автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ стохастических систем с последствием

РОДОСА Александра Евтгьепна . АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

Специальность; 05.13.01 - управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на сокскшшв ученой ,1.

доктора технических (и

Москва - 1996

Работа выполнена в Воронежской государственной архитектурно-строительной академии

Официальные оппоненты: доктор технических наук' ■

Колосов Геннадий Евгеньевич .

доктор технических наук Ядыкин- Игорь Борисович

доктор технических наук •' ■ • Баранов Валентин Васильевич

Ведущая организация: Институт машиноведения им.А.Л.Благонравова Российской Академии наук

Защита состоится " & 1995р. в__ час на

заседании Диссертационного . совета Д.063.68.05 Московского государственного института электроники и математики:

109026, Москва, Трехсвятительский пер. 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ. Автореферат разослан " № " : 1996 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат технических наук л. С.Е. Бузников

' Общая характеристика работы

Актуальность. Изучение поведения и конструирование систем управления, обладающих требуемыми свойствами, является ключевой задачей теории управления, которая служит расширению алтоматлзации и интенсификации производства. По степени гашгасти одно-из первых мест занимает проблема повышения производительности кузнечко-прессового оборудования.

В настоящее время оборудование с кривошипным приводом очень производительно, но зачастую достижимая производительность . ограгагаивается временем, необходимым для срабатывания различных вспомогательных устройств, в частности, ' роботов-манипуляторов. Вопросы робототехники получили фундаментальное развитие в работах ,' научных коллективов Института машиноведения к.:. Л.А.Благонравова, Института проблем .управления, Института проблем передачи информации, ?ЮМ к др. Значительный вклад в робототехнику внесли Д.В.Охоцшиский, В.А.Якубович, В^П.Попов, В.И.Ррсбик, Ф.Я.Чернс-усъко, Н.Н. Болотник, В.Г.Градецкий и др. Близкие вопроса освещались в работах В. Н. Афанасьева, В. Б. Кол-'.ановсксго, В. Р. Носова , В.В.Болнотма, П.И.Читева, А.В.Ишчнского, Г.Б.Колосова,

A.А.Красовского, А.Б.Куряхтского, А.А. Первозбанцева, Б.Т.Поляна, Я.З.Цыгшта и др.

При реализации управления роботами-манипуляторами возникают различного рода помехи, связанные с. нелинейностями исполнительные механизмов, гестерезисными явлениями з электромоторах, случайна« характером измерений, • с различными неопределенными факторами, -действующими на систему. Для технических нузд требуется подобрать . управляющие параметры так, чтобы обеспечить переход руга! ' манипулятора в заданное положение за заданное время и определить пределы допустимых помех, при которых система управления сохраняет свое качество. При решении этой задачи зозмогно применение теории

B.Л.Якубовича об ' адаптивном управлении с помощью котачно-• сходящихся алгоритмов, принципа максимума Понтрягина, микимакснсго

подхода к управлению в условиях неопределённости А.Б.Куржанского и т.д. В • данной работе используется мартингальннй . подход, интзрпретирувдий" неопределённости как случайные процзесн. и требуется попадание схвата с грузом лишь з некоторую окрестность 'положения равновесия за гарантированное время.

Другим ограничением, увзличения производительности кузкечно-

прессового оборудования с кривошипным приводом является большая изнашиваемость деталей при перегрузках и интенсивная вибрация самих прессов и соседнего оборудования. Для этих целей вводятся различные системы уравновешивания, в частности, статическое уравновешивание с помощью корректирующих масс, а также динамическое уравновешивание с помощью присоединения к исходному механизму специального уравновешивающего устройстваГОсновы теории уравновешивают механизмов заложены в трудах академиков И.И.Артоболевского и Н.Г.Бруебича и получили дальнейшее развитие в работах В.А.Шепетиъкикова, Б.Н.Ланского, и.Д.Цермзт и др. Однако уравновешивающие механизмы обладают рядом недостатков, среди которых удорожание и недолговечность конструкции, повышенный шум при работе и т.д. В настоящей работе предлагается при частичном уравновешивании вращающихся масс кривошипно-пату!шого механизма ввести обратную связь, реализуемую вибровозбудителем с помощью П и Щ регуляторов. ...

Обе приведённые задачи моделируются, вообще • говоря, стохастическими , функционально-дифференциальными уравнениями (СФДУ).. Подобными уравнениями описываются и многие другие явления

• и процессы в технике,- физике, теории информации, биологии, медицине и т.д. В ряде случаев скорость эволюции системы определяется не только ее повэдением, но и скоростью в предыдущие моменты времени. Такие системы моделируются СФДУ нейтрального типа. В диссертации изучаются качественные характеристики решений сода нейтрального типа по общим семимартингалам (что позволяет, в частности", моделировать шумы достаточно, широкого диапазона),, а также обобщенные процедуры стохастической аппроксимации, которые применяются в теории обучающих автоматических систем, проблеме

• передачи информации при наличии обратной связи и т.д. •

, * Цель работу. Целью диссертационной . работы является исследование СФДУ достаточно 'общего вида, проведение анализа систем управления роботов-манипуляторов в присутствии случайных нелинейных помех, построение контура управления быстроходным прессом-автоматом с целыо его- уравновешивания.

Метода исследования. Для решения поставленных здесь задач использовались .некоторые методы функционального анализа,

• интегральных и дифференциальных неравенств, функций Ляпунова и функционалов Ляпунова-Красовского, теории мартингалов, в частности

признаки • сходимости неотрицательных семимартингалоз,* свойства экспонента Долеан, компьютерное моделирование.

Научная новизна, научная новизна полученных результатов состоит в следувдём:

1. Полученные в диссертации условия обратимости некоторых запаздывающих операторов в различных функциональных,пространствах дали возможность исследовать СФДУ нейтрального "типа, т.е. те, которые описывают эволюцию динамической системы, находящейся под воздействием случайных сил, скорость которой ззеисит не только от ее состояния, но и от скорости в предыдущие моменты времени. Использование интегральных неравенств различного типа и функций Ляпунова позволило, линейные ограничения на правые части уравнений (типа условий Липшица, монотонности)' заменить вообще говоря нелинейными, рассматривать семимартингалы общего вида, в основном не накладывать никаких ограничений на зависимость правых частей уравнения от предыстории процессов. При таких условиях получено большинство результатов о существовании единственности и регулярности решений СФДУ, различные оценки решений, обоснован принцип усреднения.

Таким образом, результаты диссертации дают возможность моделировать более широкий круг процессов техники, фгаихи. к т.д.

2. В диссертации введён и подробно исследован класс Функций, на основе которого конструируются функции и функционалы Ляпунова-Красовского. Последние широко применяются как для-' решения чисто теоретических ..вопросов ■ (например," регулярности решений, устойчивости процедур стохастической аппроксимации), так и В' прикладных задачах (исследование допустимых помех при управлении роботов-манипуляторов, ! доказательство устойчивости системы со случайным нелинейным коэффициентом вязкого трения). Во всех указанных задачах использование функций Ляпунова и функционалов Ляпунова-Красовского ' позволяет значительно ослабить услоиио линейного роста коэффициентов уравнений и рассматривать достаточно общий вид их зависимости от предыстории;

3. ■ Движение руки- робота> . система управления которого, построенная с .помощью П и ЦД регуляторов, . находится под воздействием разного . рода помех, моделируется как СФДУ. Функционалу Ляпунова-Красовского' и • теоремы о сходимости неотрицательных ■семимартингалоз применяются при доказательство устойчивости системы 'управления в присутствии нелинейных с.*учя;>ш.-х

помех, нахождении значений управляющих параметров, которые обеспечивают попадание руки робота в заданную окрестность тюлокешя равновесия за заданное время с заданной надежностью. Близкие идеи используются при доказательстве устойчивости процесса спокойного резания при точении по следу в присутствии случайных помех. . . -»_

4. Иартингсльный подход к процедурам стохастической аппроксимации объединяет непрерывный и дискретный случай в одну обобщенную процедуру типа Роббинса-Монро или Кифэра-Вольфовица. Применение функций типа Ляпунова, а также теорем о сходимости неотрица?ельного семимартингала, позволило снять ограничения линейного роста коэффициентов и рассмотреть семимартингалы общего вида. Это дало возможность получить новый результат даже для а^чая винеровского процесса.

5. Исследование свойств экспоненты Долеан, их аналогия свойетЕам обыкновенной экспоненты, позволило . получить новые . результаты, касающиеся асимптотической нормальности обобщенных процедур стохастической аппроксимации, выявить различные скорости п.н. и среднзквадратической сходимости этих процедур к :нулю, рассмотреть как "классические" норимируюцие функции, так и их обобщение, гауссовы и негауссош мартингалы.

6. в дессерте-до! предложена система управления колебаниями быстроходного пресса-автомата с помощью вибровозбудкталя, П и ПД регуляторов, позволяющая снижать вибрацию пресса-автомата- до требуемого уровня. Во всех приведенных моделях возможен. теоретический пбдсчЭт соответствующих значений параметров и мощности,, потребляемой вкбровозбудителем. •

7.1С решению оснрвных прикладных задач применяется и компьютерное моделирование, которое не только иллюстрирует теоретические результаты, но и является - самостоятельным инструментом исследования. -

Достоверность полученных результатов основана на: строгости .математических вшивдок и щмбмов; использовании методов функционального анализа, дифференциальных уравнений, теории случайных процессов; сопоставлении подученных результатов с '■гаьест'нши в литературе; внутренней непротиворечивости изложения; сравнении теоретических результатов с компьютерными моделями.

Практическая ценность работы. Главная практическая ценность .

работы состоит в том, что еб результаты и метода служат увеличению производительности кузнечно-прессозого оборудования. Полученные результаты используются при управлении роботами-манипулятора^ в присутствии нелинейных случайных помех, в частности при обслуживании быстроходных прессов-автоматов, а построенная на основе Л и ЦЦ регуляторов и вибровозбудигеля система-управления колебаниями пресса-автомата позволяет снизить уровень ел вибрации. Компьютерное моделирование не только подтверждает и иллюстрирует теоретически найденные решения, но и служит самостоятельным инструментом исследования обеих прикладных задач в кавдсй *. конкретной ситуации. 3 частности, оно да5т возмогность уменьшить теоретически найденные значения параметров, что позволяет сэкономить электроэнергию. . .

Предложенные в диссертации подхода к моделирогэнмо нелинейных случайных помех, методы исследования устойчивости в их присутствии могут' использоваться и в других прикладных задачах. Результаты, касающиеся • ка"ествеиного поведения решений СФДУ обз-его вида, полученные в . диссертации, шгут быть полезны при изучении 7'онкретныХ реальных систем с запаздыванием, находящихся под действием случайных возмущений. Снижение ' требований на коэСФидоенты и семимартингал в процедурах стохастической аптрокси-меции позволяет расширить область применения этих процедур к задачам передачи информации, восстановлении ¡«»известной функции по наблюдению, содержащему помехи, при обучении автоматических систем и т.д.

Внедрение. Результаты теоретических исследований л компьютерного моделирования, проведённых в диссертации, пршзняются для нахождения величин параметров систем управления быстороходных прессов-автоматов' типа М6324 и холодовысадочных автоматов типа АБ1218; роботов-маккпулято^юв типа КМ5Ц. 42.01, РПМ-2^, Циклон-5.01-' Эти расчеты позволяют повысить производительность традиционного оборудования, в частности в кузнэчно-прессовом производстве (Ассоциация потребителей и производителей кузнечно-прессового оборудования, НПО ЭНИКМА2П), в. строительстве' (НИИАСС), Д также используются при проектировании новых 'поколений кузнечнб-прессового оборудования и роботизированных- комплексов на предприятиях прессостроительной отрасли:•

1) роботизированные комплексы - Воронежский завод КПО (куз-нечно-прессового оборудования), Сальский завод КПО;

а

2) быстроходныз прессы-автоматы - НПО ЭНИШШ, Таганрогское ТО Прессмеа;

3) холодовысадочные автоматы - Одесский завод КПО,. Чемкентс-кй завод КПО. •

Апробация работы. Отдельные результаты работы докладывались: на Международных Вильнюсских - конференциях по теории вероятностей и математической статистике (г.Вильнюс, 1935, 1989, 1993г. г.); на I Всемирном Конгрессе общества математической статистики и теории вероятностзй им.Бернулли (г.Ташкент, 1986г.); , 'на IV Советско-Японском симпозиуме (г.Киев,' 1991г.); на. II Международной конфэренции по разностным уравнениям и их прилонэкиям (Венгрия, г.Веспрем, 1995г.); на школах-семинарах по стохастическим метода;.': (г. Бакуриани, 1936г., 1987г.; г.Мариуполь, 1993г.; г.Новороссийск, 19Э4г.); на III Международной конференции жендин-мате.датиков (г.Воронеж, 1995г.); на Воронежских зимних кат9:,;ати--'ес:ая школах; на школах-семинарах ИМ АН "Украины (г. Алушта, 1991г.; г.КациЕоли, 1992 г.); н?. семинаре МйРАН (1983 г.); на семинаре кафедры теории вероятностей ШШ (1995 г.); на семинарах .Гданьского университета (г.Гданьск, Польша, 1989 г.); на семинарах. Ягеллонского университета' (г.Краков, Польша, 198S г.); на семинара;: университета' Страдклайд (г.Глазго, Великобритания, 1993 г.); на семинарах ЕГУ и БГАСА; на научных сессиях ВГАСА и на ряде других семлнаров, конференций, школ.

Публикации. Результата диссертации отражены в 40 печатных работах автора. ' •:

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из взеде-шя, пяти глав, заключение и щшюшаШ, Работа содержит 283 стра-, ницы текста, 152 рисунка, а также список литературы (177 наименований). ••

Содвраакив работы

Диссертационная работа посвяшвна реиэнии двух основных тесно :связанных друг с друге« .прикладных задач: анализу систем ' ^гравдеккя роботов-ыанытулятороз и конструированию системы управления' быстроходным прессом-автоматом с целью его уравнове-_ шивания. Обе задачи моделируются стохастическими уравнениями с поспедейстшем. - , .

■ Вероятностный подход к решению/большинства практических за-

дач обусловлен наличием коопределЭшостеЯ в сапах, 'действующих на-, систему, запаздыванием и ошибками при ухгразлекии и т.д. Многие реальные, системы*'обладают эффектом последействия, когда' будущее поведение объекта определяется не только его настоящим, не и" всей предысторией. Эффект последействия проявляется столь шроко, что это дайт основание считать его .универсальным свойством окрулэше' го }/ира. .

Следующее уравнение является основным предметом исследования теоретической части диссертации

; cг:2;t,-/('t,x;и;J=afí,г;";cL4t+bí'í,г;"^d.^^t, ню, к-9, а)

где ф4- заданный начальный процесс, х~"=х(з), ееА%~ возрастающий процесс,. мартингал, оператор' , • .

(Рх)^

* г • ; (2)

ооратим., ■ ,

Глаза I частично носит -вспомогательный характер, частично содержит новые результаты. В п.п. 1.1-1.2 приводятся определена и факты из, теории фушадонально-даффэреищшльшх, и стохастических' уравнений, исследуются свойства класса Я, образованного функциями-

вида ' . ■ _ .•'"■' . .. '•'

те '. ,'

П 1п,(и+е +$.) (£>0,. е =ехре ■ ,,' е =0, 1Л.и=1п(1п, ■,и), 1пм=и),

• «I V Ь V< .. V

употребляемого нкге для построения Функционалов Ляпунова-Красовс-кого, доказывается лемш об интегральных неравенствах, вычисляются различные ' вспо;.»гательные интегралы, доказываются своистта-экспоненты Долеан. В п.1.'3 приводятся условия ■' обратимости оператора' /'» заданного (2), в различных • фуюедювальнше пространствах, доказывается теоремы существования и единственности решения уравнения (1). . • ' ". '■ . ; . .

Классические теоремы сущзствовачкя. и единственности решений уравнений типа (1) получены б предположении, что коэффициенты а и Ъ имеют на более чем линейный рост и удовлетворяют условию йш^яш по второму аргументу (см. рабо2ы Я.й.Гихгат, л.В.Сксрох'Юл,: К.Но, Н.Шз1о, Р.И.-Лчпцещ, А.Н.Еиряе&х, 3. Б. Колханобского,' В.Р.Носова, К.ШеапгЬсОе, Р.Меуег к др.). • ,....."* .

В п.1.3 доказывается сходимость метода последовательных приближений в некотором банаховом пространстве для уравнения (1), в случае, когда оператор заданны* (2), п.н. обрати:/,, а для коэффициентов а я Ъ выполнено менее ограничительное, чем условие Липшица, предположение (типа условия Оогуда или Гбльдера). Точнее

кпгр-аа.ури (ьа.гр-ьа.у^л^^.ёг-у^^^. о)

и если Ыt)-t, то в качестве функции можно взять,

например, функцию, которая при малых и совпадает с c(t)vlnl>, а если, например, ре(0,1), то ИЧ,и.)=Я1)р. Кроме этого

приведены тзореш .существования и единственности решения уравнения (1), когда двусторонее условие (3) заменяется односторонним - типа ■ условия монотонлосТи (см. работы Н.В.Крылова, Б.Л.Розовского, 1.вуоп%у, И.В.ФеРоренко, J.Jaco(i, ¿.КегЛп, К.Тийог, ¿?.В.£ерег.енни-' кова, Т.Л.Клепцатй), теоремы существований, решения уравнения (1), , которые получены с- помощью теоремы сравнения (см. работы

A. В, Скорохода, З.Уатва, А. В. Мельникова, Л.И.Галъчука, И.В.Федо-ренко, М.£.К.гепщной), а также при использовании -теории мер

. некомгактности и уплотняющих операторов, развитой Б.Н.Садобским. Каждая из приведенных теорем ослабляет -классические условия со своей стороны: это либо полное отсутствие ограничений на память системы, либо замена условия Липшица непрерывностью и монотонностью и др. Это позволяет использовать их'при моделировании различных процессов в технике, физике и т.д.

^лава II посвящена' двум методам исследования СОДУ:- метода' функций Ляпунова' и функционалов Ляпунова-Красовского и принципу усреднения. В п.2.1 излагаются основные определения и факты • второго метода Ляпунова и близких к нему методов.. С его помощью доказ1тается асимптотическая устойчивость ■ решений дзух прикладных задач. Сдна. из них моделирует движение :олебательной системы' со случайным коэффициентом вязкого трения, другая - процесс ■ спокойного резания при точении по следу, где запаздывание появляется благодаря зависимости процесса резания от состояния поверхности детали на предыдущем повороте шпинделя (см. работы

B.Ф.Царъкова.). Лишение детали в плоскости, перпендикулярной резцу,. - это результат вращения детали со скоростью v. Пусть с -

' жбсткость крепления резца, а - коэффициент вязкого трения, т -масса резца, й0 - желаемая глубина точения, х(г) - отклонение

резца от положения спокойного резания в момент времени I,- 1 -время одного оборота шпинделя, Давлегаэ стружки на переднюй грань резца вызывает силу трения Р^. Коэффициент трения / зависит от линейной скорости движения стружки по передней грани резца; эта зависимость, вообще говоря, нелинейна и мокет определяться случайными факторами: . •• — ' {

7(й0 + 'х) = П\)0) + 1^'х) + >г21(хф ¿4,

где - белый иум, (х)°(з) = х(з), и0 - скорость стружа

относительно резца. Будем считать, что |/4(и.) ^{п^к'и.к^!, 1=1,2. , Тогда уравнение движения резца сводится к системе

к = V -

=.-а,и2 + С0и,(1-х) - Ч^/ир^о + "г4*/*"^"",

-Я?г(иг)1й0 +■и1 - .

где с(=с/т+с0, а - коэффици-

ент, зависящий.от ширшш срезаемого" слоя и геометрии резца, и,-г

--¡тК»0)()<10, и2=х. Для доказательства асимптотической устойчивости решения системы (4) строится функционал Ляпунова-Красовского г

)Пиги2,г) = + и| + а,и,;2 +-5 и.2(з)0э. ; ,

Доказано, Что. если жёсткость крепления резца с достаточно 5 велика, а коэффициенты Я4., I=1,2,4, 3=1,2, достаточно, малы,' то;

• .J , »

процесс спокойного резания при точении по следу в присутствии^ случайных помех п.н. (почти, наверное) и в среднеквадратическом устойчив. Эти результаты иллюзтрирузотя компьютерными моделями.. ', 1 Другое ослабление классических' условий существования решений уравнения типа (1) связано с заменой .двусторонних оценок роста коэффициентов правой части'уравнения (1) односторонние к замена ' линейной оценочной функции другой, шеющей рост на бесконечности типа и1п,/,ги. По-видимому, первый результат такого ■ ■ рода прина&лбиит И.Й.Гихяму и И.В.Скорохову. Р.З.Хосьминскик. о -Использованием функционалов типа Ляпунова продажны ' условия,., достаточные для Того, чтобы траектории решений, стохастических-

дифференциальных уравнений не уходили в бесконечность за конечное время, т.е. решение было регулярным (см. также работы В.А.Лебейеба, К.Marita).

Б п.2.2 методом функционалов Ляпунова-Красовского устанавливается регулярность решений уравнения (1) в случае, когда предположение линейного роста заменено следующим -■-=.—г •

. 2(Fxt )*f( t ) trb( t .^"Vft.x^K

Ol

a[jjrrixrt-sji2jiÄ}fs;+ f djinxct-Ujitw*)*] .

С . • J-'

и справедлива такая оценка дай оператора F~1, обратного к F:

00

■ I (Г 'y)tl 2«fl y(t-s)i г0Р(s)+ l еу y(t-gj(t))1

о ■ •

где /еЗС. в п. 2.3 выводятся различные оценки роста на _ . бесконечности решений уравнения (1) по непрерывному мартингалу и при /г О. Устанавливаются условия, при которых решение уравнения (1) (/=0, At^t, UtsVft) стремится к бесконечности при а: также условия точного роста^ решений на бесконечности. В п.2.4 обосновывается щмгцт усреднения для уравнения (1), а также для систем с быстрым и медленным временен в случае линейной ограниченности коэффициентов и выполнения предположения типа (3) (или монотонности).

Е Главе III изучаются обобщенные процедуры стохастической аппроксимации Роббинса-Монро и■ Кифера-Вольфовица, -Процедуры Роббинса-Конрз и Кифера-Больфоница были подробно изучены в работах' и.Б.Небелъсона и Р.3.Хасыамского отдельно для дискретного и непрерывного случаев. А."В.Иелыщовш предложен единый подход к -этим процедурам, основанный на обцей теории. мартингалов. В главе Ш диссертации, продолжающей - сошэстныэ исследования А. В. ИелъшноЪа и автора, этот подход развивается до рассмотрения . более игарского класса процессов (многомерные процедуры, более . сложные типы шумов и т.д.), определяемых стохастическим уравнением ' типа' .' '

<tet=-rtWxt.;cUt-rtoit,ztJcWt, ' (5)

где А - возрастающий процесс, мартингал. В п.3.1 доказывается п.л. сходимость к нулю обобщенной процедуры Роббинса-Монро (5).При

этом вместо линейной ограниченности предполагаются* типичные условия "отсутствие взрывов" (регулярности) типа и1п1/2и при больших . и; в -случае одномерной непрерывной модели вообще отсутствуют какие-либо ограничения роста по и. Приводятся примеры, показывающие, что полученные результаты являются нетривиальными даже для классической диффузной модели. Для_" доказательства используются Функции Ляпунова и лемма о сходимости неотрицательного' семимарткнгала. В п. 3.2 аналогичные задачи решаются .для-обобщенной.процедуры Кифера-Вольфовица.

В п.3.3 исследуется п.н. сходимость с некоторой:скоростью и сходимость в среднеквадратическом, а также асимптотическая нормальность алгоритма, задаваемого уравнодаем типа (5). Существенным здесь является использование аппарата экспоненты Домван.

В п.3.4 получены .условия асимптотической нормальности /обобщенных процедур Роббинса-Монро. Доказывается общая теорема об асимптотической Нормальности, а такте еб конкретизация, дет различных видов процессов у4, которые включают "классический"

случай ? = и его обобщения —---1—» и т.д. В

• * . t+í 4 Аг+1 (ие)1пи+е)

частности, если гауссов мартингал, <И±> -~ его

характеристика, ' ; . - ' '

и(г)=о(Ш1+11) при х^О, р.Ю; . 1(6У <за,х)—о0 п.н. при t-^<*>, ®-»0; V

й<ж>^=к0(1+х(г)шь, ыг), м/(аъ+1)-*о, аъ-*<* п.н.'(7) при 1-"»; **

. ' 2а$>1, ч

то ' -/'.*

■ ; • .¡в),

Если *е Г4=п+ёЛп7Т+ё7 и.выполнено (6)-(7), причем в (7) = К0(1+*а))(А1+е)<к11., то в ' (8) вместо (А^У^х. стоит

\пиг(А^е)хг. "В негауссовом 'случае приводятся аналогична результаты. В п.3.5 подобные задачи .решаются для СюбщЗнпой процедуры Кифера-Зольфдвица. ■ >.

Глава IV посвящена исследованию систем управления ¡¡обетов-1

манипуляторов.

При управлении роботами-манипуляторами объектом управления чаще всего является позиция его звеньев, точнее углы ц>=(ср(.... ,<р)

, между звеньями и некоторыми осями и их скорости ф=(ч>,,...,фп.).

Простейшие законы управления и=-Ьф, и=-Ьф-с<р . реализуются с помощью пропорциональных и пропорционально-дифференциальных (Пи ПД) регуляторов. Однако при их реализации возникают разл: шого рода нелинейности, связанные с нелинейностями исполнительных ' ; механизмов.^ Кроме того, естественно возникновение эффэкта . последействия, особенно, если принимать во внимание гестерезисные явления в электромоторах исполнительного механизма. Еще одно уточнение законов управления связано с учетом случайного характера измерений, а также различных неопределенных факторов, действующих на систему, В силу сказанного, закон управления роботом, достаточно близкий к реальному, иыеэт вид

. ь ' . ■

о ■

- где белый шум, <^(з)щ(з), в(.10,Н, И, о - нелинейные функции.

Требуется подобрать параметры Ъ и с и определить ограничения на функции N и о так, чтобы переход руки манипулятора из любого начального положения ф0 в положение равновесия <9=0, 9=0 осуществлялся за конкретное конечное время. В данной работе эта задана переформулирована на языке стабилизации и требуется попадание* схвате с грузом лишь в некоторую «^окрестность точки (О.Ь) при достаточно малом е за гарантированное время. С практической точки зрения эти два подхода можно считать эквизалентными (например, если робот подносит деталь к прессу для штамповки, то вто может делаться с небольшой погрешностью, так как высокая точность позиционирования обеспечивается самими элементами штампа).

В п.4.2 рассматривается однозвенный манипулятор, состоящий из абсолютно твердого однородного прямолинейного стержня длиной £ и массой П. Один конец стержня связан идеальным цилиндрическим гарниром 0 с неподвижным основанием,' а на другом конце жестко . закреплен перемещаемый груз массой ч. К оси шарнира О приложен управляющий' момент и. Движение манипулятора лроисходит в вертикальной плоскости в поле рилы тяжести. Ось шарнира

перпендикулярна плоскости движения. Уравнения движения имеют вид

Ьгт ф +р(р +зБ(и +Ц)з1 щ=и,

' . . (э) * ' 9(0)-1р0, ФС0;=Ф0, гл,=я ,

где <р - угол мевду осью стержня и вертикальной прямой, проходящей через точку О,, в - ускорение свободного падения," (З^ро>0 - коэффи-цйент вязкого трения.

Будем считать, что управляющий момент имеет вид

... со

u=-Ъф(t)-C9(t)-Ig(з)^l[y(t-э)]a(t-s)clз+o(t,Q0l)ult, (10)

■ О

где -белый шум, <р°(з)=<р(з), з€(0,Н,

со со

• ' Ъ,с>0, ро^Лв(з)10з, а0^а2(з)Оз«»,' (11)

о о

а.нелинейные функции Я и о удовлетворяют.соотношениям

'\Л('и)\г^Ц\и\г), (12)

<°

\о(г,<р1)\2 « кЦе(з)ц[1ч>а-э)1г]о1.га~з)(1з. аз)

о

В качестве функционала Ляпунова-Красовского рассматриваем сладущев-выражение: йгде

ф(и) = fUL~'(v^dv, (14)

. ' • о ■ .

ОЭ £

)2+К,Мв(з) |<*з|а2Гт.)ь(|ф, (т.? 10)

* 0 4-е

• К,- некоторая константа, ф^=<р , <р,=ф . '

В п. 4.3 рассматривается двузвеннкй робот-манипулятор, уратлэ-ния движения которого в отсутствии вязкого трения зеписизаютс.; в видеосистемы

Ф, = X ( ~ ЛдФоСоаГф^-ф,)],

= X [-Н3Ф,созСф2-ф^ +. Н,Ф2], .ф, = гл3ф1ф2з1пгф2-ф1л+и,,

Здесь й=Н}Иг-Тцсоз('(р2-ф(>, и=Си( ,ир. - управляющие момента, ф = = Н(<р) <р - вектор обобщенного импульса, матрица инерции

Я =

К

й3созГ<рг-'р,;

Я3соз((р2~ф1) Я2

Я,, Д2, - массово-инерционные характеристики двухзвенника. Будем считать, что управляющий момент имеет вид

со . ' :

и =-л,Ф -Л2Ф в(аЩ<ра--д),^(г-з)2л(г-з)аз + o(t,<¡><l,<¡%)ll)t, (16)

где в и а заданы в (11); А1 и Аг - положительно определённые матрицы (для простоты А.=ЬБ, Лг=сЕ, Б - единичная матрица) а для

нелинейной функции К: /г—«-Я2 справедлива оценка »

(17)

где ЫХ, двумерный винеровский процесс, о=(а1^У,

= 1,2, причем . *

„ 00 . <х*.ч>°,< * \в(а)\ 1Ш^э)\г+\^а-э)\^аг(г-э)09. (18)

В качестве функционала Ляпунова-Красовского рассматриваем следующее выражение: , ф определено в (14),

V(9.<^*t) = + - <р'<4,ф + сф'ф +

2 '

00 £

кАшаПйа^ а*(х)К\9(*)1* + М*)\г)<К. (19)

г-е

> г '

где е>0 достаточно мало, а К(>0 - велико.

В л. 4.4 рассматривается'' робот типа "Циклон", рука которого приводится в движение пневмощшшдрами двойного действия. Пусть ф - угловое перемещение руки манипулятора, Р - текущее значение давления в пневмоцилиндрах. Положим х-ф, хг=($, х3=Р, тогда система уравнений плоского движения имеет вид —

х1 = а/х3 - ахг, хг = х1, ¿3 = -вдГ, * и. ..

• Будем считать, что управление имеет вид

СО

* V

- <20)

где в и ос заданы в (11), Ъ1ГЬ^О,. а нелинейные функции И и о удовлетворяют соотношениям

]НСи,и,«0|2 $ Ы\и\г+\\>\2+\1з\г), (21)

< К рзСаЛ 1[|х/^аЛ2+!г/4-зЛ2+|х.,<Ч-з.Ч2]. «г(^з)йз.

В качестве функционала Ляпунова-Красовского рассматриваем следующее выражение

щх^х^х^г) = Ч>{У(х1,хг,х3^)2,

где ф определено в .(14),

У(х.,х2,х3,г) = (х3 + ь2а~'х,;>2 + (х3 + ЪгаГ11х1 + а3хг)г +. х§ + + 2а~'х21(а3 + аЪ£а~1) + Ьга~1х^(2Ь1' + аа3) +' •

СО ^

+ |гГзЛйэ | <хг(%)1( \х1(х)\2+ [хг(х) 12+ 1х3(Ч.) |1т. <2,^

С помощью функционала Ляпунова-Красовского (15) (соответственно, (19) и (23)), доказано, что соотношения (12), (13) (соответствен-

но, (17), (18) и (21), (22)) выделяют классы нелинейных помех, в присутствии которых управление (10) (соответственно, (16) и (20)), построенное с помощью П и ДЦ регуляторов, при достаточно больших значениях управляющих параметров • стабилизирует движение . однозвенного робота-манипулятора' (соответственно, двузвенного и типа "Циклон"),' причем для заданных надежности б>0_й точности позиционирования е>0 найдбтся такой неслучайный момент времени Т^Т(б,е)>0, начиная с которого рука робота находится в е-окрестности.положения равновесия с вероятностью б.

П.4.5 посвящен, компьютерному • моделированию движения рук роботов'типа КМ5Ц.42.01, РШ-25.01 и "Циклон-5.01". Построенные ■графики служат не только для подтверждения результатов, полученных теоретически, но и сами по себе являются инструментом исследования. Сугубо теоретический подход зачастую приводит не только к неоправданно громоздким построениям, но и завышению значений управляющих параметров, а также уменьшению интенсивности допускаемых помех и т.д.

■ Например, в п.4.2 рассмотрен робот типа модели КМ5Ц.42.01 (см. п.4.1), имеющий погрешность позиционирования ±0,1 мм. Аналитически найдены значения управляющих параметров Ь и с и ограничения на нелинейное- возмущение, при которых рука робота за 1 сек достигает (0,1 мм)-окрестности положения равновесия из начального положения <!>(0)=х1(0)=1 (рад),. <р'(0)=хг(0)=0 (рад/сек). Однако, как' показывают результаты компьютерного моделирования, полученные таким образом значения управляющих параметров оказываются значительно больше тех, которые реально требуются для достижения указанной точности. Для робота типа "Циклон-5.01" вычисление управляющих :параметров .в присутствии нелинейных ' помех определенного вида хотя и возможно, но по указанным выше причинам не имеет практического смысла. Поэтому в п.3.4 рассчитана модель без помех, (которая является, линейной), и ати результаты взяты в качестве основы для моделирования ниже. Для двузвенного робота типа РШ-2Б.01 исходные значения параметров для моделирования найдены из некоторых косвенных соображений. Однако результаты ' моделирования в п.2-4 показывают большую практическую ценность последних двух подходов по сравнению со строгим расчетом в п. 2.5..

Разумеется, сказанное выше, не умаляет роль чисто теоретических соображений, благодаря которым, например, возможно•оценить характер поведения' системы и найти область, в которой лежат

' 1 ' / ' . . 19. ;

: ' I . • г

управляющие параметру, доставляющие нужную точность.

Заметим далее, что при численном интегрировании систем дифференциальных уравнений, описывающих движение рук роботов типа КМ5Ц.42.01, РШ-25.01, Циклон-Би01, удаЗтся моделировать ' ещЗ и типовые , нелинейности, которые * присущи элементам различных исполнительных механизмов (электролитическим датяккам, реле, магнитным . усилителям • и т.д.). ' Строгое "математическое доказательство устойчивости соответствующих процессов в" присутствии подобных нелинейноегей из поводились. Кроме того,'в тех помехах, которые допускались. при аналитическом исследовании, при компьютерном .моделировании допускается большая интенсивность.

' IIa рис. 1 Представлены результаты численного интегрирования' систеш дифференциальных уравнений, описывающих движение руки робота КЫ5Ц.42.01. В верхней системе координат изображены графики угла наклона руки робота к горизонтали х1 (рад) и его скорости х2 (рад- свк~ ), в нижней г управления 0,077и (управляющего момента в Нм) и "функции F=<p^+<p|, иллюстрирующей стремление траектории движения к нулю. Управляющие параметры таковы: Ъ±831 (Км), et94 (Нмсек). Присутствуют три вида поме*: •

it

+ г_ПфСзЛ+г)1^|фСзЛ^]сгз; (24)

r)2(t)=

V <рШ> 1э

"V 9(t)< 13

v <pCt)>-l3

-13. Wtx-l3

çftJX); <pft)<0;

(25)

n3(t) = l4y(t)wt,

(2в)

причбм l1<50, l2<100, l3<10, la<AO. ■ у/-

Как видно m графика, гука робота достигает 0,1 ум -окрестности-положения равновесия уже за ; 0,8 сек. Тзс^етичес* рассчитанные значения параметров Ь=3 105 (Нм) и с=970 (Нмсек) в этом случае значительно больсе. Кроме того в помеха rif допускается значительно больная интенсивность, а покехи tj_ к т>„ вообще в

zo

Рис. 1

расчетах не участвовали.

Глава V посвящена проблеме уравновешивания быстроходных прессов-автоматов. В ней приводятся примеры существующих систем динамического уравновешивания быстроходных прессов-автоматов, а также обсуждаются недостатки, которыми обладают уравновешивающие механизмы. В п.5.2 предлагается сначала частично уравновесить вращающиеся массы кривожшно-шатунного механизма,_придав кривошипу ■ соответствующую форму так, чтобы центр масс .механизма двигался" вдоль оси направляющей ползуна.. А затем ввести обратную связь, реализуемую электромагнитным устройством с помощью Пи ПД регуляторов, параметры которых можно будет менять в зависимости от частота « вращения кривошипа и от требуемого в 1хлвдой конкретной ситуации уровня снижения уровня вибрации станины пресса.

Предположим, что быстроходный пресс-автомат жЗстко' установлен на фундаментной плите А (см. .рис.2). Кривошилно-шатунный механизму представляющий исполнительный механизм пресса, статически уравновешен так, что на его станину. и фундаментную плиту, составляющие единый агрегат,, действует сила

Р(3) - -1т?(совМ+А2соз21а1;+Аасоа4ыг+...), (27)

где г - радиус кривошипа, п - масса, приведённая к ползуну, ш -частота' вращения кривошипа, А2п - коэффициенты, зависящие от отношения радиуса кривошипа к длине шатуна. Эта сила вызывает ' вибрацию агрегата. Установим на плиту датчик вибрации С, • а внутрь фундаментной плиты в оставленную'для этой цели полость вмонтируем управляемый вибровозбудйтель В. Сигнал с датчика, усиленный по мощности, подается на формирующее электромагнитное устройство I), которое совместно с силовым преобразователем 3 (т.е. преобразователем "напрякенке-сила") раелизует зависимость

и = -а,х - Ь^х, (28)

где х - отклонение центра тяавсти плиты от положения равновесия, х - его скорость, и - сила, создающая противодействие с целью гашения колебания агрегата.

Преобразователь "напрягениб-сила" монет быть выполнен в виде • любого известного вибровозбудителя колебакм, в' частности, в тле электромагнитного вибратора, отягчающегося простотой и хорошей управляемостью (например, вибратора средних размеров марки С-920 или С-921). ■

Рис. 2.

Для. аналитического описания вибраций пресса-автомата предлагается два подхода. 3 первом его станина вместе с фундаментной плитой моделируется как упругое тело с ябсткостью к>0 и вязкость» а>0. Обозначая массу всего агрегата через Н, получаем следующее уравнение движения его центра тякести

■U x + <xx + kx = P + u. ~~ (29)

где Р задано в (27), а управление и реализуется с помощью стан-' дартных регуляторов ь виде (28)..

Другой подход 'учитывает процессы релаксации и ползучести в материале станины пресса-автомата и фундаментной плиты. А именно, вместо (29) рассматриваем следующее уравнение движения центра тяжести S агрегата

t (t-t1)

i( i + iffl[i - { e 1 x(t 'Jdt'J = P + u, -о

- E0

где v =-- - дефект модуля: - мгновенный, - длительный

Во» ■ .

модуль упругости; т - время релаксации.

Для обеих моделей и произвольных е, TQ>0 найдены значения управляющих параметров af и Ъ1 так, что \х( tj |<е при t~zT0 при

произвольных начальных значениях х(О) и х(0).

Сделаны теоретические расчёты управляющих "параметров af и Ь( для холодновысадочного автомата типа АБ1218 .и быстроходного ' вырубного пресса-автомата типа АА6324, обеспечивающие величину вибрации всего агрегата е?5• 10~3 мм"' при разных <о (ы=60, ВО, 100, 150, 200 рад/сек). ПриведЭнныэ компьтерные модели позволяют значительно уменьшить теоретически найденные значения параметров, а такае учесть помехи трЗх видов при управлении. При больших и мощность, потребляемая вибровозбудателем, может оказаться тоже очень большой. В этом случае имеет смысл вводить в исполнительный механизм какое-либо дополнительное уравновешивающее устройство. На ркс.З представлены результаты численного интегрирования системы дифференциальных уравнений, описывающих колебание быстроходного пре.са-автомата АА6324 при и=150 (рад/сек). В верхней системе коррдинат изобparsн график колебания. xf (мм) центра теsecта агрегата относительно положения равновесия, средний - колебание его скорости х2 (мм-сек"'), нижний - мощности (Вт), потребляемой

U'W......1" Ш ilylilii'li'l Ill да lip IMAI

' 1 -

•» . t • > t Z ■ I о я

» í ? t t i 0100

на реализацию соответствующего закона управления. Управляющие параметры' таковы: а=Юв (Н' сёк/мм), . Ь=2- 709(Н/мм). В управлении присутствует три вида помех (24)-(26), причём 11,1 ,13<Ю0, 14<300. Из графиков видно, что. мм, |Р |*2 кВт.

Теоретичесют рассчитанные параметры для этого случая значительно больше: Ь=1,6Ю11 (Н/мм), а=4-107 (Нсек/мм). .. —

В Приложениях щяаеодятся материалы внедре~ния результатов диссертационной работы на предприятиях, доказательства некоторых" утверждений из теоретической части диссертации, а также часть результатов, не включённых в неб.и лежащие в стороне от главной цели диссертации.(Приложение I),некоторые расчеты и большая часть графиков( Приложение II).

Осшвнют результаты

1. Методом последовательных приближений доказана теорема существования к единственности СФДУ нейтрального типа по общему семимартингалу, в которой условие Липшица заменяется менее ограничительным предположением - типа условия Осгуда;

2. Доказана теорема существования и единственности рвения СФДУ нейтрального _ткпа по общему семимартингалу, в которой двусторонние ограничения на правую. часть уравнения (типа условия Липшица) заменяются односторонними - типа услоиия монотонности.

3. Доказана теорема существования и • единственности решения стохастического уравнения Ито с запаздывающим аргументом с помощью теории мер некомпактности и уплотняющих операторов.

4. Доказана теорема сравнения для СФДУ по непрврывному семимартингалу; в котором коэффициент диффузии может содержать отклонение аргумента.

5. С помощью теоремы сравнения доказана теорема существования решения СФДУ нейтрального типа по непрерывному семимартингалу с монотонным по пространственной переменной сдвигом. .

6. Доказан ряд теорем о регулярности решений СФДУ нейтрального типа по винеровскому процессу и по семимартингалу, в которых значительно ослабляется условие линейного'''роста правых частей уравнения по пространственной переменной.

7. Выведены различные оценки роста н^ бесконечности решений СФДУ по непрерывному семимартингалу.

8. Получены условия'п.н. стремления решений СФДУ по Еинсровс-кому процессу-к бесконечности,- а также точного роса рзшшшй на

бесконечности. . " . • • *

9. Для СФ.'ЗУ нейтрального типа по винеровскому процессу и семимсртингалу, а такте для систем СФДУ с быстрым к медленным временем, обоснован принцип. усреднения в случае, когда коэффициентам уравнения позволяется зависеть о» всей предыстории решения и выполнено условие либо типа Осгуда— либо типа м0н01энностк.

10. Получен ряд результатов об интегральных неравенствах, в частности, несколько обобщений стохастической леммы Гронуолла;

11. Доказаны важные свойстеэ экспоненты Долэан; вычислен ряд стохастических интегралов, служащих, в частности, для доказательства явнчх формул экспошнт Долеан' и сходимости некоторых видений. ■

32. Получены условия обратимости некоторого запаздывающего оператора в различных функциональных пространствах.

13. Доказана асимптотическая устойчивость обобщённых процедур стохастической аппроксимации Роббинса-Мокро и Кифера-Вольфовица при достаточно общих предположениях на семимартингал и на функции, определяющие процедуры; в частности, всюду значительно ослаблено условие линейного роста этих функций; в некоторых случаях какие-либо ограничения на .рост отсутствуют совсем.

14. Получены результаты об асимптотической нормальности указанных процедур; приведены общие теоремы для гауссовых и не1ауссовых мартингалов, а также их конкретизации для различных нормирующих функций.

15. Исследованы сь-темы управления роботов-манипуляторов с однозвенной, двузвенной рукой, а также типа "Циклон", построенные на основе П и ВД регуляторов, установлены пределы • допустимых случайных помех и нелинейностей, при которых система "управления' асимптотически устойчива.

16. Получены условия экспоненциальной устойчивости ..систем . управления этими роботами в присутствии помех.

17. Найдены значения управляющих параметров, которые обеспе-т чивают попадание руки робота в заданную окрестность псжкёния равновесия за заданное время с заданной над0кно£1Ь'ю.

18. С целью уменьшения найде:шых теоретически значений параметров, а также снижения огтщйчений на помехи при управлении, проведено компьютерное 'Моделирование. . '. •

.19. С понс^ью'э/магнитного Еибровозбудителя и П и ВД регуля-

торов построена система управления колебаниями быстроходным прессом-автоматом с целью снижения уровня вибрации.

20. Проведен анализ этой системы управления и найдены значения управляющих параметров, снижающие вибрацию до заданного уровня.

21. Проведено компьютерное моделирование колебания центра тяжести пресса-автомата и 'мощности, потребляемой Еибровозбудителем, для реализации управления в присутствии различных помех; это дабт" возможность значительно уменьшить теоретически найденные значения параметров, ослабить ограничения на помехи, выбрать то управление, которое потребляет разумную мощность.

22. Доказана устойчивость процесса спокойного резания при точении по следу в присутствии случайных помех.

Публикации по теме диссертации

1. Родкина А.Е., Садовский Б.Н. К принципу связности Красно-сельского-Перова // Труды Матем. фак. выл 4. Воронеж: из-во Воронежского ун-та, 1971.-С.89-103.

2. Родкина А.Е.. О продо.тапюста, единственности и непрерывной зависимости от параметра репений уравнений нейтрального типа// Дифференциальные уравнения.-т.XI, К2. -1975.-С.268-279.

3. Родкина A.B. К задаче Коии для уравнений нейтрального типа // IY Всесоюзная конф. по теории, и прилеп.. диффвренц. уравнений с отклоняющимся аргументом. Тезисы докладов.- Киев:" Наукою думка,1975. - С.203.

4. Родкина A.B. К задаче Кош для уравнений нейтрального типа // Сборник, научных статей по прилоа. функц. анализа. Воронеж: из—во Воронежского ун-та, 1975 - С. 155-160.

5. Родкина A.B. Об одной" замене переменных в обыкновенных дифференциальных уравнениях // Дифференциальные уравнения, т.XVI, £12.- 1980.- С.2281-2283.

6. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов A.C., Родкина A.B., Садивский Б.Н. Теория уравнений нейтрального типа // Итоги науки" и техники. Математический .анализ.Т. 19.1982. -Ы.:ВИНИТИ.-:-'С. 55-110.

7. Родкина A.B. О разрешимости .уравнений нейтрального типа . в различных функциональных пространствах // Украинский ыатемати-

■ ческий журнал. -1983.- Т.35, Й1 - С.64-69.

8. Родкина A.B. Теорема о неявной функции и разрешимость уравнений нейтрального типа // Дифференциальные уравнения. -1983.-

Т. 14, т.- С. 1632-1636. '. '• '

9. Rodkina А.Е. On Existance and Uniqueness of Solution of Stochastic Differential Equation with Hereditary// Stochastics. 1984. V. 12, J63+4.- P. 187-200. • /

10. Родкина A.E. О разрешимости .стохастических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Украинский-математический.журнал. -1985.- Т.37. JB1.- С.98-103.

11. Родкина А.Е. О регулярности решений стохастических дифференциальных уравнений для систем с последействием // Автоматика и телемеханика. -1985.- №5.- С.87-96. ■ ...

■ 12.' Родкина А.Е. О стохастических дифференциальных уравнениях с отклоняющимся аргументом// IV Международная Вильнюсская конф. по теории вероятностей и матем. статистике. Тезисы докладов. Вильнюс. -1985.- С.71-73..

13. Родкина А.Е. Условия регулярности решений стохастических дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом// Прикладные методы функц. анализа. Воронеж: из-во Воронежского ун-та, 1985.-С.117-127.

14. Родкина А.Е. Лемма ГронуоЛла и разрешимость стохастических функционально-дифференциальных уравнений // I Всемирный конгресс общ. им. Бернулли. Тезисы докладов. Т.Н. Ташкент. -1986.- 0.-73S.

15. Родкина A.B. О принципе усреднения для стохастических дифференциальных уравнений с отклоняющимся: аргументом// Тезисы докл. XXI шкблы-коллоквиума по теории вероятностей и. матем. стат. Бакуриани. Тбилиси: Иицнибреба. 1987.- С.40., 424 с.

16. Родкина A.B. О. принципе усреднения для стохастических функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, -1983.- XXIV, Ю.. - 0.1543-1551. "

17. Родкина A.B. Об одном доказательстве . разрешимости нелинейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений //. Глобальный анализ , и нелинейн=. уравнения. Еорркёй: из-во-ВГУ, 19880.127-133.

18. Родкина А.Б. О стохастических функционально-дифференциальных уравнениях по семимартингалу// Дифференциальные уравнения. 19S9. т.XXV, МО.- 0.1716-172).

19. Родкина A.B. О росте решений стохастических дифференци-. альных уравнений с отклоняющимся аргументом// V Мездунар. Вильнюс-

кая конф. по теории вёроятн. и мат стат: Тезисы докладов. Т. IV. Вильнюс. -198Э.- С.177-178. ' ■

20.. Родкина А.Е. О принципе усреднения для систем стохастических уравнений с быстрым и медленным временем// Функционально-дифференциальные уравнения. Сб. научных трудов. Пермь: Из-во Пермского политехи, ин-та, -1989.- С.84т91.

21. Родкина А.Е. О поведении на бесконечности решений стохастических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.-// ■ XIV школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. т.З. Новгород.-1989.- С.23.

"22. Родкина А.Е. О стохастических . интегральных уравнениях Вольтерра// Функционально-дифференциальные уравнения и их • приложения. Сев.-Кавк. региональная конф. по ФДУ и их приложениям. Тезисы докладов:- Махачкала,- 1989. 0.181.

23. Родкина А.Е. .0 периодических решениях стохастических • дифференциальных уравнений//, .XV Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы -докладов. -Ульяновск.- 1990.- С.97.

24.-'Родкина А.Е. О решениях стохастических уравнений с п.н. периодическими траекториями// Дифференциальные уравнения.- 1992.-Т.28, ЖЗ.- С. . .

25. Мельников А;В., Родкина А.Е. Стабильность обобщенных стохастических процедур.// VI Советско-японский симпозиум по теории вероятности и мат.стат. Тезисы докладов. Киев. -1991.-С.102.

26. Augustynowlcz A., Rodklna А.Е. . On some Stochastic Functional-Integral equation // Annals Soc. Kath. Polonae; Ser. 1: Comment. Math. XXX. 1991.- p. 238-251.

27. Родкина А.Е. О стохастических интегральных уравнениях Вольтерра // Известия АН РМ. Математика. -1992.- №3(9). -С.9-15.

28. Melnlkov А.В., Rodkina А.Е. Consistent Statistical ' Estimation in Semlmartingale Models of Stochastic Approximation// Annales Acad. Scl. Pin. Ser.A. I. Math. V.1T. 1992. - P. 85-91.

29. Ahmerov R.R., Kamenskil H.I., Potapov A.S., Roakina A.E.,

' Sadovskii B.N. Measures or nonconpactness and condensing operators. Ooerator Theory: Advance and Appl. V.55, Birkhauser, 1992.-551 jf.

30. Родкина A. E. О разрешимости и усреднеюш для стохастических функционально-дифференциальных уравнений по семимартингалу'// Статистика и управление случайными процессами.- II.: ТВП, 199о-3Q4c.-<Tp. МИРАН, ISSN 0371-9685, т.202) С.246-257.

31. Rodklna А.Е. On.Asymptotic Normality of Stochastic Approximation Procedures. // VI international Vilnius conference on

Probability theory and- Mathematical Statistics. Abstracts of Communications. V. 11.-1993.-P. 109.

32. Melnlkov A.Y., Rodklna A.E. Martingale approach to the procedures or stochastic approximation// Frontiers in Pure and Applied Probab. v. 1. TVP/VSP. -1993.- P. 183-196.

33. Melnlkov A. V., Rodklna A.E., Volkeila E,_ On a General Class of"Stochastic Approximation Algorithms// Frontiers in Pure and Applied Probab., V.1, TVP/VSP, 1993.- P. 183-196. .

34. Родкина A.E. Экспонента Долеан и экспоненциальная устойчивость решений стохастических дифференциальных уравнений// Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам геометрии и анализа. (Абрау-Дюрсо. 25 сентября - 2 октября 1994 г.)

Тезисы докладов.- М:"ТВ1Г, 1994-С.96-97.

35. Родкина А.Е. О построении систем управления однозвенного робота-Манипулятора// Современные методы нелинейного анализа. Тезисы докладов.- Воронеж:Изд-во ВГУ.- 1995.- С.77-78.

3S. Родкина А.Е. О стабилизации движения однозвенного робота-манипулятора. Вор.гос.арх.-строит, акад. Воронеж.- 1995.- 11с. Рук. деп. в ВИНИТИ. Й1086-В95 от 19.04.95.

37. Родкина А.Е. О задачах стабилизации стохастических систем с последействием с помощью нелинейных регуляторов. Вор.гос. арх.-строит.акад.- Воронеж.- 1995.- 10 с. Рук.деп. в ВИНИТИ JÍ1085-B95 от 19.04.95.

38. Rodklna А.Е. On stabilization of notion of robotmanipulators. • In III International Conference of ffoman-líathematiclans. Abstracta Voronezh. 1995,- P.38.

39. Rodklna A.E. On the stabilization of the stochastic functional-differential equation with respect to the semiraartln-gales." Abstracts of thé II International Conference on "Difference Equations and Applications. Veszprem. Hungery. August. 7-11. 1957-, P.95. .

40. Мао X., Rodklna A. Exponential stability of stochastic differential equations driven by discontinuous aemlmartingales Submited to stochastlca.' and Stochastics Reports.- 1995.- In appear.