автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Базовые модели мировой динамики

На правах рукописи

Махов Сергей Анатольевич

БАЗОВЫЕ МОДЕЛИ МИРОВОЙ ДИНАМИКИ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль - 2008

003456910

Работа выполнена в ордена Ленина Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук, профессор Малинецкий Георгий Геннадьевич

Научный консультант-

кандидат физико-математических наук, Подлазов Андрей Викторович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Малков Сергей Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент Степанцов Михаил Евгеньевич

Ведущая организация: Институт системного анализа РАН

Защита диссертации состоится 19 декабря 2008 г. в 17 часов на заседании диссертационного совета Д 212.002.05 при Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: Ярославль, ул. Советская, д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославском государственном университете им. П.Г.Демидова по адресу: Ярославль, ул. Полушкина роща, д. 1.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В настоящее время широко обсуждается круг проблем, связанных с глобализацией. Как следствие, вырос интерес к научным методам прогноза глобального развития, в том числе математическим моделям мировой динамики. Впервые такие модели появились в 70-х годах XX века и сразу привлекли к себе общественное внимание. Среди этих моделей наиболее значима первая по времени появления модель Дж. Форрестера, служащая отправной точкой для дальнейших исследований.

Одна из актуальных проблем современности - проблема устойчивого развития1. Во-первых, не очень ясно само понятие, изначально носящее описательный и расплывчатый характер2. Во-вторых, остается открытым вопрос о его достижимости вообще. Поэтому необходимы модели, позволяющие уточнить и формализовать понятие устойчивого развития, а также выяснить условия его осуществимости.

Ряд таких моделей уже построено, например, модели В.М. и К.В. Матросовых3, представляющие собой модификации ресурсных моделей Дж. Форрестера и Д. Медоуза, экологическая модель В.Г. Горшкова4, индексно-рентная модель А.П. Федотова5. Эти и подобные им модели отталкиваются в своих построениях от сложившейся современной ситуации, в них делается акцент на устойчивости, а не на развитии. Поэтому в данных моделях устойчивое развитие толкуется как гомеостаз, сохранение текущей ситуации.

Существует иной подход, основанный на выяснении основных атрибутов деятельности человечества и выделении параметров порядка. На основании этого создается динамическая модель, в которой акцент делается на развитии. Было выдвинуто предположение, что одним из главных таких атрибутов является создание искусственной среды - техносферы. Именно за счет создания технологий человечество живет и развивается. При таком подходе в качестве одного из параметров порядка следует выбирать уровень технологий и строить модель, исходя из этого. К таким моделям следует отнести модели М. Кремера6, A.b. Подлазова7, A.C. Малкова8. Эти модели строились для объяснения

1 Перевод термина "sustainable development" (буквально: согласованное, самоподдерживающее развитие).

2 Устойчивое развитие - такая модель развития, при которой достигается удовлетворение жизненных потребностей нынешнего поколения людей без уменьшения такой возможности для будущих поколений (ГX. Бруидтланд "Наше общее будущее" - 1987).

3 Новая парадигма развития России (Комплексные исследования проблем устойчивого развития) - М.: Academia, МГУК. -1999.

4 Горшков В.Г. Физические и биологические основы устойчивости жизни. - М.: ВИНИТИ - 1995.

3 Федотов А.П. Глобалистика, качала науки о современном мире. - М.: Аспект Пресс. - 2002.

6 Kremer М. Population growth and technological change: one million B.C. to 1990 И The Quarterly Journal .of Economics. - 1993. -№108 - P. 681-716.

7 ПодлазовА.В. Основное уравнение теоретической демографии и модель глобального демографического перехода // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. - 2001. - №88. - 16 с.

8 МалковАС., КоротаевА.В, Халтурина ДА. Математическая модель роста населения Земли, экономики^ технологии и образования//Препринт ИПМ им. MB. КелдышаРАН.-2005.-№13.-39 с / V/

глобальной демографической динамики, в частности, гиперболического закона роста численности населения Земли и последующего демографического перехода.

Еще одна проблема, стоящая перед моделированием глобальных процессов - объяснение единства мира. Формально человечество разделено на нации, государства, однако по ряду показателей (демографические, экономические) ведет себя как единое целое. В большинстве моделей глобального развития это единство просто постулируется, но не объясняется. Одно из возможных объяснений принадлежит С.П. Капице9, который выдвинул гипотезу о роли информационного взаимодействия между людьми. Однако природа этого взаимодействия не была им уточнена. Более конкретное объяснение было дано A.B. Подлазовым10, предложившего концепцию технологического взаимодействия. Согласно этой концепции технологии распространяются локально от одного общества (коллектива) к другому за счет переноса (копирования). И именно однотипные технологии, применяемые в разных частях мира и в разных обществах, позволяют рассматривать человечество как единую систему. Концепция копирования технологий позволяет объяснить единство мира феноменологически, однако не раскрывает механизма копирования, за счет чего происходит. В связи с этим построение модели, объясняющей механизм распространения технологий, представляется актуальным.

Цели работы

1. Формализация понятия устойчивого развития.

2. Построение базовой модели мировой динамики с целью выяснения основных факторов глобального развития.

3. Построение модели взаимодействия обществ с целью выяснения механизма распространения технологий, создающего единство мира.

Методы исследования

Основным методом исследования является построение динамических моделей и исследование их методами нелинейной динамики, качественной теории дифференциальных уравнений и численными методами.

Научная новизна

В работе формализовано понятие устойчивого развития. Модифицирована модель мировой динамики Форрестера, для нее исследованы стационарные решения.

Построена новая феноменологическая модель глобального развития, описывающая мировую динамику индустриального общества и переход к постиндустриальному обществу.

9 Капица С.П. Сколько людей жило, живет и будет жить на Земле. - М.: Наука. - 1999. - 240 с

10 Подлазов A.B. Теоретическая демография как основа математической истории // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. - 2000, №73. - 36 с.

Построена новая феноменологическая модель взаимодействия регионов, объясняющая с общих позиций единство глобальной мировой системы.

Положения, выносимые на защиту

1. Результаты исследования модифицированной модели мировой динамики Дж. Форрестера. В рамках модифицированной модели исследован вопрос об условиях достижения устойчивого развития.

2. Результаты исследования ресурсно-технологической модели мировой динамики. Выявление и классификация режимов глобального развития.

3. Определение устойчивого развития и исследование условий его достижимости в рамках построенной ресурсно-технологической модели мировой динамики.

4. Результаты исследования модели взаимодействия игроков. В рамках модели предложен механизм, объясняющий распространение технологий через обмены. Выявлен эффект синхронизации развития игроков, происходящего в условиях обменов.

Практическая значимость

Полученные результаты используются в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Институте системного анализа РАН, могут использоваться в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова, Вычислительном центре им. А.А.Дородницына РАН, Центральном экономико-математическом институте РАН, Институте народнохозяйственного прогнозирования РАН, Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Российском государственном гуманитарном университете, Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова, Институте экономики РАН, Институте всеобщей истории РАН, Институте социально-политических исследований РАН.

Построенные модели могут быть использованы для анализа возможных путей развития мира и принятия необходимых мер для осуществления устойчивого развития и при исследовании конкурентной борьбы или технологической гонки обществ. Также модели могут быть использованы как основа для построения более детальных и развернутых моделей мировой динамики.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на международной конференции "Проблемы управления безопасностью сложных систем" (ИПУ РАН, 2002, 2003, 2004, 2005), на методологическом семинаре "Глобализация: синергетический подход" (РАГС, 2002), V международном конгрессе математического моделирования (Дубна, 2002), XLVI научной конференции МФТИ (ГУ) "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (МФТИ, 2003), на международной научно-практической конференции "Стратегии динамического развития России: единство самоорганизации и

управления" (2004), международной конференции "Системный анализ и информационные технологии" (Переславль, 2005), международной междисциплинарной научной конференции "Идеи синергетики в естественных науках" (Тверь, 2006), международной конференции "Математическое моделирование исторических процессов" (ИПМ РАН, 2007).

Публикации

По результатам выполненной работы имеется 21 публикация (см. список публикаций): 9 статей, 2 из которых в журналах, входящих в перечень ВАК РФ, 10 тезисов докладов и 2 препринта.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 62 наименования. Диссертация содержит 41 рисунок. Общий объем диссертации составляет 85 страниц.

Во введении обсуждаются методы математического моделирования мировой динамики. Дается краткий обзор основных моделей глобального развития.

В первой главе рассматривается модификация классической модели Дж. Форрестера "Мир-2". На основе модифицированной модели исследуется вопрос об устойчивом развитии моделируемой мировой системы.

Модель Дж. Форрестера построена на основании принципов системной динамики - метода изучения сложных систем с нелинейными обратными связями, разработанный Дж. Форрестером в конце 50-х годов XX века. Аналитические основы построения модели, предназначенной для имитации мировых процессов, были рассмотрены в его работах, посвященных изучению промышленных и урбанизированных систем11.

Мировая система в модели "Мир-2" описывается пятью основными переменными: численность населения Р, капитал К, доля капитала в сельском хозяйстве X, загрязнение 2 и запасы невосстановимых природных ресурсов Я. Также используются вспомогательные переменные, из которых наиболее важны материальный уровень С жизни и уровень питания Р. Динамика основных переменных описывается системой дифференциальных уравнений, которая в упрощенном виде выглядит так:

Содержание работы

(1)

ж „ к

11 ФоррестперДж. Основы кибернетики предприятия. - М.: Прогресс, 1971.

где В(Р, С, Р, 2) - темп рождаемости, В{Р, С, 2) - темп смертности, К+ = К+(Р,С) - скорость производства основных фондов, = 40 лет -характерное время износа основных фондов, Х+ - Х+(Е, С) - прирост доли сельскохозяйственных фондов, Тх= 15 лет - время выбытия доли сельскохозяйственных фондов, 2+ = 2+(Р, К) - скорость генерации загрязнения, Тг ~ Тг{2) - характерное время естественного разложения загрязнения, = Я. (Р, С) - скорость потребления ресурсов, Р - уровень питания, С -материальный уровень жизни.

Компьютерный анализ данной системы показал, что при сохранении тенденций развития глобальной системы, имевших место в начале 70-х годов, рост населения Р, капитала К, материального обеспечения приведет к истощению невосстановимых ресурсов, чрезмерному загрязнению Земли и сменится быстрым падением численности населения и упадком производства (рис. 1,2).

Рис. 1. Модель Форрестера в первоначальном виде: кризис ввиду истощения ресурсов. Сначала падает материальный уровень жизни, потом численность населения и капитал. Кризис наступает примерно к 2020-30 г.г. Все величины представлены в условных единицах. На рисунке б) графики представлены в двух масштабах: один показан слева от графика, второй - справа. Т.е., такие переменные, как уровень питания Р, уровень жизни С и количество ресурсов Я меняются от 0 до 1.2, а доля фондов в сельском хозяйстве - от 0 до 0.45.

2050 2100

2000 2050 2100 1900 1950 2000 а) б)

Рис. 2. Результаты модели Форрестера в предположении о снижении в 1970 году скорости потребления ресурсов в 4 раза, что могло быть вызвано, к примеру, экономией. Это вызывает кризис загрязнений. Население резко уменьшается в несколько раз, также быстро падают фонды, рост уровня питания и уровня жизни просто означает, что оставшийся капитал используется остальной частью населения (такое может быть справедливо в предположении, что все "вредные" производства находятся в густонаселенных странах, а население, активно использующее капитал, проживает в слабо населенных странах).

В качестве альтернативы такому упадку Дж. Форрестер предлагал перейти к глобальному равновесию, которое понималось им как выход переменных модели на стационарные значения, однако в рамках модели таких решений нет. Чтобы появились стационарные решения, необходимо модифицировать модель.

Одна такая модификация была осуществлена в работах коллектива исследователей под руководством В.А. Егорова, проведенных в ИПМ АН СССР в 1970-х годах. В своих исследованиях они занимались вопросом введения управляющих воздействий в модель "Мир-2" с целью предотвращения глобального кризиса. Для этого предлагалось воздействовать на систему путем распределения капиталовложений в предположении, что:

1) разработаны и внедрены в промышленность технологии утилизации и восстановления ресурсов;

2) создана промышленная отрасль по искусственной очистке загрязнения;

3) возможно изменять инвестиции в сельскохозяйственные фонды.

Тогда можно направлять капитал во вновь созданные отрасли и на

изменение доли фондов в сельском хозяйстве. Соответственно, меняются уравнения (3), (4), (5):

Здесь и х- управляющее воздействие на инвестиции в сельское хозяйство, и2 - доля капитала К, направляемая на борьбу с загрязнением, с2 - стоимость очистки единицы загрязнения, 11ц - доля капитала К, идущая на восстановление ресурсов, ск - стоимость восстановления единицы ресурса. Кроме того, материальный уровень жизни вычисляется по новой формуле, учитывающей введенное распределение капитала. Указанные величины С/д, С/г, С/у представляют собой функции времени и, будучи определены, задают некоторый сценарий развития системы (1), (2), (6)-{8). Было показано, что существует сценарий Щ0> С/К0> С/*(0> при котором в модели не будет кризиса до 2100 г.

В ходе проведенного исследования было выяснено, что основные проблемы в модели Дж. Форрестера - исчерпание ресурсов и рост загрязнений - могут быть решены без модификации сельского хозяйства. Поэтому в настоящей работе она не проводилась. Таким образом, уравнение (3) остается в силе, а уравнения (4), (5) заменяются на (7), (8).

Поскольку С/д, и г по своему смыслу аналогичны X, считалось, что для них справедливы схожие с (3) уравнения, отражая тот факт, что фонды не создаются и не исчезают мгновенно:

<шл _Оя-ик

л Т ия

с1и2 _С2-иг

Л т 1иг

где бд, Сг - инвестиции (с точностью до множителей Тт, Тщ) в соответствующие отрасли индустрии по восстановлению ресурсов и очистке загрязнений, Тт, Тт ~ время выбытия части фондов в данных отраслях. Они считались константами одного порядка с Тх, т.е. 10-15 лет. Предполагалось, что новые отрасли не созданы до 2010 г., т.е. при /<?,„ = 2010 О к = 0, Сг = 0. Иными словами, управление происходит не непосредственно долями капитала, а через инвестиции в них.

Определенная таким образом модель применялась к исследованию вопроса об устойчивом развитии мировой системы. Понятие устойчивого развития было впервые озвучено в 1986 г. и с тех пор под ним стали понимать такую модель развития, при которой достигается удовлетворение жизненных потребностей нынешнего поколения людей без уменьшения такой возможности для будущих поколений. В рамках математической модели появляется возможность формализовать данное определение и трактовать устойчивое развитие моделируемой системы как асимптотическое стационарное решение

динамических уравнений (1)—(3), (7)—{10), удовлетворяющее определенным "желательным" условиям, каковые являются мерой качества достигнутого решения. Эти условия формулировались в виде: 2 <2,^, Я С >Стт;

^ >/*"„,„, где Хты - максимально допустимый уровень загрязнения, а Ятт Стп, - минимально допустимые значения запасов ресурсов, материального уровня жизни и уровня питания соответственно.

Таким образом, возникает задача исследования стационарных решений модифицированной модели (1)—(3), (7)—(10) и указание вид функциональной зависимости управлений С ¡¿К) и гарантирующих "хорошие" стационары модифицированной системы, то есть такие, которые дают устойчивое развитие.

При исследовании положений равновесия системы (1>—(3), (7)—(10) уравнения (9), (10) можно исключить, поскольку при этом С/л= Сд, Иг = и искать положения равновесия в зависимости от параметров ск, сг, ик, и2- Как оказалось, если при каких-то параметрах существует положение равновесия, то это положение равновесия единственное и, более того, устойчивое, поскольку все собственные значения линеаризованной вблизи положения равновесия системы (1)-(3), (7), (8) либо отрицательны, либо обладают отрицательными вещественными частями. На рис. 3 показана область существования стационаров в пространстве параметров ({/л, иг) при ск = 0.3, сг = 0.4.

Рис. 3. Область допустимых значений долей фондов в новых отраслях {ия, 1/г) при ся = 0.3, сг = 0.4, в которой существуют стационарные решения системы (1НЗ), (7), (8). Сплошная линия соответствует границе области допустимых значений, на ней стационары перестают существовать. На левой части границы (от 1/я = 0 до = 0.115) 1 = 0, на правой (от иц = 0.115 до 11ц - 0.164 ) К = 1 (в условных единицах по отношению к изначальным запасам ресурсов Ко). Левый пунктир (% = 0.136) соответствует С = Ст„ = 0.5, правый ((Уд = 0.15) - 2=2тах~ 10 (точнее говоря, при >0.15 2> 10, но само значение Иц = 0.15 области принадлежит). Таким образом, допустимые решения находятся в области, ограниченной двумя пунктирами, осями Щ = 0, Ьг = 0 и сплошной кривой и^иц).

Были построены аналогичные картины при других значениях параметров ся, сг- Было установлено, что при увеличении (уменьшении) ся (и фиксированном с г) правая граница области сдвигается вправо (влево), при уменьшении сг (и фиксированном с к) верхняя граница области опускается, при увеличении - поднимается до определенного уровня и не меняется.

При исследовании оказалось, что в качестве С^К) может быть взята показательная функция вида СЛ(Я) = а+/3-ехр(-Л//г0), при этом а =(0.45±0.05)сй, /3 =(0.05±0.05)сл. Аналогично, С^Т) может быть взята линейная функция: й^Т) = у?.

Интегрирование динамической системы велось с 1900 по 2200 г. Считалось, что восстановление ресурсов не заходит столь далеко, что дает их

больше, чем природа, т.е. выполнено — - и, следовательно, /?(/) < Л(/,„) при

/>/,„ = 2010, что учитывалось при настройке параметров а, /3,7. Расчеты показали, что модель действительно допускает "хорошие" стационарные решения (рис. 4), при этом выход на устойчивое развитие успевает произойти до 2150г.

—с --Р

— и —р

1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200

а)

—1114 — X

■— иг

1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 б)

Рис. 4. Результаты интегрирования модифицированной модели Форрестера при сд = 0.3, сг = 0.4: а) основные характеристики, б) доли фондов в новых отраслях и с/х. Начало функционирования новых отраслей 2010 г. Время запаздывания Тт = Тиг= Ю лег. Параметры: а=0.135, /3=0.018,7=0.04. На рисунке а) графики представлены в двух масштабах: один показан слева от картинки, второй - справа.

Эти результаты были получены при сд = 0.3, сг = 0.4. Было проведено исследование и при других коэффициентах. Выяснилось, что более существенное влияние оказывает подорожание восстановления ресурсов, чем очистки загрязнения. Также выяснилось, что стационары существуют не при

всех значениях данных параметров, поскольку есть ограничение сверху, налагаемое коэффициентом cr. при cR > 0.7 стационарных режимов со сформулированными желательными требованиями нет. Коэффициент cz слабо влияет на качество стационаров.

Анализ рис. 3 приводит к выводу о том, что существуют "хорошие" стационарные решения при Gz - 0, т.е. в отсутствие очистки загрязнений. Этот эффект выполнен не всегда, так, при очень малых значениях коэффициента cR (меньше 0.04) без очистки загрязнений "хороших" стационаров нет.

Также было исследовано влияние времени начала восстановления ресурсов и очистки загрязнений t,„, оказалось, что при увеличении /,„ Z растет, a R' убывает, что и понятно, поскольку мы условились считать R.' < R(tm). Следовательно, должен существовать "критический" момент /'„, после которого "хорошие" стационары получить невозможно, оставаясь в рамках предположений модели.

Во второй главе излагается феноменологическая модель мировой динамики, в рамках которой исследуется проблема принципиальной достижимости устойчивого развития мировой системы.

На глобальном уровне, оперирующим временами порядка столетий и тысячелетий параметрами порядка можно считать численность населения, доступные человечеству ресурсы и имеющиеся технологии. Ресурсы - это все виды известных материальных ресурсов, как возобновляемых, так и невозобновляемых. Технологии - это знания и умения, с помощью которых люди поддерживают собственное существование.

Взаимодействие между тремя указанными величинами такое: население создает технологии, технологии позволяют выделить и добыть ресурсы из окружающей среды, ресурсы повышают обобщенную продуктивность социально-экономической системы, что ведет к росту населения. Заметим, что изложенная схема асимметрична: технологии играют роль ведущей, а численность населения - ведомой переменной, ресурсы выступают в качестве передатчика. То есть изменение одного только уровня технологий вызывает соответствующее изменение и других параметров, в то время как, скажем, уменьшение ресурсов может привести к разным вариантам - либо падение уровня технологий и численности населения, либо возврат на прежний уровень за счет открытия новых ресурсов. Известно, что в прошлом численность населения подстраивалась под уровень развития технологий и имеющихся ресурсов, поэтому представляется вполне допустимым при рассмотрении вопроса обеспеченности ресурсами отказаться от переменной "население" и иметь дело только технологиями Г и ресурсами R, считая, что N ~ Т.

При составлении уравнений учитывалась вся схема, в которой все три величины ведут себя согласованно, и в силу этого в среднем должны изменяться по одному закону. Известны данные о росте населения Земли: в течение, по крайней мере, двух последних тысячелетий численность населения росла по гиперболическому закону, то есть для этой переменной наблюдается масштабная инвариантность и отсутствие характерных значений. Поэтому и

для двух других переменных должно быть то же самое (поскольку все три переменные согласованы). Это означает, что при написании динамических уравнений все зависимости потоков основных переменных от них самих должны носить степенной (масштабно-инвариантный) характер, т.е. иметь вид К"?. Каждое такое произведение в правой части соответствующего дифференциального уравнения описывает действие какого-то одного фактора. Факторы полагаются независимыми, поэтому если их несколько, они складываются или вычитаются.

Учитывались следующие факторы: 1) добыча ресурсов 0 = к1*, 2) восстановление и открытие новых ресурсов 3) ресурсосбережение

С = уТг, 4) создание новых технологий Т+ = аР^Т1, 5) выбытие технологий 71 = цТ.

Система уравнений имеет следующий вид:

— = -— + Р = -АТЬ-Г + У№ТН ПП

Л С ' ( 1}

^ = Т+-Т=аЯсТ"-МТ_ (12)

Помимо основных переменных были введены валовой мировой продукт (ВМП), получаемый из добытых ресурсов а также уровень жизни I,

который, с точностью до постоянного множителя, определяется как продукт, приходящийся на душу населения или, что то же, отнесенный к уровню технологий, поскольку Ы~Т: Ь= У/М = ЛаТ1)~1 (здесь показатель а < 1). Уровень жизни нужен, чтобы формализовать понятие устойчивого развития.

Определение. Будем говорить, что развитие моделируемой системы устойчивое, если в ходе ее эволюции при (-* »уровень жизни не убывает.

Иначе говоря, устойчивое развитие - это такой асимптотический режим

развития системы (12), (13), в котором — > О.

Л

Система (11), (12) задает модель в общем виде. Наряду с этим также рассматривались частные случаи: а) отсутствие ресурсосбережения при г = О, б) отсутствие притока ресурсов в систему при V = 0.

Был проведен качественный анализ системы (11), (12) для случаев а) и б) отдельно. В отсутствие ресурсосбережения и наличия притока ресурсов в систему наряду с тривиальным аттрактором (Т = 0, Я = 0) имеется нетривиальное положение равновесия. Возможные типы при с1 < 1 показаны на рис. 5.

В случае седла и неустойчивых узла или фокуса в зависимости от начальных данных будет либо падение в ноль, либо неограниченный рост обеих переменных (рис. 6).

Первый вариант отражает ситуацию, когда потребление ресурсов превышает их открытие и восстановление. Это приводит к их полному

исчерпанию, которое влечет за собой технологический упадок и падение уровня жизни. Такое развитие, очевидно, не является устойчивым.

Неограниченное решение содержательно означает либо отодвигание проблемы ресурсов в неопределенное будущее, например, за счет космической экспансии, либо выход за рамки модели.

В случае устойчивого узла или фокуса имеет место выход на константу. В зависимости от начальных данных такой выход будет более или менее плавным с возможным падением уровня жизни (рис. 7).

В случае центра имеют место колебания вокруг положения равновесия.

В случае, когда параметры g, к удовлетворяют соотношению с(Ъ-И) = ^\-с1) имеет место экспоненциальное решение. Здесь так же неустойчивость, как в случае седла или неустойчивого узла и фокуса.

Формально под определение устойчивого развития подпадают и случай неограниченного роста, и случай выхода на стационар.

= центр

экспонента

Рис. 5. Типы положения равновесия в зависимости от значений параметров g, И при ¿<1,г„ = с6/(1-<0.

седло

устойчивый узел неустойчивый узел устойчивый фокус неустойчивый фокус

При с1 >1 устойчивые типы (узел и фокус) исчезают, остаются только неустойчивые. Согласно имеющимся за последние 100 лет данным значение параметра именно таково. Соответственно, для того, чтобы имело место стационарное решение, необходимо менять закон развития мировой системы: нужно замедлить рост производящих технологий. Достигнуто это может быть лишь за счет коренной смены внутренней структуры системы не только в производстве, но и в идеологии.

—R

— T --L

2-5 1500

1000

1.5

0.5

01 2345678

а) б)

Рис. 6. Результаты расчетов в случае седла, неустойчивого узла или фокуса. Показана динамика основных переменных: Я - ресурсы, Т - уровень технологий, Ь - уровень жизни. По оси абсцисс - условное время. Переменные показаны в двух масштабах: шкала для ресурсов слева от самого графика, шкала для технологий и уровня жизни справа.

На рисунке 6а выход на нулевой аттрактор. После роста сначала падает уровень жизни, а вслед за ним и уровень технологий. После исчерпания ресурсов технологии по экспоненте убывают до нуля. На рис. 66 неограниченный рост технологий и ресурсов приводит к неограниченному росту уровня жизни.

1.2

1 0.8 0.6 0.4 0.2

-R — L

/

L

.... Т

10

20

30

40

50 100 150

Рис. 7. Результаты расчетов в случае Рис. 8. Результаты по модели устойчивого узла. После некоторого ресурсосбережения (4), (6), (7'), d= 1, 6 = 2, довольно резкого падения уровень жизни г = 4. Уровень технологий и уровень жизни медленно растет вслед за технологиями, показаны в логарифмическом масштабе, выходя на константу. Ресурсы сначала резко падают, затем поддерживаются на низком, но ненулевом уровне.

В случае отсутствия восстановления и открытия новых ресурсов, т.е. отсутствия притока ресурсов, при Ъ>г качественное поведение аналогично случаю рис. 6а: происходит исчерпание ресурсов и падение всех характеристик до нуля. При г>Ь был обнаружен режим, когда ресурсы выходят на константу, а технологии развиваются неограниченно (рис. 8).

При этом уровень жизни тоже возрастает неограниченно, что, согласно определению и означает устойчивое развитие. Заметим также, что тип этого устойчивого развития отличается от рассмотренных выше, он представляет собой "полубесконечный" аттрактор: по одной переменной имеет место выход на стационар, по другой - на бесконечность. Подобный сценарий развития возможен при особом режиме ресурсосбережения, чтобы с ростом всех технологий добыча ресурсов падала, а В МП при этом рос.

Третья глава посвящена моделированию региональных субъектов (государств, региональных объединений, миров-экономик, цивилизаций) и взаимодействию между ними. Излагается и исследуется базовая модель таких субъектов.

Сначала рассматривается случай автаркии. Состояние субъекта описывается двумя переменными: уровень развития технологий Т (интенсивный фактор развития) и сила Е (экстенсивный фактор развития). Субъект производит продукт К (ВВП), определяемый по формуле: У-кЕТ, где к, £ - параметры. Произведенный продукт расходуется по двум направлениям: наращивание силы и развитие технологий, конечное потребление не выделяется. Рост технологического уровня, т.е. генерация новых технологий, происходит за счет инвестиций и самих технологий. При этом считается, что технологии создаются на основе уже имеющихся технологий, и чем выше достигнутый технологический уровень, тем легче их создать. Поскольку никаких характерных значений для ВВП и технологий нет, зависимости берутся степенные. Также учитывается выбытие технологий, который считается прямо пропорциональным уровню самих технологий (таким образом, на их поддержание нужны отчисления от ВВП, иначе технологический уровень падает). Сила растет за счет инвестиций, падает за счет старения, при этом падение полагается пропорциональным самой силе. В итоге имеем для субъекта следующую систему уравнений:

Здесь а - доля продукта V, направляемая на создание новых технологий, О < а < 1, ц - коэффициент износа технологий, у - коэффициент снижения силы, характеризующий природные условия, а также системные издержки (например, коррупцию), к - коэффициент, характеризующий отдачу

^ = Л(аУ)тТ"-цТ = ХктатЕшТ* -цТ, — = (1 - а)У - уЕ = (1 - а)кТЕ* - уЕ.

Л

(18)

(17)

технологий и силы при создании ВВП, X - коэффициент, характеризующий инновационную восприимчивость субъекта (чем он больше, тем выше скорость создания технологий при тех же значениях Т и £), 5 - показатель влияния уровня технологий на ВВП, считается 5 < 1, ш - показатель влияния отчислений на развитие технологий, считается, что с их ростом происходит снижение отдачи, т.е. т<\,п- показатель "чистого" влияния технологий на собственное развитие, с!=т + п- показатель итогового влияния технологий на собственное развитие.

Качественный анализ системы (17), (18) показал, что существует одно нетривиальное положение равновесия, тип которого определяется в зависимости от параметра Д= (1-5)(1-л) - т. Так, при Д>0 положение равновесия является устойчивым узлом; при Д < 0 имеется седло, в этом случае устойчивыми будут нулевой и бесконечный аттрактор; при Д = 0 положение равновесия также неустойчивое, асимптотически имеет место экспоненциальное решение: Т~ е", Е ~ еь', где аЪ > 0, т.е. обе переменные либо падают до ноля, либо неограниченно растут.

В случае устойчивого узла вариант развития динамической системы всегда один - выход основных переменных Г и £ на постоянные значения, определяемые по формулам:

Е =

т л г ^

у\-т-п

~ т \-m-n

(19)

т д / \ к

17)

а

О-«)'

(20)

Положение аттрактора зависит от многих параметров, но наиболее интересная зависимость - от параметра а, поскольку им можно управлять.

♦ т

Анализ формул (19), (20) показывает, что Е максимально при ак ~ > а ^ ~~

при ат= 1 -5 (при этом, разумеется, Ое < осу). Соответственно, если цель субъекта - максимизация силы, то ему надо брать а = а£, если же его цель -максимизация уровня технологий, то надо брать а = ат. Если агент стремится максимизировать обе величины, то наиболее выгодно держать параметр а в промежутке [а^, а^], так как при этом достигается оптимум по Парето по обоим критериям. Зависимость положения равновесия от параметров т, п тоже понятна: чем они больше, тем меньше Д, тем выше значения Е и Т, в пределе при Д-» 0 аттрактор становится бесконечным и получается экспоненциальный режим.

В случае седла имеет место либо неограниченный рост обеих переменных £ и Г в режиме с обострением, либо падение их до нуля, что можно трактовать как выживание или вымирание субъекта. На фазовой плоскости данное

обстоятельство характеризуется областями выживания и вымирания, находящимися соответственно сверху или снизу от характеристической кривой - сепаратрисы.

За счет изменения параметров система может оказаться либо в одной, либо в другой области. Наибольший интерес вызывает возможность переброса из одной области в другую только за счет параметра а, которым, субъект может управлять. Таким образом, при каждом меняющемся а и фиксированных остальных параметрах имеем области выживания Ьа и вымирания Д,, разделенные семейством характеристик Ка (рис. 9). Заметим при этом, что ¿0, ¿1 - пустые множества, т.е. значения а = 0 и а = 1 всегда дают вымирание, что нетрудно видеть непосредственно из системы (17), (18). Поэтому пересечение областей Ьа пусто, а пересечение областей £)„ непусто. То есть при любых параметрах существуют такие значения фазовых переменных (Т, Е), что за счет управления одним только параметром а исправить кризисную ситуацию нельзя и субъект вымирает - он попал в "зону смерти" (рис. 10). В то же время и гарантированной "зоны жизни" нет: всегда есть возможность ухудшить ситуацию так, что в системе настанет кризис.

огибающей семейства сепаратрис Ка. Картинка построена при а = 0.26-^0.8 (с шагом 0.02).

Для каждой точки (Т, Е) на фазовой плоскости, не лежащей в зоне смерти Б можно указать (аь а2) - интервал выживания (т.е. те а, при которых точка находится в соответствующей зоне выживания Ьа). На рис. 10 это иллюстрируется тем, что через каждую точку, лежащую выше зоны смерти Д проходит две сепаратрисы: Ка\ и Ка2.

Описанный режим может быть применен к проблеме вымирания или выживания обществ. Как следует из модели, на это влияет управление развитием. Крайние значения доли инвестиций в развитие технологий (а =0 и

ос =1) всегда плохи для общества, поэтому следует держать этот параметр в промежутке между ними.

О 5 10 15 20 25 30

Рис. 11. Экспоненциальный режим развития агента. Переменные Т и Е представлены в логарифмическом масштабе. Параметры: 5 = 0.5, т = 0.25, и = 0.5, ^ = 0.1, к=1, Х=0.3, 7=0.1, а =0.2. Наклон асимптотики 1п£ в 2 раза выше, чем 1пГ.

Экспоненциальный режим наблюдается при т - (1-л)(1-л), т.е. при специальном подборе параметров12. При этом Т~еа, Е~еь', где а, Ъ - параметры. Как правило, в расчетах бралось х = 0.5, как наиболее характерное значение, при этом п может принимать значения от 0 до 1. На рис. 11 приведен типичный пример динамики агента в данном случае. При этом темпы роста технологий а и силы Ъ связаны соотношением а = Ь( 1— л) = 0,56 или Ь = 2а. Т.е. сила на асимптотике пропорциональна

квадрату уровня технологий: Е~Т 2 (на рис. 11 это показывает наклон прямых).

Как и в случае седла, здесь также имеется интервал выживания (аь а2), внутри которого обе переменные Г и £ растут, а вне него убывают до нуля.

В случае нескольких субъектов появляется взаимодействие между ними. В модели оно представляет собой обмен произведенного продукта на технологии, фактически - обмен силы на технологии. Считается, что игроки обмениваются попарно, независимо от остальных игроков.

Опишем случай обмена двух игроков между собой. Процесс обмена протекает за малое время Ж. Пусть Т\, Еи Ух - соответственно уровень технологий, сила и произведенный продукт 1-го игрока, а Т2, Е2, У2 - 2-го, и пусть для определенности Т\ > Т2. В этом случае 1-ый игрок может продать часть технологий 2-ому игроку (точнее, 2-ой игрок может купить часть технологий у 1-ого в обмен на часть своего продукта). Таким образом, передача технологий может осуществляться лишь от более развитого субъекта менее развитому субъекту. При этом технологии остаются у того, кто их продает, т.е. технологический уровень 1-го игрока не понижается, в то время как 2-ой игрок часть продукта, пошедшего на обмен, теряет. Иначе говоря, для технологий закон сохранения не выполняется: технологии суть не материя, а, скорее, информация.

Предполагается, что 2-ой игрок может выставлять на обмен не весь продукт У2, а только какую-то его долю е2. Эта доля является управляющим

12 На практике необязательно, чтобы данное равенство выполнялось с абсолютной точностью, достаточно лишь, чтобы оно было приближенно верным. В этом случае режим, хотя и не будет являться экспоненциальным в строго математическом смысле, однако, в течение достаточно долгого промежутка времени будет на него сильно похож и, практически, не отличаться от него.

параметром, считается постоянной. Далее, нужно установить цену р, по которой будут куплены технологии. Для ее определения используется следующий механизм. Каждый игрок рассчитывает свою цену за технологии: 1-

ыи игрок - минимальную цену продажи р, =-;—, 2-ои игрок -

1

$Е1

максимальную цену покупки р2 Если р2 <р\, то обмена нет. При р2 >р\

2

р,т2 + р2т;

происходит обмен по промежуточной цене р = —-—-—.

7, +Т2

После того, как цена установлена, осуществляется обмен: 1-ый игрок получает продукт е2У2> который направляется им на рост своей силы (т.е. фактически 1-ый игрок получает часть силы, отнесенной ко времени, которая и идет в соответствующее уравнение), при этом 2-ой игрок получает прибавку к

е2Г2

уровню технологий за малое время Л, равную . Динамические уравнения для 1-го и 2-го игроков после обменов будут такими:

^Ц^ГГ-АГ,, (21) йЕ

~ = (1~ - ГА + £2у2; (22)

= Я2(а2У2)т2 Г2"2 - /х2Т2 + ~~~, (23)

йЕ

~ = (1 - «2 У г ~ Г2Е2 ~ £2У2. (24)

Если т2 > ти обмены протекают аналогичным образом, только с заменой индексов: в этом случае 1-ый игрок покупает технологии у 2-го.

В модели закладывается универсальность параметров s, ц, к для всех игроков, параметры m, п, X, у для каждого игрока свои. Параметры а, е считаются управляющими, с помощью которых каждый игрок влияет на динамику всей системы в целом. Параметры m, п, s считались связанными соотношением m = (l-s)(l-n), т.е. в отсутствие обменов каждый игрок развивается экспоненциально. Обычно в расчетах бралось s = 0.5.

В рамках построенной модели (21)-{24) исследовался вопрос, может ли при включении обменов отстающий игрок догнать или обогнать лидера. Оказывается, такое возможно, но для этого игрок, отстающий в развитии технологий, должен иметь хотя бы небольшое преимущество в наращивании силы, например по параметру у (проигрывая при этом по параметру X). На рисунках 12 и 13 представлено сравнение динамики обоих игроков в отсутствие

обменов (рис. 12) и при их наличии (рис. 13), когда отстающий в развитии нагоняет лидера по технологиям и обгоняет по силе. При этом рассмотрена ситуация равенства всех параметров, кроме X и 7: X] > Х2,71 > 72.

Рис. 12 Динамика основных переменных Т\, Тг и Е\, Ег двух игроков в отсутствие обменов. Масштаб логарифмический. Как видно, 1-ый игрок обгоняет 2-го по обеим переменным. Параметры: ^ = 0.5, ц = 0.1, к = 1, т\ = тг = 0.25, п\ = пг = 0.5, Х[ = 0.4, Х2 = 0.3, 71 = 0.3, уг = 0.1, а, = 0.2, сь = 0.2.

Рис. 13. Динамика основных переменных Т\, Тг и Ей Ег двух игроков при наличии обменов. Масштаб логарифмический. Как видно, 2-ой игрок догоняет 1-го по технологиям и обгоняет по капиталу. Параметры те же, что и на рис. 12.

Происходит синхронизация развития игроков: они начинают развиваться в одном темпе. При этом по технологиям достигается полное совпадение, а по силе 1-ый игрок отстает от 2-го на одно и то же время (т.е. запаздывание между ними постоянное). Таким образом, игроки демонстрируют единство. Помимо

самого факта обмена также важен параметр е (т.е. доля ВВП, посылаемая на

обмен): если он слишком мал или слишком велик, эффекта не возникает.

список публикаций по теме диссертации:

1. Геловани В.А., Куракин П.В., Малинецкий Г.Г., Махов С.А. Стационарные решения в модифицированной модели Форрестера // Доклады Академии наук. - Москва: Наука. - 2005. - Т. 401, №2. - С. 151-153.

2. Махов С.А., Малинецкий Г.Г., Посашков С.А. и др. Проект системы научного мониторинга и кризисы современной России // Вестник РАЕН. - Москва. -2003.-Т. 3, №4.-С. 71-79.

3. Малинецкий Г.Г., Махов С.А., Посашков С.А. Процессы глобализации и компьютерное моделирование // Глобализация: синергетический подход / Под общ. ред. В.К. Егорова. - Москва: РАГС. - 2002. - С. 34-41.

4. Махов С.А. Устойчивое развитие с точки зрения глобального моделирования // Материалы X международной конференции "Проблемы управления безопасностью сложных систем". — Москва: РГТУ. - 2002. -Т. 2,- С. 75-77.

5. Makhov S.A. Sustainable development from standpoint of global modeling // V International congress on mathematical modeling / Book of abstracts. - Dubna: JANUS-K. - 2002. - V. 1. - P. 28.

6. Махов С.А. Стационарные решения в модифицированной модели Форрестера с управлением // Труды XLVI научной конференции МФТИ (ГУ) "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", часть 7. - Москва, Долгопрудный: МФТИ. - 2003. - С. 173.

7. Малинецкий Г.Г., Махов С.А., Посашков С.А. Процессы глобализации, устойчивое развитие и компьютерное моделирование // Безопасность Евразии. - Москва. - 2003. - №4. - С. 292-309.

8. Махов С.А. Устойчивое развитие с точки зрения математического моделирования // Труды XI международной конференции "Проблемы управления безопасностью сложных систем", часть 2. - Москва: РГГУ. -

2003.-С. 132-134.

9. Махов С.А. Модель взаимодействия трех государств // Труды XII международной научной конференции "Проблемы управления безопасностью сложных систем". - Москва: РГГУ. - 2004. - С. 43-45.

10. Малинецкий Г.Г., Махов С.А., Посашков С.А. Процессы глобализации, устойчивое развитие и математическое моделирование // Материалы международной научно-практической конференции "Стратегии динамического развития России: единство самоорганизации и управления". - Москва: Проспект. - 2004. - Т. 3, ч. 1. - С. 150-156.

11 .MakhovS.A., PosashkovS.A. Sustainable development and mathematical modelling // Труды Международной конференции "Математическое моделирование социальной и экономической динамики". - Москва: РГСУ. -

2004.-С. 191-194.

-2312. Махов С.А. Математическое моделирование мировой динамики и устойчивого развития на примере модели Форрестера // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. - 2005. - №6 -24 с.

13. Махов С.А. Математическое моделирование мировой динамики и устойчивого развития на примере феноменологической модели // Материалы международной конференции "Системный анализ и информационные технологии". - Переславль. - 2005. - С. 56-59.

14. Махов С.А. Модель конкурентной борьбы трех игроков // Труды XIII международной конференции "Проблемы управления безопасностью сложных систем". - Москва: РГГУ. - 2005. - С. 441^143.

15. Махов С.А. Математическое моделирование мировой динамики и устойчивого развития на примере модели Форрестера // Новое в синергетике. Новая реальность, новые проблемы, новое поколение / Серия "Фракталы. Хаос. Вероятность". - Москва: Радиотехника. - 2006. - Часть 1. - С. 49-62.

16. Махов С.А. Устойчивое развитие с точки зрения математического моделирования // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. - 2006. - №63 -21 с.

17. Махов С.А. Математическое моделирование мировой динамики и устойчивого развития на примере модели Форрестера // Новое в синергетике. - Москва: Наука. - 2007. - С. 79-101.

18. Махов С.А. Феноменологическая макромодель мировой динамики и устойчивого развития / Материалы международной междисциплинарной научной конференции "Идеи синергетики в естественных науках" (Вторые Курдюмовские чтения). - Тверь: Тверской государственный университет. -2006.-С. 285-287.

19. Махов С.А. Феноменологическая макромодель мировой динамики и устойчивого развития // Тезисы Международной конференции "Математическое моделирование исторических процессов". - Москва: ИПМ РАН.-2007.-С. 46-47.

20. Махов С.А. Устойчивое развитие с позиции математического моделирования // Синергетика: Будущее мира и России. - Москва: ЛКИ. -2008. - С. 133-152.

21. Махов С.А. Модель взаимодействия региональных игроков // Проблемы математической истории: Математическое моделирование исторических процессов. - Москва: Либроком. - 2008. - С. 118-130.

Подписано в печать 14.11.2008. Формат 60x84/16. Усл. печ л. 1,23. Тираж 100 экз. Заказ 9-28. Отпечатано в ИПМ им.М.В.Келдыша РАН. 125047, Москва, Миусская пл., 4

Введение.

Методы моделирования социально-экономических систем.

Краткий очерк истории глобального моделирования.

Краткий обзор базовых моделей мировой динамики.

Структура и содержание диссертации.

Глава 1. Модель мировой динамики Дж. Форрестера и её , модификация.

1.1. Описание модели.

1.2. Глобальные модели и устойчивое развитие.

1.3. Модифицированная модель Форрестера. Исследование стационарных решений.

1.4. Итоги главы 1.

Глава 2. Базовая модель мировой динамики и устойчивого развития.

2.1. Устойчивое развитие, мировая динамика и параметры порядка.

2.2. Концептуальные основы моделирования.

2.3. Основной вариант модели.

2.4. Модель ресурсосбережения и очистки загрязнений.

2.5. Итоги главы 2.

Глава 3. Базовая модель региональных субъектов.

3.1. Модель одного регионального игрока.

3.2. Модель нескольких игроков.

3.3. Итоги главы 3.

Методы моделирования социально-экономических систем

Сегодняшний мир находится в зоне неопределенности, человечество вступило в область хаоса и повышенных рисков. Нарастающие тенденции всеобщего кризиса не оставляют сомнений в его неизбежности. В таких условиях остро встает вопрос о понимании протекающих процессов и возможности предсказания будущего для того, чтобы им управлять. Одним из способов такого понимания и предсказания является математическое моделирование. Следовательно, нужны модели, дающие представление об основных тенденциях развития мира, позволяющие строить прогноз и, соответственно, давать рекомендации. Понимание же качественных закономерностей и тенденций возможно только на уровне простых обозримых моделей. Но прежде чем приступать к построению собственных моделей, необходимо понять, что и каким образом было уже сделано, чтобы не пришлось изобретать велосипед. В связи с этим представляется актуальным вернуться к рассмотрению первых глобальных моделей, чтобы с современных позиций переосмыслить их и выяснить, чем они могли бы помочь в нынешней ситуации.

Хотя с момента начала серьезного математического моделирования мировой динамики прошло уже почти 40 лет, роль такого сорта моделей не только остается актуальной, но и существенно выросла. Одним из возможных объяснений этого являются успехи, достигнутые математическим моделированием социальных, экономических и исторических процессов. Тому есть несколько причин [1].

I. Накоплен большой положительный опыт моделирования сложных развивающихся систем в физике, химии, биологии, медицине и экологии. Сформулированы основные принципы построения и исследования моделей в достаточно общей форме. Их молено использовать применительно к любой развивающейся системе. Один из таких принципов — простота модели, описывающей, тем не менее, основные качественные свойства явления.

Проведена классификация моделей по степени их сложности, выделены базовые, промежуточные и имитационные модели. Следует подчеркнуть, что речь идет о сложности модели, но не самого моделируемого объекта.

Сложность модели — понятие достаточно четкое. Она определяется числом динамических переменных, числом параметров и степенью нелинейности. В целом, мерой сложности является комбинация из этих величин, так называемая "коразмерность". Этот термин был введен в теории катастроф. От коразмерности зависит, сколько неожиданных явлений (бифуркаций и/или катастроф) и каких именно может описывать модель.

Сложность объекта — понятие менее определенное. Часто оказывается, что объект, который выглядит очень сложным при его словесном (вербальном) представлении, описывается сравнительно простой моделью достаточно низкой коразмерности. Сейчас известно много примеров такого типа в биологии, экономике и социологии.

Отсюда следует, что сложность модели отнюдь не является ее преимуществом. Напротив, ценность представляют наиболее простые модели, описывающие, тем не менее, достаточно сложные (с первого взгляда) процессы.

Наиболее простыми являются так называемые базовые модели (иначе называемые "мягкими" моделями).

Базовые модели не претендуют на детальное описание процесса, но дают качественную картину поведения системы в целом и помогают понять основные механизмы процесса.

Базовая модель должна содержать минимальное число переменных и параметров, влияющих на процесс. Как правило, в базовых моделях параметры и переменные являются комбинациями "естественных" величин.

Базовые модели допускают проведение качественного анализа. Они позволяют понять механизм процесса и выяснить, какие именно явления (катастрофы) могут возникать в моделируемой системе.

Как правило, результаты анализа базовой модели (после того, как они получены) удается пояснить "на пальцах", то есть без модели. Однако получить "на пальцах" эти результаты без модели практически невозможно.

При построении базовой модели нет необходимости знать точные величины параметров. Достаточно оценить их близость к бифуркационным значениям, что и определяет структурную устойчивость модели.

Таким образом, базовые модели не претендуют на роль метода расчета, но являются, скорее, методом мышления.

Следующими по степени сложности являются промежуточные модели. Они строятся на основе базовых и описывают те же катастрофы, что и базовые. Такие модели претендуют на более детальное описание класса конкретных объектов. Они могут использоваться в качестве рабочего инструмента, позволяющего делать прогноз неожиданных событий даже в сравнительно отдаленном будущем. Число переменных и параметров в таких моделях больше, чем в базовых, но меньше, чем в имитационных.

Имитационные модели (иначе - "жесткие" модели) содержат много параметров и переменных (как правило, несколько десятков). Они претендуют на детальное описание конкретных объектов и явлений, например экологических и метеорологических, и используются для составления сравнительно краткосрочных прогнозов.

Имитационные модели не могут служить методом мышления, но являются методом расчета.

Известны основные принципы построения базовых моделей сложных развивающихся систем. Они сводятся к следующему.

1. Блочностъ. Сперва строятся базовые модели отдельных блоков, как автономных систем. Проводится качественный анализ и определяются бифуркационные значения параметров.

2. Иерархичность. Блоки распределяются по уровням, так что модель блока более верхнего уровня строится на основе модели нижнего. При этом либо модель верхнего блока является расширенным вариантом модели нижнего, либо модель верхнего блока является соединением двух моделей нижнего уровня.

3. Сочленение. При соединении моделей учитывается взаимное влияние переменных одного блока на переменные и параметры другого. Особое внимание обращается на случай, когда взаимное влияние выводит один из блоков из устойчивого состояния. Этот случай называется катастрофой (в математическом смысле слова).

II. В экономике и социологии преодолен предрассудок о невозможности математического моделирования поведения людей и коллективов. Аналогичные предрассудки в свое время существовали и в биологии, поскольку считалось, что поведение живых систем непредсказуемо. Однако благодаря успехам моделирования сейчас эти предрассудки преодолены.

Аналогичные процессы происходят в настоящий момент и в истории, в частности, активно развивается направление "математическая история" [2]. В рамках данного направления преимущественно используются "мягкие" модели, имитационные модели менее распространены, что связано с недостаточной строгостью языка исторической науки и отсутствием количественных данных, необходимых при построении "жестких" моделей.

Важным критерием эффективности модели является сопоставление ее результатов с реальностью. Такое сопоставление невозможно без исторических данных по тем или иным количественным показателям. Этих данных не всегда хватает для построения модели, адекватной реальности. А это, в свою очередь, определяет необходимость строить качественные модели, позволяющие обходиться без таких количественных данных, сохраняя в то же время качественные особенности изучаемого объекта.

Таким образом, мягкое моделирование в настоящий момент - перспективное направление моделирования глобального развития, позволяющее конкретизировать базовые понятия рассматриваемой проблемы, обрисовывать взаимосвязь между ними, а также служить основанием для обобщений и построения более детальных и развернутых моделей.

Краткий очерк истории глобального моделирования

В 1968 г. по инициативе Аурелио Печчеи [3, 4] (общественного деятеля и бизнесмена, тогда входившего в руководство фирмы "Оливетти") был создан Римский клуб - неправительственная организация ученых, предпринимателей, общественных деятелей. Клуб был создан с целью анализа и поиска решений глобальных проблем. С самого начала существования Клуба его задачей стало привлечение внимание широкой общественности к накопившимся глобальным проблемам. Довольно быстро члены Клуба осознали, что наилучшей формой достижения подобной цели было бы создание и использование математических моделей. Это позволило бы, с их точки зрения, представить существующие проблемы в наиболее объективном ракурсе и поставить их в центр внимания всего общества.

В июне 1970 г. на заседании в Берне Римский клуб предложил профессору МТИ, руководителю группы системной динамики Дж. Форрестеру разработать модель глобального развития. Уже через 4 недели тот представил примитивную модель, грубо имитирующую основные процессы мировой системы. Эта модель получила название "Мир-1". Последующая доработка и отладка привела к появлению так называемой модели "Мир-2" [5].

В этой модели анализировалась в самом общем виде последствия современных тенденций роста населения и производства в условиях ограниченности ресурсов и растущего загрязнения. Результаты моделирования продемонстрировали нестабильность глобальной системы и возможность глубокого кризиса в первой половине XXI века. Тем самым модели показали важность проблемы физических пределов развития мира, прежде всего истощения ресурсов.

После Дж. Форрестера разработка новой глобальной модели была осуществлена его учеником Д. Медоузом, построившим более подробную модель "Мир-3", являющуюся в некотором смысле продолжением работы Дж. Форрестера. Результаты его исследований стали широко известны после выхода в свет в 1972 г. книги "Пределы роста" [6], которая стала первым официальным докладом, подготовленного по инициативе Римского клуба. Как и "Мир-2", модель Медоуза основывается на методе системной динамики, в ней тоже 5 основных секторов (демографии, капитала, сельского хозяйства, загрязнения, невозобновляемых ресурсов), только переменных не по одной на каждый сектор, как было у Дж. Форрестера, а больше (за исключением загрязнения и ресурсов). То есть была проведена дезагрегация переменных, кроме того были сделаны и другие небольшие изменения-усложнения. Как и у Дж. Форрестера, интегрирование системы уравнений проводилось на участке с 1900 г. по 2100 г. Расчеты по модели показали, что ее поведение качественно очень похоже на поведение модели "Мир-2". Оказалось, что здесь также неизбежна катастрофа по причине истощения ресурсов и чрезмерного роста загрязнения [6, 7].

К сожалению, несмотря на большую детализацию и кажущуюся поэтому большую объективность по сравнению с моделью Форрестера, модель "Мир-3", как нам представляется, является еще более некорректной чем "Мир-2". Сам Медоуз признавал, что обладал всего лишь 0,1% необходимой информации, остальное, по-видимому, придумал сам. Поэтому, видимо, некоторые зависимости (табличные функции) получились просто неверными. Излишнее усложнение модели привело к тому, что ее идентификация еще более затруднилась (ввиду того, что количество параметров модели выросло почти в три раза). То, что результаты в целом совпали, связано было именно с тем, что костяк модели остался прежним (т.е. такой же, как и в модели Форрестера), главным образом, это касается уравнений для ресурсов и загрязнения. А раз так, то и получается тот же эффект. Иначе говоря, достоинств значительно не прибавилось, а вот минусов стало гораздо больше, поэтому усложнение, проведенное Медоузом, представляется с точки зрения полученных результатов по отношению к затраченным усилиям неоправданным.

Следующая модель, точнее, проект Месаровича — Пестеля [8] также носила прогнозный характер. Проект базировался на концепции органического роста взаимосвязанной глобальной системы с использованием методов теории многоуровневых иерархических систем, созданной в рамках кибернетики. Вместо общей модели была построена система 5 взаимосвязанных региональных моделей, каждая из которых предназначалась для анализа одной из 5 наиболее актуальных, с точки зрения авторов, проблем. Особое место среди них занимала проблема распределения между регионами добычи и потребления нефти, поэтому для нее была создана специальная энергетическая модель.

Латиноамериканская модель глобального развития А. Эрреры [9] создавалась для прогноза развития развивающихся стран. В этой модели мир пространственно дифференцирован (разбит на регионы), регионы взаимодействуют между собой, каждый регион описывается стандартной системой нескольких взаимосвязанных подмоделей, из которых центральное место занимала подмодель питания. С помощью модели исследовалась возможность для развивающихся стран удовлетворить нормативно заданные основные потребности одного человека и сроки достижения заданных условий.

В японской модели Й. Кайя [10] была предпринята попытка определить оптимальную структуру производства в системе "промышленно развитые -развивающиеся страны". На первом этапе имитировалось развитие рынка сырья прн возможности изменения климатических условий на Земле вследствие антропогенного загрязнения, при этом строились прогнозы динамики потребления и запасов ресурсов. На втором этапе была построена многоотраслевая региональная экономическая модель, в которой предусмотрена обоюдная перестройка структур производства и в индустриальных, и в развивающихся странах. Оценивались результаты управления производственной структурой каждого региона с точки зрения выбранных критериев.

В 1976-77 г.г. появилась модель мировой экономики В. Леонтьева, созданной в рамках проекта ООН "Будущее мировой экономики" [11, 12]. Цель проекта - не просто прогнозирование современных тенденций, а проектирование развития мировой экономики. Методическую основу составили различные модификации модели межотраслевого баланса (национальные, региональные, межрегиональные, эколого-экономические). На этой основе была создана многоотраслевая региональная глобальная модель, и с ее помощью были исследованы различные альтернативные варианты развития мировой экономики.

В Советском Союзе в 1970-х годах во ВНИИСИ была создана система моделей глобального развития [13], предназначенная для системного анализа различных аспектов глобальных процессов и долгосрочного прогноза развития мира в целом и отдельных стран.

Помимо общих моделей мировой динамики также создавались специализированные прогнозно-проблемные модели глобального развития, в которых основное внимание уделяется одной из глобальных проблем, а остальная проблематика моделируется гораздо менее детально, как "общий фон" в виде дополняющих и вспомогательных секторов и видов деятельности. Существует три крупных "семейства" подобных моделей - общеэкономические, энергетические и продовольственные. Сначала рассмотрим продовольственную проблему ввиду ее важности.

Первым таким проектом в рамках глобального моделирования, видимо, следует считать голландский проект X. Линнемана "Проблемы продовольствия и удвоение населения" [14]. В рамках проекта была создана модель, с помощью которой предполагалось получить прогноз развития сельского хозяйства в различных районах мира при условии сохранения современных социально-экономических структур и тенденций развития. Особенностью модели было наличие нескольких типов регионализации (по социально-экономической формации, по территориальной смежности, по почвенно-климатическим признакам), а также социальной дифференциации. Рост народонаселения, производства в несельскохозяйственных секторах задавался внешне, определяя конкретный сценарий развития.

Другой подход к продовольственной проблеме был использован в английской глобальной модели П. Робертса [15], основной задачей которой было углубленное изучение экономических аспектов снабжения продовольствием на внешних и внутренних рынках. Помимо хорошо разработанного сельскохозяйственного сектора в модели также присутствовал сектор энергии и минерального сырья. Анализ различных прогнозных сценариев привел к общему выводу о том, что решение продовольственной проблемы неразрывно связано с развитием не только сельского хозяйства, но и промышленности.

Вслед за этими моделями появилось еще определенное количество моделей, исследующих глобальную продовольственную проблему, из которых укажем на работы [16, 17]. В подобных моделях проводится детальный анализ всего комплекса взаимосвязей агропромышленного производства на трех уровнях пространственной иерархии - глобальном, региональном и национальном.

Теперь несколько слов скажем об экономических моделях.

Старейшей общеэкономической глобальной моделью является система ЛИНК, созданная в США под руководством JI. Клейна [18] для непосредственных консультаций правительственных органов в выборе мероприятий в рамках проводимого курса внутренней и внешней политики промышленно развитых стран. В систему входили отдельные модели по развитым странам, разработанные в каждой из этих стран, региональные модели развивающихся стран. Отдельно моделировались производство продуктов питания, добыча и потребление металлов, минералов (в том числе определенных видов), также мировая торговля за счет экспортно-импортных связей. Модельный комплекс систематически обновляется и расширяется.

Упомянем здесь также советские экономические модели глобального развития, разработанные в ИЭОПП СО под руководством А.Г. Гранберга и А.Г. Рубинштейна [19]. В основе моделей лежит модель В. Леонтьева, которая была надлежащим образом модифицирована. Были добавлены возможности экономического межрегионального взаимодействия, а также возможность управления со стороны регионов.

Далее рассмотрим энергетические модели.

Одним из первых масштабных проектов, посвященных проблеме ресурсов, следует считать проект группы Д. Габора "После века расточительства" [20]. Цель проекта состояла в изучении проблемы энергетических, сырьевых и продовольственных ресурсов планеты. Метод исследования — обычный теоретический анализ современного состояния и основных тенденций (без построения единой математической модели). Основной проблемой, по мнению авторов, является возрастающее растрачивание природных ресурсов планеты, их неэффективное и нерациональное использование, что связано с недостатками социального устройства и социально-экономических механизмов. Поэтому ее решение состоит в переходе к экономному и разумному управлению использованием ресурсов. Основные выводы и рекомендации в области энергетики таковы:

• перейти к более экономному потреблению энергии;

• обратить внимание на возможности более широкого использования угля, поскольку его запасы существенно больше запасов всех других видов энергосырья;

• обратить внимание на перспективы использования солнечной энергии;

• развивать ядерную энергетику с учетом проблем безопасности и военно-политических рисков.

В области сырья центральным местом, по мнению авторов, должен стать курс на его экономию, сокращение потерь, повышение экономической эффективности. Отмечалось, что за исключением некоторых дефицитных видов сырья, остальные распространены в земной коре в достаточных количествах, однако стоимость их добычи со временем будет возрастать. В связи с чем научные исследования и разработки должны быть направлены усовершенствование технологий извлечения требуемых веществ из исходной руды.

При решении продовольственной проблемы авторы рассматривали несколько направлений. Основной упор при этом следует делать на снижение потребления в "переедающих" странах и регионах и перераспределение в пользу "недоедающих". Научные исследования должны быть направлены на интенсификацию сельского хозяйства. Также следует выяснить степень влияния человеческой деятельности на климат, чтобы учесть его возможные изменения.

По мнению авторов, энергия представляет собой ключевую проблему, от решения которой зависит преодоление трудностей с продовольствием и сырьем, поскольку развитие технологий по переработке вторичного сырья и использованию более бедных руд, а также расширение производства продуктов питания предполагают увеличение потребностей в энергии. Поэтому основные усилия следует направить именно на решение данной задачи.

Математических моделей по проблеме энергии на сегодняшний день существует довольно много (больше, чем общеэкономических и продовольственных) [21, 22], поэтому будут указаны лишь некоторые из них [23, 24, 25, 26]. Основная цель таких моделей - прогноз поведения рынка нефти и других энергоресурсов при различных предположениях о динамике спрос-предложение в условиях разных темпов социально-экономического и технологического развития, структуры цен и т.п. Детальная проработка секторов производства и потребления энергии сочетается, как правило, с высокой степенью агрегации остальных отраслей и секторов хозяйства и данных демографических прогнозов (чаще всего задаваемых экзогенно). Рекомендации, которые предлагаются на основании этих моделей, обычно касаются текущей ситуации и, как правило, не выходят за рамки рекомендаций проекта Д. Габора. Среди подобного рода моделей отдельно стоит указать на регулярно публикуемые исследования Международного института прикладного системного анализа (IIASA) [27, 28]. Этот институт дает долгосрочные (на 50-100 лет вперед) прогнозы по развитию мировой энергетики, при этом, как правило, содержащие несколько сценариев.

Резюме. Практически все перечисленные выше модели — имитационные, поэтому в подавляющем большинстве случаев они очень "раздуты", количество переменных и параметров в них исчисляется сотнями или даже тысячами. Такие сверхсложные модели зачастую неудовлетворительны: их трудно верифицировать, поскольку жизнь не стоит на месте, а мы имеем дело с необратимо развивающейся сложной системой; в них трудно понять, какие факторы являются определяющими, а какие сопутствующими; есть опасность подмены понимания вычислениями.

В 70-е и отчасти в 80-е г.г. XX века исследователи полагали, что достаточно учесть как можно больше факторов, чтобы адекватно описать реальное поведение мировой системы. Они не учли при этом трудности идентификации больших моделей, поскольку в большинстве случаев известны не количественные характеристики протекающих процессов, но лишь качественное поведение. "Глобальное моделирование" показало серьезную ограниченность существующих методов прогноза мировой динамики. Оказалось, что задачи, которые ставились при построении большинства моделей, не могли быть решены применяемыми средствами в силу общей ограниченности знания, носящей зачастую принципиальный характер. Поэтому большинство проведенных исследований зашло в тупик и не оправдало возлагавшихся на них надежд.

В исследованиях мировой динамики, видимо, стоит опираться, прежде всего, на наглядные и простые модели. Таких моделей не много и модель Дж. Форрестера - одна из них. Связано это с тем, что модель Дж. Форрестера не является имитационной, хотя задумывалась, как таковая. Не является она так же и базовой, поскольку слишком сложно устроена. Иными словами, для имитационной модели ее результаты слишком просты, для базовой модели ее структура слишком сложна. В этом смысле она занимает промежуточную позицию.

Краткий обзор базовых моделей мировой динамики

Имитационные модели, появившиеся в начале 70-х годов XX века были не первыми моделями мировой динамики. Базовые модели появились гораздо раньше. Первой известной нам математической моделью глобального развития была известная демографическая модель Мальтуса [29], появившаяся в конце XVIII века. Эта модель носит все черты базовой модели: она являлась не средством расчета, но скорее методом мышления, отражая демографическую ситуацию тогдашней Европы и Америки. Следующей, видимо, следует считать логистическую модель Ферхюльста [30, 31], уточнившего модель Мальтуса, введя ресурсные ограничения на рост численности населения. Вслед за этим стоит также упомянуть работы Лотки и Вольтерра [32, 33], посвященные исследованию системы "хищник-жертва". Три этих модели - до сих пор основные модели в популяционной динамике биологических систем, в том числе, человечества.

В 1960 г. было обнаружено, что численность населения Земли на самом деле растет по гиперболическому закону [34]. Это вызвало к жизни демографическую модель, разработанную С.П. Капицей [35], описывающей такой рост чисто феноменологически. Параллельно с этим М. Кремером [56] и позднее А.В. Подлазовым [36, 51] были предложены модели, в которых демографический рост связывался с развитием технологий. Таким образом, удалось не только объяснить гиперболический закон роста численности населения Земли, но и частично описать явление демографического перехода. Вслед за этим А.С. Малковым была предложена модель [38], объясняющая демографический переход за счет повышения уровня грамотности.

Следовательно, можно сказать, что пока преимущественно основным объектом исследования при построении базовых моделей глобального развития является мировая демография. Связано это с тем, что данный объект допускает прямые измерения, что при построении математической модели имеет решающее значение. Уже такой параметр, как уровень технологий, достаточно тяжело определить и выявить (в силу его многозначности). Однако при построении мягких моделей данное обстоятельство не является слишком серьезным препятствием, так как назначение такой модели — понять суть явления и подготовить почву для последующих исследований. Поэтому создание моделей, затрагивающих разные аспекты глобального развития вполне возможно.

С другой стороны, когда количество плохо измеримых переменных становится слишком велико, модель перестает быть верифицируемой. Это накладывает определенные ограничения на применимость модели и трудности на сам процесс моделирования: требуется известная осторожность и аккуратность.

Структура и содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав основного содержания, заключения и списка литературы, содержащего 62 наименования. Диссертация содержит 41 рисунок. Общий объем диссертации составляет 85 страниц.

Основные результаты диссертации:

1. Предложена модификация модели мировой динамики Дж. Форрестера. В рамках модифицированной модели исследован вопрос об условиях и сроках достижения устойчивого развития. Показана необходимость восстановления ресурсов и очистки загрязнений.

2. Построена и исследована обобщенная ресурсно-технологическая базовая модель глобального развития. Выявлены возможные режимы мировой динамики.

-3. Предложено определение устойчивого развития и исследованы условия его достижимости в рамках построенной базовой модели мировой динамики. Проведена классификация режимов глобального развития.

4. Построена и исследована модель региональных игроков. В рамках модели предложен механизм, объясняющий распространение технологий через обмены. Выявлен эффект синхронизации развития игроков, происходящий в условиях обменов.

Перспективные направления исследования по данной тематике:

1. Развитие ресурсно-технологической модели мировой динамики, построение расширенной модели, учитывающей демографические процессы.

2. Развитие модели региональных игроков, создание полноценной дифференциальной игры путем задания целей и критериев для каждого игрока в отдельности. Исследование стратегий игроков.

3. Исследование влияния различных критериев на поведение игроков, выбор ими стратегий и динамику системы в целом.

4. Апробация других механизмов обмена между игроками, в частности, несправедливого обмена в пользу более сильного.

5. Расширение модели на случай трех и более игроков.

Практическое применение полученных результатов:

1. Проведенные исследования дают понимание о первоочередных мерах, которые необходимо принять для достижения устойчивого развития.

2. Предложенные методы и модели могут быть использованы как основа для построения более полных и развернутых моделей мировой динамики, учитывающих дополнительные факторы эволюции мировой системы.

3. Разработанная базовая модель взаимодействия регионов может использоваться при исследовании конкурентной борьбы или технологической гонки обществ (государств, цивилизаций).

Заключение

1. ЧернавскийДС., Старков Н.И., Щербаков А.В., КарпВ.П., Никитин АЛ. Динамическая модель поведения общества. Синергетический подход к макроэкономике // Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие. М.: Наука. -2002.

2. История и математика: Модели и теории // Отв. ред. JI.E. Гринин, А.В. Коротаев, С.Ю. Малков. М.: ЛКИ. - 2008.

3. Печчеи А. Человеческие качества. М.: Прогресс. - 1980.

4. Римский клуб. М.: УРСС. - 1997.

5. О проектах "Римского клуба". / Препринт комитета по системному анализу при Президиуме АН СССР. М.: ВНИИСИ. - 1977.

6. Медоуз Д.Л., Медоуз Д.Х., Рандерс Й, Беренс Ш. Пределы роста. М.: МГУ. - 1992.

7. Медоуз Д.Л., Медоуз Д.Х., Рандерс Й, За пределами роста. М.: Прогресс, Пангея. -1994.

8. Mesarovich М., Pestel Е. Mankind at the Turning Point. N. Y. - 1974.

9. Herrera A.O. and others. World model // Report in the Proceedings of the Seminar on the Latin American model at IIASA. Laxenberg, Austria. - October 7-11, 1974.

10. Kaya Y., Suzuki Y. Global constraints and new vision for development // Technological forecasting and social change. N.Y. - 1974. - Vol.6, №3. - p. 277-297, №4. - p. 371— 388.

11. LeontiefW. and others. The future of the world economy. N.Y.: Oxford University press. -1977.

12. Petri A., Carter A. Resources, environment and the balances of payments. 1980.

13. Гвишиани Д.М., Геловани B.A., Дубовский C.B. Системное моделирование глобальных проблем // Сборник трудов ВНИИСИ. 1985. - №3. - С. 5-15.

14. Linneman И. Population doubling and food supply. Free University of Amsterdam, 1974.

15. Roberts P. Models of the future // Omega. 1973. - Vol. 1. - №5.

16. Borgstrom G. The food-population dilemma// AMBIO. 1974. - V.3, №3-4. - P. 109-113.

17. Мельников JI.А., Третьяков Л.В., Уткин В.И. Глобальная продовольственная ситуация // Сборник трудов ВНИИСИ. 1985. - №3. - С. 31-44.

18. The SLIMLINK model on trade and development for the developing world // Staff working paper №20. -Washington, D.C.: World Bank. 1975.

19. Гранберг А.Г., Рубинштейн А.Г. Модификации межрегиональной межотраслевой модели мировой экономики // Экономика и математические методы. 1979. - Т. XV, вып. 2. - С. 307-320.

20. Gabor D. et al. Oltre I'etra dello spreco. Milano. - 1976.

21. Biswas A. World models, resources and environment // Environmental Conservation. -Switzerland. -1979. Vol. 6, №1. - P. 3-11.

22. Ulph A. World energy models a survey and critique // Energy economics. . - 1980. - №1. -P.46-59.

23. Ridker R., CecelskiE. Resources, environment, and population: the nature of future limits // Population Bulletin. 1979. - Vol. 34, №3.

24. Walker K. Materials consumption implications of a fully industrialized world // Resources policy. 1979. -№12. - P. 242-259.

25. Deam R.„ Leather J., Hale J. World petroleum energy model // Chemsa. 1976. - Vol. 2, №3. - P. 42-48.

26. Energy models for the EC. Guildford. - 1979.

27. Hafele W. World regional energy modeling // Energy Newsl. 1980. - Vol 1, issue 2. -P.34-62.

28. Global energy perspectives. IIASA, WEC. Cambridge University press. - 1998.

29. Мальтус Т. Опыт о законе народонаселения // Шедевры мировой экономической мысли. Т. 4. Петрозаводск: Петроком. - 1993.

30. Verhulst, P.-F. Recherches mathematiques sur la loi d'accroissement de la population // Nouv. mem. de l'Academie Royale des Sci. et Belles-Lettres de Bruxelles 18. 1845. -P. 1-41.

31. Verhulst, P.-F. Deuxieme memoire sur la loi d'accroissement de la population // Mem. de l'Academie Royale des Sci., des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique 20. 1847. - P. 132.

32. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М.: Наука. — 1976.

33. LotkaAJ. Elements of Physical Biology. Baltimore, MD: Williams&Wilkins. - 1925.

34. Foerster H., von Doomsday: Friday, 13 November, A.D. 2026 // Science. 1960. -Vol. 132.-P. 1291.

35. Капица С.П. Феноменологическая теория роста населения Земли // Успехи физических наук. 1996. - Т. 146, №1. - С. 63-80.

36. Подлазов А.В. Основное уравнение теоретической демографии и модель глобального демографического перехода // Препринт ИПМ им. М.В. Келдьпна РАН. 2001. -№88.

37. Малков А.С., Коротаев А.В., Халтурина Д. А. Математическая модель роста населения Земли, экономики, технологии и образования // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.-2005.-№13.

38. ФоррестерДж. Мировая динамика. М.: Наука. — 1978.

39. ФоррестерДж. Основы кибернетики предприятия. — М.: Прогресс. — 1971.

40. Геловани В.А., Егоров В.А, Митрофанов В.Б., Пионтковский А.А. Об одной задаче управления в глобальной динамической модели Форрестера // Доклады Академии наук СССР. 1975. - Т. 220, №3. - С. 536-539.

41. Егоров В.А., Каллистов Ю.Н., Митрофанов В.Б., Пионтковский А.А. Математические модели глобального развития. JL: Гидрометеоиздат. — 1980.

42. В.М. Матросов, КВ. Матросов Глобальное моделирование с учетом динамики биомассы и сценарии устойчивого развития. // Новая парадигма развития России (Комплексные исследования проблем устойчивого развития). М.: Academia, МГУК. -1999.-С. 18-24.

43. К. В. Матросова Устойчивое развитие в модифицированной математической модели "Мировая динамика" // Новая парадигма развития России (Комплексные исследования проблем устойчивого развития). М.: Academia, МГУК. — 1999. — С 344-353.

44. Наше общее будущее. Доклад Международной комиссии по окружающей среде и развитию. М.: Прогресс. — 1989.

45. Новая парадигма развития России (Комплексные исследования проблем устойчивого развития). М.: Academia, МГУК. — 1999.

46. Капица С.П. Сколько людей жило, живет и будет жить на Земле. Очерк теории роста человечества. М.: Международная программа образования. — 1999. — 240 с.

47. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинещий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. -М.: Наука. 1997.

48. Kapitza S.P. Global Population Blow-up and After: The Demographic Revolution and Information Society I I Report to the Club of Rome. — Tolerance. — 2006.

49. Подлазов A.B. Теоретическая демография. Модели роста народонаселения и глобального демографического перехода // Новое в синергетике. — М.: Наука. — 2003. С. 324-345.

50. Коротаев А.В. Малков А.С. Халтурина Д.А. Законы истории: Математическое моделирование Мир-Системы. Демография. Экономика. Культура. М.: УРСС. — 2007.

51. Total midyear population for the world: 1950-2050. http://www.census.gov/ipc/www/worldpop.html

52. Переслегин С.Б. Самоучитель игры на мировой шахматной доске. М.: ACT; СПб.: Terra Fantastica. — 2005.

53. Kremer М. Population growth and technological change: one million B.C. to 1990 // The Quarterly Journal .of Economics. 1993. -№108. - P. 681-716.

54. Болотин Б. Мировая экономика за 100 лет// Мировая экономика и международныеЛотношения. 2001. - №9. - С. 90-1.14.http://www.politstudies.ru/friends/meimo9 01 /bolot.zip

55. Байков Н., Александрова И. Производство и потребление топливно-энергетических ресурсов в XX в.// Мировая экономика и международные отношения. — 2001. — №9. — С. 27-33.

56. Иноземцев B.JI. За десять лет. К концепции постэкономического общества. М.: Academia. - 1998 - 576 с.

57. Martin W.J. The Global Information Society. Aldershot: Aslib Gower; Brookfield, VT, USA: Gower. -1995.

58. Сорокалетие закона Мура и интервью с его автором http://www.ferra.ru/online/market/25856/

59. Что такое закон Мура? http ://www. inte 1. com/ru/Inte 1 /museum/hi story/ho f/moore. htm