автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математических моделей потоков в системах с неограниченным числом линий методом предельной декомпозиции

005019408

На правах рукописи

Захорольная Ирина Алексеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОТОКОВ В СИСТЕМАХ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ ЛИНИЙ МЕТОДОМ ПРЕДЕЛЬНОЙ ДЕКОМПОЗИЦИИ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 В дпр гш

Томск-2012

005019408

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский государственный университет» на кафедре теории вероятностей и математической статистики

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Назаров .Анатолий Андреевич

Официальные оппоненты: Дмитриев Юрий Глебович - доктор физико-

математических наук, профессор, профессор кафедры теоретической кибернетике! ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский государственный университет»

Китаева Анна Владимировна - доктор физико-математических наук, доцент, доцент кафедры международного менеджмента Института инженерного предпринимательства ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томского политехнический университет»

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный

университет»

Защита состоится 17 мая 2012 г. в 12.00 на заседании диссертационного совета Д 212.267.08 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, шрп. 2, ауд. 102.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью организации, просим направлять по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 4 апреля 2012 г/.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

Скворцов Алексей Владимирович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В последние годы появляется все больше работ, посвященных исследованию систем массового обслуживания (СМО) с большим и неограниченным числом линий. Начало исследований таких СМО положили Кокс, Б.А. Севастьянов, Такач, Кифер и Вольфовиц, рассматривавшие СМО со многими приборами и простейшим входящим потоком или показательным законом распределения времени обслуживания. Исследованию многофазных и многолинейных СМО с ошибками в обслуживании и отказами приборов посвящены работы А.Н. Дудина, A.B. Пе-чинкина, В.В. Чаплыгина. Многоканальные СМО с очередью и неординарным входящим потоком рассматриваются в работах A.A. Боровкова. В работах В.А. Ивницкого проводится исследование многолинейной СМО с конечным числом источников требований. СМО с отрицательными заявками рассматриваются в работах П.П. Бочарова, В.И. Клименок. В работах В.И. Клименок также рассматриваются СМО с групповым входящим потоком и повторными вызовами на одной из фаз обслуживания. Исследований СМО с неограниченным числом линий проводилось гораздо меньше, им посвящены работы Г.П. Башарина, A.A. Назарова, Д. Баума, Л. Броера. Эти СМО не учитывали возможности повторного обслуживания заявок и потоки, формируемые в связи с этим, не исследовались.

Исследование СМО с неограниченным числом линий в работах этих авторов сводилось к исследованию стационарных характеристик системы, а именно числа заявок в системе, количества занятых линий и т.д. Для их изучения широко применяют методы асимптотического анализа, имитационного моделирования и численного анализа. Эти методы не позволяют получать точные аналитические выражения для вероятностных характеристик системы.

Целью работы является построение и исследование математических моделей случайных потоков, возникающих в различных предметных областях, объекты которых рассматриваются в виде СМО с неограниченным числом линий обслуживания.

В рамках указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработать метод исследования потоков в СМО с неограниченным числом линий.

2. Построить математическую модель потоков клиентов коммерческой организации в виде потоков в одно- и двухфазной СМО с неограниченным числом линий и повторными обращениями к фазам, количественными характеристиками которых являются доход компании и число клиентов компании различной категории (новые, постоянные, VIP - клиенты).

3. Исследовать вероятностные характеристики потоков в указанных СМО, когда входящий поток клиентов является простейшим, а время обслуживания произвольное.

4.-. Построить и исследовать экономико-математическую модель влияния параметров проводимых маркетинговых акций (размер предоставляемых скидок, бонусов постоянным покупателям) на доход компании.

5. Построить математическую модель финансовых потоков процедуры пожизненной ренты в виде потоков в системе с неограниченным числом фаз и линий и исследовать вероятностные характеристики этой модели.

6. Построить математическую модель параллельной вычислительной системы (ПВС) в виде системы параллельного обслуживания парных заявок с повторными обращениями.

7. Исследовать характеристики указанной системы при входящем потоке парных заявок и экспоненциальном времени обслуживания в блоках.

8. Построить имитационную модель потоков в СМО с неограниченным числом приборов и повторным обслуживанием, позволяющую получать характеристики этих потоков, в случае, когда входящий поток заявок не является пуассоновским и метод предельной декомпозиции не применим.

Научная новизна результатов проведенных исследований:

1. Разработан метод предельной декомпозиции, позволяющий получать точные вероятностно-временные характеристики потоков в СМО с неограниченным числом фаз и линий, повторным обслуживанием и произвольной функцией распределения времени обслуживания на приборе. Применяемые ранее для решения подобных задач методы производящих и характеристических функций допускали исследование подобных систем лишь для экспоненциального времени обслуживания на приборе, что существенно ограничивало область применения полученных результатов.

2. Впервые предложены математические модели потоков клиентов коммерческой организации в виде потоков СМО с неограниченным числом линий, одной, двумя или неограниченным числом фаз и повторными обращениями, с произвольной функцией распределения времени обслуживания на фазах. Существовавшие ранее модели были разработаны лишь для экспоненциального времени потребления товара. С помощью разработанного метода предельной декомпозиции получены вероятностно-временные характеристики исследуемых потоков в системе. Построенные модели позволяют определять доход коммерческой организации и пара' метры проведения маркетинговых акций с целью расширения рынка сбыта.

3. Впервые построена математическая модель процедуры пожизненной ренты в виде СМО с неограниченным числом фаз й линий. С помощью разработанного метода предельной декомпозиции получены вероятностно-временные характеристики финансовых потоков в этой системе и процесса изменения прибыли плательщика ренты, получена функция изменения прибыли компании в зависимости от величины рентных выплат и затрат на привлечение клиентов.

4. Построена математическая модель ЛВС в виде системы параллельного обслуживания парных заявок с повторными обращениями к блокам. С помощью разработанного метода предельной декомпозиции получены вероятностно-временные характеристики исследуемых потоков в системе. Построенная модель позволяет определять не количество задач в системе, как в других существующих моделях в виде СМО, а количество требований на повторное выполнение решения подзадач, что позволяет оценить эффективность этого решения.

5. Разработан комплекс проблемно-ориентированных алгоритмов и программ имитационного моделирования СМО с неограниченным числом линий и повторным обслуживанием, а также MAP- и SM-потоков, поступающих на ее вход.

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод предельной декомпозиции для исследования потоков в СМО с неограниченным числом фаз и линий, повторным обслуживанием и произвольной функцией распределения времени обслуживания на приборе.

2. Математические модели потоков клиентов коммерческой организации в виде потоков в СМО с неограниченным числом линий, одной, двумя или неограниченным числом фаз и повторными обращениями, с произвольной функцией распределения времени обслуживания на фазах. Вероятностно-временные характеристики потоков в СМО с неограниченным числом линий, одной, двумя или неограниченным числом фаз и повторными обращениями, с произвольной функцией распределения времени обслуживания на фазах.

3. Математическая модель процедуры пожизненной ренты в виде СМО с неограниченным числом фаз и линий и вероятностно-временные характеристики финансовых потоков.

4. Математическая модель ПВС в виде системы параллельного обслуживания парных заявок с повторными обращениями к блокам и вероятностно-временные характеристики потоков в системе.

5. Комплекс проблемно-ориентированных алгоритмов и программ имитационного моделирования СМО с неограниченным числом линий и повторным обслуживанием, а также MAP- и SM-потоков, поступающих на ее вход.

Методы исследования. Для исследования СМО с неограниченным линий, пуассоновским входящим потоком и произвольным временем обслуживания был разработан метод предельной декомпозиции.

Исследование всех построенных математических моделей проводилось та1сже методами анализа марковизируемых систем, методами теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории интегральных и дифференциальных уравнений в частных производных.

Все .численные расчеты проводились с использованием стандартных, опробованных и протестированных методов и процедур.

В случае, когда входящий поток в исследуемых СМО отличен от пу-ассоновского, метод предельной декомпозиции становится не применим. Для анализа потоков в таких СМО в работе предложен алгоритм имитационного моделирования СМО с неограниченным числом линий, повторным обслуживанием и непуассоновским входящим потоком и реализован с использованием пакета Mathcad 13.0.

Теоретическая значимость работы заключается в развитии теории массового обслуживания, состоящем в разработке метода исследования потоков в СМО с неограниченным числом линий, применимого для анализа широкого класса математических моделей.

Практическая ценность: Построенные в работе математические модели потоков клиентов коммерческой организации могут быть использованы при расчете параметров маркетинговых акций и ожидаемого дохода компании на этапе формирования ценовой политики при расширении ранка сбыта. Математическая модель финансовых потоков процедуры пожизненной ренты может быть рекомендована для расчета размера рентного платежа, позволяющего одновременно поднять содержание клиента на более высокий уровень и сделать процедуру пожизненной ренты экономически выгодным предприятием.

Достоверность и обоснованность всех полученных в диссертации результатов подтверждается строгим математическим исследованием с использованием методов теории вероятностей, случайных процессов, теории массового обслуживания, дифференциального и интегрального исчисления.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Постановка изложенных в диссертации задач была сделана научным руководителем аспиранта, д.т.н., проф. А.А.Назаровым. Доказательство и обоснование полученных в диссертации результатов, математические выкладки, численные расчеты выполнены лично автором. В совместных публикациях научному руководителю A.A. Назарову принадлежат постановки задач и указания основных направлений исследований, а основные результаты, выкладки и численные расчеты выполнены диссертантом.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

1. VII-X Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск. АСФКемГУ. 2008-2011 гг.

2. VIII-X Международная конференция «Финансовая математика и смежные вопросы». Красноярск, КГТЭИ. 2009-2011 гг.

3. X1II-XV Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи». Анжеро-Судженск. АСФКемГУ. 2009-2011 г.

4. VIII Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур». Томск, ТГУ. 5-8 октября 2010 г.

5. XL1X Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск. НГУ. 16-20 апреля 2011 г.

6. Российская научная конференция с участием зарубежных исследователей «Моделирование систем информатики». Новосибирск, СГУТиИ. 8-11 ноября 2011 г.

7. Международная научная конференция «Современные математические методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей». Минск. 2010, 2011 гг.

Публикации. По результатам проведенных исследований автором опубликовано 19 печатных работ, в том числе 5 статей, из которых 3 в изданиях, рекомендованных списком ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 116 наименований. Общий объем работы составляет 170 страниц, в том числе основной текст -159 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель и задачи диссертационного исследования, изложена его научная новизна, раскрыты теоретическое значение и практическая ценность полученных результатов, кратко излагается содержание диссертационной работы.

Первая глава посвящена исследованию потоков заявок в СМО с неограниченным числом линий, одной и двумя фазами обслуживания и повторным обслуживанием на фазах.

В разделе 1.1 предлагается метод предельной декомпозиции для ис-следЬванля потоков в СМО с неограниченным числом обслуживающих линий и входящим пуассоновским потоком. Суть этого метода заключается в следующем.

Пуассоновский с интенсивностью X входящий поток разделим по полиномиальной схеме с равными вероятностями на N независимых пуассо-новских потоков с интенсивностями X/N. Для заявок каждого из потоков определим единственную соответствующую линию обслуживания и будем рассматривать однолинейную СМО с отказами в обслуживании для тех заявок, которые поступили на периодах занятости линии. Линия считается занятой, если занята одна из ее фаз обслуживания. Следовательно, формируется N независимо функционирующих однолинейных СМО, исследование которых гораздо проще, чем исследование исходной СМО с неограниченным числом линий. В связи с возможностью отказов в обслуживании,

суммарные характеристики полученной совокупности N независимых однолинейных СМО не эквивалентны соответствующим характеристикам исходной СМО с неограниченным числом линий. Показано, что этот недостаток устраняется предельным переходом в суммарных характеристиках при /V —> оо.

В разделе 1.2 проводится исследование СМО M|Gl|œ с повторным обслуживанием заявок, на вход которой поступает простейший с параметром X поток заявок. Время обслуживания на каждом приборе имеет произвольную функцию распределения В(х) одинаковую для всех приборов. Заявка, завершившая обслуживание, с вероятностью 1 -г покидает систему, а с вероятностью г обращается к системе для повторного обслуживания, формируя тем самым поток повторных обращений. Обозначим v(/) - число заявок входящего потока, поступивших в систему за время t, n{t) - число повторных обращений заявок в системе.

В параграфе 1.2.1 построена математическая модель потоков клиентов коммерческой организации в виде потоков СМО M|GIjoo с повторным обслуживанием заявок. Исследуемая СМО является однофазной и рассматривается только один тип клиентов, повторно обращающихся в компанию. То есть вероятность возвращения одинакова для всех клиентов. Периоды времени между моментами совершения покупок (время обслуживания) также имеют одинаковое для всех клиентов распределение.

В параграфе 1.2.2 исследуется случайный процесс m(t)=v(t)+n(t), равный сумме обращений в СМО за временя /. С помощью метода предельной декомпозиции доказано утверждение:

Теорема 1.1. Производящая функция G{x,t) суммарного числа обращений m{t) в СМО M\GI\<k с повторными обращениями имеет вид:

G(x, t) = ехр^дг, /)} = expj (х -1) Xt + r\f (x, s)ds.

I L о

где функция f(x,t) определяется обратным преобразованием Фурье-Стилтьеса от функции вида

• 1 -г 1 -гхВ (а)

ос

а В'{а)- jeja'<JB(t) - преобразование Фуръе-Стилтьеса от функции расо

пределения В(х).

Найдены математическое ожидание и дисперсия числа суммарных обращений в СМО.

В параграфе 1.2.3 рассмотрены отдельно потоки первичных и повторных обращений в СМО M|GI|co с повторным обслуживанием заявок.

Теорема 1.2. Производящая функция G(x,y,t) двумерного процесса {v(t),n(t)} в СМО M\Gl¡да с повторными обращениями имеет вид:

G{x,y,t) = exp|(jc - i)\t + r{y -1) J/(jc, j,

где функция fix.y.t) определяется обратным преобразованием Фурье-Стилтьеса от функции вида

Ф(а ,х,у) = )e""dj(x., у, 0 = А- (х -1 + r(y- X)) B'^L-, 5 1-r 1-fyB (а)

ос

а В'(а) = Jeya'c/S(/) - преобразование Фурье-Стилтьеса от функции рас-

0

пределения В(х).

Найдены числовые характеристики числа повторных обращений в СМО.

С помощью найденных вероятностных характеристик в параграфе 1.2.4 решается задача определения дохода коммерческой организации при объявлении компанией акции «подарок за покупку».

В разделе 1.3 рассматривается двухфазная СМО с неограниченным числом линий, на вход которой поступает простейший с параметром А. поток заявок. Поступившая заявка занимает одну из свободных линий, начиняя обслуживание с первой фазы. Линия считается занятой, если занята любая из её фаз. Завершив обслуживание на первой фазе, с вероятностью 1 - заявка покидает систему, а с вероятностью >\ обслуживается повторно: с вероятностью 1 - q на той же первой фазе, а с вероятностью q на второй. Завершив обслуживание на второй фазе, заявка с вероятностью 1 -г2 покидает систему, а с противоположной вероятностью г2 обслуживается на этой фазе вновь. Продолжительности фаз обслуживания стохастически независимы и определяются функциями распределения и Вг(х) для

первой и второй фазы соответственно. Таким образом, формируются потоки повторных заявок, описываемые случайными процессами /;,(?)> "2(0> где nk(t) - число повторных обращений к к-ой фазе, реализованных за время наблюдения (.

В параграфе 1.3.1 предлагается использовать такую СМО в качестве математической модели формирования потоков двух категорий постоянных клиентов, с заданной вероятностью перехода из первой категории во вторую. Это может быть связано с превышением общей суммы совершенных клиентом покупок некоторой пороговой величины и присвоением ему, например, статуса VIP-клиента. При этом вероятность возвращения и распределение времени между обращениями такого клиента изменятся.

В параграфе 1.3.2 ставится задача исследования суммарного случайного процесса n{t)= v(/)+ п,(/)+ n2(t) в рассматриваемой СМО.

Теорема 1.3. Производящая функция G(xj) суммарного чист обращений n(t) в двухфазной СМО с неограниченным числом линий и повторными обращениями к фазам имеет вид:

G(x,/) = expj (х - l)j Xl + r, j/ (x, sjds +r2j/, (*, s)ds

lio o J,

где функции fk(x,t) определяются обратными преобразованиями Фурье-Стилтьеса от функций вида

ф1(о,х) = = T-jri? -1);-Рт^ •

о l-'',('-</) \-xr\\-q)Bx (а)

0—_ » хг^/срДа,.»:)

.0 -M-rÜ-q))

в; (а)

1 -хггВ2{а)

х

где В,'(а)= ^е1"' с1Вк (г) - преобразование Фурье-Стилтьеса от функции

о

распределения Вк{/), к= 1,2.

В параграфе 1.3.3 проводится исследование трехмерного случайного процесса ),«,(/),и2(')} в рассматриваемой двухфазной СМО.

Теорема 1.4. Производящая функция С{х,у^у2^) трехмерного случайного процесса {\'(/), и,(/),«,(/)} в двухфазной СМО с неограниченным числом линий и повторными обращениями к фазам имеет вид:

С(х,у,,.у2,?) = ехр| ал(х -1)+ г, (у, (1 - <7)+ У2(] ~ +

-гг{уг-\)\/г{х

где функции fl{x,y\,y2,t) и /2{x,y¡,y2,t) определяются обратными преобразованиями Фурье-Стилтьеса от функций вида

X

ф,(а,х,з',) = je¡a'dj¡(x,y¡,y1,í) =

о

=--Áx-1 + .,(1 -чЬ. -*))---

\-rXl-qy "\-уп{\-д)В>(а)

tp2(a ,x,y¡,y2)= \eJ'"dJ2(x,yny2,l) =

\rtq(y2 -1)

B2'( a)

где Bk'(a)= jeJa'dBk{t) - преобразование Фурье-Стилтьеса от функции

о

распределения Bk(t), ¿=1,2.

Найдены основные числовые характеристики исследуемого случайного процесса.

В параграфе 1.3.4 решена задача нахождения основных вероятностных характеристик дохода, полученного торговой компанией за время I действия скидок постоянным покупателям. Полученные характеристики позволяют найти оптимальный размер предоставляемой скидки, обеспечивающий максимальный доход компании.

Вторая глава диссертационной работы посвящена исследованию потоков в СМО с неограниченным числом фаз и линий.

В разделе 2.1 рассматривается СМО M|GI|°o с повторным обслуживанием с учетом номера попытки, на вход которой поступает простейший с параметром X поток. Реализуется многократное обслуживание заявок. Заявка, выполняющая к-ое по счету обслуживание, называется ¿-заявкой. Первичные заявки, то есть заявки входящего простейшего потока, являются 1-заявкой. Завершив обслуживание, ¿-заявка с вероятностью l-rk покидает систему, а с вероятностью гк возвращается на прибор для повторного обслуживания, становясь (к+1)-заявкой. Время обслуживания к-заявки имеет произвольную функцию распределения Вк (.y).

В параграфе 2.1.1 построена математическая модель потоков клиентов таксопарка в виде потоков в СМО M)GI|co с повторным обслуживанием с учетом номера попытки.

В параграфе 2.1.2 проводится исследование суммарного потока обращений.

Теорема 2.1. Производящая функция G(x,t) суммарного числа обращений m{t) в СМО с неограниченным числом линий и повторными обращениями с учетом номера попытки имеет вид:

Найдены основные числовые характеристики случайного процесса m(t).

В параграфе 2.1.3 проводится исследование многомерного потока первичных обращений и повторных обращений заявок, ранее осуществивших обслуживание заданное число раз.

где функции fk(x,t) определяются выражениями

( к

1~\ К У'1

а В1... * (') - (*-' +1 У кратная свертка распределений B:(i).....

вМ

Теорема 2.2. Производящая функция (7(д",..,/) случайного вектора {я, (/),«2 (/),...} с неограниченным числом компонент имеет вид:

G(*px2,. . .,t) = ехр|л./(лг, -1)+ Y/k-fct ~ •

где функции fk(x],x2,...,t) определяются выражениями f1(xl,x2>...,i)=X{\ + {x,-\)BXt)), k-\ ( k k ^ Л(х1,х1,...,/) = Я.Пгу 1 + • k>2,

v=i v i=i /=/+1 y

a Bj k(t) - (к-1+1)-кратная свертка распределений Bt{t)..... Bk(c).

Найдены основные числовые характеристики исследуемого случайного вектора.

В параграфе 2.1.4. Получена функция прибыли таксопарка во время действия акции «/-ая поездка бесплатно». Исследовано изменение величины месячной прибыли компании в зависимости от параметра / проводимой акции.

В разделе 2.2 построена математическая модель финансовых потоков процедуры пожизненной ренты в виде потоков СМО с неограниченным числом линий и бесконечным числом фаз обслуживания в каждой линии, а вероятность перехода на (k + 1)-ую фазу определяется в виде

/i = S(*)/S(*-l),

где S(k) — функция дожития, то есть вероятность того, что человек доживет до возраста, определяемого номером к рассматриваемой фазы обслуживания.

В параграфе 2.2.1 предлагается рассматривать основные финансовые потоки плательщика ренты в виде потоков в СМО с неограниченным числом фаз и линий, описываемых случайными процессами: v(t) - число заявок входящего потока, поступивших в СМО за время t, то есть число заключенных компанией договоров пожизненной ренты за указанный промежуток времени; n(t) - число фаз, завершенных всеми заявками за время /, то есть количество выплаченных компанией рентных платежей по всем договорам за время /; m(t) - число заявок, завершивших обслуживание и покинувших СМО за время t, то есть количество случаев реализации отошедшей компании недвижимости.

В параграфе 2.2.2 проводится исследование случайного процесса {v(/),/?(?),/и (/)} и доказана Теорема 2.3 о виде его совместной производящей функции.

В параграфе 2.2.2 на основе статистических данных определяются параметры функции дожития Гомперца Майкхама.

В параграфе 2.2.3 получена характеристическая функция величины прибыли плательщика ренты и проведен численный анализ влияния на величину прибыли размера рентного платежа. При условии, что в компанию обращается в среднем один новый клиент в месяц, а среднее значении остаточной стоимости квартиры равно 2 млн. руб. полученные для различных значений 5 - доли от стоимости квартиры, которую следует выплатить клиенту за один месяц в качестве ренты, графики изменения во времени средней величины прибыли изображены на рис. 2.6. Становится очевидно, что назначение рентных платежей в размере 8 > 0,003 от стоимости недвижимости для плательщика ренты экономически нецелесообразно. При 5 = 0,003 и стоимости квартиры в 2 млн. руб. величина ренты составляет 6 тыс. руб. в месяц, но в среднем эти выплаты покрывают лишь половину стоимости квартиры, что вряд ли может заинтересовать владельца недвижимости. Поэтому процедуру пожизненной ренты необходимо реа-лизовывать для людей более старших возрастов для увеличения скорости оборота денежных средств.

300

-50

Время, г.

Рис. 2.6. Процесс изменения средней величины прибыли при заданном размере рентных платежей

На рис. 2.7 изображены графики изменения прибыли для клиентов старше 70 лет. Теперь компания не терпит убытков при 5 = 0,006, рентный платеж составит 12 тыс. руб., стоимость квартиры покрывается такими выплатами приблизительно на 70%, прибыль компании уже через 10 лет работы составит 470 тыс. руб. в год, а через 50 лет составит 140 млн. руб. в год.

г 160

-40

Время, г.

Рис. 2.7. Процесс изменения средней величины прибыли при заданном размере рентных платежей клиентам старше 70 лет

Очевидно, что договор на таких условиях может оказаться взаимовыгодным для обеих сторон. Если такую деятельность осуществляет государственная компания, то ее функционирование способствует накоплению так называемых «длинных» денег, что весьма актуально для стабильного развития экономики.

В третьей главе диссертационной работы проводится исследование математической модели распределенной вычислительной системы в виде системы параллельного обслуживания парных заявок с повторным обслуживанием в блоках.

В разделе 3.1 построена математическая модель функционирования некоторого вычислительного комплекса для решения задач, требующих параллельной реализации двух итерационных алгоритмов, каждый из которых решает свою подзадачу. В итоге одного выполнения итерационного алгоритма решение может быть не найдено, в таком случае алгоритм запускается заново и эта процедура выполняется, пока подзадача не будет решена. Аналогично реализуется решение другой подзадачи вторым алгоритмом

В качестве математической модели рассматривается СМО с двумя обслуживающими блоками, каждый из которых содержит неограниченное число приборов. На вход СМО поступает простейший с параметром X поток парных заявок, то есть в момент наступления события в рассматриваемом потоке в систему одновременно поступают две заявки.

Дисциплина обслуживания определяется тем, что одна из этих заявок поступает в первый, а другая во второй блоки обслуживания и занимает любой из свободных приборов, на котором выполняется ее обслуживание в течение случайного времени, распределенного по экспоненциальному закону с параметрами ц, и ц2 соответственно. Закончив обслуживание, заявка ¿-го блока с вероятностью 1 —гк покидает систему, а с вероятностью гк возвращается обратно на прибор для повторного обслуживания.

В разделе 3.2 проводится исследование построенной модели, в которой /ДО - число занятых линий в ¿-ом блоке обслуживания в момент времени I, то есть число алгоритмов ¿-ого типа, выполняющих решение своих подзадач в ПВС; пк{1) - число повторных обращений заявок, совершенных к ¿-му блоку за время 1, то есть количество повторных реализаций алгоритмов ¿-ого типа в системе.

В параграфе 3.2.1 с помощью метода производящих функций исследуется четырехмерный случайный процесс {/](/), ь('), "КО* "2(0} и доказана Теорема 3.1 о виде его совместной производящей функции.

Получены математическое ожидание и дисперсия числа занятых приборов в блоках.

В параграфе 3.2.2 с помощью метода предельной декомпозиции проводится исследование потоков повторных обращений к блокам.

Теорема 3.2. Совместная производящая функция числа повторных обращений к блокам обслуживания в СМО ЛГ;Л/|а> с повторным обслуживанием в блоках имеет вид:

Показано, что полученное выражение совпадает с выражением для маргинальной совместной производящей функции числа повторных обращений к блокам, получаемым с помощью Теоремы 3.1. Однако использование метода предельной декомпозиции существенно упрощает аналитические выкладки.

Получены математическое ожидание, дисперсия и функция корреляции числа занятых приборов в блоках.

В четвертой главе диссертационной работы приведен комплекс проблемно-ориентированных алгоритмов и программ имитационного моделирования СМО с неограниченным числом линий и повторным обслуживанием и непуассоновских потоков заявок, поступающих на вход этой системы. В разделе 4.1 предложены алгоритмы имитационного моделирова-

ния MAP- и SM-потоков, а в разделе 4.2 алгоритм имитационного моделирования СМО с неограниченным числом линий и повторным обслуживанием.

В ходе реализации (с использованием пакета Mathcad 13.0) предложенных алгоритмов рассмотрена СМО с входящим простейшим потоком с параметром Х=Ъ, время обслуживание имеет Гамма-раснределение с параметром формы 3,5, вероятность возвращения 7=0,56, время наблюдения /=1. Получены эмпирическая и теоретическая функции распределения числа повторных обращений в системе (рис. 4.2).

0 4-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1

0123456789 10 11 12 Число повторных обращений

Рис. 4.2. Теоретическая и эмпирическая функции распределения вероятностей числа повторных обращений

Полученные результаты позволяют выдвинуть гипотезу Я0 о виде эмпирического распределения:

Но- Ро=Ро°-> ■■■■> PtTPk

Н\:р(фр0°, ...,pitpk°,

где рк - частота попадания выборочных значений в А>ый интервал разбиения, ptc=r-~(k+\)-F(k), a F(x) - теоретическая функция распределения числа повторных обращений в СМО.

Для проверки выдвинутой гипотезы воспользуемся критерием %2:

j=o Pi

В приведенном примере значение указанной статистики составило 10,8, что не превосходит порогового значения 67,5 при заданном уровне

значимости.а = 0,05 и количестве степеней свободы 50. Это позволяет считать эмпирическую функцию распределения хорошей аппроксимацией теоретической, а построенную имитационную модель использовать для анализа СМО с непуассоновским входящим потоком.

Рассмотрена СМО с входящим МАР-потоком. Построены доверительные интервалы для точечных оценок М, распределения вероятностей Pi числа повторных обращений в СМО и получено, что, согласно правилу трех сигм, с вероятностью 0,9973 абсолютная величина отклонения оценок не превышает 0,003.

В заключении диссертации приведены основные результаты, которые изложены в пунктах научной новизны, теоретической значимости и практической ценности.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Ананина И.А. Математическая модель процесса изменения дохода торговой компании, расширяющей свое присутствие на рынке / И.А. Ананина // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - № 2 (15). - С. 5-14.

2. Ананина И.А. Математическая модель процедуры пожизненной ренты / A.A. Назаров, И.А. Ананина* // Известия Томского политехнического университета. - 2011. - Т. 318, № 5. - С. 160-165.

3. Захорольная И.А. Математическая модель параллельного обслуживания кратных заявок с повторными обращениями / С.П. Моисеева, И.А. Захорольная // Автометрия. - 2011. - Т. 47, № б. - С. 51-58.

Публикации в других научных изданиях:

4. Zakhorol'naya I.A. Mathematical model of retrial queueing of multiple requests / S.P. Moiseeva, I.A. Zakhorol'naya // Optoelectronics, instrumentation and data processing. - 2011. - Vol. 47, № 6. - P. 51-58.

5. Ананина И.А. Исследование потоков в системе M|GI|oo с повторным обращением методом предельной декомпозиции / И.А. Ананина, A.A. Назаров, С.П. Моисеева // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительные технологии и информатика. -2009.-№3(8).-С. 56-67.

6. Ананина И.А. Исследование суммарного потока обращений в системе M|GI|co с повторными обращениями с учетом номера попытки / И.А. Ананина // Массовое обслуживание: потоки, системы, сети : материалы междунар. научн. конф. «Современные вероятностные методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей». — Минск : РИВШ, 2011. - Вып. 21. - С. 8-13.

7. Захорольная И.А. Математическая модель процесса изменения дохода от продажи взаимодополняющих товаров / И.А. Захорольная, С.П. Моисеева // Труды X международной конференции по финансово-

актуарной математике и эвентоконвергенции технологий / КГТЭИ СФУ. — Красноярск, 2011.-С. 157-160.

8. Захорольная И.А. Исследование модели параллельного обслуживания кратных заявок с повторными обращениями к блокам i И.А. Захорольная, С.П. Моисеева // Научное творчество молодежи : материалы XV Всероссийской научно-практической конференции. - Томск : Изд-во Том. унта, 2011,-Ч. 1.-С. 25-28.

9. Захорольная И.А. Исследование многомерных потоков обращений в системе M|GI|oo с повторными обращениями с учетом номера попытки / И.А. Захорольная // Студент и научно-технический прогресс : материалы XLIX Международной научной студенческой конференции / Новосиб. гос. ун-т. - Новосибирск, 2011. - С. 195-197.

10. Ананина* И.А. Исследование СМО с повторным обращением и неограниченным числом обслуживающих приборов методом предельной декомпозиции / И.А. Ананина , A.A. Назаров, С.П. Моисеева // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2008): материалы VII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (14-15 ноября 2008 г.). - Томск : Изд-во Том. ун-та,

2008,- С. 3-5.

11. Ананина* И.А. Исследование потоков в системе обслуживания с неограниченным числом фаз и линий методом предельной декомпозиции / И.А. Ананина, A.A. Назаров, О.Н. Галажинская // Массовое обслуживание: потоки, системы, сети : материалы международной научной конференции «Современные математические методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей». - Минск : РИВШ, 2009. -С. 170-174.

12. Ананина И.А. Математическая модель изменения дохода торговой компании / И.А. Ананина*, A.A. Назаров, С.П. Моисеева // Труды VIII международной ФАМ'2009 конференции / Сиб. федерал, ун-т. - Красноярск,

2009.-С. 114-116.

13. Ананина И.А. Основные вероятностные характеристики дохода торговой компании с учетом влияния скидки на товар ( И.А. Ананина, С.П. Моисеева // Научное творчество молодежи : материалы XIII Всерос. научно-практич. конф. 14-15 мая 2009 г. / Том. гос. ун-т. - Томск, 2009. — С. 8-10.

14. Ананина* И.А. Исследование потоков в системе M|GI|oo с повторным обращением с учетом номера попытки / И.А. Ананина , A.A. Назаров // Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения : материалы Международной конференции в Минске 22-25 февраля 2010 г. — Минск: РИВШ, 2010. - С. 11-14.

15. Ананина И.А. Математическая модель изменения дохода торговой компании при предоставлении скидок по категориям покупателей / И.А.

Ананина* // Труды IX Международной ФАМЭТ конференции /Сиб. федер. ун-т. - Красноярск, 2010. - С. 34-37.

16. Ананина* И.А. Исследование потоков в системе M|GI|oo с повторным обращением с учетом номера попытки / И.А. Ананина // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2009): материалы VIH Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (13-14 ноября 2009 г.). - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2009. -Ч. 1.-С.З-6. ^

17.Ананина* И.А. Исследование суммарного потока обращений в двухфазной бесконечнолинейной СМО с повторными обращениями / И.А. Ананина* // Научное творчество молодежи : материалы XIV Всероссийской научно-практической конференции. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2010. -Ч. 1.-С. 3-5.

18. Захорольная И.А. Исследование выходящих потоков в системе массового обслуживания с параллельным обслуживанием парных заявок / И.А. Захорольная, С.П. Моисеева // Информационные технологии и математическое моделирование : материалы X Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2011.-Ч. 1.-С. 121-124.

19. Ананина* И.А. Исследование математической модели потоков клиентов таксопарка / И.А. Ананина* // Информационные технологии и математическое моделирование : материалы IX Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2010. - Ч. 1. - С. 3-7.

* В 2011 году произошла смена фамилии. В работах, вышедших ранее, диссертант Захорольная И.А. имела фамилию Ананина.

Подписано в печать 02.04.2012 г. Формат А4/2. Ризография Печ. л. 0,9. Тираж 120 экз. Заказ № 67 Отпечатано в ООО «Позитив-НБ» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а

61 12-1/866

Национальный исследовательский Томский государственный университет

Захорольная Ирина Алексеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОТОКОВ В СИСТЕМАХ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ ЛИНИЙ МЕТОДОМ ПРЕДЕЛЬНОЙ ДЕКОМПОЗИЦИИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Назаров А. А.

Томск-2012

Содержание

Введение...................................................................................................................5

Глава 1. Исследование потоков в СМО с неограниченным числом линий с повторными обращениями....................................................................................29

1.1. Метод предельной декомпозиции систем массового обслуживания с неограниченным числом линий...........................................................................30

1.2. Исследование потоков обращений в системе М|С1|оо с повторным обслуживанием заявок..........................................................................................33

1.2.1. Математическая модель потоков клиентов коммерческой организации........................................................................................................33

1.2.2. Исследование суммарного потока обращений в системе....................35

1.2.3. Исследование двумерного потока обращений в системе....................44

1.2.4. Основные характеристики дохода коммерческой организации в условиях проведения акции «Подарок за покупку».......................................54

1.3. Исследование потоков заявок в двухфазной СМО с неограниченным числом линий и реализацией повторных обращений к фазам..........................57

1.3.1. Математическая модель потоков различных категорий покупателей коммерческой организации...............................................................................58

1.3.2. Исследование суммарного потока заявок в системе............................60

1.3.3. Совместная производящая функция числа обращений к фазам.........74

1.3.4. Основные характеристики дохода торговой компании при предоставлении скидок по категориям покупателей.....................................91

Резюме по главе 1..................................................................................................93

Глава 2. Исследование СМО с неограниченным числом фаз и линий............95

2.1. Исследование потоков обращений в системе M|GI|qo с повторным обслуживанием с учетом номера попытки.........................................................95

2.1.1. Математическая модель потоков клиентов коммерческой организации с учетом числа обращений..........................................................96

2.1.2. Производящая функция суммарного числа обращений в системе.....97

2.1.3. Совместная производящая функция числа обращений в системе с учетом номера попытки...................................................................................105

2.1.4. Исследование процесса изменения прибыли таксопарка в условии проведения акции «Каждая 1-ая поездка бесплатно»...................................113

2.2. Исследование математической модели финансовых потоков процедуры пожизненной ренты.............................................................................................115

2.2.1. Математическая модель финансовых потоков процедуры пожизненной ренты..........................................................................................116

2.2.2. Совместная производящая функция потоков заявок в системе с неограниченным числом фаз и линий............................................................118

2.2.3. Определение функции дожития...........................................................125

2.2.4. Процесс изменения прибыли................................................................126

Резюме по главе 2................................................................................................131

Глава 3. Исследование систем параллельного обслуживания парных заявок с повторными обращениями..................................................................................133

3.1. Математическая модель распределенной вычислительной системы.....133

3.2. Исследование системы М2|М2|оо с повторными обращениями..............135

3.2.1. Совместное распределение числа занятых линий в системе.............135

3.2.2. Совместное распределение числа повторных обращений к блокам. Метод предельной декомпозиции..................................................................141

Резюме по главе 3................................................................................................147

Глава 4. Имитационная модель СМО с неограниченным числом линий,

повторным обслуживанием и непуассоновским входящим потоком............149

4.1. Алгоритм имитационного моделирования MAP и SM потоков..............149

4.2. Алгоритм имитационного моделирования СМО с неограниченным числом линий и повторным обслуживанием....................................................152

Резюме по главе 4................................................................................................157

Заключение...........................................................................................................159

Список литературы..............................................................................................161

ВВЕДЕНИЕ

Элементы математического моделирования использовались с самого начала появления точных наук, и не случайно, что некоторые методы вычислений носят имена таких корифеев науки, как Ньютон и Эйлер, а слово "алгоритм" происходит от имени средневекового арабского ученого Аль-Хорезми. Второе "рождение" этой методологии пришлось на конец 40-х—начало 50-х годов XX века и было обусловлено по крайней мере двумя причинами. Первая из них — появление ЭВМ (компьютеров), хотя и скромных по нынешним меркам, но тем не менее избавивших ученых от огромной по объему рутинной вычислительной работы. Вторая - беспрецедентный социальный заказ — выполнение национальных программ СССР и США по созданию ракетно-ядерного щита, которые не могли быть реализованы традиционными методами. Математическое моделирование справилось с этой задачей: ядерные взрывы и полеты ракет и спутников были предварительно "осуществлены" в недрах ЭВМ с помощью математических моделей и лишь затем претворены на практике. Этот успех во многом определил дальнейшие достижения методологии, без применения которой в развитых странах ни один крупномасштабный технологический, экологический или экономический проект теперь всерьез не рассматривается, причем сказанное справедливо и по отношению к некоторым социально-политическим проектам.

Говоря о России, можно вспомнить, что наука математического моделирования развивается с конца 1950-х - начала 1960-х гг[77].

Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его "образом" — математической моделью — и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот "третий метод" познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без

существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, симуляционные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента).

Неудивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы - от разработки технических систем и управления ими [19, 39, 55, 80, 82] до анализа сложнейших экономических и социальных процессов [4, 5, 9, 22, 31, 36, 49, 50, 60, 69, 95, 96].

Развитие науки и техники, усложнение экономики и общественного строя - все это непрерывные и необратимые процессы, приводящие к необходимости иметь дело с все более сложными и масштабными системами, в которых в свою очередь возникают многочисленные задачи, отражающие специфику этих систем и цели их исследования. Но, не смотря на многообразие индивидуальных особенностей, можно выделить задачи, общие для широкого круга систем, и притом, вне зависимости от их предметной направленности.

В частности, во многих аспектах человеческой деятельности, в большинстве создаваемых человеком систем, имеет место спрос на выполнение тех или иных операций. При этом запросы, в общем случае, возникают в случайные моменты времени, и продолжительность выполнения требуемой операции также достоверно не известна заранее. Следовательно, необходимо создание моделей систем, учитывающих случайный характер поступления требований и их обслуживания. Задачи построения и анализа таких моделей решает наука, известная в русскоязычной литературе как теория массового обслуживания, а в иностранной как теория очередей.

Теория массового обслуживания зародилась сравнительно недавно, в начале XX века. Работа А.К. Эрланга в копенгагенской телефонной компании

натолкнула его на мысль рассчитать необходимое количество телефонных линий, чтобы клиентам не приходилось проводить много времени в ожидании свободного канала. Так в 1909 году была опубликована первая статья по теории массового обслуживания «Теория вероятностей и телефонные разговоры» [103]. Им были рассмотрены системы с пуассоновским входящим потоком, очередью и одним, двумя, тремя или неограниченным числом каналов в случае экспоненциального времени обслуживания, а также системы с потерями. С тех пор поле возможных приложений теории массового обслуживания существенно расширилось [7, 57, 71]. Стремительное развитие науки, техники, экономики, средств связи и транспорта привело к необходимости создания все более сложных математических моделей, а также развития методов их исследования [88, 110]. В связи с этим особый интерес вызывают системы массового обслуживания с большим числом каналов обслуживания (многолинейные), а также сети [8]. Например, при организации промышленного производства значительный экономический резонанс имеет нехватка станков и нахождение их достаточного для бесперебойной работы количества [103, 109, 112]. На крупных промышленных предприятиях, где установлен поточный характер производства, для вычисления времени простоя линии [83], длины очереди перед той или иной фазой производства [107], успешно применяются многофазные системы массового обслуживания [106].

В сфере торговли и общественного питания также возникают задачи, требующие исследования многофазных систем [108], например, с входящим потоком заявок, интенсивность которого зависит от состояния системы[105]. Свое применение многофазные и многолинейные СМО нашли и при анализе работы крупного морского порта [115], и при моделировании распределенных вычислительных систем [16, 38, 64, 72, 85, 99], и при расчетах показателей нагрузки линии связи [23, 33, 70, 114].

В последние годы появляется все больше работ, посвященных исследованию многолинейных систем массового обслуживания. Это работы Бочаро-

ва [13, 14], Башарина [8], Печинкина [37, 73, 74, 75, 76], Чаплыгина [37, 73, 74, 75, 76], Клименок [15, 43, 45, 46, 47], Дудина [15, 33], Ивницкого [40], Назарова[1, 24, 66, 67]. Очевидно, что исследуемые СМО все более усложняются, на вход поступают неординарные или групповые потоки заявок, потоки отрицательных заявок, уничтожающие одну или несколько положительных заявок входящего потока. В работах [45, 46] рассматриваются системы, у которых, наряду с большим количеством линий, на одной из фаз реализуется процедура повторного обращения к прибору.

К сожалению, для анализа столь сложных систем редко удается применить аналитические методы. Основные методы исследования классических СМО приведены во многих монографиях по теории массового обслуживания [12, 17, 27, 28, 41, 42, 44, 59, 66, 81, 89, 100, 101]. Некоторые из них применимы и для анализа многолинейных систем, например, метод дополнительной переменной, метод вложенных цепей Маркова, методы характеристической и производящей функций, преобразования Фурье и Лапласа-Стилтьеса, метод дополнительных событий. С помощью этих и других методов удается найти стационарное распределение состояний исследуемой системы и основные характеристики ее производительности. При увеличении количества фаз и линий обслуживания, при усложнении структуры системы, на помощь аналитическим методам приходят метод асимптотического анализа [2, 11, 10, 65] и численные методы (метод Монте-Карло, матричные и суперматричные алгоритмы). Для анализа показателей очень сложных и не поддающихся аналитическому исследованию систем применяют аппарат имитационного моделирования [18, 19,21,32, 39, 48, 55,58, 86, 97, 102, 111].

Особый интерес вызывает возникающая в некоторых прикладных задачах необходимость повторного обслуживания заявок. Попытки реализовать такую возможность в многолинейных и многофазных системах до сих пор сводились или к добавлению источника повторных вызовов на одной из фаз [45, 46], или к исследованию систем с повторным обслуживанием на приборах, но лишь в случае экспоненциального времени обслуживания [62, 63].

На основании вышесказанного можно сделать вывод о необходимости и актуальности проведения дальнейших исследований многолинейных и многофазных систем все более сложной структуры, а также развития новых методов их исследования.

В настоящее время внимание к теории массового обслуживания в значительной степени стимулировалось необходимостью применения результатов этой теории к важным практическим задачам, возникающим в связи с бурным развитием систем коммуникаций, возникновением информационно-вычислительных систем, появлением и усложнением разнообразных технологических систем, созданием автоматизированных систем управления.

Поэтому возникает необходимость в разработке новых математических моделей систем массового обслуживания, а именно, систем с вариантами обслуживания заявок неординарных входящих потоков, в том числе систем с двумя и более блоками обслуживания.

Исследованию однолинейных систем массового обслуживания с неординарными входящим потоком (пуассоновским и рекуррентным) посвящены работы Бочарова П.П., Печинкина A.B., Чаплыгина В.В. и других российских ученых [34, 35, 84, 91, 113]. В работах Ч. Д'Апиче, Р. Манзо [3, 13] рассматриваются системы массового обслуживания с марковским неординарным входящим потоком, несколькими типами заявок, обобщенной дисциплиной преимущественного разделения прибора, марковским обслуживанием и накопителем бесконечной емкости. Но, как правило, все заявки в группе являлись однотипными, и время их обслуживания было одинаково распределенным, что не всегда применимо для описания реальных вычислительных процессов. Исследование подобных систем с двумерным пуассоновским потоком приводится в статье украинских ученых [94], но предлагаемый авторами метод довольно сложен и неприменим для исследования аналогичных систем с произвольным временем обслуживания или не пуассоновским входящим потоком.

В связи с возникающей во многих практических задачах возможностью частичной циркуляции заявок в системе, в настоящее время необходимо построение математических моделей, учитывающих возможность повторного обслуживания на приборах. Рассмотренные в работах [45, 46, 62, 63] системы с повторными обращениями заявок имеют один блок обслуживания и не применимы в случае поступления потоков кратных заявок.

Все вышесказанное подтверждает, что построение и анализ новых математических моделей с параллельно функционирующими блоками обслуживания, общими входящими потоками кратных заявок и повторным обслуживанием в блоках имеет большое практическое значение.

Целью данной работы является построение математических моделей случайных потоков, возникающих в различных предметных областях, объекты которых рассматриваются в виде систем массового обслуживания с неограниченным числом линий обслуживания и их исследование с помощью метода предельной декомпозиции.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Построить математическую модель потоков клиентов коммерческой организации в виде потоков в одно- и двухфазной системах массового обслуживания с неограниченным числом линий и повторными обращениями к фазам, количественными характеристиками которых являются доход компании и число клиентов компании различной категории (новые, постоянные, VIP - клиенты).

2. Исследовать вероятностные характеристики указанных СМО, когда входящий поток клиентов является простейшим, а время обслуживания произвольное.

3. Построить и исследовать экономико-математическую модель влияния параметров проводимых маркетинговых акций (размер предоставляемых скидок, бонусов постоянным покупателям) на доход компании.

4. Построить математическую модель финансовых потоков процедуры пожизненной ренты в виде потоков в системе с неограниченным числом фаз и линий и исследовать вероятностные характеристики этой модели.

5. Построить математическую модель распределенной вычислительной системы в виде системы параллельного обслуживания парных заявок с повторными обращениями.

6. Исследовать характеристики указанной системы при входящем потоке парных заявок и экспоненциальном с параметрами и \л2 времени обслуживания в блоках.

7. Построить