автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование дозвуковых кавитационных течений сжимаемой жидкости

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГб ОД

На правах рукописи

о о Г = - •

ЗИГАНГАРЕЕВА ЛИЯ МАХМУТОВНА

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДОЗВУКОВЫХ КАВИТАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Казань - 1997

Работа выполнена в отделе гидромеханики Научно - исследовательского института математики и механики им. Н.Г.Чеботарева при Казанском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико - математических

наук, профессор, заслуженный деятель науки Республики Татарстан О.М. Киселев

Официальные оппоненты: доктор физико - математических

наук, профессор Д.В. Маклаков

кандидат физико - математических наук, доцент P.P. Шагидуллин

Ведущая организация: НИИ механики Московского госу-

дарственного университета

Защита состоится " J-^' 1998г. в fy 2с? ауд. 324 НИИММ на заседании диссертационного Совета Д053.29.10 при Казанском государственном университете (420008, г.Казань, ул.Кремлевская, 18).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан " 16 " 1997г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцен'

Е.М.Федотов

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Движение тела в жидкости с достаточно большой скоростью сопровождается образованием за телом кавитационной каверны. Кавитационные течения представляют значительный практический интерес и являются предметом интенсивных экспериментальных и теоретических исследований на протяжении уже более полувека.

Теоретические исследования проводятся, как правило, в рамках модели несжимаемой жидкости. Эта модель вполне адекватно описывает кавитационные течения воды при скоростях, далеких от скорости звука а (в обычных условиях для воды а ~ 1460 м/с). Однако, предельная скорость технических объектов, движущихся в воде, непрерывно увеличивается. Кроме того, существуют среды (газожидкостные смеси), скорость звука в которых в десятки раз меньше скорости звука в воде. Это делает актуальным исследование влияния сжимаемости на характеристики кавитационных течений. Используемые до последнего времени приближенные методы решения задач о кавитационных течениях сжимаемой жидкости (приближение Прандтля, приближенный метод Чаплыгина, приближение газодинамики тонкого тела) имеют ограниченную область применимости и не могут дать всей необходимой информации.

Цель диссертации состоит в разработке метода для решения в точной постановке задач о плоских и осесимметричных дозвуковых кавитационных течениях сжимаемой жидкости и в применении этого метода к исследованию влияния сжимаемости среды на основные характеристики кавитационных течений, а также к построению тел, обтекаемых дозвуковым потоком газа с максимально возможным критическим числом Маха.

Научная новизна работы. Создан эффективный численно - аналитический метод исследования плоских и осесимметричных дозвуковых

кавитационных течений сжимаемой жидкости около тел простейшей формы (пластина, клин, диск, конус). С его помощью впервые исследованы в точной постановке следующие задачи гидромеханики:

задачи о кавитационном обтекании пластины, диска и кавитатора с конической выемкой дозвуковым потоком воды;

задачи о кавитационном обтекании диска и отрывном обтекании пластины дозвуковым потоком газожидкостной смеси.

Впервые численно решены задачи о построении тел вращения конечной и полубесконечной длины, обтекаемых потоком воздуха с максимально возможным критическим числом Маха.

Практическая значимость диссертации. Результаты, полученные при исследовании влияния сжимаемости среды па характеристики кавитационных течений, могут быть использованы при проектировании технических объектов, предназначенных для движения с большими скоростями в воде или газожидкостной смеси.

Результаты, полученные при исследовании тел, реализующих максимальное критическое число Маха в потоке воздуха, могут быть использованы при проектировании летательных аппаратов.

Созданные программы позволяют выполнять расчеты для заданного набора схем течения при произвольно заданной связи между давлением и плотностью жидкости.

Достоверность результатов диссертации обусловлена использованием известных моделей, адекватно описывающих изучаемые явления в определенной области применимости и подтверждается хорошим согласованием с известными результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошной среды" (Новосибирск, 1991г.), на Всесоюзной конференции "Математическое моделирование

и вычислительный эксперимент" (Казань, 1991г.), на V научной школе "Гидродинамика больших скоростей" (Чебоксары, 1992г.), на XII научной школе "Модели в механике сплошной среды" (Казань, 1993г.), на IV международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Казань, 1995г.), на Международной научно -технической конференции "Механика машиностроения" (Набережные Челны, 1995г.), на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета в 1991 - 1997г.г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, список которых приведен в конце автореферата. В работах [1-6, 8-12], выполненных совместно с О.М.Киселевым, автору диссертации принадлежит участие в выводе формул, в разработке способов численной реализации решения и в анализе полученных результатов, а также создание программ и проведение расчетов на ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 134 наименования, и приложения. Работа изложена на 149 страницах, включает 19 таблиц и 21 рисунков.

Краткое содержание работы.

Во введении дается краткий обзор литературы по математическому моделированию развитых кавитационных течений и обосновывается актуальность темы диссертационной работы, кратко описывается содержание диссертации.

В главе 1 дается описание численно - аналитического метода расчета плоских дозвуковых кавитационных течений сжимаемой жидкости.

В плоскости декартовых координат х,у рассматривается симметричное относительно оси х обтекание клина с углом полураствора во дозвуковым потоком сжимаемой жидкости по схемам Рябушинского, Жуковского - Рошко и Кирхгофа. Общими для всей работы являются

предположения о том, что рассматриваемые течения являются стационарными, безвихревыми, баротропными, а внешние силы отсутствуют.

У (Р)

А »1

-у

А 8» - В

а Ь Ь а 0

У (Ж)

е а В.

1

/

Л X в

бо С

ф= сопя!

(Л Б т

(К)

1

а Ь

Фиг. 1.

На фиг. 1 слева показаны расположенные над осью х области течения, отвечающие названным схемам. Здесь Ьси дЬ, - стенки обтекаемого и " фиктивного" клиньев; сйд, се и с а - свободные поверхности, еа - полупрямая, параллельная оси х; а - бесконечно удаленная точка; точка (I лежит на оси у, являющейся дополнительной осью симметрии для течения по схеме Рябушинского.

На фиг. 1 справа показаны области Е = {(т,в) |0<т<то, 0 < в < во} в плоскости (т, 9), отвечающие левой верхней четверти области течения по схеме Рябушинского и верхней половине области течения

по двум другим схемам. Здесь в - угол наклона вектора скорости к оси х, г - скорость течения, отнесенная к скорости набегающего потока, го - значение г на свободной поверхности; отрезок ВВ\ соответствует точке разветвления потока Ь, точки А, С, D, Е - точкам а, с, d, е. Функция тока ф удовлетворяет уравнению Чаплыгина

Ьф= (I - М2)фвд + т2фтт + т (1 + М2)фт = 0 , (1)

где М - число Маха. При заданной связи между плотностью р и давлением р зависимость М(т) определяется с помощью интеграла Бер-нулли. Считается, что М(т) - функция аналитическая в окрестности точки т = 1 и выражение Ь(ф) представимо в виде

Щ) = + + , (2)

Ч=о у Ч=о у

где C = T- l,aiifc,g/fc- известные коэффициенты.

Граничные условия для ф имеют вид

фе-0 на AD , ф = 0 на Г \ AD (Р) , (3)

</> = 0 на Г (Ж,К), ф> 0 при (r,0)€S (Р,Ж,К) .

Здесь Г - граница области Е, символы Р, Ж, К в круглых скобках указывают на соответствие соотношений схемам Рябушинского, Жуковского - Рошко и Кирхгофа.

Точка А является особой для функции ф(т,в). При приближении к А почти по всем направлениям ф оо. Краевые задачи (1), (3) нельзя решать методом конечных разностей, не выделив предварительно сингулярную часть ф.

Ищется функция ф°, удовлетворяющая условиям £ф° -+ 0, ф° > 0 при (т ,0) (1,0), а также соответствующим краевым условиям для ф на прямолинейных участках Г, примыкающих к точке А. Различаются два случая: М = М«, < 1 и М = Мх, = 1 в точке А.

При Моо < 1 вводятся переменные а и ш:

и — (в2 + а2^2)1/2 , из = arctg, а = и\'2 = Jl^M^

аС

(£ = a~lo eos и). фй ищется в виде асимптотического разложения по малому параметру а, :

ф° = ф1 + ф2 + ... , фк = hk(a) fk(u) , (4)

hk+i(a)/hk(cr) -* 0 при а -*■ 0 , к= 1,2,... На функции фк (fc = 1,2,...) накладываются условия

Фк = 0 при Ш = Ж , фк0 = 0 при о> = О (Р) Фк — о при ш = 0,7г (Ж), фк = 0 при Ш = 7г/2,7Г (К), (5) V>1 > о при (г,б) es (Р,Ж,К).

Главный член разложения (4) ищется в виде ф\ = a~nfi(ui) (n =const, п > 0). Выделяется и приравнивается нулю главный член выражения, получаемого из (2) при ф = ф\, С = оГха cosw (член порядка сг~"-2). С учетом условий (5) получается краевая задача для /i(w):

п2Л + Л' = 0, п > О (Р,Ж,К)

Л(о) = Л(тг) = о , /1(ы) >0 при 0 < ы < я (Р) ,

(6)

Л(0) = Л(тг) = 0 , ЛИ > 0 при 0 < и < 7Г (Ж) , Д(тг/2) = Д(тг) = о , /i(w) >0 при тг/2 < Ы < тг (К) .

Для каждой из рассматриваемых схем существует единственное (с точностью до несущественного постоянного множителя при Д) решение задачи (6): п = 1/2, Д - cos(w/2) (Р); п - 1, Д = sinw (Ж); п = 2, Д = - sin 2w (К).

Ход дальнейших рассуждений продемонстрируем на задаче о течении по схеме Кирхгофа. Для этой схемы ф\ — -о"2 sin2ш, Ь(ф\) = 0(ст~3). Функции fk(ui) в выражениях фк = ck~%fk(u) при к = 2, 3,

4 находятся последовательно и однозначно из решения краевых задач вида

(3 - к? h + f¡ = Fk , Д(;г/2) = = 0 (7)

(JFjt - известные функции ш), каждая из которых получается в результате приравнивания нулю главного члена в выражении Ь(фх +... + фк) (члена порядка ак~5) при учете (5).

При попытке отыскать Vs = cr2/s(^), приравнивая нулю член порядка 1 в выражении Ь(ф\ +... + ф-а), с учетом (5) получается краевая задача вида (7) (к = 5), решения которой не существует. Это свидетельствует о том, что между членами порядка «г и а2 в разложении (4) имеется член промежуточного порядка.

Функция -05 ищется в виде 05 = <т2 In а fb(io) ■ Выражение Ь(фь) содержит члены порядка In а, 1, а In а ,... Приравнивание нулю главного из них при учете (б)приводит к краевой задаче (7) (к = 5, F5 = 0) с решением /5 = fe sin 2uj , где fei - произвольная постоянная. Теперь приравнивание нулю члена порядка 1 в выражении Ь{ф\ + ... + ф$), где фе} = о2 , при учете (6) приводит к краевой задаче

4 /б - f¿ = Fe = Fb - 4 fe sin2w , /с(т/2) = /6(тг) = 0 ,

решение которой существует и содержит слагаемое fe sin 2lj с произвольным коэффициентом fe (постоянная fe находится однозначно).

Функция фа = ф\ + ... + фв, определенная описанным способом, удовлетворяет всем условиям, наложенным на ф°, в частности Ьфо — = 0(аЫа) при а 0. Пусть ф - решение краевой задачи (1), (3) для схемы Кирхгофа. Очевидно, асимптотическое разложение ф по о совпадает с ф0 вплоть до члена ф$ = er2 In er /5(0;) включительно. Неоднозначность функции фв = cr2/e(w) свидетельствует о том, что дальнейшее уточнение поведения функции тока ф в окрестности точки А возможно только при учете полных граничных условий.

Дозвуковое течение по схеме Кирхгофа возможно и в случае звуковой скорости набегающего потока. При М00 = 1 коэффициент щ в (2) обращается в нуль, что приводит к изменению типа особенности в точке А.

При Мое = 1 для описания ф° вводятся переменные ае и (3:

«=Иа+К1'Г, /3 = arctg(^), А* = |Ы-1/2

(( = -аз2/3 (cos/З)2/3, 0 < /3 < 7г/2). ф° ищется в виде асимптотического разложения по малому параметру ае:

. ■ = + + , il>k = dk(ae)gk(J3) , (8)

djt+i(ffi)/c?ifc(ae) —» 0 при ае —+ 0 , fe = 1,2,... На функции фк (fe = 1,2,...) накладываются условия

Фк = ® при /3 = 0, тг/2 , > 0 при (г, 0) € Е . (9)

Главный член разложения (8) ищется в виде V>i — as-ngi(/3) (n =const, n > 0). Выделяется и приравнивается нулю главный член выражения, получаемого из (2) при ф = ф\, £ = —ае2/3 (cos /З)2/3 (член порядка p.-n-4/зу q уЧехом условий (9) получается краевая задача для gi(¡3):

(n2_ln)gi_ Itg/S^ + pi'^O, 9i(0) = fli(ir/2) = 0 , (10) gi(/3) >0 при 0 < (3 < тг/2 , n > 0 .

Существует единственное (с точностью до постоянного множителя при gi) решение задачи (10): п = 2, gi(/3) = sin/3(cos/З)2/3. Таким образом, ф\ = ае-2 sin/3(cos/3)2//3, при этом L(V>i) = 0(ге-8^3).

Функция из разложения (8) ищется в виде -02 = ге-4/3^/?) • 9i{P) находится из решения краевой задачи, возникающей в результате приравнивания нулю члена порядка аз-8/3 в выражении Ь(ф\ + ф%) при учете (9). Процесс отыскания ф° описанным способом может быть продолжен до выполнения условия Ь(ф°) —► 0 при аз —» 0.

Зная ф° (или хотя бы начальные члены разложений (4), (8)), можно перейти к решению краевой задачи для ф методом конечных разностей. При этом возможны два подхода. Первый подход основан на нахождении функции х = Ф ~ 03 решения соответствующей краевой задачи для уравнения = —Ьфа. При втором подходе полагается ф — ф° на некоторой прямоугольной ломаной, ограничивающей окрестность точки А, и решается соответствующая краевая задача для уравнения Ьф = 0. Практика решения задач о плоских течениях показала преимущества второго подхода.

При значениях го близких к единице, когда точка А близка к границе Г, используются преобразования £ = £(т), г} = 1](в), переводящие Е в £1 = {(£, 77) | 0<£<1,0<?7<1}с растяжением областей, примыкающих к отрезкам АИ и АЕ. В области Е1 применяется конечно - разностная схема с пятиточечной аппроксимацией на равномерной прямоугольной сетке. Для ее реализации используется метод последовательной верхней релаксации. Переход в физическую плоскость производится по известным формулам

IУ$) ут V итб) (.совУ,)/ с применением сплайн - аппроксимации сеточных значений ф {и = р/ро, ра - значение плотности р в заторможенном потоке).

Выражения, получаемые из хтв,т + хдйв , утйт + удс19 в результате подстановки правых частей (11), являются полными дифференциалами, если выполняется уравнение (1). Следовательно, если функция ф(т, в) найдена верно, то значения хну, получаемые интегрированием выражений (11), не должны зависеть от пути интегрирования. Это обстоятельство используется для контроля точности вычислений.

В случае, когда жидкость несжимаема (Моо = Мтах = 0), рассма-

триваемые задачи имеют точные решения, с которыми хорошо согласуются результаты, полученные с помощью описанного метода.

В главе 2 дается описание численно - аналитического метода расчета осесимметричных дозвуковых кавитационных течений сжимаемой жидкости.

В меридианной полуплоскости цилиндрических координат х, г рассматривается осесимметричное обтекание конуса с углом полураствора во дозвуковым потоком сжимаемой жидкости по схемам Рябушинско-го и Жуковского - Рошко (ось х - ось симметрии потока). Области течения и отвечающие им области в плоскости т, в показаны на фиг. 1, где следовало бы заменить у на г .

Функция тока ф и функция У = \ ь> тг2 удовлетворяют уравнению

Я = ЯМУ) = 8тб52£-.Рв5 + Р5* = 0, (12)

Ь = Ь{ф) = (1 — М2)фдв + т2фтт -)- (1 + М2)тфт ,

Р = Р(ф) = + (1 - М2)ф2в] ,

5 = Б{ф,У) = 2У + фв5шв .

Кроме того, справедливы соотношения

(выражения (12), (13) впервые получили М.Гепащ, Ь.Би^огщие!;, Л.-Ь.Бо^пас в 1974г.).

С помощью (13) У выражается через ф:

в

У = У(ф)=фсоз0 + |(т0г + 0)бтбс» + П(т) ,

о

Т

$1{т) = рт1 — (1-М2)ф(т,0)<1т 0<г<г0, (Р) , 1 иг

Щт) = 0 0 < т < 1 , П(т) = 1<Т<Т0 (Ж) ,

1 Í " 9 )

-г2 = Ит фтв<1в\т=\-е- J-фт в de\T=l+A и'1 , va = v\T=x .

В результате соотношение (12) превращается в интегро - дифференциальное уравнение относительно ф. Граничные условия для ф имеют вид (3).

Функция ф° - сингулярная составляющая ф - ищется в виде (4) при условиях (5). Главный член разложения (4) ищется в виде — a~nf\{ui) (п =const, п > 0). Выделяется и приравнивается нулю главный член выражения, получаемого из Я(ф) = Я(ф, У(ф)) при ф — ф\, С = a~lcí eos lo (член порядка а~3п~1). С учетом (5) получается краевая задача для /i(w):

[4 + („2 _ Ап) sin2 wj f2 f„ + |(4 + 2n _ „2J s¿2 u _ 4j fi

+ sino; eos cu (/{3 + n2 fl f[) + (4 n2 - 2 n3) sin2 wf? = 0,n>0 f[(0) = /i(tt) = 0 ; f:(uj) > 0 при 0 < и < тг (P) , /i(0) = /i(tt) = 0 ; /i(w) > 0 при 0 < ш < тг (Ж) .

Для течения по схеме Жуковского - Рошко существуют два решения задачи (14): 1) п = 1, fi = sin2 ш , 2) п = 2 , /i = sin2 uj (/i определяется с точностью до постоянного множителя). Второе решение приводит к бесконечным значениям для г/>2 на прямой ы = 7г/2 и, следовательно, не описывает искомую особенность. На основе первого решения строятся последующие члены разложения (4), удовлетворяющие всем необходимым условиям (функции Д (w) находятся из решения соответствующих краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка). В результате получается

ф{ = а~х sin2 d , Ф2 = - - a ln а (1 - eos4 ш) ,

3 5 3

фз = sin2w coso;\оГ3и\ (—2 + - sin2 w) + oTlqo (—- 4- - sin2cj) +

Z ¿4 ¿l

з

+оГх (4-3 sin2w) - а] - -а(1 - cos4w) ln(l - eos и) + +k¡ (1 - cos4w)

(кз - произвольная постоянная). При этом R(ipi) = 0(а~3), R(ipi + ф2) = 0(a~z) , R{4>i + Ф2 + ip-¿) = 0(cr~2 ln2 а) (член порядка lner необходим для того, чтобы краевая задача для /з(ш) стала разрешимой).

Для течения по схеме Рябушинского существует единственное (с точностью до постоянного множителя при /i) решение задачи (14): п = 2/3, (0i = cr"2/3/i(w)) ■ /1 не выражается через элементарные функции, однако вычисляется с большой точностью. Приводятся разложения /i(w) в окрестности точек и = 0, 7г/2, 7г.

Функция '02 для течения по схеме Рябушинского имеет вид = = cr1/3/2(u;), /2(ы) = ui Qf~3v?i(w) + a~V2(w) + Л^аГ^зМ . Функции Vi > 1 <¿>3 подробно исследуются и вычисляются с большой точностью.

Для найденных ф\ и ф2 ЩФг) = 0(<7-2), + Ф2) = 0(сг-1).

Уравнение (12) записывается в форме

1(ф) = Щф) , Щф) = (SPe - PSe) (S2 sinfl)"1 . (15)

Найденные функции фо = Ф1+Ф2 + Фз для схемы Жуковского - Рошко и фа = ф\ + ф^ для схемы Рябушинского принимаются за ф°. Функция х = Ф — Ф° удовлетворяет уравнению L(x) = + х) ~ ¿(0°) и краевым условиям, которые получаются из (3) при ф = ф° + X ■ Определение % сводится к решению итерационной последовательности линейных разностных краевых задач по схеме

x(»+i) = (i — -f w , 0 < w < l , п = 0,1,... ,

причем за принимается решение разностной задачи, которая

получается для уравнения L(x) = М(ф° + х^) - Ь(ф°) при соответствующих краевых условиях.

В процессе итераций, как правило, вне окрестности особой точки возникают области отрицательных значений величин фW = ф® + х^п\

у(») = 5(") = 2У<П> + ^втб», которые затем уменьшают-

ся в размерах и исчезают. Чтобы выражение Л^") не обратилось в бесконечность и итерационный процесс не разошелся, используется следующий прием: при тт = -т'"' < 0, заменяется на + 4т'"'/(г, В), где /(г , в) - положительная функция, исчезающая при (т,9) —► (1,0) и быстро стремящаяся к 1 при удалении от точки А. Остальные особенности применения метода сеток здесь те же, что и для задач о плоских течениях.

Выражения, получаемые из хтйт + хдйв, гт<1т + г$ёд в результате подстановки правых частей (13), являются полными дифференциалами, если выполняется уравнение (15). Это соображение используется для контроля точности вычислений.

Глава 3 содержит результаты исследований дозвуковых кавитацион-ных течений сжимаемой жидкости. Рассматриваются математические модели воды и газожидкостной смеси.

Для изэнтропического процесса в воде связь между давлением р и плотностью р выражается формулой (р + В)/{ре + В) = (р/ре)", где р$, р$, В, п - некоторые постоянные, тг — 7.15. При этом зависимости числа Маха М и безразмерной плотности V от приведенной скорости Л оказываются такими же, как для совершенного газа с показателем адиабаты у = п. Связь между р и Л дается формулами

Р = Л.+ Сро + В) [(1 -А2)-Л"-1> - 1] , р0 + В = ^р0а1,

где ро) Ро ~ значения р, и р в заторможенном потоке, а+ - критическая скорость.

Рассматривается осесимметричное течение воды по схеме Рябушин-ского около тела, омываемая часть которого представляет собой конус с углом полураствора во из интервала [тг/2, тг] (диск или кавитатор с конической выемкой). Приводятся полученные на основе аппроксимации расчетных данных формулы, характеризующие зависимость

коэффициента сопротивления кавитатора Сх и основных геометрических параметров каверны от угла в0, числа кавитации и числа Маха па свободной поверхности Мс = Мтах при во 6 [тг/2, 7г], С} е [0.15,1],

мс е [од] .

Фиг. 2.

На фиг. 2 показана зависимость коэффициентов а, Ь, с, <1 в формулах Сг = а , Ь = Ы°, К = , = й В°т от М2 при <3 = 0.15, 0.35, 1 (кривые 1-3 соответственно) для диска (во = 7г/2). Здесь Ь - длина каверны, В.т - радиус каверны в плоскости симметрии, К - кривизна дуги сАд в точке <1 (радиус диска Щ =1); индексом "градус" отмечаются значения параметров в случае Мс = 0. Результаты, полученные для обтекания диска несжимаемой жидкостью, хорошо согласуются с известными результатами Л.Г.Гузевского, Л.А.Кожуро и Гарабедяна.

Рассматривается симметричное обтекание пластины водой по схе-

мам Рябушинского и Кирхгофа. Приводятся аппроксимационяые формулы, характеризующие зависимость коэффициентов а, Ь, с в выражениях Сх = аС°х, Hi = ЪЩ, LH = cL°n от Q и Мс при Q € [0.005,0.1], Мс G [0,1] (Я, = Н/1, Lfj = L/H, L и Я - длина и ширина каверны, I - ширина пластины). С ростом Мс величипы Сх и Ьц растут, причем тем сильнее, чем меньше Q. При возрастании Мх от 0 до 1 каверна Кирхгофа монотонпо сужается на всем ее протяжении. Результаты контрольных расчетов по определению Сх при Q = 0 (схема Кирхгофа), п = 7 = 1.4, Мао € [0,1] хорошо согласуются с результатами, полученными Ю.В.Сунгурцевым на основе формулы С.А.Чаплыгина. Модель течения газожидкостной смеси строится на предположениях

0 том, что течение изотермическое, пузырьки газа полностью увлекаются жидкостью, отношение масс газа и жидкости в элементарном объеме смеси сохраняется, капиллярным давлением можно пренебречь. При этом справедливы соотношения

_ (1 + 60)s х2 = — (1 ~ s ~ ^Qln 3) М2 = — (1~3~($olns) s + 60 ' ¿о (1 + s,/60)2 ' ¿о (l + s/80)2 '

где s = pfpо, 6 - отношение объемных концентраций газа и жидкости,

¿о - значение 8 в заторможенном потоке, s* - корень уравнения

1 - в. - ¿о In = ¿о (1 + в,/6а)2/2.

Рассматривается симметричное обтекание диска по схеме Рябушинского дозвуковым потоком газожидкостной смеси. Приводятся аппрок-симационные формулы, позволяющие определять параметры Сх> L, К, Rm (До = 1) в области Q g [0.15,0.35], 60 £ [0.02,0.1], Мс £ [0,1]. С ростом Мс величины Сх, L, 1 /К растут, причем тем сильнее, чем меньше число кавитации и чем больше концентрация газа в смеси.

Рассматривается симметричное обтекание пластины по схеме Кирхгофа дозвуковым потоком газожидкостной смеси. Приводится аппрок-симационная формула вида Сх — аС°, где а = a{Mx, ¿о) (0.02 < ¿о < 0.1, 0 < Мс < 1). Увеличение значений М«, и бц приводит к монотон-

ному сужению каверны на всем ее протяжении.

Функция г[>°, найденная для плоского течения по схеме Кирхгофа, используется для анализа асимптотики свободной границы. Получаются формулы

у = Рх1/2 + 0(1) , М0о < 1 ; у = Sx2/b + 0(1) , Mœ = 1 , (16)

где (х, у) G са (рис. 1), Р и S не зависят от х, х —► оо. Формулы (16) справедливы для симметричного обтекания произвольного контура при произвольной связи между р и р.

Глава 4 посвящена применению кавитационных схем для построения тел, удовлетворяющих некоторым геометрическим ограничениям и при этом реализующих максимально возможное критическое число Маха М* в потоке газа (тела оптимальные по М*).

Рассматривается следующая задача (задача А). Требуется определить форму тела вращения длины L так, чтобы при безотрывном обтекании тела потоком идеального газа М„ принимало максимально возможное значение при выполнении одного из условий

R/L > г0 , S/L2 > s0 , W/L3 > щ .

Здесь R - радиус миделевого сечения, S - площадь сечения меридианной полуплоскостью, W - объем тела, го, So> wo - заданные постоянные.

Задача А была сформулирована Джилбаргом и Шифманом (1954г.), ими же было показано, что искомая форма тела может быть найдена из решения задачи об осесимметричном обтекании газом диска по схеме Рябушинского при критической скорости на свободной поверхности.

Решение задачи А получено для совершенного газа с показателем адиабаты у = 1.4 (воздухоподобный газ). Приводятся аппроксимаци-онные формулы, позволяющие строить оптимальные по М» тела вращения в диапазоне 0.5 < М, < 0.87, а также формулы, описывающие

зависимости М» = F\,(R/L), М* = F2(S/P), М* = F3(W/L3) для оптимальных по М» тел.

Рассматривается следующая задача (задача В). Полубесконечпый круглый прямой цилиндр обтекается потоком идеального газа, направленным вдоль его оси. Требуется деформировать головную (прилегающую к торцу) часть цилиндра так, чтобы полученное тело вращения обтекалось идеальным газом безотрывно с максимально возможным значением М» при выполнении одного из условий

L/R < /0 , S'/R2 < т0 , W'/R3 < п0 .

Здесь R - радиус цилиндра, L - длипа головной (подвергшейся деформации) части тела, S' и W' - площадь в меридианной полуплоскости и объем, теряемые при деформации цилиндра, /о, тоi no - заданные постоянные.

Задача В сводится к задаче об осесимметричном обтекании диска газом по схеме Жуковского - Рошко при критической скорости на свободной поверхности. Ее решение получено для воздухоподобного газа. Приводятся формулы, позволяющие строить оптимальные по М* полубесконечные тела вращения в диапазоне М* € [0.5,0.88], а также формулы, описывающие зависимости М» = G\(R/L), М* = G2{R?/S'), M« = Gz(F?/W') для оптимальных по М* тел.

Рассматриваются задачи С и D о построении оптимальных по М* цилиндрических тел, обтекаемых потоком идеального газа, параллельным плоскости г = х + г у и симметричным относительно оси х в плоскости г. В задаче С ищется оптимальное по М* тело, удовлетворяющее одному из условий

Я№ > h , Si/L\ > Iо ,

а также условию

maxlfl«,! < в0 < тт/2 , (17)

где L\ и Н\ - длина и толщина тела, S\ - площадь сечения тела плоскостью z , 9W - угол наклона вектора скорости к оси х на поверхности тела> feo, ¡o, во - заданные постоянные.

В задаче D сечение тела плоскостью 2 имеет первоначально вид прямоугольной полосы ширины #21 симметричной относительно оси х . Требуется деформировать головную часть тела так, чтобы получить оптимальное по М» симметричное тело, удовлетворяющее условию (17) и одному из условий

W-H2 < то , S'2¡H2 < По ,

где ¿2 - длина головной части тела, S'2 - площадь сечения, теряемая при деформации, то, щ - заданные постоянные.

Задачи С и D сводятся к задачам о симметричном обтекании газом клина с углом полураствора в0 по схемам Рябушинского и Жуковского - Рошко при критической скорости на свободной поверхности. Получено решение этих задач для воздухоподобного газа. Приводятся аппроксимационные формулы, описывающие зависимости М* = P\(Hi/Li,6o), М„ = P2(S1/LÍ,e0), М4 = Р3(#2/£2Л), М» = Р^НЦБ^во) для оптимальных по М, тел (30° < во < 90°, 0.7 < М, < 1).

Некоторые варианты и аналоги задач С и D исследовались ранее в работах Фишера (1963), М.А.Врутяна и С.В.Ляпунова (1981), С.А.Щербакова (1988), Швендемана, Кропински и Коула (1994). Результаты, полученные в этих работах и представленные в виде графиков и отдельных численных значений, как правило, вполне удовлетворительно согласуются с результатами диссертационной работы.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Приложение содержит протокол расчета одного из вариантов осе-симметричного обтекания диска по схеме Рябушинского, демонстрирующий характер сходимости итерационного процесса.

На защиту выносятся следующие положения диссертационной работы:

1. Численно - аналитический метод и программы расчета плоских и осесимметричных дозвуковых кавитационных течений сжимаемой жидкости.

2. Результаты исследований кавитациопного обтекания диска, ка-витатора с конической выемкой и пластины соответственно осесимме-тричным и плоским симметричным дозвуковыми потоками воды.

3. Результаты исследований кавитациопного обтекания диска и отрывного обтекания пластины соответственно осесимметричным и плоским симметричным дозвуковыми потоками газожидкостной смеси.

4. Результаты решения задач о построении плоских симметричных тел и тел вращения, реализующих максимальное критическое число Маха в потоке воздухоподобного газа.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Зигангареева Л.М., Киселев О.М. О расчете струйных осесимметричных течений газа с использованием переменных годографа скорости / Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Москва. Ин-т мат. моделирования РАН, 1991. С.ЗО.

2. Зигангареева Л.М., Киселев О.М. О расчете кавитациопного обтекания кругового конуса дозвуковым потоком сжимаемой жидкости // ПММ. 1994. Т.58. Вып.4. С.93-107.

3. Зигангареева Л.М., Киселев О.М. Построение тел вращения, реализующих максимальное критическое число Маха в потоке воздуха / Междунар. научно - техн. конференция "Механика машиностроения". Тезисы докладов. Наб. Челны: Камск. политех, ин-т, 1995. С.9.

4. Зигангареева Л.М., Киселев О.М. Кавитационное обтекание диска дозвуковым потоком газожидкостной смеси//Изв. РАН. МЖГ.

1995. N 2. С.202-206.

5. Зигангареева JI.M., Киселев О.М. Отрывное обтекание диска идеальным газом и тела с наибольшими критическими числами Маха //Изв.РАН. МЖГ. 1996. N3. С. 166-172.

6. Зигангареева Л.М., Киселев О.М. О полубесконечных телах вращения, обтекаемых с максимальным критическим числом Маха //ПММ. 1997. Т.61. Вып.1. С.97-107.

7. Зигангареева Л.М. Обтекание пластины по схеме Кирхгофа дозвуковым потоком газожидкостной смеси. Каз. гос. ун-т. Казань, 1997. Юс. Деп.:,в.ВИНИТИ 26.02.97, N 619-В97.

8. Киселев О.М., Зигангареева Л.М. О кавитационном обтекании диска газожидкостной смесью / Международный симпозиум по гидродинамике судна, посвященный 85 - летию со дня рождения А.М.Басина. Тезисы докладов. С.-Петербург, 1995. С.40.

9. Киселев О.М., Зигангареева Л.М. Дозвуковое кавитационное обтекание пластины сжимаемой жидкостью / Международный семинар "Нелинейное моделирование и управление". Тезисы докладов. Самара, 24-27 июня 1997г. С.70-71.

10. Киселев О.М., Зигангареева Л.М. О цилиндрических телах, обтекаемых идеальным газом с максимальным критическим числом Маха / Междунар, научно - техн. конференция "Механика машиностроения". Тезисы докладов. Наб. Челны: Камск. политех, ин-т, 1997. С.ЗЗ.

11. Киселев О.М., Зигангареева Л.М. О кавитационном обтекании пластины дозвуковым потоком сжимаемой жидкости / Научно - техническая конф. "Крыловские чтения". Тезисы докладов. С.-Петербург, 1997. С.126.

12. Zigangareeva L.M., Kiselev О.М. Design of axisymmetric bodies of revolution realizing maximum values of the critical Mach number in

the air stream / Fourth International Conference "Lavrentyev Readings on Mathematics, Mechanics and Physics". Abstracts. Novosibirsk, 1995. P.41.

В 1994 - 1997 г.г. работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 9401-01763, 96-01-00123, 96-01-00111).

Отпечатано в ООО "Дизайн архитектурной среды" Заказ № 12/32. Тираж 100 экз. Бумага офсетная. Объем 1,4 п.л. г.Казань, ул.Университетская, 17 тел. 38-05-96,31-55-34