автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ стохастических систем с последействием



РОДКИНА Александра Евгеньевна

АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

Специальность: 05.13.01 - управление в технических систсиах

АВТОРВвВРАТ диссертации на соискание учоноа доктора технических it¿

Москва - 1996

Работа выполнена в Воронежской государственной архитектурно-строительной академии

Официальные оппоненты: доктор технических наук' .

Колосов Геннадий Евгеньевич .

доктор технических наук ' . Ядыкин Игорь Борисович

доктор технических наук •'.'•• Баранов Валентин'Васильевич

Ведущая организация: Институт машиноведения им.А.А.Благонравова Российской .Академии наук

Защита состоится " 1996г. в__ час на

заседании Диссертационного . совета Д.063.68.05 Московского государственного института.электроники и математики:

109028, Москва, Трехсвятительский пер. 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ. Автореферат разослан "/К—" 1996 года.

Ученый секретарь • Диссертационного совета кандидат технических наук

С.Е. Бузников

■ Общая характеристика работы ?

Актуальность. Изучение поведения и конструирование систем управления, обладающих требуемыми свойства)«!, является ключевой задачей теории управления, которая служит расширению автоматизации и интенсификации производства. По степени важности одно-из первых мест занимает проблема повчпения производительности кузнечио-прессового оборудования.

В настоящее время оборудование с кривошипным пришдом очень производительно, но зачастую достижимая производительность . ограничивается временем, необходимым для срабатывания различных вспомогательных устройств, в частности, ' роботов-манипуляторов. Вопросы робототехники-получили фундаментальное развитие в работах . научных коллективов Института машиноведения ш. А.А.Благонравова, Института проблем - управления, Института проблем передачи информации, Ш1ЭМ к др. Значительный вклад в робототехнику внесли Д.В.Охоцшхкий, В.А.Якубович, В^П.Попов, Б.И.Ррсбчч, ф.Л.Черно-усъг.о, Н.Н. Болотник, В. Г. Градецкий и др. Близкие вопрсси освещались в работах В. Н. Афанасьева, В.Б.Колгпновского, В. Р. Носова, В.В.Бомюшна, П.И.Чинпева, А. И. Р.пи.чнского, Г.В.Колосова,

A.А.Ктхзсовского, А.Б.Курханакого, А.А.Первозбащева, Б.Т.Полят, Я.З.Цыптна и др.

При реализации управления роботами-манипуляторами возшкгамт различного рода помехи, связанные с. нелинейности исполнительных механизмов, гестерезисными явлениями в электромоторах, случайным характером измерений,'■ с различными неопределенными факторами, . действующими на систему. Для технических нудд требуется подобрать • управляющие параметры так, чтобы обеспечить переход руки ; манипулятора в заданное положение за заданное время и опрелолит! пределы допустимых помех, при которых система управления сохраняет свое качество. При решении этой задачи дозмогно применение теории

B.А.Якубовича об ' адаптивном управлении с помощью когачно-сходяцихс.я алгоритмов, принципа максимума Понтрягина, ¡.мнимаконсго подхода к управлению в условиях неопределённости А.Б.Курганского и т.д. В ■ данной- работе используется мартингалькый . подход, интэрпретирущкй неопределённости как случайные процгссн. и требуется попадание охвата с грузом лишь з некоторую окрестность положения равновесия за гарантированное время.

Другим ограничением увэличения производительности куякечно-

прессового оборудования с кривошипным приводом является большая изнашиваемость деталей при перегрузках и интенсивная вибрация самих прессов и соседнего оборудования. Для этих целей вводятся различные системы уравновешивания, в частности, статическое уравновешивание с помощью корректирующих масс, а также динамическое уравновешивание' с помощью присоединения к исходному механизму специального уравновешивающего устройстш. "Основы теории уравновешивания механизмов заложены в трудах академиков ¡1.'.'. Артоболевского и Л. Г. Бруе&ача и получили дальнейшее развитие в работах В.А.Шепетилъникова, В.Н.Ланского, М.Д.Церлока и др. Однако уравновешивающие механизмы обладают рядом недостатков, среди . которых удорожание и недолговечность конструкции, повышенный шум при работе и т.д. В настоящей работе предлагается при частичном уравновешивании вращающихся масс кривошипно-шатунного механизма ввести обратную связь, реализуемую вибровозбудителем с помощью П и ПД регуляторов. ....

Обе приведбннне задачи моделируются, вообще ■ говоря, стохастическими функционально-дифференциальными уравнениями (СОДУ).. Подобными уравнениями описываются и многие другие явления • и процессы в технике,- физике, теории информации, биологии, медицине и т.д. В ряде случаев скорость эволюции системы определяется не только ее поведением, но и скоростью в предыдущие моменты времени. Такие системы моделируются СФ.ПУ нейтрального типа. В диссертации изучаются качественные характеристики решений СФДУ нейтрального типа по общим семимартингалам (что позволяет, в частности', моделировать шумы достаточно, широкого диапазона),, а также обобщенные процедуры стохастической аппроксимации, которые применяются в теории обучающих автоматических систем, проблеме передачи информации при наличии обратной связи и т.д. .

, вЦель работы. Целью диссертационной . работы является исследование СФДУ достаточно 'общего вида, проведение анализа систем управления роботоь-манипуляторов в присутствии случайных нежлбйных помех, построение контура управления быстроходным ; аресеом-автоматом с целью его- уравновешивания.

Метода исследования. Для решения поставленных здесь задач использовались ; некоторые методы функционального анализа, * интегральных и диффе^ронциалъных неравенств, функций Ляпунова и функционалов Ляпунова-Красовского, теории мартингалов, в частности

признаки сходимости неотрицательных семимартингалоз,* свойства экспоненты Долеан, компьютерное моделирование.

Научная новизна. Научная новизна полученных результатов состоит в следугацём:

1. Полученные в диссертации условия обратимости некоторых запаздывающих операторов в различных функциональных, пространствах дали возможность исследовать СФДУ нейтрального Пипа, т.е. те, которые описывают эволюцию динамической системы, находящейся под воздействием случайных сил, скорость которой зависит не только от ее состояния, но и от скорости в предыдущие моменты времени. Использование интегральных неравенств различного типа и функций Ляпунова позволило, линейные ограничения на правые части уравнений (типа условий Липшица, монотонности)' заменить вообще говоря нелинейными, рассматривать семга,гарт ингалы общего вида, в основном не накладывать никаких ограничений на зависимость правых частей уравнения от предыстории процессов. При таких условиях получено большинство результатов о существования единственности и регулярности решений СФД7, различные оценки реиений, обоснован принцип усреднения.

Таким образом, результаты диссертации дают зозмоыность моделировать'более широкий круг процессов техники, фгзихя.и т.д.

2. В диссертации введён и подробно исследован класс функций, на основе которого конструируются функции, и функционала Ляпунова-Красовского. Последние широко применяются как для'роиэнил чисто теоретических . вопросов ' (например/ регулярности роианий, устойчивости процедур стохастической аппроксимации), так и в-прикладных задачах (исследование допустимых помех при управлэьии роботов-манипуляторов, . доказательство устойчивости системы со случайным нелинейным коэффициентом вязкого трения). Во всех указанных задачах использование функций Ляпунова и функционалов Ляпунова-Красовского ' позволяет значительно ослабить услогио лянейного роста коэффициентов уравнений и рассматривать достаточно общий вид их зависимости от предыстории;

3. . Движение -руки робота; . система управления которого, построенная с .помощью П и ДЯ регуляторов, . находится под воздействием разного рода помех, моделируется как С]\ЦУ. .Функционалы ' Ляпунова-Красовского' и ■ теоремы о сходимости неотрицательных ■ семимартингалов применяются при доказательство устойчивости системы 'управления в присутствии налинейшя _ чяйнкх

6 •

помах, нахождении значений управляющих параметров, которые обеспечивают попадание руки робота в заданную окрестность полонагая равновгсия за заданное время с заданной надежностью. Близкие идеи используются при доказательстве устойчивости процесса спокойного резания при точении по следу в присутствии случайных помех. _ __

4. Мартингальный подход к процедурам стохастической аппроксимации объединяет непрерывный и дискретный случай в одну обобщенную процедуру типа Роббинса-Монро или Кифера-ЗЗольфоЕица. Применение функций типа Ляпунова, а также теорем о сходимости неотрицательного семимартингала, позволило снять ограничения линейного роста коэффициентов и рассмотреть семимартингалы общего вида- Это дало возможность получить новый результат даже для сличая винеровского процесса.

5. Исследование свойств экспоненты Долеан, их аналогия свойствам обыкновенной экспоненты, позволило . получить новые • результаты, касающиеся асимптотической нормальности обобщенных процедур стохастической аппроксимации, выявить различные скорости п.н. и средаеквадратической сходимости этих процедур к -нулю, рассмотреть как "классические* ториыирукщие функции, так и их обобщение, гауссовы и негэуссовы мартингалы.

6. В дассерте-рш предложена система управления колебаниями быстроходного пресса-автомата с помощью вибровозбудителя, П и ЦД регуляторов, позволяющая сникать вибрацию пресса-автомата- до требуемого уровня. Во всех приведенных моделях возможен. теоретический' пбдочЗг соответствующих значений параметров и иэщности,. потребляемой вибровозбудителем. ■

7. 1С решению осйрвных прикладных задач применяется и компьютерное моделирование, которое ке толы» иллюстрирует теоретические результаты, но и является самостоятельным инструмэнтом исследования. ■ •

Достоверность полученных результатов основана на: строгости математических выкладок . и приемов; использовании методов фунгционального анализа, дйфферзнциальных уравнений, теории случайных процессов: сотюставлении полученных результатов с чзвестшми в литературе; внутренней непротиворечивости изложения; сравнении теоретических результатов с компьютерными моделями.

Практическая ценность работы. Главная практическая ценность .

г

работы состоит в тон, что е5 результаты и метода служат увеличению производительности кузнечно-прессового оборудования. Полученьыэ результаты используются пря управлении роботами-манкпулягора»я в присутствии нелинейная случайных помех, в частности при обслуживании быстроходных прессов-автоматов, а построенная ка основе Л и ИД регуляторов и вибровозбудителя систзмег управления колебаниями пресса-автомата позволяет снизить уровень е±'о вибрации. Компьютерное моделирование нз только подтверэдает и иллюстрирует теоретически найденные решения, но и служит самостоятельным инструментом исследования обеих прикладных задач в кавдсй • . конкретной ситуации. 3 частности, оно даСт возможность уменьшить теоретически найденные значения параметров, что позволяет сэкономить электроэнергию. . ..

Предложенные в диссертации подхода к моделирогэнию нелинейных случайных помех, методы исследования устойчивости в их присутствии могут' использоваться и в других прикладных задачах. Результаты, касащиеся качественного поведения решений СФДУ общего вида, полученные в . диссертации, могут бить полезны при изучении гонкретных реальных систем с запаздыванием, находящихся под действием случайных возмущений. Снижение '' требований на коэффициенту и семитртингал в процедурах стохастической аппроксимации позволяет расширить область применения этих процедур к задачам передачи информации, восстановления гшгавестной функции по наблюдению, содержащему помехи, при обучении автоматических систем и т.д. •

Внедрение. Результаты теоретических исследований л компью-' терного моделирования, проведённых в диссертации, применяются для нахождения величин параметров систем управления быстороходных прессов-автоматов- типа -АА6324 и холодовысадочшпс автоматов типа АБ1218; роботов-манилулято^ров типа KW51I.42.01, РПМ-2^, Циклон- 5.01-' Эти расчёты позволяют повысить производительность традиционного, оборудования, в частности в кузнечно-прессовом производстве (Ассоциация потребителей и производителей кузнечно-прессового оборудования, НПО ЭНИКМАШ), в. строительстве' (НЮ1АСС), 5 также используются при проектировании новых поколений кузнвчнС-прессового оборудования и роботизированных• комплексов на предприятиях прассостроительной отрасли:•

1) роботизированные комплекса - Воронежский завод КПО (куз-начно-прессового оборудования), Сальский завод КПО;

а

2) быстроходные гфессн-автоматы - НПО ЭНИКМАШ, Таганрогское ¿0 Прессмаз;

3) холодовысадочше автомага - Одесский завод КТО,. Чемкентс-Köi завод КТО. ' - •

Апробация работы. Отдельные результаты работы докладывались: на Международных Еильнюсских ~ конференциях по теории вероятностей и штематической статистике (г.Вильнюс, 1935, 1989, 1993г.г.); на I Всемирном Конгрессе общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли {г.Ташкент, 1986г.); 'на IV Советско-Японском симпозиуме (г.Киев, ' 1991г.); на. II Международной конференции по разностным уравнениям и их лрилонекиям (Венгрия, г.Веспрем, 1995г.); на школах-семинарах по стохастическим методам (г. Бакуркани, 1936г., 1987г.; г.Мариуполь, 1993г.; г.Иовороссийск, 19Э4г.); на III Международной конференции кенщин-мате.латиков (г.Воронеж, 1995г.); на Воронежских зимних катемати"ес:сих школах; на школах-семинарах ИМ АН "Украины (г. Алушта, 1991г.: г.Кациволи, 1992 г.);.на семикарэ МИРАН (1983 г.); на семинаре кафедры теории вероятностей МАК (1995 г.); на семинарах .Гданьского университета (г.Гданьск, Польша, 1989 г.); на семинарах. Ягеллонсксго университета" (г.Краков, Польша, 198S г.); на семинара;: университета Страдклайд (г.Глазго, Великобритания, 19S3 г.); на с е.«шарах ВГУ и ВГАСА; на научных сессиях ВГДСА и на ряде других сешшаров, конференций, школ.

Публикации.- Результата диссертации отражены в 40 печатных работах автора. ' ■ •■ •

. Структура и объоц дассертации. Диссертация состоит из взеде-шя, пяти глав, заключение и щшожешШ. Работа содержит 283 страницы текста, 152 хисунка, а также список литературы (1,77 наименований). ■ •.

Содержание работы -

Диссертационная работа посвяшека решении двух основных тесно '.связанных друг ' с дщгеи .прикладных задач: анализу систем 'управления роботов-ганшулятороз и конструированию системы управления: быстроходным прессом-автоматом с целью его уравнове-_ кивэния. Обе задачи моделируются стохастическши уравнениями с последействием.

•Вероятностный подход к ресению большинства практических за-

дач обусловлен наличием неопредэлЗнностей в сипах, дейс-тву:сщих на: систему, запаздыванием и ошибками при упразлении и т.д. Многие" реальные, системы"' обладает эффектом . последействия, когда' будущее поведение объекта определяется не только его. настоящим, ко к всей предысторией. Эффект последействия проявляется столь широко, что это даёт основание считать его универсальным свойствам округгзаз го мира. . ' - "-.

Следующее уравнение является основным предметом исследования теоретической части диссертации '.,'■./.,

<Uxt,-t(ta?)Шt,x£щt+Ъ(i.x£№t. : «О, Ш, . (1)

где ф^- заданный начальный процесс, х~*=х(з), л - зсз-

растащий.процесс,, мартингал, оператор

- пъЫ ■

обратим.,- • '

Глаза I частично носит вспомогательный характер, частично содержит новые результаты. В п.п.1.1-1.2 приводятся определения и факты из, теории функционально-да^фэретдаальшх, и стохастических' уравнений, исследуются свойства класса 2, образованного функция;.:«

вида . ■ ■ ■ . , ' ' "''.' "

Д, Щи+е^ьУ (е>0,. е^ехре^,, ес*0, , 1п9иШУ,':

употребляемого нкае для построения функционалов Ляпунова-Красове-кого, доказывается леммы об интегральных неравенствах, вычисляются различные ' вспомогательные интегралы, доказывается сгоистга-экспонзнты Додеан. В пЛ.'З приводятся условия обратимости оператора' - Р, задзшого (25, в различных' ^ккциональкнх пространствах, доказываются теэрекы существования и еджствзккости реиешт уравнения (1). . • . ' '. ; . : -

Классические твореш существования.и вданотвеююсти решений уравнений типа (1) получеки б предположен«, что коэффициент а и & имеют не более .чем линейный рост и удовлетворяют условию .'¿иг.^ш по второму аргументу (см. рабо*н' И.И.Гихгаиа, л.В.Схорохубя,'. . К. Но, N.N1310, Р.Н.-Лтцера, А. Н. Ширяева, В. Б. КолманоВскс^о,'; В.Р.Носова, К.Шёап-Ьаве, Р.йеуег-и др.).. • ' '}>■.

10 '

В п. 1.3 доказывается сходимость метода последовательных приближений в некотором банаховом пространстве для уравнения (1), в случае, когда оператор F, заданной (2), п.н. обрати:/., а для коэффициентов а и Ь выпол?~чо менее ограничительное, чем условие Липшица, предположение (типа условия Оогуда или Гбльдера). Точнее

|a(t,z~co)-a(t,y~t">) |, |Ъ( t,х;ю)-Ъ(t,y;°°J |t, [¡х-у!|л(, t)), (3)

P(t)<t, и если hfíj-í, то в качества функции L(t,v) можно взять, например, функцию, которая при малых v совпадает с cftjvlnv, а если, например, h(t)=t1/!>, ре(0,1), то L(t,v)=Hvp. Кроме этого приведены теоремы.существования и единственности решеш!я уравнения (1), когда двусторонее условие (3) заменяется односторонним - типа условия монотонлости (см. работы Н.В.Крылова, Б.Л.Розовского, I.Gyongy, И.В.ОеОоренко, J.Jacoci, J.tiemlv, K.Tudor, 2>.D.Ееретгзшш-; нова, Т.Л.Клепци>юй), теоремы существований, решения уравнения (1), которые получены с- помощью теоремы сравнения (см. работы А. В. Скорохода, J.Yamda, А. В. Мельникова, Л.И.Галъчука, И.В.йедо-ренко, М.М.К.1епциной), а также при использовании • теории мер . некомпактности и уплотняющих операторов, развитой Б.Н.Садовским. Каждая из приведенных теорем ослабляет -классические условия со езоэй стороны: это либо полное отсутствие ограничений на память системы, либо замена условия Липшица непрерывностью и монотонностью и др. Это позволяет использовать их''при моделировании различных процессов в технике, физике и т.д.

^лава II посвящена' двум методам исследования СОДУ? методу функций Ляпунова и функционалов Ляпудава-Красовского и принципу усреднения. В п.2.1 излагаются основные определения и факты второго метода Ляпунова и близких к нему методов..С его помощью доказп>ается асимптотическая устойчивость.решений дзух прикладных задач. Сдна. из них моделирует движение солебательной системы' со . случайным, коэффициентом вязкого трения, другая - процесс . спокойного резания при точении по следу, где запаздывание появляется благодаря зависимости процесса резания от состояния поверхности детали на предыдущем повороте шпинделя (см. работы Е.О.Царькова). Движение детали в плоскости, перпендикулярной резцу,. - ато результат вращения детали со скоростью и. Пусть с -жесткость крепления $езца, а - коэффициент вязкого трения, m -масса резца, й0 - желаемая глубина точения, x(t) - отклонение

резца от положения спокойного резания в момент времени г,- -с -время одного оборота шпинделя. Давление стружки на переднюю грань резца вызывает силу трения Р^. Коэффициент трения f зависит от линейной скорости движения стружки по передней грани резца; ета зависимость, вообще говоря, нелинейна и мокет определяться случайными факторами: . . _

7(у'0 + х) = /ГисУ + ¡¿г) + ?гКх)°1 .иг,

где ¿4 - белый шум, (х)°(э) = х(а), ае[0,£]; v0 - скорость стружки относительно резца. Будем считать, что ^СиДйпгп^к'и.К^}-. 1-1,2. , Тогда уравнение движения резца сводится к системе .

= и2> • ' \ - ., /Л■ и2 =-'а1иг "°1иг + сои1(*~х) - V- (4)

^г(и2)Ы0 +и, - .

где

°Г% + со' соЛ?("о\' <>г\> Я ~ коэйици-

ент, зависящий.от ширины срезаемого" слоя и геометрии резца, и(=г -

и2=х. Для доказательства асимптотической устойчивое-" ти решения системы (4) строится функционал Ляпунова-Красовского

' ' ■'■ V. ' 1

\1(и%,и2,г) = 2с+ и\ * (иг + а,и,;2 +-Я I и*(з)йа.

■ ' . * * .'. .'■• • У г' , Доказано, что если жёсткость крепления резца с достаточно , велика,. а коэффициенты Ку 1=1,2,4, ]=1,2, достаточно малы,' то; ' процесс спокойного резания при точении по следу в присутствии " случайных помех п.н. (почти, наверное) и в среднеквадратическом' устойчив. Эти результаты иллюстрируютя компьютерными моделями.- : V с Другое ослабление классических' условий существования решений уравнения типа (1) связано с заменой .двусторонних оценок роста _ коэффициентов правой части уравнения (1) односторонними к Ьамгна ' линейной оценочной функции другой, имеющей рост на бесконечности типа и1п1/ги. По-видимому, первый результат такого ' рода прина&лбхит И.И.Гихмону и Н.В.Скорохову. Р.ЗЛъсышчским о ■ Использованием функционалов типа Ляпунов предложены условия,., достаточные для т'ого, чтобы траектории решений., стохастических-

дифференциальных уравнений не уходили в бесконечность эа конечное время, т.е. решение было регулярным (см. также работы В.А.Лебедева, К.Marita).

Вп.2.2 методом функционалов Ляпунова-Красовского устанавливается регулярность решений уравнения (1) в случае, когда предположение линейного роста заменено следующим —

оо

«[JjTO xft-зЛ г№(з)+ f djM(\х(t-Ljttin 2)+f] и справедлива такая оценка дай оператора F~1, обратного к F:

г 00

■ I (r1y)t\2«Jl y(t-3)\2<ü>(s)+ | ej\ vCt-gj(t))1

о

гдь /еЭС. в п.2.3 выводятся различные оценки роста на бесконечности решений уравнения (1) по непрерывному мартингалу и при р-0. Устанавливаются условия, при которых решение уравнения (1) (f-0, At*t, Ht*Wt) стремится к бесконечности при t*-*», а;такте условия точного роста решений на бесконечности. В п. 2.4 обосновывается прилип усреднения для уравнения (1), а также для систем с быстрым и медленным временем в случае линейной ограниченности коэффициентов и выполнения предположения типа (3) (или монотонности). • . ■

Е Главе III изучаются обобщенные процедуры стохастической аппроксимации Роббинса-Монро и• Кифера-Вольфовица. -Процедуры Роббинса-Конрз и Кифера-Вольфоница были подробно изучены в работах М.Б.Небельсона и Р.З.Хасъшнского отдельно для дискретного и непрерывнрго случаев. АЛ.йвл.ыщавым предложен единый подход к этим процедурам, основанный на общей теории. мартингалов. В главе Iii * диссертации, продолжающей - совместные исследования А.В.иелъншюва и автора, этот подход развивается до рассмотрения более широкого класса процессов (многомерные процедуры, более сложные типы шумов и т.д.У, определяемых стохастическим уравнением ■ типа- ." ' ;

dxt=-xtR(xtJdAt-rto(t,xtJdkt. ' (5)

гдэ At~ возрастающий процесс, Ut~ мартингал. В п.3.1 доказывается л.и. сходимость к нуль обобщенной процедуры Роббинса-Монро (5).При

13 V

этом вместо линейной ограниченности предполагаются» типичные условия "отсутствие взрывов" (регулярности) типа и'1п1/,ри при больших . и; в 'Случае одномерной непрерывной медали вообще отсутствуют какие-либо ограничения рсста по и. Приводятся примори, показывающие, что полученные результаты, являются нетривиальными даже для классической диффузной модели. Для _ доказательства используется функции Ляпунова и лемма о сходимости неотрицательного' семимартингала. В п.3.2 аналогичные задачи решаются для-обобщенной.процедуры Кифера-Вольфовица.'

В п.3.3 исследуется п.н. сходимость с некоторой:скоростью и сходимость в ербднеквадратичвеком, а также асимптотическая нормальность алгоритма, задаваемого уравнением типа (5). Существенным здесь является использование аппарата экспоненты Долеан. ■ , В п.3.4 получены .условия асимптотической нормальности обобщенных процедур. Роббинса-Монро. 'Доказывается общая теорема , об асимптотической нормальности, а такта еб конкретизация, да различных видов процессов которые .включают "классический",

случай у>+= и его обобщения ——,.---—, и т.д. В

• * . и1 . - А^+1 (ие)Ыие)

частности, если гаУСС0В мартингал, <Иг>- его.

характеристика, " ; • •:; '

Н(х)=^и(х), пщ х^О, . (6)

оа,х)—00 П.Н. при со, Х~< 0; ' ;

а<Я>ь=«0(Нха))(1А^ ха), А^* П.И.-'•('.•)._

при ' ^

. '; ' 2а£>1, V. •■;*

то ' . .. V ч,' '

: • ' : У <8)

Если и.выполнено <6>-(7), ггричОм в (7)

= ¡МНхаМА.+еШ., то в '(8) вместо (А^У/гх стою

С* с ъ ., • .

1п иг(А1+е)х1.. "В негауссовом 'случае приводится аналогичной, результаты. В п.3.5 подобные зада»«.решаются для обобщённой процедуры Кифера-Зольфдвица. ' • ■

Глава IV. посвящена, исследованию систем управления цх'ютов-

манипуляторов.

При управлении роботами-манипуляторами объектом управления чаще всего является позиция его звеньев, точнее углы ср=бф,.... ,<рп) '

.мевду 'звеньями и некоторым! осями и их скорости ,... »Ф^З-

• Яростейше законы управления и=-Ьф, и=-Ьф-сф ,. реализуются с помощью пропорциональных и пропорционально-дифференциальных (П и ПД) регуляторов. Однако при их реализации возникают разл: шого рода нелинейности, связанные с нелинейностями исполнительных ' .механизмов.^ Кроме того, естественно возникновение. . эффекта . последействия, особенно, если принимать во внимание гестерезисные ; явления в электромоторах исполнительного механизма. Еще одно ■ уточнение законов управления связано с учетом случайного характера измерений, а также различных неопределенных факторов, действующих на систему, В силу сказанного, закон управления роботом, достаточно Слизкий к реальному, имеет вид .

где ¿4- белый шум, <р°ь(а)=*9(а), 8€Г0,«, Я, о - нелинейные функции.

Требуется подобрать параметры Ь и с и определить ограничения на функции N и о так, чтобы переход руки манипулятора из любого начального положения Ф0 в положение равновесия <р=0, <р=0 осуществлялся за конкретное конечное время. В данной работе1 эта задача переформулирована на языке стабилизации и требуется попадание схвате с грузом лишь в некоторую е-окрестность точки (О.Ь) щи достаточно малом е. за гарантированное время. С практической точки эриния эти два подхода можно считать , эквивалентными (например, если робот подносит деталь к прессу для штамповки, то это может делаться с небольшой погрешностью, так как высокая точность позиционирования обеспечивается самими элементами втампа». .. '

В п.4.2 рассматривается однозвенный манипулятор, состоящий из абсолютно твердого однородного прямолинейного стержня длиной Ь и массой и. Один конец стержня связан идеальным цилиндрическим . гарниром 0 с неподвижным основанием, а на другом конце жестко . закреплен перемещаемый груз массой ч. К оси шарнира 0 приложен управляющий'' момент V. Движение манипулятора происходит в верпшальной плоскости в поле рилы тяжести. Ось шарнира

перпендикулярна плоскости движения. Уравнения движения имеют .вид

(9)

' ' ' Ф(0)= <р0, <$(0)щ-0, я,=т ,

где <р - угол мевду осью стержня и вертикальной прямой, проходящей через точку 0, в - ускорение свободного падения," РРо>0 - коэффициент вязкого трения.

Будем считать, что управляющий момент имеет вид ... 00

• о

где ¿t-белый шум, ц/°(г)=у(з), 3t(0,t],

• . 'Ь,с>0, р0=!Шз)\Оэ, а0*1аг(з)<!з<«>.' .(12)

' о о

а.нелинейные функции Л и о удовлетворяют.соотношениям

\ли)\г < к lui2;, (12)

со .

\a(t,i»°t)\2 < KS\8(3)\L[wt-3)\3}<L2(t73)ds. (13)

■ ' ' u ■

В качестве функционала Ляпунова-Красовского рассматриваем следующее, выражение: ^рФ^.^ФМФ, ,Ф2,Ш, где

фГиЛ = jV'fvJdu, (14)

■ • '. о

■ со t

* . о t-e

- Я,- некоторая константа, да^ф , ф2-ф . '

В п.4.3 рассматривается двузвеннкй робот-манипулятор, урат-чв-ния движения которого в отсутствии вязкого трения ааписакдатс): в виде системы

16 . 1 ф, = т(л2'{|1 - п3<\>2с03(;],

<¡>2 = х (-^соаС^-ф,; + Я,Ф2],

ф2 = 2й3Ф,(р2з1ггГф2-ф,; +

Здесь. Д=Я;Я2-/фоз('Ф2-фг,), и^и, ,и2Х - управляющие моменты, ф = = Н(ф) <р - вектор обобщенного импульса, матрица инерции .

К, К3созСф2-<р,;

Л^созГФ^-Ф,; я2

Л,, Л2, й3 - массово-инерционные характеристики двухзвенника. Будем считать, что управляющий момент имеет вид

г" " ^ • :

и =-л1<р -Аг1р - в(з)и[фСиз),ф(г-зЯа(г-э)с1з + о(г,ч>°Л°)шг, (16)

где е и л заданы в (11); А1 и Аг - положительно определЗннне матрицы (для простоты Лг=сЕ, £ - единичная матрица) а для

нелинейной функции X: справедлива оценка. ' ;

V [т,о)\г < имгц»\2), •■'• (17)

где ШС, двумерный винеровский процесс, о=Со(

I,./ * причбм . •

о» '.

|оЛ,« К | Ша)\ ^(г-эХЬ. (18)

В качестве функционала Ляпунова-Красовского рассматриваем следушее Еырахение: )?(Ф.ф,*>^ФЕУ<"ф»Ф, * ■>], ф определено в (14),

У(у.ф^) = ГСф,ф; + - ф'Д.ф + еф'ф + 2 '

г*' * й

а2аЖ1чХЧ>12 + |фС*Дг;<К, (19)

Я =

I !

где е>0 достаточно мало, а К,>0 - велико.

В п.4.4 рассматривается''робот типа "Циклон", рука которого приводится в движение пневмоцилиндрами двойного действия. Пусть ф - угловое перемещение руки манипулятора, Р - текущее значение давления в пневмоцилиндрах. Полоним х=ф, хг=<р, х3-Р, тогда система уравнений плоского движения имеет вид • —

= а,хэ - ои:,. хг = х,, =-аэх, + и. ■ Будем считать, что управление имеет вид

со

и = -ъ1е(з)-и{.х1(г-з),х2(г-з),х3(г-з)1<х(г-з)аз +

• (20)

где g и ее заданы в (11), bf, Ь^О,. а нелинейные функции Una удовлетворяют соотношениям

\M(u,v,v>)\2 S Ы\и\г+мг+\и>\2), (21)

В качестве функционала Ляпунова-Красовского рассматриваем следующее выраяение

где ф определено в.(14), . ■

V(x.,x3,x3,t) = (х3 + Ъга~1х1)г_ + (х3 + b2a~'xf + o^J2 +. х§ + * 2а~1х^(а3 + лЬ^1) + Ь2а~1х^(гЬ1 + + '

со t

С помощью функционала Ляпунова-Красовского (15) (соответственно, (19) и (23)), доказано, что соотношения (12), (13) (соответствен-

но, (17), (18) ц (21), (22)) выделяют классы нелинейных помех, в присутствии которых управление (10) (соответственно, (16) и (20)), построенное с помощью П и ДЦ регуляторов, при достаточно больших значениях управляющих параметров ■ стабилизирует движение . однозвенного робота-манипулятора (соответственно, двузвенного и типа "Циклон"),' лричЭм для заданных надежности <3>0-и точности позиционирования е>0 найдётся такой неслучайний момент времени Т*Т(6,е)>0, начиная с которого рука робота находится в е-окрестности. положения равновесия с вероятностью б.

П. 4.5 посвящен, компьютерному моделированию движения рук роботов'типа КМ5Ц. 42.01, РПМ-25.01 и "Циклон-5.01". Построенные ■графики служат не только для подтвервдения результатов, полученных теоретически, но и сами по себе являются инструментом исследования. Сугубо теоретический подход зачастую приводит не только к неоправданно громоздким построениям, но и завышению значений управляющих параметров, а также уменьшению интенсивности . допускаемых помех и т.д.-

Например, в п. 4.2 рассмотрен робот типа модели КМ5Ц.42.01 (см. п.4.1), имеющий погрешность позиционирования ±0,1 мм. Аналитически найдены значения управляющих параметров Ь и с и ограничения на нелинейное' возмущение, при которых рука робота за 1 сек достигает (0,1: мм)-окрестности положения равновесия из начального положения ф(0)~х1(0)=1 (рад),, <р'(0)=хг(0)=0 (рад/сек). Однако, как' показывают результаты компьютерного моделирования, полученные таким образом значения управляющих параметров оказываются значительно больше тех, которые реально требуются для достижения указанной точности. Для робота типа "Циклон-5.01" вычисление управляющих : параметров в присутствии нелинейных " помех определенного вида хотя и возмотао, но по указанным выше причинам не имеет практического смысла. Поэтому в п.3.4 рассчитана модель без помех, (которая является, линейной), и ати результаты взяты в ' качестве основы для моделирования ниже. Для двузвенного робота типа РПМ-25.01 исходные значения параметров для моделирования найдены из некоторых косвенных соображений. Однако результаты ' моделирования в п.2-4 показывают большую практическую ценность последних двух подходов по сравнению со строгим расчётом в п. 2.5..

Разумеется, сказанное выше, не умаляет роль чисто теоретических соображений, благодаря которым, например, возмокно-оценить характер поведения' системы и найти область, в которой лекат

........... ' . .19. ; . ■

>■-.•■ ■ ■ " i ■ . .

управляющие параметру, доставляющие нужную точность.

Заметим далее, что при численном интегрировании систем дифференциальных уравнений, описывающих движение рук роботов типа КМ5Ц.42.01, PIM-25.01, Циклон-Б.0'1, удаВтся моделировать' ещЭ и типовые . нелинейности, которые * присущи элементам различных исполнительных механизмов (электролитическим ■ датяккам,. реле, магнитным усилителям • и т.д.). Строгое "математическое доказательство устойчивости соответствующее процессов в" присутствии подобных далинейностей ке ггрлш/зшюь. Кроме того, в тех помехах, которые допускалюь. при аналитическом исследовании, при компьютерном .моделировании допускается большая интенсивность.

' На ,рис.1 представлены результаты численного интегрирования' систеш дифферогадаальних уравнений, олисцвающих движение руки робота КМ5Ц.42.01. В верхней системе коордакат изображены графики угла наклона руки робота к горизонтали х1 (рад) и его скорости хг (рад-сек"'), в нижней -г управления О.СЛПГи (управляющего момента в Н- м) и ■ 'функции F-yf+w*, иллюстрирующей .стремление траектории движения к нулю. Управляющие параметры таковы: b*83t (Км), с-194 (Нмсек). Присутствуют три вида помех: . •

rt -V • ." ■'•■■■

T)/tJ=| е~м*-0*Г9+1 Г' pfi Ш

+ 1г( |(pi»i+1>- W \<j>(3)\+2)ld9; (24)

ri2(t)= ■

%(t) = l4<s>(S)vt, ' (26)

П»Шбм lf<50, 12<Î100, l <10, l4<40.

Как видно из графика, ,ука робота достигает 0,1 мм -окрестности -положения равновесия уже за ; 0,8. сек. Тэс^етичес- \ рассчитанные значения параметров Ъ=3 105 (Ни) и с=970 (Нмсек) в етом случае значительно больше. Кроме того в помехе r)f допускается значительно большая интенсивность, а помехи т)г к v3 вообще в

-I,

<P(tJ> фШ< l3

9(t)>- Ij

vxtx-i~

<p(t)>0;

(pCtXO;

(26)

2,0

0 -1 fi 1 *— ---'

. ...... ■ ;,

\ -

Л

40 . в.2 т : ел 9.6 01 1

Л

Рис. 1

расчетах не участвовали.

Глава V посвящена проблеме уравновешивания -быстроходных прессов-автоматов. В ней приводятся примеры существующих систем динамического уравновешивания бдстрохоДных прессов-автоматов, а также'обсуждаются недостатки, которыми обладают уравновешивающие механизмы. В п.5.2 предлагается сначала частично уравновесить вращающиеся массы кривоаипно-шатунного механизма,-придав кривошипу соответствующую форму так, чтобы центр масс .механизма двигался' вдоль оси направляющей ползуна., А затем ввести обратную связь, реализуемую электромагнитным устройством с помощью П ■ и. ЦД регуляторов, параметры которых можно будет менять в зависимости от частоты о вращения кривошипа и от -требуемого в сайдой конкретной ситуации уровня снижения уровня вибрации станины пресса.

Предполоаим, что быстроходный пресс-автомат жбстко' установлен на фундаментной плите А (см. .рис.2). Кривошипно-шатунный механизм^ представляющий исполнительный механизм пресса, статически уравновешен так, что на его станину.и фундаментную плиту, составляющие единый агрегат,, действует сила

Р(Б) = -1тР(со5ыН-А-СО!}2и)Ы-ААСоа4иг+...), (27)

2 А .

где г - радиус кривошипа, т - масса, привэдЗнная к ползуну, ш -частота' вращения' кривошипа, лгп - коэффициенты, зависящие от отношения радиуса кривошипа к длине шатуна. Эта сила вызывает 'вибрацию агрегата. Установим на плиту датчик вибрации С,•а внутрь фундаментной плиты в оставленную'для этой цели полость вмонтируем управляемый вибровозбудйтель В. Сигнал с датчика, усиленный по мощности, подавтся на формирующее электромагнитное устройство 5, которое совместно с силовым преобразователем 3 (т.е. преобразователем "напрякение-сила") реализует зависимость

и » -а,х - Ь,х, (28)

где х - отклонение центра тяжести шиты от положения равновесия, х - его скорость, и - сила, создающая противодействие с целью гашения колебания агрегата.

Преобразователь "напрякениё-сила" может быть выполняй в виде ■ любого известного вибровозбудителя колебаны, в" частности, в виде электромагнитного вибратора, отымающегося простотой и хорошей управляемостью (например, вибратора средних размеров марки С-920 или 0-921). ' 1

Рис. 2

Для. аналитического описания вибраций ггрэсса-автомата предлагается дза подхода. В первой его станина вместе с фундаментной плитой моделируется как упругое тело с жёсткостью к>0 и вязкость» соо. Обозначая массу всего агрегата через tí, получаем следующее уравнение движения его центра тяжести

• Н X + С* X + i X = Р + U. _ L ' (29)

где Р задано в (27), а управление и реализуется с помощью стан-" дартных регуляторов ь виде (28)

Другой подход'учитывает процессы релаксации и ползучести в материале станины пресса-автомата и фундаментной плиты. А именно, вместо (29) рассматриваем следующее уравнение движения центра тяжести S агрегата . .

_ " rt .(Jcill ,

К г + i^js - ■ е * x(t')dt'j = Р + и,

- Еп

Гд9 V = -- - дефект модуля: Е„ - мгновенный, Е, - длительный

2» ' °

модуль упругости; т - время релаксации. ■

Дет обеих моделей и произвольных е, TQ>0 найдены значения управляющих параметров а( и Ь, так, что t) |<е при t£T0 при

произвольных начальных значениях ,х(0) и хГО).

Сделаны теоретические расчёты управляющих параметров а( и Ь( для холсдновысадочного автомата типа АБ1218 .и быстроходного вырубного пресса-автомата типа АА6324, обеспечивающие величину вибрации всего агрегата s.^5-10'3 мм"' при разных и (и=бО, 80, ?<%>, 150, 200 рад/сек). Приведённые комльтернш модели позволяют значительно уменьшить теоретически найденные значения параметров, а такав учесть помехи трЭх видов при управлении. При больших ы мощность, потребляемая Еибровозбудателем, может оказаться тоже очень большой. В этом случае имеет смысл вводить в исполнительный механизм какое-либо дополнительное уравновешивающее устройство. На рис.3 представлены результаты численного интегрирования системы дифференциальных уравнений, описывающих колебание быстроходного , пре -са-автомата АА6324 при <¿>=150 (рад/сек). В верхней системе коррдинат изображен график колебания. х} (мм) центра тягости агрегата относительно положения равновесия, средний - колебание его скорости х„ (мм-сек"'), нижний - мощности (Вт), потребляемой

I . •

. . ,25.

на реализация соответствующего закона управления. Управляющие параметры' таковы: а=106 (Н- сек/т), Ъ=2- 709(ЧЛм). В управлении присутствуют три вида помех (24)-(26), причём г1Гг ,1^100, I $300. Из графиков видно, что . | ' <0,007 км, |Р \*2 кВт.

ч I тяод о р

Теоретически рассчитанные параметры для этого случая значительно больше: Ь=1,6 Юи (Н/км), а=4-107 (Нсек/км). , .

В Прилокениях пр;шодятся материалы внедреТия результатов диссертационной работы на предприятиях, доказательства некоторых" утверждений из теоретической части диссертации, а также часть результатов, не включённых, в неб.и лелащке в стороне от главной цели диссертации,(Приложение I),некоторые рзсчЗты и большая часть графиков ( Приложение XI).

Основнио результаты

1. Методом : последовательных приближений доказана теорема существования к единственности СФДУ нейтрального типа по общему семимартингалу, в которой условие Липшица заменяется менее ограничительным предположением - типа условия Осгуда;

2. Доказана теорема существования и единственности решения СФДУ нейтрального ,т:гпа по общему семимартингалу, в которой двусторонние ограничения на правую. часть уравнения < типа условия Липшица) заменяются односторонними - типа условия монотонности.

3. Доказана теорема существования, и•единственности решения стохастического уравнения Ито с запаздывающим аргументом с помощью теории мер некомпактности и уплотняющих операторов.

4. Доказана теорема сравнения для СФДУ по непрерывному семи-мартингалу; в котором коэффициент диффузии может содеркать отклонение аргумента.

5. С помощью теоремы сравнения доказана теорема существования решения СФДУ нейтрального типа по непрорывному семимартингалу с монотонным по пространственной переменной сда_игом. .

6. Доказан ряд теорем о регулярности решений СФДУ нейтрального типа по вйнеровскому процессу и по семимартингалу, в которых значительно ослабляется условие линейного-'1 роста правых частей уравнения по пространственной переманной.

7. Выведены различные оценки роста Но. бесконечности решений СФДУ по непрерывному семимартингалу.

8. Получены условия п.и. стремления решений СФДУ по винеровс-кому процессу-к бесконечности, а также точного рос-а решения на

бесконечности. . " . ;• г

9. Для СФ/1У нейтрального типа по. видаровскому процессу и семимсргингаду, а такке для систем СФДУ с быстрым к медленным временем, обоснован принцип. усреднения в случае, когда коэффициентам уравнения позволяется зависеть он всей предыстории решения и выполнено условие либо типа Осгуда— либо типа монотонности.

10. Получен ряд результатов об интегральных, неравенствах, в частности, несколько обобщений стохастической леммы Гронуолла;

11. Доказаны важные свойстез экспоненты Долзан; вычислен ряд стохастических интегралов, служащих, в частности, для доказательства явн^ формул экспонент Долеан' и сходимости некоторых видений. • . _

32. Получены условия обратимости некоторого запаздывающего оператора в различных функциональных пространствах.

13. Доказана асимптотическая устойчивость обобщенных процедур стохастической аппроксимации Роббинса-Мокро и Кифера-Вольфовица при достаточно общих предположениях на семимартингал и на функции, определяющие процедуры; в частности, всюду значительно ослаолено условие линейного роста этих- функций; в некоторых случаях какие-либо ограничения на .рост отсутствуют совсем.

14. Получены результата об асимптотической нормальности указанных процедур; приведена общие теоремы для гауссовых ■ и не1ауссовых мартингалов, а таккв их конкретизации для различных нормирующих функций.

15. . Исследованы га^темы управления' роботов-манипуляторов с однозвекной, двузвенной рукой, а также.типа "Циклон", построенные на осноБв И и ЦЦ регуляторов, установлены предела • допустимых случайных помех и нелинейдастей, при которых, система 'управления' асимптотически устойчива.

16. Получены условия экспоненциальной устойчивости ..систем . управления этими роботами в присутствии помех.

17. Найдены значения управляющих параметров, которые обеспе-г чивают попадание руки робота в заданную окрестность положения равновесия за заданное время с заданной надЭкносгЬй.

18. С целью уменьшения найде:шых "Теоретически значений параметров, а такке снижения огр^йчений на помехи при управлении, проведено компьютерное йоделирование. ■

19. С понс^ьв 'а/магнитного вибровозбудателя и П и ЦЦ регуля-

I ■ •

торов построена система управления колебаниями быстроходным прессом-автоматом с цель» снижения уровня вибрации. .

20. Проведен анализ этой системы управления и найдены значения управляющих параметров, снижающие вибрации до заданного уровня.

21. Проведено компьютерное моделирование колебания центра тяжести пресса-автомата и -мощности, потребляемой Еибровозбудителем, для реализации управления в присутствии различных помех; это да5т~ возможность значительно уменьшить теоретически найденные значения параметров, ослабить ограничения на помехи, выбрать то управление, которое потребляет разумную мощность.

22. Доказала устойчивость процесса спокойного резания при точении по следу в присутствии случайных помех.

Публикации по теие диссертации

1. Родкина A.B., Садовский Б.Н. К принципу связности Красно-сельского-Пзрова // Груда Катеы. Сак. вып 4. Воронез: из-во Воро-HszcKoro ун-та, 1971.-C.89-1D3.

2. Родкина А. Е.. О продолжимости, единственности и непрерывной зависимости от параметра решений уравнений нейтрального типа// Дифференциальные уравнения.-т.XI, J32. -1975.45.268-279.

3. Родкина A.B. К задаче Коси для уравнений нейтрального типа // IY Всесоюзная конф. по теории, и прялоз., диффервнц. уравнений с отклоняющимся аргументом. Тезисы докладов.- Киев:' Наукова думка,1975. - С.203.

4. Родкина A.B. К задаче Коси для уравнений нейтрального типа // Сборник, научных статей по прилов, функц. анализа. Воронеа: из-во Воронежского ун-та, 1975 - С. 155-160.

5. Родкина A.B. Об одной" замене переменных в обыкновенных дифференциальных уравнениях // Дифференциальные уравнения, т.XVI,

1920.- С.2281-2283.

6. Ахмеров P.P., Каменский И.И., Потапов A.C., Родкина A.B., Садивский Б.Н. Теория уравнений нейтрального типа // Итоги науки*и техники.Математический анализ.Т. 19.1982.-М. :ВИНИТИ.-^'С.55-110.

7. Родкина A.B. О разрешимости .уравнений нейтрального типа . в различных функциональных пространствах // Украинский катемати-

• чаский журнал. -1983.- Т.35, Л1 - С.64-69.

8. Родкина A.B. Теорема о неявной функции и разрешимость уравнений Нейтрального типа // Дифференциальные уравнения. -1983,-

Т. 14, J69.- С. 1632-1636. ' ■ '

9. Rodklna А.Е. On Exlstance and Uniqueness of Solution of Stochastic Differential Equation »Ith Hereditary// Stochastics. 1984. V.12, J63+4.- P.187-200. •

10. Родкина А.Е. О разрешимости стохастических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Украинский-математический, курнал. -1985.- Т.37. »1.- C.9S-103. .-■••■

11. Родкина А.Е. О регулярности решений стохастических дифференциальных уравнений для систем с последействием // Автоматика и телемеханика. -1985.^ №5.- С.87-96. ••

■ 12.' Родкина A.B. О стохастических дифференциальных уравнениях с отклоняющимся аргументом// IV Международная Вильнюсская конф. по теории вероятностей и матем. статистике. Тезисы докладов. Вильнюс. -1935.- С.71-73,

13. Родкина А.Е. Условия регулярности решений стохастических дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом// Прикладные методы функц. анализа. Вороне»: из-во Воронежского ун-та, 1985.-С.117-127.

. 14. Родкина A.B. Лемма Гронуолла и разрешимость стохастических фу1шционально-дифференциальных уравнений // I Всемирный конгресс общ. им. Бернулли. Тезисы докладов. Т.Н. Ташкент. -1986.-. 0.-736. :

15. Родкина A.B. О принципе усреднения для стохастических дифференциальных уравнений с отклоняющимся; аргументом// Тезисы докл. XXI шкблы-коллоквиуыа по теории вероятностей и. матем. стат. Бакуртани. Тбилиси: Мицниёреба. 198?.- С.40., 424 с.

16. Родкина A.B. 0 принципе усреднения для стохастических функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, -19В9.- XXIV, Ю., - 0.1643-1651.

17. Родкина А.Е. Об одном доказательстве . разрешимости нелинейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений //. Глобальный анализ.и нелинейн. урешнешя. Воррке»: из-во-ВГУ, 1988- • С. 127-133. •' / •

18. Родкина A.B. 0 стохастических функционально-дифференциальных уравнениях по семймартингалу// Дифференциальные уравнения. 1ЭВЭ. т.XXV, МО.- 0.1746-172*4.

19. Родкина A.B. О росте решений стохастических дафференци-. алькых уравнений с отклоняющимся аргументом// V Мевдунар. Вкльнюс-

кая конф. по теории вероятн. и мат стат: Тезисы докладов. Т. IV. Вильнюс. -198Э.- С.177-178. -

i • ■ .... 29.

20.: Родкина A.E. О принципе усреднения для систем стохастических уравнений с быстрым и медленным временем// Функционально-дифференциальные уравнения. Сб. научных трудов. Пермь: Из-во Пермского политехи, ин-та, -1989.- С.84т91.

21. Родкина А.Е. О поведет® на бесконечности решений стохастических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.-// • XIV школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. т.З. Новгород.-1989.- С.23.

•22. Родкина А.Е. О стохастически . интегральных уравнениях Вольтерра// Функционально-дифференциальные уравнения и их •приложения. Сев.-Кавк. региональная копф. по ФДУ и их приложениям. Тезисы докладов;- Махачкала.- 1989. 0.181.

23. Родкина А.Е. .0 периодических решениях стохастических • дифференциальных уравнений//. -.XV Всесоюзная школа по теории операторов_ в функциональных пространствах. Тезисы .-докладов.-Ульяновск.- 1990.- С.97. у .

24.- 'Родкина А.Е. О решениях стохастических уравнений с п.н. периодическими траекториями// Дифференциальные уравнения,- 1992.-Т.28, №3.- С. .

25. Мельников А;В., Родкина А.Е. Стабильность обобщенных стохастических процедур.// VI Советско-японский симпозиум по теории вероятности и мат. стат. Тезисы докладов. Киев. -1991.-С.102.

26. Augustynowlcz A., Rodklna А.Е. . On some Stochastic Functional-Integral equation // Annals Soc. liath. Polonae; Ser. 1: Comment. Math. XXX. 1991.- p. 23S-251.

27. Родкина А.Е. О стохастических интегральных уравнениях Вольтерра // Известия АН РМ. Математика. -1992.- №3(9). -С.9-15.

28. Melnikov А.В., Rodklna А.Е. Consistent Statistical ' Estimation in Semlmartingale Models of Stochastic Approximation// Annales Acad. Sci. Pin. Ser.A. I. Math. V.17. 1992. - P. 85-91.

29. Ahmerov R.R., Kamenskil M.I., Potapov A.S., Rodklna A.E.,

! Sadovskii B.H. Measures of noncompactness and condensing operators. Operator Theory: Advance and Appl. V.55, Birkhauser, 1992.-551 pi.

30. Родкина A.E. О разрешимости и усреднегом для стохастических функционально-дифференциальных уравнений по семимартинга^у'// . Статистика и управление случайными процессами.- м.: ТШ, 199о-3Q4C.-<TP. НИР АН, ISSN 0371-9685, т.202) С.246-257.

31. Rodklna А.Е. On.Asymptotic Normality of Stochastic Approximation Procedures. // VI international Vilnius conference on

Probability theory and" Mathematical Statistics. Abstracts of Communications. V.11.-1993. -P.109.

32. MelniKov A. V., Rodklna A.E. Martingale approach to the procedures of stochastic approximation// Frontiers in Pure and Applied Probab. v.1. TVP/VSP. -1993.- P. 183-196.

33. Melnlkov A. V., Rodkina A.E., Volkeila E.._ On a General Class oi'Stochastic Approximation Algorithms// Frontiers in Pure and Applied Probab., V.1, TVP/VSP, 1993.- P. 183-196. .

34. Родкина A.E. Экспонента Долеан и экспоненциальная устойчивость решений стохастических дифференциальных уравнений// Все-, российская школа-коллоквиум по стохастическим методам геометрии и анализа. (Абрау-Дюрсо. 25 сентября - 2 октября 1994 г.)

Тезисы докладов.- М:"ТВГГ, 1Э94-С.96-97.

-35. Родкина А.Е. О построении систем управления однозвенного робота-Цанилуляторэ// Современные методы нелинейного анализа. Тезисы докладов.- Воронеж:Изд-во ВГУ.- 1995.- С.77-78.

36. Родкина А.Е. О стабилизации движения однозвенного робота-манипулятора. Вор. гос. арх.-строит, акад. Воронеж.- 1995.- 11с. Рук. деп. в ВШИЛ. Ш86-В95 от 19.04.95.

37. Родкина А.Е. О задачах стабилизации стохастических систем

с последействием с помощью нелинейных регуляторов. Вор.гос. : арх.-строит.акад.- Воронеж.- 1995.- 10 с. Рук.деп. з ВИНИТИ Й1085-В95 ОТ 19.04.95.

38. Rodkina А.Е. On stabilization of motion of robotmanipulators.- In III International Conference of Woman-Mathematicians.' Abstracts Voronezh. 1995.'- P.3S.

39. Rodkina A.E. On the stabilization of the stochastic functional-differential equation with respect to the semlraartin-gales.' Abstracts of the II international Conference on 'Difference Equations and Applications. Veszprem. Hungery. August. 7-11. 1957-. P. 95. ' ■ . . ' t

40. Мао X., Rodkina A. Exponential stability of stochastic differential equations driven by'discontinuous semlmartlngales, Submited to stochastlcs. and Stochastlcs Reports.- 1995.- in appear. '