автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка методов исследования математических моделей немарковских систем обслуживания с неограниченным числом приборов и непуассоновскими входящими потоками

<Л '

На правах рукописи

Моисеева Светлана Петровна

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕМАРКОВСКИХ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ ПРИБОРОВ И НЕПУАССОНОВСКИМИ ВХОДЯЩИМИ ПОТОКАМИ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

6 НОЯ 2014

0055544»*

Томск-2014

)

I

• \ { ^ "7

005554482

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» на кафедре теории вероятностей и математической статистики.

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Назаров Анатолий Андреевич

Официальные оппоненты:

Дудин Александр Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор. Белорусский государственный университет, научно-исследовательская лаборатория прикладного вероятностного анализа, заведующий лабораторией

Рыков Владимир Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина», кафедра прикладной математики и компьютерного моделирования, профессор

Задорожнын Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет», кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления, профессор

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук, г. Москва

Защита состоится 25 декабря 2014 г. в 10.30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.08, созданного на базе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36 (корп. 2, ауд. 102).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке и на официальном сайте федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» www.tsu.ru.

Материалы по защите диссертации размещены на официальном сайте ТГУ:

http://wvvw.tsu.ru/content/news/announcenient_of_the_dissertationsJn_the_tsu.php

Автореферат разослан & октября 2014 г. I

//

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Теория массового обслуживания (ТМО) является самостоятельным разделом теории вероятностей и случайных процессов и включает теоретические и прикладные исследования, задачей которых является анализ показателей производительности математических моделей технических и эффективности экономических систем.

Примерами современных приложений ТМО являются математические модели социально-экономических процессов, информационно-коммуникационных систем, распределенных вычислительных систем и компьютерных сетей. Как правило, математические модели реальных систем должны учитывать ее особенности, такие как распараллеливание процессов, пакетный трафик, необходимость в повторном обслуживании и т.д. Все это приводит к модификациям классических моделей ТМО, и, как следствие, к необходимости почти для каждой СМО разрабатывать оригинальные методы исследования.

СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов являются математическими моделями сложных технических систем, таких как распределенные вычислительные и информационные системы, а также различных социально-экономических систем, в том числе демографических, торговых и страховых компаний, пенсионных фондов. В работах L. Brown, N. Gans, A. Mandelbaum, A. Sa-kov такие системы применяются для моделирования работы центра обработки вызовов (call-center) - это услуга сети, в которой агенты предоставляют телефонные услуга. Как правило, число операторов, работающих в таких компаниях, может быть достаточно велико. Обслуживание каждою клиента начинается незамедлительно (то есть системы без отказов). Кроме того, бесконечнолинейные системы используют и в качестве аппроксимации для многолинейных систем при условии высокой интенсивности входящего потока требований и пренебрежимо малой вероятности отказа в обслуживании, как показали в своих работах ученые A.A. Ри-halskii, J.E. Reed, A. Mandelbaum.

Техническая доступность беспроводной передачи данных привела к развитию систем мобильной связи, количество пользователей которых все время увеличивается, что в свою очередь повлекло необходимость в создании моделей, которые могут отражать пространственное распределение пользователей в системе. В качестве таких моделей в работах L. Breuer, D. Baum были предложены пространственные СМО (Spatial Queues) также с неограниченным числом приборов.

Большинство исследований ТМО до начала семидесятых годов прошлого века проводилось в предположении, что входящий поток требований является простейшим (стационарным пуассоновским). Адекватность такого предположения обосновывалось как многочисленными исследованиями по статистическому анализу реальных потоков, так и тем фактом, что наблюдаемые потоки часто могут быть аппроксимированы пуассоновским процессом, например в случаях суммы большого числа независимых потоков или интенсивного просеивания. Кроме того, соответствующие математические модели отличаются простотой исследования.

Развитие компьютерных и мобильных сетей связи привело к необходимости создания новых математических моделей потоков данных, которые как правило, являются непуассоновскими (промежутки времени, с низкой интенсивностью, чередуются с периодами высокой интенсивности), неординарными (заявки могут поступать группами), ни потоками без последействия (с зависимостью длин интервалов между моментами поступления требований). Поэтому возрос интерес к более сложным моделям входящих потокам и соответственно возникли новые задачи исследования СМО, в которых рассматриваются непуассоновские входящие потоки.

В работах Л. Klemm, С. Lindermann, M. Lohmann., S.A. Attahiru, S.H. Kang, Y.H. Kim, D.K. Sung, B.D. Choi. D.P. Heyman, D. Lucantoni показано, что наиболее адекватной математической моделью таких потоков являются МАР-потокн (Mark-ovian Arrival Process), предложенные D. Lucantoni и M.F. Neuts в 1991 году. Существуют два подхода к описанию математических моделей данного класса моделей. Классическая модель наиболее полно описана в монографии А.Н. Дудина, В.И. Клименок. Другой более наглядный способ задания модулированных потоков используется и описан в работах A.A. Назарова. Во второй главе диссертации подробно рассмотрены оба способа задания и показана их эквивалентность.

Научная проблема анализа немарковских систем обслуживания с непуассоновскими входящими потоками была обусловлена отсутствием универсальных методов их исследования. Аналитическим и численным методам анализа характеристик СМО с неограниченным числом приборов посвящены работы следующих российских и зарубежных авторов: Г7.П. Бочарова, A.B. Печинкина, В.В. Рыкова, A.A. Назарова, L. Breuer, D. Baum, Е.А. van Doom, A.A. Jagers и многих других. Как правило, эти методы применяются для анализа систем с рекуррентным входящим потоком. Можно отметить несколько оригинальных методов исследования систем вида M/GI/co, GI/GI/co. Например, для системы M/GIA» П.П. Бочаровым и A.B. Печинкиным предложен метод нахождения вероятностей состояний числа занятых приборов с помощью потока не обслуженных к моменту / заявок. Здесь же проводится обобщение для системы GI/GI/oo, и получено интегральное уравнение для производящей функции, что позволяет с помощью рекуррентных формул числено находить начальные моменты числа заявок в системе в момент времени t. Метод, предложенный В.В. Рыковым, определяет число занятых приборов как разницу числа заявок поступивших и обслуженных к моменту времени г. Интересен также подход, изложенный в работах G. Pang, W. Wliitt для исследования числа заявок в системе GI/GI/oo, который заключается в рассмотрении двумерных случайных процессов, описывающие количество клиентов, в момент времени t время обслуживания которых не превысило величину у. Отдельно следует выделить работы посвященные разработке асимптотических методов. Большинство известных работ основано на результатах A.A. Боровкова, который разработал общий подход исследованию СМО, суть которого заключается в предельных пере-

ходах в последовательностях случайных процессов, определяющих состояния систем при некоторых асимптотических условиях относительно потока требований, длительностей обслуживания и структуры самой системы. Метод позволяет находить приемлемое для практических приложений решение в определенных условиях.

Вместе с тем, следует отметить, что работы по исследованию специальных систем (параллельным или разнотипным обслуживанием, с повторным обслуживанием и т.п.) рассматриваются, как правило, в предположении, либо пуассонов-ского входящего потока, либо экспоненциального распределения времени обслуживания.

На основе вышеизложенного, можно сделать вывод о том, что существенное расширение математических моделей случайных потоков событий привело к научной проблеме анализа моделей массового обслуживания, выходящих за рамки классических, с непуассоновскими входящими потоками и произвольным временем обслуживания. Поэтому разработка новых универсальных методов исследования немарковских СМО является актуальной.

В настоящей диссертационной работе проводится исследование как классических немарковских бесконечнолинейных систем, так и их модификаций, а именно: систем с повторным обслуживанием требований и систем параллельного обслуживания кратных заявок специальных потоков.

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является разработка методов исследования математических моделей немарковских систем массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов различной конфигурации и специальными входящими потоками требований.

В рамках поставленной цели бьти сформулированы следующие задачи:

— построение математических моделей неклассических марковских бесконечнолинейных СМО, в том числе с повторным обслуживанием требований и моделей параллельного обслуживания кратных заявок;

— построение математических моделей немарковских систем с неограниченным числом обслуживающих приборов и непуассоновскими входящими потоками;

— разработка оригинальных методов исследования предложенных моделей и их теоретическое обоснование, таких как метод предельной декомпозиции, метод моментов для систем обслуживания, метод просеянного потока, существенная модификация метода асимптотического анализа, включая построение асимптотики третьего порядка;

— разработка численных методов расчета вероятностных характеристик систем;

— реализация комплекса проблемно-ориентированных программ для имитационного моделирования и численного анализа исследуемых систем.

Научная новизна результатов, изложенных в диссертации:

1. Впервые предложены математические модели в классе систем массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов, а именно: СМО с повторным обращением заявок; модели параллельного обслуживания кратных заявок; немарковские СМО с ненуассоновскими входящими потоками.

2. Получено выражение для многомерной производящей функции числа занятых приборов в предложенной модели параллельного обслуживания разнотипных заявок, определяющее основные вероятностные характеристики рассматриваемой системы.

3. Проведено исследование потоков в предложенных СМО с повторным обслуживанием заявок, в том числе для моделей параллельного обслуживания и повторным обращением заявок. Найдены основные вероятностные характеристики исследуемых потоков.

4. Разработан оригинальный метод просеянного потока, основанный на равенстве числа занятых приборов в системе в произвольный момент времени и числа событий просеянного потока, наступивших до того же момента времени, который позволяет проводить исследование немарковских систем массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов различной конфигурации и неэкспоненциальным временем обслуживания. Проведенные с помощью указанного метода исследования обобщают известные результаты.

5. Предложено развитие метода асимптотического анализа на предельное условие растущего времени обслужлвания, применяемое для исследования широкого класса систем, в том числе для всех предложенных в работе моделей. Показано, что для СМО с непуассоновскими (ВМАР, MAP, полумарковскими) входящими потоками асимптотическое распределение является гауссовским, а для систем параллельного обслуживания парных заявок - двумерным гауссовским, что обобщает известные результаты для аналогичных систем с пуассоновским входящим потоком. За счет построения асимптотики третьего порядка в рамках предложенного метода удалось повысить точность аппроксимации по сравнению с гауссовской в три и более раз.

6. Разработан оригинальный метод предельной декомпозиции, основанный на использовании свойства разделение пуассоновского потока, предназначенный для исследования СМО с пуассоновским входящим потоком и произвольной функцией распределения времени обслуживания заявок и позволяющий проводить анализ не только процесса изменения числа занятых приборов, но и различных потоков заявок к приборам системы (суммарных, повторных).

Методы исследования. Для исследования рассмотренных моделей используется метод математического моделирования, аппарат теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории дифференциальных уравнений, методы оптимизации и информационные технологии.

Для процессов, характеризующих состояния марковских систем массового обслуживания (с пуассоновским входящим потоком и экспоненциального времени обслуживания заявки на приборе) использовались метод многомерных цепей Маркова и метод производящих функций.

Для исследования систем со специальными входящими потоками применяется метод начальных моментов и метод асимптотического анализа при условии растущего времени обслуживания требований на приборе.

Оригинальными авторскими методами исследования систем с неограниченным числом приборов и произвольной функцией распределения времени обслуживания являются метод предельной декомпозиции и метод просеянного потока, а для систем с непуассоновским входящими потоками и экспоненциальной функцией распределения времени обслуживания метод определения моментов и существенная модификация метода асимптотического анализа.

Обработка результатов имитационного моделирования проводится методами математической статистики.

Результаты, полученные в работе, имеют как теоретическое, так и практическое значения.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработанный в диссертации метод просеянного потока, основанный на идее равенства числа приборов, занятых в системе в произвольный момент времени и числа событий просеянного потока, наступивших до того же момента времени, решает научную проблему анализа немарковских систем обслуживания с непуассоновскими входящими потоками и открывает перспективы исследования широкого класса математических моделей реальных социально-экономических и технических систем.

Предложенные в диссертации модели существенно расширяют класс моделей массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов н могут применяться для анализа характеристик реальных объектов в различных предметных областях.

Разработанные методы позволяют расширить круг решаемых задач, при этом полученные в диссертации результаты обобщают ранее известные, что существенно развивает теорию случайных процессов и теорию массового обслуживания.

Результаты работы могут быть практически использованы во всех приложениях теории массового обслуживания для построения, исследования и оптимизации математических моделей реальных систем, в том числе, страховых и торговых компаний, коммерческих и пенсионных фондов, а также для анализа сложных технических систем. Полученные результаты могут быть использованы для расчета операционных и вероятностных характеристик моделей существующих информационно-телекоммуникационных систем, подсистем глобальных и компьютерных сетей с целью повышения эффективности их функционирования и выработки рекомендаций при проектировании новых систем.

Теоретические результаты используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета при проведении лекционных занятий дисциплин «Современные проблемы прикладной математики и информатики», «Системы с неограниченным числом обслуживающих приборов», «Модели и методы массового обслуживания в экономике» магистерской программы «Математическое и программное обеспечение прикладного вероятностного анализа» направления «Прикладная математика и информатика».

Достоверность полученных результатов подтверждается корректным применением используемого математического аппарата, корректностью методик исследования и проведенных расчетов, многочисленными статистическими экспериментами, проведенными на основе имитационного моделирования исследуемых систем, а также согласованностью результатов диссертации с результатами, полученными ранее другими авторами, для некоторых частных случаев, рассматриваемых в диссертации моделей.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Автор лично участвовала в получении всех результатов, изложенных в диссертации. А именно, разработке методов исследования и их применении к анализу математических моделей систем массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих приборов. Доказательство и обоснование изложенных в диссертации результатов, математические выкладки, численные расчеты выполнены лично автором.

Связь работы е крупными научными проектами. Значительная часть результатов, представленных в данной работе, была получена в рамках выполнения научного проекта АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 -2011 годы)» Федерального агентства по образованию, проект № 4761: «Разработка методов исследования немарковских систем массового обслуживания и их применение к сложным экономическим системам и компьютерным сетям связи», а также в рамках госзадания минобрнауки РФ на проведение научных исследований в Томском государственном университете на 2012 - 2013 годы «Разработка и исследование вероятностных, статистических и логических моделей компонентов интегрированных информационно-телекоммуникационных систем обработки, хранения, передачи и защиты информации» № 8.4055.2011, номер госрегистрации 01201261193, в рамках государственного задания Минобрнауки России № 1.511.2014/К (2014 г.).

Апробация работы. Основные положения работы и отдельные ее вопросы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: XX Белорусская зимняя школа-семинар по теории массового обслуживания (В\У\УС>Т-2009); «Современные математические методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей», Минск, 26-29 января 2009 г.; Восьмая международная конференция «Финансово-актуарная математика и смежные вопросы»

(ФАМ-2009), Красноярск, 24-26 апреля, 2009 г.; Международная конференция, посвященная 75-летию профессора, д.ф.-м.н. Г.А. Медведева «Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения», Минск, 22-25 февраля 2010 r.;The Third International Conference «Problems of Cybernetics and Informatics», Baku, Azerbaijan, September 6-8, 2010; VIII Всероссийская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (1САМ"2010), Томск, 5-8 октября 2010г.; International Scientific Conference «Information Technologies and statistics», Sofia, Bulgaria, 8-9 October, 2010; International conference «Modem Probabilistic Methods for Analysis and Optimization of Information and Telecommunication Networks», Minsk, January 31 - February 3,2011; Международная конференция «Финансово-актуарная математика и эвенгоконвергенции технологий» (ФАМЭТ-2011), Красноярск, 23-24 апреля, 2011 г.; Российская научная конференция с участием зарубежных исследователей «Моделирование систем информатики», Новосибирск, 8-11 ноября 2011 г.; International Conference «Application of Information and Communication Technology in Economy and Education (ICAICTEE-2011), Sofia, Bulgaria, 2-3 December, 2011; International conference «Application of information and communication technology and statistics in economy and education», Sofia, Bulgaria October 5-6, 2012 г.; Международная конференция «Теория вероятностей и ее приложения», посвященная 100-летию со дня рождения Б.В. Гнеденко, Москва, 26-30 июня 2012 г.; International Conference «Modem stochastic: theoiy and application III». Kiev, Ukraine, September 10-14, 2012г. IV International Conference «Problems of Cybernetics and Informatics», Baku, Azerbaijan September 12-14, 2012 г.; XXII Белорусская зимняя школа-семинар по теории массового обслуживания (BWWQT-2013) «Современные вероятностные методы анализа, проектирования и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей», г. Минск, 28-31 января 2013 г.; International Conference «Distributed computer and communication network: control, computation, and communications», Москва, 7-10 октября, 2013 г.; Всероссийская конференция с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем», Москва, 22—26 апреля 2013 г.; IX-X Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», Томск, 2012, 2014 гг.; V-XIII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математические модели», Анжеро-Судженск, 2005-2013 гг.; X-XVI1I Всероссийская научно-практической конференции «Научное творчество молодежи», Анжеро-Судженск, 2006—2013 гг.; I—II Всероссийская молодежная научная конференция с международным участием «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», Томск, 2013-2014 гг.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 62 работы, в том числе 2 монографии, 14 статей в журналах, входящих в Перечень рецензируемых

научных изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки Российской Федерации для опубликования основных научных результатов диссертаций (из них 1 статья в издании, включенном в международную базу научного цитирования Scopus), остальные в других научных издания (из них 8 зарубежных конференций, 1 статья в сборнике материалов включенном в международную базу научного цитирования Web of Science),

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка используемой литературы Общий объем работы - 280 страниц. Список литературы включает в себя 204 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Используемая далее нумерация определений, теорем, формул, рисунков -как в диссертационной работе.

Во введении показана актуальность, значимость работы, определены цель и задачи исследования, дано краткое изложение диссертации по главам.

В первой главе диссертации рассматриваются новые модели марковских СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов различной конфигурации. А именно: системы параллельного обслуживания кратных заявок с к блоками обслуживания и системы с повторным обслуживанием заявок.

Для указанных систем получены аналитические выражения нестационарных производящих функций для процессов, описывающих число заявок в системе в момент времени t и для потоков поступивших и обслуженных заявок за время г. Определены основные числовые вероятностные характеристики. Показано применение указанных моделей к описанию процессов в страховых и торговых компаний и распределенных вычислительных системах.

В параграфе 1.1. построена и исследована математическая модель в виде системы параллельного обслуживания кратных заявок М^Мк\оо. Состояние

системы определяется вектором {/,,/2, ...,4}, где число заявок в к-ом блоке.

Ставится задача исследования многомерного процесса{/,(г),/2(*),...,/Д/)}, а именно нахождения вида многомерной производящей функции и основных вероятностных характеристик такой системы обслуживания.

Для распределения вероятностей p(il,i2,...,ik,t) = p{it(t) = ¡¡j2(t) = i2,.jt(t) = i!.} -состояний ¿-мерной цепи Маркова, характеризующей число заявок в каждом блоке (подсистеме) в момент времени /, записана система дифференциальных уравнений Колмогорова, решение которой найдено с помощью производящей функции вида

ас 00

Доказана следующая теорема.

Теорема 1.1. Производящая функция р(х^,хг,...,хк,1) ¿-мерного процесса {/,(/),/2(г),...,/ДО}" числа приборов, занятых в момент времени I в блоках системы М^\М, |оо имеет вид:

Г

и=1

Л

к 1 к

1=1, 1*/

-1м,'

5=1

1-е

/=|Ц(

/

Показано, что одномерные маргинальные производящие функции числа занятых приборов в каждом блоке обслуживания являются пуассоновскнми.

В диссертации показано, что математическое ожидание и дисперсия числа занятых приборов в стационарном режиме для каждого блока системы определяются выражениями.

Л/{(-/}=0{/;} = -, (/ = 1,2,..1).

И/

Л матрица ковариаций имеет вид:

XX X

к =

И]

П.

X

м2 +Н,

Й2+И*

м*

Также найдено выражение для коэффициента корреляции между компонентами процесса обслуживания требований, и показано, что наибольшая зависимость исследуемых процессов достигается при одинаковых параметрах времени обслуживания, коэффициент корреляции в этом случае равен 0,5.

В параграфе 1.2 проведено обобщение вышеописанной математической модели параллельного обслуживания на случай неординарного пуассоновского потока разнотипных заявок, то есть моменты прихода пачек заявок образуют пуассоновский поток, в каждой пачке случайное число разнотипных заявок. Показано, что производящая функция Г(х„х1,...,хк,1) ¿-мерного процесса

{/, (г), /2 (/),..., (/)} - числа приборов, занятых в момент времени I в блоках системы параллельного обслуживания разнотипных заявок имеет вид:

■2

.[) = ехр

1>, -1

У

П +1

Ем,

1-1.

к 1 -и Л1

(1.0

(=1

к

+ Е

(х^^-ф-е-^1).

м

где ^ - суммарная интенсивность потоков, содержащих заявки типов I; л(„5,/)-суммарная интенсивность потоков, содержащих заявки типов 5 и I; и т.д.

В параграфе 1.3 построена математическая модель страховой компании в виде системы массового обслуживания М|М|оо с неограниченным числом обслуживающих приборов, где заявками входящего потока являются клиенты, приходящие в страховую компанию, а обслуживающими приборами - договора страхования, временем обслуживания здесь является продолжительность исполнения договора.

Капитал страховой компании определяется выражением:

' (') ' (') 5(0= 1>, +Е&-ЧУ1,),

где /(/) - число заявок (клиентов) поступивших в систему за время /'(0 - число заявок в системе в момент времени I (количество заключенных договоров), ср -страховая премия, размер которой является случайной величиной с функцией распределения /<ф(-х) и моментами А/{<р}=аь Л/{ф2}=а2; \ - страховой взнос,

размер которого является случайной величиной с функцией распределения и моментами Л/{^}=6Ь А/{^2}=62; л - страховое возмещение, размер которого является случайной величиной с функцией распределения /^(х), и моментами М{х\}=си М{ц~у-с2\ ул - интенсивности наступления страховых случаев.

Показано, что математическое ожидание и дисперсия капитала страховой компании в момент времени 1 определяются выражениями

¿>{5(0} = Х1а2 + -(1 - е^\2ахС1 +Ь2- ц,2^ ].

М1

Параграф 1.4 посвящен исследованию марковских систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов и повторным обслуживанием заявок. Рассматривается СМО с неограниченным числом приборов простейшим потоком с параметром к входящим потоком заявок и повторным обслуживанием. Время обслуживания на каждом приборе экспоненциальное с параметром р одинаковым для всех приборов. Заявка, завершившая обслуживание, с вероятностью 1 - г покидает систему, а с вероятностью г обращается к системе для повторного обслуживания.

Ставится задача исследования повторных и суммарных потоков обращений в систему за время t.

Показано, что производящая функция G(y,t) распределения вероятностей P(n,t) - числа повторных обращений, реализованных за время t в рассматриваемой СМО с повторным обслуживанием, имеет вид

[ l-ry ц(1-г)(1-/у) J

откуда, следует, что исследуемый поток не является пуассоновским. Для потока суммарных обращений доказана следующая теорема.

Теорема 1.9. Производящая функция G(y,t) суммарного числа m{t) обращений в переходном режиме в рассматриваемой СМО имеет вид:

l-ry

В параграфе 1.5 обобщены результаты предыдущих параграфов на случай систем параллельного обслуживания с повторным обслуживанием заявок. Такие системы можно использовать не только в качестве математической модели многопродуктовых торговых компаний, но и для исследования процессов функционирования распределенных вычислительных систем.

Вторая глава посвящена исследованию систем с непуассоновскими входящими потоками (ВМАР, MAP, полумарковский, поток марковского восстановления) и экспоненциальной функцией распределения времени обслуживания заявок, а именно нахождению основных вероятностных характеристик.

В параграфе 2.1 рассматриваются наиболее общие из известных математических моделей ординарных потоков заявок, а именно неординарный групповой ВМАР-поток (Batch Markovian Arrival Process), полумарковский поток (Semi Markovian Process), а также их частные случаи: общий МАР-поток (Markovian Arrival Processor поток Марковского восстановления. Приводятся два различных способа задания ВМАР-потока и показана их эквивалентность.

Для дальнейших исследований ВМАР поток определяется следующими условиями. Имеется однородная эргодическая цепь Маркова с непрерывным временем

К'), принимающая значения k(t) = 1,2,..., К, определяемая матрицей Q инфините-зимальных характеристик q^ {kv =1,2,..., К). Заданы неотрицательные величины /о,... 7-к - условные интенсивности поступления групп заявок и совокупность одномерных условных распределений dj!) - вероятностей того, что поступает I требований в моменты наступления событий ВМАР-потока, когда вложенная цепь Маркова переходит из состояния к в состояние v.

Если к{\)=к, то за время dt с вероятностью h du(J)dt наступает событие, заключающееся в том, что в потоке наступает />0 требований, здесь <4t(0)~0; с вероятностью q^diJlylt цепь Маркова kit) переходит из состояния к в состояние v# и поступает 1>0 требований. Для распределений вероятностей dh(l) выполняются уело-

х ос

вия нормировки ^Tda(l) = 1, ^dh,(l) = 1 при к * v.

Ы1 1-0

В парафафе 2.2 предлагается метод начальных моментов для исследования систем с неограниченным числом обслуживающих приборов и специальными входящими потоками (ВМАР, полумарковский). В случае экспоненциального времени обслуживания задача исследования немарковского процесса (при непуассоновском входящем потоке), определяющего число обслуживаемых заявок (число занятых приборов), решается введением дополнительных переменных таким образом, чтобы случайный процесс в расширенном фазовом пространстве становился марковским, что в некоторых работах называют «внешним» марковизированием.

Пусть ¡(t) - число заявок в системе ВМАР|М|оо, то есть число приборов, занятых в момент времени t. Так как i(t) - немарковский процесс, то рассматривается двумерный случайный процесс {»'(г)ДО} > гае ОД управляющая ВМАР-потоком цепь Маркова

Для стационарного распределения вероятностей P(k,i) получена система уравнений Колмогорова, введены частичные характеристические функции вида

<=0

для которых записано векторно-матричное уравнение вида

ди

(2.14)

где Н(м, /) = \Н(1, и)Н{\,и),..., И(К,и)\ — вектор-строка; Q(«) = ¿еу"'1)(/),

D(0) =

q2ld2l(0) -(l2-q22)

.ЧМО) (¡KidKM

4xKdiK( 0) (hKd2K^)

Ми (0 Кг^гО) •■• Чп"г\

(/) Х2</И(/) -

Для системы ВМАР|М|оо доказаны теоремы, определяющие основные вероятностные характеристики. Показано, что среднее значение числа занятых приборов при стационарном режиме определяется выражением

где матрица Г>( определяется равенством О! = 0(/).

1=0

Второй момент числа занятых приборов в системе ВМАР\М\<*> при стационарном режиме имеет вид

Аналогичная задача решена для системы с полумарковским входящим потоком.

В параграфе 2.3. проведено исследование математических моделей параллельного обслуживания сдвоенных заявок случайных потоков на примере марковского модулированного пуассоновского потока (МАР) и потока марковского восстановления (МИ), как наиболее используемого частного случая полумарковского потока. В момент наступления событий в рассматриваемых потоках в систему одновременно поступают две заявки. Заявки каждого типа поступают в отдельные блоки обслуживания, содержащие неограниченное число обслуживающих приборов. Продолжительности обслуживания заявок стохастически независимы, одинаково распределены для каждого блока и имеют экспоненциальную функцию распределения с параметрами ц, и ц2 соответственно для первого и второго блоков обслуживания.

Рассматривается система параллельного обслуживания МИ(2)|М2]со, на вход которой поступает поток марковского восстановления сдвоенных заявок, заданный набором функций распределения длин интервалов Ах(х), ... , Лц(х) и матрицей переходных вероятностей Р=[р\1с] (к,\' - 1,2, ..., К) - вложенной по моментам наступления событий, цепи Маркова. Так как входящий поток непу-ассоновский, то двумерный процесс {/^(О. '2(0} ~ число заявок в А-ом блоке (&=1, 2) в момент времени 1, немарковский. Поэтому предлагается рассмотреть четырехмерный марковский процесс {£(/),:(/),;'](/), который является

Л/{/} = —М),Е,

1

СО

где Э2=][/2 В(/), ш^ИБ.Ьл-ОГ.

марковским, где :(г) - длина интервала от момента времени / до очередного момента восстановления в МЯ-потоке, а процесс к(() - вложенная по моментам наступления событий цепь Маркова.

Далее, обозначив Н(г,ньи2)=[//(1,г,г/ьн2),Н(2,г, к,,"?)--- Н(К-,иии2)] - вектор-строку частичных характеристических функций вида

Н{к,г,и„«2)= к = 1,2,...,АТ,

/,=0/2=0

а также, используя матричные обозначения для исходных параметров

. 0 ^ ' Ри . . (Г

D (;) = , Р = , 1 =

< 0 . ■ А(=1 ■■ Рис) ■ К

получено основное уравнение для исследования системы MR(2)|M2|a> вида 5Н (y„»2J + , и2) A«2)pD(_)_ j J+

+ м (, _ + (, _ е-А = о. (2.48)

он, ди2

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.7. Среднее значение числа занятых приборов в блоках системы mr(2)!m2i оо, при стационарном режиме имеет вид

й* oz

где R(z) - вектор-функция стационарного распределения вероятностей значений двумерного марковского процесса {k{t), :(/)}, Е - единичный вектор-столбец.

Теорема 2.8. Вторые моменты числа занятых приборов в блоках системы MRWiM2|oo, при стационарном режиме имеют вид

Щ{2)= — [(i-PD'^Jl 'PD'injE + l], ¿ = 1,2, D*(a)= ]e^dD(=).

о

Теорема 2.10. Корреляционный м,2 момент двумерного случайного процесса {ii(l),i2(l)} в блоках системы MR(2)iM2|oo при стационарном режиме имеет вид

"».2 = -ТГГ & - РО*(и. + ^)Г PD'Ol, + )Е + lj.

Ml + Р2

Аналогичные теоремы доказаны для систем параллельного обслуживания с входящим МАР-потоком сдвоенных заявок.

На численном примере для системы МАР^^Мг!» заданными значениями параметров:

-0,5 0,3 0,2 " "1 0 0" " 0 ОД 0,2

0 = 0,2 -0,6 0,4 , А = 0 2 0 , 0 = 0,2 0 0,3

. °'5 0,3 -0,8 0 0 3 0,1 0,2 0

показано, что наибольшая зависимость компонент двумерного процесса{/'](/), в стационарном режиме достигается при одинаковых параметрах времени обслуживания (табл. 2.1).

Таблица 2.1 Влияние параметров обслуживания в блоках на значение коэффициента корреляции компонент двумерного процесса{/1(г), /2(г)}

1 0,5 0,1 0,01

1 0,577 0,554 0,347 0,121

0,5 0,554 0,598 0,457 0,171

0,1 0,347 0,457 0,625 0,362

0,01 0,121 0,171 0,362 0,634

В параграфе 2.4 рассмотрена математическая модель СГШЭ-системы с адаптируемым выделением вычислительных ресурсов. Рассматривается ситуация, когда задачи в этой системе поступают на обработку с изменяющейся интенсивностью. Такая задача может быть актуальна для системы, построенной не по принципу адаптируемости серверов, а распределяющей нагрузку по некоторым блокам серверов, имеющих различную, но заранее настроенную интенсивность обслуживания (производ1ггельность узла). В этом случае для одного такого блока ситуация будет выглядеть так, что пока управляющая потоком цепь находится в соответствующем состоянии, заявки поступают в этот блок с постоянной интенсивностью, когда же состояние управляющей цепи меняется, заявки начинают поступать в другие блоки, а на входе данного блока наступает время «тишины», а этот блок можно использовать для решения задач другого потока.

Указанная модель представлена в виде системы массового обслуживания с входящим потоком, имеющим несколько уровней интенсивности, и обслуживающими блоками, соответствующими каждому такому уровню. Получено выражение для характеристической функции многомерного распределения числа поступивших заявок на каждом га уровней интенсивности. Отдельно рассмотрена проекция входящего потока на один уровень интенсивности. Получены вероятностные характеристики системы для отдельных уровней интенсивности входящего потока: распределение вероятностей числа заявок одного уровня, а также первый момент, и общий вид систем обыкновенных дифференциальных уравнений для вычисления второго начального момента и корреляционного момента этого распределения. По-

лученные результаты могут быть использованы на практике при построении СЖГО-систем с соответствующей инфраструктурой.

В третьей главе для исследования потоков в системах с повторным обслуживанием пуассоновским входящим потоком и произвольной функцией распределения времени обслуживания заявок предлагается метод предельной декомпозиции. Разработанный метод основан на использовании свойства разделение пуассонов-ского потока по полиномиальной схеме и позволяет свести задачу исследования бесконечнолинейных систем к задаче анализа совокупности независимых однолинейных СМО.

Рассматривается система М|01|*>, на вход которой поступает простейший поток с параметром X. Время обслуживания независимо и одинаково распределено для каждого прибора с произвольной функцией распределения В{х). Заявка, завершившая обслуживание, с вероятностью 1 - г покидает систему, а с вероятностью г обращается к системе для повторного обслуживания (Рисунок 3.3).

Рис. 3.3 СМО с неограниченным числом приборов с повторными обрагцениялш заявок Ставится задача исследования суммарного s(t) и двумерного (v(f), «(/)} потоков в рассматриваемой системе, где п(1) - число повторных обращений, реализованных за время t, v(i) - число первичных обращений реализованных за время t, s(i)^v(t) r n{t).

Суть метода заключается в следующем. Входящий пуассоновский поток разделим на N независимых простейших потоков с параметром X/N, заявки каждого потока направляются для обслуживания на соответствующий прибор. Таким образом, получаем совокупность N независимых однолинейных СМО. Будем полагать, что эти СМО с отказами (Рисунок 3.4). То есть новая заявка, поступившая в систему, занятую обслуживанием, теряется.

ш

-- В(х)

г

Рис. 3.4 Однолинейная СМО с отказом и повторными обращениями заявок

В диссертации показано, что при вероятностью потерь заявок можно

пренебречь, и тогда суммарные характеристики совокупности N однолинейных СМО сходятся к характеристикам исходной модели. Таким образом, задача нахождения распределения вероятностей числа обращений в бесконечнолинейной СМО сводится к решению задачи нахождения распределения вероятностей числа обращений в однолинейной СМО с отказами.

Методом предельной декомпозиции исследованы потоки первичных и повторных, а также суммарный поток обращений в системе массового обслуживания М|С1|оо и повторным обслуживанием. Доказаны следующие теоремы о виде производящих функций исследуемых потоков.

Теорема 3.1. Производящая функция суммарного числа обращений, реализованных за время в бесконечнолинейной СМО имеет вид:

G(x,t) = expj О - 1)/J + r(x -1) f/i(x,s)ds.

где h(xj) = -X- (дг-1) B (a) da, B'(a)= \eJa'b{t)dt.

2ni 1 — f \-rxB'{a) 0J

Теорема 3.2. Производящая функция двумерного процесса числа повторных и первичных обращений, реализованных за время t в бесконечнолинейной СМО, имеет вид:

G{x,y,t) = expjo - \)\t + r(y -1) j//(x,.y,.v)i/v|.

Так как производящая функция G(x,:,t) двумерного распределения P(v,n,t)=P{v(t)=v, n(t) -n) не равна произведению производящих функций одномерных распределений, то очевидно, потоки являются зависимыми, и анализ таких потоков необходимо проводить лишь только совместно.

В параграфе 3.5 проведено обобщение метода предельной декомпозиции на случай систем параллельного обслуживания кратных заявок пуассоновского потока. Для указанных систем доказаны теореме о виде производящих функций, а также найдены вероятностные характеристики. Кроме того, показано, что корреляционная связь между сечениями случайных процессов для потоков повторных обращений в блоках обслуживания зависит от вероятностей возвращения в систему и наибольшая зависимость наблюдается при равных вероятностях возврата заявок.

Четвертая глава посвящена развитию метода асимптотического анализа СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов при условии растущего времени обслуживания, что позволяет проводить исследование систем с непуассоновскими входящими потоками. Составляются уравнения Колмогорова для распределения вероятностей, частичных производящих функций или ха-

рактеристических функций значений полученных многомерных марковских случайных процессов. В этих уравнениях выполняется предельный переход в некоторых предельных условиях, который позволяет получить предельные (асимптотические) уравнения. Решениями этих уравнений являются соответствующие предельные (асимптотические) распределения рассматриваемых систем обслуживания. Сравнение с точными характеристиками, полученными во второй главе, позволяет определить область применимости асимптотического метода.

Для исследования системы обслуживания ВМАР|М|оо основное уравнение у11(е-А_1)^) = Н(м)0(н), (4.1)

ди

решается в асимптотическом условии растущего времени обслуживания, то есть при (I—»0.

Для нахождения асимптотики первого порядка вводятся замены

д=£, и = ем>, Н(и) = Р, (»>,£), (4.2)

и доказывается теорема.

Теорема 4.1. Предельное при е—»0 значение /•¡Ос) решения /^(ту.е) имеет

вид

= (4.4)

где вектор Я - вектор стационарного распределения управляющей потоком цепи, а параметр X определяется равенством Я = ГШ,Е.

В силу замены (4.2) и равенства (4.4), можно записать приближённое (асимптотическое) равенство

поэтому для характеристической функции стационарного процесса ¿(() запишем

Ме'ш(,) = Н(и)Е « е*х = схр{> А./ц}. (4.7)

Полученное равенство будем называть асимптотикой первого порядка для системы обслуживания ВМАР|М]оо, которая определяет значение ?7д асимптотического среднего значения числа занятых приборов.

Для нахождения аппроксимации допредельного распределения вероятностей числа занятых приборов Р(/) рассмотрим асимптотику второго порядка.

Для нахождения асимптотики второго порядка в уравнении для векторной характеристической функции н(и) выполняются замены

Н(г/) = Н2(и)ехр{/иА./ц}, Ц = е\ " = ен>, Н2(и) = Р^.е)

Тогда уравнение (4.1) принимает вид

Мечо. _ 1)°Р^Е-> = + Цс-*" - 1)1). (4.1 1)

а»'

и доказывается следующее утверждение.

Теорема 4.2. Предельное при с—>0 значение ^(п) решения /^(н'.г) уравнения (4.11) определяется равенством

где вектор Т2 удовлетворяет условию С2Е = О и является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Г2<3 + Щ0,-А.1) = 0,

Н02Е + Х.

а величина к2 определяется равенством к2 =-^--(-1,1), Е.

В силу замен для Н2(и) записано асимптотическое равенство

Н2(«) = ^(„',8)« Р2И = ЯехР|^к21 = ,

тогда для Н(г/)

Н(и) = Н2(н)ехр|]и-1« Исхр|угД + ■

Откуда для характеристической функции числа занятых приборов в системе ВМАР|М|ю получаем выражение

1и (и) = \{е'шМ = Н(н)Е - ехр{ ]и- + .

[ И 2 V }

Это равенство будем называть асимптотикой второго порядка. Таким образом, стационарное распределение вероятностей Р(/) числа приборов, занятых в системе обслуживания ВМАР|М|=о можно аппроксимировать гауссовским распределением, с параметрами а = Л//(?) = Л/ц и

а2 = А/{(/(/) -д)2}= к2/ц.

В параграфе 4.2 предложено развитие метода асимптотического анализа и его применение к исследованию систем параллельного обслуживания кратных заявок на примере входящего потока марковского восстановления сдвоенных заявок.

Основное уравнение для характеристических функций IIтрехмерного процесса {•:(/),/,(/),/2(/)} (2.48) решается в асимптотическом условии эквивалентного роста времени обслуживания заявок в блоках, полагая, что рь

В диссертации показано, что асимптотическая характеристическая функция имеет вид двумерной гауссовской характеристической функции

А2(ы,,г/2) = Н(оо,м!,г/2)Е =

= ехрЛ у -- м, + ^ (/«, )2 +1 j — иг + (/и2 У

и, 2ц,

. Я. к,

Й2

.г(2к,-Я)

+ J -—4--I

и,+ц2

где параметр X определяется выражением = R(r) - вектор стацио-

5:

парного распределения вероятностей значений случайного процесса {k{t), "(i)K

, of? (0)

величина к2 определяется равенством к2=Л + ——Е, вектор-функция f2(-) удовлетворяет условию f2(co)E = 0 и является решением уравнения

dz dz &

Путем сравнения характеристик, полученных с помощью метода асимптотического анализа и метода начальных моментов определяется область применимости метода асимптотического анализа.

В пятой главе изложен один из главных результатов диссертации, а именно описан оригинальный метод - метод просеянного потока, впервые изложенный в 2006 году в монографии [15]. Предлагаемый метод заключается в просеивании заявок входящего потока таким образом, что выполняется равенство числа приборов, занятых в системе в произвольный момент времени и числа событий просеянного потока, наступивших до того же момента времени.

Данный метод позволяет проводить исследование немарковских СМО с произвольной функцией распределения времени обслуживания и марковизи-руемым входящим потоком. Все известные результаты по исследованию систем вида G|GI|oo, M|GI|oo получаются как частные случаи.

В параграфе 5.1 посвящен описанию метода. На оси времени / отметим моменты наступления событий этого потока. Выделяется некоторый момент времени /, и полагается, что заявка входящего потока, поступившая в систему в момент времени t<t, =0, с вероятностью S(t) = 1 - B(t, -1) формирует событие просеянного потока, а с вероятностью 1 - S(t) не рассматривается.

Очевидно, что заявки, не попавшие в просеянный поток, завершат обслуживание и покинут систему до момента 1,, в то время как все заявки просеянного потока в момент будут находиться в системе, занимая её приборы.

Обозначим n{t) - число событий просеянного потока, наступивших до момента времени t. Если в некоторый начальный момент времени t0<t\ система

обслуживания свободна, то есть, в ней нет обслуживаемых заявок, то для момента времени f, выполняется равенство

'(',) = «ОД (5-1)

то есть число /'(/[) приборов, занятых в рассматриваемой системе обслуживания, равно числу п(1]) событий просеянного потока, наступивших до момента времени г,.

Полагая входящий поток стационарным, для определения стационарных характеристик случайного процесса /(/¡), будем рассматривать условие /0= ~хп, где х0 такое значение аргумента функции распределения В(х), что В(х0)=1. В частности, возможно х0= - со. Следовательно, S(l)=Q при всех t<t0, поэтому при выполнении условия l<t0 не наступают события в просеянном потоке.

Равенство (5.1) является основным для дальнейших исследований, так как проблему исследования немарковизируемой системы обслуживания с неограниченным числом приборов сводит к задаче анализа просеянного нестационарного потока, определяемого процессом «(/). Определив характеристики этого случайного процесса в произвольный момент времени t, где /0 < t < tx, положим t = t\, тогда, в силу равенства (5.1), его характеристики совпадают с характеристиками величины /(/|).

В параграфе 5.2 метод просеянного потока применяется для исследования системы BMAP|GIjoo.

Показано, что векторная характеристическая функция H(u,t) является решением дифференциально-матричного уравнения

^M = H(M,0Q{l + (e--l)s(4 (5.4)

ct

удовлетворяющим начальному условию

H(«,/0) = R, (5.5)

где R - вектор стационарного распределения вероятностей состояний марковского процесса k(t), определяемый системой уравнении

RQ = 0,

RE = 1,

где Е — единичный вектор-столбец и второе равенство является условием нормировки.

Так как уравнение является системой дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, то его решение Н(м,/) нельзя записать, применяя матричную экспоненту, поэтому применяется метод асимптотического анализа при предельном условии неограниченно растущего времени обслуживания. С помощью данного метода определены выражения для асимптотических харак-

теристических функций числа занятых приборов в системе. Для второй асимптотики получено выражение

h2{u) = h2{u, 0) = expj juK.fi + + K2ß2]

где значение параметра ß2 определяется равенством

ß2 = ]s>(y)dy = j(l - В(-у))гdy = }(1 - B(x))2dx =)(1 - B(x)fdx,

<» 0 0

вектор f2 является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

f2Q + R(Q'(l)-K,l) = 0,

и удовлетворяет условию f2E = 0, а величины Kj и к2определяются равенствами

к, = RQ'(1)E, к2 = RQ"(1)E + 2f2Q'(l)E.

Применяя к функции h2(u) обратное преобразование Фурье, запишем равенство

P2{i) = C^-]e-JU'h2(u)du, (5.37)

2 nj%

которое при />0 определяет аппроксимацию второго порядка P2(i) допредельного распределения вероятностей P(i) числа приборов, занятых в системе BMAPjGI|co.Величина С является нормирующей константой и определяется условием нормировки.

На численных примерах показано, что если значение параметра а более чем в три раза превосходит величину а (правило Зет), то погрешность аппроксимации, определяемая расстоянием Колмогорова

¿И«)-ад)

л-0

мезвду этими распределениями, достаточно мала и не превосходит Д=0.03.

Если величина За больше значения параметра а, то аппроксимация (5.37) допредельного распределения P(i) даёт значительную погрешность, что приводит к необходимости повышения точности аппроксимации. Такое повышение точности возможно применением аппроксимации третьего порядка. Показано, что асимптотика третьего порядка для характеристической функции h(u) числа /(/,) приборов, занятых в системе BMAP|GI|oo имеет вид

Д = шах

0<ioc

/¡з (и) = ехр{/ик,6 + [к,А + к2р2 ]+ ^- + Зк2р2 + кзрз ]| = [• О'")2 2 О)3 1

= exp j у ив + о2 + й з К

где значение параметра к3 определяется равенством

к, = RQ"(1)E + 3f2£7(l)E + 3f3Q'(l)E,

вектор f3 является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

f3Q + R(Q*(1) - к,1)+ 2f2(Q'(l) - к,1) = 0,

удовлетворяющим условию f3E = 0, a параметры p3 и ц3 имеют вид

ос

р3 = J(1 - B(yffdy, Цз = к fi + Зк2Р2 + к3рз.

с

Применяя к функции /г3(ы) обратное преобразование Фурье, запишем равенство

PJi) = C^-)e->"4h(u)du, (5.51)

2л J

-я

которое при (>О определяет аппроксимацию третьего порядка P2(i) допредельного распределения вероятностей P(i) числа приборов, занятых в системе BMAP|GI|=o.

Сравнение допредельного распределения P(i) с асимптотическими P2(i) и P}(i) выполним по расстоянию Колмогорова для различных значений параметра Ь.

В результате многочисленных численных экспериментов установлено, что аппроксимация третьего порядка /з(/") в три и более раз точнее по расстоянию Колмогорова, чем аппроксимация второго порядка Р2(/).

Параграф 53 посвящен исследованию немарковских систем параллельного обслуживания на примере системы вида mr(2)\gi2 | оо. Для таких систем предлагается модификация метода просеянного потока, которая позволяет свести исследование системы параллельного обслуживания с произвольной функцией распределения времени обслуживания и двумя блоками к анализу нестационарного двумерного марковизируемого потока.

Построен четырехмерный нестационарный марковский процесс {/t(f),«,(/),n2(t),-(/)), для которого также записана система дифференциальных уравнений Колмогорова и получено уравнение для характеристической вектор-функции н(к],м2,г,/), решение которого находится при условии эквивалентного роста времени обслуживания в блоках (bk —> оо, ¿=1,2).

В результате показано, что для систем параллельного обслуживания сдвоенных заявок процесс, характеризующий число занятых приборов в блоках можно аппроксимировать двумерным гауссовским распределением, параметры которого определяются функцией распределения времени обслуживания и характеристиками входящего потока.

В шестой главе описан комплекс программ, ориентированыый на численную реализацию результатов, полученных в диссертации предлагаемыми аналитическими методами, а также для определения области применимости в допредельной ситуации асимптотических результатов, полученных при выполнении предельного условия неограниченно растущего времени обслуживания.

Для этого выполнено имитационное моделирование немарковских систем с неограниченным числом приборов и непуассоновскими входящими потоками и создано программное обеспечение численного анализа вероятностных характеристик рассматриваемых систем. Разработаны программы, реализующие метод начальных моментов, позволяющий находить допредельные характеристики исследуемых процессов, а именно математическое ожидание, дисперсию и коэффициент корреляции, а также гауссовскую аппроксимацию исследуемых процессов и аппроксимацию третьего порядка, полученную методом асимптотического анализа.

Численные расчеты, проведенные с помощью разработанных программ, отражены в главах 2,4, 5 настоящей диссертации.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы, полученные на основе настоящей диссертационной работы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки Российской Федерации для опубликования основных результатов диссертаций, и в журнале, включенном в международную базу научного цитирования Scopus:

1. Moisccva, S. P. Mathematical model of parallel retrial queueing of multiple requests / S. P. Moiseeva, I. A. Zakhorolnaya // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. - 2011. - Vol. 47, iss. 6. - P. 567-572. - 0,6 / 0,3 п.л,-DOI: 0.3103/S8756699011060276

2. Морозова, А. С. Исследование экономико-математической модели влияния ценовой скидки для постоянных клиентов на прибыль коммерческой организации / А. С. Морозова, С. П. Моисеева, А. А. Назаров // Вестник Томского государственного университета. - 2006. - № 293. - С. 49-52. - 0,48 /0,16 п.л.

■ 3. Карлыханова, Т. А. Исследование системы МАР|М|оо методом моментов / А. А. Назаров, С. П. Моисеева, Т. А. Карлыханова// Вестник Томского государственного университета. - 2006. - № 293. - С. 99-104. - 0,72 / 0,24 п.д.

4. Назаров, А. А. Исследования СМО с повторным обращением и неограниченным числом обслуживающих приборов методом предельной декомпозиции / А. А. Назаров, С. П. Моисеева, А. С. Морозова // Вычислительные технологии. - 2008. - Т. 13, S5. - С. 88-92,- 0,60 / 0,20 пл.

5. Ивановская, И. А. Исследование модели параллельного обслуживания кратных заявок в нестационарном режиме / И. А. Ивановская, С. П. Моисеева // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. - № 3 (12). - С. 21-28. - 0,64 / 0,32 п.л

6. Ивановская, И. А. Исследование математической модели параллельного обслуживания заявок смешанного типа / И. А. Ивановская, С. П. Моисеева // Известия Томского политехнического университета. - 2010. - Т. 317, № 5. - С. 32-34.-0,26/ 0,13 п.л.

7. Жидкова, Л. А. Исследование системы параллельного обслуживания кратных заявок простейшего потока / JI. А. Жидкова, С. П. Моисеева // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика.-2011.-№4 (17) .-С. 49-54.-0,54/0,27 пл.

8. Моисеева, С. П. Математическая модель параллельного обслуживания кратных заявок с повторными обращениями / С. П. Моисеева, И. А. Захороль-ная // Автометрия. - 201 1. - Т. 47, № 6. - С. 51-58. - 0,6 / 0,3 п.л.

9. Синякова, И. А. Метод моментов для исследования математической модели параллельного обслуживания кратных заявок потока марковского восстановления / И. А. Синякова, С. П. Моисеева // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 321, № 5. - С. 24-28. - 0,5 / 0,25 п.л.

10. Моисеев, А. Н. Исследование входящего потока для GRID-системы с адаптируемым выделением вычислительных ресурсов / А. Н. Моисеев, С. П. Моисеева // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2012. - № 3 (20). - С. 81-87. - 0,64 / 0,32 п.л.

11. Синякова, И. А. Исследование системы MAP(2)|GI2| оо методом просеянного потока / И. А. Синякова, С. П. Моисеева // Вестник Кемеровского государственного университета. - 2012. - Вып. № 1 (49). - С. 47-53. - 0,6 / 0,3 п.л.

12. Крысанова, К.А. Метод асимптотического анализа для исследования моделей параллельного обслуживании кратных заявок потока Марковского восстановления / К. А. Крысанова, С. И. Моисеева // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. -2012.I (18). -С. 82-90.-0,9/0,45 пл.

13. Жидкова, С. П. Математическая модель потоков покупателей двух-продуктовой торговой компании в виде системы массового обслуживания с повторными обращениями к блокам /Л. А. Жидкова, С. П. Моисеева // Известия Томского политехнического университета. - 2013. - Т. 322, № 5. - С. 5-9. - 0,5 / 0,25 п.л.

14. Жидкова, Л. А. Исследование числа занятых приборов в системе ММРР|М|со с повторными обращениями / Л. А. Жидкова, С. П. Моисеева // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика,-2014.-№ 1 (26).-С. 53-62.-0,82/0,41 п.л.

Монографии:

15. Назаров, А. А. Методы асимптотического анализа в теории массового обслуживания / А. А. Назаров, С. П. Моисеева - Томск : Изд-во НТЛ, 2006. -112 с.-6,51/3,255 п.л..

16. Гарайшина, И. Р. Методы исследования коррелированных потоков и специальных систем массового обслуживания / И. Р. Гарайшина, С. П. Моисеева, А. А. Назаров - Томск: Изд-во НТЛ, 2010.-204 с. - 11,86 / 3,953 п.л.

Публикация в сборнике материалов конференции, включенном в международную базу научного цитирования Web of Science:

17. Sinyakova, I. Investigation of output flows in the system with parallel service of multiple requests /1. Sinyakova, S. Moiseeva // Problems of Cybernetics and Informatics (PCI'2012): IV International Conference. Baku, Azerbaijan, September 12-14, 2012. - Baku, 2012. - P. 180-181. - 0,15 / 0,075 п.л. -DOI: 10.1109/1CPCI.2012.6486413

Публикации в других научных изданиях:

18. Моисеева, С. П. Исследование потока повторных обращений в беско-нечнолинейной СМО с повторным обращением / А. А. Назаров, С. П. Моисеева, А. С. Морозова // Вестник Томского государственного университета. Приложение.- 2005. - Т. 287. - С. 46 - 53. - 0,96 / 0,32 п.л.

19. Моисеева, С. П. Исследование потока обращений в бесконечноли-нейной СМО с повторным обслуживанием / С. П. Моисеева, А. С. Морозова // Обработка данных и управление в сложных системах : сборник статей / под ред. А. Ф. Терпугова. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2005. - Вып. 7. - С. 158-164. -0,64/0,32 п.л.

20. Моисеева, С. П. Основные характеристики потока обращений в бес-конечнолинейной СМО с повторным обслуживанием / С. П. Моисеева, А. С. Морозова // Научное творчество молодежи : материалы IX Всероссийской научно-практической конференции 15-16 апреля 2005 г. : в 2 ч. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2005. - Ч. 1. - С. 36-37. - 0,14 / 0,07 п.л.

21. Моисеева, С. П. Распределение вероятностей двумерного потока обращений в бесконечнолинейной СМО с повторным обращением / С. П. Моисеева, А. С. Морозова // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2005) : материалы IV Всероссийской научно-практической конференции 18-19 ноября 2005 г. : в 2 ч. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2005. -Ч. 1.-С. 113-115.-0,16 /0,08 п.л.

22. Моисеева, С. II. Распределение вероятностей двумерного потока обращений в нестационарной бесконечнолинейной системе массового обслуживания с повторным обращением / С. П. Моисеева, А. С. Морозова // Научное творчество молодежи : материалы X Всероссийской научно-практической конференции 21-22 апреля 2006 г.: в 2 ч.- Томск: Изд-во Том. ун-та, 2006. -Ч. 1. -С. 168-169.-0,14/0,07 п.л.

23. Моисеева, С. П. Распределение вероятностей двумерного потока обращений в бесконечнолинейной системе массового обслуживания с повторным обращением / А. А. Назаров, С. П. Моисеева, А. С. Морозова // Вестник Томского государственного университета. Приложение. - 2006. - Т. 290, № 16. - С. 125-130.-0,72/0,24 пл.

24. Моисеева, С. II. Исследование суммарного потока обращений в бесконечнолинейной СМО с повторным обращением / А. А. Назаров, С. П. Моисеева, А. С. Морозова // Вестник Томского государственного университета. Приложение. - 2006. - Т. 290, № 16. - С. 173-175. - 0,36 /0,12 пл.

25. Моисеева, С. П. Исследование потока обращений в нестационарной бесконечнолинейной системе массового обслуживания с повторным обращением / С. П. Моисеева, А. С. Морозова // Информационные технологии и математическое моделирование ИТММ-2006г. : материалы V Международной научно-практической конференции 10-11 ноября 2006г. : в 2 ч. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2006. - Ч. 1. - С. 128-130. - 0,12 / 0,06 пл.

26. Моисеева, С. П. Исследование процесса изменения дохода торговой компании с учетом предоставляемых скидок / С. П. Моисеева, А. С. Морозова // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2006) : материалы V Международной научно-практической конференции 10-11 ноября 2006 г. : в 2 ч - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2006. - Ч. 1С. 126-128. - 0,13 / 0,065 пл.

27. Морозова, А. С. Математическая модель процесса изменения числа клиентов торговой компании в виде СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов. / С. П. Моисеева, А. С. Морозова, К. М. Одинцов //Научное творчество молодежи : материалы XI Всероссийской научно-практической конференции 20-21 апреля 2007 г. : в 2 ч. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2007. -Ч. 1.-С. 37-39.-0,15 /0,05 пл.

28. Ананина, И. А. Исследование СМО с повторным обращением и неограниченным числом обслуживающих приборов методом предельной декомпо-

зиции / И. А. Ананина, С. П. Моисеева // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2008) : материалы VII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием 14-15 ноября 2010г.: в 2 ч,- Томск : Изд-во Том. ун-та, 2008. - Ч. 2. - С. 3-5. - 0,12 / 0,06 пл.

29. Ананина, И. А. Исследование потоков в системе M/GI/ю с повторными обращениями методом предельной декомпозиции / И. А. Ананина, С. П. Моисеева, А. А. Назаров // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2009. - № 3 (8). — С. 56-67,- 1,17/0,39 п.л.

30. Ананина, И. А. Математическая модель изменения дохода торговой компании / И. А. Ананина, С. П. Моисеева, А. А. Назаров// Финансово-актуарная математика и смежные вопросы (ФАМ-2009) : труды восьмой международной конференции 24-26 апреля, 2009 г. - Красноярск : Сиб. фед. ун-т, 2009,- С. 114-116.-0,15/0,075 пл.

31. Ананина, И. А. Основные вероятностные характеристики дохода торговой компании с учетом влияния скидки на товар / И. А. Ананина, С. П. Моисеева // Научное творчество молодежи : материалы XIII Всероссийской научно-практической конференции 14-15 мая 2009 г. : в 2 ч- Томск : Изд-во Том. унта, 2009. - Ч. 1. -С. 8-10. - 0,12 / 0,06 п.л.

32. Моисеева, С.П. Математическая модель страховой компании в виде ММР|М|бесконечность / С.П. Моисеева, В.В. Сергеева, Е.С. Ронжина // Научное творчество молодежи : материалы XIII Всероссийской научно-практической конференции 14-15 мая 2009 г. : в 2 ч - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2009. - Ч. 1. -С. 86-90.-0,15/0,05 пл.

33. Ивановская, И. А. Исследование системы MMP<2"GI2[oo методом просеянного потока / С. П. Моисеева, И. А. Ивановская // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2009): материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием 13-14 ноября 2009 г. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2009. - Ч. 1. С. 32-36. - 0,2 / ОД пл.

34. Ивановская, И. А. Исследование допредельной модели ММР-потока / С. П. Моисеева, И. А. Ивановская // Научное творчество молодежи : материалы XIII Всероссийской научно-практической конференции 14-15 мая 2009 г. -Томск : Изд-во Том. ун-та, 2009. - Ч. 1. - С. 37-40. - 0,16 / 0,08 пл.

35. Ивановская, И. А. Исследование системы массового обслуживания gP'gi 2|оо методом моментов / С. II. Моисеева, И. А. Ивановская // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2010) : материалы IX Всероссийской научно-практической конференции с международным участием 19-20 ноября 2010 г.: в 2 ч. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2010. - Ч. 1. -С. 77-82.-0,24/0,12 пл.

36. Ивановская, И. А. Математическая модель параллельного обслуживания заявок в распределенных вычислительных системах / С. П. Моисеева, И. А. Ивановская // Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения : сборник научных статей. - Минск : РИИШ, 2010. - Вып. 3. - С. 122— 126.-0,58/0,29 пл.

37. Ивановская, И. А. Немарковская модель параллельного обслуживания сдвоенных заявок / С. П. Моисеева, И. Л. Ивановская // Научное творчество молодежи : материалы XIV Всероссийской научно-практической конференции 15-16 апреля 2010 г. : в 2 ч. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2010. - Ч. 1. - С. 35-38.-0,16/0,08 пл.

38. Моисеева, С. П. Исследование системы массового обслуживания gi(2)igu со методом просеянного потока ! С. П. Моисеева, В. В. Сергеева // Научное творчество молодежи : материалы XIV Всероссийской научно-практической конференции 15-16 апреля 2010 г. : в 2 ч. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2010. -Ч. 1.-С. 88-90.-0,11 /0,055п.л.

39. Ivanovskaya I. Investigation of the queuing system MMP(2)IM,I со by method of the moments / S. Moiseeva, I. Ivanovskaya // Problems of Cybemetics and Informatics : the third international conférence. Baku, Azerbaijan. September 6-8, 2010. - Baku : Elm, 2010. - Vol. 2. - P. 196-199. - 0,2 / 0,1 пл.

40. Moiseeva S. Investigation mathematical models with parallel opération service blocks / S. Moiseeva, I. Sinyakova // Information Technologies and statistics : annotation of International Scientific Conference, 8-9 October 2010. Sofia, Bulgaria. — Sofia: University ofNational and world economy Sofia. — P. 51. - 0,1 / 0,05 пл.

41. Катаева, E. С. Математическая модель параллельного обслуживания со смешанным входящим потоком / Е. С. Катаева, С. П. Моисеева // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : тезисы докладов Восьмой Российской конференции с международным участием. — Томск : Изд-во НТЛ, 2010.-С. 35.-0,1 /0,05 пл.

42. Ивановская, И. А. Исследование системы MAP(2)IGI2| оо методом просеянного потока / С. П. Моисеева, И. А. Ивановская // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : тезисы докладов Восьмой Российской конференции с международным участием, 5-8 октября 2010 г. — Томск : Изд-во НТЛ, 2010.-С. 33.-0,1 /0,05 пл.

43. Жидкова, Л. А. Математическая модель изменения численности клиентов торговой компании / Л. А. Жидкова, С. П. Моисеева // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2011) : материалы X Всероссийской научно-практической конференции с международным участием 25-26 ноября 2010 г. : в 2 ч. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2011. - Ч. 1. - С. 115121. -0,28 / 0,14 пл.

44. Моисеев, А. Н. Базовая объектная модель слоя предметной области системы имитационного моделирования процессов массового обслужи-

вания / А. H. Моисеев, С.П. Моисеева, M. В. Синяков // Application Of Information And Communication Technology In Economy And Education (ICAICTEE-2011) : Proceedings Of The International Conference, 2-3 December, 2011, Sofia, Bulgaria. - Sofia : University of National and world economy, 2011.-C. 230-236. - 0,24 / 0,08 п.л.

45. Захорольная, И. А. Исследование модели параллельного обслуживания кратных заявок с повторными обращениями к блокам / С. П. Моисеева, И. А. Захорольная // Научное творчество молодежи : материалы XV Всероссийской научно-практической конференции 28 - 29 апреля 2011 г. : в 2 ч.- Томск : Изд-во Том. ун-та, 2011. - Ч. 1. - С. 25-28. - 0,16 / 0,08 пл.

46. Захорольная, И. А. Математическая модель процесса изменения дохода от продажи взаимодополняющих товаров / И. А. Захорольная, С. П. Моисеева // Финансово-актуарная математика и эвентоконвергенции технологий (ФАМЭТ—2011) : труды X международной конференции 23-24 апреля, 2011 г. -Красноярск : Сиб. фед. ун-т, 2011,- С. 157-170. - 0,15 / 0,075 пл.

47. Захорольная, И. А. Исследование выходящих потоков в системе массового обслуживания с параллельным обслуживанием парных заявок / И. А. Захорольная, С. П. Моисеева // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2011) : материалы X Всероссийской научно-практической конференции с международным участием 25-26 ноября 2011 г. : в 2 ч. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2011. -Ч. 1. - С. 121-124. -0,17/0,085 п.л.

48. Моисеева, С. П. Исследование модели параллельного обслуживания сдвоенных заявок с рекуррентным входящим потоком/ С. П. Моисеева, И. А. Синякова // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2011) : материалы X Всероссийской научно-практической конференции с международным участием 25 - 26 ноября 2011 г. : в 2 ч. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2011.-Ч. 1.-С. 175-179.-0,21 /0,105 пл.

49. Моисеева, С. П. Исследование системы обслуживания сдвоенных заявок с входящим потоком марковского восстановления методом моментов / С. П. Моисеева, И. А. Синякова // Научное творчество молодежи : материалы XV Всероссийской научно-практической конференции 28-29 апреля 2011 г. : в 2 ч,- Томск : Изд-во Том. ун-та, 2011. - Ч. 1. - С. 34-37. - 0,12 / 0,06 пл.

50. Moiseeva S. Investigation of queuing system GI(2)iM2|od / S. Moiseeva, 1 Sinyakova // Queues: flows, systems, networks : proceedings of the International Conference «Modern Probabilistic Methods for Analysis and Optimization of Information and Telecommunication Networks». Minsk, January 31 - February 3, 2011. — Minsk, 2011. - P. 219-225. - 0,24 / 0,12 пл.

51.3енкова, Д. А. Математическая модель изменения дохода торговой компании / Д. А. Зенкова, Н. П. Кривец., А. С. Морозова, С. П. Моисеева // На-

учи ос творчество молодежи : материалы XVI Всероссийской научно-практической конференции 17-18 мая 2012 г.: в 2 ч. - Анжеро-Судженск, 2012. - Ч. 1. - С. 15-17. - 0,12 / 0,03 пл.

52. Moisecva S. Modeling of Insurance Company as Infinite-Servers Queueing System / S. Moiseeva, A. Moiseev, I. Sinyakova// International conference on application of information and communication technology and statistics in economy and education. Sofia, Bulgaria, 2012. - Sofia : UNWE, 2012. - P. 78-84. - 0,6 / 0,2 пл.

53. Moisecva, S. System with parallel service of the multiple requests as a mathematical model of functioning of an insurance company / S. Moiseeva, I. Sinyakova // Modern stochastic: theory and application III: International Conference, September 10-14,2012. - Kiev, 2012. - P. 69. - 0,1 / 0,05 пл.

54. Моисеева, С. П. Сравнение асимптотических и точных результатов исследования СМО МАР(2)|М2[оо / С. П. Моисеева, И. А. Синякова // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2012) : материалы XI Всероссийской научно-практической конференции с международным участием 23-24 ноября 2012 г. : в 2 ч. - Кемерово : Практика, 2012. - Ч. 2. - С. 127-130.-0,18/0,09 п.л.

55. Моисеева, С. П. Метод просеянного потока для исследования немарковских СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов / С. П. Моисеева, А. А. Назаров // Теория вероятностей и ее приложения : тезисы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б. В. Гнеденко 26-30 июня 2012 г. - Москва : ЛЕНАНД, 2012. - С. 200-201. -0,1/0,05 пл.

56. Моисеева, С. П. Исследование вероятностно-временных характеристик MMPP-потока разнотипных заявок / С. П. Моисеева, Е. В. Панкратова // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2013): материалы XII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием имени А.Ф. Терпугова 29-30 ноября 2013 г. : в 2 ч. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2011. - Ч. 2. - С. 75-80. -0,24 /0,12 пл.

57. Жидкова, Л. А. Исследование системы массового обслуживания ММРР|М|ю с повторным обслуживанием / Л. А. Жидкова, С. П. Моисеева // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2013): материалы XII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием имени А.Ф. Терпугова 29- 30 ноября 2013 г. : в 2 ч. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2011. - Ч. 2. - С. 12-15. - 0,16 / 0,08 п.л.

58. Моисеева, С. II. Исследование вероятностных характеристик математической модели обслуживания разнотипных заявок телекоммуникационного потока / С. П. Моисеева, Е. В. Панкратова // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных

систем : материалы Всероссийской конференции с международным участием: 22 - 26 апреля 2013 г. - Москва : РУДН, 2013. - С. 39-42. - 0,14 / 0,07 пл.

59. Моисеева, С. П. Исследование многопродуктовой немарковской системы массового обслуживания методом динамического просеивания / С. П. Моисеева, Е. В. Панкратова // Distributed computer and communication network: control, computation, communications: Proceedings of International Conference 7-10 октября. - M. : Техносфера, 2013. - С. 386-393. - 0,64 / 0,32 п.л.

60. Моисеева, С. П. Математическая модель страховой компании в виде системы массового обслуживания М|М|со / С. П. Моисеева, И. А. Синякова // Современные вероятностные методы анализа, проектирования и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей : международная научная конференция. Минск, 28-31 января 2013 г. - Минск : Изд-во центр БГУ, 2013. -С. 154-159.-0,16/0,08 п.л.

61. Жидкова, JI. А. Исследование системы GI[M[oo с повторным обращениями / JI. А. Жидкова, С. II. Моисеева // Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем : материалы П Всероссийской молодежной научной конференции // Труды Томского государственного университета. Сер. физико-математическая. -Томск : ИД Томского государственного университета, 2014. - Т. 295. - С. 94-100.-0,75/0,375 п.л.

62. Лисовская, Е. Ю. Исследование суммарного потока обращений в систему с повторным обслуживанием / Е. Ю. Лисовская, С. П. Моисеева // Математическое и программное обеспечение информационных, технических н экономических систем : материалы II Всероссийской молодежной научной конференции // Труды Томского государственного университета. Сер. физико-математическая. - Томск : ИД Томского государственного университета, 2014. - Т. 295. - С. 120-124. - 0,6 / 0,3 п.л.

Подписано в печать 24.09.2014 г. Формат А4/2. Ризография ч. л. 1,5. Тираж 120 экз. Заказ № 09/09-14 Отпечатано в ООО «Познтив-НБ» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а