автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.05, диссертация на тему:Аппаратно-программный комплекс для моделирования и исследования стохастических процессов

На правах рукописи

Днмакн Андрей Викторович

АППАРАТНО-ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Специальность 05.13.05 - Элементы и устройства вычислительной техники и

систем управления

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск - 2006

Работа выполнена в Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники.

Научный руководитель — доктор технических наук, профессор

Светлаков Анатолий Антонович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Замятин Николай Владимирович

доктор технических наук Жмудь Вадим Аркадьевич

Ведущая организация — Томский политехнический университет

Защита состоится « 16 » ноября 2006 г. в 9 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.268.03 при Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники по адресу: г. Томск, ул. Вершинина, 74.

Автореферат разослан « /¿Л> С С/ 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Мещеряков Р.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В целом ряде областей науки и техники изучение влияния случайных возмущений на протекание тех или иных физических процессов является ключевой задачей. Случайные возмущения накладывают принципиальные ограничения на точность контроля того или иного процесса, что создает серьезные трудности при решении задачи управления данным процессом. Полностью устранить влияние шумов невозможно, однако, существуют способы минимизации этих влияний, иными словами, способы подавления шума.

Вместе с тем существует ряд областей, в которых наличие случайного шума является необходимым условием. К таким областям относятся, в первую очередь, задачи моделирования на основе метода Монте-Карло, задачи криптографии, генерации паролей и т.д. При этом используются специальные средства, позволяющие получать последовательности реализаций случайной величины, обладающей заданными параметрами.

Развитие современной вычислительной техники обусловило применение цифровых вычислительных машин как для решения задач борьбы с влиянием случайных факторов, так и для задач получения и исследования случайных величин. Как показал анализ существующих разработок, различные авторы предлагают лишь частные решения задачи генерации случайных чисел, а также оценивания параметров случайных величин. В частности, существует большое количество аппаратных и программных генераторов случайных чисел, множество алгоритмов формирования случайной величины с заданными параметрами, а также идентификации закона распределения случайной величины. Однако, несмотря на это, не существует систем, позволяющих решать указанные задачи в комплексе. Более того, предлагаемые разработки зачастую являются недостаточно исследованными, авторы не приводят детальных характеристик предлагаемых программных и аппаратных продуктов, что ставит под сомнение возможность их практического применения. Следует отметить также определенную утрату интереса к разработке данной тематики в России, несмотря на то, что за рубежом она продолжает бурно развиваться, о чем свидетельствует большое количество публикаций, посвященных методам генерации истинно случайных чисел, обладающих требуемыми статистическими характеристиками.

В рамках данной работы создан аппаратно-программный комплекс для генерирования и исследования последовательностей случайных чисел. Данный комплекс позволяет решать следующие задачи:

1) получение последовательностей истинно случайных чисел ка основе аппаратного датчика;

2) идентификация закона распределения случайной выборки, полученной экспериментально, для дальнейшего компьютерного моделирования исследуемого физического процесса;

3) генерирование случайных последовательностей с заданным законом

распределения;

4) получение последовательностей случайных чисел, коррелированных по

закону, заданному пользователем.

Актуальность работы обусловлена отсутствием на российском рынке законченных программно-аппаратных решений, которые могут быть использованы в задачах исследования и моделирования случайных процессов. Существующие отечественные разработки либо узко специализированы, либо не доведены до конца. Зарубежные разработки весьма дорогостоящи, кроме того, они не всегда доступны отечественному пользователю. В частности, это связано с тем, что, например, в США существует запрет на вывоз «сильных» датчиков случайных чисел, которые могут быть использованы в задачах криптографии.

Цель работы

Цель данной работы заключается в создании аппаратно-программного генератора истинно случайных чисел, а также в разработке программных средств, позволяющих получать случайные последовательности требуемого объема, элементы которых подчиняются заданному закону распределения, при этом статистическая взаимосвязь между элементами определяется заданной пользователем автокорреляционной функцией.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) создание аппаратного устройства, позволяющего генерировать истинно случайные равномерно распределенные числа и передавать их в ЭВМ;

2) исследование качества генерируемых случайных чисел и сравнение его с существующими в мире аналогами;

3) разработка и программная реализация алгоритмов формирования случайных чисел с требуемым законом распределения;

4) создание алгоритмов генерации последовательностей случайных чисел с заданной автокорреляционной функцией;

5) разработка способов идентификации законов распределения случайных выборок, получаемых экспериментально, а также методик генерации случайных чисел с идентифицированными законами распределения.

Научная новизна

Научная новизна данной работы состоит в том, что впервые были пблучены следующие результаты:

1) Предложен способ генерации случайных чисел на основе использования специализированного шумового диода, с автоматической настройкой генератора случайных чисел при помощи обратной связи.

2) Разработан способ одновременной идентификации плотности и функции распределения случайной величины на основе алгоритма чувствительности и уравнения Пирсона.

3) Разработана методика генерирования случайных последовательностей с заданной корреляционной функцией, на основе метода скользящего суммирования с применением псевдообратных матриц.

4) Предложен способ регуляризации решения СЛАУ, получаемой при аппроксимации плотностей распределения при помощи полиномов Эрмита, путем использования диагональной матрицы весовых коэффициентов, пропорциональных относительным ошибкам вычисления полиномов;

5) Предложен алгоритм формирования истинно случайных чисел, подчиняющихся требуемому закону распределения, на основе использования ортогональных полиномов Эрмита.

Методы выполнения исследований

Теоретическая часть работы выполнена с использованием методов теории вероятностей и математической статистики, методов математического моделирования и методов идентификации нелинейных динамических объектов.

Для исследования статистических свойств случайных чисел, получаемых при помощи предложенного генератора, создан опытный образец аппаратного генератора случайных чисел, сопрягаемого с ЭВМ типа IBM PC. Проведено тестирование получаемых случайных числе на основе пакета N1ST Statistical Test Suite.

Практическая ценность работы

Созданный аппаратно-программный генератор случайных чисел использован при задании разброса механических свойств материала при моделировании процесса износа методом подвижных клеточных автоматов, разработанном в ИФПМ СО РАН. Применение разработанного генератора позволило в ряде случаев повысить достоверность результатов моделирования, за счет отсутствия «дефектов случайности» получаемых случайных чисел.

На основе предложенного алгоритма идентификации плотностей распределений получено аналитическое выражение для закона распределения хода пружин манометров на основе уравнения Пирсона. Данный результат был применен при проведении на ОАО «Манотомь» НИР в направлении автоматизации процесса настройки манометров.

Разработаны и внедрены в учебный процесс лабораторные работы, использующие аппаратно-программный комплекс для моделирования и исследования стохастических процессов.

Положения, выносимые на защиту

1. Способ получения равномерно распределенных истинно случайных чисел на основе физического датчика, представляющего собой полупроводниковый диод — генератор шума.

2. Результаты исследований статистических свойств генерируемых случайных чисел, показывающие их высокое качество в смысле прохождения тестов по методике NIST.

3. Способ формирования последовательностей случайных чисел, коррелированных по заданному закону.

4. Методика идентификации закона распределения случайной величины на основе уравнения Пирсона и алгоритма чувствительности.

5. Способ регуляризации решения СЛАУ, основанный на использовании диагональной матрицы весовых коэффициентов, пропорциональных относительным ошибкам вычисления.

Внедрение результатов работы

Изготовлено четыре экземпляра аппаратно-программного комплекса для моделирования и исследования стохастических процессов. Данные комплексы применяются для математического моделирования, для решения задач идентификации законов распределения, а также используются в учебном процессе при подготовке студентов. Результаты диссертационной работы были внедрены в ИФПМ СО РАН, на ОАО «Манотомь», а также в ТУСУРе.

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены и обсуждены на X и XI Международных научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (г. Томск, соответственно 2004 г. и 2005 г.), Международных научно-практических конференциях «Электронные средства и системы управления» (г. Томск, 2004 г. и 2005 г.), Всероссийских научно-технических конференциях студентов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (г. Томск, 2004-2006 г.г.), а также на научных семинарах кафедры информационно-измерительной техники Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР). Выполнение диссертационной работы осуществлялось при поддержке гранта А04-3.20-558 для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов ВУЗов Федерального агентства по образованию.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ, из них 1 -в журнале, рекомендуемом ВАК для опубликования результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук, 1 - в сборнике статей, 8 - в материалах и трудах международных и всероссийских конференций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 186 страницах, включая 53 рисунка, 15 таблиц, список использованных источников из 81 наименования, а также 7 приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается состояние исследуемой проблемы, обосновывается актуальность темы, ставится цель и основные задачи

исследования, раскрываются научная новизна и практическая ценность работы, формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе проведен обзор существующих способов получения истинно случайных и псевдослучайных чисел. Рассмотрены программные генераторы, такие как линейный конгруэнтный генератор, генератор Блюма-Блюма-Шуба. Проанализированы способы получения истинно случайных чисел на основе физических датчиков различной природы. Отмечено, что наибольшее распространение в настоящее время получили генераторы шума, использующие шумы полупроводниковых приборов или резисторов. На их основе создан ряд генераторов случайных чисел, встроенных в микропроцессоры, либо выполненных в виде периферийных устройств ЭВМ. Большинство этих разработок являются зарубежными и имеют достаточно высокую стоимость. Вырабатываемые такими генераторами случайные числа подчиняются равномерному закону распределения; для получения других законов распределения необходимо использование дополнительных средств, не входящих в комплект поставки генераторов. Таким образом, имеется необходимость создания аппаратно-программного комплекса, позволяющего в рамках единой системы исследовать и генерировать истинно случайные числа с заданными статистическими характеристиками, прежде всего, с требуемым законом распределения и корреляционной функцией.

В ряде практических задач необходимо использование последовательностей случайных чисел с заданной корреляционной функцией. В основу алгоритмов формирования таких последовательностей положено линейное преобразование стационарной последовательности *[«] независимых нормально распределенных случайных чисел (дискретный белый шум) в последовательность £[л], значения которой коррелированны по заданному закону. При этом оператор линейного преобразования записывается либо в виде скользящего суммирования с весами с, = с[4]

N

= (1) либо в виде рекуррентного уравнения вида

I т

к=0 р=[

где Л', I и т - количество суммируемых элементов в соответствующем выражении.

В настоящее время для нахождения коэффициентов а = {а,,а2,...,о,}, Ь = {ЬиЬг,...,Ьт} и с = {с,,с2,...,су}, входящих в уравнения (1) и (2), разработан ряд методов, анализ которых позволил сделать вывод о том, что наиболее универсальным и пригодным для реализации на ЭВМ является метод скользящего суммирования. Данный метод является, вообще говоря, приближенным, однако его методическая погрешность может быть сделана сколь угодно малой путем увеличения числа слагаемых в формуле скользящего

суммирования. При этом если требуемая корреляционная функция задана аналитически либо в виде таблицы, целесообразно нахождение коэффициентов скользящего суммирования путем решения системы нелинейных уравнений.

Формирование случайной последовательности' с заданной плотностью распределения вероятностей часто является уникальной задачей, решать которую приходится отдельно для каждого вида плотности распределения. Однако существует ряд общих методов, при помощи которых можно сформировать случайные числа, подчиняющиеся любому требуемсму закону распределения.

Как правило, числа с требуемым распределением получают путем решения некоторого нелинейного уравнения, в которое тем или иным образом входит реализация равномерно распределенной случайной величины. Результатом решения этого уравнения является случайная величина, распределенная по требуемому закону. Наиболее простым методом, позволяющим получать случайные числа с заданным законом распределения, является метод обратной функции, суть которого состоит в следующем.

Пусть необходимо получить дискретную последовательность реализаций случайной величины Е с плотностью распределения вероятностей у =}>(<£), определенной на интервале (-«■;«■). Вероятность того, что реализация £ не превышает некоторое значение определяется следующим соотношением:

Как известно, функция К(£0) называется законом распределения случайной величины Е, и изменяется в пределах [0; 1]. Пусть теперь имеется последовательность реализаций х[я] случайной величины X, равномерно распределенной на интервале [0; 1]. Подставляя реализации л[п] в выражение (3) в качестве значений функции , и решая данное нелинейное уравнение относительно получим последовательность реализаций £[п] случайной величины Е с плотностью распределения вероятностей.

Прежде чем моделировать присутствующую в эксперименте случайную величину, необходимо выяснить тип ее закона распределения, а также получить оценки параметров данного закона. Таким образом, возникает задача идентификации закона распределения наблюдаемой в эксперименте случайной величины.

Одной из первых попыток решения задачи идентификации закона распределения экспериментальных данных был предложенный К. Пирсоном метод, который основан на аппроксимации плотности распределения функцией, представляющей собой решение дифференциального уравнения следующего вида:

Г(<г0) = Р(£<<г0) = />'(£)<

(3)

х + ао

сЬс Ь0+Ь1х + Ь2х

2

у(х),

(4)

где у(х) - плотность распределения вероятности случайной величины X.

В зависимости от значений коэффициентов ао, Ь0, Ь1 и Ьг, решение уравнения (4) может описывать одиннадцать классов законов распределения, среди которых присутствуют такие распространенные законы, как нормальный и равномерный законы распределения, гамма-распределение, бета-распределение и др. При этом несомненным достоинством метода кривых Пирсона является возможность не только получить аналитическое выражение, описывающее экспериментальную гистограмму, но и установить класс закона распределения и вычислить оценки параметров этого закона.

Как показал анализ материалов, посвященных идентификации законов распределения, метод кривых Пирсона в настоящее время является наиболее универсальным и удобным для реализации на ЭВМ, по сравнению с такими методами, как метод топографической классификации распределений, методами, основанными на аппроксимации гистограммы и т.д. Однако семейство кривых Пирсона не включает в себя двухмодальных и более сложных распределений. В связи с этим для аппроксимации плотностей распределений, не входящих в семейство распределений Пирсона, предлагается подход, основанный на применении полиномов Эрмита.

Проведенный в данной главе анализ материалов, посвященных проблеме получения случайных чисел с заданными характеристиками, показывает, что в настоящее время отсутствуют законченные разработки, позволяющие получать истинно случайные числа, закон распределения которых соответствует закону распределения исследуемой случайной величины. Таким образом, для моделирования на ЭВМ некоторой случайной величины, либо случайного процесса с заданными статистическими характеристиками необходимо выполнение ряда подготовительных действий, не связанных собственно с моделированием. К этим действиям относятся получение последовательностей случайных чисел, преобразование их корреляционной функции и закона распределения к требуемому виду (при этом может быть необходима идентификация закона распределения, наблюдаемого в эксперименте), и т.д. В связи с этим, сформулированы следующие задачи, решение которых необходимо в рамках создания аппаратно-программного комплекса для моделирования и исследования стохастических процессов:

1) создание аппаратного генератора равномерно распределенных истинно случайных чисел;

2) разработка способа генерации последовательностей случайных чисел, характеризующихся автокорреляционной функцией требуемого вида

3) синтез алгоритмов преобразования закона распределения генерируемых последовательностей к требуемому виду, на основе метода обратной функции;

4) разработка методики автоматической идентификации типа и параметров закона распределения экспериментальных данных на основе уравнения Пирсона; ... .

5) создание алгоритмов аппроксимации плотностей распределений с использованием ортогональных полиномов Эрмита.

Во второй главе представлены результаты разработки аппаратно-программного комплекса для моделирования и исследования стохастических процессов. Описан принцип работы созданного аппаратного генератора случайных чисел. Рассмотрены реализованные в программном обеспечении способы генерации случайных последовательностей с заданным законом распределения и корреляционной функцией. Приведены результаты тестирования получаемых случайных чисел с использованием пакета тестов NIST Statistical Tests Suite.

На рисунке 1 приведена структурная схема разработанного аппаратного генератора случайных чисел.

Рис. 1. Структурная схема аппаратного генератора случайных чисел.

Питание устройства осуществляется от сети переменного тока 220 В / 50 Гц. Блок питания вырабатывает напряжения +9 В, -9 В, +5 В. Напряжения ±9 В используются для питания шумовых диодов, операционных усилителей и компараторов, напряжением +5 В питается цифровая часть устройства.

Блок первичного источника шума предназначен для генерации аналогового шумового сигнала, величина которого достаточна для подачи на компараторы (см. рис. 1). В качестве первичного источника шума в данном устройстве используются два специализированных диода-генератора шума КГ401.

Как показали результаты измерения полосы пропускания усилителя, разработанный усилитель обеспечивает равномерную полосу пропускания в пределах от 1 Гц до 1 МГц. Для установления равномерности спектральной плотности шумового сигнала были проведены измерения спектральной плотности шума на входах компараторов в блоке преобразования и обработки шумового сигнала. Результаты данных измерений показали, что шумовой сигнал на входе компараторов обладает равномерной спектральной плотностью в диапазоне от 20 Гц до 1 Мгц. Таким образом, данный шумовой сигнал может быть использован для дальнейшей обработки и получения последовательностей случайных чисел.

Блок преобразования и обработки шумового сигнала предназначен для приема аналогового сигнала из блока первичного источника шума и преобразования данного сигнала в последовательность битов. Сигнал с выхода

блока первичного источника шума поступает на входы двух компараторов, па которых происходит сравнение сигнала с «верхним» и «нижним» уровнями напряжения. «Верхний» и «нижний» уровни подбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее условие:

г/, и.

J p(u)du + J p(u)du = J p{u)du = 0.5

u. u,

где и - мгновенное значение напряжения шумового сигнала; р(и) — плотность распределения значений напряжения сигнала; {/„ U„ - соответственно «верхний» и «нижний» уровни напряжения.

Отличительной особенностью разработанного генератора является использование цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) для создания петли обратной связи. Данная обратная связь предназначена для тонкой подстройки уровня напряжения U„ таким образом, чтобы компенсировать тепловой дрейф параметров аналоговой части схемы и изменение характеристик аналоговой части с течением времени. ЦАП работает под управлением микроконтроллера atMegai2 (см. рис. 1).

Блок сопряжения с ЭВМ через интерфейс USB предназначен для передачи сформированных в блоке преобразования и обработки сигнала случайных байтов в ЭВМ, где расположена программная часть комплекса.

Программное обеспечение аппаратно-программного генератора случайных чисел состоит из следующих модулей: 1) модуль сбора и первичной обработки данных; 2) модуль генерации коррелированных случайных чисел; 3) модуль преобразования закона распределения случайной последовательности.

Модуль сбора и первичной обработки данных выполняет следующие функции: 1) прием случайных байтов из аппаратной части АП ГСЧ;

2) сохранение принятых байтов на жестком диске ЭВМ в виде файлов;

3) подготовка данных для модуля преобразования корреляционной функции и преобразования закона распределения.

Модуль генерации коррелированных случайных чисел предназначен для формирования из исходной некоррелированной случайной последовательности, получаемой из модуля сбора и первичной обработки данных, последовательности случайных чисел, характеризующихся заданной пользователем автокорреляционной функцией. Процесс формирования последовательности случайных чисел с заданной корреляционной функцией состоит из двух этапов: 1) преобразование закона распределения исходной последовательности из равномерного в нормальный закон; 2) формирование последовательности с требуемой корреляционной функцией R(j) методом скользящего суммирования. В данной работе значения коэффициентов

скользящего суммирования {с,,сг,.....с„} вычисляются путем решения системы

нелинейных уравнений следующего вида:

с,с2+с2с3 + ... + си_,ся=Л„

с„=ЛлЧ.

На рисунке 2 приведена гистограмма исходной последовательности, ее спектральная плотность и корреляционная функция.

0,12 0.10 а 0.08 »0,06 0.04 0,02 0.0

m

-4 -3 -2 -1 0 1 Î 3 -4

1.0

х o.s 0,0

0,0 0.1 0,2 0,3 0,4 0,9 (Гц

-10-в -в -4 -2 0 2 4 в 8 10 {см

а) б) в)

Рис. 2. Гистограмма (а), спектральная плотность (б) и корреляционная функция (в) исходной последовательности.

Известно, что корреляционная функция сигнала Л(г) и его спектральная плотность вШ) связаны следующим соотношением:

G(ûj) = J R(T)e-JardT4

(7)

-------Данный факт был проверен опытным путем при формировании

последовательности случайных чисел с корреляционной функцией К, = ехр(~0.41),. (= 0..Ю. На рисунке 3 приведены спектральная плотность и корреляционная функция полученной последовательности случайных чисел.

0.1 0,2 0.3 0,4 0,5 (Ги

а> б) Рис. 3. Нормированная спектральная плотность (а) и корреляционная функция последовательности (б) после преобразования, /г, =ехр(-0.4/),.7=0..10.

Аналитическое выражение для спектральной плотности преобразованной последовательности, согласно (7), имеет следующий вид:

(8)

1 со: + со2 w

На рисунке 3 точками показаны значения спектральной плотности О(ш), вычисленные на основе выражения (8). Как видно из рисунка 3, вычисленные значения спектральной плотности близки к тем, что были получены непосредственно на основе Фурье-преобразования случайной последовательности. Это подтверждает тот факт, что корреляционная функция случайной последовательности была сформирована корректно.

Модуль преобразования закона распределения случайной последовательности предназначен для формирования последовательности случайных чисел с заданным законом распределения из исходной равномерно распределенной случайной последовательности. В основу работы модуля преобразования закона распределения положен описанный выше метод обратной функции. На рисунке 4 показаны гистограммы последовательностей случайных чисел, полученных с помощью модуля преобразования закона распределения.

а) б) в)

Рис. 4. Примеры распределений, получаемых с помощью модуля преобразования закона распределения: а) нормальное распределение; б) распределение Коши; в) бета-распределение.

Список получаемых законов может быть легко расширен, при этом для их получения будут использованы разработанные и реализованные в программном обеспечении методы.

Исследование качества последовательностей случайных чисел, получаемых при помощи разработанного аппаратно-программного генератора, было проведено с помощью пакета статистических тестов NIST Statistical Tests Suite. Для сравнения было проведено тестирование последовательностей случайных чисел, полученных при помощи наиболее широко распространенных программных генераторов: генератора Блюма-Блюма-Шуба и генератора ANSI-X9.17. В таблице 1 приведено среднее количество пройденных статистических тестов последовательностями, полученными при помощи аппаратного генератора и программных генераторов.

Таблица 1

Среднее количество пройденных статистических тестов для генераторов _различных типов___

Тип генератора Среднее количество пройденных статистических тестов

Аппаратный без использования корректора фон Неймана 148.82 (78.7%)

Аппаратный с использованием корректора фон Неймана 178.29 (94.3%)

Программный генератор Блюма-Блюма-Шуба 165.3 (87.5%)

Программный генератор АМБ1-Х9Л7 178.51 (94.4%)

Как показывают приведенные в таблице 1 результаты, разработанный аппаратно-программный генератор случайных чисел при использовании корректора фон Неймана позволяет получать последовательности случайных чисел, качество которых, в смысле прохождения тестов NISTSTS, не уступает, а в некоторых случаях и превышает качество последовательностей, получаемых при помощи известных программных генераторов, типа генератора Блюма-Блюма-Шуба и т.д.

В третьей главе приведены результаты использования уравнения Пирсона и алгоритма чувствительности для идентификации плотностей статистических распределений, оценено влияние параметров исходных данных на получаемые оценки параметров уравнения Пирсона. Представлена разработанная методика аппроксимации плотностей распределений при помощи полиномов Эрмита. Рассмотрены результаты применения разработанных методов аппроксимации плотностей распределений для получения последовательностей случайных чисел, подчиняющихся требуемому закону распределения. .

Проведенные исследования показали, что на оценки коэффициентов уравнения Пирсона, получаемые при помощи алгоритма чувствительности, значительное влияние оказывают различные особенности гистограммы, такие, как число интервалов, наличие «выбросов» и т.д. Для решения этой проблемы был предложен метод одновременной идентификации плотности и функции распределения. Преимуществом такого подхода является возможность при получении оценок параметров уравнения Пирсона использовать дополнительную априорную информацию о функции распределения. Под априорной информацией здесь понимается строгое равенство функции распределения нулю на одном конце области определения и строгое равенство ее единице на другом конце области определения.

Таким образом, в рамках предложенного метода при идентификации закона распределения решается задача минимизации значения метрики S следующего вида:

т т

5 = X 1Я*<) - У^ )]2 + £ И*',) - )Г тт,

(9) 7=0

где

"1

■«о

где функция является решением уравнения Пирсона.

Разработанный метод идентификации типа и параметров закона распределения, основанный на одновременном приближении плотности распределения и функции распределения, является перспективным. К достоинствам данного метода относится относительно высокая устойчивость получаемых решений к различным особенностям гистограммы, таким как различное количество интервалов, наличие «выбросов» и т.д. К недостаткам относятся необходимость подбора весового коэффициента V, а также невозможность . идентификации законов распределений, не входящих в семейство распределений Пирсона.

Для аппроксимации двухмодальных и более сложных распределений предложен подход, основанный на использовании полиномов Эрмита. В рамках данной работы аппроксимация плотности распределения исследуемой выборки производилась при помощи функции следующего вида:

п

>•(*) = £ Я, (11)

;=0

где и - максимальный порядок многочлена И,(х).

Решение задачи аппроксимации в данном случае сводится к решению СЛАУ

Ва = у. (12)

При аппроксимации двухмодальных распределений необходимо увеличение порядка аппроксимирующего полинома (п > 10), что приводит к неустойчивости решения СЛАУ (12). Для решения данной проблемы был использован модифицированный метод регуляризации, в рамках которого система (12) была заменена системой следующего вида:

(В + бМ)х = у, б>0. (13)

Диагональная матрица весовых коэффициентов М была сформирована следующим образом:

м=КЛ=

I

К

у,

(14)

шахО^) ,ри = Обозначение входящего в уравнение (13) параметра а выбирается из диапазона бе (2; 5). Такой подход позволил получить устойчивые решения при степенях аппроксимирующего полинома до п = 50 (см. рис. 5).

0.5 0.4 §0,3 0,2 0.1 0

•2-10123 X

Рис. 5. Результаты аппроксимации плотности двухмодального распределения при различных значениях параметра а и п = 50.

Разработанный способ аппроксимации плотностей распределений может быть применен при обработке экспериментальных данных, при этом аппроксимация гистограммы осуществляется с требуемой точностью. Исследования предложенного способа аппроксимации показали, что интеграл от аппроксимирующей функции близок к интегралу от плотности распределения.

Также в третьей главе проанализированы возможности применения разработанных методов аппроксимации плотностей распределений для получения последовательностей случайных чисел, подчиняющихся заданному закону распределения. Отмечены возможные области применения описанных выше алгоритмов, оценено быстродействие каждого из них.

В четвертой главе представлены результаты применения разработанного аппаратно-программного комплекса для решения задач математического моделирования, при исследовании случайных факторов в производственном процессе, а также для организации автоматизированных рабочих мест для лабораторных работ студентов.

При компьютерном моделировании многих реальных объектов важным фактором, обеспечивающим адекватность получаемых результатов, является наличие случайного разброса одного или нескольких параметров модели, например, свойств материала и т.д. Особенно сильно влияние разброса свойств проявляется при решении динамических задач, в условиях периодических знакопеременных нагрузок. При этом незначительные «дефекты случайности» чисел, применяемых для задания случайных отклонений значений свойств, могут приводить к образованию искусственных неоднородностей в образце, и, как следствие, к аномальному поведению модели объекта.

Целью проводимых исследований было изучение влияния «качества» случайных чисел, получаемых при помощи программного и аппаратного генераторов, на результат моделирования процесса трения и износа методом подвижных клеточных автоматов (МСА). В проведенных численных экспериментах для анализа влияния «качества» случайных чисел на поведение образца использовалась зависимость числа дефектов в образце от времени. Необходимо отметить, что в рамках метода подвижных клеточных автоматов под дефектом понимается разрыв связи между двумя автоматами.

...

!

- if' ч fTmi^o.

-1 ООО Ч-1----.--.-1-.--1-1-Г

О 50 100 150 200 250

Время

Рис. 6. Зависимость количества разорванных связей (дефектов) в образце от времени.

Из результатов, представленных на рисунке 6, видно, что динамика накопления дефектов для образцов, созданных при помощи аппаратного и программного генераторов, существенно отличается. Большие различия в поведении образцов, в которых разброс свойств задавался при помощи программного генератора, обусловлены, по-видимому, присутствием в них искусственно созданных неоднородностей, приводящих к возникновению концентраторов напряжений. Таким образом, анализ полученных результатов моделирования позволяет говорить о том, что применение разработанного аппаратного генератора случайных чисел является в данном случае более предпочтительным, чем использование стандартного программного датчика случайных чисел.

Одним из практически важных приложений разработанного и описанного в главе 3 алгоритма идентификации плотностей распределений является решение задачи идентификации плотностей распределений значений хода пружин манометров.

Необходимость в привлечении специализированного математического аппарата возникла на ОАО «Манотомь» в связи с проведением НИР в направлении автоматизации регулировки манометров. При анализе процесса автоматизированной настройки манометров необходимо установить тип закона распределения, которому подчиняются измеренные значения хода пружины, а также получить оценки его параметров, иными словами, провести идентификацию закона распределения. На основе развитого в рамках данной работы подхода была произведена идентификация законов распределения измеренных значений хода пружины манометров. Данные значения были получены в ходе настройки манометров, изготавливаемых в ОАО «Манотомь» (г. Томск).

1,0 1,6 1,4

0,6 0,4 0,2 0,0

Рис. 7. Гистограмма значений хода пружин партии манометров, и аппроксимирующие ее кривые Пирсона: 1) тип и значения параметров были получены с помощью алгоритма чувствительности; 2) тип и параметры были установлены с помощью метода моментов.

На основе результатов использования предложенного алгоритма идентификации был установлен тип закона распределения экспериментальной выборки и получено соответствующее аналитическое выражение для идентифицированного закона. Данное аналитическое выражение описывает экспериментальную гистограмму со значительно более высокой точностью, чем аналитическое выражение, вид и параметры которого были установлены с помощью являющегося классическим метода моментов (см. рис. 7).

Программное обеспечение, входящее в состав разработанного аппаратно-программного комплекса, было использовано в учебном процессе при организации автоматизированных рабочих мест для проведения лабораторных работ «Генерирование случайных сигналов и преобразование их статистических характеристик» и «Идентификация законов распределения на основе уравнения Пирсона».

В заключении диссертации приведены выводы и сформулированы основные результаты исследований, которые состоят в следующем.

В диссертационной работе, в соответствии с поставленной целью и намеченными задачами, создан аппаратно-программный комплекс, в котором реализованы средства для получения последовательностей истинно случайных чисел с заданным законом распределения и требуемой корреляционной функцией, а также средства для идентификации закона распределения случайной величины.

В ходе проведенных исследований получены следующие результаты.

1) Предложен способ получения равномерно распределенных истинно случайных чисел на основе физического датчика. Отличительной особенностью данного способа является наличие цепи обратной связи, предназначенной для компенсации изменения параметров аналоговой части устройства. Показано, что предложенный способ не уступает по своим характеристикам, таким, как быстродействие и качество генерируемых случайных чисел, существующим отечественным и зарубежным разработкам.

2) Показано, что разработанная методика идентификации закона распределения случайной величины, основанная на применении уравнения Пирсона и алгоритма чувствительности, с одновременной идентификацией плотности и функции распределения, позволяет получать устойчивые оценки параметров уравнения Пирсона, что достигается путем использования априорной информации о значениях функции распределения на краях интервала аппроксимации.

3) Выявлено, что в ряде случаев предложенная методика идентификации позволяет установить тип закона распределения исследуемой случайной величины более корректно, чем классическая методика, основанная на методе моментов. Данный эффект обусловлен высокой устойчивостью получаемых оценок параметров уравнения Пирсона.

4) Разработан способ аппроксимации плотностей распределений при помощи полиномов Эрмита. При этом регуляризация решения получаемой СЛАУ осуществляется путем использования диагональной матрицы весовых коэффициентов, пропорциональных относительным ошибкам вычисления полиномов.

5) Показано, что предложенный способ регуляризации решения СЛАУ позволяет без существенного снижения точности повысить устойчивость получаемых решений, что проявляется, в частности, в значительном уменьшении «всплесков» аппроксимирующих функций на краях интервала аппроксимации.

6) Практическая ценность полученных результатов подтверждена применением их в ряде практических областей, от моделирования технологических процессов и идентификации их параметров до проведения лабораторных работ.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Димаки A.B. Разработка и некоторые результаты исследований аппаратно-программного генератора случайных чисел [Текст]. / A.B. Димаки, A.A. Светлаков, В.Ф. Сиверцев; Под ред. Шурыгина Ю.А. // Аппаратно-программные средства автоматизации технологических процессов. Выпуск 4. - Томск: Изд-во ТГУ., 2002. - с.18-25.

2. Димаки A.B. Аппаратно-программный генератор случайных чисел, сопрягаемый с компьютером типаГ IBM PC [Текст]. / A.B. Димаки, A.A. Светлаков. Известия ТПУ. - 2004. - №1. - С. 144-148.

3. Димаки A.B. Аппаратно-программный генератор случайных чисел, встраиваемый в архитектуру IBM. PC [Текст]. / A.B.Димаки, A.A. Светлаков. // Материалы IV-й научно-практической конференции «Современные средства и системы автоматизации». - Томск: Изд-во ТУ СУР, 2004. -с. 81-84.

4. Димаки A.B. Некоторые результаты тестирования последовательностей случайных чисел, получаемых при помощи аппаратно-программного генератора [Текст]. // Научная сессия ТУСУР-2004: Материалы Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов, Томск, 18-20 мая 2004. - Томск: Изд-во ТУСУР, 2004. - с.202-204.

5. Димаки A.B. Подход к получению равномерно распределенных случайных чисел на основе использования физического датчика [Текст]. Н Электронные средства и системы управления: Материалы Международной научно-практической конференции. - в 3-х частях. -Томск: Изд-во ИОА СО РАН, 2004. - 4.2 - 252 с. - с. 106-108.

6. Димаки A.B. Применение алгоритма чувствительности для аппроксимации плотностей статистических распределений на основе уравнения Пирсона [Текст]. // Материалы X Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии». - Томск: Изд-во ТПУ, 2005. - с. 131-133.

7. Димаки A.B. Исследование качества случайных чисел, получаемых при помощи аппаратных и программных генераторов, на основе пакета тестов NIST STS [Текст]. // XI Международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии СТТ'2005», г.Томск, 28 марта - 1 апреля 2005г. Труды. В 2-х т. - Томск: Изд-во ТПУ, 2005. - Т.2. -529 с. - с. 141-143.

8. Димаки A.B. Идентификация закона распределения хода пружины манометра на основе применения алгоритма чувствительности и уравнения Пирсона [Текст]. // XI Международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии СТР2005», г.Томск, 28 марта - 1 апреля 2005г. Труды. В 2-х т. - Томск: Изд-во ТПУ, 2005. - Т.2. -529 с. - с.139-141.

9. Днмаки A.B. Подход к получению последовательностей случайных чисел с заданной корреляционной функцией [Текст]. // Научная сессия ТУСУР — 2005: Материалы Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов, Томск, 26 - 28 апреля 2005. - Томск: Изд-во ТУСУРа, 2005. - 366с. - с. 58-59.

Ю.Димаки A.B. Получение последовательностей случайных чисел с заданным законом распределения [Текст]. // Электронные средства и системы управления: Материалы Международной научно-практической конференции. - в 3-х частях. - Томск: Изд-во ИОА СО РАН, 2005. - 4.2 -с. 52-54.

Тираж 100. Заказ № 905. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ И ОБРАБОТКИ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ.

1.1. Введение.

1.2. Методы программной генерации псевдослучайных чисел.

1.3. Методы и устройства для получения случайных чисел на основе физических датчиков.

1.3.1. Генераторы шума на электронных лампах.

1.3.2. Источники случайного сигнала, регистрирующие процесс радиоактивного распада.

1.3.3. Полупроводниковые генераторы шума.

1.3.4. Аппаратные генераторы случайных чисел, встроенные в микропроцессоры.

1.3.5. Аппаратные генераторы случайных чисел, выполненные в виде периферийных устройств ЭВМ.

1.4. Методы формирования случайных последовательностей с заданной корреляционной функцией.

1.5. Методы формирования случайных последовательностей с заданной плотностью распределения вероятностей.

1.5.1. Формирование последовательностей некоррелированных случайных чисел с заданным законом распределения методом обратной функции.

1.5.2. Формирование последовательностей случайных чисел с заданным законом распределения и корреляционной функцией.

1.6. Методы идентификации законов распределения.

1.6.1. Метод кривых Пирсона.

1.6.2. Метод топографической классификации распределений.

1.6.3. Методы, основанные на аппроксимации гистограммы.

1.7. Выводы.

ГЛАВА 2. АППАРАТНО-ПРОГРАММНЫЙ ГЕНЕРАТОР

СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ.

2.1. Введение.

2.2. Аппаратный генератор случайных чисел.

2.2.1. Блок первичного источника шума.

2.2.2. Блок преобразования и обработки шумового сигнала.

2.2.3. Блок сопряжения с ЭВМ через интерфейс USB.

2.3. Программное обеспечение генератора случайных чисел.

2.3.1. Модуль сбора и первичной обработки данных.

2.3.2. Модуль генерации коррелированных случайных чисел.

2.3.3. Модуль преобразования закона распределения случайной последовательности.

2.4. Тестирование генерируемых случайных последовательностей по методике NIST.

2.5. Выводы.

ГЛАВА 3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАКОНОВ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, НАБЛЮДАЕМЫХ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ.

3.1. Введение.

3.2. Метод идентификации плотности распределения на основе алгоритма чувствительности и уравнения Пирсона.

3.2.1. Описание алгоритма чувствительности.

3.2.2. Идентификация плотностей распределений, получаемых при помощи аппаратно-программного генератора.

3.2.3. Исследование свойств получаемых оценок параметров д уравнения Пирсона.

3.3. Развитие метода идентификации закона распределения на основе использования априорной информации о функции распределения

3.4. Метод аппроксимации плотностей распределений при помощи ортогональных полиномов Эрмита.

3.5. Получение последовательностей случайных чисел, подчиняющихся заданному закону распределения.

3.5.1. Получение последовательностей случайных чисел, подчиняющихся заданному закону распределения на основе результатов использования уравнения Пирсона и алгоритма чувствительности.

3.5.2. Получение последовательностей случайных чисел, подчиняющихся заданному закону распределения на основе результатов использования полиномов Эрмита.

3.6. Выводы.

ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИМЕНЕНИЯ РАЗРАБОТАННОГО АППАРАТНО-ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА.

4.1. Введение.

4.2. Моделирование процессов трения и износа материалов.

4.3. Идентификация плотностей распределений значений хода пружин манометров.

4.4. Использование разработанного комплекса в учебном процессе

4.5. Выводы.

В целом ряде областей науки и техники изучение влияния случайных возмущений на протекание тех или иных физических процессов является ключевой задачей. Случайные возмущения накладывают принципиальные ограничения на точность контроля того или иного процесса, что создает серьезные трудности при решении задачи управления данным процессом [1]. Полностью устранить влияние шумов невозможно, однако, существуют способы минимизации этих влияний, иными словами, способы подавления шума.

Вместе с тем, существует ряд областей, в которых наличие шума является необходимым условием. К таким областям относятся, в первую очередь, задачи моделирования на основе метода Монте-Карло [2,3], задачи криптографии [4], генерации паролей и т.д. В таких системах используются специальные средства, позволяющие получать последовательности реализаций некоторой случайной величины, обладающей заданными статистическими характеристиками.

Развитие современной вычислительной техники обусловило применение цифровых вычислительных машин как для решения задач борьбы с влиянием случайных факторов, так и для задач получения и исследования случайных величин. Как показал анализ существующих разработок, различные авторы предлагают лишь частные решения задачи генерации случайных чисел, а также оценивания параметров случайных величин [5-8]. В частности, существует большое количество аппаратных и программных генераторов случайных чисел, множество алгоритмов формирования реализаций случайной величины с заданными параметрами, а также идентификации закона распределения случайной величины. Однако, несмотря на это, не удалось обнаружить систем, позволяющих решать указанные задачи в комплексе. Более того, предлагаемые разработки зачастую являются недостаточно исследованными, либо детальные характеристики предлагаемых программных и аппаратных продуктов не приведены, что ставит под сомнение возможность их практического применения. Следует отметить также определенную утрату интереса к разработке данной тематики в России, несмотря на то, что за рубежом она продолжает бурно развиваться, о чем свидетельствует большое количество публикаций [9-12], посвященных методам генерации истинно случайных чисел, обладающих требуемыми статистическими характеристиками.

В рамках данной работы создан аппаратно-программный комплекс, предназначенный для генерирования и исследования последовательностей случайных чисел. Данный комплекс позволяет решать следующие задачи:

1) получение последовательностей истинно случайных чисел на основе аппаратного датчика;

2) идентификация закона распределения случайной величины на основе выборки, полученной экспериментально, для дальнейшего компьютерного моделирования исследуемого физического процесса;

3) генерирование случайных последовательностей с заданным законом распределения;

4) получение последовательностей случайных чисел, характеризующихся заданной пользователем корреляционной функцией. Актуальность работы обусловлена отсутствием на российском рынке законченных программно-аппаратных решений, которые могут быть использованы в задачах исследования и моделирования случайных процессов. Не найдены отечественные разработки, которые являются завершенными и достаточно универсальными. Зарубежные разработки весьма дорогостоящи, кроме того, они не всегда доступны отечественному пользователю. В частности, это связано с тем, что, например, в США существует запрет на вывоз «сильных» датчиков случайных чисел, которые могут быть использованы в задачах криптографии [13].

Цель работы заключается в создании аппаратно-программного генератора истинно случайных чисел, а также в разработке программных средств, позволяющих получать случайные последовательности требуемого объема, элементы которых подчиняются заданному закону распределения, при этом статистическая взаимосвязь между элементами определяется заданной пользователем автокорреляционной функцией.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) создание аппаратного устройства, позволяющего генерировать истинно случайные равномерно распределенные числа и передавать их в ЭВМ;

2) исследование качества генерируемых случайных чисел, сравнение его с существующими в мире аналогами;

3) разработка и программная реализация алгоритмов формирования случайных чисел с требуемым законом распределения;

4) создание алгоритмов генерации последовательностей случайных чисел с заданной автокорреляционной функцией;

5) разработка способов идентификации законов распределения случайных выборок, получаемых экспериментально, а также методик генерации случайных чисел с идентифицированными законами распределения.

Методы выполнения исследований. Теоретическая часть работы выполнена с использованием методов теории вероятностей и математической статистики, методов математического моделирования и методов идентификации нелинейных динамических объектов.

Для исследования статистических свойств случайных чисел, г? получаемых при помощи предложенного генератора, создан опытный образец аппаратного генератора случайных чисел, сопрягаемого с ЭВМ типа

IBM PC. Проведено тестирование получаемых случайных чисел на основе пакета NIST Statistical Test Suite [14].

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что впервые были получены следующие результаты:

1) предложен способ генерации случайных чисел на основе использования специализированного шумового диода, с автоматической настройкой генератора случайных чисел при помощи обратной связи;

2) разработан способ одновременной идентификации плотности и функции распределения случайной величины на основе алгоритма чувствительности и уравнения Пирсона;

3) разработана методика генерирования случайных последовательностей с заданной корреляционной функцией, на основе метода скользящего суммирования с применением псевдообратных матриц;

4) предложен способ регуляризации решения системы линейных алгебраических уравнений, получаемой при аппроксимации плотностей распределения при помощи полиномов Эрмита, путем использования диагональной матрицы весовых коэффициентов, пропорциональных относительным ошибкам вычисления полиномов;

5) предложен алгоритм формирования истинно случайных чисел, подчиняющихся требуемому закону распределения, на основе использования ортогональных полиномов Эрмита.

Практическая ценность работы заключается в следующем. Созданный аппаратно-программный генератор случайных чисел использован при задании разброса механических свойств материала при моделировании процесса износа методом подвижных клеточных автоматов, разработанном в Институте физики прочности и материаловедения СО РАН. Применение разработанного генератора позволило в ряде случаев повысить достоверность результатов моделирования, за счет отсутствия «дефектов случайности» получаемых случайных чисел.

На основе предложенного алгоритма идентификации плотностей распределений получено аналитическое выражение для плотности распределения перемещения наконечника (хода) трубчатой пружины манометра в процессе настройки [15]. Данный результат был применен при проведении на ОАО «Манотомь» НИР в направлении автоматизации процесса настройки манометров.

Разработаны и внедрены в учебный процесс лабораторные работы, использующие аппаратно-программный комплекс для моделирования и исследования стохастических процессов.

Реализация результатов работы. Изготовлено четыре экземпляра аппаратно-программного комплекса для моделирования и исследования стохастических процессов. Данные комплексы применяются для математического моделирования, для решения задач идентификации законов распределения, а также используются в учебном процессе при подготовке студентов. Результаты диссертационной работы были внедрены в ИФПМ СО РАН, на ОАО «Манотомь», а также в ТУСУРе.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на X и XI Международных научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (г. Томск, соответственно 2004 г. и 2005 г.), Международных научно-практических конференциях «Электронные средства и системы управления» (г. Томск, 2004 г. и 2005 г.), Всероссийских научно-технических конференциях студентов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (г. Томск, 2004-2006 г.г.), а также на научных семинарах кафедры информационно-измерительной техники Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР). Выполнение данной работы осуществлялось при поддержке гранта А04-3.20-558 для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов ВУЗов Федерального агентства по образованию.

Личный вклад автора в выполнение работы. Определение основных направлений деятельности, постановка задач и выбор методик исследований осуществлялись автором совместно с научным руководителем. Все результаты, описанные в данной работе, были получены автором лично.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано десять печатных работ.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Способ получения равномерно распределенных истинно случайных чисел на основе физического датчика, представляющего собой полупроводниковый диод - генератор шума.

2. Результаты исследований статистических свойств генерируемых случайных чисел, показывающие их высокое качество в смысле прохождения тестов по методике NIST.

3. Способ формирования последовательностей случайных чисел, коррелированных по заданному закону.

4. Методика идентификации закона распределения случайной величины на основе уравнения Пирсона и алгоритма чувствительности.

5. Способ регуляризации решения СЛАУ, основанный на использовании диагональной матрицы весовых коэффициентов, пропорциональных относительным ошибкам вычисления.

В первой главе рассмотрены существующие способы получения истинно случайных и псевдослучайных чисел с заданными статистическими свойствами, проведен анализ практической применимости данных способов. Рассмотрены существующие алгоритмы идентификации плотностей статистических распределений.

Во второй главе представлены результаты разработки аппаратно-t программного комплекса для моделирования и исследования стохастических процессов. Описаны аппаратная и программная части комплекса, приведены результаты тестирования получаемых случайных последовательностей на основе пакета N1ST Statistical Tests Suite. Рассмотрены реализованные в программном обеспечении способы генерации последовательностей случайных чисел, плотность распределения и автокорреляционная функция которых имеют вид, заданный пользователем.

В третьей главе приведены результаты использования уравнения Пирсона и алгоритма чувствительности для идентификации плотностей статистических распределений, оценено влияние параметров исходных данных на получаемые оценки параметров уравнения Пирсона. Представлена разработанная методика аппроксимации плотностей распределений при помощи полиномов Эрмита. Рассмотрены результаты применения разработанных методов аппроксимации плотностей распределений для генерации последовательностей случайных чисел, подчиняющихся заданному закону распределения.

В четвертой главе представлены результаты применения разработанного аппаратно-программного комплекса для решения задач математического моделирования, в учебном процессе, а также при исследовании случайных факторов в производственном процессе.

В приложениях приведены схема электрическая принципиальная разработанного устройства, результаты тестирования последовательностей случайных чисел, полученных при помощи различных генераторов, а также документы, подтверждающие внедрение и использование результатов диссертационной работы.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору кафедры ИИТ ТУСУРа Светлакову А.А., коллективу кафедры ИИТ, а также своим родителям за всемерную помощь и поддержку при написании диссертационной работы.

4.5. Выводы

Разработанный аппаратно-программный комплекс для моделирования и исследования стохастических процессов был успешно применен для решения ряда практических задач, таких как математическое моделирование, исследование производственных процессов, а также для организации учебного процесса.

На примере математической модели процесса трения показано, что получаемые при помощи данного комплекса последовательности случайных чисел обладают лучшим «качеством» по сравнению со случайными числами, получаемыми с помощью стандартного программного генератора.

Предложенный подход к решению задачи идентификации плотностей распределений был реализован в виде программного обеспечения и успешно применен в ходе выполнения НИР по автоматизации процесса регулировки манометров.

Кроме того, программное обеспечение, входящее в состав аппаратно-программного комплекса для моделирования и исследования стохастических процессов, было использовано для организации лабораторных работ студентов по дисциплинам «Метрология, стандартизация и технические измерения» и «Моделирование систем».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе, в соответствии с поставленной целью и намеченными задачами, создан аппаратно-программный комплекс, в котором реализованы средства для получения последовательностей истинно случайных чисел с заданным законом распределения и требуемой корреляционной функцией, а также средства для идентификации закона распределения случайной величины.

В ходе проведенных исследований получены следующие результаты.

1) Предложен способ получения равномерно распределенных истинно случайных чисел на основе физического датчика. Отличительной особенностью данного способа является наличие цепи обратной связи, предназначенной для компенсации изменения параметров аналоговой части устройства. Показано, что предложенный способ не уступает по своим характеристикам, таким, как быстродействие и качество генерируемых случайных чисел, существующим отечественным и зарубежным разработкам.

2) Показано, что разработанная методика идентификации закона распределения случайной величины, основанная на применении уравнения Пирсона и алгоритма чувствительности, с одновременной идентификацией плотности и функции распределения, позволяет получать устойчивые оценки параметров уравнения Пирсона, что достигается путем использования априорной информации о значениях функции распределения на краях интервала аппроксимации.

3) Выявлено, что в ряде случаев предложенная методика идентификации позволяет установить тип закона распределения исследуемой случайной величины более корректно, чем классическая методика, основанная на методе моментов. Данный эффект обусловлен высокой устойчивостью получаемых оценок параметров уравнения Пирсона.

Разработан способ аппроксимации плотностей распределений при помощи полиномов Эрмита. При этом регуляризация решения получаемой СЛАУ осуществляется путем использования диагональной матрицы весовых коэффициентов, пропорциональных относительным ошибкам вычисления полиномов.

Показано, что предложенный способ регуляризации решения СЛАУ позволяет без существенного снижения точности повысить устойчивость получаемых решений, что проявляется, в частности, в значительном уменьшении «всплесков» аппроксимирующих функций на краях интервала аппроксимации.

Практическая ценность полученных результатов подтверждена применением их в ряде практических областей, от моделирования технологических процессов и идентификации их параметров до проведения лабораторных работ.

1. Бусленко Н.П. Математическое моделирование производственных процессов Текст. -М.: Наука, 1964. 312 с.

2. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы Текст. 2-е изд. - М.: Наука, 1975. - 412 с.

3. Бусленко Н.П. Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло) Текст. / Н.П. Бусленко, Д.И. Голенко, И.М. Соболь. М.: Физматгиз, 1962.-337 с.

4. Menezes, Alfred. Handbook of Applied Cryptography Текст. / AlfredMenezes, Paul van Oorschot and Scott Vanstone. [USA\. CRC Press, 1996.-315 p.

5. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ Текст. Пер. с англ.: В 3 т. - М.: Мир, 1977. - Т. 2. Получисленные алгоритмы. - 700 с.

6. Левитан Ю.Л. О датчике псевдослучайных чисел для ПК Текст. / Ю.Л. Левитан, И.М. Соболь. Математическое моделирование. 1990. -№8.-С.119- 126.

7. Бобнев М.П. Генерирование случайных сигналов Текст. 2-е. изд. -М.: Энергия, 1971.-290 е., ил.

8. Димаки А.В. Аппаратно-программный генератор случайных чисел, сопрягаемый с компьютером типа IBM PC Текст. / А.В. Димаки, А.А. Светлаков. Известия ТПУ. 2004. - №1. - С. 144-148.

9. BlumL. A simple unpredictable pseudo-random number generator Текст. / L. Blum, M. Blum, andM. Shub. SIAM Journal on Computing. 1986. - №2. -P. 364-383.

10. Jakobsson M. A Practical Secure Physical Random Bit Generator Текст. // Proceedings of the 5th ACM conference on computer and communications security, Nov. 2-5, 1998. San Francisco, 1987.

11. Leeb H. Random numbers for computer simulation Текст. Master's thesis. - University of Salzburg, 1995.

12. Jennewein T. A Fast and Compact Quantum Random Generator / Thomas Jennewein, Ulrich Achleitner, Gregor Weihs et al. // Review of Scientific Instruments. 2000. -№3. -p. 1675-1680.

13. Манометры, вакуумметры и мановакуумметры Текст. Инструкция по регулировке 5Ш0.283 .ИЗД.- Томск, 2002. 24 с.

14. Walker J. HotBits Hardware Электронный ресурс. // http://www.fourmilab.ch/hotbits/hardware.html.

15. Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике Текст. М.: «Советское радио», 1971. - 328 с.

16. Хрулев А.П. Диоды и их зарубежные аналоги. Текст.: Справочник. / А.П. Хрулев, В.П. Черепанов. В 3 т. - М.: ИП Радиософт, 2001. - Т. 2. -640 е., ил.

17. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника Текст. М.: «Советское радио», 1966. -215 с.

18. Jun B. The Intel Random Number Generator Текст. / Benjamin Jun and Paul Kocher. // Cryptography Research Inc. White Paper prepared for Intel Corporation. April 22, 1999. -21 p.

19. Federal Information Processing Standards Publication 180-1, «Secure Hash Standard» Текст. // U.S. Department of Commerce/NIST. -Springfield, VA: NTIS, 1995.

20. Federal Information Processing Standards Publication 140-1, «Security Requirements for Cryptographic Modules» Текст. // U.S. Department of Commerce/NIST. Springfield, VA: NTIS, 1994.

21. SGI00 TRNG Электронный ресурс. // http://www.protego.se/sglOO en.htm.

22. R200-USB TRNG. Product Specification Электронный ресурс. // http://www.protego.se/sg200 d.htm.

23. Design Principles and Testing of the QNG Model J1000KU Электронный ресурс. // http://comscire.com/Products/J1000KlJ/.28 .HG324 Random Bit Generator Электронный ресурс. 11 http://random.com.hr/products/random/hg324.html.

24. Araneus AleaI. True Random Number Generator Электронный ресурс. // http://www.araneus.fi/products-alea-eng.html.

25. Рабинер JI. Теория и применение цифровой обработки сигналов Текст. / Л. Рабинер, Б. Гоулд. Пер с англ. - М.: Мир, 1978. - 848 с.

26. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование Текст. Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1983. - 320 с.

27. Гольденберг Л.М. Цифровая обработка сигналов Текст.: Учебное пособие для ВУЗов. / Л.М. Гольденберг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк. -М.: Радио и связь, 1990. 256 с.

28. Демидович Б.П. Численные методы анализа Текст. / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова М.: Физматгиз, 1963. - 400 с.

29. Верждицкий В.М. Основы численных методов Текст. М.: Высш. шк., 2002 . - 840 с.

30. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике Текст. -М.: Советское радио, 1961. -218 с.

31. Быков В.В. Об одном методе моделирования на ЭЦВМ стационарного нормального шума Текст. // Электросвязь. 1965. - №2. - с. 21-27.

32. Евстифеев А.В. Микроконтроллеры AVR семейств Tiny и Mega фирмы «Atmel» Текст. -М.: Издательский дом «Додэка-ХХ1», 2004. 560 с.

33. Смирнов В.Н. Курс высшей математики Текст. В 4 т. - М.: Физматгиз, 1974.-Т.1.-480 с.

34. Бахвалов Н.С. Численные методы Текст. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. -М: Наука, 1973. 621 с.

35. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники Текст. М.: «Советское радио», 1969. - 345 с.

36. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены Текст. М.: Наука, 1976.-328 с.

37. Новицкий П.В. Оценка погрешностей результатов измерений Текст. / П.В. Новицкий, И.А. Зограф 2-е изд., перераб. и доп. -Л.: Энергоатомиздат, 1991. - 304 с.

38. Рыжиков Ю.И. Управление запасами Текст. М.: Наука, 1969. - 343 с.

39. Рубан А.И. Идентификация нелинейных динамических объектов на основе алгоритма чувствительности Текст. Томск: Изд-во ТГУ, 1975. -272 с.

40. Алешкин А.Н. Идентификация двухмодальных распределений случайных величин Текст. / А.Н. Алешкин, С.А. Лабутин. // Научная конференция по радиофизике: Сб. трудов. Н.Новгород: ННГУ, 2001. - с. 220-221.

41. Носач В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров Текст. М.: МИКАП, 1994. - 382 с.

42. Алешкин А.Н. Программа моделирования и идентификации законов распределения случайных величин Текст. / А.Н. Алешкин, С.А. Лабутин. // Научная конференция по радиофизике: Сб. трудов. -Н.Новгород: ННГУ, 2002. с. 207-208.

43. ОР37 Low Noise, Precision, High Speed Operational Amplifier Электронный ресурс. 11 http://www.analog.com.

44. Фолкенберри JI. M. Применения операционных усилителей и линейных ИС Текст. Пер. с англ. - М.: Мир, 1985. - 572 с.

45. Агуров П.В. Интерфейс USB. Практика использования и программирования Текст. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 576 с.

46. Якубовский С.В. Цифровые и аналоговые интегральные микросхемы Текст.: Справочник. / С.В. Якубовский, Л.И. Ниссельсон, В.И. Кулешова и др.; Под ред. С.В. Якубовского. М.: Радио и связь, 1989. - 496 с.

47. REF192 Precision Micropower, Low Dropout, Low Voltage References Электронный ресурс. // http://www.analog.com.54 .DLP-USB245M User Manual Электронный ресурс. // http://www.ftdichip.com.

48. D2XX Programmer's Guide Электронный ресурс. // http://www.ftdichip.com.

49. Рубан А.И. Методы оптимизации Текст. Томск: Изд-во ТГУ, 1976. -165 с.

50. Светлаков А.А. Обобщенные обратные матрицы: некоторые вопросы теории и применения в задачах управления процессами Текст. Томск: Изд-воНТЛ, 2003.-388 с.

51. Devroye, Luc. Non-Uniform Random Variate Generation Текст. New York: Springer-Verlag, 1986. - 285p.

52. Королюк B.C. Справочник по теории вероятностей и математической статистике Текст. / B.C. Королюк, Н.И. Портенко. А.В. Скороход, А.Ф. Турбин. М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1985. - 640 с.

53. ANSI 17-1985, American National Standard Текст. // Financial Institution Key Management (Wholesale), Section 7.2. [USA]: American Bankers Association, April 4, 1985.

54. Тихонов А.Н. Статистическая обработка результатов экспериментов Текст. / А.Н. Тихонов, Н.В. Уфимцев М.: Изд-во МГУ, 1988. - 174 с.

55. Воеводин В.В. Линейная алгебра Текст. М.: Наука, 1974. - 336 с.

56. Хемминг Р.В. Численные методы Текст. Пер. с англ. - М.: Изд-во «Наука», 1972.-400 с.

57. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей Текст. -М.: Металлургия, 1968.-451 с.

58. Кузнецов А.А. Автоматизированный измерительно-технологический комплекс для автоматизированной настройки манометров Текст. Дисс. канд. техн. наук: 05.13.06. / Кузнецов Александр Александрович. Томск: ТУСУР, 2004. - 147 с.

59. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач Текст. / А.Н. Тихонов, В .Я. Арсенин М.: Наука, 1974. - 186 с.

60. Воскобойников Ю.Е. Локальный регуляризирующий алгоритм восстановления контрастных сигналов и изображений Текст. / Ю.Е. Воскобойников, И.Н. Мухина // Автометрия. 2000. - №3. - С. 4553.

61. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль Текст. Томск: РАСКО, 1992. - 272 с.

62. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов Текст. / Под ред. В.Е. Панина. В 2 т. - Новосибирск: Наука, 1995.-Т.1.-298 с.

63. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел Текст. М.: Наука, 1970. - 139с.

64. Попов В.Л. Теоретические основы моделирования упругопластических сред методом подвижных клеточных автоматов. I. Однородные среды Текст. / В.Л. Попов, С.Г. Псахье. // Физическая мезомеханика. 2001. -№1. - с. 17-28.

65. Johnson, K.L. Contact Mechanics Текст. Cambridge University Press, 1985. - 512 p.

66. Шаповал В.М. Механизация регулировочных процессов в приборостроении Текст. К.: Техника, 1982. - 119 с.

67. Свинолупов Ю.Г. Автоматизированная регулировка стрелочных манометров Текст. / Ю.Г. Свинолупов, А.А. Кузнецов. // Приборы. -2004.-№5.-с. 45-52.

68. Кендалл М. Теория распределений Текст. / М. Кендалл, А. Стьюарт. -Пер. с англ. М.: Наука, 1966. - 588 с.

69. Филипский Ю.К. Случайные сигналы в радиотехнике Текст. -К.: Вища шк., Головное изд-во, 1986. 126 с.