автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное исследование транспортных потоков на основе гидродинамических моделей

005005684

Морозов Иван Игоревич

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ ПОТОКОВ НА ОСНОВЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2011

-8 ДЕК 2011

005005684

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Московского физико-технического института (государственного университета)

Научный руководитель:

Кандидат физико-математических наук ХОЛОДОВ Ярослав Александрович

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор НУРМИНСКИЙ Евгений Алексеевич

Кандидат физико-математических наук ЧЕХОВИЧ Юрий Викторович Ведущая организация:

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Защита состоится « $$ » декабря 2011 года в час.

на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, г. Долгопрудный Московской обл., Институтский пер. д.9, ауд. 903 КПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ

Автореферат разослан « 22. » ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ^ О.С.Федько

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

В 50-ые годы прошлого века наблюдалось бурное развитие газовой динамики. Были найдены обобщенные решения законов сохранения, предложены устойчивые разностные схемы расчета решений. Тогда же появились первые макроскопические (гидродинамические) модели, в которых транспортный поток уподобляется потоку "мотивированной" сжимаемой жидкости (М. Лайтхилл и Дж. Уизем, П. Ричарде), и первые микроскопические модели (следования за лидером), в которых явно выписывается уравнение движения каждого автомобиля (А. Рёшель, Л. Пайпс и др.). В модели Лайтхилла - Уизема (- Ричардса) (1955), транспортный поток уподобляется потоку сжимаемой жидкости и описывается законом сохранения количества (погонной плотности) автомобилей. При этом в модели постулируется существование функциональной зависимости в виде уравнения состояния между величиной потока автомобилей (скорость х плотность) и плотностью. Эту зависимость часто называют фундаментальной диаграммой.

В последующие годы класс микро- и макромоделей был значительно расширен. В современном макроскопическом подходе (А. Эйв и М. Раскл, 2000) транспортный поток часто описывается нелинейной системой гиперболических уравнений (для плотности и скорости потока) с диффузией (X. Пэйн, Р. Кюне, Б. Кернер и П. Конхойзер). При этом уравнение состояния входит во второе уравнение этой системы как стремление водителей двигаться с желаемой скоростью.

Несмотря на то, что с момента появления первых фундаментальных работ прошло более полувека, по мнению ряда известных специалистов в области математического моделирования дорожного движения (К. Нагель, X. Махмасани, М. Шрекенберг и др.), проблема образования предзаторных и заторных ситуаций еще до конца не изучена (и сродни проблеме описания турбулентных течений). Используя терминологию, предложенную Б.С. Кернером, можно сказать, что на данный момент нет общепринятого подхода,

описывающего поведение движения автотранспорта в области синхронизированного потока. Иначе говоря, если автомобильный поток уподобляется потоку жидкости, то наиболее сложная для моделирования ситуация - это "замерзающая жидкость". Подтверждением вышесказанному может служить тот факт, что разные коллективы, занимающиеся моделированием транспортных потоков, как правило, используют разные модели: начиная от модели Лайтхилла - Уизема (А.Б. Куржанский и др.), заканчивая моделями, в которых каждый водитель описывается своим вариационным принципом (И.А. Лубашевский и др.). Важным атрибутом многих современных зарубежных работ, в которых предлагаются математические модели транспортного потока, является проверка предложенных моделей на возможность описания ими трех фаз Кернера транспортного потока, наблюдаемых в многочисленных эмпирических (измеренных) данных.

Из-за сильной неустойчивости решений уравнений (при достаточно больших плотностях), описывающих транспортные потоки, задача получения достоверного прогноза загрузки транспортной сети по имеющимся данным на час вперед сродни задаче получения достоверного прогноза погоды на неделю вперед. При этом вычислительные мощности современных высокопроизводительных кластеров (триллион и выше операций типа умножения чисел с плавающей точкой в секунду) позволяют просчитывать реальную ситуацию по Москве (в которой, напомним, порядка трех миллионов автомобилей) со значительным опережением реального времени. Другими словами, основной проблемой при моделировании транспортных потоков является не ограничение на вычислительные мощности (ресурсы памяти), а большая чувствительность описываемой реальной транспортной системы к входным данным (характеристикам источников и стоков автомобилей) и невозможность собрать достаточно полную информацию о входных данных.

Цель и задачи работы

Целью данной работы является обобщение макроскопических гидродинамических моделей, описывающих автомобильное дви-

жение, с помощью алгоритма построения адекватного реальным наблюдаемым условиям уравнения состояния, определяемого по экспериментальным данным (возможно, с использованием параметрических решений модельных уравнений)

Помимо достижения этой цели необходимо решение следующих задач:

1. расчет динамики транспортной системы крупного мегаполиса на основании предложенных обобщённых моделей, использования высокоточных численных методов и реализации их в виде комплекса программ;

2. всестороннее тестирование программного комплекса и его апробация на прикладных задачах;

3. разработка удобного интерфейса для представления и визуализации результатов расчетов;

4. уточнение и развитие известных математических моделей транспортных потоков и соответствующих численных методов с целью повышения их эффективности. При этом корректировке подлежит не только техническая сторона моделирования, но и общий подход к нему, а состав и структура разрабатываемого программного обеспечения должны быть детально проанализированы с целью возможности его дальнейшего развития.

Научная новизна

Для гидродинамической модели, описывающей автомобильное движение, построен алгоритм получения адекватного реальным транспортным потокам уравнения состояния, определяемого по экспериментальным данным (иногда с использованием параметрических решений модельных уравнений).

Доказано, что именно вид уравнения состояния, замыкающего систему модельных уравнений и полученного из экспериментально наблюдаемого вида фундаментальной диаграммы, - зависимости интенсивности транспортного потока от его плотности -полностью определяет все свойства исследуемой феноменологической модели.

Построен универсальный алгоритм формирования систем уравнений граничных условий в точках ветвления графа транспортной сети (во внутренних узлах или на перекрестках) и замыкания краевых условий на всем графе транспортной сети. Полученные с учетом организации дорожного движения системы уравнений в узлах графа транспортной сети обеспечивают сквозную связь рассчитываемых переменных на всех его ребрах.

Научная и практическая ценность

На основе разработанной вычислительной модели реализованы в виде комплекса программ эффективные высокоточные численные алгоритмы решения задач моделирования динамики транспортных потоков для транспортных сетей мегаполисов.

Проверена работоспособность программного комплекса на реальных дорожных данных. В качестве примера транспортной сети использовалась одна из наиболее загруженных магистралей США - автострада 1-80 в районе залива Сан-Франциско. Для этого выбирался день, когда по данным системы PeMS (www.openstreetmap.org) количество неисправных датчиков было минимальным, а качество измерений, соответственно, наилучшим. Полученные результаты показали, что разработанная модель хорошо воспроизводит реальную ситуацию на дороге.

На основе разработанного комплекса программ впервые выполнены численные расчеты динамики транспортных потоков города Москвы внутри графа Садового кольца, при изменении организации движения транспорта по Садовому кольцу с двухстороннего на одностороннее - против часовой стрелки. Проведенные расчеты показали, что наблюдается эффект увеличения пропускной способности транспортной сети внутри графа Садового кольца на 30%.

Апробация работы

Результаты работы докладывались, обсуждались и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях:

• 50-ая и 51-я научные конференции МФТИ. Москва-Долгопрудный, 2007, 2008 г.г.

• XV Конференция «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2008 г.

• V Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых. Санкт-Петербург, 2008 г.

• EUROEM - 2008, European Electromagnetics, EPFL. Lausanne, Switzerland, 2008.

• Traffic and Granular Flow '11. Москва, 2011. Публикации

По теме диссертации автором опубликовано шесть работ, три из которых [4,5,6] - в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ.

Личный вклад автора.

Все научные результаты, вынесенные на защиту, получены лично автором.

Постановка задачи, результаты расчетов и результаты обсуждались с Холодовым. Я.А.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников. Объем диссертации составляет 115 страниц, список использованных источников включает 90 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность исследуемых проблем, сформулированы цели и задачи диссертационной работы. Описаны научная новизна, научная и практическая значимость, апробация работы.

В главе 1 приводятся основные (как с исторической точки зрения, так и с точки зрения возможных приложений) макроскопические модели транспортных потоков. Основное внимание уделяется гидродинамическим аналогиям. Транспортный поток уподобляется сжимаемой жидкости с мотивацией, которая присутствует, например, в уравнении состояния транспортного потока (зависимости скорости потока от плотности). Ключевым понятием этого раздела является обобщенное решение начальной задачи Коши для закона сохранения, описывающего транспортный поток. При этом разрывы обобщенного решения интерпретируются как границы заторов (переход от свободного движения к заторному).

В 1955 г. была предложена, по-видимому, первая макроскопическая (гидродинамическая) модель однополосного1 транспортного потока, получившая впоследствии название модели Лайтхил-ла - Уизема (Уитема) - Ричардса (Ь\¥Я), в которой поток автотранспортных средств (АТС) рассматривается как поток одномерной сжимаемой жидкости (часто эту модель называют моделью Лайтхилла - Уизема).

В модели Ь\¥11 предполагается, что 1) существует взаимно однозначная зависимость {уравнение со-

стояния) между скоростью у^, х) и плотностью (погонной) потока;

2) выполняется "закон сохранения массы" (количества АТС).

ложен в 1963 г. Танака и др. Рассматривается однополосный поток АТС. Пусть скорость АТС не может превышать ^ах . Плотность

Полоса бесконечная в обе стороны, движение происходит слева направо

(для определенности), нет источников и стоков автомобильных транспортных (автотранспортных) средств (АТС).

Один из способов определения зависимости

где

(¡(у) = Ь + сх\ + с2\2

есть среднее (безопасное) расстояние между АТС при заданной скорости V движения потока,2 Ь - средняя длина АТС, С^ - время, характеризующее реакцию водителей, С2 - коэффициент пропорциональности тормозному пути.

Следующим шагом (упомянутым еще в 1955 г., и окончательно предложенным в 1974 г. Дж. Уиземом) был учет "дальнозоркости" водителей:

Откуда с учётом закона сохранения количества АТС:

др | д(у/>)=0 дх

получим уравнение типа Бюргерса (закон сохранения с нелинейной дивергентной диффузией):

др | ае(р)= д(ыр\др"

дг дх дх ^ дх /

Появившиеся в правых частях новые диффузионные слагаемые соответствуют тому, что водители снижают скорость при увеличении плотности потока АТС впереди и увеличивают при уменьшении.

¿(V) также называют динамическим габаритом или дистанцией видимости, и понимают под часть полосы, содержащую АТС вместе с дистанцией экстренного торможения.

Следующим важным шагом стали модель Пэйна (1971), модель Пэйна - Уизема (см. п. 1.3). Эту модель можно понимать как закон сохранения

дt дх

в котором уже не предполагается зависимость скорости от плотности (уже не предполагается, что желаемая скорость устанавливается мгновенно). Для скорости выписывается уравнение3

с/ 8У ду 1 ^ (

— у =-+ у-=--уЖ д^ дх т

р дх

V V Г

стремления реальной скорости V к желаемой скорости

ум-т*

р дх

причём Т (меньше 1 сек.) характеризует скорость стремления. В электротехнической терминологии Т - время релаксации; если же уподоблять транспортный поток сжимаемой неньютоновской (максвелловской) жидкости, то параметр ? характереризует макс-велловское затухание.

Учитывая недостатки гидродинамической модели Пэйна-Уизема, Эйв и Раскл (А\¥-11а8с1е) разработали новую модель, исходя из следующих принципов:

1. Система должна быть гиперболической.

2. При решении задачи Римана с произвольными неотрицательными граничными условиями значения скорости и плотности в результате расчета остаются неотрицательными и ограниченными сверху.

3. При решении задачи Римана с произвольными данными собственные значения не превосходят скорости потока. Это

В литературе принято называть моделью Пэйна частный случай описанной модели: ^(р) = тсо > ®.

означает, что машины, едущие сзади, не могут воздействовать на едущих впереди (анизотропия транспортного потока).

4. Решение задачи Римана должно качественно согласовываться с тем, что каждый водитель наблюдает каждый день. А именно, торможение вызывает волны сжатия, скорости которых могут быть как отрицательными, так и неотрицательными, в то время как ускорение вызывает волны разрежения. При этом по-прежнему должно выполняться третье условие.

5. Решение задачи Римана должно быть чувствительно к начальным данным в случае малой плотности. Другими словами, при Р- 0 не должно быть непрерывной зависимости решения от начальных данных.

Исходя из этих предположений, для описываемой системы были заданы следующие уравнения:

Р, + (pv)x = О

{v + p{pj)t+v{v + р{р))х = Ъ

Вв 2002-м Чзан (Zhang) году предложил свой вариант второго уравнения гидродинамической системы уравнений для транспортного потока:

+= ~с(рК , где с(р) = pV(p) .

Сиебель и Маузер (Siebel-Mauser) рассматривали модификацию модели Эйв-Раскла-Гринберга (Aw-Rascle-Grinberg), в свою очередь получающеюся дополнением модели Эйв-Раскла правой частью:

Pt + (PV)X = 0

Отметим также, что большое количество исследований сосредотачивается на изучении транспортного потока на отдельном

прямолинейном участке транспортной сети с простейшими начально-краевыми условиями, в то время как причиной заторов (согласно К. Даганзо) часто являются «узкие места» (перекрестки, въезды). Поэтому особенно важно (для приложений) создать целостную модель транспортных потоков, адекватную имеющимся данным, включающую в себя описание источников, стоков АТС и поведение АТС в вершинах графа транспортной сети (перекрестки, въезды, съезды и т.п.).

Глава 2 посвящена исследованию сетевой модели интенсивного дорожного движения в мегаполисе. Для макромоделирования автомобильного движения используются различные математические модели, в том числе основанные на дифференциальных уравнениях в частных производных, в частности, гидродинамические модели, аналогичные уравнениям течения сжимаемой многокомпонентной жидкости с мотивацией, о чем подробно говорилось выше в первой главе. Рассматривается разработанная в диссертации вычислительная математическая модель интенсивного уличного движения в мегаполисе, основанная на решении соответствующих краевых задач для уравнений в частных производных гиперболического типа. За основу берется гидродинамическая модель, являющаяся обобщением модели Пэйна на случай произвольного

уравнения состояния Р(р) , замыкающего систему уравнений, записанную в дивергентной форме. Уличная сеть мегаполиса представлена в виде перекрестков - узлов графа транспортной сети с номерами, связанных между собой ребрами - автодорогами.

Гиперболическая система уравнений, описывающая автомобильное движение на ребре графа транспортной сети, представляет собой дифференциальные законы сохранения (изменения) «массы» и «импульса» на автодорогах (по аналогии с гидродинамикой), записанные в дивергентной форме. Как уже говорилось выше, за основу берется гидродинамическая модель, являющаяся обобщением модели Пэйна на случай произвольного уравнения состояния

, замыкающего систему уравнений:

dp / dt + d(pv) / dx = f0 d(pv) / dt + d(pv2 + P{p)) /дх = /г.

Здесь

P = P(p)

есть замыкающее систему уравнение состояния (зависимость давления от плотности), f0 - возможные источники или стоки «массы» (въезжающие на дорогу автомобили из не учитываемых явно элементов уличной сети, останавливающиеся или начинающие

движение автомобили и т.п.), f\ учитывает импульс сил, действующих на систему.

Далее проводилось обобщение гидродинамических моделей движения АТС, описанных в главе 1, с помощью алгоритма построения адекватного реальным транспортным потокам уравнения состояния, определяемого по экспериментальным данным (иногда с использованием параметрических решений модельных уравнений).

Исследовался вид уравнения состояния Р = Р(р), полученного из экспериментально наблюдаемого вида фундаментальной диаграммы Q{p) и замыкающего систему модельных уравнений, и доказывалось, что им полностью определяются все свойства данной феноменологической модели.

Разработан алгоритм формирования систем уравнений граничных условий в точках ветвления графа транспортной сети (во внутренних узлах или на перекрестках) для замыкания краевых условий на всем графе транспортной сети.

Число граничных условий на свободных концах ветвей графа дорожной сети зависит от знаков собственных чисел матрицы Яко-

би Л,, исследуемой системы уравнений. Их количество на

входах может быть равным двум при положительных Л,, Я^ > 0 ?

13

что полностью определяет параметры такого узла, одному при Л1>0,Л2<0 или нулю при отрицательных Л < 0. На выходах их число может быть равным нулю при положительных Л,, ^ > 0, единице при Л1>0,Я2<0 или двум при отрицательных Лу, Лз <0.

В соответствии с этим, на входах-выходах из дорожной сети в качестве граничных условий могут быть заданы как функции времени значения интенсивности потока автомобилей 6(0 или величина плотности потока p(t) (при \ > 0, < 0)? ддЯ расчета таких узлов в качестве второго уравнения привлекается одно из условий совместности вдоль идущих внутрь области интегрирования характеристик. Если необходимо задавать два граничных условия обе эти переменные задаются одновременно. Также возможна ситуация, когда граничные узлы рассчитываются через значения во внутренних точках дороги, тогда задавать граничные условия не требуется. На выходах иногда используют неотражающие граничные условия - нулевые производные:

(dß/ao = o, (öv/ar) = o,

что, вообще говоря, является корректным лишь при положительных Л»> 0.

Помимо граничных условий для исходной системы уравнений необходимо задать также некоторые начальные условия:

р{х, 0) = р0 (х), v(x, 0) = у0 (х)

В точках ветвления графа (во внутренних узлах или на перекрестках) необходимо также учитывать, что постановка граничных условий существенно зависит от организации движения (учитывается ли многополосное движение на дороге или рассматривается осредненное по направлению движение, учитывается ли наличие светофоров или рассматриваются более длительные временные масштабы и т.д.).

В главе 3 приводится программный комплекс, структурная схема организации работы и взаимодействия модулей которо-гопредставлена на рис. 1.

Рис. 1. Структура программного комплекса для моделирования дорожного движения.

Глава 4 посвящена численной реализация модели и описанию результатов расчётов. Трудность реализации предлагаемой модели связана, прежде всего, со сложной структурой графа уличной сети, значительной неопределенностью определяющих параметров, констант "уравнения состояния" и процессов регулирования (многопараметричность задач), поэтому полномасштабная их реализация требует значительных вычислительных ресурсов и усилий по идентификации определяющих параметров ("калибровка модели"). Структура искомого решения в таких системах может иметь очень сложный характер из-за взаимодействия многочисленных волн разгона - торможения друг с другом и с узлами графа, в том числе иметь разрывный характер. Это требует специальных исследований и предъявляет очень жесткие требования к выбору численных методов, пригодных для решения данного класса задач.

Исследуемая математическая модель была реализована в виде комплекса программ, представленного в главе 3, с использованием

высокоточных численных методов и алгоритмов и протестирована на ряде задач.

Определяющими функционирование описанной выше динамической модели уличного движения параметрами, прежде всего, являются характеристики графа уличной сети и уравнения состояния Р — Р(р). Для оценки влияния неопределенности на их выбор (по имеющимся в литературе экспериментальным данным) были проведены тестовые расчеты автомобильного движения. Они примерно соответствовали условиям натурных измерений. Использовались уравнения состояния, полученные на основании опубликованных ранее экспериментальных данных. По представленным в этих работах данным на входе (без учета участников движения с поперечных автодорог) были проведены расчеты и получены результаты, качественно сопоставимые с экспериментальными данными на выходном измерительном пункте, представленные на рис. 2.

Была проведена проверка работоспособности исследуемой модели на реальных дорожных данных. В качестве примера транспортной сети использовалась одна из наиболее загруженных магистралей США - автострадау 1-80 в районе залива Сан-Франциско. Чтобы проверить правильность работы исследуемой модели, выбирался день, когда по данным системы PeMS (http://pems.eecs.berkelev.edu) количество неисправных датчиков было минимальным, а качество измерений, соответственно, наилучшим. Примером такого дня может служить суббота, 9 мая 2009 года, как прототип среднестатистической субботы на западном направлении автострады 1-80. В том, что исследуемая модель хорошо воспроизводит реальную ситуацию на дороге, имевшую место 9-го мая 2009 года, можно убедиться, глядя на сравнительные графики зависимости средней по количеству полос интенсивности транспортного потока от времени (в АТС/км) для измерений и расчетов, где значения берутся с интервалом в 5 минут, приведённые на рис. 2.

Рис. 2. Синими точками показаны зависимости интенсивности транспортного потока от его плотности, полученные в различные моменты времени. Красными точками показаны те же зависимости для участка дороги, на котором реализуется свободный («сверхзвуковой») поток. Черные линии - характеристики первого семейства, фиолетовые линии -ударные адиабаты.

Рис.3. Сравнительные графики зависимости средней по количеству полос интенсивности транспортного потока от времени (АТС/км) для измерений (красные крестики) и расчетов (голубая кривая).

Также для проверки работоспособности разработанной вычислительной модели на разветвленной транспортной сети были сделаны численные расчеты поведения транспортной системы города Москвы внутри графа Садового кольца имеющего 105 узлов и 212 ребер. В начальный момент времени на входах на Садовое кольцо задавались постоянные значения потоков, полученные из данных экспериментальных замеров, сделанных в 2005 г. в центральной части г. Москвы, на выходах задавались неотражающие граничные условия. В результате расчетов были получены стационарные распределения потоков и скоростей движения автомобилей за трехчасовой интервал с момента начала движения. Затем граф данной транспортной системы перестраивался так, чтобы движе-

ние по Садовому кольцу становилось односторонним - против часовой стрелки, и расчет проводился заново, стартуя с аналогичных исходных данных по значениям транспортных потоков на входах в транспортную сеть. В результате был получен эффект увеличения пропускной способности транспортной сети на 30%, что может быть вполне объяснимо, если исходить из того, что ширина дорог выросла в два раза при том, что средний пробег между любыми двумя точками увеличился меньше, чем вдвое, из-за хорошей связности графа транспортной сети внутри Садового кольца. Результаты рассчитанных значений потоков [АТС/с] приведены на рис. 4.

Рис. 4. Результаты рассчитанных значений потоков [АТС/с] на Садовом кольце г. Москвы: слева - для двустороннего движения; справа - для одностороннего.

В заключении приведены основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Проведено обобщение макроскопических гидродинамических моделей, описывающих автомобильное движение, с помощью алгоритма построения адекватного действительности уравнения состояния, определяемого по экспериментальным измерениям (возможно, с использованием параметрических решений модельных уравнений).

2. Доказано, что именно вид уравнения состояния, замыкающего систему модельных уравнений и полученного из экспериментально наблюдаемого вида фундаментальной диаграммы -зависимости интенсивности транспортного потока от его плотности, полностью определяет все свойства исследуемой феноменологической модели.

3. Построен универсальный алгоритм формирования систем уравнений, необходимых для постановки граничных условий и замыкания краевых условий на всем графе транспортной сети в точках ветвления графа транспортной сети (во внутренних узлах или на перекрестках). Полученные с учетом организации дорожного движения системы уравнений в узлах графа транспортной сети обеспечивают сквозную связь рассчитываемых переменных на всех его ребрах.

4. На основе разработанной вычислительной модели реализованы в виде комплекса программ эффективные высокоточные численные алгоритмы решения задач моделирования динамики транспортных потоков для транспортных сетей мегаполисов.

5. Проверена работоспособность комплекса программ на реальных дорожных данных. В качестве примера транспортной сети использовалась одна из наиболее загруженных магистралей США - автострада 1-80 в районе залива Сан-Франциско. Полученные результаты показали, что разработанная модель хорошо воспроизводит реальную ситуацию на дороге.

6. С использованием разработанного программного комплекса впервые выполнены численные расчеты поведения транс-

портной системы города Москвы внутри графа Садового кольца при изменении организации движения по Садовому кольцу с двухстороннего на одностороннее - против часовой стрелки.

Дальнейшее развитие данной работы подразумевает решение задач оптимизации и управления транспортными потоками через адаптивное регулирование светофоров, расположенных в узлах графа исследуемой транспортной сети.

Публикации автора по теме диссертации

1. Морозов И.И. Моделирование электрических энергосетей, поиск установившегося режима, определение управляющих воздействий // Труды 50-й научной конференции МФТИ, Часть VII, Том 2 / МФТИ - М.-Долгопрудный, 2007,- С. 135-136.

2. Морозов И.И. Холодов Я.А. Моделирование режимов глобальных электрических сетей // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО,- Санкт-Петербург, 2008,- №47,-С. 170-178.

3. Морозов И.И., Холодов Я.А. Моделирование динамики транспортных потоков // Труды 51-й научной конференции МФТИ, Часть VII, Том 2 / МФТИ - М.-Долгопрудный, 2008,-С. 128-129.

4. А.К. Бордонос, Я.А. Холодов, A.C. Холодов, И.И. Морозов. Численное моделирование глобальных энергетических сетей. // Математическое моделирование.- 2009, Т 21, № 6,-С. 3-16.

5. И.И. Морозов, .Я.А. Холодов, Д.А. Крылов, О.В. Геллер. Моделирование режимов глобальных электроэнергетических систем // Труды МФТИ.-2010,- Т. 2. № 3(7)-. С. 46-52.

6. Я.А. Холодов, A.C. Холодов, A.B. Гасников, И.И. Морозов, В.Н. Тарасов. Моделирование транспортных потоков - актуальные проблемы и перспективы их решения // Труды МФТИ,- 2010- Т. 2. № 4(8).- С. 64-74.

Морозов Иван Игоревич

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ ПОТОКОВ НА ОСНОВЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 22.11.2011 Формат 60 ' 84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж _Ю0_ экз. Заказ № 132. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

Актуальность работы.:.

Цели настоящей работы.

Научная новизна.

Научная и практическая ценность.

1. ОБЗОР МАКРОСКОПИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА.

1.1 Модель Лайтхилла - Уизема - Ричардса (LWR).

1.2 Модель Танака.

1.3 Модель Уизема.

1.4 Модель Пэйна и её обобщения.

1.5 Модель Эйва - Раскла.

1.6 Модель Чзана.

1.7 Модели Сиебель-Маузера.

1.8 Практические приложения моделей.

2. СЕТЕВАЯ МОДЕЛЬ ИНТЕНСИВНОГО ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ В МЕГАПОЛИСЕ.;.

2.1. Система уравнений автомобильного движения на ребре графа транспортной сети

2.2. Система уравнений автомобильного движения в узлах графа транспортной сети

3. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС.

3.1. Базовые интерфейсы namespace trafficsdk.

3.2. Работа с топологией.

3.3. Интерфейсы хранения данных namespacedata.

3.4. Модели трафика.

4. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ.

4.1. Численная реализация модели.

4.2. Результаты расчетов.

В 50-ые годы прошлого века наблюдалось бурное развитие газовой динамики (обобщенные решения законов сохранения, устойчивые разностные схемы расчета решений). Тогда же появились первые макроскопические (гидродинамические) модели, в которых транспортный поток уподобляется потоку "мотивированной" сжимаемой жидкости (М. Лайтхилл и Дж. Уизем, П. Ричарде), и первые микроскопические модели (следования за лидером), в которых явно выписывается уравнение движения каждого автомобиля (А. Рёшель, Л. Пайпс и др.). В модели Лайтхилла - Уизема (- Ричардса) (1955), транспортный поток уподобляется потоку сжимаемой жидкости, и описывается законом сохранения количества (погонной плотности) автомобилей. При этом в модели постулируется существование функциональной зависимости (уравнения состояния) между величиной потока автомобилей (ско-рость*плотность) и плотностью. Эту зависимость часто называют фундаментальной диаграммой.

В последующие годы класс микро и макро моделей был значительно расширен. В современном макроскопическом подходе (А. Эйв и М. Раскл, 2000) транспортный поток часто описывается нелинейной системой гипербо- • лических уравнений (для плотности и скорости потока) с диффузией (X. Пэйн, Р. Кюне, Б. Кернер и П. Конхойзер). При этом уравнение состояния входит во второе уравнение этой системы, как стремление водителей двигаться с желаемой скоростью.

В современном микроскопическом подходе преобладают модели типа "разумного водителя", в которых ускорение автомобиля описывается некоторой функцией от скорости этого автомобиля, расстояния до впереди идущего автомобиля (лидера) и скорости относительно лидера (М. Трайбер, 1999). При этом в таких моделях и время может течь дискретно, и сама динамика движения автомобилей может быть стохастической (марковской). Как правило, тогда такие модели называют - моделями клеточных автоматов. В приложении М.Л. Бланка продемонстрирован один из способов того, как с помощью простейших моделей клеточных автоматов можно получать (математически строго) правдоподобные макроскопические уравнения состояния транспортного потока (например, треугольную фундаментальную диаграмму).

Продолжая аналогию с газовой динамикой, И. Пригожин полвека назад (а затем С. Павери-Фонтана, Д. Хельбинг и др.) предложил описывать транспортный поток кинетическим уравнением (типа Больцмана с "интегралом взаимодействия автомобилей" вместо "интеграла столкновения частиц газа"). При таком подходе макроскопическая модель получается из кинетической подобно тому, как система уравнений Эйлера получается из уравнения Больцмана. Отметим, в виду вышесказанного, что задача математически строгого обоснования кинетической модели, исходя из микроскопической, также как и задача обоснования макроскопической модели, исходя из кинетической - является открытой. Более того, в режимах, соответствующих "фазовому пере- ~ ходу" в транспортном потоке, такое обоснование, по-видимому, принципиально не возможно: нельзя осуществить соответствующее смасштабирова-ние, нельзя перейти к динамике средних, нельзя пользоваться эргодичностью системы (инвариантная мера не единственна), не ясно как обрывать (замыкать) моментную цепочку зацепляющихся уравнений. В.таких режимах, можно лишь нестрого говорить о "похожести" моделей.

Несмотря на то, что с момента появления первых фундаментальных работ прошло более полувека, по мнению ряда известных специалистов в области математического моделирования дорожного движения (К. Нагель, X. Махмасани, М. Шрекенберг и др.), проблема образования предзаторных и заторных ситуаций еще до конца не изучена (и сродни проблеме описания турбулентных течений). Используя терминологию, предложенную Б.С. Кернером, можно сказать, что на данный момент нет общепринятого подхода, описывающего поведение движения автотранспорта в области синхронизированного потока. Иначе говоря, если автомобильный поток уподобляется жидкости, то наиболее сложная для моделирования ситуация - это "замерзающая жидкость". Подтверждением вышесказанному может служить тот факт, что разные коллективы, занимающиеся моделированием транспортных потоков, как правило, используют разные модели: начиная от модели Лайтхилла - Уизема (А.Б. Куржанский и др.), заканчивая моделями, в которых каждый водитель описывается своим вариационным принципом (И.А. Лубашевский и др.). Важным атрибутом многих современных зарубежных работ, в которых предлагаются математические модели транспортного потока, является проверка предложенных моделей на возможность описания ими трех фаз Кернера транспортного потока, наблюдаемых в многочисленных эмпирических (измеренных) данных.

Математическая теория управления транспортными потоками, как уже' упоминалось выше, сейчас активно развивается в работах калифорнийской школы, возглавляемой П.Варайя и А.Б. Куржанским. Исходя из модели клеточных автоматов К. Даганзо (1994) = схема Годунова + модель Лайтхилла -Уизема + треугольная фундаментальная диаграмма, предлагается способ оптимального управления светофорами и въездами на магистралях в Калифорнии (http://pems.eecs.berkelev.eduy Здесь стоит обратить внимание на удачную соизмеримость грубости выбранной модели, качества имеющихся данных и простоты работы с этой моделью.

Из-за сильной неустойчивости решений уравнений (при достаточно больших плотностях), описывающих транспортные потоки, задача получения достоверного прогноза загрузки транспортной сети по имеющимся данным на час вперед сродни задачи получения достоверного прогноза погоды на неделю вперед. При этом вычислительные мощности современных высокопроизводительных кластеров (триллион и выше операций типа умножения чисел с плавающей точкой в секунду) позволяют просчитывать реальную ситуацию по Москве (в которой, напомним, порядка трех миллионов автомобилей) со значительным опережением реального времени. Другими словами, основной проблемой при моделировании транспортных потоков является не ограничение по вычислительным мощностям (ресурсам памяти), а большая чувствительность описываемой реальной транспортной системы к входным данным (характеристики источников и стоков автомобилей) и не возможность собрать достаточно полную информацию о входных данных.

Сегодня, популярный формат данных о транспортной системе в виде ОРБ-треков автомобилей позволяет контролировать (и тем самым, постоянно уточнять параметры, рассмотренных моделей и некоторых их важных обобщений.

Имея информацию о том, как распределяются потоки, можно получать оценки матриц перемешивания в узлах графа транспортной сети, тем самым * замыкать целостную модель. К сожалению, такой способ также остается 4. крайне чувствительным к точности (полноте) входных данных.

Цели настоящей работы

Целью данной работы является обобщение макроскопических гидроди- . намических моделей, описывающих автомобильное движение, с помощью алгоритма построения адекватного реальным наблюдаемым условиям урав- -нения состояния, определяемого по экспериментальным данным (возможно, с использованием параметрических решений модельных уравнений) Помимо достижения этой цели необходимо решение следующих задач:

• расчет динамики транспортной системы крупного мегаполиса на основании предложенных обобщённых моделей, использования высокоточных численных методов и реализации их в виде комплекса программ;

• всестороннее тестирование программного комплекса и его апробация на прикладных задачах;

• разработка удобного интерфейса для представления и визуализации результатов расчетов;

• уточнение и развитие известных математических моделей транспортных потоков и соответствующих численных методов с целью повышения их эффективности. При этом корректировке подлежит не только техническая сторона моделирования, но и общий подход к нему, а состав и структура разрабатываемого программного обеспечения должны быть детально проанализированы с целью возможности его дальнейшего развития.

Научная новизна

Для гидродинамической модели, описывающей автомобильное движение, построен алгоритм получения адекватного реальным транспортным потокам уравнения состояния, определяемого по экспериментальным данным (иногда с использованием параметрических решений модельных уравнений).

Доказано, что именно вид уравнения состояния, замыкающего систему модельных уравнений и полученного из экспериментально наблюдаемого* вида фундаментальной диаграммы, - зависимости интенсивности транспортного потока от его плотности - полностью определяет все свойства исследуе-' мой феноменологической-модели.

Построен универсальный алгоритм формирования систем уравнений/* граничных условий в точках ветвления графа транспортной сети (во внутренних узлах или на перекрестках) и замыкания краевых условий на всем графе транспортной сети. Полученные с учетом организации дорожного движения системы уравнений в узлах графа транспортной сети обеспечивают сквозную связь рассчитываемых переменных на всех его ребрах.

Научная и практическая ценность

На основе разработанной вычислительной модели реализованы в виде комплекса программ эффективные высокоточные численные алгоритмы решения задач моделирования динамики транспортных потоков для транспортных сетей мегаполисов.

Проверена работоспособность программного комплекса на реальных дорожных данных. В качестве примера транспортной сети использовалась одна из наиболее загруженных магистралей США - автострада 1-80 в районе залива Сан-Франциско. Для этого выбирался день, когда по данным системы PeMS (www.openstreetmap.org) количество неисправных датчиков было минимальным, а качество измерений, соответственно, наилучшим. Полученные результаты показали, что разработанная модель хорошо воспроизводит реальную ситуацию на дороге.

На основе разработанного комплекса программ впервые выполнены численные расчеты динамики транспортных потоков города Москвы внутри графа Садового кольца, при изменении организации движения транспорта по Садовому кольцу с двухстороннего на одностороннее - против часовой стрелки. Проведенные расчеты показали, что наблюдается эффект увеличения пропускной способности транспортной сети внутри графа Садового кольца на 30%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате данной работы проведено обобщение макроскопических гидродинамических моделей, описывающих автомобильное движение, с помощью алгоритма построения адекватного действительности уравнения состояния, определяемого по экспериментальным измерениям (возможно, с использованием параметрических решений модельных уравнений).

Доказано, что именно вид уравнения состояния, замыкающего систему модельных уравнений и полученного из экспериментально наблюдаемого вида фундаментальной диаграммы - зависимости интенсивности транспортного потока от его плотности, полностью определяет все свойства исследуемой феноменологической модели.

Построен универсальный алгоритм формирования систем уравнений, необходимых для постановки граничных условий и замыкания краевых условий на всем графе транспортной сети в точках ветвления графа транспортной сети (во внутренних узлах или на перекрестках). Полученные с учетом организации дорожного движения системы уравнений в узлах графа транспортной сети обеспечивают сквозную связь рассчитываемых переменных на всех его ребрах.

На основе разработанной вычислительной модели реализованы в виде комплекса программ эффективные высокоточные численные алгоритмы решения задач моделирования динамики транспортных потоков для транспортных сетей мегаполисов.

Проверена работоспособность комплекса программ на реальных дорожных данных. В качестве примера транспортной сети использовалась одна из наиболее загруженных магистралей США - автострада 1-80 в районе залива Сан-Франциско. Полученные результаты показали, что разработанная модель хорошо воспроизводит реальную ситуацию на дороге.

С использованием разработанного программного комплекса впервые выполнены численные расчеты поведения транспортной системы города

101

Москвы внутри графа Садового кольца при изменении организации движения по Садовому кольцу с двухстороннего на одностороннее - против часовой стрелки.

Дальнейшее развитие данной работы подразумевает решение задач оптимизации и управления транспортными потоками через адаптивное регулирование светофоров, расположенных в узлах графа исследуемой транспортной сети.

1. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Физматлит, 2008.

2. Курант Г., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Издательство иностранной литературы, 1950.

3. Lighthill M.J., Whitham G.B. On kinematic waves: II. Theory of traffic flow on long crowded roads // Proc. R. Soc. London, Ser. A. V. 229. 1955. P. 281— 345.

4. Richards P.I. Shock Waves on the Highway // Oper. Res, V. 4. 1956. P. 4251.

5. УиземДж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

6. Traffic flow theory: A state-of-the-art report. Editors N.H. Gartner, C.J. Messer, A.K. Rathi. Washington DC: Transportation Research Board, 2001.

7. Луканин B.H., Буслаев А.П., Трофимов Ю.В., Яшина М.В. Автотранспортные потоки и окружающая среда. М.: ИНФРА-М, Ч. 1, 2. 1998, 2001.

8. Kerner B.S. Introduction to modern traffic flow theory and control. The long road to three phase traffic theory. Springer, 2009.

9. Лаке П.Д. Гиперболические дифференциальные уравнения в частных производных. Москва-Ижевск: НИЦ "РХД", ИКИ, 2010.

10. Ballou D.P. Solution to nonlinear hyperbolic Cauchy problems without convexity condition // Trans. Amer. Math. Soc., V. 152. № 2. 1970. P. 441-460.

11. Олейник O.A. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений//УМН, Т.-12. № 3(75). 1957. С. 3-73.

12. Hopf Е. The partial differential equation и, +uux = /ли^ II Comm. Pure Appl. Math, V. 3. № 3. 1950. P. 201-230.

13. Олейник O.A. Об одном классе разрывных решений квазилинейных уравнений первого порядка // Научные доклада высшей школы. Физико-математические науки, № 3. 1958. С. 91-98.

14. Олейник О.А. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения // УМН, 1959. Т. 14. № 2(86). С. 165-170.

15. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // УМН, 1959. Т. 14. № 2(86,). С. 87-158.

16. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, М.: Наука, 1978.

17. Горицкий А.Ю., Кружков С.Н., Чечкин Г. А. Уравнения с частными производными первого порядка (учебное пособие). М.: Мехмат, 1999.

18. Гасников A.B. Сравнение определений обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения. Препринт. М.: ВЦ РАН, 2006.

19. Иносэ X., Хамада Т. Управление дорожным движением. М. Транспорт, 1983.

20. Бабков В.Ф. Дорожные условия и безопасность дорожного движения. М.: Транспорт, 1982.

21. Kumei S., Bluman G.W. When nonlinear differential equations are equivalent to linear differential equations // SIAM J. Appl. Math., V. 42. № 5. 1982. P. 1157-1173.

22. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.

23. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1993.

24. Волосов К.А., Вдовина Е.К., Волосова А.К. Новые точные решения уравнений с частными производными параболического типа. Учебное пособие-М.:МИИТ, 2010.

25. Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными // Матем. сб., 1970. Т. 81(123). № 2. С. 228255.

26. Кружков С.Н. Нелинейные уравнения с частными производными (Лекции). Часть 2. Уравнения первого порядка. М.: Изд-во МГУ, 1970.

27. Serre D. System of conservation laws: A challenge for the XXIst century, in: B. Enquist, W. Schmid (Eds.), Mathematics Unlimited 2001 and Beyond: Springer-Verlag, Berlin, New York, 2001. P. 1061-1080.

28. Лионе П.-Л. (Lions P.-L.) О некоторых интригующих проблемах нелинейных уравнений в-частных производных, в книге: "Математика: границы и перспективы". М.: ФАЗИС, 2005. С. 193-211.

29. Тупчиев В.А. Обобщенные решения законов сохранения. М.: Наука, 2006.

30. Эванс Л.К. Методы слабой сходимости для нелинейных уравнений с частными производными. Новосибирск, 2006.

31. Holden H., Risebro N.H. Front tracking for hyperbolic conservation laws. Springer, 2007.

32. Nonlinear conservation laws and applications. University of Minnesota, July 13-31. 2009. http://www.ima.umn.edu/2008-2009/SP7.1331.09/index.html#schedule

33. Dafermos C.M. Hyperbolic conservation laws in continuum physics. Springer, 2010. (в издательстве РХД готовится перевод этой книги на русский язык)

34. Галкин В.А. Анализ математических моделей: системы законов сохранения, уравнения Больцмана и Смолуховского. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.

35. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уралъцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М.: Наука, 1967.

36. Крылов Н.В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениях в пространствах Гёльдера, Новосибирск: Научная книга, 1998.

37. Милютин A.A., Дмитрук A.B., Осмоловский H.H. Принцип максимума в оптимальном управлении. М.: МГУ, Мехмат. 2004. http://www.milyutin.ru/papers.html

38. Оптимальное управление. Под ред. Н.П. Осмоловского и В.М. Тихомирова. М.: МЦНМО, 2009.

39. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М: Наука, 1974.

40. Эванс JJ.K. Уравнения с частными производными. Новосибирск: Университетская серия, Т. 7, 2003.

41. Демьянов В.Ф. Минимакс, дифференцируемость по направлениям. Ленинград: Издательство ЛГУ, 1974.

42. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных. Перспективы динамической оптимизации. Москва-Ижевск: ИКИ, 2003.

43. Магарил-Илъяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.:УРСС, 2003.

44. Пшеничный E.H. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

45. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений // ЖВМ и МФ, 1965. Т. 5. № з. с. 395-453. http://www.milyutin.ru/papers.html

46. Беллман Р., Калаба Р. Квазилианеризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968.

47. Пшеничный Б.Н., Сагайдак М.И. О диффернциальных играх с фиксированным временем // Кибернетика, Т. 2. 1970. С. 54-63.

48. Kolokoltsov V.N., Maslov V.P. Idempotent analysis and applications. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1997. (имеется схожая книга тех же авторов на русском языке (1994))

49. Litvinov G.L. Tropical mathematics, idempotent analysis, classical mechanics and geometry. AMS, Contemp. Math., 2010. arXiv:1005.1247vl (Семинар "Глобус", вып. 4, 2009)

50. Payne H.J. Models of freeway traffic and control, in: Simulation Council Proc. 28, Mathematical Models of Public Systems. Edited by G.A. Bekey. V. 1. 1971. P. 51-61.

51. Куликовский А.Г., Погорелое H.B., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физма-тлит, 2010.

52. Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике, М.: Бином, 2006.

53. Швецов В.И. Математическое моделирование транспортных потоков // Автоматика и телемеханика, № 11. 2003. С. 3-46.

54. Чарахчъян А.А. Об алгоритмах расчета распада разрыва для схемы С.К. Годунова // ЖВМ и МФ, Т. 40. № 5. 2000. С. 782-796.

55. Helbing D. Traffic and related self-driven many particle systems // Reviews of modern physics, V. 73. № 4. 2001. P. 1067-1141. arXiv:cond-mat/0012229

56. Daganzo C.F. Fundamentals of transportation and traffic operations. New-York: Elsevier Science inc., 1997.

57. Aw A., Rascle M. Resurrection of "second order" models of traffic flow // SI-AM Journal of Applied Mathematics, V. 60. 2000. P. 916-938.

58. Greenberg J.M. Extensions and amplifications of a traffic model of Aw and Rascle I ISIAM J. Appl. Math., V. 62. № 3. 2001. P. 729-745.

59. Zhang H.M. A non-equilibrium traffic model devoid of gas-like behavior // Transp. Res. В, V. 36. 2002. P. 275-290.

60. Siebel F., Mauser W. Synchronized flow and wide moving jams from balanced vehicular traffic I I Physical Review E, V. 73 № 6 (2006), 066108.

61. Helbing D. Improved fluid dynamic model for vehicular traffic // Phys. Rev. E, V. 51. 1995. P. 3163-3169.

62. Ладыженская O.A. Шестая проблема тысячелетия: уравнение Навье -Стокса, существование и гладкость // УМН, 2003. Т. 58. №. 2(350). С. 45-78.

63. Юдович В.И. Глобальная разрешимость — против коллапса в динамике несжимаемой жидкости, в книге: "Математические события XX века". М.: Фазис, 2003. С. 519-548.

64. Проблемы турбулентности. Сборник работ. Москва-Ижевск: ИКИ; НИЦ "РХД", 2006.

65. Prigogine /., Herman R. Kinetic theory of vehicular traffic. N.Y.: Elsevier, 1971.г

66. Кац M Вероятность и смежные вопросы в физике. М.: Мир, 1965.

67. Козлов В.В. Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая механика. Москва-Ижевск: НИЦ "РХД", ИКИ, 2008.

68. Веденяпин В.В. Кинетическая теория по Максвеллу, Больцману и Власову. М.: Изд-во МГОУ, 2005.

69. Garavello М., Piccoli В. Traffic Flow on Networks. Volume 1 of AIMS Series on Applied Mathematics. AIMS, 2006.

70. Daganzo C.F. The cell transmission model: A dynamic representation of highway traffic consistent with the hydrodynamic theory // Transp. Res. В., V. 28. №4. 1994. P. 269-287.

71. Daganzo C.F. The cell transmission model, Part II: Network traffic // Transp. Res. В., V. 29. № 2. 1995. P. 79-93.

72. Буслаев А.П., Таташев А.Г., Яшина M.B. О свойствах решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений на графах // Владикавказкий матем. жур., ВНЦ РАН, Т. 6. № 4. 2004. С. 4-18.

73. Назаров А.И. Об устойчивости стационарных режимов в одной системе ОДУ, возникающей при моделировании автотранспортных потоков // Вестник СПбГУ, серия 1. Математика, Механика, Астрономия. № 3. 2006. С. 35-43.

74. Lubashevsky I., Kalenkov S., Mahnke R. Towards a variational principle for motivated vehicle motion // Phys. Rev. E, V. 65. 2002. P. 1-5. "

75. Lubashevsky I., Wagner P., Mahnke R. Towards the fundamentals of car following theory // e-print arXiv:cond-mat/0212382v2, 2003.

76. Kholodov A. S., Kholo'dov Y. A. Computational models on graphs for the nonlinear hyperbolic system of equations // Proceedings of ASME 2004 PVP Conference. — 2004. — V. 476. — P. 161-167.

77. Kerner B.S. and H. Rehborn. Experimental features and characteristics of traffic jams. Phys. Rev. E 53, No 2 (1996).

78. Kerner B.S. and H. Rehborn. Experimental properties of complexity in traffic flow. Phys. Rev. E 53,"No 5 (1996).

79. Kerner B.S. and H. Rehborn. Experimental Properties of Phase Transitions in Traffic Flow. Phys. Rev. Let. 17, v79, No 20 (1997), p.p. 4030-4033.

80. Kerner B.S. Experimental Features of Self-Organization in Traffic Flow. Phys. Rev. Let. 17, v81, No 20 (1998).

81. Zhang H.M. Anisotropic property revisited—does it hold in multi-lane traffic? // Transportation Research Part B: Methodological Volume 37, Issue 6, July 2003, Pages 561-577.

82. Годунов C.K., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Издательство «Наука» г. Москва, 1998 г. 280 с.

83. Холодов А.С., Холодов Я.А. О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа. // Журнал выч. математики и мат. физики, 2006, т. 46, № 9, 1560-1588.

84. Florian Siebel, Wolfram Mauser. On the Fundamental Diagram of Traffic Flow. SIAM J. Appl. Math. 66 (2006), pp. 1150-1162.

85. Седов JI.H. Методы подобия и размерности в механике // Москва: Наука, Гл. ред. Физ.-Мат. Лит., 1987, 432 с.

86. Friedrichs К.О., Hyers D.H. Symmetric hyperbolic linear differential equations. // Communications on Pure and Applied Mathematics, 1954, V. 7.

87. Courant R., Isacson E., Rees M. On the solutions of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences. // Communications on Pure and Applied Mathematics, 1952, V. 5, No. 3, 243-255.

88. Годунов C.K. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. // Мат. сб., 1959, т. 47(89), № 3, 271-306.

89. Lax P.D. Weak solution nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations. // Communications on Pure and Applied Mathematics, 1954, V. 7, No. 1,159-193.

90. Магомедов K.M., Холодов А.С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений. // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физика, 1969, т. 9, № 2, 373-386.

91. Холодов А. С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа. // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физика, 1978. т. 18, № 6,1476-1492.

92. Холодов А.С. О построении разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гиперболического типа. // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физика, 1980, т. 20, № 6, 1601-1620.и'

93. Федоренко Р.П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений. // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физика, 1962, т. 2, № 6. 1122-1128.

94. Петров И.Б., Холодов А.С. О регуляризации разрывных численных решений уравнений гиперболического типа // Ж. Вычисл. Матем. и Матем. Физика, 1984, т. 24, № 8, 1172-1188.

95. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation la\ys. /¿Journal of Computational Physics, 1983, V. 49, No. 3,357-393.

96. Холодов А. С. Сеточно-характеристические численные методы для. мно7 гомерных задач механики сплошных сред // Вопросы кибернетики M::f 1987, НСК АН СССР, № 15, 140-163. ' , f

97. Холодов А.С. Разностные схемы с положительной аппроксимацией для многомерных систем уравнений гиперболического типа на нерегулярных сетках. // В книге: Рациональное численное моделирование в нелинейной механике, Москва: Наука, 1990, 49-62.

98. Холодов А.С. Монотонные разностные схемы на нерегулярных сетках для эллиптических уравнений в области со многими несвязными границами. //Ж. Математическое Моделирование, 1991, т. 3, № 9, 104-113;

99. Холодов А.С. О мажорантных разностных схемах для уравнения параболического типа на неструктурированных сетках. // В книге: Математическое моделирование, Москва: Изд. МГУ, 1993,105-113.

100. Lax P.D., Wendroff В. System of Conservation Laws. // Communications on Pure and Applied Mathematics, 1960, V. 13,277.

101. Warming R.F., Beam'R.M, Upwind Second-Order Difference Schemes and Applications in Unsteady Aerodynamic Flow. // Proc. AIAA 2nd Comput. Fluid Dyn. conference, 1975, Hartford, Connecticut.

102. Русанов В.В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений. // Докл. АН СССР, 1968, т. 9, № 4, 85-97.