автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Аналитические методы и модели управления надежностью систем при неточной исходной информации

На правах рукописи

Масоди Дмитрий Анварович

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ НАДЕЖНОСТЬЮ СИСТЕМ ПРИ НЕТОЧНОЙ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Специальность 05 13 01 - Системный анализ, управление и обработка информации

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ 1В45Б4

Москва - 2008

Работа выполнена в Вычислительном Центре им. А.А. Дородницына РАН

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Дедков В К

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Бутусов О Б

доктор физико-математических наук, профессор Ишмухаметов А 3

Ведущая организация:

Российский Университет Дружбы Народов (РУДН)

Защита диссертации состоится » сре&Лс1и&- 2008 г в « /4 » часов на заседании Диссертационного совета Дб02 017 03 в Вычислительном Центре им А А Дородницына РАН по адресу 119333, г Москва, ул Вавилова, 40

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН им А А Дородницына

Автореферат разослан « $ » ЯМ^&^^Я- 2008 ]

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Мухин А В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Практика производства и эксплуатации высоконадежных малосерийных объектов космической техники показывает необходимость предъявления требований к надежности космической техники уже на этапе разработки, с тем чтобы технические характеристики проектируемых объектов обеспечивали требуемый уровень надежности. При этом сокращаются как объемы заводских, так и летных испытаний

В такой постановке задача управления надежностью является «обратной» задачей по отношению к прогнозированию надежности, являющемуся прямой задачей оценивания надежности

Задача управления надежностью сложных технических систем или задача синтеза составляющих комплекса условий испытаний является следствием решения проблемы анализа надежности сложных систем, естественным завершением круга вопросов, связанных с созданием сложных технических объектов с заданными эксплуатационными характеристиками, в частности с заданной надежностью.

В математической модели задачи управления надежностью заданными являются классы функций, описывающих законы изменения характеристик надежности, и характеристики условий применения уникальных объектов, а искомыми являются требуемые законы распределения характеристик технического качества.

Под управлением надежностью понимается получение законов изменения характеристик качества системы на основе требуемого закона изменения надежности

Данная задача относится к классу обратных задач математической теории надежности Обратные задачи являются некорректными, т е их решения неустойчивы к из-

менениям исходных данных Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач

Если исходные данные известны приближенно, то упомянутая неустойчивость приводит к практической неединственности решения в рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближенного решения.

Исходные данные задачи управления надежностью, получаемые обычно в результате статистических измерений, содержат случайные погрешности Поэтому при построении приближенных решений и при оценке их погрешностей, в зависимости от характера исходной информации, возможен как детерминированный подход, так и вероятностный

Основы теории решения некорректных задач заложили академики А Н Тихонов, М.А. Лаврентьев и их последователи.

Особенности решения некорректных задач теории надежности изложены в работах В К. Дедкова.

К настоящему времени разработано большое число как общих, так и частных методов решения некорректных задач, нашедших разнообразное применение на практике Подавляющее большинство этих методов, основано на численных подходах к их решению.

Методом решения некорректных задач, нашедшим наиболее широкое применение, является метод регуляризации, предложенный А Н. Тихоновым Большинство других, как существующих, так и разрабатываемых методов, как правило, являются модификациями этого метода К его достоинству следует отнести, в первую очередь, его уни-

версальность практически любая некорректная задача может быть решена методом регуляризации

Однако применение данного метода требует решения сложных вариационных уравнений, нахождение параметра регуляризации является самостоятельной, подчас довольно сложной, задачей, а само решение возможно получить, как правило, только применяя численные методы Из анализа существующих методов решения обратных задач управления надежностью следует, что для практических приложений желательно иметь несколько иной метод, пусть менее общий, но позволяющий относительно просто получать регуляризованные (устойчивые) решения некорректных задач аналитическим путем.

Данная диссертационная работа посвящена разработке аналитического метода решения задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

Целью диссертационного исследования является разработка аналитического метода решения задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации, применимого также для решения широкого класса некорректных задач, возникающих в различных практически важных задачах физики и техники.

Методы исследования. В работе, на основе классических результатов и методов решения некорректных задач, с использованием математического аппарата математического и функционального анализа, теории операторных и интегральных уравнений, линейной алгебры, математической статистики и теории вероятностей разработан аналитический метод решения задачи управления надежностью

Достоверность и обоснованность полученных результатов основана на корректности постановок задач, строгом использовании методов математического и функционального анализа, алгебры и теории вероятностей. Все полученные результаты имеют строгие доказательства.

Научная новизна. В диссертации впервые поставлена, проанализирована и решена аналитическим методом задача управления надежностью сложных технических систем с приближенно известными случайными исходными данными Разработан новый аналитический метод решения широкого класса некорректных задач, в первую очередь, задачи управления надежностью.

Практическая полезность. Результаты диссертации применены в задаче управления надежностью сложных технических систем, в частности, космических систем, действующих в условиях переменных нагрузок, стохастические законы распределения которых заданы приближенно. Разработанный метод позволяет проектировать элементы космических систем с заданными характеристиками надежности.

Разработанный метод может быть применен для решения большого числа практически важных некорректных задач в гильбертовом пространстве, в частности задач, описываемых интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода

Личный вклад.

1) Поставлена, проанализирована и решена некорректная задача управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации;

2) Разработан новый метод решения широкого класса некорректных задач в гильбертовом пространстве, осно-

ванный на отображении исходной задачи в изоморфное (гомеоморфное) пространство;

3) Получены необходимые и достаточные условия устойчивости получаемого решения,

4) В диссертации решена задача управления надежностью элементов бортовой аппаратуры космического аппарата, действующих в условиях случайных нагрузок, с приближенно известными законами распределения

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на Международном симпозиуме «Надежность и качество» - 2007, г. Пенза и на Международной научной конференции «Фундаментальные проблемы системной безопасности», г Москва, 2007 г Результаты работы также обсуждались на семинаре отдела Безопасности и^ устойчивости систем Вычислительного Центра им A.A. Дородницына РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 научных работ

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы Библиографический список включает 114 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведена общая характеристика представленной работы, включающая актуальность темы исследования, ее цель, методы и область исследования, достоверность, научную новизну, практическую значимость, реализацию результатов, полученных в работе Также во введении приведено краткое содержание диссертации.

В первой главе диссертации дается постановка общей задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации Анализируются качественные аспекты данной задачи как проблемы прикладного системного анализа и обработки информации. Приводится определение задачи управления надежностью как получения законов изменения характеристик качества системы на основе требуемого закона изменения надежности при заданных законах внешнего воздействия на элементы сложной технической системы (нагрузках).

Уравнения связи между характеристиками комплекса испытаний и показателями надежности, полученные методом косвенного измерения показателей надежности, даны в следующей форме

со

PÁn) = \F7\x)Rs(x)dFÁx), (1)

-00

Rñ(n)= ]F'Ux)dFÁ.x), (2)

—x>

где ря (п) - распределение вероятности отказа по числу испытаний;

Rí¡(n) - функция надежности (дополнительная функция распределения времени безотказной работы);

й - случайное наибольшее значение нагрузки в одном испытании при стационарном (в стохастическом смысле) процессе нагружения,

х - случайная величина сопротивляемости, необратимые изменения которой в процессе испытаний не учитываются; Ft (*) и Fi(x) - соответственно, функция распределения наибольшего значения нагрузки в одном испытании и функция распределения сопротивляемости; F"s (х) - функция распределения наибольшего значения нагрузки после п испытаний, п - число испытаний в серии

Система (1)-(2) представляет собой математическую модель задачи управления надежностью при отсутствии старения исследуемого объекта Данные уравнения есть интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода.

При решении прямой задачи, т е задачи анализа (прогнозирования) надежности в качестве измеренных характеристик выступают случайные переменные и и х, а определяемой является случайная величина п. По условиям обратной задачи (задачи управления) измеренными являются п и й, а определяемой - х.

Функция Fi{x) (функция распределения случайной величины х) считается абсолютно непрерывной Тогда

—00

и уравнение (1) запишется в виде

Рп (п) = ] FT10) Rs (х) <р~х (x)dx,

—00

где функция (рх{х) есть плотность функции распределения

случайной величины х.

Функцию р„ (п) можно содержательно интерпретировать как фазовую траекторию системы в координатах время-надежность Функция <р-(х) есть, в этом случае,

управление, определяющее необходимый закон изменения технических характеристик системы, позволяющий получить требуемый закон изменения надежности рй(п). Управляемыми параметрами системы являются способы агрегирования подсистем, технические характеристики отдельных элементов, методы контроля качества и т. д

В диссертации было принято допущение, что функция распределения наибольшего значения нагрузки после п испытаний Ря(х) подчиняется закону экстремальных распределений и имеет вид-

Р1{х) = ехр^-ехр

~Р

X - ¡л-

1п п

р

(3)

где // и /? - параметры распределения.

Функция надежности записывается в виде

Я;, О) = 1 - Л О) = 1 - ехр{- ехр[- р(х - //)]}. Уравнение (1) записывается в «стандартной» форме

ря 0п) = | К(х, п) <р. (х)сЬс, (4)

где К(х, п) = ехр<| - ехр

-р

1 р Л

И1 - ехр{- ехр[- р(х - //)]})

ядро интегрального уравнения.

Из физического смысла задачи следует, что функции ря(п) и ср.(х) принадлежат классу ¿2,т е классу функций с интегрируемым квадратом модуля на соответствующем интервале Это означает, что данные функции принадлежат гильбертову пространству Ьг .

Параметры распределения /л и /? определяются статистическим путем на основе анализа экспериментально полученных данных и, следовательно, являются неточными. Неточность связана как с погрешностью измерений, так и погрешностью, возникающей при статистической обработке данных

Функция рй (п), задаваемая исходя из требований по надежности к проектируемой системе, также является неточной. Это объясняется тем, что реальное распределение отказов не может абсолютно точно соответствовать теоретической функции распределения Поэтому правильнее задавать класс функций распределения, удовлетворяющих определенным ограничениям. Это усложняет задачу, но зато более адекватно отражает ее физическую сущность.

Далее в первой главе проводится анализ уравнения (4) и доказывается неустойчивость его решения Т. е бесконечно малым изменениям функции рй(п) могут соответствовать произвольные изменения решения <Рц(х). Таким образом, устанавливается некорректность задачи управления надежностью

Для задачи управления надежностью характерно то обстоятельство, что не только левая часть уравнения (4), но и сам интегральный оператор заданы приближено. Это делает задачу нахождения решений уравнения (4) «существенно некорректной»

Таким образом, в математической постановке, задача управления надежностью состоит в нахождении решения уравнения (4) устойчивого к изменению исходных данных при неточно заданных операторе и левой части.

Далее в первой главе описывается методика обработки исходной информации в задаче управления надежностью, т. к от правильности принятых статистических гипотез и качества обработки информации в большой степени зависит эффективность и точность решения основной задачи

Особенностью задачи управления надежностью является анализ поведения системы на длительном интервале времени (от нескольких месяцев до нескольких лет) В этом случае случайные флуктуации переменных внешних воздействий на систему (внешних нагрузок) «сглаживают-

ся», а сами переменные внешние нагрузки приобретают характер стационарных случайных процессов

В первой главе приводятся статистические методы получения характеристик внешних воздействий в виде параметров стационарного в широком смысле случайного процесса и анализируются их особенности.

Во второй главе диссертации проводится анализ причин некорректности (неустойчивости) в постановках задач, дается определение корректности по Тихонову и вводится понятие регуляризующего оператора. Рассматриваются также существующие методы решений некорректных задач, проводится их анализ и сравнение.

В начале второй главы приводится постановка задачи регуляризации неустойчивых решений.

Определение Задачу

Ах = у (5)

хе1, у е У, называют корректной по Тихонову на множестве М <= X, а само множество М называют ее множеством {классом) корректности, если-

1) точное решение задачи существует и принадлежит множеству Мс1, т. е у е N - АМ;

2) решение единственно на множестве М, т. е оператор обратим на множестве М;

3) существует непрерывная зависимость решения * от правой части у, когда вариации у не выводят решение за пределы множества М, те. оператор А'1 непрерывен в относительной топологии множества N

При решении уравнения типа (5) естественно исходить из предположения, что точные данные задачи {А,у} известны нам лишь приближенно, т. е. в действительности считать известной пару {а,^}, аппроксимирующую в выбранной топологии пару {А, у}.

Определение Пусть (X, г), (F, р) — метрические пространства, а оператор А взаимно однозначен. Параметрическое семейство определенных на всем пространстве Y многозначных отображений называется регу-

ляризатором (регуляризирующим оператором или алгоритмом) задачи (5) на множестве Del, a D называется множеством регуляризуемости, если для всякого числа s > 0 существует S > О и значение параметра а = cc(S) такие, что при любых элементах у0 е A(D n D(Á)) ( D(A) -область определения оператора А) и ys е Y, р(у0,ys) < д, для произвольного элемента х е Ra(S) ys будет справедливо неравенство r(x,A'1y0)^s Иными словами, существует возможность выбрать значение параметра a(S) независимо от элемента у0 е A(D о В(А)) таким образом, чтобы множества RaiS)ys сходились к точке А"1 у0 при S—> О

В настоящий момент разработано большое число методов решения широкого класса некорректных задач. Эти методы можно условно разделить на два больших класса, вариационные методы и методы, основанные на численных приближениях.

Во второй главе проанализированы вариационные методы решения некорректных задач, а именно метод квазирешений, метод регуляризации и метод невязки.

Квазирешением уравнения (5) на множестве М с X называется всякий элемент х' е М, для которого справедливо равенство

р(Ах', у) - mf р(Ах, у)

хоМ

Другими словами, квазирешение х'е.М - это такая точка, образ которой Ах' реализует расстояние правой части у е Y до образа N - АМ множества М

Метод регуляризации является наиболее распространенным методом решения некорректных задач, т к. он дос-

таточно удобен в практических вычислениях. Во второй главе кратко описывается его абстрактная схема

Пусть требуется решить уравнение (5) с непрерывным, взаимно однозначным и, возможно, нелинейным оператором А. Предполагаем точное решение существующим и подберем регуляризующий (стабилизирующий) функционал Q(jc) , обладающий следующими свойствами:

1) точное решение принадлежит области определения D(Q) функционала Q(x),

2) на области определения D(Q) функционал Q.(x) принимает вещественные неотрицательные значения,

3) все множества

Мс = {х:П(х)<С}, С> О,

являются компактами в пространстве X. Идея метода регуляризации состоит в том, чтобы разыскивать минимизирующий элемент некоторого функционала, но не функционала р(Ах,у) - такая задача была бы эквивалентной уравнению (5) и поэтому тоже некорректной, а несколько «исправленного» и обладающего сглаживающими свойствами функционала

Г (х; у) = р2 (Лх, у) + oQ(x), х е D{Q), с параметром регуляризации а > О.

Метод невязки состоит в минимизации функционала Q.(x) при наложении на величину невязки условия

p(Ax,ys)<<p(S), где <р(3) > 8, ф(8) —> О, д —» 0 Обычно полагают ср(б) = д

Во второй главе проводится подробный анализ вариационных методов, определяются границы их применения, описываются трудности, возникающие при их использовании на практике, и вычислительные особенности нахождения устойчивых решений

В конце второй главы кратко рассматриваются численные методы решения некорректных задач, имеющие более узкую область применимости по сравнению с вариационными методами, на примере метода итераций и ко-нечноразностного (сеточного) метода

Третья глава посвящена разработке метода решения некорректных задач в гильбертовом пространстве, в частности решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, т е. математической модели задачи управления надежностью сложных технических систем

Ключевым моментом, на котором основывается разрабатываемый метод, является свойство изоморфизма гильбертовых пространств.

Теорема (об изоморфизме) Любые два сепарабель-ных гильбертова пространства изоморфны между собой

Следствие Пространства ¿2 и /2 - изоморфны между собой, и их можно не различать, поскольку они представляют собой различные реализации гильбертова пространства Н

Здесь /2 - гильбертово пространство элементами которого являются последовательности чисел таких, что

¿У<оо,х2 - гильбертово пространство функций интег-

/7=1

рируемых с квадратом модуля на соответствующем интервале

Изоморфизм, т е взаимно однозначное отображение пространств ¿2и /2 осуществляется при помощи разложения функция в ряд Фурье по ортонормированной системе функций

Теорема В сепарабельном гильбертовом пространстве Н всякая полная ортонормированная система \(р} является базисом, т е для любого /е Н имеет место разложение

/ = !(/,?>>„, (6) л=1

причем ¡/|[ = ЕК/,^)! (равенство Парсеваля).

Ряд в правой части (6) называется рядом Фурье элемента / е Н по ортонормированной системе {ср,}, а числа

(/>„) еС - коэффициентами Фурье. С — поле комплексных чисел.

Итак, между всевозможными последовательностями чисел со сходящимся рядом из их квадратов, т е. пространством /2, и функциями гильбертова пространства £2 существует взаимно-однозначное соответствие.

Далее рассматривается матричное представление линейного ограниченного оператора в ортонормированном базисе.

Пусть А - определенный на всем сепарабельном гильбертовом пространстве Н линейный ограниченный оператор, а {ср„} - ортонормированный базис в Н. Положим

(А<рк,<р)1 = а]к , ], к= 1, 2, ..

Далее показывается, что матрица определяет

оператор А

Отметим важное свойство, которое будет иметь большое значение в дальнейшем, называемое свойством аппроксимации, которым обладают гильбертовы пространства: любой ограниченный линейный оператор из Н аппроксимируется по операторной норме конечномерными операторами

После этого рассматриваются основные ортонорми-рованные системы функций (базисы) гильбертова пространства

Основываясь на рассмотренных свойствах гильбертовых пространств, систематически излагается новый метод решения некорректных задач. Доказываются необходимые и достаточные условия регуляризации решений

Рассматривается операторное уравнение первого рода

(5).

Исходные данные, т. е. пара {А,у}, известны нам приближенно. Иными словами, вместо точных данных {Ао,Уг} мы имеем приближенные данные {л>,,/г,уг,£>}, где

числа к и 8 характеризуют погрешности исходных данных в естественной метрике гильбертова пространства

\А„-Ао\<Ь, ¡Уг-Ут1<б. (7)

Задача, подлежащая исследованию, заключается в построении по приближенным данным {а„ , такой последовательности приближенных решений хив > которая сходится в пространстве X к точному решению хт уравнения (5) при условии сходимости исходных данных {А„,Уг}^{Ао,Ут}.

Разложим по данной ортонормированной системе {#>„} функций оператор А, правую часть у и неизвестную

функцию х уравнения (5). Иными словами, сопоставим функциям х и у их коэффициенты Фурье в ортонормированной системе {<ри}, а оператору А - бесконечную матрицу его коэффициентов.

^•^{^Гг'-^-Ьгде у, = (х ,<р),

2> гДе ^ = ,<р)>

А ** {«ЛГ,=,» где аи = (А<р,,<р) .

Данное соответствие есть изоморфизм линейных пространств £2и /2

Уравнение (5) в пространстве /2 запишется в матричном виде

с аи «12 • \ «1и (4Л

<Лг\ «22 • • «2» •• Гг

а„\ а„ 2 • &пп ** Уп 4.

V " • .. J V V V" У

или в виде бесконечной системы линейных уравнений = яп + «12 у2 + — + аы у„ + •

42 ~ «21 Ух + агг У2 + • +а2» У„ + —

■ ............................................................(9)

= «и17\+ а„ г + •• + X»+ • •

Обозначим бесконечную матрицу и вектор-столбцы уравнения (8), по аналогии с (5), А, 5с, у и запишем (8) в виде

Ах = у (10)

Систему (10) удобно преобразовать к виду

х = Ьх + 0~1у, (11)

где Ь = О1 (О-А), а Э = йга^- диагональная матрица (в простейшем случае / - единичная).

Далее, после преобразований, получаем

Г. = ±1.Г, + £, * = 1> (12)

м

Решая данную бесконечную систему мы получим последовательность приближенных коэффициентов Фурье искомой функции х

В метрике пространства /2 квадратичная погрешность значений вектора {у} определяется как

7=1 '

После проведения преобразований, получаем

где

^„Шмн, 0<?<1. (14)

v-v

Таким образом, s{ö,hf 0 при с) —» 0,/г ^ О Иными словами, при стремлении погрешности исходных данных к нулю, значения коэффициентов Фурье искомой функции х стремятся к своим точным значениям

Далее, в третьей главе, доказывается теорема, являющаяся теоретической основой метода решения задачи управления надежностью

Теорема Устойчивое (к малым изменениям е) приближенное решение уравнения (5) х дается с помощью оператора

R(x,a) = R(x,~) = f,Y,<P, = t{xhS,<p)(p,, (15)

П '=1

1

(« = — - параметр регуляризации), если п брать равным п

те) Т}\£)

целой части функции —^, т е п = п(е) = , где при

£ I £ 1

¿> —» 0,/г —» 0, в —^ 0, 0, а «(£•)->■ оо.

Доказательство Так как для всякого г \<р\ < М, то

п(е)

/=1

+

l=n(s)+1

со 00 / \

Так как ряд Y,yl<p[ = X <Р, сходится, то его оста-

ток У, <Р, стремится к нулю при п(е) —> оо .

/=п(е)+1

Далее, применяя неравенство Коши-Буняковского, получим

"(О/

%:-г}р, * е | {/, - г\и * {Шу:-у1¥(ру}2 <

7=1 |=1 ' ' 1=1 7=1 '

< М е|(г;-7,)2}/2 < М^]п(е)е2 = М.

у{£)

2

£

2

->0

при 6 0, к 0.

Таким образом, устойчивое к малым изменениям исходных данных решение уравнения (5) дается конечной суммой (15) (конечным рядом Фурье), т. е в аналитическом виде

Регуляризация решения некорректной задачи осуществляется при помощи согласования погрешности решения и погрешности исходных данных путем изменения размерности редуцированного конечномерного пространства.

Четвертая глава диссертации посвящена решению задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

С целью определения точности и эффективности решения задачи управления надежностью методом, разработанным в третьей главе, проводится серия расчетов согласно следующему алгоритму:

1) Правая часть уравнения (4) считается известной и решается прямая задача определяется рЙ (п),

2) Полученное значение рЙ(п) подставляется в левую часть уравнения (4), а функция (рх{х) считается неизвестной При заданном ядре получается требуемая обратная задача. Далее, решается поставленная задача методом, разработанным в данной диссертации,

3) Сравнивается полученное решение с изначально заданной функцией (р~ (х) с целью оценки степени согласо-

вания полученного решения с заданным (т.е. оценки точности искомого решения).

Необходимо отметить, что как ядро уравнения (4) К(х, ri), так и полученную на первом этапе решения левую часть рй(х) следует считать приближенно заданными с погрешностями h я S соответственно.

Принадлежность функций рй (п) и <рг(х) пространству £2(-со,со) следует из физической сущности задачи и проверяется непосредственно.

Для изоморфного отображения пространства £2 в пространство /2, т. е. отображения пространства функций, с интегрируемым квадратом модуля, в пространство бесконечных последовательностей, необходимо вычислить коэффициенты Фурье левой части интегрального уравнения и коэффициенты матричного представления оператора по определенной ортонормированной системе функций. Ортонормированная система функций на интервале (-оо,оо) строится на основе полиномов Эрмита, заданных формулой

ах

Эта система принимается в качестве базиса пространства (-оо,оо)

Решение некорректной задачи управления надежностью устойчивое к изменению исходных данных получается в виде отрезка ряда Фурье по данной ортонормированной системе функций.

Далее в диссертации проводится анализ полученного решения, оценка его погрешности и делается вывод о высокой эффективности используемого метода

Далее в четвертой главе данного исследования рассматривается практически важная задача управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции

(СОК) космических аппаратов (КА) серии «А» Условия функционирования таких объектов отличаются стационарностью или квазистационарностью случайных процессов воздействия, определяющих режимы работы устройств, установленных на борту Практика показывает, что в процессе эксплуатации беспилотных космических аппаратов (КА) имеют место в основном внезапные отказы, т. е отказы, не связанные со старением или изменением свойств устройств

Основными дестабилизирующими факторами или нагрузками, влияющими на работоспособность систем КА в условиях космического полета являются тепловые, радиационные, электрические, механические и др.

Существенную роль среди нагрузок, действующих на бортовые устройства КА, играют тепловые нагрузки Фактически тепловым воздействиям подвержены все без исключения устройства борта КА Не все они в равной мере чувствительны к этим нагрузкам и не для всех устройств те значения температуры, которые имеют место в различных режимах эксплуатации КА, опасны в отношении отказов Для контроля за температурным режимом бортовых устройств в различных точках как внутренних отсеков КА, так и на его внешних элементах установлены датчики температуры. Измеренные тепловые нагрузки по каналам телеизмерений передаются наземным станциям и поступают в центральный командно-измерительный комплекс Данные телеизмерений являются основой для оперативного контроля работоспособности некоторых систем борта.

Анализ показывает, что наибольшей чувствительностью к тепловым нагрузкам отличаются устройства системы ориентации и контроля (СОК), для которых полезным сигналом является радиация, излучаемая различными космическими телами: Землей, Солнцем и др Источниками случайных флуктуаций температуры на борту КА являются изменения солнечной радиации, работа бортовых тепловы-

деляющих приборов, длительность и чередование тени и света за один оборот вокруг Земли и т. д

СОК обеспечивает успокоение, ориентацию и удерживание осей КА относительно орбитальной системы координат В качестве чувствительных элементов СОК используются датчики ориентации на центр Земли (М56Д, 42Д), датчик ориентации на Солнце(26Д), инфракрасные датчики коррекции на центр Земли (40Д-1). Нормальными условиями эксплуатации, оговоренными в технической документации, для этих датчиков являются определенные диапазоны температур

Характерными отказами датчиков СОК являются отказы, обусловленные выходом температуры корпуса датчика за допустимые пределы. Повышение температуры датчика приводит к снижению уровня полезного сигнала на фоне шумов, что в конечном счете не позволяет СОК произвести ориентацию антенны ретранслятора в направлении наземной станции. Событие, связанное с потерей связи со спутником, вследствие отсутствия должной ориентации антенны ретранслятора, следует рассматривать как отказ СОК.

Анализ результатов телеизмерений показывает, что тепловое воздействие на датчики СОК имеет характер стационарного случайного процесса

В четвертой главе диссертации первоначально проводится проверка статистических гипотез о стационарности и эргодичности тепловых процессов на основе данных телеизмерений. С этой целью вычисляются нормированные корреляционные (автокорреляционные) функции (г) случайного процесса

Нормированная автокорреляционная функция к'", (г) для у -го центрированного случайного процесса вычисляется по формуле

| Т р~т

%(?) = 7-^7-\ К (0 ^ С + (16)

(сгЛГр-^) °

где ТР - длительность реализации, по которой оценивается А?!* (г) 5 г - текущее значение времени сдвига, (о-*)2 - оценка дисперсии реализации случайного процесса

Для проверки предположения о стационарности процессов по их корреляционным (автокорреляционным) функциям для каждой реализации процесса с помощью компьютера рассчитываются нормированные корреляционные функции ки.(т) центрированных случайных процессов Изменение начала отсчета ординат процесса во времени при вычислении автокорреляционных функций существенно не изменяет ее значений при одних и тех же значениях аргумента г, что является свидетельством стационарности рассматриваемых процессов в широком смысле.

Была предпринята также попытка проверки эргодичности тепловых процессов. С этой целью вычислялись по множеству значений корреляционных функций, соответствующих различным реализациям процесса при одних и тех же значениях аргумента г, усредненные значения нормированных корреляционных функций Проверка показала, что усредненная нормированная корреляционная функция (т) быстро затухает ( (т) —» 0 при т —> оо )

Как известно, это является достаточным условием эргодичности стационарного случайного процесса.

Затем проверяется гипотеза о стохастической независимости наибольших значений температуры Для этого используется критерий серий

После этого определяются параметры функции распределения наибольшего значения температуры й Функция распределения ^(м), как установлено в первой главе,

имеет форму (3). Затем проверяется достоверность гипотезы о законе экстремальных распределений некоррелированных наибольших значений температур и, при помощи критерия со2 (критерий Мизеса).

Задаваясь левой частью уравнения (4) рп (п) (распределением вероятности отказа по числу испытаний), в результате решения обратной задачи, получается требуемый закон распределения сопротивляемости на временном интервале 1>7. года.

В качестве требуемого закона распределения вероятности отказа р„ (и) принимается геометрический закон распределения:

РЛп) = д\1-я), (17)

где д - есть вероятность появления отказа в единичном испытании Иными словами закон распределения (17) описывает вероятность появления отказа в {п +1) -м испытании.

Особенностью данной задачи является то, что, во-первых, ядро интегрально оператора, функции р„ (п) и /(х) есть вероятностные законы распределения, параметры которых получены путем статистической обработки данных определенного (конечного) числа испытаний; а во-вторых, то, что все члены интегрального уравнения заданы приближенно, с определенной степенью погрешности. Все это превращает классическую некорректную задачу (4) в «существенно» некорректную задачу.

Поставленная некорректная задача управления надежностью датчиков системы ориентации и стабилизации космических аппаратов серии «А» решена в четвертой главе разработанным в диссертации аналитическим методом

В результате расчетов были сделаны следующие рекомендации к характеристикам технического качества датчиков системы ориентации и коррекции, датчики должны устойчиво функционировать при значениях температуры

не превышающей ± Зет = 40,2 ± 1,65° С Это означает, что

при данном уровне технических характеристик датчиков их надежность будет изменяться согласно заданному закону на интервале времени />2 года Полученные результаты позволяют на этапе проектирования уточнить требования к характеристикам датчиков системы ориентации и коррекции при условии достижения требуемого уровня надежности, что позволяет сократить цикл испытаний и доработок проектируемого изделия

В заключении приводятся основные результаты данной диссертационной работы

Список литературы включает в себя научные труды по данному направлению прикладной математике, а также работы по функциональному анализу, теории вероятностей, математической статистике и алгебре, использованные при написании диссертации

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1) Разработан новый аналитический метод решения задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

2) Проведен качественный анализ задачи управления надежностью, позволивший получить основные зависимости и проанализировать причины неустойчивости решения

3) Проанализированы вычислительные особенности решения задачи управления надежностью

4) Доказана устойчивость решения, получаемого разработанным в диссертации аналитическим методом, к изменениям исходных данных

5) Решена задача управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции космических аппаратов серии «А». В результате чего получена возможность выбора на этапе проектирования оптимальных технических решений, учитывающих заданные законы изменения характеристик надежности.

6) Аналитический метод решения некорректно поставленных задач, разработанный в диссертации, применим к решению широкого класса задач, описываемых операторными уравнениями первого рода, и, в частности, интегральными уравнениями Фредгольма первого рода

7) Разработанный метод апробирован вычислительными экспериментами. Приведенные примеры расчетов показали удовлетворительную сходимость полученных решений к заданным

8) На основе полученных численных результатов решения задачи управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции космических аппаратов серии «А» выработаны рекомендации к техническим характеристикам датчиков с целью получения заданного закона изменения надежности

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Масоди ДА. Разработка аналитического метода решения некорректных задач // Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза, 2007.

2. Дедков В.К, Масоди Д.А. Новый подход к решению обратной задачи надежности // Международный симпозиум «Надежность и качество» Труды, г. Пенза, 2007

3 Дедков В К , Масоди Д А Условия некорректности обратных задач // Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза, 2007.

4 Масоди Д А., Ефимов И.А. Постановка некорректных задач теории эффективности // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. М: ВЦ. им A.A. Дородницына РАН. 2007. - с. 54 - 61.

5 Дедков В К., Масоди Д А Метод обобщенных рядов Фурье для решения некорректных задач теории эффективности // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. М.: ВЦ. им А А. Дородницына РАН. 2007. - с 62 -70.

6 Дедков В.К , Северцев H.A., Масоди Д А. Обратная задача теории надежности в поставарийной диагностике // Международный симпозиум «Надежность и качество» Труды, г. Пенза, 2007

Содержание.

Введение.

Глава 1. Задача управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

1.1. Постановка и анализ задачи.

1.2. Обработка исходной информации в задаче управления надежностью.22 Выводы.

Глава 2. Анализ методов решения некорректных задач.

2.1. Основные понятия.

2.2. Вариационные методы решения.

2.2.1. Метод квазирешений.

2.2.2. Метод регуляризации.

2.2.3. Метод невязки.

2.2.4. Связь между вариационными методами, обобщения и выводы.

2.3. Невариационные методы решения.

2.3.1. Метод итераций.

2.3.2. Конечноразностный (сеточный метод).

Выводы.

Глава 3. Разработка метода решения некорректных задач в гильбертовом пространстве.

3.1. Интегральное уравнение первого рода.61

3.2. Геометрия гильбертова пространства.

3.3. Базис гильбертова пространства.66,

3.4. Матричное представление линейного ограниченного оператора в гильбертовом пространстве.

3.5. Ортогональные системы функций в Z,2

Ряды по ортогональным системам.

3.6. Решение некорректных задач в гильбертовом пространстве методом обобщенного суммирования-рядов Фурье.

Выводы.

Глава 4'. Аналитическое решение задачи. управления'надежностью технических систем.87"

4.1. Постановка задачи.

4.2. Решение прямой задачи теории надежности.88'

4.3. Решение обратной задачи теории надежности.

4.4. Оценка погрешности метода.

4.5. Управление надежностью датчиков системы ориентации и коррекции космических аппаратов серии «А».

Выводы.

Практика производства и эксплуатации высоконадежных малосерийных объектов космической техники показывает необходимость предъявления t требований к надежности космической техники уже на этапе разработки, с тем чтобы технические характеристики проектируемых объектов обеспечивали требуемый уровень надежности. При этом сокращаются как объемы заводских, так и летных испытаний.

В такой постановке задача управления надежностью является «обратной» задачей по отношению к прогнозированию надежности, являющемуся прямой задачей оценивания надежности.

Задача управления надежностью или задача синтеза составляющих комплекса условий испытаний является следствием решения проблемы анализа надежности уникальных и малосерийных объектов, естественным завершением круга вопросов, связанных с созданием технических объектов с заданными эксплуатационными характеристиками, в частности с заданной надежностью.

В математической модели задачи управления надежностью заданными являются классы функций, описывающих законы изменения характеристик надежности, и характеристики условий применения уникальных объектов, а искомыми являются требуемые законы распределения характеристик технического качества.

Под управлением надежностью понимается получение законов изменения характеристик качества системы на основе требуемого закона изменения надежности.

Данная задача относится к классу обратных задач математической теории надежности. Обратные задачи являются некорректными, т. е. их решения неустойчивы к изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач.

Если исходные данные известны приближенно, то упомянутая неустойчивость приводит к практической неединственности решения в рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближенного решения.

Однако можно указать некорректно поставленные задачи, относящиеся как к классическим разделам математики, так и к различным классам практически важных прикладных задач.

К таким задачам относятся задачи создания систем автоматической математической обработки результатов эксперимента, задачи оптимального управления и оптимального проектирования систем, задача управления- надежностью сложных технических систем с неточно заданными параметрами.

Исходные данные задачи управления надежностью, получаемые обычно в результате измерений, содержат случайные погрешности. Поэтому при-построении приближенных решений и при оценке их погрешностей, в зависимости от характера исходной информации, возможен как детерминированный подход, так и вероятностный.

В течение долгого времени считалось, что некорректные задачи*- не1 имеют практического значения и их теория не может привести к содержательным математическим результатам. Такое мнение было распространено' даже после работы А\ Н<. Тихонова ! 943 г., в которой впервые была указана; практическая важность подобных задач и возможность их устойчивого- решения. В конце пятидесятых и, особенно, в начале шестидесятых годов*появился ряд новых подходов, которые стали основополагающими для теории некорректных задач и привлекли к ней внимание многих математиков.

В настоящее время по теории некорректных задач имеется обширная литература [41, 65, 76, 96, 97], охватывающая большинство аспектов этой теории.

Основным объектом исследования теории некорректных задач являются операторные уравнения первого рода

Ах=у (1) в линейных нормированных пространствах X (хеХ) и Y (уеУ)> А ~ заданное отображение (оператор), действующий из X в Y (в общем случае X и Y есть произвольные топологические пространства). Многие задачи математической физики сводятся к уравнению (1) с вполне непрерывным (компактным), в частности интегральным оператором А. Уравнения такого вида возникают, например, при исследовании так называемых обратных задач, когда исходя из некоторых характеристик физического поля необходимо восстановить характеристики самой среды, которая порождает это поле [65, 96]. В этом случае по аналогии с интегральными уравнениями (1) называют абстрактным уравнением Фредгольма первого рода. Данный класс уравнений составляет основу математической модели задачи управления надежностью.

Трудности, возникающие при исследовании таких уравнений, связаны, главным образом, с незамкнутостью области значений оператора А и отсутствием непрерывной зависимости решения от правой части (неустойчивость или некорректность задачи). В этих условиях обычные методы, используемые для приближенного решения корректных задач, оказываются, как правило, непригодными.

При решении уравнения.типа (1) естественно исходить из предположения, что точные данные задачи {А, у} известны нам лишь приближенно, т. е. в действительности считать известной пару {Ah, у$}, аппроксимирующую в, выбранной топологии пару {А, у}. Ошибки можно интерпретировать, например, как неадекватность идеализированной математической модели (1)- и описываемой ею физической реальности; кроме того, погрешность может возникнуть как за счет ошибок измерения исходных данных, так и за счет построения приближенной модели для уравнения (1) с целью проведения численных расчетов.

Задача, подлежащая исследованию, заключается в построении по приближенным данным {А/„ уд} такой последовательности приближенных решений х/„$, которая сходится в пространстве X к точному решению х уравнения

1) при условии сходимости исходных данных {А/„ ys}->{A, у). t

В начале XX века французским математиком Адамаром были сформулированы три условия, которым должна удовлетворять каждая задача, имеющая разумную физическую интерпретацию. Они известны как условия корректности по Адамару [1] и выражают естественные требования к математической задаче, отображающей реальную действительность, которые состоят в том, что решение должно существовать, быть единственным и непрерывно зависеть от исходных данных. Для абстрактного уравнения (^ условия Адамара обычно формулируют в следующем виде:

1) для любого yeY существует элемент хеХтакой, что Ах=у, т. е. область значений оператора R(A)=Y (существование);

2) элементом у решение х определяется однозначно, т. е. существует обратный оператору!"1 (<единственность);

3) имеет место непрерывная зависимость х от у, т. е. обратный оператор А"1 непрерывен {устойчивость).

При выполнении этих условий задача (1) называется корректно поставленной (корректной) (по Адамару). Задачи, рассматриваемые в классической, математической физике (задача Дирихле для уравнения Лапласа, задача Ко-ши для уравнений теплопроводности и волнового уравнения), удовлетворяют условиям корректности Адамара при" естественном-выборе пространств X, Y. Поэтому было высказано мнение, нашедшее широкое распространение в. литературе [1, 78], что задачи, не удовлетворяющие условиям 1)-3) и называемые некорректно поставленными задачами, лишены физического смысла и в принципе не могут быть решены. Мотивировалось это тем, что при нарушении условия 3) сколь угодно малые погрешности (неизбежные при численном решении (1)) исходных данных (например, правой части у) могут привести к сколь угодно большим изменениям в решении и, следовательно, приближенное решение, полученное как решение уравнения Ax=ys , лишено разумного смысла и практической ценности. Однако, как показали дальнейшие исследования, неустойчивые задачи возникают при описании многих реальных физических явлений в геофизике, гидродинамике, спектроскопии, т. е. «корректно поставленные задачи - это далеко не единственные задачи, правильно отражающие физические явления» [67].

Важно отметить, что устойчивость (свойство 3)) задачи (1) зависит от выбранных топологий в X и Y и, вообще говоря, подходящим выбором топологий (например, наделив Y сильнейшей топологией) можно добиться непрерывности оператора^"1. Но это будет лишь формальным преодолением трудности, так как обычно топологии навязываются нам постановкой задачи и не могут выбираться произвольно. Наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии - это топологии нормированных пространств L.2, С, С(т).

Таким образом, если не изменить постановку неустойчивых задач, то-обычные методы, применяемые для решения корректных задач, оказываются, естественно, непригодными для решения некорректных, так как сколь бы малой не была погрешность исходных данных, нельзя быть уверенным в малости погрешности решения. Поэтому потребности практики в решении некорректных задач привели к необходимости пересмотреть классическое понятие корректности и выработать более широкий и приспособленный к реальным нуждам подход. Начало этому было положено в 1943 г. А. Н. Тихоновым [95].

К настоящему времени разработано- большое число как общих, так и частных методов решения некорректных задач, нашедших разнообразное применение на практике. Применение этих методов, требует в каждом частном случае разработки специальных вычислительных алгоритмов и методов отбора «приемлемых» решений.

Поэтому актуальность данной работы заключается в необходимости разработки аналитических методов решения задачи управления надежностью сложных технических систем с неточно заданными исходными данными позволяющих находить устойчивое решение в аналитическом виде.

Целью исследования является разработка аналитического метода решения широкого класса некорректных задач, возникающих в различных практически важных приложениях, в первую очередь, в задаче управления надежностью сложных технических систем при отсутствии точных исходных данных.

Важность данной задачи заключается в практической невозможности проведения всего комплекса испытаний сложной системы с целью сбора необходимой информации, без которой, в тоже время, невозможно и само проектирование. Т. е. необходимо выбрать на этапе разработки параметры проектируемой системы на основе требуемого закона изменения ее характеристик с течением времени при отсутствии точных значений исходных параметров и законов их изменения. Применяя, разработанный в данном исследовании метод, удалось решить одну из таких задач (выбор характеристик технической системы при заданном законе изменения надежности).

В первой главе данной работы дается постановка задачи управления надежностью сложных технических систем при неточных исходных данных. Математической моделью управления надежностью является система интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Далее в первой главе проводится анализ поставленной задачи с точки зрения определения точности исходных данных, на основе которых получаются параметры, характеризующие состояние системы. Доказывается- неустойчивость решений, задачи управления надежностью к изменению исходных данных. Более того, в* первой главе показывается, что поставленная задача не может быть решена классическими .методами, т. е. задача некорректна.

Далее в первой главе описывается методика обработки исходной информации в задаче управления надежностью, т. к. от правильности принятых статистических гипотез и качества обработки информации в большой степени зависит эффективность и точность решения основной задачи.

Особенностью задачи управления надежностью является анализ поведения системы на длительном интервале времени (от нескольких месяцев до нескольких лет). В этом случае случайные флуктуации переменных внешних воздействий на систему (внешних нагрузок) «сглаживаются», а сами переменные внешние нагрузки приобретают характер стационарных случайных процессов.

В первой главе приводятся статистические методы получения характеристик внешних воздействий в виде параметров стационарного в широком смысле случайного процесса и анализируются их особенности.

Во второй главе диссертации проводится анализ причин некорректности (неустойчивости) в постановках задач, дается определение корректности по Тихонову и вводится понятие регуляризующего оператора. Рассматриваются также существующие методы решений некорректных задач, проводится их анализ и сравнение.

В начале второй главы приводится постановка задачи регуляризации неустойчивых решений.

В настоящий момент разработано большое число методов решения широкого класса некорректных задач. Эти методы можно условно разделить на два больших класса: вариационные методы и методы, основанные на численных приближениях.

Во второй главе проанализированы вариационные методы решения,некорректных задач, а именно: метод квазирешений, метод регуляризации и метод невязки;

Анализ вариационных методов позволил определить границы их- применения, трудности, возникающие при их использовании на практике; и вычислительные особенности нахождения устойчивых решений.

В конце второй главы кратко рассматриваются численные методы решения некорректных задач, имеющие более узкую область применимости по сравнению с вариационными методами, на примере метода итераций и ко-нечноразностного (сеточного) метода.

По результатам подробного анализа существующих методов решения некорректных задач делается вывод о необходимости разработки нового метода решения некорректной задачи управления надежностью и формулируются требования, которым он должен отвечать.

Третья глава посвящена разработке метода решения некорректных задач в гильбертовом пространстве, в частности решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, являющегося математической моделью задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

Задача, исследуемая в третьей главе, заключается в построении по приближенным исходным данным такой последовательности приближенных решений, которая сходится в к точному решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода при условиихходимости исходных данных.

На основании свойств гильбертовых пространств в диссертации доказываются необходимые и достаточные условия устойчивости решения задачи управления надежностью к измененению исходных данных.

Устойчивое к малым изменениям исходных данных решение задачи управления надежностью получается в виде конечного ряда Фурье, т. е. в аналитическом виде.

Регуляризация решения некорректной задачи осуществляется при помощи согласования погрешности решения и погрешности исходных данных путем изменения размерности редуцированного конечномерного пространства.

Четвертая глава диссертации посвящена решению задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

С целью определения точности решения задачи управления надежностью методом, разработанным в третьей главе, проводится серия вычислительных экспериментов.

Решение некорректной задачи управления надежностью устойчивое к изменению исходных данных получается в виде отрезка ряда Фурье по данной ортонормированной системе функций.

В диссертации проводится анализ полученного решения, оценка его погрешности, на основе чего сделан вывод о достаточной степени согласованности полученного решения с заданным.

Далее в четвертой главе данного исследования рассматривается практически важная задача управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции (СОК) космических аппаратов (КА) серии «А». Условия функционирования таких объектов отличаются стационарностью или квазистационарностью случайных процессов воздействия, определяющих режимы работы устройств, установленных на борту. Практика показывает, что в процессе эксплуатации беспилотных космических аппаратов (КА) имеют место в основном внезапные отказы, т. е. отказы, не связанные со старением или изменением свойств устройств.

Основными дестабилизирующими факторами или нагрузками, влияющими на работоспособность систем КА в условиях космического полета являются тепловые, радиационные, электрические, механические и др.

Существенную роль среди нагрузок, действующих на бортовые устройства КА, играют тепловые нагрузки. Фактически тепловым воздействиям подвержены все без исключения устройства борта КА. Не все они в равной мере чувствительны к этим нагрузкам и не для всех устройств те значения температуры, которые имеют место в различных режимах эксплуатации КА, опасны в отношении отказов. Для контроля за температурным режимом бортовых устройств вфазличных точках как внутренних отсеков КА, так и на его внешних элементах установлены датчики температуры. Измеренные тепловые нагрузки по каналам телеизмерений передаются наземным станциям и поступают в центральный командно-измерительный комплекс. Данные телеизмерений являются основой для оперативного контроля работоспособности некоторых систем борта.

Анализ показывает, что наибольшей чувствительностью к тепловым нагрузкам отличаются устройства системы ориентации и контроля (СОК), для которых полезным сигналом является радиация, излучаемая различными космическими телами: Землей, Солнцем и др. Источниками случайных флук-туаций температуры на борту КА являются изменения солнечной радиации, работа бортовых тепловыделяющих приборов, длительность и чередование тени и света за один оборот вокруг Земли и т. д.

СОК обеспечивает успокоение, ориентацию и удерживание осей КА относительно орбитальной системы координат. В качестве чувствительных элементов СОК используются датчики ориентации на центр Земли (М56Д, 42Д), датчик ориентации на Солнце(26Д), инфракрасные датчики коррекции на центр Земли (40Д-1). Нормальными условиями эксплуатации, оговоренными в технической документации, для этих датчиков являются определенные диапазоны температур.

Характерными отказами датчиков СОК являются отказы, обусловленные выходом температуры корпуса датчика за допустимые пределы. Повышение температуры датчика приводит к снижению уровня полезного сигнала на фоне шумов, что в конечном счете не позволяет СОК произвести ориентацию антенны ретранслятора в направлении наземной станции. Событие, связанное с потерей связи со спутником, вследствие отсутствия должной ориентации антенны ретранслятора, следует рассматривать как отказ СОК.

Анализ результатов телеизмерений показывает, что тепловое воздействие на датчики СОК имеет характер стационарного случайного процесса:.

В четвертой главе диссертации первоначально проводится проверка статистических гипотез о стационарности и эргодичности тепловых процессов на основе данных телеизмерений.

Для проверки предположения о стационарности процессов по их корреляционным (автокорреляционным) функциям для каждой реализации процесса с помощью компьютера рассчитываются нормированные корреляционные функции центрированных случайных процессов.

Затем проверяется гипотеза о стохастической независимости наибольших значений температуры. Для этого используется критерий серий.

После этого определяются параметры функции распределения наибольшего значения температуры и проверяется достоверность гипотезы о законе экстремальных распределений некоррелированных наибольших значений температур, при помощи критерия со2 (критерий Мизеса).

Поставленная некорректная задача управления надежностью датчиков системы ориентации и стабилизации космических аппаратов серии «А» решена в четвертой главе разработанным в диссертации аналитическим методом.

В результате расчетов были сформированы рекомендации к характеристикам технического качества датчиков системы ориентации и коррекции. Полученные результаты позволяют на этапе проектирования уточнить требования к характеристикам датчиков системы ориентации и коррекции при условии достижения требуемого уровня надежности, что позволяет сократить цикл испытаний и доработок проектируемого изделия.

В заключении приводятся основные результаты данной диссертационной работы.

Выводы

В результате решения задачи управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции космического аппарата серии «А» можно сделать следующие рекомендации к характеристикам их технического качества: датчики должны устойчиво функционировать при значениях температуры не превышающей t ± За = 40,2 ± 1,65° С. Это означает, что при данном уровне технических характеристик датчиков их надежность будет изменяться согласно заданному закону на интервале времени t >2 года. Полученные результаты позволяют на этапе проектирования уточнить требования к характеристикам датчиков системы ориентации и коррекции при условии достижения требуемого уровня надежности, что позволяет сократить цикл испытаний и доработок проектируемого изделия.

Заключение

В диссертации предложен аналитический метод решения задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации. Данный метод применим к решению некорректных задач в гильбертовом пространстве и позволяет получить решение операторного уравнения 1-го рода, устойчивое к малым изменениям исходных данных, точность которого согласованна с точностью исходных параметров. В основу метода положено фундаментальное свойство изоморфизма (гомеоморфизма) гильбертовых пространств.

Суть метода заключается в перенесении решения задачи из исходного функционального пространства в изоморфное ему пространство комплексных (вещественных чисел) путем разложения функций и оператора в ряд Фурье по той или иной системе ортонормированных функций. Таким образом, вместо исходного функционального уравнения получается бесконечномерное матричное уравнение, общее решение которого некорректно (неустойчиво к малым изменениям исходных данных):

Регуляризация решения полученного бесконечномерного уравнения достигается,его редукцией к конечномерному. При этом погрешность, возникающая, при переходе от бесконечномерного пространства к конечномерному, согласуется с погрешностью исходных данных.

Таким образом регуляризованное решение получается в виде отрезка ряда.Фурье подданной' ортонормированной системе функций.длина.которого зависит от погрешности исходных' данных.

Основным объектом исследования в данной работе является интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода, являющееся математической моделью задачи управления надежностью сложных технических систем, которая заключается в нахождении закона изменения характеристик системы на основе требуемой динамики изменения надежности при наличии нечеткой исходной информации.

В диссертации получены следующие научные результаты:

1) Разработан новый аналитический метод решения задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

2) Проведен качественный анализ задачи управления надежностью, позволивший получить основные зависимости и проанализировать причины неустойчивости решения.

3) Проанализированы вычислительные особенности решения задачи управления надежностью, связанные со стохастичностью параметров математической модели управления надежностью и наличием случайных погрешностей.

4) Доказана устойчивость решения, получаемого разработанным в диссертации аналитическим методом, к изменениям исходных данных.

5) Решена задача управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции космических аппаратов серии «А». В результате чего получена возможность выбора на этапе проектирования оптимальных технических решений, учитывающих заданные законы изменения характеристик надежности.

6) Разработанный метод апробирован вычислительными экспериментами. Приведенные примеры расчетов показали удовлетворительную сходимость полученных решений к заданным.

7) На основе полученных численных результатов решения задачи управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции' космических аппаратов серии «А» выработаны рекомендации к техническим характеристикам датчиков с целью получения заданного закона изменения надежности.

1. Hadamard J. Le probleme Cauchy. Paris, 1932.

2. Phillips D. L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind. // J. Assoc. Comput. Machin., 1962, v. 9, №1, p. 84-97.

3. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное изд. М.: Финансы и статистика, 1983. —471 с.

4. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: подход с использованием ЭВМ. М.: Мир, 1982. - 488 с.

5. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 744 с.

6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том I. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. - 632 с.

7. Боровков А.А. Курс теории вероятностей. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. - 288 с.

8. Боровков А.А. Математическая статистика. Учебник. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. - 472 с.

9. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. -М.: Мир, 1980.-536 с.

10. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. -М.: Физматлит; Лаборатория базовых знаний, 2003. 400 с.

11. Бхаттачария Р.Н., Раига Рао Р. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. - 288 с.

12. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. - 448 с.

13. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1989, - 144 с.

14. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. 2-е изд., стереот. - М.: Физматлит, 2002. - 160 с.

15. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. 4-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. - 577 с.

16. Винокуров В А. О понятии регуляризуемости разрывных отображений. // ЖВМ и МФ, 1971, т. 11, № 5, с. 1097-1112.

17. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. — 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. - 416 с.

18. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: .: Гос. Изд-во. физ.-мат. лит., 1958.-545 с.

19. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. -9-е изд. М.: Высш. шк., 2003. - 479 с.

20. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. 6-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 448 с.

21. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. -448 с.

22. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1. М.: ИЛ, 1962.- 896 с.

23. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 2. М.: ИЛ, 1966.- 1064 с.

24. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 3. М.: ИЛ, 1974.- 664 с.

25. Дедков В.К. Модели прогнозирования индивидуальных показателей надежности (монография). ВЦ им. А.А. Дородницына РАН. М.: 2003, 187 с.

26. Дедков В.К. Обратная задача теории надежности. М.: ВЦ РАН, 2004.-244 с.

27. Дедков В.К. Северцев Н.А. Марковские модели прогнозирования индивидуальных показателей надежности. Севастополь: 2004, с. 37 -45.

28. Дедков В.К. Северцев Н.А. О влиянии испытаний на характеристики испытываемого объекта. // Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза. 23 мая-31 мая 2005, с. 68-72.

29. Дедков В.К., Масоди Д.А. Новый подход к решению обратной задачи надежности //Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза, 2007.

30. Дедков В.К., Масоди Д.А. Условия некорректности обратных задач // Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза, 2007.

31. Дедков В.К., Масоди Д.А.Метод обобщенных рядов Фурье для решения некорректных задач теории эффективности // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. М.: ВЦ. Им А.А. Дородницына РАН. 2007. с. 62 - 70.

32. Дедков В.К., Северцев Н.А. Косвенные методы прогнозирования надежности. М.: ВЦ РАН, 2006. - 272 с.

33. Дедков В.К., Северцев Н.А. Косвенный метод измерения сопротивляемости устройств, работающих в условиях динамического нагру-жения. //Вопросы судостроения, 1978; Вып17, с. 90-97.

34. Дедков В.К., Северцев Н.А. Критериальный аспект обратной задачи теории надежности. //Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза. 26 мая-1 июня 2003, с. 36-40.

35. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. Т. 1 -М.: Мир, 1971.-317 с.

36. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. Т. 2 -М.: Мир, 1972.-285 с.

37. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. М.: Мир, 1980. - 610 с.

38. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1963. - 865 с.

39. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975. - 773 с.

40. Зорич В. А. Математический анализ. Ч. II. — 4-е изд., испр. М.: МЦНМО, 2002.-787 с.

41. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. I. 4-е изд., испр. - М.: МЦНМО, 2002. - 664 с.

42. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1979. - 206 с.

43. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика: Учеб. пособие для втузов. М.: Высш. шк., 1984. - 248 с.

44. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. - 624 с.

45. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления. М., ВЦ РАН, 2000, - 151 с.

46. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления системами с распределенными параметрами. М., ВЦ РАН, 2001, - 120 с.

47. Ишмухаметов А.З. Методы решения задач оптимизации. М., Изд-во МЭИ, 1998,- 80 с.

48. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 2-е изд. -М.: Наука, 1977.-744 с.

49. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. 5-е изд., испр. - Л.: Физматгиз, 1962. - 708 с.

50. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физико-математическая литература, 1958. — 507 с.

51. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. 2-е изд. доп. - М.: Изд-во АФЦ, 1999 - 560 с.

52. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. - 730 с.

53. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. - 890 с.

54. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. - 580 с.

55. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.-398 с.

56. Козлов М.В., Прохоров А.В. Введение в математическую статистику. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 264 с.

57. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Мир, 1978. -560 с.

58. Коллатц JI. Функциональный анализ и вычислительная математика. -М.: Мир, 1969.-448 с.

59. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. - М.: Физматлит, 2004. - 572 с.

60. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов. 2-е изд., исправл. - М.: Физико-математическая литература, 2001. - 272 с.

61. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра: Учебник для вузов. 2-е изд., исправл. - М.: Физико-математическая литература, 2001. - 368 с.

62. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры: Учебник для вузов. М.: Физико-математическая литература, 2000. - 272 с.

63. Крамер Г. Математические методы статистики. М.:Мир, 1975. -648 с.

64. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. — М.: Мир, 1969.-437 с.

65. Краснов M.JI. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. - 306 с.

66. Краснов M.JL, Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968. - 193 с.

67. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гос. Изд-во. техн.-теор. лит., 1956. -392 с.

68. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы, том I. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. - 310 с.

69. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Интегральные уравнения, некорректные задачи и улучшение сходимости. — Мн.: Наука и техника, 1984. — 263 с.

70. Кульбак С. Теория информации и статистика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. - 409 с.

71. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. -445 с.

72. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа. 3-е изд., испр. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики., 2000. - 336 с.

73. Лидбеттер М., Линдгрен Г., Ротсен X. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир, 1989. 392 с.

74. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. 2-е изд., перераб. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. -520 с.

75. Манжиров А.В., Полянин А. Д. Методы решения интегральныз уравнений: Справочник. М.: Факториал, 1999. - 272 с.

76. Манжиров А.В., Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. М.: Факториал, 2000. - 384 с.

77. Маркин Н.С. Основы теории обработки результатов измерений: Учеб. пособие. М.: Изд-во стандартов, 1991. - 676 с.

78. Масоди Д.А. Разработка аналитического метода решения некорректных задач // Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза, 2007.

79. Масоди Д.А., Ефимов И.А. Постановка некорректных задач теории эффективности // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. М.: ВЦ. Им А.А. Дородницына РАН. 2007. с. 54 - 61.

80. Морозов В.А., Гребенников А. И. Методы решения некорректно поставленных задач: алгоритмический аспект. — М.: Изд-во МГУ, 1992.-320 с.

81. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. - 527 с.

82. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными.- М.: Физматгиз, 1953. 348 с.

83. Полянин А.Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. М.: Факториал, 1998. - 432 с.

84. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы). — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. 494 с.

85. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Теория стохастических систем:,Учеб. пособие. М.: Логос, 2004. - 1000 с.

86. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.- 2-е изд., перераб. и доп. М.: Мир, 1979. - 589 с.

87. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967. - 253 с.

88. Розанов Ю.А. Случайные процессы (краткий курс) . М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971. - 287 с.

89. Садовничий В.А. Теория операторов: Учеб. для вузов. 4-е изд., испр. и доп. -М.: Дрофа, 2001. -384 с.

90. Севастьянов В.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1982. - 256 с.

91. Северцев Н.А., Дедков В.К. Системный анализ и моделирование безопасности: Учеб. пособие. М.: Высш. шк., 2006. - 462 с.

92. Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. -231 с.

93. Скороход А.В. Случайные линейные операторы. Киев. Наук, думка, 1979.-200 с.

94. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 4 ч. 1. 6-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. - 336 с.

95. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 4 ч. 2. 6-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. - 552 с.

96. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 5. М.: Гос. Изд-во. физ.-мат. лит., 1959. - 657 с.

97. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. 3-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. - 510 с.

98. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. -ДАН СССР, 1963, т. 153, № 1, с. 49-52.

99. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. // ДАН СССР, 1943, т. 39, №5, с. 131-198.

100. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 2-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. - 286 с.

101. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 232 с.

102. Тутубалин-В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1992. - 400 с.

103. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах, т.1: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 528 с.

104. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах, т.2: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 738 с.

105. Фишер Р. А. Статистические методы для исследователей. М.: Госстатиздат, 1958. - 270 с.

106. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969. - 167 с.

107. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951. - 504 с.

108. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983. - 432 с.

109. Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2004. - 552 с.

110. Цлаф Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. - 176 с.

111. Ширяев А.Н. Вероятность. В 2-х кн. 3-е изд., перераб. и доп. -М.: МЦНМО, 2004. Кн. 1. - 520 с.

112. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ. 2-е изд. - М.: Наука, 1976. - 255 с.

113. Яглом A.M. Корреляционная теория стационарных случайных функций. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. - 273 с.

114. Яглом A.M., Яглом И.М. Вероятность и информация. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. - 542 с.