автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численно-аналитические методы математическогомоделирования волновых процессов в неоднородных средах

to —

I__ CO

сл. C4i

Нацдональна г.кадемш наух УхраТни

!/ »

CSi

e=c 1нститут K¡6cpH6TíiKK iMeni В. M. Глушхова

На правах рукопису

ГЛАДКИЙ Анатолш Васильевич

УДК 517.927:519.6:534.2

Ч И С ЕЛ Ь H О-А H AJI IТ И Ч HI МЕТОДИ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ХВИЛЬОВИХ ПРОЦЕС1В В НЕОДНОР1ДНИХ СЕРЕДОВИЩАХ

0ё\ fS iê

(LLÛWMî— математичне моделювання та обчислювальш методи в наукових дослщженнях

Автореферат дисертацп' на здобуття наукового ступеня доктора ф1зико-математичних наук

Kiiïb 1996

Дисертащею е рукопис;

Робота виконана в 1нституп шбернетики iMeHi В. М. Глуш-кова HAH Украши.

Науковий консультант: член-кореспондент HAH Украши, доктор ф1зико-математичних наук, професор СКОПЕЦЬКИИ В. В.

Офщшш опоненти: доктор ф1зико-математичних наук, професор НАКОНЕЧНИЙ О. Г.,

доктор ф!зико-математичних наук, професор ПОПОВ Б. О.,

доктор ф1зико-математичних наук, професор ЧИК.Р1И А. О.

Провщна оргашзащя: 1нститут проблем машинобудування HAH Украши.

Захист в1дбудеться 1 Н Я . р. 0

год. на зааданш спещал1зовано! вчено! ради Д 01.39.02 при 1нститут1 юбернетики iMeHi В. М. Глушкова HAH Украши за адресою:

252022 Кшв 22, проспект Академжа Глушкова, 40.

3 дисертащею можна ознайомитися в науково-техщчному apxißi ¡нституту.

Автореферат роз1сланий

Учений секретар спещал1зованоТ вчено! ради

синявськии в. ф.

ЗАГМЬНД ХАРАКТЕРИСТИКА РОВОТИ

Актуальн1сть теми. Широко коло науково-практичних задач, пов'язаних з моделюванням хвильових процес1в в морськ!й г1дроакустиц1, геоф1зиц1, волоконнИ! оптиц1, ф1зиц1 атмосфери, морськ!й г1дротехя1ц1 та 1яших областях, стимулюе досл1даення по розробц1 ефективних чисельних метод1в моделю-вання хвильових процес1в р1зно1 ф1зично! природа. Кр1м безпо-середаього використання при проектуванн1' сучасних 1нформац1й-но-вим1рювальних систем, результата ыоделювання хвильових процесс дозволяють розв'язати широка коло взаемозв'язаних задач, таких як формування заданих структур акустичних пол1в в хви-леводах, синтезу г1дроакустичних антен та 1н.

Ьфективн1сть моделювання хвильових процес!в в значн1й м1-р! зумовлена адекватн1стю ф1зичних 1 математичних моделей, мохливостями розроблених обчислювальних алгоритм'в, здатн1стю корекцИ математичних' моделей 1 обчислювальних схем, вибором 1яструментар1в для анал!зу досл1дауваних процес1в. Хвильов! процеси описуються, як правило, хвильовим р1вняяням Гельмголь-ця з комплексным коеф1д1ентом заломлення 1 умовами Зоммер-фельда випром1лЕвання на неск1нченност1, що, в свою чергу, потребув створення математичних моделей та розробки ефективних метод1в розв'я: пня крайових задач для хвильового р1вняння Гельмгвльця в неодаор1дних областях складно1 геометрИ. ■

Характерними особливостями -такого класу задач в неодно-р1дн1сть 1 кеск1нченн1сть област1 означения; складна конф1гу-рац1я геометрИ гранщ1 облает! означения; комплекскозначн1сть розв'язку крайових задач; несамоспряженХсть диферешиального оператора в частинних пох1дних, причому д!йсна складова оператора знаконеозначена; наявн1сть особливостей в прав1й частин1 р1вняння типу дельта-функц11 Д1рака та 1н.

Розв'язаыня крайових задач для р1внянь з частинними по-х1даими, як правило, могшиве лише чисельними методам!,, насам-перед, методом ск1нченних р1зниць 1 методом ск1нченних елемен-т1в (основн1 результата 1 л1тература наведен1 в монограф!ях В.Вазова 1 Дж.Сорсайта, КЛ.Бабенка, Б.М. Бублика, С.К.Годуно-

ва, В.П.ЬлЫна, О. Зенкевича, О.О. Ладикенсько1, В.Л. Макарова, ГЛ.Марчука, Г.М.Полохого, О.А.Самарського, 1.В.Серг1енка, В.Б.Скопецького, Г.Стренга I Дж.Ф1кса, Р.Ихтмайвра, Ы.М.Янен-ка та 1н.). Однак, нэзвахаючи на одержан! значн1 теоретичн1 1 експериментальн1 результата, особлпвост1 розглядуваного класу хвильових задач не дозволяють безпосередньо застосувати до них. загальноприйнят! чисельн1 метода розв'язання крайових задач для рЛвнянь в частинних пох1дних .

Наявн1 п1даода 1 метода анал!тичного та наблшкеного роз-в'язування задач поширення акустично! енерг11 точкових або розпод!лених даерел, що пов'язан1 з 1менами Л.М. Бреховськнх, В.Ю.Завадського, Ю.О. Кравцова, Дк.Б. Келлера, Г.Д. Малыкинця, Да.С.Пападак1са, О.Г.Свеш1кова, Ф.Д.Таперта та 1н., поряд 1з сзо!ш перевагами мають 1 певн1 недол1ки, як! обумовлен1 обме-жен1стя сфера застосування, недостатн1м теоретичним обгрунту-ванням, необх!дн1стю проведення додаткових дослЛдаень щодо ст!йкост1 та точност1 процесу обчислень. У зз'язку з цим особливо актуальною е проблема проведення досл1даень по розробц1 нових г1бридних моделей поширення акустичних хвиль в Шдводзих хвилеводах та метод1в 1х розв'язання; розробки 1 досл1даення ст1Якост1 новях ефективних обчисловальних алгоритм1в для роз-в'язаЕня крайових, початково-крайовкх задач для ел1птичпих або царабол1чних хвкльових р1ввянь з комплексном несамоспряженим оператором; створення програмного забезпечення з метою досл1д-хення хвильових процес1в в неоднор1дних саредовищах; розв'язання задач формування заданих структур акустичних пол!в в неоднор1дних хвилеводах.

Мета роботи полягае в розробц1 1 анал!а1 мате-матичних моделей та створенн1, обгрунтуванн1 1 програмн1й реа-л1зац11 метод1в чисельного досл1даення задач поширення акус-тично! енергИ в неодяорЗдаих хвилеводах, як! описуються кра-йовими (ночатково-крайовими) задачами для хвильових ел!лтичних (парабол!чних типу Щред1нгера) р1внянь з комплексным несаыо-спряженим оператором.

Н а у к о в а новизна роботи. Створено та досл1даеио широкий клас ыатематичних моделей поширення хвильових процес1в в неоднор1давх середовищах у вигляд1 крайових (початково-крайових) задач для ел1птичних (парабол!чних типу

Шред1нгера) хвильових р1внянь з комплексним весамоспряженим оператором, зокрема:

- розроблена нова методика розв'язання широкого класу задач поширення акустичних хвиль в необмежених неоднор1дних областях, що базувться на математичних моделях р1зного рхвня, ур1занп! неск1яченно1 област1 з постановкою в!дпов1дних умов вшром1нювання на штучн1й границ!, декомпозицП област1 з вн-користанням анал!тичного зоОраженчя впливу точкоеого даерела 1 методики заивання чисельного та анал1тичного розв'язк1в;

- розроблен! нов1 чисельно-анал1тичн1 метода розв'язання крайових задач для хвильового р1вшшня Гельмгольця з комплексним несамоспряхеним оператором в неоднор!дних середови-

•щах, запропснован! метода досл1дження ст1йкост1 та зб!кност1 дискретних задач з комплексним несамоспряжешям оператором;

- проведено досл1даення 1 одерхан! нов! загальн1 умови ст1Якост1 за початковими даними, по прав!й частик! явних три-шарових р1зницевих схем для розв'язання задач! Коа! для перетвореного р1вняння Гельмгольця з комплексном несамоспряхениы оператором;

- запропонован1 нов1 метода проведения досл1дхення ст!Я-кост! за початковими даними, по прав1Л частив!, а такоа точ-ност1 р1зницевих схем для розв'язання широкого класу хвильових задач п!дводно! акустики, як1 описувться нарабол1ч.чими р1внян-нями з комплексным иесамоспряхеним оператором. Розроблен! нов! ефективн! обчыслювальн1 алгоритми на основ! явних двозарсвих схем та неявних схем п!лввденого порядку точност!;

- розроблено алгоритм1чне 1 програмне заСезпечення для проведения досл1дження задач поширення акустично! енергИ в п!дводних хвилеводах, в тому числ! для розв'язання задач фор-мування заданих акустичних структур в багатомодових хвилеводах.

Достов1рн1сть одерханих результат!в забезпе-чувться пор1внянням ¡.->зрахунк!в за розробленюи алгоритмами з в1домими точними тестовыми результатами 1 розрахунками 1наих автор1в. Теоретичн1 положения досертац!! сформульовано у виг-ляд! теорем ! лем, як! повн1ст)с доведен!, Доц1льн!сть запропо-нованих метод1в розв'язування иирокого класу задач поширення акустично! енергИ в неоднор1дних хвилеводах п!дтвердаено роз-в'язанням ряду практичных задач, а також розрахунками, пов'я-

заними з формуванням задание структур акустичних пол1в в бага-томодових хвилеводах.

Методи д о с л i дне ння. В робот1 використан! метода математичного i функционального анал1зу, отчш1задН, теорИ дифореад1альних р1внянь, обчислювально1 математики, математичного моделювання .

Практично значения. • Результата, наведен1 в дасертацИ, запропонован! в н1й метода, а такох створене на 1х основ! алгоритм1чне i програмно забезпечення використову-ються при досл1дженн1 задач пошрення акустично! енергИ в п1дводних хвилеводах, при розв'язанн! задач формування экус-тичних пол1в в неоднор1даих багатомодових хвилеводах, в тому числ1 в КБ "Шторм" (м.Ки!в), 1Щ1 "Атолл"(м.Сухум1).

Апробац1я результат1в робот и. OchobhI 1де1, положения 1 результата досл1даень були представлен! на конференц1ях, науково-техн1чних нарадах, наукових . сем1нарах: Республ1канському сем1яар1 "Чисельний анал1з "Нау-ково! рада з проблема "К1бернетика" АН УРСР ( Ки1в,1983, 198S, . 1989), науков!й конферендИ "Обчислювальна математика в сучас-ному науково-техн1чвому nporpacl" ( Кан1в, 1984 ), М1хотрас-jiboblfl науково-техн1чн1й конферэнц11 ( Ки1в, 1985 ), Всесоюзному сем1нар1 "Сучасн1 проблемы 1 математичн1 метода теорИ ф1льтрацИ" ( Москва , 1984 ), 2-й Рег1ональн1й школ1-сем1на-pi "Ыатематичн1 метода прикладао! акустики" ( Волгодонськ, 1985), Всесоюзному сем1дар1 "Питания оптим1зацИ обчислень" ( Алушта, 1987 ), 4-й Рег1ональн1й школ1-сем1нар1 по матема-тичних методах г1дроакустики ( Одеса, 1989 ), X Всесоюзному СЕмпоз1ум1 по дифракцИ i поширенню хвиль (Москва, 1990), XI Всесоюзн1й акустичоШ конференции Москва, 1991 ), Fourth. International Colloquium on Differential Equations ( Plovdiv, Bulgaria, 1993 ), сиыпоз1ум1 "Питания оптим1зад11 обчислень" ( Ки1в, 1993), Ы1хнародн1й конферендИ "Виродаен! р1вняння i р1вняння зм1ааного типу" ( Ташкент, 1993 ), 1-й Укра1нськ1й конферендИ з автоматичного керування "Автоматика-94" ( Ки1в, 1994), 2-й Укра1нськ1й конферендИ з автоматичного керування "Автоматика-95 (Льв1в, 1995), 1Шшародн1й конферендИ "Advanced Mathematics, Computations and Applications" ( Новоси-б1рськ, 1995 ), Ы1жнароднШ конферендИ "Алгебра i к1бернети-

на" ( Гомель, 1SS5 ), науковому сем1нар1 в1дд1лу "Математишшх систем моделювання проблем окологИ i енергетнки" 1нг сктуту к1беркетики 1>д. В.Ы.Глупкова HAH Укра1ни ( кер. чл.- .ор. HAH Укра1ни. В.В. Скопацький, 1993, 1994 ), об'еднаяому науковому ceMiHapi кафэдри моделювання складок. систем i кафедрц обчис-лювально! математики. Ки1вського национального ун1верситету '1м. Т.Г.Шевченка (кер. чл.-кор. HAK Укра1ни Б.М.Бублик, проф. О.Г. Наконечний, проф. C.I. Ляшко, 1995 ).

Публ1кац11. Оснсвн! результата дисэртацИ опуб-л1ковано в монографП та в 26 наукових статтях, перелйс яких наведено в списку л1тератури..

Структура та обсяг робот и. Дисерта-ц1я складаеться 1з вступу, п'яти глав, biichobkIb, списку ви-користано! л1тератури, во м!стить 168 найменувань. ЗагальниЗ обсяг роботи складав 2Ь8 стор1нок машинописного тексту.

3MICT РОБОТИ

В с т у п. Анал1зувться стан проблема, обгрунтовуеться актуальн1сть, практична 1 теоретична ц1нн1сть досл1даувано1 тематики, вид1дяеться коло осноьяих задач 1 мета досл1даення. Сформульовано ochobhI науков1 полохення, що виносяться на за-хнст, .наведена коротка енотац1я дисертацИ по главах.

Глава 1. Чисельно-анал1тичне роз-в'я зан'ня хвильових р1внянь в о д-нозим1рвих та двовим1рних кано-н1чних областях. В глав1 розглядазоться чисельно-анал1тичн1 метода розв'язання крайових задач для хвильового р1вняння Гельмгольця з комплексниы несамоспрявеним оператором. Перший параграф присвячений побудов1 чисельно-анал1тнчних роз-в'язк1в для одновим1рного р1вняння Гельмгольця

pf -^-u'fх)У + h?(x)u(x) = f(x), х е (0.1) (1)

1з Сталина (кусково-сталими) коа$1ц1ента\га. к(х) = ,

р(х) > 0, In к = кг > О, I = V-1 ; f(x) - задана комплексна функд!я. Досл1джуються триточков1 р1зницев1 апроксимац11 рив-няння (1), побудован! но с1тц! w = f х = jh, J = O.N ) 1нтег-

ро-1нторполяд1йнЕМ методом з врахуванням 1деальних умов спряжения в моалшмх точках розриву.

Для стала коеф1д!ент1в установлена наступна теорема.

Теорема1. Для загального розв'язку дискретного р!зницевого р1вняння Гельмгольця з комплексними коеф1д1ентами мае м1сце р1вн1сть

|j-p| _

и,= h2 У -/„, J = о, N,

J ц, _ v Р

. р=1

де В - дов1льн! комплексн! стал!, як! знаходяться за допо-могою крайових умов, заданих при J = О, j = N.

Тут ц, v - деяк! комплексн1 стал1, що визначаються вх!д-ними даними р1зницево! задач1.Результата теореми узагальнюють-ся на виладок неск1нчешого л1вого (правого) п!в!нтервалу або неск1нчекного Интервалу.0деркан1 чнсельно-анал!тичн1 розв'язки використо^-аться для побудови розв'язк1в дискретного рХвняння Гельмгольця з кусково-стаяам коеф!д1ентаьи, розв'язання задач на власн1 значоння 1 для досл1дкэння зб1хност! розглядуваних р1зницевих задач.

У другому i третьому параграфах викладена методика побудови чисельно-анал1тачних розв*язк!в дискретних крайових задач для двозим1рного хвильового р1вняння Гельмгольця

г в fiStil г д Г 1 ди-] _ Р--- + р - - + tru = f(X), X = (X..XJ € G,

I ехД р QxJ L 8x2{ p dxj 1 2

(2)

u|r = g(X,) ,

до f(x), g(xf) - задан1 диференц!йован1 (кусково-диференц1йо-ван!) комплекса! функцП, р(х2) > О - д1йсна (кусково-стала) Функц1я; Г - горизонтальн1 д1лянки границ! прямокутно1 облас-т1 G, що мозге виродауватись в неск!нченну праву (л!ву) п!в-смугу або смуту.

В 5 2 одергано анал1тичнийрозв'язок р1зницевих схем другого та четвертого порядку апроксимацИ задач1 (2) у випадау стало1 густияи 1 хвильового числа £ ( Im(k) 1 О ). Доведено, що в с1тков1й облает! ш = •{ х = (Sht,lhz), J = = 0,N2 ^

загальний розв'язок дискретно! задач! другого порядку апрок-симацН визначаеться формулою

V1 _

Yj = P(]iJA + v*B - ]Г R(J'P)pFp >> J = • <3> p=i

де вектори комплексних сталих А, В знаходяться 1з грапич-них умов на вертикальних д1лянках грашщ1 (] = О, J =

Тут Yj - комплексн1 вектори, складен! !з значень шука-ного дискретного розв'язку вздовж ос! х2; елементи вектор!в Р визначаються правою частиною 1 крайовов умовою; Р, , v*, R(J,p) - деяк1 допом1жн! комплексн! д1агональн! (кр1м Р) матриц!. Формула (3) збер!гае св1Й виг ляд 1 в вкладках cItkoboI смуги (п1всмуги) шляхом зм1ни границь п!дсумування по 1дцексу р. Загальний розв'язок р!зницево1 схеми четвертого порядку точносИ тек приймае вигляд, аналог!чний формул1 (3), зм1яа стосуеться лше значень елемент!в в1даов1даих вэктор!в 1 мат-ридь.

В 5 3 проведен! досл1даення, пов'язан1 з побудовоа чисель-Ео-анал!тичного розв'язку р1зницевих схем другого порядку ап-роксимацИ для хвильового р!вняння (2) у двовкм!рних кусково-неоднор!днах середовмцах. Загальний розв'язок р1зницевих схем такох мае вигляд, аналог!чний формул! (3).

Питания чисель^ого розв'язання крайових задач для несамо-спряженого р1вняння Гельмгольця з1 зм!ншаи1 комплексными коэ-ф1ц1ентами вивчаеться в 5 4. Досл1даувться р1зницева схема другого порядку апронсимац11 задач1 Д1р1хло для р!вняння (2) з стало» густиною 1 Ъ?(х) = Не(^(х)) + Ит(Ъ?(х)), Irib?(x) > О, яку будемо розглядати у вигляд! операторного р1вняння

Av = ф , х б ю, (4)

да ш - мноидаа внутр1шн!х вузл!в cItkoboI облает!. Оператор А визначений в л1л1йному простор! Н комплексна с!ткових функ-ц1А, заданих на и !з скалярним добутком ! нормою

(U,v) * Y^h2u(xmx), Ниц = (v,v)1/z . (5) .

Мае м1сце

Теорема 2. Для комплексного оператора р!зницйзо1

схеми (4) 1снуе обернений оператор, причому справедлива оц1нка

* О , (6)

де С > 0 - деяка стала, не залехна в1д с1тки.

1з оц1нки (6) вишшвае зб1жн1сть розв'язку р1зницево! задач! до розв'язку диференн1ально1 38дач1 в сенс1 норми (5) 1з швидк1стю 0(Ъ?), П = шг^Л^Л,; .

П'ятий параграф присвяченлй побудов! чисельнэ- анал1тичних розв'язк1в 1 досл1дкенню ст1Якост1 р1зтщьвих задач для р1в-няння (2) при А = О в кусково-иеодаор1дних середовшцах з не1-дэальними умовамн спряжения на гранлц1 розлод1лу середовизца. Для двокарово! смуги 1з заданный на л1н11 розпод1лу хг = I не!деальниш умовами спряжения

:[ и(х) ]

1 Зи х*1~ Р1вх

Х=1-0

. е[ и(х) ] I

-о

г ди х=\ №

. е > О х=1+о

викладена методика побудош чисельно-анал'1тичних розвя'зк!в 1 досл!дження вб1жност1 р1зшцевлх схем .тугого порядку алрокси-мац!1.

Глаза 2. Чисельне досл!д»ення г1дровкустичних пол1в в неодно-р!дних по трас! хвилеводах.

В глав! досл1джуються крайов1 задач1 для хвильового р!вняння Гельмгольдя з комплексным несамоспряхеЕим оператором в необмохених неоднородных середовшцах пляхом 1х поперед-нього перетворення до крайових задач в обмежених областях за допомогою введения штучно! границ1 1 постановки на н1й деяких крайових умов з наступним використанням 1 обгрун-туванням р1зницевого методу. .Розрахунку акустачного поля точкового даерела в двовим!рному неоднор1даому середовищ!, яке представляв собою п!всмугу в цил1ндричн1й систем1 координат (г,г), присЕЯчений 5 2. Розглядаетьея випадок зм!нного комплексного хвильового числа, внасл1док чого оператор диференц!ально1 задач! е несамоспряженим з1 знако-яеозначеною д!йснои складовою. Процес поширення акустач-но! аперг11 точкового гармон!чного даерела з координатами (0,го) математично ошсузтьея крайовов задачею для хвильово-

го р1вняння Гельмгольця

- (V)

1 в t du . S u - р u

- - fr— I + + £(пг(г,г) +lv(r,z))u. = —J^-Q(r)ö(z-z ),

г Gr*- er J dz 0 ¿fr о

дэ kQ = 2%f/cQ - хвильово число; f - частота, c(r,z) -швидкЛсть поширэння вкустичних хвиль в середозшп,!, непарервно залегла в1д координат- r,z (cQ - II деякэ значения ); i - улвна одиниця; v = v(r,z) 1 О - коеф1д1ент поглинання ; uQ - íhtqh-сивн!сть деэролг'; ö(-) - дельта-фуннц1я Д1рзка. вяшИсть та необх!дна поведЛвка рогз'язку на нескЮТеннсст! забезнечуеться умоною граничного поглинання або умовами випром1яювашш Зом-мэрфельда в1дпов!дно:

Ilm u(r,z) = О, v(rsz) > О. (3)

Г —" со

Ilm г1/г f — - 1Р.пи\ = О, v(r„z) id. (9)

Г — со вг 0 '

Запропонованэ методика чисельного розв'язяяня крайоьих задач для р1вняння (7) попербдньо полягае в зам!н! за допомэ-гоы штучно! границ1 Гк = r,z), г = R, R » О, О й z í L \ необмеяено! облает! обмехюно»; побудов! та постаноЕц1 крайо-вих умов на Гй 1 при г —► 0. Методика ефоктхшно1 апрокскмацЛ умови штром!штання розроблена на основ! анал!зу повед1шш точного розв'язку при г i R, побудованогс за допомогою методу в1докремлэння зм!нних при стали коэф!ц1ентах n(r,z) = 1, o(r,z) = с, v(r,z) - v. Праймаючи до уваги в крайов1й умов! на ф!ктивн!й границ! одну або певну к!льк1сть попириочах мод, одерзшю крайову умову

Qu(r,z)

= О, О < z < L. (10)

r-ñ

де у вшадку локалышх 1 нелокально! крайових умов оператор Q внзначаеться сп1вв1дноаенняш

Íu, V > О ,

~ " +Ж • V г О ,

Qu = öu _ T(u)f v i Q

ör

в1дпов1дао.

Тут введено позначення

Jf

Т(и) = £ WR.z).4>nfiJ>(»^.n - ^ )<PnW .

п=<

де = tv; - ц2;'/2. Фпсг; sinf^z;, =

Де \ > О, Im Д, i 0: Л - к1льк1сть мод, як1 вносять суттовий вклад в розв'язок ( Л - найб1льше ц!ле число, за яким п1дао-реневий вираз для А.п додатаШ ); <и,и> - скалярный добуток. Умова при г — О встановлена аналог!чно i мае вигляд

flu tt_

Um г— =--(z-z0). ч> (11)

г - о ör 2% ■ 0

В обмежен1й област1 дискретный аналог р1вняння (7) з умоваш . (10), (11) 1 нудьовими 1файовими умоваш на горизонтально. делянках, иобудований на с1тц1 о> = •{ (rn,zb), гп = t/2 +%(п-1),

п =1.2, = Ith, к = 1.U-1, rN - R, zu = L j-

1лтегро-1ятерполяд1йним методом, ыоша записати у вигляд! операторного р1вняння

Av = /, (r,z) е w, (12)

де оператор А д1с в г1льбвртовому простор1 11 кошлекспо-значних с1ткових функц1й, заданих на ш 1 задовольняючих ну-льовим крайовим умовам при z = О, z = zu. Скалярний добуток 1 норму в Т1 введено эа формулами

н? и-1

(u.v) = £ ^Jhrunftvn )k , M=(v.v)1/2. (13)

n=tk=f

t/2, п =1; п=/Г ;

t =

t, 2 i n i. S-1,

де 111 = N - 1 у випадку крайово1 умови парного роду 1 11 i = N за умови трэтього роду.

Зокрема, використовуючи загальнов1дом1 позначення теорИ р1зницевих схем, оператор А у випадку локально! крайово1 умови третього роду можна представит у вигляд!

Ли

-К

(-■/2)

Г уг

1 - у_ - b(r,z)v , (r,z) € ш , Jr zz

- % v„ - v_ - b(r,z))v, b(r,z)= l£(nz(r,z)-Hv(r,z)),

zz u

(r,z) = (r1tr..J, к = 1,U-1

V

(r,z) --- (r^J, к = 1.И-1 ,

де - р1знкцевиа оператор крайово! умови на ф1ктмвд1й границ!:

V

тт.

v_- v_ - \ыг,г) + -|(£Х й - 4 ) 1» . г zz я

У випадку локально! крайовоХ умови первого роду необ-х1дао враховувати, ¡до 11 =11 - 1, v;j = О.

Для комплексного несямоспрякеного оператора Л р1зницево1 (12) 1з врахузанням локальнах крайових умов установлено 1снування обмеаеного оберненого комглексного оператора Л'1 в норм1 (13).

Поряд з локальними крайовими умовами в робот1 дослШюна р1зшщеза схема для крайово! задач1 з нелокальною крайовою угловою (.10) на штучп1й грашщ1. Енесл!док апроксимацП " ди-ференц1ально1 задач1 сдоркана р1зницева схема, для уявно! честили комплексного оператора яко! показана додатна означен1сть в cghcI скалярного добутку (13). Кр1м цього, установлено такой 1снування обмэхеного оберненого оператора р!зницево! схеш 1, як насл1док, ст1йк1сть.

Т о о р е м а 3. Для комплексного несамоспряженого оператора р1зницево1 схеми (12) 1снув обэряениЗ, причсму < С, С = const, С > 0.

v

Для рв8л1зад11 системк л!н1йних алгебра!чннх р1внянь (.12) з комплексною неерм1товою ыатредею залропоновано 1терац!йний метод, яккй ьикорлстовуе алгоритм спряжених град1ент!в з пе-реобумовлечням.

Взабмод1я подя 1з 'зовн1шн1м середовгацем моделюеться за допгмогою 1мпедансно1 крайово! умови третього роду, задано1 на нижней границ1 хвдлевода. В цьому випадку зг1дно з виде вик-ладоною методикою запропоноьана конструктивна епроксимац!я умови Зоммерфельда на штучн!й граяиц1 у вигляд1 локально1 або нелокальыю! крайово! умови. Диференц1альна задача апрок-спмуеться р!зницевою схемою, яка враховуе 1мпедонску умову 1 р1зн! тшш локально! або нелокально! гранично! умови на штучно границ!. Досл1даено Еластивост1 комплексного оператора р1зпацово1 схеш 1 встановлено 1снуваннл обкеженого оберненого оператора.

В 93 розглядэються п1даода 1 метода розрахунку комплекс-позначного хвальового поля точкового дкерела ь смуз! 1 п1всму-э1 у докартов!й та цил1ндричн1й системах координат в1дпов!дно, заповнепих серодовщом . з кусково-стапою густиною. Спочатку досл!джуються розв'язки крайових задач у зипадку неоднор!д-них областей з горизонтальном л1л1ями розпод1лу середовшца в декартов1Я та цил!ндричк1й системах координат. Зазначен! розв'язки за допомогою методики зшивання застосовуються для роз-робки ефективних метод1в розрахунку важливого класу хвильових пол1в в неоднор1дних областях 1з стул1нчатою л1н!ею розпод!лу середовща.

В четвертому параграф! пропонуеться методика побудови ма-тематично! модел1 1 чиоельно-анал1тичного розв'язку поля точкового даерела в цил!ндричному хвилевод1, шо характеризуеть-ся кусково-сталою густшом з довыьною границею розпод1лу та кусково-неперервним кооф!ц1гнтом заломлення. Математично задача описуеться крайовою задачею в несднор1да!й за густино» облает! С = {(г,г), Ойгй<о,Ойгй1) з кусково-гладкою границею розпод1лу середовища Г = ((г,г), О < г < <», г = в(г)> для ел1птичного хвильового р!вшшня р д , 1 ди . вг) Зи.

— Г- г — I + Ра —I ~ — I * К,(п1(г,г) * &а)и. = - /, г <?гд р_ дг } а дгЛ а„ Эг > 0 а а

а а (г,г) е с , а = 1,2

з в1дпов1дними крайовлми ушвами 1 умовами 1деального спряжения на границ! розпод!лу середовшца

["31,

ви

|Г+ "|Г" ~ 1 р Оп

= и| . - и| = О М--1

I о Вп 1

= О , (14)

де б = и вгш, <?2 - нэоднор1дн1 серодовщз з густиною р^г.г), рг(г,г) а1ддов1дно; па = с0 /са(г,г) - коеф1ц1ент заломлення; Уа = Уа(г,г) - ко8фЩ1вЕТ поглинання, причону т>2 » г»1, > 0.

Для чиселыгсго розз'занпя сформульована диференц1альна крайова задача в обгле^енШ облает!; за дошмогою 1нтагро-1н-терполяцШюго методу пэбудовааа 1 дослЛдаена р!зшщева задача; установлено 1снувоння обмеавного сбернвкого комплексного оператора, що означав ст1йк1с2ь р!зницево1 схеми.

Глава 3. Явеий метод досл1дкен-ня хвкльовах процес!в п!дводно! акустики з неоднор1дних х в и л е в од а х . В глав1 досл1дкуються крайов1 задач! дчя хвилъсвого р!вняпня Гельмгольця в двозпмЛрних неоднор1даих середовидах шляхом попереднього перетворення диференц!ального оператора ■ з подальшнм використанням та сбгрунтуьаииям чисельного роз"-в'язання задач! Кош1 для ел1птичного хвильового р!вяяиня з комплексним несамоспряженим оператором. Такий п1дх1д до побудови наблияеного розв'язку за допомогою певнзх перо'гворень р1вняш!я Гельмгольця вякористовуеться при моделюванн! пош-рэння акустпчних хвиль на велик! в!дстан1 в1д даерела ванро-ы:Шювання; збер1гае прям! 1 об&рнон! хвил1; вид1ляе за допо-могою фушсцП Ханкеля високочастотну складову акустачного поля ! задовольняз на нзск.1яченност! умов1 випром!ню-вавня Зокмерфельдп. Методика досл!даэння дальнього ннзько-частотного акустичного поля в азимутально-сшетричпому серэдовнц! (при к0г »1) базуеться на представленн! розв'язку р1вняння Гельмгольця р(г,г) через коливну функц1» Ханкеля, промодульоввну досить плавной ампл1тудою р(г,г) = Н(01 )(к0г)п(г,г), яка задовольняе ел1птичдому хв:-ш>о-вому р1£1шшя

du ePu _

2tkn — + —, + —- + &.(nz(r,z) - 1)u = 0 . (15)

0 ör <322 . ör2 0

В Sl досл1даувться явний тришаровий р1знидевий метод роз-в'язання перетвореного рЛвняння Гельмгольця (15) в неодаор1д-н1й област1 G = (г > ro,0 < z < L) 1з врахуванням початково! 1 крайових умов в1дпов1дно:

U(ro-z) - U(Z)' <16)

и(г,0) = u(r,L) = О. На с1тц! = , = ( г = rn - rQ * пх, я = 1,2,.,.,},

ah = f z = = ЯП. Я = , П = L/S )

дифереыц1альн1Я задач1 (15)-(16) ставиться у в1дпов1да1сть яв-на тришарова р1знидева схема другого порядку апроксимацН

v + i2Rv + 4v = О , v £ И , г гг

0 1 (17) v(0) = v°, v(i) = v1

з комплексними несамоспряженими операторами Я, А, д1ючи>ш в гЛльбертовому простор1 Н комшмксних о1ткових функцШ, зада-них на wh 1 р1вцих нулав! при z = О, z = I :

R = - ("уЕ, 7 = 1/(2kQI2), Е - одинкчний оператор,

Av = -i ( - v - J, efr.z; = nz(r,z) - 1, 2k0 zz 0

Вв1вши в H в1дпов1дно скалярний добуток 1 норму

fo.yj = £ vyh , Ци|| = \(v,v) , (18)

К

п1д стЦШстю р1зницево! схеми за початковими даними будемо

розум1ти виконання оЩяки g yn+J J2 s p2j yj2. n = 0,1.....

де D - деяний (мохливо ам1ннмй) самоспряжений нев1д'емний оператор 1 величина рп р1вном1рно обменена при п— со стало», нозалеююю в1д параметр1в с1тки. У випадку двошарових схем 1/п = (Уп>. Уп е Ч, для тришарових у = (уп, у11*1), у е й2.

Мае м1сце

Теорема 4. Р!гницева схема (17) eiLtbia за почать.-вими даними в норм1 (|-|Q , породжен1й деяким функц!оналом, при виконанн! умов п

а * -/кЬхг(1 - е ) - 4 . к л/1 - 8 > 2.(19;

4 + е^Л2 0 0 ° 0

дэ - е0 й в(г,г) 5 е1 , &0, в1 г 0.

При виконанн! угон (19) для розв'язку одержано апр1ор-ну оц1нку в 61льш простих нормах || vn |и Л й"0!!* 11и'й- Для

п

розв'язку неоднор1даого р1вняння (17) такоз установлена апр!-орна оц1вка, яка означаз ст1йк1сть за початковами даними 1 по прав1й частин1.

Покращити умови (19) дозволяв запропонована з зикористан-ням оператора усереднення явна схема вигляду (17) з операторами

Я = - (72. л» „ Л о _ т = Г - 1- ] ,(20)

2к 22 0 о г2 Пг •>

як а апроксимуе днференц1альну задачу з похибко» апроксимацИ 0(12т2+СгУП)г).

Встановлено, г • р1зтщева схема (17).(20) ст1йка за тто-чатковими даними при виконанн! умов

2 J ь2к2

1 5 — *0

k1Jf(1 - Е.) - 4 - ,-

-S---J-g- . HJi /? - е0 > 2 . |егг.«л i eQ.

S</4 +

Якщо e(r,z) = 0, то* обмоиення на t взагал1 зникае 1 залишав-ться умова т1лькл для h.

У другому параграф! проведено досл1даення явних тришаро-вих р!зницевих схем розв'язання початкове-крайових задач для ел1птичного хвильового р!в1шяня в неоднор1даих середовищах, як! характеризуются зм1лною шввдк!стю звуку ! зм1иноа або кусково-зм1нною густоков серэдовкаа. Методика побудови i дос-л!даення явних триаарових р1зницевих схем у вшзадку неоднор1д-ного середов1гда з кусково-сталою густиною внкладена на пршсла-д! р!вняння (15) в двошаров1й облает! з умовами спрягення (11)

на горизонтально л1л11 розпод1лу г = I, 1 < 1 альна задача апроксимуеться р1зн'ш,овою схемою

+ т2Ди )+ Ао = О , г гг

иго; = у0, = V1 з комплексными несамоспряжсними операторами

Я = - (7В . Л» ж -1 ГГот^з - 7 = 1/(гьоч?),

2Ь0

1)V = (22)

де коеф1д!енти Щг), а(г), Ь(г,г), ¿(г) визначаються вх1д-ними даними. Для р!зницево1 схеми (21;-(22) установлена ст1й-к1сть за почзткоеими даними I одбртан1 умовп, при виконаш1 яких ст1йк1сть мае м!сце.

Глава 4. Чисельне досл1дзкення поширення однонаправлоних хвильо-вих пучк1в в неоднор1дпих хвиле-водах. В глав1 досл!джуються кра£ов1 задач! для хви-лъового р1вняния Гельмгольця в доу-то^рних неоднор!дних соредовщах шляхом апроксимацИ р1вняння Гельмгольця па-рабол1чними р1вняннями в частинних пох1дних типу Шред1нгера ( парабол1чна апроксимац!я ). Такий п1дх1д такох базуеться на продставлэнп! розв'язку р1вняння Гельмгольця у вигляд1 р(г,г) = Нс0'}(Р.0г)и(г,г) 1 використовувться для моделюваяая поширення звукових хвиль на велик! в1дстан1, в основному, при вивченн! одионаправлених хвильових процес1в. Це пов'язано, в першу чоргу, з моЕлив1стю побудови ефективних чисельних мето-д1в розв'язання таких р!вняяь. Парабол!чн1 апроксимацИ е наблшшнням хьильового р1вняння Гельмгольця для певши. кут1в псширення акустичио! еяергП 1 ыожуть бути одержан1 за дспомогою пол1нома Тейлора аОо рац!онально.1 апроксимацИ оператора кореня квадратного в базовому псевдодиференц!альяому р!внянн1 в частивших пох^дшсс

2 1 /2

+£й0( Е - Г Е + (пг(г,г) - Е) + ) )и = О, (23)

к0 дг

де В - одикичний оператор.

Проведено чисельне досл!даення початково-крайових задач

. Дифереяц1-(21)

для парабол1чних хвильоеих р1внянь типу Шред1нгера з комплекс-ним несамоспряженим оператором в найб1льш повн1й математичн1й постановц1. Встановлена ст1йк1сть запропонованих рХзшщвЕ.л. схем за початковими данями, по прав1й частин1, а такоз зб1&-н1сть наближеного розв'язку до розв'язку дифвренц1ально1 задача-

В 3 2 запропоновано п1дх1д до побудови та досл1даения ¡'а-но! тришарово! р1зшщево1 схеми

IV^ - (са^)х + = О,

и(х,0) = V0, и(х,%) = V1, (24)

у(о,г) = о , и(Ъ.г) = о ,

яка апроксимуе початково-крайову задачу для нестац1онарного р!вняння Шред^ера з1 зм1нними ''-->еф1ц1еитами

ви д . ди ^

I---Шх^) — = о, ъ(х,г) > о, о < х < ъ, о й г * т

дг дх1 Ох >

з точн1стю 0(1г+Ъ.г+ у2), у = ч/П при а. = к(х, „ ),

м I -4 А А —и.О Т\

Ь(х^) - 7 (а+а )/2. Актуальп1сть досл1дження явних схем вик-ликана немоклив1сты побудови (на в!да1ну в1д парабол1чних р1в-нянь 1з д1Ясним самоспрязшним оператором) зручних з точки зо-ру реал1зац11 явных уыовно-стИйшх двошарових р1зницевих схем для розв'язання парабол!чних р!внянь типу Шред1дгера.

Методом енврг.чпчних нер!вностей доведена безумовна ст1й-к1сть р1зницево1 схеми (24) за початковими даними в норм1 || ■ || , пород£вн1й деяккм нев1д'емним оператором. 0ц1нку розв'язку в б1льа простых нормах |М1В, Ло= - (, Ви = Ъ(х,г )и

встпновлюв

Теорема 5. Явна тршзарова р1зницева схема (24) безу-мовно ст1йка за початковими даними 1 для И розв'язку справедлива оц1яка

! »""¡и.„>! {I" !«•.>' I I»«.' }•Е>0-

Аналог1чно встановлена апр1орна оц1лка для р1вняння (24) з неоднор1дною правою часпшов, яка дозволяв досл1дати зб1ж-

HlcTb розБ'язку р!зкицево! czem (24) в норм! при

Л,т, t/h —* О.

Поряд !з явно» схемою проведено досл1даення с1ыэйства не- . явних двошарових р1зницевих схем

lvt + А( ov + ( 1- а)v) = О , v(x.O) = v°, (25)

де Av = - а - д1йсний (комплексная) числовий параметр.

Мае м!сце

Т а о р е м а 6. ДЕОшарова неявна р!зницева схема (25) безумовно ст1йка за початковими даними при о 1 0,5 ! для 11 розв'язку мае м!сцэ оцХяка j| vn Ц s. (j у0 ¡|, v с Я .

Установлена ст!йк1сть при о i 0,5 по прав1й частин! дво-шарово! р1знкцеЕ01 схема (25) з неоднородною правою частиною, одержано anplopul оц1нки в нормах ||• J-J, досл1даено питания эб1алост!.

Теорема 7. В клас1 достатньо гладких розв'язк1в р1зницева схема (25) зб!гаеться при о = 0,5, h,x—► О в норм! О • || 1з швидк!стю 0(%г+ h2).

ТретШ параграф присвячений чисельн1й реал1зац!1 двочлон-но1 тейлор1всько! апроксимацН р1вдяння Гельмгольця, ефективне використання яко1 обмзгене кутами погашения акустично! енергН до горкзонтал1 в медах ± Ю°. Досл1дауеться двошарова опера-торна неявна р!зницева схема

Bvr + Ov = О, v е Н,

з операторами В = (2lk0 + 0,5ib(r,z))B + 0,5тЛ,

С - Л + b(r,z)E, Av ■= Ev - v, ' .

яка апроксимув з другим порядком точлост! початково-крайову задачу для парабол1чного хвыльового р1вняння

ди дги

2iP.n— + —_ + k%(n2(r,z) - 1 lv(r,z))u = 0 . °8r fiz 0

Тут v(r,z) i 0, b(r,z) = kl(n2(r,z) - 1 + tv(r,z)) 1 для до-в1льно1 clTKOBOl функцН f(r,z) позЕачено / = f(r,u0.s >z )• Mas Mlcue

Теорема8. Р1зницева схема (26) безусловно ст1йка за початковши даними в норм1 [| • ||.

Для р1зницево1 схе:,и з неодаор1дно» правою чястшюю одержана апр1орна оц!нка, яка дозволяв встеновити зб1зсн1сть в нор-Mi ||-Ц при h,x—* О 1з швидк1стю 0(1\г+ т2;.

Проведено досл1даення ст1йкост1 неявно! двошарсЕо1 р1зни-цево1 схеми (26) з операторами

h2

С = Л + (Е + jri A)Q, Qv = b(r,z)v, Ev = v,

(27)

В = |C + 2tk0(E + л;. Av - ,

яка апроксимуе дкференц1альну задачу з точн1стю 0(i2h h4). Установлена бззумовна ст1йк1сть за початковими умоваыи в норм1 II-1.

Поряд 1з неявнима схемами велико1 уваги потребув розроб-ка явних алгоритм1в реал1зац11 р1знмцэвих задач, ефективн1сть яких особливо проявлявться при викорисганн1 методики паралель-них обчислень 1 при розв'язаня1 Сагатовим1рних задач. Пя баз1 розщеплення р1зницевого оператора запропоновано явний метод, до розв'язок дискретно! задач1 на (п+1)- му кроц! визка-чазться за формулою v = (w + у)/2, де to, у - розв'язки допо-м1кних явних двошарових р1зницених схем

(21к0 + 0,5ib)iyp + (mz - + b(r,z)w = О ,

(28)

(2tb0 + 0,5хЪ)yr + (уг - yj)/h + b(r,z)y = О

з умовамн у0 = v° в1дпов1дно. для зазначених явних задач установлена безумовна ст1йк1сть за початковими даними.

В 84 розглядаеться чисельне розв'язання парзболХчкого хвильового р1вняння в цил1ндричних координатах

^ = %L / f е\ L = (n2(r,z) - 1)E * 2^.(29)

Or 2 1 4 JJ к* dz~

яке одерзшне за допомогою дроСово-л1н1йно1 апроксклацП р!в-няння (23) 1 дозволяв враховувати пошрэння акустнчно! енер-г11 в неоднор1дних областях, з кутом пошрення до ±23°. Проведено досл1даення ст1йкост! за початковими умовами неявно1 дво-шарово! р1зницево! схеми з похибкою апроксимацИ 0(12+Ь2)

Вуг > Си = О, V е Н , (30)

•о(г0.в) = V0,

, 4 » К-.

а операторами В = Р * (!- Е + ^ Р I , С = Р ,

Р = ЬЕ - П/2фл , Ли = ^ , Ъ(г,2) = 1 - п2(г,г). Результатом дослХдаень е

Теорема 9. Р!зницева схема (30) абсолютно стШка за початковими умовами в корм! || • ||.

В 5 5 досл1даувться ст!Як!сть за" початковими умовами явно! тришарово! р!зиицево! схеми другого порядку апроксимацИ для тричленного тейлорЛвського наблюкешш оператора коре' ня квадратного в псевдодиферэнц1альному р1вняш! (23)

ц, + «глГ - Г/2 + ъг/а\и » О, Ь = (пг(г,г) - 1 )Е + •

^ 01 ■> 1г^дгг

Внасл!док досл1даепня явно! тришарово! схеми * Ли = 0, (г,г) б ,

и(0,г) = О , v(L,r) = О , оСг.О.) = V0, v(z,'z) = и'

з деякш р!зницевкм оператором четвертого порядку А установлено сп1вв1дношення м1к кронами с1гиш, при вшсонанн! якого мае м1сце ст1йк1сть за початковими данями. Запропонована методика реал!зац1! явно! схема, яка дозволяв зыеншити к1льк1сть ариф-метичних операц!й в два рази.

Аналог1чно досл1даэна р!зшщева схема для парабол1чного р!вняння

ь^ /• (Й0[ -Ы - о!? ]и » 0 ,

одержаного за допомогов апроксимацП оператора кореня квадратного вигляду ( 1 + х ),/2 = 1 + ta + сх2* 0(хэ) з коеФ1д1ен-тами, оптимально п1д1браними для заданого 1нтервалу аргумент и. Зокрема, для 5 1/2 в1дпов!дними значениями коефЩ1ен-т1в е а = - 0,13629699, Ь = 0,51763797, ¡до в1дпов1даа но-ширеншо акустичних хвиль з кутами нахилу до горизонту в мехах ± 45°. •1

Глава 5. Математичне модолюван-ня задач а н а л 1 з у та синтезу акустичних п о л 1 в. В глав! проведено анал1з ефективност1 та розглянуто застосування розроблених чисельних метод1в для конкретних прикладних задач форлування акустичних пол1в.

В 5 1 проведено пор1вняльний анал1з ефективност1 р1знице~ вих-задач для ел1птичних та парабол1чт1Х апроксимац!й р1вняннл Гельмгольця на тестов!й задач! знаходкення поля точкового джв-рела в однор1дн1й облает!, для яко! 1снуе точнмй анал1тачний розв'язок у вигляд! сумм нормальных мод. 0ск1льки з кожною модою можна пов'язати певний кут поишрешя, то пор!вняння явних i неявних р1знидевих схем проведено 1з урахуванням впливу па-раметр1в с1тки Л, i та к1лькост1 нормальних мод на точнЮть сдержуваних результат!в. Результата деяких чисельних експери-мент1в показан1 у вигляд! граф1к1в, як! !люструють залежн1сть 1нтенсивност1 поля (10lg\p\2) в1д в!дстан! г на ф!ксован1й глибин!. На рис. i показана 1нтенсивн1сть поля на частот1 / = 100 Гц з максимальним кутом розповсюдхення 7,3* (врахрву-еться 5 мод). 1з анал1зу гра$1к1в на рис. 1,а,б вшшгоае, що розв'язок неявно! р1зницево1 схеми (26) характеризуемся б1льиим зеувом фаза, híx розв'язок задач! з явно» реал1-зац1ею (28). Зауважимо, до результата обчислень одержан! при таких значениях крок1в с1тки: «t = 35 м, h = 10 м. Схема п!д-вгаценого порядку точност1 (27) мае суттеву перевагу на груб1й с1тц1 (на рис.1,в показан1 результата розрахунку при h = 20 м, "с = 70 м ). При цьому сл1д зауважити, що при таких параметрах с!тки розв'язки неявно! рХзницево! схеми (26) 1 схеми (28) мають значну похибку.

В ц!лому, анал!з проведених чисельних розрахукк1в пока-зуе, що явн1 р1зницев1 схеми реал!зац!1 елйггачного 1 парабо-л!чного р!вняш> дозволяють одержати б!льш точн! результата.

-23 -29 -33 -37 -41 -45 ■ -19 -53

9 ^a yi p ^ .-¡o y y y

«/«№> rseV'moa

C"tOM arjroro KltHfVJ UMtCCYl, h 5 10 «

-23

-37 -41

-45 -49 -53

wieim

4?_S_J2—£—^—30—£-37—40 ri,

tumhmä

pgb« e**ni3*uln cxewt ähiroro nopa^su r&wocvi, h = IQ n

g y &_p y y y_^_j?_y r,R

ttrs&iä psraa'fssoä

cy&ia rtljlb*s?№l xo»#»c'/i» h = 20 m

MVV\N\(V

Fnc.1. iHTeiicjiBKlcTb nojifi Ha ropsnoirri z=120 m mh 5

н1я неявна двошарова схема (26). При цьому задачу (17), врахо-вудаги обмвкення на крок П, доц1яьно використовуватя прн розра-хунках пол1в у випадку малих кут1в псширення ьверг11 1 при необх!дност1 врахування пряыих 1 сберпених хвиль у хвилевод1. Р1зницева схема п1дви]деного порядку точност1 (27) мае значну перевагу над схвмоэ другого порядку. Особливо в1дчутно ця перевага проявляеться на груб1й с1тц1 по вертикальному напрям-ку, що мае валике значения в практичннх задачах.

В 3 2 - 53 розглядаеться постановка та метода розв'я-зання задач формування задают, структур акустичного поля в неоднор1дш£х хвилеводах. Задач1 формуваняя акустичних пол1в у двовш1рному осэсиметричному хвилевод1

С = б и Г = ( г ± г0 , О а г < Н } форму.таються як задач1 м1-м1н1м1зац11 функц!онал1в

1(г) \и(г)\2 ]<2з , (30)

)2 + 1(г)\и(г)\г ]йг,(31)

+ 1(г)\и(г)[2 ]<2г , (32)

язком крайово! задач!

+ №(г,г))р « О ,

(г,г) € С, (33)

= О .

Подаючи керування у вигляд1 и(г) = |и|етрС(и;, в робот1 сформульован! задач! ачшЦтудио-фазового, ампл1тудного та фазового керування, для яких потр!бно знайти тако и(г) <е У; ( в1даов1дао |и| е Пг, о € из ), яке м!н1м1зуе критерП к = 1,2,3 при обмекеннях (33).

1,(и) = |( а(2)\р(Ъ,г) - р0(г)\г

о я

12(и) = а(г)(1р(Ъ,г)1 - |р0(г)

о

Я

13(и) = а(г)(\р(Ъ,г)\2 - ¿0)2

о ■

за умовп, цо р(г,х) являеться розв'.

<ЗР д2р

РI = и(2), р| = р

г=г0 |г=о \г=п

Для функц!онал1в (30)-(32) установлено диференц!йова-н1сть, одержано сп1вв1дношення для град1ент1в 1 запропоновано для м1н1м1зац11 град!ентну процедуру з чисельною реал1зац1ею град!ент1в за допомогою розроблених р!зницевих схем.

Запропонована методика досл1дкення широкого кола оптим!-зац1йних г1дроакустичних задач була апробована при розв'язанн1 деяких актуальних прикладних задач, зокрема, задач1 фокусуван-ня акустично! енергП в задану область хвилевода. В S 3 зазна-чена задача математично формулюеться як задача знаходаечня м1н1муму функц!онала (30), де p0(z) - задане полэ розпод!-леного по oci z точкового дкерела з координатами (г? z°), а 7(z) визначае апертуру антени. Ыоделювання сфокусованого поля проведено з використанням схеми п1дащеного порядку точ-hoctI для чисельно1 реал1зац11 град!внт!в.

Результата чисельного моделювання сфокусованого поля в залехност! в1д в1дстан! м1ж антеною 1 точкою фокусування, про-тяшост! деерела, частоти та 1ншх параметр1в хвилевода доз-воляють провести анал1з ефективност! фокусування. Зокрема, для • заданого поля у вигляд! гауссового джерела анал1з впливу л1-н1йних розм!р1в випром1нюючо1. антени проводився на частот1 f = 100 Гц в хвилевод! з глибиною 250 м. В окол1 (г?2°) виз-началось положения максимуму (г,z), а потЛм будувався граф1к функцИ \<S>(r,z)\, Ф(r,z) = Hl0' >(k0r)p(rfz). Результата розра-хунку модуля поля \<h(r,z)\ у вертикальн!й площин1 для двох р!зних значень положения антени (1а = 250 м, 1а = 150 м ) показан! на рис.2,а,б в1дпов1дно. Анал1з розрахунк1в св1дчить, що центр фокально! плями знэходиться в окол1 точки (r°,z°) 1 найкраще фокусування мае м1сце при повному перекритт! хвилевода антеною. Зменшення розм!р1в антени 1а веде до пог1ршення якост! фокусування. Одночасно появляються поб!чн1 1нтерферен-ц!йн! викида, причому р!вень 1нтерференц!йних максимум!в зрос-тав ! досягав значения поля в окол! фокально! плями.

Залекн1сть проф1лю поля в!д дистанцИ м1я фокальною пля-мою i антеною показана на рис.3, де приведен! вертикальн! роз-р1зи поля при таких значениях в1дстан1 до антени: 1 - г°=20 км, 2 - г°= 40 км. Незважаючи на зменшення |Ф | 1з зб1ль-шенням в!ддал1 м!к фокальною плямою i антеною, на граф1ках спостер!гавться ч!тко виракене фокусування в задану область.

висновки

Дана дасертац!я е науковою роботов, в як1й розроблен1 но-в1 теоретичн! 1 практичн1 положенья в област1 метод1в матема-тпчного моделювання задач поширення хеильових процес!в в неоднородных сирэдовищах, як1 описуються крайовими (початково-кра-йовими) задачам для хвильових ел1лтичних (нарабол1чних типу Шред1нгера) р1хнянь з комплексним несамоспряженгол оператором.

Осповн! неукоь! 1 лрактачн! результата дасертащйно! робота:

1. Розроблена нова методика розв'язання широкого класу задач поширення акустичил. хвг^ь в нзоЗмеж^них неоднор1дних областях, що базуеться на створених математичних моделях р1з-ного р1вня, ур!занн1 неск1нченно! облает! з постановкою в1дпо-в1да!х умов Б'.шро;л1нивання на штучн1й границ!, декомпозиц11 вих!дпо1 облзст1 з використанням акал!тичного зоЗраженнл впли-ву точкового даереда та методики зшивання чисельного 1 анал1-тичпого розв'язк!в.

" 2. РозроСлен! теоретичн! ссеови чисельного доосл!даення хвильових процвс!в в неоднор!дних серед^-ящах у вигляд1 крайо-вих (початково-крайових) задач 'для елЮТичних (парабол!чних типу ИГрод11ггара) хвильових р!вщш> з комплексним несамоспряже-ним оператором:

- розроблбн1 та обгрунтозан1 нсв1 чисельно-анал!тичн! метода розрахунку хвильових процес1в п!дводно! акустики в неоднородных сэрэдовидах на основ1 розв'язакня крайових задач для хвильового ргвняныя Гельмгольця з комплексним несамоспрякеним оператором, запропонован1 метода дссл1дження ст1йкост1 та зб!жност1 дискретних задач з комплексним несамоспряженим опе-тором;

- запропонован1 метода дссл1дження 1 одержан! нов1 за-гальн1 умови ст1йкост1 за початковими данями, по прав1й частм-н1 явних тришарових р1зницевих схем для чисельного моделювання акустячних пол!в на основ1 розв'язання задач! Кош1 для перетвореного р!вняння Гельмгольця з комплексним несамоспряженим оператором;

- запропонован1 нов! метода проведения досл!даення ст1й-кост! за початковими данями, по прав!й частин!, а також точ-

hoctI р1зницевих схем для розрахунку широкого класу одконап-равлених хвильових процес1в п1дводно! акустики, г_к! описуються парабол1чними р1вняннями з комплексним несамоспряжбним оператором. Розроблен1 нов1 ефективн1 обчислювальн1 алгоритга на основ! яеиих двошарових стек та неявно1 схе:,м п1двиценого порядку ТОЧВОСТ1;

3. Розроблен1 математичн1 модел1 та обчислювальн! глго-ритми керувгння акусткчними патам в неоднородных хвилесодах на ochobI парабол!чних хвильових р1лнянь з комплексном несамо-спряженим оператором.

4. Розроблено алгоритм!чне 1 програмне забезпечення для проведения досл1дленпя широкого класу задач попшрення акустич-но! енерг11 в п1дводяих хвиленодах 1з врахувэнням складиих неоднор1 дних г1дролог1члпх умов та геометр 11 дна, в -тому числ1 для розв'язання задач формування заданих акустичяих структур в горизонтально-неоднор1дних хвилеводах.

5. OchobhI результата проЕедених досл1дхеяь використан! при виконакн1 1 впровадеонн! НДР та ДКР в НД1 нАтолн( м.Суху-м1); КБ "Шторм".(м. Ки1в ).

Автор вважае cboIm обов'язком вирэзити вдячн1сть за, ц11ш1 поради та пост1йну увагу при виконанн1 дано! робота своему науковому консультанту члену-кореспонденту HAH Укра1ни, доктору ф1зико-математичних наук, професору Е.В.Скопецькому.

OchobhI положения дисертацИ опубл1кован1 в таких прзцях:

1. Гладкий A.B., Ляшко И.И., Мистецкий Г.Е. Алгоритмкза-ция и численный расчет фильтрационных схем. - Киев: Наук, думка, 1981. - 281с.

2. Гладкий A.B. Численное решение уравнения Гельмгольца с комплексными коэффициентами // Докл. АН Усср.сер. А. - 1984. -Ü 2. - С. 75-78.

3. Гладкий A.B., Скоробагатысо A.A. О ресении уравнения Гельмгольца с комплексншли коэффициентам в открытых областях // Вычисл. и прикладная математика.- 1985. - Вып.55. -С. 16-21.

4. Гладкий A.B. О решении уравнения Гельмгольца в ступенчатых неограниченных областях // Вычисл. и прикладная ;.:атема-

-га -г- -

тика. - 1985. - Вып.56. - С. 17-21.

5. Гладкий A.B. Решение волновых уравнений разнортныы методом повышенной точности // Докл. АН УССР.Сер. А. - 1986. -* 4.- С. 33-35.

6. Гладкий A.B., Скопецкий В.В. О численно-аналитическом решении волновых уравнений в оптимизационных задачах // Автоматика. - 1986. - * 5. - С. 78-80.

7. Гладкий A.B. Решение уравнения Гельмгольца в бесконечных неоднородных областях // Оптимизация численных методов решения задач на ЭВМ. - Киев: Ин-т кибернетики им. В.М.Глушкова АН УССР, 1Ö66.' - С. 54-57.

8.' Гладкий A.B., Ривелис Е.А. Численно-аналитический метод расчета звуковых полей в некоторых неограниченных областях // Математические методы в прикладной акустике. - Ростов-на-Дону, 1986. - С. 78-83.

9. Гладкий A.B. Решение уравнения Гельмгольца в некоторых бесконечных областях // Вычисл. и прикладная математика. — 1987. - Вып.61. - С. 9-11.

10. Гладкий A.B., Ривелис Б.А. О построении целевых функций в задачах проектирования одного класса систем обработки данных // Электронное моделирование.- 1987.- * 6. - С. 98-100.

11. Гладкий A.B. Решение волновых уравнений в неоднородных областях // Докл. АН УССР. Сер.А. - 1987.- JS1. - С. 18-21.

12. Ляшко И.И., Гладкий A.B. Устойчивый метод решения волновых уравнений // Докл. АН УССР. Сер.А. - 1987. - J» 8. -С. 29-32.

13. Гладкий A.B. Устойчивый метод решения волновых уравнений в неоднородных областях // Вопросы оптимизации вычислений: Тез. докл. Всесоюз. семинара. - Киев, 1987. - С. 48-49.

14. Гладкий A.B. О решении волновых уравнений явным разностным методом // Акустический журнал. - 1989. - Т.ЗБ.- * 1.-С. 37-42.

15. Гладкий A.B. Расчет акустических полей разностным методом // Электронное моделирование. - 1969. - * 1. - С. 91-94.

16. Гладкий A.B. Устойчивость разностных схем для волновых уравнений // Докл. АН УССР.Сер. А.- 1989. - * 3. - С.7-10.

17. Ляшко И.И., Гладкий A.B. Исследование устойчивости разностных схем для волновых уравнений параболического типа

// Докл. АН УССР. Сэр.А. - 1989. - JS 10. - С. 28-31.

18. Гладкий A.B. Численное моделирование акустических полей в неоднородных областях // Акустический нурнал. - 1990. -Т.36. - № Л. - С. 625-629,

19. Гладкий A.B. Схемы повышенной точности решения волновых параболических уравнений в неоднородных областях // Волны и.дифракция - 90: Материалы X Всесоюз. симпозиума по дифракции и распространению волн. - М., 1990. - Т.1. '- С. 27-29.

20. Гладкий A.B. Устойчивость разностных схем в задачах моделирования звуковых полей // Тез. докл. XI Всесоюз. Акустической конф. - М., 1991. - С. 39-42.

21. Гладкий A.B., Скопецький В.В. Ст1йк1сть рЛышцевих-схем для парабол!чних апроксзшац1й хвильового р1вняння Гельм-гольця // Питания оптим1зац11 обчислень: Тез. доп. сиш. -К., 1993. - С. 48.

22. Gladky A.V., Skopetsky V.V. ТЬе stability of difference schemes in the problems of simulation of point sources wave fields // Fourth International Colloquium on Differential Equations. - Plovdiv (Bulgaria), 18-22 August, 1993.- P.65.

23. Гладкий A.B., Скопецкий B.B. Об устойчивости разностных схем для параболических аппроксимаций волнового уравнения .Гальмгольца // Выровдающиеся уравнения и уравнения смешанного типа.: Тез. докл. Мекдунар. конф. - Ташкент, 1993. - С. 54.

24. Гладкий A.B. Схеми п1двищено1 точност1 в задачах оп-тим1зац!1 керування анустичниш полями // 1-а Укра1нська кон-ференц1я з автоматичного керування "Автоматика-94": Тез. доп.

- К., 1994. - 4.1. - С. 132.

25. Сергиешсо И.В., Гладаий A.B., Скопецкий В.В. Устойчивость разностных схем для дробно-линейных аппроксимаций уравнения Гелъмгольца // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1992. - й 9.

- С. 31-34.

26. Сергиенко И.В., Гладкий A.B., Скопецкий В.В. Численное моделирование распределенных систем с несамосодрягенпшд оператором // Кибернетика и сист. анализ. - 1994. - # 6. -С. 51-59.

27. Гладкий A.B., Скопецкий В.В. Явный разностный мотод решенйя нестационарного уравнения Шредингера // Доп. HAH Ук-palHH. - 1995. - й 7. - С. 58-60.

Гладкий А.В. Численно-аналитические методы математического моделирования волновых процэсссв в неоднородных средах. Диссертация на соискание ученой степени доктора Зизико-матома-тических наук по специальности 01.05.03 - математическое моделирование и вычислительные методы в научных исследованиях. Институт кибернетики им. В.М.Глушкова HA1I Украины, Киев, 1996. Защищается 27 научных работ, в которых проводятся исследования в области математического моделирования волновых процессов, описываешх эллиптическими (параболическими типа Щредингера ) уравнениями с комплексным несамосопряженным оператором.

Разработаны методы численного исследования задач распространения волновых процессов в неоднородных волноводах. Проведено обоснование устойчивости и сходимости дискретных задач. Разработанное алгоритмическое и программное обеспечение применяется для решения практических задач формирования заданных акустических структур в многомодовых волноводах.

A.V. Gladky. Numerically-analytic methods of mathematical modelling for wave processes In inhomogeneous (tomaina. Doctor of science theala (physics anl laatha ^tlcs), specialisation 01.05.02 - mathematical modelling anl calculating methods in scientific analyses. V.M.Glushkov Institute of Cybernetics of national Academy of Sciences of Ukraine, Kylv, 1996. The 27 scientific works are defended. There are investigations In domain cf mathematical modelling for wave processes In these works. Processes are described by wave elliptical (parabolic of the Schrodlnger type) equations with complex non-self-con-;Jugate operator.

Methods are elaborated for numerical Investigation of problems of spreading wave processes In inhomogeneous wavegul-des.The stability and convergence of discrete problems are Investigated. To solve practical problems of formation of deflr nlte acoustic 'structures in multi-mode waveguids it is proposed to apply the elabórale algorlthmlcal and program ensuring.

Ключов1 слова: крайов1 (початково-крайов1) задач1, комп-лекский несамоспрямений оператор, метод ск1нченних р1зниць, ст!йк1сть р1зницеьих схем, вкусзичний тиск, хвилевод.