автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Аппроксимация стационарных характеристик систем массового обслуживания

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КОРЖОВ Федор Данилович

АППРОКСИМАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

05.13.18-применение вычислительной техники, математического модел1фования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

.Минск - 1992

Работа выполнена в Белорусском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Медведев Г. А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Малинковский Ю. В.

доктор технических наук Гихоненко 0. М.

Ведущая организация: НИИ ЭВМ Сг. Минск)

Защита состоится аэс^сс-л 1992 года в //) час. на

заседании специализированного совета К 055.03.14 в Белорусском государственном университете им. В. И. Ленина С220080,г. Минск, пр. Скорины, 4)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгосунивер-ситета имени В. И. Ленина.

Автореферат разослан _199? г.

Ученый секретарь специализированного совета профессор

В. М. Срипник

•

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы .Первые задачи теории массового обслуживания были поставлены и решены датским ученым А. К.Эрлангом в 1908-1922гг. и касались вопросов обслуживания абонентов телефонной станции.частности, для одноканальной системы массового обслуживания с ожиданием с пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным обслуживанием были получены вероятности состояний в стационарном режиме,среднее число заявок в системе и другие характеристики (Система М|М|1).

В дальнейшем аналогичные задачи возникли в технике,медицине,экономике,физике и т. д.Были рассмотрены новые системы Сс поломками приборов,с приоритетами, с переключением скорости обслуживания,с ограниченной очередью, замкнутые и т. д.5 и новые характеристики Снапр: период занятости,распределение времени ожидания обслуживания) как для стационарного так и для переходного режимов.

A. Я. Хинчин и Ф. Поллачек исследовали одноканальную систему с пуассоновским входящим потоком и рекуррентным обслуживанием в стационарном режиме и получили формулу, выражающую среднее число заявок в системе через загрузку системы и дисперсию обслуживания, а так же производящую функцию для вероятностей состояний в стационарном режиме С Система М|6|1).

B. Л. Смит показал,что производящая функция вероятностей состояний для систем с рекуррентным входящим потоком и экспоненциальным обслуживанием ССистема 61|М|1Э имеет вид:

оо

рС г) =р +р( 1-о0 гТ^агг.

к=1

Применяя метод вложенных цепей Маркова Д. Кендалл и Л. Та-кач получили функциональное уравнение для нахождения параметра а в приведенной формуле

£Г=аСм_рсгЗ С13

где а(з) -преобразование Лапласа плотности вероятностей входящего потока,^- интенсивность обслуживания.

М. Ф. Ныэтс разработал метоэд нахождения стационарных вероятностей состояний систем, описываемых векторным. процессом размножения и гибели.

Актуальной оставалась задача исследования стационарного

- 3 -

режима одноканальных систем с рекуррентным входящим потоком и рекуррентным обслуживанием (Система 61 |С |15.

Ц§ЗЬ_В§Зо:1Ы состоит в создании средств анализа стационарного режима одноканальной системы массового обслуживания с рекуррентным входящим потоком и рекуррентным обслуживанием.Основными задачами,определяемыми поставленной целью являются:

-аппроксимация производящей функции вероятностей состояний в стационарном режиме;

-аппроксимация вероятностных характеристик систем; -сравнительный анализ точности вычислений среднего числа заявок в системе,полученных из предлагаемой аппроксимации,со значениями,полученными по точным формулам или со значениями, полученными методом имитационного моделирования;

-исследование стационарного режима систем, в которых происходит поломка прибора с некоторой вероятностью во время обслуживания, восстановление прибора по некоторому произвольному закону и дообслуживание заявки;

-исследование стационарного режима систем с неординарным входящим.потоком.

_Методы_иссл§аования_.В работе применяются методы теории вероятностей,теории случайных процессов,математического анализа,теории функций комплексного переменного. При численном анализе результатов использовалась вычислительная техника. Научная_новизна^

1. Получена аппроксимация производящей функции вероятностей состояний в стационарном режиме одноканальной системы массового обслуживания с рекуррентным входящим потоком и рекуррентным обслуживанием. ССистема Э1|Б|13.

2.Для различных систем вычислены аппроксимации производящих функций и среднее число заявок в системе.

3.Рассмотрены системы,в которых с некоторой вероятностью происходит поломка прибора во время обслуживания, восстановление прибора по некоторому произвольному закону и дооб-служивание заявки. Для этих систем получены условия стационарности,аппроксимации производящих функций вероятностей состояний в стационарном режиме и аппроксимации среднего числа заявок в системе.

4. Рассмотрена система марковского типа с частичными отказами, получено условие существования стационарного режима и

- 4 -

указаны некоторые стратегии для минимизации штрафа, если-' система должна уплачивать щтраф за отказ заявки стать в очередь.

5.Рассмотрены системы с неординарным входящим потоком, для которых получены аппроксимации производящих функций и аппроксимации среднего числа заявок в системе.

6. Для многоканальной системы получена формулла,связывающая зарузку системы с вероятностями состояний рк(к=1,п-1), где п-число каналов.

Практическая ценность.

Полученные результаты имеют как теоретическое-значение Ст.к. нет формул для получения вероятностных характеристик систем с рекуррентным входящим потоком и рекуррентным обслуживанием!) . так и важное практическое значение Св реальных системах обслуживания очень часто входящий лоток не является пуассоновским и обслуживание не является экспоненциальным).

Важное практическое значение имеет также вычисление вероятностных характеристик систем с поломками прибора и с неординарным входящим потоком.

¿ПИЙаИЯ работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на

-научно-технических семинарах по теории вероятостей в Белгосуниверситете на кафедре теории вероятностей и математической статистики,

-втором Всесоюзном совещании-семинаре "Оптимизация динамических систем" СМинск, 19803,

-первой Белорусской школе-семинаре "Исследование путей повышения эффективности сетей связи и сетей ЭВМ"СГродно,1985),

-второй Белорусской школе-семинаре "Применение математических методов и вычислительной техники при решении народно-хозяйственных задач" СГомель,1986),

-пятой Белорусской иисоле-семинаре "Методы исследования информационно-вычислительных систем" (Гродно,1983),

-шестой Белорусской школе-семинаре "Методы исследования сетей связи и сетей ЭВМ" (Витебск,1990)

-седьмой Белорусской школе-семинаре " Сети связи и сети ЭВМ как модели массового обслуживания" СГродно,1991),

-Всесоюзной научно-технической конференции "Распределенные микропроцессорные управляющие системы и локальные вычислительные сета"(Томск,1991),

- 5 -

-восьмой Белорусской школе-семинаре "Сети связи в сети ЭВМ. Анализ и применение. "СБрест,1992).

ПКЙИ£3!Ш- По тематике диссертации опубликовано 8 работ,перечень которых приведен в конце автореферата.

S5fee4i_0_eXE£KIH!aJHKSeBiaiffia- Диссертация состоит из введения,трех глав,заклгчения,списка литературы, состоящего из 58 наименований,из них 6 на иностранных языках Объем диссертации 99 страниц, вклсчая 26 таблиц и 2 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ iQ-SSeiSSaa рассматриваются цели и задачи исследования, обосновывается актуальность теш диссертации, характеризуется научная новизна и практическая ценность работы и кратко излагается полученные результаты.

2_пер§ой_главе для одноканалькэй системы массового обслуживания с неограниченным числом мест для ожидания и обслуживанием в порядке поступления с рекуррентным входящим потоком и рекуррентным обслуживанием с целы) построения аппроксимации стационарного распределения вероятностей состояний принято

ОСНОВНОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ: СПусть Sfc обозначает состояние системы, когда в ней находится к заявок) ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА ИЗ СОСТОЯНИЯ Sk Б СОСТОЯНИЕ Sk_i ЗА ВРЕМЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНОЙ ЗАЯВКИ В СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ РАВНА СУММЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ ИЗ СОСТОЯНИИ S0,St.....Sk_i В СОСТОЯНИЕ sk ТАКЖЕ ЗА ВРЕМЯ'ОБСЛУЖИВАНИЯ ОДНОЙ ЗАЯВКИ.

Отталкиваясь от этого утверждения можно получить стационарное распределение вероятностей состояние СЮ. Вместе с тем это утверждение не всегда является точным. Если исходные данные обеспечивают его точность, то получаемое стационарное распределение также является точным. Если же точность основного утверждения не обеспечивается, то получаемое стационарное распределение можно рассматривать в качестве аппроксимации истинного распределения. Как правило зта аппроксимация достаточно проста и дает достаточно точное решение.

Приняв основное утверждение можно получить рекуррентные соотношения для вероятностей состояний в стационарном режиме, р, С 1-X.JC l-ACt))Cl-BCt))dt) =p0XjCl-ACi)) С 1-BCt) )dt;

pk С1-kji 1--AC t)) С1-ВС t) ) dt) =p0 2 С О С !■-БС t)) dt> + jflp XJP, Ct)Cl-BCt))dt. Cl<s<k),

Sri E K"s

где АСI)-функция распределения длительности промежутка между заявками входящего потока интенсивности X; ВС-функция распределения длительности обслуживания интенсивности ц;

ркСк=0,тЗ-вероятности того,что в системе к заявок в стационарном режиме; РкСи,Ск=07©-вероятности поступления к заявок

за промежуток времени длительности I в рекуррентном потоке, который определяется функцией распределения АС и. Все интегралы рассматриваются в пределах от 0 до оо. Из рекуррентных соотношений получена аппроксимация производящей функции вероятностей состояний системы в стационарном режиме Стеорема 13

( гИСг)

рСг)=р |1+ -], (23

где 15(23= Х/РСгДЗС^В^ЗЭсИ; РСгЛЗ- производящая функция числа поступления заявок за промежуток времени длительности I в рекуррентном потоке,который определяется функцией распределения А(13.

В разделе 1.2 доказано совпадение аппроксимации производящей функции с классической производящей функцией для систем с пуассонозским входящим потоком (Система М|3|1}.

Получена формула для вычисления среднего числа заявок в системе

Р/(13

q = р+ - , (33

1-р

здесь и ниже р-загрузка системы, опреляемая отношением Х/ц (если загрузка вычисляется по другому, это будет указаноЗ.

Для систем с пуассоновским входящим потоком эта формула совпадает с формулой Поллачека-Хинчика.

Для системы М|НК| 1 (обслуживание типа КоксаЗ получено условие существования стационарного режима, аппроксимация производящей функции, аппроксимация среднего числа заявок в системе для того случая, когда вероятности продолжить обслуживание на каждом этапе постоянны и равны а и обслуживание на каждом этапе экспоненциальное с одинаковой интенсивностью ц. Функция распределения длительности обслуживания

ВиЗ=1-а|1+арЛ+ - +... + - |е

1 2! (П-13! }

где а-вероятность продолжить обслуживание на каждом этапе, п-максимальное число этапов обслуживания,

¿-л

Тогда ро=1 -]-вероятность, что в системе нет заявок, а

уеловие существования стационарного режима: р„>0.

Аппроксимация среднего числа заявок (АСЧЗ) в системе

д= Ра.^-а"^ т РгаС1-ап-раппС1-аРР 1_а (1 -а) С1 -а-ра( 1 -ап ) }

Аппроксимация средней длины очереди (АСДО)

РЕ а( 1 -о" -р&"п( 1 -а!)) С1 -сО С1 -а-раС 1 -ап ) 3

Рассмотрены так же системы М|0|1 (обслуживание равномерное} и М|Н |1 (обслуживание гиперэкспоненциальное].

В разделе 1.3 рассмотрена система марковского типа с частичными отказами.

Б2_вто2йй_главе доказана следующая

теорема 2. Для систем с рекуррентным входящим потоком и экспоненциальные обслуживанием ССистемы 61|К|1) аппроксимация производящей функции САПФ) .определяемая формулой (2) имеет вид;

03 ' р(г)=р +£¿£(02) . где а=р(1-оО. р =1 -р, а-

к=с 0 1-р+ряС^З

а-аппроксимация параметра (АП).удовлетворяющего уравнению (1), а(ц)-преобразование Лапласа плотности вероятностей входящего

потока.вычисленое в точке ц, ^-интенсивность обслуживания,

Е следующих раздела:-: рассмотрены системы с рекуррентным входящим потоком (эрланговские, детерминированный и гипер-экспоненпиальный потоки) к экспоненциальным обслуживанием,для которых получены аппроксимации параметра с к среднего числа заявок ь системе д. Для этих систем проведено сравнение значений а и с, вычисленных по предлагаемой аппроксимации, с точными значениях®. Для получения точных значений парамет-

ра а составлялась программа решения функционального уравнения CID на языке Turbo-Pascal

Система Р|М|1.

АП: а = -rrvrr. АСЧЗ: q = р+ -:-ггттг; •

1-р+рер С1-р)С1-е р )

a-Ci/p: pg-Cl/p5

Система Efc|M|l

р=>./ки-затузка системы.

, кр -чк r кр .к

Itw-1 Anîro plra

АП: er = -¡——- , АСЧЗ: q = р+

f Кр .к ' ч р- - ЛсрТкГ

*-<»р(гзИ CI-pJ(i- [т+кр] ]

Система Нп|М|1.СГиперзкспоненциальный входящий поток).

f n ^

Х= £ — -интенсивность входящего потока,

Загрузка системы

г n °k ^ -1 'S:

Р- I :-1 • где р =— .

1 к« рк ц

г n 'Sc^'k ^ n °к

U -- ' Ï

1 4-П ■> 1-.

АП: а =

к=, 1+Рк ' 1С« рк

" «lA

n к n

Т. — + г

в f n .

p[i-p+pE ггр-J

р u k=i Пс J

АСЧЗ: q =

1-Cr , n <\Pk ,

d-p) !-E -

t k=i l+pk J

Система UIMÎl.'C Входящий потек с равномерно распределенными интервалами).

рС1_е-С2/рТ} ргС1-е~2/Р)

АП: а = р +--утг- ; АСЧЗ: q = р + -У7- .

2-2р+р£ С1 -е С1 -р) С 2-рС 1 -е

Для систем Efc|M|l при различных значениях 1с и р приведены таблицы сравнения численных значений параметра а, вычисленных по точной формуле CID и по приближенной формуле С 33, и численных значений среднего числа заявок в системе.

Приведены так не таблицы сравнения численных значений параметра а и среднего числа заявок в системе для систем D|M|1, U|M|1 и HJMjl

Для этих систем относительная погрешность для среднего числа заявок в системе при изменении загрузки системы от 0 до 0,9 возрастает в среднем от 0 до 0,13 .

В_главе_3 рассмотрены системы с рекуррентным входящим потоком и рекуррентным обслуживанием

В 3.1 рассмотрены системы с зрланговским входящим потоком и детерминированным обслуживанием. Система ,Е |D|1.

р=Х/2и-загрузка системы.

Зрг-4р+1-е"4р

АСЧЗ: а = р + - .

16С1-рЗ

Система Ез|0|1.

Аппроксимация производящей функции вероятностей состояний находится по формуле С23.

Аппроксимация среднего числа заявок в системе по формуле СЗ).

где обозначено

u=4zVz- е-2рС?"2оС 1;

e

где p=X/3u - загрузка системы.

Система Е4|Б|1.

^г4р+32рг -е"8р+4С 1-ссеС 4 р) е"4°)

АСЧЗ: а = р + - ,

64(1-р)

где р =^/4^ - загрузка системы.

В 3.2 рассмотрены системы с детерминированным входящим потоком и зрланговским обслуживанием. Система В|Ег|1.

рС е"£/рС2-1)

К(г) = --г-ттгг" + -ггтт:— I где р=2Х/и - загрузка системы.

1-ге г/р (1-ге ¿/р)2

Аппроксимация производящей функции находится по формуле (2).

е_2/р Г Р 1 >

АСЧЗ: О = р+ - -^ +---577-

1-р 1 1-е 2 р (1-е

Система Б|Ез|1.

3 е~3/р(г-1)(1+2э~3/р) 2е~3/р(2-1) р(1-е~3/р) ЕС2)= Тр а-ге"^)3 + С1-г9"^г + '

где р =ЗХУр - загрузка системы.

Аппроксимация производящей функции находится по формуле (2).

е"3/Р , 3 1+е~3/р 2 р , АСЧЗ: а - р* ----=?77г- + - - + -. ■ .

4 1-Р 1 2р (1-е Р)3 (1-е 1-е

Система Б|Е |1.

8е"4/Р( е"8/^г +4=е~4/Р-13 рС 1 -е"4/Р)

й(2)=(г-1)--ттт;-4 1-ПГ^— +

р (Не 1-ге

-- + (2-1)---л , ,

р(1-ге 4/Р)3 (1-ге 4/р)г

где р=- загрузка системы.

Аппроксимация производящей функции находится по формуле (23. Аппроксимация среднего числа заявок в системе

- И -

еЧ/Р^32е-4/Р+8е~8/Р 4tАеЧ/Р _J3_ . _р ,

4 SpHl-e'^* + рС1-е~4"/|°}3+ ciV^V lV*7™"

В разделе Э рассмотрены другие системы с рекуррентным входящим потоком и рекуррентным обслуживанием. Система DIDI1.

Для этой системы аппроксимация производящей функции совпадает с точной производящей функцией pCz)=l-p+pz.

.Система DIU11. СВремя обслуживания распределено равномерно с интенсивностью ¿г). Рассмотрим два случая:

а]р< С1/23.

Тогда АПФ: pCz)=l-p+pz.

б) С1/23 Чр<1 .Тогда

1/Х 2/р

RCz)=\f Cl-Mt/2Ddt+XzJ Cl-(ji/2)dt=Cl-l/4p)+zCp-bl/4pD. О . 1А

АПФ: pCz) = p0 ll+

Ol 1 -Г5. (l!

АСЧЗ: q = £413= p +

1-ZC2P-D* С2р-1)г

4pCl-p)

Система D|Hr|1.(Гиперэкспйненииальное обслуживание).

г n ^

fir I £ —— -интенсивность обслуживания,

Пс

Загрузка системы

HL^ = Lwr*e -=^Ck=1'nD-

Тогда

ш va'+!>/X n . r l-e"1/pi RCz)= XJ zkJ СЕ Лв ^Ь^ар,-zjTsr •

k=0 k^ 1-1 1-ze 1

Аппроксимация производящей функции находится по формуле (2).

1541) 1 л а-.р1е АСЧЗ: ч = р+ -- = р + — X ,-гттр- -

1-р ; 1-р 1=1

•е

Система Е_|Ег11.

С1 +рЗ3 +рС 1 +рЭ -р3 г

КСг) = р-а , а-.

СС1+оЗ -р 23

, 2р( 1 +р) 3 +р( 1+Х?} -р3 2 У

АПФ: рСгЗ = ро[1+ -:-].

С1+РЗ С1+2рЗ+р*2г -г С 2рг +4р3 +р*3

Р оЕС1+р}2 ' р3СЗо+2} АСЧЗ: С = —--- р +

1-Р - С1-рза+£р}г с1-рЗС1тгрЗг Система Е |Н.|1.

Функция распределения входящего эрланговского потока второго порядка

г о, КО,

АС 13=

I 1-е ^-ие Ш),

Функция распределения гиперэкспоненциадьнсгс обслуживания

КО,

е ' * , ШЗ,

Г с.

зс ъг)=4 -ц г -р I I 1-аа 1 -а£е г ,

а а

г г . „-1

- + - j -Ектенскьность обслуживания,

1 2 загрузка системы X

р= - = о Р ; где р = - ; р = -

2м си 2м,

КСгЗ =

, а р С с р С1-1/-/2)

Ь I 1 I

2" 2р4 -2р4 >'2 т! 2р. +2р1 V? +1 - 13 -

1 г ггг ггг

+ _ - +--I

2 1 2р.-2рг^+1 2рг+2р_^2 +1

Аппроксимация производящей функции находится по формуле С2).

а р^ /2 с<гРг/2

2а рг-0,5а р + - +2а р2-0,5а р + -

11 11 4р1 +1 гг 22 4рг+1

АСЧЭ: ч = р+ -.

2(1-р)

Для систем Е„|Е£|1 и Е£(Нг|1 численные значения,полученные иг предлагаемой аппроксимации, сравниваются со значениями, полученными по методу Ньстса.

Для систем Б|Щ1, с детерминированным входящим потоком и эрланговским обслуживанием и с эрланговским входящим потоком и детерминированным обслуживанием численные значения полученные по предлагаемой аппроксимации сравниваются со значениями, полученными методом имитационного моделирования. Для рассмотренных примеров при изменени загрузки системы от 0,4 до 0,9 относительная погрешность изменяется в среднем от 0,01 до 0,2.

Система Р1М^'1 (Входящий поток детерминированный). Обслуживание экспоненциальное с "разогревом", продолжительность которого рвна Ь перед каждым обслуживанием. Функция распоеделения длительности обслуживания

Ov-i/p)"'- интенсивность обслуживания. p=X(h+l/^) - загрузка системы.

X

м "

АСЧЭ: q = р+

Рассмотрены так же системы D|D_|1 (время обслуживания некоторых заявок равно 0) и Н |Е |1. В 3.4.рассматриваются системы с поломками к восстановлением прибора.

.Система |1.СВходящий поток детерминированный).

Обслуживание экспоненциальное с интенсивность!; у, но

:лужив; - 14

вероятностью а£вс время обслуживания может произойти поломка

прибора, длительность восстановления которого равна !г. После восстановления прибора заявка дообслуживается. В этом случае функция распределения длительности обслуживания принимает вид

' О, КО,

ВС1)=- а -а е^Ч 0<КЬ,

С1/р+агЮ-1- интенсивность обслуживания, р=ХС1/ргагЮ - загрузка системы.

Для существования стационарного режима должно выполнятся неравенство а < С1\-Х}/ХЬг.

Аппроксимация среднего числа заявок (к/к < Ь < Ск+1)/Х}. кСк+Ь кХ X „ц.ь,л л X

1кХ1ч -

Ч=Р+ —

С K\.K-ríJ КК л. С- А л.

а (кХЬ--+ — + - е^ --—7г|-« " ' -=7775Г

1 2 и и 1-в"^ 'и 1-е ^

1 -Р

Система Ег|НР|1.

Обслуживание экспоненциальное с интенсивностью ^. Во время обслуживание с вероятностью аг может произойти поломка прибора, длительность восстановления которого имеет экспоненциальное распределение с интенсивностью рг. После восстановления прибора заявка дообслуживается.

В этом случае плотность вероятностей длительности обслуживания принимает вид

г о, ь ко,

ь'+т- -рД е -е

аре 1 + аи|1 - , иО,

51 г 1 г ц -и

I. Н4 Иг

С1/р1 +а2/РгЗ - интенсивность обслуживания,

р=СХ/25С1/М,+аг//чг3 - загрузка системы.

Для существования- стационарного режима должно выполнятся неравенство а < (2/Х-1/^

Х3Г 1 , 1

+

и -и (с2Х.+и )м! С2Х+и )цг ] ]

2 Ц 2Х+ц[) м1 иЗХ+^Зм^ С2Х+^)и*

АСЧЗ: д = р+ -

1-р

В 3.5. рассматриваются системы с неординарным входящим потоком.

Система уР\Щ1.

Рассматривается одноканалъная система е стационарном режиме,в которую в моменты Бремени,образующие пуассоновский поток с интенсивностью X, поступают к заявок с вероятностью

/3* Ск=Гш)

Плотность вероятностей входящего потока

Г о, ко,

аШ=[-|з<5а:)+С1-£)хе~хЧ 1>о,

где 5(1)-дельта-функция Дирака. Х/С1-|33-ЕНтенсквность входящего потока.

Обслуживание экспоненциальное с интенсивностью р. р= Х/(1-/3)м - загрузка системы.

1-2

X Г 1 -(3 _„♦ х

Кг)=— — е 1 ^-е ^чй. = - .

1-9 -» 1-/Зг

Аппроксимация производящей функции находится по формуле (2).

Х(и/?+Х0 р

АСЧЗ: а = р+ - =р+ - = - .

1-р С1-р)/(1-/?32 (1-р](1-,3)

Система Е^|Ег|1.

В моменты времени, определяемые эрланговским потоком второго порядка интенсивности А/2, поступают к' заявок с вероятностью бк,Ск=175 3.

Тогда плотность вероятностей входящего потока

| о, КО,

Х/2(1-|3}- интенсивность входящего потока.

X, 2Х+м (ЗХг+4Хм+нг К1 -/5г) +ХЕ С1 -/3) г.

Е(г)= 5-•--

¿кх-ргЗаиф-кгг(1-ВЗЗ Е 2г J

X ,2/9 ЗХг X* .

гс1-юг^ + сгх+цЗм2 + сэочо^Р

АСЧЗ: ч = Р+ >-:-:- .

1-р

а(и=

' /ЗбШ+(1-/53Хг1е лс, 1>0,

Аналогично можно вычислять аппроксимацию производящей функции и аппроксимацию среднего числа заявок в системе,если в моменты временя, определяемые некоторым законом распределения поступает неординарный поток заявок с произвольным законом распределения.

В 3.6. доказана формула для многоканальной системы.

Теорема 3.Для многоканальной системы массового обслуживания с рекуррентным входящим потоком и рекуррентным обслуживанием имеет место формула

п-1 п-к 1

р + —р +.. . г -р.+. ..-(■- р =1 -р, где п-число каналов,

° п 1 п к п п"

ркСк=0,п-1!)-вероятность того,что в системе к заявок, Х-интенсивность входящего потока, ц - интенсивность обслуживания одного канала, р=Х/пр-загрузка системы.

Основными результатами диссертации являются следующие-

1. Для однокакальной систеьщ кассового обслуживания с ожиданием с рекуррентным входящим потоком и рекуррентным обслуживанием получена аппроксимация производящей функции для вероятностей состояний в стационарном режиме. С Система >311 С? 113

2. Для систем с пуассоновскик входящим потоком доказано совпадение полученной аппроксимации с истинной производящей функцией.С Систека М|С|1).

Рассмотрена система с обслуживанием типа Кокса,для которой получено условие существования стационарного режима и среднее число заявок в системе.

3. Для систем с рекуррентным входящим потоком и экспоненциальным обслуживанием С Система Б1|М|1) доказано,что аппроксимация производящей функции отличается от точной производящей функции значением параметра а.

Рассмотрены некоторые системы.для которых найдены аппроксимации производящих функций и среднего числа заявок в системе. Приведены таблицы сравнения численных значений среднего числа заявок ъ системе, вычисленных по предложенной формуле со значения!.®, полученными из классического функционального уравнения о=аСр-рсг).

4. Рассмотрены некоторые конкретные системы с рекуррентным входящим потоком и рекуррентным обслуживанием (системы 611611),

- 17 -

для которых получены аппроксимации производящих функций и среднего числа заявок в системе в явном аналитическом виде.

5. Рассмотрена система марковского типа с частичными отказами, чтс имеет важное практическое значение, когда' интенсивность входящего потока ¿ольше интенсивности обслуживания. Для такой системы получено условие стационарности и оптимальные стратегии, если система должна уплачивать штраф за отказ заявки стать в очередь.

6. Рассмотрены системы, в которых происходит поломка прибора с последующим восстановлением и дообслуживанием заявки. Для этих систем получены условия стационарности, аппроксимации производящих функций и среднего числа заявок в системе.

7.Рассмотрены системы с групповым поступлением заявок, для которых получены условия стационарности, аппроксимации производящих функций и среднего числа заявок в системе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1.Коршков. Ф. Д.Аппроксимация средней длины очереди в стационарном режиме однокакальной системы массового обслуживания // Ред. ж. Зестк. Белорус, ун-та. Сер. 1: -Фкз.,мат.,мех. -Минск, 1991- 21с.-Деп. в ЕИНИТК 15.09.91 У3703-В31.

2. Кораасоь Ф. Д. Характеристики СМЭ в стационарном режиме //Математические методы исследования сетей связи и сетей ЭВМ Тез. докл. - Минск, 1Э9С- с. 55.

3.Коршков Ф. Д.Об одном свойстве производящей функции числа появления заявок в рекуррентном потоке.// Распределенные микропроцессорные управляющие системы и локальные вычислительные сети: Тез, докл. Томск; Изд-во Том. ун-та, 1991.-с. 141-142.

4. Коршков Ф. Д. .06 одной формуле для многоканальной СМО // Сети связи и сети ЭВМ как модели массового обслуживания: Тез. докл. -Минск, 1991-с, 76.

5.Коршков Ф. Д. Оптимальные стратегии в системе массового обслуживания с частичными отказами.// Ред. е. Вестк. Белорус, ун-та. Сер. 1:Фкз.,мат.,мех.-Минск,1979-8с. -Деп.в 'ВИНИТИ 03.10. ГЭ. К3455-7Э.

6.Коршков Ф. Д. Аппроксимация производящей функции вероятностей состояний одноканальной СМО// Сети связи и сети ЭВМ. Анализ и приложения: Тез. докл.-Минск,1922-с.30.

- 18 -

7. Коряков Ф. Д. Системы с неординарным входящим потоком' //Сети связи и сети ЭВМ . Анализ и приложения. Тез.докл. -Минск,1992,-с. 81.

8.Коршков Ф. Д. Одноканальная СМО с поломками прибора. // Сети связи и сети ЭВМ. Анализ и приложения Тез. докл. -Минск 1982,-с.В2-ВЗ.

Подписано в печать 92 г. Формат 64 х 80.16

V

1.0 уч-изд. листов., тираж 100 эта., заказ Н 75есплатно Ротапринт Мозырского госпеданститута имени Н.К.Крупской, ' 247760, Беларусь, г.Мозырь, ул.Студенческая, 28.