автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Банки комплексных цифровых фильтров с малым количеством умножений

На правах рукописи

кыо мьят со

БАНКИ КОМПЛЕКСНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ С МАЛЫМ КОЛИЧЕСТВОМ УМНОЖЕНИЙ

Специальность 05.12. 04 — Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

6 НОЯ 2014

005554634

Москва-2014

005554634

Работа выполнена на кафедре формирования и обработки радиосигналов ФГБОУ ВПО «НИУ «МЭИ»

Научный руководитель:

д.т.н., профессор ГРЕБЕНКО Юрий Александрович

Официальные оппоненты:

КУЛИКОВ Геннадий Валентинович д.т.н., профессор, директор института Радиотехнических и телекоммуникационных систем «МГТУ «МИРЭА» КРАСНОВ Михаил Игоревич, к.т.н., начальник центра ЭКБ ОАО «Российские космические системы»

Ведущая организация:

Научно-исследовательский институт

приборостроения имени В.В. Тихомирова (г. Жуковский, МО)

Защита состоится 25 декабря 2014 г. в 15:30 на заседании диссертационного совета Д 212.157.05 при ФГБОУ ВПО «НИУ «МЭИ» по адресу: 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. 17, аудитория А-402.

Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 111250, г. Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый совет ФГБОУ ВПО «НИУ «МЭИ».

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБОУ ВПО «НИУ «МЭИ» www.mpei.ru

Автореферат разослан «2 4 » октября 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.157.05

к.т.н., доцент /7 / Курочкина Татьяна Ивановна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В последние десятилетия банки комплексных цифровых фильтров стали широко применяться в цифровых устройствах формирования и обработки многочастотных радиосигналов. Эти банки состоят из однотипных комплексных полосовых фильтров с различными центральными частотами и количество фильтров в них может быть весьма значительным. В такой ситуации актуальной становится проблема уменьшения числа арифметических операций при реализации комплексных фильтров. Особенно важно уменьшить количество операций умножения Уменьшение количества умножений позволяет улучшить оперативную скорость, снизить стоимость и упростить реализацию цифровых фильтров в интегральном исполнении. Ограничение на количество умножений существуют и при реализации банков фильтров на базе ПЛИС.

Методы расчета банков цифровых фильтров для формирования и обработки многочастотных сигналов интенсивно разрабатывали в течение последних десятилетий Vaidyanathan P.P., Fliege N.J., Cherubim G., Чобану M., Канатов И., Будилов А., Азаренков Л., Каплун Д. и многие другие.

Можно выделить отдельное направление исследований банков фильтров, связанное с использованием цифровых комплексных фильтров без операции умножения. Цифровые вещественные фильтры без операции умножения рассматривались в работах Витязева В.В., Голда Б., Митры С., Гольденберга Л.М., Рабинера Л., Шафера А., Матюшкина Б.Д., Поляка М.Н., Степашкина В.В., Ми-зина И.А., Р. Лайонса и многих других. Передаточные функции полосовых комплексных фильтров могут быть получены из передаточной функции ФНЧ с помощью замены переменной, обеспечивающей сдвиг его частотной характеристики. Банки цифровых комплексных фильтров предлагается реализовывать на основе комплексных полосовых КИХ и БИХ фильтров.

Методы расчета комплексных полосовых и режекторных фильтров рассматривались в работах Гребенко Ю.А., Гадзиковского В.И., Акар Мью и Митры С., Регалия П.А., Валуева А.А и др. Следует отметить предложенный Гребенко Ю.А. и Акар Мью метод комплексной задержки, который позволяет дос-

3

таточно просто реализовать перестройку центральной частоты цифровых комплексных полосовых и режекторных фильтров.

Тема диссертационной работы отражает класс исследуемых устройств (банки комплексных полосовых фильтров) и цель работы (уменьшение количества умножений).

Актуальность темы диссертации обусловлена следующим:

• широким применением банков комплексных цифровых фильтров в устройствах приема и передачи информации;

• развитием методов фильтрации, при которых может потребоваться перестройка параметров цифрового комплексного фильтра при сохранении формы АЧХ;

• необходимостью создания комплексных цифровых фильтров с малым количеством умножений для использования в банках фильтров.

Объектами исследования являются: структурные схемы НЧ-прототипов и структурные схемы комплексных цифровых фильтров.

Целью диссертационной работы является разработка методов расчета и реализации банков комплексных цифровых фильтров с малым количеством умножений. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Применение проектирования перестраиваемых по частоте цифровых комплексных полосовых и режекторных фильтров с малым количеством умножений.

2. Разработка методики расчета комплексных полосовых фильтров на основе частотной выборки.

3. Разработка методики расчета комплексных цифровых полосовых комбинированных БИХ-КИХ фильтров с линейной ФЧХ.

4. Разработка методики реализации комплексной задержки при использовании алгоритма СОИ)1С.

Методы исследования. Применительно к объектам исследования для решения поставленных задач используются методы теории функций комплексного переменного, методы теории графов, метод алгоритма СОЫЯС, методы линейной алгебры, методы математического и схемотехнического моделирования.

Научная новизна работы. В диссертации рассмотрена и в значительной степени решена задача, имеющая существенное значение для радиотехники -синтез и анализ новых структурных схем полосовых и режекторных комплексных цифровых фильтров с малым количеством умножений, ориентированных на использование в банках комплексных фильтров для устройств формирования и обработки многочастотных радиосигналов. Научная новизна заключается в следующем:

1. Разработана методика расчета банков комплексных фильтров с использованием комплексных задержек.

2. Разработан способ реализации аналитического цифрового фильтра в виде последовательного соединения полосового вещественного цифрового фильтра с центральной частотой равной четверти частоты дискретизации и блока подавления отрицательных (положительных) частот.

3. Разработана методика расчета банков комплексных фильтров на основе частотной выборки (ФОЧВ).

4. Разработан способ построения банков комплексных комбинированных БИХ-КИХ фильтров с линейной ФЧХ.

5. Показана возможность уменьшения числа умножений при реализации комплексных полосовых фильтров с использованием метода алгоритма СОШЭ1С.

Достоверность разработанных в диссертационной работе методик синтеза подтверждается результатами схемотехнического моделирования, апробацией основных результатов на научно-технических конференциях, публикацией основных результатов в научно-технических журналах и сборниках.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Цифровые комплексные фильтры с малым количеством операции умножения целесообразно разрабатывать на базе однородных фильтров, используя метод комплексной задержки.

2. Аналитический цифровой фильтр можно реализовать в виде последовательного соединения полосового вещественного цифрового фильтра с центральной частотой равной четверти частоты дискретизации и блока подавления отрицательных (положительных) частот.

3. Комплексные цифровые фильтры с линейной ФЧХ можно реализовать, используя комбинацию БИХ и КИХ фильтров.

4. Количество умножений в цифровом комплексном фильтре уменьшается примерно в два раза, если использовать алгоритм С01Ш1С при реализации комплексных задержек.

Практическая значимость работы обусловлена разработкой удобных для использования в инженерной практике методик проектирования комплексных банков фильтров методом комплексной задержки. Результаты моделирования позволяют говорить о возможности реализации банков фильтров при уменьшенном количестве операции умножения. Результаты работы используются в курсе лекций по дисциплине «Методы и устройства цифровой обработки сигналов», а также при курсовом и дипломном проектировании на радиотехническом факультете МЭИ.

Апробация результатов работы. По основным результатам работы сделано 3 доклада на международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов.

Публикации по теме диссертационной работы. Основные результаты диссертации изложены в 7 печатных работах, среди которых 2 статьи в журнале «Вестник МЭИ», входящем в список ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Общий объем диссертации 128 страниц, включая 2 приложения, 93 рисунка, 48 таблиц и список литературы из 70 библиографических наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении проводится анализ современного состояния теории и практики цифровых комплексных фильтров. Отмечается, что современный этап развития систем радиосвязи характеризуется интересом к классу многочастотных сигналов и необходимым для их формирования и обработки банкам комплексных цифровых фильтров с уменьшенным количеством умножений.

В первой главе приводятся реализации ФНЧ и ФВЧ без операции умножения. Рассматривается методика расчета комплексных полосовых и режек-торных фильтров с использованием метода комплексной задержки.

Передаточная функция однородного фильтра имеет следующий вид:

Я(г) = —(1+ г"1 + г-2 + г"3 + ... + г"«""1)) =

11 -г"

N N \ — г

где Ы- число отсчетов в импульсной характеристике или порядок рекурсивной формы реализации.

Структурные схемы однородных фильтров при рекурсивной и нерекурсивной форме реализации показаны на рис.1 и рис.2.

При увеличении N уменьшается ширина главного лепестка АЧХ, однако уровень боковых лепестков уменьшается незначительно (до 0,216 от уровня главного лепестка при больших значениях И). Фазочастотные характеристики однородных фильтров линейные.

\т

-ЕЗп

«О—

Рис. 1. Структурная схема однородного Рис.2. Структурная схема однородного фильтра при рекурсивной форме фильтра при нерекурсивной форме

Соединяя однородные фильтры последовательно, можно снизить уровень боковых лепестков АЧХ до необходимого значения. Обычно последовательно соединяют небольшое число однородных фильтров. Передаточные функции ФНЧ при числе блоков равном Мимеют вид:

нм 00= = где М- число блоков.

Передаточная функция фильтра верхних частот ФВЧ без операции умножения получаются при следующем изменении передаточной функции ФНЧ.

1 1-г

-ы

ЛГ' ' N '

Структурные схемы ФВЧ при рекурсивной и нерекурсивной формах реализации показаны на рис.3 и рис.4.

ЕЭ-1

Рис.3. Рекурсивная структурная схема ФВЧ

Рис.4. Нерекурсивная структурная схема ФВЧ

Неравномерность АЧХ ФВЧ в полосе пропускания будет определяться количеством соединяемых последовательно блоков ФНЧ (М). Передаточные функции ФВЧ при числе каскадов равном Мимеют вид:

(1/-1)М

' 1 ЛГ-1 ,

N 1=0

м

■ г

2

1 1-2

-И

М

N 1-г'1

Цифровые комплексные полосовые фильтры можно построить путем преобразования структурной схемы цифрового фильтра нижних частот, а комплексные режекторные фильтры можно построить путем преобразования структурной схемы цифрового ФВЧ с использованием метода комплексной задержки. На рис.5 показана структурная схема комплексной задержки, реализующая передаточную функцию г 1 = е^

т-1

чХ05(27ГИ'О)

Вх2'

Вых\

Вых2

Рис.5. Структурная схема комплексной задержки После замены переменной/1 в передаточной функции ФНЧ на е^2ш<>г~1, получим передаточную функцию ПФ с комплексными коэффициентами:

Н(г) = — • е * ,

Структурная схема комплексного ПФ в рекурсивной форме имеет следующий вид:

1 т .

-гтнн

-1

ЙЕ1

г—-

со5(27то0) вых\

Вых2

Рис.6. Структурная схема комплексного полосового фильтра

АЧХ банка комплексных полосовых фильтров при использовании метода комплексной задержки со смещениями ту0(0,125, 0,1875, 0,25, 0,3125) при N=32, М= 4 показаны на рис.7. (м>0=/о1/я- нормированная частота смещения)

■5г 1

А Л Д Л

Л Л Л

1

Ж Э0.0К * ок 60.

Рис.7. АЧХ банка комплексных полосовых фильтров (частота дис-кретизации/(=100кГц)

При замене переменной г1 на е^2шаг 1 в передаточной функции ФВЧ, получим передаточную функцию режекторного фильтра:

п=0 )

Структурная схема комплексного РФ показана на рис.8.

-(АГ-1)

Вх 1

Вх2

СО5(7ГИ'0(ЛГ-1))

Рис.8. Структурная схема комплексного режекторного фильтра в общем виде

АЧХ банка комплексных режекторных фильтров при использовании метода комплексной задержки со смещениями -и>о(0,125, 0,1875, 0,25, 0,3125) при N=32, М=А показаны на рис.9. (м>0=./о#д- нормированная частота смещения)

\ 1\ \ /

V У

'"1.0Ё-09К Ю.0К i0.DK 30.0К

ЧЯЯТМЩП «(ЧЗТМ-МЛИ)) у(5«)<Л»[И7)] «ДОМТОМ))

Рис.9. АЧХ банка комплексных режекторных фильтров (частота дискретизации

иАк /д=100кГц)

Предлагается реализовывать комплексный цифровой фильтр, близкий по свойствам к аналитическому, в виде последовательного соединения веществен-

ного полосового фильтра с центральной частотой равной четверти от частоты дискретизации и блока подавления отрицательных (положительных) частот.

Рис.10. Структурная схема комплексного фильтра

Блок подавления отрицательных частот предлагается реализовывать в виде последовательного соединения звеньев первого порядка комплексного однородного фильтра. Передаточная функция такого блока имеет вид:

-|Л/

ш-

, где М- количество звеньев.

20ИТ(1»)| (дБ)

АЧХ комплексного полосового фильтра при каскадном соединении вещественного полосового фильтра и блока подавления отрицательных частот

при различных М. показа-Рис. 11. АЧХ комплексного ПФ при различном М ны на рИС ^ 1

Степень приближения комплексного фильтра к аналитическому возрастает при уменьшении полосы пропускания вещественного полосового фильтра, при увеличении его порядка, а также при увеличении числа звеньев (М) в блоке подавления.

Вторая глава посвящена разработке комплексных фильтров на основе частотной выборки (ФОЧВ). Они остаются эффективными с вычислительной точки зрения в определенных приложениях, где требуемая ширина полосы пропускания составляет меньше примерно одной пятой частоты дискретизации. Хотя ФОЧВ сложнее, чем нерекурсивные КИХ фильтры, они могут обеспечить

реализацию фильтров с линейной ФЧХ, требующую значительно меньше операций, чем нерекурсивные КИХ фильтры.

Передаточная функция одной секции ФОЧВ представляет собой произведение трёх сомножителей:

даА-1).

Если мы примем резонансную частоту секции равной фт = 2лк/N, где £=0,1,2,... Д-1 и #(£)=!, то мы будем иметь передаточную функцию вида:

Чтобы построить практически полезный ФОЧВ, можно использовать несколько секций резонаторов для реализации полосового фильтра. Передаточная функция /-секционного упрощенного комплексного ФОЧВ имеет вид:

где 1=(12-1{)+1, количество секции.

Структурная схема цифрового комплексного полосового фильтра при числе секции равном 3 показана на рис.12.

«1

Т7Н-

1/ЛГ

ей

1-г - 1Ш

секция!

секций

секцияЗ

еых2

Рис.12. Структурная схема трехсекционного комплексного полосового ФОЧВ

АЧХ трехсекционного полосового ФОЧВ при N=32,1\=1, /2=9 показана на рис.13.

м

Видно, что главный лепесток АЧХ имеет неравномерную вершину. Чтобы снизить эту неравномерность, можно добавить коэффициенты в начале и конце суммы отсчетов. Тогда передаточная функция для многосекционного комплексного ФОЧВ бу-

Рис. 13. АЧХ трехсекционного комплексно- дет иметь следующий вид: го полосового ФОЧВ

ее-!)'1

1-е « г'1

I,-1

(-1)*

¡2 тйг

1-е я

Были подобраны значения коэффициента Q при различном числе секций. Эти значения приведены в таблице.1. АЧХ трехсекционного комплексного полосового ФОЧВ (N=32, /1=7, /2=9) при добавлении коэффициента Q показана на рис.14.

Таблица. 1. Значение Q при различном числе секций

№01

Число секций в

3 0,825

5 0,'725

7 0,685

9 0,65

(1

0.2 0.4 0.6 0.! м>

Рис.14. АЧХ трехсекционного комплексного полосового ФОЧВ

Соединяя ФОЧВ последовательно, можно снизить уровень боковых лепестков до необходимого значения. При увеличении количества секций коэффициент прямоугольности уменьшается при сохранении порядка (Л?). При увеличении порядка фильтра (ЛО в два раза полоса пропускания уменьшается в два раза.

Можно перестраивать центральную частоту полосового комплексного ФОЧВ без изменения формы АЧХ. Это позволяет разрабатывать банки комплексных ФОЧВ. Передаточная функция трехсекционного комплексного ФОЧВ с перестройкой центральной частоты имеет вид:

Ш?) =

1-2-

N

0.825-1)*

Ммр)

(-1)*-

0.823;-!)*

.1-е " г'' 1-е " г4 1-е " г" где М- число каскадно-соединенных блоков.

АЧХ трехсекционного комплексного полосового ФОЧВ при р= 0 и 1, М=2, N=32, к= 8 показаны на рис.15.

\&рьМ\

Рис.15. АЧХ трехсекционного комплексного полосового ФОЧВ с перестройкой центральной частоты

В третьей главе рассматривается способ построения банка фильтров с линейной ФЧХ, использующий последовательное соединение БИХ и КИХ фильтров. В этом случае удается совместить достоинства БИХ и КИХ фильтров. Сначала разработаем БИХ фильтр нижних частот. В качестве НЧ-прототипа цифрового ФНЧ будем использовать передаточную функцию Бат-терворта второго порядка:

л2+1.41425 + 1

Найдем передаточную функцию цифрового ФНЧ, используя замену переменных, соответствующую методу обобщенного билинейного преобразования (ОБП) л(2) ->■ у-^г-, где у = .

1 + 2 1

Подставив Б(г) в К/) при >^„=0,1, после преобразований получим:

. 0.067+ 0.1352_1+0.0672"2 Т(г) =-;-5—.

1 —1.143г +0.413г

Каноническая структурная схема цифрового ФНЧ второго порядка показана на рис.16.

Рис.16. Структурная схема БИХ фильтра второго порядка Батгерворта

АЧХ, ФЧХ и групповое время запаздывания (ГВЗ) рассчитанного БИХ , фильтра приведены на рис.17. Найдем импульсную характеристику БИХ фильтра и реализуем КИХ фильтр с обратным порядком следования отсчётов импульсной характеристики, который будем называть линеаризующим. При такой процедуре АЧХ БИХ фильтра сохраняется. На рис.18 приведены АЧХ, ФЧХ и ГВЗ линеаризующего КИХ фильтра (N=38), полученные в результате схемотехнического моделирования.

1ММ Рис.17. АЧХ, ФЧХ и ГВЗ в полосе пропускания БИХ фильтра (^=10МГц,/д=100МГц)

"■М частота (Ги) ГВЗ

350.4л 345.бп -----1------

_____--------------- ----------

II 0.0М М 4.0М -„-/г \ 60М 8- М 10

Рис.18. АЧХ, ФЧХ и ГВЗ в полосе пропускания линеаризующего КИХ фильтра (/„= 10МГц, /д= 100МГц)

Соединим БИХ и линеаризующий КИХ фильтр последовательно. В результате получаем ФНЧ с линейной ФЧХ. АЧХ, ФЧХ и ГВЗ Оп=0,1) при реализации последовательного соединения БИХ и КИХ фильтра показаны на рис.19.

«м «шпм мм ГВЗ

Рис.19. АЧХ, ФЧХ и ГВЗ ФНЧ при соединении БИХ и КИХ фильтра (/"п=10МГц, /д=100МГц)

Значение неравномерности ГВЗ значительно уменьшается при каскадировании блоков БИХ и КИХ. Значение коэффициента прямоугольности АЧХ при этом уменьшается незначительно.

В таблице 2 приведены значения неравномерности ГВЗ, определяемые как разность максимального и минимального значений ГВЗ в нормированной полосе пропускания

Таблица.2. Значения неравномерности ГВЗ в наносекундах ___(/п=10МГц,/д=100МГц)

Фильтры Баттерворта нижних частот 2-го порядка Значение неравномерности ГВЗ

^„=0,05 ^„=0,1 ^„=0,2 м>п=0,25 ^„=0,3

БИХ 9,82 5,74 5,49 7,07 9,73

КИХ 9,82 5,74 5,49 7,07 9,73

Каскадирование БИХ и КИХ 1,36*10"3 0,48* Ю-3 0,38*10"3 0,48*10'3 0,22*10'3

Структурную схему ФНЧ, реализованного в виде каскадного соединения Б ИХ и КИХ фильтров, можно преобразовать в структурную схему комплексного полосового фильтра, используя метод комплексной задержки. При этом форма АЧХ, ФЧХ и неравномерность ГВЗ в полосе пропускания не меняются.

В четвертой главе рассматриваются комплексные полосовые фильтры, комплексные задержки в которых реализуются с использованием алгоритма ССЖШС. Использование алгоритма С01Ш1С позволяет сократить общее количество умножений в цифровых комплексных фильтрах высокого порядка.

Структурная схема комплексной задержки при использовании алгоритма ССЖЕ)1С показана на рис.20.

1=соБ(2т4'о)

±2'

±2"

*2 (и)

>

¡т

Рис.20. Структурная схема комплексной задержки при

А Т у2(п 11 использовании алгоритма ' СОМЛС

Л',=СОЗ(27СИ,О)

В структурной схеме используются две операции умножения на коэффициенты Кь соответствующие определенному сдвигу по частоте и>о, при котором

^2яи>о)=2"'.

К, = соз(2яи>„) = . * = I ^—.

ф + л/1 + 2-2'

В таблице (3) приведены значения коэффициента К1 и нормированного частотного сдвига. Надо каскадировать блоки сдвига, чтобы реализовать требуемые сдвиги по частоте. Коэффициенты (£)) каждого блока можно перемножить, поэтому остаются только две операции умножения в каждой комплексной задержке.

В таблице (4) отражено количество операций для комплексного полосового однородного фильтра в нерекурсивной форме с порядком (N=8) и со смещением (и>0=0,1) при использовании двух вариантов реализации комплексной задержки.

Таблица.З. Параметры вариантов Таблица.4. Количество операций в

сдвига комплексных задержках

/ К{ =со5(2ЯН>0) И'О

0 0.707106781 0.125

1 0.894427191 0.0738

2 0.9701425 0.03899

3 0.992277877 0.0198

4 0.998052578 0.00994

5 0.999512076 0.00498

6 0.999877952 0.00249

7 0.999969484 0.00125

Умножение Сложение

Комплексная задержка с четырьмя операциями умножения 28 14

Комплексная задержка с алгоритмом СОЮЭГС 14 28

При использовании алгоритма ССЖШС количество операций умножения в комплексных задержках уменьшается в 2 раза, что весьма эффективно при большом числе комплексных задержек.

В заключении приводятся основные результаты, полученные в диссертации, которые состоят в следующем:

1. Предложен способ реализации банков полосовых и режекторных цифровых комплексных фильтров, отличающихся только центральными частотами, базирующийся на использовании идентичных комплексных задержек.

2. Разработаны структурные схемы полосовых и режекторных комплексных фильтров с использованием операции умножения только при реализации комплексных задержек.

3. Предложен способ реализации аналитического полосового фильтра путем последовательного соединения вещественного полосового фильтра и цифрового блока подавления отрицательных (положительных) частот;

4. Предложено использовать метод частотной выборки для повышения пря-моугольности АЧХ фильтров, реализованных с использованием операции умножения только при реализации комплексных задержек.

5. Исследовано влияние количества секций фильтров, рассчитанных на основе частотной выборки, и порядка передаточных функций секций на коэффициент прямоугольности и ширину полосы пропускания комплексного фильтра.

6. Показано, что число арифметических операций, требуемых для реализации комплексных фильтров, рассчитанных на основе частотной выборки, существенно меньше, чем для КИХ-фильтров, рассчитанных с использованием дискретного преобразования Фурье.

7. Предложена реализация комплексного КИХ-фильтра с линейной ФЧХ в виде последовательного соединения БИХ и КИХ-фильтров, что уменьшает количество умножений.

8. Показано, что использование алгоритма С(Ж01С для реализации комплексных задержек позволяет уменьшить количество операций умножения примерно в два раза.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Гребенко Ю.А., Кью Мьят Со. Способ реализации аналитических цифровых фильтров // Вестник МЭИ.2013. № 3. - С.72-75.

2. Гребенко Ю.А., Кью Мьят Со. Расчет цифровых комплексных полосовых фильтров на основе частотной выборки в с использованием дискретного преобразования Фурье // Вестник МЭИ.2013. № 4. - С.120-123.

3. Гребенко Ю.А., Кью Мьят Со. Комплексные фильтры на основе частотной выборки // Радиотехнические тетради - 2012. - № 48. - С.32-35.

4. Гребенко Ю.А., Кью Мьят Со. Комплексные дискретные фильтры без операции умножения // Радиотехнические тетради - 2012. - № 48. - С.36-42.

5. Ко Ко Хтве, Кью Мьят Со, Гребенко Ю.А. Использование обратных КИХ-фильтров для линеаризации ФЧХ БИХ-фильтров // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: Тез. докл. XV МНТК студентов и аспирантов. В 3-х т. Т.1. М.: Издательство МЭИ, 2009 - С.64.

6. Кью Мьят Со, Гребенко Ю.А. Цифровые фильтры без операции умножения // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: Тез. докл. XVI МНТК студентов и аспирантов. В 3-х т. Т.1. М.: Издательство МЭИ, 2010. - С.77.

7. Кью Мьят Со, Гребенко Ю.А. Способ реализации аналитических цифровых фильтров // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: Тез. докл. XIX МНТК студентов и аспирантов. В 4-х т. Т.1. М.: Издательство МЭИ, 2013. -С.62.

Подписано в печатьД Д. ¡0<%0\Н /" Зак Тир П л

Полиграфический центр МЭИ Красноказарменная ул., д. 13