолий Михайлович

Ведущая организация:

Институт проблем сверхпластичности металлов РАН (г. Уфа)

Защита состоится 14 октября 2011 года в 11-00 на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 в ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

Автореферат разослан «12» сентября 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

С. А. Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Многие физико-химические свойства вещества определяются электронным строением. Знание электронного строения позволяет не только объяснять обнаруженное поведение вещества, но и предсказывать, создавать материалы с заранее заданными свойствами. В исследовании электронной структуры атомов, молекул и твердых тел достигнут некоторый успех. Этот успех обеспечен современными методами математического моделирования и расчета. Наиболее популярными являются методы расчета электронной структуры вещества в основном состоянии. Однако больший интерес представляют возбуждения, в которых пребывают электроны реального вещества. Более того, измерить какие-либо характеристики электронов, находящихся в основном состоянии, означает оказать на них воздействие и, следовательно, перевести их в возбужденное состояние.

Целенаправленное создание наноструктурных материалов в режиме «самосборки» требует очень глубокого и достаточно полного представления о взаимодействии кластеров - строительных элементов создаваемых материалов. По своим физическо-химическим свойствам кластеры занимают промежуточное положение между атомами и молекулами с одной стороны и конденсированным веществом - с другой. Эволюция кластеров ведет к образованию либо газовой фазы, либо конденсированной фазы, проходя ряд метастабильных состояний. Кластеры обладают высокой химической активностью, а цепь процессов перехода от одного состояния к другому является сложной и неравновесной. Еще более сложные взаимодействия кластеров происходят в условиях внешних воздействий, с помощью которых можно и управлять этими процессами.

Изучение процессов, проходящих при переходе из одного промежуточного состояния в другое, удобно проводить на основе такой аЬ тШо (первопринцип-ной) теории, которая позволила бы в рамках единой схемы рассчитать большую совокупность различных свойств материала, достаточно надежно подтвержденных экспериментом. Расчеты здесь важны и потому, что многие величины гораздо легче вычислить, чем измерить. С их помощью уже сегодня можно получить весьма полное представление о свойствах вещества, даже еще не синтезированного. Достаточно точный количественный расчет важен еще и потому, что явления и процессы, происходящие при формировании кластеров, определяются большим количеством конкурирующих факторов, не позволяющих ограничиться качественными соображениями. При этом возникает вопрос о выборе метода расчета, его физической корректности и математической точности.

Проблема описания свойств кластеров при различных условиях, выдвигает на первый план необходимость обоснования физических моделей и приближений, принимаемых при расчётах этих свойств. При рассмотрении адекватности и обоснованности моделей физических явлений теоретический анализ может оказаться не менее эффективным, чем прямые экспериментальные проверки конкретных результатов расчетов. Данный факт связан с ограниченностью возможностей экспериментов и погрешностью получаемых экспериментальных данных.

Цель работы: разработать методику количественного описания возбужденных состояний многоатомных систем используя методы компьютерного моделирования.

В качестве объектов исследования и для проверки адекватности созданной математической модели были выбраны атомы и кластеры таких химических элементов, как гелий, неон, натрий и фтор. Данный выбор связан, в первую очередь, с разнообразием валентных состояний и типов гибридизации между атомами. При этом между отдельными группами атомов с сильными связями внутри может существовать слабое ван-дер-ваальсово взаимодействие. При низких температурах эти атомы могут формировать трехмерные кристаллические структуры, такие как гексагональная, ромбическая, кубическая.

Гелий выбран постольку, поскольку интерпретация экспериментальных данных именно для него должна быть простой и однозначной, в отличие, например, от интерпретации экспериментальных данных для атомов щелочных металлов из-за наличия у них сверхтонкой структуры в основном состоянии. Гелий считается химически не активным, поэтому часто используется в качестве буферного газа. Неон также химически инертен ко всем веществам, за исключением газообразного фтора. В гелий-неоновых лазерах неон является рабочим веществом, которому резонансным образом передаются возбуждения от гелия.

Фтор наиболее реакционно способный из всех элементов и один из самых сильных промышленно получаемых окислителей. Это качество широко применяется в промышленности для фторирования поверхностей материалов, чтобы изменить окрашиваемость, адгезионные, барьерные и химические свойства материалов. К сожалению, о фундаментальных особенностях существенно неравновесных процессов, происходящих при фторировании, имеются лишь отрывочные и неполные данные.

Выбор натрия связан с наличием у атомов щелочноземельных металлов магнитного момента. Благодаря этому их можно удерживать в «магнитных ловушках». В таких ловушках атомы с магнитным моментом можно охлаждать до температуры порядка нескольких сотен нК и наблюдать бозе-эйнштейновскую конденсацию. Именно бозе-эйнштейновский конденсат, впервые полученный в 1995 году на атомах натрия, и предопределил интерес к нему как ультрахолодному газу. Если вначале изучались удивительные свойства самих конденсатов, то теперь они используются для исследования различных проблем физики, которые не удается исследовать другими методами.

Для достижения сформулированной цели были поставлены следующие задачи:

1. Проанализировать существующие методы исследования и описания возбужденных состояний многоэлектронных систем.

2. Создать математическую модель количественного описания возбуждений многоэлектронных систем в условиях внешнего воздействия.

3. Предложить методы, необходимые для реализации созданной математической модели.

4. Спроектировать и разработать программное обеспечение для реализации математической модели.

5. Проверить адекватность математической модели.

6. Оценить времена жизни возбужденных состояний в кластерах, состоящих из атомов гелия, неона, натрия и фтора.

Научная новнзна:

1. Разработан новый математический метод имитации распада квантовых состояний многоатомных систем, основанный на рассмотрении всех возможных орбитальных состояний, в том числе нерегулярных на сфере.

2. Создан программный комплекс, реализующий эффективные численные методы и алгоритмы, для проведения вычислительного эксперимента, описывающего распад многоатомных систем.

3. Предложена методика исследования энергетических характеристик электронов и времени распада возбуждений в атомах и кластерах, основанная на новом методе имитации распада квантовых состояний многоатомных систем.

4. Проведенные исследования энергетических характеристик электронов и времени распада возбуждений в атомах и кластерах гелия, неона, натрия и фтора позволили обнаружить в предложенной модели коллапс атомов, долгоживущие возбуждения, перестройку электронных оболочек.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математической корректностью постановки и решения сформулированных задач, соответствием результатов расчета результатам других авторов экспериментальных и теоретических работ.

Практическая значимость работы состоит в создании нового подхода для описания возбуждений многоэлектронных систем. С его помощью, в частности, можно предсказывать принципиальную возможность существования возбужденных долгоживущих состояний. На основе разработанной математической модели и предложенной методики исследования электронной структуры кластеров в полях большой мощности уже сегодня можно получить весьма полное представление о свойствах вещества, даже еще не синтезированного. Например, опираясь на результаты расчетов, можно генерировать кластеры для создания нанофильтров, деталей наномеханизмов, медицинских дозаторов, электронных элементов, накопителей и преобразователей энергии.

На защиту выносятся:

1. Методика учета квантового распада возбужденных состояний в методе Кона-Шема (функционала электронной плотности).

2. Программный комплекс, численно моделирующий поведение многоэлектронных систем в условиях внешнего воздействия.

3. Методика исследования электронной структуры кластеров в полях внешнего воздействия.

4. Результаты расчета энергетической структуры электронов в кластерах гелия, неона, натрия и фтора, а также времен жизни возбужденных состояний в них.

Апробация работы. Основные результаты работы апробированы на: Одиннадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, Екатеринбург, 2005; ХЫН Международной научной студенческой кон-

ференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2005; ХЬУ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2007; IV Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь-2007», Барнаул, 2007; V Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь-2008», Барнаул, 2008; VI Международной научной школы-конференции «Фундаментальное и прикладное материаловедение», Барнаул, 2009; VI Всероссийской научно-технической конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь-2009», Барнаул, 2009; Всероссийской конференции с элементами научной школы для молодежи «Новые материалы. Создание, структура, свой-ства-2009», Томск, 2009; II Всероссийской конференции «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях - ММПСН-2009» Москва, 2009, VII Всероссийской научно-технической конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь-2010», Барнаул, 2010; XII Международной научно-технической конференции «Измерение, контроль, информатизация», Барнаул, 2011.

Президиум Российской Академии Наук постановлением № 201 от 24 января 2006 года присудил Попову В. В. медаль Российской академии наук за работу «Решение спектральной задачи в методе функционала электронной плотности».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе две статьи в изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ, и одно свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ в Реестре программ для ЭВМ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы из 123 наименований, содержит 120 страниц машинописного текста, включает 14 рисунков и 10 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрыта актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель, поставлены задачи, обоснован выбор объектов исследования. Здесь же изложены положения, выносимые на защиту.

В первой главе обзорного характера дается понятие функции отклика системы частиц на внешнее воздействие, обсуждаются методы исследования этой функции, теоретические способы описания отклика в многочастичном подходе, а также в рамках одночастичного приближения. Приведены известные в квантовой механике уравнения движения частиц во внешнем поле. Особое внимание уделено теории функционала электронной плотности. Рассмотрен подход, позволяющий получить функцию отклика в рамках этой теории. Показано, что кроме проблем принципиального характера, связанных с построением обменно-корреляционного потенциала, существуют трудности в разработке математических моделей, описывающих поведение электронов, и практической реализации этих моделей. Одна

из таких трудностей связана с разработкой и применением сеточных методов для резко осциллирующих функций.

Анализ результатов исследования возбужденных состояний атомов, молекул и твердых тел позволяет утверждать, что пока еще нет полного понимания процессов поведения электронов во внешних полях большой интенсивности. Многочисленные исследования возбуждений, выполненные различными методами, дают результаты, существенно отличающиеся не только от экспериментальных данных, но и между собой. Еще большие проблемы возникают при работе с кластерами как при постановке и проведении эксперимента, так и при теоретическом описании поведения кластеров во внешних полях.

Здесь также приведен краткий обзор программного обеспечения, предназначенного для моделирования электронных возбуждений.

Во второй главе изложен метод построения математической модели, предназначенной для описания возбуждений. Идею этого метода рассмотрим на простом примере центральносимметричного многоэлектронного атома. Стандартное решение задачи поиска одноэлектронных уровней энергии

Н!Кг) = ¿«КО (1)

сводится к отысканию собственных значений е и собственных функций гр(г) оператора Гамильтона Н, принадлежащих пространству £2(/?3), имеющих непрерывные первые и вторые производные. Оператор Гамильтона Н имеет вид суммы

оператора кинетической энергии и потенциальной энергии П = ~&еА + Пг^ <2>

Здесь Н - постоянная Планка, те - масса электрона, Д - оператор Лапласа. Аппроксимация центрального поля позволяет разделить радиальные переменные и угловые, а собственные функции гр(г) оператора Гамильтона Н искать в виде произведения радиальной функции /?(г) на угловую У (в, <р):

ф(г)= Я(г)У(в1(р), (3)

причем радиальная функция й(г) и ее производная должны обращаться в ноль при г -> оо, а угловая функция У (в, <р) должна удовлетворять уравнениям

дУ(в,ю)

-М(0,<р) = Щ + 1-)У(в,<р), -I д<рТ =тУ(е,<р). (4)

Здесь А - сферическая часть оператора Лапласа. Если потребовать, чтобы решения уравнений (4) были регулярны на сфере при 0 < б < 7Г, 0 < ср < 2 я, непрерывны при в = 0, в = 7Г и удовлетворяли условию У(в,<р + 27т) = У {в, <р), то мы приходим к проблеме собственных значений, допускающей решения уравнений (4) только при целых значениях I — 0,1,2,3,... и т = О, ±1, ±2,..., ±/.

Перейдем к рассмотрению возбужденных состояний атома. Будем считать, что для описания возбуждений в атоме аппроксимация центрального поля оправдана в той же степени, в какой она оправдана для описания незаполненных оболочек основного состояния. Тогда функцию i/<(r) удобно искать в виде (3). Более того, пусть угловая функция Y {в, (р) удовлетворяет тем же уравнениям (4), но не регулярна по в. Произвольное поведение этой функции на сфере по переменной в снимает ограничение на целочисленные значения параметра I. Будем считать его, в общем случае, комплексным: L = I + х + iy, где I, как и прежде, пусть пробегает целочисленные значения. Тогда область изменения комплексной добавки х + iy может быть ограничена. Для вещественной части \х\ < 0.5. Будем полагать, что включать в рассмотрение |у| > 0.5 нецелесообразно, т.к. получить внешние поля, многократно превосходящие по напряженности поле в самом атоме, соответствующие значениям \у\ > 0.5, практически невозможно. Таким образом, задача отыскания спектра орбитальных возбуждений атома с произвольными граничными условиями по угловой переменной в может быть сведена к проблеме собственных значений стационарного уравнения Шредингера

h2 и + iv\

+ ]*(Г)=Е*(Г) (5)

с решениями, непрерывными на сфере. В (5) оператор Гамильтона H имеет прежний вид (2); и = х(х + 21 + 1) — у2; v = у(2х + 21+ 1). Заметим, что при уф 0 задача (5) является существенно неэрмитовой с комплексными значениями £. Мнимая часть £ в физике трактуется как ширина энергетического уровня1. В соответствии с соотношением неопределенностей, она обратно пропорциональна времени жизни электрона в этом состоянии. Мнимая часть полной энергии обратно пропорциональна времени жизни самого атома в возбужденном состоянии. Перебирая всевозможные значения \х\ < 0.5 и |у| < 0.5 в процессе поиска решений уравнений (5) можно проследить по минимуму действительной части полной энергии возбуждённого атома за его спектральными характеристиками, обусловленными орбитальными переходами электронов.

Идея, изложенная выше, обобщена в работе на случай многоатомных систем. В качестве базовой теории взята теория функционала электронной плотности. Спектральная задача для решения уравнений Кона-Шема сведена к алгебраической проблеме собственных значений. Эта проблема решается методом Рутана в базисе гауссовых функций (<Pk(r)}, часто используемых для описания многоэлектронных систем. Выбор базисных функций гауссового типа обусловлен простотой вычисления всех матричных элементов в аналитическом виде, а также удовлетворительной сходимостью разложения волновой функции по этому базису. Функции гауссового типа ^-симметрии представимы в виде:

/2а \3/4

<Pfc(r-a) = (-^J exp(-afc|r-a|2), (6)

1 Ландау JI. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учеб. пособие для вузов .В 10 т. Т. III. Квантовая механика (нерелятивисткая теория). -4-е изд., испр. - М.: Наука, 1989, 786 с.

8

где а - вектор, указывающий положение атома в кластере относительно выбранной системы координат, ак - экспоненциальные множители, рассчитываемые, как правило, из условия минимума полной энергии. Отметим, что функции р-, <Л-, /-, ...-симметрии легко получить через функции ^-симметрии (6) дифференцированием по компонентам вектора а. Например, функции гауссового типа рх-сммметрии (1=1, т = — 1) можно представить в виде:

УЗ й<рк( г-а) УЗ (х-ах) -Э) = 2ак\г - а| аах = |г-а| "а)' (7)

Эта идея лежит в основе рекуррентных вычислений и матричных элементов.

В теории функционала электронной плотности основная проблема принципиального характера состоит в том, что обменно-корреляционная энергия, а, следовательно, и обменно-корреляционный потенциал ]/хс, не известны. К настоящему времени издано большое количество работ, посвященных нахождению об-менно-корреляционной энергии, отысканию функциональной зависимости об-менно-корреляционного потенциала Ухс от электронной плотности

осс

р(г)=^;.(г)|2. (8)

]

Приводимые в этих работах зависимости Ухс(р) достаточно сложны. Использование в них численных методов интегрирования при вычислении матричных элементов

х]к = | <р]ШМ<РкШ3г (9)

в любом базисе {«^(г)} требует введения очень густой трехмерной сетки, так как волновые функции являются сильно осциллирующими. Это значит, что базисные функции имеют большие значения градиентов при условии быстрой сходимости разложения.

В работе показано, что вычисление матричных элементов (9) в случае аналитической, пусть и весьма сложной зависимостью Ухс(р), можно осуществить, зная матрицу с элементами только от самой плотности р(г):

Пк

= 1 <Р]

(гМг)<ркШ3г. (10)

Для этого достаточно решить задачу на собственные значения для матрицы Р с элементами (10):

РС = АЗС, (11)

где Б - матрица интегралов перекрывания базисных функций {(^(г)}:

I <р}(г)<Рк(г)с!

3

г.

(12)

Затем но найденным значениям Я и известной функциональной зависимости Iгхс(р) не представляет труда вычислить искомые матричные элементы обменно-корреляционного потенциала по следующей формуле:

Таким образом, точность вычисления матричных элементов (9) по формуле (13) определяется только длиной выбранного базиса {<Рк(у)} разложения волновой функции, того же самого, в котором решается задача на собственные значения для кластера. Объем вычислений в этом подходе по сравнению с ранее используемыми резко уменьшается. Более того, необходимость в использовании метода сеток или кубатурных формул полностью отпадает.

В третьей главе описана реализация математической модели. Общая схема вычислений разделена на два этапа. На первом этапе вычисляются матричные элементы интегралов перекрывания (12), кинетической энергии, электрон-ядерного взаимодействия и оператора квадрата момента импульса, не зависящие от вариационных коэффициентов, а потому не требующие пересчета в процессе итерационного поиска решения. На втором этапе вычисляются матричные элементы электрон-электронного взаимодействия и обменно-корреляционного взаимодействия (9). Диагонализация действительных матриц проводится по стандартной схеме Хаусхолдера, комплексных матриц - по модифицированной схеме Якоби. Выбор этих схем обусловлен их высоким быстродействием и надежностью получаемых результатов вычислений.

Для реализации этой процедуры поиска решений в качестве исходных данных используются:

- экспоненциальные параметры {ак}, которые выбираются, как правило, атомными;

- порядковые номера элементов периодической системы Д. И. Менделеева, из атомов которых составляется исследуемый кластер;

- начальные координаты атомов кластера;

- начальные значения параметров возбуждения х и у;

- предельное значение энергии перехода кластера в возбужденное состояние;

- приближение для обменно-корреляционной энергии по Хатри-Фоку, Регс1е\у-Zuщer, Уояко, АгЬтап-ВагШ, или в модели свободных электронов. Особое внимание в этой главе уделяется вычислению матричных элементов

на функциях гауссового типа. Предложены сходящиеся рекуррентные схемы, позволяющие вычислять все матричные элементы любого заданного порядка. Кроме этого, обсуждаются особенности проведения вычислений и приемы реализации идей, изложенных во второй главе.

В четвертой главе приведено описание средств разработки и принципов работы программного комплекса для численного моделирования возбуждений в

(13)

пт1

кластерах. Распределенная вычислительная система состоит из трех модулей: «сервер», «клиент» и «рабочая станция». «(Сервер» отвечает за работу всей системы в целом, осуществляет хранение и транспортировку данных между модулями системы. «Клиент» предоставляет пользователю удаленный терминал для руководства процессом исследовательских расчетов. «Рабочая станция» содержит в себе все алгоритмы вычислений, выполняет по «заказу» сервера необходимые вычисления. Количество одновременных подключений в систему «клиентов» и «рабочих станций» ничем не ограничено. Физическая удаленность модулей системы друг от друга также не имеет значения.

Для расширения возможностей применения программного комплекса были разработаны модули для различных операционных систем. Поэтому для реализации кроссплатформенности в качестве среды программирования был выбран Lazarus, который позволяет один и тот же Delphi-подобный исходный код компилировать из-под различных операционных систем, таких как Windows, Linux и др. Более того, Lazarus позволил автоматизировано оптимизировать модуль «рабочая станция» с учетом конкретных особенностей аппаратного обеспечения предполагаемых целевых персональных компьютеров.

Проверка правильности работы метода и программного комплекса осуществлялась на примере расчетов для кластеров гелия, неона, натрия и фтора. Необходимо отметить, что известные на сегодня расчетные и экспериментальные данные даже для основного состояния зачастую сильно отличаются. Различия, как правило, объясняются разнообразием методов расчета, а также особенностями проведения экспериментов. Для сравнения разработанного программного комплекса взята программа HyperChem версии 8.08 производства компании HyperCube. Данный выбор обусловлен широкой известностью программы, а также возможностью без ограничений использовать ее оценочную версию. Относительное отклонение результатов расчетов энергетических характеристик кластеров от соответствующих данных, полученных с помощью программы HyperChem, не превосходит 10~3. Столь высокое согласие является весьма неожиданным, поскольку в HyperChem используются принципиально иные методы расчета, вычислительные схемы и базисы. При сопоставлении результатов расчета с экспериментальными данными обнаружены существенные количественные, а по некоторым характеристикам и качественные расхождения. В целом же можно утверждать, что полученные результаты вычислений для основного состояния описывают эксперимент не хуже, чем данные, полученные с помощью HyperChem.

Подробнее остановимся на принципиально новых результатах расчетов, которые можно получить только с помощью разработанного комплекса. В первую очередь - это результаты расчетов энергетических характеристик кластеров в полях больших интенсивностей, превышающих поля в самих атомах. Необходимость таких расчетов важна уже хотя бы потому, что столь мощные лазеры уже используются в исследовании материалов.

Результаты вычислений, приведенные на рисунке 1, показывают, что действительная часть полной энергии Re£ возбужденного атома гелия, как и следовало ожидать, всюду выше энергии его основного состояния при х = 0, у = 0.

Время жизни этих возбуждений можно оценить опираясь на соотношение неопределенностей зная мнимую часть полной энергии 1ш£, результаты вычислений которой для гелия приведены на рисунке 2. Отметим, что неограниченно долго живущие возбужденные состояния атома гелия при 1т£ = 0 можно обнаружить вблизи у — 0.1 и у = 0.15.

Рисунок 1 — График зависимости действительной части полной энергии атома гелия от параметра у для пяти значений параметра х

Рисунок 2 - График зависимости мнимой частей полной энергии атома гелия от параметра у для пяти значений параметра х

Результаты расчетов, представленные на рисунке 3, показывают, что энергия основного состояния системы двух атомов гелия (у = 0) при любых расстояниях (здесь и далее приводимое расстояние между атомами й измеряется в боровских радиусах) между ними больше энергии основного состояния двух атомов гелия, изолированных друг от друга. Это означает, что система Не2 в основном состоянии является неустойчивой. Атомам гелия энергетически более выгодно существовать порознь. Заметим далее, что действительная часть полной энергии Яе£ системы Не2 в возбужденном состоянии также увеличивается при сближении атомов. Яе£ растет и с увеличением интенсивности внешнего воздействия (с увеличением параметра у).

Рисунок 3 - График зависимости действительной части полной энергии двух атомов гелия от расстояния между этими атомами при х = 0 и пяти малых значениях параметра у

Результаты расчета мнимой части полной энергии 1т£ кластера, состоящего из двух атомов гелия, как функции расстояния между атомами при тех же малых значениях параметра у = 0.0001,0.0002,0.0003, 0.0004, приведены на рисунке 4. Минимумы 1т£ указывают на возрастание времени жизни кластера в интервале расстояний от 5 до 10 боровских радиусов. Однако время жизни полученных возбужденных состояний системы тем меньше, чем больше значение параметра у.

Рисунок 4 - График зависимости мнимой части полной энергии двух атомов гелия от расстояния между этими атомами при х = 0 и пяти малых значениях параметра у

Исходя из предположения о том, что увеличить интенсивность внешнего воздействия на рассматриваемый атом можно, если поместить его в поле еще большего числа атомов, были проведены вычисления энергетических характеристик электронов в Не3 и Не4 при тех же наборах значений параметров х и у.

Результаты расчетов действительной части полной энергии Не3 и Не4 в зависимости от расстояния между атомами принципиально не отличаются от соответствующей зависимости в системе Не2. Однако мнимая часть полной энергии системы трех атомов гелия, изображенная на рисунке 5, обладает более глубокими минимумами, чем мнимая часть полной энергии системы двух атомов в том же интервале расстояний от 5 до 10 боровских радиусов. Следовательно, в этом интервале расстояний Не3 обладает большим временем жизни, чем Не2. Еще большим временем жизни обладает система Не4 (см. рисунок 6). Более того, она оказывается стабильной с неограниченно большим временем жизни в интервале расстояний от 5 до 10 боровских радиусов, при которых 1т£ = 0.

Снятие внешнего воздействия приводит к распаду Не4 на отдельные атомы с понижением действительной части полной энергии Яе£. Описанный процесс образования и распада Не4 в условиях внешнего воздействия можно трактовать как экспериментально наблюдаемый процесс образования и распада эксимеров в гелии.

Заметим, что во всех системах Не2, Не3, Не4 при расстоянии между атомами около 3.4 боровских радиусов 1т£ = 0 (см. рисунки 4. 5 и 6), что соответствует неограниченно большим временам жизни указанных возбуждений в гелии. При этом интенсивности энергий возбуждения достаточно велики. При столь малых расстояниях между атомами действительные и мнимые части спектральных ли-

ний претерпевают значительные изменения, которые можно трактовать как перестройку электронных оболочек, связанную с сильными корреляциями электронов в поле внешних возбуждений.

Рисунок 5 - График зависимости мнимой части полной энергии трех атомов гелия от расстояния между этими атомами при х = 0 и пяти малых значениях параметра у

Рисунок 6 - График зависимости мнимой части полной энергии четырех атомов гелия от расстояния между этими атомами при х = 0 и пяти малых значениях параметра у

Уже это неполное изложение результатов вычислений позволяет обнаружить новые свойства поведения электронов кластеров в полях большой интенсивности: перестройка электронных оболочек, наличие долгоживущих возбуждений, коллапс атома.

Наличие этих свойств обнаружено и в кластерах неона, натрия, фтора. Причем существование долгоживущих возбуждений (эксимеров) можно считать на сегодня подтвержденным экспериментально. Характеристики и свойства эксимеров, к сожалению, еще недостаточно хорошо изучены экспериментально, чтобы можно было проводить и количественное сопоставление.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Создана математическая модель, формально описывающая поведение многоэлектронных систем в условиях внешнего воздействия.

2. Предложена методика расчета спектральных характеристик и времени распада возбужденных состояний многоэлектронных систем.

3. Предложен метод вычисления матричных элементов обменно-корреляционного потенциала.

4. Предложена процедура вычисления всех матричных элементов в базисе любой длины без использования кубатурных формул.

5. Создан программный комплекс для вычисления энергетических характеристик и времени жизни возбуждений в многоэлектронных системах.

6. Проверена адекватность разработанного метода и программного обеспечения в сравнении с данными других моделей и экспериментом.

7. Применение созданного программного комплекса для вычисления энергетических характеристик электронов и времени жизни возбуждений в атомах и в кластерах гелия, неона, натрия, фтора позволило обнаружить ряд новых эффектов:

а) перестройка электронных оболочек;

б) наличие долгоживущих возбуждений;

в) коллапс атома.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В журналах, рекомендуемых ВАК Минобрнауки РФ

1. Попов В. В. Решение спектральной задачи в методе функционала электронной плотности // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2005. - Т. 45, №2. - С. 327-329.

2. Попов В. В. Агрегация кластеров неона // Известия Алтайского государственного университета. Серия «Математика и механика. Управление, вычислительная техника и информатика. Физика», 2010, №1 (65) - С.158-163.

Другие публикации

3. Попов В. В. Отыскание собственных значений для функционалов электронной плотности // Одиннадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых: тезисы докладов: В 1 т. Т. 1. - Екатеринбург: Изд-во АСФ России, 2005. - С. 58-59.

4. Попов В. В. Собственные значения операторов с функциональной зависимостью // Студент и научно-технический прогресс : материалы XLI1I Международной научной студенческой конференции / Новосиб. гос. университет. Новосибирск, 2005. - С. 192-193.

5. Попов В. В. Описание возбуждений кластеров в рамках теории функционала электронной плотности // Студент и научно-технический прогресс : материалы XLV Международной научной студенческой конференции: Физика / Новосиб. гос. университет. - Новосибирск, 2007. - С. 59-60.

6. Попов В. В., Кантор С. А. Конденсация кластеров в гелии // IV Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь — 2007». Секция «Информационные и образовательные технологии». Подсекция «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» : материалы конференции / Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2007. - С. 22-24.

7. Попов В. В. Агрегация кластеров гелия // Электронный Физико-Технический Журнал. - 2007. - Т. 2. - С. 89-98, per. № 0420700047/0006 от 22.11.2007.

8. Попов В. В., Кантор С. А. Моделирование возбуждений в неоне // V Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь — 2008». Секция «Информационные технологии и системы». Подсекция «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» : материалы конференции / Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова. - Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2008. - С. 28-31.

9. Попов А. В., Попов В. В. Фторирование поверхностей материалов // Сборник трудов VI Международной научной школы-конференции «Фундаментальное и прикладное материаловедение», 16-18 сентября 2009 г., АлтГТУ, г. Барнаул, - С. 38-45.

10. Попов В. В., Кантор С. А. Численное моделирование орбитальных возбуждений электронов в кластерах // VI Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь - 2009». Секция «Информационные технологии и системы». Подсекция «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» : материалы конференции / Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова - Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2009. - С. 69-71.

11. Попов А. В., Попов В. В. Агрегация атомов натрия в атмосфере гелия // Всероссийская конференция с элементами научной школы для молодежи «Новые

материалы. Создание, структура, свойства - 2009», 8-11.09.2009: труды конференции. - Томск, 2009. - С. 287-290.

12. Попов В. В. Численное моделирование орбитальных возбуждений электронов в кластерах // Ползуновский альманах №3,2009 Том 2. С. 281-283.

13. Попов В. В. Орбитальные возбуждения в инертных газах // II Всероссийская конференция «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях ММПСН-2009»: материалы конференции. - М., 2009. - С. 48-49.

14. Попов В. В., Попов А. В. Численное моделирование возбуждений в кластерах методом функционала электронной плотности (С1ш1Л)А) // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010614796 в Реестре программ для ЭВМ, 2010.

15. Попов В. В., Кантор С. А. Моделирование возбужденных состояний натрия в атмосфере инертных газов // VII Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь - 2010». Секция «Информационные технологии и системы». Подсекция «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» : материалы конференции / Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова - Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2010. - С. 59-61.

16. Попов В. В., Кантор С. А. Численное моделирование возбуждений многоэлектронных систем в теории функционала электронной плотности // Измерение, контроль, информатизация: материалы двенадцатой международной научно-технической конференции / под. ред. Л. И. Сучковой - Барнаул: Изд-во АлтГТУ,2011.-С. 236-239.

Подписано в печать 30.08.2011. Формат 60x84 1/16. Печать - цифровая. Усл.п.л. 1,16. Тираж 100 экз. Заказ 2011 - 543

Отпечатано в типографии АлтГТУ, 656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46 тел.: (8-3852) 29-09-48

Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД №28-35 от 15.07.97 г.

61 12-1/519

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет

им. И. И. Ползунова»

На правах рукописи

! ? J

О

Попов Виталий Валерьевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ВОЗБУЖДЕНИЙ НА ПРИМЕРЕ ГЕЛИЯ, НЕОНА, НАТРИЯ И ФТОРА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Кантор Семен Аврамович

Барнаул - 2011

Содержание

Введение...................................................................................................................4

1 Динамика электронных возбуждений............................................................9

1.1 Отклик заряженных частиц на внешнее воздействие.............................9

1.2 Энергетический спектр атома водорода с учетом ширины спектральных линий.........................................................................................14

1.3 Метод функционала электронной плотности........................................18

1.4 Функция отклика в методе функционала электронной плотности.....23

1.5 Метод многоконфигурационного взаимодействия...............................26

1.6 Краткий обзор программного обеспечения, предназначенного для моделирования электронных возбуждений...................................................29

2 Описание возбуждений..................................................................................31

2.1 Построение математической модели......................................................31

2.2 Описание возбуждений электронов в кластерах...................................36

2.3 Обменно-корреляционное взаимодействие в кластерах......................50

3 Реализация математической модели............................................................55

3.1 Общая схема поиска решений.................................................................55

3.2 Вычисление интегралов перекрывания..................................................59

3.3 Вычисление матричных элементов оператора кинетической энергии...............................................................................................................61

3.4 Вычисление матричных элементов электрон-ядерного взаимодействия.................................................................................................63

3.5 Вычисление матричных элементов электрон-электронного взаимодействия.................................................................................................66

3.6 Вычисление матричных элементов обменно-корреляционного взаимодействия.................................................................................................70

3.7 Вычисление матричных элементов оператора квадрата

момента импульса.............................................................................................73

4 Программное обеспечение, средства разработки и результаты расчетов.................................................................................................................76

4.1 Особенности реализации программного комплекса.............................76

4.2 Модули программного комплекса.......................................................... 79

4.3 Основные характеристики и принципы работы

программного комплекса.................................................................................84

4.4 Проверка правильности метода и программного комплекса...............89

4.5 Расчеты для кластеров в возбужденном состоянии..............................94

Заключение..........................................................................................................108

Библиографический список...............................................................................109

Введение

Многие физико-химические свойства вещества определяются электронным строением. Знание электронного строения позволяет не только объяснять обнаруженное поведение вещества, но и предсказывать, создавать материалы с заранее заданными свойствами. В исследовании электронной структуры атомов, молекул и твердых тел достигнут некоторый успех. Этот успех обеспечен современными методами математического моделирования и расчета. Наиболее популярными являются методы расчета электронной структуры вещества в основном состоянии. Однако больший интерес представляют возбуждения, в которых пребывают электроны реального вещества. Более того, измерить какие-либо характеристики электронов, находящихся в основном состоянии, означает оказать на них воздействие и, следовательно, перевести их в возбужденное состояние.

Целенаправленное создание наноструктурных материалов в режиме «самосборки» требует очень глубокого и достаточно полного представления о взаимодействии кластеров - строительных элементов создаваемых материалов. По своим физическо-химическим свойствам кластеры занимают промежуточное положение между атомами и молекулами с одной стороны и конденсированным веществом - с другой. Эволюция кластеров ведет к образованию либо газовой фазы, либо конденсированной фазы, проходя ряд ме-тастабильных состояний. Кластеры обладают высокой химической активностью, а цепь процессов перехода от одного состояния к другому является сложной и неравновесной. Еще более сложные взаимодействия кластеров происходят в условиях внешних воздействий, с помощью которых можно и управлять этими процессами.

Изучение процессов, проходящих при переходе из одного промежуточного состояния в другое, удобно проводить на основе такой ab initio (перво-принципной) теории, которая позволила бы в рамках единой схемы рассчитать большую совокупность различных свойств материала, достаточно

надежно подтвержденных экспериментом. Расчеты здесь важны и потому, что многие величины гораздо легче вычислить, чем измерить. С их помощью уже сегодня можно получить весьма полное представление о свойствах вещества, даже еще не синтезированного. Достаточно точный количественный расчет важен еще и потому, что явления и процессы, происходящие при формировании кластеров, определяются большим количеством конкурирующих факторов, не позволяющих ограничиться качественными соображениями. При этом возникает вопрос о выборе метода расчета, его физической корректности и математической точности.

Проблема описания свойств кластеров при различных условиях, выдвигает на первый план необходимость обоснования физических моделей и приближений, принимаемых при расчётах этих свойств. При рассмотрении адекватности и обоснованности моделей физических явлений теоретический анализ может оказаться не менее эффективным, чем прямые экспериментальные проверки конкретных результатов расчетов. Данный факт связан с ограниченностью возможностей экспериментов и точностью получаемых экспериментальных данных.

Цель работы: разработать методику количественного описания возбужденных состояний многоэлектронных систем методами компьютерного моделирования.

Для достижения сформулированной цели, были поставлены следующие задачи:

1. Проанализировать существующие методы исследования и описания возбужденных состояний многоэлектронных систем.

2. Разработать математическую модель количественного описания возбуждений многоэлектронных систем в условиях внешнего воздействия.

3. Предложить методы, необходимые для реализации предложенной математической модели.

4. Спроектировать и реализовать программное обеспечение математической модели.

5. Проверить адекватность математической модели.

6. Оценить времена жизни возбужденных состояний в кластерах, состоящих из атомов гелия, неона, натрия и фтора.

Научная новизна:

1. Разработан новый математический метод имитации распада квантовых состояний многоатомных систем, основанный на рассмотрении всех возможных орбитальных состояний, в том числе нерегулярных на сфере.

2. Создан программный комплекс, реализующий эффективные численные методы и алгоритмы, для проведения вычислительного эксперимента, описывающего распад многоатомных систем.

3. Предложена методика исследования энергетических характеристик электронов и времени распада возбуждений в атомах и кластерах, основанная на новом методе имитации распада квантовых состояний многоатомных систем.

4. Проведенные исследования энергетических характеристик электронов и времени распада возбуждений в атомах и кластерах гелия, неона, натрия и фтора позволили обнаружить в предложенной модели коллапс атомов, долгоживущие возбуждения, перестройку электронных оболочек.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математической корректностью постановки и решения сформулированных задач, соответствием результатов расчета результатам других авторов экспериментальных и теоретических работ.

Практическая значимость работы состоит в создании нового подхода для описания возбуждений многоэлектронных систем. С его помощью, в частности, можно предсказывать принципиальную возможность существования возбужденных долгоживущих состояний. На основе разработанной ма-

тематической модели и предложенной методики исследования электронной структуры кластеров в полях большой мощности уже сегодня можно получить весьма полное представление о свойствах вещества, даже еще не синтезированного. Например, опираясь на результаты расчетов, генерировать кластеры для создания нанофильтров, деталей наномеханизмов, медицинских дозаторов, электронных элементов, накопителей и преобразователей энергии.

На защиту выносятся:

1. Методика учета квантового распада возбужденных состояний в методе Кона-Шема (функционала электронной плотности).

2. Программный комплекс, численно моделирующий поведение многоэлектронных систем в условиях внешнего воздействия.

3. Методика исследования электронной структуры кластеров в полях внешнего воздействия.

4. Результаты расчета энергетической структуры электронов в кластерах гелия, неона, натрия и фтора, а также времен жизни возбужденных состояний в них.

Апробация работы. Основные результаты работы апробированы на: Одиннадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, Екатеринбург, 2005; ХЫП Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2005; ХЬУ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2007; IV Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь-2007», Барнаул, 2007; V Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь-2008», Барнаул, 2008; VI Международной научной школы-конференции «Фундаментальное и прикладное материаловедение», Барнаул, 2009; VI Всероссийской научно-технической конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь-2009», Барнаул, 2009; Всероссийской конференции с элементами научной школы для молодежи «Новые

материалы. Создание, структура, свойства-2009», Томск, 2009; II Всероссийской конференции «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях - ММПСН-2009» Москва, 2009, VII Всероссийской научно-технической конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь-2010», Барнаул, 2010; XII Международной научно-технической конференции «Измерение, контроль, информатизация», Барнаул, 2011.

Президиум Российской Академии Наук постановлением № 201 от 24 января 2006 года присудил медаль Российской Академии Наук за работу «Решение спектральной задачи в методе функционала электронной плотности».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе две статьи в изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ, и одно свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ в Реестре программ для ЭВМ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы из 123 наименований, содержит 120 страниц машинописного текста, включает 14 рисунков и 10 таблиц.

1 Динамика электронных возбуждений

В данной главе обзорного характера дается понятие функции отклика системы частиц на внешнее воздействие, обсуждаются экспериментальные методы исследования этой функции, теоретические способы описания отклика в многочастичном подходе, а также в рамках одночастичного приближения. Приводится краткий обзор и анализ программного обеспечения, предназначенного для описания многоэлектронных систем.

1.1 Отклик заряженных частиц на внешнее воздействие

Вещество, предназначенное для исследования, представим как совокупность атомов или молекул в газовой, жидкой или твердой фазе. Помещенное во внешнее поле, оно меняет свои характеристики. Например, в электрическом поле с напряженностью Е, возникает поляризация среды, характеризуемая вектором поляризации Р - дипольным электрическим моментом единицы объема. Появление дипольного момента в целом электронейтральной системы, состоящей из п заряженных частиц, обусловлено смещением электрических зарядов в атомах под действием поля с напряженностью Е. Дипольный электрический момент по определению равен сумме:

где qk - заряд частицы к, а гк - радиус-вектор, указывающий положение частицы к.

На микроскопическом уровне из-за постоянного движения всех частиц возникают быстро меняющиеся флуктуации плотностей зарядов и токов. При этом могут быть существенными и квантовые эффекты, когда невозможно приписать каждой частице определенные значения координат и скоростей, а можно лишь говорить о вероятности того, что они имеют те или иные значения. Поэтому бессмысленно определять мгновенные значения ло-

те

(1.1.1)

к=1

кальных полей. Можно выполнить усреднения плотностей зарядов и токов, а значит и полей, созданных ими, по физически бесконечно малым объемам, но содержащим много частиц. Тем самым исключают из рассмотрения поле, действующее на частицу, а также отказываются от вычисления отклика среды на внешнее поле. Это существенно упрощает решение задачи об установлении связи наведенных полей с внешними полями. Однако приходится ограничиваться только феноменологическим учетом этого отклика. В линейном приближении связь между векторами Р и Е, усредненными по физически бесконечно малым объемам, представима в виде:

Р=*Е. (1.1.2)

Здесь величина х ~ это диэлектрическая восприимчивость, зависящая только от свойств среды. С появлением лазеров были обнаружены нелинейные эффекты. Эти эффекты могут быть описаны только с учетом следующих членов, нелинейных по полю. Например, отклик системы становится существенно нелинейным в полях с напряженностью, близкой по значению к напряженности внутриатомного поля: е ,, В

Еа = ~ ~ 10 1.1.3)

а2 м

где е - заряд электрона, а - атомный радиус. В пучках мощных лазеров атомы и молекулы разрушаются за времена порядка 10"16 с. Вещество в этих полях переходит в состояние плазмы. В сильных полях поляризация может зависеть от частоты, а показатель преломления - от интенсивности электромагнитного поля. В качестве параметра нелинейности обычно выбирается (Е/Еа). При (Е/Еа) < 1 модуль вектора Р можно представить в виде разложения в ряд по параметру (Е/Еа):

Р = ЪтЕк (1.1.4)

к

с коэффициентами нелинейной восприимчивости, обратно пропорциональными соответствующей степени напряженности внутриатомного поля: Х(Ю~Е~к. (1.1.5)

В микроскопической теории отклика среды на электромагнитное поле отказываются от усреднения по физически бесконечно малым объемам. Здесь необходимо оперировать усредненными по флуктуациям значениями полей и их корреляциями в различных пространственно-временных точках или же распределением вероятностей для различных конфигураций полей. Если воспользоваться обычным для статистической физики усреднением по ансамблю возможных состояний, определяемых плотностью зарядов и токов, то в силу эргодической гипотезы временные флуктуации исключаются из рассмотрения, так как статистическое усреднение эквивалентно усреднению по времени. Поскольку здесь отсутствует пространственное усреднение, то средние по ансамблю плотности зарядов р(г, £) и токов ](г, £) - как отклик среды на внешнее поле в общем должны зависеть от координат и времени. Эти плотности зарядов и токов, в свою очередь, создают поля в среде. Таким образом, возникает задача об установлении связи наведенных полей с внешними полями. В общем случае эта задача о нахождении средней поляризации произвольной системы частиц при произвольном поле не решена. Известен единственный регулярный подход, позволяющий для широкого класса систем анализировать решение в общем виде [1]. Он связан с разложением отклика по степеням поля. В этом случае вектор поляризации, зависящий от координат и времени, удобно представить в виде следующего ряда

с компонентами разложения по степеням поля, также зависящего от координат и времени:

(1.1.6)

к

/ Харг(Х, г', г"; г, Г) Ер (г'; (г"; М6.1",

(1.1.7)

X Ер{г'; ПЕу(г"; 1")Е8{г'"; 1"')(1ъг'(И'сРг"(1ъг"'(11

т

и т.д. В правой части этих равенств подразумевается суммирование по повторяющимся индексам (3, у, 8 и т.д. от 1 до 3. Интегрирование по переменным времени Ь'" и т.д. выполняется в пределах (—оо; £), так как в силу принципа причинности поляризация в момент времени £ зависит от значений полей только в предшествующие моменты времени. Интегрирование по штрихованным пространственным переменным ведется по области, где |г — г'| < с\1 — 1'\,