автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Булевы линейные стационарные динамические системы и математическое моделирование булевых потоков в сети

4843909

На правах рукописи

Васильев Олег Олегович

Булевы линейные стационарные динамические системы и математическое моделирование булевых потоков в сети

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 4 ДПР 2011

Москва

-2011

4843909

Работа выполнена в Российском государственном университете нефти и газа им. И.М. Губкина.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

к.ф-м.н., доцент

Осетинский Николай Иосифович д.ф-м.н..

старший научный сотрудник Симонов Валерий Михайлович к.т.н.

Гринкруг Ефим Михайлович Институт системного анализа РАН

Защита состоится « ° » 2011 г. в Л.

часов на заседании диссертационного совета Д 212.200.Ц при РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, по адресу: 119991, Москва, Ленинский проспект, д. 65^ <) . £ о ^

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РГУ нефти и газа ум. И.М.Губкина.

Автореферат разослан » 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.200.14,

д.т.н., профессор ¡в /I п А.В. Егоров

/Я7

Актуальность работы. Теория линейных стационарных систем с самого момента своего создания использовалась для моделирования различных объектов, поскольку свойством линейности хотя бы в первом приближении обладает множество реальных систем различной природы.

В частности, теория линейных стационарных систем с дискретным или непрерывным временем применялась для моделирования технических систем самого разного рода и управления ими. Однако большая часть соответствующих работ была посвящена системам с непрерывным множеством состояний, изменяющимся во времени, так называемым временно-ориентированным системам. Или же, напротив, системам с возможно дискретным множеством состояний, но изменяющим свое состояние лишь с наступлением определенного события, то есть событийно-ориентированным системам. В данной работе впервые рассматриваются временно-ориентированные системы с дискретным множеством возможных состояний специального типа, а именно, таким, что его можно отождествить с состояниями вершин ориентированного графа. Это открывает новые возможности для применения теории линейных систем в ряде технических, экономических и биологических задач.

Целью диссертационной работы является разработка нового подхода к моделированию и исследованию булевых потоков на ориентированном графе - теории булевых линейных стационарных управляемых систем с дискретным временем, исследование свойств этой модели, а также создание программного обеспечения, позволяющего моделировать объекты данного типа.

Для достижения поставленной цели была развита теория булевых линейных стационарных систем с дискретным временем, доказана двойственность между булевыми системами и булевыми потоками на ориентированном графе, созданы алгоритмы и программы'моделирования булевых систем, проведены вычислительные эксперименты.

Основные задачи работы.

1. Развитие теории булевых линейных стационарных управляемых систем с дискретным временем. В частности, поиск критериев управляемости, наблюдаемости, достижимости систем.

2. Построение теории двойственности между булевыми системами и булевыми потоками на ориентированном графе.

3. Создание эффективного алгоритма решения задачи об эквивалентности булевых систем.

4. Создание программного обеспечения для моделирования булевых систем.

5. Проведение вычислительных экспериментов с целью изучения поведения различных классов булевых систем.

Методы исследования. В работе применены следующие основные методы:

1. математическое доказательство полученных результатов с использованием аппарата комбинаторики, общей теории систем, теории графов, теории булевых матриц;

2. имитационное моделирование различных классов булевых линейных стационарных систем, посредством разработанного автором для этих целей программного обеспечения.

Основными защищаемыми положениями являются:

1. Математическая модель булевых потоков на ориентированных графах - булевы линейные стационарные управляемые системы с дискретным временем.

2. Критерии полной управляемости, наблюдаемости, достижимости, идентифицируемости системы. Двойственность Калмана для булевых систем.

3. Ориентированный граф модулей как параметризация множества тотально наблюдаемых, тотально достижимых систем. Его источники как произведения тотально управляемых, тотально наблюдаемых систем с одним входом и одним выходом. Слабая связность графа модулей.

4. Алгоритм определения эквивалентности систем.

5. Результаты численного моделирования различных классов случайных систем. Совпадение результатов численного моделирования с теоретическими.

Научная новизна. Основные результаты, представленные в работе, являются новыми, получены лично соискателем и состоят в следующем:

1. Получена новая математическая модель булевых потоков на ориентированных графах - булевы линейные стационарные управляемые системы с дискретным временем. Получен результат о соответствии между динамикой булевых потоков и динамикой линейных стационарных систем.

2. Исследованы свойства булевых линейных стационарных систем с дискретным временем. Получены критерии полной управляемости, наблюдаемости, достижимости системы. Показано наличие двойственности Калмана между управляемыми и наблюдаемыми системами. Изучено строение областей управляемости системы. Получен ряд результатов о реализации систем и свойствах областей достижимости.

3. Проведено исследование глобальной структуры множества линейных систем. Введен ориентированный граф модулей, параметризующий множества эквивалентных линейных систем. Описаны его источники и доказана его слабая связность в случае тотально наблюдаемых, тотально достижимых систем.

4. Построен алгоритм определения эквивалентности систем.

5. При помощи разработанного автором программного обеспечения проведено численное моделирование различных классов случайных систем и получены экспериментальные результаты об изменении доли систем, обладающих различными свойствами управляемости, с ростом вектора размерностей.

0. На основе разработанного аппарата предложена модель управления запасами на предприятии, описывающая возникновение и распространение дефицита на складах предприятия в результате срыва поставок или поломки в цехах.

Достоверность результатов исследования обеспечивается приведенными полными доказательствами полученных результатов, а также совпадением теоретически полученных результатов с вычислительным экспериментом.

Практическая значимость Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для дальнейших исследований в области булевых потоков на графах, в области теории линейных управляемых систем. Также полученные результаты и созданное программное обеспечение могут быть использованы для моделирования технических, экономических и биологических систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 61-й Межвузовской студенческой научной конференции «Нефть и газ 2007» (Москва, РГУ нефти и газа, 2007 г.), 3-й Международной конференции «Системный анализ и информационные технологии-2009», на семинарах Института высшей нервной деятельности и нейрофизиологии РАН, Центрального экономико-математического института РАН.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 6 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для защиты кандидатских и докторских диссертаций, одна статья в коллективном сборнике, 1 статья в сборниках трудов конференций и тезисы 1 доклада.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографии. Работа изложена на 118 страницах основного текста и 21 странице приложения, включает в себя 10 рисунков и одну таблицу. Библиография включает 170 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе производится обзор развития различных направлений теории линейных стационарных управляемых динамических систем.

Рассматривается классическая алгебраическая теория линейных управляемых систем, созданная Р.Калманом, М.Арбибом, П.Фурманом, Г.Розен-броком и рядом других авторов, включающая в себя теорию управляемости и наблюдаемости, теорию полной и частичной реализации линейных стационарных динамических систем с дискретным временем над полями вещественных и комплексных чисел. Она возникла в связи с необходимостью решения различных задач моделирования и управления для реальных систем, которые, хотя бы приближенно, обладают свойством линейности - линейного изменения реакции при меняющихся входных воздействиях. Под линейной стационарной управляемой снстемой(в дальнейшем, просто "системой") {А, В, С) вектора размерностей (п, т,р) понимается следующая система линейных разностных уравнений:

x(t+l) = Ax(t) + Bu(t). ,,

y(t) = Cx(t); ^

где А, В С - матрицы размера, соответственно п х п, п х т, р х п, ах, и, у - меняющиеся со временем п, т, р-мерные векторы. Матрица А называется матрицей состояний, матрица В - матрицей входов, матрица С- матрицей

выходов. Векторами состояний, входов, выходов также называются векторы х, и, у соответственно - элементы n-мерного векторного пространства состояний X, m-мерного пространства входов U, р-мерного пространства выходов Y. Основными задачи классической теории линейных систем являются задачи изучения свойств управляемости - возможностей воздействия на состояния системы посредством вариации значений вектора и, наблюдаемости -восстановления состояния системы по известным значениям вектора у, реализации - построения системы по известному ее внешнему поведению

Далее рассматривается глобальная теория линейных систем, переходящая от изучения свойств отдельных линейных систем к изучению их семейств. Основы этой теории были заложены Р.Калманом, М.Хазевинкелем, У.Хелмке, С. Бернсом, Н. Хартом и др. В ней изучаются различные варианты эквивалентностей систем, свойства классов эквивалентностей, множества, параметризующие классы эквивалентности линейных систем. Затем рассматривается история развития различных обобщений классической теории линейных систем, включая глобальную, систем над различными кольцами (например, целых чисел), конечными нолями, и, наконец, наиболее близкий к рассматриваемому в данной работе вариант теории линейных систем - теория систем над тропическим полукольцом, то есть над множеством вещественных чисел с добавленной точкой —оо и операцией взятия максимума в качестве сложения и суммы в качестве умножения. Эта теория развивается академиком В.П. Масловым, Н.К. Кривулиным, группой французских математиков, работающих под псевдонимом Max Plus, Г.Коэном, М. Вио, Ж.П. Куадра-том, П.Моллером, Р. Канингэм-Грином и рядом других исследователей. Она широко применяется в моделировании систем и сетей с очередями.

Во второй главе изучаются булевы линейные стационарные управляемые системы с дискретным временем. Следуя классической монографии Р.Калмана, П.Фалба, М.А. Арбиба1, вводится общее определение (стационар-нон) динамической системы по Калмапу, а также общие определения свойств управляемости, что необходимо, поскольку формулировка свойств управляемости и ряда других свойств динамической системы в случае булевых систем значительно отличается от принятой в классической теории вещественных или комплексных линейных стационарных систем. Затем вводятся стандартные определения основных алгебраических структур, участвующих в дальнейших рассмотрениях: структуры коммутативного полукольца, то есть множества с двумя ассоциативными, коммутативными бинарными операциями (+. х), обладающими, соответственно, нулем и единицей, а также свойством дистрибутивности операции умножения относительно +; структуры полумодуля М над полукольцом S - множества, снабженного операциями сложения

1 Kalman R.E., Falb P.L., Arbib М.А. Topics in Mathematical Systems Theoiy.Ne«--York: McGraw-Hill,

1969.

и умножения на элементы полукольца; морфизма полумодулей над 5 как отображения между полумодулями, сохраняющего сложение и умножение на элемент 5. Вводится также основное алгебраическое определение работы: булева полукольца В. Булевым полукольцом В называется двухэлементное множество {0,1} с логической операцией ИЛИ в качестве сложения, обозначаемой нами 4-, и логической операцией И в качестве умножения, обозначаемой нами х. Конечнопорожденным свободным полумодулем ранга п над В называется множество упорядоченных наборов булевых значений длины п с операцией ИЛИ в качестве сложения и с действием элементов В умножением в полукольце. Сложение и умножение в рассматриваемом случае задаются таблицей 1.

+ 0 1

0 0 1

1 1 1

X 0 1

0 0 0

1 0 1

Таблица 1. Сложение и умножение в булевом полукольце

То есть сложение и умножение производятся обычным образом за исключением тождества 1 + 1 = 1. Это значит, что булево полукольцо обладает свойством идемпотентности. Как и в классическом случае, булевой линейной стационарной управляемой системой (А, В, С) вектора размерностей (п,т,р) называется система линейных разностных уравнений (1), в которой, однако, все матрицы и векторы являются булевыми, а сложение и умножение понимаются в смысле обычного умножения матриц относительно операций полукольца

Как и в классическом случае, справедлива фундаментальная двойственность Калмана между входами и выходами линейной системы.

Двойственность Калмана. Пусть Е = (А, В,С) - линей мая система, а Т,ср = (С1. А\ В1), тогда £ - достижима тогда и только тогда, когда Иор наблюдаема.

Получена двойственность между булевыми потоками на ориентированном графе и булевыми линейными стационарными системами. Именно, булева матрица А состояний системы (А, В, С) вектора размерностей (п, т,р) интерпретируется как транспонированная матрица инцидентности некоторого ориентированного графа с петлями С а, имеющего п вершин. Матрица входов В интерпретируется как матрица инцидентности двудольного ориентированного графа (? в с т источниками и п стоками. Наконец, матрица входов С интерпретируется как матрица инцидентности двудольного ориентированного графа С?с с п источниками и р стоками. Множеству вершин £7 а, стоков Сд, источников С с при этом, естественным образом, соответствует простран-

ство X, рассматриваемое как алгебра подмножеств п-элементного множества. Аналогично источники графа С в соответствуют пространству {/, стоки графа бе - пространству У.

Оказывается, что динамика линейной системы при этом соответствии имеет естественную интерпретацию в терминах булевых потоков на ориентированном графе, делая линейные системы адекватной моделью булевых потоков. Именно, булевым потоком на ориентированном графе (Зд с множеством вершин Уд, множеством входных вершин Ув и двудольным графом С в стрелок из входов в вершины графа С а, множеством выходных вершин Ус и двудольным графом стрелок из вершин У а в выходные вершины Ус в работе называется динамический процесс, в ходе которого в каждый момент времени Ь вершинам Уд и Ув приписаны булевы значения 0 и 1. В момент времени t + \ единица, находящаяся в некоторой вершине х € Уд, переходит в качестве метки вершин, инцидентных ей. Если она не была инцидентна никакой из вершин, содержавших 1 в момент то ее значение становится нулевым. Значения вершин множества Ув (входных вершин) при этом могут изменяться произвольным образом. В изменении этих значений во времени и состоит процесс управления булевым потоком. Значение выходной вершины у £ Ус есть максимум из значений всех вершин Уд, которым у инцидентна. Считывание этих значений представляет собой наблюдение за булевым потоком.

Это может быть проиллюстрировано примером на Рис.1. Волнистые стрелки здесь обозначают ребра графа С в, сплошные прямые стрелки - ребра графа (7д, прерывистые - ребра графа <?с- Нижние индексы вершин - значения векторов системы в точках.

Обозначим через хт характеристическую функцию подмножества в множестве Т, как С1 (Я) обозначим множество всех вершин, инцидентных верь шинам из Н в ориентированном графе б. Тогда двойственность между булевыми потоками и линейными системами можно сформулировать в виде следующего результата:

Двойственность между линейными системами и булевыми потоками. Пусть {А, В, С) - линейная управляемая система вектора размерностей (п,т,р), (?д — (Уа,Еа) - ориентированный граф, матрицей инцидентности которого является АТ; Св = (У а и Ув, Ев) - двудольный граф, определенный матрицей В: Ув Уд; С?с = (Ул ^ ^с^с) ~ двудольный граф, определенный матрицей С: У а —> Ус-Тогда справедлива эквивалентность:

хЦ + 1) = АхЦ) + Виф &

& + 1)) = (ОА и Св)\Ху\Ш) и ХуМт, (2)

у(0 = СхЦ) о =

Рис. 1. Пример графовой интерпретации булевой системы

Для рассмотренного выше примера имеем следующие структурные матрицы системы:

Также имеем следующие начальное состояние и векторы входов в моменты времени i = 0,1,2,3:

i(0) = (g) , и(0) = , ч(1) = (f) , u(3) = и(2) = Q - (4)

Эта двойственность аналогична известной двойственности между событийными графами теории сетей Петри и линейными стационарными системами над (max,+) -полукольцами(см., например, обзор Cohen G., Gaubert S., Quadrat J.-P. 2 и другие работы группы Max Plus, монографию Heidegott В., Olsder G.J., van der Woude J.3).

В таблице ниже приведены два иллюстративных примера возможного практического применения полученной двойственности.

Таблица 2. Примеры соответствия между динамикой реальных систем, динамикой булевых потоков на графах, динамикой булевых систем.

Динамический процесс: экономика предприятия Динамический процесс: распространение эпидемии Булевы потоки на графе Булевы системы

Структурные подразделения Люди/группы людей/очаги заболевания Вершины графа состояний С Строки(столбцы) булевой матрицы состояний А

Связи между подразделениями Контакты между людьми или их группами, очагами заболеваемости Стрелки графа Сд Единичные элементы матрицы А

Источники ресурсов/заказов Источники эпиде-мии(природные очаги, границы региона) Двудольный граф входов Св Матрица входов В

Продолжение на следующей странице

2 Cohen G., Gaubert S., Quadrat J.-P. Max-plus algebra and system tlieory:where we are and where to go now // Annual Reviews in Control. 1999. Vol. 23. Pp. 207-219.

3 Heidcgott B., Olsder G.J., van der Woude J. Max Plus at Work: Modeling and Analysis of Synchronized Systems: A Course on Max-Pius Algebra and Its Applications. Princeton: Princeton University Press, 2005.

Динамический процесс: экономика предприятия Динамический процесс: распространение эпидемии Булевы потоки на графе Булевы системы

Приемка заказов /контроль за деятельностью предприятия Наблюдение за эпидемией Двудольный граф выходов Сс Матрица выходов С

Длительность этапа работ Длительность заболева-ния(происходит выздоровление, есть вероятность повторного заражения) Единица времени Единица времени

Переход работ с одного этапа на другой Заражение Динамика булева потока на графе Динамика системы

Рассмотрим подробнее первый из этих примеров, а именно, задачу моделирования дефицита продукции на складах в результате срыва поставок или поломки в цехах.

Пример. Пусть на предприятии Р имеются склады при цехах г1,...,г1. Связи е^ между складами соответствуют использованию продукции цеха при складе г* цехом при складе гПредположим также, что предприятие зависит от внешних поставщиков щ,... ,щ, которые поставляют необходимую продукцию на склады. Связи поставщиков и складов обозначаются Кроме того, предположим, что предприятие поставляет различные виды продукции заказчикам у\,... ,ур. Обозначим через г(г{) продолжительность производственного цикла в цеху, связанном со складом г;, аналогично через обозначим сумму времени поставки и времени доставки товара от поставщика щ на предприятие. Через т(еу) будет обозначаться время пролеживания продукции цеха г ((поставщика щ) на цеховом складе г,-. Оно будет предполагаться заданным заранее нормативным параметром.

Построим по заданному набору данных булеву линейную управляемую систему. Граф состояний состоит из вершин вида г-¿.соединенных друг с другом цепями длины т{г{) + т(е,7), а также из вершин в;-,-, соответствующих поставкам продукции поставщика и$ на склад при цехе г*. Последние соединены цепями длины т(д^) + т(г{) с вершинами г*.

Источниками двудольного графа входов б в являются вершины щ,... ик, которые соответствуют поставщикам, и вершины п,... ,г{, со-

ответстпвующие цехам предприятия. Каждая из вершин щ связана со всеми существующими вершинами вида каждая из вершин г* связана с вершиной

Наконец, источниками двудольного графа выходов Ос являются вершины, соответствующие цехам изготавливающим продукцию для внешних заказчиков. Стоки - вершины, соответствующие заказчикам продукции, а ребра между вершинами поставкам продукции цеха-источника заказчику-стоку.

Тем самым задана булева линейная управляемая система (Л, В, С), являющаяся моделью функционирования предприятия. Опишем соответствие между функционированием предприятия и динамикой системы

Нормальный режим работы предприятия соответствует нулевому состоянию. Единицы, поступающие на вершины графа входов щ моделируют срывы поставок, поступающие на вершины г* - остановки цеха в силу внутренних причин(поломки и др.).

Вышеописанное можно проиллюстрировать Рис.2. Цепи, соединяющие вершины-склады на нем заменены указаниями на их длину.

Каждый срыв поставок или остановка работы цеха из-за поломки создают дефицит продукции на складе. Этот дефицит за время, равное сумме времени пролеживания и рабочего цикла переходит на склады, связанные поставками продукции с испытывающим дефицит цехом. Тем самым, дефицит продукции постепенно "распространяется" по предприятию и, доходя до цехов, производящих конечную продукцию, может привести к срыву поставок заказчикам.

Динамика построенной системы соответствует этому процессу. Действительно, за время равное сумме времени пролеживания и рабочего цикла (такова длина цепей, связывающих вершины-склады) дефицит распространяется между вершинами гг. Если имеется дефицит хотя бы по одному типу используемой цехом продукции, то создается дефицит и в продукции цеха. Тем салгым, становится возможным прогнозирование дефицита продукции и срывов поставок, что дает возможность разрабатывать превентивные меры предупреждения.

Рассматриваемые ниже задачи исследования свойств достижимости и наблюдаемости системы также естественным образом интерпретируются на языке данной модели. Так, задача исследования свойств достижимости и управляемости состоит в изучении возможных "проблемных" состояний предприятия и поиска оптимальных способов выхода из них. Задача изучения свойств наблюдаелюсти соответствует выявлению возможных причин срыва поставок и "узких мест" системы. Изучение глобальных свойств систелг соответствует выявлению изменений свойств при структурных преобразованиях предприятия.

г3 (Цех 3) --------гз (Склад 3) - - ~у\ (Заказчик 1)

Г1 (Цех 1) г2 (Цех 2) т(е23) + т(г3) их (Поставщик 1) —-т(дп) + г(г1)--г\ (Склад 1)->-т(е12 + т(г2)-г2 (Склад 2)

т(<?22) + т(г2)

т(е24) + г(г4)

ы2 (Поставщик 2) -~->в22

-7" (924) +т(г4)

г4 (Склад 4) - - <- у2 (Заказчик 2)

г4 (Цех 4)

Рис. 2. Теоретико-графовая интерпретация булевой системы, соответствующей предприятию. Вершины, помеченные выражениями вида т(—) + т(—), обозначают цепи соответствующей длины. В скобках после имен вершин помечена интерпретация вершин графа в рамках модели.

Далее в работе разработан критерий полной наблюдаемости и полной достижимости системы, аналогичный классическому4.

Критерий достижимости и наблюдаемости по Калману Стационарная булева линейная динамическая система (Л, В, С) вектора размерностей (п, т, р) достижима, управляема, наблюдаема, идентифицируема(в дальнейшем - тотально достижима и тотально наблюдаема) тогда и только тогда, когда ее матрица достижимости (В, АВ, ..., А'1~1В) и матрица наблюдаемости [С, С А,..., САп~1)Т содержат перестановочную подматрицу размера пх п, а матрица состояний нильпотентна, то есть Ап = 0.

Дается также критерий полной управляемости и полной наблюдаемости системы в терминах булевых потоков и ориентированных графов.

Определяется граф модулей пространства булевых линейных стационарных систем вектора размерностей (п,т,р) как фактормножество множества всевозможных троек булевых матриц (Л, В, С) относительно эквивалентности, индуцированной одновременной заменой базиса в пространствах состояний, входов и выходов.

Это множество наследует не только структуру ориентированного графа, но и структуру В-полумодуля. Кроме того, действие замены базиса корректно ограничивается на подмножество тотально достижимых, тотально наблюдаемых систем. Доказано, что в размерности (п, 1,1) граф тотально наблюдаемых, тотально достижимых систем является графом с одной вершиной, которая может быть представлена системой

А =

/0 1

0 0

0 ...

\0 ...

0\

0

1

о/

,в =

/0\ о

о

VI/

,С= (1 о ... о 0)

(5)

Это первый шаг доказательства теоремы о реформировании. Она утверждает, что всякий ориентированный граф, такой, что булев поток на нем тотально управляем и тотально наблюдаем, может быть преобразован последовательными добавлениями и стираниями ребер в любой другой граф того же типа, причем ни на одном из шагов не будет потеряно ни одно из перечисленных свойств. Под тотальной управляемостью булева потока понимается то, что его состояние надлежащим управлением может быть преобразовано за некоторый промежуток времени в любое иное. Под тотальной наблюдаемостью - то, что по последовательности считанных на выходах состояний прошлого

* Ка1тап ¡¡..Е., Га1Ь РХ., АгЫЬ М.А., ор.сИ., С11ар1ег 2

можно восстановить будущее и, напротив, по известной последовательности состояний будущего можно восстановить прошлое.

С формальной точки зрения этот результат есть утверждение о слабой связности графа тотально достижимых, тотально наблюдаемых систем. Для его доказательства используется тот факт, что источники этого графа оказываются в точности декартовыми произведенияни тотально управляемых, тотально достижимых систем вектора размерностей (к, 1,1) для различных к. Затем доказывается, что каждая пара таких систем может быть мажорирована некоторой одной тотально достижимой и тотально наблюдаемой системой, что и дает:

Теорема о реформировании Граф модулей тотально наблюдаемых, тотально достижимых систем слабо связен.

На основе результатов R.P. Stanley5 показано, что в отличие от классического случая, где в некотором смысле почти все системы являются тотально наблюдаемыми и тотально достижимыми, в булевом случае эта ситуация весьма редка. Также получены оценки возможного индекса нильпотентности матрицы состояний в зависимости от вектора размерностей тотально наблюдаемой, тотально достижимой системы.

Решена задача об эквивалентности систем (булевых потоков), то есть выяснено то, какие булевы стационарные линейные системы эквивалентны между собой в смысле одновременной замены координат в пространствах состояний, входов и выходов. Для получения алгоритма ее решения используется аппарат теории изоморфизмов графов: алгоритм Део-Дэвиса-Лорда6, алгоритм поиска в глубину в ориентированном графе (DFS)7, а также комбинаторный аппарат: принцип включения-исключения. Для описания схемы работы алгоритма необходимо сформулировать критерий эквивалентности (изоморфизма) систем, основывающийся на принципе включения-исключения:

Критерий эквивалентности систем Пусть (А, В, С) и (D, Е, F) -

линейные управляемые системы вектора размерностей (п, т,р). ( А, В, С) = (D, Е, F) тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия:

1. G а — Gd посредством изоморфизма Т.

2. Если 6; - i-я строка ТВ, a e¡ - i-я строка Е, то

Wk < п, VI < ¿i < ... < ik < п , .

IXvlK) П ... П ХуЖ)\ = \Xvlieu) П ... П X¿>(eJ|. W

5 Stanley R.P. Acyclic orientations of graphs // Discrete Mathematics 1973. Vol. 5. Pp. 171-178.

6 Deo N., Davis J.M., Lord R.E. A new algorithm for digraph isomorphism //BIT Numerical Mathematics. 1977. Vol. 17. Pp. 16-30.

7 Tarjan R.E. Depth-first search and linear graph algorithms // SI AM Journal of Computing. 1972. Vol. 1. Pp. 146-160.

1 в 2В

Рис. 3. Графовая интерпретация систем N и М

3. Если С{ - 1-й столбец СТ, а /,■ - 1-й столбец F, то

\/к < п, VI < ¿1 < ... < г* < п . .

|^(с„) П ... П ху1{с1к)| = \x~vlUi,) П ... П { )

Общая схема алгоритма состоит в модификации алгоритма Део-Дэвиса-Лорда при помощи вышеописаннного критерия: рассматривается некоторое специальное упорядочение множества вершин графов С а и Со, а именно, то, что делает деревья рекурсии сколь возможно узкими у их корня. Для этого переупорядочения используется алгоритм ОРБ. Затем индукцией но вершинам проводится следующее построение изоморфизма: допустим, что для полного подграфа С а, порожденного вершинами а\,...сц, построен фрагмент предполагаемого изоморфизма на вершины Можно взять следующую вершину а;+1 и продолжить изоморфизм на нее, проверяя для подходящих вершин е;+1 условия критерия. Если проверка оказывается неуспешной, то происходит откат к меньшему подграфу.

Рассмотрим на примере, то как действует описанный алгоритм.

Пример. Пусть заданы системы N — {А, В, С) и М = (О, Е, F), где

(8)

(г;;)- *-(;:)■

Их теоретико-графовая интерпретация имеет вид, показанный на Рис.3. Упорядочим вершины графов С а и Ср по одинаковой полустепени захода,

полустепени выхода и наличию петли, сопоставив каждой вершине v число gdg(v) = 2(n + l)odg(v) + 2idg(v) + lp(v). Через odg(v) здесь обозначена полустепенъ выхода, то есть количество ребер, исходящих из вершины v; через idg(v) - полустепенъ захода, то есть число ребер, входящих в v, наконец, слагаемое lp{v) равно 0 в случае отсутствия петли в вершине vu 1 в случае ее наличия.

Вычислим массивы ADEG, DDEG, состоящие из значений gdg для вершин графов G а и G d, соответственно.

1 а 2А За

ADEG : (9)

16 3 3

Id 2/j 3D

DDEG : (10)

3 16 3

Заметим, что массивы ADEG и DDEG при надлежащем переупорядочении совпадут. Значит, выполнение алгоритма продолжается. Применив DFS к G а (с выброшенными петлями), получим массив, соответствующий полученному остовному дереву:

EDFROM : 1 1 EDTO : 2 3 (11)

ORDER : 1 2

Теперь следует перейти к основной части алгоритма. Сопоставим 1 а вершину 2d- Это можно сделать, так как

gdg(lA) = gdg(2D) = 16, J = Ix^JI = 0,

(12)

Ix^iJI = IXv'(/2d)I = 1-

Попробуем теперь сопоставить вершине 2а вершину Id- Действительно, gdg(2A) = gdg(\D) = 3, однако \х^(Ь2Д)\ = 1, в то время как |x^(eiD)| = 2. Следовательно, необходимо перейти к следующей вершине v в Go с gdg(v) = 3, это вершина Зр. Для нее выполнены следующие равенства:

lxv>2„)| = \XvlM = 1Х^(С2д)| = = 1,

(13)

\XvB{b2A) nXvB(biA)\ = \XvE(t2D) nXvE(e3o)\ = 0;

но, тем не менее, Ixvfcfejflx^fcijl = 1, а 1х^(/20)Пх^(/з0)| = 0- Теперь все вершины v 6 V(Gd) с gdg(v) = 3 рассмотрены, значит, нужно вернуться к поиску соответствия для \а- Но все вершины v S V(Gd) с gdg(v) = 16 также рассмотрены. Таким образом, системы M и N неизоморфны.

Получены результаты, связанные с проблемой реализации системы, то есть проблемой восстановления структуры системы по внешнему поведению. Методами теории систем факторизаций в категориях8 и общей теории систем в категориях9 получен результат о существовании некоторой, возможно бесконечномерной и не вполне достижимой, реализации системы при любом наперед заданном полулинейном отображении вход-выход:

Пусть U, Y - свободные конечнопорожденные Ш-полумодули, - произведение счетного числа копий U. к: £/§ —» У - некоторое отображение "вход-выход", тогда у него существует некоторая, быть может, бесконечномерная, реализация.

Изучены свойства управляемости и достижимости линейных систем. Система называется управляемой, если все ее состояния управляемы, то есть из любого ее состояния можно достичь нулевое, достижимой, если из нулевого состояния можно достичь любого то есть, все ее состояния достижимы. В соответствии с тем, что булевы линейные стационарные системы рассматриваются в работе, в первую очередь, как модели булевых потоков на ориентированных графах вводятся определения вполне управляемых и вполне неуправляемых вершин графа. Именно, вершина h графа, на котором определен булев поток, называется вполне неуправляемой, если имеется некоторая другая вершина q, такая, что наличие единицы в некоторый момент времени £ в этой вершине, влечет наличие единицы в вершине h во все моменты времени, начиная с некоторого к > £, вне зависимости от свойств управления u(t). Вершина h графа является вполне управляемой, если при любом начальном состоянии системы и нулевом управлении, h через некоторое время t будет постоянно находиться в нулевом состоянии. Имеет место следующий результат:

Пусть R = (А, В, С) - система вектора размерностей (п,т,р). Тогда каждая вершина Ga либо вполне управляема, либо вполне неуправляема. Система вполне управляема тогда и только тогда, когда каждая вершина вполне управляема.

Кроме того, возможна геометрическая характеризация вполне неуправляемых вершин графа.

Вершина h - вполне неуправляема тогда и только тогда, когда лежит в конусе над некоторым ориентированным циклом или петлей. В частности, в том случае, если она принадлежит некоторому ориентированному циклу или содержит петлю.

Рассматриваются некоторые вопросы геометрического характера, свя-

8 Цаленко М.Ш., Шульгейфер Е.Г. Основы теории категорий. М: Наука, 1974.

9 Arbib М.А., Manes E.G. Foundations of system theory: decomposable systems // Automatica. 1974. Vol. 10. Pp. 285-302,

Anderson В., Arbib M.A., E.G. Manes. Foundations of system theory: finitary and infinitary conditions. SpringerVerlag, 1976. Vol. 115 of Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems

занные с достижимостью и реализацией.

В третьей главе описывается разработанное программное обеспечение для моделирования систем и результаты численного моделирования семейств случайных систем - экспериментальные кривые зависимости частоты появления систем с различными свойствами от вектора размерностей системы. Разработанная программа BoolModel написана на языке С++ с использованием свободно распространяемого компилятора g++ и средств операционной системы Linux. Описаны методы работы с созданной программой: режимы ее работы, структура входных и выходных данных. Разработанная программа может получать два типа входных данных. Это зависит от того, какой из двух режимов работы —model или —random она получает в качестве первого аргумента командной строки. В первом случае в файлах входных данных задаются структурные матрицы системы, ее начальное состояния, последовательность управлений. Во втором случае аргументами командной строки являются вектор размерностей генерируемого семейства случайных систем и количество элементов в нем. В файлы выходных данных записываются результаты моделирования: пространства состояний и выходов в различные моменты времени, а также информация о свойствах управляемости системы.

Описана программная реализация операций с булевыми матрицами, программная реализация операций над системами - проверка различных свойств управляемости, формирование матрицы достижимости и др.

Рассмотрена программная реализации моделирования и генерации случайных систем, а также ввода-вывода данных.

Наконец, дано описание проведенных вычислительных экспериментов и приведены полученные экспериментальные кривые для зависимостей различных свойств типа управляемости от вектора размерностей. Так, на Рис.4 приведены графики зависимости свойств управляемости от вектора размерностей системы при векторе размерностей вида (п,п — log2 п, п — log2 п).

В полном соответствии с теоретическими предсказаниями, количество систем, обладающих различными свойствами управляемости, падает с увеличением размерности пространства состояний. Экспериментально подтверждена двойственность Калмана между достижимыми и наблюдаемыми системами. Их доли равны друг другу с высокой степенью точности, так, на Рис.4,5 графики их долей практически совпадают.

Подтверждены также теоретические результаты о редкости управляемых, а также тотально управляемых, тотально наблюдаемых систем- их доли практически нулевые. На Рис. 4,5 графики их долей в больших размерностях совпадают с осью абсцисс.

В случае, когда размерность пространства состояний равна 6, было проведено моделирование систем с постоянной размерностью пространства состояний и неограниченным ростом размерности пространств входов и выходов

Рис. 4. Изменение частот различных свойств управляемости при векторе размерностей системы вида (п.п — 1о§2п,п —

- Вполне управляемые и вполне наблюдаемые

- Наблюдаемые

- Достижимые'

- Управляемые

- Не вполне ненаблюдаемые'

- не вполне недостижимые

/ /

.....„',:л -в- -в- -,-Н- -

100 150

Размерность

Рис. 5. Изменение частот различных свойств управляемости при векторе размерностей системы вида (6, т,т.)

\\

- Вектор размерностей (п;п/2;п/2)

- Вектор размерностей (п;п4одп:гНодп)

- Вектор размерностей (п;п-1:п-1)

——а-— —о-

Рис. б. Изменение доли не вполне недостижимых систем

(см. Рис.5). В этом случае, в соответствии с теоретическими результатами, получен рост доли систем, обладающих различными свойствами управляемости, при увеличении размерности пространств входов и выходов.

Наконец, были получены сравнительные кривые доли не вполне неуправляемых систем для различных значений отношения между размерностями пространств состояний и входов. В соответствии с теоретическими результатами, доля не вполне неуправляемых систем растет при росте отношения ^ между размерностью пространства входов гп и пространства состояний п. Это показано на Рис.6.

В Заключении изложены основные результаты диссертационной работы.

В Приложении приведен код написанного в рамках диссертационной работы программного обеспечения, предназначенного для моделирования булевых линейных стационарных управляемых систем и, соответственно, булевых потоков на ориентированных графах.

Основные результаты работы

1. Получена новая математическая модель булевых потоков на ориентированных графах - булевы линейные стационарные управляемые динамические системы с дискретным временем. Доказана теорема о соответствии между динамикой булевых потоков и динамикой линейных стационарных систем.

2. Исследованы новые свойства булевых линейных стационарных систем с дискретным временем. Получены критерии полной управляемости, наблюдаемости, достижимости, идентифицируемости системы, формулируемые как в терминах систем, так и в терминах булевых потоков и ориентированных графов. Доказана теорема о двойственности Калма-на. Изучено строение областей управляемости системы. Получен ряд результатов о реализации систем и свойствах областей достижимости.

3. Проведено исследование глобальной структуры множества линейных систем. Введен ориентированный граф модулей, параметризующий множества эквивалентных линейных систем. Описаны его источники и доказана его слабая связность в случае тотально наблюдаемых, тотально достижимых систем.

4. На основе алгоритмов Део-Дэвиса-Лорда и поиска в глубину в ориентированном графе построен алгоритм определения эквивалентности систем.

5. На основе полученных результатов создано программное обеспечение для моделирования булевых систем с дискретным временем и булевых потоков на ориентированных графах.

6. С использованием созданного программного обеспечения проведено численное моделирование различных классов случайных систем. Получены экспериментальные результаты об изменении доли систем, обладающих различными свойствами управляемости, с ростом вектора размерностей системы. Показано, что полученные данные полностью согласуются с теоретическими результатами. Экспериментально проверена теорема о двойственности Калмана между достижимыми и наблюдаемыми системами.

7. На основе разработанного аппарата предложена модель управления запасами на предприятии, описывающая возникновение и распространение дефицита на складах предприятия в результате срыва поставок или поломки в цехах. Показано, что динамика булевой линейной управляемой системы соответствует динамике распространения дефицита на предприятии.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Осетинский Н.И., Васильев О.О., Вайнштейн Ф.С. Об одной категории связанной с алгеброй Калмана линейной динамической системы. // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 11. С. 1533-1539.

2. Осетинский Н.И., Васильев О.О., Вайнштейн Ф.С. Геометрическая комбинаторика алгебр Калмана. // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, № 11. С. 1532-1538.

3. Васильев О.О., Осетинский Н.И., Вайнштейн Ф.С. Две эластичные категорификации алгебры Калмана и категория эвристик минимизации. // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, № 11. С. 1553-1560.

4. Васильев О.О., Осетинский Н.И., Вайнштейн Ф.С. Линейные стационарные системы над булевым полукольцом и их графы модулей. // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 11. С. 1456-1462.

5. Васильев О.О., Осетинский Н.И., Вайнштейн Ф.С. Линейные стационарные системы над булевым полукольцом: геометрические свойства и проблема изоморфизма. // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 12. С. 1748-1755.

6. Васильев О.О., Осетинский Н.И., Вайнштейн Ф.С. Некоторые замечания о булевых управляемых системах: области управляемости и теория реализации. // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 12. С. 1731-1736.

7. Васильев 0.0. О двух эластичных категорификациях алгебры Калмана пространства линейных стационарных динамических систем. // Труды конференции Нефть и Газ-2007, Москва, 2007. М.: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2007. С. 9.

8. Осетинский Н.И., Васильев 0.0. О некоторых категориях, связанных с базисами алгебр Калмана // Нелинейная динамика и управление. М.: Физматлит, 2008. Т. 6. С. 169-182.

9. Васильев О.О. Линейные управляемые системы над булевым полукольцом: графы модулей и проблема изоморфизма. // Труды конференции САИТ-2009, Звенигород, 2009. М.: ИСА РАН, 2009. С. 13(тезисы),41--50(полный текст).

Подписано в печать 14.03.2011. Формат 60x90/16.

Бумага офсетная Усл. п.л.

Тираж 100 экз. Заказ № 65

Издательский центр РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина 119991, Москва, Ленинский проспект, 65 Тел.: 8(499)233-95-44

Введение

Глава 1. Литературный обзор.

Глава 2. Линейные стационарные системы как модели булевых потоков на ориентированном графе.

2.1. Основные определения.

2.2. Теоретико-графовая интерпретация линейных систем и свойства управляемости.

2.3. Элементы глобальной теории булевых линейных стационарных систем. Теорема о реформировании.

2.4. Задача об эквивалентности систем.

2.5. Области управляемости п элементы теории реализации.

2.6. Булевы линейные стационарные управляемые системы как модель управления запасами.

Глава 3. Описание программного обеспечения для моделирования систем и вычислительные эксперименты.

3.1. Описание программного обеспечения для моделирования систем

3.2. Программная реализация операций над булевыми матрицами

3.3. Программная реализация операций над системами.

3.4. Программная реализация моделирования систем

3.5. Вычислительные эксперименты.

Актуальность работы. Теория линейных стационарных систем с самого момента своего создания использовалась для моделирования различных объектов, поскольку свойством линейности хотя бы в первом приближении обладает множество реальных систем различной природы.

В частности, теория линейных стационарных систем с дискретным или непрерывным временем применялась для моделирования технических систем самого разного рода и управления ими. Однако большая часть соответствующих работ была посвящена системам с непрерывным множеством состояний, изменяющимся во времени, так называемым временно-ориентированным системам. Или же, напротив, системам с возможно дискретным множеством состояний, но изменяющим свое состояние лишь с наступлением определенного события, то есть событийно-ориентированным системам. В данной работе впервые рассматриваются временно-ориентированные системы с дискретным множеством возможных состояний специального типа, а именно, таким, что его можно отождествить с состояниями вершин ориентированного графа. Это открывает новые возможности для применения теории линейных систем в ряде технических, экономических и биологических задач.

Целью диссертационной работы является разработка нового подхода к моделированию и исследованию булевых потоков на ориентированном графе - теории булевых линейных стационарных управляемых систем с дискретным временем, исследование свойств этой модели, а также создание программного обеспечения, позволяющего моделировать объекты данного типа.

Для достижения поставленной цели была развита теория булевых линейных стационарных систем с дискретным временем, доказана двойственность между булевыми системами и булевыми потоками на ориентированном графе, созданы алгоритмы и программы моделирования булевых систем, проведены вычислительные эксперименты.

Основные задачи работы.

1. Развитие теории булевых линейных стационарных управляемых систем с дискретным временем. В частности, поиск критериев управляемости, наблюдаемости, достижимости систем.

2. Построение теории двойственности между булевыми системами и булевыми потоками на ориентированном графе.

3. Создание эффективного алгоритма решения задачи об эквивалентности булевых систем.

4. Создание программного обеспечения для моделирования булевых систем.

5. Проведение вычислительных экспериментов с целью изучения поведения различных классов булевых систем.

Методы исследования. В работе применены следующие основные методы:

1. математическое доказательство полученных результатов с использованием аппарата комбинаторики, общей теории систем, теории графов, теории булевых матриц;

2. имитационное моделирование различных классов булевых линейных стационарных систем, посредством разработанного автором для этих целей программного обеспечения.

Основными защищаемыми положениями являются:

1. Математическая модель булевых потоков на ориентированных графах - булевы линейные стационарные управляемые системы с дискретным временем.

2. Критерии полной управляемости, наблюдаемости, достижимости, идентифицируемости системы. Двойственность Калмана для булевых систем.

3. Ориентированный граф модулей как параметризация множества тотально наблюдаемых, тотально достижимых систем. Его источники как произведения тотально управляемых, тотально наблюдаемых систем с одним входом и одним выходом. Слабая связность графа модулей.

4. Алгоритм определения эквивалентности систем.

5. Результаты численного моделирования различных классов случайных систем. Совпадение результатов численного моделирования с теоретическими.

Научная новизна. Основные результаты, представленные в работе, являются новыми, получены лично соискателем и состоят в следующем:

1. Получена новая математическая модель булевых потоков на ориентированных графах - булевы линейные стационарные управляемые системы с дискретным временем. Получен результат о соответствии между динамикой булевых потоков и динамикой линейных стационарных систем.

2. Исследованы свойства булевых линейных стационарных систем с дискретным временем. Получены критерии полной управляемости, наблюдаемости, достижимости системы. Показано наличие двойственности Калмана между управляемыми и наблюдаемыми системами. Изучено строение областей управляемости системы. Получен ряд результатов о реализации систем и свойствах областей достижимости.

3. Проведено исследование глобальной структуры множества линейных систем. Введен ориентированный граф модулей, параметризующий множества эквивалентных линейных систем. Описаны его источники и доказана его слабая связность в случае тотально наблюдаемых, тотально достижимых систем.

4. Построен алгоритм определения эквивалентности систем.

5. При помощи разработанного автором программного обеспечения проведено численное моделирование различных классов случайных систем и получены экспериментальные результаты об изменении доли систем, обладающих различными свойствами управляемости, с ростом вектора размерностей.

6. На основе разработанного аппарата предложена модель управления запасами на предприятии, описывающая возникновение и распространение дефицита на складах предприятия в результате срыва поставок или поломки в цехах.

Достоверность результатов исследования обеспечивается приведенными полными доказательствами полученных результатов, а также совпадением теоретически полученных результатов с вычислительным экспериментом.

Практическая значимость Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для дальнейших исследований в области булевых потоков на графах, в области теории линейных управляемых систем. Также полученные результаты и созданное программное обеспечение могут быть использованы для моделирования технических, экономических и биологических систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 61-й Межвузовской студенческой научной конференции «Нефть и газ 2007» (Москва, РГУ нефти и газа, 2007 г.), 3-й Международной конференции «Системный анализ и информационные технологии-2009», на семинарах Института высшей нервной деятельности и нейрофизиологии РАН, Центрального экономико-математического института РАН.

Публикации.Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 6 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для защиты кандидатских и докторских диссертаций [154-157, 1G6, 167], одна статья в коллективном сборнике [165], 1 статья в сборниках трудов конференций[153] и тезисы 1 доклада[152].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографии. Работа изложена на 118 страницах основного текста и 21 странице приложения, включает в себя 10 рисунков и одну таблицу. Библиография включает 170 наименований.

Опишем основные результаты данной диссертационной работы.

В параграфе 2.1, следуя классической монографии Р.Калмана, П.Фалба, М.А. Арбиба [89], вводится общее определение (стационарной) динамической системы по Калмаиу, а также общие определения свойств управляемости, что необходимо, поскольку формулировка свойств управляемости и ряда других свойств динамической системы в случае булевых систем значительно отличается от принятой в классической теории вещественных или комплексных линейных стационарных систем. Затем вводятся стандартные определения основных алгебраических структур, участвующих в дальнейших рассмотрениях: структуры коммутативного полукольца, то есть множества с двумя ассоциативными, коммутативными бинарными операциями (+,•)> обладающими, соответственно, нулем и единицей, а также свойством дистрибутивности операции умножения относительно +; структуры полумодуля М над полукольцом Б- множества, снабженного операциями сложения и умножения на элементы полукольца; морфизма полумодулей над 5 как отображения между полумодулями, сохраняющего сложение и умножение на элемент 51. Вводится также основное алгебраическое определение работы: булева полукольца В. Булевым полукольцом В называется двухэлементное множество {0,1} с логической операцией ИЛИ в качестве сложения, обозначаемой нами +, и логической операцией И в качестве умножения, обозначаемой нами Конеч-нопорожденным свободным полумодулем ранга п над В называется множество упорядоченных наборов булевых значений длины п с операцией ИЛИ в качестве сложения и с действием элементов В умножением в полукольце. Сложение и умножение в рассматриваемом случае задаются таблицей 3.1.

То есть сложение и умножение производятся обычным образом за исключением тождества 1 + 1 = 1. Это значит, что булево полукольцо обла

0 1

0 0 1

1 1 1

• 0 1

0 0 0

1 0 1

Заключение

1. Adamek J., Trnkova V. Automata and Algebras in Categories. Kluwer, 1990.

2. Aho A.V., Hopcroft J.E., Ullman J.D. The Design and Analysis of Computer Algorithms. Addison-Wesley, 1974.

3. Anderson B., Arbib M.A., E.G. Manes. Foundations of system theory: fini-tary and infinitary conditions. Springer-Verlag, 1976. Vol. 115 of Lecture Notes in Econ. And Math. Syst.

4. Ansell H.S. On certain two-variable generalisations of circuit theory with applications to networks of transmission lines and lumped reactances // IEEE Trans. Circuit Theory. 1964. Vol. 11. Pp. 214-223.

5. Antoulas A.C., Bishop R.H. Continued-fraction decomposition of linear systems in the state space // Systems & Control Letters. 1987. Vol. 9. Pp. 43-53.

6. Arbib M.A. A common framework for automata theory and control theory // SIAM J. of Control. 1965. Vol. 3. Pp. 206-222.

7. Arbib M.A., Manes E.G. Foundations of system theory: decomposable systems // Automatica. 1974. Vol. 10. Pp. 285-302.

8. Arbib M.A., Zeiger H.P. On the relevance of abstract algebra to control theory // Automatica. 1969. Vol. 5. Pp. 589-606.

9. Baccelli F., Cohen G., Olsder G., Quadrat J.-P. Synchronization and linearity: an algebra for discrete event systems. London, New-York: Wiley, 1992.

10. Bosgra O.H. On parametrizations for the minimal partial realization problem // Systems & Control Letters. 1983. Vol. 3. Pp. 181-187.

11. Brewer J.W., Bunce J.W., van Vleck F.S. Linear systems over commutative rings. NewYork: Marcel Dekker, 1986.

12. Brockett R. Some geometric questions in the theory of linear systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1976. Vol. 21. Pp. 449-464.

13. Brockett R. Some geometric questions in the theory of linear systems: Tech. Rep. 24: Nagoya University, 1977.

14. Brockett R. The geometry of the set of controllable systems // Proc. Conference on Decision and Control IEEE, New York. 1978.

15. Brockett R., Willsky A.S. Some geometric questions in the theory of linear systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1972. Vol. 17. Pp. 483-490.

16. Byrnes C.I. The moduli space for linear dynamical systems // Geometric Control Theory. Brookline, MA: Math. Sci. Pres, 1977. Pp. 229-286.

17. Byrnes C.I. On the control of certain deterministic,infinite-dimensional systems by algebro-geometric techniques // Amer. J. Math. 1978. Vol. 100. Pp. 1333-1381.

18. Byrnes C.I., Falb P.L. Applications of algebraic geometry in system theory // Amer. J. Math. 1979. Vol. 101. Pp. 337-363.

19. Byrnes C.I., Helmke U. The geometry of the set of controllable systems // Proc. 25th IEEE Conference on Decision and Contr., Athens. Vol. 21. 1986. Pp. 1944-1949.

20. Byrnes C.I., Hurt N.E. On the moduli of linear dynamical systems // Adv. in Math. Studies in Anal. 1979. Vol. 4. Pp. 83-122.

21. Byrnes C. I., Lindquist A. The stability and instability of partial realizations // Systems and Control Letters. 1982. Vol. 2. Pp. 99-105.

22. Cardetti F., Mittenhuber D. Local controllability for linear control systems on Lie groups // Journal of Dynamical and Control Systems. 2005. Vol. 11. Pp. 353-373.

23. Cassandras C.G. Discrete-Event Systems // Handbook of Networked and Embedded Control Systems. Boston: Birkhauser, 2005. Pp. 71-90.

24. Cassandras C.G., Lafortune S. Introduction to Discrete Event Systems. Dordrecht: Kluwer, 1999.

25. Cohen G. Dioids and discrete-event systems // 11th International Conference on Analysis and Optimization of Systems Discrete Event Systems. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1994. Vol. 199 of Lect. Notes in Contr. and Inform Sci. Pp. 223-236.

26. Cohen G., Gaubert S., Quadrat J.-P. Max-plus algebra and system theory: where we are and where to go now // Annual Reviews in Control. 1999. Vol. 23. Pp. 207-219.

27. Cohen G., Moller P., Quadrat J. P., Viot M. Linear system theory for discrete event systems // The 23rd IEEE Conference on Decision and Control. IEEE, 1984. Pp. 539-544.

28. Cohen G., Moller P., Quadrat J. P., Viot M. Algebraic tools for the performance evaluation of discrete-event systems // Proc. of the IEEE. 1989. Vol. 77. Pp. 39-58.

29. Csaszar A. Generalized topology, generalized continuity // Acta Math. Hun-gar. 2002. Vol. 96. Pp. 351-357.

30. Csaszar A. Separation axioms for generalized topologies // Acta Math. Hun-gar. 2004. Vol. 104. Pp. 63-69.

31. Cuninghame-Green R.A. Minimax Algebra. Lecture notes in Economics and Mathematical Systems. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1979.

32. De Schutter B. Minimal state-space realization in linear system theory: An overview // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. Vol. 121. Pp. 331-354.

33. Delchamps D.F. Global structure of families of multivariable linear systems with an application to identification // Math. Syst. Theory. 1985. Vol. 18. Pp. 329-380.

34. Deo N., Davis J.M., Lord R.E. A new algorithm for digraph isomorphism // BIT Numerical Mathematics. 1977. Vol. 17. Pp. 16-30.

35. Eilenberg S. Automata, languages and machines. New York: Acad. Press, 1974.

36. Fliess M., Mounier H. Controllability and observability of linear delay systems: an algebraic approach // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. 1998. Vol. 3. Pp. 301-314.

37. Fornasini E., Valcher M.E. Multidimensional systems with finite support behaviors:Signal structure, generation, and detection // SIAM J. Control Optim. 1998. Vol. 13. Pp. 760-779.

38. Forney G.D. Convolutional codes I: Algebraic Structure // IEEE Trans.Inform. Theory. 1970. Vol. 16. Pp. 720 738.

39. Forney G.D. Minimal bases of rational vector spaces, with applications to multivariate linear systems // SIAM J. of Control. 1975. Vol. 13. Pp. 493-520.

40. Fuhrmann P.A. Algebraic system theory: An analyst's point of view // J. Franklin Inst. 1976. Vol. 301. Pp. 521-540.

41. Gaubert P., Max Plus. Methods and applications of (max, +) linear algebra // 14th Annual Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1994. Vol. 1200 of Lect. Notesin Comp. Sci. Pp. 261-282.

42. Gluesing-Luerssen H., Schneider G. State space realizations and monomial equivalence for convolutional codes // Linear Algebra and its Applications. 2007. Vol. 425. Pp. 518-533.

43. Gohberg I., Kaashoek M.A., Lerer L. On minimality in the partial realization problem // Systems & Control Letters. 1987. Vol. 9. Pp. 97-104.

44. Golan J.S. Semirings and Their Applications. Dordrecht: Kluwer, 1999.

45. Gragg W.B., Lindquist A. On the partial realization problem // Linear Algebra and its Applications. 1983. Vol. 50. Pp. 277-319.

46. Hazewinke 1 M., Kalman R.E. On invariants, canonical forms and moduli for linear, constant, finite dimensional dynamical systems // Proceedings of the

47. Conference on Mathematical Systems Theory. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1976. Vol. 131 of Lect. Notes Econ. and Math. Syst. Pp. 48-60.

48. Hazewinkel M. Moduli and canonical forms for linear dynamical systems, II: The topological case // Math. Syst. Theory. 1977. Vol. 10. Pp. 363-385.

49. Hazewinkel M. Moduli and canonical forms for linear dynamical systems, III: The algebraic geometric case // Proc. of NASA-AMS Conf. on Geom. Contr. Theory. Brookline: Math. Sci. Press, 1977. Pp. 291-336.

50. Hazewinkel M. On the (internal) symmetry groups of linear dynamical systems // Groups, systems and many-body physics. Wiesbaden: Vieweg, 1979. Pp. 362-404.

51. Hazewinkel M. (Fine) moduli (spaces) for linear systems: What are they and what are they good for // Geometrical Methods for the Theory of Linear Systems. Dordrecht et. al.: D.Reidel Publishing, 1980. Pp. 362-404.

52. Hazewinkel M. On families of linear dynamical systems: degeneration phenomena // Pap. AMS NASA — NATO Summer Semin., Harvard Univ.,June, 1979. Providence: AMS, 1980. Pp. 362-404.

53. Hazewinkel M. A partial survey of the uses of algebraic geometry in systems and control theory // Sym. math. 1981. Vol. 24. Pp. 245-292.

54. Hazewinkel M., Martin C. Special structure, decentralizations and symmetry for linear systems // Mathematical Theory of Networks and Systems. Berlin,

55. Heidelberg, New York: Springer, 1976. Vol. 58 of Lect. Notes Contr. and Inf. Sci. Pp. 437-440.

56. Hazewinkel M., Martin C. Representations of the symmetric group, the specialization order, systems and Grassmann manifold // Enseign. Math. 1983. Vol. 29. Pp. 53-87.

57. Hazewinkel M., Martin C. Symmetric linear systems: An application of algebraic systems theory // Int. J. Contr. 1983. Vol. 37. Pp. 1371-1384.

58. Heidegott B., Olsder G.J., van der Woude J. Max Plus at Work: Modeling and Analysis of Synchronized Systems: A Course on Max-Plus Algebra and Its Applications. Princeton: Princeton University Press, 2005.

59. Helmke U. Linear dynamical systems and instantons in Yang-Mills theory // IMA J. Math. Contr. and Inform. 1986. Vol. 3. Pp. 151-166.

60. Helmke U. Topology of the moduli space for reachable linear dynamical systems: The complex case // Math. Syst. Theory. 1986. Vol. 19. Pp. 155-187.

61. Helmke U. The cohomology of moduli spaces of linear dynamical systems: Dr. Sci. dissertation / Regensburg Univ. 1990.

62. Helmke U. Waring's problem for binary forms // Journal of Pure and Applied Algebra. 1992. Vol. 80. Pp. 29-45.

63. Hermann R., Martin C. Application of algebraic geometry to systems theory: Part I // IEEE Trans. Automat. Contr. 1977. Vol. 22. Pp. 19-25.

64. Hermann R., Martin C. Application of algebraic geometry to systems theory: Part II: The McMillan degree and Kronecker indices of transfer functions as topological and holomorphic invariants // SIAM J. Contr. and Optimiz. 1978. Vol. 16. Pp. 743-755.

65. Hermida-Alonso H.A., Perez M.P., Sanches-Giralda T. Feedback invariants for linear dynamical systems over a principal ideal domain // Linear Alg. and its Appl. 1995. Vol. 218. Pp. 29-45.

66. Hermida-Alonso H.A, Perez M.P., Sanches-Giralda T. Brunovsky's canonical form for linear dynamical systems over commutative rings // Linear Alg. and its Appl. 1996. Vol. 233. Pp. 131-147.

67. Hinrichsen D., D. Pratzel-Wolters. A canonical form for static linear output feedback // Mathematical Theory of Networks and Systems. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1976. Vol. 58 of Lect. Notes Contr. and Inf. Sci. Pp. 441-462.

68. Hinrichsen D., Pratzel-Wolters D. Generalized Hermite matrices and complete invariants of strict system equivalence // SIAM J. Contr. and Optimiz. 1983. Vol. 21. Pp. 298-305.

69. Hinrichsen D., Pratzel-Wolters D. State and input transformations for reachable systems — a polynomial approach // Contemp. Math. 1985. Vol. 47. Pp. 217-239.

70. Hinrichsen D., Pratzel-Wolters D. A wild quiver in linear systems theory // Linear Algebra and Appl. 1987. Vol. 91. Pp. 143-175.

71. Hinrichsen D., Prätzel-Wolters D. A Jordan canonical form for reachable linear systems // Linear Algebra and Appl. 1989. Vol. 122/123/124. Pp. 489-524.

72. Ho B.L., Kaiman R.E. Effective construction of linear state-variable models from input/output functions // Regelungstechnik. 1966. Vol. 14. Pp. 545-548.

73. Kaiman R.E. Contributions to the theory of optimal control // Bol.Soc.Mat.Mexicana. 1960. Vol. 5. Pp. 102-119.

74. Kaiman R.E. Contributions to the theory of optimal control // Proc Nat. Acad, of Sei.(USA). 1960. Vol. 48. Pp. 596-600.

75. Kaiman R.E. On the general theory of control systems // Proc 1st IFAC Congress. London: Butterworths, 1960. Pp. 481-492.

76. Kaiman R.E. Irreducible realizations and the degree of a rational matrix // SIAM J. of Control. 1963. Vol. 13. Pp. 520-544.

77. Kaiman R.E. Mathematical description of linear dynamical systems // SIAM J. of Control. 1963. Vol. 1. Pp. 152-192.

78. Kaiman R.E. Algebraic structure of linear dynamical systems. I. The module of S // Proc.Nat.Acad.Sci(USA). 1965. Vol. 54. Pp. 1503-1598.

79. Kaiman R.E. On structural properties of linear, constant, multivariable systems // Third Congress of IFAC. London: Butterworths, 1966. P. paper 6A.

80. Kaiman R.E. Algebraic aspects of the theory of dynamical systems // Differential Equations and Dynamical Systems. Maryland Heights: Academic Press, 1967. Pp. 133-146.

81. Kaiman R.E. Lectures on controllability and observability. Roma: Editzioni Cremonese, 1969.

82. Kaiman R.E. On minimal partial realizations of an input/output map // Aspects of Network and System Theory. Austin: Rinehart and Winston, 1971. Pp. 385-487.

83. Kaiman R.E. Algebraic geometric description of the class of linear systems of constant dimension // 8th Annual Princeton Conf. on Inform. Sei. and Systems. Princeton: Princeton University, 1974. Pp. 17-31.

84. Kaiman R.E. On partial realizations, transfer functions, and canonical forms // Acta Polytechnica Scandinavica. 1979. Vol. 31. Pp. 9-32.

85. Kaiman R.E., Falb P.L., Arbib M.A. Topics in Mathematical Systems Theory. New York: McGraw-Hill, 1969.

86. Kaiman R.E., Ho Y.C., Narendra K. -Controllability of linear dynamical systems // Contr to Diff. Equations. 1963. Vol. 1. Pp. 189-213.

87. Kim K.H. Boolean Matrix Theory and Applications. New York: Marcel Dekker, 1982.

88. Krishnaprasad P.S., Martin C. On families of systems and deformations // Int. J. Contr. 1983. Vol. 38. Pp. 1055-1079.

89. Lomadze V.G. Finite dimensional time invariant linear dynamical systems. Algebraic theory // Acta Appl. Math. 1990. Vol. 19. Pp. 149-201.

90. Luce R.D. A note on Boolean matrix theory // Acta Appl. Math. 1952. Vol. 3. Pp. 382-388.

91. Manthey W., Helmke U. Connectivity properties of spaces of partial realizations // Systems k Control Letters. 2001. Vol. 43. Pp. 225-238.

92. Manthey W., Helmke U., Hinrichsen D. Topological aspects of the partial realization problem // Mathematics of Control, Signals and Systems. 1992. Vol. 5. Pp. 117-149.

93. Manthey W., Helmke U., Hinrichsen D. Generalized partial realizations // Operators, Systems, and Linear Algebra: three decades of algebraic systems theory Stuttgart: B. G. Teubner, 1997. Pp. 138-156.

94. Manthey W., Hinrichsen D., Helmke U. On Fischer-Frobenius transformations and the structure of rectangular block Hankel matrices // Linear and Multilinear Algebra. 1996. Vol. 41. Pp. 255-288.

95. Massey J.L., Sain M.K. Codes, automata and continous systems: Explicit interconnections // IEEE Trans. Automat. Contr. 1967. Vol. 12. Pp. 644-650.

96. Mayne D.Q. A canonical model for identification of multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1972. Vol. 17. Pp. 728-729.

97. Newcomb R.W. On the realizations of modular transfer functions: Tech. Rep. 58: Cornell University, 1966.

98. Osetinskii N.I. Methods of invariant analysis for linear control systems // Journ of Math.Sci. . 1998. Vol. 88. Pp. 587-657.

99. Pommaret J.-F., Quadrat A. Algebraic analysis of linear multidimensional control systems. // IMA J. Control and Optimization. 1999. Vol. 16. Pp. 275-297.

100. Pommaret J.-F., Quadrat A. Localization and parametrization of linear multidimensional control systems // Systems & Control Letters. 1999. Vol. 37. Pp. 247-260.

101. Popov V.M. Invariant description of linear time invariant controllable systems // SIAM J. Contr. and Optimiz. 1972. Vol. 10. Pp. 252-264.

102. Postlethwaite I., MacFarlane A.G.J. A complex variable approach to the analysis of linear multivariable feedback systems // Lect. Notes Contr. and Inf. Sci. 1979. Vol. 12. Pp. 1-177.

103. Postlethwaite I., MacFarlane A.G.J., Edmunds J.M. Principal gains and principal phases in the analysis of linear multivariable feedback systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1981. Vol. 26. Pp. 32-46.

104. Procesi C. The invariant theory of nxn-matrices // Adv. Math. 1976. Vol. 19. Pp. 306-381.

105. Quadrat J-P., Plus Max. Max-plus algebra and applications to system theory and optimal control // Int.Cong, of Mathematicians 1994. Zurich. Basel: Birkhauser, 1994. Pp. 1507-1511.

106. Richter-Gebert J., Sturmfels B., Theobald T. First Steps in Tropical Geometry // Contemporary Math. 2005. Vol. 377. Pp. 389-318.

107. Rissanen J. Recursive identification of linear systems // SIAM J. Control. 1971. Vol. 9. Pp. 420-430.

108. Rissanen J. Realizations of matrix sequences: Tech. Rep. 1032: IBM, 1972.

109. Rosenblatt D. On the graphs and asymptotic forms of finite Boolean relation matrices // Naval Res.Log. Quart. 1957. Vol. 4. P. 151.

110. Rosenbrock H.H. State-space and multivariable theory. New York: John Wiley, 1970.

111. Rosenthal J. Connections between linear systems and convolutional codes // Codes, Systems and graphical models. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2001. Pp. 39-66.

112. Rosenthal J., Schumacher J. M., York E.V. On behaviors and convolutional codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1997. Vol. 42. Pp. 1881-1891.

113. Rosenthal J., Smarandache R. Maximum distance separable convolutional codes // Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. 1999. Vol. 10. Pp. 15-32.

114. Rosenthal J., York E.V. BCH convolutional codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1999. Vol. 45. Pp. 1833-1844.

115. Rouchaleau Y. Linear, discrete-time, finite dimensional dynamical systems over some classes of commutative rings: Ph. D. thesis / Stanford University. 1972.

116. Rutten J.J.M.M. Universal coalgebra: a theory of systems // Theoretical Computer Science. 2000. Vol. 249. Pp. 3-80.

117. Sain M.K., Massey J.L. Invertibility of linear time-invaK-iant dynamical systems // IEEE Trans. Automat.Contr. 1969. Vol. 14. Pp. 141-149.

118. Schwarz S. On the semigroup of binary relations on a finite set // Czech. Math. Jour. 1970. Vol. 20. Pp. 632-679.

119. Shamir T. An algebraic approach to the partial realization problem // Linear Algebra and its Applications. 1986. Vol. 73. Pp. 171-196.

120. Shamir T. Partial realization of symmetric matrix rational functions // Linear Algebra and its Applications. 1988. Vol. 105. Pp. 139-161.

121. Silverman L. Representation and realization of time-variable linear systems: Tech. Rep. 94: Columbia University, 1966.

122. Silverman L. Realization of linear dynamical systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1971. Vol. 16. Pp. 554-567.

123. Sloane N.J.A., S. Plouffe. The Encyclopedia of Integer Sequences. Maryland Heights: Academic Press, 1995.

124. Sontag E.D. On linear systems and noncommutative rings // Math. Systems Theory. 1975. Vol. 9. Pp. 327-344.

125. Sontag E.D. Linear systems over commutative rings: A survey // Ricerche di Automatica. 1976. Vol. 9. Pp. 1-34.

126. Sontag E.D. Linear systems over commutative rings: a (partial) updated survey // Control science and technology for the progress of society, Vol. 1 (Kyoto, 1981). Laxenburg: IFAC, 1982. Pp. 325-330.

127. Stanley R.P. Acyclic orientations of graphs // Discrete Math. 1973. Vol. 5. Pp. 171-178.

128. Tannenbaum A. Invariance and system theory: Algebraic and geometric aspects. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1981.

129. Tannenbaum A. On the stabilizer subgroups of a pair of matrices // Linear Algebra and Appl. 1983. Vol. 50. Pp. 527-544.

130. Tarjan R.E. Depth-first search and linear graph algorithms // SIAM Journal of Computing. 1972. Vol. 1. Pp. 146-160.

131. Tether A.J. Construction of minimal linear state-variable models from finite input-output data // IEEE Transactions on Automatic Control. 1970. Vol. 17. Pp. 427-436.

132. Vainstein F.S., Osetinski i N.I. Prestability and stability of one class of linear dynamic systems. Algebraic-geometric approach // Proceedings of 1994 Symposium on Human Interaction with Complex Systems. 1994. Pp. 1-7.

133. Vainstein F.S., Osetinski i N.I. Some problems of invariant analysis of linear dynamic systems // Proceedings of 1994 Symposium on Human Interaction with Complex Systems. 1994. Pp. 20-29.

134. Vainstein F.S., Osetinskii N.I. On invariant analysis of linear systems // Proceedings of First Industry/Academy Symposium on Research for Future Supersonic and Hypersonic Vehicles. Vol. 1. 1994. Pp. 218-223.

135. Vainstein F.S., Osetinskii N.I. Classification of systems under state and output transformations // Journ of Math.Sci. 1998. Vol. 88. Pp. 659-674.

136. Weiner P. Multidimensional Convolutional Codes: Ph. D. thesis / University of Notre Dame. 1998.

137. Willems J.C. From time series to linear system // Automatica. 1986. Vol. 22. Pp. 561-580, 675-694.

138. Wonham W.M. Linear multivariable control: a geometric approach. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1979.

139. Youla D.C. The synthesis of linear dynamical systems from prescribed weighting patterns // SIAM J. Appl. Math. 1966. Vol. 14. Pp. 527-549.

140. Youla D.C. The synthesis of networks containing lumped and distributed elements. Part I. // Network and Switching Theory. 1968. Vol. 11. Pp. 73-113.

141. Youla D.C., Tissi P. n-port synthesis via reactance extraction. Part I. 1966.

142. Zeiger H.P. Ho's algorithm, commutatuive diagrams, and the uniqueness of minimal linear systems // Network and Switching Theory. 1967. Vol. 11. Pp. 71-79.

143. Белозеров B.E., Можаев Г.В. О единственности решения задач декомпозиции и агрегирования линейных систем автоматического управления // Теория сложных систем и методы их моделирования. 1982. С. 4-13.

144. Белозеров В.Е., Можаев Г.В. О декомпозиции линейных стационарных систем автоматического управления // Кибернетика и вычислительная техника. 1983. Т. 58. С. 71-78.

145. Белозеров В.Е., Осетинский Н.И. Инварианты и канонические формы одного класса линейных управляемых систем // Теория сложных систем и методы их моделирования. 1984. С. 18-25.

146. Васильев О.О. О двух эластичных категорификациях алгебры Калмана пространства линейных стационарных динамических систем // Труды конференции Нефть и Газ-2007, Москва, 2007. 2007. Р. 9.

147. Васильев 0.0. Линейные управляемые системы над булевым полукольцом: графы модулей и проблема изоморфизма // Труды конференции САИТ-2009, Звенигород, 2009. 2009. Рр. 13,41-50.

148. Васильев О.О., Осетинский Н.И., Вайнштейн Ф.С. Линейные стационарные системы над булевым полукольцом и их графы модулей // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № И. С. 1456-1462.

149. Васильев О.О., Осетинский Н.И., Вайнштейн Ф.С. Линейные стационарные системы над булевым полукольцом: геометрические свойства и проблема изоморфизма // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, Я212. С. 1748-1755.

150. Васильев О.О., Осетинский Н.И., Вайнштейн Ф.С. Некоторые замечания о булевых управляемых системах: области управляемости и теория реализации // Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46, № 12. С. 1731-1736.

151. Васильев О.О., Осетинский Н.И., Ф.С. Вайнштейн. Две эластичные ка-тегорификации алгебры Калмана и категория эвристик минимизации // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, № 11. С. 1553-1560.

152. Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов // Алгебраическая геометрия 4. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 55 из Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам, направления. С. 137-309.

153. Кривулин Н.К. Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем. СпБ.: СпБГУ, 2009.

154. Маслов В.П., Колокольцов Н.К. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Физматлит, 1994.

155. Мельников A.A., Ушаков A.B. Двоичные динамические системы дискретной автоматики. СпБ: ИТМО, 2005.

156. Осетинский Н.И. Обзор некоторых результатов по современной теории систем // Математические методы в теории систем / Под ред. Ю. . Журавлев. М.: Мир, 1979. С. 271-327.

157. Осетинский Н.И. О базисе инвариантов линейных управляемых систем // Сб. тр. ВНИИ систем, исслед. 1988. Т. 1. С. 76-81.

158. Осетинский Н.И. Обзор некоторых результатов и методов в современной теории линейных систем // Математические методы в теории систем. М.: Мир, 1989. С. 328-379.

159. Осетинский Н.И., Васильев О.О. О некоторых категориях связанных с базисами алгебр Калмана // Нелинейная динамика и управление. М.: Физматлит, 2008. Т. 6. С. -.

160. Осетинский Н.И., Васильев О.О., Вайнштейн Ф.С. Геометрическая комбинаторика алгебр Калмана // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 42, № 11. С. 1532-1538.

161. Осетинский Н.И., Васильев О.О., Вайнштейн Ф.С. Об одной категории связанной с алгеброй Калмана линейной динамической системы // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 11. С. 1533-1539.

162. Сачков Ю.Н. Теория управления на группах Ли // СМФН. 2008. Т. 27. С. 173-266.

163. Цаленко М.Ш., Шульгейфер Е.Г. Основы теории категорий. М: Наука, 1974.

164. Цаленко М.Ш., Шульгейфер Е.Г. Категории // Алгебра.Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ, 1975. Т. 13 из Итоги науки и техники. С. 51-147.