автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численная аппроксимация поля в задаче взаимодействия дипольных частиц

064668104

На правах рукописи

вяткин

Александр Владимирович

ЧИСЛЕННАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПОЛЯ В ЗАДАЧЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДИПОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 СЕН 2010

Красноярск 2010

004608104

Работа выполнена в Институте вычислительного моделирования Сибирского отделения РАН, г. Красноярск.

Научный руководитель: член-корреспондент РАН, доктор

физико-математических наук, профессор Шайдуров Владимир Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Слабко Виталий Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор

Афанасьев Константин Евгеньевич

Ведущая организация: Институт динамики систем и управления

СО РАН, г. Иркутск

Защита диссертации состоится 01 октября 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.099.06 при Сибирском федеральном университете по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, д. 26, ауд. УЛК 115.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета по адресу: г. Красноярск, ул. Киренского, д. 26, ауд. Г 274.

О

Автореферат разослан "¿0" а^о'^Сд с\ 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета '.Ю. Царев

Введение

Актуальность исследований. Задачи моделирования поведения частиц, обладающих электрическим или магнитным дипольным моментом, возникают в разных^ разделах науки и технологии в последнее время все чаще. Это вызвано несколькими причинами. Одна из них связана с тем, что многие даже, простые несимметричные двухатомные молекулы за счет ионного смещения обладают электрическим дипольным моментом. Важнейшей из таких молекул является трехатомная молекула воды Н2О. Изучение многих эффектов в ряде случаев неминуемо натыкается на проявление взаимодействующих дипольных частиц. Причем круг таких задач с алгоритмической точки зрения довольно разнообразен. Например, в задачах для кристаллических структур у диполей можно пренебречь перемещениями, но необходимо учитывать вращательные степени свободы. В разреженной среде с крупными дипольными частицами перемещения играют не менее важную роль, чем вращения. Аналитических решений у подобных задач найдено немного. Одно из них — бесконечный плоский тонкий слой равномерно расположенных диполей с направлением дипольного момента вдоль плоскости слоя в сторону слабого внешнего поля. Это экспериментально подтверждено для некоторых регулярных размещений частиц. Будет ли это образование устойчиво для относительно нерегулярного исходного расположения дипольных частиц? Сохранится оно или разрушится при каких-то плотностях и характерных размерах? Перечисленные вопросы приводят к значительной актуальности создания эффективных вычислительных алгоритмов и комплексов программ для моделирования взаимодействия электрических или магнитных дипольиых частиц между собой и с внешним полем. Трудности создания таких алгоритмов и программ связаны с реализацией трехмерных нестационарных задач с огромным числом частиц.

Объект исследования

Объектами исследования являются частицы, обладающие магнитным или электрическим дипольным моментом, а также математические модели их

3 Г\ \.Д

взаимодействия между собой и с внешним полем. Математическая модель частицы представляет собой абсолютно твердое тело с заданной массой и вращательными моментами инерции. Направление дипольного момента в частице жестко закреплено. В каждой из рассматриваемых задач участвуют либо только электрические диполи, либо только магнитные. Не рассматриваются задачи, в которых одновременно участвуют оба типа диполей.

Цель и задачи исследования

Цель диссертационной работы — моделирование взаимодействия большого числа (102 — 105) электрических или магнитных дипольных частиц между собой и с внешним полем. Для достижения этой цели были выделены следующие задачи:

- описание физико-математической модели дипольной частицы;

- формулирование физических законов в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие таких частиц между собой и с внешним полем;

- описание метода приближенного вычисления электрического или магнитного поля совокупности частиц и оценка точности такого приближения;

- разработка экономичного алгоритма приближенного вычисления сил, действующих на частицы;

- описание явных методов типа Рунге-Кутты с контролем точности и устойчивости;

- создание и тестирование программного комплекса моделирования взаимодействия дипольных частиц с разными начальными условиями и ограничениями;

В качестве метода исследования используется вычислительный эксперимент, включающий в себя следующие этапы: математическая формули-

ровка задачи, построение численного алгоритма решения, программная реализация алгоритма, проведение расчетов, анализ полученных результатов.

На защиту выносится:

1. Математическая модель взаимодействия частиц, обладающих диполь-ными моментами, и метод приближенного вычисления создаваемого ими векторного поля; оценка относительной погрешности такого приближения для ряда случаев.

2. Метод приближенного вычисления сил взаимодействия между диполями, реализованный с помощью экономичных процедур многократного применения быстрого преобразования Фурье.

Научная новизна работы состоит в том, что для используемого метода аппроксимации поля дипольных частиц для ряда случаев впервые представлена оценка относительной погрешности аппроксимации. Кроме того, в соответствии с используемым методом аппроксимации поля дипольных частиц впервые предложен алгоритм приближенного вычисления сил, действующих на частицы, основанный на применении быстрого преобразования Фурье. Этот алгоритм позволяет снизить число арифметических операций при вычислении сил, действующих на частицы.

Достоверность полученных результатов работы подтверждена использованием общепринятых и экспериментально проверенных подходов к математическому моделированию поля дипольных частиц и их взаимодействию между собой и с внешним полем; проверкой и обоснованием точности использованных численных методов; сравнением полученных результатов с известными в научной литературе соответствующими теоретическими и экспериментальными результатами других авторов; например, результат моделирования действия слабого внешнего поля на тонкий бесконечный плоский слой равномерно расположенных дипольных частиц соответствует экспериментальным данным; хорошим совпадением результатов приближенных вычислений с известными результатами для ряда тестовых задач.

Теоретическая и практическая значимость

Разработан эффективный инструмент математического моделирования, позволяющий рассчитывать состояния больших (102 — 105 частиц) коллективов дипольных частиц при различных начальных условиях и ограничениях. Вместе с тем, разработан метод аппроксимации поля дипольных частиц, позволяющий существенно уменьшать затраты на вычисление напряженности поля по всему объему, что может быть эффективно использовано в подобных вычислительных задачах большой размерности. На основании этого метода реализован программный комплекс для решения задач моделирования поведения дипольных частиц, обладающих возможностью перемещения и вращения или только вращения при различных начальных условиях. Получены численные результаты, которые могут быть использованы для сравнения с другими подходами.

Апробация работы

Основные результаты работы обсуждались на следующих конференциях:

- Конференции молодых ученых Института вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, ИВМ СО РАН; 2006 г., 2008 г., 2009 г.;

- VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск, ИВМ СО РАН; 2006 г.

- XI и XII Международные научные конференции "Решетневские чтения", Красноярск, Сибирский государственный аэрокосмический университет; 2007 г., 2008 г.;

- V Всесибирский конгресс женщин-математиков, Красноярск, Сибирский федеральный университет; 2008 г.

- Международная научная конференция "Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий - 2008", Красноярск, Сибирский федеральный университет; 2008 г.

- XII Конференция молодых ученых Красноярского научного центра СО РАН и Сибирского федерального университета, Красноярск, Институт физики СО РАН; 2009 г.

В полном объеме диссертация была доложена на совместном семинаре Института вычислительного моделирования СО РАН и кафедры информационно-вычислительных технологий Института математики Сибирского федерального университета.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 статей, из них 4 работы — в журналах, рекомендуемых ВАК для защиты кандидатских диссертаций, 7 трудов конференций.

Структура работы

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации — 132 страницы. Список литературы включает 104 наименования.

Содержание работы

Во введении кратко описан объект исследования, сформулирована цель диссертации, выделены её задачи. Обоснована актуальность работы, значимость и достоверность. Перечислены основные публикации по теме диссертации, указаны конференции, на которых обсуждалась работа. Дана общая характеристика диссертации.

Первая глава является вводной. В начале главы приведен краткий исторический обзор используемых подходов к исследуемой задаче и существующих решений. Сформулированы актуальные на сегодняшний день вопросы для исследований. Описана математическая модель диполя. Представлена физическая интерпретация такой модели как в теории электричества, так и в теории магнетизма. Отмечено математическое единообразие формул,

описывающих электрическое поле Е, порожденное электрическим диполем р, и магнитное поле Н, созданное магнитным диполем д. Введены обозначения

Приведены примеры электрической и магнитной дипольных частиц. В конце главы кратко представлены основные подходы к построению решения обыкновенных дифференциальных уравнений на основе явных численных методов типа Рунге-Кутты.

Вторая глава содержит описание математической модели взаимодействия дипольных частиц между собой и с внешним полем. В начале главы сформулирована математическая постановка задачи. Напряженность поля £ в точке положения ^'-ой частицы создаваемого (.¿V — 1)-ой частицами описывается формулой

Здесь = Тк — Г], г к — радиус-вектор А:-той частицы, <1*; — дипольный момент Аьтой частицы; константа со определяется в виде

Символом "•" обозначается скалярное произведение, то есть (г^сЦ) =

+ Полное поле £Ги11(г7), действующее на ^'-тую частицу, представляется в виде суммы поля взаимодействия частиц £(г}) и внешнего поля

Выписана функция С(г^) потенциальной энергии взаимодействия ^'-той частицы с полем £ш(г^

£ = Е, (1 = р, в случае электрических диполей; £ = Н, (1 = ц, в случае магнитных диполей.

при магнитном взаимодействии.

при электрическом взаимодействии;

Для описания поступательного движения частиц определяется сила F(r действующая на центр масс j-той частицы по формуле

F(r,) = -VU(rj), (2)

где символом V обозначается оператор градиента V/ = ( —,—,— ). В

\ ох ду dz I

качестве дифференциального уравнения, описывающего поступательное движение, используется второй закона Ньютона

d2r, = F(rj) d t2 rrij

Вращательное движение j-той частицы описывается вращением частицы вокруг её центра масс под действием момента сил N(rj), определяемого по формуле

N(rJ)=[dJx£M1(ri)]!

где выражение [• х •] обозначает векторное произведение. Тензор инерции Jj определяется в главных центральных осях j-той частицы. В качестве дифференциальных уравнений используются динамические уравнения Эйлера. Выписаны уравнения, характеризующие связь между скоростью изменения углов Эйлера tpj,6j,ipj и угловой скоростью uJj, заданной в главных центральных осях j-той частицы.

В случае самосогласованного поля диполей, когда центры масс всех частиц закреплены, направление дипольного момента каждой j-той частицы определяется из условия минимума функции потенциальной энергии U(rj) взаимодействия j-той частицы с полем £full(rj). Минимум U{vj) по ориентации j-той частицы достигается, когда

е£и11(^) М

Vj = l,...,iV. (3)

Для решения задачи поиска набора векторов {с^}^, удовлетворяющих (3), использован метод установления.

В качестве электрической дипольной частицы рассмотрена молекула воды НгО, а в качестве магнитной частицы — однодоменная частица железа

шарообразной формы. Все начальные данные заданы в соответствии с реальными физико-химическими моделями.

Третья глава посвящена численным методам, основанным на методе ячеек. В начале главы рассмотрена кубическая вычислительная область П. Эта область разбита на кубические ячейки с ребром 1г. Число ячеек вдоль ребра вычислительной области обозначено символом ТУд. Каждой ¿-той ячей

ке сопоставлена ¿-тая дипольная псевдочастица.

_ Доказана следующая лемма об аппроксимации по-

тк ' \

ч \ ля дипольной частицы.

ч \

N

ч% ^ Лемма 1. Пусть дана дипольная частица с ди-

ч 4

польным моментом с!, расположенная в точке гд. и заданы: точка гт из окрестности г* и точка г

Ч \

4!. удаленная от 1>. Тогда

ш

Рис. 1. Аппроксимация поля £к(гз) = ^т(^) + 6£к(г,), при этом

дипольной частицы

1 1

Ч ч ч ч \ ч

~ 47ГС0 |г ■ -13

п

ЩШ. < 9М+27Ы!+27Ы!+^ ь = тЦЫ, м}.

Сформулировано следствие для случая, когда частица, порождающее поле, является единственной в свой ячейке.

I I

Следствие 1. Пусть т-тая ячейка содержит ' ' ^

I ^ ™

только одну к-тую частицу, а ]-тпая частица

содержится в 1-той ячейке. Если 4 ч ^

|г?5 - г£| > Vй + ч/ЗК, N "

где гГ(г£) — радиус-вектор 1-той (т-той) псевдочастицы, то для любой ]-той частицы | ©

из 1-той ячейки справедливо

Рис. 2. Иллюстрация к след-

е*(г,-) = ет(гП + ае*,т(г,-), при этом СТВИЮ1

_ 3 _ а

, д = к, т,

)\~о ~ а

<2с + с? = 9-\73т— + -7- () +0

А

' 4 ^¿Р« 2

№

где

, , , 9\/3 /г ,81/ А У 81^3/ А У 81/ Л У

+ТбЫ-

Для случая, когда в ячейке расположено множество частиц, доказано следующее следствие.

Следствие 2. Пусть |гв} — множество всех частиц из т-ой ячейки, причем

Если

то для любой ]-той частицы из 1-той ячейки справедливо

Рис. 3. Иллюстрация к следствию 2

о=1

При этом, если Ц"3 > 38 А, то

Л-т

Е еа(г,)

а=1

<

2с + с2

1 — 2(2с + с2)'

_9\/3_Л_ 81/М2 81 у5/ А у 81 /

где с ■■

Поле £ в любой точке г,- представлено из двух слагаемых =

£пеаг(г;)+ £Гаг(г,), где

£пеаг __ поле] порожденное частицами на расстоянии г < Ц",

-Гаг

поле, порожденное частицами только на расстоянии г > Ц*.

Отмечено, что метод ячеек позволяет считать определяющее значение £псаг поля £ точно по формуле (1). Добавочное поле £{ат, порожденное частицами на большом расстоянии вычисляется приближенно, заменяя его значение на значение поля соответствующих псевдочастиц.

Далее глава содержит описание экономичного способа вычисления сил взаимодействия дипольных псевдочастиц. Символом Яд обозначена равномерная сетка, образованная всеми псевдочастицами. Доказана следующая лемма.

Nk-lNh-lNh-l

Лемма 2. Для вычисления всех сумм S]'k' — ^ ^ ^ /(гр?г—г;ы)5(гг»г)

r=0 q=0 р=0

j,k,l = 0,...,Nh~l достаточно О log2Nuj арифметический операций сложения и умножения. Здесь грдг — радиус-вектор узла кубической сетки а /i 9 ~ произвольные, ограниченные на Пд, функции.

В ходе доказательства приведен алгоритм вычислений, основанный на использовании быстрого преобразования Фурье. На основании этой леммы доказана следующая лемма.

Лемма 3. Для вычисления всех сил взаимодействия между дипольнъши псевдочастицами достаточно О (^Щ logzNhj арифметических операций.

Доказательство этой леммы является конструктивным и содержит описание метода вычисления.

Четвёртая глава содержит описание численных методов интегрирования задачи Коши

£ = /<У), У(*) = Уо, «о <t<t\ dt t=t0

где y,f— вектор-функции размерности Neq. Рассмотрены явные методы типа

Рунге-Кутты вида

тп i—1

У»+1,р = + кг = ^/(yn + ^ftjkj). (4)

«=1 j=I

где п — номер текущей точки интегрирования, р — порядок метода, тп — число стадий метода, — коэффициенты, определяющие свойства метода, kj — стадии метода, &hn — шаг интегрирования. Выбор величины hn основан на контроле точности вычислений и устойчивости численной схемы.

Точность вычислений обеспечена оценкой нормы глобальной ошибки £п р в смысле первого члена разложения ошибки в ряд Тейлора. Такая оценка

осуществлена с помощью вложенных методов. Так, приближение к решению у в каждой точке вычислено двумя методами вида (4) р-го и (р — 1)-го порядков точности, а затем глобальная ошибка метода р-го порядка оценена через разность полученных приближений

= У п,р Уп,р—1*

Величина шага с учетом ||еп,Р|| = определена из неравенства

11еп,р11 < е, (5)

где || • || — некоторая норма в пространстве К^"«, а е — требуемая точность интегрирования. Норма глобальной ошибки определена по формуле

\е„, = тах

где г — номер компоненты, г — малый положительный параметр. Если |у| | < г, то контролируется абсолютная ошибка ег, в противном случае контролируется относительная ошибка е. При построении метода (р — 1)-го порядка использованы стадии метода р-го порядка, поэтому оценка абсолютной ошибки &п,р не требует дополнительных вычислений правой части / и матрицы Якоби.

Контроль устойчивости численной схемы (4) использован при выборе величины следующего п +1 прогнозируемого шага. Для каждого построенного метода типа (4) выписана функция устойчивости <3(.г). Представлена область устойчивости, ограниченная кривой |<3(г)| = 1. Выбор шага осуществлен из условия устойчивости

|Атах|Сг < Д (6)

где Ашах — максимальное собственное число матрицы Якоби, а Б — постоянная, связана с размером области устойчивости. Для оценки модуля Ашах использован степенной метод, основанный на первых трех стадиях к;. Такой подход не приводит к увеличению вычислительных затрат, потому что оценка величины |Атах| осуществлена через вычисленные стадии к;. В результате

НАЧАЛО

Объявление констант и переменных

Определение числа частиц и переменных времени

__1_____I

Задание начальных данных задачи

т

Закрытие файлов записи КОНЕЦ

Вычисление магнитного поля

Ж

Вычисление магнитной силы и

вращательного момента _*__=

Вычисление основных данных задачи за один шаг интегрирования

Проверка на слипаемость частиц

Сохранение и обновление данных

Рис. 4. Блок-схема алгоритма моделирования

величина следующего (п+ 1)-го шага интегрирования определена по формуле

/ц+1 = тах {кП! тт(/г^°+11

где — прогнозируемый шаг из условия точности (5), — прогнозируемый шаг из условия устойчивости (6). Таким образом, контроль устойчивости использован только как ограничитель на рост шага интегрирования. В работе описанный подход применен для построения методов второго, четвертого (схема Мерсона) и восьмого (схема Дорманда-Принса) порядков точности с контролем устойчивости.

В пятой главе описан разработанный комплекс программ. Комплекс реализован на языке программирования С++. Он состоит из главной исполняемой функции и 35-ти пользовательских функций, которые описаны в 19-ти последовательно подключенных модулях (библиотеках). По исполняемым операциям все модули сгруппированы в компоненты. Каждый из компонентов не зависит от остальных и выполняет законченное действие с входящими переменными. Результатом работы компонента является набор выходящих переменных. С целью мобильности комплекса использованы глобальные переменные, которые разбиты на классы по объекту описания. Перед началом итерационныого процесса для всех переменных заданы начальные значения. В модуле реализована возможность перехода от первой модели переориентации частиц в пространстве ко второй, и наоборот. Блок-схема алгоритма моделирования представлена на рис. 4. Точность расчетов и тип численного метода определены в зависимости от текущего состояния системы частиц. Так, при описании движения системы частиц в случае, когда существует пара частиц, расстояние между которыми близко к минимально допустимому, использован метод Дорманда-Принса восьмого порядка с точностью е = ю-9 Ю-6. В других случаях использованы методы второго и четвертого порядков. Для решения задачи на установление сначала использован метод четвертого порядка с точностью е = 10_3 + Ю-5. После того как решение найдено с этой точностью, его значение уточнено методом восьмого порядка с точностью е = Ю-7 + Ю-9. Результаты вычислений комплекса сохраняются в текстовом формате сМа-файлов, которые имеют специальную

структуру для обработки программами визуализации.

В шестой главе приведены результаты тестирования комплекса. Представлены результаты сравнения полученных численных решений с известными в литературе экспериментальными данными. Рассмотрены магнитные дипольные частицы, квазирегулярно расположенные на поверхности в Е3

х

г \ ЗЛ^от •

Ф>2/) = —;—

47Г

где х,у € [-Ди>т/2; Дьт/2], а Дьт — ребро кубической вычислительной области. Каждая частица расположена в соответствующем узле квадратной сетки с шагом На, расположенной на поверхно-

Д)огп/2 3

| ЧЙ4*^ 1

Чгт—

(7)

300

0 N

-300

-500-500 -250

0 X

250 500

Рис. 5. Диполи на поверхности

цы в узле задано с точностью до кубической окрестности с ребром <5/^ = 0.05^. Дипольные моменты частиц заданы равными между собой по модулю и направленными произвольным образом. Такое квазирегулярное расположение диполей на поверхности (7) изображено

/ Ч у УЧ.» V ✓ V Ч/ч У ч / У Ч V 1

'! 1 \ " ♦ 1 / Н / ♦ * * * * * 1 \ \ *

" ♦ * 1 \ 1 * * * н * 1 * * \ * \ ♦ ♦ : 1 \

!' V / / X Ч > Ч Ф ч > л/ ^ \ / . / Н

500

250

о >-

-250

-500

-500

-250

0 X

- ♦ 1 ■> ♦ 1 * * 1 111 * * * ♦ 11 ♦ 1 :

• 1 * , ^ { ♦ ♦ 1 ♦ 4 < 1 $ 1 * 1 ♦ ♦ ♦

- ♦ 1 ¡, * | 1 ♦ 4 ♦ * * * ♦ 1 \ \ \

■ 1 1 1 * ♦ 1 1 * И -ш- 1 I 1 * * * -ш ♦ * -ЧтЧ-

500

250

0 >-

-250

-500

250

500

-500

-250

О X

250

500

Рис. 6. Диполи в самосогласованном поле на поверхности

Рис. 7. Самосогласоваиие с учетом внешнего поля на поверхности

на рис. 5. Один из полученных вариантов ориентации дипольных моментов

после самосогласования поля, образованного такими частицами, изображен на рис. 6. Далее введено внешнее поле Е6*', сонаправленное оси ОУ так, что

л| = Мо 2м |е АтгИХ

Как видно из рис. 7 самосогласование поля диполей выравнивает дипольные моменты вдоль внешнего поля £еЛ. Кроме этого, проведено тестирование описанных явных методов типа Рунге-Кутты на предмет применимости в задачах интегрирования уравнений движения с разными начальными условиями. Проделан ряд исследовательских расчетов. В конце главы представлены выводы о степени совпадения решений, полученных с помощью приближенных формул вычисления поля.

На основании проведенной работы можно сделать следующие выводы:

1. Описана физико-математическая модель дипольной частицы и сформулированы физические законы в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающие взаимодействие дипольных частиц между собой и с внешним полем.

2. Представлен метод приближенного вычисления векторного поля совокупности частиц, позволяющий существенно уменьшать вычислительные затраты. Впервые для ряда случаев представлена оценка относительной погрешности такого приближения.

3. Предложен оригинальный алгоритм приближенного вычисления сил, действующих на частицы, позволяющий снизить число арифметических операций.

4. Создан программный комплекс для решения задач моделирования поведения дипольных частиц при различных начальных условиях и ограничениях.

5. Получены численные результаты, которые могут быть использованы для сравнения с другими подходами.

Список публикаций автора

В журналах, рекомендуемых ВАК по специальности

1. Вяткин A.B., Киреев И.В. Параллельная численная схема решения краевой задачи для одномерного эллиптического уравнения // Вестник Красноярского государственного университета. Сер. "Физико-математические науки". - 2006. - №1. - С. 119-124.

2. Вяткин A.B. Исследование поведения явных методов типа Рунге-Кутты в точке особенности задачи двух тел // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 3(33). - С. 7-10.

3. Вяткин A.B. Тестирование явных численных методов типа Рунге-Кутты в точке особенности задачи двух тел // Вестник КрасГАУ. - 2008. - № 5(26). - С. 50-55.

4. Вяткин A.B., Шайдуров В.В., Щепановская Г.И. Численное сферически-симметричное моделирование глубинной геодинамики // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2009 - T.XII, №1(37) - С. 40-48.

В других изданиях

5. Вяткин A.B., Шайдуров В.В., Щепановская Г.И. Метод конечных элементов в моделировании сферически-симметричных пульсаций Земли // Журнал Сибирского федерального университета. Сер. "Математика и Физика". - 2008. - Т.1, № 3. - С. 247-256.

6. Вяткин A.B., Новиков Е.А., Шайдуров В.В. Движение диполей под действием магнитных сил взаимодействия // Совместный выпуск T.I: Вычислительные технологии. - 2008. - Т. 13.; Вестник КазНУ. - 2008. -№4(59). - С. 389-396.

7. Вяткин A.B. Тестирование численных методов в точке особенности задачи двух тел // Ресурсосберегающие технологии механизации сельского хозяйства: прил. к "Вестнику КрасГАУ". Вып. 5 - 2009. - С. 92-97.

8. A. Vyatkin, V. Shaidurov, G. Shchepanovskaya. The numerical spherical symmetric modeling of deep-seated geodynamics // Numerical analysis and its application. 4th International Conference, NAA 2008 Lozenetz, Bolgaria, June 16-20, 2008. Revised Selected Papers. - Springer. - 2008. - P. 128-138.

Труды конференций

9. Вяткин A.B. Экономичный алгоритм вычисления гравитационного взаимодействия в плоской задаче многих тел // Материалы конференции молодых ученых Института вычислительного моделирования СО РАН.

- Красноярск: ИВМ СО РАН, 2006. - С. 15-17.

10. Вяткин A.B. Использование БПФ в двумерных задачах гравитационного взаимодействия // Материалы VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых). - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2006. - С. 18-19.

11. Вяткин A.B., Шайдуров В.В. Взаимодействие и движение магнитных диполей // Материалы XI Международной научной конференции "Ре-шетневские чтения". - Красноярск: СибГАУ, 2007. - С. 221-222.

12. Вяткин A.B., Шайдуров В.В. Вычисление вектора гравитационной силы сферически-симетричного тела // V Всесибирский конгресс женщин-математиков: Материалы конференции. - Красноярск: СФУ, 2008. - С. 93-98.

13. Вяткин A.B., Шайдуров В.В. Взаимодействие и движение магнитных частиц однодоменной структуры / / Материалы XII Международной научной конференции "Решетневские чтения". - Красноярск: СибГАУ, 2008.

- С. 261-262.

14. Вяткин A.B., Шайдуров В.В. Взаимодействие и движение магнитных диполей // Материалы конференции молодых ученых Института вычислительного моделирования СО РАН. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2009. - С. 4-6.

15. Вяткин A.B., Шайдуров B.B. Взаимодействие и движение магнитных диполей // Сборник трудов конференции молодых учёных КНЦ СО РАН. - Красноярск: Институт физики СО РАН, 2009. - С. 27-29.

Подписано в печать 25.08.2010 Формат 60 х 84 / 16. Уч.-изд. л. 1,1 Тираж 100 экз. Заказ № 2215

Отпечатано в типографии БИК СФУ 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а

Введение

1 Обзор

1.1 Исторический обзор.

1.2 Модель дипольной частицы и упрощения.

1.2.1 Диполь и поле диполя.

1.2.2 Однодоменная частица и её поле.

1.2.3 Модель движения частиц.

1.2.4 Примеры объектов моделирования.

1.3 Численные методы интегрирования.

2 Математическая модель

2.1 Постановка задачи.

2.2 Поле частиц и уравнения движения.

2.2.1 Поле дипольных частиц.

2.2.2 Энергия.

2.2.3 Уравнения поступательного движения.

2.2.4 Уравнения вращательного движения.

2.2.5 Уравнения движения частиц с вращением.

2.2.6 Уравнения движения частиц в самосогласованном поле

2.3 Начальные данные.

2.3.1 Электрическая дипольная частица.

2.3.2 Магнитная дипольная частица.

2.4 Обезразмеривание.

2.4.1 Задача взаимодействия электрических частиц

2.4.2 Задача магнитного взаимодействия

3 Вычислительные методы

3.1 Метод ячеек.

3.2 Метод приближенного вычисления поля.

3.3 Методы быстрого вычисления

4 Численные методы интегрирования

4.1 Основные определения.

4.2 Схема второго порядка точности.

4.3 Схема четвертого порядка точности.

4.4 Схема восьмого порядка точности.

4.5 Реализация и использование методов

5 Комплекс программ

5.1 Структура комплекса.

5.1.1 Описание модулей.

5.1.2 Алгоритм моделирования.

6 Результаты и обсуждение

6.1 Диполи в плоскости.

6.2 Диполи на поверхности.

6.3 Аппроксимация поля многих диполей.

Актуальность исследований. Задачи моделирования поведения частиц, обладающих электрическим или магнитным дипольным моментом, возникают в разных разделах науки и технологии в последнее время все чаще. Это вызвано несколькими причинами. Одна из них связана с тем, что многие, даже простые несимметричные двухатомные молекулы за счет ионного смещения обладают электрическим дипольным моментом. Важнейшей из таких молекул является трехатомная молекула воды Н2О. Изучение многих эффектов в ряде случаев неминуемо натыкается на проявление взаимодействующих дипольных частиц. Причем круг таких задач с алгоритмической точки зрения довольно разнообразен. Например, в задачах для кристаллических структур у диполей можно пренебречь перемещениями, но необходимо учитывать вращательные степени свободы. В разреженной среде с крупными дипольными частицами перемещения играют не менее важную роль, чем вращения. Аналитических решений у подобных задач найдено немного. Это приводит к актуальной задаче создания эффективных вычислительных алгоритмов и комплексов программ для моделирования поведения частиц, обладающих электрическими или дипольными моментами, в результате их взаимодействия с учетом внешнего поля. Трудности создания таких алгоритмов и программ связаны с реализацией трехмерных нестационарных задач, а также с огромным числом участвующих частиц.

Объектами исследования являются частицы, обладающие магнитным или электрическим дипольным моментом, а также математические модели их взаимодействия между собой и с внешним полем. Математическая модель частицы представляет собой абсолютно твердое тело с заданной массой и вращательными моментами инерции. Направление дипольно-го момента в частице жестко закреплено. В каждой из рассматриваемых задач участвуют либо только электрические диполи, либо только магнитные. Не рассматриваются задачи, в которых одновременно участвуют оба типа диполей.

Цель диссертационной работы — моделирование взаимодействия большого числа (102 — 105) электрических или магнитных дипольных частиц между собой и с внешним полем. Для достижения поставленной цели выделены следующие задачи: описание физико-математической модели дипольной частицы; формулирование физических законов в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие таких частиц между собой и с внешним полем; выполнение обезразмеривания и оценка пределов изменения участвующих переменных величин; описание метода приближенного вычисления электрического или магнитного поля совокупности частиц и оценка точности такого приближения; разработка экономичного алгоритма приближенного вычисления сил, действующих на частицы; описание явных методов типа Рунге-Кутты с контролем точности и устойчивости; тестирование явных методов типа Рунге-Кутты на предмет применимости в задаче интегрирования уравнений движения частиц; создание программного комплекса моделирования взаимодействия ди-польных частиц с разными начальными условиями и ограничениями; тестирование программного комплекса и проведение вычислительных экспериментов.

В качестве метода исследования используется вычислительный эксперимент, включающий в себя следующие этапы: математическая формулировка задачи, построение численного алгоритма решения, программная реализация алгоритма, проведение расчетов, анализ полученных результатов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель взаимодействия частиц, обладающих диполь-ными моментами, и метод приближенного вычисления создаваемого ими векторного поля; оценка относительной погрешности такого приближения для ряда случаев.

2. Метод приближенного вычисления сил взаимодействия между диполями, реализованный с помощью экономичных процедур многократного применения быстрого преобразования Фурье.

Научная новизна работы состоит в том, что для используемого метода аппроксимации поля дипольных частиц для ряда случаев впервые представлена оценка относительной погрешности аппроксимации. Кроме того, в соответствии с используемым методом аппроксимации поля ди-польных частиц впервые предложен алгоритм приближенного вычисления сил, действующих на частицы, основанный на применении быстрого преобразования Фурье. Этот алгоритм позволяет снизить число арифметических операций при вычислении сил, действующих на частицы.

Достоверность полученных результатов работы подтверждена использованием общепринятых и экспериментально проверенных подходов к математическому моделированию поля дипольных частиц и их взаимодействию между собой и с внешним полем; проверкой и обоснованием точности использованных численных методов; сравнением полученных результатов с известными в научной литературе соответствующими теоретическими и экспериментальными результатами других авторов; например, результат моделирования действия слабого внешнего поля на тонкий бесконечный плоский слой равномерно расположенных дипольных частиц соответствует экспериментальным данным; хорошим совпадением результатов приближенных вычислений с известными результатами для ряда тестовых задач.

Теоретическая и практическая значимость Разработан эффективный инструмент математического моделирования, позволяющий рассчитывать состояния больших (102 — 105 частиц) коллективов дипольных частиц при различных начальных условиях и ограничениях. Вместе с тем, разработан метод аппроксимации поля дипольных частиц, позволяющий существенно уменьшать затраты на вычисление напряженности поля по всему объему, что может быть эффективно использовано в подобных вычислительных задачах большой размерности. На основании этого метода реализован программный комплекс для решения задач моделирования поведения дипольных частиц, обладающих возможностью перемещения и вращения или только вращения при различных начальных условиях. Получены численные результаты, которые могут быть использованы для сравнения с другими подходами.

По теме диссертации опубликовано 8 статей, из них 4 работы - в журналах, рекомендуемых ВАК для защиты кандидатских диссертаций.

1. Вяткин A.B., Киреев И.В. Параллельная численная схема решения краевой задачи для одномерного эллиптического уравнения // Вестник Красноярского государственного университета. Сер. "Физико-математические науки". - 2006. - №1. - С. 119-124.

2. Вяткин A.B. Исследование поведения явных методов типа Рунге-Кутты в точке особенности задачи двух тел // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 3(33). - С. 7-10.

3. Вяткин A.B. Тестирование явных численных методов типа Рунге-Кутты в точке особенности задачи двух тел // Вестник КрасГАУ. - 2008. - № 5(26). - С. 50-55.

4. Вяткин A.B., Шайдуров В.В., Щепановская Г.И. Численное сферически-симметричное моделирование глубинной геодинамики // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2009 - T.XII, №1(37) -С. 40-48.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на

8 конференциях всесибирского, всероссийского и международного уровней. В целом диссертация была доложена на совместном семинаре Института вычислительного моделирования СО РАН и кафедры информационно-вычислительных технологий Института математики Сибирского федерального университета.

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 132 страницы. Список литературы включает 104 наименования.

Заключение

В рамках работы создан программный комплекс для моделирования взаимодействия большого числа (102 — 105) электрических или магнитных дипольных частиц между собой и с внешним полем. Вместе с тем, описана физико-математической модель дипольной частицы и сформулированы физические законы в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающие взаимодействие дипольных частиц между собой и с внешним полем; представлен метод приближенного вычисления векторного поля совокупности частиц, позволяющий существенно уменьшать вычислительные затраты на вычисление напряженности поля по всему объему; впервые для ряда случаев представлена оценка относительной погрешности такого приближения. предложен оригинальный алгоритм приближенного вычисления сил, действующих на частицы, основанный на многократном использовании быстрого преобразования Фурье; этот алгоритм позволяет снизить число арифметических операций и может быть эффективно использован в вычислительных задачах большой размерности; описаны явные методы типа Рунге-Кутты с контролем точности и устойчивости второго, четвертого и восьмого порядков точности; проведено сравнение полученных результатов с известными в научной литературе соответствующими теоретическими и экспериментальными результатами других авторов; получены численные результаты, которые могут быть использованы для сравнения с другими подходами.

Таким образом, разработан эффективный инструмент математического моделирования, позволяющий рассчитывать состояния больших коллективов дипольных частиц при различных начальных условиях и ограничениях. Этот инструмент может явиться предварительным и вспомогательным средством исследования влияния дипольных свойств частиц или молекул на свойства составляемого ими вещества или среды.

1. Агошков, В.И. Методы решения задач математической физики:

2. Учеб. пособие. / В.И. Агошков, П.Б. Дубовский, В.П. Шутяев, Г.И.Марчук М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

3. Алешкевич, В.А. Механика сплошных сред. Лекции. / В.А. Алешкевич, Л.Г. Деденко, В.А. Караваев М.: Изд-во физ. фак. МГУ, 1998. -92 с.

4. Акулов, Н.С. Ферромагнетизм / Н.С. Акулов М.: Гостехиздат, 1939.

5. Артемьев, С.С. Алгоритм переменного порядка и шага для численногорешения жестких задач систем обыкновенных дифференциальных уравнений. / С.С. Артемьев, Г.В. Демидов ДАН СССР, 1978 -Т.238 - с. 214 - 220.

6. Арушанян, О.Б. О тестировании программ решения обыкновенныхдифференциальных уравнений / О.Б. Арушанян, С.Ф. Залеткин, А.Ю. Захаров, H.H. Калиткин М.: Препр. ИПМ АН СССР № 139, 1983.

7. Архангельский, М.М. Курс физики. Механика / М.М. Архангельский.- 2-е изд., исправ. и доп. М.: Просвещение, 1965. - 448 с.

8. Афремов, Л.Л. Остаточная намагниченность ультрадисперсных магнетиков / Л.Л. Афремов, A.B. Панов. Владивосток.: Изд-во Даль-невост. ун-та, 2004. - 192 с.

9. Бабичев, А.П. Физические величины: Справочник / А.П. Бабичев,

10. H.A. Бабушкина, A.M. Братковский и др. Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

11. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задачматематической физики / под ред. К.И. Бабенко. М.: Наука, 1979.- 295 с.

12. Барьяхтар, В.Г. Магнетизм. Что это? / В.Г. Барьяхтар, Б.А. Иванов -Киев: Наукова думка, 1981.

13. Барьяхтар, В.Г. В мире магнитных доменов / В.Г. Барьяхтар, Б.А.

14. Иванов Киев: Наукова думка, 1986.

15. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов. М.: Наука, 1975.

16. Белов, К.П. Упругие, тепловые и электрические явления в ферромагнетиках / К.П. Белов — М.: Ростехиздат, 1957.

17. Белов, К.П. Магнитные превращения / К.П. Белов М.: Физматгиз,1959.

18. Белов, К.П. Редкоземельные ферро- и антиферромагнетики. / К.П.

19. Белов, Белянчикова М.А., Левитин Р.З., Никитин С.А. М.: Физматгиз, 1965.

20. Белоцерковский, О.М. Статистический метод "частиц-в-ячейках,,длярешения задач динамики разреженного-газа. T.I. Основы построен ния метода / О.М. Белоцерковский; В.Е. Янинский // Журн. выч. мат. и матем. физ. 1975. - Т.15 - № 5. - С. 1195-1208.

21. Белоцерковский, О.М. Методы крупных частиц в газовой динамике /

22. О.М. Белоцерковский. М.: Наука, 1982. - 392 с.

23. Березкин, E.H. Курс теоретической механики / E.H. Березкин. 2-еизд., исправ. и доп. М.: Изд. Московского, ун-та, 1974. - 646-с.

24. Бобков, В.В. Новые явные А-устойчивые методы численного решениядифференциальных уравнений / В.В. Бобков. // Дифференц. уравнения 1978. - № 12 - С. 2249-2252.

25. Бобков, В.В. Начала теории вычислительных методов / В.В. Бобков, В.И. Крылов, П.И*. Монастырский // Дифференц. уравнения -Минск: Наука и техника, 1982.

26. Боднарчук, П.И. Одношаговые итерационные численные методы дляисследования жестких задач / П.И. Боднарчук // Численное решения ОДЕ М.: ИПМ АН СССР, 1988 - С. 111-123.

27. Бозорт, Р. Ферромагнетизм / Р. Бозорт М.: Изд-во иностр. литер.,1965.

28. Бор, Н. О строении атомов и молекул / Н. Бор // Избранные труды1. М.: Наука, 1970.

29. Боровик, Е.С. Лекции по магнетизму / Е.С. Боровик, В.В. Еременко,

30. A.C. Мильнер. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. -512 с.

31. Боровик-Романов, A.C. Антиферромагнетизм. Итоги науки. / A.C.

32. Боровик-Романов М.: Изд-во АН СССР, 1962.

33. Боровик-Романов, A.C. Лекции по низкотемпературному магнетизму. Магнитная симметрия антиферромагнетиков / A.C. Боровик-Романов Новосибирск: Изд. Новосибирского ун-та, 1976.

34. Боровков, A.A. Математическая статистика: Оценка параметров. Проверка гипотез / A.A. Боровков. М.: Наука, 1984. - 472 с.

35. Боровков, A.A. Теория вероятностей: Учеб. пособие для вузов. / A.A.

36. Боровков. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1986. - 432 с.

37. Браун, У.Ф. Микромагнетизм / У.Ф. Браун М.: Наука, 1979.

38. Брук, Э.Т. "Еж"в стакане. Магнитные материалы / Э.Т. Брук, В.Б.

39. Фертман Минск: Вышэйшая школа, 1983.

40. Бэтчелор, Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. М.:1. Мир, 1973. 757 с.

41. Ваннер, Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

42. Нежесткие задачи. / Г. Ваннер, С. Нерсетт, Э. Хайрер М.: Мир, 1990.

43. Вейн, X. Ферриты / X. Вейн, Я. Смит М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

44. Вервер, Я. Устойчивость методов Рунге-Кутта для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. / Я. Вервер, К. Деккер М.: Мир, 1988.

45. Воеводин, В.В. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами

46. В.В. Воеводин, Е.Е. Тыртышников М.: Наука, 1978.

47. Волощук, В.М. Процессы коагуляции в дисперсных системах / В.М.

48. Волощук. JL: Гидрометеоиздат, 1975. - 320 с.

49. Вольфарт, Э. Магнито-твердые материалы. Постоянные • магниты.

50. Справочник. / Э. Вольфарт М.: Госэнергоиздат, 1963:

51. Магнитная структура ферромагнетиков. Сборник / под ред: C.B. Вонсовского. М.: Из-во иностр. лит., 1959.

52. Вонсовский, C.B. Магнетизм / C.B. Вонсовский. М.: Из-во Физ.-мат.лит., 1971. 1032 с.

53. Динамические и кинетические свойства магнетиков / под ред. C.B.

54. Вонсовского, Е.А. Турова- М.: Наука, 1986.

55. Гардин, A.B. Постоянные магниты / A.B. Гардин, А.Г. Сливинский1. М.: Энергия, 1965.

56. Годунов, C.K. Разностные схемы (введение в теорию) / С.К. Годунов,

57. C.B. Рябенький. М.: Наука, 1973. - 400 с.

58. Дорфман, Я.Г. Магнитные свойства атомного ядра / Я.Г. Дорфман —1. M.-JL: Гостехиздат, 1948.

59. Дорфман, Я.Г. Магнитные свойства и строение вещества / Я.Г. Дорфман М.: Гостехиздат, 1955.

60. Демидов, Г.В. Экономичный алгоритм интегрирования нежестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений /Г.В. Демидов, Б.А. Новиков // Числ. методы мат. физики Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979. - С. 69-83.

61. Демидов, Г.В. Оценка ошибки одношаговых методов интегрированияобыкновенных дифференциальных уравнений / Г.В. Демидов, Е.А. Новиков // Числ. методы механики сплош. среды Новосибирск, 1985. - Т. 16, № 1. - С. 27-39.

62. Еременко, В.В. Магнитооптика и спектроскопия антиферромагнетиков

63. В.В. Еременко, Ю.Г. Литвиненко, В.М. Науменко, Н.Ф. Харченко- Киев: Наукова думка, 1989.

64. Захаров А.Ю. Некоторые результаты сравнений эффективности методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений: Препринт № 125. / А.Ю. Захаров. М.: Изд. ИПМ АН СССР, 1979.- 25 с.

65. Захаров А.Ю. О программах, комплексах и пакетах программ для решения обыкновенных дифференциальных уравнений / А.Ю. Захаров, H.A. Кальянова, В.О. Капуста, Т.П. Шульмина М.: Препр. ИПМ АН СССР, № 160, 1979.

66. Зиненко, В.И. Основы физики твердого тела / В.И. Зиненко, Б.П. Сорокин, П.П. Тургин. М.: Из-во Физ.-мат. лит., 2001. - 336 с.

67. Ильин, В.А. Математический анализ / В.А. Ильин, В.А. Садовничий,

68. Бл.Х. Сендов. М.: Наука, 1979. - 720 с.

69. Иствуд, Дж. Численное моделирование методом частиц / Дж. Иствуд,

70. Р. Хокни. М.: Мир, 1987. - 638 с.

71. Карасик, В.Р. Физика и техника сильных магнитных полей / В.Р. Карасик М.: Наука, 1964.

72. Карманов В.Г. Математическое программирование: Учеб. пособие /

73. В.Г. Карманов. 5-е изд., стереотип. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. -264 с.

74. Кац, M. Несколько вероятностных задач физики и математики / М.

75. Кац. М.: Наука, 1967 - 176 с.

76. Кейт Г. Использование Visual С++ 5. Специальное издание.: Пер с анг.

77. Г. Кейт. К.: Диалектика, 1997 - 816 с.

78. Кибель, И.А. Теоретическая гидромеханика. 4.1 / И.А. Кибель, Н.Е.

79. Кочин, Н.В. Розе М: ФМ, 1963. - 583 с.

80. Кибель, И.А. Теоретическая гидромеханика. 4.2 / И.А. Кибель, Н.Е.

81. Кочин, Н.В. Розе М: ФМ, 1963. - 727 с.

82. Киржниц Д.А. Лекции по физике / Д.А. Киржниц. М.: Наука, 2006.- 244 с.

83. Киттель, Ч. Введение в физику твердого тела / Киттель Ч. 791 с.

84. Кифер, И.И. Испытания ферромагнитный материалов / И.И. Кифер- М.-Л.: Госэнергоиздат, 1962.

85. Коган, М.Н. Введение в динамику разреженного газа. / М.Н. Коган1. М: Наука, 1967. 440 с.

86. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин М: Наука, 1976. - 543 с.

87. Копферман, Г. Ядерные моменты / Г. Копферман М.: Изд-во иностр.лит., 1969.

88. Куреленко, О.Д. Краткий справочник по химии / под ред. член-корр.

89. АН СССР О.Д. Куриленко. 4-е изд., исправл. и доп. - Киев: Нау-кова думка, 1974. - 992 с.

90. Лабутин, A.A. Краткие сведения о международной системе единиц измерений (СИ) / A.A. Лабутин. Киев: Вища школа, 1975. - 88 с.

91. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика: Кн.1: Механика. Электродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1969. - 272 с.

92. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика: Т.1: Механика / Л.Д. Ландау,

93. Е.М. Лифшиц. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1973. - 208 с.

94. Лебедев, В.И. Явные разностные схемы с переменным шагами по времени для решения жестких систем уравнений / В.И. Лебедев М.: Препр. ОВМ АН СССР, № 177, 1987.

95. Лисовский, Ф.В. Физика цилиндрических магнитных доменов / Ф.В.

96. Лисовский М.: Сов. Радио, 1979.

97. Лейтон, Р.' Фейнмановские лекции по физике: Т.5 Электричество имагнетизм / Р. Лейтон, М. Сэндс, Р. Фейнман. 2-е изд. - М.: МИР, 1977. - 304 с.

98. Марчук, Г.И. Повышение точности решений разностных схем / Г.И.

99. Марчук, В.В. Шайдуров М.: Наука, 1979:

100. Маттис, Д. Теория магнетизма / Д. Маттис М.: Мир, 1967.

101. Меськин, B.C. Ферромагнитные сплавы /B.C. Меськин ОНТИ, 1937.

102. Михайлов, А.П. Математическое моделирование: Идеи: Методы. Примеры/ А.П. Михайлов, A.A. Самарский. 2-е изд., испр: - М.: Физ-матлит, 2001. - 320 с.

103. Новиков В.А. Контроль устойчивости явных однощаговых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений' / В.А. . Новиков, Е.А. Новиков // ДАН СССР 1984. - Т.277 - № 5. - С. 1958-1062:

104. Новиков. В.А. Повышение эффективности алгоритмов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений за счет контроля устойчивости / В.А. Новиков, Е.А. Новиков // ЖВМ и МФ, 1985 -Т. 25, № 7. -- С. 1023-1030.

105. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. / Е.А. Новиков.

106. Н.: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1997- 195 с.79.? Поляхов, H.H. Теоретическая механика / Н.Н; Поляхов^- С.А. Зёгжда) •

107. M.II. Юшков; под ред. проф. H.H. Поляхова. Л.: Изд-во Ленигр. ун-та, 1985. - 536 с.

108. Преображенский, A.A. Магнитные материалы, / A.A. Преображенский- М.: Изд-во высшая школа, 1965.81. .Ракитский, Е.В. Численные методы решения жестких систем / Е.М:

109. Ракитский, С.М.,Устинов, И.Г. Черноруцкий М.: Наука, 1979:.,

110. Радо, Д. Ферромагнитный резонанс. Сборник /. Д. Радо, Р. Рапт, В.

111. Эмерсон М.: Изд-во иностр. лит. , 1952:

112. Раев, В.К. Цилиндрические магнитные домены в элементах вычислительной техники / Р.В. Раев, Г.Е. Ходенков— М.: Энергоиздат,, 1981.

113. Самарский, A.A. Введение в теорию разностных схем / A.A. Самарский М.: Наука, 1971.

114. Сато, X. Ферриты / X. Сато, Ю. Ситидзе М.: Мир, 1964.

115. Селвуд, П. Магнетохимия / П. Селвуд М.: Изд-во иностр. лит.у1958.

116. Слоневскии, Р.В. -Новые дробно-рациональные: численные методы решения жестких систем / Р.В. Слоневский // Численное решения: ОДЕ. М.: ИПМ АН СССР, 1988. - С. 124-138.

117. Смайт, В. Электростатика и электродинамика / В. Смайт. М.: Изд.иностранной лит., 1954. 606 с.

118. Тиморева A.B. Курс общей физики: Т.2 Электрические и электромагнитные. явления / A.B. Тиморева, С.Э., Фриш. 9-е изд., исправ. и доп. - М.: Из-во Физ.-мат. лит., 1962: - 516 с.90.' Туров Е. В. Физические свойства магнетоупорядоченных кристаллов > /

119. Е.В. Туров М.: Изд-во АН СССР, 1969:

120. Ферриты /' Под ред. Такэси Такэ М.: Металлургия, 1964.

121. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений! / под ред: Дж. Уатта: и Дж., Холла М.: Мир;

122. Фарадей, М. Избранные работы- по электричеству / М. Фарадей.

123. Перевод под ред: З.А. Цейтлина. М.: Гос. объед. научн.-техн. из-во, 1939. - 306 с.

124. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа: Т.1 / Г.М. Фихтенгольц. СПб.: Лань, 2001. - 448 с.

125. Харлоу, Ф.Х. Численный метод "частиц в; ячейках "для задач гидродинамики/ Ф.Х. Харлоу. под ред. С.С. Григоряна, Ю.Д. Шмыглев-ского. - М.: Мир, 1967. - 383 с.

126. Чернавский, П.А. Новое; в магнитных методах исследования металлнанесенных катализаторов / П.А. Чернавский // Рос. хим. ж. (Ж. Рос. хим. об-ва. им Д.И. Менделеева). 2002. - Т. XLVI. - № 3. -С. 19-30. .

127. Ширапов Д.Ш. Численные методы линейной- алгебры: Учеб; пособие: \ / Д.Ш. Ширанов Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2003. - 96 с.

128. Штетер X. Анализ: метода дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. / X. Штетер-М.: Мир, 1978.

129. Яковлев, В;И. Классическая электродинамика: 4.1 Электричество имагнетизм.: Учеб: пособие / В:И. Яковлев. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2003. - 267 с.

130. Bettis, D.G. Runge-Kutta algorithms for oscillatory problems / D.G.

131. Bettis // Z. Angew. Math. Phys. 1979: - № 30: - P. 699-704.

132. Dormand, J.R. High order embedded Runge-Kutta formulae / J.R.

133. Dormand, P.J. Prince // J. Comp. Appl. Math. 1981. - 7. - P. 67-75.

134. England, R. Error estimates for Runge-Kutta type solution to system of

135. ODE's / R. England // Comput. J., 1969. №12 - P. 166-169.

136. Enright, W.H. Comparing numerical methods for the solutions of systemsof ODE's / W.H. Enright, T.E. Hull // BIT. 1975. - № 15. - P. 10-48.

137. Shampine, L.M. Implementation of Rosenbrock methods / L.M. Shampine

138. ACM Transaction on Mathematical Software. 1982. - V.8 - № 5. - P.93-113.