автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численно-аналитическое моделирование волновых полей в неоднородных средах

На правах рукописи

Фатьянов Алексей Геннадьевич

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск — 2005

Работа выполнена в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

Научный консультант:

член-корр. РАН, доктор физико-математических наук, профессор Михайленко Б.Г.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Крауклис П.В. доктор физико-математических наук, профессор Кузин В.И. член-корр. РАН, доктор физико-математических наук, профессор Смагин С.И.

Ведущая организация: Институт физики Земли РАН

Защита состоится ".5" " О^ТЯ'ЬрЯ 2005 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 при Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

Автореферат разослан "¿5"" аЛгЦСл А- 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

Сорокин С.Б.

МЛ-

АА11Ш

¿гчо

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Моделирование волновых полей - важная и актуальная задача не только в геофизике, но и других областях современной науки (оптика, акустика, и т.д.). Её актуальность определяется в значительной степени тем, что методы моделирования с использованием высокопроизводительных компьютеров часто оказываются единственным способом получения качественной информации об исследуемых явлениях, так как возможности теоретического и экспериментального изучения этих явлений ограничены методическими и техническими трудностями. Численное изучение природы регистрируемых волн и общих закономерностей формирования волнового поля в сложно построенных средах представляет несомненный научный интерес в связи со значительной математической сложностью аналитического исследования этих явлений. Совершенствование систем наблюдения и повышение детализации экспериментальной информации приводит к необходимости рассмотрения волновых полей с большей точностью и для веб более возрастающих времён и баз наблюдения. Это делает актуальной задачу дальнейшего развития методов моделирования волновых полей в сложно построенных средах. Диссертация посвящена разработке методов моделирования волновых полей для широкого класса геофизических сред, написанию комплекса программ и исследованию на этой основе физики распространения сейсмических волн в сложно построенных средах.

Цель работы:

- Разработка эффективного метода расчёта волновых полей в слоистых произвольных средах (упругие, неупругие, анизотропные, пористые и т.д.) для различных сосредоточенных и распределённых источников (тензор сейсмического момента, вертикальная сила и т.д.) не имеющего никаких ограничений вычислительного характера. Получение точных формул для расчёта однократно отражённых сферических вс<лн разного типа без использования асимптотических разложений.

- Развитие метода расчёта анизотропных неупругих волн. Построение модели среды с разномасштабной неоднородностью. Получение замкнутого уравнения для среднего значения сферического поля и разработка метода его решения.

- Разработка метода расчёта многомерных волновых полей для сред с произвольной геометрией. Получение аналитического решения в случае

рог 1 -ь.

•я^ьил»

. Ь IV А ччгг

произвольных криволинейных границ. Проведение моделирования сферических волновых полей в средах с шероховатыми границами.

- Численное решение обратной динамической задачи одновременного определения скорости и декремента поглощения акустических волн оптимизационным методом для модели Максвелла. Развитие устойчивого метода определения компонент точечного тензора сейсмического момента в слоистых средах при неизвестной форме сигнала в источнике.

- Разработка комплексов программ по численному, численно-аналитическому моделированию волновых полей для различных сред и источников и на этой основе проведение полномасштабных исследований волновых процессов в неоднородных средах.

Научная новизна. Разработаны и обоснованы эффективные методы моделирования волновых полей для сложно построенных по структуре и геометрии произвольных сред и источников и проведено полномасштабное исследование закономерностей формирования волнового поля.

Достоверность полученных результатов подтверждается теоретическим исследованием свойств предложенных алгоритмов, проведением многочисленных тестовых расчетов с применением мер контроля точности получаемых решений и хорошим согласованием результатов расчетов с имеющимися и полученным модельными решениями, экспериментальными и численными данными других авторов.

Научная и практическая ценность работы. Разработаны эффективные численно-аналитические методы моделирования волновых полей для сложно построенных сред с произвольными источниками, представляющие интерес в связи с решением актуальных задач обработки сейсмического материала, распространением волн от источников конечных размеров и дислокационного типа, описывающих реальный очаг землетрясения. Результаты настоящей работы могут быть использованы для численного моделирования волновых полей в средах произвольной геометрии, ! для оценки применимости альтернативных математических модней осреднения, их численных реализаций, оценки известных асимптотических приближений, для анализа известных практических экспериментов и планирования новых. Разработанные алгоритмы реализован^ в виде комплекса программ, предназначенного для численного моделирования волновых полей для широкого класса сред и источников и внедрены в Институте геофизики СО РАН, о также использовались и используются в ОАО

"Енисейгеофизика" г. Красноярск, НИРФИ г. Горький, Институте вулканологии г. Петропавловск-Камчатский.

Рассмотренные в диссертации задачи выполнялись в соответствии с планом научно-исследовательских работ ИВМиМГ СО РАН по темам: проект 1.3 ГНТП "Глобальные изменения природной среды и климата" ("Развитие теории и методики активного вибросейсмического мониторинга зон аккумуляции напряжений", 1991); Тема № 16 "Создание и разработка эффективных численных методов решения прямых динамических задач распространения упругих волн в сложно построенных упругих средах" (№ гос. регистрации 01.20.0004428); Проект РАН №16 (Программа 14) "Развитие численных методов и новых математических моделей в задачах геофизики"; Проект № 13.8 Программы Президиума РАН № 13 "Изменения окружающей среды и климата: природные катастрофы" (Разработка теоретических, методических и экспериментальных основ мониторинга вулканов с применением мощных вибросейсмических источников, 2003). Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проекты 96-05-65944, 96-05-65600, 03-05-64614, 03-05-64402, 03-0565292), индивидуальным грантом Сороса (1994).

На защиту выносятся:

полуаналитический метод расчёта волновых полей в слоистых произвольных средах (упругие, неупругие, анизотропные, пористые и т.д.) для различных сосредоточенных и распределённых источников (тензор сейсмического момента, вертикальная сила и т.д.), расчёт однократных и монотипных сферических волн без использования асимптотических разложений метод расчёта сейсмических волн в анизотропной неупругой среде, дисперсионные соотношения для анизотропных коэффициентов поглощения.

модель среды с разномасштабной неоднородностью, замкнутое уравнение для среднего сферического поля, разработка метода его решения

метод расчёта многомерных волновых полей для сред с произвольной геометрией, аналитическое решение в случае произвольных криволинейных границ, моделирование волновых полей в средах с шероховатыми границами

решение оптимизационным методом обратных задач одновременного определения скорости и декремента поглощения акустических волн для модели Максвелла, определение всех

компонент точечного тензора сейсмического момента в слоистых средах при неизвестной форме сигнала в источнике, устойчивость решения обратной задачи

комплексы программ по численно-аналитическому моделированию волновых полей для различных сред и источников, полномасштабное исследование волновых процессов в неоднородных средах

Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные её разделы докладывались на международных и всероссийских конференциях и семинарах, среди них: "Численные методы интерпретации сейсмических данных" (Суздаль, 1980), "Точные асимптотические и стохастические методы в геофизике" (Санкт-Петербург, 1981), "Модельная оптимизация в исследовательской геофизике" (Западный Берлин, 1991), "Математические методы в геофизике" (Новосибирск, 2003), "Международная конференция по вычислительной математике" (Новосибирск, 2004), "Вычислительные методы и решение оптимизационных задач" (Новосибирск, 2004), "The International symposium on mathematical modeling of dynamic processes in atmosphere, ocean, and solid Earth" (Novosibirsk, 2004), "International Workshop on Active Monitoring in the solid Earth Geophysics (IWAM04)" (Japan, 2004), а так же на семинарах Института Вычислительной Математики и Математической Геофизики СО РАН (рук. академик РАН A.C. Алексеев), Института Геофизики ÇO РАН (рук. академик РАН C.B. Гольдин), Института Физики Земли РАН (рук. член-корр. РАН A.B. Николаев), Санкт-Петербургского отделения Математического Института РАН (рук. проф. В.М. Бабич).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в работах [1-21] (полный перечень публикаций приводится в диссертации). В работах [3,5,8,9] диссертанту принадлежит постановка задачи и разработка метода решения, в работах [10-13] - участие в постановке задачи и применение полуаналитического метода к решению обратных задач оптимизационным методом. В работы [14,16,17] результаты автора вошли независимой частью.

Структура и объём диссертации) Текст диссертации включает введение, пять глав, заключение, акт о внедрении и список литературы из 169 наименований. Объём диссертации составляет 252 страницы, в том числе 68 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ, посвящённый моделированию волновых полей в сложно построенных средах. В настоящее время существует большое количество различных методов решения прямых динамических задач. Одним из наиболее популярных, является лучевой метод. Лучевой метод с учетом только нулевого члена лучевого ряда требует меньше вычислительных затрат чем другие методы. Однако асимптотические методы имеют ограниченную лучевыми представлениями область применимости. При этом развитие их на более сложные модели требует значительных усилий.

В начале 70-х годов в Вычислительном Центре СО РАН (в последствие институт Вычислительной Математики и Математической Геофизики) стали развиваться численно-аналитические методы решения задач сейсмики, основанные на расщеплении двумерных и трехмерных задач на серию независимых одномерных с помощью интегральных преобразований по горизонтальным координатам и с последующим решением их конечно-разностным методом. Применение этих методов показало, что для получения приемлемых по точности результатов при численной дискретизации необходимо брать не меньше 20 точек на минимальную длину волны для расчёта волновых полей на расстояния порядка 100 длин волн, что приводило к большим объёмам оперативной памяти. Применение интегрального преобразования Лагерра по времени с последующей дискретизацией пространственных переменных позволяет снизить вычислительные затраты (Б.Г. Михайленко, 1999). Однако уменьшение точности при расчёте сейсмических волновых полей на большие расстояния приводит к необходимости применения, например, конечно-разностных методов с высоким порядком аппроксимации.

В данной работе решение прямых динамических задач осуществляется путём соответствующих аналитических преобразований с последующей дифференциальной факторизацией, скалярной в случае одномерных сред и матричной в случае произвольной геометрии. Это позволяет проводить расчёты без потери точности на расстояния свыше тысячи длин волн для широкого класса геофизических сред. Кроме того, предлагаемые алгоритмы позволяют эффективно решать обратные динамические задачи оптимизационным методом. Во введении также сформулированы цели работы и дано краткое описание диссертации по главам.

В Главе 1 приводятся постановки прямых динамических задач в среде Больцмана, рассматриваемых в данной работе. Напряжения в модели Больцмана связаны с деформацией не только в данный момент времени I, но и во все предыдущие. Параметры Ламе Ли ц заменяются интегральными операторами А и М , действующими по правилу:

I I

Ах(0 = я*(0 - X | - Г)й?г, Мх(0 3 Мх(1) - м | х(г)/г(г - т)с1т.

Здесь X , ¡л - неупругие параметры среды, определяющие уровень поглощения энергии, g(t) - функции последействия,

характеризующие спектральный состав поглощения и удовлетворяющие следующим условиям:

- положительные непрерывные и монотонно убывающие при

/-►00 />->00 00 00

Я' < Л, м (г)Л < //.

о о

Математическое моделирование распространения волн в среде Больцмана сводится к решению соответствующих интегро-дифференциальных уравнений. Рассматриваются источники различных типов (направленная сила, "центр давления" и т.д.). Определение вектора смещения и, например, для задачи Лэмба в цилиндрической системе координат для ЯН волн сводится к нахождению единственной отличной от нуля компоненты из краевой задачи:

\ди и д . ди '«■ \,#и \ди и д . -ди 1, дг г дг г се дг * дг г дг г дг дг

5и~ ди, . ди. Л,,

1 "<'>/(/).

4/г с1г г

г=0

Здесь - интенсивность изменения источника по времени. Для

сред, параметры которых по переменной г меняются скачком, вводятся произвольные известные физические условия сопряжения на границе. Далее приводится метод решения задачи Лэмба для неоднородных неупругих сред в случае произвольной релаксационной модели поглощения. Исходные задачи с использованием экспоненциальности

функций последействия сводятся к дифференциальным уравнениям более высокого порядка.

В дальнейшем для решения задачи применяется преобразование Фурье-Бесселя. В итоге исходная задача сводится к однопараметрическому семейству краевых задач меньшей размерности, которые решаются конечно-разностными методами для различных значений параметра суммирования в формулах обращения преобразования Фурье-Бесселя. Исследуются вопросы сходимости и оценка точности алгоритма. Данный подход без принципиальных трудностей распространяется на все постановки главы 1. Однако для общей релаксационной модели он приводит к многослойным разностным схемам, что существенно затрудняет его реализацию и увеличивает объем вычислительной работы. Есть и принципиальные ограничения. Так, например, широко известная модель Гуревича не может быть сведена к дифференциальному уравнению. Значительно более эффективным оказался метод, основанный на использовании конечных интегральных преобразований по временной и пространственной переменным. Этот подход позволяет не только вычислять волновые поля на расстояниях, превышающих 1 ООО Л, но и решать искомую задачу не только с экспоненциальными, но и с произвольными функциями последействия.

В Главе 2 разработан полуаналитический метод решения прямых динамических задач для различных моделей слоистых сред и источников.

В § 2.1 выясняются возможности и условия применения конечных интегральных преобразований Фурье по t для решения задач из Главы 1. Показано на примере задачи (I), что при применении интегрального преобразования по времени внеинтегральные слагаемые исчезают при соответствующем выборе параметров и искомое решение можно получить в виде тригонометрического ряда по 1. В следующих параграфах после отделения пространственной и временной переменных получено двухпараметрическое семейство одномерных краевых задач для дискретного набора параметров разделения. В случае, когда параметры рассматриваемых сред сильно изменяются по переменной г (глубине), данные краевые задачи решаются численно. Интегро-интерполяционным методом строится трехточечная разностная схема со вторым порядком аппроксимации, дополненная известными условиями сопряжения в точках разрыва коэффициентов и точными соотношениями для не отражающей границы. Далее для нахождения решения используется метод прогонки. Получено условие устойчивости прогонки в терминах пространственного шага для 5Н и Р-БУ волн.

В § 2.4 описывается полуаналитический метод расчёта волновых полей. Исследование волновых полей в слоистых средах является объектом многочисленных исследований. Это обуславливается многими причинами. С точки зрения приложений многие практические ситуации можно достоверно моделировать слоистыми структурами. Слоистая среда, кроме того, может использоваться для тестирования и проверки схем решения прямых задач для сред сложной геометрии. Далее, появление все более высокопроизводительного компьютерного обеспечения позволяет решать обратные задачи оптимизационным методом для реальных баз наблюдений и частот. В настоящее время существует ряд методов расчета волновых полей в слоистых средах. Еще в 50-х годах прошлого века Г.И. Петрашень построил точное решение для слоисто-однородных моделей сред в замкнутом виде. Полученное в виде многомерных интегралов решение было исследовано асимптотическими методами. Сделано большое число физических выводов о протекании в них физических процессов. После стандартных процедур преобразования физических переменных по времени и пространству посредством преобразования Фурье и Бесселя (например, в предположении радиальной симметрии) уравнения динамической теории вязко упругости сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для набора дискретных частот и волновых чисел. Эти уравнения решаются в основном разновидностями матричного метода либо асимптотически. Широко распространён также "рефлективный' метод расчёта части волнового поля. Все эти методы имеют свою область применимости. В матричном методе, например, при расчёте волновых полей для высоких частот (тонких слоёв) происходит потеря точности. Для преодоления этого приходится рассматривать матрицы более высоких порядков, чем это необходимо по физической постановке задачи (Л. А. Молотков, 1984). Отметим, что эта проблема не решена принципиально (К. Аки, П. Ричарде). Асимптотические методы при всей их компактности и элегантности имеют ограниченную лучевыми представлениями область применимости. При этом развитие их на более сложные модели (например, с поглощением энергии) требует значительных усилий. Рефлективный метод позволяет надёжно рассчитывать только часть волнового поля, соответствующую, например, объёмным волнам. В диссертации предлагается алгоритм свободный от данных ограничений. Им можно рассчитывать полные волновые поля для слоисто однородных сред Больцмана с произвольными функциями последействия. Количество слоёв, их толщины, параметры среды,

частоты и время расчёта могут быть произвольными величинами. Проиллюстрируем основные этапы метода на примере задачи распространения Р волн. После применения интегральных преобразований она в каждом слое сводится к следующей краевой задаче:

<12У\> 2 / 2\ 2 , г,, ч

аг аг

Краевая задача (2) сведена к двум задачам Коши

— = -0(г)м>, (3)

аг аг

»и=-г(Ф)/т, =о, =у^ (4>

Уравнение Рикати из (3) допускает явное решение, что позволяет получить устойчивое аналитическое решение в произвольной точке слоистой среды. Соответствующим суммированием определяется решение в физической области. Данный метод разработан и реализован для произвольных сред и источников. При этом для большей физической наглядности и возможности выделения различных типов волн решение строится в потенциалах. Заметим, что в матричном методе нецелесообразен переход к потенциалам из за возникающих трудностей (К. Аки и П. Ричарде, 1983). В данном методе переход к потенциалам не только не усложняет задачу, но приводит к её значительному упрощению. В § 2.5 рассматриваются нестационарные волновые поля в анизотропных средах с поглощением энергии. В основу теории расчёта волн в анизотропных неупругих средах взяты определяющие соотношения V. Вольтерра (1912), учитывающие влияние упругого

последействия. А именно, анизотропные коэффициенты с заменяются интегральными операторами Сц :

I

Сцх = сих(0-сц (5)

-во

В практике оперируют с коэффициентами поглощения различных типов волн, декрементами затухания и другими аналогичными величинами. Поэтому для моделирования неупругих эффектов разработаны методы

определения су и по различным физическим параметрам

поглощения. Показано, что для замкнутого описания поглощения в

9

рамках линейной теории наследственности требуется ввести пять декрементов поглощения (рассмотрен случай трансверсально-изотропной среды).

А±/» V А±Я' д||5> \г> го = агс^с,,-с44)/(с„-с44). (6)

Введение поглощения в анизотропных средах, в первом приближении, можно осуществить следующим образом. Предположим, что декременты поглощения квазипродольных и квазипоперечных волн совпадают с декрементами продольных и поперечных волн:

АХ/> = А||/> = А0 Р = АР> А15 = А||5 = Агг О)

В этом случае (если нет других данных) для моделирования неупругих анизотропных волн можно использовать достоверные значения декрементов поглощения для упругих сред. Кроме того, в силу наибольшей общности модели с последействием можно добиться заранее заданных частотных зависимостей для разных углов падения.

Разработаны методы определения неупругих коэффициентов с для

широко распространённых моделей поглощения Максвелла, Гуревича, Дерягина и т.д.

В § 2.6 рассмотрены постановки задач и некоторые вопросы реализации полуаналитического метода в среде с гравитацией. В Сферической системе координат с началом в центре Земли рассматриваются уравнения упругих колебаний гравитирующего шара (М.С. Молоденский, 1989) с параметрами, имеющими произвольную зависимость от расстояния г до це|пра Земли. Для рассмотрения сейсмологического источника, описываемого произвольным точечным тензором сейсмического момента, вводятся в рассмотрение три вектора:

а^М^М^М^, а2={Мху,Муу,Мг'\, аг ={Мхг,М^,М„],

что позволяет рассмотреть силовой эквивалент такого источника:

Р=а1£(х)Я(у)д(2-с1)+а2Я(х)#(у)3(2-а)+а3б(х)Я(у)ё&-сГ) (8)

Далее решение искомой задачи в сферической системе координат находится полуаналитическим методом с использованием разложения по трём ортогональным векторным функциям.

Полуаналитический метод также разработан и применён для расчёта распространения гравитационных волн цунами в рамках модели Подьяпольского. Отметим только, что здесь удалось одновременно рассчитать как упругие, так и гравитационные волны, что не было известно раньше. Расчёт гравитационных волн требует учитывать то

обстоятельство, что их скорость существенно (десятки раз) ниже скорости упругих волн в твёрдой Земле. Это приводило к необходимости измельчения пространственного шага в конечно-разностных методах, которые ранее использовались для решения этой задачи, что значительно увеличивало объём вычислительной работы. Данный метод, в силу его большей эффективности, позволил впервые провести одновременные расчёты упругих и гравитационных волн.

В § 2.7 рассматриваются волновые поля в слоистых пористых средах. Для описания волновых процессов в таких средах используются уравнения теории Био для расширенного частотного диапазона (Био, 1956). В диссертации развит и реализован полуаналитический метод расчёта волновых полей в слоистых пористых средах для различных источников. Приведена диаграмма направленности классического источника типа "центр давления" в однородном пористом полупространстве. Для корректного исследования отличия пористой и упругой сред введён упругий эквивалент пористой среды. Проведено моделирование продуктивного пласта при заполнении пор коллектора газом, водой и нефтью.

В § 2.8 развит метод расчёта волновых полей источников дислокационного типа и источников конечных размеров в произвольных слоистых средах. В случае трансверсально-изотропной среды прямая динамическая задача для тензора сейсмического момента сведена к четырём задачам типа Р-БУ и двум для БН волн, рассмотренным выше. Это дало возможность устойчивого и точного расчёта волновых полей в средах с произвольным количеством слоёв и с произвольным отношением длин волн различных типов к мощностям слоёв для произвольных тензоров сейсмического момента. Анализ данных, проведённый многими исследователями, показывает, что источник землетрясений часто имеет протяжённые размеры по пространству. Для учёта этого явления сконструирован источник конечных размеров, представляющий собой эллипсоид вращения (в случае осевой симметрии). В работе показано, что при стремлении полуосей эллипсоида к нулю такой источник является пространственным аналогом классического источника типа "центр давления". С помощью такой методики можно также рассчитывать волновые поля для произвольно заданного источника конечных размеров.

В § 2.9 развита методика расчёта однократных и монотипных волн без использования коэффициентов отражения и проведено сравнение с лучевым методом. Существует большое число методов расчёта

волновых полей в слоистых средах (В.И. Смирнов и С.Л. Соболев, Г.И. Петрашень, Н.В. Зволинский, A.A. Самарский, A.C. Алексеев и Б.Г. Михайленко, А.Н. Коновалов и т.д.). Все эти методы имеют свою область применимости и могут рассчитывать только полное волновое поле без выделения из него отдельных типов волн. В слоисто-неоднородных средах с большим числом слоёв единственным методом численного анализа волнового поля по частям является асимптотический лучевой метод. Его применение, однако, имеет известные ограничения. В диссертации на основе полуаналитического метода впервые разработан алгоритм расчёта однократных и монотипных волн для слоистых сред с произвольным числом слоёв на основе специальных разложений точных решений не имеющий ограничений лучевого метода. Получен сферический аналог известного плоского представления однократно-отражённых волн (C.B. Гольдин, 1974). В случае сильно контрастных сред предлагается приближённая формула расчёта однократных волн, получившая практическое подтверждение при расчётах для Юрубчено - Тахомской зоны (правобережье Енисея).

^M^-F^Hl+è/J/v, >»„ =<Ч-У^ЖК = ±vnh„. (9)

/И *=i

Проведено сравнение с лучевым методом (М.В. Алексеева, 1987). Численное моделирование показало, что лучевой метод считает не точно не только в точке выхода головной волны, но и в некоторой области, зависящей от длительности входного импульса. При этом продольные волны лучевым методом рассчитываются точнее, чем поперечные. В работе также развит алгоритм расчёта однократных продольных и поперечных волн для системы вязкоупругости.

В § 2.10 предлагается модель разномасштабной среды, характерные размеры которой по глубине меняются в широких пределах. Для учёта разномасштабной неоднородности реальной среды использован статистический подход с использованием телеграфного случайного процесса (В.И. Кляцкин,1980), получено уравнение для средних распространения сферических сейсмических волн и разработан алгоритм его решения. Проведённое численное моделирование показывает, что диаграммы направленности в однородном разномасштабном полупространстве (рис.1, левый график) и соответствующей эффективной анизотропной среде (рис.1, средний график) совпадают, но в отличие от распространённых способов осреднения уравнений в разномасштабной среде присутствует

"собственное" поглощение. Для сравнения на рис.1 (правый график) приведены диаграммы направленности для слагающих разномасштабную неоднородность "обычных" сред.

Отличие данного подхода от других исследований заключается в том, что так построенная разномасштабная среда позволяет точно рассматривать среднее поле не только для малых (JI.A. Чернов, A.B. Николаев и др.) но и крупномасштабных неоднородностей. Аналогичным образом можно рассматривать разномасштабную трещиноватость в рамках анизотропного приближения.

В Главе 3 развивается метод расчёта функции Грина для многомерно-неоднородных моделей сред. Он основан на спектральных разложениях решения по пространственным и временным частотам. Поскольку полного разделения переменных здесь не происходит, возникают обыкновенные матричные дифференциальные уравнения. Их решения строятся аналитически. В итоге получен алгоритм, позволяющий моделировать волновые поля для блоковой геометрии сред. Как показали численные эксперименты, после соответствующей аппроксимации, данный алгоритм позволяет также моделировать

произвольные границы. Расчёт функции Грина даёт возможность, в случае необходимости, размножать волновые поля для произвольного количества источников без дополнительных вычислительных затрат, что актуально, например, для задач площадной сейсморазведки и решения обратных задач оптимизационными методами. Это обеспечивает возможность проведения моделирования для реальных сред с произвольными геометрией и параметрами. В § 3.1 приводится общая постановка задачи распространения волн для неупругой анизотропной среды. Упругие и неупругие параметры здесь предполагаются произвольными кусочно-непрерывными функциями по переменной х и кусочными по г. Исходная постановка является, как и в главе 2, интегро-дифференциальной.

В § 3.2 предлагается энергетический метод расчета функции Грина для многомерно-неоднородных моделей сред с использованием принципа взаимности. Среда предполагается состоящей из произвольных блоков. При этом её некоторая область может представлять слоистую пачку с произвольным числом слоев. Мощности слоев и скоростные параметры сред могут быть произвольными величинами, как в слоистой пачке, так и в блоковой среде. Основные этапы алгоритма и возникающие здесь математические и вычислительные вопросы иллюстрируются на модели волнового уравнения в декартовой системе координат.

Здесь с(х,г) - кусочно-непрерывная, функция по переменной х и кусочная по г. После преобразования Фурье по переменным 1 и х, (10) сведена к краевой задаче в матричном виде в каждом слое (латерально неоднородном) по г:

= & = а^Я^-со'У^Чс^скЛП)

<Ь йг гт0

Если среда блоковая, то интеграл в (11) вычисляется аналитически. На границах разрыва параметров вводятся условия сопряжения. Сначала рассматривается классическая задача дйфракции на прямоугольном угле (сбросе) мощностью Ь. Для построения алгоритма решения, умножим

(11) на и проинтегрируем по г. В итоге получим:

<к

(—)l -(—)o = ~gl)- СлеДУя результатам главы 2, введём dz dz

неювестную функцию Д z): — = -0(z)g.

dz

После преобразований получена следующая система алгебраических уравнений для определения gh.

Dgh = + B)gh = F, bhl = y,(0 ■ th[(y¿i)■ K)]dhJ. (12) Получена оценка числа обусловленности матрицы D: v(O) ~ c-N. Здесь N - размерность участвующих в алгоритме матриц, с - параметр, зависящий только от свойств гладкости входного импульса. Отметим, что при сеточных методах решения аналогичных задач числа обусловленности возникающих при этом матриц величины порядка 0(1 /А2) (например, А.Н. Коновалов, 1979). Это позволяет решать систему (12) стандартными методами линейной алгебры без потери точности. Организуя этот процесс по числу вертикальных блоков, получаем функцию Грина для сложно построенной среды. В случае произвольного изменения параметров среды по латерали (х) в каждом неоднородном слое, интегралы из (11) вычисляются с помощью процедур интерполяции и сглаживания (Б.Г. Михайленко, 1988). При построении алгоритма для сред, содержащих пачки однородных слоёв, используется принцип взаимности. В этом случае ставится следующее

ds(k)

краевое условие при z=0: — -Slk. В работе получено аналитическое

dz '

выражение для функции Грина. Например, при z=0 она имеет следующий вид.

g-k)=~/30dd -1А -fi,)'(y, - А-.)} • <13>

Здесь матрица D определяется из условий сопряжения на границе слоистой пачки и сложно построенной среды. После соответствующих преобразований Фурье получаем функцию Грина g(t,x,z) в физической области.

Доказано, что для так сконструированного решения выполнено условие на ребре ( f \g^dS_^0) и сингулярные точки не являются

источниками излучения.

В § 3.3 рассматриваются волновые поля в средах с криволинейными границами. Такие среды, после соответствующей аппроксимации границы, можно рассчитывать методом, описанным выше. Однако для таких границ после применения интегральных преобразований решение в спектральном виде удаётся получить аналитически. Для решения этой задачи вводится комплексная мощность слоя, которая определяется как критические значения соответствующей функции. Показано, что эта величина вещественна в случае плоской границы и совпадает с "обычной" мощностью слоя. В случае криволинейных границ мощность слоя становится комплексной величиной. Численное моделирование показало, что применение комплексных величин позволяет

рассчитывать дифракционные волны (рис.2а). §

Рис 2а Волновое поле в случае комплексной мощности слоя

Рис 2Ь Волновое поле в случае вещественной мощности слоя

Использование же вещественных величин приводит к "обычной" лучевой картине для параболической границы (рис.2Ь). Введение комплексной мощности слоя приводит к автоматическому выполнению условия ограниченности решения на бесконечности и принципа излучения Зоммерфельда. Без принципиальных трудностей данный

)'+)(%*%%'#%')%&)(')%*)(*#(*&&$)&%)(+&&%')%'#%*)%$)%*#'*)&%)%%

метод переносится на различные геофизические среды. Кроме того, данный метод использовался для контроля точности алгоритма из § 3.2.

В § 3.4 приводятся результаты численных экспериментов и рассматриваются вопросы реализации метода для различных сред. По выше приведённому алгоритму составлен комплекс программ для проведения численного моделирования волновых полей в средах, возникающих в практических задачах. В качестве иллюстрации возможностей предлагаемого метода рассматривается моделирование волновых полей для вулканической области. Среда, в том числе и вулканическая, аппроксимируется с помощью произвольного количества прямоугольных блоков. В диссертации приведены результаты расчётов для круга и эллипса (в том числе сильно сжатого). На рис.3 приведены волновые поля для очаговой зоны вулкана Эльбрус (Собисевич А.Л. и др., 2002). Модель характеризуется пачкой слоёв, соответствующей осадочным породам, гранитам и базальтам. При этом очаговая зона является не полой, а содержит среду с более низкой скоростью. Расчёт проведён одновременно для трёх источников с симметричной расстановкой.

Рис. 3 Волновые поля для очаговой зоны вулкана Эльбрус (Собисевич А.Л. и др.)

Рассмотрены дифракционные явления в средах с шероховатыми границами для сферических волн. Проведено численное исследование

волновой картины при изменении основных параметров шероховатости. Обнаружено явление значительного увеличения частоты волн, рассеянных на шероховатости, с резко локализованным амплитудным спектром.

Данный метод без принципиальных трудностей переносится на все постановки из главы 2. По своей структуре предлагаемый метод состоит в матричном пересчете, в отличие от скалярного для "чисто" слоистых сред. Модель среды "сидит" в элементах соответствующих матриц. Использование матриц позволяет универсализировать структуру алгоритма для произвольных моделей сред. На рис.4 приведён расчёт для реальной нефтяной структуры. Модель среды взята из пакета "ТевогаГ (Канада).

Рис. 4. Волновое поле для нефтяной структуры

Данный метод позволяет рассматривать постановки в трёхмерном случае, когда параметры среды зависят только от двух координат (2.5Б). В этом случае достаточно применить преобразование Фурье по координате с постоянными параметрами среды. Дня частных геометрий среды использование, например, вместо преобразований Фурье преобразования Бесселя позволяет проводить трёхмерные (ЗО) расчёты на современной вычислительной технике.

Отметим, что разработанные в данной главе спектральные методы решения прямых динамических задач в многомерно неоднородных средах позволяют довольно просто рассматривать практические задачи продолжения волновых полей для различных моделей геофизических

сред. Рассмотрение многомерного аналога парциального уравнения

(Клаербоут, 1989) — = -\jk2 -а2А ■ й, в котором матрицей А dz

описывается геофизическая среда с произвольной геометрией, позволяет осуществлять продолжение волновых полей в отличие от сеточных методов без дополнительных аппроксимаций.

В Главе 4 рассматриваются некоторые обратные динамические задачи, основанные на методах решения прямых задач приведённых выше. Развитые эффективные методы решения прямых задач позволяют строить решения обратных задач оптимизационным методом. В диссертации рассмотрены две задачи: определение параметров среды и источника. Рассмотрены обратная коэффициентная задача одновременного определения скорости и декремента поглощения акустических волн для модели Максвелла и задача определения компонент тензора сейсмического момента для слоистых сред. Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений по некоторой дополнительной информации относятся к некорректным задачам, теория которых была заложена в работах А.Н. Тихонова, В. К. Иванова, М.М. Лаврентьева, A.C. Алексеева, В.Г. Романова и других учёных.

В § 4.1 рассматривается оптимизационный метод одновременного определения скорости и декремента поглощения для акустических сред. Для решения этой задачи использован способ введения поглощения, обеспечивающий практически постоянное значение добротности на сейсмических частотах (К. Аки, П. Ричарде, 1983). Для неширокого спектра колебаний получено следующее приближённое представление комплексной скорости для модели Максвелла:

с(г) су(г)

Здесь 9 - логарифмический декремент затухания, су - "обычная" скорость акустических волн в среде, у - параметр модели Максвелла. В § 4.1.1 приводятся постановки прямой и обратной задач в цилиндрической системе координат.

2. /и Л 1& Л | ди

1=0

ди &

г=о 2яг

Обратная задача по отношению к прямой (14) заключается в следующем: по информации о режиме колебаний поверхности наблюдения г=0

"U = иь(г,0;0 < t < T;(r) cSc {(r,z) :z = 0) (15)

восстановить распределение скорости и декремента затухания в среде. Решение обратной задачи (14)-(15) определяется оптимизационным методом. При таком подходе неизвестная функция n(z) ищется как точка минимума целевого функционала J

Ш2 к, 2 Ф[«2(2)] = ¡da) \\ua{k,(o)-B[n2{z)\klo)\ kdk в спектральной области,

характеризующего уклонение в норме Ьг реального

зарегистрированного волнового поля от рассчитанного для "пробной" текущей модели.

В § 4.1.2 производится вычисление градиента функционала и построение итерационного процесса. В данном случае целевой функционал будет зависеть от двух действительных функций и его градиент получен в виде вектор функции. Для построения точки минимума целевого функционала была использована технология (В .И. Кейлис-Борок, Т.Б. Яновская, 1967) комбинации методов сопряжённых градиентов (модификация Флетчера-Ривса) и наискорейшего спуска. Итерационный процесс организован одновременно по реальной и мнимой частям комплексной скорости. Результаты численных расчётов показали, что наиболее эффективно использовать комбинацию приведённых методов. Алгоритм построен таким образом, что после каждых п- шагов по первому методу делался один шаг по методу наискорейшего спуска. Подправляя, таким образом, решение удаётся на каждом интервале частот более близко приближаться к точке глобального минимума.

В § 4.1.3 Исследована чувствительность функционала и приведены результаты расчётов. Численные расчёты показали, что на сходимость процесса существенно влияет выбор пространственных и временных частот, по которым проводится оптимизация. Аналитически показано, что целевой функционал в окрестности точки глобального минимума ■>

чувствителен к вариациям Snf и спектр которых лежит в

интервале - к2, - к2 j • позволяет за счёт задания

пространственных и временных частот расширить интервал спектра восстанавливаемых параметров, как и в "чисто" упругом случае (A.C. Алексеев и др., 1991). По данному алгоритму была написана программа и проведены методические расчёты. Приводится пример

восстановления ступеньки декремента поглощения. Численно выяснены основные факторы, влияющие на сходимость метода в целом. В § 4.2 разработан метод решения обратной динамической задачи определения дислокационных параметров в слоистых средах в предположении, что временная форма сигнала в источнике неизвестна. Решение искомой обратной задачи строится оптимизационным методом на основе решения прямой для слоистой трансверсапьно-изотропной неупругой среды, приведённой выше. Доказана устойчивость решения обратной задачи.

В § 4.2.1 основные этапы алгоритма рассматриваются на примере реконструкции источника типа точечной направленной силы в цилиндрической системе координат. Прямая задача в этом случае рассмотрена в главе 2. Обратная задача формулируется следующим образом: по дополнительной информации (16) требуется найти угол действия силы ф.

/ = (16)

Решение данной обратной задачи строится оптимизационным методом путём минимизации целевого функционала

" 'г 2

Ф(х, у) = ^Г Щи, - ХУ1 - уы, || г//. Здесь V, и - смещения в

'-Ч

пунктах приёма, вызванные действием вертикальной и горизонтальной единичных сил, ф - угол действия силы (х = соэ(^)). Получено явное выражение для стационарной точки целевого функционала и показана положительная определённость гессиана. Отметим, что при численных расчётах число обусловленности не превышало нескольких десятков.

В § 4.2.2 производится одновременное определение всех компонент тензора и входного импульса. В случае если известна форма входного импульса, решение в физической области строится полностью аналогично вышеизложенному. Далее предполагается, что форма входного импульса неизвестна. При решении обратной задачи считается известным режим колебания на свободной поверхности в пунктах приёма Мк.

"(х,0|г=о = «(М4,0 = "Г(')• (17)

Решение прямой задачи в спектральной области можно представить в виде: и = Р(о))Та, где вектор а содержит все компоненты тензора.

Решение обратной задачи строится на основе минимизации целевого функционала:

N °>2 2

Ф^(ю);5] = £ йсо. (18)

*=1 и, ' I

Здесь N - количество станций приёма, (¿У,, 0)2) - частотный диапазон принимаемого сигнала. Из условия стационарности по а и ¥ получено

3 ¿У] *=' (19)

ЛГ N ' Л

¿=1 ( у

1гГ }

ш.

Доказана следующая теорема: матрица в- |]77(й))|2^(Г^^Г^'-

и, *=>

положительно определённа, что обеспечивает устойчивость решения обратной задачи. Предложенный метод решения обратной задачи позволяет учесть более сложные реальные геологические условия с привлечением соответствующей прямой задачи.

В § 4.2.3 приведены примеры численных расчётов для модели, характеризующей зону субдукции островной зоны Курило Камчатской гряды (Мхх = 1, Ма = -1, Мц = 0). Приведён расчёт полного волнового поля для 15-ти слойной континентальной модели Гутенберга (0 = 90°). Численно исследована помехоустойчивость алгоритма к случайным и регулярным помехам (неточное задание параметров среды и источника). Показано, что погрешность восстановления компонент тензора за счёт автоматического учёта процедуры накопления при использовании нескольких станций приёма может быть сделана ниже уровня погрешности в данных при сильном дефиците исходной информации.

Глава 5 посвящена численному моделированию волновых полей для сложно построенных моделей сред. Приводятся результаты численного моделирования для широкого спектра сред (упругие, неупругие, анизотропные и т.д.) и источников ("центр давления", направленная сила, тензор сейсмического момента).

В § 5.1 рассматриваются технологические вопросы математического моделирования волновых полей. По алгоритмам, описанным выше,

разработан пакет подпрограмм, позволяющий для сосредоточенных источников широкого класса (центр давления, произвольно ориентированная сила, тензор сейсмического момента) проводить расчеты геофизических полей различной природы в сложно построенных средах на единой программно-алгоритмической базе с учётом поглощения, анизотропии и других усложняющих задачу факторов. В основу разработки положен полуаналитический метод. Приводимый в данной работе алгоритм позволяет проводить расчёты разной природы для различных типов источников одними и теми же программными модулями за счёт изменения системы матричных коэффициентов, описывающих свойства среды и источников. Он может использоваться как самостоятельно для расчёта полных волновых полей при моделировании геофизических процессов в реальных средах, так и в качестве подсистемы решения прямой задачи, встроенной в промышленные обрабатывающие системы. Это достигается за счёт программной реализации в виде открытого пакета подпрограмм с прозрачным интерфейсом и глубокой многоуровневой иерархической структуризацией. При этом учитывается, что зачастую пользователю не нужны полные волновые поля, а необходимо лишь вычисление некоторого набора составляющих разложения поля по пространственным и временным компонентам, например, для решения обратной задачи. Это позволило в настоящее время без особых трудностей использовать математическое обеспечение, ориентированное на вычисление конкретных специальных функций. Учёт этого, позволяет повысить производительность программ и осуществлять без дополнительных затрат добавление новых модулей, позволяющих проводить моделирование для новых, более сложных сред. Это также обеспечивает переносимость (portability) программ на различные платформы (Itanium, Opteron и т.д.) без каких либо изменений в исходном тексте.

В § 5.2 численно исследуются волновые явления в средах с поглощением энергии. Если динамика волн в упругих средах довольно хорошо исследована, то для неупругих сред исследования носят в основном качественный характер. В данном параграфе исследуются некоторые модели неоднородных, в том числе и однородные, среды с целью иллюстрации на них ряда эффектов, которые возникают вследствие неидеальной упругости среды.

Экспериментальные исследования приводят, в основном, к независимости декремента поглощения от частоты и практической линейности коэффициента поглощения от частоты. Эти два факта и

взяты в основу при динамическом моделировании сейсмических процессов. Приведено количественное сравнение динамических характеристик сейсмических волн для широко распространённых в геофизике моделей вязкого трения, Максвелла, Гуревича, Дерягина для сред с разными декрементами затухания. Экспериментальные данные о поглощении в реальной среде свидетельствуют о большом разбросе As / АР. Это отношение может быть как больше, так и меньше единицы

(A.B. Николаев 1965). Отметим многочисленные исследования дисперсионных уравнений для неупругих сред в случае различных законов поглощения (например, O.K. Кондратьев, 1986). Основное отличие данного исследования состоит в приведении количественных характеристик отношения доминирующих частот поперечных и продольных волн в зависимости от различных соотношений декрементов поглощения, согласующихся с экспериментальными данными.

Проведённое моделирование согласуется с выводом о том, что поглощение в среде тем больше влияет на динамику распространения волн, чем, соответственно, больше декременты поглощения и шире спектр излучаемого в неупругую среду импульса (И.И. Гурвич, 1970). Задача отражения и преломления сферических волн - сложная математическая задача. Хотя её решение и получено в замкнутом виде, но исследование физических закономерностей по-прежнему является сложным и трудоёмким делом вследствие, прежде всего, сложности математического аппарата. В диссертации численно исследованы некоторые явления, связанные с распространением неупругих сферических волн. При этом получены новые результаты по динамике волн не только в неупругой, но и упругой средах. Рассмотрим случай, когда источник колебаний, например, источник типа центра давления, расположен на расстоянии d < Лр от свободной поверхности. В этом

случае в полупространстве регистрируются наряду с прямой волной Р отражённые РР и PS и "нелучевая" волна S' (A.C. Алексеев, Б.Г. Михайленко, 1982). Численное моделирование показало, что в упругой среде при малом заглублении источника спектр 5* близок к спектру входного сигнала. С заглублением источника спектр S' монотонно сдвигается в сторону низких частот. В неупругой среде спектр "нелучевой" волны сдвинут в сторону низких частот по сравнению с упругой и при заглублении источника так же наблюдается тенденция его сдвига в сторону низких частот. Объяснение этого факта получено

из сравнения с динамикой релеевских волн. Приведены численные снимки (фотографии) волнового поля для упругой и неупругой сред. Исследованы волновые явления в случае двух полупространств при различном расположении источников. Показано, что в этом случае также возникают интенсивные "нелучевые" волны, обладающие более низкочастотным спектром по сравнению со спектром прямой волны. Проведены численные исследования волновых полей для различных типов источников. Количественно исследованы явления изменения формы колебаний, перераспределения интенсивности между различными типами волн, изменение частотного состава в зависимости от соотношения декрементов затухания. Приведены волновые поля для тонких низкоскоростных слоёв, с различным расположением источников, совпадающие с теоретическими представлениями (П.В. Крауклис).

На рис.5 приведена и компонента волнового поля и её амплитудный спектр для реальной модели.

Рис 5 Сейсмограмма и её амплитудный спектр для тонкослоистой пачки

Здесь использовался практический импульс, заданный таблично с доминирующей частотой 32гц. Отметим, что в последнее время проблема поиска нефти во многом определяется повышением точности

используемых методов для определения продуктивных тонкослоистых горизонтов. Применительно к прямым динамическим задачам это приводит к необходимости учета тонкой слоистости среды. Модель среды на рис.5 представляет собой слоистую пачку из 800 слоёв с мощностями порядка 1м.

На рис.5 приведены только отражения от слоистой пачки. За счёт выбора поглощения удалось добиться побочного максимума на спектре порядка 20гц, наблюдаемого на практике. При расчете волновых полей для таких сред применять сеточные методы нельзя, так как необходимо брать слишком мелкий пространственный шаг. По-видимому, в этом случае единственная возможность это применение выше описанного полуаналитического метода.

В § 5.3 осуществляется моделирование волновых процессов в анизотропных средах с поглощением энергии. Многочисленные экспериментальные наблюдения указывают на наличие поглощения и анизотропии различных типов. Несомненно, что среди всех факторов, имеющих важное значение для формирования волнового поля (за исключением структурных), наиболее существенное влияние оказывают свойства анизотропии и поглощения. Помимо чисто научных интересов это имеет важное практическое значение для повышения результативности сейсморазведки. Для осадочных толщ земной коры, характеризующихся заметным поглощением, наиболее вероятна анизотропия гексагонального типа, поскольку этот тип вызывается тонкой слоистостью в распределении скоростей (например, рис.5). Исследованы особенности распространения различных типов волн, а так же проведена оценка и сравнение анизотропных (классификация М.В. Невского, 1974) и неупругих эффектов. Обнаружено "нелучевое" явление, что угол раствора "петли" в волновом поле квазипоперечных волн на 8° -10° больше угла раствора петли на лучевых индикатрисах соответствующих волн для неупругих анизотропных сред. Как показывает моделирование, существенным отличием волновой картины в анизотропных неупругих средах от анизотропных упругих является наличие аномальной дисперсии, которая приводит к возрастанию видимых периодов со временем регистрации. Происходит заметное изменение спектров в неупругом случае. Существенно изменяется форма сейсмического импульса. Как и в "просто" неупругой среде происходит существенное перераспределение энергии и изменение спектрального состава квазипродольных и квазипоперечных волн. Численно проанализированы волновые поля для анизотропной упругой и неупругой сред, характеризующейся двумя петлями по осям

координат (Г.И. Петрашень). Приведена диаграмма источника типа "центр давления", которая имеет сложный вид. Обнаружено аномальное поведение яР волн как в упругом, так и неупругом случаях. Численно исследовано перераспределение интенсивностей цБ и яР волн в случае анизотропных коэффициентов поглощения.

В § 5.4 рассматриваются волновые поля в сложно построенных средах. В § 5.4.1 развита методика моделирования вибросейсмических волновых полей. В диссертации приведены некоторые численные „ расчёты вибросейсмических полей и проведён анализ полученных

результатов для реалистичной сейсмической модели Быстровского полигона (г. Новосибирск). Работа по численному моделированию вибросейсмических полей проводилась в два этапа. На первом этапе строился алгоритм расчетов, и разрабатывалась программа. На втором -на основе сравнения результатов численного моделирования с результатами полевых наблюдений, подбиралась модель среды и проводилась корректировка её физических параметров. При этом для адекватного сравнения с полевым материалом проводилась первичная обработка. Посылаемый цуг колебаний брался в качестве опорного сигнала. Результирующая виброграмма представляла собой последовательность автокорреляционных функций опорного сигнала, имеющих спектры мощности одиночного импульса. Алгоритм расчёта был построен на основе полуаналитического метода, приведённого выше. Преимущества данного подхода состоят в данном случае в том, что здесь основная часть вычислительной работы проводится в области временных частот. Здесь же вычисляется и частотная сейсмограмма. Поскольку спектр свип-сигнала может быть рассчитан без принципиальных трудностей, достаточно просто моделируется его корреляция с частотной сейсмограммой. Численные расчёты показали возможность моделирования работы вибрационных источников для произвольных полос частот и времён накопления сейсмической энергии. Проведённое моделирование показало существенную роль зоны малых скоростей в формировании вибросейсмического поля. При этом обнаружено, что поверхностный слой оказывает более существенное влияние на качество материала в вибрационной сейсморазведке по сравнению с взрывной. Объясняется это тем, что во I взрывной сейсморазведке возбуждение осуществляется, как правило,

вне ЗМС. Кроме того, неоднородности в пункте приёма из-за использования группы сейсмоприёмников и сравнительно малой кривизны фронта волны оказывают меньшее влияние, чем в очаге возбуждения. В итоге выбор реалистичной модели среды позволил

добиться качественного совпадения реальных и теоретических виброграмм.

В экспериментах с мощными вибрационными сейсмоисточниками на больших базах наблюдения впервые обнаружен эффект акустосейсмической индукции. На расстоянии 20км были зарегистрированы сейсмические волны, возбуждённые акустическим излучением от вибрационного сейсмического источника в атмосфере. Для объяснения данного эффекта была построена комбинированная модель среды: стратифицированная атмосфера неоднородная Земля с распределённым источником, моделирующим вибратор (И.С. Чичинин, 1984), разработан алгоритм её решения и проведены численные расчёты. Моделирование позволило качественно описать явление возникновения акустосейсмической индукции.

В § 5.4.2 приводятся результаты расчётов для вертикального сейсмического профилирования и межскважинного просвечивания. Разработан комплекс программ, который позволяет рассчитывать полные волновые поля на заданной серии вертикальных расстановок приёмников и выдавать моментальные пространственные срезы поля (мгновенные снимки) в произвольные моменты времени. Численное моделирование позволило повысить детальность и достоверность материалов ВСП, учитывающего тонкие эффекты распространения сейсмических волн.

В главе 2 было отмечено, что основные эффекты, связанные с пористостью, наиболее сильно проявляются при моделировании высокочастотных колебаний. В связи с этим для задач скважинных исследований нефтегазоносных залежей было проведено моделирование пористых волновых полей. Численные расчёты показали, что появление на сейсмограммах межскважинного просвечивания для водо - газо - и нефтенасыщенных слоёв, волновых картин, обогащенных низкоскоростными вступлениями, может свидетельствовать о попадании источника в продуктивный слой, а интерпретация их позволит получать информацию о типе флюида, что является актуальной задачей на стадии доразведки месторождений.

В § 5.4.3. рассмотрены результаты численного моделирования для сложно построенных сред Юрубчено-Тахомской зоны (правобережье Енисея). Сейсморазведочные работы на территории Восточной Сибири имеют свои особенности. Это, прежде всего, сильная изменчивость верхней части разреза (ВЧР). Для выяснения причин отсутствия материалов на первичных сейсмограммах впервые проведены полномасштабные исследования физики распространения волн в

данном регионе в рамках работ с ОАО " Енисейгеофизика". Сотрудниками отраслевого института СНИИГГиМС (г. Новосибирск) были составлены ряд опорных моделей для данного региона. Проведено сравнение реальных и теоретических сейсмограмм, рассчитанных по предлагаемому в данной работе методу, которое показывает хорошее совпадение. В результате численного моделирования были детально исследованы тонкослоистые геоакустические структуры для скважины ЧМ-114. В результате корректировки слоистой модели удалось V добиться хорошего совпадения результатов реального и теоретического

ВСП. По результатам моделирования были выработаны рекомендации по совершенствованию методики проведения сейсморазведочных работ.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации, которые сводятся к следующему:

1. Разработан полуаналитический метод расчёта волновых полей в слоистых средах, основанный на сведении к многопараметрическому семейству одномерных краевых задач, решение которых получено аналитически. Показано, что полуаналитический метод не имеет ограничений при расчётах волновых полей. На этой основе решены задачи распространения волн в произвольных средах (упругие, неупругие, анизотропные, пористые и т.д.) для различных сосредоточенных и распределённых источников (тензор сейсмического момента, вертикальная сила и т.д.). Впервые получены формулы для расчёта однократно отражённых сферических волн без использования коэффициентов отражения.

2. На основе численно-аналитического метода решена задача о распространении сейсмических волн в анизотропной неупругой среде. Получены дисперсионные соотношения для анизотропных коэффициентов поглощения. Численно исследована физика процесса распространения анизотропных неупругих волн.

3. Построена модель среды с разномасштабной неоднородностью. Получено замкнутое уравнение для среднего значения сферического поля и разработан метод его решения.

4. Развит метод расчёта многомерных волновых полей для сред с произвольной геометрией. Исследовано условие на ребре. Введена комплексная мощность слоя и на этой основе получено аналитическое

1 решение в случае произвольных криволинейных границ. Проведено

моделирование волновых полей в средах с шероховатыми границами.

5. На основе разработанных эффективных алгоритмов расчёта функций Грина оптимизационным методом решена обратная задача одновременного определения скорости и декремента поглощения

акустических волн. Исследовано поведение целевого функционала в окрестности точки глобального минимума. Развит метод определения компонент точечного тензора сейсмического момента в слоистых средах при неизвестной форме сигнала в источнике. Доказана устойчивость решения обратной задачи.

6. Разработаны комплексы программ по численному, численно-аналитическому моделированию волновых полей для различных сред и источников и на этой основе проведено полномасштабное исследование волновых процессов в неоднородных средах. В результате численного моделирования получены новые результаты по динамике волн не только в сложно построенных, но и однородных средах.

Автор выражает благодарность член-корр. РАН Б.Г. Михайленко за научные консультации и поддержку при выполнении работы, академику РАН A.C. Алексееву за внимание к работе и обсуждение основных результатов.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Фатьянов А.Г. Численное моделирование волновых полей в неоднородном неупругом шаре. - Новосибирск, 1981. - 22с. - ( Препринт / АН СССР Сиб Отд-ние ВЦ; 337)

2. Фатьянов А.Г. Численное решение задачи Лэмба для

вязкоупругого полупространства. - В кн.: Численные методы в сейсмических исследованиях, Наука, Новосибирск, 1983. -с. 60-88.

3. Фатьянов А.Г., Михайленко Б.Г. Метод расчёта нестационарных волновых полей в неупругих слоисто-неоднородных средах. // ДАН, 1988, т.301, №4. - с. 834-839.

4. Фатьянов А.Г. Нестационарные сейсмические волновые поля в неоднородных анизотропных средах с поглощением энергии. -Новосибирск. 1989. - 44с. - ( Препринт / АН СССР Сиб Отд-ние ВЦ; 857)

5. Fatyanov A.G., Mikhailenko B.G. Numerically-analytical method for calculation of theoretical seismograms in layered-inhomogeneous inelastic media. // Geophysical data inversion methods and applications, free University of Berlin, 1989. - p. 499530.

6. Фатьянов А.Г. Полуаналитический метод решения прямых динамических задач в слоистых средах. // ДАН, т. 310, №2,

1990. - с. 323-327.

7. Фатьянов А.Г. Прямые и обратные задачи для тензора сейсмического момента в слоистых средах. // ДАН, 1991, т. 317, №6, 1991.-с. 1357-1361.

8. Конюх Г.В., Фатьянов А.Г. Волновые поля в гравитирующей слоистой Земле. // ДАН, т. 6, №2, 1992. - с. 264-267.

9. Фатьянов А.Г., Мирошников В.В. Энергетический метод расчёта функции Грина в многомерно-неоднородных средах. // Докл. РАН, т. 351, №2, 1996.- с. 264-266.

10. A.C. Алексеев, A.B. Авдеев, А.Г. Фатьянов, В.А. Чеверда Замкнутый цикл математического моделирования волновых процессов в вертикально-неоднородных средах (прямые и обратные задачи) // Математическое моделирование, Т. 3, №10,

1991.-с. 80-94.

11. A.S. Alekseev, A.V. Avdeev, A.G. Fatyanov, V.A. Tcheverda Wave

processes in vertically-inhomogeneous media: a new strategy for a velocity inversion // J. Inverse Problems. - 1993. - Vol. 9, №3. -p. 367-390.

12. А. С. Алексеев, A.B. Авдеев, А.Г. Фатьянов, В.А. Чеверда

Волновые процессы в вертикально-неоднородных средах: прямые и обратные задачи. - Новосибирск. 1991. - 44с. - ( Препринт / АН СССР Сиб Отд-ние ВЦ;924)

13. Карчевский A.JI. , Фатьянов А.Г. Численное решение обратной

задачи для системы упругости с последействием для вертикально неоднородной среды. // Сиб. журн. вычисл. математики, т.4, №3,2001. -с.259-268.

14. A.C. Алексеев, Б.М. Глинский, С.И. Дряхлов, В.В. Ковалевский,

Б.Г. Михайленко, Б.М. Пушной, А.Г. Фатьянов, М.С. Хайретдинов, М.Н. Шорохов. Эффект акустосейсмической индукции при вибросейсмическом зондировании. // Докл. РАН, т.346, №5,1997. - с.664-667.

15. Фатьянов А.Г. Волновые поля в многомерно-неоднородных

средах. // Математические методы в геофизике. Новосибирск, ч. 1, 2003. - с. 142-145.

16. Glinsky В.М., Fatyanov A.G. Vibroseismic monitoring of active

volcanos. // The International symposium on mathematical modeling of dynamic processes in atmosphere, ocean, and solid Earth. - Novosibirsk, 2004 - p. 142-145.

17. Glinsky B.M., Fatyanov A.G. Theoretical and Experimental Grounds

of Vibroseismic Monitoring of Active Volcanos. // The

Proceedings of " Г' International Workshop on Active Monitoring in the solid Earth Geophysics (IWAM04)". Task Group for Active Monitoring, Mizunami, Japan, 2004 - p. 133136.

18. Фатьянов А.Г. Моделирование волновых полей в средах со

стохастическими шероховатыми границами. // МНПК "Связь-2004". Международный семинар "Вычислительные методы и решение оптимизационных задач". - Новосибирск, 2004. - с. 173-177.

19. Фатьянов А.Г. Волновые поля в средах с криволинейными

границами. // Международная конференция по вычислительной математике. - Новосибирск, ч. 2, 2004. - с. 734-739

20. Fatyanov A.G. Mathematical modeling of wave fields in media with

curvilinear boundaries // Doklady Earth Sciences, v.401a, № 3, 2005. — p.437-439.

21. Фатьянов А.Г. Математическое моделирование волновых полей

в средах с криволинейными границами // Докл. РАН, т.401, №4, 2005. - с.529-532.

*

Фатьянов Алексей Геннадьевич

Численно-аналитическое моделирование волновых полей в неоднородных средах

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Формат бумаги 60 х 84 1/16 Объём 2.0 п.л., 2 уч.изд.л. Тираж 100 экз._Заказ № %£_

Отпечатано в ООО «Омега Принт» 630090, Новосибирск, пр. Ак. Лаврентьева, 6

РНБ Русский фонд

2007-4 8140

2 5 ОНТ 2005

Введение

Глава 1. Численное решение задачи Лэмба для неоднородных неупругих сред Больцмана с экспоненциальными функциями последействия

1.1. Постановка задач

1.2 Сведение к дифференциальным уравнениям

1.3. Конечные интегральные преобразования по пространственной переменной в задачах распространения неупругих волн

1.4. Некоторые вопросы сходимости и оценка точности метода

Глава 2. Полуаналитический метод решения прямых динамических задач для различных моделей слоистых сред и источников

2.1. Конечные интегральные преобразования по пространственной и временной переменным в задаче Лэмба для сред Больцмана с произвольными функциями последействия

2.2. Расчет полных волновых полей в неупругих средах

2.3. Методы решения краевых задач, полученных после отделения переменных

2.4. Полуаналитический метод расчёта волновых полей

2.5. Нестационарные. волновые поля в анизотропных средах с поглощением энергии

2.6. Постановки задач и некоторые вопросы реализации полуаналитического метода в средах с гравитацией

2.7. Волновые поля в слоистых пористых средах

2.8. Волновые поля от точечных источников дислокационного типа и источников конечных размеров

2.9. Расчёт однократных и монотипных волн без использования коэффициентов отражения и сравнение с лучевым методом

2.10. Волновые поля в разномасштабных средах

Глава 3. Метод расчета функции Грина в многомерно-неоднородных средах

3.1. Постановка задачи

3.2. Энергетический метод расчета функции Грина для многомерно-неоднородных моделей сред

3.3. Волновые поля в средах с криволинейными границами

3.4. Некоторые численные эксперименты и вопросы реализации метода для различных сред

Глава 4. Некоторые обратные динамические задачи

4.1. Оптимизационный метод одновременного определения скорости и декремента поглощения для акустических сред

4.1.1. Постановка задачи

4.1.2. Вычисление градиента функционала и построение итерационного процесса

4.1.3. Исследование чувствительности функционала и некоторые результаты расчётов

4.2. Обратная динамическая задача определения дислокационных параметров

4.2.1. Восстановление компонент направленной силы

4.2.2. Одновременное определение компонент тензора и входного импульса

4.2.3. Некоторые примеры численных расчётов

Глава 5. Численное моделирование волновых полей для некоторых моделей неоднородных сред 174 5.1. Технологические вопросы математического моделирования волновых полей

5.2. Волновые явления в средах с поглощением энергии

5.3. Моделирование волновых процессов в анизотропных средах с поглощением энергии

5.4. Волновые поля в сложно построенных средах

5.4.1. Моделирование вибросейсмических волновых полей

5.4.2. Вертикальное сейсмическое профилирование и межскважинное просвечивание

5.4.3. Волновые поля сложно построенных сред Сибири

Настоящая работа посвящена разработке методов моделирования ф волновых полей для широкого класса геофизических сред, написанию комплекса программ и исследованию на этой основе физики распространения сейсмических волн в сложно построенных средах. Совершенствование систем наблюдения и повышение детализации экспериментальной информации приводит в настоящее время к необходимости рассмотрения волновых полей с большей точностью и для всё более возрастающих времён и баз наблюдения. Это, в свою очередь, требует дальнейшего развития методов решения соответствующих задач. Отметим, что методы моделирования с использованием высокопроизводительных компьютеров часто оказываются единственным способом получения информации об исследуемых явлениях, так как возможности теоретического и экспериментального изучения этих явлений ограничены методическими и техническими трудностями.

При изучении законов распространения сейсмических волн фундаментальное значение имеет выбор модели, описывающей основные сейсмические явления. Широкое распространение получила модель упругих сред. Эта физическая идеализация

• оправдана во многих случаях, но требует усовершенствования при исследовании спектрального состава, затухания колебаний в различных типах волн и т.п. за счёт неидеальной упругости среды. В данной работе поглощение описывается в рамках наиболее общей модели среды Больцмана с упругим последействием [1].

В настоящее время существует большое количество различных методов решения прямых динамических задач сейсмики. Одним из

• наиболее популярных, является лучевой метод, предложенный в работе [79]. В последствие он развивался во многих работах.

Приведём только некоторые из них: [28], [80], [81], [82], [83], [88], [157]. Лучевой метод с учетом только нулевого члена лучевого ряда требует меньше вычислительных затрат чем другие методы. Кроме того, с помощью лучевого метода можно легко учесть вклад тех или иных сейсмических волн в формировании сложного волнового поля. Однако, с развитием высокоточной широкополосной сейсмологической аппаратуры, появились факты регистрации «нелучевых» сейсмических волн, которые не описываются нулевым членом лучевого ряда, и для их вычисления необходимо учесть последующие члены ряда. В работах [141], [143] такие «нелучевые» волны были обнаружены с помощью численно-аналитических методов моделирования сейсмических полей.

Традиционно исследование волновых полей в слоистых средах является объектом многочисленных исследований. Это обуславливается многими причинами. Отметим некоторые из них. С точки зрения приложений многие практические ситуации можно достоверно моделировать слоистыми структурами. Слоистая среда, кроме того, может использоваться для тестирования и проверки схем решения прямых задач для сред сложной геометрии. Далее, появление все более высокопроизводительного компьютерного обеспечения позволяет решать обратные задачи оптимизационным методом для реальных баз наблюдений и частот.

В настоящее время существует ряд методов расчета волновых полей в слоистых средах. Укажем на некоторые из них. Еще в 50-х годах Г.И. Петрашень ([21]) построил точное решение для слоисто-однородных моделей сред в замкнутом виде. Полученное в виде многомерных интегралов решение было исследовано асимптотическими методами. Сделано большое число физических выводов о протекании в них физических процессов [22]. После стандартных процедур преобразования физических переменных по времени и пространству посредством преобразования Фурье и Бесселя (в предположении, например, радиальной симметрии) уравнения динамической теории вязко упругости сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые решаются для дискретных частот и волновых чисел. Эти уравнения решаются в основном разновидностями матричного метода ([23]-[27]) либо асимптотически ([28]-[30]). Широко распространён также "рефлективный" метод ([31]-[32]) расчёта части волнового поля. Все эти методы имеют свою область применимости. В матричном методе, например, при расчёте волновых полей для высоких частот (тонких слоёв) происходит потеря точности. Для преодоления этого приходится рассматривать матрицы более высоких порядков, чем это необходимо по физической постановке задачи [27]. Отметим, что в матричном методе эта проблема не решена принципиально [33]. Асимптотические методы при всей их компактности и элегантности имеют ограниченную лучевыми представлениями область применимости. При этом развитие их на более сложные модели (например, с поглощением энергии) требует значительных усилий. Рефлективный метод позволяет надёжно рассчитывать только часть волнового поля, соответствующую, например, объёмным волнам.

В начале 70-х годов в Вычислительном Центре СО РАН (в последствие институт Вычислительной Математики и Математической Геофизики) стали развиваться численно-аналитические методы решения задач сейсмики, основанные на расщеплении двумерных и трехмерных задач на серию независимых одномерных с помощью интегральных преобразований по горизонтальным координатам и с последующим решением их конечно-разностным методом ([6],[90]). Применение этих методов показало, что для получения приемлемых по точности результатов при численной дискретизации необходимо брать не меньше 20 точек на минимальную длину волны для расчёта волновых полей на расстояния порядка 100 длин волн, что приводило к большим объёмам оперативной памяти. Применение интегрального преобразования Лагерра по времени с последующей дискретизацией пространственных переменных позволяет снизить вычислительные затраты [91-92]. Однако уменьшение точности при расчёте сейсмических волновых полей на большие расстояния приводит к необходимости развития, например, конечно-разностных методов с высоким порядком аппроксимации [158]. Кроме того, применение преобразования Лагерра для сложно построенных сред, например для сред с последействием, приводит к громоздким выкладкам. При этом теряется смысл частоты колебаний, а тем самым наглядность при исследовании физики распространения волн в сложно построенных средах.

В данной работе решение прямых динамических задач осуществляется путём соответствующих аналитических преобразований с последующей дифференциальной факторизацией, скалярной в случае одномерных сред и матричной в случае произвольной геометрии. Это позволяет проводить расчёты без потери точности на расстояния свыше тысячи длин волн для широкого класса геофизических сред. Кроме того, предлагаемые алгоритмы позволяют эффективно решать обратные динамические задачи оптимизационным методом.

Работа состоит из пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. В первой главе приводятся постановки прямых динамических задач, рассматриваемых в данной работе. Далее приводится метод решения задачи Лэмба для неоднородных неупругих сред в случае произвольной релаксационной модели. Исходные задачи с использованием экспоненциальности функций последействия сводятся к дифференциальным уравнениям более высокого порядка. Далее, с использованием преобразования Фурье-Бесселя исходная задача сводится к однопараметрическому семейству краевых задач меньшей размерности, которые решаются конечно-разностными методами для различных значений параметра суммирования в формулах обращения преобразования Фурье-Бесселя. Исследуются вопросы сходимости и оценка точности алгоритма.

Во второй главе предложен полуаналитический метод решения прямых динамических задач для различных моделей слоистых сред и источников. Сначала выясняются возможности и условия применения конечных интегральных преобразований Фурье по t для решения задач из первой главы. После отделения пространственной и временной переменных получено двухпараметрическое семейство одномерных краевых задач, которые для дискретного набора параметров к, и лп можно решать численно с использованием современных компьютеров. На выбор численного метода при этом принципиальное значение имеют быстродействие и точность. Алгоритм должен быть устойчивым и мало зависеть от случайных ошибок, которые неизбежны при расчетах волновых полей на большие расстояния и для больших частот. Требуется также правильно передавать решения краевой задачи с кусочно-непрерывными коэффициентами, так как литологически реальные среды имеют блочную структуру и параметры среды, а вместе с ними коэффициенты краевых задач, рвутся на некоторых горизонтах. Кроме того, алгоритм должен быть эффективным в плане затрат компьютерных ресурсов. В силу этого, интегро-интерполяционным методом для сильно контрастных сред строится трехточечная разностная схема со вторым порядком аппроксимации, дополненная известными условиями сопряжения в точках разрыва коэффициентов. Далее для нахождения решения используется метод прогонки.

В случае слоистых сред предлагается алгоритм, позволяющий рассчитывать полные волновые поля для слоисто однородных сред Больцмана с произвольными функциями последействия. Количество слоев, их толщины, параметры среды могут быть произвольными величинами. Вычисления при этом строятся рекуррентно, по однотипным формулам, что допускает естественное распараллеливание на многопроцессорных системах. Заметим, что К. Аки и П. Ричарде ([33]) говорят о нецелесообразности перехода к потенциалам из за возникающих трудностей. В данном методе переход к потенциалам не только не усложняет задачу, но приводит к её значительному упрощению. Полуаналитический метод развит для расчёта любых линейных моделей геофизических сред. В работе рассматриваются нестационарные волновые поля в анизотропных средах с поглощением энергии. В основу теории расчёта волн в анизотропных неупругих средах взяты определяющие соотношения Вольтерра [41], учитывающие влияние упругого последействия. А именно, упругие постоянные си заменяются I интегральными операторами q: cttxscttx(t)-c9 \hIJ{t-z)x{z)dz, со в которых с'у и htJ определяют, соответственно, уровень и спектральный состав поглощения энергии. В практике оперируют с и коэффициентами поглощения различных типов волн, декрементами затухания и другими аналогичными величинами. Поэтому для моделирования неупругих эффектов разработаны методы определения с0 и hu по различным физическим параметрам поглощения. В связи с этим вначале рассматриваются спектральные характеристики поглощения для "просто" неупругих сред. В качестве модельных при определении коэффициентов поглощения выбраны одномерные уравнения распространения

82ип плоских продольных и поперечных волн: = p-^-f,

Я2 г? р-Ь., в этом случае, часто встречающаяся на практике линейная зависимость коэффициента поглощения от частоты аппроксимировалась с использованием подхода, предложенного в [45]. В этой работе отказываются от частотно независимого поглощения, но с затуханием, обеспечивающем его практическое постоянство в некотором частотном диапазоне. Как показывают многочисленные экспериментальные исследования, в ограниченном диапазоне частот для широкого класса горных пород характерна близкая к линейной зависимость коэффициентов поглощения продольных и поперечных волн от частоты. При этом исключается случай сильно водо-насыщенных пород, в которых эта зависимость близка к квадратичной. Здесь уже более правомерно рассматривать случай пористой среды, заполненной жидким флюидом, что так же рассмотрено в работе. Модель Максвелла не даёт линейной зависимости от частоты [46]. Показано, что это отклонение от линейности тем меньше, чем уже спектр входного сигнала по отношению к доминирующей частоте. Т.е. для входных импульсов с не очень широким спектром модель

Максвелла практически даёт линейность коэффициента от частоты и отсутствие дисперсии, часто наблюдаемую на практике. При введении физических параметров поглощения в анизотропной среде учитывается, что в ней характер распространения волн зависит от угла между направлением распространения и осью Oz. Показано что для замкнутого описания поглощения в рамках линейной теории наследственности требуется знать пять декрементов поглощения: ахр, д^, д^, д||5, аор. Отметим, что теорию поглощения в анизотропной среде можно строить, зная декременты (коэффициенты) поглощения, например, для нескольких направлений. Данный подход, на взгляд автора, представляется более оптимальным, так как позволяет использовать обширную справочную литературу по поглощению в упругих средах. Введение поглощения в анизотропных средах, в первом приближении, можно осуществить следующим образом. Предположим, что декременты поглощения квазипродольных и квазипоперечных волн совпадают с декрементами продольных и поперечных волн: д^ = д|и, = аор = Ар, au = д||5 = д5.

В этом случае (если нет других данных) для моделирования неупругих анизотропных волн можно использовать достоверные значения декрементов поглощения для упругих сред. Кроме того, в силу наибольшей общности модели с последействием можно добиться заранее заданных частотных зависимостей для разных углов падения. Аналогичным образом в работе определяются неупругие коэффициенты cv для широко распространённых в геофизике моделей Гуревича, Дерягина и т.д.

Далее во второй главе рассматриваются постановки задач и некоторые вопросы реализации полуаналитического метода в среде с гравитацией. В своей фундаментальной работе [49] Ляв рассчитал статические деформации и малые колебания однородного гравитирующего сжимаемого шара. Выделим работы [50]-[51], в которой охватываются единым методом исследования проблемы общей теории упругих колебаний Земли. В данной работе в рамках слоистой модели Земли в сферической системе координат рассматриваются уравнения упругих колебаний гравитирующего шара [49] с различными (в том числе тензором сейсмического момента) источниками. Решение находится с помощью аналитических преобразований после применения ортогонального векторного разложения [33]. Данный метод применён также для расчёта гравитационных волн цунами в рамках широко известной модели Подъяпольского. Отметим, что здесь удалось одновременно рассчитать как упругие, так и гравитационные волн, что не было известно раньше. Расчёт гравитационных волн требует учитывать то обстоятельство, что их скорость существенно (десятки раз) ниже скорости упругих волн в твёрдой Земле. Это приводило к необходимости измельчать пространственный шаг в конечно-разностных методах, которые ранее использовались для решения этой задачи. Всё это приводило к значительному увеличению объёма вычислительной работы, что делало эту задачу неподъёмной. Полуаналитический метод, в силу его большей эффективности, позволил сделать это. Важное значение в задачах разведочной геофизики имеет численное моделирование распространения упругих волн в слоистых средах с пластами пористых, насыщенных вязкой жидкостью пород. Для описания волновых процессов в таких средах чаще всего используются уравнения теории Био в том или ином виде. В данной работе рассматриваются уравнения Био для расширенного частотного диапазона, приведенные в [59]. Развит метод расчёта волновых полей и проведено моделирование процессов распространения пористых колебаний. Отметим, что слоистая упруго-жидкая модель является частным случаем модели Био [87], число неравных коэффициентов которой в изотропном случае сокращается до трёх [159].

Данный подход применим для рассмотрения источников дислокационного типа и источников конечных размеров. Для описания этих явлений используется понятие тензора сейсмического момента [33]. В работе решена задача моделирования волновых полей для такого источника в анизотропной среде. Прямая динамическая задача в этом случае сведена к четырём задачам типа P-SV и двум для SH волн [70]. Это даёт возможность устойчивого и точного расчёта волновых полей в средах с произвольным количеством слоёв и с произвольным отношением длин волн различных типов к мощностям слоёв для произвольных тензоров сейсмического момента. Анализ данных, проведённых многими исследователями, показывает, что источник землетрясений часто имеет протяжённые размеры по пространству. Для учёта этого явления в работе сконструирован источник конечных размеров. Показано, что он является пространственным аналогом классического источника типа центра давления. Отметим, что таким образом с помощью развитой методики можно рассчитывать волновые поля для произвольно заданного источника конечных размеров.

В задачах моделирования волновых полей в сложно построенных средах большое, а зачастую и определяющее значение имеют алгоритмы, позволяющие рассчитывать динамику отдельно взятых волн. В настоящее время единственным методом численного анализа волнового поля по частям является асимптотический лучевой метод. Его применение, однако, имеет известные ограничения. В работе впервые предлагается алгоритм расчёта однократных и монотипных волн для слоистонеоднородных сред с произвольным числом слоёв на основе специальных разложений точных решений не имеющий ограничений лучевого метода. В [77] проведено сравнение лучевого метода с полуаналитическим в случае однократных продольных и поперечных волн [78]. Показано, что отличия наблюдаются не только в точке выхода головной волны, как считалось ранее, но и в некоторой области, зависящей от длительности входного импульса. При этом как показывают численные расчёты, продольные волны лучевым методом рассчитываются точнее, чем поперечные.

Неоднородная среда часто устроена так, что её характерные размеры, например, по глубине меняются в широких пределах. Известно, что в этом случае практически невозможно рассматривать такую задачу в рамках детерминированного подхода. Для учёта разномасштабной неоднородности реальной среды в работе использован статистический подход и получено уравнение распространения сферических сейсмических волн в сложно построенных средах. Разработан алгоритм решения уравнения для распространения разномасштабных волн.

Для построения модели разномасштабной неоднородности используется телеграфный случайный процесс [160]. Отличие данного подхода от других исследований заключается в том, что так построенная разномасштабная среда позволяет точно рассматривать среднее поле для мелко- и крупномасштабных неоднородностей. Отметим, также, что в разномасштабной среде наблюдается наличие параметрического резонанса, как и в уравнениях для микронеоднородных сред, полученных в [161].

В третьей главе предлагается метод расчета функции Грина в многомерно-неоднородных средах. Существующие методы расчёта в таких средах в общем можно разделить на аналитические и численные. Все их привести в данной работе представляется невозможным. Отметим только некоторые из них [79]-[92]. В данной главе развивается метод расчёта функции Грина для многомерно-неоднородных моделей сред. Он основан на спектральных разложениях решения по пространственным и временным частотам. Поскольку полного разделения переменных здесь уже не происходит, возникают обыкновенные матричные дифференциальные уравнения. Их решения строятся аналитически. В итоге получен алгоритм, позволяющий моделировать волновые поля для блоковой геометрии сред. Как показали численные эксперименты, после соответствующей аппроксимации, данный алгоритм позволяет также моделировать произвольные границы. Расчёт функции Грина позволяет, в случае необходимости, размножать волновые поля для произвольного количества источников без дополнительных вычислительных затрат, что актуально, например, для задач площадной сейсморазведки и решения обратных задач оптимизационными методами.

Данный метод без принципиальных изменений переносится на все постановки из главы 2. Отметим только, что в матричном виде данный подход в этом случае полностью сохраняет свою структуру. Меняются только в зависимости от рассматриваемой среды соответствующие матрицы. Поскольку сборка решения в физической области осуществляется путём суммирования независимых величин, это даёт возможность эффективной программной реализации метода на многопроцессорных вычислительных комплексах. Это обеспечивает возможность проводить моделирование для любых реальных сред с произвольными геометрией и параметрами [162]-[165].

Энергетический метод расчета функции Грина для многомерно-неоднородных моделей сред с учётом принципа взаимности позволяет учесть наличие слоистой пачки с произвольными величинами мощностей слоёв и скоростных параметров [101].

В работе теоретически показано, что число обусловленности соответствующих матриц практически не зависит от свойств среды. Это позволяет говорить о вычислительной независимости метода от структуры и свойств сложно построенной среды. Доказано, что число обусловленности зависит в первой степени от количества удерживаемых членов ряда. Отметим, что при сеточных методах решения аналогичных задач числа обусловленности возникающих при этом матриц величины порядка 0{\) (например, [75]). Это и позволяет решать матричные системы стандартными методами без потери точности. В случае произвольного изменения параметров среды по латерали (х) в каждом неоднородном слое соответствующие интегралы вычисляются с помощью процедур интерполяции и сглаживания [90]. В ряде случаев, когда, например, границы рассматриваемой области уходят на бесконечность или когда граничная поверхность имеет геометрически сингулярные точки, например, острые рёбра, можно получить несколько математически корректных решений уравнения, среди которых лишь одно верно описывает исследуемое явление [96]. Дополнительное физическое условие, необходимое для однозначного определения решения, в этом случае известно как условие на ребре [96]. Оно заключается в требовании конечности энергии поля, запасённого в любом конечном объёме в окрестности ребра. В работе доказано, что сингулярные точки для так построенного решения не являются источниками излучения.

В третьем пункте данной главы предлагается метод расчёта волновых полей в средах с криволинейными границами раздела. Такие среды можно рассчитывать методом, описанным выше. Однако для таких границ после применения интегральных преобразований решение удаётся получить в явном виде. Для решения этой задачи вводится мощность слоя. Эта величина вещественна в случае плоской границы и совпадает с обычной мощностью слоя. В случае криволинейной границы расстояние становится комплексным. Использование комплексных величин приводит к тому, что условия ограниченности решения на бесконечности и принцип излучения Зоммерфельда выполняются автоматически. При этом наличие в решении дифракционной составляющей автоматически приводит к выбору нужного решения [166]-[167]. Без принципиальных трудностей данный метод переносится на различные геофизические среды. Учёт, например, анизотропного поглощения производится в соответствие с [34], [42]. Кроме того, можно рассматривать различные распределённые и сосредоточенные источники, например, тензор сейсмического момента [69]. Отметим, что в работе [99] в рассмотрение вводится комплексная фаза, что позволило решить некоторые задачи, к которым лучевой метод в обычной форме неприменим.

Далее в третьей главе рассматриваются некоторые примеры расчёта волновых полей для сложно построенных сред. По выше приведённому алгоритму составлен комплекс программ для проведения численного моделирования волновых полей в средах, возникающих в практических задачах. Расчёты проводились на 64-х разрядных процессорах. В качестве иллюстрации возможностей предлагаемого метода рассматривается моделирование волновых полей для вулканической области. Среда, в том числе и магматическая камера, аппроксимируется с помощью произвольного количества прямоугольных блоков. Так как в итоге находится функция Грина, это даёт возможность моделирования для различных режимов входных сигналов (монохроматическом, свип-сигналов и др.). Приведён пример расчёта волновых полей для очаговой зоны живущего вулкана Эльбрус (Собисевич А.Л. и др., Катастрофические процессы, Москва, 2002). Модель характеризуется пачкой слоёв, соответствующей осадочным породам, гранитам и базальтам. Магматическая камера взята в виде квадратного включения. При этом очаговая зона является не полой, а содержит среду с более низкой скоростью.

Рассмотрены дифракционные явления в средах с шероховатыми границами, которые исследуются не только в геофизике, но и других областях современной науки (оптика, акустика, биология и т.д.) [168]. В работе проведено численное исследование волновой картины для сферических волн при изменении основных параметров шероховатости.

На практике требуется проводить моделирование для различных геофизических сред, включая упругие, неупругие, анизотропные и т.д. Данный метод без принципиальных трудностей переносится на все постановки из главы 2. По своей структуре предлагаемый метод состоит в матричном пересчёте, в отличие от скалярного для "чисто" слоистых сред. Иначе говоря, модель среды "сидит" в элементах соответствующих матриц. Таким образом, использование матриц позволяет универсализировать структуру алгоритма для различных моделей сред. В качестве примера в работе приведён расчёт для реальной нефтяной структуры, модель которой взята из промышленного пакета "Tesoral" (Канада).

Для частных геометрий среды использование, например, вместо преобразований Фурье преобразования Бесселя позволяет проводить трёхмерные (3D) расчёты на современной вычислительной технике [102].

Отметим, что разработанные в данной главе методы решения прямых динамических задач в многомерно неоднородных средах позволяют довольно просто рассматривать практические задачи продолжения волновых полей для различных моделей геофизических сред (упругие, неупругие, анизотропные и т.д.). Поскольку в работе решение строится в спектральной области, то для этого достаточно введение соответствующего матричного парциального уравнения, по аналогии со скалярным, рассмотренным Клаербоутом [169]. Это позволяет для произвольных многомерных геофизических сред, в отличие от конечно-разностного метода, без дополнительных аппроксимаций при продолжении волнового поля автоматически учесть, например, только проходящие волны для всех углов падения. Таким образом, в рамках данного подхода естественным образом можно осуществить продолжения волновых полей для любых геофизических сред с произвольной геометрией.

В четвёртой главе рассматриваются некоторые обратные динамические задачи, основанные на методах решения прямых задач приведённых выше. Развитые эффективные методы решения прямых задач позволяют строить решения обратных задач оптимизационным методом. В качестве иллюстрации в данной работе рассмотрены две задачи: определение параметров среды и источника. Рассмотрены обратная коэффициентная задача одновременного определения срорости и декремента поглощения акустических волн и задача определения тензора сейсмического момента для слоистых сред. Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений по некоторой дополнительной информации относятся к некорректным задачам, теория которых была заложена в работах А.Н. Тихонова, В. К. Иванова, М.М. Лаврентьева, А.С. Алексеева, В.Г. Романова и других учёных.

В последнее время в связи с быстрым развитием вычислительной техники одним из наиболее часто используемых методов решения обратных задач является метод минимизации целевого функционала [108-112]. В [113] исследована обратная задача для уравнения акустики в интегральной постановке и получена оценка скорости сходимости в среднем метода наискорейшего спуска.

В работе оптимизационным методом решена задача одновременного определения скорости и декремента поглощения для акустических сред по информации о режиме колебаний на свободной поверхности. Для решения данной задачи использован способ поглощения, описанный в [33]. Как следует из [33], подход Больцмана, если функция последействия получена на основе хорошо установленных механизмов внутреннего трения таким образом, что обеспечивает практически постоянное значение Q на сейсмических частотах, согласуется с логарифмической зависимостью фазовой скорости от частоты. На этой основе получено представление для комплексной скорости в случае модели Максвелла. Искомое решение ищется как точка минимума целевого функционала, характеризующего собой квадратичное отклонение зарегистрированного волнового поля от рассчитанного для текущей модели среды. Получены формулы для градиента целевого функционала в комплексной области и исследована его чувствительность. Это позволило построить итерационный процесс одновременного определения скорости и декремента поглощения в спектральной области. Показано, что за счёт выбора оптимальных диапазонов пространственных частот в зависимости от интервала временных частот, можно повысить чувствительность целевого функционала к низкочастотным компонентам скоростной функции и декремента поглощения, как и при восполнении информации за счёт соответствующего выбора пространственных частот в случае отсутствия поглощения [108]-[111]. Для построения точки минимума целевого функционала были использованы комбинации методов сопряжённых градиентов (модификация Флетчера-Ривса) и наискорейшего спуска [117]-[118]. Результаты численных расчётов показали, что наиболее эффективно использовать комбинацию приведённых методов. Приведены результаты численных экспериментов и выяснены основные физические факторы, влияющие на сходимость метода в целом. По зарегистрированным данным на свободной поверхности развит метод определения всех компонент точечного тензора сейсмического момента в предположении, что временная форма сигнала в источнике неизвестна. Решение искомой обратной задачи строится на основе решения прямой, приведённой выше. Доказана устойчивость решения обратной задачи. Теоретические аспекты метода рассматриваются на примере слоистой трансверсально-изотропной неупругой среды. Основные этапы алгоритма рассматриваются на примере реконструкции источника типа точечной направленной силы. Пусть на свободной поверхности z=0 на линии наблюдения в = 0о известен в некоторых пунктах приёма вектор смещения, вызванный действием сосредоточенной силы на некоторой глубине. Обратная задача формулируется следующим образом: по этой информации требуется найти угол действия силы. Решение данной обратной задачи строится оптимизационным методом в физической области. Показана положительная определённость гессиана целевого функционала. Это обеспечивает единственность и устойчивость точки глобального минимума.

Далее рассматривается задача определения всех компонент тензора сейсмического момента. Эта задача рассматривалась во многих работах. Отметим только некоторые из них [121-123], в которых среда, как правило, считается однородной. Разработанные в данной работе эффективные алгоритмы построения функции Грина в неоднородных средах позволили снять это ограничение.

В случае если известна форма входного импульса, решение строится полностью аналогично вышеизложенному в физической области. Если входной импульс неизвестен, то решение обратной задачи строится на основе минимизации соответствующего целевого функционала в частотной области. Относительно решения обратной задачи доказана устойчивость процесса нахождения всех компонент тензора. Отметим, что предложенный метод решения обратной задачи позволяет учесть более сложные реальные геологические условия. Для этого достаточно использовать решение соответствующей прямой задачи, полученное выше.

Численное опробование алгоритма решения обратной задачи показывает его хорошую помехоустойчивость к случайным и регулярным помехам (неточное задание параметров среды и источника). Погрешность восстановления компонент тензора за счёт автоматического учёта процедуры накопления при использовании нескольких станций приёма может быть сделана ниже уровня погрешности в данных даже при сильном дефиците исходной информации.

Пятая глава посвящена численному моделированию волновых полей для некоторых моделей неоднородных сред. Здесь приводятся результаты численного моделирования для широкого спектра сред (упругие, неупругие, анизотропные и т.д.) и источников ("центр давления", направленная сила, тензор сейсмического момента).

По алгоритмам, описанным выше, разработан комплекс подпрограмм, позволяющий для сосредоточенных источников широкого класса (центр давления, произвольно ориентированная сила, тензор сейсмического момента) проводить расчёты геофизических полей различной природы в сложно построенных средах на единой программно-алгоритмической базе с учётом поглощения, анизотропии и других усложняющих задачу факторов. В [58] начала осуществляться программная реализация и создание транспортабельного пакета прикладных программ, который может использоваться как самостоятельно для расчёта полных волновых полей при моделировании геофизических процессов в реальных средах, так и в качестве подсистемы решения прямой задачи, встроенной в промышленные обрабатывающие системы. Изначально в ППП в качестве языка программирования был выбран Fortran. Это обеспечивало транспортабельность пакета и возможность в настоящее время без особых трудностей использовать математическое обеспечение, ориентированное на вычисление конкретных специальных функций. Учёт этого, позволяет повысить производительность программ, что имеет большое значение само по себе и особенно возрастает в связи с бурным развитием объектно-ориентированного программирования и его использования для визуализации результата на экране. Моделирование волновых полей проводилось также на современных процессорах (Itanium, Opteron).

На основе разработанных программ исследованы динамические особенности распространения волн в средах с поглощением энергии. Если динамика волн в упругих средах довольно хорошо исследована, то для неупругих сред исследования носят в основном качественный характер [1],[126]-[129]. Экспериментальные исследования приводят, в основном, к независимости декремента поглощения от частоты и практической линейности коэффициента поглощения от частоты [130]-[134]. Эти два факта и взяты в основу при динамическом моделировании сейсмических процессов в неупругих средах.

Приведено количественное сравнение динамических характеристик сейсмических волн для широко распространённых в геофизике моделей вязкого трения, Максвелла, Гуревича, Дерягина для сред с разными декрементами затухания. Экспериментальные данные о поглощении в реальной среде свидетельствуют о большом разбросе as/af. Это отношение может быть как больше, так и меньше единицы [138]. Отметим многочисленные исследования дисперсионных уравнений для неупругих сред в случае различных законов поглощения (например, [134]). Основное отличие данной работы состоит в приведении количественных характеристик отношения доминирующих частот поперечных и продольных волн в зависимости от различных соотношений декрементов поглощения, согласующихся с экспериментальными данными.

Задача отражения и преломления сферических волн и в настоящее время остаётся сложной математической задачей, особенно для тонких слоёв. В работе численно исследованы некоторые явления, связанные с распространением неупругих сферических волн. При этом получены новые результаты по динамике волн не только в неупругой, но и упругой средах.

Рассмотрен случай, когда источник колебаний, например, источник типа центра давления, расположен на расстоянии d<xP от свободной поверхности. В этом случае в полупространстве регистрируются наряду с прямой волной Р отражённые РР и PS и "нелучевая" волна s\ впервые обнаруженная в [141],[143]. Численное моделирование показало, что в упругой среде при малом заглублении источника спектр S' близок к спектру входного сигнала. С заглублением источника спектр S' монотонно сдвигается в сторону низких частот. Отметим, что численное моделирование подтверждает наличие "нелучевой" волны и в неупругом случае. При этом в неупругой среде спектр "нелучевой" волны сдвинут в сторону низких частот по сравнению с упругой и при заглублении источника так же наблюдается тенденция его сдвига в сторону низких частот. Объяснение этого факта получено из сравнения с динамикой релеевских волн.

Приведены численные снимки (фотографии) волнового поля для упругой и неупругой сред. Исследованы волновые явления в случае двух полупространств при различном расположении источников. В этом случае также возникают интенсивные "нелучевые" волны, обладающие более низкочастотным спектром по сравнению со спектром прямой волны. Проведены численные исследования волновых полей для различных типов источников. Количественно исследованы явления изменения формы колебаний, перераспределения интенсивности между различными типами волн, изменение частотного состава в зависимости от соотношения декрементов затухания.

Рассчитаны интерференционные волновые поля для тонких низкоскоростных слоёв, с различным расположением источников. Приведены волновые поля и амплитудный спектр для реальной тонкослоистой структуры. Модель среды представляет собой слоистую пачку из 800 слоев с мощностями порядка 1м. За счёт выбора поглощения удалось добиться побочного максимума на спектре порядка 20гц, наблюдаемого на практике. При расчете волновых полей для таких сред применять сеточные методы нельзя, так как необходимо брать слишком мелкий пространственный шаг. По-видимому, в этом случае единственная возможность это применение выше описанного полуаналитического метода.

Многочисленные экспериментальные наблюдения указывают на наличие поглощения [37] и анизотропии различных типов [38]-[40]. Несомненно, что эти факторы (за исключением структурных) оказывают наиболее существенное влияние на формирование волнового поля. В работе исследованы особенности распространения различных типов волн, а так же проведен анализ анизотропных (классификация М.В. Невского [145]) неупругих эффектов [42]. Обнаружено "нелучевое" явление, что угол раствора "петли" в волновом поле квазипоперечных волн на 8°-10° больше угла раствора петли на лучевых индикатрисах соответствующих волн для неупругих анизотропных сред. Исследованы волновые поля для анизотропной упругой и неупругой среды для модели Г.И. Петрашеня ([146]), характеризующейся двумя петлями по осям координат, с различными декрементами поглощения.

Среди систем возбуждения особое место по функциональным возможностям занимают невзрывные источники [147]-[148]. В работе приведены некоторые численные расчёты вибросейсмических полей и проведён анализ полученных результатов для реалистичной сейсмической модели Быстровского полигона (г. Новосибирск). Для этого построен алгоритм и написана программа моделирования виброграмм для реального свип-сигнала. Отметим качественное совпадение реальных и теоретических виброграмм [151].

В экспериментах с мощными вибрационными сейсмоисточниками на больших базах наблюдения впервые обнаружен эффект акустосейсмической индукции [154]. На расстоянии 20км были зарегистрированы поверхностные волны, возбуждённые акустическим излучением от вибрационного сейсмического источника в атмосфере. В работе данный практический эффект был объяснён численным моделированием в рамках комбинированной модели среды: атмосфера - упругая Земля с распределённым источником из [150].

В последние годы всё большую роль в разведочной нефтяной геофизике приобретает детальное изучение сейсмогеологического разреза по сейсмическим данным. Одними из наиболее результативных методов решения таких задач являются методы вертикального сейсмического профилирования и межскважинного просвечивания. На основе разработанных алгоритмов был создан комплекс программ, позволяющий рассчитывать полные волновые поля на заданной серии вертикальных расстановок приёмников и выдавать моментальные пространственные срезы поля (мгновенные снимки) в произвольные моменты времени. Для задач скважинных исследований нефтегазоносных залежей было проведено моделирование пористых волновых полей для межскважинного просвечивания.

Рассмотрены результаты численного моделирования для сложно построенных сред Юрубчено-Тахомской зоны (правобережье Енисея). В результате численного моделирования удалось добиться хорошего совпадения результатов реального и теоретического ВСП. Разработанные компьютерные технологии моделирования волновых полей для сложно построенных реальных сред впервые позволили выяснить (совместно с ОАО " Енисейгеофизика") причины отсутствия материалов на первичных сейсмограммах.

Каждая глава диссертации имеет независимую нумерацию формул в виде группы из двух чисел: первое число соответствует номеру главы, второе - порядковый номер.

Рисунки, иллюстрирующие рассматриваемые задачи и полученные результаты, располагаются в тексте в местах ссылок на них и имеют соответствующий порядок нумерации. Список цитируемой литературы располагается за заключением, в котором приведены основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Разработанные алгоритмы и программы внедрены в Институте геофизики СО РАН, о также использовались и используются в ОАО "Енисейгеофизика" г. Красноярск, НИРФИ г. Горький, Институт вулканологии г. Петропавловск-Камчатский. Работа написана по публикациям: [12,16,17,19,20,34], [36,42,5358,63,64,69-71,78,94,101,102,108-112,154,162-167]. По материалам, используемым в диссертации, делались доклады на Международных конференциях: "Численные методы интерпретации сейсмических данных" (Суздаль, 1980), "Точные асимптотические и стохастические методы в геофизике" (Санкт-Петербург, 1981), "Модельная оптимизация в исследовательской геофизике"(Западный Берлин, 1991), "Математические методы в геофизике" (Новосибирск, 2003), "Международная конференция по вычислительной математике" (Новосибирск, 2004)," Вычислительные методы и решение оптимизационных задач" (Новосибирск, 2004), " The International symposium on mathematical mocteling of dynamic processes in atmosphere, ocean, and solid Earth" (Novosibirsk, 2004), "International Workshop on Active Monitoring in the solid Earth Geophysics (IWAM04)" (Japan, 2004). Полученные результаты обсуждались на семинарах Института вычислительной математики и математической геофизики и института геофизики СО РАН, Института физики земли РАН," С.-Петербургского отделения математического института РАН.

Автор выражает благодарность член-корр. РАН Б.Г. Михайленко за научные консультации и поддержку при выполнении работы, академику РАН А.С. Алексееву за внимание к работе и обсуждение основных результатов.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Разработан полуаналитический метод расчёта волновых полей в слоистых средах, основанный на сведении к многопараметрическому семейству одномерных краевых задач, решение которых получено аналитически. Показано, что полуаналитический метод не имеет ограничений при расчётах волновых полей. На этой основе решены задачи распространения волн в произвольных средах (упругие, неупругие, анизотропные, пористые и т.д.) для различных сосредоточенных и распределённых источников (тензор сейсмического момента, вертикальная сила и т.д.). Впервые получены формулы для расчёта однократно отражённых сферических волн без использования коэффициентов отражения.

2. На основе численно-аналитического метода решена задача о распространении сейсмических волн в анизотропной неупругой среде. Получены дисперсионные соотношения для анизотропных коэффициентов поглощения. Численно исследована физика процесса распространения анизотропных неупругих волн.

3. Построена модель среды с разномасштабной неоднородностью. Получено замкнутое уравнение для среднего значения сферического поля и разработан метод его решения.

4. Развит метод расчёта многомерных волновых полей для сред с произвольной геометрией. Исследовано условие на ребре. Введена комплексная мощность слоя и на этой основе получено аналитическое решение в случае произвольных криволинейных границ. Проведено моделирование волновых полей в средах с шероховатыми границами.

На основе разработанных эффективных алгоритмов расчёта функций Грина оптимизационным методом решена обратная задача одновременного определения скорости и декремента поглощения акустических волн. Исследовано поведение целевого функционала в окрестности точки глобального минимума. Развит метод определения компонент точечного тензора сейсмического момента в слоистых средах при неизвестной форме сигнала в источнике. Доказана устойчивость решения обратной задачи. Разработаны комплексы программ по численному, численно-аналитическому моделированию волновых полей для различных сред и источников и на этой основе проведено полномасштабное исследование волновых процессов в неоднородных средах. В результате численного моделирования получены новые результаты по динамике волн не только в сложно построенных, но и однородных средах.

Заключение

1. Шемякин Е.И. Динамические задачи теории упругости и пластичности. - Курс лекций для студентов. - НГУ, Новосибирск, 1968. -336с.

2. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935. -678с

3. Алексеев А.С. Некоторые законы распространения волн в неоднородной среде. //ДАН СССР, 1955, т. 103, № 6. с. 989992.

4. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Нестационарные колебания и дифракция волн в акустических и упругих средах. М: Машиностроение, 1977. - 340с.

5. Алексеев А.С., Михайленко Б.Г. Метод вычисления теоретических сейсмограмм для сложно построенных моделей сред. //ДАН СССР, 1978, т. 240, № 5.-е. 1062-1065.

6. Снеддон И. Преобразование Фурье. М.: ИЛ, 1965. -684с.

7. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.-656с.

8. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. -430с.

9. Воеводин В.В. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. - 304с.

10. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: Наука, 1980. - 382с.

11. Фатьянов А.Г., Михайленко Б.Г. Численное решение задачи Лэмба для неоднородной среды Больцмана с упругим последействием. // Математические методы интерпретации геофизических наблюдений. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1979.-с. 115-160.

12. Михайленко Б.Г. Решение задачи Лэмба для неоднородного полупространства с внутренними источниками // Математические проблемы геофизики, вып. 5, ч.1, Новосибирск, 1974. с. 187-194.

13. Гуревич Г.И. Деформируемость сред и распространение сейсмических волн. М.: Наука, 1974. -483с.

14. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГОНТИ НКТП, 1938. -375с.

15. Фатьянов А.Г. Численное решение задачи Лэмба для неупругого неоднородного полупространства. // Численные методы в интерпретации геофизических наблюдений. -Новосибирск, 1980.-с. 144-156.

16. Фатьянов А.Г. Численное решение задачи Лэмба для вязкоупругого полупространства. В кн.: Численные методы в сейсмических исследованиях, Новосибирск: Наука, 1983. -с. 60-88.

17. Фатьянов А.Г., Михайленко Б.Г. Нестационарные сейсмические волновые поля в неоднородных вязкоупругихмоделях сред. // Математические проблемы геофизики: Модели и численные методы, Новосибирск, 1984. с. 82-131.

18. Михайленко Б.Г, Фатьянов А.Г. Полуаналитический метод расчёта нестационарных волновых полей для слоисто-однородных моделей сред. // Математические методы решения прямых и обратных задач геофизики, Новосибирск, 1981.-с. 92-104.

19. Петрашень Г.И. Распространение упругих волн в слоисто-изотропных средах, разделённых параллельными плоскостями. //Уч. Зап. ЛГУ, № 162, в. 26, 1952.-е. 3-189.

20. Петрашень Г.И. Общая количественная теория отражённых и головных волн, возбуждающихся в слоистых средах с плоско-параллельными границами раздела. // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л., 1957. с. 70-164.

21. Thomson W.T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium. // J. Appl. Phys., 21, 1950. pp. 89-93.

22. Haskell N.A. The dispersion of surface waves a multilayered media. // Bull. Seis. Soc. Am., 1953. pp. 17-34.

23. Kennett B.L.N. Seismic wave propagation in stratified media. // Cambridge University Press, 1983.

24. Chapman C.H., Orcutt J.A. The computation of body wave synthetic seismograms in laterally homogeneous media. // Reviews of Geophysics, 23, 2, 1985. pp. 105-163.

25. Молотков Л.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. Л.: Наука, 1984. -386с.

26. Бабич В.М., Булдырёв B.C., Молотков И.А. Пространственно-временной лучевой метод. Л.: Изд. Лен. Универ., 1985.

27. Keller J.B. Surface waves on waves on water of non-uniform depth. // J. Appl. Phys., vol.31, № 6, 1960. pp. 1039-1046.

28. Tygel M., Hubral P. Transient waves in layered media. // Elsevier, Amsterdam. 1987.

29. Fuchs K., Muller G. Computation of synthetic seismogram with the reflectivity method and comparison with observation. // Geophys. J. R. Astr. Soc., 23, 1979. pp. 417-433.

30. Gerveny V., Molotkov L., Psensic I. Ray method in seismology. Charles University, Praha, 1977.

31. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология. М.: Мир, 1983. -880с.

32. Фатьянов А. Г., Михайленко Б.Г. Метод расчёта нестационарных волновых полей в неупругих слоисто-неоднородных средах. //ДАН, 1988, т.301, №4. с. 834-839.

33. Аккуратов Г.В., Дмитриев В.И. Метод расчёта поля установившихся упругих колебаний в слоистой среде //В сб. Численные методы в геофизике, М.: МГУ, вып.2, 1979. с.З-12.

34. Ананьева Л.А., Фатьянов А.Г. Моделирование волновых неупругих полей в задачах вертикального сейсмического профилирования. // Математическое моделирование в геофизике. Новосибирск: Изд! ВЦ СО РАН, 1989.-е. 104-119.

35. Коган С.Я. Сейсмическая энергия и методы её определения. М.: Наука, 1975. - 286с.

36. Чесноков Е.М. Сейсмическая анизотропия верхней мантии Земли. М.: Наука, 1977. - 324с.

37. Crampin S. A review of wave motion in an isotropic and cracked elastic media. // Wave motion. Vol.3, № 4, 1981. p. 343-391.

38. Hoenig A. Elastic module of non-randomly cracked body. // Int.J.Solid structures, vol. 15, 1979. pp. 137-154.

39. Volterra V. Acta Math, vol.35, 1912.

40. Фатьянов А.Г. Нестационарные сейсмические волновые поля в неоднородных анизотропных средах с поглощением энергии. Новосибирск. 1989. - 44с. - ( Препринт / АН СССР Сиб Отд-ние ВЦ; 857)

41. Мартынов В.Н. Волновые поля от сосредоточенных источников в трансверсально-изотропных средах. // Из. АН СССР, Сер. Физика Земли, № 11, 1986.-е. 19-26.

42. Коган С.Я. Краткий обзор теории поглощения сейсмических волн. // Изв. АН СССР, Сер. Физика Земли, № 11, 1966.-е. 1-16.

43. Азими Ш.А. и др. Импульсные и переходные характеристики сред с линейными и квадратичными законами поглощения. // Изв. АН СССР, Сер. Физика Земли, № 2, 1968. с. 42-54.

44. Гольдин С.В. Линейные преобразования сейсмических сигналов. М.: Наука, 1974. - 320с.

45. Дерягин В.В. //Журнал геофизики, № 1-2, 207, 1931.

46. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. -П.: Наука, 1980. -420с.

47. Love А.Е.Н. Some problems of geodynamics. Cambridge, 1931.

48. Молоденский M.C. Общая теория упругих колебаний Земли. М.: Недра, 1989. - 78с.

49. Pekeris C.L., Jarosch Н., Alterman Z. Oscillations of the Earth. // Second Intern Report, The Weitzman Institute, Reboot, Israel, 1959.

50. Галицин А.В., Жуковский А.Н. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности. Киев: Наукова думка, 1976.-282с.

51. Конюх Г.В., Фатьянов А.Г. Полуаналитический метод расчёта волновых полей для слоистой сферической модели Земли. // Математическое моделирование в геофизике. -Новосибирск, 1993. с. 58-77.

52. Конюх Г.В., Фатьянов А.Г. Волновые поля в гравитирующей слоистой Земле. // ДАН, т. 6, №2, 1992. с. 264-267.

53. Фатьянов А.Г. Численное моделирование волновых полей в неоднородном неупругом шаре. Новосибирск, 1981. - 22с. - ( Препринт / АН СССР Сиб Отд-ние ВЦ; 337)

54. Fatyanov A.G., Soboleva O.N. Numerical modeling of the gravitating liquid layer on the elastic half space. // International tsunami symposium, Novosibirsk, 1990. p. 29-34.

55. Fatyanov A.G., Soboleva O.N. Numerical modeling of the complex wave field in the gravitating liquid layer on the elastic half space. // International tsunami meetings, Novosibirsk, 1989. -91p.

56. Держи H.M., Фатьянов А.Г. Пакет программ для расчёта геофизических полей на персональных ЭВМ. // Математическое моделирование в геофизике. Новосибирск. 1993.-с. 78-89.

57. Biot М.А. Theory of propagation of elastic waves in a fluid saturated porous solid. // J. Acoustical Soc. America, vol. 28, № 2, 1956.-p. 168-191.

58. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве. // Изв. АН СССР. Сер. Геогр. и геофиз. Т.8, № 4, 1944. с. 133-150.

59. Уайт Д.Э Возбуждение и распространение сейсмическихволн. М.: Недра, 1986.62. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. - М.: Недра, 1986.

60. Мирошников В.В., Фатьянов А.Г. Численное моделирование волновых полей в пористой среде. Модель Био // Математическое моделирование в геофизике, Новосибирск, 1989. с. 83-103.

61. Мирошников В.В., Фатьянов А.Г. Полуаналитический метод расчёта волновых полей в слоистых пористых средах // Математическое моделирование в геофизике, Новосибирск, 1993.-с. 27-58.

62. Deresiwicz Н., Skalak R. On uniqueness in dynamic poroelasticity. // Bull of the seismological. Soc. America, vol.53, №4, p. 783-788.

63. Plona T.J. Observation of a second bulk compression wave in a porous medium at ultrasonic frequencies // Appl. Phys. Let, vol.36, №4, 1980. p. 259-261.

64. White J.E. Seismic reflections from gas reservoirs final repot // National Science Foundation, Contract № AER-17526, 1977.

65. Блохин A.M., Доровский B.H. Проблемы математического моделирования в теории многоскоростного континуума. -Новосибирск, 1994. 186с.

66. Фатьянов А.Г. Прямые и обратные задачи для тензора сейсмического момента в слоистых средах. // ДАН, 1991, т. 317, №6, 1991.-с. 1357-1361.

67. Фатьянов А.Г. Полуаналитический метод решения прямых динамических задач в слоистых средах. // ДАН, т. 310, №2, 1990.-с. 323-327.

68. Матевосян А.Х., Фатьянов А.Г. Метод расчёта волновых полей для одной модели сейсмического объёмного источника. Новосибирск. 1994. - 20с. - ( Препринт / АН СССР Сиб Отд-ние ВЦ ;1029)

69. Смирнов В.И., Соболев С.Л. Об одном новом методе в плоской задаче упругих колебаний. // Тр. Сейсмологического института. 1932, №20. - 32с.

70. Смирнов В.И., Соболев С.Л. О применении нового метода к изучению упругих колебаний в пространстве при наличии осевой симметрии. // Тр. Сейсмологического института. -1933, №29. -49с.

71. Зволинский Н.В. Отражённые и головные волны, возникающие на плоской границе раздела. // Изв. АН СССР, Сер. Геофиз. 1957, №10. - с. 1201-1218.

72. Коновалов А.Н. Численное решение задач теории упругости в напряжениях: Учеб. Пособие. Новосибирск: Изд. НГУ, 1979.-92с.

73. Козлов Е.А. Распознавание и подавление многократных волн в сёйсморазведке. М: Недра, 1982. -248с.

74. Алексеева М.В. Математическое моделирование сейсмического поля в многослойной упругой среде (в рамках лучевого метода). Новосибирск. 1987. - 60с. - ( Препринт / АН СССР Сиб Отд-ние ВЦ;729)

75. Fatyanov A.G., Mikhailenko B.G. Numerically-analytical method for calculation of theoretical seismograms in layered-inhomogeneous inelastic media. // Geophysical data inversion methods and applications, free University of Berlin, 1989. p. 499-530.

76. Алексеев A.C., Бабич B.M., Гельчинский Б.Я. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов. //

77. Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Гостоптехиздат, №5, 1961. - с. 3-24.

78. Бабич В.М., Булдырёв B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М: Наука, 1982. -248с.

79. Popov М.М. A new method of computation of wave fields in the high-frequency approximation. Leningrad, 1981. - 20p. -(Preprint/AN SSSR)

80. Клем-Мусатов К.Д. Теория краевых волн и её применение в сейсмике. Новосибирск: Наука, 1980.

81. Keller J.B. Geometrical theory of diffraction // J. Opt. Soc. Am., vol.52, №4, 1981.-p. 175-188.

82. Kelly K.R. et al. Synthetic seismograms: a finite- difference approach // Geophysics, №41, 1976. p. 2-27.

83. Zahradnik J. Finite- difference solutions to certain diffraction problems // Stud, and Geod., vol. 19., 1975. p. 233-244.

84. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.-344с.

85. Молотков Л.А. Бакулин А.В. Эффективная модель слоистой упруго-жидкой среды как частный случай модели Био. // Математические вопросы теории распространения волн Санкт-Петербург: Наука, т.25, 1995. - с. 172-195.

86. Крауклис П.В., Цепелев Н.В. Распространение колебаний вблизи границы неоднородного упругого полупространства сфазовой скоростью, близкой к скорости продольных волн. // Изв. АН СССР. Физика Земли, №9, 1971. с. 28-33.

87. Михайленко Б.Г. Сейсмические поля в сложно построенных средах Новосибирск, 1988, 312с.

88. Mikhailenko B.G. Spectral Laguerre method for the approximate solution of time dependent problems // Appl. Math. Lett, vol.12, 1999.-p. 105-110.

89. Мартынов B.H., Михайленко Б.Г. Численное моделирование волновых полей в анизотропных средах. // Математические методы в геофизике. Новосибирск, ч. 1, 2003.-с. 137-141.

90. Фёдоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965. -388с.

91. Фатьянов А.Г., Мирошников В.В. Энергетический метод расчёта функции Грина в многомерно-неоднородных средах. //ДАН, т. 351, №2, 1996.- с. 264-266.

92. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. - 352с.

93. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974. - 328с.

94. Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод факторизации. -М.: 1966.-431с.

95. Демидович Б.П. Марон И.А. Основы вычислительной математики М.: Наука, 1970. - 664с.

96. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. М.: Гостехиздат, 1937. -998с.

97. Николаев А.В. Сейсмика неоднородных и мутных сред. -М.: Наука, 1972.-324с.

98. Фатьянов А.Г. Волновые поля в многомерно-неоднородных средах. // Математические методы в геофизике. Новосибирск, ч. 1,2003.-е. 142-145.

99. Ананьева Л.А., Фатьянов А.Г. Численное моделирование волновых полей в средах с цилиндрическими границами разделов. // Математические проблемы геофизики; Численное исследование геофизических задач. Новосибирск, 1988. - с. 105-121.

100. Алексеев А.С. Некоторые методы и алгоритмы интерпретации данных. М.: Наука, 1967. - с. 9-84.

101. Tarantola A.A strategy for nonlinear elastic inversion of seismic reflection data // Geophysics, Vol. 51, 1986. p. 1893-1903.

102. Santosa F., Symes W. An analysis of least-squares velocity inversion // Geophysical Monograph Series, №4, SEG, 1989. -154p.

103. Алексеев A.C., Добринский В.И Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики // Математические проблемы геофизики. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. Вып. 6, ч. 2. - с. 7-53.

104. Алексеев А.С., Цибульчик Г.М. О связи обратных задач теории распространения волн с задачами визуализации волновых полей // ДАН СССР, т. 242, №5, 1978.- с. 1030-1033.

105. А.С. Алексеев, А.В. Авдеев, А.Г. Фатьянов, В.А. Чеверда Замкнутый цикл математического моделирования волновых процессов в вертикально-неоднородных средах (прямые иобратные задачи) // Математическое моделирование, Т. 3, №10, 1991.-с. 80-94.

106. A.S. Alekseev, A.V. Avdeev, A.G. Fatyanov, V.A. Tcheverda Wave processes in vertically-inhomogeneous media: a new strategy for a velocity inversion // J. Inverse Problems. 1993. - Vol. 9, №3.- p. 367-390.

107. А. С. Алексеев, A.B. Авдеев, А.Г. Фатьянов, B.A. Чеверда Волновые процессы в вертикально-неоднородных средах: прямые и обратные задачи. Новосибирск. 1991. - 44с. - ( Препринт / АН СССР Сиб Отд-ние ВЦ;924)

108. Карчевский А.Л. , Фатьянов А.Г. Численное решение обратной задачи для системы упругости с последействием для вертикально неоднородной среды. // Сиб. журн. вычисл. математики, т.4, №3,2001. -с.259-268.

109. С.И. Кабанихин, К.Т. Искаков Обобщённое решение обратной задачи для уравнения колебания. // ДАН, т. 375, №1, 2000.- с. 22-24.

110. Marquardt D.W. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters//J. Soc. Indust. Appl. Math. 1963. - Vol. 11.- p.431-441.

111. Бухгейм А.Л. Разностные методы решения некорректных задач. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1986. - 148с.

112. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. -496с.

113. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. Москва: Наука, 1988. - 549с.

114. Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М: Физматгиз, 1963.

115. Алексеев А.С., Кабанихин С.И. Обратные задачи и новые технологии в геофизике // Математические методы в геофизике. Новосибирск, ч. 1, 2003. - с. 11 -20.

116. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.-456с.

117. Ерохин Г.Н., Бортников П.Б. Обратная задача определения тензора сейсмического момента. // Геология и Геофизика, №4, 1987.-с. 115-123.

118. Aki К. Pt.1. Generation and propagation of G waves from the Niidata earthquake of June 16, 1964. Pt.2. Estimation of earthquake moment, released energy and stress train drop from G - wave spectrum. //Bull. Earth. Res. Inst. Tokyo. Univ., №4, 1966.

119. Dziewonski A.M., Woodhause J.H. An experiment in systematic study of global seism city centroid-moment tensor solutions for 201 moderate and large earthquakes of 1981. // J. Geophys. Res., №88, 1983.

120. Backus G., Mulkahy M. Moment tensors and other phenomenological descriptions of seismic sources. I. Continuous displacements. // Geophys. J. Roy. Astron. Soc., №46, 1976. -p.341-361.

121. Костров Б.В. Механика очага землетрясения. М.: Наука, 1975.-176с.

122. Николаев Б.Г. О распространении нестационарных возмущений в неидеально-упругих средах. // Сб.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн, ЛГУ, В.З, 1959.

123. Брук С.З. Задача Лэмба для вязкоупругой полуплоскости. // Механика твёрдого тела, №3, 1972. с. 56-63.

124. Блитштейн Ю.М., Мешков С.И., Чебан В.Г., Чигарев А.В. Распространение волн в вязкоупругих средах. Кишинёв: Штиница, 1977. -206с.

125. Шемякин Е.И. Задача Лэмба для среды с упругим последействием. //Докл. АН СССР, т. 104, №2, 1955. с. 193-196.

126. Attewell Р.В., Ramana J.V. Wave attenuation and internal friction as functions of frequency in rocks. // Geophysics, 31, 1049, 1966.

127. Knopoff L., // Rev Geophysics, 2, №4, 1964.

128. Пасечник И.Н. Характеристики сейсмических волн при ядерных взрывах и землетрясениях. М.: Наука, 1972. - 192с.

129. Берзон И.С., Пасечник И.Н., Поликарпов A.M. Определение параметров затухания Р волн в мантии Земли. // Из. АН СССР, Физика Земли, №2, 1975.

130. Кондратьев O.K. Сейсмические волны в поглощающих средах. М.: Недра, 1986. - 176с.

131. Пузырёв Н.Н., Худобина Л.Н. Обзор экспериментальных исследований и некоторые теоретические положения по изучению поперечных и обменных волн. // Сб.: Экспериментальные исследования поперечных и объёмных волн, Новосибирск, 1962.

132. Пузырёв Н.Н. Интерпретация данных сейсморазведки методом отражённых волн. М.: Гостоптехиздат, 1959. -434с.

133. Лёвшин А.Л., Ратникова Л.И., Сакс М.В. О дисперсии и поглощении упругих волн в горных породах. // Вычислительная сейсмология, Москва, №13, 1981.-е. 134-142.

134. Николаев А.В Сейсмические свойства грунтов. М.: Наука, 1965.-120с.

135. Саваренский Е.Ф. Сейсмические волны. М.: Наука, 1972. -296с.

136. Гурвич И.И. Сейсмическая разведка. М.: Недра, 1970. -552с.

137. Hron F., Mikhailenko B.G. Numerical modeling of non-geometrical effects by the Alekseev-Mikhailenko method // Bulletin of the seismological Society of America, v.71, №4, 1981. p. 10111029.

138. Левшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны. М.: Наука, 1973. - 176с.

139. Алексеев А.С., Михайленко Б.Г. "Нелучевые" эффекты в теории распространения сейсмических волн. //Докл. АН СССР, т.267, №5, 1982.-с. 1079-1084.

140. Ляховицкий Ф.М. Проблемы сейсмической анизотропии тонкослоистых сред // Вестник МГУ, Геология, №5, 1983. с.68-75.

141. Невский М.В. Квазианизотропия скоростей сейсмических волн. М.: Наука, 1974.

142. Николаев А.В. Вибрационное просвечивание метод исследования Земли. - В кн.: Проблемы вибрационного просвечивания Земли. М.: Наука, 1977. - с.5-14.

143. Гущин В.В., Докучаев В.П., Заславский Ю.М., Конюхова И.Д. О распределении мощности между различными типами излучаемых волн в полубезграничной упругой среде. В кн.: Проблемы вибрационного просвечивания Земли. М.: Наука, 1977. -с.113-118.

144. Чичинин И.С. Вибрационное излучение сейсмических волн -М.: Недра, 1984.

145. Алексеев А.С. Развитие теории и методики активного вибросейсмического мониторинга зон аккумуляции напряжений (Проект 1.3 ГНТП "Глобальные изменения природной среды и климата"), (отчёт). Новосибирск, 1981. - 100с.

146. Gupta I.N., Hartenberger R.A. // Bull. Seismol. Soc. Amer., v.71, №6, 1981.-p. 1731-1744.

147. Разин A.B. // Изв. Академии Наук. Физика Земли, №2, 1993. с.73-77.

148. А.С. Алексеев, Б.М. Глинский, С.И. Дряхлов, В.В. Ковалевский, Б.Г. Михайленко, Б.М. Пушной, А.Г. Фатьянов, М.С. Хайретдинов, М.Н. Шорохов. Эффект акустосейсмической индукции при вибросейсмическом зондировании. //Докл. РАН, т.346, №5, 1995. -с.664-667.

149. Alekseev A.S., Kovalevsky V.V. Powerful vibrators for deep interior investigation. // 60 Annu. Intern. Meeting Soc. of Exploration Geophysicists. San-Francisco, 1990. p.956-957.

150. Крауклис П.В., Крауклис J1.A. Интерференционная медленная волна в пороакустическом слое Био. // Математические вопросы теории распространения волн. -Санкт-Петербург, №28, 1999.-е. 137-148.

151. Киселёв А.П. Высшие приближения лучевого метода и "нелучевые явления" в неоднородных вязкоупругих средах // Изв. АН СССР, Физика Земли, №11, 1992. с.35-38.

152. Kosloff D., Reshef M., Loewenthal D. Elastic wave calculations by the Fourier method. Bull. Seis. Soc. Am., 1984, 74, P. 875 891.

153. Молотков Л.А. О коэффициентах извилистости пор в эффективной модели Био. // Математические вопросы теории распространения волн. Санкт-Петербург, №28, 1999. - с. 157164.

154. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1980. - 336с.

155. Сибиряков Б.П. Геометрия трещиноватых сред и параметрические резонансы // Геология и Геофизика, т.43, №9, 2002. с.882-887.

156. Glinsky В.М., Fatyanov A.G. Vibroseismic monitoring of active volcanos. // The International symposium on mathematical modeling of dynamic processes in atmosphere, ocean, and solid Earth. -Novosibirsk, 2004 p. 142-145.

157. Фатьянов А.Г. Моделирование волновых полей в средах со стохастическими шероховатыми границами. // МНПК "Связь-2004". Международный семинар "Вычислительные методы и решение оптимизационных задач". Новосибирск, 2004. - с. 173177.

158. Фатьянов А.Г. Волновые поля в средах с криволинейными границами. // Международная конференция по вычислительной математике. Новосибирск, ч. 2, 2004. - с. 734-739.

159. Fatyanov A.G. Mathematical modeling of wave fields in media with curvilinear boundaries // Doklady Earth Sciences, v.401a, №3, 2005. p.437-439.

160. Фатьянов А.Г. Математическое моделирование волновых полей в средах с криволинейными границами // Докл. РАН, т.401, № 4, 2005. с.529-532.

161. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. М.: Мир, т.2, 1981. -317с.

162. Клаербоут Д.Ф. Сейсмическое изображение земных недр. -М.: Недра, 1989.-407с.1. Оорма 51. УТВЕРлЗШЭ

163. Jhzракгох^Кычиатаголышго иои-езя^б^^З^СССг'угвззргдли

164. Директор Института гоа/югии я хчкхЗившш ie?.j. CU-ciokw Cojoaa1. All СССР- \ i'.^tjjyieKceeii »•1. JDO-} 14 ^ Н-Д-ДоДтепов1. V'' -'' v" t^C wлгсг о'жЕ5£Шса11. Эв9г.

165. Научио-исолодопата.'хъаиая (отлио-иопструдторокая) рпс5ота <раора<Зопга) разработка подупнали тиче с кого метода расчётаволновых полей в слоистых средах, выполненная по п.XX НИР

166. Г!*,а шелроши передача комплекса программ; проведение консультаций по его эксплуатации и анализ результатов.

167. Достигнутые топипеокио розу.ях<таты проведены численные расчёт» для реалистичинх моделей сред; исследована (Ткзика процесса.

168. Х*вагсгивиш.1 исис-всгтодь С.п.сА.Г.^птьдпов1. Oi йи/аачтеа;01*. И. C4/VT/>. K.fJ . сна uu^t-tv^f* d esse? г с