автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численная методика решения уравнений Максвелла в сферических переменных в неоднородной диссипативной среде с выделением переднего фронта

РГ6 од

/ 3 МЛ!! 1093

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ ИМ. М.В. КЕЛДЫША

На правах рукописи

Турчанинов Виктор Игоревич

ЧИСЛЕННАЯ МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В СФЕРИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ В НЕОДНОРОДНОЙ ДИССИПАТИБНОЙ СРЕДЕ С ВЫДЕЛЕНИЕМ ПЕРЕДНЕГО ФРОНТА

(Специальность 05.13.18 - Теоретические основы -математического моделирования, численные методы и комплексы программ)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

МОСКВА , 1993г.

Работа выполнена в Ордена Ленина Институте прикладной математики им. М. Б. Келдыша РАН

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

Козлов Н.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Федоренко Р. П.

кандидат физико-математических наук Еленин Г. Г.

Ведущая организация: Войсковая часть 51105.

Защита диссертации состоится "__"_1993г.

на заседании специализированного Совета К 003.91.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ШМ им. М. В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан "_" _ 1993г.

Ученый секретарь специализированного Совета кандидат физико-математических наук

Свирщевский С. Р.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Работа посвящена создания эффективной численной методики решения трехмерных уравнений Максвелла в сферических координатах. Актуальность работы определяется ведущей ролью численных экспериментов в изучении процессов формирования электромагнитных полей (ЭМП) в радиочастотном диапазоне, возникающих от точечного импульсного источника гамма-квантов. Эти поля оказывают существенное влияние на работоспособность радиотехнических и электротехнических устройств. В силу весьма ограниченных возможностей физического моделирования методы численного моделирования нередко становятся единственным источником необходимой для практики информации о параметрах возникающего ЭМП. Асимметрия вылета гамма-квантов из источника, изменение плотности атмосферы с высотой и влияние магнитного поля Земли на сторонние токи, обусловленные комптон-эффектом, и токи проводимости плазмы, образующейся за счет торможения комптоновских электронов, приводит к необходимости для определения величин напряженности электромагнтных полей решать трехмерную систему уравнений Максвелла.

Цель работы.

Целью данной работы является разработка эффективной численной методики решения трехмерной системы уравнений Максвелла в сферических координатах, плотность тока которой определяется выбранной моделью ионизации среды квантами источника.

Научная новизна.

Предложена однородная, дивергентная, условно-устойчивая, полностью консервативная разностная схема, аппроксимирующая трехмерную систему уравнений Максвелла в сферических координатах в собственном времени.

Разработаны эффективные численные методы решения линейных разностных уравнений предложенной схемы.

Практическая ценность работы.

Практическая ценность работы заключается б разработке эффективного численного метода решения трехмерных уравнений Максвелла в сферических координатах и создании реализующего этот метод программного комплекса. Этот комплекс может служить эталоном при создании приближенных инженерных методик решения задач о расчете электромагнитных полей от точечных источников гамма-квантов. Реализован эффективный программный комплекс "ТЗС" для решения систем линейных уравнений с несимметричной разреженной матрицей коэффициентов, который используется в ряде организаций (КПМ им. М. В. Келдыша, ИММ, ТРИНИТИ, ИВТАН, МИСИ) при решении широкого круга задач математической физики.

Апробация работы Результаты работы докладывались на научном семинаре отдела N 21 (1990г.), совместном научном семинаре отделов N 18 и N 21 с участием сотрудников отделов N 3 и N 7 ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР (1990г.), научном семинаре НИИРП (1991г.!, научном семинаре в НИИИТ (1992г. ) и на объединенном семинаре 5, 10 отделов ИММ РАН, кафедры прикладной математики МФТИ, 2, 11, 18, 21 отделов ИПМ им. М.В.Келдыша РАН (1993г.).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введэния, четырех глав и заключения; текст изложен на машинописных страницах. Диссертация содержит 1 рисунок в основном тексте и - в приложении. Список литературы включает наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована цель работы и показана ее актуальность. Обосновывается необходимость для определения величин напряженности электрического Е и магнитного Н полей решения трехмерной системы уравнений Максвелла и использования сферической системы пространственных переменных с

центром в источнике. Мотивируется целесообразность явного выделения сферического переднего фронта ЭМИ путем введения в задачу вместо обычного времени I характеристической переменной собственного (задерганного) времени £=с1-г ( где с=3-101Осм*с~1 - скорость света), обеспечивающего экономичность вычислений для характерной пространственно-временной зависимости плотности комптоновских (сторонних) токов и проводимости <г ионизованной ими среды (эти величины изменяются по пространственным переменным значительно медленнее, чем по £). Главным аргументом в пользу введения £ является то, что при использовании обычного времени для обеспечения приемлемой точности пришлось бы выбирать мелкую сетку по всем переменным. Обсуждается выбор адекватных проблеме краевых условий на внешней границе расчетной области пространственных переменных. Дан обзор существующих в настоящее время приближенных методик расчета ЭИП от точечного гамма- источника, сводящих трехмерную задачу к двухмерной или одномерной; показана новизна и практическая значимость данной работы. Также дано краткое изложение диссертации по главам, приведены основные результаты исследований и положения, выносимые на защиту.

Б главе 1 приводится математическая постановка задачи нахождения компонент векторов напряженности поля, удовлетворявших системе уравнений Максвелла

г~8ТП9

1

г Зг'1^ " г " _ щ

1 а

r-sIñS (35(Vinfl) " Щ- ~ r sin« ъфг " F 3F(rV + Э^-р = " Щ-11*

г §r(rV " F Э#Г " = ~ з^р

внутри шара радиуса г^ и обращающееся в нуль на переднем фронте ЭМП (£=0), в предположении, что вектор плотности токов J=oí+JCT, где <г и J" -заданные функции г, <р , возможно, зависящие от величин напряженности полей, причем J"=0 при £=0. Конкретный вид зависимости аг и J" от этих величин определяется выбором модели ионизации среды гамма-квантами. Диэлектрическая проницаемость и магнитная восприимчивость среды принимаются равными 1. Радиус шара г^ и приведенные ниже краевые условия на его поверхности выбираются из условия волновой зоны, а именно: на расстояниях, много больших размеров зоны ионизации среды, поведение излученного ЭМП удовлетворяет условиям Ед=Н и Т. к. сформулированная задача является задачей Гурса (начальные данные и краевые условия заданы на характеристических поверхностях системы), то в этой же главе проводится проверка условий ее разрешимости и доказана единственность ее решения, вытекающая из системы уравнений Максвелла и из уравнения скорости изменения "энергии" ЭМП

сШ + Q + V + П(г ) - П(0> = 0,

пах

Г

тах П 27Г

где 4 = I II 5гг(Ег +нг +lW2 +(VV2] r2sin*

ООО

Гпах Я 27I

Q+V = I I J [<T(E,E) + (E,JCT)jr2sine drdedíp,

ООО

W - "энергия" ЭМП, Q - мощность тепловых потерь, V -мощность сторонних токов, П(г) - мгновенная плотность потока "энергии" через поверхность шара радиуса г . 7Г 21Г

П(г) »|gjf sin« d« d<p г2(НД- НвЕр) о о

г

пах

Очевидно, что в силу краевых условий и 21t

П(г ) = 5=Г Г sinö d0 dv> [г2<Н2+Н2П

тх 4JtJ J <р &

О О

Из естественного физического требования конечности векторов Е и Н следует, что П(0) = 0. Слово энергия взято в кавычки, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что в отличие от энергии ЭМП в лабораторном времени t, "энергия" ЭМП в собственном времени £ является положительно определенной квадратичной формой компонент напряженности поля лишь на решениях поставленной задачи Гурса и неотрицательной для произвольных величин Е и Н.

Там же показано, что коноид зависимости с вершиной в произвольной точке '?0>г0>,®0.¥,0' имеет образующус, параллельную плоскости §=?0- Это означает, что в соответствии с необходимым признаком устойчивости Куранта, устойчивыми могут быть лишь разностные схемы, аппроксимирующие поставленную задачу, с пространственными производными по переменной г на верхнем временном слое.

В главе 2 излагаются принципы построения двухслойной разностной схемы предлагаемой методики и исследуются ее свойства. В частности, показано, что предлагаемая схема является, по построению, условно устойчивой, т. е. устойчивой лишь при выполнении ограничения на величину временного шага т^ — 2 min Arm ({Аг^} - совокупность шагов по переменной г, {т ) - по переменной £), однородной и дивергентной (консервативной) по построению. Обеспечение приемлемой точности при решении задач, представляющих практический интерес, требует достаточно большого размера сеточной области пространственных переменных. Ограниченный объем оперативной памяти, имеющихся в нашем распоряжении ЭВМ, порождает проблему эффективной организации обменов информацией между памятью ЭВМ и внешними запоминающими устройствами, связанную, в первую очередь, с уменьшением их числа. Это, главным образом, и заставило отдать предпочтение предлагаемой схеме, которая,, хотя и является устойчивой при выполнении указанного ограничения на величину временного шага, требует значительно меньшего числа обменов и

существенно упрощает их интерфейс по сравнении с более экономичной по числу операций и абсолютно-устойчивой схемой дробных шагов. Ограничение устойчивости связано с выбранной в схеме аппроксимацией производной р разнесенными на два

временных слоя смещенными на один шаг по г разностями для обеспечения выполнения условия Куранта; производные по угловым переменным аппроксимируются центральными разностями с равными весами по направлению Доказано, что для постоянного шага по времени (Тп=г) построенная схема является полностью консервативной, в том смысле, что из разностных уравнений схемы следует разностный аналог уравнения скорости изменения "энергии", причем разностная "энергия" аппроксимирует со вторым порядком "энергию" дифференциальной задачи и является неотрицательно- определенной квадратичной формой при выполнении условий устойчивости. Там же описан способ нормировки решения для принудительного выполнения разностного аналога уравнения скорости изменения "энергии" для переменных шагов по обеспечивающий подавление появляющихся паразитных осцилляций во временном поведении решения при резком изменении шага по времени.

В главе 3 рассматриваются методы численного решения порожденных разностной схемой систем линейных уравнений для определения величин напряженности ЭМП на (п+1)-ом временном слое по известным значениям на п-ом. Благодаря выбранному в схеме шаблону аппроксимации оператора р , определение этих величин сводится к последовательному решению систем линейных уравнений с разреженной матрицей Д коэффициентов относительно величин напряженности магнитного поля на сферах радиусов г=г для т=2,3,... . Решение таких систем может быть осуществлено разработанной автором программой "Т90" прямого метода решения систем линейных уравнений с несимметричной разреженной матрицей коэффициентов, реализующей принципы активно развивающейся в настоящее время технологии разреженных матриц. В программе "Т90" эффективность этой технологии повышается за счет использования приема отсечения по барьеру "малости" возникающих в процессе гауссовых исключений элементов матрицы с последующим итерационным уточнением решения, учитывающим непрерывную

зависимость матрицы коэффициентов от и оптимизации работы с динамическими структурами. В узлах сетки, в которых выполняется условие:

г Ar т

3 = Игтг-Ьгг * 1

4 m min-* m min

(hmln- минимальный шаг сетки по угловым переменным), справедливое в подавляющем большинстве сферических слоев г=г сетки, найдено разложение матрицы Д : А=А0ЧА1 такое, что Д -треугольная, а матрица Д удовлетворяет условию: IAÖ1A11L

Найденное разложение позволяет построить сходящийся со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем б итерационный процесс решения этих систем. Он существенно более экономичен, чем прямой метод решения. В разработанном программном комплексе, реализующем предложенную методику, решение вышеупомянутых систем линейных уравнений осуществляется с помощью этого итерационного процесса; при его расходимости используется программа "Т90".

В главе 4 приведены выражения трех достаточно просто вычислимых аналитических решения поставленной задачи в среде с сг^О с заданными плотностями сторонних токов. Поскольку в настоящее время не существует общепринятого определения устойчивости разностных схем, аппроксимирующих эволюционную задачу Гурса в характеристических переменных (в силу невыполнения для нее принципа Дюамеля), то целесообразность тестирования предложенной в работе схемы на аналитических решениях очевидна. Разрежение и сгущение шагов сетки в 2 и 4 раза позволило установить, что решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной со вторым порядком в С.

Оценка затраченного времени на расчет полей на одну пространственную точку за один шаг по времени, полученная на основе замеров при тестировании методики, показала, что потребное время расчета полей (без учета потребного времени на решение уравнений модели ионизации среды гамма-квантами) для характерных временных зависимостей выхода гамма-квантов из источника на пространственной сетке с числом узлов порядка 4•105 составляет величину порядка 20-40 часов на ЕС-1066. Это обстоятельство накладывает требование тщательного выбора и

анализа исходных параметров перед проведением расчетов пространственно- временных характеристик ЭМП, возникающих от источника гамма-квантов, с помощью разработанного для этих целей программного комплекса.

Заключение содержит основные выводы работы, благодарности коллегам и научному руководителю.

Основные результаты диссертации

1. Построена однородная, дивергентная, полностью консервативная, условно-устойчивая разностная схема, аппроксимирующая трехмерную систему уравнений Максвелла в сферических координатах в собственном "времени" с заданными плотностью сторонних токов и проводимостью среды.

2. Построен эффективный итерационный процесс решения порожденных разностной схемой систем линейных уравнений. В случае расходимости этого процесса используется разработанный эффективный программный комплекс "Т90" прямого метода решения систем линейных уравнений с несимметричной разреженной матрицей коэффициентов.

3. Проведены расчеты ряда имеющих аналитическое решение модельных задач, позволившие установить точность предложенной методики и показавшие работоспособность и эффективность созданных алгоритмов и программных средств.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Козлов Н. И., Турчанинов В.И. О едином шаблоне оформления описаний стандартных программ. В сб. "Структура и организация пакетов программ", тезисы докладов международной конференции, Тбилиси, "Мецниереба", 1976г.

2. Турчанинов В.И. К вопросу о расширении библиотек программ для научных расчетов. В сб. "О состоянии библиотек программ", Москва, ИВТАН , 1979г.

3. Гасилов В. А., Захаров С. В., Крюкова Т. В., Марков М. Б., Ольховская 0.Г., Турчанинов В. И. Об одной модели для численного исследования эмиссии электронов с плоской поверхности. М., Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1990, № 151.

4. Турчанинов В. И. Численная методика решения трехмерных уравнений Максвелла в сферических переменных в неоднородной диссипативной среде с выделением переднего фронта. N., Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 1993, № 18.