автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Анализ математической модели теплообменных систем с учетом поперечной и продольной теплопроводности

На правах рукописи ГОРЯИНОВ ВИТАЛИИ ВАЛЕРЬЕВИЧ

АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТЕПЛООБМЕННЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ПОПЕРЕЧНОЙ И ПРОДОЛЬНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Специальность 05.13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2004

Работа выполнена на кафедре высшей математики Государственного образовательного учреждения Воронежской государственной технологической академии

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Чернышев Александр Данилович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Шашкин Александр Иванович

Ведущая организация: Липецкий государственный технический

Защита состоится «16» декабря 2004 г.в13 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в Государственном образовательном учреждении Воронежской государственной технологической академии по адресу: 394000, г. Воронеж, проспект Революции, 19, в конференц-зале (а. 3).

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять в адрес совета академии.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке акаде-

доктор физико-математических наук, профессор

Баскаков Владимир Александрович

университет

мии.

Автореферат разослан «16» ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Самойлов В.М.

200Г-4

гш

зшм

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Моделирование теплообменных систем необходимо для более глубокого понимания тех процессов, которые происходят внутри системы и формируют выходные параметры. Эти знания можно получить путем теоретического анализа предлагаемых математических моделей. Теплообменные системы, такие как рекуперативные аппараты, широко используются в различных отраслях промышленности (пищевой, химической, криогенной). Это приводит к необходимости применения методов математического моделирования, описывающих процесс теплообмена между тепло- и хладоносителями, движущимися в каналах этих аппаратов.

Во многих исследованиях свойств передачи тепла в тепло-обменных системах учитывается только продольная теплопроводность (В.М. Харин, О. Уепка1агаШпат, 8. Ргаёеер №гауапат и др.). При этом передача тепла в поперечном направлении предполагается формально конвективной без учета толщины каналов и стенок. В других работах теплопроводностью в продольном направлении пренебрегают, а учитывается только конвективный перенос тепла. Все эти упрощения приводят к достаточно простым математическим моделям, которые представлены системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого или второго порядков. Основное предназначение теплообменных систем заключается в обмене теплом между тепло- и хладоносителями, что происходит в поперечном направлении. Вместе с этим, при продвижении жидкости по каналам температура в них также существенно изменяется. Поэтому необходимо учитывать теплопроводность и жидкостей, и твердых стенок не только в продольном, но и в поперечном направлениях. Полагаем, что такой подход к разработке математической модели позволит более точно описать рассматриваемые тепловые процессы, провести научные исследования и получить ценные результаты, имеющие прикладное значение. В этой связи актуальным является обоснование, применение и исследование методов математического моделирования теплообменных систем, учитывающих продольную и поперечную теплопроводность.

Работа выполнена на кафедре высшей математики Воронежской государственной технологической академии в соответ-

№ г.р. 01870057404 по теме: «Теоретические и прикладные задачи уравнений математической физики».

Целью работы является обоснование, применение и исследование методов математического моделирования и алгоритмов расчета температурных полей и плотностей тепловых потоков в теплообменных системах с учетом продольной и поперечной теплопроводности.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе были поставлены следующие основные задачи:

1. Провести анализ современного состояния исследований в области методов математического моделирования теплообмена в прямоточных и противоточных аппаратах непрерывного действия с учетом продольной и поперечной теплопроводности и разработать методику математического моделирования рекуперативного теплообменника с учетом продольной и поперечной теплопроводности.

2. Научно обосновать эффективность применения интегрального метода прямых, разработанного Чернышевым А.Д., при исследовании математической модели рекуперативного теплообменника, учитывающей направление движения теплоносителей, постановку различных граничных условий, переменность профиля скорости движения теплоносителей и эффекта проскальзывания жидкости вдоль стенок каналов.

3. Проанализировать адекватность результатов, вытекающих из предложенной модели и провести исследование влияния

- количества членов ряда Тейлора на точность вычислений;

- характеристических корней на точность вычислений и на аналитическое решение, описывающее процесс теплообмена;

- различных граничных условий на процесс теплообмена в рекуперативных аппаратах.

4. Разработать алгоритм расчета температурных полей и плотностей тепловых потоков в рекуперативном теплообменнике с учетом продольной и поперечной теплопроводности и комплекс программ для ПЭВМ реализующий этот алгоритм.

5. На основе численных экспериментов с разработанной моделью исследовать влияние основных параметров системы на теплообмен в рекуперативном аппарате и дать оценку разработанной математической модели как инструменту получения новых знаний о распределении температур и плотностей тепловых

потоков в любой точке теплоносителей и твердых стенок теплообменника.

Объектом исследования является математическая модель рекуперативного теплообменника, учитывающая продольную и поперечную теплопроводность, направление движения теплоносителей, постановку различных граничных условий, переменность профиля скорости движения жидкости с эффектом проскальзывания ее вдоль стенок каналов.

Предметом исследования являются методы проверки адекватности, методы построения решения и точность его вычисления.

Методы исследования

Для решения поставленных задач в работе использованы методы вычислительной математики и моделирования, теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории гидродинамики и тепломассообмена.

Научная новизна

1. Математическая модель теплообменной системы, такой как рекуперативный теплообменник, учитывающая продольную и поперечную теплопроводность, переменность профиля скорости жидкости с эффектом проскальзывания ее вдоль стенок каналов, постановку различных граничных условий одновременно и на торцах, и на внешних стенках системы.

2. Приближенные аналитические выражения распределения температур и плотностей тепловых потоков в жидкостях и твердых стенках аппарата, полученные применением интегрального метода прямых с использованием разложения температуры в ряд Тейлора в поперечном направлении к потоку жидкости.

3. Алгоритм расчета температурных полей и плотностей тепловых потоков в рекуперативном аппарате, в котором вычисления проводятся по специальным аналитическим выражениям.

4. Кривая эквивалентности «прямоток - противоток», указывающая конструктивные параметры теплообменника, при которых эффективнее использовать тот или иной режим движения теплоносителей в данном аппарате.

5. Поля температур и плотностей тепловых потоков описывающие распределение температур в продольном направлении не только в жидкостях, но и в стенках аппарата, а также распределение температуры в поперечном направлении в жидкостях и твер-

дых стенках и распределение плотности теплового потока по сечению теплообменника.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные математические решения в явном функциональном виде позволяют существенно уточнить известные методы математического моделирования таких теплообменных систем, как рекуперативных аппаратов непрерывного действия. Расширяют имеющийся арсенал математических моделей и методов моделирования, применяемых в теплофизике, теплотехнике, пищевой и химической технологиях.

Предложенные рассмотрения позволяют провести анализ выбора режима движения среды в теплообменнике - «прямоток -противоток» при проектировании рекуперативных аппаратов.

Разработан комплекс программ, реализующий методику моделирования рекуперативных теплообменников, учитывающую продольную и поперечную теплопроводность, позволяющий автоматизировать расчет данных аппаратов.

На защиту выносятся:

1. Методика построения математической модели теплообмена в ргкуперативном аппарате, позволяющая определить температурные поля и плотность тепловых потоков в любой точке теплоносителей и твердых стенок теплообменника.

2. Методика получения приближенного аналитического решения системы дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных эллиптического типа.

3. Результаты исследований:

- аналитическая зависимость между внутренними тепловыми источниками и тепловыми потоками, подводимыми к внешним границам аппарата, полученная для случая задания граничных условий второго рода;

- закономерности влияния основных параметров системы на теплообмен, позволяющие дать рекомендации по конструированию рекуперативных аппаратов, с целью достижения необходимой температуры среды на выходе;

- аналитические зависимости для продольных и поперечных профилей температуры и плотности теплового потока в жидкостях и стенках теплообменника.

Апробация работы. Основные положения диссертации обсуждались на: международной школе-семинаре «Современные

проблемы механики и прикладной математики», г. Воронеж, 4-8 июня 2002 г.; третьей международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии», г. Воронеж, 29 октября - 1 ноября 2002 г.; XXXII уральском семинаре «Механика и процессы управления», г. Миасс, 24 декабря 2002 г.; четвертой Российской научно-технической конференции и школы молодых ученых, аспирантов и студентов «Авиакосмические технологии «АКТ - 2003», г. Воронеж, 24 - 26 сентября 2003 г.; XLII отчетной научной конференции ВГТА за 2003 г., г. Воронеж 2004 г.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, четыре главы, основные выводы, список литературы и приложения. Работа изложена на 162 страницах, включает 21 рисунок, 2 таблицы и 6 приложений. Список литературы содержит 124 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели, задачи, объект и предмет исследования, научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы.

В первой главе приводится обзор литературных данных по работам, посвященным методам математического моделирования теплообмена в рекуперативных аппаратах и проведен анализ современного состояния этих методов.

На основе проведенного обзора поставлена цель исследования и определены задачи для ее выполнения.

Во второй главе построена математическая модель рекуперативного теплообменника и изложены результаты математического моделирования теплообмена в прямоточном и противо-точном аппаратах непрерывного действия.

Полагаем, что теплообменник состоит из двух каналов постоянной ширины, которые разделены между собой тонкой перегородкой. С внешних сторон каналы ограничены перегородками заданной постоянной толщины (рис. 1). В двух плоских каналах движутся жидкости с разной температурой. Теплообмен будем рассматривать на некотором расстоянии от входного патрубка, которое примем равным длине участка термической стабилиза-

ции 1т. Поэтому сечение х = 0 рассматриваемого нами теплообменника будет считать расположенным на расстоянии х = 1т от

входа жидкости в аппарат.

У 1

¡»2

Рис. 1. Схема теплообменника /' = 1 - нижняя стенка, / = 3 - средняя (перегородка), /' = 5 - верхняя;

] = 2 - нижний канал, у = 4 - верхний

В данном теплообменнике процессы теплопроводности протекают в трех твердых стенках каналов и в двух жидкостях, которые движутся в этих каналах. Для твердых стенок и слоев жидкости уравнения теплопроводности в стационарном режиме соответственно имеют вид (1) и (2)

_

дх2 ду2

дТ

и.—-~а. 1 дх 1

д2Т, Э2ГЧ

' + -- —

+ /= 0 , / = 1, 3, 5

Л

/

С,Р

7 = 2,4 ,

(1)

(2)

¡Г]

ч дх' ду

где а - коэффициент температуропроводности; с - удельная теплоемкость; р - плотность; X - коэффициент теплопроводности; / - возможные тепловые источники; х и у - текущие продольная и поперечная координаты; и - проекция скорости жидкости на ось х в /-ом канале; Т1 (/ = 1,3,5) и Т} (/ = 2,4)- температура в соответствующих точках стенок и слоев теплоносителя.

Для равенства (1) , а для (2) (х,у) е О,, где О, и

Q.J соответственно прямоугольные области твердых стенок и каналов, в которых движутся теплоносители.

Если жидкость в у -м канале течет направо, то и, > 0 , а

если налево, то ^ < 0.

Для решения задачи применяется интегральный метод прямых, который позволяет на нижней границе стенки 1 и на верхней границе стенки 5 (рис. 1) ставить различные граничные усло-

вия, что практически не усложнит процедуру получения решения всей системы.

В качестве граничных условий используем следующие: к нижней границе стенки 1 подводится тепловой поток, а на верхней границе стенки 5 происходит конвективный теплообмен с окружающим воздухом.

31+а,(Г5Ц-Г0) = 0, (3)

У=Нь

где #5 - координата верхней границы стенки 5, которая равна поперечному размеру всего теплообменника; к1 - тепловой поток; а5 - коэффициент теплоотдачи от стенки 5 к воздуху

На границах контакта жидкостей и стенок ставятся условия непрерывности температур и тепловых потоков.

•ду

-кх\ Л5

у- О

ду

^и«, -7<+1

I • зЕ. и» А-ду

у».

; /=1,2,3,4, (4)

У'Н,

1=0,1,2,3,4, Н0 =0, (5)

где #,(/ = 1...5) - координаты верхней границы соответственного слоя; к (+1 - толщина стенки или слоя теплоносителя, соответствующих номеру (/ +1).

У жидкостей на левой границе теплообменника (сечение х = 0) поставлены точечные граничные условия

к! - 0 (б)

2\х=0,у=н, ' *4\х~0,у=И4

где Г2* и Т1 - температуры жидкостей в подводящих патрубках. На правой границе (сечение х = Ь) задана теплоизоляция

дх

-0.£

дх

= 0,

(7)

где X - линейный размер, характеризующий протяженность зоны теплопередачи по длине аппарата.

На торцах твердых тел записаны граничные условия в ос-редненном виде при помощи интегралов, являющиеся следствием предположения о конвективном теплообмене на торцах твердых стенок с окружающим воздухом

н,

дх

Предположим, что толщины стенок и жидких слоев малы. Тогда температуры Т, в этих слоях можно представить рядами Тейлора, в которых ограничимся квадратами по переменной {у ">'*)' где У* - координата середины соответственного слоя

Т^тХхуъХх^у-у.УёХ^У-У,)2, = 5, (9) где м,, ^ - зависят только от координаты х.

Для нахождения коэффициентов яг, (*),&, (л:),^(л;) разложения (9) уравнения теплопроводности (1) и (2) проинтегрируем по поперечной координате у, подставив в них Т, из (9), а также подставим выражения для Т1 в равенства (3) и (4).

Для определения пятнадцати неизвестных от, (*),£,(*) (/ = 1...5), имеем замкнутую систему пятнадцати уравнений (10-15).

т;(х)+±§:(х)ь?+2§1(х)

1

+/=о; /=1,з,5. (Ю)

= а.

,7=2,4. (11)

Ъь{х) + ^{х)11} +

а<

А А2

(л) + + (х)-^- - Г0

(12) = 0. (13)

у

Дифференциальные уравнения (10) и (11) неоднородные, причем неоднородности - постоянные величины. Чтобы привести эти уравнения к однородному виду, сделаем замену т,{х)=М,(х) + т10, Ь,(х)=В,(х)+Ь10, gl(x)=A>(x)+gl<),i =1...5,(16) где - /и -частные решения системы (10) - (15), которые

предполагаем постоянными величинами.

После подстановки (16) в (10) - (15) получим две системы уравнений. Первая - (17 - 20) для определения гпл,Ьл^л (/ = 1...5)

2Я^,0 + /;=0;/ = 1...5. (17)

О \

= 0.(18)

а,

Ью = Ло + &А +Т

, К к „

ГПзо+Ь^ + Вя-^-Тс

к

к2

Ь У?

тл у + ёл = /и(1+1)о~^(,+1)о~ + ёочуГ^-'* »=1.4. (19)

\ \Ъ,о + £,<Л] = Кх - ёи+\)Л+\ ]; »=1Л (2°) и вторая-(21-26) для М1(х),В,(х), А,(х) (/ = 1...5)

м;(х) + (х)к? + 2А,(х) = 0; / = 1,3,5.

Я,(*)-/г,Л,(*) = 0;

,2\

в5 (х)+4 (х)К+Щ м5 (*)+я5 (дД М

¿5 V 2 4

(21)

7=2,4. (22) (23) = 0. (24)

= '='-4. (26)

Система (17 - 20) имеет точное аналитическое решение. В ней из одного уравнения находим одну неизвестную.

Решение уравнений (21 - 26) будем искать в виде М, (*) = М,0ехр/а; А, (х) = Ал ехр/а; В1 (х) - В,0ехр/Ъ:; /=1. .5,(27) где р. - характеристический корень.

В результате из уравнений (21 - 26) получилась однородная система из пятнадцати уравнений (28) - (33) относительно мл> в,о> А,о (« = 1...5) и ¡1.

КоМ +^4оМ К + 2А,0 = 0; 1 = 1,3, 5.

(28)

= 0; у = 2, 4. (29)

а.

/Ц

»г т, Ь л

2 Л

= 0; (31)

и и2

,+] + 4,^—-М...4. (32)

('+1)0 ('+1)0 2 ('+1)0 4

[До + 4оЛ,]~ [5(/+1)о ~ \,+\)оК\ _

. 1=1.. .4.

(33)

Для нахождения /} составим определитель, раскрывая его

получаем характеристическое уравнение относительно ц

10

е0+2ЕпМ"=0.

(34)

Равенство (34) является полиномом десятого порядка. Его корни вычисляем численно. Далее для каждого из корней Д, находим соответственные значения (г' = 1...5, и = 1...10).

После того, как найдены коэффициенты В1;^ и (г = 1...5) (« = 1...10), приступаем к определению функций А,(х), М,{х), с) (/ = 1...5), которые найдем из уравнений (35)

10 10 ■ А (*) = ехрм„х; А, {х) = £ С„А^ ехрД,*;

10

(35)

В (35) входят десять неизвестных произвольных постоянных С, - С|0. Для их определения используем граничные условия (6 - 8). К условиям (6 - 8) также применим разложения (9). В результате получим систему (36), из которой и найдем С, - С10.

*4 (0) + ь4 (0)| + (0)| = г;; т2 (0) - Ь2 (0)| + (0)| = Гг .

-л

= а.

=а.

, / = 1,3,5.

,/ = 1,3,5.(36)

Из равенств (16), определим функции gl(x), т,(х), Ь,(х)

(/ = 1...5), которые входят в (9). Используя (9), найдем распределение температур для прямоточного варианта.

Данная математическая модель позволяет определять не только температуру в продольном и поперечном направлениях, но и плотность теплового потока. В поперечном направлении для каждого слоя плотность теплового потока может быть рассчитана по формуле

дТ.

ду

+ = (37)

В случае противоточного движения теплоносителей постановка задачи несколько изменится. Так как жидкости будут двигаться навстречу, то в дифференциальном уравнении теплопроводности (2) у одной из жидкостей перед скоростью будет стоять знак плюс (как при прямотоке), а у другой - минус и изменятся торцевые граничные условия для жидкостей (6) и (7). Соответственно они принимают вид (38)

1 дх

дх

4 '

дТ\ дх

= 0;

г-^У-Ъ

(Щ дх

= £.(38)

х=0,у=И4

Построение решения задачи при противоточном движении теплоносителей аналогично построению решения для прямотока.

Данная модель позволяет определить температурные поля и плотность тепловых потоков в любой точке теплоносителей и твердых стенок теплообменника. Продольные и поперечные профили температур и плотности теплового потока для прямоточного и противоточного движения теплоносителей представлены на рис. 2, 3. Алгоритм расчета температурного поля и плотности теплового потока изображен на рис. 4.

Рис. 2 Распределение температур при прямотоке -I и противотоке - II (а - продольное при у = у* б - поперечное в сечении х = Ь ; в - в

плоскости ху): 1 - 7];2 - Г2;3 - Тг\ 4- ТА;5 - Т5. Т, К; Х,м; 0+3, м.

В третьей главе проведено исследование влияния различных граничных условий на теплообмен в рекуперативных аппаратах.

Предположим, что к теплообменнику к верхней границе стенки 5 и нижней границе стенки 1 подводятся тепловые потоки к{ и кг. Поэтому в качестве граничных условий выберем

Построение решения этой задачи аналогично построению решения задачи с граничными условиями (3) за исключением нескольких особенностей. Так, при определении корней характеристического уравнения (34) один корень удается найти аналитически (он равен нулю). В системе (40 - 42) для нахождения тл,

(40)

К ; К+Кг* =*2Л.

\ [К + а<Л ]=К\ - £<м)<Л+1 ];

'5 '

1=1.4

Ща+Ьо

А И

2 +8'° 4

'т(М)0 ®(/+1)0 2 + £(<+1)о ^

(41) /'=1.4 (42)

Ь10, gm (1= 1...5) подсистема (41) переопределенная, т. к. для на-

К

хождения пяти значений имеем шесть уравнений, а подсисте-

ма (42) недоопределенная, т.к. для определения пяти значений мю здесь только четыре уравнения. Из равенств (41) кроме пяти

Рис. 4 Алгоритм расчета температурного поля и плотности теплового потока.

значений Ъл получим зависимость (43) между внутренними тепловыми источниками и потоками, подводимыми к внешним сторонам теплообменника. Только при выполнении равенства (43) возможно стационарное решение задачи.

к,+к2+ + /А + /зАз + /А+ /Л= 0. (43)

Для замыкания подсистемы (42) добавляем к ней первое равенство из граничных условий (6). Применив к нему последовательно разложение (9) и замену (16) имеем равенство (44)

Если выбрать граничные условия (45),

ду

,=0

57; ду

У'Н,

которые предполагают теплообмен с окружающим воздухом на нижней и верхней границах стенок теплообменника, то при решении поставленной задачи возникает одна особенность. Она связана с нахождения тл, (/ = 1...5).

{ , ,2 \ 1 , и, к к

1 V г

= 0.

(46)

(47)

'50 ' "50 - +^50 ,

Ч-Т

= 0.

йя+&оЛ5+Т

Л5

К

"/0 1 "/0 2 ' 6'0 ^ "'('+1)0 "(1+1)0 2

(1+1)0

и2

(48)

(49)

(50)

В системе (46 - 50) из (46) найдем gl0 (/ = 1...5), а остальные коэффициенты являются функциями от Ь50, т.е. Ьл = /(¿30) (г = 1...4)и тл =/(£50) (/ = 1.-5).

В диссертации было проведено сравнение математических моделей с точечными граничными условиями (6) и интегральными. Отличие постановки задачи с интегральными граничными условиями от всех предыдущих заключается в изменении граничных условий для теплоносителей в сечениях х = 0 и х~1. Запишем все уравнения для жидких слоев в интегральной форме (51) и (52).

дТ.

дТ}

„ дх

нн

дх

"И

ду = 0 ; 7 = 2,4.

¿у.

(51)

(52)

х*1

где - массовый расход тепло - и хладоносителя; с} - удельная изобарная теплоемкость; - площадь поперечного сечения канала.

Используя точечные граничные условия (6) температуры жидкостей на входе в теплообменник равны температурам в подводящих патрубках, а при интегральных условиях (50) и (51) та-

17

кое равенство не выполняется. Это можно объяснить интегральным осреднением граничных условий. Ситуация возникшая при расчетах с интегральными граничными условиями (51) и (52) хуже согласуется с экспериментальными данными, поэтому отдаем предпочтение модели с точечными граничными условиями (6).

В четвертой главе, на основе построенной во второй главе математической модели разработана и исследована математическая модель рекуперативного теплообменника, учитывающая переменность профиля скорости жидкости с эффектом проскальзывания ее вдоль стенок каналов.

Будем полагать, что частицы жидкости на границе канала не прилипают к нему, а их взаимодействие осуществляется через трение с проскальзыванием. Для такого случая задача Пуазейля будет иметь следующее решение

(53)

где N - постоянный перепад давлений; и0 - скорость проскальзывания.

Используя поле скоростей из (53) дифференциальное уравнение теплопроводности для жидкостей примет вид

Дифференциальные уравнения теплопроводности в твердых стенках для стационарного режима и температурные граничные условия возьмем такие же, как и в модели с постоянным профилем скорости. Построение решения этой задачи аналогично построению решения задачи рассмотренной во второй главе.

Установлено, для достижения необходимой точности вычислений при задании функции температуры в ряд Тейлора достаточно учитывать первые три члена. Произведена численная оценка этих слагаемых: основной вклад в сумму вносит первый член, второй - имеет порядок тысячных, а третий - порядок десятитысячных.

В результате численных экспериментов установлено, что в диапазоне исследования

Re = 200 -г2000) все корни характеристического уравнения действительные и различные. Для достижения необходимой

I II

т

Рис. 5 Зависимости температуры на выходе из аппарата от комплекса Ь/Ист для различных величин параметра й^/й^ при прямотоке -I и противотоке - II: а) для теплоносителя; б) для хладоносителя.

точности вычислений требуется машинное представление чисел до пятидесяти значащих цифр. Только при таком количестве знаков в числе достигается приемлемая точность определения характеристических корней, которая определялась по невязке. С увеличением комплексов модули всех характеристических корней возрастают. Это оказывает следующее влияние на решение системы: теплоноситель на выходе имеет более низкую температуру, а хладоноситель - более высокую.

На рис. 5 представлено влияние комплекса ¿//гсщ на температуру жидкости при выходе ее из аппарата для различных величин параметра Ист ]кк . Из анализа данных кривых следует, что с

увеличением параметров И ^„/^ теплопередача протека-

ет эффективнее. Таким образом, при конструировании теплооб-менньгх аппаратов следует стремиться к тому, чтобы их каналы были как можно тоньше. Это приведет не только к увеличению эффективности теплообмена в рекуперативных аппаратах, но и к снижению их массы и уменьшению габаритов.

Выбор наиболее эффективного режима движения тепло -хладоносителей в данном рекуперативном аппарате следует проводить, используя кривую эквивалентности «прямоток - противоток», которая представлена на рис. 6. Если конструктивные параметры теплообменника лежат ниже кривой, то в таком аппарате теплообмен эффективнее будет протекать при использовании прямоточной схемы. Если же эти параметры находятся выше кривой, то следует применять противоточную схему движения тепло - хладоносителей.

ь ь 21.81.61.4: 1.21: 0.8: О.В^ 0.402-.............................

1000 20Ю 3000 4000 6000 6000 70&0 Ь<

-о--»--о—» хладоноситель -о—п—п. теплоноситель

Рис. 6 Кривая эквивалентности «прямоток - противоток».

На рис. 7 и 8 представлены графики разности температур для поперечного направления в каналах и в перегородке. Из анализа данных кривых следует, что величина этой разности соизмерима с разностью температур сред в подводящих патрубках. Поэтому при расчетах рекуперативных аппаратов следует учитывать толщины твердых стенок и каналов с тепло- хладоносителями.

Проведенная комплексная проверка адекватности показала достаточно хорошее качественное и количественное совпадение (относительная погрешность составляет 3 - 6%) данных, полученных в работе с известными экспериментальными данными.

а) б)

Рис. 7 Разность температур в поперечном направлении в канале: а) с теплоносителем; б) с хладоносителем.

Рис. 8 Разность температур в поперечном направлении в перегородке: а) для прямотока; б) для противотока.

В приложениях к диссертационной работе приведены листинги программ.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Предложена методика математического моделирования теплообмена в рекуперативном аппарате, позволяющая определить температурные поля и плотность тепловых потоков в любой точке теплоносителей и твердых стенок теплообменника.

2. На основе предложенной методики разработана математическая модель рекуперативного теплообменника, учитывающая продольную и поперечную теплопроводность, переменность профиля скорости движения среды с эффектом проскальзывания ее

ее вдоль стенок каналов. В рамках этой модели получено аналитическое решение для распределения температуры и плотности теплового потока в продольном и поперечном направлениях. Из анализа данного решения следует:

а) скорость проскальзывания существенно влияет на теплообмен и с ее увеличением теплопередача снижается;

б) плотности тепловых потоков при противотоке более постоянны по длине аппарата, чем при прямотоке;

в) профиль температуры в любом поперечном сечении качественно одинаков по всей длине теплообменника при использовании граничных условий первого, второго и третьего типов и не зависит от режима движения теплоносителей (прямоток или противоток).

3. Предложен алгоритм, позволяющий проводить расчет температурных полей и плотностей тепловых потоков в рекуперативном теплообменнике с учетом теплопроводности жидкостей и стенок аппарата в продольном и поперечном направлениях.

4. При исследовании влияния различных граничных условий на процесс теплопередачи в рекуперативном аппарате установлено: а) если реализуются граничные условия второго рода, то хладоноситель будет нагреваться до более высокой температуры; б) в случае реализации условий третьего рода теплоноситель будет охлаждаться до более низкой температуры. Также, в ходе построения решения краевой задачи с граничными условиями второго рода получена аналитическая зависимость между внутренними тепловыми источниками и тепловыми потоками, подводимыми к внешним границам аппарата.

5. Установлено, для достижения необходимой точности вычислений при задании функции температуры в ряд Тейлора достаточно учитывать первые три члена. Определен вклад каждого из этих членов. Их порядок быстро убывает.

6. Представлены закономерности влияния основных параметров системы на теплообмен, позволяющие дать рекомендации по конструированию рекуперативных аппаратов, с целью достижения необходимой температуры среды на выходе. Получена кривая эквивалентности «прямоток - противоток», позволяющая сделать выбор наиболее эффективного режима движения теплоносителей в данном аппарате.

7. Установлено, что в диапазоне изменения параметров модели все корни характеристического уравнения действительные и различные. Определено количество значащих цифр в машинном представлении чисел требуемое для необходимой точности вычислений.

8. Комплексная проверка адекватности показала достаточно хорошее качественное и количественное совпадение (относительная погрешность составляет 3 - 6%) данных, полученных в работе с известными экспериментальными данными.

9. Разработан комплекс программ, реализующий методики математического моделирования теплообмена в рекуперативном аппарате с учетом продольной и поперечной теплопроводности, позволяющий автоматизировать расчет данных теплообменников.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Горяйнов, В. В. Анализ теплопередачи в рекуперативном теплообменнике с учетом поперечной теплопроводности [Текст] / В. В. Горяйнов, А. Д. Чернышов // Авиакосмические технологии: сборник трудов третьей международной научно-технической конференции, Воронеж, 29 октября - 1 ноября 2002.- Воронеж: Воронеж, гос. технич. универ., 2002. - С. 207 - 210.

2. Горяйнов, В. В. Влияние эффекта проскальзывания на теплообмен в рекуперативном теплообменнике [Текст] / В. В. Горяйнов // Материалы ХЬП отчетной научной конференции ВГТА за 2003 г. / Воронеж, гос. технол. акад. -Воронеж, 2004. - С. 43-45.

3. Горяйнов, В. В. Исследование влияния граничных условий при постановке задачи о рекуперативном теплообмене [Текст] / В. В. Горяйнов, А. Д. Чернышов // Современные проблемы механики и прикладной математики: материалы международной школы-семинара, Воронеж, 4-8 июня 2002,- Воронеж: ВГУ. -2004. -Ч. 3.- С. 78-86.

4. Горяйнов, В. В. Математическая модель рекуперативного теплообменника в двумерной постановке [Текст] / В. В. Горяйнов, А. Д. Чернышов // ИФЖ - 2003. -Т. 76, № 6. -С. 161 - 167.

5. Горяйнов, В. В. Некоторые особенности при построении математической модели рекуперативного теплообменника с различными граничными условиями [Текст] / В. В. Горяйнов, А. Д.

N22 ОН

Чернышев // Вестник ВГТУ. -С. 84-92.

/

2002.- Екатеринбург: Уральс 148.

6. Горяйнов, В. В. О м ного теплообменника с учете Горяйнов, А. Д. Чернышов // сборник трудов XXXII урал!

7. Горяйнов, В. В. Об особенностях работы рекуперативного теплообменника [Текст] / В. В. Горяйнов, А. Д. Чернышов // Наука - производству. - 2003. - № 12(68). - С. 47 - 53.

8. Горяйнов, В. В. Температурные поля и тепловые потоки в двумерном теплообменнике [Текст] / В. В. Горяйнов, А. Д. Чернышов // Авиакосмические технологии «АКТ - 2003»: труды четвертой Российской научно-технической конференции, Воронеж, 24 сентября - 26 сентября 2003.- Воронеж: Воронеж, гос. техн. унт, 2003.-Ч. 1.-С. 215-218.

9. Чернышов, А. Д. О математической модели рекуперативного теплообменника в двумерной постановке [Текст] / А. Д. Чернышов, В. Е. Добромиров, В. В. Горяйнов // Модернизация существующего и разработка новых видов оборудования для пищевой промышленности: сб. науч. тр. / Воронеж, Воронеж, гос. технол. акад. - Воронеж, 2001. - Вып. 11. - С. 6 -10.

10. Чернышов, А. Д. Постановка задачи о рекуперативном теплообмене в аппаратах с учетом поперечной теплопроводности [Текст] / А. Д. Чернышов, Н. А. Чернышов, В. В. Горяйнов // Информационные технологии и системы. - Воронеж: Воронеж, гос. технол. акад., 2001.-С. 125 -129.

Личный вклад автора. Работа [2] выполнена автором лично. В [1, 3 - 10] автор участвовал в постановке задач, выборе методов их решения, проведении аналитических и численных вычислений.

Пописано в печать/0. //.2004. Формат 60x90 1/16 Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Ризография.

Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №

Воронежская государственная технологическая академия (ВГТА) . Участок оперативной полиграфии ВГТА Адрес академии и участка оперативной полиграфии 394000, г. Воронеж, пр. Революции, 19

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ТЕПЛООБМЕННЫХ СИСТЕМ

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕКУПЕРАТИВНОГО ТЕПЛООБМЕННИКА С УЧЕТОМ ПРОДОЛЬНОЙ И ПОПЕРЕЧНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

2.1. Постановка задачи

2.2. Решение для случая прямоточного движения теплоносителей

2.3. Решение для случая противоточного движения теплоносителей

2.4. Полученные результаты и их анализ

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ РАЗЛИЧНЫХ

ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА ТЕПЛООБМЕН В РЕКУПЕРАТИВНОМ АППАРАТЕ

3.1. На внешних границах теплообменника заданы условия второго рода

3.1.1. Решение для случая прямоточного движения теплоносителей

3.1.2. Решение для случая противоточного движения теплоносителей

3.2. На внешних границах теплообменника заданы условия третьего рода

3.2.1. Решение для случая прямоточного движения теплоносителей

3.2.2. Решение для случая противоточного движения теплоносителей

3.3. Постановка интегральных граничных условий для теплоносителей на торцах теплообменника

3.3.1. Решение для случая прямоточного движения теплоносителей

3.3.1. Решение для случая противоточного движения теплоносителей

3.4. Полученные результаты и их анализ

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕКУПЕРАТИВНОГО ТЕПЛООБМЕННИКА, УЧИТЫВАЮЩАЯ ПЕРЕМЕННОСТЬ ПРОФИЛЯ СКОРОСТИ ЖИДКОСТИ И ЭФФЕКТ ЕЕ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ ВДОЛЬ СТЕНОК

КАНАЛОВ

4.1. Постановка задачи

4.2. Решение для случая прямоточного движения теплоносителей

4.3. Решение для случая противоточного движения теплоносителей

4.4. Полученные результаты и их анализ 133 4.5 Проверка адекватности математической модели

Актуальность темы. Моделирование теплообменных систем необходимо для более глубокого понимания тех процессов, которые происходят внутри системы и формируют выходные параметры. Эти знания можно получить путем теоретического анализа предлагаемых математических моделей. Теплообмен-ные системы, такие как рекуперативные аппараты, широко используются в различных отраслях промышленности (пищевой, химической, криогенной). Это приводит к необходимости применения методов математического моделирования, описывающих процесс теплообмена между тепло- и хладоносителями, движущимися в каналах этих аппаратов.

Во многих исследованиях свойств передачи тепла в теплообменных системах учитывается только продольная теплопроводность (В.М. Харин, G. Venkatarathnam, S. Pradeep Narayanam и др.). При этом передача тепла в поперечном направлении предполагается формально конвективной без учета толщины каналов и стенок. В других работах теплопроводностью в продольном направлении пренебрегают, а учитывается только конвективный перенос тепла. Все эти упрощения приводят к достаточно простым математическим моделям, которые представлены системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого или второго порядков. Основное предназначение теплообменных систем заключается в обмене теплом между тепло- и хладоносителями, что происходит в поперечном направлении. Вместе с этим, при продвижении жидкости по каналам температура в них также существенно изменяется. Поэтому необходимо учитывать теплопроводность и жидкостей, и твердых стенок не только в продольном, но и в поперечном направлениях. Полагаем, что такой подход к разработке математической модели позволит более точно описать рассматриваемые тепловые процессы, провести научные исследования и получить ценные результаты, имеющие прикладное значение. В этой связи актуальным является обоснование, применение и исследование методов математического моделирования, учитывающих продольную и поперечную теплопроводность.

Работа выполнена на кафедре высшей математики Воронежской государственной технологической академии в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ № г.р. 01870057404 по теме: «Теоретические и прикладные задачи уравнений математической физики».

Целью работы является обоснование, применение и исследование методов математического моделирования и алгоритмов расчета температурных полей и плотностей тепловых потоков в теплообменных системах с учетом продольной и поперечной теплопроводности.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе были поставлены следующие основные задачи:

1. Провести анализ современного состояния исследований в области методов математического моделирования теплообмена в прямоточных и противо-точных аппаратах непрерывного действия с учетом продольной и поперечной теплопроводности и разработать методику математического моделирования рекуперативного теплообменника с учетом продольной и поперечной теплопроводности.

2. Научно обосновать эффективность применения интегрального метода прямых, разработанного Чернышевым А.Д., при исследовании математической модели рекуперативного теплообменника, учитывающей направление движения теплоносителей, постановку различных граничных условий, переменность профиля скорости движения теплоносителей и эффекта проскальзывания жидкости вдоль стенок каналов.

3. Проанализировать адекватность результатов, вытекающих из предложенной модели и провести исследование влияния

- количества членов ряда Тейлора на точность вычислений;

- характеристических корней на точность вычислений и на аналитическое решение, описывающее процесс теплообмена;

- различных граничных условий на процесс теплообмена в рекуперативных аппаратах.

4. Разработать алгоритм расчета температурных полей и плотностей тепловых потоков в рекуперативном теплообменнике с учетом продольной и поперечной теплопроводности и комплекс программ для ПЭВМ реализующий этот алгоритм.

5. На основе численных экспериментов с разработанной моделью исследовать влияние основных параметров системы на теплообмен в рекуперативном аппарате и дать оценку разработанной математической модели как инструменту получения новых знаний о распределении температур и плотностей тепловых потоков в любой точке теплоносителей и твердых стенок теплообменника.

Объектом исследования является математическая модель рекуперативного теплообменника, учитывающая продольную и поперечную теплопроводность, направление движения теплоносителей, постановку различных граничных условий, переменность профиля скорости движения жидкости с эффектом проскальзывания ее вдоль стенок каналов.

Предметом исследования являются методы проверки адекватности, методы построения решения и точность его вычисления.

Методы исследования

Для решения поставленных задач в работе использованы методы вычислительной математики и моделирования, теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории гидродинамики и тепломассообмена.

Научная новизна

1. Математическая модель теплообменной системы, такой как рекуперативный теплообменник, учитывающая продольную и поперечную теплопроводность, переменность профиля скорости жидкости с эффектом проскальзывания ее вдоль стенок каналов, постановку различных граничных условий одновременно и на торцах, и на внешних стенках системы.

2. Приближенные аналитические выражения распределения температур и плотностей тепловых потоков в жидкостях и твердых стенках аппарата, полученные применением интегрального метода прямых с использованием разложения температуры в ряд Тейлора в поперечном направлении к потоку жидкости.

3. Алгоритм расчета температурных полей и плотностей тепловых потоков в рекуперативном аппарате, в котором вычисления проводятся по специальным аналитическим выражениям.

4. Кривая эквивалентности «прямоток - противоток, указывающая конструктивные параметры теплообменника, при которых эффективнее использовать тот или иной режим движения теплоносителей в данном аппарате.

5. Поля температур и плотностей тепловых потоков описывающие распределение температур в продольном направлении не только в жидкостях, но и в стенках аппарата, а также распределение температуры в поперечном направлении в жидкостях и твердых стенках и распределение плотности теплового потока по сечению теплообменника.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные математические решения в явном функциональном виде позволяют существенно уточнить известные методы математического моделирования таких теплообменных систем, как рекуперативных аппаратов непрерывного действия. Расширяют имеющийся арсенал математических моделей и методов моделирования, применяемых в теплофизике, теплотехнике, пищевой и химической технологиях.

Предложенные рассмотрения позволяют провести анализ выбора режима движения среды в теплообменнике - «прямоток - противоток» при проектировании рекуперативных аппаратов.

Разработан комплекс программ, реализующий методику моделирования рекуперативных теплообменников, учитывающую продольную и поперечную теплопроводность, позволяющий автоматизировать расчет данных аппаратов.

На защиту выносятся:

1. Методика построения математической модели теплообмена в рекуперативном аппарате, позволяющая определить температурные поля и плотность тепловых потоков в любой точке теплоносителей и твердых стенок теплообменника.

2. Методика получения приближенного аналитического решения системы дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных эллиптического типа.

3. Результаты исследований:

- аналитическая зависимость между внутренними тепловыми источниками и тепловыми потоками, подводимыми к внешним границам аппарата, полученная для случая задания граничных условий второго рода;

- закономерности влияния основных параметров системы на теплообмен, позволяющие дать рекомендации по конструированию рекуперативных аппаратов, с целью достижения необходимой температуры среды на выходе;

- аналитические зависимости для продольных и поперечных профилей температуры и плотности теплового потока в жидкостях и стенках теплообменника.

Апробация работы. Основные положения диссертации обсуждались на: международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики», г. Воронеж, 4-8 июня 2002 г.; третьей международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии», г. Воронеж, 29 октября - 1 ноября 2002 г.; XXXII уральском семинаре «Механика и процессы управления», г. Миасс, 24 декабря 2002 г.; четвертой Российской научно-технической конференции и школы молодых ученых, аспирантов и студентов «Авиакосмические технологии «АКТ - 2003», г. Воронеж, 24 - 26 сентября 2003 г.; XLII отчетной научной конференции ВГТА за 2003 г., г. Воронеж 2004 г.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 10 печатных работ [9 - 16, 86, 87].

Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, четыре главы, основные выводы, список литературы и приложения. Работа изложена на 162 страницах, включает 21 рисунок, 2 таблицы и 6 приложений. Список литературы содержит 124 наименования.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Предложена методика математического моделирования теплообмена в рекуперативном аппарате, позволяющая определить температурные поля и плотность тепловых потоков в любой точке теплоносителей и твердых стенок теплообменника.

2. На основе предложенной методики разработана математическая модель рекуперативного теплообменника, учитывающая продольную и поперечную теплопроводность, переменность профиля скорости движения среды с эффектом проскальзывания ее вдоль стенок каналов. В рамках этой модели получено аналитическое решение для распределения температуры и плотности тепловых потоков в продольном и поперечном направлениях. Из анализа данного решения следует: а) скорость проскальзывания существенно влияет на теплообмен и с ее увеличением теплопередача снижается; б) плотности тепловых потоков при противотоке более постоянны по длине аппарата, чем при прямотоке; в) профиль температуры в любом поперечном сечении качественно одинаков по всей длине теплообменника при использовании граничных условий первого, второго и третьего типов и не зависит от режима движения теплоносителей (прямоток или противоток).

3. Предложен алгоритм, позволяющий проводить расчет температурных полей и плотностей тепловых потоков в рекуперативном теплообменнике с учетом теплопроводности жидкостей и стенок аппарата в продольном и поперечном направлениях.

4. При исследовании влияния различных граничных условий на процесс теплопередачи в рекуперативном аппарате установлено: а) если реализуются граничные условия второго рода, то хладоноситель будет нагреваться до более высокой температуры; б) в случае реализации условий третьего рода теплоноситель будет охлаждаться до более низкой температуры. Также, в ходе построения решения краевой задачи с граничными условиями второго рода получена аналитическая зависимость между внутренними тепловыми источниками и тепловыми потоками, подводимыми к внешним границам аппарата.

5. Установлено, что для достижения необходимой точности вычислений при разложении функции температуры в ряд Тейлора достаточно учитывать первые три члена. Определен вклад каждого из этих членов. Их порядок быстро убывает.

6. Представлены закономерности влияния основных параметров системы на теплообмен, позволяющие дать рекомендации по конструированию рекуперативных аппаратов, с целью достижения необходимой температуры среды на выходе. Получена кривая эквивалентности «прямоток - противоток», позволяющая сделать выбор наиболее эффективного режима движения теплоносителей в данном аппарате.

7. Установлено, что в диапазоне изменения параметров модели все корни характеристического уравнения действительные и различные. Определено количество значащих цифр в машинном представлении чисел требуемое для необходимой точности вычислений.

8. Комплексная проверка адекватности показала достаточно хорошее качественное и количественное совпадение (относительная погрешность составляет 3 - 6%) данных, полученных в работе с известными экспериментальными данными.

9. Разработан комплекс программ, реализующий методики математического моделирования теплообмена в рекуперативном аппарате с учетом продольной и поперечной теплопроводности, позволяющий автоматизировать расчет данных теплообменников.

1.А. Предельные возможности теплообменников при различных моделях потоков теплоносителей Текст. / С.А. Амелькин, A.M. Цирлин // Теплоэнергетика. - 2001. - № 5. - С. 64-68.

2. Баляев, Д.В. Диагностирование технического состояния теплообменных аппаратов на основе математического моделирования Текст. / Д.В. Баляев, Б.П. Башуров // Теплоэнергетика. 2001. - № 5. - С. 69 - 72.

3. Валуева, Е. П. Оценка теплогидравлической эффективности рекуперативных теплообменных аппаратов Текст. / Е.П. Валуева, Т.А. Доморацкая // Теплоэнергетика. 2002. - № 3. - С. 43-48.

4. Васильев, А.Н. Maple 8. Самоучитель Текст. / А.Н. Васильев. М.: Издательский дом «Вильяме», 2003. - 352 с.

5. Гаврилова, С.Э. Математическое моделирование и оптимизация тепловых режимов управления химическими реакторами идеального вытеснения

6. Текст. // Математическое моделирование в естественных науках: Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых, Пермь, 1- 3 окт, 1998. -Пермь, 1998. С. 67.

7. Горяйнов, В.В. Влияние эффекта проскальзывания на теплообмен в рекуперативном теплообменнике Текст. / В.В. Горяйнов // Материалы XLII отчетной научной конференции ВГТА за 2003 г. / Воронеж, гос. технол. акад. -Воронеж, 2004. -С. 43-45.

8. Горяйнов, В.В. Математическая модель рекуперативного теплообменника в двумерной постановке Текст. / В.В. Горяйнов, А.Д. Чернышов // ИФЖ -2003. Т. 76, №6. -С. 161 - 167.

9. Горяйнов, В.В. Некоторые особенности при построении математической модели рекуперативного теплообменника с различными граничными условиями Текст. / В.В. Горяйнов, А.Д. Чернышов // Вестник ВГТУ. Сер. «Энергетика». -2003. -Вып. 7.3. С. 84-92.

10. Горяйнов, В.В. Об особенностях работы рекуперативного теплообменника Текст. / В.В. Горяйнов, А.Д. Чернышов // Наука производству. -2003.-№12(68).-С. 47-53.

11. Деревич, И.В. Метод расчета теплообмена при противоточном движении теплоносителей с переменными теплофизическими свойствами Текст. / И.В. Деревич, Е.Г. Смирнова // Теор. основы хим. технол. 2002. - 36, № 4. - С. 376-380.

12. Дубровский, Е.В. Метод относительного сравнения теплогидравличе-ской эффективности теплообменных поверхностей и теплообменников Текст. / Е.В. Дубровский, В.Я. Васильев // Теплоэнергетика. 2002. - № 5. - С. 47-53.

13. Дыбан, Е.П. Тепломассообмен и гидродинамика турбулизированных потоков Текст. / Е.П. Дыбан, Э.Я. Эпик. Киев: Наук, думка, 1985.— 296 с.

14. Дьяконов, В.П. Maple 7 Текст.: учебный курс. / В.П. Дьяконов. -СПб.: Питер, 2002.-672 с.

15. Евенко, В.И. Оптимизация энергетического показателя теплообменно-го аппарата Текст. / В.И. Евенко //Хим. и нефт. Машиностроение. 1995. - № 1.-С. 7-12.

16. Жубрин, С.В. Конвективный перенос в теплообменниках. Сравнительный анализ математических моделей Текст. / С.В. Жубрин, Н.И. Павиц-кий, А.П. Хрупов //Сб. науч. тр./Моск. энерг. ин-т.—1988.—№ 173.—С. 11—20.

17. Жукаускас, А.А. Конвективный перенос в теплообменниках Текст. / А.А. Жукаускас. М.: Наука, 1982. - 472 с.

18. Жукаускас, А.А. Теплоотдача в ламинарном потоке жидкости Текст. / А.А. Жукаускас, И.И. Жюгжда. Вильнюс « Минтис», 1969. - 266 с.

19. Зайцев, Д. В. Анализ допущений при построении математической теплопередачи в рекуперативном теплообменнике Текст. / Д.В. Зайцев, В.В. При-тула; Одес. гос. акад. холода. Одесса, 1997. - 33 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 28.05.97, №404-У97.

20. Зайцев, Д.В. Математическая модель продольного теплопереноса в наружных стенках теплообменника Текст. / Д.В. Зайцев, В.В. Притула; Одес. гос. акад. холода. Одесса, 1998. - 12 с. - Деп. в ГНТБ Украины 02.02.98, № 85-Ук98

21. Закгейм, А.Ю. Введение в моделирование химико-технологических процессов Текст. / А.Ю. Закгейм М.: Химия, 1973.- 223 с.

22. Захаренко, В.В. Диффузионная модель продольного перемешивания в процессах тепло и массообмена. Задачи 1-го уровня Текст. / В.В. Захаренко, Т.Н. Азясская // ИФЖ - 1997. - 70, 4. - С. 688-694.

23. Ивлев, Д.Д. Метод возмущений в теории упругопластических деформаций Текст. / Д.Д. Ивлев, J1.B. Ершов М.: Наука, 1978. - 208 с.

24. Ивлев, Д.Д. Приближенное решение задач теории малых упругопластических деформаций Текст. / Д.Д. Ивлев // Докл. АН СССР. 1957. - т. 113.-№3.

25. Ивлев, Д.Д. Приближенное решение упругопластических задач теории идеальной пластичности Текст. / Д.Д. Ивлев // Докл. АН СССР. 1958. - т. 113. - №2.

26. Ивлев, Д.Д. Приближенное решение упругопластических осесиммет-ричных задач теории идеальной пластичности Текст. / Д.Д. Ивлев, JI.B. Ершов // Вестник МГУ. 1958. - №2.

27. Ившин, В.П. Нестационарная теплоотдача в трубчато-кольцевом канале в режиме противотока Текст. / В.П. Ившин, И.Х. Саттаров, А.В. Фафурин, К.Р. Шангареев // Тепло- и массообмен в хим. технол. Казань, 1987. - С. 9— 12.

28. Иньков, А.П. Влияние осевой теплопроводности на эффективность теплообменников криорефрижераторов Текст. / А.П. Иньков // Хим. и нефт. машиностр. 1992.-№ 11.-С. 18-21.

29. Исаченко, В.П. Теплопередача. Текст. / В.П. Исаченко, В.А. Осипова, А.С. Сукомел. М.: Энергия, 1969. - 440 с.

30. Карслоу, Г. Теплопроводность твердых тел Текст. / Г. Карелоу, Д. Егер. М.: Наука, 1964. - 488 с.

31. Касаткин, А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии Текст. / А.Г. Касаткин. М.: Химия, 1973. - 752 с.

32. Кафаров, В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии Текст. / В.В. Кафаров. М.: Химия, 1976. - 464 с.

33. Кафаров, В.В. Основы массопередачи Текст. / В.В. Кафаров. М.: Высш. шк., 1979.-439 с.

34. Коган, В.Б. Теоретические основы типовых процессов химической технологии Текст. / В.Б. Коган. Л.: Химия, 1977. - 592 с.

35. Колодёжнов, В.Н. Расчёт параметров изоляции теплообменного аппарата Текст. / В.Н. Колодёжнов, Е.Н. Кочура //Сб. науч. тр. /Воронеж, гос. тех-нол. акад., Фак. пищ. машин и автоматов. Воронеж, 1994. - №4. - С. 41.

36. Кочин, Н.Е. Теоретическая гидромеханика. Текст.: в 2 т. /Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе М.: Физматгиз, 1963. - Т. 2. - 728 с.

37. Кошмаров, Ю.А. Прикладная динамика разряженного газа Текст. / Ю.А. Кошмаров, Ю.А. Рыжов. М.: Машиностроение, 1977. - 184 с.

38. Кэйс, В.М. Конвективный тепло и массообмен Текст.: [пер. с англ.] / В.М. Кэйс. - М.: Энергия, 1972. - 448 с.

39. Лавров, Н.А. Аналитическое решение системы уравнений, описывающих стационарные режимы работы трехпоточного противоточного теплообменника Текст. / Н.А. Лавров, С.А. Карпов // Вестн. МГТУ. Сер. Машиностр. -1996. Спец. вып. - С. 18-22.

40. Лавров, Н.А. Метод численного решения систем уравнений, описывающих стационарные режимы работы двухпоточного теплообменника Текст. / Н.А. Лавров//Вестн. МГТУ. Сер. Машиностр, 1996.-Спец. Вып.-С. 13-18.

41. Лыков, А.В. Теория теплопроводности Текст. / А.В. Лыков. М.: Высш. шк, 1967.-599 с.

42. Матросов, А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики Текст. / А.В. Матросов. СПб., 2001. - 526 с.

43. Медиокритский, Е.Л. Исследование теплообмена в рекуператорах с помощью математических моделей на ЭВМ Текст. / Е.Л. Медиокритский, В.Л. Гапонов, В.Е. Логинов//ИФЖ 70, 1. - С. 117-122.

44. Михеев, М.А. Основы теплопередачи Текст. / М.А. Михеев, И.М. Михеева. -М.: Энергия, 1977. 344 с.

45. Мышинский, А.И. Характеристики теплообмена многоходового теплообменника Текст. / А.И. Мышинский // Ж. прикл. химии. 1997. - 70, 6. - С. 1011-1018.

46. Нащекин, В.В. Техническая термодинамика и теплопередача Текст. /

47. B.В. Нащекин. -М.: Высш. шк., 1975. 496 с.

48. Овчинников, Е.В. Расчет гидродинамики и тепломассообмена в пластинчатом теплообменнике утилизаторе с перетоком части теплоносителя Текст. / Е.В. Овчинников, Э.Д. Сергиевский // Теплоэнергетика. 2001. №11.1. C. 66-69.

49. Петухов, Б.С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах Текст. / Б.С. Петухов. М.: Энергия, 1967. - 412 с.

50. Протодьяконов, И.О. Явления переноса в процессах химической технологии Текст. / И.О. Протодьяконов, Н.А. Марцулевич, А.В. Марков.— Л.: Химия, 1981,—264 с.

51. Романков, П.Г. Теплообменные процессы химической технологии Текст. / П.Г. Романков, В.Ф. Фролов—Л.: Химия, 1982.—288 с.

52. Рындюк, В.Н. Об одном приближенном методе решения задач теплопроводности Текст. / В.Н. Рындюк, А.Д. Чернышов // ИФЖ. 1983. - Т. 44, №5.-С. 831-832.

53. Сергеев, С.А. Влияние продольной теплопроводности стенки на тепловую производительность противоточного теплообменного аппарата Текст. / С.А. Сергеев// Пром. теплотехн. 1990.- 12. № 5.-С. 31—35.

54. Сеху, У.С. Тепловая эффективность рекуперативных теплообменников на частичных и неустановившихся режимах Текст.: автореферат дис. на соискание ученой степени канд. тех. наук. / Умар Сиссе Сеху. Рос. университет дружбы народов. - М.: РУДН, 2000. - 19 с.

55. Спорыхин, А.Н. К определению напряженно деформируемого состояния в задачах упругопластического кручения стержней Текст. / А.Н. Спорыхин, Ю.Д. Щеглова // Вестник ф-та ПММ №1. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 1997.

56. Спорыхин, А.Н. Метод возмущений в задачах устойчивости сплошных сред Текст. / А.Н. Спорыхин. Воронеж, 1997. - 360 с.

57. Стабников, В.Н. Процессы и аппараты пищевых производств Текст. / В.Н. Стабников, В.И. Баранцев. М.: Легкая и пищевая пром-сть. 1983. - 328 с.

58. Стабников, В.Н. Процессы и аппараты пищевых производств Текст. / В.Н. Стабников, В.Д. Попов, В.М. Лысянский, Ф.А. Редько. М.: Пищевая пром-сть, 1976. - 663 с.

59. Степанов, В.В. Курс дифференциальных уравнений Текст. / В.В. Степанов. М.: Физматлит., 1958. - 468 с.

60. Теоретические основы теплотехники. Теплотехнический эксперимент Текст.: справочник / Под общ. ред. чл.-корр. АН СССР В. А. Григорьева, В. М. Зорина. — М.: Энергоатомиздат, 1988.—560 с.

61. Теория тепломассообмена Текст. / С.И. Исаев, И.А. Кожинов, В.И. Кафанов, А.И. Леонтьев и др. М.: Высш. шк., 1978. - 496 с.

62. Теплотехника Текст. / A.M. Архаров, С.И. Исаев, И.А. Кожинов и др.-М.: Машиностроение, 1986.- 432 с.

63. Теплотехника Текст. / А.П. Баскаков, Б.В. Берг, O.K. Витт и др.- М.: Энергоиздат, 1982.-264 с.

64. Теплотехника Текст. / В.Н. Луканин, М.Г. Шатров, Г.М. Камфер и др.- М.: Высш. шк., 2002.- 671 с.

65. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики Текст. / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М.: Наука, 1977. - 736 с.

66. Товажнянский, Л.П. Методика расчета пластинчатых паровых теплообменников Текст. / Л.П. Товажнянский, П.А. Капустенко, Г.Л. Хавин, О.П. Арсеньева // ITE: 1нтегров. технол. та енергозбереження. 2002. - №2. - С. 49 -54.

67. Федоткин, И.М. Методы расчета реакторов пищевой технологии Текст. / И.М. Федоткин. Киев: Вища школа, 1978.- 200 с.

68. Фиалков, М.А. О динамических характеристиках трубчатого аппарата Текст. / М.А. Фиалков // Совершенствование производства молочных продуктов : Тезисы докладов научно-технической конференции ОмГАУ, Омск, 2000. -Омск, 2000. С. 19-21.

69. Харин, В.М. Расчет и оптимизация теплообмена в рекуперативных аппаратах Текст. / В.М. Харин, Г.В. Агафонов, В.И. Бардаков Воронеж: изд-во ВГТА, 2000.-122 с.

70. Харин, В.М. Рекуперативный теплообмен в емкостных аппаратах периодического действия Текст. / В.М. Харин, Ю.И. Шишацкий, В.И. Кулаков, С.В. Кулакова //Теор. основы хим. технол.- 1998.- Т. 32.- № 5.- С. 495 501.

71. Харин, В.М. Теплообмен в рекуперативных аппаратах при наличии термоградиентного переноса вдоль потоков теплоносителей Текст. / В.М. Харин, Г.В. Агафонов, В.И. Бардаков // Теплоэнергетика.- Воронеж: ВГТУ, 1999.-С. 76 94.

72. Хаузен, X. Теплопередача при противотоке, прямотоке, и перекрестном токе Текст.: [пер. с нем.] / X. Хаузен.— М.: Энергоиздат, 1981. — 384 с.

73. Хоблер, Т. Теплопередача и теплообменники Текст. / Т. Хоблер. Л.: Гос. науч.-техн. изд-во хим. литературы, 1961. - 820 с.

74. Хуснуллин, М.Х. Уточненный метод расчета определяющих температур теплоносителей Текст. / М.Х. Хуснуллин, Р.Г. Гареев // Методы кибернетики химико-технологических процессов: КХТП-У-99: Тезисы докладов 5-й

75. Международной научной конференции, Уфа, 21-22 июня, 1999. Т. 2. Кн. 1. -Уфа, 1999. С. 243-245.

76. Чан, К.Х. Метод построения интегральной динамической модели расчёта поля температур теплообменника Текст. / К.Х. Чан, Э. К. Аракелян, А.П. Иванов //Теплоэнергетика. 1995. - №6. - С. 60-64.

77. Шелгунов, В.В. Оптимизация расчета теплообменных аппаратов на ЭВМ Текст. / В.В. Шелгунов, А.В. Кучумов // Энергосбережение и водоподгот. 1999. - №4.-С. 41-42.

78. Шерстюк А.Н., Фролов О.Д. Поверочный расчет теплообменников трубчатого типа Текст. / А.Н. Шерстюк, О.Д. Фролов // Хим. и нефтегаз. машиностр. 2001. - № 7. - С. 7-9.

79. Щорин, С.П. Теплопередача Текст. / С.П. Щорин. М.: Высш. шк., 1964.- 490 с.

80. Юдаев, Б.Н. Техническая термодинамика и теплопередача. Текст. / Б.Н. Юдаев. М.: Высш. шк., 1988.- 479 с.

81. Bacanu, G. Contributions a letude theorique des echangeurs a caloducs Текст. / G. Bacanu, E. Cosma // Bull. Transylvania Univ. Brasov. A. 1993.- 35. -pp. 69-74.

82. Balzereit, F. Bestimmung von axialen Dispersionskoeffizienten in War-meubertragen aus Verweilzeitmessungen Текст. / F. Balzereit, W. Roetzel // Chem.-Ing.-Techn. 1997. - 69, 9. - pp. 2324.

83. Botsch, T.W. Dynamische Simulation von Warmeubertragern Текст. / T.W. Botsch, K. Stephen // Chem.-Ing.-Techn. — 1995. 67. № 4. — pp. 449—457.

84. Buonopane, R.A. Heat transfer design method for plate heat exchangers Текст. / R.A. Buonopane, R.A. Troupe, J.C. Morgan // Chem. Engng Prog. 1963 -59(7)-pp. 57-61.

85. Danckwerts, P.V. Continuous flow systems. Distribution of Residence Times Текст. / P.V. Danckwerts // Chemical Engineering Science.-1953.- V. 2.- № l.-pp. 1-13.

86. Das, S.K. Dynamic analysis of plate heat exchangers with dispersion in both fluids Текст. / S.K. Das, W. Roetzel // Int. J. Heat and Mass Transfer. — 1995.38. № 6. — pp. 1127—1140.

87. Das, S.K. Dynamic behavior of plate heat exchangers experiments and modeling Текст. / S.K. Das, B. Spang, W. Roetzel // Trans. ASME. J. Heat Transfer.- 1995.- 117, №4.-pp. 859-864.

88. Geiser, P. Numerische Berechnung und Messung der Transportvorgange in quer angestromten, langgestreckten Rippenrohrwarmeubertragern Текст. / P. Geiser, H.V. Kottke // Chem.-Ing.-Techn. 1997. - 69, 9. - pp. 1323-1324.

89. Gvozdenac, D.D. Analytical solution of transient response of gas-to-gas parallel and counter flow heat exchangers Текст. / D.D. Gvozdenac // Trans. ASME: J. Heat Transfer. 1987. - 109, № 4. - pp. 848—855.

90. Ho, C.D. The influence of recycle on double-pass heat and mass transfer through a parallel-plate device Текст. / C.D. Ho, H.M. Yeh, W.S. Sheu // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1999. - 42, 9. - pp. 1707 - 1722.

91. Jackson, B.W. Laminar flow in a plate heat exchanger Текст. / B.W. Jackson, R.A. Troupe // Chem. Engng. Prog. 1964. - 60(7). - pp. 62-65.

92. Jang, J.Y. Transient response of crossflow heat exchangers with one fluid mixed Текст. / J.Y. Jang, M.T. Wang // Int. J. Heat and Fluid Flow. 1987. - 8, №m 3.-pp. 182—186.

93. Khan, A.R. The dynamic characteristics of a countercurrent plate heat exchanger Текст. / A.R. Khan, N.S. Baker, A.P. Wardle // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1988.-31. №6.-pp. 1269—1278.

94. Kim, H.B. Heat transfer in a plate exchanger during pasteurization of orange juice Текст. / H.B. Kim, C.C. Tadini, R.K. Singh // J. Food Eng. 1999. - 42,2. pp. 79-84.

95. Koch, I. Dynamische Simulation instationarer Verdamppungsvorgange Warmetauschern Текст. / I. Koch, F. Hannemann, U. Hoffmann // Chem.-Ing.-Techn. 1999. - 71, 10. - pp. 1150-1153.

96. Kumar, S. Analysis on a cross-flow heat exchanger and optimisation of thermal conductivity of wall material Текст. / S. Kumar, K. Chowdhury // Indian J. Gryog. 1987. - 12, № 1. - pp. 17—31.

97. Lach, J. On a certain approach to solving a class of problems occuring in the theory of heat and mass exchangers Текст. / J. Lach // Zesz. nauk. PBIalost. Bud. — 1990. — № 9. — pp. 71—77.

98. Mielewezyk, A. A simulation model of plate cooler Текст. / A. Miele-wezyk // Pol. Marit. Res. 2001. - vol. 8., №3. - pp. 16 - 21.

99. Niezgoda, В. Eksperymentalne okreslenie szednich wartosci wspolczyn-nikow wnikania ciepla w wymiennikach ozebrowanych Текст. / В. Niezgoda, J. Taler // Monogr. PKrak. 1993. - №156. - pp. 125-136.

100. Nusselt, W. Der einfluss der gastemperatur auf den warmeiibergang im rohr Текст. / W. Nusselt // Techn. Mech. und Thermodynamik. 1930. - Bd. 1. - pp. 227-290.

101. Nusselt, W. Der warmeiibergang zwischen wand und wasser im rohr Текст. / W. Nusselt // Forsch. Ing. Wes. 1931. - Bd. 2. - pp. 309 - 313.

102. Nusselt, W. Warmeiibergang, diffusion und verdunstung Текст. / W. Nusselt // Z. ang. Math. Mech. 1930. - Bd. 10. - pp. 105 - 121.

103. Pignotti, A. Thermal effectiveness of multipass plate exchangers Текст. / A. Pignotti, P.l. Tamborenea //Int. J. Heat and Mass Transfer.—1988.—31, № 10.— pp. 1983— 1991.

104. Potter, O.E. Dynamic simulation of plate heat exchangers Текст. / O.E. Potter // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1990. -33. № 5. - pp. 995—1002.

105. Reneaume, J.M. Optimization of plate fin heat exchangers a continuous formulation Текст. / J.M. Reneaume, H. Pingaud, N. Niclout // Chem. Eng. Res. and. Des. A: Transactions of the Institution of Chemical Engineers. 2000. - 78, №6. -pp. 849-859.

106. Roetzel, W. Instationares Verhalten von Rohrbiindel Warmeiibertragern Текст. / W. Roetzel, Y. Xuan //Chem. Ing. - Techn.- 1992. - 64. №9. - pp. 781.

107. Spang, B. Lamlnarer Warmeuber-pang bel Gegen- und Gtefchstrom-fuhrung In Wanneuber-trageni Текст. / В. Spang, W. Roetxel // Chem.-Ing.-Techn. — 1995. —67. № 8, —pp. 978—980.

108. Strelow, O. Eine allgemeine Berechungsmethode fur Warmeubertrager-schaltungen Текст. / О. Strelow // Forsch. Ingenieurw. 1997. - 63, 9. - pp. 255-261.

109. Venkatarathnam, G. Performance of a counter flow heat exchanger with longitudinal heat conduction through the wall separating the fluid streams from theenvironment Текст. / G. Venkatarathnam, S.P. Narayanam // Cryogenics. 1999. -39, №10. -pp. 811-819.

110. Zaleski, T. A general mathematical model of parallel-flow, multichannel heat exchangers and analysis of its properties Текст. / Т. Zaleski // Chem. Engng Sci. 1984.-№ 39.-pp. 1251-1260 .