автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Построение моделей и анализ систем массового обслуживания при скачкообразной интенсивности входного потока

Введение.

Глава I. Анализ систем массового обслуживания с конечным накопителем.

§ 1. Основные обозначения.

§2. Вывод уравнений относительно характеристик числа заявок.

2.1. Вывод нестационарных уравнений.

2.2. Вывод стационарыых уравнений.

§3. Анализ системы с одним прибором и постоянной интенсивностью обслуживания.

3.1. Матричный метод расчёта стационарных характеристик числа заявок.

3.2. Обобщение матричного метода для класса систем с L обслуживающими приборами.

3.3. Первый способ нахождения обратной матрицы.

3.4. Второй способ нахождения обратной матрицы.

§4. Метод подстановок.

§5. Анализ существования и единственности стационарного режима.

5.1. Матричные преобразования.

5.2. Вспомогательные результаты.

5.3. Основные результаты.

§6. Анализ системы с одним прибором и резервной интенсивностью обслуживания.

6.1. Матричный метод расчёта стационарных характеристик числа заявок.

6.2. Первый способ нахождения обратной матрицы.

6.3. Второй способ нахождения обратной матрицы.

§7. Численный анализ СМО с конечным накопителем.

7. /. Численный анализ эргодичности с применением модифицированного метода Эйлера.

7.2. Численный анализ с применением метода итераций.

7.3. Сравнительный анализ численных методов исследования характеристик CMC).

7.4. Численный анализ системы с резервной интенсивностью обслуживания.

Глава II. Анализ систем массового обслуживания с бесконечным накопителем.

§1. Вычисление вспомогательных производящих функций.

1.1. Уравнение для производящих функций.

1.2. Исследование корней характеристического уравнения.

1.3. Выражение производящей функции через одну из характеристик.

§2. Устранение неопределённости.

§3. Вывод уравнения относительно стационарной характеристики q0 (х).

3.1. Методы вычисления интегралов.

3.2. Метод перевала снизу.

3.3. Метод перевала сверху.

3.3. Методы перевала слева и справа

§4. Условие нормировки.

§5. Анализ математического ожидания числа заявок.

§6. Анализ дисперсии числа заявок.

§7. Численный анализ СМО с бесконечным накопителем.

Глава III. Аналитический расчет характеристик незавершённой работы.

§ 1. Понятие незавершённой работы.

§2. Вывод уравнения относительно характеристик незавершённой работы.

§3. Преобразования Лапласа и Стилтьеса.

§4. Математическое ожидание и дисперсия незавершённой работы.

4.1.Выражение математического ожидания и дисперсии незавершённой работы через преобразования

Лапласа и Лапласа-Стилтъеса.

4.2. Вычисление математического ожидания незавершённой 116 работы.

Актуальность проблемы. Для анализа характеристик информационных сетей широко используется математический аппарат теории массового обслуживания, так как модели массового обслуживания достаточно адекватно описывают функционирование, как всей сети, так и её отдельных фрагментов. В настоящее время активно проводятся исследования по анализу и оптимизации функционирования таких сетей [3, 7, 16, 19, 48, 49, 50, 78, 107]. Аналитическими моделями сети в целом и отдельных её элементов являются, соответственно, сети и системы массового обслуживания (СМО) [2, 31, 35, 36, 45, 47, 51, 71, 87]. При рассмотрении СМО задаётся её структура, т.е. указывается функция распределения интервалов времени между соседними моментами появлениями заявок, функция распределения длительности обслуживания, количество обслуживающих приборов и ёмкость накопителя. В теории массового обслуживания для обозначения СМО используется классификация Кендалла[37]:

A/B/L/N0, где А и В обозначают типы функций распределения для входного потока и обслуживания, L - количество обслуживающих приборов, iV0 - ёмкость накопителя. Законы А, В могут принимать значения из следующего набора символов {М, Er, НR, D, G}, где М - экспоненциальное распределение (Markovian), Ег - распределение Эрланга порядка г (Erlangian), //^ - гиперэкспоненциальное распределение порядка R (I lyperexponential), D - постоянная величина (Deterministic), G - распределение общего вида (General).

Наиболее широкое распространение в литературе получили СМО с экспоненциальными законами распределения входного потока и времени обслуживания [20, 24, 79, 112, 123, 131, 138], так как экспоненциальное распределение обладает свойствами, удовлетворяющими многим практическим приложениям [40, 44, 60].

Большинство авторов, изучая системы массового обслуживания, предполагают, что параметры СМО не изменяются со временем [1, 33, 39, 46, 60, 79, 87, 92, 115, 123]. Однако для многих технических систем (элементов сетей ЭВМ, вычислительных комплексов, сетей связи) это предположение не всегда выполняется. Например, в результате выхода из строя одного из элементов сети интенсивность входного потока уменьшается, так как сообщения из этого элемента временно не поступают. Из-за изменения маршрутов сообщений на узле может появиться дополнительный поток сообщений, т.е. интенсивность входного потока увеличивается.

Параметры потоков сообщений в реальных системах могут претерпевать с течением времени случайные или детерминированные изменения по следующим причинам:

- нестационарность входных потоков сети [20, 24, 73, 96, 137];

- изменение маршрутов сообщений, в силу чего на элементе сети возникают и исчезают потоки сообщений [4, 10, 11, 87];

- выход из строя или блокировка отдельных элементов сети, что приводит к исчезновению потоков сообщений на последующих элементах сети [5, 11,65,95].

Кроме того, функционирование узлов локальных вычислительных сетей [46, 48, 69], а также узлов глобальных вычислительных сетей типа ИНТЕРНЕТ (провайдерские узлы связи, web-серверы, передающие станции и т.д.) описывается СМО с параметрами, изменяющимися в случайные моменты времени [139].

При рассмотрении таких систем возникает задача расчёта характеристик узлов сети, например, среднего количества сообщений, находящихся в системе, распределения числа сообщений на узле сети, виртуального времени ожидания сообщением начала обслуживания.

Указанные узлы сетей предлагается моделировать системой массового обслуживания с дважды стохастическим пуассоновским входным потоком при скачкообразной интенсивности, экспоненциальным обслуживанием, одним обслуживающим прибором, конечной или бесконечной ёмкостью накопителя.

Входной поток сообщений в реальных сетях, как правило, является пу-ассоновским, в связи с тем, что поступление заявок обладает свойствами ординарности и отсутствия последействия, т.е. сообщения поступают на обслуживание по одному и количество сообщений, поступивших на одном интервале времени, не зависит от количества сообщений, поступивших за другой временной интервал. Нестационарность потока объясняется тем, что сообщения на обслуживание поступают от пользователей в случайные моменты времени.

Скачкообразный характер интенсивности входного потока возникает в связи с тем, что сообщения на обслуживание поступают по множеству линий. По каждой линии связи проходит пуассоновский поток со своей интенсивностью, причём суммарный поток будет являться пуассоновским, а интенсивность суммой интенсивностей потоков линий связи [37]. Вследствие того, что канал или несколько каналов могут в случайные моменты отключаться из работы, интенсивность потока будет претерпевать скачки.

В реальных узлах сети обслуживание происходит по экспоненциальному закону, в связи с тем, что сообщения обрабатываются с постоянной скоростью, а длина сообщений является случайной величиной, распределённой по экспоненциальному закону из-за того, что сумма длительностей обслуживания на одном временном интервале не зависит от суммы длительностей обслуживания на других интервалах.

Анализ СМО с изменяющимися во времени параметрами является сложной математической задачей. Однако достаточно универсальных методов (как приближённых, так и численных), применяемых к расчёту характеристик СМО, пока не существует, поэтому есть необходимость в разработке таких методов хотя бы для определённых классов систем.

Данная работа посвящена исследованиям таких классов систем, как МIМII/ Nq , М / М / L/ N{) и МIМ /1, интенсивность входных потоков которых представляет собой скачкообразный случайный процесс.

Целью работы является построение моделей и исследование систем массового обслуживания с экспоненциальным обслуживанием, конечным числом обслуживающих приборов, конечной или бесконечной ёмкостью накопителя, с дважды стохастическим пуассоновским входным потоком заявок при скачкообразной интенсивности.

Для этого необходимо решить следующие задачи:

1. Построить нестационарные и стационарные модели систем массового обслуживания типа M/M/]/N0 с конечным накопителем и

М / М11 с бесконечным накопителем, описываемые уравнениями относительно характеристик числа заявок.

2. Разработать матричный метод анализа стационарных характеристик СМО типа МIМ 111N0 с одним прибором, обобщить матричный метод для класса систем типа М / М / L / N0 с L обслуживающими приборами.

3. Показать существование и единственность стационарного режима в СМО типа Ml Mill N0.

4. Показать применение матричного метода для анализа в стационарном режиме СМО с одним прибором при резервной интенсивности обслуживания.

5. Разработать метод производящих функций для анализа в стационарном режиме СМО типа М / Л/ /1 с бесконечным накопителем.

6. Аналитически и численно изучить стационарные характеристики числа заявок в указанных СМО.

7. Аналитически и численно исследовать незавершённую работу в СМО с бесконечным накопителем.

Состояние проблемы. В настоящее время достаточно хорошо изучены системы массового обслуживания с простейшим пуассоновским входным потоком заявок, экспоненциальным обслуживанием с постоянными параметрами в стационарном режиме [37, 39, 60, 79, 112].

Основная сложность анализа СМО в нестационарном режиме, особенно, если параметры СМО являются зависящими от времени детерминированными функциями, заключается в решении, как правило, большой или бесконечной системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Изучение СМО с зависящими от времени детерминированными интен-сивностями входящих потоков и обслуживающих приборов началось в середине 50-х годов работой А.В. Clark [88]. В этой работе нестационарное распределение вероятностей состояния в СМО M(t)iM(t)l\l go было выражено в явном виде через неизвестную функцию, которая находится численным решением интегрального уравнения. Впоследствии такая задача для этой же СМО была решена несколько другим методом А. Гешевым [20]. В дальнейшем появилось множество работ, посвященных анализу и расчёту нестационарных характеристик СМО с постоянными интенсивностями входного потока и обслуживания, в частности, исследовались СМО МIМ11 [79, 112, 117, 131, 138], MIMIXINq [50], M/G/l [85, 94, 98, 121, 140], G/G/l [115].

Анализ систем массового обслуживания с детерминировано изменяющимися параметрами развивается в основном по двум направлениям: по теоретическому исследованию случайных процессов в СМО и по разработке численных методов расчёта характеристик СМО. Довольно хорошо как с теоретической, так и с практической точки зрения исследованы СМО с пуассоновским входным потоком заявок, интенсивность которого есть периодическая функция времени [80, 81, 118, 119, 127, 128]. Приближённые методы анализа СМО с детерминировано изменяющимися во времени параметрами, использующие зачастую эвристические предположения, рассматривались в работах

62, 63, 113]. Так, например, в работе [113] временной интервал изменения параметров СМО M(i)/ M{t)!\ разбивался на подинтервалы с различной загрузкой и в каждом подинтервале проводился анализ характеристик СМО в предположении, что параметры в этом подинтервале изменяются медленно. В теоретическом плане исследованы системы M(i)IG(t)l 1 [110], M(t)/D/1 [82]. Численные методы анализа СМО разработаны для систем M(t)/M(t)/\/N [24], M(t)/M(t)/s/N [122], M(t)/M(t)/l [24, 88], M(t)f M / N [95].

При рассмотрении систем массового обслуживания часто исследуется вопрос эргодичности процессов, происходящих в СМО [12, 30, 37, 100, 127, 133]. Этот вопрос аналогичен важному вопросу возможности установления в системе стационарного режима [101, 103, 105, 106]. Важность этого вопроса заключается в том, что анализ систем в стационарном режиме является более доступным, чем в нестационарном.

Многими авторами исследовались системы массового обслуживания с параметрами, изменяющимися во времени случайным образом. Для таких систем в литературе принято название «СМО, функционирующие в случайной среде» [27, 28, 40, 69, 74, 75, 99, 111, 129, 139]. Термин «СМО, функционирующая в случайной среде» был введен P. Purdue [125]. Как правило, рассматривались СМО, параметры которых постоянны в течение некоторого случайного времени, а затем мгновенно изменяются. В таких работах набор значений параметров конечен, а процесс их переключения есть либо марковский [15, 35, 67, 85], либо полумарковский [6, 14, 16, 41, 56, 122, 123]. В работах [127, 129] исследовались СМО в предположении, что интенсивность потока и обслуживания могут принимать два значения, выбор которых осуществляется вероятностным образом на основе цепей Маркова. Система, функционирующая в полумарковской среде, исследуется в работе [103], в предположении, что среда изменяется редко, т.е. длительность пребывания среды в каждом состоянии имеет порядок Ms, где £ - малый параметр. При этом получены формулы для коэффициента разложения распределения числа заявок в ряд по параметру £ .

В последнее время большой интерес вызывают CMC) с дважды стохастическим (ДС) входным потоком заявок, т.е. с входным нестационарным потоком, интенсивность которого является случайным процессом. ДС потоки рассматриваются в работах [83, 84, 90, 91, 134]. В работах [10, 11] исследуется частный случай ДС потоков, так называемый, МС-поток (Markov Chain), т.е. исследуются системы со случайным переключением кусочно-постоянных интенсивностей входного потока, причём интенсивность A,(t) может принимать лишь значения из фиксированного набора {Л1,Л2,.,Лп}.

Анализ С МО со случайно изменяющейся интенсивностью входного потока проводился в работах [22, 23, 26]. В [22, 23] исследовались системы с пуассоновским входным потоком заявок, интенсивность которого представляет собой чисто разрывный (русс, терминология) или скачкообразный (англ. терминология) случайный процесс с непрерывным пространством состояний. Предполагалось, что длина "ступенек" скачкообразного процесса есть случайная величина, распределённая по экспоненциальному закону с параметром а . Однако в этих работах рассматривался случай малых значений параметра a (fa <<l), что соответствует редким изменениям значения интенсивности входного потока. Авторы, используя разложение функции в ряд Тейлора по параметру а, получили приближённые выражения для стационарного распределения числа заявок в системах с конечным и бесконечным накопителем. Изучению скачкообразных процессов и СМО со скачкообразной интенсивностью входного потока посвящены также работы [55, 61, 76, 77, 108, 109, 114, 120, 124, 135, 143]. Многие авторы обобщают полученные результаты на случай систем с резервными приборами [13, 23, 24, 38, 42, 43, 52, 53]. Наряду с изучением СМО со скачкообразной интенсивностью в литературе встречаются исследования систем с диффузионной интенсивностью [86, 89, 93, 102, 116, 132,141, 142].

При исследовании систем с бесконечным накопителем представляет интерес такой вероятностный процесс, как незавершённая работа [22, 23, 29, 97, 115, 119]. Иногда незавершённую работу называют виртуальным временем ожидания в момент времени t, так как при обслуживании в порядке поступления незавершённая работа показывает, как долго должно было ожидать начала обслуживания в очереди требование, поступившее в момент времени t. В работе [22], с применением преобразования Лапласа и разложения функции в ряд Тейлора по малому параметру а, получены характеристики времени задержки сообщения в канапе передачи данных, приведена формула для расчёта среднего времени ожидания начала передачи сообщения по каналу.

В настоящей работе исследуются системы массового обслуживания, функционирующие в случайной среде, а именно, системы обслуживания с дважды стохастическим пуассоновским входным потоком заявок, интенсивность которого является скачкообразным процессом с непрерывным пространством состояний, причём никаких ограничений на параметр а не налагается.

Содержание работы. В первой главе диссертации проводится вывод уравнений для нестационарных и стационарных характеристик числа заявок в системах с экспоненциальным обслуживанием, одним обслуживающим прибором, конечной ёмкостью накопителя, на вход которых поступает дважды стохастический пуассоновский поток заявок со скачкообразной интенсивностью. Предлагается матричный метод расчёта стационарных характеристик числа заявок в СМО с постоянной и резервной интенсивностью обслуживания. Приводится методика нахождения обратных матриц специального вида, возникающих в процессе реализации матричного метода. Предлагается обобщение матричного метода на случай системы с L обслуживающими приборами типа М / М / L! N0. Предлагается метод подстановок для расчёта стационарных характеристик числа заявок в СМО типа М / М /1 / 2. Для обоснования эргодичности режима функционирования рассматриваемых систем применяется модифицированный метод Эйлера численного решения нестационарной системы интегральных уравнений. Приводится доказательство единственности стационарного режима в СМО типа М / М /1 / JV0. Проводится сравнительный анализ численных результатов, полученных различными методами исследования характеристик СМО.

Вторая глава содержит анализ СМО типа МIМ 11 с бесконечным накопителем. Получены формулы для нахождения математического ожидания и дисперсии числа заявок в стационарном режиме. Проведён численный анализ.

Третья глава посвящена аналитическому расчёту характеристик незавершённой работы для систем массового обслуживания с бесконечным накопителем. Выведено уравнение, описывающее характеристики незавершённой работы, зависящие от времени. С использованием преобразований Лапласа и Лапласа-Стилтьеса получены формулы для нахождения моментов незавершённой работы. Проведён численный анализ.

Методика исследования. При выводе уравнений и для решения задач по расчёту стационарных характеристик числа заявок, моментов незавершённой работы использовались методы теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории матриц, теории интегральных, дифференциальных и разностных уравнений, методы операционного исчисления, математического анализа. Численные результаты были получены с помощью ЭВМ.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. К таким результатам относятся:

1. Построенные нестационарные и стационарные модели СМО с конечным накопителем и СМО с бесконечным накопителем.

2. Доказательство существования и единственности стационарного режима в СМО с конечным накопителем.

3. Матричный метод анализа стационарных характеристик числа заявок в системах типа М / М /1 / N0 с постоянной и резервной интенсивностью обслуживания и в системе типа М / М / L / N0.

4. Методика обращения матриц специального вида, возникающих в процессе реализации матричного метода.

5. Формулы для нахождения математического ожидания и дисперсии числа заявок в СМО с бесконечным накопителем.

6. Формулы для нахождения математического ожидания и дисперсии незавершённой работы в СМО с бесконечным накопителем.

Практическая значимость. Проводился мониторинг локальной и глобальной вычислительных сетей Дальневосточной государственной академии экономики и управления (ДВГАЭУ) с использованием программы Server manager. Предложенные методы и формулы могут быть использованы для расчёта характеристик узлов вычислительных сетей. Теоретические результаты данной работы и составленные программы расчёта распределения числа сообщений на сервере и среднего времени ожидания начала обслуживания будут использоваться в ДВГАЭУ и других организациях для расчёта характеристик узлов действующих и проектируемых вычислительных сетей.

Публикации. По материалам диссертации имеется ряд публикаций: работы [144] - [157] в библиографическом списке.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на

1. семинарах кафедры математики и моделирования ДВГАЭУ;

2. 1-ой Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 25-28 ноября 1997);

3. 2-ой Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 16-19 ноября 1998);

14

4. Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 26 августа-2 сентября 1999);

5. 3-ей Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 15-19 ноября 1999);

6. конференции по математическому моделированию (ВГУЭС, 27 апреля 2000);

7. Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 28 августа-3 сентября 2000).

8. 4-ой Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 13-16 ноября 2000).

9. Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 18-22 сентября 2001).

10.5-ой Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 12-15 ноября 2001).

11 .семинарах в ИАПУ ДВО РАН, ХГТУ, ТОЙ ДВО РАН (2001).

Заключение

Цель работы заключалась в построении моделей и исследовании систем массового обслуживания с экспоненциальным обслуживанием, конечным числом обслуживающих приборов, конечной или бесконечной ёмкостью накопителя, с дважды стохастическим пуассоновским входным потоком заявок при скачкообразной интенсивности.

Для этого были решены следующие задачи.

1. Для класса СМО типа М/М/L/N0 с конечным накопителем и L обслуживающими приборами предлагается матричная модель уравнений относительно стационарных характеристик числа заявок. Приводится матричный метод решения данной модели. Матричный метод демонстрируется на примере анализа систем обслуживания типа МIМ Ш N0: 1) с постоянной интенсивностью обслуживания, 2) с интенсивностью обслуживания, управляемой по длине очереди (обслуживание с резервной интенсивностью). Указываются условия существования стационарного режима. Приводится методика обращения матриц специального вида, возникающих в процессе реализации матричного метода.

2. Для СМО типа М!MIX получена бесконечная система разностно-интегральных уравнений относительно стационарных характеристик числа заявок. С применением метода производящих функций эта бесконечная система разностно-интегральных уравнений сводится к одному интегральному уравнению типа Фредгольма относительно характеристики q(}(x). Через характеристику q{) (jr) выражаются математическое ожидание и дисперсия числа заявок.

3. Для СМО с бесконечным накопителем в случае произвольного закона распределения времени обслуживания получено уравнение типа Такача относительно стационарной характеристики незавершённой работы. Это уравнение решено с применением преобразований Лапласа и Лапласа

Стилтьеса. Через преобразования Лапласа-Стилтьеса выражены моменты незавершенной работы,

С применением At -метода в первой главе диссертации получены уравнения, связывающие между собой функции Ок (/, х), 0 < к < N h ()

- (х + а)О0 (t, х) + juO] (t, х) + (х(р{х) f 0„ (/, у)Л' = — 0{) (/, х),

•to Qt xQk-i fo х)-{х+/J+a)Qk {t, x)+juQk+1 (t, x)+aq{x) £ Ok (t, у)Ф = (Л x), k<N

Qn~i x) ~ (m + <*)Qn •*) + aq>(x)f 0N {t. y)dy = (t, x).

Ja dt

Численный анализ данной системы, с применением модифицированного метода Эйлера, позволил установить существование стационарных характеристик qk (.v), 0 < к < N. Кроме того, аналитически доказана единственность стационарного режима.

Для СМО типа М / МП! N0 в стационарном режиме получена следующая система разностно-интегральных уравнений относительно функций Чк М cb

- (х+ a)q0 (х)+ /л/, (х)+a<p(x)f q() (y)dy = О,

Щк-1 (*)"(* + /' + a)qk (х) + uqk J (х) + а(рЩ%к (у)ау = 0, k<N-1, t*ъ х) - (// + QrV/ д W + ССф(х) (v)c/l; = 0.

Ja

Для решения данной системы предлагался матричный метод, в результате которого для расчёта вектора стационарных вероятностей л = [/? „, р\, /Лу ]7 получена следующая СЛАУ n = ■ F, где

W = f (p(x) E + oQ l(x)~ aO l{x)E* dx- матрица размерности Ni x N\

Ja ' L " J

Vi = N + 1. F = l f(x}Q~l{x)E0dx- вектор размерности . Было замечено, что матрица Q(x) имеет специальный вид

0(х) =

1 1 1 х -(х + //+а) /л О х - (х + // + а)

О О

1 о о о о о о о о

••• -(х+ju+a) [Л х -(ju + a) поэтому был а разработана методика нахождения обратной матрицы '(х) в аналитическом виде.

Во второй главе получено, что стационарные характеристики числа заявок удовлетворяют следующей бесконечной системе разностно-интегральных уравнений ъ

- (х + «)д0(х)+ /я/j (х)+ a<p (х)| qt](y)dy = О,

Щк-1 W- {х + м + a)qk(x)+ oc(p{x)faqk(y)dy = 0,к > 1.

Для нахождения функции q{] (х) получено однородное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода (vV.H( а,л х p.m т .

1 и V / ' V ■ / = астЫГ"! ''«("klM 9о(-Ф1(") )л

-'JoИ-iW-^M] ФЬМ-ъМУ где ГТ ( v\ -U Г Г //— 31-. I ■

- Г7. ( vYl/п/ — ! ! Il\ j/ ^ ч

7(y\ 1} J„ I,Л ^ I.W J-, (Л7 (Л] л., шл v^ 7, (ч\ г, (x) = p + // + «■- + // 4- a)2 - 4xju j/ 2x и неоднородное условие нормировки

I q{) (x)dx = 1

Ja J<

I'D n /71 а и r

Црпр1? fbvHk-nыю и Rpnnaninr-iK r>пыпяжрнм 1\(Гятеыят1шес'''ЛР

• • ■ • • ■ ' у J к A ±J v^/ VVi Л- A1V V J. J* у Л-Г L/i i^/lVVlX^/J. ATI. U. X V ITlVi А ХЛ 1.V V J.W V ожидание и дисперсия числа заявок

Mv=r'( l),

Z) v = г "(l) + г '(l) - |r '(l) j2, где r'fi) = — M - pn) + -*)2ф(хУ!х + „гздп(х)л- Д2!-, l) = —-- f q(} (x)(x - jli - af dx + f xq{) (x)dx rvn,. aJ a 3 a aPo a/jp0 ? - fc^ZZ") 2 r ^ /Ja)2dx + la aPo a Po rt^ 1 in. Af (J

2— - JU-a)2 dx + —; + —^ Г^МС" - д)2

Третья глава посвящена анализу незавершённой работы в системе с бесконечным накопителем и одним прибором, длительность обслуживания которого имеет произвольный закон распределения В(х).

С помощью At метода получено, что стационарная характеристика незавершённой работы /{со, л) отвечает интегро-дифференциальному уравнению типа Такача

-{a + x)f(co, х) + х Г B{fv - + 4rf(ro, x) + w as da) a<p(x)j f(co, y)dy = 0.

Решение данного уравнения является сложной математической задачей, однако, удалось получить в явном виде основные вероятностные моменты незавершённой работы.

Для анализа уравнения типа Такача применены преобразования Лапласа R (/%Л"), В (rj и Лапласа-Стилтьеса Rc(/%х), Вс(г), между которыми установлена связь

R'tr л= B»M=Mi

Через преобразование Лапласа-Стилтьеса были выражены математическое ожидание и дисперсия незавершенной работы ми = -к'Щ. ои = Що)~[Що)}2, где

Rc{r)= {bRc(r,x)dx.

Ja

Таким образом, в работе поставленные цели выполнены.

В заключении, хочу выразить благодарность научным руководителям д.ф.-м.н., профессору Катрахову В.В. и к.т.н., доценту Головко Н.И. за ценные советы и постоянное внимание к работе.

1. Абрамов А.Х., Цвиркун А.Д. Об оптимальном назначении скорости обслуживания // Автоматика и телемеханика. 1968. №2. с.76-80.

2. Абрамов В.М. Исследование системы обслуживания, зависящей от длины очереди. Душанбе, Дониш, 1991. 164с.

3. Авен О.И., Турин Н.И., Коган Я.А. Оценка качества и организация вычислительных сетей. М.: Наука, 1982. 464с.

4. Авен О.И., Коган Я.А. Управление вычислительным процессом в ЭВМ. М.: Энергия, 1978. 246с.

5. Автоматизированные системы массового обслуживания: Сб. тр. / Ин-т пробл. управления; отв. ред. В.А. Жожикашвили, М., 1983. 80с.

6. Анисимов В.В., Алиев А.О. Предельные теоремы для рекуррентных процессов полумарковского типа // Теория вер. и мат. статистика (Киев). 1989. №41. с.9-15.

7. Баканов А.С., Вишневский В.М., Ляхов А.И. Метод оценки показателей производительности беспроводных сетей с централизованным управлением // Автоматика и телемеханика. 2000. №4. с.97-105.

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 598с.

9. Башарин Г.П., Громов А.И. Матричный метод нахождения стационарного распределения для некоторых нестандартных систем массового обслуживания // Автоматика и телемеханика. 1978. №1. с.29-38.

10. Башарин Г.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. Метод эквивалентных замен в теории телетрафика. М.: Электросвязь, 1980. т.2. с.82-122.

11. П.Богуславский Л.Б. Управление потоками данных в сетях ЭВМ. М.: Энергоатомиздат, 1984. 168с.

12. Боровков А.А. Условия эргодичности цепей Маркова, не связанные с неприводимостью по Харрису // Сиб. матем. журн. 1991. 32. №4. с.6-19.

13. И.Бронштейн О.И., Рыков В.В. Об оптимальных дисциплинах обслуживания в управляющих системах // Тр.III Всесоюз. совещания по автомат, упр-ию. М., 1967. с.215-224.

14. Бурлаков М.В. Об одном методе аппроксимации цепей немарковских управляемых процессов обслуживания // Автоматика и телемеханика. 1996. №7. с.90-104.

15. Валеев К.Г., Артдех С. О сведении немарковской цепи к марковской // Киев. Ин-тнар. хоз-ва. 1989.

16. Валеев К.Г., Сулима И.М. К теории случайных полумарковских процессов // Выч. и прикладная математика (Киев). 1989. №69. с. 121-128.

17. Вероятностное моделирование систем и сетей обслуживания: Межвуз. сб. / Ред. Чернецкий В.И. Петрозаводск: Университет, 1988. 108с.

18. Волковинский М.И., Волковинский О.Ф. Система обслуживания с переменными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1988. №7. с.107-120.

19. Вычислительные сети коммутации процессов // Тез.докл. V Всесоюз. конф. Рига, 1987. 231с.

20. Гешев А., Костадинов Ст., Киров Р., Костадинов Г. Нестационарные характеристики системы M(t)IM(t)l 1 // Науч .тр.мат. Пловдив, унив. 1987. т.25. №3. с.305-314.

21. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1965. 400с.

22. Головко Н.И., Коротаев И.А. Время задержки сообщения в узле сети при переменной интенсивности входящего потока // Автоматика и телемеханика. 1989. №2. с.36-39.

23. Головко Н.И., Коротаев И.А. Системы массового обслуживания со случайно изменяющейся интенсивностью входящего потока // Автоматика и вычислительная техника. 1990. №7. с.80-86.

24. Головко Н.И., Коротаев И.А. Расчет характеристик нестационарных систем массового обслуживания // Автоматика и телемеханика. 1991. №2. с,97-102.

25. Горцев A.M., Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1978. 208с.

26. Дудин А.Н. Об обслуживающей системе с переменным режимом работы // Автоматика и вычислительная техника. 1985. №2. с.27-29.

27. Дудин А.Н. Простейшая система массового обслуживания, функционирующая в случайной среде // Вероятн. моделир. систем и сетей обслуж. Петрозаводск, 1988. с.305-314.

28. Дудин А.Н., Клименок В.И. Расчет характеристик однолинейной системы обслуживания, функционирующей в синхронной случайной среде // Автоматика и телемеханика. 1997. №1. с.74-89.

29. Евдокимова Г.С. Распределение времени ожидания для систем с периодическим входным потоком // Изв. АН СССР. Сер. Техн. кибернетики. 1974. №3. с.114-118.

30. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов: перевод с англ. т.1. М.: Физматлит, 1994. 542с.

31. Жожикашвили В.А., Вишневский В.М. Сети массового обслуживания. Теория и применение к сетям ЭВМ. М.: Радио и связь, 1988. 191с.

32. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Трехдиагональные матрицы и их приложения. М: Наука, 1985. 207с.

33. Кениг Д., Штоян Д. Методы теории массового обслуживания. М.: Радио и связь, 1981. 127с.

34. Китаев М.Ю. Полумарковские и скачкообразные марковские управляемые модели // Теор. вероятн. и ее примен. 1985, т.ххх, в.2. с.252-268.

35. Клейнрок JI. Вычислительные системы с очередями. М.: Мир, 1979. 600с.

36. Клейнрок Л. Коммуникационные сети. Стохастические потоки и задержки сообщений. М.: Наука, 1970. 255с.

37. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979. 432с.

38. Клименок В.И. О стационарном распределении вероятностей состояний системы массового обслуживания с пассивными приборами // Автоматика и телемеханика. 2000. №1. с. 88-97.

39. Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания // Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. 1971. т.9. 110с.

40. Коган Я.А., Литвин В.Г. К вычислению характеристик системы массового обслуживания с конечным буфером, работающей в случайной среде// Автоматика и телемеханика. 1976. №12. с. 49-57.

41. Коротаев И.А., Спивак Л.Р. Системы массового обслуживания в полумарковской случайной среде // Автоматика и телемеханика. 1992. №7. с. 86-92.

42. Коротаев И.А., Ташлицкий И.А. Расчет характеристик системы массового обслуживания с групповым обслуживанием и ненадежным прибором // Стохастические модели сложных систем. Новосибирск, 1990. с.58-61.

43. Коротаев И.А., Терпугов А.Ф. Приближенный расчет характеристик адаптирующихся систем массового обслуживания со вспомогательными приборами // Автоматика и вычислительная техника. 1982. №6. с.61-65.

44. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложения. М.: Мир, 1965. 302с.

45. Лазарев В.Г., Саввин Г.П. Сети связи. Управление и коммутация. М.: Связь, 1973. 271с.

46. Лебедев Е.А. О стационарном распределении для сети обслуживания с узлами типа G/М / // Сетеметрия, анал. и моделир. инф.-вычисл. сетей. Куйбышев, 1988. с.53-61.

47. Лифшиц А.Л., Мальц Э.А. Статистическое моделирование систем массового обслуживания. М.: «Сов. радио», 1978. 248с.

48. Ляхов А.И. Асимптотический анализ замкнутых сетей очередей, включающих устройства с переменной интенсивностью обслуживания// Автоматика и телемеханика. 1997. №3. с.131-143.

49. Максимей И.В. Функционирование вычислительных систем. М.: Сов. радио, 1978. 271с.

50. Математические методы исследования систем и сетей массового обслуживания: Тез. докл. 9 Белорус, зим. шк.-семин. по теории масс, об-служ. Минск, февраль, 1993. 108с.

51. Модели информационных сетей и коммутационных систем / Под. ред. Харкевича А.Д., ГармашаВ.А. М.: Наука, 1982. 186с.

52. Назаров А.А. Адаптивное включение резервного прибора автоматом с целесообразным поведением // Автоматика и телемеханика. 1981. №3. с.170-174.

53. Назаров А.А. Адаптивное распределение заявок по приборам различной производительности // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1979. №5. с.115-119.

54. Назаров А.А. Об адаптивных системах массового обслуживания, управляемых автоматами с линейной тактикой // Автоматика и телемеханика. 1979. №5. с.99-103.

55. Портенко Н.И., Скороход А.В., Шеренков В.М. Марковские процессы // Итоги науки и техники. Сер. соврем, пробл. мат. Фундам. направления / ВИНИТИ-1989. 46. с.5-245.

56. Проблемы устойчивости стохастических моделей: Тр. семин. / ВНИИ систем исслед. Ред. Золотарев, Калашников. М., 1989.

57. Растригин JI.A. Современные принципы управления сложными объектами. М.: Сов. радио. 1978. 238с.

58. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: «Сов. радио», 1965.

59. Саксонов М.Т. Об управлении скачкообразными процессами при наличии конечномерных ограничений / Мат. моделир. процессов упр. в условиях неопределенности. М., 1987. с.101-118.

60. Самочернова Л.И. Многоуровневая система массового обслуживания с интенсивностью обслуживания, зависящей от времени ожидания / Том. политех, ун-т. Томск, 1995. 10с.

61. Самочернова Л.И., Нерзмекин А.Ф. СМО с гистерезисной стратегией управления интенсивностью обслуживания / Том. политех, ун-т. Томск, 1995. 11с.

62. Сатаев Е.А. Непрерывная зависимость финальных распределений от переходных вероятностей асимптотически марковского процесса // Теория вероятности и ее применения. 1995. 40. №1. с.183-188.

63. Скляревич Ф.А. Анализ эффективности фрагментов вычислительных сетей при полумарковском процессе сменов режима работы // Автоматика и вычислительная техника. 1984. №4. с.38-43.

64. Случайные процессы, математическая статистика и их приложение / МГУ, Мех-мат. фак. Ред. Гнеденко Б.В., Розанов Ю.А. М., 1989.

65. Стрик Я. Предельные результаты для переключаемых марковских систем обслуживания с конечным числом источников // Кибернетика и сист. анал. 1994. №1. с.79-84.

66. Таташев А.Г. Система массового обслуживания с переменной интенсивностью входного потока // Автоматика и телемеханика. 1995. №12. с.78-84.

67. Телеавтоматические системы массового обслуживания: Матер. Всес. конф., ноябрь 1986, ч.З. Кишинев: Тимпул, 1988. 114с.

68. Терпугов А.Ф. Приближенный расчет характеристик систем массового обслуживания при медленных флуктуациях интенсивности входящего потока // Управляемые системы массового обслуживания. Томск, 1982. Вып.1. с. 174-178.

69. Тихоненко О.М. Модели массового обслуживания в системах обработки информации. Минск: Университетское, 1990.

70. Тихоненко О.М. Системы обслуживания требований случайной длины с ограничениями// Автоматика и телемеханика. 1991. №10. с. 126-134.

71. Тривоженко Б.В. Оценка интенсивности нестационарного пуассонов-ского потока // Поиск сигнала в многоканал. системах (Томск). 1985. №1. с.169-174.

72. Ушаков В.Г., Харитонцева И.Г. О системе с зависимыми временами обслуживания // Математические модели и цифровая обработка информации. М., 1990. с.154-163.

73. Фомин Г.И. Об однолинейной системе со случайно меняющейся скоростью обслуживания // Изв. АН СССР. Техн. кибернет., 1988. №1. с.134-137.

74. Чеботарев A.M. Достаточные условия регулярности скачкообразных марковских процессов // Теор. вер. и ее применен. 1988. 33. №1. с.25-39.

75. Юшкевич А.А. Управляемые скачкообразные марковские модели // Теор. вер. и ее применен. 1980. t.xxv. в.2. с.247-270.

76. Якубайтис Э.А. Архитектура вычислительных сетей. М.: Статистика, 1980. 279с.

77. Abate Joseph, Whitt Ward. Simple spectral representations for the M/M/l queue // Queuing Syst. 1988. 3. №4. P. 321-345.

78. Afanas'eva L.G. On periodic distribution of waiting-time process // Lect. Notes Math. 1985.81 .Afanas'eva L.G., Kibkalo A.A. Uniform bounds for the periodic queue in the M(t)/G/1/ system // Soviet Math. 1988. 40. №4. P. 454-457.

79. Alfa Attahiru Sule. Approximating queue length in M(t)/D/1 queues // Fur. J. Oper. Res. 1990. 44. №1. p. 60-66.

80. Alvarez-Andrade Sergio. On the increments of doubly stochastic Poisson processes // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. 1. Math. 1992. 92. № 5. P. 609-614.

81. Alvarez-Andrade Sergio. Strong approximation of doubly stochastic Poisson processes // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I. Math. 1993. 316. №8. P. 869-872.

82. Asmussen Soren. Ladder heights and the Markov-modulated M/G/l queue // Stochast. Process and Appl. 1991. 37. №2. P. 313-326.

83. Berman Simeon M. Extreme sojourns of diffusion processes // Ann. Probab. 1988. 16. №1. P. 361-374.

84. Brandt Andreas, Brandt Manfred, Sulanke Hannelore. A single server model for the packetwise transmission of messages: Analytical solution for the Poisson case // Prepr. Sekt. Math. / Humboldt Univ. Berlin. 1989. № 229. P. 1-14.

85. Clark A.B. A waiting line process of Markov type // Ann. Math. Statistics. 1956. 27. №2. P. 452-459.

86. Chancelier Jean-Philippe, Cohen de Lara Michel, Pacard Frank. Fokker-Planck equation for the density of a diffusion process in a regular open set // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I. Math. 1995. 321. № 9. P. 1251-1256.

87. Chang Cheng-Shang, Chao Xiu Li, Pinedo Michael. Monotonicity results for queues with doubly stochastic Poisson arrivals: Ross's conjecture // Adv. Appl. Probab. 1991. 23. №1. P. 210-228.

88. Chang Cheng-Shang, Pinedo Michel. Bounds and inequalities for single server loss systems // Q. S. T. A. 1990. 6. №4. P. 425-435.

89. Chao Xiuli, Dai, Li Yi. A monotonicity result for a single-server loss system //Appl. Probab. 1995. 32. №4. P. 1112-1117.

90. Choi Bong Dae, Lee Yong Wan, Shin Yang Woo. Diffusion approximation for first overflow time in GI/G/m system with finite capacity // J. Appl. Math, and Stochast. Anal. 1995. 8. №1. P. 11-28.

91. Choi Bong Dae, Rhee Kyung Hyune, Park Kwang Kyu. The M/G/l retrial queue with retrial rate control policy // Probab. Eng. and Inf. Sci. 1993. 7. №1. P. 29-46.

92. Coyle A.J., Yunus M.N. A numerical method to evaluate blocking probability for M(t)/M/N loss system // Atr. Austral. Telecommun. 1985. 19. №2. P.27-33.

93. Di Crescen Zo, Antonio Nobile, Amelia G. Diffusion approximation to a queuing system with time-depend arrival and service rates // Queuing Systems Theory Appl. 1995. 19. №12. P. 41-62.

94. Domine Marco. Moments of the first-passage time of a Wiener process with drift between two elastic barriers // J. Appl. Probab. 1995. 32. №4. P. 10071013.

95. Doshi Bharat. Conditional and unconditional distributions for M/G/l type queues with server vacations // Queuing Syst. 1990. 7. №3,4. P. 229-235.

96. Dshalalow Jewgeni H. Single-server with controlled bulk service, random accumulation level, and modulated input // Stochast. Anal, and Appl. 1993. 11. №1. P. 29-41.

97. Dynkin E.B. Kolmogorov and the theory of Markov process // Ann. Probab. 1989. 17. №3. P. 822-832.

98. Fill James Allen. Time to stationarity for a continuous-time Markov chain // Probab. Eng. and Inf. Sci. 1991. 5. №1. P. 61-76.

99. Giorno V., Nobile A.G., Ricciardi L.M. On some time-non-homogeneous diffusion approximation to queuing systems // Adv. Appl. Probab. 1987. 17. №4. P. 974-994.

100. Harlamov B.P. On statistics of continuous Markov processes: semi-Markov approach // Probability theory and math, statistics. V.l. 1990. P. 504-511.

101. Harrison J.M., Williams R.J. On the quasireversibility of a multiclass Brownian service station // Ann. Probab. 1990. 18. №3. P. 1249-1268.

102. Heyman D.P. On Ross's conjectures about queues with nonststionary Poisson arrivals // J. Appl. Prob. 1982. 19. P.245-249.

103. Heyman D.P., Whitt W. The asymptotic behavior of queues with time-varying arrival rates // J. Appl. Prob. 1984. 21. №1. P.143-156.

104. Hsu Guang-Hui. A survey of queuing theory // Ami. Oper. Res. 1990. 24. №1-4. P. 29-43.

105. Iscoe I., McDonald D. Asymptotics of exit times for Markov jump processes // The Annals of Probab. 1994. 22. №1. P. 372-397.

106. Ishikawa Yasushi. On the lower bound of the density for jump processes in small time // Bull. Sci. Math. 1993. 117. №4 P. 463-483.

107. Jang, Nam Su, Choe, Jong Ae, Yong Choi. Comparison theorems for M(t)/G(t)/1 queues // Su-hak 1995. №1. P. 14-15.

108. Karmeshu, Thompson M.E. The one-server Markov queue in a random environment//Bull. Calcutta Math. Soc. 1993. 85. №3. P. 203-208.

109. Keilson J., Servi L.D. The matrix M/M/l system: Retrial models and Markov modulated sources // Adv. Appl. Probab. 1993. 25. №2. P. 453-471.

110. Keller J.B. Time-dependent queues // SIAM Review. 1982. 24. №4. P.401-412.

111. Kersting G., Klebaner F.C. Sharp conditions for nonexplosions and explosions in Markov jump processes // Ann. Probab. 1995. 23. №1. P. 268-272.

112. Kino Jssei, Miyazawa Masakiyo. The stationary work in system of G/G/l gradual input queue // J. Appl. Probab. 1993. 30. №1. P. 207-222.

113. Konakov V.D. Local limit theorem on convergence of Markov chain to diffusion processes: Front. Pure and Appl. Probab.: Proc 3. Finn.-Sov. Symp. Probab. Theory and Math. Statist. Turku. 1993. P. 112-134.

114. Leguesdron P., Pellaumail J., Rubino G., Sericola B. Transient analysis of the M/M/l queue // Adv. in Appl. Probab. 1993. 25. №3. P. 702-713.

115. Lemoine Austin J. On queues with periodic Poisson input // J. Appl. Probab. 1981. 18. №4. P. 889-900.

116. Lemoine Austin J. Waiting time and workload in queues with periodic Poisson input // J. Appl. Probab. 1989. 26. №2. P. 390-397.

117. Miyazawa Masakiyo. The characterization of the stationary distribution of the supplemented self-clocking jump process // Math. Oper. Res. 1991. 16. №3. P.547-565.

118. Neuts Marcel E. An explicit solution to a particular Markov chain of M/G/l type II J. Appl. Probab. 1994. 31A. P. 337-342.

119. Obzherin Yu. E., Skatkov A.V. A semi-Markov model of a queuing system with losses // Динамич. сист. 1990. №8. P. 83-90.

120. Parthasathy P.R., Sharafali M. Transient solution to the many server Poisson queue: a simple approach // J. Appl. Probab. 1989. 26. №3. P. 584-594.

121. Pham. Huyen. Optimal stopping of controlled jump diffusion process and viscosity solutions // C. R. Acad. Sci. Ser. 1. 1995. 320. №9. P. 1113-1118.

122. Purdue P. The M/M/l queue in a Markovian environment // Oper.res. 1974. v22. №3. P.562-569.

123. Rao S. Subba. Some approximate results for a heavity loaded single server queue with semi-Markovian services // J. Math, and Phys. Sci. 1991. 25. №5,6. P. 515-520.

124. Rolski Tomasz. Approximation of periodic queues // Adv. Appl. Probab. 1987. 17. №3. P. 691-707.

125. Rolski Tomasz. Approximations of performance characteristics in periodic Poisson queues // Queuing and related models, Oxford Statist. Sci. Ser. 1992. №9. P. 285-298.

126. Rosenberg Catherine, Marumdar Ravi, Kleinrock Leonard. On the analysis of exponential queuing systems with randomly changing arrival rates: Stability conditions and finite buffer scheme with a resume level // Rerform. Eval. 1990. 11. №4. P. 273-293.

127. Semi-Markov random evolutions: A survey of the resent results (Swish-chuk Anotdy): Trans. 11-th Prague Conf. Inf. Theory Statist. Decis. Funct., Random Process. Prague. 1992. P. 403-413.

128. Sharma О.P., Maheswar M. V. R. A note of the alternative form of the busy period density for an МУМУ1/ queue // Stoshast. Anal, and Appl. 1993. 11. №2. P. 231-234.

129. Shin, Yang Woo. Transient diffusion approximation for M/G/m/N queue with state dependent arrival rates // Commun. Korean Math. Soc. 1995. 10. №3.P. 715-733.

130. Sinai Ya. G. Kolmogorov's work on ergodic theory // Ann. Probab. 1989. 17. №3. P. 833-839.

131. Snyder D.K. Filtering and detection for doubly stochastic Poisson processes // IEEE Trans. Inf. Theory. 1972. 18. №1. P. 91-102.

132. Sreenath N., Chreck H. J. Symbolic solution of non-Markovian jump linear quadratic (JLQ) systems: Proc. 27th Conf. Decis. and Contr. New-York (N. Y.). 1988. P. 1320-1325.

133. Stamoulis George D., Tsitsiklis John N. On the setting time of the congested GI/G/1 queue // Adv. Appl. Probab. 1990. 22. № 4. P. 929-956.

134. Svoronos Antony, Green Linda. A convexity result for single-server ex-ponention loss systems with non-stationary arrivals // J. Appl. Probab. 1988. 25. №1. P. 224-227.

135. Syski R. Further comments on the solution of the M/M/l queue // Adv. Appl. Probab. 1988. 20. №3. P. 693.

136. Sztrik J. Asymptotic analysis of a heterogeneous finite-source communication system operating in random environments // Publ. Math., Debrecen. 1993. 42. №3,4. P. 225-238.

137. Valdescastro Jose E. Cotas para las caracteristicas de un sistema M/G/l/ con tiempo de espera limitado // Invest. Oper. 1990. 11. №2. P. 93-99.

138. Xie Yingchao. Weak convergence of a sequence of Markov jump processes to diffusion processes // Shuxue Niankan. A. = Chin. Ann. Math. A. 1993. 14. №2. P. 246-254.

139. Zhang Weijian. Analytical solutions of a class of multidimensional Fok-ker-Planck equations // Int. J. Contr. 1988. 48. №2. P. 791-799.

140. Zhang Yu Hui. The conservativity of coupling jump process 11 Beijing Shifan Daxue Xuebao. 1994. 30. №3. P. 305-307.

141. Филинова (Кучер) Н.А. Анализ незавершенной работы однолинейной СМО со скачкообразной интенсивностью входного потока // 3-я Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по мат. моделированию: Тез. докл. Владивосток: Дальнаука. 1999. с.24.

142. Головко Н.И., Катрахов В.В., Кучер Н.А. Стационарные системы массового обслуживания с конечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока // Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток: изд-во Дальнаука. 1999. №19. 20с.

143. Головко Н.И., Катрахов В.В., Кучер Н.А. Стационарные системы массового обслуживания с бесконечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока // Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток: изд-во Дальнаука. 1999. №20. 20с.

144. Головко Н.И., Катрахов В.В., Филинова (Кучер) Н.А. Марковские системы обслуживания с конечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока // Вестник ДВГАЭУ. 1999. №3. с.45-53.

145. Головко Н.И., Катрахов В.В., Филинова Н.А. Марковские системы обслуживания с бесконечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока // Вестник ДВГАЭУ. 2000. №4. с. 57-65.

146. Головко Н.И., Филинова Н.А. Матричный анализ систем массового обслуживания с конечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока // Автоматика и телемеханика. 2000. №9. с.73-83.

147. Головко Н.И., Катрахов В.В., Кучер Н.А. Матричный метод анализа стационарной модели системы массового обслуживания при скачкообразной интенсивности входного потока // Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток: изд-во Дальнаука. 2001. №5. 19с.

148. Результаты исследований Кучер Н.А. по расчету характеристик систем массового обслуживания при скачкообразной интенсивности входного потока были переданы в Администрацию г. Владивостока.

149. Были переданы следующие результаты:

150. Составленные программы расчета вероятностей нахождения определенного количества требований на обслуживании в описанных системах, среднего количество заявок в системах с бесконечным накопителем.

151. Построена модель функционирования узла ИНТЕРНЕТ отдела информатизации систем управления при Администрации г. Владивостока при использовании узла внутренними пользователями.

152. Первый заместитель главы-руководитель аппарата администрации г. Владивостока1. АКТ

153. Результаты исследований Кучер Н.А. по расчету характеристик систем массового обслуживания при скачкообразной интенсивности входного потока были переданы в комитет информатизации при Краевой администрации Приморского края.

154. Были переданы следующие результаты:

155. Составленные программы расчета вероятностей нахождения определенного количества требований на обслуживании в описанных системах, среднего количество заявок в системах с бесконечным накопителем.

156. Построена модель функционирования узла ИНТЕРНЕТ комитета информатизации при Краевой администрации при использовании узла внутренними пользователями.

157. Начальник комитета информатиза^^?"^

158. Приморского края (j^f \ ■ И.Э.Антонов