автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численная реализация конвективно-диффузионной модели распространения примеси в открытом канале большой протяженности

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание учёной степени кандидата физико-математических паук

Па правах рукописи

БОЧБВ Михаил Александрович

УДК 519.63:532.566

ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ КОНВЕКТИВНО-ДИФФУЗИОННОЙ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРИМЕСИ В ОТКРЫТОМ КАНАЛЕ БОЛЬШОЙ ПРОТЯЖЁННОСТИ

05.13.16 — Применение вы числительной техники, математического моделировали* и математических методов в научных исследованиях (автоматика, вычислительная техника и автоматизация)

Ростов-на-Дону — 1995

Работа выполнена в Ростовском государственной университете.

Научные руководители

Оффшщадъшле оппоненты -

Ведущая организация

доктор технических паук, профессор И.А.Ннколаев, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Л.А.Крукиер

доктор физико-математических паук, профессор Р.П.Федорепко, кандидат физико-математических наук, доцент А.И.Сухипов

Институт математического моделирования РАН, Москва

Защита 1995 г. и

диссертации 11 ~ т

состоится заседашш

ЩИОННОГО I

______па заседашш диссертационного совета

К 063.52.12 при Ростовском государственной университете но адресу: 344104, Ростов-на-Дону, цр. Стачки 200/1, корп. 2, ВЦ РГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета РГУ.

Автореферат разослан «/3 » НО&Ър^

1995 г.

Учёный секретарь диссертационного совета К 063.52.12, кандидат технических наук старший научный сотрудник

С

ГЦ'

Х.Л.Лженибалаев.

ОБШЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из наиболее важных вопросов в деле зашиты окружающей среды, рационального управления средой обитания человека является задача обеспечения чистой пресной водой. Несмотря па определённую стабилизашно темпов роста уровня потребления воды в развитых странах и даже некоторое их снижение (в Poccmi в 1987 году по сравпешпо с 1980 годом потребление воды сократилось на 6%), общие потребности человечества в пресной воде возрастают, что объясняется ростом населения и уровня жизни развивающихся стран. Как известио, в настоящее время осповным источником пресной воды являются поверхностные источники (озёра, реки, каналы). Таким образом, проблема чистой пресной воды неотрывна от проблемы воссоздания и сохранения здоровой экологической обстановки в природных систолах пресных водоёмов.

Наличие эффективного алгоритма, робастпой программы расчётов, как правило, целиком определяет возможности применения той или иной модели; отсутствие соответствующего математического аппарата зачастую приводит к необходимости отказа от выбранной концешпш моделирования, её упрощению. Поэтому весьма актуальной представляется проблема численной реализации экологических моделей. Здесь практические потребности оказываются действенным стимулом развития математических наук. Так, только за период с 1S65 но 1990 годы в СШ А и Канаде в рамках программы по оздоровлению природной среды внутренних пресных водоёмов и морских эстуариев было реализовано порядка двухсот математических моделей. Их использование дало возможность сократить дорогостоящие натурные наблюдения примерно па треть, а также получить уникальные экологические прогнозы.

Примером моделей, где в силу большого количества исходной информации, или же, из-за невозможности эффективной численной реализации приходится пренебрегать подробностью описания моделируемого объекта, являются так называемые "камерные" модели. Здесь происходит "покамерпое" усреднение характеристик и используются балансовые соотношения, имитирующие физическую связь между камерами. Зачастую покамерное моделирование оправдано сложностью описываемой системы. Тем не менее, в ряде случаев необходимо знать более детальную картину изучаемого процесса.

Диссертационная работа иосвяпхена численной реализации распределённой модели распространения примеси в открытой канале большой протяжённости. Для данного класса моделей — моделей, описывающих распространение вещества в каналах а реках — широко применяется камерный подход. Взятая в основу данной работы распределённая модель позволяет получить более подробную (чем в камерных моделях) картину изучаемого процесса. В то же время при использовании модели возникает ряд серьёзных проблем, связанных с подбором и разработкой алгоритмов расчёта, их теоретичесхаш и практическим обоснованием, организацией вычислений.

Таким образом, проблема численной реализации модели является здесь ключевой, а её решение актуально, поскольку позволяет получить качественно более высокий уровень моделирования.

Дет, и задачи исследования. Целью данной работы явилась разработка математического аппарата и численная конечно-разностная реализация распределённых конвективно-диффузионных моделей качества воды на примере модели распространения примеси в открытом стационарном русловом потоке большой протяжённости, что включало п себя комплекс следующих задач:

• дискретизацию исходной модели, относящейся к классу нестационарных задач конвекции - диффузии;

в исследование свойств получаемого весгшосопрлжешюго разностного оператора;

« построение разностных схем, анализ их устойчивости;

• разработку алгоритмов реализации неявных разностных схем — итерационных методов решения линейных систем с несимметрической матрицей;

» проведение расчетон, моделирующих

(a) залповый аварийный выброс загрязняющих веществ;

(b) действие постоянного точечного источника загрязнения.

Научная новизна. Научная новизна работы определяется по-лученцыми теоретическими результатами и предлагаемым практическим решением ряда вычислительных задач.

В частности, получены достаточные условия, при выполнении которых разиостный оператор, получаемый в результате аппроксимации исходной задачи, обладает требуемым свойством, существенным для дальнейшего решения: представимостью в виде М-

или диссииатипяой матрицы. Л ал се, при исследовании получаемой разностной вполюциоппой задачи с песамосопряжеппым оператором по пространству определепы достаточные условия устойчивости для класса днухслоГшых явно-неявных разностпых схем и схем переменных направлений. В качестве аффективного инструмента расчёта неявных разностных схем предложен итерационный метод переобусловливание простой природы, ориентированные па решение несимметртпгых лшхсйшлх систем.

К мотодологичсскгтм подходам, иоло/нсчтьш в основу рлботы, следует отнести, прежде всего, технологию вычислите льного эксперимента, болкругощугося на триед[гпой кептпеишш

"Модель"---Алгоритм" — "Программа",

а также, в смысле организаадш применения самой модели — принципы системного подхода в математическом моделировании.

Специфика данной модели распространит«! нримеои в открытом стационарном канале большой протяженности состоит п том, что она предназначена для определённого класса задач и имеет системный характер, т.е. ориентирована па практическое пепольно-накис з комплексе моделей, описывающих водную экосистему канала, реки, возможно, всего подлого бассейна некоторого региона, что позволит полнее использовать сильные стороны данной модели.

В рамках данного исследования технология вычислительного эксперимента позволила естественным образом формализовать задачу и пройти всеотапа чпеленпой реализации модели: эффективно применить и разнить существующий математический аппарат, получить и апробировать численпые алгоритмы решения, создать робастные прогоаммы численного расчёта.

Методы псследоваггг^я. Основой проведенных исследований явились методы операторного подхода теории разностных схем н сочетании с классическими результатами матричного анализа. Основные результаты работы получены для разностных операторов, матрица которых диссштативпая (т.е. имеет положительно определенную симметрическую часть) или М- матрица. В первом случае для исследования разностных схем использовался виергсти-чеекмй подход, что определяло яыбор нормы, а которой приведены оценки устойчивости, во втором — характеристические свойства М-матриц позволили получить оценки устойчивости в однородной

сеточной норме. Следует отметить, что псе исследованные разностные схемы являются схемами реплъкативного расщепления или же являются их обобщением. Схемами репликативного расщепления мы называем двухслойные разностные схемы, где операторы, берущиеся с m-го и (m-f 1)-го слоев образуют в сумме исходный разностный оператор и наследуют его свойства. Такой подход позволил с единых позиций рассмотреть весьма широкий класс схем, провести анализ их устойчивости и выявить существенные свойства.

Практическая значимость выполненной работы прежде всего состоит в том, что численно реализовала и доведена до конечного вида — расчётных программ для ЭВМ — модель распространения примеси в открытом стационарном канале большой протяженности. Данная модель ориентирована прежде всего на применение в вко-логическом моделировании водных бассейнов, однако может быть использовала не только в втой области. Действительно, модели распространения примеси имеют достаточно универсальную природу, и близкие по подходам модели встречаются в гидродинамике, теории теалонсреноса, химико-технологических процессах.

Кроме того, практическая значимость работы определяется общностью математических постановок (исследуется двумерная нестационарная задача конвекции - диффузии) и, как следствие, спра-иедливостыо полученных результатов для широкого круга задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладииались и обсуждались на III международном конгрессе по промышленной и прикладной математике 1CIAM-95 (Германия, Гамбург, 1935), Международной конференции "Современные проблемы прикладной и вычислительной математики" АМСА-95 {Новосибирск, 1995 г.), Международной конференции по методам оптимизации конечно-олемевтных аппроксимаций OFEA-95 (Санкт-Петербург, 1995 г.), Российско-германской рабочей секции ио вычислительной математике (Москва, 1995 г.), III Всесоюзной, IV и V Всероссийских школах молодых учёных по численным. методам механики сплошной. среды (Дюрсо, 1991-1993 гг.), XVII Научной конференции молодых учёных Института механики АН Украины (Киев, 1992 г.).

В полном объёме диссертационная работа докладывалась па семинаре кафедры информатики и вычислительного эксперимента Ростопского госуниверситега и семинаре "Методы решения краевых задач" Лаборатории вычислительного вксперимента ВЦ, Ро-

т

стопского госуниперситета.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 11 печатных работ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения (перечил основных результатов и выводом по работе), списка литературы. Работа содержит 185 страниц оспопиого текста, <10 рисупков, 9 таблиц и список литературы из 193 наименований па 20 страницах.

Автор выражает искрсишою признательность сноим науч-пым руководителям проф. И.Л.Николаеву и Л.А.Крукиеру, а также К.А.Надолину, оказывавшему неоценимую помощь. Антор благодарит коллектив лабораторий вычислительного эксперимента и по-вых программных технологий ВЦ РГУ (зав. лаб. Г.В.Муратова) за нопимание и содействие.

Согласно требованиям использования^ макротгакета Л^б'-Тр^. Американского математичоского общества, автор сообщает, что автореферат и диссертация пабрапы о среде данного пакета. Большую помощь в решении мпогих Топических вопросов оказал В.А.Савельев.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во тюленин обсуждаются актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, приведены основные положения, выносимые на защиту."

Первая глава посвящена описапик» рассматриваемой модели и сострит из двух разделов.

В первом разделе первой главы дан краткий анализ существующих моделей качества воды в каналах и реках. Разделяя модели на камер и и с (с покаморным усреднением) и распределенные, кратко рассмотрены подходы, характерные для распределённых моделей.

Во втором разделе приводится вывод уравнений модели распространения примеси в открытом стаиионарпом русловом потоке большой протяжённости. Данная модель, предложенная К.А-На-долкным. имеет н .:носй основе стационарные уравнений Найье-Стокса И ¡н стационары-е .-разчение коодектхил-диффузи'и. Модель

а

получена метолом малого параметра л представляет собой начально-краевые задача! для главных членом асимптотического разложения ко атому параметру. В качестве малого параметра взято отношение характерной глубины потока к его протяжённости. Начально-краевые задачи, получаемые для старших членов асимптотик гидродинамических уравнений, удаётся проинтегрировать аналитически. Как сказывается, в данном приближении неизвестная функция свободной поверхности и Спока совпадает (с точностью до константы) с функцией тиши дна, причём в случае плоского дна поперечная составляющая скорости потока равна нулю. Начаньно-краеюал задача относительно старшего члена асимптотики уравнения коняекщш-диффузии имеет вид:

где координатная система Оху введена таким образом, что ось Ос направлена но поверхности потока, а ось — от поверхности потока (у = 0) ко дну (у=1), у (у) — скорость потока, Ре — диффузионное вдгело Пекле, А^О — коэффициент деструкции аргшеси, с(г,у,*) — неизвестная функция коппентрашт примеси, сс — начальное (фоновое) распределение примеси. Особенность задачи (1) состоит в том, что процесс конвекции, как правило, доминирует.

Во второй главе диссертации рассмотрены вопросы дискретизации задачи (1) и развития алгоритмов её решения в об/цей «остановке. Глава состоит из трёх разделов.

В нервом разделе дан краткий обзор разностных, методов решения краевых задач конпекцим-диффузпн. В обзоре описано современное состояние методов конечных разностей (МКР) и сформулированы некоторые проблемы, представляющие и настоящее время интерес. Затем рассмотрены особенности конечно-разностного решения задач конвекции-диффузш! с преобладающей конвекцией. В ¡»том случае получаемый разностный оператор оказывается далёким от самосопряжённого, и основные результаты классической теории разностных схем (ТРС) малопригодны. Тем не менее, ота проблема, исроитио, разрешима в рамках традиционных подходом ТРС {эжргстичискъй метод, операторные неравенства), о чём

' С1 - Ре~1суу + м{у)св -г Ас = 0, (з\|/)€(-1;1)х(0;1),

(1)

1 с(г,у,0) = с0(х,у),

говорит большое число вшаедших в последнее время работ. Особое зшшапие я обзоре уделено возникающей л случае преобладающей конвектш проблеме пограпслся и сопряжённому вопросу об искусственной вязкости розностпых схем. Так, основываясь на результатах ряда работ, п обзоре делается вывод о том, что использование для аппроксимации первых производных (конвективных членов) разностей "против потока" зачастую может быть нежелательно и, во всяком случае, требует особого исследования.

В заключении обзора кратко Описало современное состояние методов характеристик.

Бо втором разделе второй главы рассмотрена конечно-разностная аппроксимация нестационарной задачи конвекции-днффу-гж:

/ Ос

I

гдз

1\с\ = - {Пгс^у ~ -о.сс + „Зсу х Хс,

0, £>1-г > 0, v¡ = щ{х,у), »=1,2,

А = Л(х,у) ^ О,

а = о(г,у), р = 7= 1{х,у).

Задачу (2) можно рассматривать как обобщение задачи (1).

При рассмотрении разностной аппроксимации задачи (2) в качестве центрального ставится зопрос о получении разностного оператора А ~ ¿[с], обладающего априори известными (заданными) свойствами. В качестве такия свойств нами берутся свойства диссипа.тивхости1 (при аппроксимации конвективных членов ¿[с] центральными разностями) и М-матричности (при аппроксимации конвективных членов Ь\с\ разностями "против потока"). Следует

'Здесь под диссипатиапой (полудиссипатиопой) понимается матрица, симметрическая част» которой положительно (неотрицательно) определена.

отметить, что для определённых краевых условий задачи (2) и/ллн для некоторых способов в« дискретизации указанаью свойства оператора А не могут иметь места.

Рассматриваются разностные схемы на стандартном нятито-чечном крестообразном шаблоне с дискретизироваиными краевыми условиями вида

ac+!>7 = s, (3)

где с и с — зиачешш неизвестной функции соответственно so внешних и внутренних узлах сетки flk вдоль границы области díl,коэффициенты а, Ь и g — функции сеточных индексов, определяемые шагами сетки и коэффициентами краевых условий задачи (2). Уравнения (3) позволяют исключить из полученных разностных уравнений значении "с в узлах вне fl.

Полученные здесь достаточные условия Ní-матричности или диссипативкости А (Теоремы 2.4 и 2.7) имеют вид следующих ограничений на сеточные краевые условия (3):

b/a^-l. (4)

Тогда для того, чтобы А являлась диссипативной (конвективные члены аппроксимированы центральными разностями) или М- матрицей (конвективные члеиы аппроксимированы разностями "против потока") достаточно вьшолнеиия одного из двух условий:

(a) хотя бы для одного соотношения (3) неравенство (4) строгое;

(b) для задачи (2) -ф 0.

Лалее а разделе исследуется вопрос об адекватном наследовании разностным оператором А вырожденности L[c], имеющей место нри А = 0 и заданных однородных красвык условиях Неймана. Требуется, чтобы

Кет А = {х € R"|xt -хг-к = х„} . (5)

При использовании разностей "против потока"' получено до-стаючнсе условие того, чш/1 есть вырожденная М-матрица с ядром (5). Обсуждается также воарос о выполнении (б) при использовании центральных разностеГ..

Для сравнения централыюрлчиостной и Jipoi ивоногокоиой схем применительно н задаче'(2) формулируется результат об. искусственной вязкости, вносимой протиаопитокрвой схемой по отношению к схеме с центральными разностями.

Остальной материал раздела посвящен исследованию устойчивости двухслойных явно-неявных разностных слем, аппроксимирующих задачу (2):

5m+l _ gin

+ McmJri 4- Ncn = fm, m > 0, (0)

где оба оператора М к N (М 4- N = А == £[с]) наследуют (если не равны нулю) определённые свойства оператора А — в данном случае свойства М-матрнчности или диссипатшшости. Тогда расщеплите А{ + N = А будем назынзть реллихатианьгл^ расщеплением, а схемы вида (б) — схемами реплихативпого расщепления. Схемы репликативпого расщепления представляют собой широкий класс схем, включающий схемы с весами, расщеплепил по физическим процессам и т.д., и могут яэляться основой для схем переменных иаярааяеплй пила:

¿m+1/З _ gm

4- + Ncm = Г,

ф (7)

--£--г- Мст+^ -Г Ncm+1 = Г^'" ■

т/2

Для оператора Л, иредстгвймого а виде (возможно цырожлея-вой) М-матрицы, исследование устойчивости схем (6) прозидено а равномерной сеточной норме ¡|г||с = тахпл)х| и приводит к ограни-чевию на шаг по времени (Теорема 2.14)

г < [max nil5| , (8)

где rjj,j — элементы главной диагонали N ф 0. Чисто неявная схема (б) (N - 0) устойчива безусловно. Ограничение (8) даёт достаточное услозие устойчивости схем (б). Указан частный случай, когда даккое условие совпадает с нсеогадимым, получетттлл п результате применения спектрального признака Неймапа, В^шолпение (8), кроме того, гарантирует mobotckeoctv. еяемы (б) и выполнение прин-щше максимума.

* Репликация [от лат. repticare — обращать назад, отражать] создание себе подобной структуры (Словарь иностранных слоэ М.: Гус. яз., 1988. — 608 е.).

Исследование устойчивости схем (6) в случае, когда А — по-лудиссинативная матрица, основано на подходах классической теории разностных схем и проведено в евклидовой норме ¡¡*||дг. Полученное достаточное условие (Теорема 2.15 и следствия) имеет вид (Дг#0):

йв = штЗр|(в+0*), в = М,Ы, (9)

где ¡1 — спектральная матричная норма, Бр — спектр оператора. Ограничение (9) может быть ослаблено (а) для N = N*:

т 2

—Я I (операторное неравенство), или т ^ тгтгп- > №)

2 II "Иг

где I — тождественный оператор, а также, (Ъ) если N — дисаша-тгпзная матрида:

Здесь Д/у — константа из оценки ¡¡//¿'¡¡д ^ г). В случае

N—О схема (б) устойчтза безусловно.

Полученные результаты устойчивости схем репликатииного расщепления (С) обобщены для схем переменных направлений (7) (Теоремы 2.16 и 2.17). (Заметим, что безусловная устойчивость схем (7) для несимметрических (полу)диссипативцых матриц А, М и N хорошо известна.)

В последнем, третьем разделе второй глалы представлен попеременно-треугольный кососимметрический метод (Г1ТКМ) итерационного решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). При расчёте нестационарной задачи конвекции-диффузии (2) но неявной схеме па каждом временном слое необходимо решать СЛАУ с нссимыагрической матрицей,

и нозилкаст потребность и робастном итерационном методе простой природы, ориентированном на решение несимметрических (возможно сильно несимметрических3) линейных систем. В настоящее время имеется большое число мощных итерационных мегодои решения несимметрических

' Под сильно несимметрической, будем понимать СЛАУ Ах = Б, где ||Л-Л*||>||/1 + Л*Ц.

1Я

СЛАУ, например, обобщённые методы сопряжённых градиентов. Однако эти методы достаточны сложны и реализации, требуют больших затрат памяти, переобусловлинания, возможно, дополнительной априорной информации о спектре системы и т.д.

Прсдставлепный метод развивает подход, предложенный п ряде работ Л.А.Крукиерои (1970,1983). Основпая идея отого подхода, по существу, состоит в использовании кососимметрической части 1/2(/1-Л°) матрицы решаемой СЛЛУ для построения треугольных и попеременно-треугольных итерационных методов.

Как показали численные тесты, в ходе которых решались сильно несимметрические СЛЛУ, предлагаемый метод окалывается копкурептноснособпьш по сравнению с лучшими известными методами, в частности, обобщённым методом минимальных невязок GMRES. Кроме того, являясь попеременно-треугольным методом, ПТКМ легко параллелизуем (И.А.Николаев и др., 1986, Л.Б.Кучеров и E.G.Николаев, 1984).

Данный метод имеет следующий вид:

~т+1 _ =п»

ß~-— + /1с,л = 6, m £ 0, (10)

г

D = {I + tL1){I + TU1), L, + 1/, = l(A-A'), (И)

л»

где Л — матрица решаемой системы, L\ hU\ — соответственно нижняя и верхняя части кососимметрической составляющей uarpimu А, т>0 — скалярный параметр.

Основываясь на результатах сходимоспт итерационных методе з вида (30} с оператором П ф В' специального вида (Теоремы 2Д8 ¡5 2.19), для ПТКМ получено конструктивное достаточное условие сходимости (Теорема 2.20), дама оценка скорости сходимости (Теорема 2.21) и предложен способ овтималыюго выбора параметра. Исследование сходимости проводилось в евклидовой ворые II * IIИо • нидучироваккой симметрической частью Во оператора иеря-нсго слоя Б. Оптимизация сходимости проводилась и предположении, что известны границы спектра диссниатишюП матрицы Л\ Sp/1 С ¡7!|7з) х j-i7j;i'7jJ (»3 =-1). Иа практике величины % могут быть неизвестны и трудно вычислимы, тем не менее удаётся предложить практически удобные способы выбора г. D частности, показано, что в случае снлыюкесимыетрической СЛЛУ (71 < 74) достаточно знать только 7j.

ПТКМ можно также рассматривать как иереобусловлеплый метод Рггчардсопа. Такое нереобусловлмвапие оказывается упро-ш(шмм вариантом ILU-разложения и названо MSSILU-переобуслов-ливанием (Modified Skew-Symmetric4 ILU).

Численные тесты включали решение СЛАУ, получаемых при копечио-разкостпой дискретизации стационарной задачи конвек-цни-диффузии:

j р,

- Pe~lAc + - jv¡cr -f + (и,с), -f (ujc^j = f;

Vi = U,(z,y), i = 1,2, c = c{x,y)\ / = /(х,й); (х,»)€ П = (0,l)x (0,1);

el =0.

Ion

D ходе тестов сравнивались семь итерационных методов, н том число ПТКМ и методы GMRES(fc), Jk = 2,i0 с MSSlLU-пересбуслапли-воиием.

Третья глава содержит описание практической реализации п результаты численного решения задачи (1) и состоит из трёх разделов.

В начале первого раздела приведены результаты численного йпалиэа устойчивости и точности семи выбрастшзГ схем ренлика-тивного расщепления (б) при решении задачи (1). Использованные схемы представлены в Таблице 1. В Таблице 2 для каждой га сксм A-G приведено максимально допустимое (достаточное для устойчивости) значение шага по времени г. Таблица получена в результате применения Теорем 2.14- 2.17, доказанных по втором разделе второй главы. Как видно из таблицы, для задач (L) с преобладающей scosj-векцией (Ре 3> 1) наиболее предпочтительны коииективио-цеявяыо схемы В, Е. Ограничения этих схем иа шаг во времени практически нечувствительны, в то же время в стличис от чистс келзной схемы F схемы В, D, В экономичны.

Точность семи тестируемых еяем проверялась по выбранным сасциальгсьш образом точным решениям для. неоднородных задач вида (1), где вводилась функция правей часта f . Кроме того, для каждой из схем проводились вычисления с шагами по временя г в т/2, п решешя сравнивались. Результаты тестов показали, что

* (ты.) модифицированное кососюммстрическое.

наиболее точны протмноПотокопм конвективно неявная схема 0 и центральноразностные копвектишго-неяыная и чисто неявная схемы

Б'и Г.

Таблица 1.

Схема Оператор 1) ()с „ Обращение П.

А Явная I р. "п. а." —

В Коиясктшшо-- неявная ! + тЛ\ р. "п. и." Экономичный прямой метод

С • Явная I ц. р. —

0 Коппектшшо-•всяиная 14-тАу ц. р. 11ТКМ

Е Ксшзектишю--неявная 1 + тАу Ц. р. СМ11ЕБ(5)

Р Чисто нздишал 1 + тА Ц. р. СМ НЕЙ(5)

в Продольно--шшеречнал (/ + Ы.)к ц. р. 11111 »11- СМШ«>(5), Ьи-разлошсаие

Л ~ £[с] задачи (1), ~ у(у)^, Ай а А - Л1;

ц. р. — иентралыше разности;

р. "и. п." — разности "против потока",

Затем в первой разделе г лапы описываются возможные иостл-иовки краевых условий вычислительного типа по аг в задаче (В). Необходимость такой постановки обусловлена ограниченностью рассматриваемой области, а также тем, что иначе разностные уравнения задачи (1) оказываются незамкнутыми относительно узлоа области. Физическая природа задачи ш? допускает игкусстмвмной постановки условий непротекаимя (дс/31)\кц =0. В большинство случ.тей а ходе расчйюв для определения "недостающи»" аквчвкм® использовались методы экстраполяции.

10

Таблица 2.

Схема Ограничение па г т <

Л [ 2 + шах* |«*1 Л"' [Щг л, + ]

В г •> Г'

с 2 А Ш1 [ 2 1ллГ 2]

Б.Е

Г С нот ограничения У* ...... ,

А а Цс\ задачи (1).

В конце раздела описана вкопомичная реализация конисктио-йо-неяпной противопотоковой схемы В.

Второй раздел третьей главы содержит результата расчётов модельной задачи "аварийный залповый сброс загрязнения". Ава-ри15пый выброс моделировался задаштем в (1) начального распределения примеси

где й; и сз определяются исходя из заданной общей массы принеси М = //сп(х,у)(кф. Расчёты проводились для трёх вариактоа выбора параметров задачи (1), нервый из которых соотьетстиокьл доминирующему конвективному переносу, а второй и третий — иа-теисквкому поперечному неременкшашио потока. ?езультг.ты расчётов представлены а виде графиков распределения концентра:.^:;:' пркмеск в последовательные моменты времени.

Среди иозмохшых способов задания скорости потока «(у) особый интерес иредставлял случай, когда в приповерхностной слое иозкикает вротш)отечепне, вызведнее, иаиример, действием ветра. При этом и районе смелы знака, скорости могут возникать дал локальных максимума концентрации, "размазываемые" течетаем а

разные стороны (рнс. 1). Подобная стратифицнропаиность наблюдалась в случае домиаироншшя конзекшш; при наличии ясе сильного переме;шсзанз1л имеется один максимум концентрации, "вытягиваемый* по длиге канала (рис. 2).

Рис. 1.

В последнем, третьем раздела гланы ирнледеаы результаты расчётов модельной задачи "постоянный источник загрязнения*. Пусть в области имеется постоянный мсточшик загрязнения заданной мощности*. Для моделирования действия источника в уравнение задачи (1) вводится функция правой части /(з,у,<). Явное задание функции / но заданной мощности источника /* иродстанля-ется нетривиальной задачей. Вместо этого предложено омредеягш.

• масса примеси, выбрасываемой в единицу времени.

/ динамически на каждом слое по премепи. Действительно, полу-чсшюо па очередном времеипбм слое гп решение мажет быть скорректировало с учётом действия источшка за прошедший интервал времени ((т~1)г,тт) таким образом, чтобы общая масса примеси увеличилась яа величину тР. Один из вариантов подобного пеяв-иого задания функции реализован при расчётах данной задачи.

.Рис. 2.

Для проверки адекватности предложенного алгоритма учёта действия источника нроводилксг» тестовые вычисления для разных значений параметров и заданной мощности выброса. Сравнение решений, полученных при расчётах с шагами но времени г и г/2, показывают их хорошее (вплоть до деталей) совпадение.

Модельные расчёты задачи о постоянном источнике загрязне-Ш1£ проводились для тех же.типоэ течений, что и для задачи об

аварийном залповом иыброео. Типичная картина получаемых распределений пр5шеси представлена па рис. 3.

t •

Рис. 3.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В результате ньшоякешш комплекса дассертаююкаьп: иссле-доьаппй:

1. Получеша достаточные условия представимости разпостпо-го оператора конвекция - диффузии в нвде диссипативкой или М-матрицы (в случае произвольных крапп ¡ля условий третьего рода). Получены условия наследования вырожденности однородной краевой задачи Неймана для стационарного уравнения конвекции - диффузии её разностным аналогом.

2. Рассмотрен класс дпухслойшлх разностных схем, где операторы расщепления с каждого временного слоя наследуют свойства исходного разностного оператора. Такие схемы предложено называть схемами репллкативного растепления. Получепы достаточные условия устойчивости схем репликатнвпого расщепления для случаев М-матричности и дисашатшшости исходного разаостного оператора. Исследовала устойчивость схем нерсмеЕныя направлений и а основе репликативгшх расщеплений исходного разностного оператора, представ нмого а виде днеспатогапой или М-мат-рнли.

3. Предложен попереметгао-треуголыплй кососишлетрический итерационный метод (ПТКМ) решения линейных систем с несимметрической матрицей и модифицированное 1Ш-пере-обусловлиааиие (МЙйИ-и). Получены критерий, достаточное условие, оценка скорости сходимости и конструктивный способ выбора опт1шального параметра для случая дис«ша-тибпой матрицы. Результаты численных тестов показали оф-фективность МБЗ!Ьи и ПТКМ при решении линейных систем с склг.конссгогметрическсй цатрэдей.

4. ¿¿роаедены сравнительные численные тесты семи выбранных разностных схем реолихативкого расщепления, аппроксимирующих задачу о распространении примеси и открытом стационарном канале большой протяженности. Результаты тестов показывают вргзшущестьо частично сеязньзх схем, где на очередной со врешзга слой отнесены доминирующие

члены.

Предложен экопошгчдый прямой способ реализации кописк-тивно-пеявпой нротнвопотоковой схемы.

5. Проведены модельпые расчёты задач о залповом аварийном выбросе загрязнения и о постояппо действующем источнике загрязнения п открытом стационарном каиале большой протяженности п случае позпикновепил противотечешиг в приповерхностном слое.

Основные результаты диссертации спубликовапы н следующих работах:

Бочев М.А. Об устойчивости несамосопряженпых разностных схем с М-матрнцами для вволюциошгых краевых задач с эллиптическим оператором по пространству // Известия вузов. Математика — 1995.— N9(400).

2. Бочев М.А., Надо лип К.А., Нш<олаев И.Л. Моделиропагше распространения вещества в двумерном стационарном открытом русловом потоке // Матем. моделирование — 1995.

— В печати.

3. Бочев М.А., Крукиер Л.А. Поперемеггао-треугольпое ко-сосимметрическое переобуславливание линейных систем в численном моделирован™ процессов движущейся жидкости при больших числах Рейнольдса // Вычислительные технологии.-- Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1995.— Т.4, N10. -С. 60-68.

4. Бочев М.А. О некоторых копечноразкостных аппроксимациях краевых задач конвекции-диффузии. — Тр.XV!! науч. конф. мол. ученых Ин-тамехашиш АН Украины, Киев, 19-22 мая, 1992. 4.1 / Ин-т механики АН Украины. — Киев, 1992.

- С. 23-32. — Лен. в УкрИНТЭИ 07.07.92, N1021 — Ук92.

5. Бочев М.А. О выполнении принципа максимума и достаточном условии устойчивости для неявных разностных схем расщепления с М-матршюй / Рост. ун-т. — Ростов н/Д, 1994. —4 с.-- Деп. в ВИНИТИ 13.10.94, N2363-1394.

6. Бо«чв М.А. Сходимость схемы Писмена - Рекфорда неявного итерационного метода Беременных направлений (АЭ1) для решения систем лилейных алгебраических уравнений с

несшшетрнчсской М-иатрпцей / Рост. ун-т. — Ростов п/Д, 1094. —Sc.— Дел. в ВИНИТИ 13.10.94, N2304-B94.

7. Бочеп М.А. Решение вырожденной СЛАУ npjj численном моделировании конвекции - диффузии консервативной принеси / Рост. уп-т. — Ростов п/Д, 1994. — 7 с. — Дел. d ВИНИТИ 13.10.94, N2365-B04.

8. Botchev М.А., Krukier L.A. MSS1LU — Skew-symmetric Preconditioning for Iterative Solving Strongly Nonsymxaetric FD-FE Modele.— OFEA-95 Proc. ("Optimization of Finite Element Approximations", St.-Petersburg, June 25-29, 1095) — pp. 40-41.

0. Botchev M.A. On Ad-hoc Upwind Implicit Differences Schemes for Parabolic P.D.E. of Convection-Diffusion Type.— ICIAM-05 Pioc., Hamburg, July 3-8,1995. — ICIAM-95 Book of abstracts, p. 240. (To appear in ZAMM, 1996).

20. Krukier L.A., Botchev M.A. On Skcw-Symmstric Preconditioning for Strongly Nonsymxaetric Linear Systems.— ICIAM-95 Proc., Hamburg, July 3-8, 1SS5.— ICIAM-Q5 Book of abstracts, p. 240. (lb appear in ZAMM, 1998).

11. Nicolaycv I.A., Nadolin K.A., Botcbw M.A. Modelling Substance Advectiou by Steady 2D Stream cf Viscous Fluid in Lengthy Channel with Free Surface. — ICIAM-95 Proc., Hamburg, July 3-8, 1DD5.— ¡CIAM-Ö5 Book offabiracte.p. 279. (Tbappear in ZAMM, 1990).