автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Анализ и синтез генераторов хаотических колебаний для цифрового кодирования информации

На правах рукописи

Борисов Андрей Алексеевич

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ГЕНЕРАТОРОВ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ДЛЯ ЦИФРОВОГО КОДИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ

Специальность: 05.12.04 «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Московском техническом университете связи и информатики

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор,

Шлома Александр Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор, Афанасьев Валерий Петрович

кандидат технических наук, Павлов Константин Николаевич

Ведущая организация:

ФГУП Научно-исследовательский институт радио (НИИР)

Защита состоится « » 2006 г.. в /6> часов

на заседании диссертационногбховета *К 219.001.02 Московского технического университета связи и информатики по адресу: 111024, Москва, ул.Авиамоторная, д. 8а, ауд. Ц 5 Ь

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского технического университета связи и информатики.

Автореферат разослан «_»_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Матвеева О.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

Динамический хаос — сложное непериодическое движение, порождаемое нелинейными системами с детерминированными параметрами, при отсутствии внешнего шума. Неупорядоченное, хаотическое поведение обнаруживается во многих процессах, протекающих в различных природных и технических объектах. В течение последней четверти XX века, с момента открытия динамического хаоса, интерес к нему в научной среде не ослабевает. На сегодняшний день доказано, что системы с хаотическим поведением не являются исключением, а представляют собой самостоятельный класс нелинейных динамических систем - хаотических систем.

Необходимо также подчеркнуть, что хаотическое поведение системы вовсе не означает, что поведение носит случайный характер: при одних и тех же значениях параметров и начальных условиях системы решение соответствующей нелинейной задачи может носить случайно-подобный характер. Однако при повторении тех же начальных условий и сохранении прежних значений параметров системы эти случайно-подобные решения всякий раз будут повторяться.

В последние 15-20 лет как в России, так и за рубежом ведутся интенсивные разработки по использованию хаотических систем в радиотехнике. Исследования проходят в различных областях возможного применения хаоса, но все же основные надежды возлагаются на системы конфиденциальной передачи информации с использованием хаотической несущей.

Хотелось бы отметить, что за время развития данной тематики сделаны серьезные шаги к воплощению данных идей в реальные системы, открыто и исследовано явление самосинхронизации хаотических систем, а также, начиная с 1992 г., был предложен ряд способов передачи информации, использующих хаотическую динамику: хаотическая маскировка, переключение хаотических

режимов, нелинейное подмешивание, схемы на основе фазовой автоподстройки частоты (ФАП) и другие.

Большой вклад в развитие этого направления внесла группа ученых под руководством A.C. Дмитриева при Институте радиотехники и электроники РАН, которая наиболее близко подошла к реализации данной идеи в реальных системах передачи информации. Проведенные ими эксперименты еще раз доказали как перспективность данного направления, так и необходимость в более глубоком изучении хаотических систем и поиске новых моделей для генерации хаоса.

Однако на данный момент остро стоит проблема недостатка «элементной базы» вышеупомянутых систем, а именно для дальнейшего развития и синтеза систем передачи информации с использованием хаоса необходимо иметь достаточное количество моделей генераторов хаотических колебаний (генераторов хаоса) с различными свойствами как собственной внутренней структурой, так и генерируемых ими хаотических колебаний. В большинстве работ по синтезу систем конфиденциальной связи используются одни и те же классические модели генераторов хаоса, а в таком случае сложно говорить о конфиденциальности. Исследование данного вопроса проводится многими учеными по всему миру, уже синтезирован ряд совершенно новых моделей генераторов хаоса, и все же таких моделей насчитывается порядка трех десятков. Сложность состоит в отсутствии методологии синтеза генераторов хаоса и недостаточной изученности причин возникновения хаотического решения в нелинейных динамических системах.

Цель диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является создание практической методологии по прогнозированию, диагностике и синтезу нелинейных динамических систем с хаотическим поведением. Иначе говоря, создание алгоритмов для поиска хаотических режимов в заданных нелинейных системах и изучение возможностей введения управления для синтеза генераторов хаоса.

Основные задачи, решаемые в работе:

Систематизация и анализ способов прогнозирования и диагностики хаотических систем.

Развитие теоретических и практических положений по расчету спектра показателей Ляпунова с использованием численно-аналитического метода решения систем нелинейных дифференциальных уравнений.

Разработка методологии прогнозирования и диагностики хаотических систем и ее применения при синтезе генераторов хаоса.

Поиск методов синтеза генераторов хаоса с использованием дополнительных функций управления. Разработка рекомендаций по использованию предлагаемых методов.

Разработка пакета программ и программных модулей для прогнозирования, диагностики и синтеза хаотических систем при использовании среды математического моделирования МаЯ^аЬ 6.0.

Анализ существующих возможностей реализации полученных моделей генераторов хаоса на современной элементной базе.

Научная новизна теоретических положений и результатов экспериментальных исследований.

Автором впервые представлен комплекс методов и рекомендаций для системного решения задач диагностики и синтеза генераторов хаоса, с последующим исследованием их свойств и параметров. Для практического решения данной задачи предложен пакет программ и программных модулей, реализованных на базе системы Ма&аЬ 6.0, что позволяет значительно уменьшить временные затраты на поиски и синтез моделей генераторов хаоса, требуемых для применения в системах конфиденциальной связи.

Впервые предложена рекуррентная формула вычисления спектра показателей Ляпунова, анализ которого является основополагающим при диагностике хаоса. Формула позволяет проводить вычисления в одном цикле с

решением системы, что проявляется в значительной экономии затратного времени и ресурсов вычислительной машины.

В работе предложена и теоретически обоснована новая концепция пространственно-временной переменной устойчивости, вследствие этого представлены методы по применению данной концепции при синтезе нелинейных динамических систем с хаотическим поведением.

Впервые приведены результаты экспериментальных исследований по моделированию генераторов хаоса с внутренним управлением, вводимым в состав системы для поддержания ее локальной неустойчивости.

В итоге в работе предложен следующий комплекс методов по синтезу генераторов хаоса:

1. Синтез хаотических систем с использованием методов прогнозирования и диагностики.

2. Прямой синтез хаотических систем:

Метод введения управления в виде ограничителя фазового пространства.

Метод ограничения окрестностей точек покоя.

Метод гипер-управления.

3. Функциональный синтез хаотических систем:

Метод формирования пространственной переменной устойчивости.

Метод формирования временной переменной устойчивости.

Выбор данных методов производится в зависимости от их дальнейшего применения в алгоритмах кодирования и передачи информации с использованием хаотической несущей.

Проанализированы возможности применения и реализации полученных моделей генераторов хаоса на современной элементной базе.

Практическая ценность результатов диссертационной работы.

Проведенный анализ различных работ по синтезу систем связи, использующих преимущества хаотических сигналов, свидетельствует о состоятельности предложений по использованию хаоса в радиотехнике, а следовательно, и практической ценности полученных в работе результатов.

-б-

Особенно необходимо отметить, что в марте 2006 года технология прямохаотической связи, предложенная Институтом радиотехники и электроники РАН совместно с Институтом Передовых Технологий (SAIT) корпорации Samsung Electronics в рамках международной рабочей группы комитета IEEE по стандартизации, включена в разрабатываемый стандарт беспроводных персональных коммуникационных сетей (WPAN) — IEEE 802.15.4а в качестве опционального варианта. Потенциальный рынок для продуктов на основе платформы только в секторе DECT и сотовой телефонии, по некоторым оценкам, составляет 100-150 млрд. рублей. Данный факт подчеркивает конкурентоспособность прямохаотической системы связи, а следовательно, и перспективность развития всего направления синтеза систем передачи информации, основанных на динамическом хаосе, частью которого является представленная работа.

Предложенные в диссертационной работе новые теоретические результаты и выводы о переменной устойчивости хаотического решения представляют возможность для дальнейшего развития направления синтеза генераторов хаоса с внутренним управлением.

Полученные автором решения актуальной задачи синтеза генераторов хаоса позволяют существенно сократить объем необходимых экспериментов и количество применяемых методов для поиска новых моделей генераторов, что, безусловно, способствует развитию направления разработки систем связи на основе динамического хаоса, в особенности систем конфиденциальной передачи информации.

Данные схемы и алгоритмы генерации хаотических колебаний могут быть построены на различной элементной базе: дискретных логических элементах, больших интегральных схемах (БИС), цифровых сигнальных процессорах (ЦСП), программируемых логических интегральных схемах (ПЛИС), универсальных микропроцессорных комплектах и др.

Синтезированные генераторы хаоса являются не только доказательством работы предложенных методов, но и самостоятельными моделями и могут быть использованы на практике.

Проведенный анализ свидетельствует что оптимальным решением для реализации полученных моделей генераторов хаоса являются ЦСП и ПЛИС, так как обладают достаточным быстродействием и позволяют реализовать принцип идентичности генераторов, необходимый для реализации систем кодирования информации.

В целом результаты работы имеют как практическое, так и теоретическое применение и направлены на развитие области использования хаотических систем для передачи информации.

Объем и структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и одного приложения. Содержит 164 страницы, 69 рисунков, 2 таблицы. Список литературы содержит 92 наименования.

Основные положения, выносимые на защиту.

Алгоритм синтеза генераторов хаоса с использованием методов прогнозирования и диагностики.

Методы прямого синтеза генераторов хаоса: метод введения управления в виде ограничителя фазового пространства, метод ограничения окрестностей точек покоя и метод гипер-управления.

Методы функционального синтеза генераторов хаоса: метод формирования пространственной переменной устойчивости и метод формирования временной переменной устойчивости.

Методы исследования, достоверность и обоснованность полученных теоретических и практических результатов.

Решение поставленных задач по диагностике и синтезу моделей генераторов хаотических колебаний стало возможным благодаря известным

достижениям в области теории нелинейной динамики и не противоречит ее положениям, базируется на строго доказанных выводах фундаментальных и прикладных наук, таких, как математический анализ, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, статическая радиотехника, теория оптимизации и планирование эксперимента.

Созданные методики и предложенные алгоритмы согласуются с многочисленными экспериментами и опытом их последующего использования на практике.

Для проведения экспериментов по исследованию и моделированию поставленных задач на компьютере использовалась многоцелевая среда математического и инженерного моделирования MatLab 6.0 (© 1994-2006 The Math Works, Inc.)

Все методы и системы, использованные в работе, апробированы экспериментально вне зависимости от научных источников, из которых они заимствованы. Экспериментальные исследования метрологически обеспечены и проводились при использовании стандартного персонального компьютера на базе процессора Intel Pentium IV.

Результаты математического моделирования анализировались и сопоставлялись с опубликованными и признанными в научных кругах теоретическими и экспериментальными данными, полученными ранее.

Публикации и апробация результатов работы.

Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на заседаниях кафедры Радиотехнических систем, а также студенческих и профессорско-преподавательских конференциях МТУСИ на секции радиотехнических систем:

1. 57-я Студенческая научно-техническая конференция (2002 г.) Тема: Теория «странного» аттрактора.

2. Научная конференция профессорско-преподавательского, научного и инженерно-технического состава (2003 г.)

Тема: Теория показателей Ляпунова и ее применение для генерации хаотических колебаний.

3. 58-я Студенческая научно-техническая конференция (2003 г.)

• Тема: Системы связи с хаотической несущей.

4. Научная конференция профессорско-преподавательского, научного и . инженерно-технического состава (2004 г.)

Тема: Диагностика хаоса по сигнатуре спектра показателей Ляпунова.

5. Научная конференция профессорско-преподавательского, научного и

инженерно-технического состава (2005 г.)

Тема: Синтез генераторов хаоса с внутренним управлением.

Основные результаты диссертационной работы также опубликованы в материалах научно-технических конференций, научных журналах, депонированы в ЦНТИ «Информсвязь», всего 7 печатных работ.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цель и задачи, решаемые в работе, перечислены основные научные результаты, определены практическая ценность и область применения результатов, приведены сведения об апробации работы, представлены основные положения, выносимые на защиту, и краткое содержание работы.

В первой главе диссертационной работы рассмотрены вопросы, составляющие основу для изучения хаотических систем, и введены необходимые понятия хаотических процессов. Выполнен анализ свойств, особенностей и методов изучения классических систем с хаотическим поведением. Значительное внимание уделено анализу свойств системы Лоренца, используемой в дальнейшем для апробации методологии диагностики и алгоритма синтеза генераторов хаоса.

Представленные в главе классические хаотические системы являются основными моделями для экспериментов по созданию алгоритмов передачи информации с использованием хаотических носителей. Однако количество таких систем невелико; это объясняется тем, что на данный момент не существует методологии синтеза хаотических систем. Все имеющиеся системы были получены в результате решения каких-либо прикладных задач, как, например, система Лоренца, или простым эвристическим подбором постоянных параметров. Сложность синтеза генераторов хаоса состоит в поиске

математических моделей, а точнее, вида систем нелинейных дифференциальных уравнений, решения которых были бы хаотическими.

Можно сделать вывод, что в настоящее время ощущается недостаток моделей хаотических систем как для изучения свойств хаотических процессов, так и для дальнейшего развития и практического применения хаотических генераторов в системах конфиденциальной передачи информации.

Таким образом, в первой главе заложены основы для проведения диссертационного исследования: введены ключевые понятия теории хаоса, выполнен системный анализ отечественных и зарубежных достижений в области исследований нелинейных динамических систем с хаотическим поведением, проанализированы основные проблемы и пути их решения.

Вторая глава посвящена численно-аналитическому методу вычисления спектра показателей Ляпунова.

В разделах 2.1-2.2 проведен общий анализ теории показателей Ляпунова и методов их вычисления. Далее в разделе 2.3 предложена и теоретически обоснована рекуррентная формула вычисления спектра ляпуновских показателей с использованием численно-аналитического метода, состоящего в следующем:

Пусть система нелинейных дифференциальных уравнений вида:

х = А(х,р), х(/д) = х0, (1)

где х = —, А - известный нелинейный оператор,

А

А: К" Л",* е Л",? ей', ц - параметры системы, х(г0) = х0 - начальные условия, -

имеет численно-аналитическое решение

И-т

х,=е 1 (2)

где D^ представляет собой матрицу пхп, вычисляемую на каждом г'-м шаге решения (2) и зависящую от предыдущего значения решения х<_/, вектора постоянных коэффициентов ц и формы нелинейного оператора Л.

. Тогда j-й ляпуновский показатель удобно вычислять путем усреднения по ансамблю j-м характеристическим корням матрицы Д

^ = (3)

JV-ко ^V l-l

где q® j-й характеристический корень матрицы D¡ на i-м шаге.

Предложенный метод обладает рядом преимуществ перед стандартным; основными из них являются: выигрыш в скорости сходимости (порядка 2.5-3 раза) и точности вычисления, удобство моделирования и реализации, а также возможность вычисления всего спектра показателей в одном цикле с решением системы нелинейных дифференциальных уравнений.

В разделе 2.4 произведен анализ возможностей применения спектра показателей Ляпунова для диагностики хаотических систем. В разделе 2.5 представлены примеры использования нового метода и сравнение полученных результатов с уже существующими.

Метод вычисления спектра показателей Ляпунова является основополагающим методом для диагностики хаотических систем, поэтому было важно усовершенствование алгоритма для его вычисления, проведенное во второй главе.

Третья глава содержит анализ основных методов по изучению динамического хаоса с целью их систематизации и создания общей методологии для диагностики хаотических систем, и, как следствие, ее применение при синтезе нелинейных динамических систем с хаотическим поведением.

В разделах 3.2-3.6 проведен анализ различных методов визуальной и численной диагностики: построение фазового пространства, псевдофазового пространства, временных диаграмм и сечения Пуанкаре; вычисление спектра мощности, автокорреляционной функции и спектра показателей Ляпунова; расчет размерностей аттрактора системы. Особо необходимо отметить методы изучения поля параметров системы: построение бифуркационных диаграмм, карт режимов и зависимостей старшего показателя Ляпунова от вариации постоянных параметров.

Проведенная систематизация данных методов позволила определить порядок и целесообразность применения того или иного метода в зависимости от поставленных задач. В заключение в главе предложена методология по прогнозированию и диагностике хаотических систем, а также даны рекомендации по ее использованию.

В частности, предложен алгоритм последовательной диагностики динамических систем, предназначенный для установления факта наличия в системе хаотических колебаний, то есть ответа на вопрос: является ли диагностируемая система хаотической? Основными критериями для создания алгоритма являлись: точность диагностики, затратное время на полную процедуру диагностики, простота реализации алгоритма и возможности автоматизации полной процедуры диагностики.

Рассмотрим предложенную в главе схему алгоритма (рис. 1). Здесь под исследованием фазового пространства подразумевается использование любых методов исследования фазового пространства для определения наличия «странного аттрактора». Предпочтительнее совместное использование нескольких методов, например, анализ фазового портрета и временных диаграмм. Одним из основных преимуществ алгоритма является тот факт, что при использовании численно-аналитического метода вычисления спектра показателей Ляпунова, по формуле (3), можно организовать единую процедуру диагностики, в результате получив простоту реализации и уменьшение затратного времени на полную процедуру диагностики.

В заключении алгоритма стоит опциональный шаг, используемый при необходимости синтеза нескольких моделей хаотических систем. В общем случае на данном этапе имеет смысл применять методы изучения поля параметров системы.

При необходимости полного анализа свойств и характеристик хаотическая система может быть исследована с использованием дополнительных методов и рекомендаций, рассмотренных в главе.

Рис. 1. Схема алгоритма прогнозирования и диагностики

Основным результатом созданной в главе методологии являются систематизация и упрощение процесса диагностики, а следовательно, сокращение временных и прочих затрат на анализ и синтез нелинейных динамических систем с хаотическим поведением.

В четвертой главе приведены теоретические и экспериментальные исследования по синтезу генераторов хаоса. Рассмотрен вопрос появления хаотического решения систем нелинейных дифференциальных уравнений с

позиции теории устойчивости и предложена концепция пространственно-временной переменной устойчивости. Проанализированы возможности реализации и применения генераторов хаоса в системах передачи информации.

На данный момент доказано, что решение системы (1) является хаотическим, если оно устойчиво по Лагранжу и неустойчиво по Ляпунову. Иными словами, хаотическая динамика есть локально неустойчивое движение в замкнутом фазовом пространстве.

В представленном в разделе 4.3 методе прямого синтеза хаотических систем предлагается использовать некоторую функцию возврата и(х(ф для управления траекторией динамической системы (1) и создания локальной неустойчивости ее решения. Для этого в обратную связь рекуррентного решения (2) включается управление для контроля развития траектории в заданном фазовом объеме.

В случае, если решение системы не сохраняет своего фазового объема, то есть неустойчиво по Ляпунову и неустойчиво по Лагранжу, возможно, воспользовавшись функцией возврата, ввести управление для удержания траектории в заданном фазовом объеме 5 (рис. 2), то есть создания устойчивости по Лагранжу.

Рис.2. Схема решения (2) системы (1) с использованием управления В случае, если решение системы асимптотически устойчиво и сходится к . точке покоя, то есть устойчиво по Ляпунову и Лагранжу, то, воспользовавшись

функцией возврата, возможно создать неустойчивость по Ляпунову путем введения управления для ограничения окрестности точки покоя Я. В таком случае для работы данного алгоритма необходимо изменить условие в схеме (рис. 2) на х(1) 0 51, иначе говоря, задача управления состоит в том, чтобы не допустить траекторию в окрестность точки покоя.

Таким образом, вводя управление по ходу решения, задав дополнительные условия по устойчивости или неустойчивости, можно синтезировать хаотическую систему практически из любой нелинейной системы ОДУ, порядка равной или выше трех.

В разделе 4.4, используя концепцию пространственно-временной условной устойчивости хаотического решения, сформулированы основные принципы функционального синтеза хаотических систем.

А именно, метод формирования пространственной переменной устойчивости состоит в следующем:

Пусть имеем систему (1), где А(х,р) - условный оператор (%(х,М), при х(о

при х(1)£о;,с1..с:/

где операторы :Як ей1, а ^ и (к,=1..Ш1\

к2=1..т2\ т^сотг, т^сот!) — фазовые подпространства, такие, что С, х х... х С^ х С/ х вг3 ж... х =0,

с, с; + С/+в] +...+= О, здесь £2 - полное фазовое пространство системы.

Тогда, если учесть, что Ч*, (*,,«) устойчив, то есть решение системы х = х¥,(х,/и) устойчиво и Ч'2(хур.) - неустойчив, соответственно, можно задать области С74' иО^ , так, чтобы сохранялся баланс между сменой устойчивых и неустойчивых состояний на О, получив тем самым локальную неустойчивость, требуемую для появления хаотического решения системы.

В общем случае условный оператор можно записать как:

при х(оеа'„в,г..а,Я1-, Ч»,(*,//), при

А{х,ц) =

^„(х,»), при х(1)е

Аналогично, используя принцип временной переменной устойчивости хаотического решения, можно сформулировать метод формирования временной переменной устойчивости:

Зададим условный оператор, как

А{х,ц, 0 = -

ГЧ'.О.А). при ¿еД ^(л-./Д при те А2

где А' =Г/, и А2 =Т,3,Т'„.Т^ временные подпространства,

состоящие из совокупностей временных отрезков, заданных каким-либо заранее выбранным функциональным законом, таких, что

Г/ хГ/ Х...ХГ,' хГ/хГ/х...хГ =0,

Г/ + Г/ +... + Г + Т/ + Г/ +... + Г' =0,

где © е Я1- вектор времени - совокупность всех моментов времени, на которых определено решение (1). В данном случае оба оператора У/х, у.) и ¥2(х,ц) могут быть устойчивы, неустойчивость возникнет при их взаимном влиянии на решение в составе условного оператора.

В общем случае условный оператор можно записать как:

%(х,р), при /еД1; Ч^Ос,//), при /еДг;

Х¥к(х,1л), при / е Д*.

Предложенные математические модели и результаты экспериментов доказывают, что пространственную и временную условные устойчивости можно

легко реализовать, воспользовавшись численно-аналитическим методом решения нелинейных дифференциальных уравнений.

Таким образом, проанализировав требования к хаотическому решению и хаотической системе, можно выбрать оптимальный метод для ее синтеза: метод прямого синтеза, метод функционального синтеза или алгоритм синтеза хаотических систем с использованием методов прогнозирования и диагностики.

В разделе 4.5 рассмотрены вопросы реализации генераторов хаоса на современной элементной базе. Проанализированы проблемы которые возникают при решении данных вопросов, такие как требование к идентичности параметров генератора при использовании его в составе системы кодирования информации, простота реализации математических моделей и др. По результатам данного анализа можно сделать вывод, что при реализации генераторов хаоса целесообразнее использовать цифровые сигнальные процессоры (ЦСП) или программируемые логические интегральные схемы (ПЛИС).

Далее, в разделе 4.6, представлены результаты анализа истории развития и последних достижений в области синтеза систем передачи информации с использованием нелинейных динамических систем с хаотическим поведением, и, как следствие, был рассмотрен вопрос о практическом применении генераторов хаоса.

Подводя итог, можно сказать, что представленные в главе эксперименты и проведенный анализ существующих систем передачи информации на основе динамического хаоса, свидетельствуют о перспективности дальнейшего применения предложенных методов синтеза генераторов хаоса и указывают на новые возможности для создания систем конфиденциальной передачи информации.

В заключении работы приведены основные выводы по результатам диссертации.

В приложении представлен комплекс программ и программных модулей, написанных в среде математического моделирования МаЛаЬ 6.0,

предназначенных для системного решения задач диагностики и синтеза

генераторов хаоса, с последующим исследованием их свойств и параметров.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующему:

1. В работе проведен системный анализ отечественных и зарубежных достижений в области исследований нелинейных динамических систем с хаотическим поведением. В частности, подробно рассмотрены существующие на данный момент модели хаотических систем, выявлены их особенности и общие свойства. Детально проанализированы и промоделированы существующие методы исследования свойств хаотических систем, проведен их сравнительный анализ и сделаны выводы относительно применимости каждого метода для прогнозирования и диагностики хаоса.

2. Сделан ряд теоретических и практических предложений по расчету спектра показателей Ляпунова численно-аналитическим методом, что заметно расширило области его применения и упростило процедуру проводимых вычислений.

3. На базе проведенного анализа предложена методология прогнозирования и диагностики хаотических систем. На основе данной методологии построен пошаговый алгоритм и даны рекомендации по его использованию для поиска моделей генераторов хаоса.

4. Разработаны и теоретически обоснованы методы по синтезу генераторов хаоса путем введения управления в систему, а также предложен ряд рекомендаций по их практическому применению.

5. Проведен анализ существующих возможностей реализации генераторов хаоса на современной элементной базе и их последующего применения для цифрового кодирования информации.

6. В результате создан пакет программ по прогнозированию, диагностике и синтезу моделей генераторов хаоса использующих среду Ма^аЬ 6.0.

, Таким образом, совокупность предложенных результатов представляет возможность для дальнейшего развития теории хаотических систем и процессов, синтеза новых хаотических генераторов и решения актуальной практической задачи — синтеза систем связи, использующих преимущества динамического хаоса.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Борисов A.A., Шлома A.M. Теория показателей Ляпунова и ее применение для генерации хаотических колебаний // Тез. докл. НТК профессорско-преподавательского, научного и инженерно- технического состава МТУСИ., - Москва.: 2003, Книга №1. - С. 118-119.

2. Борисов A.A., Шлома A.M. Диагностика хаоса по сигнатуре спектра показателей Ляпунова // Тез. докл. НТК профессорско-преподавательского, научного и инженерно-технического состава МТУСИ., - Москва.: 2004, Книга №1. - С. 196-197.

3. Борисов A.A. Синтез генераторов хаоса с внутренним управлением // Тез. докл. НТК профессорско-преподавательского, научного и инженерно-технического состава МТУСИ., - Москва.: 2005, Книга №1. - С. 185-186.

4. Борисов A.A. Сравнительный анализ систем передачи информации с использованием хаотического кодирования и кодирования при помощи функций Уолша // Деп. в ЦНТИ «Информсвязь» № 2279 св. 2006 от 26.05.06. - С. 28-33.

5. Борисов A.A. Методология прогнозирования и диагностики нелинейных динамических систем с хаотическим поведением // Труды МТУСИ, 2006. -С. 182-187.

6. Борисов A.A. Синтез генераторов хаоса с внутренним управлением // Труды МТУСИ, 2006. - С. 187-192.

7. Борисов A.A. Детерминированный хаос повышает криптостойкость // Мобильные системы. - №9. - 2006. - С. 46-48.

Содержание.

Таблицы.

Рисунки.

Введение.

Глава 1 Понятие хаотических процессов и нелинейных динамических систем с хаотическим поведением.

1.1 Динамические системы и детерминированный хаос.

1.2 Анализ свойств классических динамических систем с хаотическим поведением.

1.2.1 Логистическое или квадратичное отображение.

1.2.2 Двумерное отображение Хенона.

1.2.3 Кубическое отображение Холмса.

1.2.4 Система Лоренца и Tent - отображение.

1.2.5 Схема Чуа.

1.2.6 Система Рёсслера.

1.2.7 Уравнения генератора с инерционной нелинейностью.

1.3 Выводы к первой главе.

Глава 2 Численно-аналитический метод вычисления спектра показателей Ляпунова и его применение для диагностики хаоса.

2.1 Теория показателей Ляпунова.

2.2 Стандартный метод расчета спектра показателей Ляпунова.

2.3 Численно-аналитический метод вычисления спектра показателей

Ляпунова.

2.4 Свойства показателей Ляпунова. Связь показателей Ляпунова с другими характеристиками системы.

2.5 Пример модельной задачи.

2.5.1 Система Лоренца (трехмерное фазовое пространство).

2.5.2 Две симметрично связанные системы Лоренца (шестимерное фазовое пространство).

2.6 Выводы ко второй главе.

Глава 3 Методология прогнозирования и диагностики хаоса с использованием численно - аналитического метода вычисления спектра показателей Ляпунова.

3.1 Постановка задачи. Критерии прогнозирования и диагностики хаотических систем.

3.2 Эволюция на фазовой плоскости и во времени.

3.3 Отображение Пуанкаре.

3.4 Бифуркации.

3.5 Спектр мощности и автокорреляционная функция.

3.6 Фрактальная размерность.

3.7 Методология прогнозирования и диагностики хаоса.

3.7.1 Построение и анализ фазового пространства.

3.7.2 Построение и анализ временных диаграмм.

3.7.3 Построение и анализ двумерного и трехмерного псевдофазового пространства.

3.7.4 Построение и анализ отображения Пуанкаре.

3.7.5 Вычисление и анализ автокорреляционной функции.

3.7.6 Вычисление и анализ спектра показателей Ляпунова.

3.7.7 Расчет размерностей аттрактора системы.

3.7.8 Построение и анализ бифуркационных диаграмм.

3.7.9 Построение и анализ зависимостей старшего показателя Ляпунова от вариации постоянного параметра.

3.7.10 Построение и анализ карты режимов двухпараметрический анализ).

3.8 Выводы к третьей главе.

Глава 4 Методика синтеза динамических систем с хаотическим поведением

4.1 Выбор математической модели.

4.2 Синтез нелинейных динамических систем с хаотическим поведением с использованием методов прогнозирования и диагностики.

4.2.1 Синтезированная система № 1.

4.2.2 Синтезированная система №2.

4.2.3 Синтезированная система №3.

4.3 Прямой синтез хаотических систем.

4.3.1 Метод введения управления в виде ограничителя фазового пространства.

4.3.2 Метод ограничения окрестностей точек покоя.

4.3.3 Метод гипер-управления - получение компрессионного хаоса.

4.4 Функциональный синтез хаотических систем - Функциональное управление.

4.4.1 Концепция пространственной и временной переменной устойчивости для синтеза хаотических систем.

4.4.2 Метод формирования пространственной переменной устойчивости.

4.4.3 Метод формирования временной переменной устойчивости.

4.5 Анализ возможностей реализации алгоритмов генерации хаотических колебаний на современной элементной базе.

4.6 История развития и последние достижения в области синтеза систем передачи информации, с использованием нелинейных динамических систем с хаотическим поведением.

4.7 Применение генераторов хаотических колебаний для систем защиты контента в решениях IP телевидения.

4.8 Выводы к четвертой главе.

Актуальность проблемы.

Динамический хаос - сложное непериодическое движение, порождаемое нелинейными системами с детерминированными параметрами, при отсутствии внешнего шума. Неупорядоченное, хаотическое поведение обнаруживается во многих процессах, протекающих в различных природных и технических объектах. В течение последней четверти XX века, с момента открытия динамического хаоса интерес к нему в научной среде не ослабевает. На сегодняшний день доказано [4,41,46], что системы с хаотическим поведением не являются исключением, а представляют собой самостоятельный класс нелинейных динамических систем - хаотических систем.

Необходимо так же подчеркнуть, что хаотическое поведение системы вовсе не означает, что поведение носит случайный характер: при одних и тех же значениях параметров и начальных условиях системы (заданных с необходимой точностью) решение соответствующей нелинейной задачи может носить случайно-подобный характер. Однако, при повторении тех же начальных условий и сохранении прежних значений параметров системы, эти случайно-подобные решения всякий раз будут повторяться.

Одним из первых, кто обратил внимание на явление хаотического поведения траекторий нелинейных динамических систем, был А. Пуанкаре, который еще в 1905 году в книге «Наука и метод» писал, что в некоторых неустойчивых режимах системы « . совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которого мы не можем предусмотреть. . Предсказание становиться невозможным, мы имеем перед собой явление случайное». Таким образом, еще в начале прошлого века Пуанкаре описал одно из основных свойств хаотического процесса - экспоненциальная неустойчивость и зависимость от малых изменений начальных параметров системы. Позднее, на основе данного свойства, был предложен метод диагностики хаотических систем при помощи вычисления спектра показателей Ляпунова.

Еще одним историческим событием в развитии теории хаоса стала публикация статьи американского математика Лоренца в 1963 году, работавшего над проблемой предсказания погоды, которая называлась: "Детерминированное непериодическое течение" [80]. В этой работе была представлена динамическая модель, описывающая явление конвекции Релея-Бенара. Необычным было то, что при определенных значениях так называемого управляющего параметра, входящего в систему модельных уравнений, ее решение становилось хаотическим. В отличие от господствовавших представлений, по которым хаос есть что-то неправильное, привносимое в систему извне, система сама генерировала хаотическое решение, которое могло быть описано в статистических терминах. Необычным в этой системе было также поведение фазовой траектории, которая представляла собой аттрактор обладающий странными, взаимоисключающими свойствами: фазовые траектории разбегались с одной стороны и, в тоже время, стягивались в ограниченный объем пространства, с другой стороны.

После появления работы Лоренца были описаны и другие системы, имеющие решение в виде "странного" аттрактора, такие как система Ресслера [51,85], Дуффинга [60], Ван дер Поля [43] и др.

В последние 15-20 лет, как в России, так и за рубежом, ведется интенсивные разработки по использованию хаотических систем в радиотехнике. Исследования проходят в различных областях возможного применения хаоса, но все же основные надежды возлагаются на системы конфиденциальной передачи информации с использованием хаотической несущей.

Хотелось бы отметить, что за время развития данной тематики сделаны серьезные шаги к воплощению данных идей в реальные системы, открыто и исследовано явление самосинхронизации хаотических систем, а также начиная с 1992 г., был предложен ряд способов передачи информации, использующих хаотическую динамику [28]: хаотическая маскировка [66,70,77], переключение хаотических режимов [11,36,67,82,83], нелинейное подмешивание [15,30,25,26,68,69], схемы на основе фазовой автоподстройки частоты (ФАП) [55,56] и другие [19,27,58,62,74,75,91].

Большой вклад в развитие этого направления внесла группа ученых под управлением А.С. Дмитриева при Институте радиотехники и электроники РАН, которая наиболее близко подошла к реализации данной идеи в реальных системах передачи информации [19,22-31]. Проведенные ими эксперименты еще раз доказали, как перспективность данного направления, так и необходимость в более глубоком изучении хаотических систем и поиске новых моделей для генерации хаоса.

На данный момент остро стоит проблема недостатка «элементной базы» вышеупомянутых систем, а именно, для дальнейшего развития и синтеза систем передачи информации с использованием хаоса, необходимо иметь большое количество моделей генераторов хаотических колебаний (генераторов хаоса), с различными свойствами и параметрами, как собственной внутренней структуры, так и генерируемых ими хаотических колебаний. В большинстве работ по синтезу систем конфиденциальной связи используются одни и те же классические модели генераторов хаоса, а в таком случае сложно говорить о конфиденциальности. Исследование данного вопроса проводится многими учеными по всему миру, уже синтезирован ряд совершенно новых моделей генераторов хаоса [1-5, 20, 29, 51, 71, 64, 65, 88 и др.] и все же таких моделей насчитывается около трех десятков. Сложность состоит в отсутствии методологии синтеза генераторов хаоса и недостаточной изученности причин возникновения хаотического решения в нелинейных динамических системах.

Цель диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является создание практической методологии по прогнозированию, диагностике и синтезу нелинейных динамических систем с хаотическим поведением. Иначе говоря, создание алгоритмов для поиска хаотических режимов в заданных нелинейных системах и изучение возможностей введения управления для синтеза генераторов хаоса.

Основные задачи решаемые в работе:

1. Систематизация и анализ способов прогнозирования и диагностики хаотических систем.

2. Развитие теоретических и практических положений по расчету спектра показателей Ляпунова с использованием численно-аналитического метода решения систем нелинейных дифференциальных уравнений предложенного в [59].

3. Разработка методологии прогнозирования и диагностики хаотических систем и ее применения при синтезе генераторов хаоса.

4. Поиск методов синтеза генераторов хаоса с использованием дополнительных функций управления. Разработка рекомендаций по использованию предлагаемых методов.

5. Разработка пакета программ и программных модулей для прогнозирования, диагностики и синтеза хаотических систем при использовании среды математического моделирования MatLab 6.0.

6. Анализ существующих возможностей реализации полученных моделей генераторов хаоса на современной элементной базе.

Научная новизна теоретических положений и результатов экспериментальных исследований.

Автором впервые представлен комплекс методов и рекомендаций для системного решения задач диагностики и синтеза генераторов хаоса, с последующим исследованием их свойств и параметров. Для практического решения данной задачи предложен пакет программ и программных модулей, реализованных на базе системы MatLab 6.0, что позволяет значительно уменьшить временные затраты на поиски и синтез моделей генераторов хаоса, требуемых для применения в системах конфиденциальной связи.

Впервые предложена рекуррентная формула вычисления спектра показателей Ляпунова, анализ которого является основополагающим при диагностике хаоса. Формула позволяет проводить вычисления в одном цикле с решением системы, что проявляется в значительной экономии затратного времени и ресурсов вычислительной машины.

В работе предложена и теоретически обоснована новая концепция пространственно-временной переменной устойчивости, вследствие этого представлены методы по применению данной концепции при синтезе нелинейных динамических систем с хаотическим поведением.

Впервые приведены результаты экспериментальных исследований по моделированию генераторов хаоса с внутренним управлением, вводимым в состав системы для поддержания ее локальной неустойчивости.

В итоге в работе предложен следующий комплекс методов по синтезу генераторов хаоса:

1. Синтез хаотических систем с использованием методов прогнозирования и диагностики.

2. Прямой синтез хаотических систем:

Метод введения управления в виде ограничителя фазового пространства.

Метод ограничения окрестностей точек покоя.

Метод гипер-управления.

3. Функциональный синтез хаотических систем:

Метод формирования пространственной переменной устойчивости.

Метод формирования временной переменной устойчивости.

Выбор данных методов производится в зависимости от их дальнейшего применения в алгоритмах кодирования и передачи информации с использованием хаотической несущей.

Проанализированы возможности применения и реализации полученных моделей генераторов хаоса на современной элементной базе.

Практическая ценность результатов диссертационной работы.

Проведенный анализ различных работ по синтезу систем связи, использующих преимущества хаотических сигналов [11,19,22-33,58,73-75,6671,83 и др.], свидетельствует о состоятельности предложений по использованию хаоса в радиотехнике, а следовательно, и практической ценности полученных в работе результатов.

Особенно необходимо отметить, что в марте 2006 года технология прямохаотической связи, предложенная Институтом радиотехники и электроники РАН совместно с Институтом Передовых Технологий (SAIT) корпорации Samsung Electronics в рамках международной рабочей группы комитета IEEE по стандартизации, включена в разрабатываемый стандарт беспроводных персональных коммуникационных сетей (WPAN) -IEEE 802.15.4а в качестве опционального варианта. Потенциальный рынок для продуктов на основе платформы только в секторе DECT и сотовой телефонии, по оценкам представленным в [23], составляет 100-150 млрд. рублей. Данный факт подчеркивает конкурентоспособность прямохаотической системы связи, а следовательно, и перспективность развития всего направления синтеза систем передачи информации, основанных на динамическом хаосе, частью которого является представленная работа.

Предложенные в диссертационной работе новые теоретические результаты и выводы о переменной устойчивости хаотического решения представляют возможность для дальнейшего развития направления синтеза генераторов хаоса с внутренним управлением.

Полученные автором решения актуальной задачи синтеза генераторов хаоса позволяют существенно сократить объем необходимых экспериментов и количество применяемых методов для поиска новых моделей генераторов, что, безусловно, способствует развитию направления разработки систем связи на основе динамического хаоса, в особенности систем конфиденциальной передачи информации.

Данные схемы и алгоритмы генерации хаотических колебаний могут быть построены на различной элементной базе: дискретных логических элементах, больших интегральных схемах (БИС), цифровых сигнальных процессорах (ЦСП), программируемых логических интегральных схемах (ПЛИС), универсальных микропроцессорных комплектах и др.

Синтезированные генераторы хаоса являются не только доказательством работы предложенных методов, но и самостоятельными моделями и могут быть использованы на практике.

Проведенный анализ свидетельствует что оптимальным решением для реализации полученных моделей генераторов хаоса являются ЦСП и ПЛИС, так как обладают достаточным быстродействием и позволяют реализовать принцип идентичности генераторов, необходимый для реализации систем кодирования информации.

В целом результаты работы имеют как практическое, так и теоретическое применение и направлены на развитие области использования хаотических систем для передачи информации.

Объем и структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и одного приложения. Содержит 168 страниц, 71 рисунок, 2 таблицы. Список литературы содержит 92 наименования.

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующему:

1. В работе проведен системный анализ отечественных и зарубежных достижений в области исследований нелинейных динамических систем с хаотическим поведением. В частности, подробно рассмотрены существующие на данный момент модели хаотических систем, выявлены их особенности и общие свойства. Детально проанализированы и промоделированы существующие методы исследования свойств хаотических систем, проведен их сравнительный анализ и сделаны выводы относительно применимости каждого метода для прогнозирования и диагностики хаоса.

2. Сделан ряд теоретических и практических предложений по расчету спектра показателей Ляпунова численно-аналитическим методом, что заметно расширило области его применения и упростило процедуру проводимых вычислений.

3. На базе проведенного анализа предложена методология прогнозирования и диагностики хаотических систем. На основе данной методологии построен пошаговый алгоритм и даны рекомендации по его использованию для поиска моделей генераторов хаоса.

4. Разработаны и теоретически обоснованы методы по синтезу генераторов хаоса путем введения управления в систему, а также предложен ряд рекомендаций по их практическому применению.

5. Проведен анализ существующих возможностей реализации генераторов хаоса на современной элементной базе и их последующего применения для цифрового кодирования информации.

6. В результате создан пакет программ по прогнозированию, диагностике и синтезу моделей генераторов хаоса использующих среду MatLab 6.0.

Таким образом, совокупность предложенных результатов представляет возможность для дальнейшего развития теории хаотических систем и процессов, синтеза новых хаотических генераторов и решения актуальной практической задачи - синтеза систем связи, использующих преимущества динамического хаоса.

Заключение

1. Анищенко B.C., Астахов В. В., Летчфорд Т. Е. Многочастотные и стохастические автоколебания в автогенераторе с инерционной нелинейностью // Радиотехника и электроника, 1980, Т. 27, № 10.

2. Анищенко B.C. Динамические системы // Соровский образовательный журнал, 2002, №6.

3. Анищенко B.C. Знакомство с нелинейной динамикой // Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

4. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах // М.: Наука, 1990.

5. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б. и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах // Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

6. Анищенко B.C., Сильченко А.Н., Хованов И.А. Взаимная синхронизация и рассинхронизация систем Лоренца // Письма в ЖТФ, 1998, Т. 24, №7.

7. Анищенко B.C. Детерминированный хаос // Соровский образовательный журнал, 1997, №6.

8. Арансон И.С., Рейман A.M., Шехов В.Г. Методы измерения корреляционной размерности в эксперименте // Нелинейные волны. Динамика и эволюция., М.: Наука, 1989.

9. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения //М.: Наука, 1984.

10. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильященко Ю.С. Шильников Л.П. Теория бифуркаций. // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 1986, Т.5.

11. Вельский Ю.Л., Дмитриев А. С. Передача информации с помощью детерминированного хаоса // Радиотехника и электроника, 1993, Т. 38, №7.

12. Бутенин Н.В., Неимарк Ю.И. Введение в теорию нелинейных колебаний. // М.: Наука, 1987.

13. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости // М.: Наука, 1966.

14. Варакин Л. Е. Системы связи с шумоподобными сигналами // М.: Радио и связь, 1985.

15. Волковский А.Р., Рульков Н. В. Синхронный хаотический отклик нелинейной системы передачи информации с хаотической несущей // Письма в ЖТФ, 1993, Т. 19, № 3.

16. Громаков Ю.А. Стандарты и системы подвижной радиосвязи // М.: Мобильные ТелеСистемы-Эко-Трендз, 1997.

17. Губанов Д., Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О., Стешенко В. Генераторы хаоса в интегральном исполнении // Инженерная микроэлектроника (Chip News), 1999, № 8.

18. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике // М.: Постмаркет, 2001.

19. Дмитриев А. С., Кяргинский Б.Е., Максимов Н.А., Панас А.И., Старков С.О. Перспективы создания прямо хаотических систем связи в радио- и СВЧ-диапазонах // Радиотехника, 2000, № 3.

20. Дмитриев А.С., Кислов В. Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике // М.: Наука, 1989.

21. Дмитриев А.С., Кузьмин Л.В., Панас А.И., Старков С.О. Эксперименты по передаче информации с использованием хаоса через радиоканал // Радиотехника и электроника, 1998, Т. 43, № 9.

22. Дмитриев А.С., Кяргинский Б.Е., Панас А.И., Старков С.О. Прямохаотические схемы передачи информации в сверхвысокочастотном диапазоне // Радиотехника и электроника, 2001, Т. 46, №2.

23. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос. Новые носители информации для систем связи // М.: Физматлит, 2002. Дмитриев А.С., Панас А.И. Странные аттракторы в кольцевых автоколебательных системах с инерционными звеньями // ЖТФ, 1986, Т. 56, №4.

24. Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос какпарадигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника.

25. Успехи современной радиоэлектроники, 1997, № 10.

26. Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О. и др. Способ передачиинформации с помощью хаотических сигналов // Пат. РФ № 2185032,2707.2000.

27. Карташевский В.Г., Мишин Д.В. Прием кодированных сигналов в каналах с памятью // М.: Радио и связь, 2004.

28. Кияшко С. В., Пиковский А. С., Рабинович М. И. Автогенератор радиодиапазона со стохастическим поведением // Радиотехника и электроника, 1980, Т. 25, № 2.

29. Корн Г. Корн Т. Справочник по математике. // М.: Наука, 1968. Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций) // М.: Изд-во физико-математической литературы, 2001.

30. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики //М.: УРСС, 2004.

31. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новый взгляд на аттрактор Лоренца //

32. Дифференциальные уравнения, 2001, Т.37, №11.

33. Мун. Ф. Хаотические колебания. // М.: Мир, 1990.

34. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. // М.:1. Наука, 1987.

35. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний ИМ.: Наука, 1972.

36. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. // М.: Наука, 1987.

37. Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Тр. Моск. Мат. Об-ва. // 1968, Т. 19.

38. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.Х //М.: Диалог-МИФИ, 1999.

39. Прокис Дж. Цифровая связь. Пер. с англ. Под ред. Д. Д. Кловского. // М.: Радио и связь, 2000.

40. Рябенький И.С. Введение в вычислительную математику // М.: Наука, 1994.

41. Странные аттракторы. Сб. статей под ред. Я.Г. Синая и Л. П. Шильникова//М.: Мир, 1981.

42. Сычев В.В. Вычисление стохастических характеристик физиологических данных // Пущинский Государственный Университет, 1999.

43. Треногин В.А. Функциональный анализ // М.: Наука, 1993.

44. Хэррис, К. Валенка Ж. Устойчивость динамических систем с обратнойсвязью // М.: Мир, 1987.

45. Шильников JI.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. Кн.: Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождение цикла и ее приложения. Добавление II. // М.: Мир, 1980.

46. Широков М. Е. Многопользовательская схема связи на хаотических несущих // Радиотехника и Электроника, 1999, Т. 44, № 5.

47. Шлома A.M. Об одной проблеме приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2001, Т. 41, №3.

48. Шустер Г. Детерминированный хаос. // М.: Мир, 1988.

49. Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. //М.: Наука, 1969.

50. Abarbanel Н., Rulkov N., Tshimring L., Rabinovich M. Chaotic communication apparatus and metod for use with a wired or wireless transmission link // Patent № 5,923,760 USA.

51. Andreyev Yu.V., Dmitriev A.S., Efremova E.V. et al. // Int. J. Bifurcation and Chaos, 2005, V. 15, №. 11.

52. Chua L.O., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family // IEEE Trans. Circuits and Syst. CAS-33,1986.

53. Chua's circuit: A paradigm for chaos. Ed. by Madan R.N. // Singapore: World scientific, 1993.

54. Cuomo M.K., Oppenheim A.V., Strogatz S.H. Synchronization of Lorenz-Based Chaotic Circuits with Applications to Communications / IEEE Trans. Circuits and Systems, 1993, V. 40, № ю.

55. Dedieu H., Kennedy M., Hasler M. Chaos shift keying: Modulation and demodulation of a chaotic carrier using self-synchronizing Chua's circuits // IEEE Trans. Circuits and Systems, 1993, V. CAS-40, № 10.

56. Dmitriev A.S., Panas A.I., Starkov S.O., Kuzmin L. Experiments on RF-band communications using chaos // Int. J. of Bifurcation and Chaos, 1997, V. 7, №11.

57. Dmitriev A.S., Panas A.I., Starkov S.O. Experiments on speech and music signals transmission using chaos // Int. J. of Bifurcation and chaos, 1995, V. 5, №4.

58. Downes Ph. Secure communication using chaotic synchronization // SPIE, 1993, V. 2038.

59. Elwakil, A.S., Kennedy, M.P., Chua's circuit decomposition: a systematic design approach for chaotic oscillators // Journal of the Franklin Institute, 2000, V. 337, №.2-3.

60. Feigenbaum M.J., Qualitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations//J.Stat. Phis.l9(l), 1978.

61. Fujisaka H., Yamada T. Stability theory of synchronized motions in coupled systems /Prog. Theor. Phys., 1983, V. 69.

62. Halle K.S., Chai Wah Wu, Itoh M., Chua L.O. Spread Spectrum Communication through Modulation of Chaos // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1993, V. 3, № 2.

63. Hayes S., Grebogi C., Ott E. Communication with chaos // Phys. Rev. Lett, 1993, V. 70(20).

64. Holmes P.J., A Nonlinear Oscillation With a Strange Attractor // Philos. Trans. R. Soc. London, A 292, 1979.

65. Kocarev L., Halle K.S., Eckert K., Chua L., Parlitz U. Experimental demonstration of secure communications via chaotic synchronization // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1992, V. 2, № 3.

66. Kolumban G, Kennedy M.P, Chua L.O. // IEEE Trans., 1997, Y. CS-44.

67. Kolumban G., Kennedy M.P., Chua L.O. // IEEE Trans., 1998, V. CS-45.

68. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Journ. of the Atmospheric Science, 1963, V. 20.

69. May R.M., Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics //Nature 261,1976.

70. Ogorzalek M.J. Timing chaos. Part 1 — Synchronization // IEEE Trans. Circuits and Systems, 1993, V. 40, № 10.

71. Parlitz U., Chua L., Kocarev L., Halle K., Shang A. Transmission of digital signals by chaotic synchronization // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1992, V. 2, № 4.

72. Pecora L.M., Carroll T.L. Synchronization in chaotic systems /Phys. Rev. Lett., 1990, V. 64, № 8.

73. Rosier O.E. Chemical Turbulence: Chaos in a Small Reaction-Diffusion System // Z. Naturforsch a 31,1976.

74. Ruelle D., Takens F., Commun. Math Phys.20, 1971.

75. Shil'nikov A.L., Shil'nikov L.P., Turaev D.V. Normal forms and Lorenz attractors // Int. J. Bifurcations and Chaos, 1993, V.3, № 5.

76. Shil'nikov L.P. Chua's circuit: rigorous result and future problems // Int. J. Bifurcations and Chaos, 1994, V.4, № 3.

77. Simon Haykin Jose Principe Making sense of a complex world // IEEE signal processing magazine, 1998, №5.

78. Sparrow C. The Lorenz equations: Bifurcations, chaos and strange attractors. // Springer Verlag, N.-Y, 1982.

79. Yang Т., Chua L. 0. Impulsive control and synchronization of nonlinear dynamical systems and application to secure communication // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1997, V. 7(3).

80. Yorke J.A., Yorke E.D Metastable chaos: the transition to sustained chaotic oscillation in a model of Lorenz// J.Stat. Phys., 1979.

81. СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

82. Борисов А.А., Шлома A.M. Теория показателей Ляпунова и ее применение для генерации хаотических колебаний // Тез. докл. НТК профессорско-преподавательского, научного и инженерно- технического состава МТУ СИ., Москва.: 2003, Книга №1. - С. 118-119.

83. Борисов А. А., Шлома A.M. Диагностика хаоса по сигнатуре спектра показателей Ляпунова // Тез. докл. НТК профессорско-преподавательского, научного и инженерно-технического состава МТУСИ., Москва.: 2004, Книга №1. - С. 196-197.

84. Борисов А.А. Синтез генераторов хаоса с внутренним управлением // Тез. докл. НТК профессорско-преподавательского, научного и инженерно-технического состава МТУСИ., Москва.: 2005, Книга №1. - С. 185-186.

85. Борисов А.А. Сравнительный анализ систем передачи информации с использованием хаотического кодирования и кодирования при помощи функций Уолша // Деп. в ЦНТИ «Информсвязь» № 2279 св. 2006 от 26.05.06. С. 28-33.

86. Борисов А.А. Методология прогнозирования и диагностики нелинейных динамических систем с хаотическим поведением // Труды МТУСИ, 2006. -С. 182-187.

87. Борисов А.А. Синтез генераторов хаоса с внутренним управлением // Труды МТУСИ, 2006. С. 187-192.

88. Борисов А.А. Детерминированный хаос повышает криптостойкость // Мобильные системы. №9. - 2006. - С. 46-48.