автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.18, диссертация на тему:Анализ положений пространственных механизмов с низшими на основе спинорного преобразования трехмерного пространства

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ - АКАДЕМИЯ НАУК

РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ И МАШИНОВЕДЕНИЯ

() Д На правах, рукописи

МУРУШКИН СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

АНАЛИЗ ПОЛОЖЕНИЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ С НИЗШИМИ ПАРАМИ НА ОСНОВЕ СПИНОРНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

05.02.18. - Теория механизмов и машин

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Алматы, 1996

Работа выполнена в Институте механики и машиноведешь Министерства науки- Академии наук Республики Казахстан.

Научные руководители - академик Академии наук Республики Казахстан

доктор технических наук, профессор Джолдасбеков У. А.

член-корреспондент Академии наук Республша Казахстан, доктор технических наук, профессор Молдабеков М. М.

Ведущее предприятие - Кафедра робототехнические системы и комплексь

КазНТУ

• •

Официальные оппоненты-доктор технических наук, профессор Бияров Т.

кандидат технических наук, Утенов М.У.

Защита состоится " "^Ч 1996г. в /& часов нг

заседании специализированного Совета Д 53.02.01 при Институте механша и машиноведения МН-АН РК.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МН-АН РК. . Отзывы на автореферат просим присылать на имя ученого секретар: по адресу: 480091 , г. Алматы, пр. Абая ,31.

Автореферат разослан ^¿^ 1996г.

Ученый секретарь специализированного Совета к.т.н., С.Н.С.

К.Е.Акимкулова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Среди применяемых в практике рычажных механизмов пространственные занимают особое место. Основным преимуществом этих механизмов перед плоскими является более естественное зоспроизведение требуемых пространственных траекторий рабочего зргана, выполняемое при меньших габаритных и весовых характеристиках механизма. Однако сложность расчета пространственных механизмов по равнению с плоскими существенно сдерживала широкое их применение.

Перспективы применения на практике пространственных рычяж-1ых механизмов, в особенности пространственных механизмов высоких слассов (ПМВК), содержащих кинематические цепи с несколькими кон-сурами, связаны с разработкой автоматизированных систем анализа и :интеза, эффективность которых зависит от эффективности методов 1нализа положений одноконтурных кинематических цепей. Существующие гетоды в основном ориентированы на анализ определенного вида фостранственных механизмов. Поэтому задача разработки единообраз-юго и эффективного с точки зрения объема вычислений метода анализа юложений пространственных механизмов остается актуальной.

Целью работы является разработка метода анализа положений гространственных рычажных механизмов с низшими парами, позволяющего более полно автоматизировать процесс анализа положений механиз-юв с одновременным уменьшением числа вычислений. В соответствии с (елью работы поставлены следующие задачи:

1.Составление уравнения замкнутости л-звенного контура фостранственного рычажного механизма на основе спинорного пре->бразования трехмерного пространства.

2.Решение задач анализа положений четырех-, пяти-, шестизвен-гых одноконтурных кинематических цепей с низшими парами.

3.Анализ условий существования (собираемости) пространствен-шх механизмов с низшими кинематическими парами и их кривошипов.

4.Решение задачи анализа положений сферических рычажных механизмов высоких классов.

б.Разработка программного обеспечения дм решения задач анализа положений пространственных рычажных механизмов.

Научная новизна.

На основе спинорного преобразования трехмерного пространства и нетрадиционного выбора систем координат получено комплексное матричное уравнение замкнутого л-звенного контура механизма, отличающееся тем, что после разложения на действительную и мнимые части данное уравнение решается в матричном виде без разложения на скалярные уравнения.

Сформулированы условия существования (собираемости) четырех-звенного пространственного механизма с низшими парами и его кривошипа.

Разработана методика анализа положений сферических механизмов третьего класса, которая для механизмов общего вида задачу анализа положений сводит к решению одного алгебраического уравнения вось-. мого порядка. Решена аналитически задача анализа положений трех-подвижного манипулятора на базе сферического механизма третьего класса.

Методика анализа положений пространственных четырехзвенни-ков распространена для случаев пяти- и шестизвенных пространственных механизмов с низшими парами. Для пятизвенных механизмов в общем случае получено алгебраическое уравнение восьмого порядка относительно одной из неизвестных, а для шестизвенных - алгебраическое уравнение тридцать второго порядка. Решена аналитически задача анализа положения пространственного шестизвенного механизма Шатца.

Практическая ценность и реализация результатов работы.

Предложенный автором выбор систем координат для каждого звена механизма позволяет разложить исходное матричное уравнение

¡амкнутости контура с комплексными унитарными матрицами второго юрядка на четыре матричных уравнения с действительными ортогональ-{ыми матрицами второго порядка. Совпадение свойств поля ортогональ-ш матриц второго порядка со свойствами числового поля позволяет голучить конечные формулы, решая полученные уравнения в матричной {юрме.

Предложенный автором метод анализа положений позволяет уменьшить объем вычислений и на ранних стадиях определить наличие синематических степеней подвижности механизмов.

На основе разработанного метода создан комплекс программ (нализа пространственных механизмов. Комплекс программ передан в 'еспубликанский научно-производственный инженерный центр 'Машиностроение", где используется для исследования и проектирования гространственных механизмов.

Связь темы диссертации с планами отраслей науки и производства. Диссертационная работа выполнена в рамках темы "Разработка еории плоских и пространственных механизмов высоких классов со мно-ими .степенями свободы и создание на их основе прогрессивных манипу-шционных устройств" в соответствии с Программой фундаментальных ^следований МН-АН РК "Механика Земли и подземных сооружений, •еория плоских и пространственных механизмов и манипуляционных 'стройств высоких классов".

Апробация работы. Основные положения диссертационной работа докладовались и обсуждались на научных семинарах отдела машино-(едения ИММаш НАН РК, Международной конференции "" (Алматы, 994 г.), Международной конференции "Механизмы переменной струк-уры и импульсные машины" (Бишкек, 1995г.), школе-семинаре по 1атематике и механике, посвященной 60-летию член-корр. НАН РК Касы-юва К.А. (Алматы, 1995 г.).

Публикации. По результатам проведенных исследований опубли-кованно 5 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка, включающего 75 наименований, и приложения. Основной текст изложен на 142 страницах машинописного текста, поясняется 15 рисунками. Общий объем диссертации составляет 173 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность проблемы и дается общая характеристика работы.

В первой главе дается обзор работ в области анализа положений пространственных рычажных механизмов со структурной и кинематической степенями подвижности.

Из обзора современного состояния анализа положений пространственных механизмов сделаны следующие выводы:

- большинство существующих методов анализа положений пространственных рычажных механизмов требуют для каждого исследуемого механизма разработки- специальной математической модели, что затрудняет автоматизацию получения исходных уравнений;

- в геометрических методах анализа положений пространственных механизмов использование раздельного составления уравнений замкнутого контура и уравнений, описывающих конфигурацию звеньев, прн-

к ^ ^ ^ ;;; ^^^¡¡^шл, что затрудняет

их использование в дальнейшем исследовании механизмов, а также при V .\!!!'М\->!:."•}! к.-рн: к: кинематических цепей;

~ ■ " - :; ■■ ■ - - - •/:":;! л а:;::: ;а

оеноиашого на применении матриц размерностью 4x4 или дуальных матриц размерностью 3x3, приводит к необходимости выбора из 16 или 18 уравнений соответственно шести наиболее простых уравнений. Данная операция выбора не поддается автоматизации.

В связи с вышеизложенным является актуальной разработка метода анализа положений пространственных рычажных механизмов с низ-шши парами на основе спинорного преобразования трехмерного тространства, позволяющего более полно автоматизировать процесс шализа положений механизмов с одновременным уменьшением числа зычислений в процессе анализа.

В конце главы формируется цель и задачи исследования.

Во второй главе описывается математический аппарат спи-горного преобразования, предлагаются методика выбора- систем ко-зрдннат и метод составления уравнения замкнутого контура механизмов.

Если задан ортонормированный базис 111,112,113, то любому действительному вектору х = £1111+£2112+£зш можно поставить в соответствие

унитарную матрицу второго порядка:

\

Н=| *

где векторам и1,и2,изсоотвествуют эрмитовы спин-матрицы Паули:

Ж

Для каждого вращения х' = Ах = £'1111 + ¿¡'мг+^'гИг вектор вращения гредставляется матрицей:

*

Н'=а+^+^=ини .

Ч;: >'{:- %

шя.

где а = р+1У,Ь~ /л-(Я - параметры Кэли-Клейна данного враще-

Х,ц,у,р - симметричные дуальные параметры Эйлера

. S .5 . д 5

Я = с,sin —и — c,sin —; v = c.sin —; p = eos —; 1 2 2 2 2

где 8 - угол поворота вектора х вокруг оси с направляющим вектором С={С1,С2,Сз}.

Под значением углов понимаются не действительные, а дуальные значения по теории винтов А.П.Котельникова. Если угол скрещивания двух прямых равен <ро, а наикратчайшее растояние между ними равно (¡л, то дуальный угол между этими осями равен: ф = ф0 + софь где со - символ Клиффорда ( оР- = 0 ) . Для тригонометрических функций относительно дуальных углов справедливы следующие выражения: со$ф^со$ф0-аятф1, ътф^ьтфо+акоъф^

Предлагается методика выбора системы координат, жестко связаной с каждым звеном (Рис.1.):

ось ОУ/направлена вдоль оси шарнира, соединяющего /-ое и /+1-ое

звенья;

ось ОЪ, направлена вдоль линии общего перпендикуляра к осям

Для перехода из (¡) в (1-1)-ю систему координат необходимо выполнить следующие преобразования:

1) параллельный перенос вдоль оси ъ. на расстояние -а; и поворот относительно оси на угол с^. Если дуальный угол между осями и и гм

Рис. 1.

ОУ,иОУм.

обозначить: ф1=а1-а>аь, тогда веризор, соответствующий данному преобразованию имеет вид:

и. =

<Р, ■ ■ V, сое —— I • вш —

2 2

О

. сов -Н -БШ —

2 и

2) параллельный перенос вдоль оси у^ на расстояние и поворот относительно оси уи на угол ви Если дуальный угол между осями ^ и уи обозначить: 3=6,-0) <1Ь, тогда веризор, соответствующий данному пре-эбразованию имеет вид:

и,.

8, . 8,

СОБ — -ЭШ —

2 2

• 5, 8,

эш — соэ —

2 11

Комплексный веризор для перехода из (¡) в (М)-ю систему ко-эрдинат имеет вид:

(О

где

К

£1 =

СОЭ — —Б1П —

2 2

БШ — СОЭ —

2 2 )

1 =

-1 О .0 1

После подстановки вместо дуальных углов их значений уравнение ' 1) имеет вид:

и,=

сов^-И-вт — 1+со -а, — | +

2 2 I 2 ' 2 \2;

+Щ

0

:—| _

u г ; ' a r> " 1 1 r> " '

-tej\ a, cos —t + J, sm -—11, —| | |Rj ^-j.

Переход пз n-ой системы координат в n-m-ю характеризуется следующим выражением:

н„„,= f\vji„ Пи.|

При ш=п вектор х переходит сам в себя:

H,, = nutHninukj.

t=l ^ (=1 '

(3)

Равенство ( 3) соблюдается при условии:

Пи^±Е

(4)

Комплексное матричное уравнение ( 4) является уравнением замкнутого контура механизма, которое содержит одну действительную и три мнимые части. После разложения на действительную и мнимые части уравнение ( 4) преобразуется в систему четырех матричных уравнении, коэффициенты которых представляют собой ортогональные матрицы второго порядка, а неизвестные величины - ортонормированные матрицы второго порядка. 3 зависимости от числа звеньев в контуре решение этой системы имеет специфические особенности, которые рассмотрены в последующих главах.

В третьей главе описывается решение задачи анализа положений пространственных четырехзвенных механизмов с низшими парами.

Рассматривается анализ положений пространственных рычажных четырехзвенных механизмов с вращательными парами пятого класса.

Степень свободы таких механизмов по структурной формуле рав-яа: д=3-6-4-5=-2. Однако в зависимости от параметров механизм может дметь сборку без деформации звеньев и обладать кинематической степенью подвижности.

Уравнение замкнутого контура ( 4) в данном случае приводится к :ледующему виду:

и1и2 = ±(и3и4)*.

(5)

Уравнение ( 5) при разложении его на действительные и мнимые части с учетом выражения ( 2) преобразуется в систему четырех уравнени-ш с четыремя незвестными:

'с, Е Г,3Е & 0 0 ^

N, N2 f*(A)l N, N„ 0 0 R(-A)

5,Е s2E 0 0 -s3E -s4E »(ft)

чМ, М,, v 0 0 -M3 -m4,

(6)

где сь St • const, Nb М, - ортогональные матрицы второго порядка,

элементы которых зависят от параметров механизма;

РНв&взУ2; р2={вх-в2уг-, А=(&-0,)/2.

При условии существования обратной матрицы

'с3Е с4Е О О V1 N3 N4 О О О О -?3Е -i4E

k О о -м, -м4>

уравнение ( 6) сводится к четырем уравнениям второго порядка. АпА[гК(0г) + АаАц +ArAf2 - Е + А^М = 0; i = VA.

(7)

Коэффициент™ и искомые величины уравнениий ( 7) являются ортогонольными матрицами второго порядка, и их произведение ком-

мутативно. Поэтому, решение этих матричных квадратных уравнений аналогично решению алгебраических уравнений второго порядка. Решение первого уравнения имеет вид:

Если полученные матрицы имеют определитель, равный единице, то подставим их в оставшиеся три уравнения. Если какая-нибудь матрица удовлетворяет всем уравнениям ( 7), то она является решением системы ( 6). Получены необходимые условия собираемости четырехзвенных пространственных механизмов с вращательными парами.

Скалярная величина угла поворота второго звена 02 определяется из следующих выражений:

Остальные неизвестные определяются из системы ( 6) путем подстановки полученных результатов.

Проведен анализ положений пространственного четырехзвеника с одной вращательной и тремя цилиндрическими парами. Решение данной задачи сводится к решению квадратного матричного уравнения. Полученные результаты обобщены на случай семизвенных механизмов с четыремя вращательными и тремя поступательными парами.

Получены условия существования кривошипа четырехзвенных пространственных механизмов с вращательными парами.

Решена задача анализа положений сферических четырехзвеников. Так как все звенные и межзвенные расстояния а, и с11 равны нулю, то система ( 6) в этом случае состоит из двух зависимых уравнений, решение

К(^) = ^(-(АЖ, +а„а[2 -Е)± ^а.Х.+А.Х -Е)3 -4АпА^А11А^(А11АГ1Г-

(8)

(9)

которой сводится к решению квадратного уравнения.

Решена задача анализа положений механизма ключа Гука, используемого в приводе гибких рапир рапирного ткацкого станка.

В четвертой главе рассмотрен анализ положений пространствен-яых рычажных механизмов высоких классов на примере сферического механизма третьего класса с тремя степенями подвижности.

Для сферических механизмов третьего класса предложен способ зыбора систем координат, жестко связанных с базисными звеньями. Каждому базисному звену соответствует три системы, координат, а с поводами ни одна система координат не связывается. Данный способ позволяет гатоматизироватъ процесс выбора систем координат и составления урав-зений замкнутого контура для каждого независимого контура.

а

Рис. 2.

Разработана методика анализа положений сферических механизмов третьего класса, который для механизмов общего вида задачу анализа положений сводит к решению одного алгебраического уравнения восьмого порядка. Отличие разработанного метода от существующих состоит в том, при анализе положений сферических механизмов третьего класса в частных случаях происходит автоматическое упрощение задачи без введения специфических математических моделей.

Решена аналитически задача анализа положений трехподвижного манипулятора на базе сферического механизма третьего класса (рис. 2). Оси шарниров каждого звена данного манипулятора пересекаются под углом 90°. Для начального положения, когда оси шарниров Ъх, совпадают с осями Ът, Zl" соответственно, определено, что манипулятор имеет восемь сборок.

Разработана кинематическая схема манипулятора очистки рафинировочных котлов на базе сферического механизма третьего класса. Решена аналитически задача анализа положений данного манипулятора.

В пятой главе предлагается решение задач анализа положений пространственных пяти- и шестизвенных механизмов с вращательными парами.

Разработаная методика анализа положений пятизвенных пространственных механизмов основана на приведении исходного механизма к четырехзвенному путем условной замены двух смежных звеньев одним с последующей проверкой выполнения необходимого условия существования четырехзвенных пространственных механизмов с низшими парами.

Исследован частный случай, при котором матрица, находящаяся в левой части уравнения замкнутого контура, является вырожденной. Установлено, что в данном случае пятизвенные пространственные механизмы обладают кинематической степенью подвижности равной от 0 до 2 в зависимости от параметров механизмов.

с ол];:".! ^л\чае решение задачи анализа положении .водится к ал-~ебраическом\ \равнению восьмого порятка.

Разработана методика анализа положений шестизвенных тространственных механизмов, основанная на приведении исходного механизма к четырехзвенном\ путем условной замены двух пар смежных ¡веньев одним звеном каждая с последующей проверкой выполнения необходимого условия существования четырехзвенных пространственных леханизмов с низшими парами. В результате получено алгебраическое -равнение тридцать второго порядка относительно одной из неизвестных.

Исследован частный случай, при котором матрица, находящаяся в гевой части уравнения замкнутого контура, является вырожденной. Остановлено, что в данном случае шестизвенные пространственные механизмы обладают кинематической степенью подвижности равной от О ю 5 в зависимости от параметров механизмов. В результате для механизмов "с кинематической степенью подвижности равной 0 получено ал-еораическое уравнение восьмого порядка относительно одной из непз-¡естных. Для механизмов с кинематической степенью подвижности больней нуля задача анализа положения решается аналитически. . .

Решена аналитически задача анализа положения пространствен-юго шестизвенного механизма Шатца. Полученные численные результаты совпали с экспериментальными. Определено, что механизм имеет :тепень кинематической подвижности равную I и две сборки.

В заключении приведены основные результаты работы. Работа посвящена решению задач анализа положений простран-гтвенных рычажных механизмов с низшими парами на основе стшорного феобразования трехмерного пространства. В результате ее выполнения юлучены следующие основные результаты:

1. Предложен нетрадиционный способ выбора систем координат, кестко связанных со звеньями, при использовании которого комплексные ¡еризоры, характеризующие поворот относительно осей шарниров, не

содержат мнимые единицы.

2.Получено комплексное уравнение замкнутости п-звенного контура механизма, которое раскладывается на одну действительную и три мнимые части, коэффициенты и неизвестные величины которых представляют собой ортогональные матрицы размерностью 2x2, коммутативность при умножении которых позволяет решать полученные уравнения в матричной форме.

3.Разработана методика анализа положений четырехзвенных пространственных механизмов с низшими парами и получены конечные формулы для положений звеньев. Сформулированы необходимое условие существования (собираемости) четырехзвенных пространственных механизмов с низшими парами и достаточные условия существования их кривошипа.

4.Решена задача анализа положений четырехзвенных сферических механизмов. Сформулировано необходимое и достаточное условие существования кривошипа четырехзвенных сферических механизмов.

5.Для сферических механизмов третьего класса предложен способ выбора систем координат, жестко связанных с базисными звеньями и на его основе разработана методика анализа положений сферические механизмов третьего класса, который для механизмов общего вида задач} анализа положений сводит к решению одного алгебраического уравнения восьмого порядка,

6.Решена аналитически задача анализа положений трехподвижно го манипулятора на базе сферического механизма третьего класса. Опре делено, что данный механизм имеет восемь сборок.

7. Решена задача анализа положений пяти- и шестизвенныз пространственных механизмов, основанный на приведении исходногс механизма к четырехзвенному с последующей проверкой выполнения не обходимого условия существования четырехзвенных пространственны: механизмов с низшими парами. Исследованы частные случаи, при которои

ттрица, находящаяся в левой части уравнения замкнутого контура, яв-мется вырожденной и механизм имеет кинематические степени подвиж-юст.

8.Решена аналитически задача анализа положения пространствен-гого шестизвенного механизма Шатца. Полученные численные результаты совпали с экспериментальными. Определено, что механизм имеет ггепень кинематической подвижности равную 1 и две сборки.

9.На основе конечных формул разработан комплекс программ чис-генного адализа положений пространственных одноконтурных механиз-юв. Эффективность программы проверена при решении задач анализа изложений сферического механизма ключа Гука и механизма Шатца.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

]. Джолдасбеков У.А., Молдабеков М.М., Мурушкин С.А. При-генение описания вращения параметрами Кэли-Клейна в кинематическом шализе пространственных механизмов.- Труды межд. конф. 'Пространственные механизмы и механизмы высоких классов. Теория и грактика",. Алматы, 1994г.

2. Джомартов А.Ч., Ералиев А.К., Мурушкин С.А., Савельев E.H., Госнин В.А., Косых Ю.Д. Механика и конструктивные расчеты механиз-юв рапирного ткацкого станка СТР1-190.- Алматы, "Легпром", 1993, 158 с.

3. Молдабеков М.М., Мурушкин С.А. Анализ положений тространственных механизмов с применением комплексных матриц размерностью 2x2. // Труды межд. конф. "Механизмы переменной структуры I импульсные машины". Бишкек, 1995 г.

4. Молдабеков М.М., Мурушкин С.А. Анализ положений сфери-|еских механизмов с применением комплексных матриц размерностью 2x2. '/ Материалы школы - семинара по математике и механике, посвященной 30-летию чл.-корр. HAH PK Касымова К.А., Талым", Алматы, 1995,

с.100.

5. Мурушкин С.А. Анализ положений пространственных механизмов с применением спинорного преобразования. // Материалы школы - семинара по математике и механике, посвященной 60-летию чл.-корр. НАН РК Касымова К.А., "Галым", Алматы, 1995, с.96

Личный вклад диссертанта. Все научные результаты, составляющие основное содержание диссертационной работы, получены диссертантом самостоятельно. В работах, выполненых з соавторстве, С.А.Мурушкин внес следующий вклад:

- предложен способ выбора систем координат;

- разработан метод составления уравнения замкнутого контура на основе спинорного преобразования трехмерного пространства;

- разработана методика анализа сферических механизмов.

Yin ©milEMJil KEHJCnKTTii CITHHOPJIbEK TYPJIEHJUPyi HEn3fflJ(En T9MEHTI >K¥nTAPMH K,¥PAJIFAH KEHJCTIKTTK MEXAHH3MJIEPJUH

OPHAJIACy AHAJIH3I.

Yin enmeMHi KenicriKxin cnraiop^THK, Typjieicripyi neri3iims TeMeini yrnap^aH K,YpajiraH KenicTucriK MexamcMznepwii opuanacy aiiamniirin aiiarnrni-unJK oirici xacanHM. KoopflHHaTanwK; cucTeManapaw Tanztay Tacini YCMHMriwn» >Hi>m iien3ina;e MexaHH3MHin n-6ywHaM Koinyptnitni; TYin>iK,Ta.Tiy KOMroieKcriK ¡HHeyi anwHow. 4-, 5- xane 6-6ywnjD>[ KHiieManacariMK Th6eKTep,aju opHanacy tamci eceirrepi memiuai. KoMrtbioTepjiiic rrporpaMManap" KOMnneKci xacanwn, tap№H TiriMjiirari FyK Kim xane IDam MexainnMHepiirin aixamci eceirrepiH emyMeH aiffanTaJiHW.

'OSITION ANALYSIS OF SPATIAL MECHANISMS WITH LOWER PAIRS JSING THE SPINOR TRANSFORMATION OF 3-DIMENTIONAL SPACE.

lie analytical method for position analysis of spatial mechanisms with lower pairs ive been worked out using the spinor transformation of 3-dimensional space. The >mplex equation of n-bar closed-loop contour of mechanisms is derived based on e proposed selection of coordinate systems. The position analysis problem are Ived for 4-, 5- and 6-bar kinematic chains. On the base of the obtained finit rmulaes the complex of programs for PC are developed. The efficiency and liability of the algorithms are verified by solving the position analysis problems r the mechanisms of Gook's key and Shatz.